Interpolacoes Polinomiais

7/25/2019 Interpolacoes Polinomiais

1/27

Interpolao Polinomialde Lagrange e de Hermite

1

INTERPOLAO POLINOMIAL DE LAGRANGE E DE HERMITE

INTRODUO

Objetivando a preparao aos mtodos de aproximao a serem aplicados resoluo numrica de equaes diferenciais ordinrias com valores no contorno e deequaes diferenciais parciais (o mtodo das linhas), apresentam-se neste captulo osmtodos de interpolao polinomial de Lagrange e de Hermite. O bom entendimento dessesmtodos de aproximao facilitar bastante o aprendizado nos mtodos de quadraturanumrica que fundamentam o mtodo. Para consolidar seu entendimento, tais mtodossero aqui apresentados de forma exaustiva e ilustrados por exemplos simples e de fcilreproduo.

INTERPOLAO POLINOMIAL DE LAGRANGE

Tal interpolao aqui apresentada j visando suas aplicaes no desenvolvimentodas expresses de quadratura numrica, sendo assim aplicada a funes contnuas edefinidas no intervalo [0,+1], caso a varivel independente do problema no se apresentenesta forma torna-se necessrio normalizaro intervalo aplicando a simples transformao

linear : normalizadox a

xb a

se o intervalo de definio da varivel independentexfor [a,b].

A interpolao polinomial de Lagrange consiste em aproximar uma funo contnua edefinida no intervalo [0,+1], f x ,por um polinmio de grau (m-1) :

Pm-1

(x), tal que: 1m j j

P x f x

, paraj= 1, 2, ..., m; chamando-se os pontosxi( i= 1, 2,

..., m) depontos nodaisoupontos de interpolao.Esse procedimento pode ser facilmente visualizado na Figura abaixo, em que se

adotam 05 (cinco)pontos nodaisaproximando a funo por um polinmio de quarto grau.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 12

1

0

1

2

f xk

y int xk

yi

,,xk

xk

vi

Fig. 1- Interpolao Polinomial de Lagrange com 05 Pontos (Quarto Grau)[Curva contnua: Funo Exata-Curva Pontilhada: Funo Interpolada-Pequenos Quadrados: Pontos Nodais]


2/27


2

A forma mais direta, mas no necessariamente a mais simples, de gerar o polinmio

interpolador: Pm-1(x), que pode ser representado por: 1

1

0

mi

m i

i

P x c x

, atravs da

resoluo do sistema linear: 1

10

mi

m j i j j

i

P x c x f x

, paraj= 1, 2, ..., m, isto :

2 10 11 1 1

2 11 22 2 2

2 11

1

1

1

m

m

mm mm m m

c f xx x x

c f xx x x

c f xx x x

A resoluo deste sistema linear fornece os valores dos m coeficientes ci, i= 0, 1, ..., m1.

Exemplo Ilustrativo: Determinar o polinmio interpolador de quarto grau da funo: ( ) 2f x x sen x no intervalo [0,+1], utilizando os seguintes pontos de

interpolao: 0,2 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,6 e 0,8.

O sistema linear :

2 3 40

2 3 41

2 3 42

2 3 43

2 3 44

0, 2 0,41 0,2 0,2 0,2 0,20,4 0,81 0,4 0,4 0,4 0,4

0,5 1,01 0,5 0,5 0,5 0,5

1 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 1,21 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 1,6

senc

senc

c sen

c sen

csen

Ou, numericamente:0

1

2

3

4

1 0, 2 0,04 0,008 0,0016 0,42532540

1 0, 4 0,16 0,064 0,0256 0,37174803

1 0,5 0,25 0,125 0,0625 0,00000000

1 0,6 0,36 0, 216 0,1296 0,45529650

1 0,8 0,64 0,512 0, 4096 0,85065081

c

c

c

c

c

0,62875971

7,50787143

8,04344900

20,25516188

22,68130372

c .

O polinmio interpolador resultante representado graficamente abaixo:

0 0.5 11

0

1

2

f xk

y int xk

yi

,,xk

xk

vi

Fig. 2- Interpolao Polinomial de Lagrange com 5 Pontos (4oGrau) Funo: ( ) 2f x x sen x [Curva contnua: Funo Exata -Curva Pontilhada: Funo Interpolada [Pequenos Losangos: Pontos Nodais]


3/27


3

Observa-se na Figura anterior que entre os pontos de interpolao, [0,2x0,8] aaproximao polinomial da funo bastante satisfatria, entretanto para valores dex 0,8 o erro bem pronunciado, acentuando-se medida que se distancia dos mesmos(nesses casos tem-se na realidade uma extrapolao). Esse comportamento comum atodas as formas de interpolao polinomial e sua quantificao ser apresentadaposteriormente.

A resoluo numrica do sistema linear de equaes que define os valores doscoeficientes da aproximao polinomial nem sempre preciso, pois, em muitos casos, a

matriz caracterstica do sistema 1, , para , = 1, ,j

i j ix i j m A mal-condicionada.

Alm disso, nesse tipo de clculo, verifica-se que os valores dos coeficientes dainterpolao so muito elevados (em mdulo) e, geralmente, de sinais alternados, talcomportamento reforado com o aumento do grau da aproximao (no ExemploIlustrativo acima apesar do mdulo da funo ser sempre inferior a 1, os coeficientes da

aproximao - com exceo de c0- so sempre maiores que 1 - em mdulo - e aumentam medida que o grau aumenta), tal comportamento tambm um indicativo das dificuldades eimprecises numricas associadas ao procedimento. Outro aspecto que deve ser ressaltado relativo utilizao posterior da interpolao polinomial, pois o objetivo final doprocedimento calcular o valor da funo em outros pontos que no os utilizados naaproximao, utilizando informaes dos valores da funo nos pontos nodaispara gerar aaproximao polinomial. Dessa forma, para atender a este objetivo, no h a necessidade dese calcular os coeficientes da aproximao, procedendo-se na forma proposta originalmentepor Lagrange, que consiste em representar a interpolao na forma:

11

( )m

m j j

j

P x x f x

l

Em que: j xl : polinmio emxde grau m1, tal que:

,1 para

0 paraj i i ji j

xi j

l [funo de Krnecker]

Os polinmios j xl , paraj= 1, ..., m, so chamados depolinmios base da interpolao

de Lagrange e constituem uma base completa de funes polinomiais de mesmo grau [grau (m-1)], isto qualquer polinmio de grau (m-1) pode ser expresso por umacombinao linear destes polinmios.Como 0j ix l para todo ij, isto para i= 1, 2, ..., (j1), (j+1), ...,mque so as (m-1)

razes de j xl , logo:

1 2 1 11

k j

m

j j j j m j k

k

x x x x x x x x x x x x x

l C C , como:

1

11

k j

j j j m

j k

k

x

x x

l C , resulta em: 1

k j

mk

j

k j k

x xx

x x

l paraj=1, 2, ..., m

O procedimento de gerao dos mpolinmios base da interpolao de Lagrangepode ser implementado pelo programa em MATHCAD a seguir apresentado.


4/27


4

Lagrange z x m( )

lj

1

lj

lj

z xi

xj

xi

j iif

i 0 m 1for

j 0 m 1for

l

Outra forma de expressar os polinmios interpoladores de Lagrange pode ser feita

atravs da definio do polinmio nodal, que o polinmio de grau me que se anula emtodos os pontos nodais, assim: 1 2( )

te

nodal mP x C x x x x x x , em que Cte

uma constante arbitrria, note que em vista de:

1

( )

k j

mnodal

k te

k j

P xx x

C x x

e

1

( )

( )( )lim j

j

k j

nodal

mx nodal jnodal

j k te tetex xk j

dP x

dx P xP xx x

C CC x x

, pode-se expressar:

( )

( )nodal

j

j nodal j

P xx

x x P x

l paraj=1, 2, ..., m, em que:

1 21

( )m

te te

nodal m k

k

P x C x x x x x x C x x

.Como a Ctese encontra presente no denominador e numerador da ltima expresso, pode-se

sempre considerar:

( )nodalj

j nodal j

p xx

x x p x

l paraj=1, 2, ..., m, em que:

1 21

( )m

nodal m k

k

p x x x x x x x x x

Exemplo Ilustrativo: No exemplo anterior, tem-se: x1 =0,2; x2= 0,4; x3= 0,5; x4= 0,6 ex5=0,8.Assim:

1

0,4 0,5 0,6 0,8 0, 4 0,5 0,6 0,8

0,2 0,4 0, 2 0,5 0,2 0,6 0,2 0,8 0,0144

x x x x x x x xx

l

2 3 4120 445 2425 2875 6253 9 18 18 9

x x x x x l

2

0,2 0,5 0,6 0,8 0, 2 0,5 0,6 0,8

0,4 0, 2 0, 4 0,5 0,4 0,6 0,4 0,8 0,0016

x x x x x x x xx

l

2 3 42595 2625

30 975 6252 2

x x x x x l


5/27


5

3

0,2 0,4 0,6 0,8 0,2 0, 4 0,6 0,8

0,5 0,2 0,5 0,4 0,5 0,6 0,5 0,8 0,0009

x x x x x x x xx

l

2 3 44 128 4000 14000 2000 100003 9 9 9 9x x x x x l

4

0,2 0,4 0,5 0,8 0,2 0,4 0,5 0,8

0,6 0,2 0,6 0,4 0,6 0,5 0,6 0,8 0,0016

x x x x x x x xx

l

2 3 441575 2375

20 215 6252 2

x x x x x l

5

0, 2 0,4 0,5 0,6 0,2 0,4 0,5 0,6

0,8 0,2 0,8 0,4 0,8 0,5 0,8 0,6 0,0144

x x x x x x x xx

l

2 3 455 335 650 2125 625

3 18 9 18 9

x x x x x l

Resultando em:

4

2

20 128 5( ) (0,2) 30 (0, 4) (0,5) 20 (0,6) (0,8)

3 3 3

595 262530 (0,2) (0, 4) 975 (0,5) (0,6) 625 (0,8)

2 2

1575 237520 (0,2) 215 (0,4) (0,5) (0,6) 625 (0,8)

2 2

P x f f f f f

f f f f f x

f f f f f x

3

4

20 128 5(0,2) 30 (0,4) (0,5) 20 (0,6) (0,8)

3 3 3

5 335 650 2125 625(0,2) (0,4) (0,5) (0,6) (0,8)3 18 9 18 9

f f f f f x

f f f f f x

Substituindo os valores da funo em cada um dos pontos nodais na expresso acima,obtm-se os mesmos valores dos coeficientes do polinmio interpolador.

Apesar de essa forma aparentar ser mais complexa que a anterior, a mesma obtidasem a resoluo do sistema linear de equaes algbricas. Alm disso, os mesmospolinmios base podem ser utilizados para interpolar qualquer funo contnua nointervalo, bastando calcular os valores da funo em cada um dos pontos nodais.

Outra propriedade interessante dos polinmios interpoladores de Lagrange pode serobtida quando se aplica a interpolao polinomial funo; kf x x para k= 0, 1, 2,...,

(m-1), ento como neste caso a interpolao exata, de (II.22), tem-se:

1

mk k

j j

j

x x x

l , para k = 0, 1, 2, ..., (m-1)

Algebricamente, os polinmios de Lagrange podem ser interpretados como asincgnitas deste sistema linear de equaes no qual o elemento da linha k e coluna j damatriz caracterstica k

jx e no qual o elemento kdo vetor das constantes: kx .


6/27


6

Para ilustrar esta observao, adota-se m=2, assim: com k=0: 1 2 1x x l l e com k=1:

1 1 2 2x x x x x l l , resultando no sistema algbrico linear:

1 1 2 2

2 21 2 1 12 1 2 1

1 1 11 11 11

x x x x x

x xx x x x xx xx x x x

l l

l l

ERRO NA INTERPOLAO POLINOMIAL DE LAGRANGE

Do conceito de interpolao polinomial de Lagrange, tem-se que o valor daaproximao polinomial de grau (m-1), Pm-1(x), igual ao valor da funo f(x) nos pontosnodais, isto o erro da interpolao nulo nos mpontos nodais, o que permite inferir que aforma do erro da aproximao : 1Erro( ) ( ) ( ) ( ) ( )m nodalx f x P x p x x

Para determinar a expresso de ( )x , procede-se de maneira semelhante utilizada naanlise do resduo de expanses em sries de potncias, definindo-se a funo:

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )m nodalQ t f t P t p t x .

Note que a funo Q(t) se anula em (m+1) valores de tque so:x1,x2, ... ,xmex(um valorgenrico do argumento original). Desta forma, pelo Teorema do Valor Mdio, a derivada dafuno Q(t) se anula pelo menos m vezes no interior do intervalo das razes [intervalo Icomposto pelos valores de tcontidos entre (a)xexmcasox xm- extrapolao ], isto :

1( ) ( )( ) ( ) ( )m nodaldP t dp t dQ t df t

xdt dt dt dt

tempelo menosm razes em I;

a derivada da funo( )dQ t

dt ,

2

2

( )d Q t

dt , anula-sepelo menosm-1 vezes no intervalo I, isto :2 22 2

12 2 2 2

( ) ( )( ) ( )( )m nodal

d P t d p t d Q t d f t x

dt dt dt dt

contmpelo menosm-1 razes em I.

Induzindo a expresso para a isima derivada de Q(t), resulta que:

1( ) ( )( ) ( ) ( )i ii i

m nodal

i i i i


dt dt dt dt

contmpelo menosm+1irazes em I, com

ivariando de 0 a m.Para o ltimo valor de i(isto : i = m), resulta:

1( ) ( )( ) ( ) ( )m mm m

m nodal

m m m m


dt dt dt dt

anula-sepelo menos1 (uma) vez em I,

como : 1( )

0m

m

m

d P t

dt

[ 1( )mP t um polinmio em tde grau (m-1)] e

( )( )!

m

nodal

m

d p tm

dt o coeficiente de tm em ( )nodalp t igual a 1

( )11

( )!

m

nodal

m

d p t

m dt

obtm-se: ( ) ( )

! ( )m m

m m

d Q t d f t m x

dt dt contm pelo menos 1 (uma) raiz em I, seja essa

raiz , isto :( )

0m

m

t

d Q t

dt

, resultando na expresso:

1 ( )( )

!

m

m

t

d f tx

m dt

.


7/27


7

Concluindo-se que o erro da interpolao polinomial dado por:

1 ( )

Erro( )

!

m

nodalm

t

d f tx p x

m dt

, sendo algumponto de I e: 1

( )m

nodal i

i

p x x x

:

um polinmio emx de grau mO erro da aproximao polinomial assim constitudo pelo produto de dois termos:

(i)

1 ( )

!

m

m

t

d f t

m dt

e (ii) nodalp x , o primeiro desses termos depende inerentemente

da funo que se est aproximando, independente da seleo dos pontos nodais; j osegundo termo, que o prprio polinmio nodal, depende exclusivamente da seleo dospontos nodais, seu valor (em mdulo) pode ser minimizado segundo critrios bemdefinidos.

Analisando a expresso acima, chegam-se as seguintes concluses:

(a) oErro da interpolao para funes polinomiais de grau inferior a m nulo, pois:( )

0m

m

d f t

dt para todo valor de t;

(b) sef(x) for uma funo polinomial de grau mcom coeficiente dexmigual a cmo erro dainterpolao ser: Erro( ) m nodalx c p x ;

(c) sef(x) for uma funo polinomial de grau n > mento o erro da interpolao :

Erro( ) ( ) , em que : ( )n m nodal n mx q x p x q x um polinmio emxde grau n-m.

A Eq. (II.6) tambm til para a anlise dos limites superiores do erro dainterpolao, esse tipo de anlise ilustrada no exemplo a seguir.Exemplo Ilustrativo: Analise o valor mximo do erro na interpolao de 4ograu da funo:

( ) 2f x sen x no intervalo [0,+1], utilizando os seguintes pontos de interpolao:

0,2; 0,4; 0,5; 0,6 e 0,8.

Da expresso de f(x) verifica-se que: 5 5

5 5

5 5

( ) ( )32 cos 2 32

d f x d f xx

dx dx , o

que permite concluir que:532

Erro( ) max ( )5! nodal

x p x

, mas o max ( )nodal

p x ocorre

nos limites do intervalo, isto em x =0 e emx=+1 quando: (0) (1) 0,0192nodal nodal

p p ,

logo:532

Erro( ) 0,0192 1,566821

5!

x

para 0 x1.

A seguir, representa-se o grfico de f(x) versus x (curva contnua) e de fap(x), obtido porinterpolao de Lagrange com os cinco pontos apresentados, versus x (curva pontilhada),apresentando tambm ao lado os valores dos erros emx=0 e emx=1.


8/27


8

0 0.5 12

1

0

1

2

Yk

Y apk

Xk

=res( )0 1.12257

=res( )1 1.12257

Fig. 3- Interpolao Polinomial de Lagrange com 5 Pontos (4oGrau) da Funo: ( ) 2x sen x

[Curva contnua: Funo Exata - Curva Pontilhada: Funo Interpolada com pontos 0,2; 0,4; 0,5; 0,6 e 0,8]

Note que os valores reais do erro em x=0 e em x=1 so ambos inferiores (emmdulo) ao valor mximo previsto pela anlise da expresso do resduo, Eq.(II.6). O alto

valor do mdulo do resduo em x=0 e em x=1 se deve ao fato de o valor da funoaproximada nestes pontos ser obtida por extrapolao. Uma melhoria significativa pode serobtida utilizando os pontos x=0 e x=1 como pontos de interpolao, alm de 0,25; 0,50 e0,75. As curvas da funo exata e da funo aproximada so neste caso apresentadas nafigura abaixo, representando-se ao lado os valores numricos dos extremos do resduo e dosprevistos pela expresso do resduo.

0 0.5 12

1

0

1

2

Yk

Y apk

Xk

=max 0.093913 =res( )max 0.180758

=Max 0.906088 =res( )Max 0.180758

=sol 0.088892 =.cte p nodal( )sol 0.289398

=Sol 0.911108 =.cte p nodal( )Sol 0.289398

Fig. 4- Interpolao Polinomial de Lagrange com 5 Pontos (4oGrau) da Funo: ( ) 2x sen x

[Curva contnua: Funo Exata - Curva Pontilhada: Funo Interpolada com pontos 0; 0,25; 0,5; 0,75 e 1]

Exemplo Proposto: Analise o valor mximo do erro na interpolao de 4ograu da funo:( ) exp( )f x x no intervalo [0,+1], utilizando os seguintes pontos de interpolao: 0,2; 0,4

; 0,5; 0,6 e 0,8. Refaa o exemplo adotando como pontos de interpolao : 0 ; 0,25 ; 0,50 ;

0,75 e 1e compare com os resultados anteriores.

AVALIAO DE DERIVADAS NUMRICAS ATRAVS DA INTERPOLAOPOLINOMIAL DE LAGRANGE

Nos itens anteriores se utilizou a interpolao polinomial de Lagrange apenas paracalcular os valores aproximados da funo em pontos distintos dos pontos nodais, isto :


9/27


9

11

( ) ( )m

m j j

j

f x P x x f x

l , em que: j xl : um polinmio em x de grau m1,

expresso por:

( )nodaljj j

p xxx x

l para j =1, 2, ..., m , sendo: ( )j nodal jp x e

1 21

( )m

nodal m k

k

p x x x x x x x x x

A expresso anterior pode tambm ser utilizada para calcular o valor numrico aproximadodas derivadas primeira e segunda da funo f x em cada ponto nodal, isto , os valores

de:2

2

( ) ( ) e

i ix x

df x d f x

dx dxpara i= 1, 2, ..., m . Utilizando a interpolao de Lagrange para

o cmputo dessas derivadas:

1

1

221

2 21

( )( )

( )( )

i i

i i

mm

ij j

jx x

mm

ij j

jx x

dP xdf xA f x

dx dx

d P xd f xB f x

dx dx

em que :

2

2

( )

( )

i

i

j

ij

x

j

ij

x

d xA

dx

d xB

dx

l

l

Os termosAije Bijpodem ser calculados se derivando sucessivamente a expresso de jl (x)

rearranjada na forma:

( )

nodalj j

j

p xx x x

l , assim:

( )1j nodal

j j

j

d x dp xx x x

dx dx

ll ; (a)

2 2

2 2

( )12j j nodal

j

j

d x d x d p xx x

dx dx dx

l l (b)

e

3 2 3

3 2 3

( )13j j nodal

j

j

d x d x d p xx x

dx dx dx

l l (c)

Adotandoi j

x x x em (a) e em vista de: 0 ej ix l ( )i nodal ip x , tem-se:

( )

parai

j iij i j

i j jx

d xA x x

dx x x

l.

Adotandox=xjem (b), tem-se:2

2

( ) ( )1

2j j

j nodaljj

jx x

d x d p xA

dx dx

l.


10/27


10

Adotandoi jx x x em (b) tem-se:

2

2

( )12

i

nodali j ij ij

j x

d p xx x B A

dx , mas:

2

2

( ) 2i

nodali ii

x

d p xA

dx ento:

2

2

( )1 2 2i

nodal iii i j ij ii

j jx

d p xA x x A A

dx

, pois:

i i j ijj

x x A

, logo:

2

2

( ) 1 2 para

i

j

ij ij ii i j

i jx

d l xB A A x x

dx x x

.

Adotandox=xjem (c), tem-se2 3

2 3

( ) ( )1

3jj

j nodaljj

j xx

d x d p xB

dx dx

l.

Resumindo:2

2

para( )( )

( )1 para

2i

i

i

i j jj

ij

x nodal

i x

j ix xd x

Adx d p x

j idx

l, e

2

2 3

3

12 para

( )( )

( )1 para

3i

i

ij ii

i jj

ij

nodalx

i x

A A j ix xd x

Bdx d p x

j idx

l

Nota-se que, para calcular os valores das derivadas da aproximao em cada um dospontos nodais, no necessrio gerar os polinmios interpoladores de Lagrange sendoapenas necessrio calcular as trs primeiras derivadas do polinmio nodal em cada um dospontos nodais.

Para executar este procedimento de forma iterativa, Villadsen & Michelsen (1978)sugerem o procedimento.Para 1 , , e 1 , ,i m j m

, , 1 ,0

, , 1 , -1 ,0

, , 1 , -1 ,0

, , 1 i,j-1 ,0

com 1

+ com 0

+2 com 0

+3 r com 0

i j i j i j i

i j i j i j i j i

i j i j i j i j i

i j i j i j i

p x x p p

q x x q p q

r x x r q r

s x x s s

Em que:2 3

, , ,2 3

( ) ( ) ( )= , = e .

i i i

nodal nodal nodali m i m i m

x x x

dp x d p x d p xq r s

dx dx dx


11/27


11

A sub-rotina que calcula as trs primeiras derivadas do polinmio nodal (normalizado)programada em MATHCAD mostrada a seguir:

derivadas x m( )

I i 1

p 1

q 0

r 0

s 0

t xi

xj

s t s 3 r

r t r 2 q

q t q p

p t p

j 1 mfor

ResI 0

q

ResI 1

r

ResI 2

s

i 1 mfor

Exemplo Ilustrativo: Calcular numericamente os valores das derivadas primeiras e

segundas da funo ( ) 2f x x sen x nos pontos: 0,2; 0,4; 0,5; 0,6 e 0,8. a partir da

aproximao polinomial de 40 grau utilizando estes mesmos pontos como pontos nodais.

Comparar estes valores com os valores exatos.Adotando o procedimento descrito em (II.9) e (II.10), determinam-se as matrizes:

A

12 5000 45 0000 53 3333 22 5000 1 66670 5556 12 5000 17 7778 5 0000 0 27780 2083 5 6250 0 0000 5 6250 0 2083

0 27778 5 0000 17 7778 12 5000 0 55561 6667 22 5000 53 3333 45 0000 12 5000

, , , , ,, , , , ,, , , , ,

, , , , ,, , , , ,

e

1111,1110000,6757778,9770000,4501111,36

4444,190000,08889,880000,755556,53889,15000,1122222,2225000,1123889,1

5556,50000,758889,880000,04444,19

1111,360000,4507778,9770000,6751111,111

B

Baseados nestes valores, calculam-se:

225 5

4 4, ,2 2

1 1

( ) ( )( ) ( ) e

i i i i

i j j i j j

j jx x x x

dP x d P xdf x d f xA f x B f x

dx dx dx dx

para i= 1, 2, 3, 4 e 5.

Apresentando os resultados em forma tabelada, tem-se:


12/27


12

i xi ( )

ix

df x

dx

4 ( )

ix

dP x

dx

2

2

( )

ix

d f x

dx

24

2

( )

ix

d P x

dx

1 0,2 1,9316 2,5867 15,1079 29,50612 0,4 2,7502 2,8430 23,2941 21,15123 0,5 4,4429 4,3863 8,8858 8,80854 0,6 4,3168 4,4232 11,7282 8,97785 0,8 1,2049 2,1998 36,0854 60,8807

Nota-se uma grande discrepncia entre os valores exatos e aproximados dasderivadas primeira e segunda (sobretudo neste ltimo caso) nos pontos 0,2 e 0,8, apenas osvalores das derivadas primeira e segunda no ponto central (x = 0,5) so calculados comuma preciso razovel. Tais resultados, entretanto, no caracterizam a inadequao do

procedimento para todas as funes, mas pode indicar que a funo ( ) 2f x x sen x

muito mal aproximada por uma funo polinomial.Investigando-se os valores das duas primeiras derivadas nos mesmos pontos para a

funof(x) = exp(x), obtm-se os seguintes resultados.

i xi ( )

ix

df x

dx

4 ( )

ix

dP x

dx

2

2

( )

ix

d f x

dx

24

2

( )

ix

d P x

dx

1 0,2 0,8187 0,8187 0,8187 0,81682 0,4 0,6703 0,6703 0,6703 0,67053 0,5 0,6065 0,6065 0,6065 0,6065

4 0,6 0,5488 0,5488 0,5488 0,54865 0,8 0,4493 0,4493 0,4493 0,4510

Verificando-se uma grande melhoria na estimao das duas primeiras derivadas, nospontos considerados, em comparao com as estimaes da funo anterior.

INTERPOLAO POLINOMIAL DE HERMITE

A interpolao polinomial de Hermiteconsiste em aproximar uma funo contnuae definida no intervalo [0,+1], f(x), por um polinmio de grau (2m-1) :

P2m-1(x), tal que: 2 12 1 ej j

mm j j

x x

dP x df xP x f xdx dx

, paraj= 1, 2, ..., m; sendo

os pontosxi( i= 1, 2, ..., m) ospontos nodaisoupontos de interpolao.Esse procedimento pode ser visualizado na Figura a seguir, onde se adotam trs

pontos nodaisaproximando a funo por um polinmio de quinto grau.


13/27


13

0 0.5 11

0

1

f xk

y int xk

yi

,,xk

xk

vi

Fig. 5- Interpolao Polinomial de Hermite com 03 Pontos (50Grau)[Curva contnua: Funo Exata - Curva Pontilhada: Funo Interpolada- Pequenos Quadrados: Pontos Nodais]

A forma direta de gerar o polinmio interpolador: P2m-1(x), representado por:

2 1

2 10

mi

m i

iP x c x

, atravs da resoluo do sistema algbrico linear:

2 1 2 1

12 1 2 1

0 0

em m

i i

m j i j j m j i j j

i i

P x c x f x P x i c x f x

, paraj= 1, 2, ..., m

2 2 111 1 1

2 2 122 2 2

0

2 2 11

2 211 1

2 2

2 1 22 2

2 2

1

1

1

0 1 2 2 1

0 1 2 2 1

0 1 2 2 1

m

m

m

mm m m

m

m

m

m

mm m

f xx x x

f xx x x

c

c f xx x x

f xx m x

c f xx m x

f xx m x

A resoluo do sistema algbrico linear acima fornece os valores dos coeficientes ci, para i= 0, 1, ..., 2m1.Exemplo Ilustrativo: Determinar o polinmio interpolador de Hermite de 5ograu da funo

( ) 2f x x sen x no intervalo [0,+1], utilizando os seguintes pontos de

interpolao: 0,2; 0,5 e 0,8.

2 3 4 50

2 3 4 51

2 3 4 52

2 3 43

2 3 44

2 3 45

0,2

1 0, 2 0,2 0,2 0,2 0, 2

1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

1 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8

0 1,0 2 0,2 3 0,2 4 0,2 5 0,2

0 1,0 2 0,5 3 0,5 4 0,5 5 0,5

0 1,0 2 0,8 3 0,8 4 0,8 5 0,8

s

c

c

c

c

c

c

0,4

0,5 1,00,8 1,6

0,42 0,2 cos 0, 4

2 0,2

1,02 0,5 cos 1,0

2 0,5

1,62 0,8 cos 1,6

2 0,8

en

sen

sen

sen

sen

sen


14/27


14

Ou, numericamente:

0

1

2

3

4

5

1 0, 2 0,04 0,008 0,0016 0,00032

1 0,5 0,25 0,125 0,0625 0,031251 0,8 0,64 0,512 0,4096 0,32768

0 1,0 0,40 0,120 0,0320 0,00800

0 1,0 1,00 0,750 0,5000 0,31250

0 1,0 1,60 1,920 2,0480 2,04800

c

cc

c

c

c

0

1

2

3

4

5

0,4253254 0,35225549

0,0000000 4,963153970,85065081 51,0962438

1,93162836 152,79666262

4,44288294 164,21527662

1,20497295 57,87556516

c

cc

c

c

c

Representado graficamente abaixo:

0 0.5 11

0.5

0

0.5

1

f xk

y int xk

yi

,,xk

xk

vi

Fig. 6- Interpolao Polinomial de Hermite com 3 Pontos (5oGrau)-Funo: f x x sen x( ) 2 [Curva contnua: Funo Exata-Curva Pontilhada: Funo Interpolada-Pequenos Losangos: Pontos Nodais]

Observa-se na Figura acima que entre os pontos de interpolao, isto : 0,2 x1,0 a aproximao polinomial da funo bastante satisfatria, entretanto para valores dex


15/27


15

Obtendo-se:

2

2 1

1

( ) 2m

m j j j jj j j

j

P x x f x f x A f x x x

l

Em que:

j

j

jj

x

d xA

dx

l

(A)

Em vista de: ( ) ( )

( )nodal nodal

j j j

j j j

p x p xx x x x

x x

l l , em que: ( )j nodal jp x .

O que permite expressar (A) na forma:

2

2 11 1

( ) 2 ( ) ( )m m

j

m j j j jj j nodal

j j j

xP x x f x f x A f x p x

ll , em que:

j

jjj

x

d xAdx

l

, ( )j nodal jp x e 1 21

( )m

nodal m k

k

p x x x x x x x x x

importante analisar os graus dos dois termos do membro direito da ultima expressoassim:

(a) Termo: 2

1

m

j j

j

x f x

l : polinmio emxde grau 2 2m ;

(b) Termo:

11

2 ( ) ( ) ( )m

j

j jj j nodal m nodal

j j

xf x A f x p x q x p x

l um

polinmio em x de grau 2 1m resultante do produto de um polinmio em x de grau

1m , 1mq x , por um polinmio emxde grau ,m

1 21

( )m

nodal m k

k

p x x x x x x x x x

, opolinmio nodal.

Outra forma da interpolao de Hermite pode ser obtida se colocando em (A) os

termosf(xj) e jf x em evidncia, resultando em:

2 11 1

( ) ( )m m

m j j j j

j j

f x P x x f x x f x

s r , em que:

2

( ) 1 2 ( )j jj j j

x A x x x s l e 2

( ) ( )j j j

x x x x r l [para j =1, 2, ..., m] so

polinmios de grau 2 1m em x e ej jjl x A tem o mesmo significado apresentado nainterpolao de Lagrange.

Exemplo Ilustrativo:No exemplo anterior, tem-se:x1=0,2;x2= 0,5 ex3= 0,8.Assim:

12

1 11

0,2

1/ 2 4 / 5 54 13 10 5

1/ 5 1/ 2 1/ 5 4 / 5 9

x x d xx x x A

dx

ll

222 22

0,5

1/ 5 4 / 5 44 25 25 0

1/ 2 1/ 5 1/ 2 4 / 5 9

x x d xx x x A

dx

ll


16/27


16

323 33

0,8

1/ 5 1/ 2 51 7 10 5

4 / 5 1/ 5 4 / 5 1/ 2 9

x x d xx x x A

dx

ll

Determinando-se:

2 22 2

1 1

25 5( ) (10 1) 4 13 10 e ( ) 5 1 4 13 10

81 81s x x x x r x x x x ;

2 22 2

2 2

16 8( ) 4 25 25 e ( ) 2 1 4 25 25

81 81s x x x r x x x x ;

2 22 2

3 3

25 5( ) 9 10 1 7 10 e ( ) 5 4 1 7 10

81 81s x x x x r x x x x

Os grficos desses polinmios so mostrados abaixo.

0.2 0.4 0.6 0.80

0.2

0.4

0.6

0.8

s1 xk s2 xk

s3 xk

xk

0.2 0.4 0.6 0.8

0.05

0

0.05

r1 xk r2 xk

r3 xk

xk Resultando em:

2 2

5

0,5 0,8 0, 2 0,8( ) 10 1 (0, 2) (0,5)

0,18 0,09

x x x xP x x f f

2 20,2 0,5 0,5 0,89 10 (0,8) ( 0,2) (0,2)

0,18 0,18

x x x xx f x f

2 2

0, 2 0,8 0, 2 0,5( 0,5) (0,5) ( 0,8) (0,8)

0,09 0,18

x x x xx f x f

ERRO NA INTERPOLAO POLINOMIAL DE HERMITE

De forma semelhante interpolao polinomial de Lagrange, chega-se seguinte

expresso do erro na interpolao polinomial de Hermite:

22

2

1 ( )Erro( )

2 !

m

nodalm

t

d f tx p x

m dt

, sendo algumponto de I e :

1

( )m

nodal i

i

p x x x

: um polinmio emxde grau m.Analisando a expresso acima, chegam-se s seguintes concluses:(a) o erro da interpolao nulo para funes polinomiais emx de grau inferior a 2m, pois:

2

2

( )0

m

m

d f x

dx para todo valor dex;


17/27


17

(b) se f(x) for uma funo polinomial emx de grau 2mem que c2m o coeficiente dex2m,

ento o erro da interpolao ser: 2

2Erro( ) m nodalx c p x ;

(c) se f(x) for uma funo polinomial em x de grau n > 2m ento o erro da interpolaoser:

2

2 2Erro( ) ( ) , em que : ( )n m nodal n mx q x p x q x um polinmio emxde grau n-2m

Exemplo Ilustrativo: Analise o valor mximo do erro na interpolao de 5ograu da funo:

( ) 2f x sen x no intervalo [0,+1], utilizando os valores da funo e de sua derivada

nos pontos : 0,2; 0,5 e 0,8.

Da expresso def(x) verifica-se que: 6 6

6 66 6

( ) ( )64 2 64

d f x d f xsen x

dx dx . O

que permite concluir que:6 264Erro( ) max ( )

6! nodalx p x , mas o

2max ( )

nodalp x ocorre

nos limites do intervalo, isto , emx=0 e emx=+1, cujo valor :

2 2(0) (1) 0,0064

nodal nodalp p , logo: Erro x( )

!, ,

64

60 0064 0 5469

6para 0 x 1.

A seguir, representa-se o grfico de f(x) versus x (curva contnua) e de fap(x), obtido porinterpolao polinomial de Hermite com os trs pontos apresentados, versus x (curvapontilhada), apresentando tambm ao lado os valores dos erros emx=0 e emx=1.

0 0.5 12

1

0

1

2

f xk

y int xk

yi

,,xk

xk

vi

Erro em x=0 : -0,1935Erro em x=1 : +0,1935

Fig. 7- Interpolao Polinomial de Hermite com 3 Pontos (5oGrau)Funo: ( ) 2f x sen x

[Curva contnua: Funo Exata-Curva Pontilhada: Funo Interpolada com pontos 0,20; 0,50 e 0,80]

De forma semelhante apresentada no exemplo ilustrativo da interpolao de Lagrange,investiga-se a melhoria da interpolao utilizandox=0 ex=1 alm dex=0,5 como pontos deinterpolao, neste caso pode se estimar um valor superior do mdulo do erro atravs de

(II.15), resultando em:6

264Erro( ) max ( )

6! nodalx p x

, no presente caso o polinmio


18/27


18

nodal 3 2 2( )

( ) 0,5 1 1,5 0,5 3 3 0,5nodalnodaldp x

p x x x x x x x x xdx

que

se anula nos pontos: 0 5 1 13

, em que ( ) 0,0481nodalp x . Assim:

2max ( ) 0,0023nodalp x e

664Erro( ) 0,0023 0,1978

6!x

para 0 x1.

A representao grfica dessa nova aproximao mostrada na Figura a seguir.

0 0.5 12

1

0

1

2

f xk

y int xk

yi

,,xk

xk

vi

Erros mximos (em mdulo) em x=0,1766 eem x=0,8234 , com o valor de 0,03915

Fig. 8- Interpolao Polinomial de Hermite com 3 Pontos (5oGrau)Funo: ( ) 2f x sen x

[Curva contnua: Funo Exata-Curva Pontilhada: Funo Interpolada com pontos 0; 0,50 e 1]Exemplo Proposto: Analise o valor mximo do erro na interpolao de 5o grau dafuno: ( ) exp( )f x x no intervalo [0,+1], utilizando os valores da funo e de suaderivada nos seguintes pontos de interpolao: 0,2; 0,5 e 0,8. Refaa o exemplo adotando

como novos pontos de interpolao : 0 ; 0,50 e 1e compare com os resultados anteriores.

INTERPOLAO POLINOMIAL MISTA DE LAGRANGE/HERMITE

A interpolao polinomial mista de Lagrange/Hermiteser definida como sendo aaproximao de uma funo contnua e definida no intervalo [0,+1], f x , por um

polinmio emxde grau 2 m , 2mP x , satisfazendo a: 2 2em j j m j jP x f x P x f x nos pontos de interpolao internos, isto , para 1, 2, ,j m e, alm disso, uma das duas

possibilidades abaixo:(a) 2 0 0mP x f x , em que x0 = 0 [extremidade inferior tambm ponto de

interpolao];(b) 2 1 1 m m mP x f x , em que xm+1 = 1 [extremidade superior tambm ponto de

interpolao].A interpolao polinomial mista de Lagrange/Hermitepode tambm ser definida como aaproximao de uma funo contnua e definida no intervalo [0,+1], f x , por um

polinmio emxde grau 2 m +1, 2 1mP x , satisfazendo a: 2 1m j jP x f x e


19/27


19

2 1m j jP x f x nos pontos de interpolao internos, isto , para 1, 2, ,j m e, almdisso; 2 1 0 0 mP x f x , em quex0= 0 e 2 1 1 1m m mP x f x , em quexm+1= 1

[extremidades inferioresuperiorso tambmpontoa de interpolao].

INTERPOLAO POLINOMIAL MISTA DE LAGRANGE/HERMITE: usando aextremidade inferior como ponto de interpolao

A forma direta de gerar o polinmio interpolador: P2m (x), representado por:

2

20

mi

m i

i

P x c x


2

20

21

20

para 0, 1, 2, ..., e

para 1, 2, ...,

mi

m j i j j

i

mi

m j i j j

i

P x c x f x j m

P x i c x f x j m

,

2 21 11 1

2 202 2 2 2

1

2 2

2 12 11 1 1

2 122 2 2

2 1

00 001

1

1

1

0 1 2 2

0 1 2 2

0 1 2 2

m

m

m

m m m m

mm

mm

m

m m m

f

x f xx x

cx x x f x

c

x x x f x

cx m x f x

cx m x f x

x m x f x

A resoluo do sistema algbrico linear acima fornece os valores dos coeficientes ci, para i= 0, 1, ..., 2m.

Fundamentado na interpolao de Hermite, chega-se a:

2

2 01

( )( )

(0)

mnodal

m j

jnodal

p xP x f x x

p

g

Em que: 1 2( )nodal mp x x x x x x x [o polinmio nodal considerando

exclusivamente ospontos internos de interpolao] e

2

=j j j j j

j

xx x f x a x x

x g l , paraj= 1,..., mso polinmios emxde grau

2m, que devem satisfazer a:

i-) para

0 para

j

j i

x i jx

i j

g (j satisfaz!); ii-) 0 0 0j jx g g (j satisfaz!);

iii-)

,i

j

j i j

x

d xf x

dx

g, calculando a derivada:


20/27


20

2j j jj j j j j j

j j j

d x d x xx xx f x a x x a x

dx x dx x x

g l ll l

para:i j

x x x

0 pois 0 quandoi

j

j i

x

d xx i j

dx

gl (j satisfaz!);

1 1para : , 2 2

j

j

j j jj j j j j jj j

j jx

d xx x f x A f x a a f x A f x

dx x x

g

Assim, o polinmio P2m(x) expresso por:

2

2 0

2

1

( )( )

(0)

12 ( ) ( )

nodalm

nodal

m

j j j jj j j

j j j

p xP x f x

p

x x f x f x A f x x xx x

l

em que:

j

j

jj

x

d xA

dx

l e ( )j nodal jp x

(B)

Usando na expresso acima a propriedade: ( )nodal

j j

j

p xx x x

l , obtm-se:

22

2 01 1

( ) 1( ) 2 ( ) ( )

(0)

m mjnodal

m j j j jj j nodal

j jnodal j j j j

xp x xP x f x x f x f x A f x x p x

p x x x

ll

importante analisar os graus dos trs termos do membro direito da ltima expresso,assim:

(a) Termo: 2

0

( )

(0)nodal

nodal

p xf x

p

polinmio emxde grau 2 m ;

(b) Termo: 2

1

m

j j

j j

xx f x

x l : polinmio emxde grau 2 1m ;

(c) Termo:

11

12 ( ) ( ) ( )

mj


j j j j

xf x A f x x p x q x x p x

x x

l

um polinmio em x de grau 2 m resultante do produto de um polinmio em xde grau1m , 1mq x , por um polinmio em xde grau 1,m ( )nodalx p x . Esse ltimo polinmio

pode ser interpretado como um novo polinmio nodal, pois x=x0=0 passou a ser tambmum ponto de interpolao, isto : 0 1 ( )nodal m nodalp x x x x x x x x p x

.

Colocando em (B) os termos jf x e jf x em evidncia, resulta:

20 1

( ) ( )m m

m j j j j

j j

f x P x x f x x f x

s r , em que: 2

0

( )

(0)nodal

nodal

p xx

p

s ,


21/27


21

2 1

1 2 ( ) para 1, 2, ,j j jj j

j j

xx x A x x j m

x x

ls e

2

( )j j jj

xx x x x

x lr todos polinmios emxde grau 2m.

INTERPOLAO POLINOMIAL MISTA DE LAGRANGE/HERMITE: usando aextremidade superior como ponto de interpolao

A forma direta de gerar o polinmio interpolador: P2m (x), representado por:

2

20

mi

m i

i

P x c x


2

20

21

20

para 1, 2, ..., , 1 e

para 1, 2, ...,

mi

m j i j j

i

mi

m j i j j

i

P x c x f x j m m

P x i c x f x j m

,

2 211 1 1

2 22 22 2

0

2 21

2 1 2 11 1 1

2 122 2 2

2 1

1

1

1

1 1 1 1 1

0 1 2 20 1 2 2

0 1 2 2

m

m

m

m m m m

m m

mm

m

m m m

f xx x x

x f xx x

c

cx x x f x

f

cx m x f xcx m x f x

x m x f x

A resoluo do sistema algbrico linear acima fornece os valores dos coeficientes ci, para i= 0, 1, ..., 2m.


2

2 11

( )( )

(1)

mnodal

m j m

j nodal

p xP x x f x

p

g

Em que: 1 2( )nodal mp x x x x x x x e

21

=1j j j j jj

xx x f x a x x

x

g l , para j= 1,..., m so polinmios em x de

grau 2m, que devem satisfazer a:

i-) para

0 para

j

j i

f x i jx

i j

g (j satisfaz!); ii-) 1 1 0j m jx g g (j satisfaz!);


22/27


22

iii-)

,i

j

j i j

x

d xf x

dx


1 12

1 1 1j j j

j j j j j j

j j j

d x d x xx xx f x a x x a x

dx x dx x x

g l ll l

para:i j

x x x

0 pois 0 quandoi

j

j i

x

d xx i j

dx

gl (j satisfaz!);

1 1para : , 2 2

1 1j

j

j j jj j j j j jj j

j jx

d xx x f x A f x a a f x A f x

dx x x

g

Assim, o polinmio P2m(x) expresso por:

22

1

2

1

1 1( ) 2 ( ) ( )1 1

( )

(1)

m

m j j j jj j j

j j j

nodalm

nodal

xP x x f x f x A f x x xx x

p xf x

p

l

em que:

j

j

jj

x

d xA

dx

l e ( )

j nodal jp x

(C)

Usando na expresso acima a propriedade: ( )

nodalj j

j

p xx x x

l , obtm-se:

22

2 11

1

( )1( )

1 (1)

12 ( ) 1

1 1

mnodal

m j j m

j j nodal

mj

j jj j nodal

j j j j

p xxP x x f x f x

x p

xf x A f x x p x

x x

l

l

importante analisar os graus dos trs termos do membro direito da ltimaexpresso, assim:

(a) Termo: 2

1

1

1

m

j j

j j

xx f x

x


(b) Termo: 2

1

( )

(1)nodal

m

nodal

p xf x

p

: polinmio emxde grau 2 m ;

(c) Termo:

1

1

12 ( ) 1 1 ( )

1 1

mj


j j j j


x x

l

um polinmio em x de grau 2 m resultante do produto de um polinmio em xde grau1m , 1mq x , por um polinmio emxde grau 1,m 1 ( )nodalx p x .

Esse ltimo polinmio pode ser interpretado como um novopolinmio nodal, poisx=xm+1=1, passou a ser tambm um ponto de interpolao, isto :


23/27


23

1 1 1 ( )nodal m m nodalp x x x x x x x x p x

.

Colocando em (C) os termos jf x e jf x em evidncia, resulta:

1

21 1

( ) ( )m m

m j j j j

j j

f x P x x f x x f x

s r , em que:

21 1

1 2 ( ) para 1, 2, ,1 1j j jj jj j

xx x A x x j m

x x

s l ,

2

1

( )

(1)nodal

m

nodal

p xx

p

s e

21( )

1j j jj

xx x x x

x

r l todos polinmios emxde grau

2m.

INTERPOLAO POLINOMIAL MISTA DE LAGRANGE/HERMITE:usando ambas asextremidades como pontos de interpolao

A forma direta de gerar o polinmio interpolador: P2m+1(x), representado por:

2 1

2 10

mi

m i

i

P x c x


2 1

2 10

2 11

2 10

para 0, 1, 2, ..., , 1 e

para 1, 2, ...,

mi

m j i j j

i

mi

m j i j j

i

P x c x f x j m m

P x i c x f x j m

,

2 2 121 11 1

2 2 122 2 22

2 2 2 1

0 001 0

1

1

1

1 1 1 1

m m

m m

m m

m m m m

x xx x

x x xx

x x x x

0

1

2 1

2 1 221 1 1

2 1 22 12 2 2

2 1 2

1

0 1 2 2 2 1

0 1 2 2 2 1

0 1 2 2 2 1

m

m mm

m mm

m m

m m m

c

c

c

cx m x m x

cx m x m x

x m x m x

1

2

1

2

0

1m

m

f

f x

f x

f x

f

f x

f x

f x

A resoluo do sistema algbrico linear acima fornece os valores dos coeficientes ci, para i= 0, 1, ..., 2m+1.


2 2

2 1 0 11

( ) ( )( ) 1

(0) (1)

mnodal nodal

m j m

jnodal nodal

p x p xP x x f x x x f x

p p

g


24/27


24

Em que: 1 2( )nodal mp x x x x x x x e

21=

1j j j j jj j

x xx x f x a x x

x x

g l , paraj= 1,..., mso polinmios emx

de grau 2m+1, que devem satisfazer a:

i-) para

0 para

j

j i

f x i jx

i j

g (j satisfaz!); ii-) 0 0 0j jx g g (j satisfaz!);

iii-) 1 1 0j m jx g g (j satisfaz!);

iv-)

,i

j

j i j

x

d xf x

dx


1 21 1

2 1 1 1j j j

j j j j j j

j j j j j j

d x d x x xx x x xx f x a x x a x

dx dxx x x x x x

g l ll l

para:i j

x x x

0 pois 0 quandoi

j

j i

x

d xx i j

dx

gl (j satisfaz!);

1 2para : , 2

1

1 22

1

j

j j

j j jj j j

j jx

j

j j jj j

j j

d x xx x f x A f x a

dx x x

xa f x A f x

x x

g

Assim, o polinmio P2m+1(x) expresso por:

2

2 1 0

2

1

2

1

( )( ) 1

(0)

1 212

1 1

( )

(1)

nodalm

nodal

mj

j j j jj j j

j j j j j

nodalm

nodal

p xP x x f x

p

xx xx f x f x A f x x x

x x x x

p xx f x

p

l

em que: j

j

jj

x

d xAdx

l e ( )j nodal jp x

(D)

Usando na expresso acima a propriedade: ( )

nodalj j

j

p xx x x

l , obtm-se:


25/27


25

2 22

2 1 0 11

1

1( ) ( )( ) 1

(0) (1)1

1 212 1

1 1

mnodal nodal

m j j m

jnodal nodalj j

mj j

j jj j nodal

j jj j j j

x xp x p xP x x f x x f x x f x

p px x

x xx xf x A f x x x p

x x x x

l

l

x

importante analisar os graus dos trs termos do membro direito da ltimaexpresso, assim:

(a) Termo: 2

1

1

1

m

j j

j j

xx f x

x


(b) Termo: 2

1

( )

(1)nodal

m

nodal

p xf x

p

: polinmio emxde grau 2 m ;

(c) Termo:

1

1

12 ( ) 1 1 ( )

1 1

mj


j j j j


x x

l

um polinmio em xde grau 2 m resultante do produto de um polinmio em xde grau1m , 1mq x , por um polinmio emxde grau 1,m 1 ( )nodalx p x .

Esse ltimo polinmio pode ser interpretado como um novopolinmio nodal, poisx=xm+1=1, passou a ser tambm um ponto de interpolao, isto :

1 1 1 ( )nodal m m nodalp x x x x x x x x p x

.

Colocando em (D) os termos jf x e jf x em evidncia, resulta:

1

2 10 1

( ) ( )

m m

m j j j j

j jf x P x x f x x f x

s r , em que:

21 1

1 2 ( ) para 1, 2, ,1 1j j jj jj j

xx x A x x j m

x x

s l ,

2

1

( )

(1)nodal

m

nodal

p xx

p

s e

21( )

1j j jj

xx x x x

x

r l todos polinmios emxde grau

2m.

ERRO NA INTERPOLAO POLINOMIAL MISTA DE LAGRANGE/HERMITE:usando a

extremidade inferior como ponto de interpolao

De forma semelhante interpolao polinomial de Lagrange, chega-se seguinteexpresso do erro na interpolao polinomial mista de Lagrange/Hermite:

2 12

2 1

1 ( )Erro( )

2 1 !

m

nodalm

t

d f tx x p x

m dt

, onde algumponto de I e:

1

( )m

nodal i

i

p x x x

: polinmio de grau m.Analisando a expresso acima, chegam-se as seguintes concluses:


26/27


26

(a) o erro da interpolao nulo para funes polinomiais de grau inferior a 2 1m , pois:2 1

2 1

( )0

m

m

d f t

dt

para todo valor de t;

(b) se f x for uma funo polinomial de grau 2 1m cujo coeficiente de x2m+1 c2m+1


2 1Erro( ) m nodalx c x p x ;

(c) se f x for uma funo polinomial em x de grau n > 2 1m ento o erro da

interpolao ser: 22 1 2 1Erro( ) ( ) [ ] , em que : ( )n m nodal n mx q x x p x q x um

polinmio emx de grau 2 1n m .

ERRO NA INTERPOLAO POLINOMIAL MISTA DE LAGRANGE/HERMITE:usando aextremidade superior como ponto de interpolao

De forma semelhante interpolao polinomial de Lagrange, chega-se seguinteexpresso do erro na interpolao polinomial mista de Lagrange/Hermite:

2 12

2 1

1 ( )Erro( ) 1

2 1 !

m

nodalm

t

d f tx x p x

m dt


1

( )m

nodal i

i

p x x x

: polinmio de grau m.Analisando a expresso acima, chegam-se as seguintes concluses:(a) o erro da interpolao nulo para funes polinomiais de grau inferior a 2 1m , pois:

2 1

2 1

( )0

m

m

d f t

dt


(b) se f x for uma funo polinomial de grau 2 1m cujo coeficiente de x2m+1 c2m+1


2 1Erro( ) m nodalx c x p x ;


interpolao ser:

22 1 2 1Erro( ) ( ) 1 [ ] , em que : ( )n m nodal n mx q x x p x q x um polinmio em x de

grau 2 1n m .

ERRO NA INTERPOLAO POLINOMIAL MISTA DE LAGRANGE/HERMITE:usando as

extremidades inferior e superior como pontos de interpolaoDe forma semelhante interpolao polinomial de Lagrange, chega-se seguinte

expresso do erro na interpolao polinomial mista de Lagrange/Hermite:

2 22

2 2

1 ( )Erro( ) 1

2 2 !

m

nodalm

t

d f tx x x p x

m dt


1

( )m

nodal i

i

p x x x

: polinmio de grau m.Analisando a expresso acima, chegam-se as seguintes concluses:(a) o erro da interpolao nulo para funes polinomiais de grau inferior a 2 2m , pois:


27/27


27

2 2

2 2

( )0

m

m

d f t

dt


(b) se f x for uma funo polinomial de grau 2 2m cujo coeficiente de x2m+2

c2m+2ento o erro da interpolao ser:

2

2 2Erro( ) 1m nodalx c x x p x ;


interpolao ser: 22 2 2 2Erro( ) ( ) 1 [ ] , em que : ( )n m nodal n mx q x x x p x q x um

polinmio emx de grau 2 2n m .

Documents

Interpolacoes Polinomiais