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INTEGRATION

PLANI : Présentation

1) Bref historique2) Fonctions en escalier3) Approximation des fonctions continues4) Fonctions continues par morceaux

II : Propriétés de l'intégrale1) Linéarité2) Majorations et encadrements3) Relation de Chasles4) Sommes de Riemann5) Valeur moyenne d'une fonction

III : Intégrale fonction de la borne supérieure1) Définition2) Continuité3) Dérivation4) Intégration par parties5) Changement de variable6) Fonctions à valeurs complexes

IV : Calcul de primitives1) Tableau de primitives2) Fractions rationnelles3) Fractions rationnelles en sinx et cosx4) Fractions rationnelles en shx, chx et ex

5) Fonctions de la forme P(x)ekx

6) Racines de trinômes ou de fonctions homographiquesAnnexe I : Calcul approché d'intégrales

1) Méthode des rectangles2) Méthode des trapèzes3) Méthode de Simpson4) Méthodes de Newton–Cotes5) Méthodes de Gauss6) Divers

Annexe II : les intégrales de Riemann, de Lebesgue et de Kurzweil-Henstock

I : Présentation

1– Bref historiqueLe calcul d'aire remonte à la plus haute antiquité. Archimède sait comparer l'aire délimitée par uneparabole avec celle d'un triangle. Il sait également que :

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(i) Le périmètre d'un cercle est proportionnel à son diamètre.(ii) L'aire d'un disque est proportionnelle au carré de son rayon.

Or le coefficient de proportionnalité π est le même. Comment le démontrer ? Archimède comparel'aire d'un disque avec celle d'un triangle rectangle dont l'un des côtés est le rayon du cercle, et dontl'autre a une longueur égale au périmètre du cercle. Il veut montrer que les deux aires sont égales. Ilutilise pour cela une méthode dite par exhaustion.

Appelons D l'aire du disque et T celle du triangle. Pour montrer l'égalité entre T et D, il fait undouble raisonnement par l'absurde, en supposant d'abord que le triangle a une aire plus petite(T < D). Il construit alors un polygone d'aire P tel que T < P < D en inscrivant dans le cercle unpolygone régulier ayant suffisamment de côtés pour que son aire soit supérieure à l'aire du triangle.C'est possible car T < D.

Or ce polygone est constitué de triangles dont la somme des longueurs de base est inférieure aupérimètre du cercle et dont la hauteur est inférieure au rayon. L'aire P du polygone est doncinférieure à T. Ce qui est contradictoire avec l'hypothèse P > T.

Il suppose ensuite que le triangle a une aire supérieure à celle du disque (T > D). Il circonscrit alorsau cercle un polygone régulier de façon à ce que son aire soit inférieure à l'aire du triangle(T > P > D).

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Or la somme des longueurs des bases des triangles constituant le polygone est supérieure aupérimètre du cercle, et la hauteur est égale à celle du rayon. L'aire P du polygone est donc supérieureà l'aire T du triangle. Ce qui est contradictoire avec l'hypothèse P < T.La double contradiction conduit à la seule conclusion possible : D = T.

La méthode par exhaustion basée sur le double raisonnement par l'absurde sera utilisé pendant prèsde 2000 ans. En 1635, Cavalieri (1598-1647), afin d'accélérer les démonstrations de la méthode parexhaustion, développe la théorie des indivisibles. Pour prouver l'égalité de deux aires, il vérifiel'égalité des lignes constituant les deux surfaces. Donnons un exemple très simple qui permettra decomprendre le fonctionnement et l'intérêt de cette méthode. Considérons un rectangle et unparallélogramme de même base et même hauteur.

A B C D

A chaque segment [AB] du rectangle correspond un segment [CD] du parallélogramme de mêmelongueur. La méthode des indivisibles conclut alors que, les segments correspondants étant égaux, ilen est de même des aires des deux figures.La démonstration du résultat d'Archimède relatif à l'aire du disque par la méthode des indivisiblesconsiste par exemple à tracer un cercle de rayon R, ainsi que, pour tous les cercles de même centrede rayon r, inférieur à R, des segments parallèles entre eux, tangents à chaque cercle et de longueurla circonférence de chaque cercle. A chaque cercle du disque correspond un segment. De même queles cercles vont remplir le disque de rayon R, de même, les segments vont remplir le triangleannoncé.

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La théorie des indivisibles énonce alors que l'aire T du triangle sera égale à l'aire D du disque.

Cette méthode, bien artisanale comparée aux méthodes modernes et assez empirique, est cependantextrêmement efficace. On peut s'en faire une idée en lisant Le traité de la Roulette de Pascal (1623-1662), dans lequel Pascal calcule les centres de gravité de courbes, de surfaces, de volumes, chosesque nous ne pourrions plus faire actuellement sans calcul intégral. Pascal fait un pas de plus queCavalieri en disant qu'une surface est la somme de ses lignes :

"Je ne ferai aucune difficulté d'user de cette expression, la somme des ordonnées, quisemble n'être pas géométrique à ceux qui n'entendent pas la doctrine des indivisibles, etqui s'imaginent que c'est pécher contre la géométrie que d'exprimer un plan par unnombre indéfini de lignes ; ce qui vient que de leur manque d'intelligence, puisqu'onentend autre chose par là sinon la somme d'un nombre indéfini de rectangles faits dechaque ordonnée avec chacune des petites portions égales du diamètre, dont la sommeest certainement un plan, qui ne diffère de l'espace du demi–cercle que d'une quantitémoindre qu'aucune donnée."

Les méthodes précédentes présentent cependant le grave défaut de ne pouvoir donner une valeur àune aire, mais seulement de comparer deux aires entre elles. Ainsi, il faut connaître a priori la valeurd'une aire avant de prouver que cette aire possède effectivement la valeur désirée.

Les travaux de Pascal ont grandement influencé Leibniz (1646-1716), inventeur avec Newton (1642-1727) du calcul différentiel et intégral. Le calcul d'aire est directement lié au calcul intégral, etLeibniz et Newton résolvent cette question d'une façon magistrale qui va révolutionner le calculmathématique : ils découvrent en effet que le calcul d'une aire est un problème inverse de celui de larecherche de la tangente à une courbe. Autrement dit, l'intégration est l'opération inverse de ladérivation. Pour calculer l'intégrale d'une fonction f (et donc l'aire comprise entre sa courbereprésentative et l'axe des abscisses), il suffit de chercher une primitive de f.

Le calcul intégral de Newton et Leibniz connaîtra un épanouissement considérable au XVIIIème,mais se heurte à des difficultés. Il est limité aux fonctions admettant des primitives, par exemple lesfonctions continues. Se pose alors le problème théorique de prouver que toute fonction continueadmet une primitive. En outre, à partir du début du XIXème, les travaux de Fourier (1768-1830)nécessitent un calcul intégral de plus en plus poussé, allant au delà des seules fonctions continues etde la simple recherche de primitive. Comment calculer ou définir l'intégrale d'une fonction qui n'estpas continue ?

Cauchy (1789-1857) résout ce dernier point en définissant l'intégrale d'une fonction f continueindépendamment de l'existence d'une primitive, puis en prouvant que l'intégrale ainsi obtenue esteffectivement une primitive de f. Pour définir son intégrale, Cauchy divise [a, b] en n intervalles et il

considère la somme ∑k=1

n

lk f(tk) où lk est la longueur d'un petit intervalle et tk une extrémité de

l'intervalle. Puis il fait tendre n vers +∞. Cette démarche a été critiquée par la suite car lesdémonstrations utilisées par Cauchy présentent quelques défauts. En outre, l'intégrale de Cauchy nes'applique qu'aux fonctions continues.

Il revient à Riemann (1826-1866) d'introduire en 1854 la première notion générale d'intégrale,reconnue encore valide de nos jours, en améliorant la démarche de Cauchy. L'intégrale de Riemannest suffisamment puissante pour définir une intégrale pour toutes les fonctions suivantes :• Les fonctions continues

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• Les fonctions monotones

• La fonction sin(1x)

• La fonction de K. J. Thomae (1875) : x → îî 0 si x ∉

1q si x = p

q irréductible, q > 0

Elle n'est cependant pas complète car elle ne permet pas d'attribuer une valeur à l'intégrale de lafonction de Dirichlet (1829) :

x → îî 0 si x ∉ 1 si x ∈

C'est d'autant plus étonnant que cette fonction ne semble guère différente de la fonction de Thomae.

L'intégrale de Riemann pose également des problèmes délicats lorsqu'il s'agit de savoir si, étantdonné une suite de fonctions (fn) intégrables convergeant vers f (dans un sens à préciser), f estintégrable (ce qui peut être faux) et si l'intégrale des fn converge vers l'intégrale de f.

Ces défauts ont conduit Lebesgue (1875-1941) à introduire en 1901 une nouvelle notion d'intégrale,plus générale que celle de Riemann, et telle que :• Toute fonction Riemann-intégrable est Lebesgue-intégrable, avec la même valeur d'intégrale.• La fonction de Dirichlet est Lebesgue–intégrable• Un exemple de fonction positive bornée non Lebesgue-intégrable n'existe qu'à condition d'utiliser

un axiome (dit axiome du choix), et un tel exemple ne peut pas être défini explicitement.• L'intégrale de Lebesgue est particulièrement adaptée au problème de convergence de suites de

fonctions.

Malheureusement, l'intégrale de Lebesgue est jugée trop difficile à introduire en premier cycled'enseignement supérieur. Dans les années 1950 à 1960, Kurzweil et Henstock ont proposé untroisième type d'intégrale, la KH-intégrale, aussi puissante que l'intégrale de Lebesgue, mais dontl'introduction pourrait être faite dès le premier cycle universitaire. Cette question fait cependantdébat. Quelques précisions sont données sur ces diverses intégrales dans l'annexe II.

La KH-intégrale est encore peu répandue aujourd'hui, car le XXème siècle a bâti un édificeconsidérable de résultats à partir de l'intégrale de Lebesgue. On voit cependant se multiplier cesdernières années les articles et les livres sur la KH-intégrale et il n'est pas possible de dire aujourd'huiquelle théorie de l'intégration sera enseignée dans 30 ou 50 ans. En ce qui nous concerne, nous nousproposons de présenter l'intégrale de Riemann, limitée aux fonctions continues par morceaux. Celasuffit pour une initiation, même si des difficultés peuvent concrètement être rencontrées. Parexemple, une suite convergente (fn) de fonctions continues par morceaux peut avoir une limite f quin'est pas continue par morceaux. Le lecteur aura compris que ce choix est motivé par un souci desimplicité aux dépens de la généralité.

2– Fonctions en escalierDEFINITION :Une fonction f définie sur [a,b] est en escalier s'il existe une subdivision finie

a = x0 < x1 < ... < xn–1 < xn = bde [a, b] telle que f soit constante sur chaque intervalle ]xi, xi+1[.

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a0 a1 a2a0 an

La valeur de f aux points ai importe peu. Les fonctions en escalier forment un espace vectoriel sur, stable par produit. Seule la stabilité par la somme ou le produit n'est pas évidente. Il suffit de

remarquer que, si l'on dispose de deux fonctions en escalier f et g, on peut prendre une subdivisionplus fine que celle de f et de g, et compatible à la fois avec f et g, en prenant la réunion des deuxsubdivisions de f et g.

Il est facile de définir l'intégrale de fonctions en escalier. Soit f en escalier sur [a, b], associée à unesubdivision a = x0 < x1 < ... < xn–1 < xn = b. Notons fi la valeur de f sur l'intervalle ]xi, xi+1[. On pose :

⌡⌠

a

b

f(t) dt = ∑k=0

n–1

(xi+1 – xi)fi

On note aussi l'intégrale sous la forme ⌡⌠

I

f, où I désigne l'intervalle [a, b]. On s'assurera que cette

quantité ne dépend pas de la subdivision choisie, pourvue qu'elle soit compatible avec f. Pour cela, ilsuffit de voir qu'on peut ajouter un point à la subdivision sans changer la valeur de l'intégrale, puisqu'on peut ajouter plusieurs points ; enfin, pour comparer les valeurs données par deux subdivisionsdifférentes, il suffit de passer par la subdivision obtenue en réunissant les deux subdivisions.

De même, il est trivial de vérifier les propriétés usuelles de l'intégrale, puisque celle-ci n'est ici qu'unesomme finie :

linéarité : ⌡⌠

I

(f + g) =

⌡⌠

I

f +

⌡⌠

I

g et

⌡⌠

I

λf = λ

⌡⌠

I

f

f ≥ 0 ⇒ ⌡⌠

I

f ≥ 0 et f ≤ g ⇒

⌡⌠

I

f ≤

⌡⌠

I

g

relation de Chasles : ⌡⌠

a

b f(t) dt =

⌡⌠

a

cf(t) dt +

⌡⌠

c

bf(t) dt pour a ≤ c ≤ b.

Le but est maintenant d'approximer les fonctions continues par des fonctions en escalier.

3– Approximation des fonctions continuesDébut de partie réservée aux MPSILa définition de la continuité sur [a, b] est :

∀ x, ∀ ε > 0, ∃ α > 0, ∀ y, y – x < α ⇒ f(x) – f(y) < εDans cette définition, α dépend de x et de ε. Nous avons besoin d'une condition plus forte où α nedépend pas de x.

∀ ε > 0, ∃ α > 0, ∀ x, ∀ y, y – x < α ⇒ f(x) – f(y) < ε

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Une fonction f vérifiant cette propriété est dite uniformément continue.

EXEMPLE : f(x) = x2 est continue mais pas uniformément continue sur . En effet :

x2 – y2 < ε ⇔ x – y x + y < ε

or si cette inégalité était vérifiée pour tout x et y tels que x – y < α pour un certain α, elle serait

vraie pour tout x et y tels que x – y = α2

et l'on aurait alors x + y < 2εα

borné. Or x + y n'est pas

borné.

f(x) = x est uniformément continue sur [1,+∞[. En effet :

x – y = x – y

x + y ≤

x – y

2

Pour tout ε > 0, il suffit de prendre α = 2ε

Plus généralement, si f est k-lipschitzienne (par exemple dérivable, de dérivée bornée par k enutilisant l'inégalité des accroissements finis), alors f est uniformément continue. Il suffit de prendre α

= εk. On a ainsi les implications suivantes :

f dérivable à dérivée bornée⇒ f lipschitzienne⇒ f uniformément continue⇒ f continue

L"exemple x2 prouve qu'une fonction continue sur n'est pas uniformément continue. On acependant le résultat suivant.

THEOREME : (Heine 1821-1881)Soit f continue sur un segment [a, b]. Alors f est uniformément continue.

Démonstration :Si f n'est pas uniformément continue, alors :

∃ ε > 0, ∀ α > 0, ∃ x, ∃ y, x – y < α et f(x) – f(y) ≥ ε

Prenons α = 1n et appelons xn et yn les éléments x et y correspondants. D'après le théorème de

Bolzano-Weierstrass, il existe une sous–suite (xΦ(n)) qui converge vers une limite c. La sous-suite

(yΦ(n)) converge nécessairement vers la même limite c, puisque xΦ(n) – yΦ(n) tend vers 0. On en déduit

que (f(xΦ(n))) et (f(yΦ(n))) convergent vers f(c) par continuité de f, et donc que f(xΦ(n))–f(yΦ(n)) tend

vers 0, ce qui est contradictoire avec le fait que cette quantité reste supérieure à ε.Fin de la partie réservée aux MPSI. Retour à la partie commune MPSI, PCSI, PTSI.

Voici maintenant le théorème d'approximation d'une fonction continue par les fonctions en escalierPROPOSITION :

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Soit f une fonction continue sur [a,b]. Alors, pour tout ε positif, il existe deux fonctions en escalierΦ et Ψ telle que :

∀ x ∈ [a, b], Φ(x) ≤ f(x) ≤ Ψ(x) et Ψ – Φ ≤ ε

Démonstration :(cette proposition sera admise par les PCSI et PTSI)f est continue sur un segment, donc, d'après le théorème de Heine, uniformément continue. Il existeα tel que :

∀ x, ∀ y, x – y < α ⇒ f(x) – f(y) < ε

Choisissons n entier tel que b – an

< α. On peut alors diviser l'intervalle [a, b] en n intervalles de la

forme Ik = ] a + k(b – a)n

, a + (k + 1)(b – a)n

[ de longueur inférieure à α, et sur chacun de ces

intervalles Ik, on a :

∀ x ∈ Ik, ∀ y ∈ Ik, f(x) – f(y) < εDéfinissons Φ et Ψ sur chaque intervalle Ik par :

∀ x ∈ Ik, Φ(x) = min f(x) | x ∈ Ik et Ψ(x) = max f(x), x ∈ Ik

Aux points a + k(b – a)n

, on peut prendre Φ et Ψ égale à f.

Début de partie réservée aux MPSIUne fonction est continue par morceaux sur [a, b] s'il existe une subdivision a = x0 < x1 < ... < xn = btelle que, pour tout i :

f est continue sur ]xi, xi+1[f admet une limite à droite strictement des xi

f admet une limite à gauche strictement des xi

Pour tout i, f peut être prolongée par continuité sur [xi, xi+1]. Le théorème d'approximation d'unefonction continue par des fonctions en escalier s'applique a fortiori pour les fonctions continues parmorceaux. Il suffit en effet d'appliquer le théorème sur chaque intervalle où f est continue.Fin de partie réservée aux MPSI

4– Définition de l'intégraleVoici comment on définit l'intégrale d'une fonction continue par morceaux (Dans toute la suite duchapitre, les PCSI/PTSI ne considèreront que le cas des fonctions continues). Considérons lesencadrements Φ ≤ f ≤ Ψ, avec Φ et Ψ en escalier. Cet encadrement prouve que les intégrales desfonctions Φ sont majorées par l'intégrale de n'importe quelle Ψ, et que les intégrales des fonctions Ψsont minorées par l'intégrale de n'importe quelle Φ. On peut donc définir :

S = Sup⌡⌠

a

b

Φ(t) dt | Φ en escalier et Φ ≤ f

I = Inf ⌡⌠

a

b

Ψ(t) dt | Ψ en escalier et f ≤ Ψ

On a S ≤ I puisque Φ ≤ f ≤ Ψ ⇒ ⌡⌠

a

b

Φ(t) dt ≤ ⌡⌠

a

b

Ψ(t) dt. Mais, pour tout ε > 0, il existe Φ et Ψ en

escalier telles que Φ ≤ f ≤ Ψ et Ψ – Φ ≤ ε, de sorte que :

0 ≤ I – S ≤ ⌡⌠

a

b

Ψ(t) dt – ⌡⌠

a

b

Φ(t) dt ≤ ε(b – a)

- 9 -

Cette relation étant vraie pour tout ε > 0, on a nécessairement I = S. Cette valeur commune est pardéfinition l'intégrale de f sur [a, b]. En particulier, si Φ et Ψ sont en escalier et vérifient Φ ≤ f ≤ Ψ,

on a ⌡⌠

a

b

Φ(t) dt ≤ ⌡⌠

a

b

f(t) dt ≤ ⌡⌠

a

b

Ψ(t) dt.⌡⌠

a

b

f(t) dt s'interprète alors comme l'aire de la courbe

comprise entre l'axe des abscisses et le graphe de f.

II : Propriétés de l'intégrale

1– LinéaritéPROPOSITION :L'ensemble des fonctions continues par morceaux sur [a, b] forme un espace vectoriel. L'intégraleest une forme linéaire.

Démonstration :i) Soit f continue par morceaux. Alors –f est continue par morceaux.Si l'on a Φ ≤ f ≤ Ψ alors –Ψ ≤ –f ≤ –Φ. On a donc :

⌡⌠

a

b

–Ψ(t) dt ≤ ⌡⌠

a

b

–f(t) dt ≤ ⌡⌠

a

b

–Φ(t) dt

⇒ – ⌡⌠

a

b

Ψ(t) dt ≤ ⌡⌠

a

b

– f(t) dt ≤ –⌡⌠

a

b

Φ(t) dt

Prenons la borne sup du membre de gauche et la borne inf du membre de droite sur l'ensemble desfonctions en escalier Φ et Ψ. On obtient :

Sup – ⌡⌠

a

b

Ψ(t) dt ≤ ⌡⌠

a

b

– f(t) dt ≤ Inf –⌡⌠

a

b

Φ(t) dt

⇒ – Inf⌡⌠

a

b

Ψ(t) dt ≤ ⌡⌠

a

b

– f(t) dt ≤ – Sup⌡⌠

a

b

Φ(t) dt

⇒ – ⌡⌠

a

b

f(t) dt ≤ ⌡⌠

a

b

– f(t) dt ≤ – ⌡⌠

a

b

f(t) dt d'où l'égalité

ii) Considérons le produit de f par un réel λ. Compte tenu du i), on peut supposer λ > 0. On a :Φ ≤ f ≤ Ψ ⇔ λΦ ≤ λf ≤ λΨ, de sorte que :

⌡⌠

a

b

λΦ(t) dt ≤ ⌡⌠

a

b

λf(t) dt ≤ ⌡⌠

a

b

λΨ(t) dt

⇒ λ⌡⌠

a

b

Φ(t) dt ≤ ⌡⌠

a

b

λf(t) dt ≤ λ⌡⌠

a

b

ψ(t) dt

Prenons la borne sup du membre de gauche et la borne inf du membre de droite sur l'ensemble desfonctions en escalier Φ et Ψ. On obtient :

λ ⌡⌠

a

b

f(t) dt ≤ ⌡⌠

a

b

λf(t) dt ≤ λ ⌡⌠

a

b

f(t) dt d'où l'égalité

iii) Considérons la somme de deux fonctions f et g. Si on a :Φ ≤ f ≤ ΨΦ' ≤ g ≤ Ψ'

Alors Φ + Φ' ≤ f + g ≤ Ψ + Ψ', de sorte que :

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⌡⌠

a

b

(Φ + Φ')(t) dt ≤ ⌡⌠

a

b

(f + g)(t) dt ≤ ⌡⌠

a

b

(Ψ + Ψ')(t) dt

On sépare les intégrales des fonctions en escalier en somme de deux intégrales et on prend la bornesupérieure du membre de gauche et la borne inférieure du membre de droite. On obtient :

⌡⌠

a

b

f(t) dt + ⌡⌠

a

b

g(t) dt ≤ ⌡⌠

a

b

(f + g)(t) dt ≤ ⌡⌠

a

b

f(t) dt + ⌡⌠

a

b

g(t) dt

d'où l'égalité.

2– Majorations et encadrementsPROPOSITION :Soient f et g continues par morceaux sur [a,b]. Alors :

i) f ≥ 0 ⇒ ⌡⌠

a

b

f(t) dt ≥ 0

ii) f ≥ g ⇒ ⌡⌠

a

b

f(t) dt ≥ ⌡⌠

a

b

g(t) dt

iii) f est continue par morceaux et ⌡⌠

a

b

f(t) dt ≤ ⌡⌠

a

b

f(t) dt

iv) ⌡⌠

a

b

(fg)(t) dt ≤ Sup f ⌡⌠

a

b

g(t) dt (inégalité de la moyenne)

v) f ≥ 0, f continue et ⌡⌠

a

b

f(t) dt = 0 ⇒ f = 0

Démonstration :i) Evident car 0 est une fonction en escalier minorant f.L'intégrale est dite positive.

ii) Appliquer i) sur f – g

iii) On a –f ≤ f ≤ f

et on applique ii)

iv) Il suffit de majorer fg par (Sup f ) × g . En particulier, en prenant g = 1, on a :

⌡⌠

a

b

f(t) dt ≤ (b – a) Sup f

v) Si f ≠ 0, il existe x0 tel que f(x0) > 0, et par continuité, un intervalle I de longueur l contenant x0 tel

que, pour tout x de ce voisinage, f(x) > f(x0)2

. On peut alors minorer f par la fonction en escalier ϕ

valant f(x0)2

sur I et 0 ailleurs. L'intégrale de f est minorée par l'intégrale de ϕ qui vaut lf(x0)2

> 0

contrairement à l'hypothèse. On notera que l'énoncé devient faux si on supprime l'hypothèse de lacontinuité de f. Il suffit en effet de prendre f en escalier non nulle en un nombre fini de points et nulleailleurs pour avoir un contre-exemple.

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3– Relation de ChaslesPROPOSITION :Soit f continue par morceaux sur [a,b], et soit c élément de ]a,b[. Alors f est continue par morceauxsur [a,c] et [c,b] et :

⌡⌠

a

b

f(t) dt = ⌡⌠

a

c

f(t) dt + ⌡⌠

c

b

f(t) dt

Il suffit de remarquer que l'intégrale de f est la valeur commune de la borne supérieure des intégralesde Φ en escalier inférieures à f, et de la borne inférieure des intégrales de Ψ en escalier supérieures àf. On applique la relation de Chasles sur chacune de ces intégrales. On obtient donc :

⌡⌠

a

b

Φ(t) dt = ⌡⌠

a

c

Φ(t) dt + ⌡⌠

c

b

Φ(t) dt ≤ ⌡⌠

a

c

f(t) dt + ⌡⌠

c

b

f(t) dt

donc, en prenant la borne supérieure, on obtient :

⌡⌠

a

b

f(t) dt ≤ ⌡⌠

a

c

f(t) dt + ⌡⌠

c

b

f(t) dt

On obtient l'autre inégalité en raisonnant sur les fonctions Ψ.

Pour b < a, on pose :

⌡⌠

a

b

f(t) dt = – ⌡⌠

b

a

f(t) dt

Ce qui permet de rendre valide la relation de Chasles pour toutes les dispositions relatives des troisnombres a, b et c.PROPOSITION :

4– Sommes de Riemann

On appelle somme de Riemann une somme de la forme ∑i=0

n–1

f(ci)(xi+1–xi) où (xi) forme une subdivision

de [a, b], et où ci est élément de [xi, xi+1]. Nous nous limiterons au cas où l'intervalle [a, b] a étédivisé en n parties égales, et où ci est la borne initiale de chaque intervalle. On obtient alors la somme:

Rn = b – an

∑k=0

n–1

f(a + k b – an

)

Rn s'interprète comme l'aire des rectangles de longueur de base b – an

et de hauteur f(a + k b – an

).

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PROPOSITION :Soit f une fonction continue par morceaux sur [a,b], Rn la somme de Riemann correspondant à unesubdivision de [a,b] en n intervalles de même longueur. Alors la suite (Rn) converge vers l'intégralede f lorsque n tend vers +∞.

Démonstration 1:Début de partie réservée aux MPSIPour simplifier un peu la démonstration, nous la donnerons dans le cas où f est continue. f étantcontinue sur [a, b] est uniformément continue. Donc :

∀ ε > 0, ∃ α > 0, ∀ x, ∀ y, x – y < α ⇒ f(x) – f(y) < ε

Soit ε > 0 arbitraire. Choisissons N tel que b – aN

soit inférieur à α. Pour tout n supérieur à N, on a,

en utilisant la relation de Chasles et en notant xk = a + k b – an

:

⌡⌠

a

b

f(t) dt – Rn = ∑k=0

n–1

⌡⌠

xk

xk+1

f(t) – f(xk) dt

≤ ∑i=0

n–1

⌡⌠

xk

xk+1

f(t) – f(xk) dt

≤ ∑i=0

n–1

⌡⌠

xk

xk+1

f(t) – f(xk) dt

Or t – xk ≤ xk+1 – xk = b – an

≤ b – aN

≤ α. On a donc f(t) – f(xk) ≤ ε

⇒ ⌡⌠

a

b

f(t) dt – Rn ≤ ε(b – a)

On a montré que :

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∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, ⌡⌠

a

b

f(t) dt – Rn ≤ ε(b – a)

ce qui correspond à la définition de la convergence de (Rn) vers l'intégrale de f.Fin de la partie réservée aux MPSI. Retour à la partie commune MPSI, PCSI, PTSI.

Démonstration 2 : limitée au cas d'une fonction C1. La fonction f ayant sa dérivée continue sur lesegment [a, b], cette dérivée est bornée de sorte que, au moyen de l'inégalité des accroissements

finis, on peut supposer que la fonction f est lipschitzienne de rapport M = Supx∈ [a,b]

f '(x) . On a alors,

en notant xk = a + k b – an

:

⌡⌠

a

b

f(t) dt – Rn = ∑k=0

n–1

⌡⌠

xk

xk+1

f(t) – f(xk) dt

≤ ∑i=0

n–1

⌡⌠

xk

xk+1

f(t) – f(xk) dt

≤ ∑i=0

n–1

⌡⌠

xk

xk+1

f(t) – f(xk) dt

≤ ∑i=0

n–1

⌡⌠

xk

xk+1

M(t – xk) dt

Or ∑i=0

n–1

⌡⌠

xk

xk+1

M(t – xk) dt = ∑i=0

n–1

M (xk+1 – xk)2

2 = M(b – a)2

2n

⇒ ⌡⌠

a

b

f(t) dt – Rn ≤ M(b – a)2

2n qui tend évidemment vers 0.

APPLICATION :

Ce théorème permet de calculer certaines limites de suites. 1n + 1

n+1 + .. + 1

2n–1 est la somme de

Riemann 1n ∑k=0

n–1

1

1 + kn

correspondant à la fonction 1x, x variant entre 1 et 2. Sa limite est donc égale à

⌡⌠

1

2 1x dx = ln2.

- 14 -

5– Valeur moyenne d'une fonction

Il s'agit de la quantité 1b – a

⌡⌠

a

b

f(t) dt. On remarquera qu'elle est la limite de la somme de Riemann

1n ∑k=0

n–1

f(a + k b – an

) qui est un bon candidat pour estimer une valeur moyenne de f, d'autant meilleur

que n est grand, d'où l'intérêt de prendre la limite lorsque n tend vers l'infini.

On peut citer les exemples suivants :

EXEMPLE 1 : Considérons les températures prises au cours d'une partie de la journée. On découpe

cette partie en n intervalles égaux. La température moyenne est 1n ∑k=1

n

T(hk) , où hk est le kème instant

de mesure. Plus n est grand et plus la fonction T est précise. A la limite, on peut modéliser T par une

fonction continue. Sa valeur moyenne est ⌡⌠

0

1

T(t) dt qui n'est autre que la limite de la somme de

Riemann 1n ∑k=1

n

T(kn) lorsque n tend vers +∞.

EXEMPLE 2 : le marégraphe de Marseille est chargé de mesurer la hauteur de la mer. La mercommunique avec un puits pour amortir les vagues. Dans ce puits se trouve un flotteur. On mesure àquelle hauteur se trouve ce flotteur par rapport à un repère fixe. Un fil relié au flotteur possède uncurseur qui permet de déterminer cette hauteur. Mais un mécanisme astucieux, en marche depuis unsiècle, permet en outre de calculer la hauteur moyenne de la mer. En voici la description simplifiée :

mer

flotteur

tambourcyl indriquetournantà vi tesseconstante

fil

roueaxe dutambour

- 15 -

Une petite roue, reliée par un fil tendu au flotteur, roule par frottement contre un cylindre tournant àvitesse constante. Soit x la distance de la roue à l'axe du cylindre. x correspond à la hauteur duflotteur. Plus le flotteur est haut, plus la roue est loin de l'axe du tambour et plus x est grand. Plus leflotteur est bas, plus la roue est proche de l'axe du tambour et plus x est petit. La hauteur du flotteurainsi que x dépend du temps t. La hauteur moyenne sur un intervalle de temps [a,b] est calculé par

1b – a

⌡⌠

a

b

x(t) dt. Or la vitesse de rotation de la roue est proportionnelle à x. Plus x est grand, plus la

roue tourne vite. Si le tambour tourne à la vitesse constante Ω et si le rayon de la roue est R, sa

vitesse de rotation ω est ω = ΩxR

. Le nombre de tours dont tourne la petite roue est une primitive de

ω et est donc proportionnelle à une primitive de x. Ce nombre de tours divisé par le temps de mesureindique donc à une constante multiplicative près, la valeur moyenne de x et donc la hauteur moyennede la mer.

Depuis quelques années, ce système est couplé avec un système électronique mesurant, à intervallerégulier, la hauteur de la mer. Ce système additionne les données recueillies pour en calculer lamoyenne, et calcule donc une somme de Riemann. Il permet donc également de calculer une valeurmoyenne de la hauteur d'eau.

EXEMPLE 3 : La puissance dissipée par effet Joule en courant alternatif est RI2, avec I = I0sin(ωt).La puissance moyenne peut se mesurer sur une période et vaut :

⌡⌠

0

2π/ω

RI02sin2(ωt) dt × ω

2π

Le calcul donne 12 RI0

2.

Dans un dipôle soumis à une tension U = U0sin(ωt + ϕ), la puissance moyenne vaut :

⌡⌠

0

2π/ω

I0U0sin(ωt)sin(ωt+ϕ) dt × ω2π

qui donne 12 I0U0cosϕ.

- 16 -

III : Intégrale fonction de la borne supérieure

1– DéfinitionSoit f continue par morceaux sur [a, b]. f est donc continue par morceaux sur [a, x], pour tout xélément de [a, b]. On pose :

F(x) = ⌡⌠

a

x

f(t) dt

Cette fonction s'appelle intégrale fonction de la borne supérieure.

2– ContinuitéPROPOSITION :L'intégrale fonction de la borne supérieure est une fonction continue.

Démonstration :Nous allons utiliser la relation de Chasles.

F(x+h) – F(x) = ⌡⌠

x

x+h

f(t) dt ≤ ⌡⌠

x

x+h

f(t) dt si h > 0 ou ⌡⌠

x+h

x

f(t) dt si h < 0

⇒ F(x+h) – F(x) ≤ M h où M est un majorant de f .

F est lipschitzienne de rapport M, donc est continue.

3– DérivationPROPOSITION :Soit f une fonction continue par morceaux sur [a, b], F l'intégrale fonction de la borne supérieurecorrespondante. Si f est continue en un point x, alors F est dérivable en x, de dérivée f(x).

Démonstration :Soit x un point de continuité de f.

F(x+h) – F(x)h

– f(x) = 1h ⌡⌠

x

x+h

f(t) dt – f(x) = 1h ⌡⌠

x

x+h

f(t) – f(x) dt ≤ Supt∈ [x, x+h]

f(t) – f(x)

Soit ε > 0. Il existe α > 0 tel que, pour tout y élément de ]x–α, x+α[, on ait f(y) – f(x) < ε. Pour h

appartenant à cet intervalle, on en déduit que Supt∈ [x, x+h]

f(t) – f(x) est lui même inférieur ou égal à

ε. On a donc montré que, pour tout ε > 0, il existe α positif tel que, pour tout h appartenant à]x – α, x + α[, la différence entre le taux d'accroissement de F, entre x et x + h, et la valeur f(x) estinférieure à ε. Cela est la définition même de la convergence du taux d'accroissement de F vers f(x).Ce taux admettant une limite, F est dérivable, de dérivée f(x).

Si f n'est pas continue en x0, rien ne permet de dire que F y est dérivable.

EXEMPLE :Sour [0,2], soit f(x) = 1 sur ]0,1] et f(x) = 0 sur ]1,2]. On a alors F(x) = x sur [0,1] et F(x) = 1 sur[1,2]. F est bien continue, mais n'est pas dérivable en x = 1.

COROLLAIRE :Toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive sur cet intervalle.

- 17 -

F(x) = ⌡⌠

a

x

f(t) dt est la primitive de f qui s'annule en a.

Si G est une autre primitive, alors G' – F' = 0, donc G – F est constante, et G = F + Cte. Cetteconstante vaut G(a). Ainsi :

⌡⌠

a

b

f(t) dt = G(b) – G(a) pour une primitive quelconque

4– Intégration par partiesOn appelle fonction de classe C1 une fonction continue dérivable dont la dérivée est elle-mêmecontinue.PROPOSITION :Soient u et v deux fonctions de classe C1 sur [a, b]. Alors :

⌡⌠

a

b

u'(t)v(t) dt = u(b)v(b) – u(a)v(a) – ⌡⌠

a

b

u(t)v'(t) dt

Démonstration :On considère les deux fonctions suivantes :

F : x → ⌡⌠

a

x

u'(t)v(t) dt

et G : x → u(x)v(x) – u(a)v(a) – ⌡⌠

a

x

u(t)v'(t) dt

On a : F(a) = G(a) = 0 et F'(x) = G'(x) = u'(x)v(x) donc F = G.

5– Changement de variablePROPOSITION :Soit Φ de classe C1 de [α, β] dans [a, b] et f continue sur [a, b]. Alors :

⌡⌠

Φ(α)

Φ(β)

f(u) du = ⌡⌠

α

β

f(Φ(t)) Φ'(t) dt

Démonstration :On considère les deux fonctions suivantes, définies sur [α, ß] :

F : x → ⌡⌠

Φ(α)

Φ(x)

f(u) du

G : x → ⌡⌠

α

x

f(Φ(t)) Φ'(t) dt

On a F(α) = G(α) = 0 et F'(x) = G'(x) = f(Φ(x))Φ'(x) (cette dernière dérivée étant calculée par

dérivation de la fonction composée x → y = Φ(x) → ⌡⌠

Φ(α)

y

f(u) du). Donc F = G.

Si Φ est bijective de [α, β] sur [a, b], on peut écrire :

⌡⌠

a

b

f(t) dt = ⌡⌠

Φ–1(a)

Φ–1(β)

f(Φ(t)) Φ'(t) dt

EXEMPLE 1 :

- 18 -

⌡⌠

0

1

1 – u2 du = ⌡⌠

0

π/2

cos2(t) dt en posant u = sin(t)

Il suffit alors de linéariser cos2(t) pour trouver π4.

EXEMPLE 2 :

⌡⌠

0

1

1 + u2 du = ⌡⌠

0

b

ch2(t) dt en posant u = sh(t), où b est tel que 1 = sh(b). La résolution de

l'équation 1 = sh(b) = eb + e–b

2 conduit à b = ln(1 + 2). Par ailleurs :

ch2(t) = (et + e–t)2

4 = e

2t + 2 + e–2t

4 = 1 + ch(2t)

2Donc l'intégrale vaut :

12

t + 1

2 sh(2t)

0

b

= b2 + sh(2b)

4

Or sh(2b)4

= e2t – e–2t

8 = (e

t + e–t)(et – e–t)8

= ch(b)sh(b)2

= 1 + sh2(b) sh(b)2

en utilisant la relation ch2 =

1 + sh2. Donc sh(2b)4

= 22

et finalement, l'intégrale vaut ln(1 + 2) + 22

.

Le changement de variable u = tan(θ) est également possible, mais il se trouve que l'intégrale est plusdifficile à intégrer. Elle sera revue dans le paragraphe IV.

6– Fonctions à valeurs complexesPour le calcul de primitive , il nous faut introduire les notions suivantes : Intégrale d'une fonction d'une variable réelle à valeurs complexes, h = f + ig, où f et g sont lesparties réelles et imaginaires de h :

⌡⌠

a

b

h(t) dt = ⌡⌠

a

b

f(t) dt + i ⌡⌠

a

b

g(t) dt

Ainsi : ⌡⌠

a

b

Re(h)(t) dt = Re ⌡⌠

a

b

h(t) dt et ⌡⌠

a

b

Im(h)(t) dt = Im ⌡⌠

a

b

h(t) dt

Dérivée d'une fonction d'une variable réelle à valeurs complexes, h = f + ig, où f et g sont lesparties réelles et imaginaires de h : h' = f ' + ig'

On vérifie que les règles usuelles de dérivation et d'intégration s'étendent au cas complexe. Il suffitpour cela de séparer partie réelle et partie imaginaire. Seule l'inégalité

⌡⌠

a

b

f(t) dt ≤ ⌡⌠

a

b

f(t) dt

n'est pas évidente. Soit θ l'argument de ⌡⌠

a

b

f(t) dt, de sorte que e–iθ

⌡⌠

a

b

f(t) dt soit réel, égal à

⌡⌠

a

b

f(t) dt . Posons F(x) = ⌡⌠

a

x

f(t) dt et G(x) = Re(e–iθ F(x)) de sorte que :

- 19 -

G(b) = Re(e–iθ F(b)) = Re(e–iθ ⌡⌠

a

b

f(t) dt) = e–iθ

⌡⌠

a

b

f(t) dt = ⌡⌠

a

b

f(t) dt

G est une fonction à valeurs réelles. On a également :

G(b) = Re(e–iθ F(b)) = Re(e–iθ ⌡⌠

a

b

f(t) dt) = ⌡⌠

a

b

Re(e–iθf(t)) dt

⇒ G(b) ≤ ⌡⌠

a

b

Re(e–iθf(t)) dt ≤ ⌡⌠

a

b

e–iθf(t) dt = ⌡⌠

a

b

f(t) dt d'où le résultat annoncé.

IV : Calcul de primitives

1– Tableau de primitivesOn dispose des primitives suivantes. Pour le vérifier, il suffit de dériver les fonctions de la colonne dedroite

- 20 -

f

⌡⌠

f(t) dt à une constante près

xr pour r ≠ 1 xr+1

r+11x

ln x

ln x xln x – x

11 + x2

arctanx

1a2 + x2

1a arctan(x

a)

11 – x2

arcsin(x)

a>0 1a2 – x2

arcsin(xa)

1x2 + h

ln x + x2 + h

1x2 – 1

12 ln x – 1

x + 1

1x2 – a2

12a

ln x – ax + a

1cos2(x)

tan(x)

1sin2(x)

– 1tan(x)

tanx – ln cos(x)

1sin(x) ln tan x

2

1cos(x) ln tan(x

2 + π

4)

2– Fractions rationnellesLes fractions rationnelles de polynômes jouent un rôle essentiel, dans le sens où elles font partied'une catégorie de fonctions dont on peut calculer des primitives. Il faut savoir en effet que toutefonction élémentaire (obtenue à partir de sommes, produits, quotients, logarithmes, exponentielles,extractions de racines) n'admet pas forcément une primitive sous forme de fonction élémentaire. On

peut prouver par exemple que, si f et u sont des fractions rationnelles et si⌡⌠

f(t)eu(t) dt est une

fonction élémentaire, elle est nécessairement elle-même de la forme g(t)eu(t) avec g fractionrationnelle. De plus, si f et u sont des polynômes, il en est de même de g. Il est donc illusoire de

chercher une primitive par exemple de ⌡⌠

exp(t2) dt sous forme de fonction élémentaire : sa primitive

devrait être de la forme g(t) exp(t2), avec g polynôme, donc g'(t) + 2tg(t) = 1 ce qui est impossible (le

- 21 -

membre de droite est de degré nul alors que le membre de gauche serait de degré strictement positif).

On montre qu'il en est de même de ⌡⌠

ex

x dx. Les primitives de ces deux fonctions resteront donc sous

forme d'intégrales.

Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes A(x)B(x)

. On factorise B sur le corps , et on

décompose AB

sous la forme d'une somme de termes de la forme suivante (décomposition en éléments

simples) :• un polynôme E, qui n'est autre que le quotient dans la division euclidienne de A par B. E s'appelle

partie entière de AB

.

• des termes λ(x – a)k, 1 ≤ k ≤ n si (x – a)n est facteur de B

• des termes λx + µ(x2 + ax + b)k, 1 ≤ k ≤ n si (x2 + ax + b)n est facteur de B. En effectuant le changement

de variable x + a2 → x et en posant α2 = b – a

2

4 on se ramène à un dénominateur de la forme

(x2 + α2)k.

La partie entière E, polynomiale, s'intègre sans difficulté.

Il en est de même des termes 1(x – a)k :

1x – a

s'intègre en ln x – a

1(x – a)k s'intègre en – 1

(k – 1)(x – a)k–1 pour k ≥ 2

xx2 + α2 s'intègre en 1

2 ln(x2 + α2)

x(x2 + α2)n s'intègre en Cte

(x2 + α2)n–1 (on trouve la valeur de Cte en dérivant cette dernière

expression)

1x2 + α2 s'intègre en 1

α arctan x

α

1(x2 + α2)n s'intègre en faisant le changement de variable x = α tan(θ)

EXEMPLE 1 : I = ⌡⌠

1 + t2 dt (pour une primitive en général, on ne précisera pas de bornes,

celles-ci étant sous-entendu. Cela a le mérite d'alléger les notations)

Posons t = sh(u), ou de manière équivalente u = ln(t + 1 + t2). On a alors :

I = ⌡⌠

ch2(u) du = ⌡⌠

1 + ch(2u)

2 du = u

2 + 1

2 sh(u) ch(u) + Cte

- 22 -

= ln(t + 1 + t2)2

+ t 1 + t2

2 + Cte

compte tenu du fait que ch(u) = 1 + sh2(u) = 1 + t2

Autre méthode. Posons t = tan(θ), θ ∈ ]– π2, + π

2[. On obtient :

I = ⌡⌠

1cos3(θ)

dθ

Posons u = sin(θ). (La raison pour laquelle on choisit ce changement de variable sera expliqué plusbas) On obtient :

I = ⌡⌠

1

(1 – u2)2 du

Il suffit de décomposer 1(1 – u2)2 en éléments simples. On trouve :

1(1 – u2)2 = 1

(1 – u)2(1 + u)2 = a1 – u

+ b(1 – u)2 + c

1 + u + d

(1 + u)2

avec a = c et b = d car la fonction est paire. On obtient b = 14 en multipliant par (1 – u)2 puis en

posant u = 1. On obtient a = 14 en posant ensuite u = 0.

⇒ 1(1 – u2)2 = 1

4 ( 1

1 – u + 1

(1 – u)2 + 11 + u

+ 1(1 + u)2)

Donc :

I = 14 ( ln 1 + u

1 – u + 1

1 – u – 1

1 + u ) + Cte or u = sin(θ) = t

1 + t2

⇒ I = 14 ( ln 1 + t2 + t

1 + t2 – t + 2t 1 + t2 ) + Cte

⇒ I = 12 ln (t + 1 + t2) + t 1 + t2

2 + Cte

valeur trouvée précédemment.

EXEMPLE 2 :

J = ⌡⌠

1(t2 + t + 1)2

dt

Posons u = t + 12. D'où :

J = ⌡⌠

1(u2 + 3/4)2

du

Posons maintenant u = 32

tan(θ) ⇒ du = 32

(1 + tan2(θ)) dθ

J = 8 39

⌡⌠

cos2(θ) dθ = 4 39

⌡⌠

1 + cos(2θ) dθ = 4 39

( θ + sin(θ)cos(θ) ) + Cte

= 4 39

( arctan(2u3) + 2

3 u1 + 4u2/3

) + Cte

- 23 -

= 4 39

arctan(2t + 13

) + 2t + 13(t2 + t + 1)

+ Cte

EXEMPLE 3 :

K =⌡⌠

1

x(x2 + x + 1) dx

Si on cherche à écrire 1x(x2 + x + 1)

sous la forme ax + bx + c

x2 + x + 1, on trouve a = 1 (multiplier par x

puis faire x = 0) et bx + c = – x – 1 (multiplier par x2 + x + 1 et faire x = j racine cubique de l'unité).

⇒ K = ⌡⌠

1x – x + 1

x2 + x + 1 dx = ln x – 1

2 ln(x2 + x + 1) – 1

2 ⌡⌠

1

x2 + x + 1 dx

= lnx – 12 ln(x2 + x + 1) – 1

3 arctan 2x + 1

3 + Cte

3– Fractions rationnelles en sin(x) et cos(x)

Dans le cas d'une intégrale de la forme ⌡⌠

f(sin(x), cos(x)) dx où f est une fraction rationnelle en

sin(x) et cos(x), on tente un changement de variable u = sin(x) ou u = cos(x) ou u = tan(x) ou

u = tan(x2).

a) u = sin(x)

On remarque que u = sin(x) = sin(π – x). On fera donc ce changement de variable lorsque :

⌡⌠

f(sin(x), cos(x)) dx =

⌡⌠

f(sin(π – x), cos(π – x)) d(π – x) = –

⌡⌠

f(sin(x), –cos(x)) dx

EXEMPLES :

⌡⌠

1

cos3(x) dx vu plus haut se calcule en effectuant le changement de variable u = sin(x).

⌡⌠

1

cos(x) dx =

⌡⌠

cos(x)cos2(x)

dx = ⌡⌠

1

1 – u2 du avec u = sin(x)

= 12 ln 1 + u

1 – u + Cte = 1

2 ln 1 + sin(x)

1 – sin(x) + Cte = 1

2 ln 1 – cos(x + π/2)

1 + cos(x + π/2) + Cte

= ln tan (x2 + π

4) + Cte

b) u = cos(x)

On remarque que u = cos(x) = cos(–x). On fera donc le changement de variable lorsque :

⌡⌠

f(sin(x), cos(x)) dx =

⌡⌠

f(sin(–x), cos(–x)) d(–x) = –

⌡⌠

f(–sin(x), cos(x)) dx

EXEMPLE :

- 24 -

⌡⌠

1

sin(t) dt =

⌡⌠

sin(t)sin2(t)

dt = –⌡⌠

1

1 – u2 du avec u = cos(t)

= 12 ln 1 – u

1 + u + Cte = 1

2 ln 1 – cos(t)

1 + cos(t) + Cte = ln tan(t

2) + Cte

Si on fait le changement de variable t = x + π2, on retrouve

⌡⌠

1

cos(x) dx = ln tan (x

2 + π

4) + Cte

c) u = tan(x)

On remarque que u = tan(x) = tan(π + x). On effectuera donc le changement de variable lorsque :

⌡⌠

f(sin(x), cos(x)) dx =

⌡⌠

f(sin(π + x), cos(π + x)) d(π + x) =

⌡⌠

f(–sin(x), –cos(x)) dx

EXEMPLE :

⌡⌠

1

2 – cos2(t) dt

Posons u = tan(t), soit du = (1 + u2) dt

⇒ I = ⌡⌠

1

1 + 2u2 du = 12 arctan( 2u) + Cte = 1

2 arctan( 2tan(t)) + Cte

On remarquera que la constante est en fait une constante par intervalle de la forme

] – π2 + kπ, +π

2 + kπ [ et dépendant de k, de façon à pouvoir définir une primitive continue de la

fonction initiale sur .

d) u = tan(x/2)

Dans tous les autres cas, ce changement de variables donne une fraction rationnelle en u. En effet,

sin(x) = 2u1 + u2, cos(x) = 1 – u2

1 + u2, tan(x) = 2u1 + u2, du = 1

2 (1 + u2) dx. Il faut cependant s'y résoudre en

dernier recours, car en général, les degrés des polynômes intervenant dans la fraction rationnelle sontdoublés, ce qui complique les calculs. Parfois, il est cependant bien commode :

⌡⌠

1

sin(x) dx =

⌡⌠

1u du = ln u + Cte = ln tan x

2 + Cte

plus facilement qu'au a).

4– Fractions rationnelles en sh(x), ch(x) et ex

Il suffit de faire la changement de variable u = ex.

EXEMPLE :

⌡⌠

1

sh(x) dx =

⌡⌠

2

u2 – 1 du = ln u – 1

u + 1 + Cte = ln ex – 1

ex + 1 + Cte = ln th(x

2) + Cte

expression qu'il convient de rapprocher de ln tan(x2) , primitive de 1

sin(x).

- 25 -

⌡⌠

1

ch(x) dx =

⌡⌠

2

u2 + 1 du = 2arctan(u) + Cte = 2arctan(ex) + Cte

Cette expression semble, quant à elle, fort éloignée de la primitive de 1cos(x)

donnée par

ln tan (t2 + π

4) . Cependant, cette dernière fonction peut s'écrire ln 1 + tan(x/2)

1 – tan(x/2) = 2 argth(tan(x

2)), où

argth est la fonction z → 12 ln 1 + z

1 – z et est la réciproque de la fonction th. Ce rapprochement nous

conduit à considérer dans le premier cas la fonction 2 arctan(th x2). Si on la dérive, on trouve

effectivement 1ch(x)

, rendant les deux situations symétriques. On peut également vérifier directement

que 2 arctan(th(x2)) = 2 arctan(ex) – π

2.

5– Fonctions de la forme P(x)eαx

P désigne un polynôme et α un nombre réel ou même complexe, ce qui permet de traiter le cas descos et sin.

Lorsque deg(P) est faible (inférieur ou égal à 2), on peut intégrer par parties. Cependant, le nombred'intégration par parties à effectuer est égal au degré de P.

EXEMPLE :

⌡⌠

x2ex dx = x2ex – ⌡⌠

2xex dx = x2ex – 2xex + ⌡⌠

2ex dx = x2ex – 2xex + 2ex + Cte

On remarque que la primitive est de la forme Q(x)eαx + Cte avec deg(Q) = deg(P). Ce résultat estgénéral. On trouve Q en dérivant, ce qui donne :

αQ + Q' = PL'existence de Q est assurée, car il n'est pas difficile de vérifier que l'équation ci–dessus donne unsystème triangulaire dont les inconnues sont les coefficients de Q.

EXEMPLE :

⌡⌠

x2excos(2x) dx = Re ⌡⌠

x2e(1+2i)x dx

⌡⌠

x2e(1+2i)x dx est la primitive d'une fonction complexe qui est de la forme (ax2 + bx + c)e(1+2i)x + Cte

D'où, en dérivant :

îî (1 + 2i)a = 12a + (1 + 2i)b = 0b + (1 + 2i)c = 0

⇔

îî

a = 11 + 2i

= 1 – 2i5

b = – 2(1 + 2i)2 = 2

3 – 4i = 6 + 8i

25

c = 2(1 + 2i)3 = – 2

11 + 2i = – 22 + 4i

125

Il suffit maintenant de prendre la partie réelle de la primitive. On obtient :

- 26 -

(x2

5 + 6x

25 – 22

125) ex cos(2x) + (2x2

5 – 8x

25 – 4

125) ex sin(2x)

6– Racines de trinômes ou de fonctions homographiques

⌡⌠

f(x, ax2+bx+c) dx se calcule de la façon suivante : on réduit le trinôme en a(x + b2a

)2 + c – b

2

4a.

Plusieurs cas se présentent alors :

a = α2 et c – b2

4a = β2. On obtient une expression du type α2X2 + β2.

Poser X = βα

tan(θ) ou βα

sh(t) pour profiter du fait que 1 + tan2(θ) = 1cos2(θ)

ou 1 + sh2(t) = ch2(t)

a = α2 et c – b2

4a = – β2. On obtient une expression du type α2X2 – β2.

Poser X = βα

ch(t) (ou – βα

ch(t) suivant le signe de X) ou X = βα

1cos(θ)

, pour profiter du fait que

ch2(t) – 1 = sh2(t) ou 1cos2(θ)

– 1 = tan2(θ)

a = – α2 et c – b2

4a = β2. On obtient une expression du type β2 – α2X2.

Poser X = βα

sin(θ) ou βα

th(t) pour profiter du fait que 1 – sin2(θ) = cos2(θ) ou 1 – th2(t) = 1ch2(t)

.

EXEMPLE :

⌡⌠

x2 – 1 dx

Posons x = ε ch(t) avec ε = ± 1 suivant le signe de x. On obtient :

ε ⌡⌠

sh2(t) dt = ε ⌡⌠

ch(2t) – 1

2 dt = ε ( 1

2 sh(t) ch(t) – t

2 ) + Cte

= x x2 – 12

– 12 ln x + x2 – 1 + Cte

⌡⌠

f (x, ax + bcx + d

) dx se calcule en posant ax+bcx+d

= u

En particulier, ⌡⌠

f(x, ax + b) dx se calcule en posant u = ax + b .

Annexe I : Calcul approché d'intégrales

La méthode générale de calcul approché d'intégrale consiste à approximer ⌡⌠

a

b

f(t) dt par une somme

finie ∑i=1

n

λ i f(xi), où les λ i et les xi sont bien choisis. Le plus souvent, on applique la méthode non sur

- 27 -

[a, b], mais sur une subdivision de [a, b], afin d'obtenir une précision plus grande. Les calculatricesfournissant des valeurs approchées d'intégrales utilisent l'une de ces méthodes.

1– Méthode des rectanglesElle consiste à prendre comme valeur approchée de l'intégrale le produit de la valeur de f en un pointde cet intervalle par la longueur de l'intervalle, par exemple (b – a)f(a) (méthode des rectangles àgauche) ou (b – a)f(b) (méthode des rectangles à droite). Ces deux méthodes sont très imprécises etne sont exactes que pour les fonctions constantes. On obtient une meilleure précision en choisissant

la méthode du point milieu, à savoir (b – a)f(a + b2

). Cette méthode est en effet exacte pour f de

degré 1.

La méthode des rectangles à gauche, appliquée sur une subdivision de [a, b] conduit aux sommes deRiemann :

Sn = b – an

∑k=0

n–1

f(a + k b – an

)

Nous avons vu, dans le paragraphe sur les sommes de Riemann, que l'erreur commise était majorée

par M(b – a)2

2n, où M = Sup

x ∈ [a,b] f '(x) .

On peut prendre la méthode des rectangles à droite (l'erreur commise est analogue) :

Sn' = b – an

∑k=1

n

f(a + k b – an

)

Dans le cas d'une fonction monotone, S et S' encadrent l'intégrale de f.

Quant à la méthode du point milieu, elle donne :

Sn" = b – an

∑k=0

n–1

f (a + (k + 12) b – a

n)

Cherchons l'erreur commise pour une fonction de classe C2. Soit M un majorant de f " . Dans le cas

n = 1, on approxime l'intégrale par (b – a)f(a + b2

), qui est aussi l'intégrale de toute fonction affine

passant par le point milieu, et en particulier de la fonction affine g dont le graphe est la tangente au

graphe de f au point a + b2

. Majorons f(t) – g(t). Appliquons l'inégalité de Taylor–Lagrange en

a + b2

= x0 sur f. On a :

f(t) – f(x0) – (t – x0)f '(x0) ≤ M(t – x0)2

2or f(x0) + (t – x0)f '(x0) n'est autre que g(t). L'erreur commise sur l'intégrale est donc majorée par :

⌡⌠

a

bM(t – x0)

2

2 dt = M

6 [ ](t – x0)

3a

b = M(b – a)3

24

- 28 -

Dans le cas d'une subdivision en n intervalles, l'erreur sur chaque intervalle de longueur b – an

est

majorée par M(b – a)3

24n3 , de sorte que l'erreur totale est majorée par M(b – a)3

24n2 , bien meilleure que les

méthodes des rectangles à gauche ou à droite.

2– Méthode des trapèzesLa méthode des trapèzes consiste à approximer f par une fonction affine passant par les points (a,f(a)) et (b, f(b)). L'intégrale s'approxime par l'aire d'un trapèze de bases f(a) et f(b), et de hauteur

b – a. On obtient donc : (b – a) f(a) + f(b)2

. Si on opère sur une subdivision régulière de [a, b], on

obtient :

Tn = b – an

f(a) + f(b)

2 + ∑

k=1

n–1

f(a + k b – an

)

Une excellent travail d'algorithmique consiste à programmer cette somme sur votre calculatrice. On

peut remarquer que Tn = Sn + Sn'2

, où Sn et Sn' sont les sommes de Riemann à gauche et à droite.

Cette méthode est exacte pour f de degré 1. Estimons l'erreur de la méthode pour f de classe C2.

Appelons M un majorant de f " . Pour n = 1, on approxime l'intégrale par (b – a) f(a) + f(b)2

qui

représente l'intégrale de la fonction affine Φ qui coïncide avec f en a et b. Montrons que pour unetelle fonction, on a :

f(t) – Φ(t) ≤ 12 (t – a)(b – t)M

ou encore

– 12 (t – a)(b – t)M + Φ(t) ≤ f(t) ≤ 1

2 (t – a)(b – t)M + Φ(t)

Etudions la fonction t → f(t) – 12(t – a)(b – t)M – Φ(t). Sa dérivée seconde est positive ou nulle,

donc sa dérivée première est croissante. Si cette dérivée est positive ou nulle, la fonction estcroissante. Comme elle s'annule en a et en b, elle est identiquement nulle et l'inégalité de droite estprouvée. Il en est de même si sa dérivée est négative ou nulle. Reste le cas où la dérivée change designe. Comme elle est croissante, elle est d'abord négative, puis positive. Donc la fonction décroît,

- 29 -

puis croît. Comme elle s'annule en a et en b, elle est négative ou nulle, ce qui prouve l'inégalité dedroite. On procède de même pour montrer celle de gauche.

L'erreur commise est donc majorée par :

⌡⌠

a

b

12 (t – a)(b – t)M dt = 1

2 M

– t

3

3 + (a+b)t2

2 – abt

a

b

= 12 M [– (b–a)(b2+ab+a2)

3 + (a+b)2(b–a)

2 – ab(b–a)]

= M(b – a)12

[–2b2 – 2ab – 2a2 + 3a2 + 6ab + 3b2 – 6ab] = M(b – a)3

12Dans le cas d'une subdivision de n intervalles, l'erreur sur chaque intervalle de longueur n estM(b – a)3

12n3 et l'erreur totale est majorée par M(b – a)3

12n2 , double de la méthode du point milieu.

3– Méthode de SimpsonOn peut encore accélérer la vitesse de convergence. Nous admettrons que l'erreur dans la méthode

des trapèzes, qui est en O(1n2) pour une fonction C2 est de la forme A

n2 + o(1n2), de sorte que :

Tn = ⌡⌠

I

f + A

n2 + o(1n2)

Appliquons la même méthode des trapézes, mais en doublant le nombre de subdivision (2n au lieu den). On obtient :

T2n = ⌡⌠

I

f + A

4n2 + o(1n2)

On voit qu'en calculant 4T2n – Tn

3, on élimine le terme en A

n2, de sorte que :

Sn = 4T2n – Tn

3 =

⌡⌠

I

f + o(1

n2)

qui converge plus rapidement. On obtient la méthode de Simpson. Le procédé d'accélération utilisés'appelle accélération de Richardson-Romberg. Il peut être itéré.

EXEMPLE :

Un logiciel donne comme valeur numérique approchée de ⌡⌠

0

1exp(x2) dx la quantité 1,46265175.

Comparons cette valeur avec celles obtenues par les sommes de Riemann, la méthode des trapèzes,la méthode de Simpson, suivant le nombre de subdivision n :

n 2 4 8 16 32 64Riemann 1.14201271 1.27589363 1.36231966 1.41072400 1.43624595 1.44933827Trapèzes 1.57158317 1.49067886 1.46971228 1.46442031 1.46309410 1.46276235Simpson 1.46371076 1.46272341 1.46265632 1.46265203 1.46265176 1.46265175

On constate donc que, pour n = 64, la méthode de Riemann ne donne que deux décimales exactes, laméthode des trapèzes en donne quatre, et la méthode de Simpson en donne neuf.

- 30 -

4– Méthodes de Newton-CotesDans la méthode dite de rang l, on subdivise [a, b] en l + 1 points équidistants (y compris a et b).Les coefficients λ i sont choisis de façon que la formule soit exacte pour les polynômes de degréinférieur ou égal à l. (On peut d'ailleurs montrer que, si l est pair, la formule est encore exacte pourles polynômes de degré l + 1, d'où une préférence pour les méthode de rang pair). On approxime fpar le polynôme de degré inférieur ou égal à l qui coïncide avec f en les l + 1 points choisis. (Voir lespolynômes interpolateurs de Lagrange dans le chapitre L(E-F).PDF).

EXEMPLES :Les valeurs des λ i sont données pour l'intervalle [a, b] = [0, 1], auquel on peut se ramener parchangement de variable.

l = 1. On approxime f par une fonction affine. Il s'agit de la méthode des trapèzes. λ0 = λ1 = 12

l = 2. On approxime f par une parabole, qui coïncide avec f en a, en b, et en a + b2

. λ0 = λ2 = 16,

λ1 = 23. Il s'agit de la méthode de Simpson. A noter que la formule :

⌡⌠

a

b f(t) dt = (b – a) [1

6 f(a) + 2

3f(a + b

2) + 1

6f(b)]

est équivalente au fait que l'aire du segment de parabole est égale à 43 de l'aire du triangle ABC,

propriété de la parabole déjà connue d'Archimède.

B

A C

La formule de Simpson est en fait exacte pour les polynômes de degré 3.

Sur une subdivision, on obtient la formule : b – a

6n [f(a) + 4f(a1) + 2f(a2) + 4f(a3) + 2f(a4) + ... + 4f(a2n–1) + f(b)]

où ak = a + k(b – a)2n

. L'erreur est majorée, pour f de classe C4, par M(b–a)5

2880n4, où M est un majorant de

f(4) .

l = 4. Il s'agit de la méthode de Boole–Villarceau. On approxime f par un polynôme de degré 4.

λ0 = λ4 = 790

, λ1 = λ3 = 1645

, λ2 = 215

l = 6. Il s'agit de la méthode de Weddle–Hardy. On approxime f par un polynôme de degré 6.

λ0 = λ6 = 41840

, λ1 = λ5 = 935

, λ2 = λ4 = 9280

, λ3 = 34105

- 31 -

Pour l ≥ 8 apparaît des coefficients λ i négatifs, ce qui les rend plus sensibles aux erreurs d'arrondis.Elles ne sont donc pas utilisées.

5– Méthodes de Gaussw étant une fonction donnée, on considère :

⌡⌠

a

b

f(t)w(t) dt

qu'on cherche à approximer par ∑i

λ i f(xi), mais ici, les points ne sont pas équirépartis. S'il y a l + 1

points à choisir, il existe un choix unique tel que la méthode soit exacte pour f polynomiale de degré2l + 1. Pour le même nombre de points, la méthode est donc plus précise que celle de Newton–Cotes. On montre que les xi sont les racines du l + 1ème polynôme orthogonal pour le produit scalairedéfini par :

<f,g> = ⌡⌠

a

b

f(t)g(t)w(t) dt

EXEMPLE : GAUSS-LEGENDREOn prend ici w = 1 sur [–1, 1]. Les polynômes dont les xi sont racines sont les polynômes deLegendre. Voici un tableau donnant le polynôme de Legendre, ses racines xi, les coefficients λ i

correspondants.

l polynôme xi λ i

0 x 0 21 x2 – 1

3± 1

31, 1

2 x3 – 35 x 0, ± 3

559, 89, 59

3 x4 – 67 x2 + 3

35 ± 37 ± 2

765

12 ± 1

6 5

6

GAUSS–TCHEBYCHEV :

On prend ici w(x) = 11 – x2

sur [–1, 1]. Les polynômes dont les xi sont racines sont les polynômes de

Tchebychev. On montre que les xi et λ i valent :

xi = cos (2i + 12l + 2

π) λ i = πl + 1

0 ≤ i ≤ l

6– DiversVoici enfin une dernière formule, sur [–1,1] qu'on pourra comparer aux formules précédentes.

4675

f(0) + 26 – 6 575

[f(x1) + f(–x1)] + 26 + 6 575

[f(x2) + f(–x2)]

avec x1 = 5 + 58

et x2 = 5 – 58

- 32 -

Annexe II : les intégrales de Riemann, de Lebesgue et de Kurzweil-HenstockNous avons introduit l'intégrale de Riemann d'une fonction par encadrement par des fonctions enescalier. On peut également trouver dans la littérature une autre définition possible de l'intégrale deRiemann, équivalente à celle que nous avons donnée, et utilisant les sommes de Riemann. La voici :

Une subdivision marquée D d'un intervalle [a, b] est la donnée d'une subdivisionx0 = a < x1 < ... < xn = b et pour chaque [xi–1, xi], d'une valeur ti dans cet intervalle. A cette

subdivision et à une fonction f, on associe la somme de Riemann SD = ∑i=1

n

f(ti)(xi – xi–1). La quantité

Max xi – xi–1 est appelé le pas de la subdivision. Une fonction f bornée sur un segment [a, b] estintégrable au sens de Riemann ou R-intégrable, d'intégrale I, si, pour tout ε > 0, il existe δ > 0, telque, pour toute subdivision marquée D de pas inférieur à δ, on a :

SD – I < ε

Dans les sommes de Riemann SD = ∑i=1

n

f(ti)(xi – xi–1) définies ci-dessus, on majore les xi – xi–1 par une

constante δ. L'idée de Kurzweil et Henstock est de remplacer cette constante par une fonctionstrictement positive δ, calculée au point ti. Une subdivision marquée est plus fine que δ si, pour touti, xi – xi–1 < δ(ti). Un lemme, appelé lemme de Cousin, montre que, pour toute fonction δ, il existedes subdivisions marquées plus fines que δ. L'intégrale de Kurzweil et Henstock est définie commesuit :

Une fonction f bornée ou non sur un segment [a, b] est intégrable au sens de Kurzweil et Henstockou KH-intégrable, d'intégrale I, si, pour tout ε > 0, il existe une fonction strictement positive δ,telle que, pour toute subdivision marquées D plus fine que δ, on a :

SD – I < ε

On constate que la différence de définition par rapport à l'intégrale de Riemann est minime. Dansl'intégrale de Riemann, δ est un nombre, alors que dans la KH-intégrale, c'est une fonction.Cependant, la KH-intégrale est beaucoup plus puissante.• Toute fonction R-intégrale est KH-intégrable avec la même intégrale. Mais la réciproque est

fausse. La fonction de Dirichlet, valant 0 sur les irrationnels et 1 sur les rationnels, est KH-intégrale mais pas R-intégrable.

• f et f sont KH-intégrables si et seulement si f est Lebesgue-intégrable. Nous n'avons pas donné

de définition de l'intégrale de Lebesgue, mais cette propriété montre que la dite définition pourraitêtre ignorée au profit de la KH-intégrale.

• Si F est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[, alors F' est KH-intégrable mais pas

nécessairement R-intégrable et F(b) – F(a) = ⌡⌠

a

b F '(t) dt. Réciproquement, si f est KH-intégrable,

on peut définir F(x) = ⌡⌠

a

x f(t) dt. F est alors dérivable en tout point où f est continue, et F'(t) = f(t)

en un tel point. On n'a pas besoin de supposer F' continue dans la KH-intégrale.

- 33 -

• Il n'est pas nécessaire de définir de KH-intégrale généralisée dans le sens où ⌡⌠

a

b f(t) dt = lim

c→a

⌡⌠

c

bf(t) dt pour une fonction définie sur un intervalle ]a, b]. Si f est KH-intégrable sur [a,b], alors

elle l'est sur tout [c, b] avec c > a et les deux membres sont égaux (comme pour l'intégrale deRiemann : c'est la continuité de l'intégrale fonction de la borne inférieure). Mais inversement, si fest KH-intégrable sur tout [c, b] avec c > a et si le membre de droite existe, alors f est KH-intégrable sur [a, b] et les deux membres sont égaux. Pour l'intégrale de Riemann, le membre dedroite sert à définir le membre de gauche dans les cas dits impropres ou généralisés (cf cours dedeuxième année)

Nous nous bornerons à considérer comme exemple la fonction de Dirichlet sur [0,1], valant 0 sur lesirrationnels et 1 sur les rationnels. Cette fonction n'est pas intégrable au sens de Rieman, car si Φ etΨ sont des fonctions en escalier vérifiant Φ ≤ f ≤ Ψ, alors Φ ≤ 0 et Ψ ≥ 1, de sorte que :

S = Sup⌡⌠

0

1

Φ(t) dt | Φ en escalier et Φ ≤ f = 0

I = Inf ⌡⌠

0

1

Ψ(t) dt| Ψ en escalier et f ≤ Ψ = 1

S et I ayant des valeurs différentes, l'intégrale de f n'est pas définie au sens de Riemann. Elle estpourtant définie au sens de Kurzweil et Henstock, et vaut 0. Pour cela, nous avons besoin d'admettreque les rationnels peuvent être dénombrés et numérotés sous la forme q1, q2, ..., qn, ... Soit ε > 0. On

définit δ(qn) = ε2n et pour x irrationnel, δ(x) = 1. Soit une subdivision D définie par x0 = 0 < x1 < ... <

xn = 1 marquée par des points ti éléments de [xi–1, xi] plus fine que δ. Dans la somme de Riemann

associée SD = ∑i=1

n

f(ti)(xi – xi–1), seuls les ti rationnels ont une contribution puisque les ti irrationnels

vérifient f(ti) = 0. D'où SD = ∑ (xi – xi–1), la somme étant prise sur les indices i tels que ti soientrationnels. Mais alors on a :

xi – xi–1 < δ(ti) = ε2n pour le n tel que ti = qn.

Il en résulte que 0 ≤ SD = ∑ xi – xi–1 < ∑ ε2n, la dernière somme étant prise sur les indices n tels que qn

soit égal à l'un des ti. On peut majorer cette somme par ∑n=1

∞ ε2n = lim

N→+∞ ∑n=1

N

ε2n = ε. On a ainsi prouvé

que :

SD – 0 < εet que la KH-intégrale de f est nulle.