TEMA 5: LA INTEGRAL INDEFINIDA

1.- Integral indefinida. Definiciones.2.- Propiedades de la integral indefinida.3.- Integrales inmediatas.4.- Mtodos de integracin.

1.- Integral indefinida. Definiciones

Definicin: Dada una funcin f(x), diremos que la funcin F(x) es una funcin primitiva de f(x) en el intervalo [a, b], cuando se verifica que:

[ ]baxxfxF ,),()( =

* Ejemplo: Dada la funcin 23)( xxf = , entonces 31 )( xxF = es una primitiva de f(x), 2)( 32 += xxF es otra primitiva, 7)(

33 = xxF es otra, .... porque al derivar F1(x), F2(x) y F3(x) se

obtiene f(x).

Proposicin: Si F(x) es una primitiva de f(x) y C es una constante, entonces F(x) + C tambin es una primitiva de f(x).

Demostracin: La demostracin es evidente:

Si F(x) es una primitiva de f(x) = )()( xfxF

( ) CxFxfxFCxFCxF +==+=+ )()()()()( es tambin primitiva de f(x).Pero tambin se da la proposicin inversa, es decir:

Proposicin: Si F(x) y G(x) son dos funciones primitivas de f(x) en [a, b], entonces su diferencia es una constante, es decir : C F(x) G(x) = C, siendo C una constante, para todos los puntos de dicho intervalo..

Demostracin: Por hiptesis F(x) y G(x) son funciones primitivas, entonces por definicin de primitiva se verifica que )()( xfxF = y )()( xfxG = , y en tal caso tenemos que: ( ) 0)()()()()()( === xGxFxGxFxGxF [ ]bax , Pero ya hemos visto con anterioridad que si una funcin tiene derivada 0 en todos los puntos de un intervalo entonces dicha funcin es constante en dicho intervalo, luego existe C constante tal que:

CxGxF = )()( [ ]bax ,

En virtud de los anteriores resultados podremos dar la siguiente definicin de integral indefinida:

1

Definicin: Llamaremos integral indefinida de una funcin f(x) al conjunto de todas las primitivas de la funcin, es decir, dada una funcin primitiva F(x) de f(x) entonces llamaremos integral indefinida de f(x) al conjunto:

{ }+ CCxF :)(

A dicho conjunto lo representaremos como CxFdxxf += )()( .* Ejemplo: Dada la funcin f(x) = 3x2, como F(x) = x3 es una primitiva de dicha funcin, la

integral primitiva ser el conjunto de todas las funciones que resultan de sumarle un nmero real a dicha funcin, es decir:

+= CCxdxx ,3 32

* Observacin: Es fundamental tener siempre presente que la integral indefinida de una funcin es un conjunto de funciones.

2.- Propiedades de la integral indefinida

a) += Cxfdxxf )()(b) = kdxxfkdxxfk )()(c) +=+ dxxgdxxfdxxgxf )()())()((

La demostracin de estas propiedades es muy sencilla basndose en las propiedades de las derivadas.

3.- Integrales inmediatas.

La tabla de integrales inmediatas es una consecuencia directa de la tabla de derivadas que ya conocemos puesto que estamos haciendo el proceso inverso.

Las integrales inmediatas que debemos conocer son las siguientes:

2

TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS

TIPOS EJEMPLOSTipo potencial

+=+

1

1

ax

dxxa

a + C

+=+

1

1

nf

dxffn

n + C

==+

==

+

52

2512

3.52

5123

23

3 xxxdxxdxx

= 5 )2(3)2(53

243 xdxxx

Tipo logartmico

= xLdxx1 + C = fLdxff + C

+=+ )1(1 xxx

eLdxe

e

Tipo exponencial

= ff edxef .. + C = Laadxaf

ff .. + C

=

=xxx edxedxe 222

21)2(

21

== 454545.9.5 Ldxdxx

xxx

Tipo coseno

= xxdx cossen + C = fdxff cos.sen. + C

== 3cos33sen.3133sen xdxxdxx

Tipo seno

= xx sencos + C = fdxff sen.cos. + C +=+=+ )52sen()52cos(.22

1)52cos( xdxxdxx

Tipo tangente

= xdxx tgcos12 + C = fdxff tgcos2 + C

=+= xxdxxxdx tg)1tg1(tg 22 =

=

)35tg(101

)35(cos10

101

)35(cos2

2222 xxx

xx

Tipo cotangente

gxdxxsen

cot12 = + C = gfdxff cotsen2 + C

=+= xgxdxxgxdxg cot)1cot1(cot 22 == 22222 3cot613sen6613sen xgdxxxdxxx

Tipo x arc arc ( cosx)sen =

=

xarcdxx

sen 1

12 + C

=

farcdx

ff sen

1 2+ C

2

224arcsen

21

)(12

21

1xdx

xxdx

xx =

=

=

=

x

x

x

x

x

edxe

edxe

e arcsen)(11 22

Tipo arco tang.(= -arc cotang.)

=+ tgx1 1 2 arcdxx + C =+ farcdxff tg 1 2 + C

=+=+ xdxxdxx arctg311 13133 1 22 =+=+=+ )3tg( 31)3(1 331)3(1 191 1 222 xarcdxxdxxdxx

3

4.- Mtodos de integracin.

En este apartado vamos a ver los siguientes mtodos:

- Integrales que se simplifican previamente o que se descomponen.- Integrales que se transforman en inmediatas.- Integracin por sustitucin o cambio de variable- Integracin por partes- Integracin de funciones racionales

4.1.- Integrales que se simplifican previamente o se descomponen

Algunas veces, antes de realizar la integral correspondiente, se procede a simplificar la expresin por si de esa forma se puede integrar mejor. Posteriormente, haciendo uso de las propiedades de las integrales, se descomponen en otras ms sencillas, transformndose en una simple suma de integrales ms elementales. Veamos algunos ejemplos:

dxx 22 )1( Solucin:

Desarrollando por la frmula del cuadrado de un binomio: 12)1( 2422 += xxx As,

++=+=+= Cxxxdxdxxdxxdxxxdxx 325212)1(35

242422

= dxx xx 223 472

Solucin: Descomponiendo la fraccin en suma de fracciones:

222

2

2

3

2

23

472472472 == xxxx

xxx

xxx

Por tanto,

=== dxxdxxdxdxxxdxx xx 22223

472472472

Cx

xxCxxx ++=+

=

471

472

2 212

4

= dxxxxx

5 2

3 53

3472

Solucin:

Transformando las races en potencia, descomponiendo en suma de fracciones y simplificando, tenemos:

34

37

32

3

4

3

7

3

2

3

4723

472 53

1519

1011

52

52

35

52

23

52

35

23

5 2

3 53 xxx

x

x

x

x

x

x

x

xxxx

xxx==

=

Por lo que la integral nos queda:

=== dxxdxxdxxdxxxxdxx

xxx3

43

73

23

43

73

23

472 53

1519

1011

53

1519

1011

5 2

3 53

CxxxCxxx +=+= 58

1534

10215

815

3410

21

65

102105

6320

583

4

15343

7

10213

2

=dxxx xsenctgxseccos 42

Solucin:

Si expresamos las razones trigonomtricas en razones simples, nos quedar:

=== senxdxxdxx

x

xsensenx

x

dxxxxsenctgx cos4

cos1cos

cos4

seccos4

22

y preparando un poco la cosa:

== dxxsensenxdxxsenxdxx )2(2cos22cos4 (porque sen(2x)=2senxcosx)As pues:

Cxdxxsensenxdxxdxxxxsenctgx

+=== )2cos()2(2cos4seccos 42

5

4.2.- Integrales que se transforman en inmediatas

Aunque parezca que son difciles de realizar y que requieren un mtodo laborioso, hay integrales que se pueden resolver mediante el uso de la tabla de integrales inmediatas sin ms que introducir algunos cambios o modificaciones. Veamos algunos ejemplos:

+=

=

+==

+ C

xxxdxxdx

x 4415

55 4

1415

1

CxsenxLdxxsenx

senxxdxxsenxxsenx

++=+

=

+

coscoscoscoscos basta aplicar = fLdxff

Cedxex

dxx

e arcsenxarcsenxarcsenx

+=

=

..11.

1 22 basta aplicar = ff edxef ..

Cxtgdxxdxx ++=+=+ )12(21)12(sec.221)12(sec 22 basta aplicar =

fdxf

f tgcos2

Cxtgdxxdxx +== 333sec.3133sec 22 basta aplicar =

fdxf

f tgcos2

CarctgL

dxL

Ldx xx

x

x

x

+=+

=

+ 221)2(12.2

21

412

2 basta aplicar =+ farcdxff tg 1 2

+== CxLdxxxdxx sensencostg1 basta aplicar = fLdxff

CxLdxx

xxxdx

++=+

=

+ )1(2112211 222 basta aplicar =

fLdxff

(observa que aunque es

racional, se hace de forma inmediata)

Cxartgdxx

xxxdx

+=+

=

+ 244 2112211 basta aplicar =+

farcdxf

f tg 1 2

(observa que aunque es

racional, se hace de forma inmediata)

6

4.3.- Integracin por sustitucin o cambio de variable

El mtodo de integracin por sustitucin o cambio de variable consiste en transformar la integral dada, mediante un cambio de variable en otra inmediata o ms sencilla de integrar.

Dada la integral dxxf )( , si hacemos el cambio de variable x = g(t), entonces tenemos que:)()(y )( derivandodttgdxtgx ==

por lo que la integral inicial queda transformada en = dttgtgfdxxf )())(()(Ejemplos:

a) ++ + dxxx x 22 )1( 12

Solucin:Hacemos el cambio x x t x dx dt2 1 2 1+ + = + =( )Sustituyendo en la integral resulta:

===++ + dtttdtdxxx x 2222 )1( 12 t t x x C

= =

+ ++

1

211 1

1

b) + dxxx 32 1Solucin:

Hacemos el cambio tdtdxxtx 231 223 ==+

Despejamos en forma adecuada: x dxtdt2 23

= y ahora sustituimos:

+====+=+ 9)1(2

332

32

32..11

333222332

xtdtttdttdxxxdxxx

(ya que del cambio 231 tx =+ se deduce que tx =+ 31 )

c)

dxxx 11

Solucin:

Hacemos el cambio x t =1 o tambin, elevando al cuadrado, x-1 = t2

Diferenciando la igualdad anterior, dx = 2t.dt

Por otra parte, de x-1 = t2 resulta x = 1+t2

Sustituyendo resulta:

7

=+=+= dtttdtttdxxx 22 1 122.).1( 111= = +2 2 1arctgt arctg x C

d) xdxx 32 cossenSolucin:

El cambio que podemos realizar es el siguiente: senx=t (Por ser impar en cosx)

De dicho cambio resulta: cosxdx=dt y sustituyendo en la integral propuesta obtenemos:

== dtttxdxxxxdxx )1(cos.cos.sencossen 222232 == +== Cxxttdttt 5

sen3

sen53

)(5353

42

e)

dxxx 1

1

x t x t

dx tdt

= =

=

2

2

==

=

xtdtt

tdttt

arcsen2arcsen21

12211

22

4.4.- Mtodo de integracin por partes.

El mtodo de integracin por partes consiste en transformar la integral dada, mediante una transformacin bsica en la diferencial del producto, en otra integral inmediata o ms sencilla que la de partida. Dicho mtodo slo se aplicar cuando los restantes mtodos (en nuestro caso, el de sustitucin) no nos solucione nuestra integral. La integracin por partes se basa en la conocida frmula:

= duvvudvu , donde u(x) y v(x) son dos funciones diferenciables.(Nota: La cuestin est en que a una expresin de la integral debemos llamarle u y a otra debemos llamarle dv y a partir de ellas debemos recuperar du , mediante derivacin, y tambin v , mediante integracin.)

* Demostracin: Sean u(x) y v(x) dos funciones diferenciables cualesquiera, entonces:

d(uv) = duv + udv

Despejando: udv = d(uv) vdu

8

Integrando a ambos lados y teniendo en cuenta que la integral de la derivada de una funcin es la misma funcin tenemos que:

== duvvuduvvuddvu )( es decir, = duvvudvuEjemplos:

a) I= dxex xSolucin:

Para realizar la integral pedida, a una expresin debemos llamarle u y a otra debemos llamarle dv y a partir de ellas debemos recuperar du y tambin v .

Llamamos Obtenemos

=

=

dxedvxu

x. ===

xx edxev

dxdu

Con estos datos podemos empezar a aplicar la frmula de integracin por partes

= duvvudvu

I= =dxex x dxexe xx y simplificando, llegamos a la conclusin: == dxexI x Cexe xx +

b) I= xdxarc tg Solucin:

=

=

dxdvxarcu tg

du

xdx

v x

=

+=

11 2

Donde u lo hemos derivado para obtener du y dv lo hemos integrado para hallar v.

Aplicando la frmula que hemos indicado anteriormente, += dxxxxxI 21 1.arctg.La integral resultante es de tipo logartmico:

+=+= )1(21arctg.1 221arctg. 22 xLxxdxxxxxI +C

9

derivando

integrando

c) I= xdxx sen2Solucin:

=

=

xdxdvxusen

2

===

xxdxv

xdxdu

cossen

2

I= dxxxxx + cos2cos2 . (*) A veces hay que repetir la integracin por partes como en este caso:

=

=

xdxdvxucos

2 ==

=

xxdxv

dxdu

sencos

2

+== xxxxdxxxxdxx cos2sen2sen2sen2cos2Y volviendo a la expresin (*) obtenemos el resultado final:

I x x x x x= + +2 2 2cos sen cos +C

Tipos de integrales que se resuelven por partes:

cos cos

ln

arccos

n x n x

n n

n n

n n

x e dx u x dv e dx

x senxdx u x dv senxdx

x xdx u x dv xdx

x lnxdx u x dv x dx

arctgxdx u arctgx dv dx

arcsenxdx u arcsenx dv dx

arccoxxdx u x dv dx

= =

= =

= =

= =

= =

= =

= =

4.5 Mtodo de integracin de funciones racionales.

Observacin previa: Ya hemos visto cmo se integraban algunas de estas funciones, las del tipo arcotangente y las del tipo logaritmo (es decir, cuando el numerador era un mltiplo de la derivada del denominador), pero como es evidente stas suponen slo una pequea parte de las funciones racionales que nos podemos encontrar. As, en este apartado, vamos a ampliar un poco el nmero de las funciones racionales que podamos integrar (aunque slo un poco, pues el nmero de ellas que quedarn fuera de nuestro alcance ser todava inmenso), por ser estas funciones bastante frecuentes. Debemos tener presente que existen muchos otros mtodos de integracin para otros tipos de funciones, pero que no podemos ver por lo limitado del tiempo o porque no entran dentro de nuestras necesidades.

Una vez dicho esto, comentaremos que el mtodo de integracin de funciones racionales est basado en la descomposicin de la fraccin en suma de fracciones ms sencillas. Adems, vamos a suponer que el grado del numerador es menor que el grado del denominador, pues en caso contrario, se hace la divisin y despus se integra el cociente ms el resto partido por el divisor, es decir, si

dxxq xp )( )( donde el grado de p(x) es igual o mayor que el de q(x), entonces, dividiremos p(x) entre q(x), obteniendo un cociente c(x) y un resto r(x)

10

p(x)=q(x).c(x)+r(x) de donde

)()()(

)()()()(

)()(

xqxrxc

xqxrxcxq

xqxp

+=+

=

Por tanto,

+=+= dxxq xrdxxcdxxq xrxcxq xp )( )()()( )()()( )( donde c(x) es un polinomio, y por tanto se integra fcilmente, y r(x) ya tiene grado menor que q(x), que es el verdadero problema.

Por tanto, vamos a integrar dxxq xp )( )( pero suponiendo que el grado del numerador es menor que el grado del denominador y adems, nos limitaremos a las funciones racionales cuyo denominador tiene races reales, es decir que se puede descomponer en factores de grado 1. (no veremos el caso en el que el denominador tenga races imaginarias)

Para ello vamos a distinguir los siguientes casos:

4.5.1.- Integracin de funciones racionales slo con races simples en el denominador:4.5.2.- Integracin de funciones racionales con races mltiples en el denominador:4.5.3.- Integracin de funciones racionales con races simples y mltiples en el denominador:4.5.4.- Integracin de funciones racionales con races complejas simples

4.5.1.- Integracin de funciones racionales slo con races simples en el denominador:

Vamos a suponer que al hacer la descomposicin de Q(x) en factores primos (Ruffini), obtenemos lo siguiente:

Q(x) = k(x a1)(x a2).(x an)

El nmero k que aparece al principio ser igual al coeficiente del trmino de mayor grado, que vamos a suponer que es 1 para simplificar (en caso contrario slo hay que sacar dicho nmero fuera de la integral).

Una vez factorizado el denominador, el mtodo consiste en descomponer la funcin racional en otras funciones racionales ms simples que podremos integrar fcilmente. El proceso el es siguiente (para simplificar vamos a hacerlo suponiendo que el denominador tiene grado 3, aunque se hara igual sea el grado que sea):

)()()())()(()(

)()(

321321 axC

axB

axA

axaxaxxP

xQxP

+

+

=

=

Ahora debemos hallar los valores de A, B y C, para lo que sumaremos las tres fracciones e igualaremos coeficiente a coeficiente el numerador de esa suma con P(x):

))()(())(())(())((

)()(

321

213132

axaxaxaxaxCaxaxBaxaxA

xQxP

++=

11

Ejemplo:

+

++ dxxxx

xx22

68423

2

En primer lugar vamos a descomponer el denominador por Ruffini:

1 2 -1 -21 1 3 2

1 3 2 0-1 -1 -2

1 2 0-2 -2

1 0

As pues, )2)(1)(1(22 23 ++=+ xxxxxx . Siguiendo entonces lo visto anteriormente, tenemos que:

21122684

23

2

++

++

=

+

++

xC

xB

xA

xxxxx

)2)(1)(1()1)(1()2)(1()2)(1(

++

++++++=

xxxxxCxxBxxA

Como los denominadores son iguales, entonces los numeradores tambin deben serlo:

)1)(1()2)(1()2)(1(684 2 ++++++=++ xxCxxBxxAxx

Y dando valores a x (preferentemente, las races del denominador), hallamos los valores A, B y C

Si x = 1 18 = A23 A = 3

Si x = -1 2 = B(-2)1 B = -1

Si x = -2 6 = C(-3)(-1) C = 2

Es decir, hemos conseguido expresar 2

21

11

322

68423

2

++

+

+

=

+

++

xxxxxxxx

Para terminar, basta integrar cada uno de esos sumandos:

=++++=+ ++ dxxdxxdxxdxxxx xx 22111322 684 232

CxLnxLnxLn ++++= 22113

Cx

xxLn ++

+=

)1()2()1( 3

4.5.2.- Integracin de funciones racionales con races mltiples en el denominador:

En las mismas condiciones del apartado anterior, vamos a suponer ahora que el denominador descompone de la siguiente forma:

Q(x) = (x a)n

Para simplificar la explicacin del mtodo vamos a suponer tambin que n = 3, de donde habr que generalizarlo a cualquier potencia. En ese caso la descomposicin en este caso ser la siguiente:

12

323 )()()()()(

)()(

axC

axB

axA

axxP

xQxP

+

+

=

=

A partir de aqu el mtodo es exactamente igual que es anterior.

Ejemplo:

+

dxxxx

x133

1223

Siguiendo lo anterior vamos a descomponer en fracciones ms simples, teniendo en cuenta que al descomponer el denominador obtenemos que:

323 )1(133 =+ xxxx

3

2

32323 )1()1()1(

)1()1(1)1(12

13312

++=

+

+

=

=

+

xCxBxA

xC

xB

xA

xx

xxxx

De ah, igualando los numeradores, tenemos que:

)()2()1()1(12 22 CBAxBAxACxBxAx ++++=++=

Igualando coeficiente a coeficiente tenemos que:

=+

=+

=

122

0

CBABA

A

=

=

=

120

CBA

Esta forma empleada para calcular los coeficientes difiere de la empleada anteriormente, aunque podemos calcularlos tambin de aquella forma sustituyendo tres valores cualquiera arriba (recomendable siempre sustituir el valor de la raz que nos da el valor de C directamente).

Una vez hecha la descomposicin, rematamos:

Cxxdxx

dxx

dxxxx

x+

+=

+

=

+

2)1()1(2)1( 1)1( 2133 122

13223

4.5.3.- Integracin de funciones racionales con races simples y mltiples en el denominador:

Por ltimo, vamos a suponer que el denominador tiene tanto races simples como mltiples. Por ejemplo un denominador del tipo:

Q(x) = (x a1)(x a2)(x a3)3

Combinando los dos mtodos anteriores, la descomposicin se hara de la siguiente forma:

33

23321

3321 )()()()()())()((

)()()(

axE

axD

axC

axB

axA

axaxaxxP

xQxP

+

+

+

+

=

=

13

A partir de ah procederamos de la misma forma que antes.

Ejemplo

+++ ++ dxxxx xx 254 263 232

Siguiendo igual que antes, vamos a descomponer en fracciones ms simples, teniendo en cuenta que al descomponer el denominador obtenemos que:

223 )1)(2(254 ++=+++ xxxxx

2

2

22

2

23

2

)1)(2()2()1)(2()1(

)1()1(2)1)(2(263

254263

++

++++++=

++

++

+=

++

++=

+++

++

xxxCxxBxA

xC

xB

xA

xxxx

xxxxx

De ah, igualando los numeradores, tenemos que:

)2()1)(2()1(263 22 ++++++=++ xCxxBxAxx

Y dando tres valores a x (preferentemente, las races del denominador), hallamos A, B y C

Si x = -1 -1 = C C = -1

Si x = -2 2 = A A = 2

Si x = 0 2 = A+2B+2C B = 1

Es decir, hemos conseguido expresar 2232

)1(1

)1(1

22

254263

+

++

++

=

+++

++

xxxxxxxx

Por lo que:

=++++=+++ ++ dxxdxxdxxdxxxx xx 2232

)1(1

)1(1

22

254263

Cx

xLnxLnCxxLnxLn ++

++++=+

++++=

)1(1122

1)1(122

1

4.5.4.- Integracin de funciones racionales con races complejas simples en el denominador:

Vamos a suponer que al hacer la descomposicin de Q(x) obtenemos:)cbxax).(dx)....(dx).(dx()x(Q 2k21 ++=

Entonces:

cbxaxxBB

)dx(A

...............)dx(

A)dx(

A)x(Q)x(P

221

k

k

2

2

1

1

++

++

++

+

=

Las primeras fracciones on de los tipos ya vistos y faltara ver como se integra la ltima fraccin, que se suelen denominar del tipo neperiano-arcotangente.

14

Calculo de una primitiva ++ cbxax2 1 . Donde ax2+bx+c no tiene races reales.Tipo arctg().La tcnica es hacer cambios de variable para aplicar la primitiva de arctg(x). Un ejemplo:

2 2 2

1 1 14 41 4 4 4 (2 1) 4 1

dx dx dxx x x x x

= = =

+ + + + + + 24 13 2 1 1

3x +

+ =. Hacemos

el cambio esperado: 2 1

323

x t

dx dt

+ = =

,obtenemos: = 22 1 2 ( )

13 3dt arctg t c

t= +

+ = 2 2 13 3xarctg c+ +

En general:

=++

=

++=

++dx

bacbaxadx

acabxxaadx

cbxax 22222 4)2(14

444141

= +

+ 1)

42(

1)4(

42

2

2

bacbaxbac

a=. Hacemos el cambio esperado:

2

2

24

24

ax b tac b

a dx dtac b

+ =

=

, obtenemos: 22

2 114

dttac b

=

+

22 ( )4 arctg t cac b= + =

cbacbaxarctg

bac+

+

)42(

42

22

Calculo de una primitiva : ++ + cbxax nmx2 . Tipo log-arctg(). Donde ax2+bx+c no tiene races reales.

La tcnica es descomponer la primitiva en dos segn su numerador y hacer cambios de variable para aplicar la primitiva del arctg(x) en una de ellas y el logaritmo neperiano en la otra.

Un ejemplo:

2

41

xx

+

+ =2 1

2x t

xdx dt + =

= = 2 2 21 2 8 1 2 1 82 1 2 1 2 1

x xdx dx dxx x x

+= + =

+ + + 21 1 142 1dt dxt x+ =+ 21 1ln( ) 4 ( ) ln( 1) 4 ( )

2 2t arctg x C x arctg x C+ + = + + + .

En general:

++ + cbxax nmx2 = =++++

=

++

+dx

cbxax

bbmanax

amdx

cbxaxmnx

m 22

22

2

15

=++

+++

+

cbxax

bman

amdx

cbxaxbax

am

22

2

22

2 =++

+++

+ dxcbxax

bman

amdx

cbxaxbax

am

22

2

22

2

dxcbxax

bman

amcbxax

am ++

++ 22

2

2)ln(

2.

Donde esta ltima primitiva es de las de tipo arco- tangente estudiadas en el caso anterior.

16

TIPOSEJEMPLOS