integration of correspondences

8/7/2019 integration of correspondences

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INTEGRATION OF CORRESPONDENCES

GERARD DEBREU

U N I V E R S I T Y OF C A L I F O R N I A , BERKELEY

1 . I n t r o d u c t i o n

T h e t r a d i t i o n a l e c o n o m i c c o n c e p t o f a s e t o f a g e n t s , e a c h o f w h i c h c a n n o t

i n f l u e n c e t h e o u t c o m e o f t h e i r c o l l e c t i v e a c t i v i t y b u t c e r t a i n c o a l i t i o n s o f w h i c h

c a n i n f l u e n c e t h a t o u t c o m e , h a s r e c e n t l y r e c e i v e d i t s p r o p e r m a t h e m a t i c a l f o r -m u l a t i o n b y m e a n s o f m e a s u r e t h e o r y . A f t e r J . W. M i l n o r a n d L . S . S h a p l e y [ 3 2 ]h a d c o n s i d e r e d i n 1 9 6 1 a g a m e w i t h a m e a s u r e s p a c e o f p l a y e r s ( s e e a l s o [ 3 9 ] ,[ 4 1 ] , [ 4 0 ] , [ 1 3 ] , [ 3 3 ] ) , i n a n a r t i c l e [ 2 ] p u b l i s h e d i n 1 9 6 4 , R . J . Aumann s h o w e d

how t w o b a s i c c o n c e p t s f o r a n e c o n o m y , n a m e l y t h e s e t o f c o m p e t i t i v e a l l o c a -t i o n s a n d t h e c o r e , c o i n c i d e w h e n t h e s e t o f c o n s u m e r s i s a n a t o m l e s s p o s i t i v ef i n i t e m e a s u r e s p a c e . A n o t h e r s o l u t i o n o f t h i s e q u i v a l e n c e p r o b l e m b a s e d o n

L y a p u n o v ' s t h e o r e m [ 2 8 ] w a s t h e n g i v e n b y K . V i n d [ 4 2 ] . I n t h e l i g h t o f t h i sr e s u l t , m e a s u r e t h e o r y i n d e e d a p p e a r s a s t h e i l a t u r a l c o n t e x t i n w h i c h t o s t u d y

e c o n o m i c c o m p e t i t i o n . ( T h e c o n c e p t o f a c o n t i n u u m o f a g e n t s h a s a l s o b e e n

u s e d i n e c o n o m i c t h e o r y f o r d i f f e r e n t p u r p o s e s b y R . G . D . A l l e n a n d A . L .B o w l e y ( [ 1 ] , p p . 1 4 0 - 1 4 1 ) a n d H . S . H o u t h a k k e r [ 2 3 ] . )

N o w , g i v e n a f i n i t e s e t A o f a g e n t s a n d a r e a l B a n a c h s p a c e S ( t h e c o m m o d i t y

s p a c e ) , a s t a n d a r d o p e r a t i o n i n t h e a n a l y s i s o f e c o n o m i c e q u i l i b r i u m c o n s i s t so f a s s o c i a t i n g w i t h e v e r y e l e m e n t a o f A a n o n e m p t y s u b s e t s p ( a ) o f S , t h a t i s ,o f d e f i n i n g a c o r r e s p o n d e n c e s o f r o m A t o S i n B o u r b a k i ' s [ 9 ] t e r m i n o l o g y , a n d

o f t a k i n g t h e s u m E a e A ( p ( a ) = { z E S I z = F 2 a G A f ( a ) f o r s o m e f u n c t i o n f

f r o m A t o S s u c h t h a t , f o r e v e r y a E A , f ( a ) G < ( a ) } .I n t h e n e w m e a s u r e - t h e o r e t i c c o n t e x t , t h e s e t A o f a g e n t s i s a n a r b i t r a r y s e t ;

t h e s e t a o f c o a l i t i o n s i f a a - f i e l d o f s u b s e t s o f A ; a c o u n t a b l y a d d i t i v e n o n -

n e g a t i v e r e a l - v a l u e d f u n c t i o n v i s d e f i n e d o n a w i t h t h e i n t e r p r e t a t i o n t h a t , f o r

a c o a l i t i o n E e a , v ( E ) i s t h e f r a c t i o n o f t h e t o t a l i t y o f a g e n t s c o n t a i n e d i n E .

I n t h i s c o n t e x t t h e sum F 2 a e A ( p ( a ) m u s t b e r e p l a c e d b y t h e i n t e g r a l f A s p d v o f

t h e c o r r e s p o n d e n c e s o . T h u s i t b e c o m e s n e c e s s a r y t o d e f i n e t h i s i n t e g r a l a n d t os t u d y i t s p r o p e r t i e s , i n o r d e r t o b e a b l e t o r e f o r m u l a t e t h e t h e o r y o f e c o n o m i c

e q u i l i b r i u m . I n [ 3 ] , Aumann h a s m a d e t o t h i s p r o b l e m a f u n d a m e n t a l c o n -

t r i b u t i o n w h i c h t h i s a r t i c l e p r o p o s e s t o e x t e n d i n s e v e r a l d i r e c t i o n s . Th e f i r s t

e x t e n s i o n a i m s a t r e p l a c i n g h i s a s s u m p t i o n t h a t t h e s e t o f a g e n t s i s a n a n a l y t i cs e t b y t h e a s s u m p t i o n t h a t i t i s a m e a s u r a b l e s p a c e . From t h e v i e w p o i n t o f e c o -

n o m i c i n t e r p r e t a t i o n , t h i s g e n e r a l i z a t i o n i s i m p o r t a n t , f o r t h e i d e n t i f i c a t i o n o f

I w i s h t o t h a n k t h e N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n a n d t h e O f f i c e o f N a v a l R e s e a r c h f o rt h e i r s u p p o r t o f t h i s w o r k .

3 5 1



3 5 2 FIFTH BERKELEY SYMPOSIUM: DEBItEU

e c o n l o m i c a g e n l t s w i t h p o i n i t s o f a n i a n a l y t i c s e t s e e i i m s a r t i f i c i a l , u n i l i k e t h e a s s m i p -

t i o n s t h a t e v e r y c o u n t a b l e u n i o i n o f c o a l i t i o n i s i s a c o a l i t i o n a n d t h a t t h e c o m p l e -

m e n t o f e v e r y c o a l i t i o n i s a c o a l i t i o n . T h e s e c o n d e x t e n s i o n c o n s i s t s o f i n t r o d u c i n g

t h r e e c r i t e r i a f o r t h e m e a s l u r a b i l i t y o f a c o r r e s p o n d e n i c e i n a d d i t i o n t o t h e c r i -

t e r i o n u s e d b y A u m n a n n , t h e f o u r c r i t e r i a b e i i n g e s s e n t i a l l y e q u i v a l e n t . S i n c e i nt h e v a r i o u s s i t u a t i o n s e n c o u n i t e r e d i n t he t h e o r y o f i n t e g r a t i o n o f c o r r e s p o n d e n c e s

o n e o f t h e s e c r i t e r i a i s o f t e n f a r e a s i e r t o a p p l y t h a n t h e o t h e r s , t h i s f o u r - f o l dd i v e r s i t y i s o f g r e a t c o n v e n i i e n c e . ' I ' h e t l h i r d e x t e n s i o n i a t t e m p t s t o r e l a x t h e a s -s u m p t i o n o f f i n i t e d i m e n s i o n a l i t y o f t h e s p a c e S .

A s i d e f r o m t h e s e e x t e n i s i o n i s , t h i s w o r k d i f f e r s f r o m A u m a n n i i ' s i n i t s a p p r o a c l hw h i c h t r e a t s t h e t h e o r . y o f i n i t e g r a t i o n i o f c o r r e s p o n d e n c e s a s a p a r t i c u l a r c a s eo f t h e t h e o r y o f i n t e g r a t l i o n o f f t u n c e t i o n i s . Th e r e a s o n s t h a t make s u c h a t r e a t m e l n t

p o s s i b l e can b e o u t l i n i e d h e r e .A s s u m e t h a t f o r e v e r y a E A , p ( a ) i s c o m p a c t a n d c o n v e x . Th e c o r r e s p o n l d e n i c e

s o f r o m A t o S c a n b e c o i i s i d e r e d a s a f u n c t i o n f r o m A t o t h e s e t £ o f n o n e m p t y ,c o m p a c t , c o n v e x s u b s e t s o f S . A s P r i c e [ 3 4 ] ( a r e f e r e n c e f o r w h i c h I t h a n k L . L e

C a m ) h a s r e m a r k e d , t h e p r o p e r t i e s o f t h e s e t £ e n d o w e d w i t h t h e H a u s d o r f f

m e t r i c a r e s u c h t h a t t h e t h c o r y o f i n t e g r a t i o n i o f f u i n c t i o n i s f r o m A t o a r e a lB a n a c h s p a c e c a n e a s i l y b e t r a n s p o s e d i n t o a t l h e o r y o f i n t e g r a t i o n i o f f t u n i e t i o n sf r o m A t o 2 . A c t t a l l y , o i n e c a n g o f u r t h e r a n d , f o l l o w i i n g R A d s t r d m [ 3 5 ] , e m b e d£ i n a r e a l B a n a c h s p a c e Z . T h e t r a n s p o s i t i o n t h e n i b e c o m e s u n n i i e c e s s a r y .

T h e p r e c e d i n g p r o g r a i n r e q u i r e s t h e s e t ( p ( a ) t o b e c o m p a c t a n d c o n v e x l o re v e r y a e A . H o w e v e r , i f t h e s p a c e S i s f i n i t e - d i m e n l s i o n i a l , t h e c o n v e x i t y a s s u n m p -t i o n i s i n e s s e n i t i a l , a n i d a t h e o l y o f i n t e g r a t i o l n o f c o m p a c t - v a l u e d c o r r e s p o n d e n c e s

i s a c t u a l l y o b t a i n e d . ( i v e n t h e n e e d s o f t h e a n i a l y s i s o f e c o n o m i c e q u i l i b r i u m

f o r w h i c h t h e p r e s e n t t h e o r y o f i n t e g r a t i o n o f c o r r e s p o n d e n c e s i s d e v e l o p e d , t h e

t w o r e s t r i c t i o n s o f f i n i i t e - d i m e n i s i o n i a l i t y o f S a i i d o f c o m n l ) a c t n e s s o f s o ( a ) f o re v e r y a e A d o n i o t s e e m t o b e s e v e r e .

T h i s a r t i c l e i s o r g a n i z e d i n t h e f o l l o w z i n i g m n a i m m e r . I i i s e c t i o n 2 , S i s a s s u m e d l

t o b e a n a r b i t r a r y m e t r i c s p a c e ; t h e H a u s d o r f f d i s t a n i c e o n t h e f a m i l y o f n o n i -e m p t y s u b s e t s o f S i s s t u d i e d . S e c t i o n i 3 r e v i e w v s c e r t a i i n g e n e r a l i t i e s a b o u t m e a s -

u r e t h e o r y r a n g i n i g f r o m t h e u n i v e r s a l l y k n o w n i ( i n w h i c h c a s e o u r p u r p o s e i s t od i s p e l a m b i g u i t i e s i n t e r m i n o l o g y a n d n o t a t i o n ) t o t h e a l m o s t u n k n o w n . S e c t i o n 4

i s d e v o t e d t o t h e q u e s t i o n o f m e a s u r a b i l i t y o f c o m p a c t - v a l u e d c o r r e s p o n d e n c e s

f r o m A t o S ; a m o n g i t s m a i n r e s u l t s a r e p r o p o s i t i o n s e s t a b l i s h i n g c o n n i e c t i o n i s

b e t w e e n i t h r e e o f t h e m c a s u r a b i l i t y c r i t e r i a f o r c o r r e s p o n d e n c e s m e n t i o n e de a r l i e r , a n i d a m e a s u r a b i l i t y t h e o r e m n o f c e n t r a l i m p o r t a n c e f o r e q u i l i b r i u m a n a l -y s i s . I l s e c t i o n 5 , S i s r e s t r i c t e d t o b e a n o r m e d r e a l v e c t o r s p a c e ; t h e f a m i l y £

o f i t s n o n e n i ) t y , c o m p a c t , c o n v e x s u b s e t s e n d o w e d w i t h t h e H a u s d o r f f m e t r i c

a n d w i t h t h e o p e r a t i o n s o f a d d i t i o n o f t w o e l e m e n i t s a n i d o f m u l t i p l i c a t i o n o f a n ie l e m e n t b y a n o n n i i e g a t i v e r e a l n u m b e r i s t h e n i e m b e d d e d i n a r e a l B a n a c h s p a c e

2 ; t h e f o u r t h m e a s u r a b i l i t y c i i t e n i o m i f o r c o r r e s p o n d e n c e s , s p e c i a l l y d e s i g n e d f o r

c o n v e x - c o m p a c t - v a l u e d c o r r e s p o n d e n c e s , i s d i s c u s s e d . S e c t i o n 6 f u r t h e r r e s t r i c t sS t o b e a r e a l B 3 a n i a c h s p a c e ; i t i s c o n c e r n e d w i t h t h e p r o b l e m o f i n i t e g r a t i n i g



I N T E G I R A T I O N OF CORtRESPONDENCES 3 5 3

c o n v e x - c o m n p a c t - v a l u e d c o r r e s p o n d e n c e s f r o m A t o S . S e c t i o n i 7 p u t s t h e f i n a l

r e s t r i c t i o n o f f i n i t e - d i m e n s i o n a l i t y o n l S a n d s t u d i e s t h e i n t e g r a t i o n o f c o m p a c t -

v a l u e d c o r r e s p o n i d e n c e s f r o m A t o S .E x t e n s i v e w o r k h a s b e e n d o n i e i t ) s t a t i s t i c s b y B l a c k w e l l [ 7 ] , [ 8 ] , C h e r n i o f f [ 1 2 ] ,

D v o r e t z k y , W a l d , W o l f o w i t z [ 1 7 ] , [ 1 8 ] , [ 1 9 ] , K a r l i n [ 2 4 ] , Kudo [ 2 5 ] , a n i dR i c h t e r [ 3 6 ] , [ 3 7 ] ( I o w e t h e s e t w o r e f e r e n c e s t o K . V i n l d ) o l n m a t h e n m a t i c a l

p r o b l e m s c l o s e l y r e l a t e d t o t h o s e w i t h w v h i c h t h i s a r t i c l e d e a l s . W i t h t h e e x c e p -

t i o n o f t h e r e f e r e t i c e s m i i a d e b e l o w t o c e r t a i n p o i n i t s o f t h e s e c o n i t r i b u t i o n i s , n l o

a t t e m l ) t w i l l b e m n a d e t o c o n m p a r e i n i d e t a i l t h e m a t h e m i i a t i c a l r e s u l t s t h a t w e r e

o b t a i n i e d i n t h e t w o l i n e s o f d e v e l o p m n e n t , t h e s t a t i s t i c a l o n e a i n d t h e e c o n o m i c

o n i e . I t m i i a y b e n i o t e d t h a t a m i i o n i g t h e p r o p o s i t i o n s r e ( l u i r e d b y t h e e c o l n o m i ct h e o r y a p p e a r g e n i e r a l i z a t i o n i s o f s e v e r a l r e s u l t s o f t h e s t a t i s t i c a l t h e o r y .

T h i s p a p e r r e p l r e s e n t s a l a y i n g u p ) o f m i i a n i y s t r a n i d s , a s t h e b i b l i o g r a p h y a l o n l ei n i d i c a t e s , a n i d i t c o u l d n l o t h a v e a c h i e v e d i t s l p r e s e l l t f o r m n w i t h o u t t h e c o n v e r s a -

t i o n s I h a d w i t h e c o n o o m i s t s , m a t h e m a t i c i a n s , a n i d s t a t i s t i c i a n s o v e r t h e l a s ty e a r , a n i d p a r t i c u l a r l y , w i t h I t . J . A u m n a n n i , S . K a k u t a n i , R . R a d n e r a n d K .

V i n d d u r i n i g t h e s u m m e r o f 1 9 6 4 . I a l s o w i s h t o a c k n i o w v l e d g e c e r t a i n s p e c i f i cd e b t s o f t h i s a r t i c l e t o A u m n a n n i i [ 3 ] . S e v e r a l o f t h e a r g u m i e n t s b e l o w t h a t a p ) p e a lt o h i s c r i t e r i o n i f o r t h e m l e a s u r a l ) i l i t y o f a c o r r e s p o n d e n i c e , n i a m e l y t h e m e a s -

u r a b i l i t y o f i t s g r a p h , h a v e b e e n s u g g e s t e d b y [ 3 ] o r b y h i m s e l f . O n l t h e o t h e r

h a n i d , t l i e p r o o f s o f l ) r o p ) o s i t i o l l s ( 6 . 5 ) a n i d ( 7 . 2 ) u s e i d e a s o f t h e p r o o f s o f t h e

c o r r e s l ) o n ( l i n g l ) r o p o s i t i o n s i n [ 3 ] .

2 . H a u s d o r f f d i s t a n c e

T h r o u g h o u t t h i s a r t i c l ( , S d e t i o t e s a f i x e d s c t w i t h a m e t r i c s a n d 3 x d e o l t c s t h ef a t i l y o f t h e n o n e m n p t y , c o t m l p a l c t s u b s e t s o f S , a ( d S d e f l n o t e s t h e B o r e l a - f i e l d o f S ,t h a t i s , t h e a - f i e l d g e n t e r a t e ( l b 1 y t h e o p e n , s u i b s e t s o f S .

T h e t e r m - i n i o l o g y a i i d t h e i n o t a t i o i n o f N . D t i n f o r d a n i d J . T . S c h w a r t z [ 1 6 ]w i l l b e f o l l o w e d a s c l o s e l y a s p o s s i b l e .

l t o r t w o n o i i e m p t y s u b s e t s X a n i d ) o f S a n i d a p o i n t x o f S , w e d e f i n e

( 1 ) p ( x , 2 ) = i l n f s ( x ' , y ) , p ( X , Y ) = s u l ) p ( x , Y ) .yeY XEX

T h e n i u m b e r p ( X , ) ) i s c a l l e d t h e H a u i s d l o r f f s e p n i d i s t a n c e [ 2 2 ] o f X a n i d } .I t e n l j o y s h l i e f o l l o w v i n i g t I v o p ) r o p e r t i e s ( V d e n o t e s t h e c l o s u r e o f 2 )

( 2 . 1 ) p ( X , ) ) = XxCY;( 2 . 2 ) p ( X , Z ) < p ( X , Y ) + p ( Y , Z ) .

Tue H l a u s d o r f d l i s t a n i c e o f X a i i d Y i s d c f i n i e d b y

( 2 ) 6 ( X , ) ) = m i i a x { p ( X , Y ) , p ( Y , X ) ' ) .

I t s a t i s f i e s

( 2 . 1 ' ) a ( X , Y ) = O X = Y

( 2 . 2 ' ) 6 ( X , Z ) < 5 ( Y , ) ) 6 ( r ' , Z ) .



3 5 4 FIFTH BERKELEY SYMPOSIUM: DEBREU

T h e r e f o r e , a i s a m e t r i c o n X w h i c h i s h e n c e f o r t h e n d o w e d w i t h t h e c o r r e s p o n d i n gm e t r i c s p a c e s t r u c t u r e .

T h e c o n t i n u i t y o f p i s e s t a b l i s h e d b y t h e i n e q u a l i t y

( 2 . 3 )I P ( X ,

Y ) - p ( X ' ,, " ) I

< 6 ( X , X ' ) + 6 ( Y , l ' ) .

P R O O F . A c c o r d i n g t o ( 2 . 2 ) ,

( 3 ) p ( X , Y ) < p ( X , X ' ) + p ( X ' , l ' ) + p ( Y ' , Y ) .

T h e r e f o r e ,

( 4 ) p ( X , Y ) - p ( X ' , Y " ) < p ( X , X ' ) + p ( Y ' , Y ))< ( X , X ' ) + 6 ( Y , Y ' ) .

S i m i l a r l y f o r p ( X ' , " ' ) - p ( X , Y ) , Q . E . D .

T h e n e x t t h r e e r e s u l t s a s s e r t t h a t t h e p r o p e r t i e s o f c o m p l e t e n i e s s , c o m p ) a c t n e s s ,a n d s e p a r a b i l i t y c a r r y o v e r f r o m S t o X ( ( 2 . 6 ) i s a p a r t i c u l a r c a s e o f p r o p o s i t i o n

4 . 5 . 1 o f E . M i c h a e l [ 3 1 ] ) .

( 2 . 4 ) I f S i s c o m p l e t e , t h e n X C i s c o m p l e t e .P R O O F . L e t { X p ' b e a C a u c h y s e q u e n c e o f e l e m e n i t s o f x . T h e r e i s a i l o i -

e m p t y , c l o s e d s u b s e t X o f S s u c h t h a t 6 ( X , X , ) - O 0 ( f o r e x a m p l e , [ 2 7 ] , p p .

3 1 4 - 3 1 5 ) . W e h a v e t o c h e c k t h a t X i s c o m p a c t .

To t h i s e n d i t s u f f i c e s t o p r o v e t h a t X i s t o t a l l y b o u n d e d . T h e r e f o r e l e t e - b e

a s t r i c t l y p ) o s i t i v e r e a l n u m b e r . F o r s o m e p , o n e h a s 6 ( X , X , ) < e / 2 . S i i i e c X ,

i s c o m p a c t , i t c a n b e c o v e r e d w i t h a f i n i t e f a m i l y o f o p e n b a l l s w i t h r a d i u s e / 2 .T h e f i n i t e f a m i l y o f o p e n b a l l s w i t h t h e s a m e c e n t e r s a n d r a d i u s E c o v e r s X ,

Q . E . D .

( 2 . 5 ) I f S i s c o m p a c t , t h e n t S i s c o m p a c t .

T h i s i s a r e s u l t o f H a u s d o r f f ( [ 2 2 ] , l ) . 1 7 2 , p r o p o s i t i o n V 1 I ) .

( 2 . 6 ) I f S i s s e p a r a b l e , t h e n t h e r e i s a c o u n s t a b l e f a m i l y i o f f i n i t e s u b s e t s o J f S

d en s e i n K .

> l l O O F . I , e t - l x ) b e a c o u i i t a b l e d e n s e s u b s e t o f S a n d l e t 9 b e t h e f a m i l yo f t h e n o n e m p t y f i n i t e s u b s e t s o f { x 4 - . C l e a r l y , 9 i s c o u n t a b l e , a n d we n 0 o w

p r o v e t h a t , g i v e n X i n 3 C a n d E > 0 , t h e r e i s Y i n i s u c h t h a t 6 ( X , l Y ) < E .

C o n s i d e r t h e o p e n b a l l s i n S w i t h c e n t e r s i I I { x f l x - , r a d i u s e a n d w h o s e i n t e r s e c -t i o n w i t h X i s n o t e m p t y . T h e y f o r m a c o v e r i n i g o f t h e c o m p a c t s e t X . T a k e a

f i n i t e s u b c o v e r i n g a n d l e t l ' b e t h e s e t o f t h e c e n t e r s o f t h e o p e n b a l l s i n t h a t

s u b c o v e r i n g . T h e s e t l ' b e l o n i g s t o i .G i v e n y E Y , t h e o p e n b a l l w i t h c e n t e r y , r a d i u s e h a s a n o n e m n p t y i n t e r s e c t i o M

w i t h X . T h e r e f o r e p ( y , X ) < e , a n d h e n c e p ( l ' , X ) < e .G i v e n x e X , t h e r e i s y c Y s u c h t h a t x b e l o n g s t o t h e o ) p e n b a l l w i t h c e n l t e r y ,

r a d i u s E . T h e r e f o r e p ( x , Y ) < e ; h e n c e p ( X , Y ) < e , Q . E . D .

3 . C o n c e p t s a n d r e s u l t s o f measure t h e o r y

L e t . 1 I b e a s e t , z b e a a - f i e l d o f s u b s e t s o f 3 1 , 7 ' b e a m e t r i c s p a c e , a n i d 3

b e t h e a - f i e l d g e n e r a t e d b y t h e o p e 1 n s e t s o f Y ' . A f u n c t i o n f f r o m M 1 t o Y ' i s s a i ( I



INTEGRATION OF CORRESPONDENCES 3 5 5

t o b e m e a s u r a b l e w i t h r e s p e c t t o M o r t o b e W - m e a s u r a b l e , i f , f o r e v e r y E E 3 ,

t h e i n v e r s e i m a g e f P I ( E ) o f E b y f b e l o n g s t o M .

L e t M b e a s e t , M z b e a a r - f i e l d o f s u b s e t s o f M, a n d F b e a s e t . A f u n c t i o n f

f r o m M t o F i s s a i d t o b e M - s i m p l e i f t h e r e i s a f i n i t e p a r t i t i o n o f M i n t o s e t s

b e l o n g i n g t o o n s u c h t h a t f i s c o n s t a n t i n e a c h s e t o f t h e p a r t i t i o n .S i n c e [ 1 6 ] w i l l b e u s e d a s a s t a n d a r d r e f e r e n c e , i t m u s t b e p o i n t ed o u t t h a t

t h e s e t w o d e f i n i t i o n s d i f f e r s l i g h t l y f r o m t h o s e o f D u n f o r d a n d S c h w a r t z .

F o r t h e s t a t e m e n t a n d t h e p r o o f o f t h e n e x t r e s u l t w e n e e d t h e f o l l o w i n gn o t a t i o n s :

g i v e n a s u b s e t X o f S,XS= { Y E 3 Q I Y C X } a n dXw = { y e C IY n x o 0 } ;& i s t h e c - f i e l d g e n e r a t e d b y t h e o p e n s e t s o f S C ;E s i s t h e a - f i e l d g e n e r a t e d b y t h e s e t s X 8 w h e r e X i s o p e n i n S ;

8 W i s t h e a - f i e l d g e n e r a t e d b y t h e s e t s Xw w h e r e X i s o p e n i n S ;E\F d e n o t e s t h e s e t o f e l e m e n t s b e l o n g i n g t o E b u t n o t t o F .

A c c o r d i n g t o a n u n p u b l i s h e d t h e o r e m o f D u b i n s a n d O r n s t e i n ,

( 3 . 1 ) 8 8 C 8 a n d 8 w C 8 . I f S i s s e p a r a b l e , t h e n 8 8 = W = & .

P R O O F ( D u b i n s a n d O r n s t e i n ) . W e f i r s t e s t a b l i s h t h a t i f X i s o p e n i n S ,t h e n X I a n d Xw a r e o p e n i n X .To s e e t h a t X s i s o p e n i n 3 C , c o n s i d e r a n a r b i t r a r y e l e m e n t Y o f X 8 , n a m e l y ,

Y e 3 C a n d Y C X . T h u s Y n ( s \ x ) = 0. E x c l u d e t h e t r i v i a l c a s e X = S ;s i n c e S \ X i s c l o s e d , e v e r y p o i n t o f Y i s a t a s t r i c t l y p o s i t i v e d i s t a n c e f r o m S\Xa n d t h e n u m b e r e = m i n Y E y P ( y , S \ X ) i s s t r i c t l y p o s i t i v e . E v e r y Z e 3 C f o rw h i c h 5 ( Z , Y ) < e s a t i s f i e s Z n ( s \ X ) = 0 , h e n c e Z e X , .

To s e e t h a t Xw i s o p e n i n 3 C , c o n s i d e r a n a r b i t r a r y e l e m e n t Y o f X w , t h a t i s ,Y e 3 C a n d Y n X $ ! 0 . S e l e c t a p o i n t x E Y n X . T h e r e i s i n S a n o p e n

b a l l w i t h c e n t e r x , r a d i u s e > 0 t h a t i s c o n t a i n e d i n X . E v e r y Z E 3 c f o r w h i c h

6 ( Y , Z ) < E i n t e r s e c t s t h a t b a l l , h e n c e Z n f X # 0 a n d Z e X w .

T h u s f o r e v e r y X o p e n i n S , o n e h a s X 8 E 8 a n d Xw E 8 . C o n s e q u e n t l y ,

( i ) 8 8 C & a n d C E .

H a v i n g e s t a b l i s h e d t h e f i r s t a s s e r t i o n , we now a s s u m e t h a t S i s s e p a r a b l e .G i v e n a n o n e m p t y s u b s e t X o f S a n d E > 0 , we d e n o t e b y ( X ; E ) t h e o p e n s e t{ x E S l p ( x , X ) < f } a n d b y [ X , e ] t h e c l o s e d s e t { x E S l p ( x , X ) < e } .

I f Y b e l o n g s t o X , t h e n

( 5 ) Y C ( X ; e ) X p ( Y , X ) < E a n d Y C [ X ; f ] X p ( Y , X ) < E .

G i v e n X E 3 e a n d E > 0 , we i n t r o d u c e t h e f u r t h e r n o t a t i o n

( 6 ) ( X ; E ) w = { Y E X c l X C ( Y ; e ) } = { Y e X | j p ( X , Y ) < e l ,

[ X ; e ] = { Y E 3 C l x C [ Y ; e ] } = { Y E 5 I p ( X , Y ) <}.

W e w i l l a l s o n e e d t h e r e m a r k t h a t( i i ) f o r e v e r y s u b s e t X o f S , W C \ X O = ( S \ X ) w a n d 3 C \ X w = ( S \ X ) 8 .

P R O O F O F ( i i ) . T h e f o l l o w i n g r e l a t i o n s h o l d :



3 5 6 FIFTH B E R K E L E Y SYMPOSIUM: D E B R E U

7 ) z \ x =3X=e j X } = Y c x 1 Y n ( S \ X ) # 0 , = ( S \ X ) - ,(7)\ X t v = , exY n X = = ( ) V e x i C Y C ( S \ X ) } (S\X),

Q . E . D .

The s p a c e S i s s e p ) a r a l ) l e ; t h e r e f o r e , a c c o r - d i n i g t o ( 2 . 6 ) , X i s s e p a r a b l e . C o i i -s e ( i u e i l t l y , t h e o p e ni b a l l s o f X g e i e r a t e 1 l h e o - f i e l d F , . H o w e v e r , i n X , t h e o p e nb a l l w i t h c e i i t e r X , r a d i t i s e i s

( 8 ) { 1 Y 5 C p ( X , Y) < E a n i d p ( 1 , X ) <K) = ( X ; e ) , , n ( X ; e ) ' .

T h u s , i n o r d e r t o c o m l ) l e t e t h e p r o o f o f t h e t h e o r e m , i t s u f f i c e s t o e s t a b l i s l

( i i i ) ( X ; E ) , , GC , ( X ; e ) e G & ' , ( Y ; E ) , , e £ " , ( X ; E ) C U " ,

f o r t h i s i m p l i e s t h a t e v e r y o p e n b a l l i n 3 C b e l o n i g s t o 8 U a ( l d t o V l , w h i c h i m p l i e si n i t u r n i

( i v ) g C ; 8 ad g ) Cg'

T h e p r o o f o f ( i i i ) c o n s i s t s o f t h e s e r i e s o f a s s e r t i o i i s ( v ) - ( x ) :

( v ) ( X ; f ) C F ,

b e c a u s e ( X ; E ) i s o l ) e n ;

( v i ) [ X ; ( ] C F "

b e c a u s e , b y ( i i ) , W \ [ X ; = ( S \ [ X ; E ] ) t a I l ( l [ X ; e ] i s c l o s e d ;

( v i i ) [ E ; E ] W C U . s

b e c a u i s e , b y ( i i ) , X \ [ X ; E ] = ( S \ [ X ; E ] ) ' a n d [ X ; E ] i s c l o s e d ;

( v i i i ) [ K ; e ] " C £ "

b e c a u s e i f f E , } i s a s t r i c t l y d e c r e a s i n i g s e ( u e n c e c o n v e r g i n i g t , o E , o l n e h a s [ X ; E ]

o 1 C x i l n [ x ; E ] $ d 0 , = { 1 Y C x l t h e r e i s y C Y s u c h t h a t p ( y , X ) < e .1 3 y a n i m m e d i a t e c o m i p a c t n e s s a r g u m e n t o n Y , t h e l a s t s e t i s s e e n t o e q u a l

{ ' C 3 C I f o r e v e r y p , t h e r e i s y C Y s u c h t h a t p ( y , X ) < e p } w h i c h , i n t u r n ,

e ( q u a l s n l { Y C x l t h e r e i s y e Y s u c h t h a t p ( y , X ) < e p = n(X; e , ) 1 " . How-

e v e r , e v e r y ( X ; e p ) i s o p e n . T h e r e f o r e , e v e r y ( X ; e p ) u b e l o n g s t o F " 1 1 a n d s o d o e s

t h e i r c o u n t a b l e i n t e r s e c t i o n . T h e f o l l o w i i n g a s s e r t i o n a l s o h o l d s :

( i x ) [ K ; e ] , v e £ a n d [ X ; E ] , , C U " ; .

T o p r o v e ( i x ) , c o n i s i d e r a c o u n i t a b l e d e n i s e s u b s e t ' . x r p o f X . ( G i v e n a n o i n e m p t y

s u b ) s e t Y o f S , o n e h a s [ p ( r , 1 ) < E f o r e v e r y x C X ] [ p ( x . , Y ) < e f o re v e r y p ] .

T h e r e f o r e , [ X ; E ] , , , = ( C 3 C I p ( X , 1 ) < e = eY 3 d f o r e v e r y p , p ( x p , 1 Y )

< e ) = f l p { Y C X I p ( x . , Y ) < E ) = n p [ X p ; e H o w e v e r , [ x p ; e ] , . = [ X p ; e ] "

N h i e i h b e l o n g s t o F , U b y ( v i i ) a n d t o U " b I ) y ( v i i i ) .

( x ) I J { e } i s a s t r i c t l y i n c r e a s i n i g s e q i i e n c e c o n v e r g i i n g t o e , t h e n ( X ; e ) ' =

U , [ X ; E P ] s a n d ( K ; e ) ) , v = U p [ X ; E , , ] , e

b e c a u s ( e ( X ; e ) , = - Y e x j p ( Y , X ) < e ) = {IG f o r s o m e p , p ( ) l , X ) < e E , 2 =



INTEGRATION OF CORRESPONDENCES 357

U P { , Y ) E J C I p ( Y , X ) : P = U P [ X ; , ] , a n d ( X ; ) { = J C L P ( X , Y ) < e{ Y X 3 C I f o r s o m e p , p ( X , Y ) < e } UpY E C I p ( X , Y ) ) < P } - U[X; f p ] " t -

T h e a s s e r t i o n s ( x ) a n d ( v i ) e s t a b l i s h t h a t ( X ; E ) a e 8 W ; ( X ) a i n d ( i x ) e s t a b l i s ht h a t ( X ; E ) , E 8 ; a n d ( X ; e ) 1 , 8e ; ( v ) a s s e r t s t h a t ( X ; f E ) , F" , Q . E . D .

L e t M b e a s e t , Z b e a a - f i e l d o f s u b s e t s o f M, a n d L b e a f i n i t e - d i m e n i s i o n a lt o p o l o g i c a l r e a l v e c t o r s p a c e . A m e a s u r e A d e f i n e d o n M w i t h v a l u e s i n L i s a

f u n i c t i o n f r o r m M I t o L s u c h t h a t , f o r e v e r y s e q u e i i c e { E n } o f p a i r w i s e d i s j o i n i t

e l e m i i e n t s o f Y , o n e h a s E _ n = I M ( E n ) = s ( U n = I E n ) . A g a i n t h i s d i f f e r s s l i g h t l yf r o m t h e t e r m i n o l o g y o f [ 1 6 ] .A s e t E i n J I i s a n a t o m f o r t h e m e a s u r e j A i f A L ( E ) $ 0 a n i d [ F E ' M , F C E ]

[ , u ( F ) = 0 o r , I ( E \ F ) = 0 ] . T h e f o l l o w i n g t h e o r e m i s d u e t o L y a p u n o v [ 2 8 ] , [ 2 9 ]( s e e a l s o [ 2 1 ] a n d [ 1 5 ] ) .

( 3 . 2 ) Y ' h e r a n g e o f M A i s c o m p a c t . I f A h a s n o a t o m , t h e n t i t s r a n g e i s a l s o c o n i v e x .

N o t e : i n t h e r e m a i n d e r o f t h i s s e c t i o n t h e v a l u e s o f j u a r e a s s u m e d t o b e r e a l a n i dn o n n e g a t i v e .

W e h a v e t h e r e s u l t ( s e e , f o r i n s t a i n c e [ 6 ] ) t h a t

( 3 . 3 ) 2 1 1 c a n b e p a r t i t i o n e d i n t o a c o u n t a b l e f a m i l y o f a t o m s a n d a n a t o m l e s s p a r t .

( T h e s e t o f a t o m s a n d / o r t he a t o m l e s s l ) a r t may b e e m ) p t y ) .A s u b s e t E o f M i s s a i d t o b e n u l l i f t h e r e i s F G f s u c h t h a t j u ( F ) = 0 a n d

E C F . An a s s e r t i o n a b o u t t h e e l e m e n t s o f 3 1 i s s a i d t o b e t r u e a l m o s t e v e r y w h e r e ,o r f o r a l m o s t e v e r y e l e m e n t o f M, i f i t i s t r u e e x c e p t f o r t h e e l e m e n t s o f a n u l l

s e t . T h e L e b e s g u e e x t e n s i o n o f ' i s t h e f a m i l y M* o f t h e s e t s o f t h e f o r m E U F

w h e r e F b e l o n g s t o 1 a n d F i s a n u l l s u b s e t o f M.G i v e n n s e t s M l , * * , A l , a n d f o r e v e r y j = 1 , * * * , n a f a m i l y R , ) j o f s u b s e t s

o f . 1 j , we d e n o t e b y M 1 X . * . X M, t h e f a m i l y o f t h e s u b s e t s o f M I 1 X . * . X M , ,o f t h e f o r m E l X . . . X E , , w h e r e E % j E 9 j f o r e v e r y j = 1 , - * * , n . T h i s i s s t i l l

a n o t h e r s l i g h t d e p a r t u r e f r o m t h e n o t a t i o n i o f [ 1 6 ] . G i v e n a s e t A l a n d a f a m i l y

I Z o f s u b s e t s o f M, w e d e n o t e b y 6 ( 9 T ) t h e u - f i e l d g e n e r a t e d b y M I Z . F i i i a l l y ,we d e n o t e t h e p r o j e c t i o n o n M o f a s u b s e t E o f M X S b y p r o j m E . Th e l a s t

r e s u l t o f t h i s s e c t i o n i s a g e n e r a l i z a t i o n b y D . A . F r e e d m a n o f a l e m m a o f 1 ) .

1 3 i e r l e i n [ 5 ] . T h e p r o o f t h a t we g i v e i s d u e t o D . A . F r e e d m a n a n d J . N e v e u .

( : 3 . 4 ) I f S i s c o m p l e t e a n d ( I s e p a r a b l e , t h e n E e M ( ( * X 8 ) i i m p l i c s

p r o j , 1 E e ) R * .

P R t o o 0 F . ( 1 ) A s s u m e f i r s t t h a t S i s c o m p a c t . T h e n S i s t h e a - f i e l d g e n e r a t e d

b y t h e c o m p a c t s u b s e t s o f S . A c c o r d i n g t o t h e t h e o r e m o f E . M I a r c z e w s k i a I l i l

C . R y l l - N a r d z e w s k i [ 3 0 ] , i f E b e l o n g s t o t h e S u s l i n c l a s s g e n i e r a t e d b y ' M * X 8 ,

t h e n p r o j M E b e l o n g s t o t h e S u s l i n c l a s s g e n e r a t e d b y O V . H o w e v e r , t h i s c l a s s

c o i n c i d e s w i t h M* b y a c l a s s i c r e s u l t ( f o r e x a m p l e , [ 3 8 ] , c h a p t e r 2 , s e c t i o n 5 ) .T h e r e f o r e t h e r e o n l y r e m a i n s t o p r o v e t h a t ( B ( M * X 8 ) i s c o n t a i n e d i n t h e S u s l i n

c l a s s g e n e r a t e d b y M* X S . T h i s f a c t i s e s t a b l i s h e d i n lemma 2 . a o f [ 5 ] f o r t h e

c a s e i n w l i c h S i s t h e r e a l l i n e . I t c a n b e e s t a b l i s h e d f o r t i h e p r e s e l l t c a s e o f a




c o m p a c t S b y t h e t r i v i a l s u b s t i t u t i o n o f t h e f a m i l y o f c o m p a c t s u b s e t s o f S f o r

t h e f a m i l y . 4 o f c o m p a c t r e a l i n t e r v a l s i n B i e r l e i n ' s p r o o f .( 2 ) C o n s i d e r now t h e c a s e o f a c o m p l e t e , s e p a r a b l e S . L e t H b e t h e H i l b e r t

c u b e a n d l e t 3 C b e i t s B o r e l a r - f i e l d . By ( [ 2 7 ] , p . 1 1 9 ) , t h e s p a c e S i s h o m e o m o r p h i c

t o a s u b s p a c e S ' o f H . L e t 3 ' b e t h e B o r e l a - f i e l d o f S ' . By ( [ 2 7 ] , p . 3 3 7 ) , S ' i s a

c o u n t a b l e i n t e r s e c t i o n o f o p e n s e t s o f H , a n d h e n c e b e l o n g s t o 3 C . T h u s S ' C 3 C ,

a n d c o n s e q u e n t l y , E ' e M ( ! 3 ( * X 8 ' ) i m p l i e s E ' e M(M* X S C ) . F i n a l l y , s i n c e H

i s c o m p a c t ( f o r i n s t a n c e , [ 2 7 ] , p . 9 1 ) , E ' E G ( O m n * X 3 C ) i m p l e s p r o j m E ' E o*

b y ( 1 ) , Q . E . D .

4 . M e a s u r a b l e c o m p a c t - v a l u e d c o r r e s p o n d e n c e s

T h r o u g h o u t t h i s a r t i c l e , A d e n o t e s a g i v e n s e t e n d o w e d w i t h a c - f i e l d ( a o f s u b s e t s

a n d a n o n n e g a t i v e r e a l m e a s u r e v o n ( X .

G i v e n t w o s e t s E a n d F , a c o r r e s p o n d e n c e s o f r o m E t o F a s s o c i a t e s w i t h e v e r y

e l e m e n t x o f E a n o n e m p t y s u b s e t ( p ( x ) o f F . I t s g r a p h i s

( 9 ) G ( ( p ) = { ( x , y ) E E X F l y e ( p ( x ) } .

T h e c o r r e s p o n d e n c e s o c a n a l t e r n a t i v e l y b e c o n s i d e r e d a s a f u n c t i o n f r o m E

t o t h e s e t o f n o n e m p t y s u b s e t s o f F . T h e a b i l i t y t o s t u d y s o f r o m e i t h e r p o i n to f v i e w i s v e r y v a l u a b l e a n d w i l l o f t e n b e c a l l e d u p o n . B u t o n e m u s t g u a r d

a g a i n s t t h e c o n f u s i o n t h a t w o u l d a r i s e i f a t a n y t i m e t h e p o i n t o f v i e w f r o m

w h i c h s i s c o n s i d e r e d w e r e n o t e x p l i c i t . F o r i n s t a n c e , t h e g r a p h o f t h e c o r r e s p o n d -e n c e p f r o m E t o F i s t h e s u b s e t o f E X F d e f i n e d a b o v e , w h e r e a s t h e g r a p h o f

t h e j u n c t i o nuor o m E t o @ ( F ) , t h e s e t o f s u b s e t s o f F , i s a s u b s e t o f E X @ ( F ) ,

n a m e l y , { ( x , Y ) e E X Y ( F ) j Y = p ( x ) } .T h e i n v e r s e p - 1 o f t h e f u n c t i o n s o i s d e f i n e d a s u s u a l : l e t : b e a f a m i l y o f

s u b s e t s o f F , t h e n

( 1 0 ) o x(5){XE E | p ( x ) e i } .

T h e s t r o n g - i n v e r s e ( p o o f t h e c o r r e s p o n d e n c e ( p i s d e f i n e d a s f o l l o w s : l e t Y b e

a s u b s e t o f F ; t h e n

( 1 1 ) 9 8 ( Y ) = { x E E J ( x ) C Y } .

T h e w e a k - i n v e r s e < p w o f t h e c o r r e s p o n d e n c e s p i s d e f i n e d a s f o l l o w s : l e t Y b e a

s u b s e t o f F ; t h e n

( 1 2 ) s w ( Y ) = { x e E l j ( x ) n Y s 0 } .L e t P b e a n a t t r i b u t e d e f i n e d f o r t h e s u b s e t s o f F . The c o r r e s p o n d e n c e s

f r o m E t o F i s s a i d t o b e P - v a l u e d i f , f o r e v e r y x e E , V ( x ) i s P .

L e t T b e a m e t r i c s p a c e a n d s b e a c o m p a c t - v a l u e d c o r r e s p o n d e n c e f r o m T

t o S . W e f o l l o w K u r a t o w s k i [ 2 6 ] i n s a y i n g t h a t t h e c o r r e s p o n d e n c e s i s u p p e r

s e m i c o n t i n u o u s a t a p o i n t x o o f T i f , f o r e v e r y s e q u e n c e { x , } o f p o i n t s o f T

c o n v e r g i n g t o x o , p [ 4 0 ( X n ) , ( o ( x o ) ] c o n v e r g e s t o z e r o ; s o i s l o w e r s e m i c o n t i n u o u s a t

x o i f x n xo i m p l i e s p [ , p ( x o ) , v ( x n ) ] - * 0 ; a n d p i s c o n t i n u o u s a t x o i f x - + x o

i m p l i e s [ s o ( x o ) , ( x n ) ] - - 0 .




A c o m p a c t - v a l u e d c o r r e s p o n d e n c e p f r o m A t o S i s s a i d t o b e a X - m e a s u r a b l e ( r e s p .

W * - m e a s u r a b l e ) i f t h e f u n c t i o n ( p f r o m A t o 3 C i s a - m e a s u r a b l e ( r e s p . a * - m e a s -

u r a b l e ) . P r o p o s i t i o n s ( 4 . 2 ) - ( 4 . 4 ) w i l l s t u d y t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h r e e c r i t e r i af o r t h e m e a s u r a b i l i t y o f t h e c o r r e s p o n d e n c e s o , t h e f i r s t o n e b e i n g t h e d e f i n i t i o n

o f m e a s u r a b i l i t y a d o p t e d h e r e , a n d t h e t h i r d o n e b e i n g t h e g e n e r a l i z a t i o n o fA u m a n n ' s [ 3 ] d e f i n i t i o n o f m e a s u r a b i l i t y t o t h e p r e s e n t s i t u a t i o n i :

( a ) f o r e v e r y E c 8 , , p ' ( E ) b e l o n g s t o a [ o r t o * ] ;

, ( b ) f o r e v e r y X c 8 , f ' ( X ) ( : n v ( X ) b e l o n g t o a [ o r t o * ] ;

( c ) G ( p ) b e l o n g s t o ( a 3 ( X 8 ) [ o r t o ( B ( a * X 8 ) ] .By t r i v i a l t r a n s p o s i t i o n s o f t h e p r o o f s o f c l a s s i c t h e o r e m s a b o u t f u n e t i o l n s f r o m

A , e n d o w e d w i t h i t s m e a s u r e s p a c e s t r u c t u r e , t o a B a n a c h s p a c e ( s e e [ 1 6 ] ,l e m m a 9 , p . 1 4 7 , a n d c o r o l l a r y 1 3 , p . 1 5 0 ) t o t h e p r e s e n t c a s e o f f u n c t i o n s f r o m

A t o a m e t r i c s p a c e , o n e c a n e s t a b l i s h t h a t , f o r a s e p a r a b l e S , ( a ) [ s o i s X * - m e a s -u r a b l e ] i s e q u i v a l e n t t o ( a ' ) [ t h e r e i s a s e q u e n c e { p p o } o f X * - s i m p l e f u n c t i o n s f r o m A

t o X C c o n v e r g i n g a l m o s t e v e r y w h e r e t o o ] w h i c h i s e q u i v a l e n t t o ( a " ) [ t h e r e i s a

s e q u e n c e { f p p } o f - * - s i m p l e f u n c t i o n s f r o m A t o X c o n v e r g i n g i n m e a s u r e t o * p ] .T h u s t w o s t a n d a r d a d d i t i o n a l m e a s u r a b i l i t y c r i t e r i a a r e i m m e d i a t e l y o b t a i n e d .

T h i s r e m a r k p e r m i t s a n e a s y p r o o f o f a r e s u l t o n w h i c h we w i l l c a l l i n s e c t i o n 7 .

( 4 . 1 ) I f S i s s e p a r a b l e , ( p i s a n a - - m e a s u r a b l e f u n c t i o n f r o m A t o 3 C a n d E i s

a n a t o m f o r v , t h e n E c o n t a i n s a n a t o m E ' f o r v o n w h i c h ( p i s c o n s t a n t .

P R O O F . T h e r e a r e a n u l l s e t A 0 o E a a n d a s e q u e n i c e { 0 l , 2 , " } o f a - s i m p l ef u n c t i o n s f r o m A t o X c o n v e r g i n g t o p o u t s i d e o f A o . C h o o s e f o r s c o s o m e c o n s t a n l tf u n c t i o n f r o m A t o W .

L e t E o = E \ A o . O b v i o u s l y E 0 i s a n a t o m , s n o i s c o n s t a n i t o n E o , a n d { P n c o n -

v e r g e s t o s o o n E o . C o n s t r u c t t h e s e q u e n c e { E , } i n d u c t i v e l y a s f o l l o w s . Maket h e i n d u c t i o n h y p o t h e s i s ( s a t i s f i e d f o r q = 0 ) t h a t E q i s a n atom c o n t a i n i e d i n

E , f o r e v e r y p < q , a n d t h a t p q i s c o n s t a n t o n E. C o n s i d e r a f i n i t e p a r t i t i o no f E , i n t o a - s e t s a s s o c i a t e d w i t h t h e a - s i m p l e f u n c t i o n p , + , . O n e o f t h e s e s e t s ,

d e n o t e i t b y E q + i , i s a n a t o m ; a l l t h e o t h e r s a r e n u l l . T h e r e f o r e , t h e i n d u c t i v ec o n s t r u c t i o n c a n i b e c a r r i e d o u t . L e t l i O X o E ' = n q = o E q . T h e s e t s E q a r e n o n -

i n c r e a s i n g . F o r e v e r y q , o n e h a s v ( E q ) = v ( E ) . H e n c e v ( E ' ) = v ( E ) . T h u s E '

i s a n a t o m . On E ' e v e r y S p , n i s c o n s t a n t a n d { f P } c o n v e r g e s t o s . T h e r e f o r e , si s c o n s t a n t o n E ' , Q . E . D .

T h e n e x t r e s u l t c o n c e r n s t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n c r i t e r i a ( a ) a n d ( b ) .

( 4 . 2 ) C o n s i d e r a c o m p a c t - v a l u e d c o r r e s p o n d e n c e p f r o m A t o S a n d t h e f o l l o w i n gt h r e e a s s e r t i o n s :

( a ) s p i s a - - m e a s u r a b l e ;( p 3 ) f o r e v e r y X o p e n i n S , f o 8 ( X ) b e l o n g s t o a ;

( d ' ) f o r e v e r y X o p e n i n S , ( p c v ( X ) b e l o n g s t o a ;> ( a ) i m p l i e s ( / 3 ) a n d ( d ' ) .

I f , i n a d d i t i o n , S i s s e p a r a b l e , t h e n t h e t h r e e a s s e r t i o n s ( a ) , ( e ) , a n d ( / 3 ' )

a r e e q u z i v a l e n t .



3 6 0 F I I Y H BERKELEY S Y M P O S I U I I : D E I B R E F 1 -

P R O O F . F o r a n y s u b s e t X o f S , o n e h a s s o ( X ) = { f a A 4 1 ( a ) C X ;1 0 - ' ( X a ) . M o r e o v e r , a c c o r d i n g t o ( 3 . 1 ) , t h e c r - f i e l d 8 8 g e n e r a t e d b y t h e s e t s X s

w h e r e X i s o p e n i n S i s c o n t a i n e d i n 8 . T h e r e f o r e ( a ) i m p l i e s ( / 3 ) s i n c e [ X o p e ni n S ] i m p l i e s [ X s E & 8 ( C 8 ) ] , w h e r e a s w o ( X ) = V - l ( X R ) .

A s s u m e n 1 o w t h a t S i s s e p a r a b l e . A c c o r d i n g t o ( 3 . 1 ) , 8 8 = 8 . T h e r e f o r e ( / )l m l ) l i e s ( a ) s i n c e [ f o r e v e r y X o p e n i n S , , o ( X ) e a ] i s e q u i v a l e n l t t o [ f o r e v e l y

X o p e n i n S , p l ( X 8 ) E a ] w h i c h i m p l i e s [ f o r e v e r y f f e 8 & ( = 8 ) , - 1 ( 9 ) e ( t ] .T h e i m p l i c a t i o n s r e l a t i n g ( a ) a n d ( / ' ) a r e e s t a b l i s h e d i n a s i m i l a r m a n n e r ,

Q . E . D .

T h e c o n n e c t i o n b e t w e e n c r i t e r i a ( a ) a n d ( c ) i s d e a l t w i t h i n t w o s e p a r a t ep r o p o s i t i o n s .

( 4 . 3 ) I f S i s s e p a r a b l e a n d 0 i s a n a - m e a s u r a b l e c o m n p a c t - v a l u e d c o r r e s p o n d l e n c ef r o m A t o S , t h e n G ( 4 . ) b e l o n g s t o ( B ( a X 8 ) .

P I R O O F . L e t Y b e a c o u n t a b l e d e n s e s u b s e t o f S a n i d d e n i o t e b y B ( x , r ) t h e

o p e n b a l l i n S w i t h c e n t e r x e S a n d p o s i t i v - e r a d i u s r . D e f i n e t h e s e q u e n c e { + d 'o f c o r r e s p o n d e n c e s f r o m A t o S b y 0 , , ( a ) = { x e S I t h e r e i s y c Y s u c h t h a t

p ( y , 0 ( a ) ) < ( 1 / n ) a n d s ( x , y ) < ( l / , n ) , f o r e v e r y a c A . C l e a r l y , f o r e v e r y a ,

O ( a ) = n n = , O . ( a ) . H e n c e G ( o ) = n n ( = h G ( 4 t , , ) . M I o r e o v e r , G ( 4 , , ) = Uy a e A

p ( y , 0 ( a ) ) < ( 1 / n ) } X { x e S l s ( x , y ) < ( I / n ) } - = 0 evc ( B ( y , ( 1 / n ) ) ) XB ( y , ( 1 / n ) ) . I n t h i s l a s t p r o d u c t t h e f i r s t s e t b e l o n g s t o R , b y ( 4 . 2 ) , a n d t h e s e c o n d

s e t b e l o n g s t o 8 . S i n c e G ( O , , ) i s t h e I u n i o n I o f a c o t u n t a b l e f a m i l y o f s e t s b e l o n g i l n gt o a X 8 , i t b e l o n g s t o 6 1 ( ( t X 8 ) . S o d o e s G ( 0 ) , Q . 1 F . I ) .

( 4 . 4 ) I f S i s c o m p l e t e a n d s e p a r a b l e a n d l z p i s a c o r r e s p o n d e n c e f r o m i A t o S s u c h

t h a t G ( Q p ) b e l o n g s t o f ( ( ? t * X S ) , t h e n f o r e v e r y X c S , , p o ( X ) a n d z p " 8 ( X )b e l o n g t o a * .

P R O O F . W e h a v e s o ( X ) = l a e A | , o ( a ) n X # 0 , = p r o j . 1 0 [ G ( Q p ) n ( A I xX ) ] . S i n c e A X X b e l o n g s t o ( t * X 8 , t h e s e t G ( s P ) n ( A X X ) b e l o n g s t o

6 3 ( a * X 8 ) . By ( 3 . 4 ) , s p " ( X ) b e l o n g s t o a * . W e a l s o h a v e < p 8 ( X ) = { a e A I p ( a ) CX } = { a E A I p ( a ) n ( s \ = X )= = A \ q 8 ' ( S \ X ) . S i n i c e S \ X b e l o n g s t o 8 ,o w ( S \ X ) b e l o n g s t o a * . S o d o e s A \ p , o ( S \ X ) , Q . E . I ) .W e now p r o v e a t h e o r e m t h a t i s b a s i c t o t h e t h e o r y o f e c o n o m n i c e q u i l i b r i u m .

T h i s p r o p o s i t i o n g e n e r a l i z e s s o me o f t h e r e s u l t s o f ( [ 1 4 ] , s e c t i o n 2 . 1 6 ) a n d o f

( [ 4 ] , lemma 5 . 6 a n d e n d o f p r o o f o f l e m n m a 5 . 1 0 ) .

( 4 . 5 ) G i v e n a n a - * m e a s u r a b l e c o n i p a c t - v a i c d e d c o r r e s p o n d e n c e O f r o m A t o S

a n d a f u n c t i o n u f r o m t G ( O ) t o t h e r e a l l i n e R , m n e a s u r a b l e w i t h r e s p e c t t o

( B ( a * X 8 ) a n d u p p e r s e m i c o n t i l l o u s o n 7 0 ( a ) f o r e v e r y a e A , l e t v ( a ) =

m a x x e < ( a ) u ( a , x ) a n d m ( a ) = { x e O ( a ) I u ( a , x ) = v ( a ) ' . I f S i s c o m p l e t ea n d s e p a r a b l e t h e n t h e f u n c t i o n v f r o m i i A t o R ? a n i d t h e f u n c t i o n , 6 f r o n t .

t o 3 C a r e a - * n e a s u r a b l e .

P R O O F . A c c o r d i n g t o ( 4 . 3 ) , G ( 0 ) b e l o n g s t o ( c ( i a * X 8 ) . L e t c b e a r e a l n u i m i b e r .Th e s e t { a E A t v ( a ) _ c ' - i s t h e p r o j e c t i o n o n A o f t h e s e t . ( a , x ) C G ( 0 ) I u ( a , x ) _



INTEGRATION OF CORRESPONDENCES 3 61

c ) w h i c h b e l o n g s t o W ( a * X S ) . By ( 3 . 4 ) , { a e A l v ( a ) > c } b e l o n g s t o * . T h e r e -

f o r e v i s * - m e a s u r a b l e .T h e g r a p h G ( # ) o f t h e c o r r e s p o n d e n c e i t f r o m A t o S i s t h e s e t { ( a , x ) E

G ( 4 ) l u ( a , x ) = v ( a ) } , w h i c h b e l o n g s t o G 3 ( a * X 8 ) . By ( 4 . 4 ) a n d ( 4 . 2 ) , 4 , i s

V * - m e a s u r a b l e , Q . E . D .

5 . E m b e d d i n g o p e r a t i o n s

H e n c e f o r t h , S i s a n o r m e d r e a l v e c t o r s p a c e . T h e n o r m o f a n e l e m e n t x o f S i sd e n o t e d b y l x | a n d 0 d e n o t e s t h e o r i g i n o f S . A l s o 0 d e n o t e s t h e o n e - e l e m e n t s e t { O }a n d £ d e n o t e s t h e f a m i l y o f t h e n o n e m p t y , c o m p a c t , c o n v e x s u b s e t s o f S .W e h a v e a l r e a d y a p p e a l e d t o a t r a n s p o s i t i o n o f r e s u l t s e s t a b l i s h e d f o r f u n c t i o n s

f r o m a m e a s u r e s p a c e t o a r e a l B a n a c h s p a c e t o t h e c o n t e x t o f f u n c t i o n s f r o m

a m e a s u r e s p a c e t o t h e m e t r i c s p a c e X . I n t h e s e q u e l a s i m i l a r t r a n s p o s i t i o nf r o m t h e c a s e o f a r e a l B a n a c h s p a c e t o t h e c a s e o f t he m e t r i c s p a c e £ e n d o w e dw i t h a c e r t a i n a l g e b r a i c s t r u c t u r e w o u l d b e n e c e s s a r y o n many m o r e o c c a s i o n s .W h i l e t h e r e i s l i t t l e d o u b t t h a t t h e s e t r a n s p o s i t i o n s c a n b e c a r r i e d o u t i n a

t r i v i a l f a s h i o n , a c o m p l e t e s o l u t i o n r e q u i r e s t h a t t h i s l o n g a n d t e d i o u s w o r k b e

a c t u a l l y p e r f o r m e d . An a l t e r n a t i v e a p p r o a c h w i l l b e f o l l o w e d h e r e . T h e m e t r i cs p a c e £ w i t h i t s a l g e b r a i c s t r u c t u r e w i l l b e e m b e d d e d i n a r e a l B a n a c h s p a c e .T h e t h e o r e m s o f t h e s t a n d a r d t h e o r y o f i n t e g r a t i o n ( f o r e x a m p l e , [ 1 6 ] ) w i l lt h e n b e d i r e c t l y a p p l i c a b l e . I n t h e s a m e m a n n e r t h e o p e r a t i o n o f t r a n s p o s i t i o nc o u l d b e d i s p e n s e d w i t h i n s e c t i o n 4 i f o n e c o n s en t ed t o w o r k w i t h t h e s e t £

( i n s t e a d o f w i t h t h e s e t 3 c ) , w h i c h p r e s u p p o s e s t h a t o n e h a d i n t r o d u c e d a v e c t o r

s p a c e s t r u c t u r e o n S . H o w e v e r , i t h a s s e e m e d w o r t h e m p h a s i z i n g t h a t t h e m e a s -u r a b i l i t y r e s u l t s o f s e c t i o n 4 d e p e n d o n l y o n t h e m e t r i c s p a c e s t r u c t u r e o f S .

T h e sum X + Y o f t w o s u b s e t s X , Y o f S i s d e f i n e d b y

( 2 ) X + Y = { z E S l z = x + y f o r s o m e ( x , y ) i n X X Y } .

T h i s a d d i t i o n h a s t h e p r o p e r t i e s ( X , Y , Z a r e a r b i t r a r y s u b s e t s o f S )

( [ ' ) X+ (Y+Z) = (X+ Y ) +Z; X+ Y = Y + X ; X+ 0 = X .

T h e p r o d u c t aX o f a n o n n e g a t i v e r e a l n u m b e r a a n d a s u b s e t X o f S i s d e f i n e d b y

( W I ) a X = { z e S l z = a x f o r s o m e x i n X } .

T h i s

m u l t i p l i c a t i o nh a s t h e p r o p e r t i e s ( a , , B a r e

a r b i t r a r y n o n n e g a t i v er e a l

n u m b e r s ; X , Y a r e a r b i t r a r y s u b s e t s o f S )

( W I ' ) a ( # X ) = ( a / 3 ) X ; 1X = X ; a ( X + Y ) = aX + a Y ; i f X i s c o n v e x ,t h e n ( a + , B ) X = aX + , 3 X .

I n t h e p r e s e n t m o r e s p e c i a l c o n t e x t t h e H a u s d o r f f s e m i d i s t a n c e p a n d t h e

H a u s d o r f f d i s t a n c e a h a v e a d d i t i o n a l p r o p e r t i e s . I n ( 5 . 1 ) - ( 5 . 4 ) , ( 5 . 1 ' ) , a n d

( 5 . 2 ' ) c a p i t a l l e t t e r s a r e a r b i t r a r y n o n e m p t y s u b s e t s o f S , a i s a n a r b i t r a r yn o n n e g a t i v e r e a l n u m b e r ( p r o p e r t i e s ( 5 . 2 ) a n d ( 5 . 4 ) a r e g i v e n b y P r i c e [ 3 4 ] :

( 5 . 1 ) p ( a X , a Y ) = a p ( X , Y ) ;




( 5 . 2 ) P ( X I + X 2 , Y 1 + Y 2 ) < p ( X I , Y 1 ) + p ( X 2 , Y 2 ) .

P R O O F O F ( 5 . 2 ) . L e t x i , x 2 , y l , Y 2 b e a r b i t r a r y p o i n t s o f X i , X 2 , Y 1 , Y 2 , r e s p e c -t i v e l y . O n e h a s

( 1 3 ) j ( X I + X 2 ) -(l + Y 2 ) 1 = I ( X l - y ) + ( X 2 -Y 2 ) 1 < I x I - Y i l + 1 x 2 - Y 2 1 .T h e r e f o r e p ( x i + x 2 , Y I + Y 2 ) < p ( x i , Y , ) + p ( x 2 , Y 2 ) . H e n c e t h e r e s u l t .

From ( 5 . 1 ) a n d ( 5 . 2 ) , o n e o b t a i n s t h e f o l l o w i n g a s s e r t i o n .

( 5 . 3 ) O n t h e s e t o f p a i r s o f n o n e m p t y , c o n v e x s u b s e t s o f S , t h e f u n c t i o n p i sc o n v e x .

D e n o t i n g b y X t h e c o n v e x h u l l o f X , o n e h a s

( 5 . 4 ) p ( X , Y ) < p ( X , Y ) .

P R O O F . F o r e v e r y x e X , p ( x , Y ) < p ( X , Y ) . A c c o r d i n g t o ( 5 . 3 ) , p ( x , Y ) i s

a c o n v e x f u n c t i o n o f x o n S . T h u s f o r e v e r y x e X , o n e a l s o h a s p ( x , Y ) <

p ( X , Y ) . T h e r e f o r e p ( X , Y ) < p ( X , Y ) . F i n a l l y Y C Y i m p l i e s p ( X , Y ) <p ( X , Y ) , Q . E . D .

A s s e r t i o n s ( 5 . 1 ) - ( 5 . 4 ) o b v i o u s l y r e m a i n i t r u e i f p i s r e p l a c e d b y a t h e r e i n .W e m a k e e x p l i c i t f o r f u t u r e r e f e r e n c e

( 5 . 1 ' ) S ( a X , a Y ) = a b ( X , Y ) ;

( 5 . 2 ' ) 3 ( X 1 + X 2 , Y 1 + Y 2 ) < 6 ( X 1 , Y 1 ) + 6 ( X 2 , Y 2 ) .

S i n c e t h e sum o f t w o e l e m e n t s o f 2 , a s w e l l a s t h e p r o d u c t o f a n o n i e g a t i v e

r e a l n u m b e r a n d a n e l e m e n t o f C , b e l o n g t o 2 , t h e s e t 2 i s e n d o w e d w i t h a n

a l g e b r a i c s t r u c t u r e s a t i s f y i n g ( 2 1 ' ) a n d ( 9 ' ) a n d w i t h a m e t r i c S s a t i s f y i n g ( 5 . 1 ' )

a n d ( 5 . 2 ' ) . A c c o r d i n g t o a t h e o r e m o f R a d s t r o m [ 3 5 ] ,

( 5 . 5 ) C c a n b e e m b e d d e d a s a c o n v e x c o n e u i t h v e r t e x 0 i n a n o r m e d r e a l v e c t o r

s p a c e 2 i n s u c h a w a y t h a t

( i ) t h e e m b e d d i n g i s i s o m e t r i c ,( i i ) a d d i t i o n i n £ i n d u c e s a d d i t i o n i n C ,

( i i i ) m u l t i p l i c a t i o n b y n o n n e g a t i v e r e a l n u m b e r s i n L i n d u c e s t h e c o r -

r e s p o n d i n g o p e r a t i o n i n 2 ,( i v ) £ s p a n s L .

T h e n o r m o f a n e l e m e n t X o f C w i l l b e d e n o t e d b y I X I . To p r e v e n t c o n f u s i o n

w i t h a w i d e s p r e a d u s a g e , o n e m u s t e m p h a s i z e t h a t , g i v e n a n e l e m e n t X o f £ ,-X d e n o t e s i t s n e g a t i v e , n a m e l y , t h e e l e m e n t o f £ w h i c h , i f a d d e d t o X , g i v e s 0 .

F o r a n e l e m e n t X o f 2 , -X c o i n c i d e s w i t h t h e s e t { z E S l z = -x f o r s o m e x

i n X } i f a n d o n l y i f X i s a o n e - e l e m e n t s u b s e t o f S . W e c a n a l s o s a y t h a t a n

e l e m e n t X a n d i t s n e g a t i v e -X b o t h b e l o n g t o t h e c o n e 2 i f a n d o n l y i f X i s

a o n e - e l e m e n t s u b s e t o f S . T h e r e f o r e , t h e g r e a t e s t v e c t o r s u b s p a c e o f £ c o n -

t a i n e d i n t h e c o n e 2 i s t h e s e t c o o f t h e o n e - e l e m e n t s u b s e t s o f S , w h i c h c a n b e

i d e n t i f i e d w i t h S .

( 5 . 6 ) I f S i s c o m p l e t e , t h e n £ i s c o m p l e t e .




P R O O F . L e t { X , } b e a C a u c h y s e q u e n c e o f e l e m e n t s o f S . A c c o r d i n g t o( 2 . 4 ) , t h e r e i s a n o n e m p t y , c o m p a c t s u b s e t X o f S s u c h t h a t 6 ( X , X p ) - * 0 . W eh a v e t o c h e c k t h a t X i s c o n v e x .

N o t i c e t h a t , b y ( 2 . 2 ) , f o r e v e r y p , p ( X , X ) < p ( X , X p ) + p ( X p , X ) . O n e a l s o

h a s b y ( 5 . 4 ) , s i n c e X , i s c o n i v e x , p ( X , X p ) < p ( X , X p ) f o r e v e r y p . T h e r e f o r ep ( X , X ) < 2 6 ( X , X p ) f o r e v e r y p . C o i n s e ( q u e n i t l y , p ( X , X ) = 0 a n l d , b y ( 2 . 1 ) ,A k C X . H e n c e , X = X , Q . E . D .

( 5 . 7 ) I J S i s s e p a r a b l e , t h e n S i s s e p a r a b l e .

P R O O F . T h e s p a c e 2 i s a s u b s p a c e o f t h e m e t r i c s p a c e X C . S i n c e t h e l a t t e r i s

s e p a r a b l e b y ( 2 . 6 ) , s o i s t h e f o r m e r . L e t t he n { X 4 ' b e a c o u n t a b l e d e n s e s u b s e t o fS . I t w i l l b e s h o w n t h a t t h e c o u n t a b l e s e t o f t h e Y P . = XP- X i s d e n s e i n S .C o n s i d e r a n a r b i t r a r y e l e m e n i t Y o f 2 a n i d a n a r b i t r a r y E > 0 . S i n c e S s p a n s £ , I

c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m Y = X- X 2 w i t h X ' a n d x 2 b e l o n i g i n i g t o S . T h e r e

a r e X p , X q b e l o n g i n g t o ' X , , ' s u c h t h a t 6 ( X ' , X p ) < e / 2 a n d 6 ( X 2 , X q ) < E / 2 .T h e r e f o r e , 1 Y - Y , = I ( X I X 2 ) - ( X , - X q ) J = { ( X 1 - X , ) + X, -X2)< -XI X p l + 1X2- XJ < e , Q . E . D .

P r o p o s i t i o n ( 5 . 6 ) a s s e r t s t h a t i f S i s c o m p l e t e , t h e i i £ i s c o m p l e t e . O n en a t u r a l l y w o n d e r s w h e t h e r , i n t h a t c a s e , 2 i s a l s o c o m p l e t e . T h e f o l l o w i n ge x a m p l e d u e t o A u m a i n i a n d K a k u t a n i a n s w e r s t h e q u e s t i o n i n e g a t i v e l y . L e t Sb e t h e E u c l i d e a n p l a n e R 2 . L e t { a i } b e a d e c r e a s i n g s e ( l u e n c e o f p o s i t i v e r e a ln u m b e r s s u c h t h a t a , < 7 r / 2 a n d Z i s i n a i < + c c . G i v e n a n i a n g l e a , d e n o t e

b y F a t h e c l o s e d s t r a i g h t l i n e s e g m e n i t w h o s e e x t r e m i i i t i e s h a v e c o o r d i n a t e s ( 0 , 0 )a n d ( c o s a , s i n a ) . L e t X p = 1 = 1 E a i E Y P = p E o a n l d p Z = X , - Y ' , . I t i s e a s y

t o s e e t h a t ' Z , } i s a C a u c h y s e q u e n c e i n 2 . A n i d o n e c a n p r o v e t h a t t h e r e i s

n o Z e 2 t o w h i c h { Z p } c o n v e r g e s .H o w e v e r , 2 c a n b e e m b e d d e d a s a d e n s e s u l b s p a c e o f a r e a l B a n a c h s p a c e 2 b y

a s t a n d a r d o p e r a t i o n ( [ 1 6 ] , p . 8 9 ) . ( I t h a n i k K . V i n d f o r t h i s r e f e r e n c e . )When t h e c o r r e s p o n d e n i c e s o f r o m A t o S i s c o m p a c t - c o n v e x - v a l u e d , t h e

m e a s u r a b i l i t y c r i t e r i o n ( d ) i n t r o d u c e d b y K u d o [ 2 5 ] i n t h e c a s e o f a f i n i t e -d i m e n s i o n a l S ( s e e a l s o R i c h t e r [ 3 6 ] ) i s a v a i l a b l e .

C r i t e r i o n ( d ) : f o r e v e r y c o n t i n u o u s l i n e a r f o r m f o n S , t he f u n c t i o n , u f d e f i n e d

f o r e v e r y a c A b y , u f ( a ) = m a x . , 0 ( a ) f ( x ) i s a - m e a s u r a b l e ( o r a * - m e a s u r a b l e ) .

( 5 . 8 ) I f ( p i s a n a - m e a s u r a b l e f u n c t i o n f r o m A t o K C , t h e n , f o r e v e r y c o n t i n u o u s

l i n e a r f o r m f o n S , 4 f i s a - m e a s u r a b l e .

P R O O F . C o n s i d e r a c o n t i n u o u s l i n e a r f o r m f o n S . L e t c b e a r e a l n u m b e r ,a n d l e t X b e t h e o p e n s e t { x e S l f ( x ) < c } . O n 1 e h a s - a E A I l f ( a ) < c } ={ a E A J p ( a ) C X} = y s ( X ) w h i c h b e l o n g s t o a b y ( 4 . 2 ) . T h e r e f o r e , j . f i s a - m e a s -

u r a b l e , Q . E . D .

I n o r d e r t o p r o v e a c o n v e r s e o f ( . 5 . 8 ) , we n e e d t h e f o l l o w i n g .

( 5 . 9 ) L e t S b e s e p a r a b l e . T h e n t h e r e i s a c o u n t a b l e s e t C o f c o n t i n u o u s l i n e a rf o r m s o n S s u c h t h a t i f X i s a n o n e m p t y , c o m p a c t , c o n v e x s u b s e t o f S

a n d B i s a c l o s e d b a l l i n S d i s j o i n t f r o m X , t h e n t h e r e i s f e C f o r w h i c h

max f ( X ) < i n f f ( B ) .




P R O O F . L e t 3 F = { X p , } b e t h e c o u n t a b l e f a m i l y o f p r o p o s i t i o n ( 2 . 6 ) . L e t { y i }b e a c o u n t a b l e d e n s e s u b s e t o f S . L e t { B q } b e t h e c o u n t a b l e f a m i l y o f c l o s e db a l l s w i t h c e n t e r s i n { y i } a n d p o s i t i v e r a t i o n a l r a d i i . T h e s e t o f p a i r s ( X p , B q )

i s c o u n t a b l e , a n d w h e n e v e r X B q = 0 , t h e r e i s , b y ( [ 1 6 ] , p . 4 1 7 ) , a c o n t i n -

u o u s l i n e a r f o r m f p q w i t h n o r m 1 s t r i c t l y s e p a r a t i n g t h e c o m p a c t , c o n v e x s e t Xpa n d t h e c l o s e d , c o n v e x s e t B . W e d e f i n e C a s t h e s e t o f a l l t h e f p a n d t h e - f p

s o o b t a i n e d .L e t X a n d B b e a s i n t h e s t a t e m e n t o f t h e p r o p o s i t i o n . D e n o t e b y e t h e

p o s i t i v e n u m b e r m i n z e x p ( x , B ) .A c c o r d i n g t o ( 2 . 6 ) , t h e r e i s X ' E 1 : s u c h t h a t 6 ( X , X ' ) < E / 6 . A f o r t i o r i , b y

( 5 . 4 ) , 6 ( X , X ' ) < e / 6 . T h u s

( i ) x e X ' i m p l i e s p ( x , X ) <

L e t y a n d r b e t h e c e n t e r a n d t h e r a d i u s o f t h e b a l l B . S e l e c t y ' i n { y 1 } s u c h

t h a t l y - y ' l < e / 6 . C o n s i d e r now t h e c l o s e d b a l l B ' w i t h c e n t e r y ' a n d r a t i o n a lr a d i u s r ' s o c h o s e n t h a t r + e / 3 < r ' < r + 2 / 3 E . O n e h a s B ( B , B ' ) = I y ' - y l +

i r ' - r l . T h e r e f o r e , 5 ( B , B ' ) < 5 / 6 e . C o n s e q u e n t l y ,( i i ) x e B ' i m p l i e s p ( x , B ) < K e .

From ( i ) a n d ( i i ) o n e o b t a i n s X ' n B ' = 0 , f o r i f x w e r e i n t h i s i n t e r s e c t i o n ,t h e r e w o u l d b e x l i n X a n d x 2 i n B s u c h t h a t l x l - x 2 l < E , a c o n t r a d i c t i o n o ft h e d e f i n i t i o n o f e . T h e r e f o r e , t h e r e i s f E C s u c h t h a t m a x f ( X ' ) < i n f f ( B ' ) .H o w e v e r , s i n c e t h e n o r m o f f i s u n i t y , 6 ( X , X ' ) < E / 6 i m p l i e s m a x f ( X ) <max f ( X ' ) + e / 6 w h i l e i n f f ( B ) = f ( y ) - r a n d i n f f ( B ' ) = f ( y ' ) - r ' . M o r e -

o v e r , l y - y ' I < E / 6 i m p l i e s f ( y ' ) - f ( y ) < e / 6 < r ' - r -e/6; h e n c e i n f f ( B ' ) +

E / 6 < i n f f ( B ) . C o n s e q u e n t l y , max f ( X ) < m a x f ( X ' ) + E / 6 < i n f f ( B ' ) + e / 6 <i n f f ( B ) , Q . E . D .

( 5 . 1 0 ) L e t S b e s e p a r a b l e a n d l e t s b e a c o m p a c t - c o n v e x - v a l u e d c o r r e s p o n d e n c ef r o m A t o S . I f f o r e v e r y c o n t i n u o u s l i n e a r f o r m f o n S , s i f i s a - m e a s u r a b l e ,t h e n s o i s a - m e a s u r a b l e .

P R O O F . G i v e n a c l o s e d b a l l B i n S , l e t EB = { ( f , r ) I f e C a n d r i s a r a t i o n a ln u m b e r l e s s t h a n i n f f ( B ) } . A c c o r d i n g t o ( 5 . 9 ) , o n e h a s { a E A I s ( a ) n B = 0 }

= U ( f r ) e E B { a e A I u f ( a ) < r } . S i n c e E B i s c o u n t a b l e a n d 4 f i s t - m e a s u r a b l e ,t h i s u n i o n b e l o n g s t o ( t .

L e t no w X b e a n o p e n s e t i n S . T h e s e t X i s t h e u n i o n o f a s e q u e n c e { B n }o f c l o s e d b a l l s . M o r e o v e r , A \ v p w ( X ) = { a e A j ( p ( a ) n ( U n . E N B n ) = 0 } =

n A E N { a E A I p ( a ) n B n = 0 } . A c c o r d i n g t o t h e l a s t p a r a g r a p h , e a c h s e t i nt h i s i n t e r s e c t i o n b e l o n g s t o t . T h e r e f o r e , s o d o e s A \ q , w ( X ) , h e n c e a l s o s o w ( X ) .By ( 4 . 2 ) , v i s a - m e a s u r a b l e , Q . E . D .

6 . I n t e g r a b l e c o m p a c t - c o n v e x - v a l u e d c o r r e s p o n d e n c e s

H e n c e f o r t h S i s a r e a l B a n a c h s p a c e .F o r t w o a - s i m p l e f u n c t i o n s s o , 4 ' f r o m A t o C , l e t






( i v ) I p - ( a ) 9 p 4 ( a ) | d v ( a ) < - v ( A ) .O n E p \ E l , , < p p ( a ) = 0 ; t h e r e f o r e , J o p p ( a ) - ( p , ( a ) I = 1 l o q ( a ) l . < 1 k ( a ) I + k S o p ( a ) -

, p ( a ) l < k s p ( a ) l + 2 / q , h e n c e

( v ) j | p , ( a ) - q ( a ) l d v ( a ) < j p ( a ) l d v ( a ) + - v ( A ) .B P E q E P \ E q q

On E Q , ( p ( a ) = s p o ( a ) = 0 ; h e n c e ,

( v i ) f E " < p p ( a ) -( a ) I d v ( a ) =0 .

From ( i v ) , ( v ) , a n d ( v i ) ,

( v i i ) A ( 5 0 P , I N ) <4

v ( A ) + - v ( A ) + J E ( a ) I d v ( a ) .

When p a n d q - - +o, v ( E p \ E q ) , w h i c h i s l e s s t h a n 1 / p , c o n v e r g e s t o z e r o .

T h e r e f o r e , a c c o r d i n g t o ( [ 1 6 ] , t h e o r e m 2 0 . b , p . 1 1 4 ) , t h e l a s t t e r m i n ( v i i ) c o n -

v e r g e s t o z e r o . C o n s e q u e n t l y , s o d o e s A ( $ o p , 5 q ) , Q . E . D .

T h e n e x t r e s u l t i n t r o d u c e s a n i m p o r t a n t c o n v e x i t y i n e q u a l i t y :

( 6 . 2 ) i f ( p , 4 6 a r e i n t e g r a b l e f u n c t i o n s f r o m A t o S , d e t e r m i n e d b y t h e s e q u e n c e s

{ s o p } , { % J } o f ( 3 - s i m p l e f u n c t i o n s f r o m A t o 2 , t h e n t h e f u n c t i o n p [ ( p ( a ) , A t ( a ) ]i s i n t e g r a b l e a n d d et er m i n e d b y t h e s e q u e n c e { p [ s p , ( a ) , i / p ( a ) ] } a n d

p [ f ( p d v , f 4 & d v ] < f p [ < p ( a ) , A ( a ) ] d v ( a ) .

P R O O F . A c c o r d i n g t o ( 2 . 3 ) , f o r e v e r y a e A ,

( 1 6 ) l p [ , ( a ) , { ( a ) ] - p [ s p p ( a ) , f , , ( a ) ] l 0 , { a E A l l p [ I p ( a ) , 4 p ( a ) ] - p [ e } i s c o n -

t a i n e d i n t h e u n i o n o f { a e A l b [ e / 2 } , a n d { a E A 1 5 [ ' ( a ) , 4 t p ( a ) ] >

E / 2 } . T h i s i n c l u s i o n r e l a t i o n e s t a b l i s h e s t h a t p [ p p ( a ) , 4 & , ( a ) ] c o n v e r g e s i n m e a s u r e

t o p [ p ( a ) , A , ( a ) ] . M o r e o v e r ,

( 1 7 ) f j p [ , p p ( a ) , # , ( a ) ] - p [ p f ( a ) , 4 ' a ( a ) ] l d v ( a ) < A ( p p , p j ) + A ( 4 ' p , A s ) ,

w h i c h e s t a b l i s h e s t h a t { p [ ( p p ( a ) , 4 ' p ( a ) ] } i s A - C a u c h y .

A c c o r d i n g t o ( 5 . 3 ) , f o r e v e r y p ,

( 1 8 ) p [ f s x p d v , f 4 ' p d v ] < f p [ p , ( a ) , k p ( a ) ] d v ( a ) .

When p - + x , t h e l e f t - h a n d s i d e c o n v e r g e s t o p [ f p d v , f i 6 d v ] b y c o n t i n u i t yo f p , Q . E . D .

I t i s now p o s s i b l e t o o b t a i n e x t e n s i o n s o f t h e L e b e s g u e d o m i n a t e d c o n v e r g e n c e

t h e o r e m t o t h e c a s e o f c o r r e s p o n d e n c e s .

( 6 . 3 ) L e t ( p b e a n i n t e g r a b l e f u n c t i o n f r o m A t o S a n d { j p p } b e a s e q u e n c e o fi n t e g r a b l e f u n c t i o n s f r o m A t o S s u c h t h a t p [ , p , ( a ) , p ( a ) ] - - 0 ( r e s p .p [ , p ( a ) , s o p ( a ) ] - 0 ) a l m o s t e v e r y w h e r e . I f t h e r e i s a n i n t e g r a b l e r e a l -



INTEGRATION OF CORRESPONDENCES 3 67

v a l u e d f u n c t i o n f o n A s u c h t h a t , f o r e v e r y p , p [ < p ( a ) , 0 ] . f ( a ) , ( r e s p .p E , ( p , ( a ) ] < f ( a ) ) a l m o s t e v e r y w h e r e , t h e n p [ f v p d v , f p d v ] - O 0 ( r e s p .p [ f ( o d v , f p , , d v ] - * 0 ) .

P R O O F . A c c o r d i n g t o ( 6 . 2 ) , f o r e v e r y p , t h e f u n c t i o n s p [ < p , ( a ) , < o ( a ) ] a n d

p [ p ( a ) , ( p p ( a ) ] a r e i n t e g r a b l e . By t h e L e b e s g u e d o m i n a t e d c o n v e r g e n c e t h e o r e m( [ 1 6 ] , p . 1 5 1 ) , f p [ p , ( a ) , p ( a ) ] d v ( a ) - 0 ( r e s p . f p [ ( a ) , ' p ( a ) ] d v ( a ) - * 0 ) . A l la p p l i c a t i o n o f t h e c o n v e x i t y i n e q u a l i t y o f ( 6 . 2 ) c o m p l e t e s t h e p r o o f .

A s a n i m m e d i a t e c o r o l l a r y o f ( 6 . 3 ) w e h a v e t h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n .

( 6 . 4 ) L e t T b e a m e t r i c s p a c e a n d l e t 4 ' b e a f u n c t i o n f r o m A X T t o £ t h a t i s i n t e -

g r a b l e i n a f o r e v e r y x E T . I f f o r a l m o s t e v e r y a , 4 , t i s a n u p p e r s e m i c o n t i n -u o u s ( r e s p . l o w e r s e m i c o n t i n u o u s ) c o r r e s p o n d e n c e f r o m T t o S a t a c e r t a i np o i n t x o o f T a n d t h e r e i s a n i n t e g r a b l e r e a l - v a l u e d f u n c t i o n f o n A s u c h

t h a t , f o r e v e r y x E T , o n e h a s p [ , t ( a , x ) , 0 ] < f ( a ) ( r e s p . p [ 0 , / ' ( a , x ) ] <

f ( a ) ) a l m o s t e v e r y w h e r e , t h e n t h e c o r r e s p o n d e n c e f k ( a , x ) d v ( a ) f r o m 7 '

t o S i s u p p e r s e m i c o n t i n u o u s ( r e s p . l o w e r s e m i c o n t i n u o u s ) a t x o .

P R O O F . L e t { x , } b e a s e q u e n c e o f p o i I n t s o f 7 ' c o n v e r g i n g t o x o . I t s u f f i c e st o l e t i p ( a ) = { ( a , x o ) a n d ' p ( a ) = { ( a , x , ) t o o b t a i n t h e s i t u a t i o n d e s c r i b e d b y

( 6 . 3 ) , Q . E . D .

A n o t h e r c o n c e p t o f i n t e g r a l f o r a c o r r e s p o n d e n c e ' p f r o m A t o S h a s b e e n

u s e d b y a l l t h e a u t h o r s m e n t i o n e d i n t h e i n t r o d u c t i o n w h o h a v e t r e a t e d t h i s

s u b j e c t , w i t h t h e e x c e p t i o n o f G . B . P r i c e [ 3 4 ] ; n a m e l y f ' p d v = { z E S j z =

f f d v f o r s o m e i n t e g r a b l e f u n c t i o n f f r o m A t o S s u c h t h a t f ( a ) E < o ( a ) f o r

e v e r y a e A } .

W e w i l l f i r s t p r o v e t h a t f o r a n i n t e g r a b l e f u n c t i o n f r o m A t o 2 , t h i s new

c o n c e p t d o e s n o t d i f f e r f r o m t h e c o n c e p t i n t r o d u c e d a t t h e b e g i n n i n g o f s e c t i o n 6 .

( 6 . 5 ) I f ' p i s a n i n t e g r a b l e f u n c t i o n f r o m A t o £ , t h e n ' p d v = f ' p d v .

P R O O F . ( 1 ) L e t z b e a n a r b i t r a r y p o i n i t o f f 0 ' p d v . T h e r e i s a n i n t e g r a b l ef u n c t i o n f f r o m A t o S s u c h t h a t f ( a ) E < p ( a ) f o r e v e r y a a n d z = f f d v . F o r

e v e r y a , o n e h a s p [ f ( a ) , ( p ( a ) ] = 0 . T h e r e f o r e , b y ( 6 . 2 ) , p [ f f d v , f p d v ] <

f p [ f ( a ) , p ( a ) ] d v ( a ) = 0 . H e n c e , z e f ' p d v . T h u s we h a v e p r o v e d t h a t

( 1 9 ) f 0 p d v C f ' p d v .

( 2 ) C o n v e r s e l y , l e t z b e a n a r b i t r a r y p o i l n t o f f ' p d v . T h e r e i s a s e q u e n c e { f p , }o f a - s i m p l e f u n c t i o n s f r o m A t o 2 d e t e r m i n i n g s p . When p - + o o ,f

p d d v

f ' p d v . T h e r e f o r e , f o r e v e r y p , t h e r e i s z , i n f ' p , d v s u c h t h a t z p - * z . I n o t h e r

w o r d s , f o r e v e r y p , t h e r e i s a n a - s i m p l e f u n c t i o n f , f r o m A t o S s u c h t h a tf p ( a ) E ' p , ( a ) f o r e v e r y a a n d z p = f f , d v . I t w i l l no w b e p r o v e d t h a t

( i ) i n L 1 ( A , a , v , S ) t h e s e t { f p i s w e a k l y s e q u e n t i a l l y c o n d i t i o n a l l y c o m p a c t .

( 2 . a ) S i n c e I ' p , ( a ) l = 5 [ 0 , ( p , ( a ) ] , f p ( a ) e ' p , ( a ) i m p l i e s l f , ( a ) I < 1 ' p p ( a ) J .H e n c e f I f p ( a ) I d v ( a ) < f J ' p p ( a ) I d v ( a ) . A c c o r d i n g t o ( [ 1 6 ] , l e m m a 1 8 , p . 1 1 3 ) , t h e



3 6 8 FIFTH BERKELEY S Y M I P O S I U M : DEBREU

s e q u e n c e { I < P ( ) I } d e t e r m i n e s i s p ( * ) 1 . T h e r e f o r e , when p f c . , e p ( a ) I d v ( a )f J $ o ( a ) I d v ( a ) . C o n s e q u e n t l y ,

( i i ) t h e n u m b e r s f l f , ( a ) d ( v ( a ) f o r m a b o u n d e d s e t .

( 2 . b ) F o r e v e r y p a n d e v e r y s e t E e a , t h e p o i n t f l . f , d v b e l o n g s t o f J E S p d V .H e n c e , I J f p d v l 0 . T h u s b y ( [ 1 6 ] , t h e o r e m

6 ( i i ) , p . 1 2 2 ) , l i m r ( E ) - o f E | 5 p ( a ) I d v ( a ) = 0 u n i f o r m l y i n p . T h e r e f o r e ,

( i i i ) l i m f f p d v = 0 u t n i f o r m l y i n p .

B e c a u s e o f t h e s e c o n d a s s e r t i o n i o f ( [ 1 6 ] , c o r o l l a r y 1 1 , p ) . 2 9 4 ' , ( i i ) a n d ( i i i )

e s t a b l i s h ( i ) .

No w ( i ) i m p l i e s t h a t t h e r e i s a s u b s e ( q u e n e c f , , , o f ' f 4 - s u c h t h a t f 4 J c o i l -

v e r g e s w e a k l y t o a n i n t e g r a b l e f u n c t i o n f f r o m A t o S . S i n c e t h e i n t e g r a l o f a

f u n c t i o n d e p e n d s l i n e a r l y a n d c o n t i n u o u s l y o n t h a t f u n c t i o n , f A f p f d v .

C o n s e q u e n t l y , z = f A f d v .

T h e s y m b o l { f 0 p ) w i l l d e n o t e t h e s u b s e ( l u e c i e e o f { $ p p - c o r r e s p o n d i n g t o t h e

s u b s e q u e n e e L f , , , . e t e b e a n a r b i t r a r y p o s i t i v e r e a l n u m b e r . C h o o s e q s u c h

t h a t , f o r e v e r y p > q , f l J p ( a ) - p ( a ) I d v ( a ) < e . A c c o r d i t i g t o ( [ 1 6 ] , c o r o l l a r y

1 4 , p . 4 2 2 ) , t h e r e i s a c o n v e x c o m b i n a t i o n g o f t h e f p ( w i t h p > q ) , g = , = i a i J ,w h e r e F _ ' = i i = 1 , a n d f o r e v e r y i = 1 , , m , a i > 0 , j i > q s u c h t h a t

( i v ) f I g ( a ) - f ( a ) l d v ( a ) < e

F o r e v e r y a e A , ( p ( a ) i s c o n v e x ; h e i i c e , b y ( 5 . 3 ) ,

( v ) p [ g ( a ) , ( p ( a ) ] < a , p [ f j , j ( a ) , , ( a 1 ) ] .

On t h e o t h e r h a n d , f o r e v e r y a a n d e v e r y p , f , ( a ) e ( p ( a ) ; h e l c e ,

p [ f p ( a ) , p ( a ) ] q , J p [ f , ( a ) , p ( a ) ] d v ( a ) <

f p [ y p ( a ) , p ( a ) ] d v ( a ) < f 6 [ p p ( a ) , ( p ( a ) ] d v ( a ) < e . C o n s e q u e n t l y , b y ( v ) ,

( 2 0 ) f p [ g ( a ) , S o ( a ) ] d v ( a ) < e .

H o w e v e r , ( i v ) s t a t e s t h a t

( 2 1 ) f p [ f ( a ) , g ( a ) ] l v ( ( a ) < e .

C o m b i n i n g t h e l a s t t w o i n e q u a l i t i e s a n d u s i n i g ( 2 . 2 ) , o n i e o b t a i n s

( 2 2 ) f p [ f ( a ) , ( p ( a ) ] d v ( a ) < 2 e .

S i n c e t h i s h o l d s f o r e v e r y E > 0 ,

( 2 3 ) f p [ f ( a ) , ( p ( a ) ] d v ( a ) = 0 .




T h e r e f o r e , p [ f ( a ) , ( p ( a ) ] = 0 a l m o s t e v e r y w h e r e ; h e n c e , f ( a ) E p ( a ) a l m o s t

e v e r y w h e r e .

I n s u m m a r y , g i v e n a n a r b i t r a r y p o i n t z i n f p d v , t h e r e i s a n i n t e g r a b l e f u n c -t i o n f f r o m A t o S s u c h t h a t z = f f d v a n d f ( a ) E ( p ( a ) f o r e v e r y a o u t s i d e a

n u l l s e t A ( . L e t f o b e a f u n c t i o n t h a t c o i n c i d e s w i t h f o n A \ A o a n d s u c h t h a tf o ( a ) E < ( a ) f o r e v e r y a e A . S i n c e f o i s i n t e g r a b l e a n d z = f f o d v , w e h a v e

p r o v e d t h a t

( 2 4 ) f s o d v C f s d v , Q . E . D .

7 . I n t e g r a b l e c o m p a c t - v a l u e d c o r r e s p o n d e n c e s

H e n c e f o r t h S i s a f i n i t e - d i m e n s i o n a l n o r m e d r e a l v e c t o r s p a c e .L e t s o b e a n a - m e a s u r a b l e c o m p a c t - v a l u e d c o r r e s p o n d e n c e f r o m A t o S . W e

w i s h t o d e f i n e a n d t o s t u d y t h e i n t e g r a l o f p . A c c o r d i n g t o ( 3 . 3 ) , A c a n b e p a r -

t i t i o n e d i n t o a n a t o m l e s s p a r t A o a n d a c o u n t a b l e f a m i l y o f a t o m s { A l , A 2 , .I t i s t h e r e f o r e s u f f i c i e n t t o d e f i n e t h e i n t e g r a l o f s o o v e r e a c h A i , ( i = 0 , 1 , * * )

a n d t h e n t o d e f i n e t h e i n t e g r a l o f s o o v e r A a s t h e s u m o f t h e c o u n t a b l e f a m i l yo f s u b s e t s o f S s o o b t a i n e d . T h e d e f i n i t i o n o f f A , o d v f o r i > 0 i s i m m e d i a t e ,

f o r , b y ( 4 . 1 ) , t h e r e i s a n a t o m A t c o n t a i n e d i n A i a n d o n w h i c h s o i s c o n s t a n t .L e t X i b e t h e n o n e m p t y , c o m p a c t s u b s e t o f S t h a t i s t h e v a l u e o f s o o n A ' .S i n c e A 1 \ A i i s n u l l , f A L v d v = v ( A i ) X i n e c e s s a r i l y .

T h e i n t e g r a t i o n - t h e o r e t i c d i f f i c u l t i e s o f t h e s t u d y o f f A ( p d v a r e t h e r e f o r e t h o s e

o f t h e s t u d y o f f A O s o d v , t h e i n t e g r a l o f s o o v e r t h e a t o m l e s s p a r t o f A . F o r t h i s

r e a s o n w e w i l l a s s u m e f r o m now o n t h a t v i s a t o m l e s s .

W e f i r s t p r o v e a g e n e r a l i z a t i o n d u e t o H . R i c h t e r [ 3 6 ] o f a r e s u l t e s t a b l i s h e db y D . B l a c k w e l l [ 7 ] , [ 8 ] f o r t h e c a s e o f a c o n s t a n t c o r r e s p o n d e n c e .

( 7 . 1 ) I f v i s a t o m l e s s a n d ( p i s a c o r r e s p o n d e n c e f r o m A t o S , t h e n f o s p d v i s

c o n v e x .

P R O O F . L e t z i , z 2 b e t w o p o i n t s o f f 0 s d v . T h e r e a r e t w o i n t e g r a b l e f u n c t i o n s

f i , f 2 f r o m A t o S s u c h t h a t z i = f f i d v , Z 2 = S f 2 d v a n d , f o r e v e r y a E A , f i ( a )a n d f 2 ( a ) b e l o n g t o p ( a ) . C o n s i d e r t h e m e a s u r e , u w i t h v a l u e s i n S X S d e f i n e d

o n e b y p ( E ) = ( f E f i d v , f E f 2 d v ) f o r e a c h E e a .

T h e m e a s u r e , u i s e a s i l y s e e n t o b e a t o m l e s s . S u p p o s e t h a t E i s a n atom f o r J , .

T h e n j A ( E ) = 6 0 i m p l i e s v ( E ) > 0 . B y ( 3 . 2 ) a p p l i e d t o v , E c a n b e p a r t i t i o n e di n t o E l a n d E ' b e l o n g i n g t o a s u c h t h a t v ( E 1 ) = v ( E ' ) = ( 1 / 2 ) v ( E ) a n d u ( E 1 ) =

j u ( E ) , A . ( E ' ) = 0 . R e p e a t i n g t h i s c o n s t r u c t i o n o n e o b t a i n s a s e q u e n c e { E p } w i t h

t h e p r o p e r t y t h a t f o r e v e r y p , E p e a , E , p 1 C E P , v ( E , ) = ( 1 / 2 P ) v ( E ) , a n d

g ( E p ) = # ( E ) . L e t F = n p f l . E , . T h e n v ( F ) = 0 a n d J ( F ) = j ( E ) # 0 , a

c o n t r a d i c t i o n .O b s e r v e no w t h a t I , ( 0 ) = ( 0 , 0 ) a n d , u ( A ) = ( z l , Z 2 ) - A p p l y i n g L y a p u n o v ' s

t h e o r e m ( 3 . 2 ) t o A , o n e e s t a b l i s h e s t h a t f o r a n y r e a l n u m b e r a E [ 0 , 1 ] , t h e r e i s

E E a s u c h t h a t p ( E ) = ( a z i , a z 2 ) . T h e r e f o r e , M A ( A \ E ) = [ ( 1 - a ) z 1 , ( 1 - a ) Z 2 ] -



/ 3 7 0 FIFTII BERKELEY SYMPOSIUAI: DEBREIT

D e f i n e t h e f u n c t i o n f a s c o i n c i d i n g w i t h f i o n E a n d w i t h f 2 o n A \ E . S i n c e

f f d v = a z i + ( 1 - a ) Z 2 , t h e p o i n t a z j + ( 1 - a ) Z 2 b e l o n g s t o f J 0 o d v , Q . E . D .

L e t ( p b e a c o m p a c t - v a l u e d c o r r e s p o n d e n i c e f r o m A t o S . W e d e n o t e b y o I h e

c o r r e s p o n d e n c e t a k i n g f o r i t s v a l u e ' ( a ) , t h e c o n v e x h l t l l o f ' P ( a ) , f o r e a c h a e A .

S i n c e S i s f i i i i t e - d i m e n i s i o i a l , a c c o r d i n i g t o a c l a s s i c a l r e s u l t ( s e e , f o r e x a m p l e ,[ 2 0 ] , t h e o r e m 1 0 , p . 2 2 ) , ' ( a ) i s a c o m p a c t , convex s u b s e t o f S . T h e r e f o r e , <

c a n b e c o n s i d e r e d a s a f u n i c t i o n f r o m i i A t o £ . O u i r l a s t p l r o l ) o s i t i o n a s s e r t s t h a t

i f v i s a t o m l e s s a n d s i s i n t e g r a b l e , t l i e i i J f 0 d v c o i n c i d e s w i t h f 0 d v , w l h i c h l i s

a l r e a d y k n o w n b y ( 6 . 5 ) t o c o i n c i d e w i t h J o 0 d v . I t i s t h e r e f o r e l e g i t i m a t e t o

i n t r o d u c e t h e f o l l o w i n g d e f i n i t i o n s .I n t h e c a s e o f a f i n i t e - d i m e n s i o n a l S a n d o f a n a t o m l e s s v , a c o m p a c t - v a l u e d

c o r r e s p o n d e n c e ( p f r o m A t o S i s s a i d t o b e i n t e g r a b l c i f s i s i n t e g r a b l e a n d i t s i n t e g r a l

i s t h e n d e f i n e d b y f p d v = f S d v .

( 7 . 2 ) L e t ( p b e a c o m p a c t - v a l u e d c o r r e s p o n d e t c e c f r o m t A t o S . I f v i s a t o n m l s s

a n d 0 i s i n t e g r a b l e , t h e n f J 0 d v = f s d v .

P I R O O F . F i r s t , f J s o d v C f ' s d v = f s d v . T h e i i c l u s i o i n i s o b v i o u s s i n c e , f o r

e v e r y a E A , r ( a ) C O ( a ) . T h e e ( q u a l i t y i s t h e a s s e r t i o n o f ( 6 . 5 ) . T h u s

( 2 5 ) f s r ( I v C f ( d v .

C o n v e r s e l y , l e t z b e a p O i n t i n t h e b o u n d a r y o f f s d v . I t w v i l l b e s h l o w I I t h a t

z b e l o n i g s t o f 0 r d v . S i n c e b y ( 7 . 1 ) t h e l a t t e r s e t i s c o n v e x , t h i s A w i l l e s t a b l i s h

t h a t f 0 d v C . f s O d v .

T h e p r o o f i s b y i t n d u c t i o n o n l t h e d i m i e n i s i o n i o f t h e s p a c e S , t h e t h e o r e m l l b e i l n g

t r i v i a l l y t r u e i f t h e d i m e e n s i o n o f S i s z e r o .T h e r e l a t i o t i z e f p ( l v i m p l i e s b y ( 6 . 5 ) t h a t t h e r e i s a n i i n t e g r a b l e f u n c t i o n f

f r o m A t o S s u c h t h a t z = J f f d v , a n d , f o r e v e r y a e A , f ( a ) c o ( a ) .

No w f S d v i s c o n v e x . T h e r e f o r e , i f t h e d i m e n s i o n i o f S i s n o t z e r o , t e l C I C i s a

l i n e a r f o r m g o n S , n o t v a n i s h i n i g e v e r y w h e r e , s u c h t h a t

( i ) g ( z ) = m i a x g ( y ) .c f I d v

L e t 4 ' ( a ) = { x C p ( a ) j g ( x ) = m a x y c ( a ) g ( y ) } . C o n i s e ( q u e n i t l y ,

( 2 6 ) { ( a ) = { x e ' ( a ) I g ( x ) = max g ( y ) } -y E j ( a )

A p p l y i n i g ( 4 . 5 ) t o t h e - i m e a s u r a b l e c o m p a c t - v a l u e d c o r r e s p o n i d e l n c e s f r o m l l

A t o S a n d t o t h e r e a l - v a l u e d f u n c t i o n i g w l h i c h l i s c o n i t i n i u o u s o n i S a n d i n d e p e n i d -

C e n t o f a , o n e e s t a b l i s h e s t h a t t h e c o r r e s p o n d e n i c e s 6 i s a * - m e a s u r a b l e o n l A . M l o r e -

o v e r , ' ( a ) C O ( a ) i m p l i e s I Q ( a ) j < I ' ( a ) j f o r t h e n o r m i n . T h e r e f o r e , a c c o r d i n gt o ( [ 1 6 ] , t h e o r e m 2 2 . b , p . 1 1 7 ) , ; i s i n t e g r a b l e .

By a n e w a p p l i c a t i o n o f ( 6 . 5 ) , o n e o b t a i i n s J ° A ( l = f ' d v . S i n c e t h e l a t t e r

s e t , h e l n c e t h e f o r m i e r , i s n o t e m p t y , t h e r e i s a i i i n i t e g r a b l e f u n c i e t i o n i f ' f r o m i i A t o S

s u c l h t i l a t f ' ( a ) c { ( a ) f o r e v e r y a e A . B l y ( [ 1 6 ] , t h e o r e m 1 9 . c , p . 1 1 3 ) , g ( f ( a ) )



I NT EG RA TI ON O F CORRESPONDENCES 3 71

a t i d U ( f ' ( a ) ) a i c i n i t e g r a b l e , f g ( f ( a ) ) d v ( a ) = y ( J f f d Y ) , a n i d f g ( f ' ( a ) ) I v ( a ) =

( f f ' d v ) . On t h e o t h e r h a n d ,

( i i ) y ( f ( a ) ) < g ( f ' ( a ) ) f o r e v e r y a e A ,

w h e r e a s b y ( i ) ,( i i i ) g ( f f d v ) > g ( f f ' d v )

b e c a u s e f f d v = z a n i d f f ' d v b e l o n g s t o f o f d v = f < d v . I n i e q u a l i t i e s ( i i )

a n d ( i i i ) t o g e t h e r e s t a b l i s h t h a t g ( f ( a ) ) = g ( f ' ( a ) ) a l m o s t e v e r y w h e r e , t h a t i s

( 3 7 ) f ( a ) E A ( a ) a l m o s t e v e r y w h e r e .

C o n s i d e r no w t ( a ) = 4 p ( a ) - { f ( a ) } . A c c o r d i n i g t o ( [ 1 6 ] , t h e o r e m 1 9 . a , ) . 1 1 3 ) ,t ( a ) = { ( a ) - { f ( a ) } i s i n t e g r a b l e . F u r t h e r m o r e , f o r a l m o s t e v e r y a , x ce(a)i l n m ) l i e s g ( x ) 0 , w h i l e 0 c & ( a ) a l i n o s t e v e r y w h e r e . T h e l a t t e r r e l a t i o l i i m n p l i e s

( i v ) 0 e f % d v = | d v .

L e t H b e t h e h y p e r p l a n i e { z E S l g ( z ) = 0 ] . F o r a l l m i o s t e v e r y a , & ( a ) C I I .

T h u s , b y t h e i n d u c t i o n h y p o t h e s i s , f o v d v = f ¢ d v . B y ( i v ) , 0 f o v d v .

T h e r e f o r e , t h e r e i s a n i i n t e g r a b l e f u n c t i o n h f r o m A t o S s u c h t h a t f h d v = 0 a n d ,f o r e v e r y a E A , h ( a ) G P ( a ) .

H o w e v e r , h ( a ) e t ( a ) m e a n s t h a t f ( a ) + h ( a ) G 4 , ( a ) . I n c o n c l u s i o n , . f + hi s i n i t e g r a b l e , f o r e v e r y a e A o n e h a s [ f ( a ) + h ( a ) ] ( a ) , a n d f ( f + h ) d v = z .

C o n s e q u e n t l y , z e f o t d v C f o0 p d v , Q . E . D .

R t E F E I R E N C E S[ 1 ] R . G . 1 ) . A L L E N a n d A . L . B O W L E Y , F a m 7 1 i l y E x p e n d i t u r e , L o n d o n , P . S . K i t n g , 1 9 3 5 .

[ 2 ] R . J . A U M A N N , ' M a r k e t s w i t h a ( O l l t i n u u n m o f t r a d e r s , ' E c o n o n m e t r i c a , V o l . 3 2 ( 1 9 6 4 ) ,p ) . 3 , 9 - 5 0 .

[ 3 ] - , " I n i t e g r a l s o f s e t - v a l u e d f u n c t i o n s , ' ' J . M l I a t h . A n a l . . 4 p p l . , V o l . 1 2 ( 1 9 6 6 5 ) , p p .

1 - 1 2 .[ 4 ] , " E x i s t e n e e o f c o m p e t i t i v e e q u i l i b r i a i n i i m a r k e t s w i t h a c o i t i ; n u u i I I o f t r a d e r s , '

E c o n o m t i e t r i c a , V o l . 3 4 ( 1 9 6 6 ) , p p . 1 - 1 7 .[ 5 ] 1 ) . B I E R L E I N , " D e r G r a p h i m e s s b a r r e r F u n k t i o n i e r n m i t a b s t r a k t e m D e f i n i t i o n s b e r e i c h , "

A l a t h . Z . , V o l . 7 6 ( 1 9 6 1 ) , p p . 4 6 8 - 4 7 1 .

[ 6 ] 1 ) . B L A C K W E L L , " I d e m p o t e n t M a r k o f f c h a i n s , " A n n . o f M a t h . , V o l . 4 3 ( 1 9 4 2 ) , p p . 5 6 0 -

5 6 7 .

[ 7 ] ---,"On a t h e o r e m o f L y a p u n o v , " A n n . M a t h . S t a t i s t . , V o l . 2 2 ( 1 9 5 1 ) , p p . 1 1 2 - 1 1 4 .[ 8 ] ---, " T h e r a n g e o f c e r t a i n v e c t o r i n t e g r a l s , " I ' r o c . A m n e r . A M a t h . S o c . , V o l . 2 ( 1 9 5 1 ) ,

p l p ' : 3 9 0 - 3 9 s .[ 9 ] N . 1 3 O U I R B A K I , E M t ? m e n t s d e M a l t h 6 a t i q u t e , L i v r e I , 7 ' l ' o r i e ( l e s E n s e m l b l e s , C h a p t e r s 1 a l i ( l 2 ,

P a r i s , H e r m l i a n n i i , 1 9 5 4 .[ 1 0 ]-, E l e m e n t s d e M a t h 6 m a t i q u e , L i v r e I I I , 7 ' o p o l o g i e G n e & a l e , C h a p t e r s 1 a n d l 2 ,

P a r i s , H e r m a n n , 1 9 6 1 ( 3 d e d . ) .[ 1 1 ] , P l & m e n t s d e M a t h e m a t i q u e , L i v r e V I , I n t e g r a t i o n , C h a p t e r s 1 - 4 , P a r i s , H e r m a n n ,

1 9 5 2 .[ 1 2 ] 1 1 . C H E R N O F F , "An e x t e n s i o n o f a r e s u l t o f L i a p o u n o f f o n t h e r a n g e o f a v e c t o r n m e a s u r e , "

P r o c . A n m e r . M l a t h . S o c . , V o l . 2 ( 1 9 5 1 ) , p p . 7 2 2 - 7 2 6 .



372 FIFTH B E R K E L E Y SYMPOSIUM: DEBREU

[ 1 3 ] M . D A V I S , " S y m m e t r i c s o l u t i o n i s t o s y m m e t r i c g a m e s w i t h a c o n t i i n u u m o f p l a y e r s , "

R e c e n t A d v a n c e s i n G a m e T h e o r y , T h e P r i n c et o n U n i v e r s i t y C o n f e r e n c e , 1 9 6 2 .[ 1 4 ] L . E . D U B I N S a n d L . J . S A V A G E , How t o G a n b l e I f Y o u M u s t , New Y o r k , M c G r a w - H i l l ,

1 9 6 5 .

[ 1 5 ] L . E . D U t B I N s a n d E . H . S P A N I E R t , "How t o C U t a c a k e f a i r l y , " A n e r . M a t h . M o n t h l y ,V o l . 6 8 ( 1 9 6 1 ) , p p . 1 - 1 7 .

[ 1 6 ] N . DUNFORD a n d J . T . S C H I I W A R T Z , L i n e a r O p e r a t o r s , P ' a r t I , New Y o r k , I n t e r s c i e n c e , 1 9 5 8 .[ 1 7 ] A . D V O R E T Z K Y , A . W A L D , a n i d J . W V O L F O W I T Z , " E l i m i n i a t i o n o f r a n i d o m i z a t i o n l i n c e r t a i n i

p r o b l e m s o f s t a t i s t i c s a n d o f t h e t h e o r y o f g a m e s , " P r o c . N a t . A c a d . S c i . U . S . A . , V o l . 3 6

( 1 9 5 0 ) , p p . 2 5 6 - 2 6 0 .

[ 1 8 ] , " E l i m i n a t i o n o f r a n d o m i z a t i o n i n c e r t a i n s t a t i s t i c a l d e c i s i o n i p r o c e d u r e s a n d

z e r o - s u m t w o - p e r s o n g a m e s , " A n n . M a t h . S t a t i s t . , V o l . 2 2 ( 1 9 5 1 ) , p p . 1 - 2 1 .[ 1 9 ] , " R e l a t i o n s among c e r t a i n r a n g e s o f v e e t o r m e a s u r e s , " P a c i f i c J . M a t h . , V o l . 1

( 1 9 5 1 ) , p p . 5 9 - 7 4 .

[ 2 0 ] H . G . E G G L E S T O N , C o n v e x i t y , C a m b r i d g e , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 5 8 .[ 2 1 ] P . R . H A L M O S , "The r a n g e o f a v e c t o r m e a s u r e , " B u l l . A m e r . M a t h . S o c . , V o l . 5 4 ( 1 9 4 8 ) ,

p p . 4 1 6 - 4 2 1 .

[ 2 2 ] F . H A U S D O R F F , S e t T h e o r y , New Y o r k , C h e l s e a , 1 9 5 7 .[ 2 3 ] H . S . H O U T H A K K E R , " T h e P a r e t o d i s t r i b u t i o n a n d t h e C o b b - D o u g l a s p r o d u c t i o n f u n c t i o n

i n a c t i v i t v a n a l y s i s , R e v . E c o n . S t u d i e s , V o l . 2 3 ( 1 9 5 5 - 1 9 5 6 ) , p p . 2 7 - 3 1 .

[ 2 4 ] S . K A R L I N , " E x t r e m e p o i n t s o f v e c t o r f u n c t i o n s , " P r o c . A m e r . M a t h . S o c . , V o l . 4 ( 1 9 5 3 ) ,p p . 6 0 3 - 6 1 0 .

[ 2 5 ] H . K U D O , " D e p e n d e n t e x p e r i m e n t s a n d s u f f i c i e n t s t a t i s t i c s , " N a t u r . S c i . R e p . O c h a n o m i z u

U n i v . , V o l . 4 ( 1 9 5 4 ) , p p . 1 5 1 - 1 6 3 .

[ 2 6 ] C . K U R A T O W S K I , " L e s f o n c t i o n s s e m i - c o n t i n u e s d a n s l ' e s p a c e d e s e n s e m b l e s f e r n i s , "

F u n d . M a t h . , V o l . 1 8 ( 1 9 3 2 ) , p p . 1 4 8 - 1 5 9 .

[ 2 7 ] , T o p o l o g i e I , M o n o g r a f i e M a t e m a t y c z n e , W a r s a w , 1 9 5 8 ( 4 t h e d . ) .

[ 2 8 ] A . L Y A P U N O V , " S u r l e s f o n c t i o n s - v e c t e u r s c o m p l e t e m e n t a d d i t i v e s , " B u l l . A c a d . S c i .

URSS S e r . M a t h . , V o l . 4 ( 1 9 4 0 ) , p p . 4 6 5 - 4 7 8 .

[ 2 9 ] , " S t i r l e s f o n c t i o n s - v e c t e u r s c o m p l e t e m e n t a d d i t i v e s , " B u l l .A c a d . S c i .

URSSS r . M a t h . , V o l . 1 0 ( 1 9 4 6 ) , p p . 2 7 7 - 2 7 9 .

[ 3 0 ] E . MARCZEWSKI a n d C . R Y L L - N A R D Z E W S K I , " P r o j e c t i o n s i n a b s t r a c t s e t s , " F u n d a m i i e n t aM a t h e m a t i c a e , V o l . 4 0 ( 1 9 5 3 ) , p p . 1 6 0 - 1 6 4 .

[ 3 1 ] E . M I C H A E L , " T o p o l o g i e s on s p a c e s o f s u b s e t s , " T r a n s . A n m e r . M a t h . S o c . , V o l . 7 1 ( 1 9 5 1 ) ,p p . 1 5 2 - 1 8 2 .

[ 3 2 ] J . W . MILNOR a n d L . S . S H A P L E Y , " V a l u e s o f l a r g e g a i n e s , I I , " RAND Memo 2 6 4 9 , 1 9 6 1 .

[ 3 3 ] B . P E L E G , " Q u o t a g a m e s w i t h a c o n t i t n u u m o f p l a y e r s , " I s r a e l J . M a t h . , V o l . 1 ( 1 9 6 3 ) ,p p . 4 8 - 5 3 .

[ 3 4 ] G . B . P R I C E , " T h e t h e o r y o f i n t e g r a t i o n , " T r a n s . A m e r . M a t h . S o c . , V o l . 4 7 ( 1 9 4 0 ) ,p p . 1 - 5 0 .

[ 3 5 ] H . R A D S T R 6 M , "An e m b e d d i n g t h e o r e m f o r s p a e e s o f c o n v e x s e t s , " P r o c . A m i i e r . M a t h .

S o c . , V o l . 3 ( 1 9 5 2 ) , p p . 1 6 5 - 1 6 9 .

[ 3 6 ] H . R I C H T E R , " V e r a l l g e m e i n e r u n g e i n e s i n d e r S t a t i s l i k b e n 6 t i g t e n S a t z e s d e r M a s s -

t h e o r i e , " M a t h . A n n . , V o l . 1 5 0 ( 1 9 6 3 ) , p p . 8 5 - 9 0 .

[ 3 7 ] " B e w e i s e r g i i n z u n g zu d e r A r b e i t H a n s R i c h t e r i n A l i h n c h e n i , " M l l a t h . A n n . , V o l .

1 5 0 ( 1 9 6 3 ) , p p . 4 4 0 - 4 4 1 .

[ 3 8 ] S . S A K S , T h e o r y o f t h e I n t e g r a l , New Y o r k , I l a f i e r , 1 9 3 7 ( 2 d e d . ) .[ 3 9 ] L . S . S H A P L E Y , " A d d i t i v e a n d n o n - a d d i t i v e s e t f u n c t i o n s , " P h . D . t h e s i s , P r i n c e t o n

U n i v e r s i t y , 1 9 5 3 .

[ 4 0 ] , " V a l u e s o f l a r g e g a m e s , I I I , " RAND Memo 2 6 5 0 , 1 9 6 1 .

[ 4 1 ] L . S . S H A P L E Y a n d N . Z . S H A P I R O , " V a l u e s o f l a r g e g a m e s , I , " RAND M I e m o 2 6 4 8 , 1 9 6 0 .

[ 4 2 ] K . V I N D , " E d g e w o r t h - a l l o c a t i o n s i n an e x c h a n g e e c o n o i m y v i t h m a n i y t r a d e r s , " I n t e r n a t .E c o n . R e v . , V o l . 5 ( 1 9 6 4 ) , p p . 1 6 5 - 1 7 7 .

Documents

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