Upload
vunhan
View
250
Download
13
Embed Size (px)
Citation preview
INTEGRAL NUMERIK KUADRATUR ADAPTIF DENGAN
KAIDAH SIMPSON
Makalah
Disusun guna memenuhi tugas Mata Kuliah Metode Numerik
yang dibimbing oleh
Dr. Nur Shofianah
Disusun oleh:
M. Adib Jauhari Dwi Putra 146090400111001
Zulfiana S. Akib 146090400111007
Danang Indrajaya 146090400111008
PROGRAM PASCASARJANA ILMU MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
MALANG
2015
2
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI............................................................................................................2
BAB I PENDAHULUAN........................................................................................3
1.1.Rumusan Masalah.............................................................................................4
1.2.Tujuan...............................................................................................................4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA..............................................................................5
Deret.......................................................................................................................5
Interpolasi..............................................................................................................5
Integral...................................................................................................................6
Teorema Weierstrass............................................................................................11
BAB III PEMBAHASAN......................................................................................15
3.1. Kuadratur Adaptif dengan Kaidah Simpson.................................................15
3.2. Perbaikan Kaidah Simpson...........................................................................17
3.3. Algoritma Integral Kuadratur Adaptif dengan Kaidah Simpson..................21
3.4. Penyelesaian Masalah Integral dengan Metode Kuadratur Adaptif.............23
BAB IV KESIMPULAN........................................................................................30
DAFTAR PUSTAKA............................................................................................31
LAMPIRAN...........................................................................................................32
Flow Chart...........................................................................................................32
Source code program (MATLAB).......................................................................33
3
BAB I
PENDAHULUAN
1.1.Latar Belakang
Integral merupakan salah satu dari dua pokok bahasan matematika yang
paling mendasar di samping turunan. Secara umum, integral dikenal sebagai anti
turunan. Konsep integral digunakan dalam menghitung masalah-masalah pada
bidang sains maupun teknik, misalnya dalam bidang fisika, kimia, transportasi,
dan lain-lain. Tidak setiap fungsi dapat diintegralkan secara analitik. Sering kali
ditemui fungsi yang sulit atau bahkan tidak dapat dicari penyelesaiannya
menggunakan cara analitik. Untuk mencari nilai integral tersebut digunakan cara
numerik, sehingga dapat diketahui nilai hampirannya. Berbagai metode dengan
berbagai pendekatan yang berbeda telah diciptakan untuk menentukan solusi
persoalan integral dengan menggunakan cara numerik.
Salah satu pendekatan numerik dalam menyelesaikan persoalan integral
adalah pendekatan berdasarkan polinom interpolasi. Pada pendekatan ini, fungsi
integran dihampiri dengan polinom, karena suku-suku polinom lebih mudah untuk
diintegrasikan. Integran yang didekati dengan polinom interpolasi Lagrange yaitu
metode Newton Cotes. Metode ini menggunakan titik-titik yang berjarak sama.
Jadi untuk memperoleh nilai aproksimasi yang mendekati nilai eksak, interval
dibagi menjadi sub interval yang sangat kecil. Hal ini membutuhkan waktu yang
sangat lama, sehingga metode ini kurang efisien.
Untuk mengatasi masalah ini diciptakan metode yang lebih efisien yaitu
kuadratur adaptif. Kuadratur adaptif merupakan skema integrasi yang
menyesuaikan panjangnya sub interval pada perilaku lokal dari integrannya
(Conte dan Boor, 1992). Dalam mengevaluasi integrannya cukup dipilih sub
interval yang tepat dan ukurannya tidak harus sama, sehingga dapat
meminimalkan jumlah sub interval. Karena itulah metode kuadratur adaptif
memerlukan waktu yang lebih cepat untuk mengevaluasi nilai integral dan
memiliki nilai pendekatan yang baik terhadap nilai eksaknya. Pada makalah ini
dibahas mengenai metode integrasi dengan kuadratur adapatif berdasarkan kaidah
Simpson beserta contoh perhitungannya.
4
1.2.Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan, maka dapat dirumuskan
permasalahan sebagai berikut.
1. Bagaimana langkah-langkah integrasi numerik pada metode kuadratur
adaptif dengan kaidah Simpson?
2. Bagaimana penerapan kaidah kuadratur Adaptif dalam menyelesaikan
masalah integral?
1.3.Tujuan
Tujuan dalam makalah ini adalah sebagai berikut.
1. Mengetahui langkah-langkah integrasi numerik pada metode kuadratur
adaptif dengan kaidah Simpson.
2. Mengetahui penerapan kaidah kuadratur Adaptif dalam menyelesaikan
masalah integral.
5
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Deret
Definisi 1
Misalkan * + adalah barisan, maka ∑
adalah deret tak hingga.
Jumlahan parsial ke- adalah ∑ . Deret tak hingga dikatakan
konvergen jika dan hanya jika barisan * + konvergen ke limit , yaitu
∑
Jika deret tidak konvergen, maka disebut sebagai deret divergen.
(Mathews dan Fink, 1999)
Teorema 2 (Teorema Taylor)
Diasumsikan bahwa , - dan misalkan , -, maka untuk
setiap ( ), terdapat bilangan ( ) (nilai dari bergantung pada nilai )
yang terletak antara dan sedemikian sehingga
( ) ( ) ( )
di mana
( ) ∑ ( )( )
( )
dan
( ) ( )( )
( ) ( )
(Mathews dan Fink, 1999)
2.2. Interpolasi
Interpolasi merupakan metode menghasilkan titik-titik data baru dalam
suatu jangkauan dari suatu barisan diskret data-data yang diketahui.
Definisi 3
Andaikan . Misalkan , bilangn real berbeda, dan
bilangn real. Polinom didefisikan oleh
6
( ) ∑ ( )
dengan ( ), didefinisikan oleh
( ) ∏
ketika , dan ( ) ketika , disebut polinom interpolasi Lagrange
berderajat untuk himpunan dari titik-titik *( ) +. Bilangan ,
disebut titik-titik interpolasi.
(Suli dan Mayers, 2003)
Seringkali, bilangan real diberikan sebagai nilai dari fungsi bernilai real
yang didefinisikan pada interval tertutup , - di titik-titik interpolasi yang
berbeda , -, .
Definisi 4
Misalkan . Diberikan fungsi bernilai real , terdefinisi dan kontinu
pada interval tertutup , -, dan titik-titik interpolasi , -, ,
polinom didefinisikan oleh
( ) ∑ ( ) ( )
adalah polinom interpolasi Lagrange berderajat (dengan titik interpolasi ,
) untuk fungsi .
(Suli dan Mayers, 2003)
2.3. Integral
Dalam sub bab ini dijelaskan mengenai integral tak tentu, aturan pangkat
yang diperumum, integral tentu, integrasi numerik, dan teorema-teorema yang
berkaitan dengan integral.
2.3.1. Anti Turunan (Integral Tak Tentu)
Definisi 5
Kita sebut suatu anti turunan dari pada selang jika pada
yakni, jika ( ) ( ) untuk semua dalam . Jika suatu titik ujung dari ,
( ) hanya perlu berupa turunan satu sisi. (Purcell dan Varberg, 1990)
7
Teorema 6 (Aturan Pangkat).
Jika adalah sebarang bilangan rasional kecuali , maka
∫
(Purcell dan Varberg, 1990)
Bukti.
Untuk mengembangkan suatu hasil berbentuk
∫ ( ) ( )
cukup dengan membuktikan
, ( ) - ( ).
Dalam kasus ini,
0
1
( )
Teorema 7 (Kelinearan dari ∫ )
Andaikan dan mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan
andaikan suatu konstanta maka:
(i) ∫ ( ) ∫ ( ) ;
(ii) ∫, ( ) ( )- ∫ ( ) ∫ ( ) ; dan
(iii) ∫, ( ) ( )- ∫ ( ) ∫ ( ) .
(Purcell dan Varberg, 1990)
2.3.2. Aturan Pangkat yang Diperumum
Jika ( ) adalah suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan
adalah suatu bilangan rasional ( ), maka
*
+
atau dalam cara penulisan fungsional,
(, ( )-
) , ( )- ( )
Dari sini kita peroleh suatu aturan penting untuk integral tak tentu
(Purcell dan Varberg, 1990).
8
Teorema 8 (Aturan Pangkat yang Diperumum)
Andaikan suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan suatu bilangan
rasional yang bukan , maka
∫, ( )- ( ) , ( )-
(Purcell dan Varberg, 1990)
2.3.3. Integral Tentu
Definisi 9 (Integral Tentu)
Andaikan suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup , -.
Jika
| |
∑ ( )
ada, kita katakan terintegralkan pada , -. Lebih lanjut ∫ ( )
, disebut
integral tentu (integral Riemann) dari ke , diberikan oleh
∫ ( )
| |
∑ ( )
(Purcell dan Varberg, 1990)
Teorema 10 (Teorema Keterintegralan)
Jika terbatas pada , - dan kontinu pada interval tersebut kecuali
pada sejumlah terhingga titik, maka terintegralkan pada , -. Khususnya, jika
kontinu pada seluruh selang , -, maka terintegralkan pada , -.
(Purcell dan Varberg, 1990)
Teorema 11 (Teorema Dasar Kalkulus I)
Andaikan kontinu (karenanya terintegralkan) pada , - dan andaikan
sebarang anti turunan dari pada interval tersebut maka
∫ ( )
( ) ( )
(Purcell dan Varberg, 1990)
9
Bukti.
Andaikan adalah partisi
sebarang dari , -, diperoleh
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∑, ( ) ( )-
Menurut Teorema Nilai Rata-rata untuk turunan yang diterapkan pada pada
selang , -,
( ) ( ) ( ̅)( ) ( ̅)
untuk suatu pilihan ̅ dalam selang terbuka ( ). Jadi,
( ) ( ) ∑ ( ̅)
Pada ruas kiri kita mempunyai sebuah konstanta, sedangkan pada ruas kanan kita
mempunyai jumlah Riemann untuk pada , -. Bilamana kedua ruas diambil
limitnya untuk | | , diperoleh
( ) ( ) | |
∑ ( ̅)
∫ ( )
Teorema 12 (Kelinearan Integral Tentu)
Andaikan bahwa dan terintegralkan pada , - dan bahwa
konstanta, maka dan terintegralkan dan
(i) ∫ ( )
∫ ( )
,
(ii) ∫ , ( ) ( )- ∫ ( ) ∫ ( )
,
(iii) ∫ , ( ) ( )- ∫ ( ) ∫ ( )
.
(Purcell dan Varberg, 1990)
Teorema 13 (Teorema Nilai Rata-rata Integral)
Jika diasumsikan , -, maka terdapat bilangan , dengan
( ), sedemikian sehingga
∫ ( )
( )
10
Nilai ( ) adalah nilai rata-rata dari pada interval , -.
(Mathews dan Fink, 1999)
Teorema 14 (Teorema Nilai Rata-rata Integral Berbobot)
Diasumsikan , - dan ( ) untuk , -, maka terdapat
bilangan , dengan ( ), sedemikian sehingga
∫ ( ) ( )
( )∫ ( )
(Mathews dan Fink, 1999)
2.3.4. Integrasi Numerik
Misalkan fungsi bernilai real, terdefinisi, dan kontinu pada interval real
tertutup , -, dan andaikan kita menaksir integral
∫ ( )
Oleh karena polinom mudah diintegralkan, maka fungsi diaproksimasi oleh
polinom interpolasi Lagrange berderajat . Jadi
∫ ( )
∫ ( )
(2.2)
Untuk bilangan bulat , misalkan , , menotasikan titik-titik
interpolasi. Kita akan mengasumsikan bahwa terdapat jarak yang sama, yaitu
di mana
Polinom irterpolasi Lagrange berderajat untuk fungsi adalah
( ) ∑ ( ) ( )
di mana
( ) ∏
11
Selanjutanya, masukkan ke persamaan (2.2), diperoleh
∫ ( )
∑ ( ) ( )
(2.3)
di mana
( ) ∫ ( )
(2.4)
Kaidah kuadratur numerik (2.3) dengan bobot kuadratur (2.4) disebut rumus
Newton-Cotes dengan orde (Suli dan Mayers, 2003).
Jika kita ambil , sehingga , , maka polinom interpolasi
Lagrange berderajat untuk fungsi adalah
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
,( ) ( ) ( ) ( )-
Jika ( ) diintegralkan dari ke dan mengingat (2.2) diperoleh
∫ ( )
∫ ( )
( ( ) ( ))
Integrasi numerik ini disebut kaidah Trapesium (Suli dan Mayers, 2003).
Jika kita ambil , sehingga ,
, dan fungsi
diaproksimasi oleh polinom interpolasi kuadratik, maka diperoleh
∫ ( )
∫ ( )
( ( ) (
) ( ))
Integrasi numerik ini disebut kaidah Simpson (Suli dan Mayers, 2003).
2.4. Teorema Weierstrass
Teorema 15 (Teorema Aproksimasi Weierstrass)
Jika ( ) kontinu untuk dan maka terdapat polinom
( ) di mana
| ( ) ( )|
12
Bukti.
Dengan tidak mengurangi umumnya pembuktian, dimisalkan , -
, - dan ( ) ( ) Sebab, jika teorema ini telah dibuktikan untuk
keadaan ini, maka fungsi dengan
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))
adalah kontinu jika kontinu pada , -. Di sini ( ) ( ) . Jika dapat
didekati secara seragam oleh barisan suku banyak, maka demikian juga dengan ,
sebab suatu suku banyak yakni
( ) ( ) ( ( ) ( )) ( )
Selanjutnya dengan mendefinisikan ( ) bernilai nol untuk di luar selang
tertutup , -, dibentuk fungsi suku banyak dalam
( ) ( )
di mana dipilih sehingga
∫ ( )
(2.5)
Selanjutnya untuk berlaku ketidaksamaan Bernoulli
( )
yang dapat dibuktikan dengan induksi matematika, atau dengan mengambil
turunan fungsi
( ) ( )
di mana ( ) dan ( ) untuk , sehingga diperoleh
∫( )
∫( )
∫ ( )
√
∫ ( )
√
√
√
Dengan memperhatikan (2.5), diperoleh
13
∫( )
√
Jadi
√
Dengan demikian akan mengakibatkan bahwa untuk setiap berlaku
( ) √ ( ) | | (2.6)
Karena barisan √ ( ) konvergen ke nol, maka barisan fungsi ⟨ ⟩
konvergen seragam ke fungsi nol pada | |
Selanjutnya untuk dibentuk suku banyak dalam
∫ ( ) ( )
Karena ( ) untuk di , -, maka dengan mensubstitusi
diperoleh
( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( )
yang memperlihatkan bahwa ( ) suatu suku banyak derajat dalam , yang
real apabila fungsi real. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa seragam
pada , -. Diberikan Karena kontinu seragam pada , -, dan ( )
untuk , - maka kontinu seragam pada . Jadi terdapat sehingga
untuk | | berlaku
| ( ) ( )|
Misalkan | ( )|. Karena ( ) , mengingat (2.5) dan (2.6),
maka untuk , berlaku
| ( ) ( )| | ∫ ( ) ( )
( ) ∫ ( )
|
∫| ( ) ( )| ( )
14
∫ | ( ) ( )| ( )
∫| ( ) ( )| ( )
∫| ( ) ( )| ( )
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
∫√ ( )
∫ ( )
∫√ ( )
karena √ ( ) untuk , maka terdapat , sehingga untuk
berlaku
√ ( )
Jadi untuk semua dan semua , - berlaku
| ( ) ( )|
sehingga seragam pada , -.
(Soemantri, 2000)
15
BAB III
PEMBAHASAN
3.1 Kuadratur Adaptif dengan Kaidah Simpson
Kuadratur adaptif merupakan skema integrasi yang menyesuaikan panjang
sub interval pada perilaku lokal integrannya. Dalam pembahasan makalah ini
integrasi kuadratur adaptif berdasar pada kaidah Simpson. Kaidah Simpson pada
sub interval , - dirumuskan sebagai berikut.
( )
( ( ) ( ) ( )) (3.1)
di mana
( ) adalah pusat dari , - dan
( ).
Kesalahan pemenggalan pada persamaan (3.1) ditentukan dengan persamaan
berikut ini
( ) ∫ ( )
( ( ) ( ) ( )) (3.2)
Oleh karena
( ), maka dan . Selanjutnya,
( ), ( ), ( ) masing-masing diekspansikan ke dalam deret Taylor di sekitar
, sehingga diperoleh
2 3
' '' '''
4
4
2! 3!
4!
k k
k k k k k
k
k
x a x af x f a x a f a f a f a
x af a
(3.3)
2 3' '' '''
44
2! 3!
4!
k k k k k k
k
h hf c f a h f a hf a f a f a
hf a
(3.4)
(3.5)
2 3' '' '''
44
4 82 2
2! 3!
16.
4!
k k k k k k
k
h hf b f a h f a hf a f a f a
hf a
16
Persamaan (3.3), (3.4), dan (3.5) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.2),
sehingga diperoleh
2 3
2
1 4(4)
2 3 4(4)
2 3
( ) ( )( ) ( ) '( ) "( ) '"( )
2! 3!( , )
( )( )
4!
4( ) '( ) "( ) "'( ) ( )
3 2! 3! 4!
4 8( ) 2 '( ) "( ) "'
3 2! 3!
k
k
k ka h k k k k k
a kk
k k k k k
k k k
x a x af a x a f a f a f a
E h f dxx a
f a
h h h hf a hf a f a f a f a
h h hf a hf a f a f
4(4)16
( ) ( )4!
k k
ha f a
2 3
1 4 5(4)
42 3 (4)
(2 ) (2 )( 2 ) ( ) '( ) "( )
2 6( , ) ( ) 0
(2 ) (2 )"'( ) ( )
24 120
206 ( ) 6 '( ) 4 "( ) 2 "'( ) ( )
3 24
k k k k
k k
k k
k k k k k
h ha h f a f a f a
E h f a f ah h
f a f a
h hf a hf a h f a h f a f a
3 4 52 (4)
1
3 4 52 (4)
4 2 32( , ) 2 ( ) 2 '( ) "( ) "'( ) ( )
3 3 120
4 2 202 ( ) 2 '( ) "( ) "'( ) ( )
3 3 72
k k k k k
k k k k k
h h hE h f hf a h f a f a f a f a
h h hhf a h f a f a f a f a
5 5(4) (4)
1
32 20( , ) ( ) ( )
120 72k k
h hE h f f a f a
5 (4)
1
5 1
8 5( , ) ( )
30 18
(4)( ),
90
kE h f h f a
f dh
(3.6)
untuk , -. Jadi dapat disimpulkan, jika , -, maka terdapat
, - sedemikian sehingga
∫ ( )
( ) ( )( )
(3.7)
(Mathews dan Fink, 1999)
17
3.2. Perbaikan Kaidah Simpson
Untuk menggunakan kaidah Simpson gabungan yang menggunakan empat
sub interval pada interval , -, dapat dilakukan dengan membagi interval
tersebut menjadi dua sub interval yang sama yaitu , - dan , - dan
mengaplikasikannya ke dalam persamaan (3.1). Akibatnya ukuran langkah pada
kaidah Simpson gabungan adalah
, sehingga diperoleh
( ) ( )
( ( ) ( ) ( ))
( ( ) ( ) ( ))
(3.8)
di mana , , , adalah titik tengah dari
, -, dan adalah titik tengah dari , -. Persamaan untuk
menghitung nilai kesalahan pemenggalan pada persamaan (3.8) adalah sebagai
berikut
( ) ∫ ( )
( ( ) ( ) ( ))
( ( ) ( ) ( ))
(3.9)
Oleh karena
( ), maka
,
,
, dan . Selanjutnya, ( ), ( ), ( ),
( ), ( ), dan ( ) masing-masing diekspansikan ke dalam deret Taylor
di sekitar . Sebelumnya telah diperoleh ekspansi deret Taylor untuk ( ),
( ) ( ), ( ) ( ), dan ( ) ( ) yaitu seperti pada
persamaan (3.3), (3.4), dan (3.5). Sehingga ekspansi deret Taylor untuk ( )
dan ( ) adalah
( ) (
)
18
( )
( )
. /
( )
. /
( )
. /
( )( )
( ) (
)
( )
( )
. /
( )
. /
( )
. /
( )( )
Ekspansi deret Taylor ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), dan ( )
disubstitusikan ke dalam persamaan (3.9). Dengan cara yang sama seperti (3.6)
sehingga diperoleh kesalahan pemenggalan
1 1 1 2 2 22 ( , ) ( ) ( ( ) 4 ( ) ( )) ( ( ) 4 ( ) ( ))6 6
k
k
a h
k k k k k k
a
h hE h f f x dx f a f c f b f a f c f b
1
1 1 2 2 2
2 3
2 4 5(4)
(2 ) (2 )2 ( ) '( ) "( )
2 6( , ) ( ) 0 ( )
6(2 ) (2 )"'( ) ( )
24 120
2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 6 6 3 6
k k k k
k k k
k k
k k k k k
h ha h f a f a f a
hE h f a f a f a
h hf a f a
h h h h hf c f b f a f c f b
3 42
2 5(4)
2 3 4
(4)
4 22 ( ) 2 '( ) "( ) "'( )
3 3( , ) ( )
632( )
120
1 1 1
2 1 2 2 2( ) '( ) "( ) "'( ) ( )
3 2 2! 3! 4!
k k k k
k
k
k k k k k
h hhf a h f a f a f a
hE h f f a
hf a
h h hh
f a hf a f a f a f a
19
2 3 (4)(4)
2 3 (4)(4)
2 3 4
(4)
( ) '( ) "( ) "'( ) ( )6 2! 3! 4!
( ) '( ) "( ) "'( ) ( )6 2! 3! 4!
3 3 3
2 3 2 2 2( ) '( ) "( ) "'( ) (
3 2 2! 3! 4!
k k k k k
k k k k k
k k k k
h h h hf a hf a f a f a f a
h h h hf a hf a f a f a f a
h h hh
f a hf a f a f a f
)ka
3 4 5
2 (4)
2
3 4 5
2 (4)
4 2 32( , ) 2 ( ) 2 '( ) "( ) "'( ) ( )
3 3 120
4 2 772 ( ) 2 '( ) "( ) "'( ) ( )
3 3 288
k k k k k
k k k k k
h h hE h f hf a h f a f a f a f a
h h hhf a h f a f a f a f a
( )( )
( )( )
(
) ( )( )
(
) ( )( )
( )( )
untuk , -. Sehingga dapat disimpulkan bahwa, jika , -,
maka terdapat , - sedemikian sehingga
∫ ( )
( ) ( )
( )( )
(3.10)
Jika diasumsikan bahwa ( )( ) ( )( ), maka sisi sebelah kanan pada
persamaan (3.7) dan (3.10) digunakan untuk memperoleh hubungan sebagai
berikut
( ) ( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )
20
( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( ( ) ( )
( ))
(3.11)
Selanjutnya persamaan (3.11) disubstitusikan ke persamaan (3.10) untuk
memperoleh taksiran kesalahan dan hasilnya.
∫ ( )
( ) ( )
( )( )
∫ ( )
( ) ( )
(
( )( )
)
∫ ( )
( ) ( )
( ( ) ( )
( ))
| ∫ ( )
( ) ( )|
| ( ) ( )
( )|
(Mathews dan Fink, 1999)
Berdasarkan pada hasil di atas, apabila diasumsikan bahwa toleransi kesalahan
integral adalah pada interval , -. Jika
| ( ) ( ) ( )| (3.12)
maka dapat dikatakan bahwa
| ∫ ( )
( ) ( )|
Sehingga aproksimasi integral kuadratur adapatif berdasarkan kaidah Simpson
gabungan (3.8) pada interval , - adalah
21
∫ ( )
( ) ( )
dengan batas kesalahan (error) . Nilai aproksimasi akan mendekati nilai eksak
jika sangat kecil.
3.3. Algoritma Integral Kuadratur Adaptif dengan Kaidah Simpson
Langkah-langkah perhitungan integral numerik dengan metode kuadratur
adaptif yang diterapkan pada kaidah Simpson adalah sebagai yang pertama,
diketahui *, - +, di mana adalah toleransi untuk kuadratur numerik pada
, -. Interval diperhalus atau dibagi menjadi dua sub interval, yaitu , -
dan , -. Jika uji ketelitian pada (3.12) dipenuhi, maka persamaan kuadratur
(3.8) diterapkan pada , - dan dilakukan proses perhitungan. Jika uji pada
(3.12) gagal, maka interval , - menjadi dua sub interval yaitu , - dan
, - dengan toleransi masing-masing
dan
. Sehingga
diperoleh dua interval dengan toleransi yang berhubungan untuk pengujian
selanjutnya, *, - + dan *, - +, di mana . Jika kuadratur
adaptif harus dilanjutkan, interval yang lebih kecil harus diperhalus dan diuji,
masing-masing dengan toleransi yang berhubungan.
Langkah kedua yaitu, perhatikan *, - +. Perhalus interval , -
menjadi , - dan , -. Jika , - dan , - memenuhi uji
ketelitian (3.12) dengan toleransi maka persamaan kuadratur (3.8) diterapkan
pada , - dan ketelitian telah dicapai pada interval ini. Jika tidak memenuhi uji
ketelitian pada (3.12) dengan toleransi , maka masing-masing interval , -
dan , - harus diperhalus dan diuji pada langkah ketiga dengan mereduksi
toleransi menjadi
. Selanjutnya perhatikan interval *, - +. Perhalus
interval , - menjadi , - dan , -. Jika , - dan , -
memenuhi uji ketelitian pada (3.12) dengan toleransi maka persamaan
kuadratur (3.8) diterapkan pada , - dan ketelitian telah dicapai pada interval
ini. Jika tidak memenuhi uji ketelitian pada (3.12) dengan toleransi , maka
masing-masing interval , - dan , - harus diperhalus dan diuji pada
22
langkah ketiga dengan mereduksi toleransi menjadi
. Oleh karena itu, pada
langkah kedua diperoleh tiga atau empat interval, yang kita beri label kembali
dengan teratur. Tiga interval yang dihasilkan tersebut adalah
{*, - + *, - + *, - +}, di mana . Pada kasus
dengan empat interval, kita akan memperoleh
{*, - + *, - + *, - + *, - +}, di mana
. Jika kuadratur adaptif dilanjutkan, interval yang lebih kecil harus diuji,
masing-masing dengan toleransinya yang berhubungan.
Untuk secara ringkasnya, diberikan algoritma sebagai berikut:
1. Mulai {[ ] },
2. Perhalus menjadi sub interval [ ] dan [ ],
3. Uji ketelitian
| ( ) ( ) ( )|
i. Jika dipenuhi, ( ) ( ) diterima dan dilakukan
perhitungan berikutnya,
ii. Jika gagal, [ ] dibagi menjadi dua sub interval yaitu [ ] dan
[ ], sehingga {[ ] } dan {[ ] } di mana
dan
,
4. Lakukan langkah 2-3 pada masing-masing {[ ] } dan
{[ ] },
5. Ulangi sampai tidak ada interval yang gagal dalam uji ketelitian,
6. Aproksimasi nilai integralnya adalah
∑ ( ( ) ( ))
untuk ( ) ( ) yang diterima.
23
3.4. Penyelesaian Masalah Integral dengan Metode Kuadratur Adaptif
Contoh 1
Dengan menggunakan kuadratur adaptif, carilah aproksimasi terhadap integral
∫√
tepat sampai suatu kesalahan .
Jawab
Jika diselesaikan secara analitik, nilai integral tersebut adalah
∫√
|
Selanjutnya, digunakan kudratur adaptif untuk mendekati integral tersebut.
Pertama, kita terapkan rumus (3.1) dan (3.8) pada interval , -, diperoleh
( )
( )
( ( ) (
( )) ( ))
(√ √
√ )
Interval , - dibagi menjadi dua sub interval untuk diterapkan pada (3.8) yaitu
0
1 dan 0
1.
(
) (
)
( )
( ( ) (
(
)) (
))
( )
( (
) (
(
)) ( ))
(√ √
√
)
(√
√
√ )
24
Selanjutnya diuji ketelitiannya dengan toleransi .
| (
) (
) ( )|
Oleh karena uji ketelitiannya gagal, maka interval , - dibagi lagi menjadi dua
interval, diperoleh 0
1 dan 0
1. Kemudian terapkan interval 0
1 terlebih
dahulu pada persamaan (3.1) dan (3.8), diperoleh
(
)
.
/
( (
) (
(
)) ( ))
(√
√
√ )
Interval 0
1 dibagi menjadi dua sub interval untuk menerapkannya pada (3.8)
yaitu 0
1 dan 0
1.
(
) (
)
.
/
( (
) (
(
)) (
))
.
/
( (
) (
(
)) ( ))
(√
√
√
)
(√
√
√ )
Selanjutnya uji ketelitiannya dengan toleransi
( ) .
| (
) (
) (
)|
Oleh karena uji ketelitian dipenuhi, maka .
/ .
/ diterima dan
dilakukan proses perhitungan selanjutnya. Kemudian terapkan rumus (3.1) dan
(3.8) pada interval 0
1, diperoleh
25
(
)
.
/
( ( ) (
(
)) (
))
(√ √
√
)
Interval 0
1 dibagi menjadi dua sub interval untuk menerapkannya pada (3.8)
yaitu 0
1 dan 0
1.
(
) (
)
.
/
( ( ) (
(
)) (
))
.
/
( (
) (
(
)) (
))
(√ √
√
)
(√
√
√
)
Selanjutnya diuji ketelitiannya dengan toleransi
( ) .
| (
) (
) (
)|
Oleh karena uji ketelitiannya gagal, maka interval 0
1 dibagi lagi menjadi dua
interval, diperoleh 0
1 dan 0
1. Dengan cara yang sama dan menerapkan (3.1)
dan (3.8) pada interval 0
1, diperoleh
(
)
.
/
( (
) (
(
)) (
))
dan
(
) (
)
.
/
( (
) (
(
)) (
))
26
.
/
( (
) (
(
)) (
))
Selanjutnya diuji ketelitiannya dengan toleransi
( )
.
| (
) (
) (
)|
Oleh karena uji ketelitian dipenuhi, maka .
/ .
/ diterima dan
dilakukan proses perhitungan selanjutnya. Kemudian terapkan rumus (3.1) dan
(3.8) pada interval 0
1, diperoleh
(
)
.
/
( ( ) (
(
)) (
))
dan
(
) (
)
.
/
( ( ) (
(
)) (
))
.
/
( (
) (
(
)) (
))
Selanjutnya uji ketelitiannya dengan toleransi
( )
.
| (
) (
) (
)|
Oleh karena uji ketelitiannya gagal, maka interval 0
1 dibagi lagi menjadi dua
interval, diperoleh 0
1 dan 0
1. Kemudian terapkan rumus (3.1) dan (3.8) pada
interval 0
1, diperoleh
(
)
.
/
( (
) (
(
)) (
))
27
dan
(
) (
)
.
/
( (
) (
(
)) (
))
.
/
( (
) (
(
)) (
))
Selanjutnya uji ketelitiannya dengan toleransi
( )
.
| (
) (
) (
)|
Oleh karena uji ketelitian dipenuhi, maka .
/ .
/ diterima dan
dilakukan proses perhitungan selanjutnya. Dengan cara yang sama dan
menerapkan (3.1) dan (3.8) pada interval 0
1 diperoleh
(
)
.
/
( ( ) (
(
)) (
))
dan
(
) (
)
.
/
( ( ) (
(
)) (
))
.
/
( (
) (
(
)) (
))
Selanjutnya uji ketelitiannya dengan toleransi
( )
.
| (
) (
) (
)|
Oleh karena uji ketelitian dipenuhi, maka .
/ .
/ diterima. Jadi
diperoleh
28
∫√
( (
) (
)) ( (
) (
))
( (
) (
))
( (
) (
))
∫√
Karena nilai integral secara analitik diperoleh
, maka
|
|
Jadi aproksimasi terhadap memenuhi kriteria toleransi yang diinginkan.
Contoh 2
Tentukan nilai integral dari
∫
Jawab:
Jika diselesaikan secara analitik, nilai integral tersebut adalah
∫
∫
|
|
(
)
29
Jika menggunakan pendekatan numerik dengan metode kuadratur adaptif,
diperoleh hasil seperti pada tabel berikut ini.
Tabel 3.1
Toleransi awal Galat
92,0528505515 2,0528505515
89,4025127793 0,5974872207
89,7602698329 0,2397301671
89,7602706225 0,2397293775
89,7602710715 0,2397289285
Dari kasus diatas diperoleh bahwa hasil integrasi dengan kaidah kuadratur
adaptif menunjukkan hasil pendekatan yang baik, karena integral dievaluasi
dengan menyesuaikan perilaku lokal integrannya. Semakin krcil nilai toleransi
awalnya maka nilai galatnya semakin kecil, sehingga nilai aproksimasinya
semakin baik, hanya saja diperlukan iterasi yang lebih banyak lagi.
30
BAB IV
KESIMPULAN
Berdasarkan pada hasil dan pembahasan pada bab sebelumnya dapat
diperoleh beberapa kesimpulan, yaitu
1. Metode kuadratur adaptif merupakan skema integrasi numerik yang
perhitungannya menyesuaikan pada perilaku lokal dari integrannya.
Sehingga panjang sub interval pada metode kuadratur adaptif tidak selalu
sama tergantung pada integrannya.
2. Ketepatan metode ini bergantung pada nilai toleransi awal, semakin kecil
nilai toleransi awal, nilai aproksimasi mendekati nilai eksak, artinya
semakin baik nilai aproksimasinya
3. Metode kuadratur adaptif dengan kaidah simpson merupakan metode yang
sangat baik untuk mengaproksimasi nilai integral.
31
DAFTAR PUSTAKA
Conte, S.D. dan Boor, C.D. 1992. Dasar-dasar Analisis Numerik: Suatu
Pendekatan Algoritma. Erlangga. Jakarta.
Levy, D. 2010. Introduction to Numerical Analysis. Department of Mathematics
and Center Scientific Computation and Mathematical Modelling
(CSCMM) University of Maryland. United States.
Mathews, J.H. dan K.D. Fink. 1999. Numerical Method Using Matlab, Third
Edition. Prentice Hall. United States.
Munir, R. 2010. Metode Numerik. Informatika. Bandung.
Purcell, E.D. dan D. Varberg. 1990. Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid I
(Terjemahan, B. Kartasasmita). Erlangga. Jakarta.
Soemantri, R. 2000. Analisis Real I. Pusat Penerbitan Universitas Terbuka.
Jakarta.
Suli, E. dan D. Mayers. 2003. An Introduction to Numerical Analysis. Cambridge
University Press. Cambridge.
32
LAMPIRAN
Flow Chart
Mulai
*,𝑎 𝑏 - 𝜀 +
Bagi 2 sub interval [𝑎 𝑏 ]
dan [𝑎 𝑏 ], 𝜀
𝜀
𝐼 ∑ (𝑆(𝑎𝑘 𝑏𝑘 ) 𝑆(𝑎𝑘 𝑏𝑘 ))𝑁
𝑘
SELESAI
|𝑆(𝑎 𝑏 )
𝑆(𝑎 𝑏 ) 𝑆(𝑎 𝑏 )|
𝜀
NO
YES
33
Source Code Program (MATLAB)
function [I,err,iflg]=adpsim(a,b,tol,fun)
% implementasi adaptif kuadratur Simpson
% Masukkan integrand,fun.
% a,b :Batas integrasi,tol:toleransi eror absolute
% errest: estimasi error
% iflg: Modus pengembalian , memberikan jumlah
subinterval di mana
% jumlah maksimum ( levmax = 10 ) dari terbagi dua
diperlukan dan
% nilai diterima secara default. Semakin besar iflg,
kepercayaan semakin
% berkurang
% harus memiliki nilai yang dihitung, y.
% nofun: jumlah fungsi yang dievaluasi
% inisialisasi
I=0;iflg=0;jflg=0;err=0;levmax=20;
fsave=zeros(levmax,3);xsave=zeros(levmax,3);simp=zeros(
levmax);
a=input('a=');
b=input('b=');
tol=input('toleransi awal=');
%fun=@(x)sqrt(x); %integrand
fun=@(x)(sin(x))^2; %integrand
tol2=tol+10*eps;
tol1=tol2*15/(b-a);
x=a:(b-a)/4:b;
for j=1:5
f(j)=feval(fun,x(j));
end
level=1;
%level=0 berarti seluruh interval tertutup , maka
selesai
while level>0
for k=1:3
fsave(level,k)=f(k+2);
34
xsave(level,k)=x(k+2);
end
h=(x(5)-x(1))/4;
simp(level)=(h/3)*(f(3)+4*f(4)+f(5));
if jflg<=0
s1=2*(h/3)*(f(1)+4*f(3)+f(5));
end
sl=(h/3)*(f(1)+4*f(2)+f(3));
s2=sl+simp(level);
d=abs(s1-s2);
if d<=tol1*4*h
level=level-1;
jflg=0;
I=I+s2;
err=err+d/15;
if level<=0
fprintf('nilai integral= %.10f \n',I)
return
end
for j=1:3
jj=2*j-1;
f(jj)=fsave(level,j);
x(jj)=xsave(level,j);
end
else
level=level+1;
s1=sl;
if level <= levmax
jflg=1;
f(5)=f(3);f(3)=f(2);
35
x(5)=x(3);x(3)=x(2);
else
iflg=iflg+1;
level=level-1;
jflg=0;
I=I+s2;
err=err+d/15;
end
end
for k=1:2
kk=2*k;
x(kk)=.5*(x(kk+1)+x(kk-1));
f(kk)=feval(fun,x(kk));
end
end