1

INTEGRAREA PRIN PRI

Teorem 1 : Dac funciile f,g: IR sunt dou funcii derivabile pe I, cu derivatele continue pe I ( funcii de

clas C1), atunci funciile fg, fg, fg au primitive pe I i are loc relaia :

dxxgxfxgxfdxxgxf )()(')()()(')( sau pe scurt gdxfgfdxgf ''

Teorem 2 : Dac funciile f,g: IR sunt dou funcii derivabile pe I, cu derivatele f i g continue pe I, atunci

pentru orice dou puncte a,bI , funciile fg, fg, fg sunt integrabile pe [a;b] i are loc relaia :

dxxgxfxgxfdxxgxf

b

a

b

a

b

a

)()(')()()(')( sau pe scurt dxgfgfdxgfb

a

b

a

b

a

''

Aplicaii ale formulei de integrare prin pri.

Dup cum s-a vzut n leciile anterioare integrale nedefinit se poate distribui dect la adunare i scdere ( i nu la nmulire i mprire cum cred unii i altele drept pentru care i mai primesc cte una). Pentru calculul integralei produsului a dou funcii se folosete n general formula de integrare prin pri (atunci cnd formulele de calcul ale primitivelor uzuale nu mai funcioneaz , pentru c de cele mai multe ori avem un produs de dou funcii).

Exerciii rezolvate:

Pentru a calcula integrala unui produs de dou funcii trebuie s transformm un produs de forma fg ntr-un

produs de forma fg sau fg ( deoarece nmulirea este comutativ) i pentru a fi uor de calculat dup cum vei

vedea i voi n unele cazuri funcia care va fi scris ca o funcie derivat este ex sau sin x sau cos x, etc. ( mai ales

atunci cnd sunt nmulite cu xn, nN), adic funciile care prin derivare nu i mresc puterea sau nu i schimb

prea mult forma. Mai pe nelesul vostru (sper ) se pune ntrebarea care dintre cele dou funcii poate fi scris mai

uor ca o funcie derivat.

Exp 1: dxxxgf

sin . Pentru a calcula integrala ne trebuie produsul fg nu fg . De aceea n loc de sinx vom

pune pe (-cos x) pentru a avea produsul fg , sau, dac notm cu g(x) = sin x ( fiindc ne trebuie fg) atunci

g(x)= xxdx cossin ( nu mai punem constanta) ceea ce ne sugereaz c trebuie s nlocuim pe sinx cu (-cos x)

pentru a avea produsul fg . Vom avea aadar:

Cxxxxdxxxdxxxxxdxxxxdxx

gf

gfgf

sincoscoscos)cos(')cos()'cos(sin'

2

Exp 2: dxxxgf

ln . Pentru a calcula integrala ne trebuie produsul fg nu fg . De aceea n loc de x vom pune

pe (2

2x) pentru a avea produsul fg , sau, dac notm cu g(x) = x ( fiindc ne trebuie fg) atunci g(x)= 2

2xxdx

( nu mai punem constanta) ceea ce ne sugereaz c trebuie s nlocuim pe x cu (2

2x) pentru a avea produsul fg i

asta deoarece nu exist nici o funcie simpl care derivat s ne dea ln x. Vom avea

xdxxx

dxx

x

xxdx

xx

xxdx

xxdxx

xxdxx

gf

gfg

ff

g

2

1

2

ln

2

1

2

ln)

2()'(ln

2ln

2lnln

2ln

2222

'

2'

'

2'

'

2

Cxx

Cxxx

)2

1(ln

222

1

2

ln 222.

V.I.PExp 3: xdxln . Aici nu este vorba de produsul a dou funcii deci s-ar prea c nu poate fi aplicat

formula integrrii prin pri. i totui pentru a calcula integrala ne trebuie produsul fg . De aceea n loc lui f l vom

pune pe 1 pentru a avea produsul fg, iar n locul lui 1 vom pune pe x pentru a avea produsul fg, sau, dac notm

cu g(x) = 1 ( fiindc ne trebuie fg) atunci g(x)= xdx1 ( nu mai punem constanta) ceea ce ne sugereaz c trebuie

s nlocuim pe 1 cu (x) pentru a avea produsul fg . Vom obine aadar :

Cxxxdxxxxdxxxxdxxxxxdxxxdxxxxdxxdx

gfgfgffg

ln1ln1

ln)()'(lnlnlnlnln1ln

'

'

'

'

'

Tem : Aplicnd de dou ori metoda descris anterior calculai xdx2ln

V.I.PExp 4: dxexxsin . Pentru a calcula integrala ne trebuie produsul fg . De aceea n loc lui g l vom

pune pe ex pentru a avea produsul fg, sau, dac notm cu g(x) = ex ( fiindc ne trebuie fg) atunci g(x)=

xx edxe

( nu mai punem constanta) ceea ce ne sugereaz c trebuie s nlocuim pe ex cu (ex) pentru a avea produsul fg .

Vom obine aadar :

dxexexdxexexdxexdxex xx

g

x

fgf

x

g

x

f

x cossin)()'(sinsinsinsin

'

'

' . (1)

Acum ns pentru a calcula dxexxcos voi aplica nc o dat integrarea prin pri punnd loc lui g tot pe ex( altfel

ne nvrtim n jurul cozii).

Prin urmare

3

dxexxedxexxedxexexdxexdxex xxxx

g

x

fgf

x

g

x

f

x sincos)sin(cos)'(coscos)'(coscos

'' i acum

ne oprim pentru c am dat peste integrala de la care am plecat iniial. nlocuind integrala obinut anterior n relaia

(1) obinem

Cxexedxexdxexdxexxexedxex xxxxxxxx cossinsinsinsincossinsin adic

Cxxedxex xx )cos(sinsin2 i deci Cxxe

dxexx

x

2)cos(sin

sin

( Sau altfel notm pe dxexxsin cu I (de la integral)). Obinem conform celor de mai sus ( cu dou rnduri mai sus)

c CxxeICxexeIIIxexeI xxxxx )cos(sin2cossincossin deci

Cxxe

Ix

2

)cos(sinsau trecnd la notaia fcut obinem c C

xxedxex

xx

2

)cos(sinsin

Tem : Aplicnd metoda descris anterior calculai dxexxcos

V.I.PExp 5: xdx2sin . Pentru a calcula integrala ne trebuie produsul fg . De aceea n loc de sin2x vom

scrie sin x sin x i n locul lui g l vom pune pe (-cos x) pentru a avea produsul fg, sau, dac notm cu g(x) = sin x

( fiindc ne trebuie fg) atunci g(x)= xxdx cossin ( nu mai punem constanta) ceea ce ne sugereaz c trebuie s

nlocuim pe sin x cu (-cos x) pentru a avea produsul fg . Vom obine aadar :

xdxxxxdxxxxxdxxxxdxxxdx

gfgfgf

coscoscossin)cos()'(sin)cos(sincossinsinsinsin

'

'

'

2

.

Acum ns pentru a calcula xdxx coscos nu voi mai aplica nc o dat integrarea prin pri cum am fi tentai ( pt

ca altfel ne nvrtim n jurul cozii) ci inem cont de formula sin2x+cos2x=1de unde rezult cos2x=1-sin2x . Prin

urmare xdxxxdxdxxdxxdxx222 sinsin1sin1coscos i acum ne oprim pentru c am dat iari

peste integrala de la care am plecat iniial. nlocuind integrala obinut anterior n prima relaie obinem

xdxxxxxdx22 sincossinsin Cxxxxdxdxx cossinsinsin

22 adic

Cxxxdxx cossinsin22 i deci C

xxxdxx

2

cossinsin 2

( Sau altfel notm pe xdx2sin cu I (de la integral). Obinem conform celor de mai sus ( cu dou rnduri mai sus) c

Cxxx

ICxxxICxxxIIIxxxI

2

cossincossin2cossincossin sau

trecnd la notaia fcut obinem c Cxxx

xdx

2cossin

sin 2 )

4

Tem : Aplicnd metoda descris anterior calculai xdx2cos

V.I.PExp 6:

21

22

2

22

2

22

2222

II

dxax

adx

ax

xdx

ax

axdxax

. Obinem

dxaxxdx

ax

axxdx

ax

xxdx

ax

xxdx

ax

xxdx

ax

xI

gf

'

22

22

22

22222222

2

1 )'(2

)'(

2

2

1

2222222222 ' Iaxxdxaxaxxdxaxxaxx . Continund calculul obinem

Caxx

ICaxxIIaxxI

2

222

1

22

11

22

1 . Pe de alt parte

Caxxadxax

adxax

aI

)ln(

1 22222

2

22

2

2 . Punnd la olalt cele dou integrale obinem

Tem: Folosind procedeul de mai sus calculai: dxax22 ; dxxa

22 ; dxxa22

GSII GREEALA

dxx

xx

xdxx

xdx

xxdx

xx gfgf

gf

lnln

1ln

ln

1)'(ln

ln

1

ln

11

ln

1'

'

'

. Cum ns

xxx

x

x

xx

x 222 ln

1

)(ln

1

)(ln

)(ln1ln1

ln

1

obinem c

1ln1

ln

1

ln

11ln

ln

11

ln

12

dxxx

dxxx

dxxx

xdxxx

dxxx

0=1 ?????????.

Caxxaaxx

dxax

adx

ax

xdx

ax

axdxax

II

)ln(2

22222

22

2

22

2

22

2222

21