Interazione radiazione materia

Equazioni del LASER

Simone Cialdi

Outline

Processi fondamentali Emissione ed assorbimento stimolati (teoria perturbativa al primo ordine)

Emissione spontanea (modello di Einstein)

Idea del LASERAmplificazione (inversione di popolazione)

Saturazione del guadagno (guadagno = perdite)

Livelli energeticiNd:YAG e Ti:Sa (stato solido)

Rate equationsCondizione di soglia

Pout vs Pin

Emissione ed assorbimento stimolatiAssorbimento stimolato Emissione stimolata

atomo

radiazione elettromagnetica (fotoni)

1122 NB

dt

dN ⋅= ρ 2212 NB

dt

dN ⋅−= ρ2N

1Nωh

2Nρ

numero di atomi eccitati per unità di volume

densità di energia del campo elettromagnetico

ijB costante Il tempo caratteristico per avere un processo stimolato è inversamente proporzionale alla densità di energia del campo

Interazione di dipolo (teoria perturbativa al primo ordine)

( )0ψ EHH o µ−=

atomo imperturbatointerazione atomo-radiazione

nella rappresentazione di interazione ottengo:

( ) ( ) ( )ttVtt

i ψψ =∂∂

h

( ) ( ) tHi

tHi

oo

eEetV hh−

−= µ

( ) ( ) ( ) ( )∫ Ψ+Ψ=Ψt

dtttVi

t0

111

10

h

soluzione generale implicita

stato iniziale

Breve richiamo teorico sui processi stimolatidipolo

campo

( ) ( ) ( ) ( )∫ Ψ+Ψ=Ψt

dttVi

t0

11 01

0h

soluzione approssimata al primo ordine

Questa approssimazione hasenso se nel tempo t laprobabilità di trovare l’atomo sustati diversi da quello di partenzaè molto piccola

( ) ( ) ( ) ttIdttVtt

ρψψψ ∝∝=Ψ ∫2

0

1122

2

2 01

h

probabilità di salto tra lo stato ground e lo statoeccitato nel tempo t

2E

EV

∝

∝

ρ

intensità

densità di energia del campo

Ma nel caso del LASER l’interazione avviene per tempi lunghi e leprobabilità di eccitazione e di assorbimento non sono trascurabili(perché allora si possono usare queste equazioni?)

Stato iniziale

Stato finale quanto vale t ?

Dunque la probabilità è proporzionale alla densità di energia del campo

Dephasing dovuto agli urti (decoerenza)

urti con i fononi del reticolo o trala molecole.Gli urti con i fononi avvengonoin tempi piccoli rispetto a quellirelativi alla dinamica dellepopolazioni atomiche.

( ) egt ψβψα +=Ψdecoerenza

eegg PP ψψψψρ 21 +=

sovrapposizione coerente mistura statistica

Indicando con ∆τ il tempo di decoerenza, si può dire che dopo ∆τ è comese l’atomo si scordasse del suo passato e si trova nello stato ground onello stato eccitato. Ovvero, l’evoluzione procede per piccoli steptemporali durante i quali l’approssimazione al primo ordine è valida.

Consideriamo il mezzo alla temperatura T (equilibrio termico) all’interno di una scatola conpareti riflettenti. All’equilibrio si avrà che N1 e N2 sono costanti, quindi dovrà risultare:

1122212 NBNBNA ⋅=⋅+⋅ ρρ

−=

−−=kT

h

kT

EE

N

N νexpexp 12

1

22112 exp B

kT

hB

A

−

=

νρ

Poiché i fotoni sono Bosoni deve valere la distribuzione di Bose-Einstein, quindi ricavo (perottenere il risultato devo porre a 0 il valore del potenziale chimico della distribuzione di B-E, infatti, ilpotenziale chimico è dato dalla derivata dell’energia libera rispetto al numero di fotoni e l’energia libera haun minimo nella condizione di equilibrio)

2112 BB =3

338

c

nh

B

A νπ=

Decadimento spontaneo (modello di Einstein)

2N

1N12B 21B A

1122 NB

dt

dN ⋅= ρ

2212 NB

dt

dN ⋅−= ρ2

2 NAdt

dN ⋅−=

Poiché non abbiamo quantizzato il campo per introdu rre l’emissione spontanea imponiamo la validità della distribuzione di Bose-E instein

decadimento spontaneo

Principio di funzionamento del laser

mezzo attivo(guadagno)

specchio

accoppiatore di uscita(perdite)

t

perdite

Nel LASER, all’equilibrio, abbiamo che:guadagno = perdite:

1) Se il guadagno è uguale alle perdite perchéil laser si accende? (evidentemente nellafase di accensione il laser non è all’equilibrioe il guadagno è superiore alle perdite)

2) E’ dunque necessario un processo disaturazione del guadagno che porta il laserall’equilibrio (guadagno=perdite)

equilibrio

Premessa

Campo elettromagnetico “classico” (nel senso che non introdurremo gli operatori a e a+)

Mezzo attivo “quantistico”

1E

2E2N

1N

ρ densità di energia Livelli energetici quantizzati

I intensità

F flusso di “fotoni”

n

cI ρ=

νh

IF =

φ numero di “fotoni” in cavità 2,1N numero di atomi per unità di volume

indice di rifrazione

cavità

νh

Amplificazione (condizione per ottenere un guadagno)

dtn

cdz =

( )zρ ( )dzz +ρ

( )12 NNBdt

d −=Χ ρ

Calcolo il numero di fotoni per unità di volume che vengono ag giunti (o sottratti) allaradiazione entrante nell’unità di tempo a causa del passagg io nel mezzo. Trascurol’emissione spontanea perché viene emessa su tutto l’angol o solido.

( )12 NNBhdt

d −= ρνρ

( )12 NNBc

nh

dz

d −= ρνρper ottenere amplificazione deve essere:

12 NN >

campo entrante campo uscente

spessore infinitesimo di materiale

numero di fotoni per unità di volume

emissione stimolata assorbimento stimolato

Χ= νρ h

riprendiamo l’equazione relativa all’equilibrio termodinamico (pg. 7):

122 NBNBNA ⋅=⋅+⋅ ρρ

11

2 ≤+

=B

AB

N

N

ρ

quindi otteniamo sempre:

12 NN ≤

Amplificazione (necessità di più di 2 livelli atomici)

E’ possibile ottenere la condizione con due soli livelli atomici?12 NN >

Ovvero un mezzo in cui le popolazioni N2 e N1 dipendono dalla densità di energia ρ.

Da questa equazione ricaviamo il rapporto tra N2 e N1 in funzione di ρ:

Quindi con due soli livelli atomici coinvolti e una sola radiazione non possiamo ottenere amplificazione

Inversione di popolazione

laser a 3 livelli: laser a 4 livelli:

1E

2E

3E

1E

2E

3E

4EP

ompa

Pom

pa

YAGNd :YAGYb :

decadimento non radiativo molto veloce

23 NN >

12 NN >

Introduciamo una radiazione di pompa e più livelli atomici

I decadimenti indicati con le frecce tratteggiate sono decadimenti molto veloci (più veloci dei decadimenti tra i livelli laser). Possiamo sempre considerare il livello 3 (laser a 3 livelli) e il livello 4 (laser a 4 livelli) vuoti (notare che il processo di emissione stimolata non avviene). Nel caso del laser a 4 livelli possiamo considerare vuoto anche il livello 2. Nel caso di un laser a 4 livelli si ottiene inversione di popolazione per qualsiasi potenza di pompa, invece nel caso di in laser a 3 livelli è necessaria una certa potenza di soglia (esercizio) .

νh

νh

phνphν

Richiamo sulla sezione d’urtoCaso relativo all’Emissione stimolata

σνρ

h=Χ

v=c/n

Ricavo il tempo caratteristico dell’interazione:

σvτs = V dove V deve contenere una sola particella, ovvero: V=1/X

1/τs = Xvσ

fotoni

Nel seguito il concetto di sezione d’urto ci sarà utile

Numero di fotoni per unità di volume

sezione d’urto: area messa a disposizione dal bersaglio per l’interazione considerata

velocità

tempo caratteristico

volume

Il tempo caratteristico è inversamente proporzionale alla sezione d’urto

Saturazione del guadagnoCosa fa diminuire il guadagno mentre il laser tende all’equilibrio?

0N

1N

2N

3N ( )03 =N

( )01 =N

τpR σemissione spontanea

emissione stimolata

assorbimento stimolato

Considero un laser a 4 livelli.

Scrivo l’equazione per N2:

0222 1

NBNNBdt

dNppρ

τρ +−−=

Poiché N3=0 considero solo l’assorbimento stimolato della pompa e dico che tutta l’energia mandata su N3 decade subito in N2.

Dalla definizione di sezione d’urto ricavo subito*:

pRNNnh

c

dt

dN +−−= 222 1

τρ

νσ

Numero di atomi per unità di volume mandati sul livello N2 nell’unità di tempo

νρσ

τρ

hn

cB

s

== 1*

Per un dato valore della densità di energia ρ all’equilibrio ricavo:

τρ

νσ 12

+=

nh

c

RN p L’emissione stimolata fa diminuire l’inversione di

popolazione e ciò fa diminuire il guadagno. Ovvero, mentre ρ aumenta il guadagno diminuisce.

Vediamo l’equazione per il guadagno (da pg. 10):

( ) ρρσρνρ ⋅=⋅=−= gNNNBc

nh

dz

d212

Quindi per un dato valore di N2 abbiamo un guadagno esponenziale:

coeff. di guadagno

( ) ( )02 ρρ σ zNez =

Dunque il coeff. di guadagno diminuisce all’aumentare della densità di energia:

τρ

νσ

σ1+

=

nh

c

Rg p Nel caso di un laser per una data potenza di pompa la ρ

aumenterà fino a rendere g uguale alle perdite (guadagno=perdite)

L’equazione trovata per g risultà più leggibile se si sostituisce la densità di energia con il flusso (pg. 9)

nh

cF

νρ= Numero di fotoni che attraversano l’unità di superficie nell’unità di

tempo

111

0

+=

+=

+=

sat

pp

F

Fg

F

R

nh

c

Rg

τσ

σ

τρ

νσ

σ

τσ1=satF Flusso di saturazione

pRg τσ=0Guadagno per piccole densità di energia

Quando il flusso diventa maggiore di Fsat il guadagno diminuisce velocemente. Fsat è tanto più piccola quanto più è grande la sezione d’urto per emissione stimolata e tanto più grande (inefficiente) è l’emissione spontanea.

Da un altro punto di vista un mezzo attivo con F s piccola necessità di una piccola potenza di pompa per arrivare alla condizione in cu i il guadagno è uguale alle perdite e questo è un punto fondamentale per un LAS ER.

A questo punto abbiamo tutto il necesario per scrivere le equazioni del LASER, ma prima è utile vedere più da vicino i livelli di due mezzi attivi molto importanti (Nd:YAG e Ti:Sa) e i valori di σ e τ.

Nd:YAG

( )32321253 532

1OAlOYOAlYYAG +=→

circa l’1% degli ioni Y3+ vengono sostituiti con gli ioni Nd3+

:Nd ( ) 204 654 sdfXe

:3+Nd ( ) 34 fXe

i tre elettroni rimanenti nel 4f sono schermati dagli elettroni delle shellcomplete del 5s e del 5p che sono più esterne

I livelli elettronici dello ione Nd3+ all’interno dello YAG sono molto simili a quelli dello ione libero grazie all’effetto schermo. Inoltre, la piccola interazione tra gli elettroni del 4f e i fononi del reticolo cristallino implica un tempo caratteristico di urto tra gli elettorni e i fononi grande e dunque un piccolo allargamento di riga (si approfondirà nella lezione 3). La larghezza di riga del Nd:YAG è di circa 150GHz a T ambiente.

Struttura elettronica dell’atomo e dello ione

Livelli energetici del Nd3+ nello YAG

JS L12 + L’interzazione SL non rimuove la degenerazione su Jz. L’interzazione

con il reticolo la rimuove parzialmente (data la struttura ottaedricasubiscono lo stesso shift energetico i livelli con lo stesso )

zJ

f4

3 2 1 0 -1 -2 -3

6123 =++=L

2

3

2

1

2

1

2

1 =++=S

2

9=−= SLJ

S P D F G H I

800

nm

730

nm

1064

nm

294 I

292

254 , HF

274

234 , FS

234 F

2114 I

+3Nd

τσ

Il picco di assorbimento è a 808nm. Può essere pompato sia da diodi laser che da lampade

219108.2 cm−⋅=σsµτ 230=

notazione spettrale

0 1 2 3 4 5 6

Stato fondamentale

(Titanio Zaffiro) Ti:Al2O3 anche chiamato Ti:Sa

Circa l’0.1% degli ioni Al3+ vengono sostituiti con gli ioni Ti3+

( ) 22 43: sdArTi ( ) 13 3: dArTi +

In questo caso l’elettrone del livello 3d è esterno ed interagisce fortemente con il reticolo di Zaffiro

La forte interazione tra l’elettrone e i fononi del reticolo determina una forte dipendeza delle distanze di equilibrio tra ioni Ti e ioni O dal livello elettronico.

Ovvero, la distanza di equilibrio aumenta all’aumentare del livello elettronico.

Si tratta di un laser a 4 livelli: il livello eccitato decade velocemente (fononicamente) sul fondo della parabola (potenziale armonico). Poi abbiamo un decadimento radiativo su un livello fononico eccitato ed infine un decadimento fononico sul fondo della parabola ground.

Poiché le due parabole risultano shiftate orizzontalmente abbiamo un forte allargamento dello spettro di assorbimento e dello spettro di emissione.

Ti:sa

Si ricava ciò dalla fig. precedente considerando l’indeterminazione spaziale dello stato sul fondo delle parabole (oscillatore armonico quantistico nello stato fondamentale)

Solitamente il Ti:sa viene pompato dalla seconda ar monica di un Nd:YAG (1064nm/2=532nm), o da un laser ad Argon (la ser a Gas) a 488nm.

Lo spettro di fluorescenza del Ti:Sa è molto largo e ciò vuol dire che questo mezzo attivo può essere usato sia per realizzare un laser tunabile tra 700 e 900nm sia un laser impulsato al fs (tecnologia Mode-Locker).

219108.2 cm−⋅=σsµτ 2.3=

Rispetto al Nd:YAG il tempo di emissione spontanea è più piccolo e dunque la fluenza di saturazione è più alta

Rate equations (equazioni del LASER)Ci serve un’equazione per l’inversione di popolazione e una per la densità di energia o equivalentemente per il numero di fotoni in cavità. Da notare che il dephasing ci ha permesso di scrivere delle equazioni con grandezze scalari, ovvero, non usiamo il vettore campo elettrico (con la sua fase) ma solo la densità di energia.

0N

1N

2N

3N ( )03 =N

( )01 =N

τpR σ

( )2NN =

Laser a 4 livelli

219: 108.2 cmYAGNd

−⋅=σ

sYAGNd µτ 230: =

−=

−−=

φτ

φφτ

φ

coa

op

NBVdt

d

NNBRdt

dN

1

1

numero di fotoni in cavità

guadagnoperdite

deve comparire un volume perche φ non è una densità

ρ e φ sono proporzionali quindi lo saranno anche B e B0

Va è il volume del mezzo attivo in cui vengono generati i fotoni (ovvero il volume coperto dalla radiazione)

( ) ( )0)1)(1( 22 IeTTI alNrt

σ∆−−=

Scrivo l’Intensità dopo un round-trip in cavità

al

T

N,σ∆

Abbiamo bisogno di un modo per trovare il tempo car atteristico delle perdite

della cavità τc e il coeff. Bo:

L

perdite interne per singolo passaggio trasmittività dell’accoppiatore di uscita

tempo di round-trip

Le perdite interne e il guadagno vanno considerati 2 volte perché in un round-trip ho un doppio passaggio (cavità lineare)

lunghezza del mezzo attivo

( )Tdf

−−= 1ln1γ ( )∆−−= 1ln2

df

γ

( ) ( ) ( ) ( )02210 2122 21 IlNIeTI a

lNrt

a σγγσγγ +−−≈= +−−

( ) ( ) ( ) ( )020 IlNITI art σγ +−=− 21

2γγγ +=

df

Definisco due coeff. di perdita

E sostituisco nella precedente equazione:

Ovvero, sto dicendo che la dinamica dell’intensità avviene su tempi più lunghi rispetto a Trt (il quale tipicamente è dell’ordine dei ns)

( ) ( ) ( ) ( )020 IlNTdt

dIITI artrt σγ +−==−

c

LT eff

rt

2= ( ) aeff lnLL 1−+=

IL

cI

L

lNc

dt

dI

effeff

a γσ −=

Da cui si ricava:

effeffa

ao V

c

LV

clB

σσ ==c

Leffc γ

τ =21

21 11

2

1

ττγγ

τ+=

+=effc L

c

Per calcolare il tempo di RT dobbiamo considerare che il mezzo attivo ha un indice di rifrazione n

guadagno perdite

φγφσφeffeff

a

L

c

L

lNc

dt

d −=

φτ

φφc

oa NBVdt

d 1−=

I∝φ

Pg. 21

esercizio

Verificare che nel caso di una cavità a ring abbiamo:

−=

−−=

φτ

φφτ

φ

coa

op

NBVdt

d

NNBRdt

dN

1

1 ( )21

1 γγτ

+=effc L

c

c

LT eff

rt =manca il 2

Cavità a ring

effo V

cB

σ= uguale

Soglia di funzionamento del LASERConsidero il LASER all’equilibrio ovvero: 0=

dt

dφ0=

dt

dN

−=

−−=

φτ

φφτ

φ

coa

op

NBVdt

d

NNBRdt

dN

1

1 Se Rp è molto bassa il laser è spento e dunque φ è zero. Dalla prima equazione ricaviamo:

01 =−= NR

dt

dNp τ

pRN τ=

Ovvero N cresce linearmente con Rp (ovvero con la potenza di pompa). Questo finchè il laser è spento…

pR

N

oac BVN

τ1=

Se consideriamo la seconda equazione vediamo che ad un certo punto (facendo crescere N) il guadagno diventa uguale alle perdite:

01 =−= φ

τφφ

coa NBV

dt

d

guadagnoperdite

Dunque esiste un N soglia che corrisponde ad un Rp di soglia al quale il laser si accende (ovvero quando il guadagno diventa uguale alle perdite). Una volta che il laser è acceso N non cresce più all’aumentare di Rp ed il s uo valore dipende solo dalle perdite . Più le perdite sono alte e più abbiamo bisogno di un N elevato per bilanciarle.

pR

N

Sogliaguadagno = perdite

(Attenzione) all’esame non dire cose del tipo: “il laser si accende quando l’emissione stimolata diventa uguale all’emissione spontanea” perchè vorrebbe dire dover rifare l’esame

Dalla prima equazione, quando siamo sopra soglia (N costante ) all’equilibrio ricaviamo:

01 =−−= NNBR

dt

dNop τφ

−= NRNB p τ

φ 11

0

Ovvero, dopo la soglia il numero di fotoni in cavità sale linearmente:

pR

N

Sogliaguadagno = perdite

pR

φ

Potenza di pompa

N

( )03 =N

( )01 =N

τpR σ

Rp è la densità di atomi eccitati dalla pompa nell’unità di tempo:

mapmapp Vh

P

dt

dE

Vhdt

dNR

νν333 1 ===

Dove P3 è l’energia pompata sul livello 3nell’unità di tempo. Questa potenza élegata alla potenza di pompadall’efficienza di pompaggio:

pp PP η=3

Quindi è chiaro che Rp è proporzionale a Pp. Quando la pompa è un diodo laser invece diuna lampada si deve considerare il fatto che la potenza di pom pa é a sua voltaproporzionale (approssimativamente) alla corrente I che s corre nel diodo. L’efficienza (lovedremo meglio nella terza lezione) dipende da vari fattori, ad esempio la sovrapposizionespettrale tra la pompa e la riga di assorbimento del mezzo attivo.

Nel seguito sarà importante sostituire a Rp una potenza e delle efficienze di pompaggio

Volume del mezzo attivo dove è presente la radiazione di pompa

Considerazioni sulla soglia di funzionamento

cV

VNR

ac

effpth στττ

==

Per ottenere una bassa soglia di funzionamento (bas so pompaggio, piccolo riscaldamento del mezzo attivo) il mezzo attivo dev e avere un tempo di decadimento spontaneo e una sezione d’urto di emissione stimola ta alti (bassa fluenza di saturazione)

S

V

V

hP

ma

ap

ppth στ

γη

ν 1

=

Nel caso del Nd:YAG si ottiene:

( )22)( 38 mmS

V

Vmm

WP

ma

ap

sogliap

≈η

γ

S è l’area occupata dalla radiazione LASER nel mezzo attivo

Quando si progetta un laser si deve partire dalla stima della potenza necessaria per accenderlo. Ciò implica una stima di S e con S si progetta la cavità.

Potenza di uscita del laser

−=

−=

−= 11

111

000 thp

ppp P

P

BN

R

NB

NNR

NB ττ

ττφ

( )11 −=

−= x

c

SL

P

P

c

SL effdf

thp

peff

στστφ

La potenza di uscita si ricava considerando il numero di fotoni che nell’unità di tempo escono dall’accoppiatore di uscita e moltiplicando per l’energia di ognuno di questi:

φνγφτν

effout L

chhP

21

1

==

Tempo caratteristico delle perdite dell’accoppiatore di uscita (pg. 24)

( )121 −

= xSh

Pout

γτσ

ν

La potenza di uscita aumenta con l’area ma non con la lunghezza del mezzo attivo. Esercizio : ragionare sulla fisica di questo risultato