INTEGRO - DIFERENCIÁLNE ROVNICE

S ČASOVO-PREMENNÝM ONESKORENÍM

Pavol Chocholatý

Uvažujme Cauchyho úlohu pre ODR

kde funkcia sa mení s narastajúcim časom .

Diferenciálne rovnice s oneskoreným argumentom sa líšia od ODR tým, že derivácia v ľubovoľnom čase závisí aj od riešenia v predchádzajúcich časoch.

0,),( ttxtfx

00 )( xtx

)(tx t

Časové oneskorenia vyskytujúce sa v mnohých modeloch aplikovanej matematiky vyžadujú uvedenú závislosť vyjadriť v podobe

,

kde oneskorený argument je buď konštanta - vtedy hovoríme o rovniciach

s konštantným oneskorením je funkciou času - vtedy hovoríme

o časovo-premennom oneskorení .

))(,...),(,( 1 ktxtxtfx ,0tt

0,)()( ttttx

kjr jj ,...,2,1,0,

)(, tt jj

Špeciálne,rovnicu

nazývame ODR s diskrétnym oneskorením

rovnicu nazývame ODR s diskrétnym časovo-premenným oneskorením samozrejme s poznámkou, že táto funkcia je nekladná (v opačnom prípade by sme hovorili o ODR s predbiehajúcim argumentom)

0,,))(),(,( rtxtxtfx

))((),(,( ttxtxtfx

)(t

Známa je napr. logistická rovnica s oneskorením tvaru

tzv. Hutchinsonova rovnica, popisujúca pre kladné konštanty a a funkciu kde je záporné číslo , logistickú rovnicu s oneskorením . Osciláciami riešení tejto rovnice sa zaoberá práca Gopalsamy , Zhang . Viaceré práce sú venované rôznym zovšeobecneniam tejto rovnice.

ttgKtgxtxtrtx

)(,))((1)()()(

r K ,)( ttg

ZG

Oneskorenie môže by tiež distribuované

Príkladom ODR a distribuovaným oneskorením je aj rovnica

známa ako Volterrova integro-diferenciálna rovnica.Štúdium ODR s distribuovaným oneskorením je

najčastejšie spojené so snahou získať nejaké oscilačné kritériá v spojitosti s periodickým riešením, napr. Tang , Gopalsamy, He, Xue, Wen .

)))(,,(),(,()(0

)( t

dsstxsttxtftx

t

dssxsttxtftx0

))(,,),(,()(

T WXHG

Berezansky, Braverman sa zaoberajú periodickou logistickou integro-diferenciálnou rovnicou

v snahe získať pozitívne riešenia.Z aplikačného pohľadu je vhodným príkladom

ODR s distribuovaným oneskorením systém, v ktorom sa navzájom ovplyvňujú populácie živočíšnych druhov, typu dravec – korisť, známy ako Lotka-Volterrov model, ktorý v prípade distribuovaného oneskorenia je v tvare

BB

0

)()()()()()(T

dsstNsHtbtatNtN

kde predstavuje množstvo koristi v danom čase a

množstvo dravcov, kladné parametre vyjadrujú vzájomnú interakciu a vývoj týchto druhov,

je funkciou reprezentujúcou rýchlosť rastu populácie koristi v závislosti od predchádzajúceho počtu dravcov a vyjadruje rýchlosť rastu populácie dravcov v závislosti od predchádzajúceho množstva koristi. Derivácie predstavujú prírastok danej populácie za jednotku času .

)())(()()( 1

0

21211 txdsstxtxkctx

)())(()()( 2

0

12122 txdsstxtxkctx

)(1 tx)(2 tx

21 ,, kkc

1

2

Spomeňme ešte, že aj model šírenia epidémie vírusu HIV v homogénne zmiešanej skupine pohlaví sa najčastejšie vyjadruje v tvare systému ODR a distribuovaným oneskorením...

Privítali sme, že sa v knihe Kim, Pimenov objavil systém dvoch integro-diferenciálnych rovníc s časovo-premenným oneskorením so zadaným tvarom štartovacej funkcie, doplnený jeho exaktným riešením v snahe nájsť efektívnu numerickú metódu na riešenie úloh tohto typu:

PK

vzhľadom na štartovacie funkcie ,

na intervale .Exaktné riešenie má tvar :

0

2/

)sin(2222

)cos(0

2/1111

)()cos()2

()()cos()(

)()sin()2

()()(sin)(

t

t

t

t

edsstxstttxtxttx

edsstxstttxtxttx

)sin(2

)cos(1

)(

)(s

s

es

es

0s

,0

)sin(2

)cos(1

)(

)(t

t

etx

etx

Analýza – numerický prístup:začiatočná úloha pre ODR

voľba tvaru numerickej metódy • explicitná• implicitná• jednokroková• viackroková

voľba rádu zvolenej numerickej metódyvýpočet určitého integrálu s časovo-premennou hranicou

numerická kvadratúra --- Newtonové – Cotesové vzorce

• zatvorené• otvorené• voľba rádu Newtonových-Cotesových vzorcov

ODR s časovo-premenným oneskorením koordinácia zvolených numerických metód

• z hľadiska ich rádov• z hľadiska zvolených uzlov• na riešenie sústavy dvoch rovníc

realizácia výpočtov porovnanie získaných riešení s exaktným riešením

Realizácia výpočtov

Použité numerické metódy na riešenie ODR s krokom :

Explicitná Eulerova metóda Implicitná Eulerova metódaHeunova metóda Adamsova-Moultonova metódaMilneho metóda Milneho-Simpsonova metóda Implicitná jednokroková metóda 2. rádu

h

Použité numerické metódy pri numerickej kvadratúre s krokom :Zložené Newtonové-Cotesové zatvorené vzorce pre Lichobežníkové pravidlo,Simpsonové pravidlo,Triosminové pravidlo

Vysvetlenie: Vieme, že pri použití napr. Simpsonového pravidla počítame na danom podintervale s tromi približnými hodnotami riešenia. Keďže pracujeme s diskrétnymi hodnotami riešenia získanými použitými numerickými metódami na riešenie ODR s krokom , musí byť teda vzdialenosť koncových bodov podintervalu .

hn3,2,1n

h

h2

Uvažujme riešenie našej úlohy pre a zvolíme deliace body a tak, že pre každé do úvahy prichádzajúce body tohto intervalu platí a v ďalšom sa namiesto sústavy rovníc v premenných

venujme len prvej rovnici a premennú označme pre jednoduchosť .

Na jej riešenie použijeme SÚČASNE dve rôzne metódy-prvá na výpočet po „párnych bodoch“-druhá na výpočet z „párneho na nepárny bod“

6,0tnt 1nt

htt nn 1

)(,)( 21 txtx

)(tx

PRVÁ:Nasleduje ukážka riešenia pri použití lichobežníkového pravidla:Implicitná jednokroková metóda 2.rádu

aplikovaná na rovnicu

je v tvare

))(,())(,(21)()( 111 nnnnnn txtftxtfhtxtx

)cos(0

2/

)()sin()2

()()sin()( t

t

edsstxstttxtxttx

0

2/

)cos(11111

)cos(0

2/1

1

1)()sin()2/()()sin(

)()sin()2/()()sin(21)()(

n

n

n

n

t

tnnnnn

t

tnnnnnnn

edsstxsttxtxt

edsstxsttxtxthtxtx

Touto metódou postupujeme pre pre

Teda máme (Z)

Vzhľadom na charakter dolnej hranice integrálov je rozumné zvoliť krok použitej numerickej kvadratúry rovný H, platí totiž

HktkHtHh nn )1(2,2,2 1 rk ,...2,1,0

0

)1(

))1(2cos(

)2cos(0

))1(2())1(2sin())1(())1(2())1(2sin(

)2()2sin()()2()2sin()2())1(2(

Hk

Hk

kH

kH

edssHkxsHkHkxHkxHk

edsskHxskHkHxkHxkHHkHxHkx

0

)1(

0

)1( kH

kH

HkHk

AAA

a teda môžeme označiť

resp.

potom (Z) bude v tvare

0

)2()2sin()(kH

dsskHxskHkI

0

)1(

))1(2())1(2sin()1(Hk

dssHkxsHkkI

))1(2cos(

)2cos(

)1())1(())1(2())1(2sin(

)()()2()2sin()2())1(2(Hk

kH

ekIHkxHkxHk

ekIkHxkHxkHHkHxHkx

Ak realizujeme výpočet integrálov zloženýmlichobežníkovým pravidlom, dostaneme

resp.

))1(())1sin(())(())sin((2

)(1

0

HpkxHpkHpkxHpkHkIk

p

))2(())2sin(())1(())1sin((2

)1(0

HpkxHpkHpkxHpkHkIk

p

DRUHÁ:Explicitná Eulerova metóda (1.rád) v tvare

aplikovaná na rovnicu

je v tvare

))(,()()( 1 nnnn txtfhtxtx

)cos(0

2/

)()sin()2/()()sin()( t

t

edsstxstttxtxttx

)cos(0

2/1 )()sin()2/()()sin()()( n

n

tn

tnnnnnn edsstxsttxtxthtxtx

Touto metódou postupujeme pre

teda

Vidíme, že tvar integrálu je rovnaký ako vyššie s označením

, teda píšeme

,...2,1,0,)12(,2, 1 kHktkHtHh nn

)2cos(0

)2()2sin()()2()2sin()2())12(( kH

kH

edsskHxskHkHxkHxkHHkHxHkx

)(kI

)2cos()()()2()2sin()2())12(( kHekIkHxkHxkHHkHxHkx

Cieľom práce boloaplikovať uvedené metódy v rôznych kombináciách so

snahou nájsť na základe najmenšej celkovej chyby riešenia v koncovom bode intervalu riešenia „najlepšiu voľbu“ numerického prístupu aj na riešenie úloh „podobného typu“

otestovať vplyv zvolenej numerickej metódy na riešenie Cauchyho úlohy pre ODR v okolí prechodu od spojitej podintegrálnej funkcie k jej diskrétnemu tvaru

pre vybrané metódy analyzovať ich chovanie v závislosti od zjemňovania kroku

ZáverVplyv metód na kvalitu aproximácie riešenia:1. Uvedené explicitné metódy v kombinácii

s kvadratúrnymi metódamidominancia rádu metódy numerickej kvadratúry nad

rádom explicitnej metódyvšetky z uvedených explicitných metód v kombináciách

s metódami kvadratúry vykazovali kvalitnejšiu aproximáciu riešenia pri zjemňujúcom sa kroku

výpočty sme realizovali s krokmi pri prvej metóde, resp. pri druhej metóde

h002.0,02.0,2.0h

001.0,01.0,1.0h

2. Uvedené implicitné metódy v kombinácii s metódami numerickej kvadratúry

takmer rovnaký vplyv rádov oboch typov metód„nezávisle“ od rádu implicitnej metódy pri každej

z použitých kvadratúr je získaná kvalitnejšia aproximácia v okolí bodu prechodu od spojitej podintegrálnej funkcie k diskrétnej

potvrdil sa očakávaný vplyv závislosti kvality aproximácie od zjemňujúceho sa kroku

napr. na danom intervale riešenia bola celková chyba pri použití Milneho-Simpsonovej metódy 5.rádu , Simpsonovho pravidla a kroku

v absolútnej hodnote menšia ako tri stotiny v porovnaní s exaktným riešením

h

002.02 Hh

Literatúra:

Berezansky,L.,Braverman,E.: Oscillation properties of a logistic equation with distributed delay. Nonlinear analysis:Real World Appl. 4 (2003), pp.1-19

Gopalsamy,K.,Zhang,B.: Oscillation and nonoscillation in a nonautonomous delay-logistic equation. Q.Appl.Math.XLVI (1988), pp.267-273

Gopalsamy,K.,He,X.Z.,Xue.Z,Wen,L.Z.: Global attractivity and oscillationin periodic logistic integrodifferential equation., Houston J.Math.17(1991), pp.157-177

Kim,A.V.,Pimenov,V.G.:Numerical methods for delay differential equations. Lecture notes series Number 44, Seoul National University,Seoul 151-742, Korea

Tang,X.H.: Oscillation of first order delay differential equations with distibuted delay. Mat.Anal.Appl.289(2004), pp.367-378

BB

ZG

WXHG

PK

T

Ďakujem za pozornosť