Upload
others
View
20
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
INTEGRAL RIEMANN-DARBOUX
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh:
Maria Asepti Endarwati
NIM: 033114002
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2009
ii
RIEMANN-DARBOUX INTEGRAL
THESIS
Presented As a Partial Fulfillment of The Requirements
To Obtain The Sarjana Sains Degree
In Mathematics
By:
Maria Asepti Endarwati
Student Number: 033114002
MATHEMATICS STUDY PROGRAM
DEPARTEMENT OF MATEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
2009
v
PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini
tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yan telah disebutkan
dalam daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, Januari 2009
vi
Skripsi ini kupersembahkan kepada:
Orang Tuaku, dan adik-adikku tercinta,
Keluarga besarku, dosen-dosenku, dan sahabat-sahabatku.
Pabila cinta datang kepadamu, sambutlah,
Meski dibalik sayap-sayapnya yang lembut,
terdapat pisau tajam yang siap
menghunusmu..
(Khalil Jibran)
Ia membuat segala sesuatu indah pada waktunya …
(Pkh 3:11)
vii
ABSTRAK
Integral Riemann adalah suatu jenis integral yang disusun dengan menggunakan konsep partisi dan jumlah Riemann. Integral Riemann yang dimodifikasi menggunakan jumlah atas dan jumlah bawah dikenal sebagai Integral Darboux. Dalam skripsi ini akan dibahas mengenai Integral Riemann dan Integral Darboux, serta sifat-sifatnya. Khususnya akan diperlihatkan bahwa kedua jenis integral tersebut ekuivalen.
viii
ABSTRACT
Riemann integral is a kind of integral which is constructed using the concept of partition and Riemann summation. Modificated Riemann integral uses upper and lower sum, known as Darboux integral. This thesis discusses Riemann and Darboux integral and also their properties. Particularly, this thesis will show that those two kinds of integral are equivalent.
x
KATA PENGANTAR
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan syukur dan terima kasih
kepada Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat yang telah melimpahkan kepada
penulis dalam menyusun sampai selesainya penulisan skripsi ini.
Skripsi ini ditulis untuk memenuhi dan melengkapi persyaratan dalam
meraih gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika Universitas Sanata
Dharma Yogyakarta.
Penulis menyadari bahwa tanpa bantuan dari banyak pihak, penulis
tidak dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini. Oleh karena itu penulis
mengucapkan banyak terima kasih kepada:
1. Bapak Herry Pribawanto Suryawan, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing
yang telah meluangkan waktu, pikiran, dan dengan penuh kesabaran
membimbing penulis dalam menyusun skripsi ini.
2. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si, selaku Ketua Program Studi
Matematika Universitas Sanata Dharma.
3. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si, M.Si, selaku Dosen Pembimbing
Akademik angkatan 2003 yang dengan sabar mendampingi penulis selama
kuliah di USD.
4. Petugas Sekretariat FST, terutama Bapak Tukijo dan Ibu Linda yang telah
memberikan pelayanan administrasi dalam urusan perkuliahan kepada
penulis.
xi
5. Perpustakaan USD dan Staf/ Karyawan Perpustakaan USD yang telah
memberikan fasilitas dan kemudahan kepada penulis dalam mencari
informasi pendukung penyusunan skripsi ini.
6. Orang tuaku (Bapak Anjar dan Ibu Endah), adik-adikku (Agung dan
Chilli), sahabat-sahabatku (Mas Patup, Mas Deeon, Mbak Tika, Mas
Anto) yang tanpa henti memberi dukungan semangat dan doa sehingga
penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
7. Teman-teman angkatan 2003, Eko, Ridwan, Koko, Merry, Dewi, Mekar,
Anin, Anggi, Valent dan Ririn, yang bersama-sama menjalani kuliah di
USD dalam senang maupun susah.
8. Semua pihak yang telah membantu penulisan skripsi ini baik secara
langsung maupun tidak langsung yang tidak dapat penulis sebutkan satu
per satu.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangan dan
kelemahan. Oleh karena itu, penulis dengan besar hati menerima saran dan kritik
serta masukan yang dapat membuat skripsi ini menjadi lebih baik dan dapat
menambah pengetahuan para pembaca.
Yogyakarta, Februari 2009
Penulis
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL .......................................................................................... i
HALAMAN JUDUL (INGGRIS) ...................................................................... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................ iii
HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................ iv
PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN ......................................................... v
HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................ vi
ABSTRAK ......................................................................................................... vii
ABSTRACT ....................................................................................................... viii
PERNYATAAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ............................................ ix
KATA PENGANTAR ....................................................................................... x
DAFTAR ISI ...................................................................................................... xii
BAB I PENDAHULUAN
1. Latar Belakang ...................................................................................... 1
2. Perumusan Masalah .............................................................................. 1
3. Tujuan Penulisan ................................................................................... 2
4. Pembatasan Masalah ............................................................................. 2
5. Metode Penulisan .................................................................................. 2
6. Manfaat Penulisan ................................................................................. 3
7. Sistematika Penulisan ............................................................................ 3
BAB II SISTEM BILANGAN REAL DAN FUNGSI REAL
1. Sistem Bilangan Real ............................................................................ 5
xiii
2. Barisan dan Limit Barisan Bilangan Real ............................................. 14
3. Limit Fungsi .......................................................................................... 20
4. Fungsi Kontinu ...................................................................................... 23
5. Turunan ................................................................................................. 27
BAB III INTEGRAL DARBOUX
1. Integral Darboux ................................................................................... 32
2. Partisi Penghalus ................................................................................... 44
3. Teorema Darboux ................................................................................. 48
4. Syarat Terintegral Darboux ................................................................... 50
5. Integral dari Jumlah dan Selisih dari Fungsi Terintegral Darboux ........ 57
BAB IV INTEGRAL RIEMANN
1. Integral Riemann dan Hubungannya dengan Integral Darboux ............. 75
2. Fungsi-fungsi Terintegral Riemann ...................................................... 86
3. Integral dan Turunan ............................................................................. 94
4. Teorema Fundamental Kalkulus ........................................................... 96
5. Teorema Nilai Rata-rata dari Kalkulus Integral .................................... 103
6. Pengintegralan Parsial ........................................................................... 106
7. Mengubah Variabel dalam Integral Riemann ....................................... 110
8. Teorema Nilai Rata-rata Kedua ............................................................ 113
BAB V PENUTUP
1. Kesimpulan ........................................................................................... 123
2. Saran ...................................................................................................... 124
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 125
BAB I
PENDAHULUAN
1. Latar Belakang Masalah
Salah satu konsep penting dalam analisis adalah teori integral. Telah
banyak jenis integral yang berkembang dalam analisis. Salah satu jenis integral
yang cukup populer adalah integral Riemann. Integral Riemann tidak hanya
digunakan dalam bidang matematika saja tetapi juga digunakan dalam bidang-
bidang lainnya, terutama dalam fisika dan ilmu keteknikan.
Sebelum adanya integral Riemann, I. Newton (1642-1727) menyusun
salah satu teori integral berdasarkan kalkulus, khususnya menggunakan anti
derivatif. Kemudian barulah G. F. B. Riemann (1826-1866), pada tahun 1854,
menyusun teori integral dengan cara lain, yaitu menggunakan partisi dan jumlah
Riemann. Pada tahun 1875, integral Riemann dimodifikasi oleh I. G. Darboux
(1842-1917) dengan menggunakan jumlah atas dan jumlah bawah.
Oleh karena itu, dalam skripsi ini akan membahas bagaimana pendekatan
integral Riemann menggunakan integral Darboux dan akan diperlihatkan bahwa
pada garis real R integral Darboux ekuivalen dengan integral Riemann.
2. Perumusan Masalah
Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah:
1. Apakah definisi dan sifat-sifat integral Darboux di R ?
2. Apakah definisi dan sifat-sifat integral Riemann di R ?
2
3. Bagaimana hubungan antara integral Riemann di R dan integral Darboux
di R ?
3. Tujuan Penulisan
Penulisan skripsi ini bertujuan untuk memenuhi salah satu
persyaratan untuk memperoleh gelar Sarjana Sains dalam bidang Matematika.
Selain itu, skripsi ini bertujuan untuk:
1. Mengetahui definisi dan sifat-sifat integral Darboux di R.
2. Mengetahui definisi dan sifat-sifat integral Riemann di R.
3. Mengetahui bagaimana hubungan integral Riemann di R dan integral
Darboux di R.
4. Pembatasan Masalah
Dalam skripsi ini, masalah yang akan dibahas hanyalah mengenai
integral Riemann di R dan integral Darboux di R serta hubungan keduanya.
Khususnya hanya dibahas fungsi-fungsi yang terdefinisi pada interval tertutup
terbatas di R.
5. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan dalam skripsi ini adalah metode
studi pustaka, yaitu dengan menggunakan buku-buku atau sumber-sumber yang
lain yang sudah tersedia sehingga tidak ditemukan hal yang baru.
3
6. Manfaat Penulisan
Manfaat yang dapat diambil dari penulisan skripsi ini adalah
memahami konsep integral Riemann di R dan integral Darboux di R serta
hubungan keduanya. Selanjutnya, diharapkan nantinya dapat digunakan untuk
pengembangan teori di bidang analisis real maupun bidang-bidang yang lain.
7. Sistematika Penulisan
Sistematika yang akan digunakan dalam skripsi ini adalah:
I. PENDAHULUAN
1. Latar Belakang
2. Perumusan Masalah
3. Tujuan Penulisan
4. Pembatasan Masalah
5. Metode Penulisan
6. Manfaat Penulisan
7. Sistematika Penulisan
II. SISTEM BILANGAN REAL DAN FUNGSI REAL
1. Sistem Bilangan Real
2. Barisan dan Limit Barisan Bilangan Real
3. Limit Fungsi
4. Fungsi Kontinu
5. Turunan
III. INTEGRAL DARBOUX
4
1. Integral Darboux
2. Partisi Penghalus
3. Teorema Darboux
4. Syarat Terintegral Darboux
5. Integral dari Jumlah dan Selisih dari Fungsi Terintegral Darboux
IV. INTEGRAL RIEMANN
1. Integral Riemann dan Hubungannya dengan Integral Darboux
2. Fungsi-fungsi Terintegral Riemann
3. Integral dan Turunan
4. Teorema Fundamental Kalkulus
5. Teorema Nilai Rata-rata dari Kalkulus Integral
6. Pengintegralan Parsial
7. Mengubah Variabel dalam Integral Riemann
8. Teorema Nilai Rata-rata Kedua
V. PENUTUP
1. Kesimpulan
2. Saran
DAFTAR PUSTAKA
BAB II
SISTEM BILANGAN REAL DAN FUNGSI REAL
Dalam bab ini akan dibahas materi-materi yang akan digunakan sebagai
landasan dalam pembahasan bab-bab selanjutnya. Materi-materi tersebut antara
lain: sistem bilangan real R, barisan bilangan real, limit fungsi real dan fungsi
kontinu, serta turunan fungsi real.
1. Sistem Bilangan Real R
Dalam subbab ini akan dipaparkan tentang himpunan bilangan real R serta sifat-
sifatnya. Sistem bilangan real R ternyata dibentuk dari sistem bilangan yang lebih
sederhana, antara lain sistem bilangan asli N { }K,4,3,2,1= yang anggotanya
disebut bilangan asli (positive integer), sistem bilangan cacah N0 { }K,4,3,2,1,0=
yang anggotanya disebut bilangan cacah (counting number), sistem bilangan bulat
Z { }KL ,3,2,1,0,1,2,3, −−−= yang anggotanya disebut bilangan bulat (integer),
dan sistem bilangan rasional Q⎩⎨⎧ ∈= nm
nm ,: Z dan 0≠n
⎭⎬⎫
yang anggotanya
disebut bilangan rasional atau pecahan.
Definisi 2. 1. 1.
Pada sistem bilangan real R untuk setiap pasangan terurut ∈ba, R, terdefinisi
elemen ba + dan ab dari R berturut-turut disebut penjumlahan dan perkalian
dari a dan b, dan memenuhi aksioma-aksioma di bawah ini:
6
1. ∈ba, R maka ∈+ ba R ( Tertutup pada penjumlahan )
2. abba +=+ , untuk semua ∈ba, R (Sifat komutatif terhadap
penjumlahan)
3. ( ) ( )cbacba ++=++ , untuk semua ∈cba ,, R ( Sifat asosiatif terhadap
penjumlahan )
4. terdapat elemen tunggal ∈0 R sehingga aaa =+=+ 00 , untuk semua
∈a R ( Elemen identitas untuk penjumlahan )
5. untuk masing-masing ∈a R terdapat elemen tunggal ∈− a R sehingga
( ) ( ) 0=+−=−+ aaaa (Elemen invers untuk penjumlahan )
6. ∈ba, R maka ∈ab R ( Tertutup pada perkalian )
7. baab = , untuk semua ∈ba, R ( Sifat komutatif terhadap perkalian )
8. ( ) ( )bcacab = , untuk semua ∈cba ,, R ( Sifat asosiatif terhadap perkalian )
9. terdapat elemen tunggal ∈1 R sehingga aaa == 11 untuk semua ∈a R
(Elemen identitas untuk perkalian)
10. untuk setiap ∈≠ aa ,0 R terdapat elemen tunggal ∈−1a R sehingga
11 =−aa ( Elemen invers untuk perkalian )
11. ( ) bcaccba +=+ , untuk semua ∈cba ,, R ( Sifat distributif )
Definisi 2. 1. 2.
Diberikan himpunan bilangan real R. Terdapat himpunan bagian tak kosong P
dari R, yang disebut himpunan dari bilangan real positif, yang memenuhi:
1. jika ∈ba, P maka ∈+ ba P
7
2. jika ∈ba, P maka ∈ab P
3. jika ∈a R maka tepat satu yang terpenuhi dari:
∈a P, 0=a , ∈− a P ( Sifat trikotomi )
Definisi 2. 1. 3.
Misal ∈ba, R.
a. Jika ∈− ba P, maka dapat ditulis ba > atau ab < .
b. Jika ∈− ba P { }0∪ , maka dapat ditulis ba ≥ atau ab ≤ .
Teorema 2. 1. 5.
Jika ∈cba ,, R, maka berlaku
a. jika ba < dan cb < , maka ca <
b. ba < maka cbca +<+
c. ba < dan 0>c , maka cbca <
d. ba < dan 0<c , maka cbca >
Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 2.1.7.
Teorema 2. 1. 4.
a. Jika ∈a R, dan 0≠a , maka 02 >a .
b. 01 >
c. Jika ∈n N, maka 0>n .
Bukti.
8
Lihat Bartle[1], Teorema 2.1.8.
Teorema 2. 1. 5.
Jika ∈a R dan ε<≤ a0 , untuk setiap 0>ε , maka 0=a .
Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 2.1.9.
Teorema 2. 1. 6.
Jika 0>ab , maka berlaku
a. 0>a dan 0>b , atau
b. 0<a dan. 0<b .
Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 2.1.10.
Akibat 2. 1. 7.
Jika 0<ab , maka berlaku
a. 0<a dan 0>b , atau
b. 0>a dan. 0<b .
Bukti.
Lihat Bartle[1], Akibat 2.1.11.
Definisi 2. 1. 8.
Nilai mutlak atau modulus dari bilangan real x, yang disimbolkan dengan x ,
9
didefinisikan sebagai
⎩⎨⎧
<−≥
=.0jika,
0jika,xxxx
x
Teorema 2. 1. 9.
Jika ∈yx, R, maka
1. 222 xxx −==
2. yxxy ⋅=
3. ,yx
yx
= dengan 0≠y
Bukti.
Lihat Malik[4], Teorema 6, halaman 28.
Teorema 2. 1. 10. (Ketidaksamaan Segitiga)
Untuk semua ∈yx, R, berlaku
1. yxyx +≤+ , dan
2. yxyx −≥− .
Bukti.
Lihat Malik[4], Teorema 7, halaman 29.
Definisi 2. 1. 11.
Jarak antara bilangan a dan b dalam bilangan real R didefinisikan sebagai
10
ba − .
Misal ∈a R dan 0>ε . Persekitaran ε dari a adalah himpunan
( ) { }ε<−∈= axxaV :R .
Teorema 2. 1. 12.
Diberikan R∈a . Jika x berada pada persekitaran ( )aV untuk setiap 0>ε , maka
ax = .
Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 2.2.8.
Definisi 2. 1. 13.
Himpunan bagian tak kosong A dari R dikatakan:
1. Terbatas ke atas jika terdapat elemen ∈K R sehingga
Kx ≤ , untuk semua Ax∈ .
Elemen K tersebut merupakan batas atas dari A.
2. Terbatas ke bawah jika terdapat elemen ∈k R sehingga
kx ≥ , untuk semua Ax∈ .
Elemen k tersebut merupakan batas bawah dari A.
3. Terbatas jika terbatas ke atas dan terbatas ke bawah.
4. Tidak terbatas jika tidak terbatas ke atas atau tidak terbatas ke bawah.
Definisi 2. 1. 14.
Misal A adalah himpunan bagian tak kosong dari R. Himpunan A mempunyai
11
batas atas terkecil ( supremum ) di R dan ditulis
AM sup= ,
jika terdapat elemen ∈M R sehingga
a. M adalah batas atas untuk A, yaitu Mx ≤ , untuk semua Ax∈ ,
b. Tidak ada batas atas yang lebih kecil dari M, yaitu
Jika MM <′ , maka terdapat Ax∈ sehingga Mx ′> ,
Atau dengan kontrapositifnya,
Jika M ′ adalah batas atas untuk A, maka MM ′≤ .
Lemma 2. 1. 15.
Batas atas u dari suatu himpunan tak kosong S dari R dikatakan supremum jika
dan hanya jika untuk setiap 0>ε terdapat Ss ∈ε sehingga εε su <− .
Bukti.
Lihat Bartle[1], Lemma 2.3.4.
Definisi 2. 1. 16.
Misal A adalah himpunan bagian tak kosong dari R. Himpunan A mempunyai
batas bawah terbesar ( infimum ) di R dan ditulis
Am inf= ,
jika terdapat elemen ∈m R sehingga
a. m adalah batas bawah dari A, yaitu xm ≤ , untuk semua Ax∈ ,
b. tidak ada batas bawah yang lebih besar dari m, yaitu
jika m′ adalah batas bawah dari A, maka mm ≤′ .
12
Lemma 2. 1. 17.
Batas bawah v dari suatu himpunan tak kosong S dari R dikatakan infimum jika
dan hanya jika untuk setiap 0>ε terdapat Sb ∈ε sehingga εε bu >− .
Bukti.
Lihat Bartle[1], Lemma 2.3.4.
Definisi 2. 1. 18.
Setiap himpunan real R disebut lengkap jika setiap himpunan bagian tak kosong
yang terbatas ke atas mempunyai batas atas terkecil (supremum) pada R.
Sejalan dengan hal di atas, dapat juga disebut lengkap jika himpunan bagian tak
kosong yang terbatas ke bawah mempunyai batas bawah terbesar (infimum).
Teorema 2. 1. 19.
a. Misal S adalah himpunan bagian tak kosong dari R yang terbatas ke atas,
dan ∈a R, maka
( ) SaSa supsup +=+ .
b. Misal A dan B adalah himpunan bagian tak kosong dari R yang memenuhi:
ba ≤ , untuk semua Aa∈ dan Bb∈
maka
BA infsup ≤ .
c. Misal f dan g adalah fungsi bernilai real yang terbatas dengan domainnya
⊆D R.
i) Jika ( ) ( )xgxf ≤ , untuk semua Dx∈ , maka
13
( ) ( )xgxfDxDx ∈∈
≤ supsup .
ii) Jika ( ) ( )ygxf ≤ , untuk semua Dyx ∈, , maka
( ) ( )ygxfDyDx ∈∈
≤ infsup .
Bukti.
Lihat Bartle[1], Contoh 2.4.1. dan Contoh 2.4.2.
Teorema 2. 1. 20.
Himpunan ⊂A R disebut Archimedean jika untuk setiap Ax∈ , maka terdapat
bilangan ∈xn N sehingga xnx < .
Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 2.4.3.
Teorema 2. 1. 21. (Teorema Kepadatan)
Jika x dan y adalah sebarang bilangan real dengan yx < , maka terdapat bilangan
rasional Q∈r sehingga yrx << .
Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 2.4.8.
Teorema 2. 1. 22.
Jika x dan y adalah sebarang bilangan real dengan yx < , maka terdapat bilangan
irasional Q∈z sehingga yzx << .
Bukti.
14
Lihat Bartle[1], Teorema 2.4.9.
2. Barisan dan Limit Barisan Bilangan Real
Dalam subbab ini akan dipaparkan tentang barisan bilangan real dan limit barisan
beserta sifat-sifatnya yang akan digunakan pada bab selanjutnya.
Definisi 2. 2. 1.
Barisan bilangan real { }nS adalah fungsi yang terdefinisi pada himpunan
bilangan asli N dan daerah hasilnya (range) termuat dalam himpunan bilangan
real R. dan disimbolkan dengan :S N→R.
Contoh 2. 2. 2.
a. Jika ∈b R, barisan { } { }K,,, bbbbn = yang anggotanya adalah bilangan b
semua, biasa disebut barisan konstanta b.
b. Barisan Fibonacci { }nf , barisan didefinisikan sebagai berikut:
( )2,;1;1 1121 ≥+=== −+ nfffff nnn .
Definisi 2. 2. 3.
Barisan { }nS dikatakan konvergen ke bilangan real ∈l R atau l adalah limit dari
{ }nS jika untuk setiap 0>ε , terdapat bilangan bulat 0>m sehingga
ε<− lSn , untuk semua mn ≥ .
15
Barisan yang mempunyai limit disebut barisan konvergen dan jika tidak
mempunyai limit atau tidak konvergen disebut divergen.
Definisi 2. 2. 4.
Barisan { }nS dikatakan terbatas jika terdapat bilangan real 0>K sehingga
KSn ≤ , untuk semua ∈n N.
Teorema 2. 2. 5.
Setiap barisan real yang konvergen pasti terbatas.
Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 3.2.2.
Teorema 2. 2. 6.
a. Jika { }nX dan { }nY adalah dua barisan yang berturut-turut konvergen ke x
dan y, dan misal R∈c , maka barisan { }nn YX + , { }nn YX − , { }nnYX , dan
{ }ncX berturut-turut konvergen ke xyyxyx ,, −+ dan cx .
b. Jika { }nX konvergen ke x dan { }nZ adalah barisan bilangan real tak nol
yang konvergen ke z dan jika 0≠z , maka barisan ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
n
n
ZX
konvergen ke
zx .
Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 3.2.3.
16
Teorema 2. 2. 7.
Jika { }nX adalah barisan bilangan real yang konvergen ke x dan jika 0≥nX ,
untuk semua N∈n , maka { } 0lim ≥= nXx .
Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 3.2.4.
Teorema 2. 2. 8.
Jika { }nX dan { }nY adalah dua barisan yang konvergen dan nn YX ≤ , untuk
semua N∈n , maka
{ } { }nn YX limlim ≤ .
Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 3.2.5.
Teorema 2. 2. 9.
Misalkan { }nX , { }nY , dan { }nZ adalah barisan bilangan real dengan
nnn ZYX ≤≤ , untuk semua N∈n ,
dan { } { }nn ZX limlim = , maka { }nY konvergen dan
{ } { } { }nnn ZYX limlimlim == .
Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 3.2.7.
17
Teorema 2. 2. 10.
Misal barisan { }nS konvergen ke s, maka barisan nilai mutlak { }nS konvergen
ke s . Dengan kata lain jika { }nSs lim= , maka { }nSs lim= .
Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 3.2.9.
Definisi 2. 2. 11.
Misal { }nS adalah barisan bilangan real. Barisan { }nS dikatakan monoton naik
jika memenuhi ketidaksamaan
LL ≤≤≤≤≤≤ +1321 nn SSSSS .
Barisan { }nS dikatakan monoton turun jika memenuhi ketidaksamaan
LL ≥≥≥≥≥≥ +1321 nn SSSSS ..
Barisan { }nS dikatakan monoton jika barisan itu monoton naik ataupun monoton
turun.
Teorema 2. 2. 12.
Barisan bilangan real yang monoton akan konvergen jika dan hanya jika barisan
itu terbatas. Lebih lanjut:
a. Jika { }nS adalah barisan naik terbatas , maka
{ } { }N∈= nSS nn :suplim .
b. Jika { }nS adalah barisan turun terbatas , maka
18
{ } { }N∈= nSS nn :inflim .
Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 3.3.2.
Definisi 2. 2. 13.
Misal { }nS adalah barisan bilangan real dan LL <<<<< knnnn 21 adalah
barisan naik tegas dari bilangan asli. Barisan { }knS yang didefinisikan dengan
{ }LK ,,,,21 knnn SSS
disebut dengan subbarisan dari { }nS .
Teorema 2. .2. 14.
Jika barisan { }nS konvergen ke bilangan real s, maka sebarang subbarisan { }knS
juga konvergen ke s.
Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 3.4.2.
Teorema 2. 2. 15.
Diberikan barisan bilangan real { }nS . Pernyataan di bawah ini saling ekuivalen:
a. Barisan { }nS tidak konvergen ke R∈x .
b. Terdapat bilangan 00 >ε sehingga untuk sebarang N∈k , terdapat
N∈kn sehingga knk ≥ dan 0εsSkn ≥− .
19
c. Terdapat bilangan 00 >ε dan subbarisan { }knS sehingga 0εsS
kn ≥−
untuk semua N∈k .
Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 3.4.4.
Definisi 2. 2. 16.
Jika barisan bilangan real { }nS memenuhi salah satu pernyataan di bawah ini,
maka { }nS divergen.
a. { }nS mempunyai dua subbarisan { }knS dan { }
krS yang konvergen tetapi
limitnya tidak sama.
b. { }nS tak terbatas.
Teorema 2. 2. 17.
Jika { }nS adalah barisan bilangan real, maka terdapat subbarisan dari { }nS yang
monoton.
Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 3.4.7.
Definisi 2. 2. 18.
Barisan { }nS dikatakan barisan Cauchy atau barisan fundamental jika untuk
setiap 0>ε , terdapat bilangan real N∈H sehingga
ε<− nm SS , untuk semua Hnm ≥, .
20
Teorema 2. 2. 19. (Kriteria Cauchy)
Barisan bilangan real konvergen jika dan hanya jika barisan tersebut adalah
barisan Cauchy.
Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 3.5.5.
3. Limit Fungsi
Pada subbab ini akan dipaparkan tentang limit pada fungsi bilangan real.
Definisi 2. 3. 1.
Fungsi f dikatakan mendekati limit l untuk x mendekati c jika untuk setiap 0>ε
terdapat 0>δ sehingga untuk δ<−< cx0 mengakibatkan ( ) ε<− lxf , dan
ditulis
( ) lxfcx
=→
lim .
Definisi 2. 3. 2.
Diberikan fungsi f.
Jika fungsi f mendekati limit l untuk x mendekati c dari sisi kiri disebut limit kiri
dari f pada c, dan ditulis
( ) lxfcx
=−→
lim ,
jika diberikan 0>ε terdapat 0>δ sehingga untuk δ<−< xc0 mengakibatkan
( ) ε<− lxf .
21
Jika fungsi f mendekati limit l untuk x mendekati c dari sisi kanan disebut limit
kanan dari f pada c, dan ditulis
( ) lxfcx
=+→
lim ,
jika diberikan 0>ε terdapat 0>δ sehingga untuk δ<−< cx0 mengakibatkan
( ) ε<− lxf .
Teorema 2. 3. 3.
Fungsi f dikatakan mempunyai limit pada titik c jika dan hanya jika limit kanan
dan limit kiri pada titik c ada dan nilai keduanya sama, atau ditulis
( ) lxfcx
=→
lim jika dan hanya jika ( ) lxfcx
=−→
lim ( )xfcx +→
= lim .
Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 4.3.2.
Definisi 2. 3. 4.
Jika fungsi f mempunyai limit l pada titik c, maka dapat dikatakan bahwa f
konvergen ke l pada c, dan jika f tidak mempunyai limit pada titik c, maka dapat
dikatakan f divergen pada titik c.
Teorema 2. 3. 5.
Jika f dan g adalah fungsi yang terdefinisi pada daerah sekitar titik c sehingga
( ) lxfcx
=→
lim dan ( ) mxgcx
=→
lim ,
maka
22
a. ( )( ) ( ) ( ) mlxgxfxgfcxcxcx
±=±=±→→→
limlimlim ,
b. ( )( ) ( ) ( ) lmxgxfxfgcxcxcx
=⋅=→→→
limlimlim ,
c. ( )( )( ) m
lxg
xfx
gf
cx
cx
cx==⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
→
→
→ lim
limlim , jika 0≠m .
Bukti:
Lihat Malik[4], Teorema 1, halaman 158.
Teorema 2. 3. 6. (Kriteria Cauchy untuk Limit berhingga)
Fungsi f mendekati limit berhingga untuk x mendekati c jika dan hanya jika untuk
setiap 0>ε terdapat persekitaran N dari c sehingga
( ) ( ) ε<′′−′ xfxf , untuk semua cxxNxx ≠′′′∈′′′ ,;, .
Bukti:
Lihat Malik[4], Teorema 2, halaman 164.
Teorema 2. 3. 7.
Jika f mempunyai titik limit ∈c R, maka f terbatas pada persekitaran titik c.
Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 4.2.2.
Definisi 2. 3. 8.
Diberikan fungsi f dan titik ⊆∈ Ic R.
Fungsi f dikatakan mendekati ke ∞ untuk cx → , dan ditulis
23
∞=→
fcx
lim ,
jika untuk setiap ∈α R terdapat 0>δ sehingga untuk semua Ix∈ dengan
δ0 <−< cx , maka ( ) α>xf .
Fungsi f dikatakan mendekati ke -∞ untuk cx → , dan ditulis
−∞=→
fcx
lim ,
jika untuk setiap ∈β R terdapat 0>δ sehingga untuk semua Ix∈ dengan
δ0 <−< cx , maka ( ) β<xf .
Definisi 2. 3. 9.
Fungsi f dikatakan mendekati l untuk ∞→x , dan ditulis
lfx
=∞→
lim atau ( ) lxfx
=∞→
lim ,
jika diberikan sebarang 0>ε akan terdapat 0>K sehingga untuk sebarang
Kx > berlaku ( ) ε<− lxf .
4. Fungsi Kontinu
Dalam subbab ini akan dipaparkan tentang fungsi bilangan real yang kontinu
beserta sifat-sifatnya.
Definisi 2. 4. 1.
Fungsi f dikatakan kontinu pada titik c dengan bca << , jika
( ) ( )cfxfcx
=→
lim ,
24
dengan kata lain, fungsi f kontinu pada titik c jika untuk setiap 0>ε terdapat
0>δ sehingga
( ) ( ) ε<− cfxf , di mana δ<− cx .
Definisi 2. 4. 2.
Fungsi f dikatakan kontinu pada interval tertutup [ ]ba, jika f kontinu pada setiap
titik pada interval tersebut.
Fungsi f dikatakan diskontinu pada titik c jika f tidak kontinu pada titik tersebut,
dan titik c disebut sebagai titik diskontinuitas dari fungsi f.
Teorema 2. 4. 3.
Jika fungsi f dan g adalah dua fungsi yang kontinu pada titik c dan d adalah
sebarang bilangan real, maka fungsi dffggfgf ,,, −+ juga kontinu pada titik c
dan jika ( ) 0≠cg , maka fungsi gf juga kontinu pada titik c.
Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 5.2.2.
Teorema 2. 4. 4.
Fungsi f yang terdefinisi pada interval I kontinu pada titik Ic∈ jika dan hanya
jika untuk setiap barisan { }nc pada I yang konvergen ke c, didapat
( ) ( )cfcf nn=
∞→lim .
Bukti:
25
Lihat Malik[4], Teorema 4, halaman 167.
Definisi 2. 4. 5.
Fungsi f dikatakan terbatas pada interval tertutup [ ]ba, jika terdapat konstanta
0>M sehingga
( ) Mxf ≤ , untuk semua [ ]bax ,∈ .
Teorema 2. 4. 6. (Teorema Keterbatasan)
Jika fungsi f kontinu pada interval tertutup [ ]ba, , maka f terbatas pada interval
tersebut.
Bukti:
Lihat Malik[4], Teorema 5, halaman 174.
Teorema 2. 4. 7. (Teorema Lokasi Akar)
Jika fungsi f kontinu pada interval tertutup [ ]ba, dan jika ( ) ( )bfaf << 0 , atau
jika ( ) ( )bfaf >> 0 , maka terdapat bilangan ( )ba,∈α sehingga ( ) 0=αf .
Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 5.3.5.
Teorema 2. 4. 8. (Teorema Nilai Tengah)
Jika fungsi f kontinu pada [ ]ba, dan ( ) ( )bfaf ≠ , maka fungsi f mencapai semua
nilai di antara ( )af dan ( )bf .
26
Bukti:
Lihat Malik[4], Teorema 9, halaman 177-178.
Akibat 2. 4. 9. (Teorema Nilai Ektrim)
Jika fungsi f kontinu pada interval tertutup [ ]ba, , maka fungsi f mencapai semua
nilai di antara batas-batasnya.
Bukti:
Lihat Malik[4], Akibat, halaman 178.
Teorema 2. 4. 10. (Teorema Titik Tetap)
Jika fungsi f kontinu pada [ ]ba, dan ( ) [ ]baxf ,∈ , untuk setiap [ ]bax ,∈ , maka f
mempunyai titik tetap, yaitu terdapat titik [ ]bac ,∈ sehingga ( ) ccf = .
Bukti:
Lihat Malik[4], Teorema 10, halaman 178-179.
Definisi 2. 4. 11.
Fungsi f terdefinisi pada [ ]ba, dikatakan memenuhi sifat nilai menengah pada
[ ]ba, jika untuk setiap [ ]baxx ,, 21 ∈ dengan 21 xx < dan untuk setiap A yang
berada di antara ( )1xf dan ( )2xf memuat titik ( )21 , xxc∈ dengan ( ) Acf = .
Definisi 2. 4. 12.
Fungsi f yang terdefinisi pada interval I dikatakan kontinu seragam pada I jika
untuk setiap 0>ε terdapat 0>δ sehingga
27
( ) ( ) ε<− 12 xfxf untuk sebarang titik Ixx ∈21, dengan δ<− 12 xx .
Teorema 2. 4. 13.
Jika fungsi f kontinu pada interval tertutup, maka f kontinu seragam pada interval
tersebut.
Bukti:
Lihat Malik[4], Teorema 12, halaman 180-181.
5. Turunan
Dalam subbab ini akan dipaparkan tentang turunan fungsi bilangan real beserta
sifat-sifat yang akan dipakai pada pembahasan selanjutnya.
Definisi 2. 5. 1.
Diberikan fungsi bernilai real f yang terdefinisi pada interval [ ]⊆= baI , R.
Fungsi tersebut terdiferensial (mempunyai turunan) pada titik [ ]bac ,∈ jika
( ) ( )cx
cfxfcx −
−→
lim ada, dan dapat disimbolkan dengan ( )cf ′ . Limit tersebut akan
ada jika limit kanan dan limit kiri ada dan bernilai sama.
( ) ( )cx
cfxfcx −
−−→
lim disebut turunan kiri dan disimbolkan dengan ( )−′ cf ,
sedangkan ( ) ( )cx
cfxfcx −
−+→
lim disebut turunan kanan dan disimbolkan dengan
( )+′ cf . Jadi turunan ( )cf ′ ada jika ( )−′ cf = ( )+′ cf .
28
Definisi 2. 5. 2.
Fungsi f yang terdefinisi pada interval [ ]ba, akan mempunyai turunan pada titik
ujung a, yaitu ( )af ′ ada jika ( ) ( )ax
afxfax −
−+→
lim ada. Untuk itu, akan mempunyai
turunan pada titik ujung b jika ( ) =′ bf ( ) ( )bx
bfxfbx −
−−→
lim .
Teorema 2. 5. 3.
Jika fungsi f mempunyai turunan pada sebuah ⊆∈ Ic R , maka f kontinu pada
titik tersebut.
Bukti:
Lihat Bartle[1], Teorema 6.1.2.
Teorema 2. 5. 4.
Jika fungsi f, g mempunyai turunan pada titik c dan a adalah sebarang konstanta,
maka
a. Fungsi af mempunyai turunan pada c dan
( ) ( ) ( )cfacaf ′=′ .
b. Fungsi gf + dan gf − mempunyai turunan pada c dan
( ) ( ) ( ) ( )cgcfcgf ′±′=′± .
c. Fungsi fg mempunyai turunan pada c dan
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cgcfcgcfcfg ′+′=′ .
29
d. Jika ( ) 0≠cg , fungsi gf mempunyai turunan pada c dan
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )2cg
cgcfcgcfcgf ′−′
=′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛.
Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 6.1.3.
Akibat 2. 5. 5.
Jika fungsi nfff ,,, 21 K mempunyai turunan pada titik c, maka
a. Fungsi nfff +++ L21 mempunyai turunan pada c dan
( ) ( ) ( ) ( ) ( )cfcfcfcfff nn′++′+′=′+++ LL 2121 .
b. Fungsi nfff K21 mempunyai turunan pada c dan
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ).21
212121
cfcfcf
cfcfcfcfcfcfcfff
n
nnn
′++
′+′=′
KL
KKK
Pada kasus khusus jika ffff n ==== K21 , akibat 2.5.5 menjadi:
a. ( ) ( ) ( )( )cfncnf ′=′ .
b. ( ) ( ) ( )( ) ( )cfcfncf nn ′=′ −1 .
Teorema 2. 5. 6.
Jika fungsi f mempunyai turunan pada titik c dan ( ) 0≠cf , maka fungsi f1 juga
mempunyai turunan dan
30
( ) ( )( ){ }2
1cfcfc
f′
−=′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛.
Bukti:
Lihat Malik[4], Teorema 2, halaman 189.
Teorema 2. 5. 7. (Teorema Nilai Rata-rata Lagrange)
Jika fungsi f kontinu pada interval tertutup [ ]ba, dan f mempunyai turunan pada
interval terbuka ( )ba, , maka terdapat paling sedikit satu titik ( )bac ,∈ sehingga
( ) ( ) ( )( )ab
afbfcf−−
=′ .
Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 6.2.4.
Definisi 2. 5. 8.
Jika BAf →: dan CBg →: dan jika ( ) ( ) BgDfR =⊆ , maka komposisi
fungsi fg o adalah fungsi dari A ke C dan didefinisikan dengan
( )( ) ( )( )xfgxfg =o , untuk semua Ax∈ .
Definisi 2. 5. 9.
Jika f adalah fungsi monoton yang kontinu pada interval tertutup [ ]baI ,= , maka
fungsi invers (kebalikan) 1−= fg terdefinisi pada interval I dan memenuhi
( )( ) xxfg = , untuk semua Ix∈ .
31
Teorema 2. 5. 10.
Jika fungsi f terdefinisi pada interval tertutup [ ]ba, kontinu di titik [ ]bac ,∈ dan
fungsi g kontinu di titik ( ) [ ]bacfx ,∈= , maka komposisi fungsi ( )fgfg =o
kontinu di titik c.
Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 5.2.6.
Teorema 2. 5. 11.
Jika f kontinu dan monoton pada interval tertutup I, maka fungsi g invers dari f
kontinu dan monoton pada interval ( )IfJ = .
Bukti.
Lihat Bartle[1], Teorema 5.6.5.
BAB III
INTEGRAL DARBOUX
1. Integral Darboux
Dalam subbab ini akan dibahas tentang integral Darboux untuk fungsi real yang
terbatas pada suatu interval tertutup dan terbatas.
Definisi 3. 1. 1.
Misal diberikan interval tertutup dan terbatas [ ]ba, .
Partisi dari [ ]ba, adalah himpunan berhingga P dari titik-titik nxxxx ,,,, 210 K di
mana bxxxxxa nn =≤≤≤≤≤= −1210 L .
Partisi P terdiri dari 1+n titik. Jelasnya sebarang anggota partisi dari [ ]ba, dapat
berbeda jumlahnya sesuai dengan yang diinginkan.
Berdasarkan partisi di atas didapatkan subinterval-subinterval dari [ ]ba, , yaitu
[ ] [ ] [ ],,,,,,, 12110 ii xxxxxx −K [ ]nn xx ,, 1−K . Subinterval ke-i [ ]ii xx ,1− disimbolkan
dengan ixΔ . Simbol ixΔ juga merupakan panjang 1−− ii xx , sehingga
( )nixxx iii ,,2,11 K=−=Δ − .
Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang terbatas pada [ ]ba, . Karena itu f juga
terbatas pada setiap subinterval yang bersesuaian dengan salah satu partisi P.
Misal ii mM , , berturut-turut adalah supremum dan infimum dari f pada ixΔ .
Dibentuk dua jumlahan,
33
( )
( ) ,,
,,
22111
22111
nn
n
iii
nn
n
iii
xmxmxmxmfPL
xMxMxMxMfPU
Δ++Δ+Δ=Δ=
Δ++Δ+Δ=Δ=
∑
∑
−
=
L
L
berturut-turut disebut Jumlah Darboux Atas dan Jumlah Darboux Bawah dari f
terhadap partisi P.
Jika M, m adalah batas dari f pada [ ]ba, , didapatkan
,MMmm ii ≤≤≤
dan mengakibatkan
.iiiiii xMxMxmxm Δ≤Δ≤Δ≤Δ
Dengan menjumlahkan untuk ni ,,2,1 K= , didapatkan
( ) ( ) ( ) ( ).,, abMfPUfPLabm −≤≤≤− ( )1.1.3
Setiap partisi dapat memberikan sepasang jumlahan, jumlah Darboux atas dan
jumlah Darboux bawah. Dari semua partisi pada [ ]ba, , didapatkan himpunan U
sebagai himpunan semua jumlah Darboux atas dan himpunan L sebagai himpunan
semua jumlah Darboux bawah. Ketidaksamaan (3.1.1) di atas menunjukkan
bahwa kedua himpunan ini terbatas dan setiap himpunan tersebut mempunyai
supremum dan infimum. Infimum dari himpunan jumlah Darboux atas disebut
Integral Darboux Atas dan supremum dari himpunan jumlah Darboux bawah
disebut Integral Darboux Bawah dari f pada [ ]ba, , yakni
( ) [ ]{ }
( ) [ ]{ }.,daripartisiadalah;,supsup
,,daripartisiadalah;,infinf
∫∫
==
==
−
−
b
a
b
a
baPfPLLdxf
baPfPUUdxf
34
Kedua integral tersebut dapat bernilai sama atau mungkin tidak sama.
Definisi 3. 1. 2. (Kondisi Terintegral Darboux)
Apabila dua integral di atas mempunyai nilai yang sama, yaitu
∫∫ ∫ ==−
− b
a
b
a
b
adxfdxfdxf
maka dikatakan bahwa f terintegral Darboux terhadap [ ]ba, dan nilai dari integral
tersebut merupakan Integral Darboux dari f terhadap [ ]ba, .
Fakta bahwa f terintegral Darboux pada [ ]ba, , ditulis dengan
[ ]baDf ,∈ .
Berdasarkan ketidaksamaan (3.1.1), berlaku
( ) ( ).abMdxfabmb
a−≤≤− ∫ ( )2.1.3
Jadi integral Darboux atas dan integral Darboux bawah terdefinisi untuk setiap
fungsi terbatas tetapi nilai dari keduanya tidak perlu sama pada setiap fungsi
terbatas tersebut. Terdapat fungsi yang membuat integral tersebut tidak sama,
sehingga fungsi itu tidak terintegral Darboux.
Catatan.
1. Pernyataan bahwa ∫b
adxf ada, mengakibatkan fungsi f terbatas dan
terintegral terhadap [ ]ba, .
35
2. Konsep integral untuk sebuah fungsi yang dibicarakan di atas dibatasi
pada dua hal, yaitu fungsi tersebut terbatas dan interval pengintegralannya
tertutup dan terbatas.
3. Dari ketidaksamaan (3.1.1) dan (3.1.2) di atas didapat bahwa,
( ) ( ) ( ) ( )abMfPUdxffPLabmb
a−≤≤≤≤− ∫ ,, .
4. Karena integral Darboux atas adalah infimum dari himpunan jumlah
Darboux atas, maka untuk setiap 01 >ε terdapat sebuah jumlah Darboux
atas ( )fPU , sehingga
( ) 1, ε+< ∫− b
adxffPU
Sejalan dengan hal itu, ada jumlah Darboux bawah ( )fPL , sehingga
( ) ∫ −>−
b
adxffPL 1, ε
5. ( ) ( ) ( )∑∑∑ Δ−=Δ−Δ=−i
iiii
iii
ii xmMxmxMfPLfPU ,. .
( )ii mM − menunjukkan osilasi dari f pada subinteval ixΔ ,
( ) ( )fPLfPU ,, − disebut jumlah osilasi dan disimbolkan dengan ( )fP,ω
dan nilainya tak negatif
Contoh 3. 1. 3.
Akan ditunjukkan bahwa fungsi konstan k terintegral Darboux dengan
( )∫ −=b
aabkdxk .
Untuk setiap partisi P pada interval [ ]ba, , didapatkan
36
( )( )( ),
,
21
21
abkxxxk
xkxkxkfPL
n
n
−=Δ++Δ+Δ=
Δ++Δ+Δ=L
L
sehingga
( ) ( )abkfPLdxkb
a−==∫− ,sup .
Sejalan dengan hal di atas, diperoleh
( )( )
( ).inf
,inf
21
abkxkxkxk
fPUdxk
n
b
a
−=Δ++Δ+Δ=
=∫−
L
Jadi
( )∫ ∫ −==−
−
b
a
b
aabkdxkdxk ,
yang mengakibatkan bahwa fungsi konstan k terintegral dan
( )∫ −=b
aabkdxk .
Contoh 3. 1. 4.
Akan ditunjukkan bahwa fungsi f yang didefinisikan dengan
( )⎩⎨⎧
=irasionaljika,1rasionaljika,0
xx
xf
tidak terintegral Darboux di sebarang interval [ ]ba, .
Dengan memperhatikan sebuah partisi P pada interval [ ]ba, , berlaku
37
( )
,111
,
21
1
abxxx
xMfPU
n
n
iii
−=Δ++Δ+Δ=
Δ= ∑=
L
sehingga
( ) ,,inf abfPUdxfb
a−==∫
−
dan
( ){ }
.0000sup
,sup
21
=Δ++Δ+Δ=
=∫−n
b
a
xxx
fPLdxf
L
Dalam hal ini dipergunakan sifat kepadatan bilangan real.
Jadi
∫∫ −
−
≠b
a
b
adxfdxf .
Karena itu fungsi f tidak terintegral Darboux.
Contoh 3. 1. 5.
Akan ditunjukkan bahwa 2x terintegral Darboux pada sebarang interval [ ]k,0 ,
0>k .
Dibuat partisi P pada [ ]k,0 dengan cara membagi interval tersebut menjadi n
bagian yang sama, sehingga ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
nnk
nk
nk ,,2,,0 K adalah partisi P, ( )
2
1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
nki dan
38
2
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
nki berturut-turut adalah batas bawah dan batas atas fungsi di ixΔ , dan
panjang masing-masing intervalnya adalah nk .
Jadi
( ) ( )
( )( )
,12116
1216
21,
3
3
3
2223
32
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
++⋅=
+++=
nnk
nnnnk
nnkxPU L
Dan
( ) ( ){ }2223
32 1210, −++++= n
nkxPL L
.12116
3
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
nnk
Jadi
( ) ( )23
2 ,sup3
,inf xPLkxPU == .
Karena itu fungsi 2x terintegral Darboux dan
33
0
2 kdxxk
=∫ .
Definisi 3. 1. 6. (Arti ∫b
adxf apabila ab ≤ )
Jika f terbatas dan terintegral Darboux pada [ ]ab, , untuk ba > , didefinisikan
badxfdxfa
b
b
a>−= ∫∫ manadi,
39
Ini mengakibatkan
badxfb
a==∫ manadi0 .
Ketidaksamaan-ketidaksamaan yang terkait dengan integral Darboux
Sudah dibuktikan bahwa untuk fungsi f terbatas yang terintegral Darboux berlaku
( ) ( ) ababMdxfabmb
a≥−≤≤− ∫ manadi, ( )3.1.3
Jika ab < , sehingga ba > , maka dibuktikan bahwa
( ) ( ) babaMdxfbama
b>−≤≤− ∫ manadi, ,
sehingga
( ) ( )baMdxfbama
b−−≥−≥−− ∫ ,
atau
( ) ( ) ababMdxfabmb
a<−≥≥− ∫ manadi, . ( )4.1.3
Teorema 3. 1. 7.
Jika f terbatas dan terintegral Darboux pada [ ]ba, maka terdapat bilangan λ yang
berada di antara batas-batas dari f sehingga
( )abdxfb
a−=∫ λ .
Bukti.
40
Karena f terbatas dan terintegral Darboux, maka terdapat M, m sebagai batas-batas
dari f. Oleh karena itu untuk sebarang λ dengan Mm ≤≤ λ dan menurut
ketidaksamaan (3.1.3), diperoleh
( ) ( ) ( ) ( )abMabdxfababmb
a−≤−≤≤−≤− ∫ λλ
sehingga
( ).abdxfb
a−=∫ λ ■
Teorema 3. 1. 8.
Jika f kontinu dan terintegral Darboux pada [ ]ba, maka terdapat bilangan
[ ]bac ,∈ sehingga
( ) ( )cfabdxfb
a−=∫ .
Bukti.
Berdasarkan pada ketidaksamaan (3.1.3),
( ) ( ),abMdxfabmb
a−≤≤− ∫
di mana M, m, berturut-turut adalah supremum dan infimum dari f pada [ ]ba, .
Menurut Teorema Nilai Ekstrim, terdapat bilangan [ ]baxx ,, 10 ∈ sehingga
( ) mxf =0 dan ( ) Mxf =1 . Dari ketidaksamaan di atas, diperoleh
( )abAdxfb
a−=∫ ,
di mana ( ) ( )10 xfAxf ≤≤ . Kemudian dengan menggunakan Teorema Nilai
Antara, terdapat bilangan [ ]bac ,∈ sehingga ( ) Acf = .
41
Terbukti bahwa
( ) ( )cfabdxfb
a−=∫ . ■
Teorema 3. 1. 9.
Jika f terbatas dan terintegral Darboux pada [ ]ba, dan k adalah bilangan positif
sehingga ( ) kxf ≤ untuk semua [ ]bax ,∈ , maka
abkdxfb
a−≤∫ .
Bukti.
Misal mM , berturut-turut adalah supremum dan infimum untuk ( )xf . Perhatikan
bahwa
( ) ,kxf ≤ untuk setiap [ ]bax ,∈ .
Jadi
( ) kxfk ≤≤− ,
oleh karena itu
( ) kMxfmk ≤≤≤≤− .
Yang mana untuk ab ≥ , ini berakibat
( ) ( ) ( ) ( )abkabMdxfabmabkb
a−≤−≤≤−≤−− ∫ ,
sehingga
( ).abkdxfb
a−≤∫
Jika ab < , sehingga ba > , didapatkan
42
bakdxfa
b−≤∫ ,
dan oleh karena itu
abkdxfb
a−≤∫ .
Hasil ini berlaku secara trivial untuk ba = . ■
Teorema 3. 1. 10.
Jika f terbatas dan terintegral Darboux pada [ ]ba, , dan ( ) 0≥xf untuk semua
[ ]bax ,∈ , maka
⎩⎨⎧
≤≤≥≥
∫ .jika,0jika,0
abab
dxfb
a
Bukti.
Karena ( ) 0≥xf , untuk semua [ ]bax ,∈ , oleh sebab itu infimum dari f, yaitu
0≥m .
Selanjutnya menggunakan ketidaksamaan (3.1.3), didapat
( ) ∫≤−b
adxfabm ,
sehingga
,0≥∫b
adxf untuk .ab ≥
Untuk membuktikan ,0≤∫b
adxf untuk ab ≤ , sudah jelas pada Definisi 3.1.6 di
atas, yakni
,∫∫ −=b
a
b
adxfdxf untuk ab ≤ .
43
Jadi
,0≤∫b
adxf untuk ab ≤ . ■
Teorema 3. 1. 11.
Jika gf , terbatas dan terintegral Darboux pada [ ]ba, , sehingga gf ≥ , maka
abdxgdxfb
a
b
a≥≥ ∫∫ manadi,
dan
abdxgdxfb
a
b
a≤≤ ∫∫ manadi, .
Bukti.
Perhatikan bahwa
gf ≥ ,
sehingga
[ ]baxgf ,,0 ∈∀≥− .
Dengan menggunakan Teorema 3. 1. 10, didapatkan
( ) abdxgfb
a≥≥−∫ jika0 ,
atau
abdxgdxfb
a
b
a≥≥ ∫∫ jika .
Sejalan dengan hal tersebut,
abdxgdxfb
a
b
a≤≤ ∫∫ jika . ■
44
2. Partisi Penghalus
Dalam subbab ini akan dibahas tentang partisi penghalus dan sifat-sifatnya.
Definisi 3. 2. 1.
Untuk sebarang partisi P, panjang yang terbesar dari subinterval disebut norma
atau mesh dari partisi, dan disimbolkan dengan ( )Pμ , yakni
( ) ( )nixP i ≤≤Δ= 1maxμ .
Partisi *P dikatakan sebagai penghalus dari P jika PP ⊇* , yaitu setiap titik pada
P adalah titik pada *P . Dapat dikatakan juga bahwa *P memperhalus P atau
bahwa *P lebih halus dari P.
Jika 1P dan 2P adalah dua partisi, maka dapat dikatakan bahwa *P adalah
penghalus persekutuan jika 21* PPP ∪= .
Teorema 3. 2. 2.
Jika *P adalah penghalus dari sebuah partisi P, maka untuk sebuah fungsi
terbatas f, berlaku
(1) ( ) ( )fPLfPL ,,* ≥ dan
(2) ( ) ( )fPUfPU ,,* ≤ .
Bukti.
(1) Misalkan *P mencakup satu titik lebih dari P. Misalkan titik tersebut adalah
ξ , dan misal titik tersebut terletak pada ixΔ , sehingga ii xx <<− ξ1 .
45
Karena fungsi tersebut terbatas pada interval [ ]ba, , maka terbatas pula pada
setiap subinterval ( )nixi ,,2,1 K=Δ . Misal imww ,, 21 , berturut-turut adalah
infimum dari f pada interval [ ] [ ] [ ]iiii xxxx ,,,,, 11 −− ξξ .
Jelas bahwa 21 dan wmwm ii ≤≤ .
Dengan demikian
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )0
,,
211
1211*
≥−−+−−=−−−+−=−
−
−−
ξξξξ
iiii
iiiii
xmwxmwxxmxwxwfPLfPL
Jika *P mempunyai p titik lebih dari P, diulang proses seperti di atas
sebanyak p kali hingga mendapatkan
( ) ( )fPLfPL ,,* ≥ .
(2) Misalkan *P mencakup satu titik lebih dari P. Misalkan titik tersebut adalah
ξ , dan misal titik tersebut terletak pada ixΔ , sehingga ii xx <<− ξ1 .
Karena fungsi tersebut terbatas pada interval [ ]ba, , maka terbatas pula pada
setiap subinterval ( )nixi ,,2,1 K=Δ . Misal iMvv ,, 21 , berturut-turut adalah
supremum dari f pada interval [ ] [ ] [ ]iiii xxxx ,,,,, 11 −− ξξ .
Jelas bahwa 21 dan vMvM ii ≥≥ .
Dengan demikian
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )0
,,
211
1211*
≤−−+−−=−−−+−=−
−
−−
ξξξξ
iiii
iiiii
xMvxMvxxMxvxvfPUfPU
Jika *P mempunyai p titik lebih dari P, diulang proses seperti di atas
sebanyak p kali hingga mendapatkan
46
( ) ( )fPUfPU ,,* ≤ . ■
Akibat 3. 2. 3.
Jika penghalus *P dari P memuat p titik lebih banyak daripada P, dan ( ) kxf ≤
untuk semua [ ]bax ,∈ , maka
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) .2,,,
dan,2,,,*
*
μ
μ
pkfPUfPUfPUpkfPLfPLfPL
−≥≥
+≤≤
Bukti.
Seperti pada pembuktian Teorema 3.2.2, dimisalkan *P memuat satu titik lebih
banyak daripada P, didapatkan
( ) ( ) ( )( ) ( )( )ξξ −−+−−=− − iiii xmwxmwfPLfPL 211* ,, .
Karena ( ) kxf ≤ untuk semua [ ]bax ,∈ , menyebabkan
kwmk i ≤≤≤− 1 ,
sehingga
kmw i 20 1 ≤−≤ .
Dengan kata lain,
kmw 20 12 ≤−≤ .
Dengan demikian
( ) ( ) ( ) ( )
,22
22,, 1*
μ
ξξ
kxk
xkxkfPLfPL
i
ii
≤Δ≤
−+−≤− −
di mana μ adalah norma dari P.
47
Sekarang dengan menganggap setiap penambahan titik dilakukan satu persatu,
dengan cara mengulang cara seperti di atas sebanyak p kali, didapatkan
( ) ( ) μpkfPLfPL 2,,* +≤ ,
dan
( ) ( )fPLfPL ,, *≤ .
Akibatnya
( ) ( ) ( ) μpkfPLfPLfPL 2,,, * +≤≤ .
Sejalan dengan hal di atas dapat dibuktikan
( ) ( ) ( ) μpkfPUfPUfPU 2,,, * −≥≥ . ■
Teorema 3. 2. 4.
Untuk sebarang dua partisi 21 , PP ,
( ) ( )fPUfPL ,, 21 ≤ ,
yakni tidak ada jumlah atas yang lebih kecil dari sebarang jumlah bawah.
Bukti.
Misal *P adalah penghalus persekutuan dari 21 , PP , sehingga
21* PPP ∪= .
Menggunakan Teorema 3. 2. 2 di atas, didapatkan
( ) ( ) ( ) ( )fPUfPUfPLfPL ,,,, 2**
1 ≤≤≤ . ( )1.2.3
Terbukti
( ) ( )fPUfPL ,, 21 ≤ . ■
48
Akibat 3. 2. 5.
Untuk sebarang fungsi terbatas f, berlaku
∫ ∫−
−≤ dxfdxf .
Bukti.
Dengan mengambil 2P yang tetap dan mengambil supremum dari semua partisi
1P , ketidaksamaan (3.2.1) pada Teorema 3.2.2 mengakibatkan
( )∫ ≤−
fPUdxf ,2 . ( )2.2.3
Dengan mengambil infimum dari semua 2P pada ketidaksamaan (3.2.2), didapat
∫ ∫−
−≤ dxfdxf . ■
3. Teorema Darboux
Dalam subbab ini akan dipaparkan tentang salah satu teorema yang penting dalam
mempelajari integral Darboux, yaitu Teorema Darboux.
Teorema 3. 3. 1.
Jika f adalah fungsi terbatas pada [ ]ba, , maka untuk setiap 0>ε , terdapat 0>δ ,
sehingga
( ) ( )
( ) ( ) ,,
,,
ε
ε
−>
+<
∫∫
−
−
b
a
b
a
dxffPLii
dxffPUi
untuk setiap partisi P dari [ ]ba, dengan norma ( ) δμ <P .
Bukti.
49
(1) Jika f terbatas, maka terdapat 0>k , sehingga
( ) ,kxf ≤ untuk setiap [ ]bax ,∈
dan karena integral Darboux atas adalah infimum dari himpunan jumlah
Darboux atas, oleh karena itu untuk setiap 0>ε terdapat partisi
{ }pxxxxP ,,,, 2101 K= dari [ ]ba, , sehingga
( ) ε∫ +<− b
adxffPU 2
11 , . ( )1.3.3
Partisi 1P mempunyai 1−p titik di antara ( )ax =0 dan ( )bx p = . Misalkan δ
adalah bilangan positif sehingga
( ) .12 21 εδ =−pk ( )2.3.3
Misal P adalah sebarang partisi dengan norma ( ) δμ <P .
Selanjutnya, *P adalah penghalus dari P dan 1P , sehingga 1* PPP ∪= .
Karena *P adalah penghalus dari P, maka mempunyai paling tidak 1−p titik
lebih banyak dari P, oleh karena itu, menggunakan Akibat 3. 2. 5, didapatkan
( ) ( ) ( )( )
.
,,12,
21
1
*
ε
δ
+<
≤≤−−
∫− b
adxf
fPUfPUpkfPU
Sehingga
( ) εεε +=++< ∫∫−− b
a
b
adxfdxffPU 2
121, ,
untuk sebarang partisi P dengan norma ( ) δμ <P .
Sejalan dengan hal tersebut di atas, dapat dibuktikan untuk batas bawahnya. ■
50
Catatan.
Definisi dari infimum juga memperkuat fakta bahwa
( ) ε+< ∫− b
adxffPU , ,
tetapi dapat juga mengakibatkan bahwa untuk setiap 0>ε terdapat paling sedikit
satu partisi P.
4. Syarat Terintegral Darboux
Sudah dijelaskan bahwa sebuah fungsi terbatas dikatakan terintegral Darboux jika
jumlah atas dan jumlah bawahnya sama. Sekarang akan diberikan syarat perlu dan
cukup untuk menentukan keterintegralan sebuah fungsi yang akan dipaparkan
dalam dua bentuk.
Teorema 3. 4. 1. (Bentuk Pertama)
Syarat perlu dan cukup untuk sebuah fungsi f terintegral Darboux jika untuk setiap
0>ε , terdapat 0>δ sehingga untuk setiap partisi P dari [ ]ba, dengan norma
( ) δμ <P , berlaku
( ) ( ) ε<− fPLfPU ,, .
Bukti.
Syarat cukup.
Diketahui fungsi terbatas f terintegral Darboux, sehingga
∫∫∫ ==−
−
b
a
b
a
b
adxfdxfdxf .
51
Ambil sebarang 0>ε . Dengan Teorema 3. 3. 1, terdapat 0>δ sehingga untuk
setiap partisi P dengan norma ( ) δμ <P ,
( ) ,, 21
21 εε +=+< ∫∫
− b
a
b
adxfdxffPU ( )1.4.3
( ) ,, 21
21 εε −=−> ∫∫−
b
a
b
adxfdxffPL ( )2.4.3
atau
( ) ., 21 ε+−<− ∫
b
adxffPL ( )3.4.3
Dari (3.4.1) dan (3.4.3), diperoleh
( ) ( ) ε<− fPLfPU ,, ,
untuk setiap partisi P dengan norma ( ) δμ <P .
Syarat perlu
Ambil sebarang 0>ε . Untuk setiap partisi P dengan norma ( ) δμ <P , diberikan
( ) ( ) ε<− fPLfPU ,, .
Demikian juga untuk setiap partisi P, diketahui bahwa
( ) ( )fPUdxfdxffPLb
a
b
a,, ≤≤≤ ∫∫
−
−,
sehingga
( ) ( ) ε<−≤− ∫∫ −
−
fPLfPUdxfdxfb
a
b
a,, .
Karena 0>ε sebarang, dan bilangan tak negatif yang lebih kecil dari setiap
0>ε , pastilah nol, berakibat
0=− ∫∫ −
− b
a
b
adxfdxf .
Dengan kata lain,
52
,∫∫ −
−
=b
a
b
adxfdxf
sehingga f terintegral Darboux. ■
Catatan.
Teorema di atas dapat juga ditulis menjadi,
Syarat perlu dan cukup untuk sebuah fungsi yang terbatas terintegral Darboux
adalah
( )( ) ( ){ } 0,,lim
0=−
→fPLfPU
Pμ.
Teorema 3. 4. 2. (Bentuk Kedua)
Sebuah fungsi terbatas f terintegral Darboux jika dan hanya jika untuk setiap
0>ε terdapat partisi P pada [ ]ba, sehingga
( ) ( ) ε<− fPLfPU ,, .
Bukti.
Syarat cukup.
Misalkan fungsi f terintegral Darboux, yaitu
∫∫∫ ==−
−
b
a
b
a
b
adxfdxfdxf .
Misal 0>ε sebarang.
Karena integral Darboux bawah dan integral Darboux atas, berturut-turut, adalah
infimum dan supremum dari f, maka terdapat partisi 1P dan 2P sehingga
53
( )
( ) .,
,
21
21
2
21
21
1
εε
εε
−=−>
+=+<
∫∫∫∫
−
−
b
a
b
a
b
a
c
a
dxfdxffPL
dxfdxffPU
Misal P adalah partisi penghalus persekutuan dari 1P dan 2P , yaitu 21 PPP ∪= ,
sehingga
( ) ( ) ( ) ( ) .,,,, 221
1 εεε +≤+<+<≤ ∫ fPLfPLdxffPUfPUb
a
Oleh karena itu,
( ) ( ) ε<− fPLfPU ,, .
Syarat perlu.
Misal 0>ε sebarang. Misal P adalah partisi yang mengakibatkan
( ) ( ) ε<− fPLfPU ,, .
Untuk sebarang partisi P, diketahui bahwa
( ) ( )fPUdxfdxffPLb
a
b
a,, ≤≤≤ ∫∫
−
−,
sehingga
( ) ( ) ε<−≤− ∫∫ −
−
fPLfPUdxfdxfb
a
b
a,, .
Bilangan tak negatif, jika lebih kecil daripada setiap bilangan positif ε , pasti nol.
Oleh karena itu
∫∫ −
−
=b
a
b
adxfdxf ,
sehingga f terintegral Darboux. ■
54
Catatan.
Berdasarkan dari kedua bentuk di atas, dapat diindikasikan bahwa dari sisi syarat
cukupnya bentuk pertama lebih kuat daripada bentuk kedua, tetapi dari segi syarat
perlu, bentuk kedua lebih kuat daripada bentuk pertama.
Teorema 3. 4. 3.
Sebuah fungsi f terintegral Darboux pada [ ]ba, jika dan hanya jika terdapat
sebuah bilangan I yang terdapat di antara ( )fPL , dan ( )fPU , sehingga untuk
setiap 0>ε , terdapat partisi P dari [ ]ba, sehingga
( ) ( ) εε <−<− fPLIIfPU ,dan,, .
Bukti.
Syarat cukup.
Karena [ ]baDf ,∈ , maka untuk 0>ε terdapat partisi P dari [ ]ba, sehingga
( ) ( ) ε<− fPLfPU ,, .
Jika I adalah bilangan di antara ( )fPL , dan ( )fPU , , maka
( ) ( ) ( ) ε<−<− fPLfPUIfPU ,,, ,
dan
( ) ( ) ( ) ε<−<− fPLfPUfPLI ,,, .
Oleh karena itu, syarat cukup terpenuhi.
Syarat perlu.
Untuk 0>ε terdapat partisi P sehingga
( ) ( ) εε 21
21 ,dan,, <−<− fPLIIfPU ,
55
sehingga
( ) ( ) ( ) ( ) .,,,, 21
21 εεε =+<−+−≤− fPLIIfPUfPLfPU
Oleh karena itu, f terintegral Darboux pada [ ]ba, . ■
Teorema 3. 4. 4.
Sebuah fungsi f terintegral Darboux pada [ ]ba, jika dan hanya jika terdapat
bilangan I sehingga untuk sebarang 0>ε , terdapat δ sehingga untuk semua
partisi P dengan norma ( ) δμ <P , berlaku
( ) ( ) εε <−<− fPLIIfPU ,dan,, .
Bukti.
Syarat cukup.
Karena [ ]baDf ,∈ , maka untuk 0>ε terdapat partisi P dari [ ]ba, dengan norma
( ) δμ <P sehingga
( ) ( ) ε<− fPLfPU ,, .
Jika I adalah bilangan di antara ( )fPL , dan ( )fPU , , maka
( ) ( ) ( ) ε<−<− fPLfPUIfPU ,,, ,
dan
( ) ( ) ( ) ε<−<− fPLfPUfPLI ,,, .
Oleh karena itu, syarat cukup terpenuhi.
Syarat perlu.
Untuk 0>ε terdapat partisi P dengan norma ( ) δμ <P sehingga
56
( ) ( ) εε 21
21 ,dan,, <−<− fPLIIfPU ,
Sehingga
( ) ( ) ( ) ( ) .,,,, 21
21 εεε =+<−+−≤− fPLIIfPUfPLfPU
Oleh karena itu, f terintegral Darboux pada [ ]ba, . ■
Catatan.
Diketahui bahwa ( ) ( )fPUfPU ,,* < jika PP ⊃* . Oleh karena itu, jumlah
atasnya semakin kecil dan kecil lagi apabila partisi tersebut semakin halus. Jadi
integral atasnya ∫− b
adxf , yaitu infimum dari himpunan U dari jumlah atas, dapat
diartikan pula ( )
( )fPUP
,lim0→μ
atau bahwa untuk 0>ε terdapat 0>δ sehingga
semua partisi P dengan norma ( ) δμ <P , ( ) ε<− ∫− b
adxffPU , .
Contoh 3. 4. 5.
Diberikan fungsi f yang didefinisikan pada interval [ ]2,1− dengan
( )
[ )
( )
( ]⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∈=
∈=−∈−
=
2,1untuk,11untuk,0
1,0untuk,0untuk,00,1untuk,1
21
xx
xx
x
xf .
Akan ditunjukkan bahwa fungsi f terintegral Darboux pada [ ]2,1− .
Ambil sebarang ε 0> . Dibentuk partisi pada [ ]2,1− dengan
57
{ }2,1,1,,0,,1 hhhhP +−−−= .
Diperoleh,
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )∑=
−++−++−+−−==6
121 112.021.0111,
iii hhhhhhxmfPL Δ
h221 −= ,
dan
( ) ( )( ) ( ) ( )∑=
−++−+++−−==6
121
21 112.121.011Δ,
iii hhhhhhxmfPU
23
21 h+= ,
Sehingga
( ) ( )2
7221
23
21,, hhhfPLfPU =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=− .
Dapat diambil bilangan positif h sehingga berlaku
( ) ( ) <=−2
7,, hfPLfPU ε,
yaitu 72<h ε. Dengan kata lain, dapat dibentuk partisi P pada [ ]2,1− seperti di
atas dengan 72<h ε sehingga berlaku
( ) ( ) <− fPLfPU ,, ε.
Menurut Teorema 3.4.1, fungsi f terintegral Darboux pada [ ]2,1− .
5. Integral dari Jumlah dan Selisih dari Fungsi Terintegral Darboux
Di samping sifat-sifat integral Darboux yang telah dipaparkan pada subbab-
subbab sebelumnya, dalam subbab ini akan dipaparkan sifat integral Darboux
58
yang tidak kalah penting, yaitu integral dari jumlah dan selisih fungsi-fungsi yang
terintegral Darboux.
Teorema 3. 5. 1.
Jika fungsi f terbatas dan terintegral Darboux pada [ ]ba, , maka kf juga
terintegral Darboux pada [ ]ba, , dan
( ) ∫∫ =b
a
b
adxfkdxxkf
untuk sebarang ∈k R.
Bukti.
Menurut Teorema Perkalian Fungsi dengan konstanta, maka perkalian fungsi yang
terbatas dengan suatu konstanta juga terbatas pada batas fungsi tersebut. Jadi kf
terbatas pada [ ]ba, . Misal { }bxxxaP n === ,,, 10 K adalah partisi dari [ ]ba, dan,
iiii mMkmkM dan,,, berturut-turut adalah batas-batas dari fkf dan, pada ixΔ .
Sehingga
iiii kMMmkm ≤≤≤ . ( )1.5.3
Dengan mengalikannya dengan ixΔ dan menjumlahkan ketidaksamaan di atas
untuk ,,,2,1 ni K= didapat
( ) ( ) ( ) ( ).,,,, kfPUfPUfPLkfPL ≤≤≤ ( )2.5.3
Ambil sebarang 0>ε .
Karena f terintegral Darboux, maka dapat dipilih 0>δ sehingga untuk sebarang
partisi P dengan norma ( ) δμ <P , didapat
( ) ( ) ε<− fPLfPU ,, . ( )3.5.3
59
Jadi untuk sebarang partisi P dengan norma ( ) δμ <P , didapat dengan
menggunakan ketidaksamaan (3.5.2) dan (3.5.3),
( ) ( ) ( ) ( )fPkLfPkUkfPLkfPU ,,,, −=−
( ) ( ){ }fPLfPUk ,, −=
kk ε⋅<
ε< .
Oleh karena itu, kf terintegral Darboux.
Sekarang akan dibuktikan bagian kedua.
Karena f terintegral dan sebarang 0>ε , dengan menggunakan Teorema Darboux
(subbab 3), terdapat 0>δ sehingga untuk setiap partisi P dengan norma
( ) δμ <P , didapat
( ) ε+< ∫b
adxffPU , ( )4.5.3
akibatnya
( ) ( )fPkUkfPUdxkfb
a,, ≤≤∫ (menggunakan (3.5.2))
ε+< ∫b
adxfk . (menggunakan (3.5.4))
Karena 0>ε sebarang, dapat disimpulkan
∫∫ ≤b
a
b
adxfkdxkf . ( )5.5.3
Kemudian dengan mengganti kf berturut-turut dengan ( )kf− , didapat
( ) ∫∫ −≤−b
a
b
adxfkdxkf ,
Atau
60
∫∫ ≥b
a
b
adxfkdxkf . ( )6.5.3
Berdasarkan ketidaksamaan (3.5.5)dan (3.5.6),
.∫∫ =b
a
b
adxfkdxkf ■
Teorema 3. 5. 2.
Jika 1f dan 2f adalah dua fungsi yang terbatas dan terintegral Darboux pada
[ ]ba, , maka 21 fff += juga terintegral Darboux pada [ ]ba, , dan
∫ ∫∫ =+b
a
b
a
b
adxfdxfdxf 21 .
Bukti.
Menurut Teorema Jumlah Fungsi Terbatas, maka jumlahan dari dua fungsi yang
terbatas juga terbatas pada batas keduanya. Jadi f terbatas pada [ ]ba, .
Misal { }bxxxaP n === ,,, 10 K adalah partisi dari [ ]ba, dan
iiiiii mMmMmM dan,,,,, ′′′′′′ , berturut-turut adalah batas-batas dari fff dan,, 21
pada ixΔ . ii MM ′′+′ dan ii mm ′′+′ berturut-turut adalah batas atas dan batas bawah
jika iM dan im adalah supremum dan infimum dari f pada ixΔ .
Sehingga
.iiiiii MMMmmm ′′+′≤≤≤′′+′ ( )7.5.3
Dengan mengalikannya dengan ixΔ dan menjumlahkan ketidaksamaan di atas
untuk ,,,2,1 ni K= didapat
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).,,,,,, 2121 fPUfPUfPUfPLfPLfPL +≤≤≤+ ( )8.5.3
Ambil sebarang 0>ε .
61
Karena 1f dan 2f terintegral Darboux, maka dapat dipilih 0>δ sehingga untuk
sebarang partisi P dengan norma ( ) δμ <P , didapat
( ) ( )( ) ( ) ⎭
⎬⎫
<−<−
εε
21
22
21
11
,,,,
fPLfPUfPLfPU
( )9.5.3
Jadi untuk sebarang partisi P dengan norma ( ) δμ <P , didapat dengan
menggunakan ketidaksamaan (3.5.6) dan (3.5.9),
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )εεε =+<
−−+≤−
21
21
2121 ,,,,,, fPLfPLfPUfPUfPLfPU
Oleh karena itu, f terintegral Darboux.
Sekarang akan dibuktikan bagian kedua.
Karena 1f dan 2f terintegral dan sebarang 0>ε , dengan menggunakan Teorema
Darboux (subbab 3), terdapat 0>δ sehingga untuk setiap partisi P dengan norma
( ) δμ <P , didapat
( ) ( ) εε 21
2221
11 ,dan,, +<+< ∫∫b
a
b
adxffPUdxffPU ( )10.5.3
akibatnya
( ) ( ) ( )21 ,,, fPUfPUfPUdxfb
a+≤≤∫ (menggunakan (3.5.8))
ε++< ∫∫b
a
b
adxfdxf 21 (menggunakan (3.5.10))
Karena 0>ε sebarang, dapat disimpulkan
.21 ∫∫∫ +≤b
a
b
a
b
adxfdxfdxf ( )11.5.3
Kemudian dengan mengganti 21 dan ff berturut-turut dengan ( ) ( )21 dan, ff −− ,
didapat
62
( ) ( ) ( )∫∫∫ −+−≤−b
a
b
a
b
adxfdxfdxf ,21
atau
.21 ∫∫∫ +≥b
a
b
a
b
adxfdxfdxf ( )12.5.3
Berdasarkan ketidaksamaan (3.5.11)dan (3.5.12),
∫∫∫ +=b
a
b
a
b
adxfdxfdxf 21 . ■
Teorema 3. 5. 2.
Jika 1f dan 2f adalah dua fungsi yang terbatas dan terintegral Darboux pada
[ ]ba, , maka 21 fff −= juga terintegral Darboux pada [ ]ba, , dan
∫ ∫∫ −=b
a
b
a
b
adxfdxfdxf 21 .
Bukti.
Misal ( )21 fff −+= , sehingga f terbatas pada [ ]ba, .
Menurut Teorema 3. 5. 1, fungsi ( )2f− dapat diartikan sebagai ( ) 21 f− , sehingga
( ) .1 21∫ ∫∫ −+=b
a
b
a
b
adxfdxfdxf
Jadi
( ) ,1 21∫ ∫∫ −+=b
a
b
a
b
adxfdxfdxf
atau
.21∫ ∫∫ −=b
a
b
a
b
adxfdxfdxf ■
63
Teorema 3. 5. 3.
(i) Jika fungsi f terbatas dan terintegral Darboux pada [ ]ba, , maka f terintegral
Darboux juga pada [ ]ca, dan [ ]bc, , di mana [ ]bac ,∈ .
(ii) Kebalikannya, jika fungsi f terbatas dan terintegral Darboux pada [ ]ca, dan
[ ]bc, , maka f terintegral Darboux juga pada [ ]ba, .
(iii) Berlaku juga
bcadxfdxfdxfb
c
c
a
b
a≤≤+= ∫∫∫ , .
Bukti.
(i) Karena [ ]baDf ,∈ , maka untuk 0>ε terdapat partisi P sehingga
( ) ( ) ε<− fPLfPU ,, .
Misal *P adalah partisi penghalus dari P, sehingga
{ }cPP ∪=* .
Jadi
( ) ( ) ( ) ( ).,,,, ** fPUfPUfPLfPL ≤≤≤ ( )13.5.3
Oleh karena itu,
( ) ( ) ( ) ( ) ε<−≤− fPLfPUfPLfPU ,,,, ** ( )14.5.3
Misal 1P dan 2P , berturut-turut adalah himpunan titik-titik dari *P di antara
[ ]ca, dan [ ]bc, . Dapat dikatakan bahwa 1P dan 2P , berturut-turut adalah
partisi dari [ ]ca, dan [ ]bc, dan 21* PPP ∪= . Karena itu
( ) ( ) ( ),,,, 21* fPUfPUfPU += ( )15.5.3
dan
64
( ) ( ) ( ).,,, 21* fPLfPLfPL += ( )16.5.3
Sehingga
( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ) ε<−=−+− fPLfPUfPLfPUfPLfPU ,,,,,, **2211
Karena masing-masing kurung kurawal di sebelah kiri adalah tak negatif, ini
mengakibatkan bahwa partisi 1P dan 2P ada, sehingga
( ) ( )( ) ( ) .2,,
2,,
22
11
εε<−<−
fPLfPUfPLfPU
Jadi f terintegral Darboux pada [ ]ca, dan [ ]bc, .
(ii) Misal Df ∈ terhadap [ ]ca, dan [ ]bc, .
Oleh karena itu, untuk 0>ε dapat dicari partisi 1P dan 2P berturut-turut
dari [ ]ca, dan [ ]bc, , sehingga
( ) ( ) 2,, 11 ε<− fPLfPU ( )17.5.3
( ) ( ) .2,, 22 ε<− fPLfPU ( )18.5.3
Misal 21* PPP ∪= .
Karena itu, *P adalah partisi dari [ ]ba, . Sehingga
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
,,,,,,
21
21
2121**
εεε =+<
−−+=− fPLfPLfPUfPUfPLfPU
Jadi, untuk 0>ε , terdapat partisi *P dari [ ]ba, , sehingga
( ) ( ) ε<− fPLfPU ,, ** .
Oleh karena itu, [ ]baDf ,∈ .
(iii) Diketahui jika untuk sebarang fungsi 1f dan 2f , dan 21 fff += , maka
21 infinfinf fff +> .
65
Sekarang, untuk sebarang partisi 1P dan 2P berturut-turut dari [ ]ca, dan
[ ]bc, , jika 21* PPP ∪= , maka
( ) ( ) ( ).,,, 21* fPUfPUfPU +=
Dengan mengambil semua infimum atas semua partisi, didapat
.∫∫∫−−
+≥b
c
c
a
b
adxfdxfdxf
Tetapi karena f terintegral Darboux pada [ ] [ ] [ ]babcca ,dan,,,, , maka
.∫∫∫ +≥b
c
c
a
b
adxfdxfdxf ( )19.5.3
Dengan mengganti f dengan ( )f− , didapat
.∫∫∫ +≤b
c
c
a
b
adxfdxfdxf ( )20.5.3
Dari ketidaksamaan (3.5.19) dan (3.5.20), diperoleh
.∫∫∫ +=b
c
c
a
b
adxfdxfdxf ■
Hasil Kali Integral, Hasil Bagi dan Nilai Mutlak dari Fungsi Terintegral
Darboux
Sebelum membahas teorema tentang hasil kali integral, hasil bagi dan nilai mutlak
dari fungsi-fungsi yang terintegral Darboux, akan dibahas terlebih dahulu Lemma
yang sederhana tetapi penting di bawah ini.
Lemma 3. 5. 4.
Diberikan fungsi terbatas f pada interval [ ]ba, , maka osilasi fungsi f diberikan
oleh
66
( ) ( ) [ ]{ }baxxxfxf ,,:sup 2121 ∈− .
Bukti.
Misal mM , adalah batas dari f pada [ ]ba, . Oleh karena itu,
( ) ( ) ,, 21 Mxfxfm ≤≤
untuk setiap [ ]baxx ,, 21 ∈ .
Sehingga
( ) ( ) ,21 mMxfxf −≤− ( )21.5.3
untuk setiap [ ]baxx ,, 21 ∈ .
Jadi mM − adalah batas atas dari himpunan ( ) ( ) [ ]{ }baxxxfxf ,,: 2121 ∈− .
Ambil sebarang 0>ε .
Karena M adalah supremum dari f, maka terdapat [ ]bax ,∈′ , sehingga
( ) .21 ε−>′ Mxf ( )22.5.3
Sejalan dengan hal tersebut, terdapat [ ]bax ,∈′′ , sehingga
( ) .21 ε+<′′ Mxf ( )23.5.3
Dari ketidaksamaan (3.5.22) dan (3.5.23) di atas mengakibatkan adanya
[ ]baxx ,, ∈′′′ , sehingga
( ) ( ) ε−−>′′−′ mMxfxf .
Jadi
( ) ( ) .ε−−>′′−′ mMxfxf ( )24.5.3
67
Dari ketidaksamaan (3.5.21) dan (3.5.24) di atas mengakibatkan mM − adalah
batas atas dan tidak ada bilangan yang lebih kecil daripada mM − dapat menjadi
batas atas dari himpunan ( ) ( ) [ ]{ }baxxxfxf ,,: 2121 ∈− .
Jadi
( ) ( ) [ ]{ }baxxxfxfmM ,,:sup 2121 ∈−=− . ■
Berikut ini akan dipaparkan teorema tentang hasil kali integral dari fungsi-fungsi
yang terintegral Darboux.
Teorema 3. 5. 5.
Jika 1f dan 2f adalah dua fungsi yang terbatas dan terintegral Darboux pada
[ ]ba, , maka perkalian 21 ff juga terbatas dan terintegral Darboux pada [ ]ba, .
Bukti.
Karena 1f dan 2f terbatas, maka terdapat 0>k sehingga untuk semua [ ]bax ,∈ ,
berlaku
( ) ( ) kxfkxf ≤≤ 21 dan, .
Sehingga
( )( ) ( ) ( ) ,22121 kxfxfxff ≤=
untuk semua [ ]bax ,∈ .
Hal ini berarti 21 ff terbatas.
Misal { }bxxxaP n === ,,, 10 K adalah sebarang partisi dari [ ]ba, .
68
Misal iiiiii mMmMmM ,dan,;, ′′′′′′ berturut-turut adalah batas-batas dari
2121 , ffdanff dalam ixΔ .
Diperoleh untuk semua ixxx Δ∈21 , .
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]122211112122
12112221121221
xfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxffxff
−+−=−=−
Sehingga
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )iiii mMkmMk
xfxfxfxfxfxfxffxff′′−′′+′−′≤
−⋅+−⋅≤− 122211112122121221
dan mengakibatkan
( ) ( ).iiiiii mMkmMkmM ′′−′′+′−′≤− ( )25.5.3
Sekarang ambil sebarang 0>ε .
Karena 1f dan 2f terintegral Darboux, maka terdapat 0>δ sehingga untuk
sebarang partisi P dengan norma ( ) δμ <P , berlaku
( ) ( ) ( ) ( )k
fPLfPUk
fPLfPU2
,,dan,2
,, 2211εε
<−<− .
Berasal dari ketidaksamaan (3.5.25), mengalikannya dengan ixΔ dan
menambahkan pada semua ketidaksamaan, didapat untuk sebarang partisi P
dengan norma ( ) δμ <P , berlaku
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]22112121 ,,,,,, fPLfPUkfPLfPUkffPLffPU −+−≤−
εεε=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛<
kk
kk
22
Sehingga mengakibatkan 21 ff terintegral Darboux pada [ ]ba, . ■
69
Setelah mengetahui tentang hasil kali integral, sekarang akan dipaparkan tentang
hasi bagi dari fungsi-fungsi yang terintegral Darboux.
Teorema 3. 5. 6.
Jika 1f dan 2f adalah dua fungsi yang terbatas dan terintegral Darboux pada
[ ]ba, , dan terdapat bilangan 0>λ sehingga ( ) λ≥xf untuk semua [ ]bax ,∈ ,
maka 2
1
ff terbatas dan terintegral Darboux pada [ ]ba, .
Bukti.
Karena 1f dan 2f terbatas, maka terdapat bilangan positif k sehingga
( ) ( ) ,, 21 kxfkxf ≤≤≤ λ
untuk semua [ ]bax ,∈ .
Sehingga
( ) ( )( ) ,
λ2
1
2
1 kxfxf
xff
≤=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
untuk semua [ ]bax ,∈ .
Jadi 2
1
ff terbatas.
Misal { }bxxxaP n === ,,, 10 K adalah partisi dari [ ]ba, dan misal
iiiiii mMmMmM ,dan,;, ′′′′′′ berturut-turut adalah batas-batas dari 2
121 dan,
ffff
dalam ixΔ . Untuk semua ixxx Δ∈21, , berlaku
70
( ) ( ) ( )( )
( )( )12
11
22
211
2
12
2
1
xfxf
xfxf
xff
xff
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )1222
122211112112
xfxfxfxfxfxfxfxf −−−
=
( ) ( ) ( ) ( )1222211212 xfxfkxfxfk−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛≤
λλ
( ) ( )iiii mMkmMk ′′−′′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+′−′⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛≤ 22 λλ
sehingga
( ) ( ).22 iiiiii mMkmMkmM ′′−′′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+′−′⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛≤−
λλ ( )26.5.3
Sekarang, ambil sebarang 0>ε .
Karena 1f dan 2f terintegral Darboux, maka terdapat 0>δ sehingga untuk
sebarang partisi P dengan norma ( ) δμ <P ,
( ) ( )
( ) ( ) .2
,,
2,,
2
22
2
11
kfPLfPU
kfPLfPU
ελ
ελ
<−
<−
Dari ketidaksamaan (3.5.26), untuk sebarang partisi P dengan norma ( ) δμ <P ,
berlaku
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
εελλ
ελλ
λλ
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛<
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛≤
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
kk
kk
fPLfPUkfPLfPUk
ffPL
ffPU
22
,,,,
,,
2
2
2
2
222112
2
1
2
1
71
Dan mengakibatkan bahwa 2
1
ff terintegral Darboux pada [ ]ba, . ■
Setelah mengetahui teorema di atas, masih terdapat satu teorema yang tidak kalah
penting dari kedua teorema tersebut, yaitu teorema tentang nilai mutlak dari
fungsi-fungsi yang terintegral Darboux yang akan dipaparkan di bawah ini.
Teorema 3. 5.7.
Jika f terbatas dan terintegral Darboux pada [ ]ba, , maka f juga terbatas dan
terintegral Darboux pada [ ]ba, . Lebih lanjut,
.∫∫ ≤b
a
b
adxfdxf
Bukti.
Karena f terbatas pada [ ]ba, , maka terdapat 0>k sehingga
( ) ,kxf ≤ untuk semua [ ]bax ,∈ .
Oleh karena itu, f terbatas.
Karena f terintegral, terdapat partisi { }bxxxaP n === ,,, 10 K dari [ ]ba, ,
sehingga
( ) ( ) ε<− fPLfPU ,, .
Misal iiii mMmM ′′,dan, adalah batas-batas dari f dan f di ixΔ . Untuk semua
ixxx Δ∈21, , berlaku
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ii mMxfxfxfxfxfxf −≤−≤−=− 121212 ,
72
sehingga
iiii mMmM −≤′−′ .
Hai ini mengakibatkan bahwa untuk sebarang partisi P,
( ) ( ) ( ) ( ) ε<−≤− fPLfPUfPLfPU ,,,, .
Dengan demikian f terintegral pada [ ]ba, .
Karena ( ) ( ) ( ) ( )xfxfxfxf =≤−, untuk semua [ ]bax ,∈ , oleh karena itu
dengan menggunakan Teorema 3. 1. 11, didapat
∫∫ ≤b
a
b
adxfdxf
dan
( ) ∫∫∫ ≤−=−b
a
b
a
b
adxfdxfdxf .
Sehingga
∫∫ ≤b
a
b
adxfdxf . ■
Catatan.
Kebalikan dari Teorema 3. 5. 7 di atas tidaklah berlaku.
Sebagai contoh penyangkal, ambil fungsi
( )⎩⎨⎧−
=irasionaljika,1rasionaljika,1
xx
xf
Dengan membentuk partisi { }bxxxaP n === ,,, 10 K dari [ ]ba, , sehingga
didapatkan
( ) 1, =fPU dan ( ) 1, −=fPL .
73
Oleh karena itu, diperoleh
( )., abdxfabdxfb
a
b
a−−=−= ∫∫ −
−
Oleh karena itu, f tidak terintegral Darboux.
Tetapi ( ) 1=xf , untuk semua x, sehingga ∫b
adxf ada dan ini sama dengan
( )ab − . Jadi f terintegral Darboux meskipun f tidak terintegral Darboux.
Teorema 3. 5. 8.
Jika f terintegral Darboux pada [ ]ba, , maka 2f juga terintegral Darboux pada
[ ]ba, .
Bukti.
Karena f terbatas pada [ ]ba, , maka f juga terbatas pada [ ]ba, . Jadi terdapat
0>M sehingga ( ) Mxf ≤ , untuk semua [ ]bax ,∈ .
Karena f terintegral Darboux, maka f juga terintegral Darboux pada [ ]ba, , dan
untuk 0>ε terdapat partisi P dari [ ]ba, sehingga
( ) ( )M
fPLfPU2
,, ε<− .
Sekarang, karena ( ) ( ) 222 Mxfxf ≤= , maka 2f terbatas.
Jika ii mM , adalah batas dari f dan ii mM ′′, adalah batas dari 2f di ixΔ , maka
22 dan iiii mmMM =′=′ .
Sehingga
74
( ) ( ) ( )∑=
Δ′−′=−n
iiii xmMfPLfPU
1
22 ,,
( )∑=
Δ−=n
iiii xmM
1
22
( )( )∑=
Δ+−=n
iiiiii xmMmM
1
( )
( ) ( ){ }.
22
,,2
21
εε=<
−=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
Δ−≤ ∑=
MM
fPLfPUM
xmMMn
iiii
Jadi
[ ]baDf ,2 ∈ . ■
Berikut adalah alternatif lain bukti Teorema 3. 5. 5.
Akibat 3. 5. 9.
Jika 1f dan 2f adalah dua fungsi yang terintegral Darboux pada [ ]ba, , maka
21 ff juga terintegral Darboux pada [ ]ba, .
Bukti.
Karena 1f dan 2f terintegral Darboux pada [ ]ba, , maka ( )221
22
21 dan,, ffff +
juga terintegral Darboux pada [ ]ba, . Oleh karena
( ){ },22
21
2212
121 ffffff −−+=
maka diperoleh [ ]baDff ,21 ∈ . ■
BAB IV
INTEGRAL RIEMANN
Dalam bab 3 sudah dijelaskan tentang integral Darboux dari fungsi
terbatas dengan menggunakan jumlah Darboux atas dan jumlah Darboux bawah.
Dalam bab ini akan dipaparkan tentang Integral Riemann yang telah disusun oleh
G. F. B. Riemann pada tahun 1854.
1. Integral Riemann dan Hubungannya dengan Integral Darboux
Dalam subbab ini akan dipaparkan tentang jumlah Riemann yang nantinya
digunakan untuk menentukan Integral Riemann, serta hubungan antara Integral
Riemann dengan Integral Darboux.
Definisi 4. 1. 1.
Berdasarkan pada partisi P dari [ ]ba, , dipilih titik-titik nttt ,,, 21 K dengan
( )nixtx iii ,,2,11 K=≤≤− dan diperhatikan jumlahan
( ) ( ) .,1∑=
Δ=n
iii xtffPS
Jumlahan ( )fPS , disebut Jumlah Riemann dari f pada [ ]ba, terhadap P. Perlu
diperhatikan bahwa it merupakan sebarang titik pada ixΔ .
Jumlahan ( )fPS , dikatakan konvergen ke ∈A R untuk ( ) 0→Pμ , yaitu
( )( ) AfPS
P=
→,lim
0μ,
jika untuk setiap 0>ε terdapat 0>δ sehingga
76
( ) ε<− AfPS , ,
untuk setiap partisi { }nxxxP ,,, 10 K= dari [ ]ba, dengan norma ( ) δμ <P dan
untuk setiap pemilihan titik it dalam [ ]ii xx ,1− .
Definisi 4. 1. 2.
Fungsi f dikatakan terintegral Riemann pada [ ]ba, dengan nilai integralnya ditulis
dengan ∫b
adxf jika ( )fPS ,lim ada untuk ( ) 0→Pμ , sehingga
( )( ) .,lim
0 ∫=→
b
aPdxffPS
μ
Himpunan semua fungsi yang terintegral Riemann pada interval [ ]ba, ditulis
dengan [ ]baR , .
Catatan.
Dikarenakan ( ) 0→Pμ terjadi jika ∞→n , maka penulisan ( )
( )fPSP
,lim0→μ
dapat
diganti dengan ( )fPSn
,lim∞→
.
Dari dua konsep integral yang sudah diperkenalkan, yaitu integral Darboux dan
integral Riemann, akan dibuktikan bahwa keduanya ekuivalen. Dan dalam hal ini
berarti jika fungsi f terintegral Darboux maka f terintegral Riemann dan jika f
terintegral Riemann maka f terintegral Darboux, dan nilai integralnya sama.
77
Definisi 3. 1. 2. ⇒ Definisi 4. 1. 2.
Diketahui f fungsi terbatas yang terintegral Darboux menurut definisi pertama,
yaitu
∫∫∫ −
−
==b
a
b
a
b
adxfdxfdxf .
Ambil sebarang 0>ε .
Berdasarkan Teorema Darboux (Teorema 3.1.1.), terdapat 0>δ sehingga untuk
setiap partisi P dengan norma ( ) δμ <P , berlaku
( ) ,, εε +=+< ∫∫− b
a
b
adxfdxffPU ( )1.1.4
dan
( ) ., εε −=−> ∫∫− b
a
b
adxfdxffPL ( )2.1.4
Jika it adalah sebarang titik pada ixΔ , didapat
( ) ( ) ( ).,,1
fPUxtffPLn
iii ≤Δ≤ ∑
=
( )3.1.4
Dari ketidaksamaan (4.1.1), (4.1,2) dan (4.1.3) dapat disimpulkan bahwa untuk
sebarang 0>ε , terdapat 0>δ sehingga untuk setiap partisi P dengan norma
( ) δμ <P , berlaku
( ) ,1
εε +<Δ<− ∫∑∫=
b
a
n
iii
b
adxfxtfdxf
sehingga
( ) .1
ε<−Δ ∫∑=
b
a
n
iii dxfxtf
Jadi fungsi terbatas f terintegral Riemann (berdasarkan Definisi 4.1.2). ■
78
Definisi 4. 1. 2. ⇒ Definisi 3. 1. 2.
Diketahui fungsi f terintegral Riemann berdasarkan Definisi 4.1.2, yakni
( )( )fPS
P,lim
0→μ ada.
Dengan kata lain, untuk setiap bilangan 0>ε , terdapat 0>δ sehingga untuk
setiap partisi { }nxxxP ,,, 10 K= dengan norma ( ) δμ <P dan setiap titik it pada
ixΔ yang dipilih, terdapat bilangan A sehingga
( ) .1
ε<−Δ∑=
Axtfn
iii
Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa f terbatas.
Andaikan bahwa fungsi f tidak terbatas.
Ambil 1=ε , maka terdapat partisi P sehingga untuk setiap titik it pada ixΔ yang
dipilih berlaku
( ) 1<−Δ∑ Axtf ii .
Dari sini diperoleh:
( ) 1+<Δ∑ Axtf ii .
Dikarenakan f tidak terbatas pada [ ]ba, , pastilah f tidak terbatas pada suatu
subinterval, sebut saja mxΔ .
Ambil ii xt = di mana mi ≠ sehingga setiap it pasti ada, kecuali mt dan sesuai
dengan syarat yang berlaku, jumlah ( )∑ Δ ii xtf juga ada, kecuali ( ) mm xtf Δ .
Karena f tidak terbatas pada mxΔ , dapat dipilih titik mm xt Δ∈ , sehingga
( ) 1+>Δ∑ Axtf ii ,
79
dan itu mengakibatkan adanya kontradiksi.
Oleh karena itu, fungsi f terbatas pada [ ]ba, .
Selanjutnya, ambil 0>ε . Jadi terdapat 0>δ sehingga untuk semua partisi P
dengan norma ( ) δμ <P , didapat
( ) ., 21
21 εε +<<− AfPSA ( )4.1.4
Dipilih salah satu partisi P. Jika diambil titik it dalam interval ixΔ dan
mengambil supremum dan infimum dari jumlahan ( )fPS , yang berlaku,
ketidaksamaan (4.1.4) mengakibatkan
( ) ( ) .,, 21
21 εε +<≤<− AfPUfPLA ( )5.1.4
Sehingga
( ) ( ) ,,, ε<− fPLfPU
dan
( ) ( ).,, fPUdxfdxffPLb
a
b
a≤≤≤ ∫∫
−
−
Jadi
( ) ( ) ,,, ε<−≤− ∫∫ −
−
fPLfPUdxfdxfb
a
b
a
dan pernyataan bahwa bilangan tak negatif yang lebih kecil dari setiap bilangan
positif adalah nol mengakibatkan
0=− ∫∫ −
− b
a
b
adxfdxf ,
atau
∫∫ −
−
=b
a
b
adxfdxf .
80
Terbukti bahwa fungsi f terintegral Darboux (berdasarkan Definisi 3.1.2). ■
Contoh 4.1.3.
Akan ditunjukkan bahwa 2
112
1=∫ dxf , untuk ( ) 13 += xxf .
Ambil sebarang partisi { }2,,,1 10 === nxxxP K yang membagi interval [ ]ba,
menjadi n subinterval yang sama-sama mempunyai panjang n1 , sehingga
( ) 01→=
nPμ jika ∞→n ,
nin
xi ,,2,1,11 K=+= ,
nin
xi ,,2,1,1K==Δ ,
11.1
==Δ∑= n
nxn
ii .
Misal ii xt = untuk ni ,,2,1 K= , maka diperoleh
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ,23
211
2134
34113
13,
2
12
1
111
nnn
n
in
xxni
xxxxfxtffPS
n
i
n
iii
i
n
ii
n
iii
n
ii
+=+
+=
+Δ=Δ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
Δ+=Δ=Δ=
∑∑∑
∑∑∑
==
===
yang akan mendekati limitnya untuk ( ) 0→Pμ , yaitu
( )( )
211,lim
0=
→fPS
Pμ.
Karena limitnya ada, maka fungsi ( ) 13 += xxf terintegral Riemann dan
81
( )( )
211,lim
0
2
1==
→∫ fPSdxfPμ
.
Contoh 4. 1. 4.
Akan ditunjukkan ∫−1
1dxf , untuk ( ) xxf = .
Fungsi f terbatas dan kontinu pada [ ]1,1− , dan
( )⎩⎨⎧
≥≤−
=0,0,
xxxx
xf .
Ambil partisi { }1,,,0,,,1 1010 ====−= nn yyyxxxP KK yang membagi
interval [ ]1,1− menjadi n2 subinterval yang masing-masing mempunyai panjang
n1 . Diperoleh
( ) 01→=
nPμ jika ∞→n ,
nin
xi ,,2,1,11 K=+−= ,
nin
yi ,,2,1,1K== ,
ii yn
x Δ==Δ1 ,
∑∑ Δ===Δ=
i
n
ii y
nnx 11.
1 .
Misal ii xt Δ∈ dan ii yt Δ=′ , untuk ni ,,2,1 K= dan misalkan pula ii xt = dan
ii yt =′ , untuk ni ,,2,1 K= , maka diperoleh
82
( ) ( ) ( )
( )
.1
11
1
,
1
12
12
1
11
=Δ=
+−Δ=
Δ+Δ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
Δ+Δ−=
Δ′+Δ=
∑
∑∑∑
∑ ∑
∑ ∑
∑∑
=
===
==
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
i iiiii
n
iii
n
iii
x
in
in
x
ynix
ni
yyxx
ytfxtffPS
Jadi
( )( ) 1,lim
0=
→fPS
Pμ,
dan karena limitnya ada, fungsi ( ) xxf = terintegral Riemann dan
( )( ) 1,lim
0
1
1==
→−∫ fPSdxxPμ
.
Teorema 4.1. 5.
Jika ∈1f R dan ∈2f R terhadap [ ]ba, , dan 1c dan 2c adalah sebarang konstanta,
maka [ ]baRfcfc ,2211 ∈+ dan
( ) ∫∫∫ +=+b
a
b
a
b
adxfcdxfcdxfcfc 22112211 .
Bukti.
Misal 2211 fcfcf += .
Untuk sebarang partisi P, diketahui
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )2211
2211
,,
,
fPScfPSc
xtfcxtfcxtffPSi i i
iiiiii
+=
Δ+Δ=Δ= ∑ ∑ ∑
83
Karena fungsi 1f dan 2f terintegral Riemann, maka untuk 0>ε , dapat dipilih
0>δ sehingga untuk semua partisi P dengan norma ( ) δμ <P , berlaku
( ) ( )12,
111 +
<− ∫ cdxffPS
b
a
ε ,
dan
( ) ( )12,
222 +
<− ∫ cdxffPS
b
a
ε .
Jadi
( ) ∫∫ −−b
a
b
adxfcdxfcfPS 2211,
( ) ( ) dxfcdxfcfPScfPScb
a
b
a ∫∫ −−+= 221121 ,,
( ){ } ( ){ }∫∫ −+−=b
a
b
adxfcfPScdxfcfPSc 222111 ,,
( ) ( ) ∫∫ −+−≤b
a
b
adxfcfPScdxfcfPSc 222111 ,,
( ) ( ) ∫∫ −+−≤b
a
b
adxffPScdxffPSc 2211 ,,
( ) ( )1212 22
11 +
++
<c
cc
c εε
ε< ,
atau dengan kata lain ( )
( )fPSP
,lim0→μ
ada dan sama dengan ∫∫ +b
a
b
adxfcdxfc 2211 .
Oleh karena itu, [ ]baRfcfc ,2211 ∈+ dan
( ) ∫∫∫ +=+b
a
b
a
b
adxfcdxfcdxfcfc 22112211 . ■
84
Teorema 4. 1. 6.
Jika fungsi f terbatas dan terintegral Riemann pada masing-masing interval [ ]ca, ,
[ ]bc, , dan [ ]ba, di mana c adalah sebarang titik pada ( )ba, , maka
∫∫∫ +=b
c
c
a
b
adxfdxfdxf .
Bukti.
Diberikan 0>ε .
Karena f terintegral Riemann pada setiap interval [ ]ca, , [ ]bc, , dan [ ]ba, , maka
terdapat 0>δ sehingga untuk setiap partisi { }bxxxaP n === ,,, 10 K memuat
titik c, dengan norma ( ) δμ <P dan untuk setiap titik it yang dipilih pada ixΔ ,
didapat
( )[ ]
ε31
,<−Δ∑ ∫
ca
c
aii dxfxtf ,
( )[ ]
ε31
,<−Δ∑ ∫
bc
b
cii dxfxtf ,
( )[ ]
ε31
,<−Δ∑ ∫
ba
b
aii dxfxtf ,
dan
( )[ ]
( ) ( )[ ][ ]
∑ ∑∑ Δ=Δ+Δbc ba
iiiica
ii xtfxtfxtf, ,,
.
Oleh karena itu, dapat disimpulkan
ε<−− ∫∫∫b
c
c
a
b
adxfdxfdxf .
Jadi
85
∫∫∫ +=b
c
c
a
b
adxfdxfdxf . ■
Teorema 4. 1. 7. (Kriteria Cauchy untuk Keterintegralan Riemann)
Fungsi f terintegral Riemann pada [ ]ba, jika dan hanya jika untuk 0>ε terdapat
0>δ sehingga jika P dan P′ , berturut-turut adalah dua partisi dari [ ]ba, dengan
norma ( ) δPμ < dan ( ) δμ <′P , maka
( ) ( ) ε<′− fPSfPS ,, .
Bukti.
Pertama, diberikan [ ]baRf ,∈ dan Idxfb
a=∫ .
Jadi, untuk 0>ε terdapat 0>δ sehingga untuk semua partisi P dan P′ dari
[ ]ba, dengan norma berturut-turut ( ) δPμ < dan ( ) δμ <′P dan semua posisi dari
titik it pada ixΔ , berlaku
( ) ε21, <− IfPS , ( )6.1.4
( ) ε21, <−′ IfPS . ( )7.1.4
Sehingga
( ) ( ) ( ) ( ) .,,,, 21
21 εεε =+<−′+−≤′− IfPSIfPSfPSfPS
Sebaliknya, untuk 0>ε terdapat 01 >δ sehingga untuk sebarang partisi P
dengan norma ( ) δμ <P dan P′ dengan norma ( ) 1δμ <′P , didapat
( ) ( ) ε<′− fPSfPS ,, . ( )8.1.4
Diketahui bahwa untuk partisi P′ yang diberikan dan setiap titik it pada ixΔ
86
yang dipilih, ( )fPS ,′ terbatas oleh ( )fPL ,′ dan ( )fPU ,′ , yang mana semua
partisi dari [ ]ba, terbatas oleh ( )abm − dan ( )abM − , di mana m dan M adalah
batas-batas dari f. Jadi barisan ( ){ }fPS ,′ dari Jumlah Riemann menjadi terbatas.
Karena setiap barisan terbatas mempunyai titik limit, misalkan barisan itu
mempunyai titik limit I, dengan norma ( ) 1δμ <′P , sehingga
( )( ) IfPS
P=′
→′,lim
0μ.
Dengan demikian, untuk 0>ε terdapat 01 >δ untuk partisi P′ dengan norma
( ) 2δμ <′P , berlaku
( ) ε21, <−′ IfPS . ( )9.1.4
Dengan mengambil ( )21 ,min δδδ = , diperoleh
( ) ( ) ( ) ( ) ,,,,, 21
21 εεε =+<−′+′−≤− IfPSfPSfPSIfPS
untuk ( ) δμ <P .
Sehingga
( )( ) IfPS
P=
→,lim
0μ.
Jadi, ( )
( ) IfPSP
=→
,lim0μ
ada, yang mengakibatkan fungsi f terintegral Riemann.
■
2. Fungsi-fungsi Terintegral Riemann
Dalam subbab ini akan dibahas tentang syarat-syarat fungsi yang terintegral
Riemann.
87
Teorema 4. 2. 1.
Setiap fungsi f yang kontinu pada [ ]ba, terintegral Riemann pada [ ]ba, .
Bukti.
Diberikan 0>ε . Ambil sebarang bilangan positif k, sehingga
( ) ε<− abk .
Karena f kontinu pada interval tertutup [ ]ba, , maka fungsi f terbatas dan kontinu
seragam pada [ ]ba, , ini mengakibatkan terdapat 0>δ , sehingga
( ) ( ) ,21 ktftf <− ( )1.2.4
jika ktt <− 21 dan [ ]batt ,, 21 ∈ . Selanjutnya dipilih partisi P dengan norma
( ) δμ <P . Menggunakan ketidaksamaan (4.2.1), diperoleh
( )nikmM ii ,,2,1, K=≤−
sehingga
( ) ( ) ( )∑=
Δ−=−n
iiii xmMfPLfPU
1
,,
∑=
Δ≤n
iixk
1
( ) ε<−= abk . ( )2.2.4
Jadi, f terintegral Riemann pada [ ]ba, . ■
Akibat 4. 2. 2.
Jika fungsi f kontinu, maka untuk setiap 0>ε terdapat 0>δ sehingga
( ) ε<−Δ∑ ∫=
n
i
b
aii dxfxtf1
,
88
untuk setiap partisi { }nxxxxP ,,,, 210 K= dari [ ]ba, dengan norma ( ) δμ <P dan
untuk setiap titik it pada ixΔ yang dipilih.
Bukti.
Karena nilai ( )∑ Δ ii xtf dan ∫ dxf berada di antara ( )fPU , dan ( )fPL , , maka
dapat disimpulkan bahwa
( ) ε<−Δ∑ ∫=
n
i
b
aii dxfxtf1
,
berdasarkan ketidaksamaan (4.2.2). ■
Catatan.
Untuk fungsi-fungsi yang kontinu pada [ ]ba, , ( )
( )∑ Δ→ iiP
xtf0
limμ
ada dan sama
dengan ∫b
adxf .
Kontinuitas adalah syarat perlu untuk suatu keterintegralan Riemann, bukan syarat
cukup. Suatu fungsi yang terintegral Riemann belum tentu kontinu, sebagai
contohnya akan diberikan pada contoh 4.2.6, contoh 4.2.7, dan contoh 4.2.8.
Teorema 4. 2. 3.
Jika fungsi f monoton pada [ ]ba, , maka f terintegral Riemann pada [ ]ba, .
Bukti.
Misalkan f monoton naik. Karena f monoton pada [ ]ba, , jelas bahwa f terbatas
pula pada [ ]ba, .
89
Diberikan 0>ε . Dipilih bilangan ( ) ( ) 1+−<
afbfk ε .
Ambil partisi { }nxxxP ,,, 10 K= dari [ ]ba, dengan norma ( ) kP <μ .
Karena f monoton naik, diperoleh
( ) ( ) ( )nixfmxfM iiii ,,2,1,, 1 K=== −
sehingga
( ) ( ) ( )∑=
Δ−=−n
iiii xmMfPLfPU
1,,
( ) ( ){ } i
n
iii xxfxf Δ−= ∑
=−
11
( ) ( ){ }∑=
−−<n
iii xfxfk
11
( ) ( ) ( ) ( ){ }afbfafbf
−⋅+−
<1
ε
ε< .
Oleh karena itu, f terintegral Riemann pada [ ]ba, .
Sejalan dengan langkah-langkah di atas, dapat dibuktikan untuk fungsi yang
monoton turun. ■
Teorema 4. 2. 4.
Jika fungsi f terbatas dan mempunyai sejumlah berhingga titik diskontinuitas pada
[ ]ba, , maka f terintegral Riemann pada [ ]ba, .
Bukti.
90
Misalkan f diskontinu pada titik [ ]baaaa k ,,, 21 ∈K dengan kaaa <<< L21 .
Misal m dan M berturut-turut adalah batas-batas fungsi f, dan karena f terbatas,
maka nilai fungsinya berada di antara batas-batasnya.
Ambil sebarang 0>ε , maka terdapat bilangan h dengan
h<0 { }kiaa ii ,,2,1:min 121 K=−⋅< − . Karena f kontinu pada [ ]ba, , maka f
kontinu juga pada setiap subinterval-subinterval dari [ ]ba, . Misal subinterval-
subintervalnya adalah [ ] [ ] [ ],,,,,, 32321211 hahaIhahaIhaaI −+=−+=−=
[ ]bhaI kk ,, 1 +=+L dan berturut-turut membentuk partisi-partisi
1321 ,,,, +kPPPP K , sehingga
( ) ( ) ( )12,,
+<−
kfPLfPU ii
ε ,
untuk setiap 1,,3,2,1 += ki K .
Misal partisi 121 +∪∪∪= kPPPP L , maka P merupakan partisi dari [ ]ba, . Jika
( ) [ ]{ }hahaxxfm iii +−∈= ,:inf ,
dan
( ) [ ]{ }hahaxxfM iii +−∈= ,:sup ,
maka diperoleh
( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )∑∑=
+
=
−+−=−k
iii
k
iii hmMfPLfPUfPLfPU
1
1
12,,,,
( ) ( )∑=
−++
<k
ihmM
k 12
12ε
( ) εε<−+= khmM 2
2
91
dengan ( )mMkh
−<
2ε .
Oleh karena itu, fungsi f terintegral Riemann. ■
Di bawah ini akan diberikan beberapa contoh yang berhubungan dengan sifat-sifat
integral Riemann yang telah dijelaskan sebelumnya.
Contoh 4. 2. 5.
Jika fungsi f terdefinisi pada [ ]1,1− dengan
( )⎩⎨⎧
=≠
=,0jika,0
0jika,xxk
xf
maka akan ditunjukkan bahwa fungsi f terintegral Riemann pada [ ]1,1− dan nilai
integralnya adalah 2k.
Fungsi f hanya mempunyai satu titik yang tidak kontinu, yaitu 0, dan fungsi
tersebut terintegral Riemann. Untuk ( ) kxf = , sudah terbukti pada Contoh 3.1.3,
dan
( )abkdxkb
a−=∫ .
Jadi fungsi f terintegral Riemann pada [ ]1,1− , dan
( )( ) kkdxk 2111
1=−−=∫− .
Contoh 4. 2. 6.
Jika fungsi f terdefinisi pada [ ]1,0 dengan
92
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=
== positif,bulatbilangandandenganjika,1
irasionalatau0jika ,0
qpqpx
q
xxxf
maka akan ditunjukkan bahwa fungsi f terintegral Riemann pada [ ]1,0 dan nilai
integralnya adalah nol.
Fungsi f terbatas dengan batas 0 dan 1. Diberikan sebarang 0>ε .
Terdapat bilangan bulat terbesar q sehingga ε211
>q
atau ε2
<q . Jadi hanya
terdapat himpunan titik berhingga dari titik-titik qp dengan ε2
11>
q. Sebut titik
tersebut sebagai titik pengecualian.
Jadi titik rasional yang merupakan titik pengecualian, fungsi f mempunyai nilai
ε211
>q
, sementara itu bilangan rasional yang lain fungsi f mempunyai nilai
ε211
<q
. Nilai fungsi f adalah nol pada titik irasional.
Ingat bahwa setiap interval memuat bilangan rasional dan juga bilangan irasional.
Osilasi dari f pada sebarang interval yang tidak memuat titik pengecualian
nilainya lebih kecil dari ε21 dan pada interval yang memuat titik pengecualian
nilainya lebih besar atau sama dengan 1. Perhatikan partisi P dari [ ]1,0 juga
memuat titik pengecualian pada subinterval-subintervalnya, jumlah dari interval
yang panjangnya lebih kecil dari ε21 . Jadi penambahan pada
( ) ( ){ }fPLfPU ,, − dengan partisi tersebut lebih kecil dari ε21 .
93
Penambahan pada ( ) ( ){ }fPLfPU ,, − dengan bagian dari [ ]1,0 pasti lebih kecil
dari ε21 .
Contoh 4. 2. 7.
Akan ditunjukkan bahwa fungsi f yang didefinisikan dengan
( ) ( ),,2,1,0,21
21jika,
21
1 K=≤<= + nxxf nnn ,
( ) 00 =f ,
terintegral Riemann pada [ ]1,0 , meskipun mempunyai tak berhingga banyak titik
diskontinuitas.
Perhatikan
( )11
21jika,1 ≤<= xxf
( )21
21jika,
21
2 ≤<= xxf
( ) 232 21
21jika,
21
≤<= xxf
M
( ) 11 21
21jika,
21
−− ≤<= nnn xxf
M
( ) 0jika,0 == xxf .
Jadi dapat dilihat bahwa f terbatas dan monoton ke atas pada [ ]1,0 .
94
Oleh karena itu, menurut Teorema 4.2.3 menjamin bahwa fungsi f terintegral
Riemann pada [ ]1,0 .
3. Integral dan Turunan
Sebelum membahas tentang definisi primitif dari sebuah fungsi, akan ditunjukkan
terlebih dahulu bahwa integral dan turunan merupakan dua hal yang saling
berhubungan erat. Kemudian setelah itu akan dibuktikan teorema yang terkenal
sebagai teorema fundamental kalkulus.
Teorema 4. 3. 1. (Teorema Fundamental Pertama untuk Kalkulus Integral)
Jika fungsi f terbatas dan terintegral Riemann pada [ ]ba, , maka fungsi F yang
didefinisikan sebagai
( ) ( ) ,, bxadttfxFx
a≤≤= ∫
kontinu pada [ ]ba, . Lebih lanjut, jika f kontinu pada titik [ ]bac ,∈ , maka F
mempunyai turunan di c dan
( ) ( ).cfcF =′
Bukti.
Karena f terbatas , maka terdapat bilangan 0>k , sehingga
( ) ,kxf ≤ untuk semua [ ]bax ,∈ .
Jika [ ]baxx ,, 21 ∈ dan bxxa ≤≤≤ 21 , maka
( ) ( ) ( )∫=− 2
112
x
xdttfxFxF
95
( )12 xxk −≤ . (menggunakan Teorema 3. 1. 9)
Jika diberikan 0>ε , diperoleh
( ) ( )k
xxxFxF εε <−<− 1212 jika, .
Karena itu, fungsi F kontinu pada [ ]ba, .
Misal f kontinu pada titik [ ]bac ,∈ , sehingga untuk sebarang 0>ε terdapat
0>δ , dan diperoleh
( ) ( ) δε <−<− cxcfxf untuk, .
Misal δδ +<≤≤<− ctcsc , diperoleh
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )dxcfxfst
cfst
sftF t
s∫ −−
=−−− 1
( ) ( )
.
1
ε<
−−
≤ ∫ dxcfxfst
t
s
Jadi diperoleh
( ) ( )cfcF =′ ,
yaitu f kontinu pada sebarang titik dari [ ]ba, mengakibatkan F mempunyai
turunan pada titik tersebut. ■
Definisi 4. 3. 2.
Jika terdapat fungsi F yang mempunyai turunan sehingga turunannya F ′
mempunyai nilai yang sama untuk fungsi f yang diberikan, fungsi F ini disebut
primitif dari f.
96
Teorema 4.3.1 memperlihatkan bahwa syarat cukup untuk sebuah fungsi menjadi
sebuah primitif adalah fungsi tersebut haruslah kontinu. Jadi untuk setiap fungsi
yang kontinu yang menjadi primitif F, berlaku ( ) ( )∫=x
adttfxF .
Catatan.
Akan ditunjukkan dengan contoh penyangkal bahwa kekontinuan sebuah fungsi
bukanlah syarat perlu untuk adanya sebuah primitif, dengan kata lain “fungsi yang
menjadi primitif tidaklah perlu kontinu”.
Perhatikan fungsi f pada [ ]1,0 , di mana
( ) ( ) ( )⎩⎨⎧
=≠−
=.0jika,0
0jika,cossin2 11
xxx
xf xx
Fungsi tersebut mempunyai primitif F, di mana
( ) ( )⎩⎨⎧
=≠
=.0jika,0
0jika,sin 12
xxx
xF x
Dapat dilihat bahwa ( ) ( )xfxF =′ tetapi f tidak kontinu pada 0=x , yang
berakibat tidak kontinu pada [ ]1,0 . Dari hal di atas dapat dikatakan bahwa fungsi
yang mempunyai turunan tidak perlu kontinu.
4. Teorema Fundamental Kalkulus
Dalam subbab ini akan dipaparkan tentang satu teorema yang penting dalam
integral Riemann dari suatu fungsi yang terbatas pada suatu interval tertutup dan
terbatas.
97
Teorema 4. 4. 1. (Teorema Fundamental Kedua untuk Kalkulus Integral)
Jika fungsi f terbatas dan terintegral Riemann pada [ ]ba, , dan terdapat fungsi F
sehingga fF =′ pada [ ]ba, , maka
( ) ( )aFbFdxfb
a−=∫ .
Bukti.
Karena fungsi fF =′ terbatas dan terintegral Riemann, mengakibatkan untuk
setiap diberikan 0>ε terdapat 0>δ sehingga untuk setiap partisi
{ }bxxxaP n === ,,, 10 K , dengan norma ( ) δμ <P , berlaku
( )
( )( ) ⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
=
<−Δ
∑ ∫
∫∑
=→
=
n
i
b
aiiPμ
b
a
n
iii
dxfΔxtf
dxfxtf
10
1
limatau
ε
( )1.4.4
untuk setiap titik it yang dipilih pada ixΔ .
Karena titik it pada ixΔ dapat dipilih secara sebarang, dapat dipilih dengan cara
berurutan seperti di bawah ini:
Dengan menggunakan Teorema Nilai Rata-rata Lagrange, berlaku
( ) ( ) ( ) ( )( ) .
,,2,11
ii
iiii
xtfnixtFxFxF
Δ==Δ′=− − K
Jadi
( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ).1
11
aFbF
xFxFxtfn
iii
n
iii
−=
−=Δ ∑∑=
−=
Berdasarkan ketidaksamaan (4.4.1), diperoleh
98
( ) ( )aFbFdxfb
a−=∫ . ■
Contoh 4. 4. 2.
Akan ditunjukkan bahwa 321
0=∫ dxf , di mana fungsi f terintegral Riemann dan
didefinisikan dengan
( ) ( ),,2,1,0,21
21jika,
21
1 K=≤<= + nxxf nnn ,
( ) 00 =f .
Karena f terintegral Riemann pada interval [ ]1,0 (menurut contoh 3.2.7) dan
integral Riemann f pada titik 0 adalah nol, maka tinggal dihitung pada interval
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ 1,21
n .
∫∫∫∫∫ −++++= 12
1
2
1
22
1
32
1
21
22
121
2
1
11 n
nn
dxfdxfdxfdxfdxf L
∫∫∫∫ −
−++++= 12
1
2
1122
1
32
1221
22
121 2
121
21
1 n
nn dxdxdxdx L
( ) ( ) ( )nnn 21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
113222 −++−+−+= −−L
( ) ( ){ }1
212
21
21
21
2221 −++++= nL
( ) ( )n
n
41
32
1
121 1
41
41
−=⋅=−
−
Dengan mengambil limit untuk ∞→n , didapat
32
1
0=∫ dxf .
99
Contoh 4. 4. 3.
Akan ditunjukkan bahwa fungsi [ ]x , di mana [ ]x menyimbolkan bilangan bulat
terbesar tetapi tidak lebih besar dari x, terintegral pada [ ]3,0 , dan
[ ] 33
0=∫ dxx .
Fungsi tersebut terbatas dan hanya mempunyai tiga titik diskontinuitas, yaitu pada
titik 1, 2, dan 3.
Diberikan 0>ε . Perhatikan partisi P dengan
{ }3,,,2,,,,1,,,,0 101010 ===== nmi zzzyyyxxxP KKK .
Kemudian dihitung,
( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑ −−⋅+Δ⋅+−⋅+Δ⋅+−⋅+Δ⋅= 10 322110, nnimiioi zzzyzyxyxfPU ( ) ( ) ( ){ }10021 −−+−+−++= nnmi zzyzxy
Dipilih partisi P dengan
( ) ( ) ( ) ε<−+−+− −100 nnmi zzyzxy ,
sehingga mengakibatkan
( ) ε+< 3, fPU .
Setelah itu dihitung,
( ) ( )∑ ∑ ∑ =Δ⋅+−+Δ⋅+Δ⋅= 3210, imoii zyzyxfPL .
Dari perhitungan di atas, diperoleh
( ) ( ) ε<− fPLfPU ,, ,
Sehingga fungsi [ ]x terintegral dan nilainya
[ ] [ ] 33
0
3
0== ∫∫ −
−
dxxdxx .
100
Selain cara seperti di atas, dapat juga diselesaikan seperti di bawah ini:
Karena fungsi [ ]x terbatas dan hanya mempunyai tiga titik diskontinuitas tetapi
terintegral Riemann, dan
[ ] [ ] [ ] [ ]∫∫∫∫ ++=3
2
2
11
1
0
3
0dxxdxxdxxdxx
3203
2
2
1
1
0=++= ∫∫∫ dxdxdx .
Titik 1, 2, dan 3 berturut-turut merupakan titik-titik diskontinuitas pada tiga
integral pada ruas kanan.
Teorema 4. 4. 4.
Jika f adalah fungsi kontinu tak negatif pada [ ]ba, dan 0=∫b
adxf , akan
dibuktikan bahwa ( ) 0=xf untuk semua [ ]bax ,∈ .
Bukti.
Misalkan, untuk suatu [ ] ( ) 0,, >∈ cfbac .
Karena itu, untuk ( ) 021
>= cfε , kontinu di f pada titik c mengakibatkan bahwa
terdapat 0>δ sehingga
( ) ( ),21 cfxf > untuk semua ( )δδ +−∈ ccx , .
Selanjutnya,
∫∫∫∫ +
+
−
−++=
b
c
c
c
c
a
b
adxfdxfdxfdxf
δ
δ
δ
δ
∫+
−≥
δ
δ
c
cdxf ( ( ) 0≥xf , untuk semua [ ]bax ,∈ )
( ) ( ) 021 >=> ∫
+
−cfdxcf
c
cδ
δ
δ
101
Ini mengakibatkan terjadinya kontradiksi. Jadi ( ) 0=xf untuk semua ( )bax ,∈ .
Sejalan dengan hal tersebut, ( )af dan ( )bf tidaklah lebih besar dari nol.
Oleh karena itu, terbukti bahwa ( ) 0=xf untuk semua [ ]bax ,∈ .
Berikut ini adalah contoh penerapan Teorema Fundamental Kedua untuk Kalkulus
Integral yang telah dijelaskan pada Teorema 4.4.1 di atas.
Contoh 4. 4. 5.
Akan ditunjukkan bahwa dxxx
x∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
1
0
1cos1sin2 ada.
Fungsi
( ) ( ]⎩⎨⎧
=∈−
=0,01,0,cossin2 11
xxx
xf xx
tidak kontinu pada [ ]1,0 karena diskontinu pada titik 0, tetapi terbatas dan kontinu
pada ( ]1,0 dan itu mengakibatkan terintegral Riemann pada [ ]1,0 .
Fungsi
( ) ( ]⎩⎨⎧
=∈
=0,01,0,sin 12
xxx
xg x
mempunyai turunan pada [ ]1,0 dan memenuhi
( ) ( )xfxg =′ , untuk semua [ ]1,0∈x .
Jadi,
102
( ) ( ) 1sin011cos1sin21
0=−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −∫ ggdx
xxx .
Catatan.
Jika fungsi f tidak terintegral Riemann pada [ ]ba, tetapi ( ) ( )xgxf ′= untuk
semua [ ]bax ,∈ , maka
( ) ( )agbgdxfb
a−≠∫ .
Di bawah ini akan diberikan salah satu contoh fungsi yang turunannya tidak
terintegral Riemann.
Contoh 4. 4. 6.
Akan dibuktikan bahwa persamaan ( ) ( ) ( )afbfdxxfb
a−=′∫ tidaklah selalu
dipenuhi.
Misal f terdefinisi pada [ ]1,0 seperti di bawah ini:
( ) ( ),cos 22
xxxf π= jika ,10 ≤< x dan ( ) 00 =f .
Maka f mempunyai turunan pada [ ]1,0 dan
( ) ( ) ( ) ( ),sincos2 222
xxxxxf πππ +=′ jika 10 ≤< x ,
( ) 00 =′f .
Fungsi f ′ tidak terbatas pada [ ]1,0 dan oleh karena itu, f ′ tidak terintegral
Riemann, yaitu ( )∫ ′1
0dxxf tidak ada.
103
5. Teorema Nilai Rata-rata dari Kalkulus Integral
Dalam subbab ini akan dipaparkan tentang Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral
beserta perluasan dari teorema tersebut.
Teorema 4. 5. 1. (Teorema Nilai Rata-rata Pertama)
Jika fungsi f kontinu pada [ ]ba, , maka terdapat bilangan [ ]bac ,∈ sehingga
( )( )abcfdxfb
a−=∫ .
Bukti.
Karena f kontinu pada [ ]ba, , maka [ ]baRf ,∈ .
Misal m, M berturut-turut adalah infimum dan supremum dari f pada [ ]ba, , maka
menurut ketidaksamaan (3.1.3),
( ) ( )abMdxfabmb
a−≤≤− ∫ .
Karena itu, terdapat bilangan [ ]Mm,∈μ , sehingga
( )abAdxfb
a−=∫ .
Karena f kontinu pada [ ]ba, , maka Teorema Nilai Tengah menjamin bahwa setiap
nilai dari f berada di antara batas-batas m dan M. Oleh karena itu, terdapat
bilangan [ ]bac ,∈ sehingga ( ) μ=cf , dan ini mengakibatkan
( )( )abcfdxfb
a−=∫ . ■
Catatan.
Teorema 4.5.1 di atas memperlihatkan bahwa kekontinuan adalah syarat cukup
104
untuk fungsi yang akan diperkirakan nilai rata-ratanya berada pada interval yang
diberikan, sebagai contoh fungsi f yang terdefinisi pada [ ]5,2 di bawah ini:
( )⎩⎨⎧
≤≤≤≤
=.53jika,3
32jika,1xx
xf
Kemudian dihitung,
,7315
3
3
2
5
2=+= ∫∫∫ dxdxdxf
dan didapatkan nilai rata-rata dari fungsi tersebut adalah
37
251 5
2=
− ∫ dxf ,
yang mengakibatkan fungsi gagal untuk memperkirakan nilai rata-ratanya pada
intervalnya.
Teorema 4. 5. 2. (Perluasan Teorema Nilai Rata-rata Pertama)
Jika f dan g adalah fungsi terintegral Riemann pada [ ]ba, dan g bertanda sama
pada [ ]ba, , maka terdapat bilangan μ yang berada di antara batas-batas dari f
sehingga
∫∫ =b
a
b
adxgdxfg μ . ( )1.5.4
Bukti.
Misal g bernilai positif pada [ ]ba, .
Jika m, M adalah batas-batas dari f, didapat untuk semua [ ]bax ,∈ , berlaku
( ) Mxfm ≤≤ ,
sehingga
105
( ) ( ) ( ) ( )xgMxgxfxgm ≤≤ .
Jadi
( ) ( ) ( ) ( ) abdxxgMdxxgxfdxxgmb
a
b
a
b
a≥≤≤ ∫∫∫ jika, . ( )2.5.4
Misal μ adalah bilangan di antara m dan M, diperoleh
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,∫∫∫∫∫ ≤≤≤≤b
a
b
a
b
a
b
a
b
adxxgMdxxgdxxgxfdxxgdxxgm μμ
jadi mengakibatkan
∫∫ =b
a
b
adxgdxfg μ .
Sejalan dengan hal di atas, dapat dibuktikan jika g bernilai negatif. ■
Akibat 4. 5. 3.
Jika Teorema 4.5.2 di atas ditambahkan bahwa f kontinu pada [ ]ba, , maka
terdapat bilangan [ ]bac ,∈ , sehingga
( )∫∫ =b
a
b
adxgcfdxfg . ( )3.5.4
Bukti.
Sudah dibuktikan bahwa ∫∫ =b
a
b
adxgdxfg μ pada Teorema 4.5.2 di atas.
Karena f kontinu pada [ ]ba, , maka setiap nilainya berada di antara batas-batas m
dan M. Oleh karena itu, terdapat bilangan [ ]bac ,∈ sehingga ( ) μ=cf .
Jadi
( )∫∫ =b
a
b
adxgcfdxfg . ■
106
Catatan.
1. Jika ( ) 0≤xg ,dapat mengubah tanda pada ketidaksamaan (4.5.1) tetapi
tidak mengubah tanda ketidaksamaan (4.5.2) dan (4.5.3).
2. Jika ab ≤ , dapat mengubah tanda pada ketidaksamaan (4.5.1) tetapi tidak
mengubah tanda ketidaksamaan (4.5.2) dan (4.5.3).
6. Pengintegralan Parsial
Di bawah ini akan dipaparkan tentang cara menghitung integral Riemann dengan
memisahkan bagian per bagian atau secara parsial.
Teorema 4. 6. 1.
Jika f dan g terintegral Riemann pada [ ]ba, , dan
( ) ( ) ( ) ( ) ,, ∫∫ +=+=b
a
b
adxxgBxGdxxfAxF
di mana A dan B adalah konstanta real, maka
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫ −=b
a
ba
b
adxxfxGxGxFdxxgxF ,
di mana ( ) ( )[ ]baxGxF menotasikan selisih ( ) ( ) ( ) ( )aGaFbGbF − .
Bukti.
Misal partisi { }bxxxxaP n === ,,,, 210 K dari [ ]ba, , diperoleh,
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑=
−−−=n
iiiii
ba xGxFxGxFxGxF
111
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]∑ ∑ −−− −+−= 111 iiiii xGxGxFxFxFxG
107
( ) ( ) ( ) ( )∑ ∫∑ ∫−−
−+= i
i
i
i
x
xi
x
xi dxxgxFdxxfxG11
1 . ( )1.6.4
Misal ( ) ( )1−−=Δ iii xfxff dan ( ) ( )1−−=Δ iii xgxgg adalah osilasi dari f pada
ixΔ . Selanjutnya, untuk semua ixx Δ∈ , diperoleh
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )⎩
⎨⎧
Δ≤−Δ=−≤−
−
−
ii
iiii
gxgxgfxfxfxfxf
1
1
Sehingga
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎩
⎨⎧
Δ+≤≤Δ−Δ+≤≤Δ−
−− ,11 iiii
iiii
gxgxggxgfxfxffxf
( )[ ] ( ) ( )[ ]( )[ ] ( ) ( )[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
ΔΔ+≤≤ΔΔ−
ΔΔ+≤≤ΔΔ−
∫∫
−
−
−−i
i
i
ix
x iiiiii
iii
x
xiii
xgxgdxxgxgxg
xfxfdxxfxfxf
1
1
,11
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
ΔΔ′+=
ΔΔ+=
−∫
∫
−
−
,11
1
iiii
x
x
iiii
x
x
xgxgdxxg
xfxfdxxf
i
i
i
i
θ
θ
( )
( )3.6.4
2.6.4
di mana iθ≤−1 dan 1≤′iθ .
Dari ketidaksamaan (4.6.1), (4.6.2), dan (4.6.3) di atas diperoleh
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) σ+Δ+Δ= ∑ ∑ −− iiiiiiba xxgxFxxfxGxGxF 11 , ( )4.6.4
dengan
( ) ( )[ ] iiiiiii xgxFfxG ΔΔ+Δ= ∑ − θθσ 1 .
Karena F dan G kontinu dan terbatas, maka terdapat bilangan k sehingga
( ) ( ) ,, kxGkxF ≤≤ untuk semua [ ]bax ,∈ .
Jadi
108
( ) iii xgfk ΔΔ+Δ= ∑ ∑σ .
Limitnya saat ( ) 0,0 →→ σμ P , dan dari persamaan (4.6.4) didapat
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ +=b
a
b
a
ba dxxgxFdxxfxGxGxF
atau
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫ −=b
a
ba
b
adxxfxGxGxFdxxgxF . ■
Teorema 4. 6. 2.
Jika f dan g mempunyai turunan pada [ ]ba, dan jika f ′ dan g ′ terintegral
Riemann pada [ ]ba, , maka
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫ ′−⋅=′b
a
ba
b
adxxfxgxgxfdxxgxf .
Bukti.
Karena f dan g mempunyai turunan dan karena itu pula kontinu pada [ ]ba, ,
mengakibatkan [ ]baRgf ,, ∈ . Selanjutnya, karena f, g, f ′ , dan g ′ semuanya
terintegral Riemann pada [ ]ba, , mengakibatkan [ ]baRfggf ,, ∈′′ .
Misal ( ) ( ) ( )xgxfxF = , untuk semua [ ]bax ,∈ .
Jadi,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxgxgxfxF ′+′=′ ,
sehingga
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }∫∫ ′+′=′b
a
b
adxxfxgxgxfdxxF
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ′+′=b
a
b
adxxfxgdxxgxf . ( )5.6.4
109
Dengan menggunakan Teorema Fundamental (Teorema 4.5.1), diperoleh
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]bab
axgxfaFbFdxxF =−=′∫ . ( )6.6.4
Dari persamaan (4.6.5) dan (4.6.6), didapat
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫ ′−⋅=′b
a
ba
b
adxxfxgxgxfdxxgxf . ■
Di bawah ini akan diberikan contoh perhitungan Integral Parsial.
Contoh 4. 6. 3.
Akan dihitung ∫π
0sin dxkxx , untuk suatu bilangan asli k.
Misal diambil ( ) xxf = dan ( ) kxxg sin= , sehingga diperoleh ( ) 1=′ xf dan
( ) ∫ −== kxk
dxkxxg cos1sin . Menurut Teorema 4.6.2,
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫ ′−⋅=′b
a
ba
b
adxxfxgxgxfdxxgxf ,
sehingga
∫ ∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
π
0
π
0
π
0
cos1cos1sin dxkxk
kxk
xdxkxx
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−= 0sin1πsin10πcosπ
kk
kk
k
kπ
= .
110
7. Mengubah Variabel dalam Integral Riemann
Dalam subbab ini akan dipaparkan bagaimana menyelesaikan masalah integral
dengan mengubah variabel yang ada.
Teorema 4. 7. 1.
Jika
i) [ ]baRf ,∈ ,
ii) fungsi φ mempunyai turunan dan monoton pada [ ]βα , , di mana ( )αφ=a
dan ( )βφ=b ,
iii) [ ]βα ,Rg ∈′ ,
maka
( ) ( )( ) ( )∫∫ ′=β
αφφ dyyyfdxxf
b
a.
(Mengubah variabel pada ( )∫b
adxxf dengan mengandaikan ( )yx φ= .)
Bukti.
Misal φ monoton naik pada [ ]βα , .
Karena φ monoton, maka φ dapat dibalik (invertibel), yakni
( )yx φ= menjadi ( )xy 1−= φ , untuk semua [ ]bax ,∈
sehingga
( )a1−= φα dan ( )b1−= φβ .
Misal { }bxxxxaP n === ,,,, 210 K adalah sebarang partisi dari [ ]ba, dan
{ }βα === nyyyyQ ,,,, 210 K , ( )ii xy 1−= φ adalah partisi dari [ ]βα , .
111
Dengan menggunakan Teorema Nilai Rata-rata Lagrange, didapat
( ) ( ) ( ) iiiiiii yyyyx ∈Δ′=−=Δ − ηηφφφ ,1 . ( )1.7.4
Misal
( ),ii ηφξ = di mana ii xΔ∈ξ . ( )2.7.4
Selanjutnya dihitung,
( ) ( ) ( )( ) ( )∑∑=
−
=
Δ=Δ=n
iiii
n
iii yfxffPS
1
1
1, ηφηφξ . ( )3.7.4
Kekontinuan seragam dari φ mengakibatkan bahwa ( ) 0→Qμ seperti saat
( ) 0→Pμ . Demikian juga Rf ∈ mengakibatkan ( )
( )fPSP
,lim0→μ
ada dan sama
dengan ( )( ) ( )dyyyf∫ ′′β
αφφ .
Dengan mengambil ( ) 0→Pμ pada persamaan (4.7.3), didapat
( ) ( )( ) ( )∫∫ ′=β
αφφ dyyyfdxxf
b
a.
Sejalan dengan hal di atas, dapat dibuktikan untuk fungsi monoton turun. ■
Catatan.
1. Jika ( ) 0≠′ yφ untuk sebarang [ ]βα ,∈y , maka φ monoton pada [ ]βα , .
Karena syarat monoton dariφ pada Teorema 4.7.1 di atas, pernyataan ini
harus diganti menjadi
Jika ( ) 0≠′ yφ ,untuk semua [ ]βα ,∈y , maka φ monoton pada [ ]βα , .
112
2. Teorema 4.7.1 di atas terpenuhi bahkan jika ( ) 0=′ yφ untuk bilangan
berhingga y. Untuk hal ini, interval [ ]βα , dibagi menjadi berhingga
subinterval, dimana masing-masing φ bersifat monoton.
Di bawah ini akan diberikan contoh yang berhubungan dengan pengintegralan
dengan mengubah variabel.
Contoh 4. 7. 2.
Akan dihitung ∫ +
4
1 11 dx
x.
Diketahui ( )( ) ( )( ) 4,1,1
1==
+== ba
xxgfxgf o . Dapat diambil ( )
yyf
+=
11
dengan ( ) xxgy == . Karena ( )x
xg 121
=′ , g ′ monoton turun dan kontinu
pada [ ]4,1 . Karena ( ) ( ) ( ) ( ) 11,2,21 ==′=== − gyyyxgyx χχ dan ( ) 24 =g ,
maka menurut teorema di atas, diperoleh
∫ ∫ +=
+
4
1
2
12
11
11 dyy
ydx
x
∫ ∫ ∫⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+−
++
=+−+
=2
1
2
1
2
1 11
112
1112 dy
ydy
yydy
yy
( ){ }]211ln2 yy +−=
( )23ln12 −= .
113
Pada Teorema 4.7.1, ternyata tidak mengharuskan bahwa fungsi φ fungsi satu-
satu (injektif). Di bawah ini adalah salah satu contohnya.
Contoh 4. 7. 3.
Akan dihitung ( )∫−1
1
2 dxxfx dengan f sebarang fungsi kontinu pada [ ]1,1− .
Diambil ( ) 2xxg = , dan diketahui bahwa f kontinu pada [ ]1,1− sehingga
[ ]( )1,1−g = [ ]1,0 , ( ) 11 =−g , dan ( ) 11 =g . Oleh karena itu, menurut Teorema 4.7.1
diperoleh
( ) ( )( ) ( )dxxxfdxxfx gg21 1
1
1
1
2 ′= ∫∫ −−
( )
.021 1
1
=
= ∫ dttf
8. Teorema Nilai Rata-rata Kedua
Dalam subbab ini akan dipaparkan tentang teorema nilai rata-rata yang kedua.
Dalam pembuktian teorema ini, akan menggunakan pula Lemma Abel.
Lemma 4. 8. 1. (Lemma Abel)
Jika { }nb adalah barisan monoton turun dan k, K berturut-turut menyimbolkan
nilai terkecil dan nilai terbesar dari jumlahan ∑=
p
mrru , untuk nmmp ,,1, K+= ,
maka
114
∑=
≤≤n
mrmrrm Kbubkb .
Bukti.
Misal ∑=
=p
mrrp uS , maka
∑=
++ +++=n
mrnnmmmmrr ubububub L11
( ) ( )111 −++ −++−+= nnnmmmmm SSbSSbSb L
( ) ( ) ( ) nnnnnmmmmmm SbSbbSbbSbb +−++−+−= −−++++ 111211 L
Semua yang ada dalam tanda kurung di ruas kanan nilainya tak negatif.
Jadi,
( )nnnmmmm bbbbbbbk +−++−+− −+++ 1211 L
( )∑=
+ +−+−≤≤n
mrnnmmrr bbbbKub L1 ,
sehingga
∑=
≤≤n
mrmrrm Kbubkb . ■
Khusus untuk 1=m , Lemma 4.8.1 dapat ditulis sebagai berikut:
Jika nbbb ,,, 21 K adalah himpunan monoton turun positif dan k, K berturut-turut
menyatakan nilai terkecil dan nilai terbesar pada jumlahan parsial ∑=
p
mrru ,
np ≤≤1 dari bilangan-bilangan nuuu ,,, 21 K , maka
115
∑=
≤≤n
rrr Kbubkb
111 .
Teorema 4.8.2. (Teorema Nilai Rata-rata Kedua)
Jika ∫b
adxf dan ∫
b
adxg keduanya ada dan f monoton pada [ ]ba, , maka terdapat
[ ]bac ,∈ sehingga
( ) ( )∫∫∫ +=b
c
c
a
b
adxgbfdxgafdxfg .
Bukti.
Pertama akan dibuktikan bahwa f fungsi monoton bernilai positif dan monoton
turun pada [ ]ba, .
Jika ∫b
adxφ dan ∫
b
adxg keduanya ada dan φ positif dan monoton turun pada
[ ]ba, , maka terdapat titik [ ]bac ,∈ sehingga
( )∫∫ =c
a
b
adxgadxg φφ .
Misal { }bxxxxaP n === ,,,, 210 K adalah sebarang partisi dari [ ]ba, , dan ii mM ,
adalah batas-batas dari g pada ixΔ .
Ambil at =1 dan ( )1≠iti sebarang titik pada ixΔ .
Pada subinterval ixΔ , diketahui
ii
x
xii xMdxgxm i
i
Δ≤≤Δ ∫−1
,
dan
( ) iiiiii xMxtgxm Δ≤Δ≤Δ .
116
Dengan menghitung untuk ( )npni ≤= ,,,2,1 K dan menambahkannya secara
vertikal, didapat
∑ ∑∫= =
Δ≤≤Δp
i
p
iii
x
aii xMdxgxm p
1 1,
dan
( )∑ ∑∑= ==
Δ≤Δ≤Δp
i
p
iii
p
iiiii xMxtgxm
1 11,
yang mengakibatkan
( ) ( ) ( )∑∑∫==
≤Δ−≤Δ−p
iiii
p
iii
xp
agPxmMxtgdxg
11,ω .
Jadi
( ) ( ) ( )∑ ∫∫=
+≤Δ≤−p
i
xp
aii
xp
agPdxgxtggPdxg
1,, ωω ,
di mana ( )gP,ω menunjukkan jumlah osilasi, ( ) ( )gPLgPU ,, − .
Selanjutnya, ∫t
adxg sama dengan fungsi kontinu, ∫
t
adxg terbatas. Misal A, B
adalah batas-batasnya, sehingga didapat
( ) ( ) ( )∑=
+≤Δ≤−p
iii gPAxtggPB
1,, ωω . ( )1.8.4
Menggunakan Lemma Abel (Lemma 4.8.1) di atas, di mana
( ),ii tb φ= ( ) iii xtgu Δ=
( ),, gPBk ω−= ( )gPAK ,ω+=
didapat
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑=
+≤Δ≤−n
iiii gPAaxtgtgPBa
1,, ωφφωφ .
117
Dengan menggunakan limit saat ( ) 0→Pμ , didapat
( ) ( )aAdxgaBb
aφφφ ≤≤ ∫ .
Jadi
( )adxgb
aφψφ =∫ , ( )2.8.4
di mana ψ adalah suatu bilangan di antara B dan A.
Jadi jika fungsi ( )∫b
adxxg kontinu, untuk suatu [ ]bac ,∈ , nilai ψ yang berada di
antara batas-batasnya, sehingga didapat
( )∫∫ =c
a
b
adxgadxg φφ . ( )3.8.4
Selanjutnya diasumsikan f monoton turun, sehingga fungsi φ dengan
( )bff −=φ adalah positif dan monoton turun juga. Oleh karena itu, seperti yang
sudah dibuktikan sebelumnya, terdapat bilangan [ ]bac ,∈ sehingga
( )[ ] ( ) ( )[ ]∫∫ −=−c
a
b
adxgbfafdxbffg .
Jadi
( ) ( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+= ∫∫∫∫
c
a
b
a
c
a
b
adxgdxgbfdxgafdxfg
( ) ( )∫∫ +=b
c
c
adxgbfdxgaf . ( )4.8.4
Misal f monoton naik, sehingga ( )f− monoton turun dan oleh karena itu,
menggunakan (4.8.4), diperoleh
( ) ( ) ( )∫∫∫ −−=−b
c
c
a
b
adxgbfdxgafdxgf .
Jadi
118
( ) ( )∫∫∫ +=b
c
c
a
b
adxgbfdxgafdxfg . ■
Teorema 4. 8. 3. (Teorema Nilai Rata-rata Kedua-Keadaan Khusus)
Jika f monoton, f, f ′ dan g semuanya kontinu pada [ ]ba, , maka terdapat bilangan
[ ]bac ,∈ sehingga
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ +=b
c
c
a
b
adxxgbfdxxgafdxxgxf .
Bukti.
Misal ( ) ( )∫=x
adttgxG . Dapat dilihat bahwa ( ) 0=aG , dan berdasarkan
pemisalan di atas, ( )xG mempunyai turunan dan ( ) ( )xgxG =′ .
Jadi
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ′=b
a
b
adxxGxfdxxgxf
( ) ( )[ ] ( ) ( )∫ ′−=b
a
ba dxxfxGxGxf
menurut integral parsial (subbab 6).
Karena G kontinu dan terintegral Riemann dan f monoton dan kontinu pada [ ]ba, ,
dan menggunakan Teorema Nilai Rata-rata Pertama (Teorema 4.5.1) terdapat
[ ]bac ,∈ sehingga
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ′−=b
a
b
adxxfcGbGbfdxxgxf
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )cGafcGbGbf
afbfcGbGbf+−=
−−=
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ +=c
a
b
cdxxgafdxxgbf . ■
119
Contoh 4. 8. 4.
Jika fungsi f kontinu pada [ ]1,0 , akan ditunjukkan bahwa
( ) ( )∫ =+∞→
1
0 22 021
lim fdxxn
xfnn
π .
Diambil
( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ +
++
=+
1
0 0
1
222222
1
1 111n
n
dxxnxfndx
xnxfndx
xnxfn .
Dengan menggunakan Teorema Nilai Rata-rata Pertama, didapat
( ) ( )∫∫ +=
+nn dx
xnncfdx
xnxfn 11
0 220 22 11, di mana ( )
ncf 10 ≤≤
( ) ( )02
tan 1 fncf π→= − , sejalan dengan ∞→n .
Selanjutnya, karena f kontinu pada [ ]1,0 , maka f terbatas dan mengakibatkan
adanya bilangan K sehingga
( ) Kxf ≤ , untuk semua [ ]1,0∈x .
Jadi,
( )∫∫ +
≤+
1
22
1
22 11 11 nn
dxxn
nKdxxnxfn
( )∫ +=
1
21 1n
dxnxnK
( )∫ +=
1
21 1n nxnxdK
]111tann
nxK −=
0tantan 11 →−= −− nnK , untuk ∞→n .
120
Oleh karena itu, telah ditunjukkan bahwa
( ) ( )∫ =+∞→
1
0 22 021
lim fdxxn
xfnn
π .
Contoh 4.8.5.
Akan ditunjukkan bahwa nIlim , di mana
∫ ∈=δ
0,sin Nndx
xnxI n
ada dan sama dengan 2π .
Karena nxnx
n=
→
sinlim0
, fungsi yang terintegral Riemann menjadi kontinu untuk
setiap nilai dari x jika ditetapkan pada nilai n saat 0=x .
Langkah pertama, akan ditunjukkan bahwa integralnya ada.
Misal ∫=δ
0
sin dxxnxI n . Dengan mengganti tnx = , didapat
∫=δn
n dxt
tI0
sin .
Jadi
( )1,sin
≥=− ∫+
+ pdtt
tIIpn
nnpn
δ
δ
( )∫
+≤
δ
δ
pn
ndt
ttsin
.
Karena tsin selalu positif dan t1 positif dan monoton turun pada ( )[ ]δδ pnn +, ,
menggunakan teorema nilai rata-rata kedua, didapat
121
( )∫
+
+ ≤−δ
δδpn
nnpn dttn
II sin1
εδ<≤
n2 , untuk semua
εδ2
>n .
Dengan menggunakan Prinsip Cauchy tentang kekonvergenan, { }nI konvergen.
Langkah kedua, akan ditunjukkan bahwa
∫∞→∞→= 2
0
sinlimlimπ
dxxnxI
nnn.
Diketahui,
∫∫∫ += 22 sinsinsin00
ππ
δ
δdx
xnxdx
xnxdx
xnx .
Seperti pada contoh 4.8.4 sebelumnya,
∫ →2
00sinπ
dxxnx sejalan dengan ∞→n ,
sehingga
∫ ∫∞→∞→∞→==
δ π
0 0
2 sinlimsinlimlim dxxnxdx
xnxI
nnnn.
Fungsi f, di mana
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠−=0,0
0,sin
11
x
xxxxf
kontinu dan karena itu terbatas dan terintegral Riemann pada [ ]2,0 π , sehingga
dengan menggunakan cara pada contoh 4.8.4, didapat
0sinsin
11lim 2
0=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −∫∞→
π
dxnxxxn
.
Jadi
122
∫ ∫∞→∞→∞→== 2 2
0 0 sinsinlimsinlimlim
π π
dxx
nxdxxnxI
nnnn.
Langkah ketiga, akan dihitung nIlim dan akan diambil ∞→n pada nilai integral
yang ganjil.
Diketahui bahwa
( ) { }nxxxx
xn 2cos4cos2cos2sin
12sin21 ++++=
+L .
Kemudian diintegralkan, didapat
( ) { }∫ ∫ ++++=+2 2
0 0 21 2cos4cos2cos2
sin12sinπ π
dxnxxxdxx
xnL
( )dxnxxx∫ ++++= 2
02cos24cos22cos21
π
L
∫ ∫ ∫ ∫++++= 2 2 2 2
0 0 0 02cos24cos22cos2
π π π π
dxnxdxxdxxdx L
[ ] [ ] [ ]222000 2sin2sinπππ
nxxx +++= L
2000
2ππ
=++++= L .
Jadi,
( )∫ =
+2
0 2sin12sinπ πdx
xxn , untuk semua Nn∈ .
Dengan demikian
∫∞→∞→= 2
π
0
sinlimlim dxx
xInnn
∫∞→= 2
π
0 sinsin
lim dxx
nxn
( )∫
+=
∞→
2π
0 sin12sin
lim dxx
xnn
2π
= .
BAB V
PENUTUP
1. Kesimpulan
Integral Riemann dan integral Darboux adalah dua jenis integral yang
integral sudah dikenal dan dipergunakan dalam menghitung integral suatu fungsi.
Integral Darboux merupakan modifikasi dari integral Riemann, sehingga pada
prosesnya integral Darboux juga menggunakan partisi P, seperti pada integral
Riemann.
Integral Darboux disusun menggunakan jumlah Darboux atas ( )fPU , dan
jumlah Darboux bawah ( )fPL , , lalu berturut-turut dicari supremum ( )fPU , dan
infimum ( )fPL , sehingga didapatkan integral Darboux atas ∫− b
adxf dan integral
Darboux bawah ∫−b
adxf . Jika kedua integral tersebut mempunyai nilai yang sama,
maka dapat dikatakan bahwa fungsi f terintegral Darboux.
Integral Riemann disusun menggunakan jumlah Riemann ( )fPS , ,
kemudian dicari limit dari jumlah Riemann tersebut untuk norma ( ) 0→Pμ yang
ditulis ( )
( )fPSP
,lim0→μ
. Jika limit tersebut ada, maka dapat dikatakan bahwa fungsi f
terintegral Riemann dan nilai limitnya tersebut merupakan integral dari fungsi
yang dicari, ditulis ( )
( ) .,lim0 ∫=→
b
aPdxffPS
μ
Dipandang dari segi cara dan sifat-sifat yang dipakai, ternyata dapat
dibuktikan bahwa integral Darboux dan integral Riemann ekuivalen. Jadi, fungsi
124
yang terintegral Darboux pasti terintegral Riemann dan sebaliknya, yaitu fungsi
yang terintegral Riemann pasti terintegral Darboux.
2. Saran
Setelah lebih memahami tentang integral Riemann dan integral Darboux,
penulis dapat memberikan beberapa saran pembahasan yang dapat berguna untuk
pengembangan yang lebih lanjut, antara lain:
a. Bagaimana integral Riemann-Darboux jika intervalnya tidak tertutup dan
tidak terbatas?
b. Bagaimana integral Riemann-Darboux jika fungsinya tidak terbatas?
c. Bagaimana integral Riemann-Darboux jika melibatkan fungsi
pengintegralan (integral Stieltjes) ?
d. Bagaimana hubungan integral Riemann dan integral Darboux di Rn atau
di ruang-ruang lainnya yang lebih umum?
125
DAFTAR PUSTAKA
Bartle, R. G. and Sherbert, D. R. Intoduction to Real Analysis, third Edition, John Wiley & Sons. New York, 2000.
Berberian, S. K. A First Course in Real Analysis. Springer-Verlag. New York. 1994.
Darmawijaya, Soeparna. Pengantar Analisis Real. Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam UGM. Yogyakarta. 2006.
Malik, S. C. and Arora, Savita. Mathematical Analysis, second Edition. New Age International. New Delhi. 2001.
Stoll, Manfred. Introduction to Real Analysis. Addison-Wesley Educational Publishers. 1997.
Pedrick, George. A First Course in Analysis. Springer. New York. 1994.
Wade, W. R. An Introduction to Analysis. Prentice-Hall Intern. New York. 1995.