Upload
cata
View
220
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/28/2019 Integrale improprii_proprietati
1/24
Exemple 1of: [0, ) R, cu ( ) 21
1f x
x=
+i y= 0 asimptot orizontal.
( )
Aria de calculat este reprezentat prin:
2 00arctg arctg
1
u udxyu x u
x= = =
+A
( )lim lim arctg2
Ru u
u
= = A = A u
of: [0, 1) R,2 ( )2
1
1f x
x=
are
i dreapta x=culat:
x= 1 punct singular 1asimptot la graficul lui f; aria de cal
( )020
arcsin arcsinA uu udx
1x u= = =
x
( )1 11
lim limarcsin 2 Ru uu
u a, feste integrabil pe [a, u] [a, ) .
3) Funcia f : [a, c) R (cu x = c punct sin
bil pe [a, c), daci numai dac, pentru u > a, f este integrabil
pe [a, u] [a, c).
Observaii:
ia f: I R
dac, feste continu a.p.t. pe I.
2. Dac f: [a, ) R este
u> a, cu uvariabil i asociem lui f integrala Riemann
(VII.10) ( ) ( )notu
af x dx F u=
numitintegral parial.
u f: (, b] R, local integrabil se asociaz
pentru
cazul f: R flocal integrabil pe R, se asociaz pentru
u, v
n mod analog pentr
v< b cu vvariabil, integrala parial:
(VII.10') ( ) ( )not b
= .vG v f x dxn R,
R, cu v< uvariabili, integrala parial:
(VII.10") ( ) ( ), .notu
vf x dx H u v= .
7/28/2019 Integrale improprii_proprietati
3/24
532
efiniia VII.3.
1] Fie f l integrabili u> a variabil. Dac exist limita
D
: [a, ) Rloca
finit
(VII.11) ( ) ( ) ( )1 1lim lim ,notu
au ua
f x dx F u I f x dx I
= = = R
atunci spunem c, integrala improprie ( )a
f x dx
este convergent sau
c are sens n Ri valoarea ei este I1.
st sau este infinit, integrala
improprie
Dac limita (VII.11) nu exi
( )a
f x dx
este divergent sau nu are sens.
2] Fie f: (, b] local integrabil i v < b variabil. Dac exist limita
finit
(VII.12) ( ) ( ) ( )2 2lim lim ,
bnotb
vv vf x dx G V I f x dx I = = = R
atunci spunem c, integrala improprie ( )b
f x dx este convergent sau
c are sens n Ri valoarea ei este I2.
st sau este infinit, integrala
improprie
Dac limita (VII.12) nu exi
( )b
f x dx este divergent sau nu are sens.
3] Fie f: RR local integrabili u, vRvariabili cu v < u. Dac
vv vu u
dx H u v I f x dx I
+ +
exist limita finit
(VII.13) ( )u
f x ( ) ( )3 3lim lim , ,not
= = = R,
7/28/2019 Integrale improprii_proprietati
4/24
atunci spunem c, integrala improprie ( )f x dx
este convergent sau c
are sens n Ri valoarea eieste I3.
Dac limita (VII.13) nu exist sau este infinitintegrala improprie
( )f x dx
este divergentsau nu are sens n R.
Definiia VII.4.
1o] Fie f: [a, c) Rcu x = c punct singular, flocal integrabil [a, c) i u
variabil, cu a< u< c. Dac exist limita finit
(VII.14) ( ) ( ).
1 1lim lim ( ) ,cnotu
au c u cau c u c
f x dx F u J f x dx J
< >
= = = R,
atunci spunem c, integrala improprie ( )c
af x dx
+ este convergent sau
care sens n Ri valoarea ei esteJ 2.
Dac limita (VII.15) nu exist sau este infinit, integrala
improprie ( )c
af x dx
+ este divergent sau nu are sens.
533
7/28/2019 Integrale improprii_proprietati
5/24
3o] Fie f: (a, c) Rcu x1 = a, x2 = c puncte singulare, flocal integrabil
pe (a, c) i u, v (a, c) variabili cu a< v< u< c. Dac exist limita finit
(VII.16) ( ) ( ) ( )3 3lim lim , ,
notu c
v av a v au c u c
f x dx H u v J f x dx J
+
= = = R,
atunci spunem c, integrala improprie ( )c
af x dx
+ este convergent sau
care sens n Ri valoarea ei esteJ 3.
Dac limita (VII.16) nu exist sau este infinit, integrala
improprie ( )
c
a f x dx
+ este divergent sau nu are sens.Exemple:
1o ( ) ( )00 0 0lim lim ' limu u ux x x
u u ue dx e dx e dx e
= = = u =
xe dx
( )0
lim 1 1uu
e
= = convergent, cu valoarea 1.
2o
( ) ( )11 1lim lim limu ux x x u
u u ue dx e dx e e e
= = = = +
1
xe dx
este divergent.
3o ( )11 1
ln lim ln lim lnu u
u uxdx xdx x x x
= = =
( ) ( )1
lim ln 1 lim ln 1 1 lnu u
u u u u u xdx
= + = + = este
divergent.
4o2 2
1lim lim arctg
4 4 2
uu
vv vvu u
dx dx x
x x
2
= = =
+ +
( ) ( )1 1 1 1
lim arctg arctg arctg arctg2 2 2 2 2 2v
u
u v
= = + =
534
7/28/2019 Integrale improprii_proprietati
6/24
1
2 2 2 2
= = 2 4
dx
x
+ este convergent, cu valoarea 2
.
5o
1
0 01 1 01lim lim 2 11 1
uu
u uu
dx dx
xx x
= = =
[ ]1
00lim 1 ln 1 lnv v v v xdx+= + = este convergent, cu valoarea -1.
7o cu 0 i 0; limu
a a a u
dx dxa x dx
x x
> > = = a x dx=
11 1
ln ; pentru 1 ln ln ; pentru 1
lim lim 1 1 11 ; pentru 1; pentru 1 11
u
a
u
u u
a
x u a
xu a
+
= =
= =
( ) 1
; pentru 1
; pentru 0 1
1; pentru 1
1 a
= <
=
adxx
este convergent pentru > 1, cu valoarea ( ) 111 a i
divergent pentru 1.
8o( ) ( )
( )cu 0; limc c u
a a au cu c
dx dxc x dx
c x c x
=
=
535
7/28/2019 Integrale improprii_proprietati
7/24
( )
( )1
ln ; pentru 1lim 1
; pentru 11
u
a
u cu c
c x
c x +
<
este convergent
pentru < 1, cu valoarea( )
1
1 1
1 c a
i este divergent pentru 1.
Astfel, au loc cazurile particulare:
1
20
dx
x+ este divergent ( = 2 > 1), iar
1
0
dx
x+ este convergent ( =
1
2< 1).
Observaii:
1. Integralele improprii pe interval necompact, cu f: [a, c) R, c +,
sunt de dou tipuri:
I pentru c= , avem ( )a
f x dx de tip I sau integral pe
interval nemrginit.
II pentru c R finit i x = c punct singular al lui f, avem
( )c
af x dx
de tip II sau integralimproprie din funcie nemrginit (n
limita superioar).
536
7/28/2019 Integrale improprii_proprietati
8/24
2.Prin schimbarea de variabil ( ) ( )( )
,t c a
x t tc t
= =
cu ,
intervalul [a, c) este aplicat pe [a, ) i la fel
[ )( )1 ,C a c
( )
1 cxt xx c a
= =+
aplic
[a, ) pe [a, c). Din acest motiv se are n vedere, n continuare, doarteoria
integralelor improprii cu interval nemrginit (de tip I).
3. Dac ( )2b
I f x dx
= este convergent atunci prin schimbarea de
variabil x = t, se obine ( ) 1b
f t dt I
= . Toate aspectele studiate
pentru ( )1a
I f x dx
= vor fi valabile i pentru ( )2b
I f x dx
= , n caz de
convergen.
Teorema VII.6. (Formula de reducere)
Fie f: RRo funcie local integrabil pe R.
(i) Dac ( )3I f x dx
= este convergent, atunci aRsunt convergenteintegralele ( ) ( )1 2i
a
aI f x dx I f x dx
= = i are loc formula de
reducere:
(VII.17) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 1a
af x dx f x dx f x dx I I I
= + = +
(ii) Dac existaRastfel nct integralele improprii ( )2a
I f x dx= i
( )1a
I f x dx
= sunt convergente, atunci este convergent integrala
improprie ( ) 3f x dx I
= i are loc formula de reducere (VII.17).
Demonstraia se bazeaz pe rezultatul cunoscut de la integrala
definit: dac feste integrabil pe [v, u], atunci a cu v < a < u, festeintegrabil pe [v, a ] i pe [a, u] i are loc egalitatea:
537
7/28/2019 Integrale improprii_proprietati
9/24
( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( ) ( )u a u
v v a
f x dx f x dx f x dx H u v G v F u= + = +
Folosind apoi definiiile integralelor improprii i proprieti ale limitei de
funcii, se deduc direct afirmaiile (i) i (ii) i formula (VII.17).
Observaii
1. Pe baza teoremei de reducere i a formulei (VII.17) se pot studia doar
integralele improprii pe interval nemrginit (de tipul I), de forma
( )1a
I f x dx
= .
2. Integrala improprie ( )a
f x dx
este convergent, dac i numai dac,
exista' a astfel nct integrala improprie ( )a
f x dx
este convergent,
cci ( ) ( ) ( ) ( )( )u a u u
a a a a
F u f x dx f x dx f x dx A f x dx
= = + = + , cu AR i,
din definiia integralei improprii convergente, se obine echivalena ncauz.
3. n aplicaii se ntlnesc integralele improprii mixte: intervalul de
integrare este nemrginit i integrandul are cel puin un punct singular;
convergena acestora se analizeaz prin izolarea punctelor singulare i
trecerea la limit n fiecare termen independent, adic se face reducerea la
tipurile precizate prin teorema VII.6 i observaiile de mai sus.
Exemple( )
( )( )01
cu : 0, , ( )1 1
dxf f x
x x x+
=
x+ +R , x = 0 punct
singular. Fie > 0, ( )0
f x dx
+ (de tip II) i ( )f x dx
(de tip I).Avem:
( ) ( )2
0 00
lim
1 1vvv
dx dxJ
x x x
+ >
= =
+ + xi
538
7/28/2019 Integrale improprii_proprietati
10/24
( ) ( )1 lim
1 1
u
u
dx dxI
x x x
= =
+ + xi:
( )2 lim 2arctg
u
vJ x = iar ( )1 lim 2arctg
u
uI x = . Deci:
( )2 1 20
2arctg , 2arctg ,1
dxJ I J
x x
+= = = +
+ 1I = .
Definiia VII.5
Fie f: [a, ) Ro funcie local integrabil.
1) Integrala improprie (de tipul I) ( )a f x dx
este, prin definiie, absolut
convergent, dac i numai dac, integrala improprie ( )a
f x dx
este
convergent.
2) Integrala improprie (de tipul I) ( )a
f x dx
se numete simplu
convergent sau semiconvergent, dac i numai dac, ( )a f x dx
esteconvergent i ( )
af x dx
este divergent (dac ( )a f x dx
este
convergent i nu este absolut convergent).
Teorema VII.7(Criteriul lui Cauchy)
Fie f: [a, ) R local integrabil. ( )a
f x dx
este convergent, daci
numai dac, satisface condiia Cauchy:
( )( ) ( )
( )
0
''
0 '
0, orict de mare dorim a.. ', '' [ , ), cuVII.18
' ''u
u
u u
u u u f x dx
>
< <
u a
Demonstraie. Conform definitiei, ( )a
f x dx
convergent
exist
539
7/28/2019 Integrale improprii_proprietati
11/24
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
0 0
lim lim ( ) 0, 0 orict de mare dorim
cu 0 a.. , i ( ) ( ) ( )
T.Cauchy-Bolzano
Ru
u ua
u
u
f x dx F u u
u u u u u u F u F u f x dx
= > >
> < < < <
(VII.18).
Consecina VII.1
Fie f : [a, ) R local integrabil i care are limit la +. Dac
( )a
f x dx
este convergent, atunci (n mod necesar) ( )lim 0x f x = .
Demonstraia este o consecin imediat a teoremei Cauchy(teorema VII.7).
Consecina VII.2
Fie f: [a, ) R o funcie local integrabil. Dac integrala improprie
( )a
f x dx
este absolut convergent, atunci ea este convergent.
Demonstraia este direct. Din teorema lui Cauchy, folosindproprietatea integralei definite , cuu u a u u > < , avem:
( ) ( )'' ''
' '
u u
u uf x dx f x dx . Astfel, rezult (VII.18).
Observaii
1. Dac f: [a, ) R este local integrabil i exist ( )lim 0x
f x l
=
(condiie suficient), atunci ( )a
f x dx
este divergent.
2. Pe un interval compact [a, b] R, integrabilitatea funcei fimplici
integrabilitatea funciei | f|.
3. Consecina VII.2 arat c pe un interval necompact din R,
integrabilitatea lui |f| ( ( )a f x dx
convergent) implic integrabilitatea
540
7/28/2019 Integrale improprii_proprietati
12/24
lui f( ( )a
f x dx
convergent), dar nu i reciproc. (O integral improprie
semiconvergent, conform definiiei, este convergent i nu este absolut
convergent).Fie f: [a, ) R local integrabili un ir numeric ( ) 1 Rn nb >
cresctor, cu 0 1 1lim i ...nn
b a b b b b + n n= + = < < < <
7/28/2019 Integrale improprii_proprietati
13/24
542
= ( ) ( ) ( )1
1
10
lim lim lim lim ( )n
k
k
bn b
n nbn n n n
k a a
S f x dx f x dx F b f x dx I+
=
= = = =
R
Deci( )
1
0
n
n
b
bn
f x dx+
=este convergent.
Dac f(x) 0, x a i ( )1
0
n
n
b
bn
f x dx+
= este convergent, notm
, suma seriei numerice. Pentru orice ucu a < u, existnlim nn
S S
= R uN
a. . i cum F(u) este strict cresctoare pe [a, ), avem:un
u b a, n 0, atunci convergena
seriei ( )1
0
n
n
b
bn
f x dx+
= implic convergena integralei improprii
( )a
f x dx
, chiar dacfnu este pozitiv pe [a, ).
7/28/2019 Integrale improprii_proprietati
14/24
3. Aceast teorem VII.18 pune n eviden legtura dintre integrale
improprii i serii numerice. Din acest motiv, se poate stabili o analogie
ntre criteriile de convergen pentru integrale improprii i cele deja
demonstrate pentru serii numerice, dup urmtorul tabel:
Serii numerice Integrale improprii
0n
n
a
= ( )a f x dx
anR, nN termen general f: [a, ) Rn; n indice de sumare x; xvariabil de integrare
Sn= sum parial; nN0
n
kk
a=
F(u) = ( )u
af x dx integral parial;
u>a
lim nn
S S
= R suma seriei 1lim ( )u
F u I
= Rvaloarea integralei
0na
conv. def
lim nn
S S
= R ( )a
f x dx
convergentdef
1lim ( )u
F u I
= R
Ssuma seriei convergente S=0
na
I1 valoarea integralei improprii
convergente I1= ( )a
f x dx
4. Studiul integralelor improprii se bazeaz pe studiul seriilor numerice i
se afl la confluena dintre teoria integralelor definite i cea a funciilor
reale cu limit. Analogia cu seriile numerice nu este complet; integralele
improprii absolut convergente se ncadreaz n teoria integralei Lebesgue.
5. Din observaia precedent rezult c se pot reformula, pentru integralele
improprii, unele proprieti ale integralei definite, precum: liniaritatea
543
7/28/2019 Integrale improprii_proprietati
15/24
monotonia, formula Leibniz Newton, integrarea prin pri, schimbarea de
variabil etc.
6. Problema fundamental din studiul integralelor improprii este aceea a
convergenei, analoag cu convergena seriilor numerice. n concluzie,
vom urmri:
I. natura integralei improprii (fie convergent, fie divergent);
II. valoarea (numeric) a unei integrale improprii convergent.
Teorema VII.9.
Fie f, g: [a, ) R funcii local integrabile. Dac integralele improprii
( )a
f x dx
i sunt convergente, atunci pentru , R este
convergent integrala improprie
( )a
g x dx
( ) ( )a
f x g x d
+ x i are loc egalitatea:
(VII.21)( ) ( ) ( ) ( )a a a
f x g x dx f x dx g x dx
+ = +
.
Demonstraie: Conform definiiei, avem:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
lim
lim lim lim
. Astfel, este convergent
u
ua a
u u u u
u u ua a a a
a a a
f x g x dx f x g x dx
f x dx g x dx f x dx g x dx
f x dx g x dx f x g x dx
+ = + =
= + = + =
= + +
R
i are loc egalitatea (VII.21).
544
7/28/2019 Integrale improprii_proprietati
16/24
Observaii:
1. Mulimea funciilor f: [a, ) R local integrabile, cu ( )a
f x dx
convergent, notat ([a ,)) are structur algebric de spaiu vactorial
real.
2. Aplicaia : ([a ,)) Rcare asociaz fiecrui f([a ,)) numrul
real ( )1a
I f x dx
= (convergent) este liniar, dup egalitatea (VII.21) din
teorema VII.9.
2. Criterii de convergen pentru integrale improprii
Problema convergenei integralelor improprii va fi studiat n dou
situaii: integrantul are semn constant i apoi cnd integrantul are semn
variabil. n afar de teorema lui Cauchy, aplicabil fr condiii asupra
semnului integrantului, vom avea criterii de comparaie cu inegaliti i cu
limit, criteriul integral al lui Cauchy (pentru funcii pozitive) i criterii de
tip Abel-Dirichlet, Leibniz (pentru funcii de semn oarecare).
Presupunem f 0, x[a, ) (cazul f(x) 0, x[a, ) nu se
studiaz deoarece convergena ( )a
f x dx
este echivalent cu convergena
integralei ( )a
f x dx
).
Condiia f 0, xa implic faptul c F(u) = ( )u
af x dx , u > a este o
funcie monoton cresctoare i, n acest caz, existena limitei estelim ( )u F u
545
7/28/2019 Integrale improprii_proprietati
17/24
echivalent cu faptul c F(u) este majorat (mrginit superior) pentru
u.
Teorema VII.10
Fie f : [a, ) R pozitiv i local integrabil. Integrala improprie
( )a
f x dx
este convergent, dac i numai dac, F(u) este majorat pe
[a, ) pentru u.
Demonstraie: ( )a
f x dx
convergent 1lim ( )def
uF u I
= R .
Totodat, existena l , cu F funcie cresctoare, este echivalent cu
faptul cF majorat pentru u.
im ( )u
F u
Teorema VII.11. (Criteriul de comparaie cu inegaliti - I)
Fie f, g: [a, ) Rpozitive i local integrabile. Dac avem: f(x) g(x),
xa, atunci au loc afirmaiile:
1) convergent( )a
g x dx
( )a f x dx
convergent;
2) ( )a
f x dx
divergent divergent.( )a g x dx
Demonstraie: Din ipoteza f(x) g(x), x a, rezult c:
F(u) = ua
fdx G(u) =u
agdx , u> a.
1) Dac este convergent, atunci G(u) este majorat
pentru u. Aadar, din inegalitatea F(u) G(u), u> a rezult cF(u)
este majorat pentru u. Deci, dup teorema VII.10,
( )a
g x dx
( )a
f x dx
este
convergent.
546
7/28/2019 Integrale improprii_proprietati
18/24
2) Dac ( )a
f x dx
este divergent, atunci lim ( )u F u = . Cum
F(u) este cresctoare i pozitiv rezult c F(u) este nemajorat pentru
u. Deoarece F(u) G(u), u > a rezult cG(u) nemajorat pentruu. Dar G(u) este cresctoare i pozitiv, deci lim ( )
uG u
= , ceea ce
nseamn c este divergent.( )a
g x dx
Observaii:
1. Criteriul de comparaie cu inegaliti este anevoios de aplicat, deoarecenecesit stabilirea n prealabil a inegalitii: f(x) g(x).
2. Pentru aplicarea acestui criteriu, putem folosi afirmaia: " ( )a
f x dx
convergent ( )0a
f x dx
convergent pentru orice a0 > ai a0 suficient
de mare ales". Deci comparaia celor dou funcii f i g ar fi suficient "de
la un loc ncolo" potrivit de deprtat de x = a.
Teorema VII.12. (Criteriul de comparaie cu inegaliti - II)
Fie f, g: [a, ) Rpozitive i local integrabile. Dac exist a0 > a, astfel
nct f(x) g(x), x [a0, ), atunci au loc afirmaiile:
1') convergent( )a
g x dx
( )a f x dx
convergent;
2') ( )a
f x dx
divergent divergent.( )a g x dx
Demonstraia se obine direct din teorema VII.11 i observaia 2.
547
7/28/2019 Integrale improprii_proprietati
19/24
Teorema VII.13. (Criteriul de comparaie cu limit).
Fie f , g: [a, ) R pozitive i local integrabile. Dac exist limita
(VII.22) [ ]( )lim i 0,( )x f x l lg x =
atunci au loc afirmaiile:
1) pentru l finit (l < ) i convergent ( )a
g x dx
( )a f x dx
este
convergent;
2) pentru l nenul (l >0) i divergent ( )a
g x dx
( )a f x dx
este
divergent;
3) pentru 0 < l < +, integralele ( )a
f x dx
i au aceeai
natur.
( )a
g x dx
Demonstraie:
1) Fie 0 l < + . Atunci (VII.22)
(VII.22')
( ) ( )
0, 0 i a. ..
( ) ( ) ( )
u u a x u
l g x f x l g x
> > > > >
< < +
a
Deci f(x) < ( l + ) g (x), x > u > a. Cum este convergent,
dup teorema VII.12, rezult c
( )a
g x dx
( )a
f x dx
este convergent.
548
7/28/2019 Integrale improprii_proprietati
20/24
2) l 0 ( )
( )
( )
( )lim 0 limx x
f x g xl
g x f x l= = < + . Din (VII.22'),
rezult cg(x) < ( l + ) f(x), x > u > a. Astfel, cum ( )a
f x dx
este
divergent, dup teorema VII.12, rezult c este divergent.( )a
g x dx
3) Fie 0 < l< i (VII.22'). Alegem > 0 a. . l - > 0. Cum
( )a
f x dx
este convergenti (l - ) g(x) < f(x), x> u > a, dup teorema
VII.11, rezult c este convergent.( )a
g x dx
Cnd este convergent, avnd f(x)u( )a
g x dx
>a,
dup teorema VII.11, rezult c ( )a
f x dx
este convergent.
Cnd ( )a
f x dx
este divergenti f(x) < ( l + ) g (x), x> u > a,
dup teorema VII.11, rezult c este divergent.( )a
g x dx
Cnd este divergenti ( l + ) g(x) < f(x), x> u( )a
g x dx
> a,
dup teorema VII.11, rezult c ( )a
f x dx
este divergent.
549
7/28/2019 Integrale improprii_proprietati
21/24
Teorema VII.14. (Criteriul n )Fie f: [a, ) Rpozitivi local integrabil.
(i) Dac exist > 1 a. . lim ( )x
x f x l
= < , atunci ( )a
f x dx este
convergent;
(ii) Dac exist 1 a. . lim ( ) 0x
x f x l
= > , atunci ( )a
f x dx
este
divergent.
Demonstraie: tiind c ( 0a
dxa
x
> ) este convergent cnd > 1
i divergent cnd 1, pentru (i) aplicm criteriul de comparaie cu
limit, cazul 1), cu1
( )g xx
= (teorema VII.13 - 1), iar pentru (ii)
aplicm criteriul de comparaie cu limit, cazul 2), tot cu 1( )g xx
=
(teorema VII.13 - 2).
Teorema VII.15. (Criteriul n )Fie f: [a, c) R, cu x= c punct singulari fpozitiv, local integrabil.
(i) Dac exist
= > , atunci ( )c
af x dx
este
divergent.
550
7/28/2019 Integrale improprii_proprietati
22/24
Demonstraia este imediat, folosind criteriul de comparaie cu
limit (teorema VII.13), cu( )
1( )g x
c x=
cunoscut fiind faptul c
( )
c dx
a c x
este convergent pentru < 1 i divergent pentru 1.
Teorema VII.16 (Criteriul integral al lui Cauchy).
Fie f: [1, ) Ro funcie monoton descresctoare i pozitiv.Urmtoarele
afirmaii sunt echivalente:
(I) seria numeric1
( )n
f n
= este convergent.
(II) irul numeric { }1 1( )n
n
f x dx
este convergent.
(III) integrala improprie 1 ( )f x dx
este convergent.
Demonstraie: Fie Sn = f(1) + f(2) + ...+ f(n) irul de sume pariale
al seriei numerice1
( )n
f n
= i Vn =
1( )
n
f x dx termenul general al
irului ( )1 1( )n
n
f x dx
. Funcia f, monoton descresctoare, este integrabil
pe [1, ). Deci feste i local integrabil. Cum f 0, integrala definit a lui
fare proprietatea de monotonie. Astfel, avem:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3
1 2
2 1 , 3 2 ,...,f f x dx f f f x dx f f n
( ) ( )1
1
n
n
f x dx f n
. Adunnd aceste inegaliti, obinem:
551
7/28/2019 Integrale improprii_proprietati
23/24
(VII.23) Sn f(1) Vn, n 1 i VnSn 1, n 2.
(I) (II) Dac1
( )n
f n
= este convergent (S
def
n) este convergent n R.
Deci (Sn) este (n mod necesar) ir mrginit. Din (VII.23) (VnSn 1, n2),
rezult cirul ( )1n n
V
este mrginit superiori, fiind cresctor, rezult prin
teorema Weierstrass, c (Vn) este ir convergent n R.
(II) (I) Dacirul ( ) 1n nV este convergent atunci (n mod necesar) este
ir mrginit i, din (VII.23) (Sn f(1) Vn, n 1), rezult c (Sn) estemrginit. irul (Sn) fiind monoton cresctori mrginit este convergent. Ca
urmare, seria1
( )n
f n
= este convergent.
(II) (III) Fie F(u) = ( )1
u
f x dx , u 1 i lim nnl V= . Pentru orice u1,
existnN a. . u< n i deci F(u) F(n) = Vnl. Dar lim nn
V
l= >0,
nN a. . n n | Vn - l | < . Fie un . Atunci, un> n de la un
rang ncolo i deci F(un) F(n) = l - . Cum F(unV n) l, rezult c
l -
7/28/2019 Integrale improprii_proprietati
24/24
Consecina VII.3.
Fie f : [1, ) R o funcie pozitiv i descresctoare. Atunci seria
1( )
n
f n
= i integrala improprie ( )
1
f x dx
au aceeai natur.
Demonstraia este evident din echivalena (I) (III) i din
criteriul integral al lui Cauchy (teorema VII.16).
Consecina VII.4.
Fie f: [1, ) Rcu 1( )f xx
= , pozitivi descresctoare pentru >0.
Atunci seria armonic generalizat sau seria lui Riemann
1 1
1( )f n
n
= i integrala improprie
1
dx
x
au aceeai natur. Deci sunt
convergente pentru > 1 i divergente pentru 1.
Demonstraia este direct, din consecina VII.3 i teorema VII.16.
Consecina VII.5
Fie g: [a, ) R pozitiv i local integrabil, iar f: [1, ) R local
integrabil. Dac exist M > 0, astfel nct | f(x) | Mg(x), x a i
integrala este convergent, atunci( )ag x dx
( )a f x dx
este absolut
convergenti are loc inegalitatea: ( ) ( )a a
f x dx M g x dx
.
553