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Interferência em Lâminas DelgadasInterferência em Lâminas Delgadas
Dois feixes
0,1,2,...)( 21''cos2 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += mmnd oλθ Máximo de Reflexão
0,1,2,...)( ''cos2 == mmnd oλθ Mínimo de Reflexão
Interferência em Lâminas DelgadasInterferência em Lâminas DelgadasMúltiplos feixes
Teorema da superposição:
∑∞
=
+++==1
321 ...i
i EEEEE
Como calcular Ei ?
Interferência em Lâminas DelgadasInterferência em Lâminas Delgadas
E1 E2
tio
tio
etEoTransmitid
eEIncidenteω
ω
−
−
:
:Em A: )2(
)2(
22
22
)'('
)'( tBCkABki
o
tBCkABkio
eErrtto:Transmitid
etErr Incidente:ω
ω
−+
−+
Em D:
r, r’, t e t’ são os coeficientes de reflexão
e transmissão)(
)(
2
2
'
tABki
o
tABkio
eEtto:Transmitid
etE Incidente:ω
ω
−
−
Em B:
Interferência em Lâminas DelgadasInterferência em Lâminas Delgadas
( )
φ
φφ
φφ
io
iio
io
ioo
ii
rerttEE
errerrttEE
errttEerrttEttEE
EEEEE
'1'
...)'()'(1'
...)'(')'(''
...
22
221
321
−=
+++=
+++=
+++== ∑∞
=
MasRrrrRTtt
==
−==2'1' ( )
φio
eRREE
11
−−
=
φ = diferença de fase entre dois
raios consecutivos
( ) ( )φ
αφ cos21
1
1
1 2
2
2
2202
RRRI
eR
REEI o
i −+−
=−
−=Intensidade
Interferência em Lâminas DelgadasInterferência em Lâminas Delgadas
( ){ )cos1(2)1(cos21
1
2sin2
2
2
2
2
2
43421⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+−=
−+−
=
φ
φφ RRTI
RRRII
T
oo
( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
=
2sin4 22
2
φφ
RT
TII o
Interferência em Lâminas DelgadasInterferência em Lâminas DelgadasVariação de I com R( )φI
φ
Maior R
Franjas mais estreitas e nítidas
Visibilidade ou contraste: minmax
minmax
IIIIv
+−
=
Interferência em Lâminas DelgadasInterferência em Lâminas Delgadas
Para calcular a largura das franjas
Vamos considerar o caso em que -situação de máximo contraste , com um pequeno deslocamento de fase ε (ε << 1 ) a partir de um máximo de interferência :
( )1 1 ≈<< RT
επφ += 2m
( ) ( )
42sin
cos2
sin2
cossin2
sin2
sin
22
222
εε
πεεπεπφ
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ mmm
22
2
22
2
2sin4 εφ +
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+ T
T
RT
T
Interferência em Lâminas DelgadasInterferência em Lâminas Delgadas
Largura a meia altura:1,0
0,5
+φ−φ
πm2
T2=− −+ φφ
22
200
2 ε+==
TTIII
InterferômetrosInterferômetros
Interferômetro de Fabry-Perot
Espelhos fixos: InterferômetroEspelho móvel: Etalon-Para que serve?
Medidas de comprimentoMedidas de λ
Medidas de nFiltro de comprimentos de
onda
InterferômetrosInterferômetrosInterferômetro de Fabry-Pérot
Máximo de transmissão:,...)2,1,0( cos2 == mmnd λθ
Incidência normal: ,...)2,1,0( 2 == mmnd λPoder separador:
λλ
∆
mm
mmnd
mnd
∆=∆
∆−=∆
=
λλ
λ
λ
2
2
2
1=∆m
m1
=∆λλ
InterferômetrosInterferômetrosInterferômetro de Michaelson
( )212 xx −=λπφ
No vácuo, n = 1, a diferença de caminho óptico é:
x1 e x2 são os caminhos percorridos pelos feixes 1 e 2
A intensidade observada em P é:
Condição de máximo:
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+= 21
2cos12 xxII o λπ
( ) πλπφ mxx 22
21 =−=
Exemplo 1Exemplo 1
λ = 633 nm
L = 1m
Um dos braços do interferômetro encontra-se no ar (pressão = 1atm, nar = 1,00029 ) e o outro contém um tubo evacuado de L = 1m.
a) Se nessas condições a interferência observada é perfeitamente destrutiva, determine a menor pressão de ar que deve ser introduzida no tubo para que a interferência passe a ser completamente construtiva
Exemplo 1Exemplo 1
λ = 633 nm
L = 1m ( ) ( )
( ) 1214
122221
+=−
+=×−×=
mnL
mLnLn
ar
vacuoar
λ
πλπφ
( ) ( )
( ) mnnL
mLnLn
ar
ar
24
22222
=−
=×−×=
λ
πλπφ
Situação inicial – interferência destrutiva
Situação final – interferência construtiva
Como m é o mesmo (uma franja escura está sempre seguida de uma franja clara):
( ) ( )
( ) 114
1414
=−
+−=−
nL
nnLnLarar
λ
λλ 7105825,11 −×=−n
Exemplo 1Exemplo 1
Para baixas pressões: Apn +≅ 1 , A = constante 00029,0
01100029,1tan =
−−
== Aθ
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
1,00000
1,00005
1,00010
1,00015
1,00020
1,00025
1,00030
n
pressão (atm)
θ
ppn00029,010578,1
00029,017 =×
≅−−
atmp 41045,5 −×=
Exemplo 1Exemplo 1b) Se a pressão é aumentada notam-se oscilações no detector
até que em p = 5 atm, elas desaparecem. Estime o comprimento de coerência do laser.
00145,100029,01
=+≅
npnEm p = 5 atm
Comprimento de coerência:
( ) mnnLl
l
arc
c31016,122
óptico caminho de Diferença−××=−≈
≈
mmlc 3,2≈
Exemplo 2Exemplo 2
d
L
L = 20 cmλ = 589 nmIncidência quase perpendicularFranjas claras observadas: 19
a) Quais são os limites do diâmetro do fio?
A 19ª franja não está exatamente na extremidade da placa. A 20ª não évisível.
1918 ≤≤ m
Para incidência quase perpendicular:
( )λλπφ
2/12
2
+=
=∆
md
nd
mdm µµ 74,545,5 ≤≤
Exemplo 2Exemplo 2
d
L
L = 20 cmλ = 589 nmIncidência quase perpendicular
b) Se o diâmetro do fio passar para 120 µm, quantas franjas serão visíveis?
( )
λλ
λλπφ
24
2/12
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
+=
=∆
dm
md
nd
franjasm 407=