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INTEGRALES IMPROPIAS
Se debe a Cauchy la primera extensin de la integral para
funciones definidas en un intervalo no acotado y para funciones no
acotadas en los extremos del intervalo, es lo que conocemos en la
actualidad como valor principal de Cauchy. La definicin de integral
impropia se debe a Riemann. INTEGRACIN EN INTERVALOS NO
COMPACTOS.
DEFINICIN
Sea f : [a; +) R con f R [a; b] para todo b > a
Se llama integral impropia de primera especie de f en [a; +)
al
Si existe el lmite y es finito, se dice que la integral impropia
es convergente; en
caso contrario se dice que la integral impropia diverge. Si es
convergente se
escribe:
Notas
1) Si f tiene primitiva F en [a; +), entonces
2) Si f : ( -; b] R con f R [a; b] para todo a < b, se define
anlogamente:
DEFINICIN. Sea f : [a; b) R con f R [a; c] para todo c (a; b).
Se llama integral impropia de segunda especie de f en [a; b) al
lmite
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Si existe el lmite y es finito, se dice que la integral impropia
es convergente, y su valor se denota por
En caso contrario se dice que la integral impropia diverge.
Anlogamente se procede si f est definida en (a; b]. TEOREMA
Sea I algn intervalo de la forma [a; +); (-; b]; [a; b); (a; b]
y f , g : I R tales que
convergen, entonces tambin convergen
DEFINICIN. Sea f : R R con f R [a; b]; para todo a; b R; (a <
b). Decimos que
converge si existe un a R tal que
convergen; en ese caso:
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DEFINICIN
Sea f : R R con f R [ -a; a]; para todo a R: Se llama valor
principal de Cauchy de
DEFINICIN
Sea f : (a; +) R con lim+ = y f R [b,c] para todo b (a,c] (a, +)
Se dice que
Es convergente si existe un c > a tal que
es convergente en cuyo caso
A estas integrales se les llama integrales mixtas de primera y
de segunda especie.
CRITERIOS DE CONVERGENCIA
Los resultados que vamos a exponer son vlidos tanto para
integrales impropias de primera especie como de segunda especie,
por lo que los enunciaremos slo para las de primera especie.
TEOREMA
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Sea la funcin f : [a; +) R con f(x) 0; para todo x [a; +) y f R
[a; b]; para todo b R; (b > a). Entonces
converge si y slo si existe M > 0 tal que
TEOREMA
(Criterio de comparacin). Sean las funciones f; g : [a; +) R;
tales que 0 f(x) g(x) para todo x [a; +) con f; g R [a; b]; para
todo b > a: Se verifica:
TEOREMA
(Criterio de comparacin por paso al lmite). Sean las funciones
f; g : [a; +) R; tales que f(x) 0; g(x) > 0 para todo x [a; +)
con f; g R [a; b]; para todo b > a y
lim
=
Se verifica
Estos criterios de comparacin necesitan del conocimiento del
carcter de alguna integral impropia que sirva de test.
Habitualmente utilizaremos las integrales:
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TEOREMA
1) Sea f : [a; +) R integrable Riemann en [a; b]; para todo b a.
Se verifica:
2) Sea f : (0; b] R integrable Riemann en [a; b]; para todo a
(0; b). Se verifica:
TEOREMA (Criterio integral para series). Sea f : [1; +) R una
funcin decreciente con f(x) > 0, y {an} una sucesin de trminos
positivos tal que an = f(n); para todo N. Bajo estas condiciones,
la serie
+
=1
y la integral impropia
+
1
tienen el mismo carcter. CONVERGENCIA ABSOLUTA.
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Cuando el signo del integrando no es constante, es ms complicado
estudiar la convergencia de la integral impropia. Por analoga con
series numricas, se estudia la convergencia absoluta y condicional
de estas integrales. Definicin Sea f : [a; +) R. Se dice que la
integral
+
Es absolutamente convergente si
() +
es convergente. DEFINICIN.
Si +
es convergente pero
() +
es divergente, se dice que la integral impropia es
condicionalmente convergente. Anlogamente se definen los conceptos
anteriores para las integrales impropias de segunda especie.
TEOREMA
Si
+
converge absolutamente, entonces
+
es convergente. Nota.
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El reciproco del teorema anterior no es cierto, pues se puede
probar que
+
1
sin
converge si p > 0. Pero es absolutamente convergente si p
> 1 y la convergencia es condicional para 0 < p 1, ya que en
este caso, la integral
+
1
sin
Diverge.
