Integraless

AC/DC Integrales FIUNA Octubre 2009

Tabla de integrales inmediatas

1. xkdx = + C ,(k -1). 2. = ln |x |+C.

3. sen x dx = -cos x + C. 4. cos x dx = senx dx + C

5. = (1 + tg2x) dx = tg x + C. 6. = -cotg x + C.

7. tg x dx = -ln |cos x| + C. 8. cotg x dx = ln |sen x| + C.

9. ex dx = ex + C. 10. ax dx = + C.

11. = arctg x + C = -arccotg x + C 12. = + C, a .

13. 14.

15. = arcsen x + C = - arccos x + C 16. = arcsen + C, a>0.

17. 18. senh dx = cosh x + C

19. cosh x dx = senh x + C 20.

21. 21.

23. 24. sen ax = - cos ax


Integral de Riemann

Integral Indefinida PrimitivasNos ocupamos ahora del problema inverso de la derivación: dada una función f(x),

obtener una función F(x) cuya derivada sea igual a f(x), es decir:

F´(x) = f(x).

Sea f: I R , siendo I un intervalo cualquiera.

Decimos que una función F: I R, es una primitiva de f, si existe F´en I, y se verifica

F´(x) = f(x) para todo x I.

Si f admite una primitiva F en I, entonces f admite infinitas primitivas que son todas

las funciones de la forma F(x)+k, donde k es un número real cualquiera, ya que se tiene

(F(x)+k)´= F´(x)+k´= f(x)+0 = f(x).

El conjunto de todas las primitivas de f se llama integral indefinida de f, y se escribe

f(x) dx = F(x) + C,

siendo F una primitiva cualquiera de f y C una constante arbitraria.

El símbolo se llama signo integral, f(x) integrando y f(x) dx elemento de

integración.

No toda función admite primitiva en un intervalo I. Sin embargo se verifican los siguientes teoremas.

TeoremaToda función continua f en el intervalo [a, b] tiene una función primitiva y, por

consiguiente integral indefinida.Es importante resaltar que mientras que la derivada de una función elemental es una

función elemental, la primitiva de una función elemental puede no ser una función elemental, es decir, no se puede expresar operando un número finito de veces funciones elementales.

Así, por ejemplo, las siguientes integrales existen, pero no son funciones elementales:

, , , .

Integrales inmediatasConsecuencia inmediata de esta definición es

( f(x) dx)´= f(x).


Propiedades

La integral indefinida es lineal, es decir se verifican las igualdades siguientes, donde f y

g son dos funciones que admiten primitivas y k R:

a) (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx.

b) kf(x) = k f(x) dx.

Estudiemos ahora algunos métodos que permiten transformar integrales difíciles en

otras más sencillas. Cuando la integración no es inmediata se utiliza uno de estas métodos,

según la característica de cada ejercicio, a los efectos de conseguir la forma de una de las

integrales inmediatas que se encuentran en la tabal de integración.

Cálculo de Primitivas

Integración por cambio de variable o sustitución.

Cuando se trata de una expresión irracional, generalmente se iguala a una variable auxiliar, solamente la expresión subradical. Si la función es potencial, con frecuencia se sustituye por la variable auxiliar solamente la base.

Si se quiere calcular la integral f(x) dx, se puede realizar el cambio de variable x = (t), suponiendo que f y son funciones continuas, verificándose entonces la igualdad:

f(x) dx = f( (t)) dt.Entendiéndose que al variable t será sustituida después de la integración del segundo

miembro de la igualdad por su expresión en función de x.A veces, es mas práctico elegir la sustitución de la variable en la forma t = (x) y no

en x = (t). Aclaremos esto con un ejemplo:

Supongamos que se quiere calcular la integral: Haciendo el cambio x3 + x2 = t, se tiene (3x2 +2x) dx = dt, y la integral se convierte en

= ln |t| + C = ln |x3 + x2| + C.

Otro ejemplo: , haciendo el cambio x = at, dx = a dt, sustituyendo queda

= = arctg t + C = arctg + C.

Integración por partes (Bernoulli)

Por lo general se usa cuando hay:

Diferenciales que contienen productos de funciones. Diferenciales que contienen funciones logarítmicas. Diferenciales que contienen funciones trigonométricas.


Hay 2 reglas generales: La parte escogida como f´(x) ha de ser fácil de integrar.

g´(x)f(x no debe ser mas complicada que f´(x) g(x)

Si f y g son dos funciones derivables se verifica

f´(x) g(x) dx = f(x)g(x) - g´(x)f(x) dx.

Este método convierte la integral en una parte ya integrada mas una integral por

calcular, tendrá éxito si esta última integral es mas facil de calcular que la inicial.

Veamos algunos ejemplos:

a) I = x2 log x dx

Haciendo f´= x2, y g = log x f = , g´= ; sustituyendo en la fórmula

queda I = - dx = - + C

b) I = arcsen x dx =

Haciendo f´= 1, y g = arcsen x f = x, g´= ; sustituyendo en la fórmula

queda I = x arcsen x - dx = x arcsen x + + C.

Integración de funciones racionales

Tiene lugar si la función subintegral es una fracción cuyo denominador es un polinomio racional de segundo grado o mas.

Las funciones racionales son aquellas que se expresan mediante un cociente de

polinomios. Cualquier función racional se puede expresar como suma de un polinomio mas

una función racional propia (grado del numerador menor que el grado del denominador) sin

mas que realizar la división entre el numerador y el denominador; luego la integración de

una función racional se reduce a la integración de un polinomio (que es inmediata) mas la

integración de una función racional propia, por tanto nos ocuparemos de la integración de

funciones racionales propias.

El procedimiento para integrar estas funciones se basa en la descomposición en

fracciones simples.

Descomposición en fracciones simples.

Si el numerador de la fracción es un polinomio de grado mayor o igual al polinomio

denominador, se efectúa la división teniendo en cuenta que:

Donde:


Caso I: Factores Lineales Distintos:

A cada factor lineal ax+b que aparezca una sola vez en el denominador de una función

racional propia le corresponde una sola fracción simple de la forma , donde A es una

constante que habrá que determinar.

Caso II: Factores Lineales Repetidos:

A cada factor lineal ax+b que aparezca n veces en el denominador de una función

racional propia le corresponde una suma de n fracciones simples de la forma

, donde A es una constante que habrá que determinar.

Caso III: Factores Cuadráticos Distintos:

A cada factor cuadrático irreducible que aparezca una sola vez en el

denominador de una función racional propia le corresponde una sola fracción simple de la

forma , donde A y B son constantes a determinar.

Caso IV: Factores Cuadráticos Repetidos:

A cada factor cuadrático irreducible que aparezca n veces en el

denominador de una función racional propia le corresponde una suma de n fracciones

simples de la forma , donde A y B son

constantes a determinar.

Integración de funciones racionales

Distinguimos dos casos fundamentales:

El denominador solo tiene raíces reales.

En este caso descomponemos la función racional en tantas fracciones simples como

indica el grado del denominador: entendiendo por fracciones simples aquellas que tienen la

forma o , donde A es un número por determinar y a es una de las raíces del

denominador.

Aclaremos lo anterior con algunos ejemplos, calculemos I = dx :

Como la fracción a integrar no es propia efectuamos la división de x3+1 entre x3-x

obteniéndose 1 de cociente y x+1 de resto.

Luego I = (1 + )dx = x + dx


Descompongamos la fracción , que es propia, en fracciones simples, para lo cual

descomponemos en factores el denominador, que equivale a calcular sus raíces:

x3-x = x(x2-1) = x(x-1)(x+1), luego sus raices son 0, 1, -1, y la descomposición es:

= , luego se debe cumplir la identidad:

A(x2-1) + Bx(x+1) + Cx(x-1) = x+1, cierta para todo x R.

Las incógnitas A, B, C se calculan dando valores a x, lo mas cómodo es dar a x los

valores de las raíces del denominador

x = 0 -A = 1 A = -1

x = -1 2C = 0 C = 0

x = 1 2B = 2 B = 1

Luego se tiene:

dx = ( ) dx = - dx + dx = -log |x| + log |x-1| +C.

En el ejemplo anterior todas las raíces del denominador eran simples, veamos ahora un

ejemplo con alguna raíz múltiple:

Calculemos I =

La fracción a integrar es propia por lo que ya podemos descomponerla en fracciones

simples; para ello descomponemos en factores el denominador utilizando Ruffini:

x4-3x2+2x = (x-1)(x-1)(x+2)x = (x-1)2(x+2)x, luego las raices son 1(doble),- 2 y 0

(simples).

Descomponemos en 4 fracciones simples (como indica el grado):

= =

Debe ser A(x-1)(x+2)x+B(x+2)x+C(x-1)2x+D(x-1)2(x+2) = x-3, cierta para todo x.

Dando valores a x:

x = 1 3B = -2 B =

x = -2 -18C = -5 C =

x = 0 2D = -3 D =


x = -1 2A-B -4C+4D = -4 A =

Luego I = dx + dx + + dx =

log|x-1| + + log|x+2| - log|x| + C.

El denominador tiene al menos una raíz compleja (no real) .

En este caso las raíces aparecen por pares conjugadas (¿Por qué?), y en la

descomposición en fracciones simples aparecen fracciones de la forma: , siendo

p2-4q < 0 (¿Por qué?).

Antes de calcular la integral de la fracción anterior calculemos otra más sencilla

dx = M dx + N dx = dx + N arctg =

log (x2 + a2) + arctg + C.

La integral I = dx, se reduce a la anterior completando un cuadrado en el denominador:

I = dx = dx

Haciendo el cambio x + = t, y siendo >0 (¿Por qué?), se convierte en una

integral del tipo anterior. Llamando = a2, y siendo dx = dt

I = dt = dt + dt = +

I = arctg + log( ) + C, y sustituyendo t y a queda

I = arctg ( ) + + C

I = arctg( ) + + C.

Luego se ha encontrado la fórmula:


dx = arctg( ) + + C.

Resolvemos un ejemplo numérico:I = dxComo la fracción es propia podemos descomponerla en fracciones simples.

Descomponiendo el denominador en factores se obtiene:

x3+2x2-2x+3 = (x+3)(x2-x+1), el factor x2-x+1, tiene raíces no reales como fácilmente se

comprueba.

= =

A(x2-x+1) + (Mx+N)(x+3) = x2-2, igualdad válida para todo x.

Obtenemos las incógnitas A, M y N, dando valores arbitrarios a x:

x = -3 13A = 7 A =

x = 0 A + 3N = -2 N = =

x = 1 A + (M+N)4 = -1 M= =

Por tanto I = dx + dx = log |x+3| + dx. + C

Calculamos dx, completando un cuadrado en el denominador

dx = dx = dx;

hacemos el cambio x- = t dx = dt, sustituyendo queda dt = dt

= dt -8 dt = 3log( - 8 arctg( ) + C

Sustituyendo t por x - , y el valor que se obtenga en I, se termina el cálculo.

Las integrales de funciones trigonométricas, es decir, funciones racionales de seno y

coseno, simbólicamente I = , se reducen a integrales de funciones

racionales mediante el cambio , llamado usualmente cambio universal, ya que al

aplicarlo siempre se obtiene la integral de una función racional, aunque en algunos casos

puede dar lugar a cálculos largos. Haciendo dicho cambio obtenemos:


sen x =

cos x =

= arctg t x = 2arctgt dx =

Sustituyendo en I se obtiene:

I =

Apliquémoslo al cálculo de la integral

I = , resolvemos la última integral.

Descomponiendo en factores el denominador:

t2+4t+1 = 0 t = -2 t2+4t+1 = (t + 2-

A(t+2+ )+ B(t+2-

dando valores adecuados a t

t = -2- -2 B = 1 B = , t = -2 + 2 A = 1 A =

Luego =

+C, sustituyendo en I

I = + C, deshaciendo el cambio

I = + C

Sustituciones Trigonométricas

Método del triangulo rectángulo

Algunas integrales se pueden simplificar gracias a las siguientes sustituciones:

1. Si un integrando contiene , sustituir x = a sen z


2. Si un integrando contiene , sustituir x = tg z

3. Si un integrando contiene , sustituir x = a sec z

4. Si un integrando contiene , sustituir x = sen z

5. Si un integrando contiene , sustituir x = tg z

6. Si un integrando contiene , sustituir x = sec z

Ejemplo para:

1. a 2. 5.

X

x xb

a A

Observación: el integrando no tiene que tener ningún otro factor irracional.

Sustituciones Diversas:

Si un integrando es racional excepto por un radical de la forma:

1. (Para convertirlo en un integrando racional)

2. (Para convertirlo en un integrando racional)

3. o bien (Para convertirlo en un integrando racional)

La sustitución convertirá cualquier función racional de senx y cosx en una función

racional de z porque:

2z

a x1

x2

Xn-1b…

y

x

S(P, f) es una suma de áreas de rectángulos que aproxima el áreade la región limitada por: y = f(x), x = a, x = b y el eje OX.

a 1 2 Xn-1 bnx

y = f(x)


Integral Definida

El concepto de integral definida (según Riemann) está fundamentalmente relacionado

con el cálculo de áreas de regiones planas, en particular el área determinada por:el eje OX,

la gráfica de la curva y = f(x), y las rectas x = a, y = b.

Partición

Definimos en primer lugar el concepto de partición:

Sea el intervalo [a, b], llamamos partición de [a, b] a cualquier colección finita de puntos

del intervalo, P = {x0, x1, …, xn }, siendo x0 = a < x1 < … <xn = b.

Luego [a, b] queda dividido en n subintervalos [xi, xi+1], i = 0, …,n-1.

Suma de Riemann

Si f : [a, b] R, es una función acotada, definimos la “suma de Riemann” de f

respecto de la partición P = {x0, x1, …, xn } de [a, b], como el número

S(P, f) = , siendo [xi-1, xi].


Integral Definida: Definición

Consideremos la partición Pn, resultado de dividir [a, b] en n subintervalos de igual

longitud, o sea

Pn = { a, a + , a + 2 , …, a + n = b }

Decimos que f es integrable si existe S(Pn, f) y es independiente de la elección de

los puntos , entonces definimos = S(Pn, f), siendo a b.

Si b a definimos:

= -

así como:

= 0.Integral Definida: Propiedades

Enunciemos ahora las principales propiedades de la integral:

LinealidadSi f, g :[a, b] R son funciones integrables y R, entonces

1) f + g es integrable y +

2) f es integrable y = Monotonía

Si f, g :[a, b] R son funciones integrables y f(x) g(x) [a, b]

Acotación Si f: [a, b] R es una función integrable, existen m, M R tales que

m(b-a) M(b-a)Aditividad respecto del intervaloSi f: [a, b] R es una función acotada y c (a, b); entonces f es integrable en [a, b] si

y solo si lo es en [a, c] y en [c, b], y se verifica

= +

Integral Definida: Teoremas fundamentales

Teorema

a) Toda función f: [a, b] R monótona es integrable .

b) Toda función f continua en [a, b] es integrable en [a, b].

Teorema

Si f: [a, b] R es integrable, entonces | f | también lo es, y se verifica

| |


Teorema del valor medio

Si f: [a, b] R es una función continua, entonces existe un c (a, b) tal que

= f(c)(b-a).

Teorema fundamental del cálculo

Sean f, F : [a, b] R, funciones continuas en [a, b]. Entonces F es derivable en (a, b)

y F´(x) = f(x) x (a, b) si y solo si

= F(x) – F(a), para todo x [a, b].

Regla de Barrow

Si f es una función continua en [a, b] y F es continua en [a, b], derivable en (a, b) y

verificando F´(x) = f(x) x (a, b) entonces

= F(b) – F(a).

La Regla de Barrow permite calcular la integral definida a partir de los valores en los

extremos del intervalo de una primitiva de la función f, y que usualmente para abreviar se

escribe

Veamos algunos ejemplos:

dx = = 1 + 1 = 2

=

= log 2 – log 1 = log 2

Teorema (Integración por partes)

Sean f, g:[a, b] R, derivables y con derivada continua en[a, b], entonces se verifica:

Como ejemplo calculamos I = .Llamando f = x, g´= sen x f´= 1, g = -cos x sustituyendo en la fómula


I = Teorema (Cambio de variable o sustitución)

Sea , una función derivable con derivada continua en , si f es una

función continua en el intervalo , y siendo , entonces haciendo

el cambio x= (t) , se verifica

Apliquemos el cambio de variable al cálculo de I = :haciendo el cambio x = 2sen t dx = 2cos t dt

x = 2 2 = 2 sent sen t = 1 t = x = 0 0 = 2 sen t sen t = 0 t = 0

Luego:

I= 4

=2Integral Definida: Aplicaciones geométricas

Estudiemos algunas aplicaciones geométricas de la integral definida:

Cálculo de áreas de regiones planas

Área entre una curva y el eje OX: si f es una función continua definida en el intervalo

[a, b], el área de la región limitada por la curva y = f(x), el eje OX y las rectas x = a y x = b

tiene por valor

A =

Área encerrada entre dos curvas: si f y g son dos funciones continuas definidas en [a,

b], entonces el área de la región limitada por la curva y = f(x), la curva y = g(x), la recta x

= a y la recta x = b tiene por valor:

A =

Ejemplo: Obtener el area de la región encerrada entre las curvas y = x3 - x2 - 2x + 2 e y

= x4 – 4x3 + x2 + 6x + 2.

Se puede tomar: f(x) = x3 - x2 - 2x + 2, g(x) = x4 – 4x3 + x2 + 6x + 2

Calculamos en primer lugar los puntos de corte de las dos curvasf(x) = g(x) x3 - x2 - 2x + 2 = x4 – 4x3 + x2 + 6x + 2 x4 – 5x3 + 2x2 + 8x = 0

y = x4 - 4x3 + x2 + 6x + 2

y = x3 – x2 - 2x + 2

Gráficas de las funciones


x(x3 – 5x2 + 2x + 8) = 0 x = 0, o x3 – 5x2 + 2x + 8 = 0 x = -1,2, 4.Luego los puntos de corte corresponden a los valores de x: -1, 0, 2, 4; por lo tanto a = -

1, b = 4. Como en la fórmula aparece el valor absoluto es necesario obtener el signo de f-g en

cada subintervalo: [-1, 0], [0, 2], [2, 4], ya que dicho signo permanece constante en cada uno de ellos; para ello basta con obtener el valor de f-g en un punto interior de cada subintevalo

llamando h(x) = f(x) – g(x) = - x4 + 5x3 – 2x2 – 8x

1 (0, 2) h(1) = -6 < 03 (2, 4) h(3) = 12 > 0

Por tanto se tiene:

= - x4 + 5x3 – 2x2 – 8x| dx = |- x4 + 5x3 – 2x2 – 8x| dx +

|- x4 + 5x3 – 2x2 – 8x| dx + |- x4 + 5x3 – 2x2 – 8x| dx =

(- x4 + 5x3 – 2x2 – 8x) dx + ( x4 - 5x3 + 2x2 + 8x) dx +

(- x4 + 5x3 – 2x2 – 8x) dx = +

+ = =

Volumen de un cuerpo de revolución: el volumen engendrado por la región encerrada

por las curvas y = f(x) e y = g(x) para x [a, b], con f(x) g(x), al girar dicha región

alrededor del eje OX es:

V = .

Si se tratase del volumen generado por la región determinada por la curva y = g(x), el

eje OX, para x [a, b], con g 0, su valor se obtendría poniendo f(x) = 0 en la fórmula

anterior, pues la ecuación de eje x es y = 0


V = .

EjemploObtener el volumen de cuerpo de revolución que genera el circulo de centro C(0, 2), y

radio 1, al girar alrededor del eje OX (la superficie formada se denomina “toro”).La ecuación de la circunferencia que delimita el círculo es: x2 + (y-2)2 = 1

y – 2 = y = 2 . Luego en este caso se tiene:

g(x) = 2 + , f(x) = 2 - , con lo que el volumen pedido será:

V = = dxResolvemos la última integral con el cambio x = sen t dx = cos t dt

x =1 t = ; x = -1 t = ; = = |cos t|,

luego = = - = =

= = .

Integral Impropia: Introducción

Ahora se trata de generalizar el concepto de integral de Riemann a aquellos casos donde

el intervalo de integración no es acotado o bien la función a integrar no está acotada.

En definitiva diremos que la integral es impropia si se da al menos una de las

siguientes hipótesis:

1. El intervalo [a, b] no está acotado.

2. La función f(x) no está acotada en el intervalo [a, b].

Este tipo de integral tiene bastantes aplicaciones en otras áreas científicas: Física,

Economía, …, etc.

Ejemplos

1) , el intervalo [0, +∞] no está acotado.

2) , no está acotada en cualquier entorno de x = 0.

3) , el intervalo (-∞, 5] no está acotado y, no está acotada en cualquier entorno de x = 0.

Integrales impropias en intervalos no acotados (o con límites de integración infinitos)

También se les suele llamar de primera especie

Por ejemplo serían de la forma:

-xy=e

1


, .

Consideremos ahora otro ejemplo e intentemos darle un significado: .

La integral , tiene sentido para cualquier b (por muy grande que sea este) y

podemos calcular:

= = = -[e-b-e0] = .

Se tiene = 1, luego parece lógico definir:

= 1.

Interpretación geométrica

Se puede interpretar geométricamente diciendo que el área de la región (no acotada)

determinada por y = e-x, el eje OX, y la recta x= 0 , vale 1.

Definición

Utilizando la misma idea del ejemplo anterior podemos dar la definición general:

1) Donde se supone que f(x) es una función acotada e integrable en todo intervalo de la

forma [a, b], siendo a un valor fijo y b uno cualquiera verificando b a.

2) = Donde se supone que f(x) es una función acotada e integrable en todo intervalo de la

forma [a, b], siendo b un valor fijo y a uno cualquiera verificando b a.Si los límites existen y tienen valores finitos, entonces decimos que las

correspondientes integrales impropias convergen y tienen estos valores. En otro caso se dice que la integral diverge.

3) = ,donde c es un número real cualquiera. Decimos que la primera integral es convergente

si existen y son finitos los dos límites, y su valor es la suma de estos límites. En otro caso la integral se dice divergente.

Ejemplo

Estudiar la siguiente integral calculándola en su caso:

I = , tomando c = 0, se tiene:

2

1y=

1+x

π

y = sen x

b

b

-I= f(x) dx

a

y = f(x)

y

x


I = [arctg 0 – arctga(- ∞)] + [arctg(+∞) – arctg 0] = [0 – (-/2)] + [/2 – 0] = .

Se puede interpretar este resultado diciendo que el área determinada por la curva

, y el eje OX vale .

Ejemplo

Estudiar la convergencia de la integral I = .

I = , como este límite no existe se concluye que I diverge.

Si I es convergente, entonces el área de la región (no acotada) definida por y =f(x), x = b y el eje OX, coincide con el valor de la integral.

Si J es convergente, entonces el área de la región (no acotada) definida por y =f(x), x = a y el eje OX, coincide con el valor de la integral.

a b

y = g(x)

+

aJ= g(x) dx

y

x

I f(x) dx

y = f(x)

y

x

Si I es convergente, entonces el área de la región(no acotada) definida por y = f(x) y el eje OY, coincidecon el valor de la integral.

2

1y =

x


Integrales Impropias con integrando infinito (no acotado)

También se le suele llamar de segunda especie

Consideremos la integral I = , si aplicamos la Regla de Barrow, se tiene

I = , pero este resultado es absurdo, pues el área determinada por una función positiva, por

encima del eje OX, no puede ser negativa. El error cometido está en la aplicación de la

regla de Barrow, que en este caso no puede aplicarse, puesto que la función no está acotada en [-3, 1], y por tanto no es continua en dicho intervalo. Este es un ejemplo de integral impropia con integrando no acotado.

y = f(x)

a b

b

aI f(x) dx

y

x

y = g(x)

a b

b

aJ g(x) dx

y

x


Definición

Suponemos que f(x) no está acotada en un solo punto de [a, b].Consideramos los siguientes casos:

1) f(x) no está acotada en el límite superior b solamente, y es integrable en todo intervalo cerrado contenido en [a, b). Se define

Si el límite existe y es finito , este es el valor de la integral, que se dice convergente.En otro caso se dice divergente.2) f(x) no está acotada en el límite inferior a solamente, y es integrable en todo

intervalo cerrado contenido en (a, b]. Se define

Si el límite existe y es finito , este es el valor de la integral, que se dice convergente.En otro caso se dice divergente.3) f(x) no está acotada en un solo punto interior c, a < c< b.Definimos

.Cada integral de segundo miembro corresponde a los casos 1 y 2; si cada una de

estas integrales es convergente se dice que es convergente y su valor es la

suma del segundo miembro. En otro caso se dice que es divergente.

Interpretación geométrica

Si I es convergente, entonces el área dela región (no acotada) definida por x = a,y = f(x), la asíntota x = b y el eje OX coincide con el valor de la integral

Si J es convergente, entonces el área dela región (no acotada) definida por x = b,y = f(x), la asíntota x = a y el eje OX

c

aI= f(x) dx

b

cJ= f(x) dx

1 2

y

xa c b

π

2

5

1y=

x

5 45 3

4


Ejemplo

Estudiar la convergencia de la integral I = .

Calculemos =

Luego I = = arcsen 1 = , por tanto I es convergente con valor .

Ejemplo

Estudiar la convergencia de la integral I = .Se tiene:

Luego la integral es convergente con valor .

Si I y J son convergentes entonces las sumas de las áreas de las regiones (no acotadas) definidas por: 1) y = f(x), x = a y la asíntotax = c; 2) y = f(x), x = b y x = c, vale I+J

I representa el área de la región (no acotada)definida por:

y x = 0, la asíntota x = 2, y el eje OX

1y=

x

1

3

-2

3y=x

1


Ejemplo

Calcular, si es posible, I =

Por definición, se tiene I=

Luego la integral es divergente.

Ejemplo

Obtener el área de la región del primer cuadrante debajo de la curva y = x-2/3 y, a la izquierda de x = 1.

Hagamos un pequeño estudio de la curva:

, para x>0, es decir en el primer cuadrante; luego la curva es decreciente en el primer cuadrante.

Además , por tanto x = 0 es una asuntota vertical.El área pedida viene dada por la integral:

=

Ejercicio


Obtener el área de la región definida por la curva , el eje OX y las rectas

x = 0 y x = 3.

Ejercicio

Estudiar la convergencia de la integral , calculándola en su caso y dando

una interpretación geométrica del resultado obtenido

Integral Impropia: De tercera especie

También se pueden considerar integrales de funciones no acotadas en un número

finito de puntos sobre un intervalo no acotado: se llaman integrales impropias de tercera

especie.

Para estudiar este tipo de integrales se utiliza la propiedad de aditividad respecto del

intervalo para descomponerlas en suma de varias integrales de primera y segunda

especie . Si todas las integrales, en las que se descompone la integral dada, son

convergentes, esta se dice convergente y, su valor es esa suma. En caso contrario se

dice divergente.

Ejemplo

I = , que está definida en el intervalo no acotado [0, ∞) y el integrando no está acotado para x = 0.

Siguiendo la idea señalada disponemos: I = + .

Calculemos I1= , mediante el cambio x = t2 dx = 2tdt

I1 =

=

= =

Por lo tanto:

I = La integral calculada tiene la siguiente interpretación geométrica:Representa el área de la región definida, en el primer cuadrante, por la curva

y los ejes coordenados.

1y=

x(x+1)

π


EjerciciosContenidos:

5. Integrales Definidas5.1. Definición de Integrales Definidas. Existencia. Propiedades.5.2. Cálculo de la Integral Definida. Teoremas fundamentales.5.3. Integrales impropias. Definición. Existencia. Integral convergente y divergente. 5.4. Cálculo de áreas y longitudes de figuras planas, en coordenadas cartesianas, paramétricas y polares. Cambio de variables.5.5. Cálculo de áreas y volúmenes de cuerpos de revolución, en coordenadas cartesianas, paramétricas y polares. Cambio de Variables. 5.6. Integración numérica. Fundamentos. Fórmula de los trapecios de Simpson, de Gregory. Integrales singulares. Algoritmos computacionales.

INTEGRALES DEFINIDAS. PROPIEDADES. APLICACIÓN DE TEOREMAS

1. Encontrar el valor de la constante c, tal quec

x

f ( t )dt=cos x−12 para todo x real.

2. Determinar el valor de c, cuya existencia garantiza el Teorema del valor medio para

las integrales para la funciónf ( x )=6 x2 en el intervalo [−3,4 ] .

3. Hallar, utilizando el teorema conveniente, un intervalo cerrado que contenga el

valor de la integral definida 1

4

|x−2|dx.

4. Encuentre una función f y un número a tales que 6+

a

xf ( t )t2

dt=2√x

INTEGRALES IMPROPIAS

5. Establecer si son convergentes o divergentes las integrales definidas dadas y hallar

su valor en los casos posibles.


a.−1

2dx

x2

b.0

1xdx

√1−x2

c.−∞

∞ dx

x2+2x+2

d.1

∞ dx

x √x2−1

CALCULO DE ÁREAS, LONGITUD DE CURVAS, VOLUMENES DE

REVOLUCIÓN

6. Construir la gráfica y calcular:

a. El área de las regiones limitadas por la curva de ecuacióny=1

x , el eje x, la

recta de ecuación y=x , y la recta x=2 .

b. La superficie limitada por la curva y=ln x , el eje de las x, y las rectasx=1 y

x=e .

c. El área común entre las curvas ρ=1 yρ=(1+cosθ )

d. El área del triángulo de vértices (0 ;0 ),(a ;0 )y (b ;c )

e. La superficie limitada por la curva y3=x y las rectas de ecuación y=1 y

x=8

7. Encontrar la longitud del arco de la curva y=1

3( x2+2 )

32

, del punto donde x=0 al

punto donde x=3 .

8. Calcular la longitud total de la curva ρ=3 cos4 θ

4

9. Calcular el área acotada por la curva: x=3+cos t ; y=4 sen t

10. Determinar el volumen de la región limitada por la curva f ( x )= tan x , la recta

x=π3 y el eje x, se gira alrededor del eje x.


11. Calcular el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor de la recta

x = 1, la región limitada por la curva ( x−1)2=20−4 y , y las rectas x=1 ,y=1 ,

y=3 y a la derecha de x=1 .

12. Hallar el volumen del sólido generado al girar en torno al eje y, el área entre el

primer arco de la curva x=θ−sen θ ; y=1−cosθ , y el eje x.

13. Un cilindro de radio R está cortado por un plano que pasa por un diámetro de la

base bajo el ángulo respecto al plano de la base. Cuál es el volumen de la parte

separada?

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

14. Calcular los valores aproximados de las integrales dadas por las formulas de los

trapecios y Simpson

a.1

10

log10 xdx, con n=10

b.0

1

√1−x3 dx, con n=6

c.

π2

3 π2

senxx

dx

, con n=6

15. Calcular el valor de π partiendo de la igualdad

π4=

0

1dx

1+x2aplicando Simpson

para n=10 .

Contenidos: 6.Series Numéricas y de Funciones

6.1. Series numéricas de términos positivos. Definición. Clasificación. “Suma”. Criterios de convergencia: Comparación ; D’Alembert ; Cauchy; Integral. Teoremas.6.2. Serie alternada. Definición. Criterio de Leibniz. Teoremas.6.3. Serie de términos positivos y negativos. Convergencia absoluta y condicional.6.4. Series de funciones. Definición. Convergencia uniforme.6.5. Integración y derivación de las series de funciones. Teoremas.6.6. Series de potencias. Definición. Intervalo de convergencia. Series de Taylor y Maclaurin.

SERIES DE TERMINOS POSITIVOS

Estudiar el carácter de las siguientes series

16.

17.

18.


19.

Determinar si las siguientes sucesiones convergen o no.

20.an=

n2−1n2+1

21. {√n+2−√n }

22.{ln (2+en )

3 n }23.

an=sen ( nπ2 )SERIES DE TERMINOS POSITIVOS Y NEGATIVOS

Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes series:

24.∑n=2

∞ 1

n( log n )2

25.∑n=1

∞ sen n

n2+1

26.∑n=1

∞

(−1 )n (√n+1−√n )

27.∑n=1

∞sen ( 1

n )Determinar si las siguientes series convergen absoluta o condicionalmente, o bien si no

convergen:

28.∑n=1

∞ nn

n !

29.

30.∑n=1

∞(−1 )n n3

3n

31.

32.

1⋅43⋅5

+ 1⋅4⋅73⋅5⋅7

+ 1⋅4⋅7⋅103⋅5⋅7⋅9

+¿⋅¿+1⋅4⋅7⋅ ⋅¿⋅ ⋅(3 n−2 )3⋅5⋅7⋅ ⋅¿⋅ ⋅(2n+1)

33.∑n=1

∞ 1

( log n )n

SERIES DE FUNCIONES

Hallar el intervalo de convergencia de las siguientes series.


34.∑n=0

∞ (−3 )n xn

√n+1

35.∑n=0

∞ ( x−2 )n

nn

36.∑n=1

∞ enx

n2−n+1

37.∑n=0

∞ n( x+2)n

3n+1

38.∑n=0

∞ 1

1+x2n

39.

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