Introdução à Inferência Estatística - IME-USP lane/home/MAE0261/aula_DistAmostrais_IC.pdf · Índice

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  • Introduo Inferncia Estatstica

    Prof. Dr. Francisco Marcelo M. da Rocha

    10 de Setembro de 2018

    Rocha, F.M.M. (EPPEN - UNIFESP) Estatstica I 10 de Setembro de 2018 1 / 60

  • ndice1 Objetivo da Aula2 Populao e Amostra Aleatria Simples3 Parmetro Populacional, Estatstica, Estimador e Estimativa4 Distribuies Amostrais

    Teorema Limite Central - TLCDistribuio Amostral da Mdia

    5 Estimao para a MdiaDimensionamento da Amostra

    6 Distribuio Amostral de uma Proporo7 Estimao para a Proporo Populacional p

    Intervalo de Confiana para pDimensionamento da Amostra

    8 Amostragem Sem Reposio em Pequenas Populaes9 Leitura e Exerccios

    10 Referncias Bibliogrficas

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  • Objetivo da aulaO bjetivo dessa aula apresentar as noes bsicas da Inferncia Es-tatstica discutir os conceitos de Populao, Amostra, DistribuioAmostral da Mdia, Distribuio Amostral da Proporo e Intervalode Confiana

    Rocha, F.M.M. (EPPEN - UNIFESP) Estatstica I 10 de Setembro de 2018 3 / 60

  • Populao e Amostra Aleatria SimplesPopulao e Amostra

    Populao o conjunto de todos os elementos ou resultados sob inves-tigao. Amostra qualquer subconjunto da populao.

    Objetivo da Inferncia Estatstica

    O objetivo da Inferncia Estatstica tirar concluses sobre a popula-o com base na informao fornecida por uma amostra.

    Amostragem Aleatria Simples - AASPodemos ter uma AAS com reposio, AASc, se for permitido que umaunidade possa ser sorteada mais de uma vez, e sem reposio,AASs, sea unidade for removida da populao.

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  • Populao e Amostra Aleatria Simples

    Amostragem Aleatria Simples - AASComo a amostragem aleatria simples com reposio AASc, conduz aum tratamento terico mais simples, este ser o plano amostral consi-derado inicialmente. Ns iremos nos referir a esse plano como AAS.

    Amostragem Aleatria Simples - AAS

    Uma amostra aleatria simples de tamanho n de uma varivel alea-tria X, com dada distribuio, o conjunto de n variveis aleatriasindependentes X1,X2, . . . ,Xn, cada uma com a mesma distribuio deX.

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  • Parmetro Populacional, Estatstica, Estimador eEstimativa

    ParmetroAs quantidades da populao, em geral desconhecidas, sobre as quaistemos interesse, so denominadas parmetros e so representadas porletras gregas , e entre outras.

    Exemplo - a mdia da populao.

    2 - a varincia da populao.

    p - a proporo na populao.

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  • Parmetro Populacional, Estatstica, Estimador eEstimativa

    EstatsticaUma Estatstica uma caracterstica da amostra X1,X2, . . . ,Xn, ou seja,uma estatstica T uma funo de X1,X2, . . . ,Xn e portanto uma va-rivel aleatria.

    So exemplos de Estatsticas

    T(X1,X2, . . . ,Xn) = X =n

    i=1

    Xin

    : a mdia da amostra.

    T(X1,X2, . . . ,Xn) = S2 =1

    n 1

    ni=1

    (XiX): a varincia da amostra.

    T(X1,X2, . . . ,Xn) = X(1) = Min(X1,X2, . . . ,Xn): o menor valor daamostra.

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  • Parmetro Populacional, Estatstica, Estimador eEstimativaEstimador PontualUm Estimador Pontual uma estatstica construda com a finalidadede representar, ou estimar, um parmetro de interesse na populao.Em geral, os estimadores so representados pelas letras gregas que re-presentam o parmetro de interesse na populao com o acento circun-flexo: , , 2 etc.

    So exemplos de Estimadores Pontuais

    = X a mdia da amostra um estimador da mdia da populao.

    2 = S2: a varincia da amostra estimador de 2 (varincia dapopulao).

    P: a proporo amostral como estimador da proporo de unida-des com a caracterstica de interesse na populao p.

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  • Parmetro Populacional, Estatstica, Estimador eEstimativaPropriedades de Estimadores

    Vcio: um estimador no viciado ou no viesado para o par-metro se

    E() =

    A mdia amostral X estimador no viesado de e a varinciaamostral S2 estimador no viesado de 2.

    Consistncia: Um estimador consistente para , se, medidaque o tamanho da amostra aumenta, seu valor esperado convergepara o parmetro de interesse e sua varincia converge para zero.

    i) limnE() = ;

    ii) limnVar() = 0;

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  • Parmetro Populacional, Estatstica, Estimador eEstimativa

    EstimativaUma Estimativa Pontual ou simplesmente Estimativa um valor num-rico assumido pelo estimador.

    So exemplos de Estimativas

    x = 122 o valor de X para uma dada amostra observada.

    s2 = 144 o valor de S2: para uma dada amostra observada.

    p = 59% o valor de P para uma dada amostra observada.

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  • Distribuies Amostrais

    Distribuies Amostrais

    Um estimador uma funo de variveis aleatrias e portanto tam-bm varivel aleatria com uma distribuio de probabilidade deno-minada Distribuio Amostral. Na Figura abaixo podemos observar

    a) Esquema de inferncia sobre o parmetro .b) Distribuio amostral do estimador T para o parmetro .

    Fonte da Figura abaixo: Bussab e Morettin (2013).

    Rocha, F.M.M. (EPPEN - UNIFESP) Estatstica I 10 de Setembro de 2018 11 / 60

  • Distribuies Amostrais - Bussab e Morettin (2013)

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  • Distribuies Amostrais - Bussab e Morettin

    ExemploConsideremos uma populao em que a varivel X pode assumir umdos valores do conjunto {1, 3, 5, 5, 7}. A distribuio de probabilidadede X

    x 1 3 5 7

    P(X = x)15

    15

    25

    15

    Esperana e Varincia

    E(X) = X = 4, 2

    Var(X) = 2X = 4, 16

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  • Distribuies Amostrais

    Figura 1: Distribuio amostral de X para amostras de tamanho 1.

    n = 1, Var(X) = 4,16

    Den

    sity

    0.00

    0.10

    0.20

    1 3 5 7E(X) = 4,2

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  • Distribuies Amostrais

    ExemploVamos selecionar todas as amostras aleatrias simples de tamanho 2,n = 2, selecionadas ao acaso e com reposio da populao X, e en-contrar a distribuio do estimador pontual X = X, ou seja, vamosencontrar a distribuio da mdia amostral.

    X =X1 + X2

    2

    em que

    X1 o valor selecionado na primeira extrao.

    X2 o valor selecionado na segunda extrao.

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  • Amostra (X1,X2) Probabilidade Mdia Amostral(1,1) 1/25 1(1,3) 1/25 2(1,5) 2/25 3(1,7) 1/25 4(3,1) 1/25 2(3,3) 1/25 3(3,5) 2/25 4(3,7) 1/25 5(5,1) 1/25 3(5,3) 1/25 4(5,5) 2/25 5(5,7) 1/25 6(7,1) 1/25 4(7,3) 1/25 5(7,5) 2/25 6(7,7) 1/25 7

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  • Distribuies Amostrais

    Distribuio de X para n = 2

    x 1 2 3 4 5 6 7P(X = x) 1/25 2/25 5/25 6/25 6/25 4/25 1/25

    Esperana e Varincia de X, n = 2.

    E(X) = X = 4, 2

    Var(X) = 2, 08 =2X2

    Rocha, F.M.M. (EPPEN - UNIFESP) Estatstica I 10 de Setembro de 2018 17 / 60

  • Distribuies AmostraisDistribuio de X para n = 3

    x P(X = x)1 1/125

    5/3 3/1257/3 9/125

    3 16/12511/3 24/12513/3 27/125

    5 23/12517/3 15/12519/3 6/125

    1 1/125

    Esperana e Varincia de X, n = 3.

    E(X) = X = 4, 2 e Var(X)1, 39 =2X3

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  • Distribuies Amostrais

    Figura 2: Histogramas correspondentes s distribuies de X e X para diferen-tes amostras da populao {1, 3, 5, 5, 7}.

    n = 1, Var(X) = 4,16

    De

    nsity

    0.0

    00

    .10

    0.2

    0

    1 3 5 7E(X) = 4,2

    n = 2, Var(X) = 2,08

    De

    nsity

    0.0

    00

    .10

    0.2

    0

    0 1 2 3 4 5 6 7E(X) = 4,2

    n = 3, Var(X) = 1,39

    De

    nsity

    1 2 3 4 5 6 7

    0.0

    00

    .10

    0.2

    00

    .30

    E(X) = 4,2

    n = 4, Var(X) = 1,04

    De

    nsity

    1 2 3 4 5 6 7

    0.0

    0.1

    0.2

    0.3

    E(X) = 4,2

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  • Distribuies Amostrais

    Anlise dos HistogramasConforme o tamanho da amostra aumenta, n , os valores deX tendem a concentrar-se cada vez mais em torno de E(X = X =4, 2).

    A varincia diminui na medida que o tamanho da amostra au-menta.

    Para suficientemente grande, a forma do histograma aproxima-sede uma distribuio normal.

    Rocha, F.M.M. (EPPEN - UNIFESP) Estatstica I 10 de Setembro de 2018 20 / 60

  • Figura 3: Histogramas correspondentes s distribuies de X para amostras detamanho 1 de algumas populaes.

    Normal

    x

    Density

    -4 -2 0 2 4

    0.0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    Gamma

    x

    Density

    0 5 10 15 20 25

    0.00

    0.10

    0.20

    Uniform

    x

    Density

    0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

    0.0

    0.5

    1.0

    1.5

    Beta

    x

    Density

    0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

    01

    23

    45

    6

    sample size = 1

    Rocha, F.M.M. (EPPEN - UNIFESP) Estatstica I 10 de Setembro de 2018 21 / 60

  • Figura 4: Histogramas correspondentes s distribuies de X para amostras detamanho 50 de algumas populaes