Introdução à Estatística

Prof. Marco Fisbhen

População e Amostra

• População (ou universo): conjunto de elementos com pelo menos uma característica comum. – Ex: estudantes univesitários, moradores de uma

mesma rua, pais de filhos únicos

• Amostra: subconjunto finito de uma população– Ex: 10% dos estudantes de uma turma, 20% dos

moradores de uma rua

Estatística Descritiva x Indutiva

• Estatística descritiva: métodos que buscam somente descrever e analisar certo grupo de dados, independentemente de serem extraídos de uma amostra ou de toda a população

• Estatística indutiva: parte da estatística que tira conclusões sobre a população partindo do conhecimento da amostra. – Se uma amostra é representativa de uma população,

e tiramos conclusões a respeito desta população com os dados extraídos da amostra, temos uma aplicação da estatística indutiva.

Amostragem

• Técnicas de seleção da amostra• A amostragem pode ser probabilística ou não-

probabilística• Probabilística:– Aleatória simples, – Sistemática,– Estratificada

Amostragem não-probabilística

• Inacessibilidade de toda a população• Amostragem a esmo• Amostragem intencional• Amostragem por voluntários

Variáveis

• Qualitativas – quando expressas por tipos ou atributos: – sexo (masculino ou feminino), – cor dos olhos (azuis, castanhos, etc.).

• Quantitativas – quando expressas por números.– Discretas: Enumeráveis. Obtidas por contagens– Contínuas: Não Enumeráveis. Obtidas por

medições

Técnicas de descrição Gráfica• Tabelas: quadro resumindo o nosso conjunto de observações.• Toda tabela deve conter: Título, Cabeçalho, Células e Fonte

Escola Altura (m)

A 1,65

B 1,71

C 1,63

D 1,67

E 1,70

F 1,69

Média Geral 1,675

Altura média dos estudantes do Ensino Médio de Japaraíbe

Fonte: Censo Escolar do Município de Japaraíbe, 2006

Título

Cabeçalho

Células

Fonte

Técnicas de descrição Gráfica• Gráficos

Técnicas de descrição Gráfica

• Cartogramas

Técnicas de descrição Gráfica

• Pictogramas

Distribuição de Frequência

Frequência simples: número de vezes que um valor foi observado.Frequência relativa: razão entre frequência simples e frequência totalFrequência acumulada: total das frequências de todos os valores inferiores aolimite superior de uma dada classe

Representações Gráficas

• Histogramas e Polígonos de frequência

Medidas de Tendência Central

• Média Aritmética: soma de todos os valores observados da variável dividida pelo número total de observações.

• A média aritmética é a medida de tendência central mais utilizada para representar a massa de dados.

Propriedades e observações sobre a média aritmética

• Depende de todos os dados coletados, sendo portanto afetada por valores extremos

• É única em um conjunto de dados e nem sempre tem existência real. A média não necessariamente é um dado da série de valores observados.

• Por depender de todos os valores observados, qualquer modificação nos dados fará com que a média fique alterada. – Somando-se, subtraindo-se, multiplicando-se ou

dividindo-se uma constante a cada valor observado, a média ficará acrescida, diminuída, multiplicada ou dividida deste mesmo valor.

Medidas de Tendência Central• Moda: o valor que mais se repete em uma sequência de

dados. • Considere a série: 1, 3, 4, 4, 4, 6, 8, 32

Como o valor que aparece com maior frequência é o “4”, ele é o valor modal, ou simplesmente a moda.

• Uma série numérica pode ser:– Amodal: quando nenhum valor se repete;– Modal: quando um valor se repete;– Bimodal: quando dois valores se repetem;– Trimodal: quando três valores se repetem;– Polimodal: quando mais do que três valores se repetem.

Medidas de Tendência Central• Mediana: valor que ocupa a posição central da série

de observações de uma variável, dividindo o conjunto em duas partes iguais.

• 50% dos valores são maiores ou iguais ao valor da mediana e 50% dos valores são menores ou iguais ao valor da mediana.

• Se a quantidade de dados for ímpar, a mediana é simplesmente o valor central, e se a quantidade de dados for par a mediana será a média aritmética dos dois valores centrais.

• Empregamos a mediana sempre que há valores extremos que afetam muito a média.

Medidas Separatrizes - Quartis

• Os quartis dividem o conjunto de valores em quatro subconjuntos de mesmo número de elementos

Medidas Separatrizes - Percentis• São os noventa e nove valores que dividem uma série de

dados em 100 partes com o mesmo número de elementos.• Indicamos o 1º percentil como P1, o 2º como P2 e assim por

diante.• É importante notar que P25 = Q1, P50 = Md e P75 = Q3

Medidas de Dispersão

• Amplitude Total (AT):– diferença entre o maior e o menor valor coletado– AT = xmax − xmin

Medidas de Dispersão

• Variância– média aritmética dos quadrados dos desvios

Medidas de Dispersão

• Desvio Padrão– Raiz quadrada da variância

– Propriedades:• Se somarmos ou subtrairmos uma constante de todos os

valores da série, o desvio padrão não se altera.• Se multiplicarmos ou dividirmos uma constante por todos os

valores da série, o desvio padrão será multiplicado ou divido por esta mesma constante.

Medidas de Dispersão

• Coeficiente de Variação– Grandeza admensional (sem unidades) e

ponderada pelo seu valor médio

Noções de Assimetria

• Se x = Md = Mo, a curva é simétrica• Se Mo < Md < x, a curva é assimétrica

positiva.• Se x < Md < Mo, a curva é assimétrica

negativa.

Distribuição Normal

• A variável X pode assumir qualquer valor real• Graficamente, a distribuição tem a forma de um sino,

simétrico em torno da média. A curva recebe o nome de Curva de Gauss o Curva Normal

• A área total sob a curva tem valor 1 e é a probabilidade da variável X assumir qualquer valor real. Dada a simetria da vurva, a probabilidade vale 0,5 para cada lado da média

Noções de probabilidade• probabilidade de um evento A é o número real

P(A), de modo que:

• Eventos complementares– p + q = 1

• Eventos independentes– probabilidade de que eles se realizem

simultâneamente é: p = p1 . p2

• Eventos mutuamente exclusivos– probabilidade de que um OU outro evento se realize

é: p = p1 + p2

Correlação

• Mede a força, ou grau de relacionamento entre duas variáveis.

• Quanto maior a correlação, maior a intensidade de relacionamento

Correlação

• Exemplo:Aluno Nota em Matemática Nota em Estatística

1 5 64 7.5 87 6.5 6

13 8 915 9.5 1022 3 426 5.5 531 9 1033 7 7.540 2 2.5

Coeficiente de Correlação• O valor de r varia de –1,00 a +1,00; • Um relacionamento positivo (r é +) indica uma correlação positiva entre

duas variáveis. Os valores altos (baixos) de uma das variáveis, correspondem valores altos (baixos) da outra;

• Um relacionamento negativo (r é -) indica uma correlação negativa entre duas variáveis. Os valores altos (baixos) de uma das variáveis,

correspondem valores baixos (altos) da outra.

Regressão

• Problema - descrever a relação entre duas variáveis de acordo com o modelo matemático: Y = aX + b

b = y – ax

Números Índices

• Usados para indicar variações relativas em quantidades, preços, ou valores de um artigo, durante um período de tempo ou em diferentes espaços

• Relativo de preço:• Relativo de quantidade:• Relativo de valor:

Índice Agregativo - Laspeyres

• caracteriza a variação de preços de um conjunto de bens (agregado)

Testes de Hipótese

• Hipótese nula x hipótese alternativa• Erros tipo I e tipo II• Nível de significância (α)• Tipos de testes– Média– Proporção– Diferença entre médias– Diferença entre proporções