INTEGRASI NUMERIK 1

Matematika Industri II

TIP FTP UB

Definisi

Mengintegrasikan = memadukan bersama = menjumlahkan total

Mengapa ada integrasi numerik?

Karena integrasi numerik digunakan untuk menyelesaikan integral yang sulit diselesaikan secara analitik

x

f(x) f(x)

b a

b

a

dxxf )(

Definisi

Contoh :

sulit diselesaikan secara analitis (dengan teori kalkulus yang ada)

2

0

122

1dx

x

ex x

Cara Penyelesaian

Melalui pendekatan kurva

x f(x)

0 . . . . .

0,25 . . . . .

0,5 . . . . .

0,75 . . . . .

. . . . .

. . . . .

2 . . . . .

Semakin kecil interval, hasil semakin teliti karena

semakin besar interval, kesalahan semakin besar

Cara Penyelesaian

Alternatif pemecahan (jika tidak dengan penyelesaian analitis)

Memplot grafik tersebut pada kertas berpetak segi empat (dijumlah luas setiap kotak)

Membuat segmen-segmen vertikal (mirip diagram batang), menjumlah (luas setiap segmen vertikal).

Integrasi numerik

Integrasi Newton Cotes

Perhitungan integrasi numerik yang paling umum adalah formula Newton Cotes.

Strategi dari formula ini adalah mengganti yang rumit atau data yang hilang dengan beberapa fungsi aproksimasi yang mudah diintegrasikan.

Integrasi Newton Cotes

Jika diketahui suatu f(x) pada interval [a,b], nilai integral

bisa didekati dengan Newton Cotes orde n.

Bentuk umum Newton Cotes orde n

b

a

dxxfI )(

n

n

n

n xaxaxaxaanf

1

1

2

210)(

Integrasi Newton Cotes

xaanf 10)(

b a

b a

332

2103 xaxaxaaxf

22102 xaxaaxf

Integrasi Newton Cotes

Semakin tinggi orde Newton yang digunakan sebagai pendekatan perhitungan, akan semakin kecil kesalahan yang dihasilkan.

Pendekatan Newton Cotes orde ke-n perlu (n+1) titik.

Dalam formula Newton Cotes Metode tertutup batas awal dan batas akhir

diketahui Metode terbuka batas integrasi diperluas di

luar rentangan (ekstapoksi)

Metode Trapesium

Metode ini adalah bagian dari metode integrasi Newton tertutup dengan menggunakan aproksimasi polinomial orde 1, sehingga dengan aturan trapesium.

b

a

dxxfI 1 Newton Cotes orde 1

2

bfafabI

Rumus ini berpadanan dengan

rumus geometri dari trapesium,

dengan lebar sebesar (ba) dan tinggi rata-rata

2

bfaf

Metode Trapesium

Besarnya kesalahan untuk aturan trapesium tunggal adalah :

adalah nilai rata-rata dari turunan ke-2 yang dirumuskan sebagai

312

1abfa

f

ab

xf

f

b

a

"

Contoh Metode Trapesium

Diketahui suatu fungsi

Hitung nilai analitis dari

Hitung nilai integral di atas dengan aturan trapesium tunggal pada batas x = 0 sampai dengan x = 2

Hitung nilai t dan a

xexxf 1

2

0

dxxf

Contoh Metode Trapesium

u = x + 1 dv = ex.dx

du = dx v =

duvvudxexx ..1

2

0

xx edxe

0022

2

0

2

0

2

0

.10.12

]1

].11

eeee

eex

dxeexdxex

xx

xxx

0ee.3 22 2e.2

= 14,778

Secara eksak

Contoh Metode Trapesium

Dengan aturan trapesium tunggal

2

bfafabI

; b = 2; a = 0

167,232

167,22102

167,22.3.122

1.10022

0

I

eefbf

efaf

Contoh Metode Trapesium

Kesalahan

%767,56%100

778,14

167,23778,14

t

t (tidak dalam persen)

t = |14,778 23,167| = 8,389

Contoh Metode Trapesium

a = ?

duvvudxex

dxex

f

exexexf

exexexf

exxf

x

x

xxx

xxx

x

....3

02

..3

.3.2

.2.1

.1

2

0

2

0

Contoh Metode Trapesium

u = x + 3 dv = ex.dx

du = dx

duvvudxex

dxex

f

exexexf

exexexxf

exxf

x

x

xxx

xxx

x

....3

02

..3

.3.2.1

.2.1.

.1

2

0

2

0

xx edxev .

2

0

2

0

]..3..3 dxeexdxexxxx

556,27242.5

.30.32

].3

222

0022

2

0

eee

eeee

eex xx

Metode Trapesium (Ex.)

3.12

1

778,1302

556,27

abf

f

a

185,9

185,9

02.778,1312

1 3