Integrales

AC/DC Integrales FIUNA

Octubre 2009

Tabla de integrales inmediatas

1. xkdx = 1k

x

k+1

+ C ,(k -1). 2. dx

x = ln |x |+C.

3. sen x dx = -cos x + C. 4. cos x dx = senx dx + C

5. 2dx

cos x = (1 + tg2x) dx = tg x + C. 6. 2

dx

sen x = -cotg x + C.

7. tg x dx = -ln |cos x| + C. 8. cotg x dx = ln |sen x| + C.

9. ex dx = ex + C. 10. ax dx = x

a

lna + C.

11. 2dx

1+x = arctg x + C = -arccotg x + C 12. 2 2

dx

a +x =

1 xarctg

a a + C, a 0 .

13. 1

22 2dx

lna -x

a xc

a a x

14.

1

22 2dx

ln-a

x ac

x a x a

15. 2dx

1-x = arcsen x + C = - arccos x + C 16. 2 2

dx

a -x = arcsen

x

a + C, a>0.

17. 2 22 2dx

lnx

x x a Ca

18. senh dx = cosh x + C

19. cosh x dx = senh x + C 20. 2dx

coshtghx C

x

21. 2dx

cotghx Csenh x

21. kx

kx ee dx Ck

23. 1

lndx

ax b Cax b a

24. sen ax = -1

acos ax


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Integral de Riemann

Integral Indefinida Primitivas

Nos ocupamos ahora del problema inverso de la derivacin: dada una funcin f(x),

obtener una funcin F(x) cuya derivada sea igual a f(x), es decir:

F(x) = f(x).

Sea f: I R , siendo I un intervalo cualquiera.

Decimos que una funcin F: I R, es una primitiva de f, si existe Fen I, y se verifica

F(x) = f(x) para todo x I.

Si f admite una primitiva F en I, entonces f admite infinitas primitivas que

son todas las funciones de la forma F(x)+k, donde k es un nmero real cualquiera,

ya que se tiene (F(x)+k)= F(x)+k= f(x)+0 = f(x).

El conjunto de todas las primitivas de f se llama integral indefinida de f, y se

escribe

f(x) dx = F(x) + C,

siendo F una primitiva cualquiera de f y C una constante arbitraria.

El smbolo se llama signo integral, f(x) integrando y f(x) dx elemento de

integracin.

No toda funcin admite primitiva en un intervalo I. Sin embargo se verifican los

siguientes teoremas.

Teorema

Toda funcin continua f en el intervalo [a, b] tiene una funcin primitiva y, por

consiguiente integral indefinida.

Es importante resaltar que mientras que la derivada de una funcin elemental es una

funcin elemental, la primitiva de una funcin elemental puede no ser una funcin

elemental, es decir, no se puede expresar operando un nmero finito de veces funciones

elementales.

As, por ejemplo, las siguientes integrales existen, pero no son funciones elementales:

2-xe dx ,

sen xdx

x,

cos xdx

x,

1

lndx

x.

Integrales inmediatas

Consecuencia inmediata de esta definicin es

( f(x) dx)= f(x).


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Propiedades

La integral indefinida es lineal, es decir se verifican las igualdades siguientes, donde f y

g son dos funciones que admiten primitivas y k R:

a) (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx.

b) kf(x) = k f(x) dx.

Estudiemos ahora algunos mtodos que permiten transformar integrales difciles en

otras ms sencillas. Cuando la integracin no es inmediata se utiliza uno de estas mtodos,

segn la caracterstica de cada ejercicio, a los efectos de conseguir la forma de una de las

integrales inmediatas que se encuentran en la tabal de integracin.

Clculo de Primitivas

Integracin por cambio de variable o sustitucin.

Cuando se trata de una expresin irracional, generalmente se iguala a una variable

auxiliar, solamente la expresin subradical. Si la funcin es potencial, con frecuencia se

sustituye por la variable auxiliar solamente la base.

Si se quiere calcular la integral f(x) dx, se puede realizar el cambio de variable x = (t), suponiendo que f y son funciones continuas, verificndose entonces la igualdad:

f(x) dx = f( (t)) (t) dt. Entendindose que al variable t ser sustituida despus de la integracin del segundo

miembro de la igualdad por su expresin en funcin de x.

A veces, es mas prctico elegir la sustitucin de la variable en la forma t = (x) y no en

x = (t). Aclaremos esto con un ejemplo:

Supongamos que se quiere calcular la integral: 2

3 2

3x +2xdx

x +x

Haciendo el cambio x3 + x

2 = t, se tiene (3x

2 +2x) dx = dt, y la integral se convierte en

dt

t= ln |t| + C = ln |x

3 + x

2| + C.

Otro ejemplo: 2 2dx

a +x, haciendo el cambio x = at, dx = a dt, sustituyendo queda

2 2 2a

dta +a t

= 2

1 dt

a 1+t=

1

a arctg t + C =

1

a arctg

x

a + C.

Integracin por partes (Bernoulli)

Por lo general se usa cuando hay:

Diferenciales que contienen productos de funciones.

Diferenciales que contienen funciones logartmicas.

Diferenciales que contienen funciones trigonomtricas.


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Hay 2 reglas generales:

La parte escogida como f(x) ha de ser fcil de integrar.

g(x)f(x no debe ser mas complicada que f(x) g(x)

Si f y g son dos funciones derivables se verifica

f(x) g(x) dx = f(x)g(x) - g(x)f(x) dx.

Este mtodo convierte la integral en una parte ya integrada mas una integral por

calcular, tendr xito si esta ltima integral es mas facil de calcular que la inicial.

Veamos algunos ejemplos:

a) I = x2 log x dx

Haciendo f= x2, y g = log x f =

3x

3, g=

1

x; sustituyendo en la frmula

queda I = 3

xlog x

3-

2x

3dx =

3x

log x3

- 3

x

9 + C

b) I = arcsen x dx =

Haciendo f= 1, y g = arcsen x f = x, g=2

1

1-x; sustituyendo en la frmula

queda I = x arcsen x - 2x

1-xdx = x arcsen x + 21-x + C.

Integracin de funciones racionales

Tiene lugar si la funcin subintegral es una fraccin cuyo denominador es un polinomio

racional de segundo grado o mas.

Las funciones racionales son aquellas que se expresan mediante un cociente de

polinomios. Cualquier funcin racional se puede expresar como suma de un polinomio mas

una funcin racional propia (grado del numerador menor que el grado del denominador) sin

mas que realizar la divisin entre el numerador y el denominador; luego la integracin de

una funcin racional se reduce a la integracin de un polinomio (que es inmediata) mas la

integracin de una funcin racional propia, por tanto nos ocuparemos de la integracin de

funciones racionales propias.

El procedimiento para integrar estas funciones se basa en la descomposicin en

fracciones simples.

Descomposicin en fracciones simples.

Si el numerador de la fraccin es un polinomio de grado mayor o igual al polinomio

denominador, se efecta la divisin teniendo en cuenta que: D R

Qd d

Donde: Re

D Dividendo

d divisor

R sto

Q cociente


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Caso I: Factores Lineales Distintos:

A cada factor lineal ax+b que aparezca una sola vez en el denominador de una funcin

racional propia le corresponde una sola fraccin simple de la forma A

ax b, donde A es una

constante que habr que determinar.

Caso II: Factores Lineales Repetidos:

A cada factor lineal ax+b que aparezca n veces en el denominador de una funcin

racional propia le corresponde una suma de n fracciones simples de la forma

1 2

2....

( ) ( )

n

n

AA A

ax b ax b ax b

, donde A es una constante que habr que determinar.

Caso III: Factores Cuadrticos Distintos:

A cada factor cuadrtico irreducible 2ax bx c que aparezca una sola vez en el

denominador de una funcin racional propia le corresponde una sola fraccin simple de la

forma 2

Ax B

ax bx c

, donde A y B son constantes a determinar.

Caso IV: Factores Cuadrticos Repetidos:

A cada factor cuadrtico irreducible 2ax bx c que aparezca n veces en el

denominador de una funcin racional propia le corresponde una suma de n fracciones

simples de la forma 1 2 2 22 2 2 2

...( ) ( )

n n

n

A x BA x B A x B

ax bx c ax bx c ax bx c

, donde A y B son

constantes a determinar.

Integracin de funciones racionales

Distinguimos dos casos fundamentales:

El denominador solo tiene races reales.

En este caso descomponemos la funcin racional en tantas fracciones simples como

indica el grado del denominador: entendiendo por fracciones simples aquellas que tienen la

forma A

x-a o

n

A

(x-a), donde A es un nmero por determinar y a es una de las races del

denominador.

Aclaremos lo anterior con algunos ejemplos, calculemos I = 3

3

x +1

x -x dx :

Como la fraccin a integrar no es propia efectuamos la divisin de x3+1 entre x

3-x

obtenindose 1 de cociente y x+1 de resto.

Luego I = (1 + 3x+1

x -x)dx = x + 3

x+1

x -xdx


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Descompongamos la fraccin 3

x+1

x -x, que es propia, en fracciones simples, para lo cual

descomponemos en factores el denominador, que equivale a calcular sus races:

x3-x = x(x

2-1) = x(x-1)(x+1), luego sus raices son 0, 1, -1, y la descomposicin es:

3

x+1

x -x =

2

3

A B C A(x -1)+Bx(x+1)+Cx(x-1)+ + =

x x-1 x+1 x -x, luego se debe cumplir la identidad:

A(x2-1) + Bx(x+1) + Cx(x-1) = x+1, cierta para todo x R.

Las incgnitas A, B, C se calculan dando valores a x, lo mas cmodo es dar a x los

valores de las races del denominador

x = 0 -A = 1 A = -1

x = -1 2C = 0 C = 0

x = 1 2B = 2 B = 1

Luego se tiene:

3x+1

x -xdx = (

-1 1+

x x-1) dx = -

1

xdx +

1

x-1dx = -log |x| + log |x-1| +C.

En el ejemplo anterior todas las races del denominador eran simples, veamos ahora un

ejemplo con alguna raz mltiple:

Calculemos I = 4 2x-3

dxx -3x +2x

La fraccin a integrar es propia por lo que ya podemos descomponerla en fracciones

simples; para ello descomponemos en factores el denominador utilizando Ruffini:

x4-3x

2+2x = (x-1)(x-1)(x+2)x = (x-1)

2(x+2)x, luego las raices son 1(doble),- 2 y 0

(simples).

Descomponemos en 4 fracciones simples (como indica el grado):

4 2

x-3

x -3x +2x=

2

A B C D+ + +

x-1 (x-1) x+2 x=

2 2

4 2

A(x-1)(x+2)x+B(x+2)x+C(x-1) x+D(x-1) (x+2)

x -3x +2x

Debe ser A(x-1)(x+2)x+B(x+2)x+C(x-1)2x+D(x-1)

2(x+2) = x-3, cierta para todo x.

Dando valores a x:

x = 1 3B = -2 B = 2

3

x = -2 -18C = -5 C = 5

18

x = 0 2D = -3 D = 3

2

x = -1 2A-B -4C+4D = -4 A = 11

9


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Luego I = 11

9

1

x-1dx +

2

3

2

1

(x-1)dx +

5

18

1dx

x+2+

3

2

1

x dx =

11

9log|x-1| +

2

3

1

x-1+

5

18log|x+2| -

3

2log|x| + C.

El denominador tiene al menos una raz compleja (no real) .

En este caso las races aparecen por pares conjugadas (Por qu?), y en la

descomposicin en fracciones simples aparecen fracciones de la forma: 2

Mx+n

x +px+q , siendo

p2-4q < 0 (Por qu?).

Antes de calcular la integral de la fraccin anterior calculemos otra ms sencilla

2 2

Mx+N

x +adx = M

2 2

x

x +adx + N

2 2

1

x +adx =

2 2 22x

x +a

M dx + N

1

aarctg

x

a =

M

2log (x

2 + a

2) +

N

a arctg

x

a + C.

La integral I = 2

Mx+N

x +px+qdx, se reduce a la anterior completando un cuadrado en el

denominador:

I = 2 2

2

Mx+N

p p px +2 x+ +q-

2 4 4

dx = 22

Mx+N

p 4q-p(x+ ) +

2 4

dx

Haciendo el cambio x + p

2= t, y siendo

24q-p

4>0 (Por qu?), se convierte en una

integral del tipo anterior. Llamando 2

4q-p

4= a

2, y siendo dx = dt

I = 2 2

pM(t- )+N

2

t +adt =

2 2

pN-M

2

t +adt +

2 2

Mt

t +adt =

2 2

p dt(N-M )

2 t +a +

2 2

M 2tdt

2 t +a

I = p 1

(N-M )2 a

arctg t

a +

M

2log( 2 2t +a ) + C, y sustituyendo t y a queda

I = 2

2N-Mp 2

2 4q-parctg (

2

2x+p 2

2 4q-p) +

22M p 4q-p

log((x+ ) + )2 2 4

+ C

I = 2

2N-Mp

4q-parctg(

2

2x+p

4q-p) + 2

Mlog(x +px+q)

2+ C.

Luego se ha encontrado la frmula:

2

Mx+N

x +px+qdx =

2

2N-Mp

4q-parctg(

2

2x+p

4q-p) + 2

Mlog(x +px+q)

2+ C.

Resolvemos un ejemplo numrico:I = 2

3 2

x -2

x +2x -2x+3dx

Como la fraccin es propia podemos descomponerla en fracciones simples.


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Descomponiendo el denominador en factores se obtiene:

x3+2x

2-2x+3 = (x+3)(x

2-x+1), el factor x

2-x+1, tiene races no reales como fcilmente

se comprueba.

2

3 2

x -2

x +2x -2x+3 =

2

A Mx+N+

x+3 x -x+1 =

2

3 2

A(x -x+1)+(Mx+N)(x+3)

x +2x -2x+3

A(x2-x+1) + (Mx+N)(x+3) = x

2-2, igualdad vlida para todo x.

Obtenemos las incgnitas A, M y N, dando valores arbitrarios a x:

x = -3 13A = 7 A = 7

13

x = 0 A + 3N = -2 N = -2-A

3 =

11

13

x = 1 A + (M+N)4 = -1 M= -1-A-4N

4 =

6

13

Por tanto I = 7

13

1

x+3dx +

2

6 11x-

13 13

x -x+1dx =

7

13log |x+3| +

1

13 26x-11

x -x+1dx. + C

Calculamos 2

6x-11

x -x+1dx, completando un cuadrado en el denominador

2

6x-11

x -x+1dx =

2

6x-11

1 1 1x -2 x+ +1-

2 4 4

dx = 2

6x-11

1 3(x- ) +

2 4

dx;

hacemos el cambio x-1

2= t dx = dt, sustituyendo queda

2

16(t+ )-11

23

t +4

dt = 2

6t-8

3t +

4

dt

= 32

2t

3t +

4

dt -82

1

3

4t dt = 3log(

2 3t + )

4 - 8

2

3arctg(

2

3

t) + C

Sustituyendo t por x - 1

2, y el valor que se obtenga en I, se termina el clculo.

Las integrales de funciones trigonomtricas, es decir, funciones racionales de seno y

coseno, simblicamente I = R(sen x, cos x)dx , se reducen a integrales de funciones

racionales mediante el cambio x

tg = t2

, llamado usualmente cambio universal, ya que al

aplicarlo siempre se obtiene la integral de una funcin racional, aunque en algunos casos

puede dar lugar a clculos largos. Haciendo dicho cambio obtenemos:

sen x = 2

2 2 2

x x x2 sen cos 2tg

2t2 2 2= =x x x 1+t

sen +cos 1+tg2 2 2

cos x =

2 2 22

22 2 2

x x xcos -sen 1-tg

1-t2 2 2= =x x x 1+t

sen +cos 1+tg2 2 2


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xtg = t

2

x

2 = arctg t x = 2arctgt dx =

2

2dt

1+t

Sustituyendo en I se obtiene:

I = 2

2 2 2

2t 1-t 2R( , ) dt

1+t 1+t 1+t

Apliqumoslo al clculo de la integral

I = 2

2

2

2

dx 11+t= dt=2 dt2t1+2sen x t +4t+1

1+21+t

, resolvemos la ltima integral.

Descomponiendo en factores el denominador:

t2+4t+1 = 0 t = -2 3 t

2+4t+1 = (t + 2- 3)(t+2+ 3)

2 2

A(t+2+ 3)+B(t+2- 3)1 A B= + =

t +4t+1 t +4t+1t+2- 3 t+2+ 3A(t+2+ 3 )+ B(t+2- 3) 1

dando valores adecuados a t

t = -2- 3 -2 3 B = 1 B = 1

2 3

, t = -2 + 3 2 3 A = 1 A =

1

2 3

Luego 2

1 1 1 1 1dt= dt- dt

t +4t+1 2 3 t+2- 3 2 3 t+2+ 3 =

1 1log|t+2- 3|- log|t+2+ 3|

2 3 2 3+C, sustituyendo en I

I = 1 1

log|t+2- 3|- log|t+2+ 3|3 3

+ C, deshaciendo el cambio

I = 1 x 1 x

log|tg +2- 3|- log|tg +2+ 3|2 23 3

+ C

Sustituciones Trigonomtricas

Mtodo del triangulo rectngulo

Algunas integrales se pueden simplificar gracias a las siguientes sustituciones:

1. Si un integrando contiene 2 2a x , sustituir x = a sen z

2. Si un integrando contiene 2 2a x , sustituir x = tg z

3. Si un integrando contiene 2 2x a , sustituir x = a sec z

4. Si un integrando contiene 2 2 2a b x , sustituir x = a

bsen z

5. Si un integrando contiene 2 2 2a b x , sustituir x = a

btg z

6. Si un integrando contiene 2 2 2b x a , sustituir x = a

bsec z


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Ejemplo para:

1. a 2. 5.

X 2 2 2a b x

2 2a x x xb

2 2a x a A

Observacin: el integrando no tiene que tener ningn otro factor irracional.

Sustituciones Diversas:

Si un integrando es racional excepto por un radical de la forma:

1. nn ax b sustitucin ax b z (Para convertirlo en un integrando racional)

2. 2 2 ( )nx px q sustitucin x px q z x (Para convertirlo en un

integrando racional)

3. 2 2 2( )( ) ( )x px q a x b x sustitucin a x z o bien 2 2( )b x z

(Para convertirlo en un integrando racional)

La sustitucin 2

xz tg convertir cualquier funcin racional de senx y cosx en una funcin

racional de z porque:

2

2

2

2

2

1

1cos

1

2

1

zsenx

z

zx

z

dzdx

z

21 z

2z

21 z

Integral Definida

El concepto de integral definida (segn Riemann) est fundamentalmente relacionado

con el clculo de reas de regiones planas, en particular el rea determinada por:el eje OX,

la grfica de la curva y = f(x), y las rectas x = a, y = b.


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Particin

Definimos en primer lugar el concepto de particin:

Sea el intervalo [a, b], llamamos particin de [a, b] a cualquier coleccin finita de puntos

del intervalo, P = {x0, x1, , xn }, siendo x0 = a < x1 <


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as como:

a

af(x) dx = 0.

Integral Definida: Propiedades

Enunciemos ahora las principales propiedades de la integral:

Linealidad

Si f, g :[a, b] R son funciones integrables y R, entonces

1) f + g es integrable y b

a(f(x)+g(x)) dx=

b

af(x) dx +

b

ag(x) dx

2) f es integrable y b

af(x) dx =

b

af(x) dx

Monotona

Si f, g :[a, b] R son funciones integrables y f(x) g(x) x [a, b]

b

af(x) dx

b

ag(x) dx

Acotacin

Si f: [a, b] R es una funcin integrable, existen m, M R tales que

m(b-a) b

af(x) dx M(b-a)

Aditividad respecto del intervalo

Si f: [a, b] R es una funcin acotada y c (a, b); entonces f es integrable en [a, b] si

y solo si lo es en [a, c] y en [c, b], y se verifica

b

af(x) dx =

c

af(x) dx +

b

cf(x) dx

Integral Definida: Teoremas fundamentales

Teorema

a) Toda funcin f: [a, b] R montona es integrable .

b) Toda funcin f continua en [a, b] es integrable en [a, b].

Teorema

Si f: [a, b] R es integrable, entonces | f | tambin lo es, y se verifica

|b

af(x) dx |

b

a|f(x)| dx

Teorema del valor medio

Si f: [a, b] R es una funcin continua, entonces existe un c (a, b) tal que

b

af(x) dx = f(c)(b-a).

Teorema fundamental del clculo

Sean f, F : [a, b] R, funciones continuas en [a, b]. Entonces F es derivable en (a, b)

y F(x) = f(x) x (a, b) si y solo si

x

af(x) dx = F(x) F(a), para todo x [a, b].


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Regla de Barrow

Si f es una funcin continua en [a, b] y F es continua en [a, b], derivable en (a, b) y

verificando F(x) = f(x) x (a, b) entonces

b

af(x) dx = F(b) F(a).

La Regla de Barrow permite calcular la integral definida a partir de los valores en los

extremos del intervalo de una primitiva de la funcin f, y que usualmente para abreviar se

escribe

b

b

aa

f(x) dx [F(x)]

Veamos algunos ejemplos:

0sen x dx =

0[-cos x] = 1 + 1 = 2

2 21 x x 1

00

1xe dx = [ e ]

2=

e 1 e -1- =

2 2 2

22

11

dx=[log x]

x= log 2 log 1 = log 2

Teorema (Integracin por partes)

Sean f, g:[a, b] R, derivables y con derivada continua en[a, b], entonces se verifica:

b b

b

aa a

f(x)g(x) dx=[f(x)g(x)] - f(x)g(x) dx

Como ejemplo calculamos I =

0xsen x dx .

Llamando f = x, g= sen x f= 1, g = -cos x sustituyendo en la fmula

I =

o 00

[-xcos x] - (-cos x) dx = (-0)+[sen x] = Teorema (Cambio de variable o sustitucin)

Sea j :[, ] R , una funcin derivable con derivada continua en [, ] , si f es una

funcin continua en el intervalo ([, ]) , y siendo () = a, () = b , entonces haciendo

el cambio x= (t) , se verifica

b

a f(x) dx = f( (t)) (t) dt

Apliquemos el cambio de variable al clculo de I = 2

2

04- x dx :

haciendo el cambio x = 2sen t dx = 2cos t dt

x = 2 2 = 2 sent sen t = 1 t =

2

x = 0 0 = 2 sen t sen t = 0 t = 0


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Luego:

I=

2 2 22 2 2

0 0 04-4sen t 2cos t dt = 4 1-sen t cos t dt = 4 cos t dt = 4

2

0

1+ cos 2tdt =

2=2

2 20

0

1 (1+ cos 2t) dt = 2[t + sen 2t] = 2 =

2 2

Integral Definida: Aplicaciones geomtricas

Estudiemos algunas aplicaciones geomtricas de la integral definida:

Clculo de reas de regiones planas

rea entre una curva y el eje OX: si f es una funcin continua definida en el intervalo

[a, b], el rea de la regin limitada por la curva y = f(x), el eje OX y las rectas x = a y x = b

tiene por valor

A = b

a| f(x) | dx

rea encerrada entre dos curvas: si f y g son dos funciones continuas definidas en [a,

b], entonces el rea de la regin limitada por la curva y = f(x), la curva y = g(x), la recta x

= a y la recta x = b tiene por valor:

A = b

a| f(x) - g(x) | dx

Ejemplo: Obtener el area de la regin encerrada entre las curvas y = x3

- x2 - 2x + 2 e y

= x4 4x

3 + x

2 + 6x + 2.

Se puede tomar: f(x) = x3

- x2 - 2x + 2, g(x) = x

4 4x

3 + x

2 + 6x + 2

Calculamos en primer lugar los puntos de corte de las dos curvas

f(x) = g(x) x3

- x2 - 2x + 2 = x

4 4x

3 + x

2 + 6x + 2 x

4 5x

3 + 2x

2 + 8x = 0

x(x3 5x

2 + 2x + 8) = 0 x = 0, o x

3 5x

2 + 2x + 8 = 0 x = -1,2, 4.

Luego los puntos de corte corresponden a los valores de x: -1, 0, 2, 4; por lo tanto a = -

1, b = 4.

Como en la frmula aparece el valor absoluto es necesario obtener el signo de f-g en

cada subintervalo: [-1, 0], [0, 2], [2, 4], ya que dicho signo permanece constante en cada

uno de ellos; para ello basta con obtener el valor de f-g en un punto interior de cada

subintevalo

llamando h(x) = f(x) g(x) = - x4 + 5x

3 2x

2 8x

-1 -1 45(-1, 0) h( ) = > 0

2 2 16

1 (0, 2) h(1) = -6 < 0

3 (2, 4) h(3) = 12 > 0

Por tanto se tiene:

b

a|f(x)-g(x)| dx =

4

1|

- x4 + 5x

3 2x

2 8x| dx =

0

1 |- x4 + 5x

3 2x

2 8x| dx +

2

0 |- x4 + 5x

3 2x

2 8x| dx +

4

2 |- x4 + 5x

3 2x

2 8x| dx =

0

1 (- x4 + 5x

3 2x

2 8x) dx +

2

0 ( x4 - 5x

3 + 2x

2 + 8x) dx +

4

2 (- x4 + 5x

3 2x

2 8x) dx =

5 4 3 20

1

x x x x[- +5 -2 -8 ]

5 4 3 2 +

5 4 3 22

0

x x x x[ -5 +2 +8 ]

5 4 3 2


Octubre 2009

+5 4 3 2

4

2

x x x x[- +5 -2 -8 ]

5 4 3 2 =

113 116 244

60 15 15 =

1553

60

Volumen de un cuerpo de revolucin: el volumen engendrado por la regin encerrada

por las curvas y = f(x) e y = g(x) para x [a, b], con f(x) g(x), al girar dicha regin

alrededor del eje OX es:

V = b

2 2

a[g (x)-f (x)] dx .

Si se tratase del volumen generado por la regin determinada por la curva y = g(x), el

eje OX, para x [a, b], con g 0, su valor se obtendra poniendo f(x) = 0 en la frmula

anterior, pues la ecuacin de eje x es y = 0

V = b

2

ag (x) dx .

Ejemplo

Obtener el volumen de cuerpo de revolucin que genera el circulo de centro C(0, 2), y

radio 1, al girar alrededor del eje OX (la superficie formada se denomina toro).

La ecuacin de la circunferencia que delimita el crculo es: x2 + (y-2)

2 = 1

y 2 = 21-x y = 2 21-x . Luego en este caso se tiene:

g(x) = 2 + 21-x , f(x) = 2 - 21-x , con lo que el volumen pedido ser:

V = 1

2 2 2 2

-1 [(2+ 1-x ) -(2- 1-x ) ] dx =

12

-18 1-x dx

Resolvemos la ltima integral con el cambio x = sen t dx = cos t dt

x =1 t =

2 ; x = -1 t =

3

2; 21-x = 21-sen t = 2cos t |cos t|,

luego 1

2

-18 1-x =

23

2

8 |cos t| cos t dt = -3

2

2

8 (-cos t)cos t dt = 3

22

2

8 cos t dt =

3

2

2

1+cos 2t8 dt

2=

3

2

2

14[t+ sen 2t]

2= 2

3 4( - ) = 4

2 2.

y = x4 - 4x3 + x2 + 6x + 2

y = x3 x2 - 2x + 2

Grficas de las funciones


Octubre 2009

Integral Impropia: Introduccin

Ahora se trata de generalizar el concepto de integral de Riemann a aquellos casos donde

el intervalo de integracin no es acotado o bien la funcin a integrar no est acotada.

En definitiva diremos que la integral b

af(x) dx es impropia si se da al menos una de las

siguientes hiptesis:

1. El intervalo [a, b] no est acotado.

2. La funcin f(x) no est acotada en el intervalo [a, b].

Este tipo de integral tiene bastantes aplicaciones en otras reas cientficas: Fsica,

Economa, , etc.

Ejemplos

1) 0

x dx

, el intervalo [0, +] no est acotado.

2) 5

1

1dx

x,

1

x no est acotada en cualquier entorno de x = 0.

3) 5

2

1dx

x, el intervalo (-, 5] no est acotado y,

2

1

x no est acotada en

cualquier entorno de x = 0.

Integrales impropias en intervalos no acotados (o con lmites de integracin infinitos)

Tambin se les suele llamar de primera especie

Por ejemplo seran de la forma:

20

1dx

1+x

, 2-1 -x

-xe dx

.

Consideremos ahora otro ejemplo e intentemos darle un significado:0

-xe dx

.

La integral b

-x

0e dx , tiene sentido para cualquier b (por muy grande que sea este) y

podemos calcular:

b

-x

0e dx =

b-x

0(-1)e dx =

-x b

0[e ] = -[e

-b-e

0] = -b1 e .

Se tiene -b

blim (1-e )

= 1, luego parece lgico definir:

0

-xe dx

= 1.

Interpretacin geomtrica

Se puede interpretar geomtricamente diciendo que el rea de la regin (no acotada)

determinada por y = e-x

, el eje OX, y la recta x= 0 , vale 1.

-xy=e

1


Octubre 2009

Definicin

Utilizando la misma idea del ejemplo anterior podemos dar la definicin general:

1) b

a abf(x) dx lim f(x) dx

Donde se supone que f(x) es una funcin acotada e integrable en todo intervalo de la

forma [a, b], siendo a un valor fijo y b uno cualquiera verificando b a.

2) b

-f(x) dx

= b

aa -lim f(x) dx

Donde se supone que f(x) es una funcin acotada e integrable en todo intervalo de la

forma [a, b], siendo b un valor fijo y a uno cualquiera verificando b a.

Si los lmites existen y tienen valores finitos, entonces decimos que las

correspondientes integrales impropias convergen y tienen estos valores. En otro caso se

dice que la integral diverge.

3) f(x) dx f(x) dx f(x) dxc

c

=

b

a blim f(x) dx lim f(x) dx

c

ca ,

donde c es un nmero real cualquiera. Decimos que la primera integral es convergente

si existen y son finitos los dos lmites, y su valor es la suma de estos lmites. En otro caso la

integral se dice divergente.

Ejemplo

Estudiar la siguiente integral calculndola en su caso:

I = 2

1dx

1+x

, tomando c = 0, se tiene:

I = 0

0

020

1

1

bb

a2aa b a b

1lim dx lim lim[arctg x] lim[arctg x]

1+xdx

x

[arctg 0 arctga(- )] + [arctg(+) arctg 0] = [0 (-/2)] + [/2 0] = .

Se puede interpretar este resultado diciendo que el rea determinada por la curva

2

1y =

1+x , y el eje OX vale .

Ejemplo

Estudiar la convergencia de la integral I =0

sen x dx

.

I = b

b

00b b b

lim sen x dx lim[-cos x] lim (-cos b+1)

, como este lmite no existe se

concluye que I diverge.

2

1y=

1+x


Octubre 2009

Integrales Impropias con integrando infinito (no acotado)

Tambin se le suele llamar de segunda especie

Consideremos la integral I = 1

3 2

1dx

x , si aplicamos la Regla de Barrow, se tiene

I = -2+1

1 -1 1 -1 -1

-3 -3

x 1 -4[ ] = [-x ] = -(1) -(-(-3) = -1- =

-2+1 3 3,

pero este resultado es absurdo, pues el rea determinada por una funcin positiva, por

encima del eje OX, no puede ser negativa. El error cometido est en la aplicacin de la

regla de Barrow, que en este caso no puede aplicarse, puesto que la funcin 2

1

x no est

acotada en [-3, 1], y por tanto no es continua en dicho intervalo. Este es un ejemplo de

integral impropia con integrando no acotado.

Si J es convergente, entonces el rea de la regin (no acotada) definida por y =f(x), x = a y el eje OX, coincide con el valor de la integral.

b

+

aJ= g(x) dx

a

y = g(x)

y

x

y = sen x

b

b

-I= f(x) dx

a

y = f(x)

y

x

I f(x) dx

y = f(x)

y

x

Si I es convergente, entonces el rea de la regin (no acotada) definida por y = f(x) y el eje OY, coincide

con el valor de la integral.

2

1y =

x

Si I es convergente, entonces el rea de la regin (no acotada) definida por y =f(x), x = b y el eje OX,

coincide con el valor de la integral.


Octubre 2009

Definicin

Suponemos que f(x) no est acotada en un solo punto de [a, b].Consideramos los

siguientes casos:

1) f(x) no est acotada en el lmite superior b solamente, y es integrable en todo intervalo cerrado contenido en [a, b). Se define

-

b t

a at b

f(x) dx lim f(x) dx

Si el lmite existe y es finito , este es el valor de la integral, que se dice convergente.

En otro caso se dice divergente.

2) f(x) no est acotada en el lmite inferior a solamente, y es integrable en todo

intervalo cerrado contenido en (a, b]. Se define b b

a tt

f(x) dx lim f(x) dxa

Si el lmite existe y es finito , este es el valor de la integral, que se dice convergente.

En otro caso se dice divergente.

3) f(x) no est acotada en un solo punto interior c, a < c< b.

Definimos b c b

a a cf(x) dx f(x) dx f(x) dx .

Cada integral de segundo miembro corresponde a los casos 1 y 2; si cada una de

estas integrales es convergente se dice que b

af(x) dx es convergente y su valor es la

suma del segundo miembro. En otro caso se dice que b

af(x) dx es divergente.

Interpretacin geomtrica

y = f(x)

a b

b

aI f(x) dx

y

x

y = g(x)

a b

b

aJ g(x) dx

y

x

c

aI= f(x) dx

b

cJ= f(x) dx

1 2

y

x a c b

Si I es convergente, entonces el rea de la regin (no acotada) definida por x = a, y = f(x), la asntota x = b y el eje OX coincide con el valor de la integral

Si J es convergente, entonces el rea de la regin (no acotada) definida por x = b, y = f(x), la asntota x = a y el eje OX coincide con el valor de la integral

Si I y J son convergentes entonces las sumas de las reas de las regiones (no acotadas) definidas por: 1) y = f(x), x = a y la asntota x = c; 2) y = f(x), x = b y x = c, vale I+J


Octubre 2009

Ejemplo

Estudiar la convergencia de la integral I =2

0 2

dx

4-x .

Calculemos 0

t

2

dx

4-x =

t

0

x t 0 t[arcsen ] = arcse -arcsen =arcsen

2 2 2 2

Luego I = 2t

tlim(arcsen )

2= arcsen 1 =

2, por tanto I es convergente con valor

2.

Ejemplo

Estudiar la convergencia de la integral I = 3

50

1dx

x .

Se tiene:

13

35

0 0 0 0 0

4 4 45

5 5

0

5

4

5 5 33

4 4

-1 4+1

-1 45 533 35 5t t t

tt t t t

t

x xI= lim x dx lim[ ] lim[ ] lim[x ]

-1 4+1

5 5

lim[ t ]

x dx

Luego la integral es convergente con valor 5 45 3

4.

Ejemplo

Calcular, si es posible, I = 1

0

1dx

x

Por definicin, se tiene I=

0 0 00

11

ttt t t

dxlim lim[log ] lim[log 1-log t] ( )

xx

2

5

1y=

x

5 45 3

4

I representa el rea de la regin (no acotada) definida por: y x = 0, la asntota x = 2, y el eje OX

2

1y=

4-x


Octubre 2009

Luego la integral es divergente.

Ejemplo

Obtener el rea de la regin del primer cuadrante debajo de la curva y = x-2/3

y, a la

izquierda de x = 1.

Hagamos un pequeo estudio de la curva: -5

3

5

3

-2 -2 1y= x = 0, es decir en el primer cuadrante; luego la curva es

decreciente en el primer cuadrante.

Adems

2

3

0

1

0xlim x

, por tanto x = 0 es una asuntota vertical.

El rea pedida viene dada por la integral:

21

3

0x dx

=

2 11

13 31 3

00 0 0 03 3 3 3

2 11

3 3

-2 11

1 13 3t t t

t tt t t t

x xlim x dx lim[ ] lim[ ] lim[ x ] lim[ t ]

Ejercicio

Obtener el rea de la regin definida por la curva 2

3

1y=

(x-1)

, el eje OX y las rectas

x = 0 y x = 3.

Ejercicio

Estudiar la convergencia de la integral 1

0log x dx , calculndola en su caso y dando

una interpretacin geomtrica del resultado obtenido

Integral Impropia: De tercera especie

Tambin se pueden considerar integrales de funciones no acotadas en un nmero

finito de puntos sobre un intervalo no acotado: se llaman integrales impropias de tercera

especie.

1y=

x

1

3

-2

3y=x

1


Octubre 2009

Para estudiar este tipo de integrales se utiliza la propiedad de aditividad respecto del

intervalo para descomponerlas en suma de varias integrales de primera y segunda

especie . Si todas las integrales, en las que se descompone la integral dada, son

convergentes, esta se dice convergente y, su valor es esa suma. En caso contrario se

dice divergente.

Ejemplo

I = 0 1

dx

x( )x

, que est definida en el intervalo no acotado [0, ) y el integrando

no est acotado para x = 0.

Siguiendo la idea sealada disponemos: I = 1

0 1

dx

x( )x + 1 1

dx

x( )x

.

Calculemos I1=dx

x(x+1) , mediante el cambio x = t

2 dx = 2tdt

I1 = 2 2

2tdt 12 dt 2arctg t=2arctg x

t(t +1) t +1

1

0 1

dx

x( )x =

0 +

11

ttt t 0

dxlim = lim[2arctg x]

x(x+1)

t

lim[2arctg 1-2arctg t]=2 =

4 2o

1 1

dx

x( )x

= 2 2 1

bb

11b b b

dxlim = lim[2arctg x] lim[ ]

x(x+1)arctg b arctg

=

2 -2 =

2 4 2

Por lo tanto:

I =

+ =2 2

La integral calculada tiene la siguiente interpretacin geomtrica:

Representa el rea de la regin definida, en el primer cuadrante, por la curva

1y=

x(x+1) y los ejes coordenados.

1y=

x(x+1)


Octubre 2009

Ejercicios Contenidos:

5. Integrales Definidas 5.1. Definicin de Integrales Definidas. Existencia. Propiedades. 5.2. Clculo de la Integral Definida. Teoremas fundamentales. 5.3. Integrales impropias. Definicin. Existencia. Integral convergente y divergente. 5.4. Clculo de reas y longitudes de figuras planas, en coordenadas cartesianas, paramtricas y polares. Cambio de variables.

5.5. Clculo de reas y volmenes de cuerpos de revolucin, en coordenadas cartesianas, paramtricas y polares. Cambio de Variables.

5.6. Integracin numrica. Fundamentos. Frmula de los trapecios de Simpson, de Gregory. Integrales singulares. Algoritmos computacionales.

INTEGRALES DEFINIDAS. PROPIEDADES. APLICACIN DE TEOREMAS

1. Encontrar el valor de la constante c, tal que2

1cos)( xdttf

x

c

para todo x real.

2. Determinar el valor de c, cuya existencia garantiza el Teorema del valor medio para

las integrales para la funcin 26)( xxf en el intervalo 4,3 .

3. Hallar, utilizando el teorema conveniente, un intervalo cerrado que contenga el

valor de la integral definida 4

1

2 dxx .

4. Encuentre una funcin f y un nmero a tales que xdtt

tfx

a

2)(

62

INTEGRALES IMPROPIAS

5. Establecer si son convergentes o divergentes las integrales definidas dadas y hallar

su valor en los casos posibles.

a.

2

1

2x

dx

b.

1

021 x

xdx

c.

222 xx

dx

d.

12 1xx

dx


Octubre 2009

CALCULO DE REAS, LONGITUD DE CURVAS, VOLUMENES DE

REVOLUCIN

6. Construir la grfica y calcular:

a. El rea de las regiones limitadas por la curva de ecuacinx

1y , el eje x, la

recta de ecuacin xy , y la recta 2x .

b. La superficie limitada por la curva xlny , el eje de las x, y las rectas 1x y

ex .

c. El rea comn entre las curvas 1 y cos1

d. El rea del tringulo de vrtices )0;0( , )0;(a y );( cb

e. La superficie limitada por la curva xy 3 y las rectas de ecuacin 1y y

8x

7. Encontrar la longitud del arco de la curva 23

2 23

1 xy , del punto donde 0x al

punto donde 3x .

8. Calcular la longitud total de la curva 4

cos3 4

9. Calcular el rea acotada por la curva: tx cos3 ; tseny 4

10. Determinar el volumen de la regin limitada por la curva xxf tan)( , la recta

3x

y el eje x, se gira alrededor del eje x.

11. Calcular el volumen del slido de revolucin generado al girar alrededor de la recta

x = 1, la regin limitada por la curva yx 420)1( 2 , y las rectas 1x , 1y ,

3y y a la derecha de 1x .

12. Hallar el volumen del slido generado al girar en torno al eje y, el rea entre el

primer arco de la curva senx ; cos1y , y el eje x.

13. Un cilindro de radio R est cortado por un plano que pasa por un dimetro de la

base bajo el ngulo respecto al plano de la base. Cul es el volumen de la parte

separada?

INTEGRACIN NUMRICA

14. Calcular los valores aproximados de las integrales dadas por las formulas de los

trapecios y Simpson

a. 10

1

10log xdx , con 10n

b. 1

0

31 dxx , con 6n


Octubre 2009

c. 2

3

2

dxx

senx, con 6n

15. Calcular el valor de partiendo de la igualdad

1

0

214 x

dxaplicando Simpson

para 10n .

Contenidos:

6. Series Numricas y de Funciones 6.1. Series numricas de trminos positivos. Definicin. Clasificacin. Suma. Criterios de convergencia: Comparacin ; DAlembert ; Cauchy; Integral. Teoremas.

6.2. Serie alternada. Definicin. Criterio de Leibniz. Teoremas. 6.3. Serie de trminos positivos y negativos. Convergencia absoluta y condicional. 6.4. Series de funciones. Definicin. Convergencia uniforme. 6.5. Integracin y derivacin de las series de funciones. Teoremas. 6.6. Series de potencias. Definicin. Intervalo de convergencia. Series de Taylor y Maclaurin.

SERIES DE TERMINOS POSITIVOS

Estudiar el carcter de las siguientes series

16. n 1

3

n n 1

17. 2

n 1

n

n 1

18. 1 1 1

3 3 3

3 3 33 ...

2 3 4

19. 3 5 7 9

...2 10 30 68

Determinar si las siguientes sucesiones convergen o no.

20. 1

12

2

n

nan

21. nn 2

22.

n

en

3

2ln

23.

2sen

nan

SERIES DE TERMINOS POSITIVOS Y NEGATIVOS

Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes series:

24. )(log

1

22

n nn

25.

12 1

sen

n n

n

26. 1)1(1

n

n nn


Octubre 2009

27.

1

1sen

n n

Determinar si las siguientes series convergen absoluta o condicionalmente, o bien si no

convergen:

28.

1 !n

n

n

n

29. n

n 1

( 1) (n 2)

n(n 1)

30.

1

3

3)1(

nn

n n

31. nn

n 1

1 1( 1)

n 2

32. )12( 753

)23( 741

9753

10741

753

741

53

41

n

n

33.

1 )(log

1

nnn

SERIES DE FUNCIONES

Hallar el intervalo de convergencia de las siguientes series.

34.

0 1

)3(

n

nn

n

x

35.

0

)2(

nn

n

n

x

36.

12 1n

nx

nn

e

37.

013

)2(

nn

nxn

38.

021

1

nnx

39. n 1 nsen x

n 1

( 1) e

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Integrales