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7/25/2019 Interpolacion 1 Sm
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A menudo se conocen los valores de la funcinA menudo se conocen los valores de la funcinff((xx) en) en xx00,, xx11,, xx22,....,,...., xxnn, pero se desconoce la, pero se desconoce la
expresin deexpresin deff((xx).).
El objetivo del captulo es estimarEl objetivo del captulo es estimar ff((xx) para) para
cualuier puntocualuier punto xx! si! si xx se encuentra entre else encuentra entre el
valor menor " ma"or de losvalor menor " ma"or de los xxii se dice ue else dice ue el
problema es laproblema es la interpolacininterpolacin! en cambio! en cambiocuandocuando xx se encuentra fuera del ran#o, else encuentra fuera del ran#o, el
problema es laproblema es la extrapolacinextrapolacin ..
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$as clases de funciones aproximantes son%$as clases de funciones aproximantes son%polinomios, funciones exponenciales,polinomios, funciones exponenciales,
racionales " tri#onom&tricas.racionales " tri#onom&tricas.
En los a'os 11 al 12, *ir EdmundEn los a'os 11 al 12, *ir Edmund
+ittaer en la -niversidad de Edimbur#o,+ittaer en la -niversidad de Edimbur#o,
desarroll la teora de interpolacin en sudesarroll la teora de interpolacin en su
ctedra de /atemtica um&rica.ctedra de /atemtica um&rica.
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/A$A, tiene implementada las funciones ue/A$A, tiene implementada las funciones ueaparecen en la tabla 3.1.aparecen en la tabla 3.1.
Tabla 4.1Tabla 4.1
ombreombre 4escripcin4escripcin
#riddata#riddata
interp1interp1
interp2interp2
interpftinterpft
5ejilla de datos5ejilla de datos
$ooup tabla 14$ooup tabla 14
$ooup tabla 24$ooup tabla 24
6on m&todo 776on m&todo 77
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El pro#rama interp4emo de la fi#ura 3.1, presenta el problema de interpolacin de una manera #rfica (fi#uraEl pro#rama interp4emo de la fi#ura 3.1, presenta el problema de interpolacin de una manera #rfica (fi#ura3.2).3.2).
Fig. 4.2. interDemo.mFig. 4.2. interDemo.m
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function InterpDemo()
% Demo Interpolacion E. Raffo Lecca
x=[0 1 4 6]
!=[1 "1 1 "1]
x0=0#0.10#6
!lin=interp1(x$!$x0$linear)
!&pline=interp1(x$!$x0$&pline)
!cu'ic=interp1(x$!$x0$cu'ic)
% mo&trano rafica
plot(x$!$o) % ato
*ol on %para colocar +ario& plot en una &ola fiura por efault e&
off
plot(x0$!lin$x0$!&pline$x0$!cu'ic) %comano plotear
leen(ato$lineal$&pline$cu'ica$0) %leen( $ $...$
$po&)
% one po&=0$1$,$-$4$"1 %0=el meor luar o autom/tico
title(IER23L5I3)
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8nterpolacin $ineal
$os polinomios interpolantes, son los ue$os polinomios interpolantes, son los uems se usan en los clculos por computadora!ms se usan en los clculos por computadora!
" se basan en plantear un polinomio de #rado" se basan en plantear un polinomio de #radonnue pasa por los puntosue pasa por los puntosxx00,,xx11,,xx22,....,,....,xxnn..
Existen dos m&todos difundidos% el deExisten dos m&todos difundidos% el de LagrangeLagrange" de" deNewtonNewton..
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6onsidere una familia de funciones de una6onsidere una familia de funciones de unavariablevariablexx,,
donde existen (donde existen (nn91) coeficientes%91) coeficientes% aa00,, aa11,, aa22,...,,..., aann..El problemaEl problema radicaradicaen determinar los parmetrosen determinar los parmetros
aaiipara los (para los (nn91) pares de n:meros (91) pares de n:meros (xxii, f, fii),),
ii ; 1,...,; 1,...,nn concon xxii xxkk parapara ii kk, con, con
),...,,!( 10 naaax
,...,0,),...,,!( 10 nifaaax ini ==
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6uando6uando depende linealmente de losdepende linealmente de los aaii % es% es
una poblacin lineal,una poblacin lineal,
au se encuentra la interpolacin polinomialau se encuentra la interpolacin polinomial
)(...)()(),...,,!( 110010 xaxaxaaaax nnn +++=
n
nn xaxaxaaaaax ++++= ...),...,,!( 2
21010
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7orma de $a#ran#e
6onsidere el par de puntos6onsidere el par de puntos((xx00,,ff ((xx00)) " ()) " (xx11,,ff ((xx11))))
aproximado mediante una lnea recta (ver fi#ura 3.).aproximado mediante una lnea recta (ver fi#ura 3.).
7i#. 3..7i#. 3..
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*e observa ue existen < puntos (*e observa ue existen < puntos (nn vale 3) " sevale 3) " seobtiene un polinomio de #rado 3 (ver fi#ura 3.3)obtiene un polinomio de #rado 3 (ver fi#ura 3.3)
7i#. 3.37i#. 3.3
01
01
10
10
01
010
0
0
0
01
01
)()()(
)(
))()()(()()(
)()()()(
xx
xxxf
xx
xxxfxP
xx
xfxfxxxfxP
xx
xfxP
xx
xfxf
+
=
+=
=
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$os ($os (nn91) puntos de91) puntos de xx, donde existe el valor de, donde existe el valor de ff ((xx),),
sern utili=ados para construir un polinomiosern utili=ados para construir un polinomio PP((xx) de) de#rado#rado nn ue interpola aue interpola a ff ((xx) en los puntos) en los puntos xx00,, xx11,,
xx22,...,,...,xxnn, " satisface%, " satisface%
PP((xxii) ;) ;ff ((xxii) ,) , ii; 0, 1,...,; 0, 1,...,nn
-n polinomio de #rado-n polinomio de #rado nnue se anule en todos losue se anule en todos lospuntospuntosxxii, excepto en, excepto enxxkk, resulta%, resulta%
))...()()...()((
)()(
1110
0
nkk
ki
iik
xxxxxxxxxx
xxxg
=
=
+
=
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Adems de %Adems de %
lue#o se define un polinomio de $a#ran#e como%lue#o se define un polinomio de $a#ran#e como%
==
ki
iikkk xxxg
0
)()(
=
=
=
ki
i ik
i
kk
kk
xx
xxxg
xgxL
0
)(
)()(
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4onde se observa ue %4onde se observa ue %
El polinomio de #radoEl polinomio de #rado nnue interpola aue interpola a ff ((xx) en) enxx00,,xx11,,xx22,...,,...,xxnnes %es %
PP((xx) se conoce como forma de $a#ran#e ") se conoce como forma de $a#ran#e " LLkk((xx))
son los polinomios de $a#ran#e en los puntosson los polinomios de $a#ran#e en los puntos xx00,,
xx11,,xx22,...,,...,xxnn..
==
ki
kixL ik
0
1)(
=
=n
k
kk xLxfxP0
)()()(
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-sar la forma de $a#ran#e para producir un-sar la forma de $a#ran#e para producir un
polinomio c:bico " evaluar parapolinomio c:bico " evaluar para xx ; 2 " .; 2 " .
1111
>310
i
i
y
x
))()((
))()((
)(210
210 xxxxxx
xxxxxx
xL
=
))()((
))()(()(
21202
102
xxxxxx
xxxxxxxL
=
))()((
))()(()(
12101
201
xxxxxx
xxxxxxxL
=
))()((
))()((
)(02010
210 xxxxxx
xxxxxx
xL
=
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Evaluando los polinomios de $a#ran#e paraEvaluando los polinomios de $a#ran#e paraxx;2.;2.
PP((xx) ; ?1) ; ?1
ii ff((xxii)) LLii((xx))
00
1122
11
?1?111
?1?1
?0.?0.
1.0>>>@1.0>>>@0.0.
?0.0>>>@?0.0>>>@
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araara xx ; ;
PP() ; 0() ; 0
ii ff((xxii)) LLii((xx))
00
1122
11
?1?111
?1?1
?0.200000.@
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6alcular (1.12), para la tabla %6alcular (1.12), para la tabla %
evaluando los polinomios de $a#ran#e %evaluando los polinomios de $a#ran#e %
PP(1.12); 1.0
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7orma de eCton
En la fi#ura 3. el pro#ramalagrange.m.lagrange.m.
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$a#ran#e$a#ran#e
*uma ; 0*uma ; 0forfor ; 0 to n ; 0 to n
prod1 ; 1prod1 ; 1prod2 ; 1prod2 ; 1forfori ; 0 to ni ; 0 to n
ifif ii thenthenprod1 ; prod1 D (x xFiG)prod1 ; prod1 D (x xFiG)prod2 ; prod2 D (xFG xFiG)prod2 ; prod2 D (xFG xFiG)
$ ; prod1 H prod2$ ; prod1 H prod2*uma ; *uma 9 $ D 7FG*uma ; *uma 9 $ D 7FG
olinomio es i#ual a *umaolinomio es i#ual a *umaEnd $a#ran#eEnd $a#ran#e
Fig. 4.5: Algoritmo de LagrangeFig. 4.5: Algoritmo de Lagrange
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7i#. 3.>% $a#ran#e.m7i#. 3.>% $a#ran#e.m
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*ea un polinomio de #rado n?&simo %*ea un polinomio de #rado n?&simo %
IaciendoIaciendoPPnn((xxii) ;) ;ffii ,, ii; 0,1,...,; 0,1,..., nn
))....()((...
...))(()()(
110
102010
+
+++=
nn
n
xxxxxxb
xxxxbxxbbxP
))(()()(
)()(
)(
10201022
01011
000
xxxxbxxbbxPf
xxbbxPf
bxPf
n
n
n
++==+==
==
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lue#olue#o
02
0112
012
12
12
12
01
01
01
xx
fff
xx
fff
xx
fff
=
=
=
))...()((...
...))(()()(
110......012
100120010
+
+++=
kk
n
xxxxxxf
xxxxfxxffxP
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4e4e ff012....012....kk;;ffFFxx00,,xx11, ...,, ...,xxkkG, se tiene%G, se tiene%
dondedondeff0101...k...kse conoce como diferencia dividida.se conoce como diferencia dividida.
G,....,,F
G,,F
G,F
)(
10
2102
101
00
nn xxxfb
xxxfb
xxfb
xfb
=
=
=
=
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$a primera diferencia dividida se calcula como%$a primera diferencia dividida se calcula como%
la se#unda diferencia dividida, es la diferencia de las dosla se#unda diferencia dividida, es la diferencia de las dosprimeras diferencias divididasprimeras diferencias divididas
ij
ijji
xx
xfxfxxf
=
)()(G,F
ik
jikjkji
xx
xxfxxfxxxf
=
G,FG,FG,,F
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" en #eneral %" en #eneral %
El esuema para las diferencias divididas esEl esuema para las diferencias divididas es
Tabla 4.2: Diferencias divididasTabla 4.2: Diferencias divididas
0
11021210 G,....,,FG,....,,FG,...,,,F
xxxxxfxxxfxxxxf
k
kkk =
nn f
ff
fff
ffff
kkk
x
x
x
x
2)2
12)121
012)012010
2
1
0
21 ==
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*ean los si#uientes valores %*ean los si#uientes valores %
>[email protected]@[email protected]
B>233.1)()(G,F
01
0110 =
==xx
xfxfxxf
2331.B>233
1.@[email protected]>20B1
0.202@2
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$a forma de eCton es %$a forma de eCton es %
*ean los valores %*ean los valores %
>2B@@.0)2(
)>)(3)(1(00@B>
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$a tabla de diferencias divididas finitas es %$a tabla de diferencias divididas finitas es %
ii xxii yyii 11 22
00
11
22
00
11
33
>>
11
?1?1
11
?1?1
?2.0?2.0
0.>>>>>>>@0.>>>>>>>@
?1.0?1.0
0.>>>>>>>@0.>>>>>>>@
?.?.
?0.1>>>>>>@?0.1>>>>>>@
0.1)2(
)3)(1(1>>>>>>@.0.....
.....)1(>>>>>>>@.0)0(20.1)(
=
+=
P
xxx
xxxxP
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Fig. 4.7 : inteNeton.mFig. 4.7 : inteNeton.m
En la fi#ura 3.@, se presenta la funcinEn la fi#ura 3.@, se presenta la funcin
inteNewton.minteNewton.m! " la 3.B una ejecucin.! " la 3.B una ejecucin.
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Fig. 4.! : "#ec$ci%n de &nteNeton.mFig. 4.! : "#ec$ci%n de &nteNeton.m
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Al#oritmo de eville
-na forma de resolver el problema de interpolacin-na forma de resolver el problema de interpolacines considerar resolver el problema para un peue'oes considerar resolver el problema para un peue'oconjunto de valores " despu&s actuali=ar estasconjunto de valores " despu&s actuali=ar estassoluciones para obtener la solucin completa.soluciones para obtener la solucin completa.
*ea por el conjunto de puntos (*ea por el conjunto de puntos (xxii, f, fii ) ,) , ii ; 0,1,....,; 0,1,....,nn
se denota porse denota por
kiii
P ...10
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al polinomio, dondeal polinomio, donde
5ecursivamente se tiene %5ecursivamente se tiene %
kjfxP jijiiii k ,....,1,0,)(...10 ==
0
110100
10
)()()()()(
)(
.........
ii
iiiiiiiiiii
ii
xx
xPxxxPxxxP
fxP
k
kkk
k
=
=
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El clculo paraEl clculo paraPP012012((xx), viene dado por), viene dado por
)(
)(
)(
2
)(
)(
)(
1
)(
)(
)(
)(
0
012
12
012
2
12
01
22
11
00
2
1
0
xP
xP
xP
xP
xP
xP
k
xPf
xPf
xPf
xPf
k
x
x
x
x
=
=
=
=
=
=
02
012120012
)()()()()(
xx
xPxxxPxxxP
=
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4eterminar4eterminarPP012012(2) %(2) %
1
)
1
1
2
1
1
)
1
1
1
1
1
0
)
2
1
0
=k
01
)1)(12()1)(02()2(01 =
=P
112
)1)(22()1)(12()2(12 =
=P
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12
)1)(2()1)(22()2(
2
=
=P
102
))(22()1)(02()2(012 =
=P
11
)1)(2()1)(12()2(12 =
=P
10
)1)(2()1)(02()2(012 =
=P
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JaciendoJaciendo
se tiene la tablase tiene la tabla
kiiikki PT +++ = ,...,1,,
2
22
1
21
11
0
202
101
000
2
1
0
T
T
T
T
T
T
Tf
Tf
Tf
Tf
x
x
x
x
=
=
=
=
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40/56
donde %donde %
niik
xx
xxTTT
xx
TxxTxxT
fT
i
ki
kikiki
kii
kiikikiik
ii
,...,1,0,1,
1
)(
)()(
1,11,1,
1,11,
0
=
+=
=
=
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En la fi#ura 3., se presenta la funcinEn la fi#ura 3., se presenta la funcinNeville.mNeville.m! " su ejecucin en 3.10.! " su ejecucin en 3.10.
Fig. 4.' : Neville.mFig. 4.' : Neville.m
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42/56
Fig. 4.1( : "#ec$ci%n de Neville.mFig. 4.1( : "#ec$ci%n de Neville.m
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Error en una
interpolacin polinomial*ea la funcin*ea la funcinff ((xx) " para sus valores) " para sus valores
los cuales son interpolados. -na interpolacin polinomiallos cuales son interpolados. -na interpolacin polinomialPP((xx););PP0...0...nn((xx) con) con
reproducereproduceff ((xx), para el ar#umento), para el ar#umentoxxii. El error es. El error es
para valorespara valoresxxxxii,, ii;0,1,...,;0,1,...,nn..ajo ciertas condiciones es posible acotar el error.ajo ciertas condiciones es posible acotar el error.
nixff ii ,...,1,0,)( ==
nifxP ii ,...,1,0,)( ==
)()( xPxf =
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eorema
*i una funcin*i una funcin ff tiene (tiene (nn91) derivadas! entonces91) derivadas! entonces
para cada ar#umento , existe un n:meropara cada ar#umento , existe un n:mero en elen el
ms peue'o intervaloms peue'o intervalo IIFFxxoo, ....,, ....,xxnn, G ue contiene, G ue contiene
a " a todas las abscisasa " a todas las abscisasxxii, satisfaciendo%, satisfaciendo%
dondedonde
X
X
X
)K1(
)()()()(
)1(
...01 +
=+
n
fXXPXf
n
n
))....()(()( 10 nxxxxxxx =
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45/56
As%As%
),,....,Fdonde,@20
L)(L
)(sin
@20
cos))....()(()(sin
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Fig. 4.11 : &nt)ol"rrorFig. 4.11 : &nt)ol"rror
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En la fi#ura 3.11 se presenta la funcinEn la fi#ura 3.11 se presenta la funcin8ntolError para calcular la cota del error en8ntolError para calcular la cota del error en
un a interpolacin polinomial.un a interpolacin polinomial.
En la fi#ura 3.12 se determina el error paraEn la fi#ura 3.12 se determina el error para
xx00;1 en;1 enff ((xx) ; cos) ; cosxx
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8nterpolacin por pie=a
$a interpolacin polinomial es #lobal! es$a interpolacin polinomial es #lobal! es
decir se usa una funcin polinomial paradecir se usa una funcin polinomial parapasar a trav&s de todos los datos.pasar a trav&s de todos los datos.
6uando se adicionan nuevos puntos, se6uando se adicionan nuevos puntos, se
reuiere de incrementar el #rado delreuiere de incrementar el #rado delpolinomio.polinomio.
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4esde 1,>0, un m&todo alternativo se Ia4esde 1,>0, un m&todo alternativo se IaIecIo mu" popular% las funciones polinomialesIecIo mu" popular% las funciones polinomiales
por pie=a (pieceCise pol"nomial functions).por pie=a (pieceCise pol"nomial functions).
$os spline c:bicos " los Iermite son ejemplos$os spline c:bicos " los Iermite son ejemplos
de estas funciones.de estas funciones.
$os spline son usados para resolver ecuaciones$os spline son usados para resolver ecuaciones
diferenciales.diferenciales.
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8nterpolacin lineal de Jermite
-na funcin polinomial lineal por pie=a-na funcin polinomial lineal por pie=a
definida para lasdefinida para las xx, con la propiedad ue $(, con la propiedad ue $(xx))
es una lnea uebrada entrees una lnea uebrada entre xxii"" xxii9191! vale decir! vale decirue $(ue $(xx) permite diferentes lneas entre cada) permite diferentes lneas entre cada
par de jun tas ad"acentes (del in#l&s Mnots,par de jun tas ad"acentes (del in#l&s Mnots,
joints o breapoints).joints o breapoints).
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$a propiedad$a propiedad
indica ueindica ue
niyxL ii ,...,2,1,0,)( ==
1,....,2,1,0,
,)(
1
11
1
1
=
+
= +
++
+
+
ni
xxx
xx
xxy
xx
xxyxL
ii
ii
ii
ii
ii
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Fig. 4.14 : *ermiteL.mFig. 4.14 : *ermiteL.m
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En la fi#ura 3.13, se presenta la funcinEn la fi#ura 3.13, se presenta la funcin
Jermite$.m para el Jermite lineal. En laJermite$.m para el Jermite lineal. En la
fi#ura 3.1
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Fig. 4.15 : "#ec$ci%n de *ermiteL.mFig. 4.15 : "#ec$ci%n de *ermiteL.m
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-n polinomio interpolante por pie=a, tiene por-n polinomio interpolante por pie=a, tiene por
propiedad ue si los valores depropiedad ue si los valores de yyii son conocidosson conocidosdesde una funcin conocidadesde una funcin conocida gg((xx), se pueden), se puedenadicionar ms puntos entreadicionar ms puntos entre xx00 "" xxnn ! " el! " el
interpolante conver#e a la funcin ori#inal.interpolante conver#e a la funcin ori#inal.
*i los datos*i los datos yyii son valores de la funcinson valores de la funcin gg((xx), "), "
tiene una se#unda derivada continua, se demuestratiene una se#unda derivada continua, se demuestraueue
)(L)NN(LmaxL)()(L
22
B1 hOxghxgxL =
7/25/2019 Interpolacion 1 Sm
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En la fi#ura 3.1, se presenta el polinomioEn la fi#ura 3.1, se presenta el polinomiointerpolan te para los puntos (interpolan te para los puntos (x,yx,y) %) %
1111
>310
y
x