Interńı modely v neživotńım pojǐstěńı

23.10. a 30.10.2015

Interńı modely v neživotńım pojǐstěńı

Deterministická bilance v čase t = 0 slouž́ı jako výchoźı báze pro

daľśı modelováńı. Pomoćı stochastického modelu zisk̊u a ztrát se

projektuj́ı hodnoty aktiv a pasiv v čase t = 1. Simulace vycházej́ı z

p̌redpokladů o novém obchodu i stávaj́ıćım kmeni. Výsledky

simulaćı se použij́ı k analýze rozděleńı vlastńıho kapitálu v čase

t = 1.

oceněńı fér hodnotou (co nejbĺıže pozorovaným tržńım cenám)

ekonomické scéná̌re - modelováńı exterńıch stochastických faktor̊u

Pojistně technické riziko

-riziko rezerv (nedostatečnost rezerv pro stávaj́ıćı kmen)

-riziko pojistného (nedostatečnost pojistného pro nový obchod)

-riziko vývoje škod (odlǐsný vývoj ve výplatách škod od očekáváńı)

Pojistně technický výsledek (PTV)

=pojistné (P) - náklady (N) - výplaty škod (S) - změna škodńı

rezervy (∆ R)

Všechny hodnoty očǐstěné od zajǐstěńı (netto pojistně technický

výsledek), pro jednoduchost se neuvažuje p̌renáška pojistného.

Pojistně technické riziko

S = S1 + S2,

S1 - výplaty za škody nastalé v aktuálńım roce, S2 - výplaty za

škody vzniklé v p̌redchoźıch letech.

∆R = ∆R1 + ∆R2,

∆R1 - změna rezervy na škody vzniklé v aktuálńım roce, ∆R2 -

změna rezervy na škody z p̌redchoźıch let.

(tvorba +, použit́ı -)

PTV = (P − N − S1 −∆R1) + (−S2 −∆R2)

Výraz v prvńı závorce odráž́ı riziko pojistného, výraz v druhé

závorce riziko rezerv.

Rezervy

R(0) - hodnota rezervy v čase 0 (deterministická)

R1 - rezerva v čase 1 (náhodná)

S1 - platby za škody během roku (náhodné)

Výsledek vývoje škod na konci roku:

V1 = R1 + S1 − R(0)

Klademe-li

R(0) = E R1 + E S1,

lze psát

V1 = (R1 − E R1) + (S1 − E S1).

Př́ıklad

Př́ıklad má ilustrovat závislost výsledku na použité metodě

stanoveńı rezervy. Předpokládá se vývoj škod po dobu 3 let.

Celkové škody modelovány normálńım rozděleńım se sťredńı

hodnotou 1000 a rozptylem 0,25.

Na konci prvńıho roku vyplaceno 0% z celkových škod, na konci

druhého roku vyplaceno v pr̊uměru 75% celkových škod, p̌ri použit́ı

normálńıho rozděleńı s rozptylem 0,2.

Uvažujeme pouze škody vzniklé v jednom roce.

Budeme uvažovat 2 r̊uzné metody odhadu celkových plněńı.

Př́ıklad

Obě metody odhaduj́ı na konci prvńıho roku celková plněńı

hodnotou 1000.

Odhad celkových plněńı na konci druhého roku:

Metoda 1: dosud vplacené škody/0,75

Metoda 2: max(dosud vyplacené škody,1000).

Tabulky ukazuj́ı výsledky pro několik prvńıch simulaćı, uváděné

sťredńı hodnoty a směrodatné odchylky byly zjǐstěny z 1000

simulovaných scéná̌r̊u.

Metoda 1

Metoda 2

Volatilita škodńıch rezerv

Možné p̌ŕıstupy ke zjǐst’ováńı volatility rezerv:

1) explicitńı vzorec pro odhad volatility - Mack̊uv model

2) odhad založený na simulaćıch - metoda bootstrap

ad 1)

T. Mack: Distribution-free Calculation of the Standard Error of

Chain Ladder Reserve Estimates. Astin Bulletin, Vol. 23, No. 2,

1993.

Mackova metoda je založena na stochastickém modelu pro metodu

CHL.

Volatilita škodńıch rezerv - Mackova metoda

Mackova metoda je dále rozv́ıjena v článku

M. Merz, M.V. Wütrich: Modelling the claims development result

for solvency purposes. CAS E-Forum, Fall 2008.

Autǒri se zamě̌rili na výsledek vývoje škod za jeden rok

CDRj(t + 1) = E[Rtj |Dt ]− (Xj ,t−j+1 + E[Rt+1j |Dt+1]),

tj. rozd́ıl mezi rezervou na škody z roku z roku j stanovenou v čase

t na základě vývoje škod do času t (Dt) a součtem rezervy na

škody z roku j stanovené v čase t + 1 a výplat za škody z roku j

uskutečněných v roce (t,t+1).

Nový obchod

Modelováńı celkových škodńıch nákladů z obchodu uzav̌reného v

uvažovaném roce: brutto-̌skodńı náklady (výplata plněńı + tvorba

rezervy)=⇒ zajǐstěńı =⇒ netto-̌skodńı náklady.

Při modelováńı škodńıch nákladů se uvažuj́ı škody rozdělené do 3

skupin: základńı (běžné) škody, vysoké škody, kumulované

(katastrofické) škody.

Základńı škody - vysoká frekvence, ńızká pr̊uměrná výše, modeluj́ı

se obvykle v úhrnu za dané obdob́ı.

Nový obchod

Kumulované (katastrofické) škody - vznikaj́ı v důsledku (p̌ŕırodńı)

katastrofy, která postihne věťśı počet pojǐstěných rizik.

Pravděpodobnost události je ńızká, ńızké škody na jednotlivých

pojistných smlouvách, velmi vysoké úhrny škod způsobených

jednou událost́ı.

Vysoké škody - škody, jejichž velikost p̌rekračuje určitou

pojǐst’ovnou stanovenou hranici. Ńızká škodńı frekvence, vysoká

výše škody v jednotlivých p̌ŕıpadech. Uplatněńı komplexńıch

zajistných konstrukćı.

Brutto - model

Model škodńıch nákladů

Volba vhodného rozděleńı - statistické testy (χ2-test dobré shody,

Kolmogorov-Smirnov,...), grafické metody (mean-excess plot, P-P

plot, Q-Q plot,...).

V důsledku provedených test̊u může doj́ıt k posunut́ı hranice

definuj́ıćı vysoké škody. Modelováńı základńıch škod tedy muśı v

čase následovat po modelováńı vysokých škod.

Model kmene - vývoj pojistného, struktura obchodu, upisovaćı

politika, počty pojǐstěných rizik, pojistné částky,...

Základńı škody

Pro úhrn škod se už́ıvá kolektivńı model (složené rozděleńı)

S =N∑

i=1

Xi ,

N,X1, . . . nezávislé, X1,X2, . . . stejně rozdělené.

ν = ES = EN E X1

ξ2 = Var S = E N Var X1 + Var N (E X1)2.

Má-li N Poissonovo rozděleńı, je

ξ2 = EN (Var X1 + (E X1)2).

Základńı škody

S lze modelovat pomoćı známého rozděleńı na základě znalosti

některých charakteristik (prvńı 2 nebo 3 momenty)

nap̌r. logaritmicko - normálńı rozděleńı LN(µ, σ2), kde

σ =

√ln

[1 +

(ξ

ν

)],

µ = ln ν − 12

σ2.

Při odhadováńı E X1, Var X1 z dat je ťreba vźıt v úvahu vývoj škod

a rovněž p̌ŕıpadnou úpravu stařśıch dat pro srovnatelnost s

modelovaným rokem.

Základńı škody - p̌ŕıklad

Kumulované škody

Katastrofická událost: objevuje se nepravidelně, nelze p̌redpovědět,

má vliv na mnoho pojǐstěných rizik, mimǒrádně vysoký škodńı

potenciál, nebezpeč́ı kumulace - jedna událost má za následek

mnoho škod, nastává žŕıdka.

Typy katastrof:

- boǔre (hurikány, tajfuny, vicȟrice)

- krupobit́ı

- povodně

- zeměťreseńı

Kumulované škody

Kumulované škody se od základńıch škod odlǐsuj́ı velkými úhrny a

malými pravděpodobnostmi vzniku události.

Kumulované škody je ťreba eliminovat z celkových dat p̌red

modelováńım základńıch škod.

Při modelováńı se nevycháźı z jednotlivých škod, ale z jednotlivých

událost́ı.

Kolektivńı model rizika neńı použitelný (porušen p̌redpoklad

nezávislosti počtu a výš́ı škod).

Kumulované škody

Pojǐst’ovny obvykle využ́ıvaj́ı komerčńı modely pro riziko katastrof.

Jde o komplexńı fyzikálńı (meteorologické) modely, které jsou

kombinovány s modelováńım pojistně - technických dopadů

katastrofických událost́ı.

Tabulka škodńıch událost́ı (Event Loss Table): modelová sada

událost́ı, která je výstupem modelu katastrofických škod.

Ke každé události se stanov́ı expozice obsažená v daném pojistném

kmeni (̌rada údaj̊u - lokalita, typ stavby, pojistná částka,...).

Dat̊um jsou p̌rǐrazeny referenčńı kódy podle územńı p̌ŕıslušnosti.

Kumulované škody - p̌ŕıklad

Vysoké škody

1)Modelováńı založené na EVT (zobecněné Paretovo rozděleńı).

2)Modelováńı úhrnu vysokých škod pomoćı složeného rozděleńı.

Modeluj́ı se zvlášt’ jednotlivé škody a jejich počty.

Pro výše škod vhodné nap̌ŕıklad Paretovo rozděleńı.

Zajǐstěńı a typy škod

1) základńı škody - kvótové zajǐstěńı

2) vysoké škody - individuálńı XL-zajǐstěńı

3) kumulované (katastrofické škody) - XL-zajǐstěńı na událost

simulačńı model - simulace škod, uplatněńı dané zajistné struktury,

za opakovaných simulaćı stanoveny charakteristiky brutto a netto

škodńıch úhrnů

XL-zajǐstěńı vysokých škod - p̌ŕıklad

počet škod: Poisson (λ = 4, 52)

výše škod: Pareto (α = 3.57, a = 5, E X = 6.94)

očekávaný úhrn škod brutto: E S = 29.99

zajǐstěńı: 50 XS 5, počet škod ≤ 8

XL-zajǐstěńı vysokých škod - p̌ŕıklad

XL-zajǐstěńı kumulovaných škod - p̌ŕıklad

oceněńı fér hodnotou

FV oceněńı - oceněńı stochastického finančńıho toku vedoućı ke

stanoveńı tržńı ceny

NPV - sťredńı současná hodnota (p̌ri bezrizikové úrokové ḿı̌re)

na straně aktiv: FV>NPV

na straně pasiv: FV

oceněńı fér hodnotou - p̌ŕıklad

Předpokládejme bezrizikovou úrokovou ḿıru 4% a dodatečnou

sazbu 6%.

Jednoročńı závazek s rozděleńım

P (X = 1200) = 0, 6

P (X = 700) = 0, 4

Odtud

E X = 1000,√

Var X = 244, 95,

NPV= 1000/1, 04 = 961, 5.

oceněńı fér hodnotou - p̌ŕıklad

Při aproximaci rozděleńı X normálńım rozděleńım a p̌ri použit́ı VaR

na hladině 99,5%, dostaneme alokovaný kapitál

EC =√

Var X z99,5% = 632, 1.

Náklady na kapitál:

CC =0, 06.632, 1

1, 04= 36, 5.

Fér hodnota:

FV = NPV + CC = 998.

Posouzeńı účinnosti zajǐstěńı

kritéria:

- sńıžeńı poťreby vlastńıho kapitálu, úspora nákladů na kapitál

tradičńı p̌ŕıstup:

netto výsledek = netto pojistné - netto náklady

-netto škodńı výplaty - změna netto škodńı rezervy

FV - p̌ŕıstup:

FV netto výsledku = současná hodnota netto pojistného

-současná hodnota netto nákladů

-současná hodnota netto výplat škod

-změna FV netto škodńı rezervy

XL-zajǐstěńı vysokých škod - posouzeńı účinnosti

XL-zajǐstěńı vysokých škod - p̌ŕıklad 2

XL-zajǐstěńı vysokých škod - posouzeńı účinnosti 2

XL-zajǐstěńı kumulovaných škod - posouzeńı účinnosti

Optimalizace zajǐstěńı

Interńı model lze využ́ıt k posouzeńı alternativńıch zajistných

struktur:

- změny priorit, struktury vrstev, proviźı, nákladů, ...

- ťreba vźıt v úvahu stanoveńı zajistného, rating zajǐst’ovny,

kapacitu zajistného trhu, dostupnost uvažovaných forem zajǐstěńı

Riziko kapitálových investic

Tržńı riziko - riziko ztráty na tržńı hodnotě aktiv (u akcíı ztráty v

tržńı hodnotě, které nelze eliminovat diverzifikaćı, u nemovitost́ı

koĺısáńı cen na trhu)

Úrokové riziko - koĺısáńı kurzu pevně úročených cenných paṕır̊u,

způsobené změnami tržńıch úrokových měr

Měnové riziko - u aktiv v ciźı měně, vzniká v důsledku změn

měnových kurz̊u

Riziko kapitálových investic

Bonitńı riziko - u pevně úročených cenných paṕır̊u, riziko defaultu

emitenta, vede ke kurzovým ztrátám

Riziko z korelace mezi stranou aktiv a pasiv

Př́ıklad: pojǐst’ovna drž́ı ve věťśım objemu akcie pr̊umyslového

podniku, který s ńı má uzav̌reno pojǐstěńı odpovědnosti. Věťśı

škoda způsob́ı zvýšeńı škodńıch rezerv a zároveň pokles hodnoty

akcíı.

Modelováńı kapitálových investic

V rámci modelováńı je ťreba projektovat tržńı ceny všech

kapitálových investic pro následuj́ıćı rok.

Základńı prvky:

- model portfolia

- generátor ekonomických scéná̌r̊u

- vlastńı model aktiv

Model portfolia kapitálových investic

Aktiva rozdělená do ťŕıd: obligace, akcie, fondy, nemovitosti,

hypotéky, hotovost,..

Účelné je děleńı podle modelovaných ekonomických parametr̊u

(nap̌r. doba splatnosti a ratingová kategorie u dluhopis̊u,

geografická p̌ŕıslušnost u akcíı). Proto by měly být ťŕıdy aktiv dále

děleny do podťŕıd podle relevantńıch aspekt̊u: doba trváńı, region,

bonita, měna,..

Přitom je ťreba udržet počet podťŕıd v p̌rimě̌rených meźıch s

ohledem na náročnost modelováńı.

Generátor ekonomických scéná̌r̊u

- slouž́ı ke stanoveńı exterńıch tržńıch parametr̊u pomoćı vhodných

simulačńıch postupů

Modelovanými parametry mohou být:

výnosové ǩrivky, akciové indexy, kreditńı spread pro dluhopisy,

měnové kurzy, vývoj inflace, indexy cen nemovitost́ı,...

Př́ıklad generováńı ekonomických scéná̌r̊u

Př́ıklad generováńı ekonomických scéná̌r̊u

V p̌ŕıkladu bylo pro generováńı bezrizikové úrokové ḿıry použito

logaritmicko-normálńı rozděleńı se sťredńı hodnotou 4% a

variačńım koeficientem 20%.

Pro kreditńı spread bylo užito logaritmicko normálńı rozděleńı se

sťredńı hodnotou 3%, variačńım koeficientem 20% a koeficientem

korelace s bezrizikovou úrokovou ḿırou 50%.

Př́ıklad užit́ı generovaných scéná̌r̊u

Cena bezkuponovéno dluhopisu - užije se hodnot ze scéná̌re č. 7.

Př́ıklad užit́ı generovaných scéná̌r̊u

Cena akciového portfolia - p̌redpokládá se kapitalizace dividend.

Př́ıklad užit́ı generovaných scéná̌r̊u

Měnové riziko u nemovitosti - použije se cenový index a měnový

kurz.

Model aktiv

V modelu aktiv jsou použity generované scéná̌re na jednotlivé

podťŕıdy aktiv z modelu portfolia. Agregaćı se stanov́ı položky

vstupuj́ıćı do rozvahy a výkazu zisk̊u a ztrát.

likvidńı saldo - prosťredky z pojistného (po odečteńı škodńıch

výplat), jeho investováńı se ř́ıd́ı manažerskými pravidly.

Složeńı portfolia aktiv na konci roku je jiné než na začátku.

K určeńı likvidńıho salda je ťreba výstupů z pojistně-technické části

modelu.

Optimalizace portfolia

Interńı model může být využit p̌ri hledáńı struktury portfolia, která

by p̌ri odpov́ıdaj́ıćım kapitálovém požadavku generovala optimálńı

výnos.

Varianty ćılové funkce:

1) RORAC (Return on Risk Adjusted Capital)

RORAC = (očekávaný výnos)/(kapitálový požadavek)

- procentńı sazba výnosu vzhledem ke kapitálovému požadavku

Optimalizace portfolia

2) EVA (Economic Value Added)

EVA = očekávaný výnos - náklady na kaptiál

náklady na kapitál = (kapitálový požadavek)*(sazba nákladů na

kapitál)

- udává, o kolik může být zvýšena hodnota kapitálu p̌ri zohledněńı

dané sazby nákladů na kapitál

Riziko selháńı zajistitele

Použijeme metodu nákladů na kapitál k vyjáďreńı fér hodnoty

cedované (p̌redané k zajǐstěńı) části škodńı rezervy:

FV cedované rezervy = NPV plněńı zajistitele

+ NPV cedovaných nákladů na kapitál

- bonitńı p̌rirážka

Cedované náklady na kapitál p̌redstavuj́ı úsporu nákladů, bonitńı

p̌rirážka p̌redstavuje zvýšeńı nákladů, které záviśı na bonitě

(ratingu) zajistitele.

Modelováńı selháńı zajistitele

Mohou nastat 2 p̌ŕıpady:

1) V simulovaném roce dojde k selháńı zajistitele

→ sńıžeńı plněńı od zajistitele, zvýšeńı rezervy na očekávané ztráty

2) V simulovaném roce nedojde k selháńı zajistitele

→ pouze změna bonitńı p̌rirážky v důsledku zlepšeńı nebo zhořseńıbonity zajistitele

Ve stochastickém modelu je ťreba modelovat pravděpodobnost

selháńı a velikost selháńı.

Model pravděpodobnosti selháńı

Pokud pro jednoduchost p̌redpokládáme, že v p̌ŕıpadě selháńı jde

výpadek ve výši 100%, redukuje se modelováńı na otázku

pravděpodobnosti selháńı.

V literatǔre se doporučuje modelovat pravděpodobnost selháńı jako

náhodnou veličinu pomoćı vhodného rozděleńı na intervalu

< 0, 1 >, které dostatečně umožňuje odddělit situaci, kdy událost

nenastane, nebo nastane jen v malém rozsahu, od situace, kdy

událost nastane plně, nebo ve značném rozsahu.

Model pravděpodobnosti selháńı

Př́ıklad - rozděleńı s hustotou

f (x) = y1, x ∈< 0, x0)

f (x) = y2, x ∈< x0, 1 > .

Přitom má platit

P(X ∈< 0, x0)

)= 1− q

P(X ∈< x0, 1 >

)= q

E X = p.

Odtud lze odvodit: x0 = 2p− q, Var X = 1/3(q(1− q) + (p− q)2).

Př́ıklad

v čase t = 0: expozice 1000, pravděpodobnost selháńı 1,02%

⇒ FV rezervy = 1000, FV selháńı (bonitńı p̌rirážka) = 10.2

v čase t = 1: expozice 1150, pravděpodobnost selháńı 0,8%

(náhodná)

⇒ FV rezervy = 1150, FV selháńı (bonitńı p̌rirážka) = 9,2

výsledek: 151

Operačńı riziko

Definice OR dle Solventnosti II (totožná s Basel II):

Operačńı riziko je riziko ztráty vyplývaj́ıćı z nedostatečnosti nebo

selháńı vniťrńıch proces̊u, osob , systémů, nebo z vněǰśıch událost́ı.

Pod tuto definici spadá právńı riziko, nezahrnuje strategické ani

reputačńı riziko.

Modelováńı OR - Loss Distribution Approach

LDA - modelováńı ročńıch úhrnů škod pomoćı složeného rozděleńı

S =N∑

i=1

Xi ,

Modeluj́ı se zvlášt’ výše škod a škodńı frekvence.

Typicky těžké chvosty (velká pravděp. vysokých hodnot).

Př́ıklady:

logaritmicko-normálńı rozděleńı:

f (x) = 1√2πσ x

exp

[−12

(ln x−µ

σ

)2], µ ∈ R, σ > 0,

Paretovo rozděleńı: f (x) = αθα

(x+θ)α+1, α > 0, θ > 0.

Modelováńı OR - POT-metoda

zobecněné Paretovo rozděleńı:

Wγ,β(x) = 1− (1 + γ x/β)−1/γ

pro γ 6= 0, resp.

Wγ,β(x) = 1− exp(−x/β)

pro γ = 0. Parametr β je v obou p̌ŕıpadech kladný. Pro γ ≥ 0 jezobecněné Paretovo rozděleńı definováno pro nezáporná x , v

p̌ŕıpadě γ < 0 je nosičem rozděleńı interval [0,−β/γ].

OR v interńım modelu - p̌ŕıklad

Př́ıklad:

úhrn škod z OR: logaritmicko-normálńı, E S = 13, 26,√

Var S = 55, 64

celková aktiva: normálńı, E A = 1000,√

Var A = 100

celková pasiva: logaritmicko-normálńı, E P = 650,√

Var P = 81, 25

bilance ve sťredńı hodnotě bez OR:

A P

1000 650

350 vl.kap.

1000 1000

OR v interńım modelu - p̌ŕıklad

Pro zahrnut́ı vlivu OR p̌redpokládejme tvorbu rezervy na hroźıćı

ztráty ve výši sťredńı hodnoty celkových škod:

bilance ve sťr. hodnotě:

A P

1000 650

13,26

336,74 vl.kap.

1000 1000

OR v interńım modelu - p̌ŕıklad

Manažerská pravidla

V realistickém modelu je ťreba zohlednit manažerská pravidla

odpov́ıdaj́ıćı vnitropodnikové praxi pojǐst’ovny (investičńı strategie,

upisovaćı politika, zajistná strategie,...)

Speciálně: pravidla investováńı a desinvestováńı - nakládáńı s

likvidńım saldem.

l.s. kladné → pravidla pro uḿıstěńı na kapit. trhu (regulovánop̌redpisy)

l.s. záporné → pravidla určuj́ı, které investice se maj́ı rozpustit jakoprvńı

Model aktiv

Stanoveńı kapitálového požadavku

Po definici všech vstupńıch parametr̊u a manažerských pravidel se

prováděj́ı simulace hodnoty vlastńıho kapitálu na konci roku:

EK1 = EK0 +∑

ZZi ,

EK0...deterministický vl. kapitál na začátku obdob́ı

ZZi ...výsledky jednotlivých modelovaných oblast́ı (poj.-tech. riziko,

kapitálové investice, OR,...)

Př́ıklad - simulace vlastńıho kapitálu

Stanoveńı kapitálového požadavku

Princip hodnoty v riziku:

ECα = E(EK1)− VaRα(EK1)

EKα...kapitálový požadavek ke konci roku

α = 0, 5%

Princip zbytkové hodnoty v riziku:

ECα = E(EK1)− TVaRα(EK1)

TVaRα(EK1) = E(EK1|EK1 ≤ VaRα(EK1))

Literatura

M. Heep-Altiner, H. Kaya, B. Krenzlin, D. Welter: Interne Modelle

nach Solvency II. Schritt für schritt zum internen Modell in der

Schadenversicherung. Verlag Versicherungswirtschaft 2010.