Introdução à Probabilidade e à Inferência Estatística · vistos, por exemplo, em Montgomery e Runger (ver bibliografia do curso). Destacamos que os principais métodos de estimação

Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos1º Semestre de 2013

Capítulo 3

Introdução à Probabilidade

e à Inferência Estatística


Agora, nós vamos ver como reunir a análise

exploratória de dados, modelos probabilísticos e

amostragem, para podermos desenvolver uma área

importante dentro da estatística, conhecida por

Inferência Estatística.


Inferência Estatística:

A Inferência Estatística consiste

em um conjunto de métodos

usados para tomar decisões ou

tirar conclusões acerca de uma

população. Esses métodos utilizam

a informação contida em uma

amostra da população para tirar

conclusões.


Inferência Estatística:

DUAS GRANDES ÁREAS

ESTIMAÇÃO

TESTE DE HIPÓTESES

PONTUAL

INTERVALAR


Exemplo:

SITUAÇÃO 1:

Considere que um engenheiro de estruturas esteja analisando a resistência à tensão de um componente usado em um chassi de automóvel.

Uma vez que a variabilidade da resistência à tensão está naturalmente presente entre componentes individuais, o interesse do engenheiro está na estimação da resistência média à tensão dos componentes.

Na prática, o engenheiro usará dados da amostra para calcular um número que é, de algum modo, um valor razoável (ou tentativa) da média verdadeira. Esse número é chamado de estimador.


Exemplo:

SITUAÇÃO 2:

Considere agora uma situação em que duas temperaturas diferentes de

reação, como t1 e t

2 , possam ser usadas em um processo químico.

O engenheiro conjectura que t1 resulta em rendimentos maiores que t

2 .

Neste caso, não há ênfase na estimação de rendimentos; em vez disso,

o foco está na tirada de conclusões acerca de uma hipótese

estabelecida (t1 tem maior rendimento que t

2).


DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES BÁSICAS:

OBJETIVO: A amostra tem que ser representativa da população.

SOLUÇÃO: Selecionar uma amostra aleatória.

ALTERNATIVA: Observar um conjunto de observações da população

(AMOSTRA) para ajudar a tomar decisões à cerca da população.

Na maioria dos problemas de inferência estatística, é impossível ou

impraticável observar a população inteira.



Definição 1:

As observações (X1,X

2,...,X

n) são uma amostra aleatória de tamanho n,

se:

(a) os X’s são observações independentes,

(b) todos os Xi ’s podem ser representados pela mesma distribuição de

probabilidade.



EXEMPLO:

Suponha que estejamos investigando a vida efetiva de serviço de

um componente eletrônico usado em um marca-passo cardíaco e

que a vida do componente seja normalmente distribuída.

Então, esperaríamos que cada uma das observações da vida do

componente Xl , X

2 , ... , X

n em uma amostra aleatória de n

componentes fosse uma variável aleatória independente com,

exatamente, a mesma distribuição normal.

Depois dos dados serem coletados, os valores numéricos dos

tempos de vida observados são denotados por x1, x

2,..., x

n.



Definição 3:

Um parâmetro é uma medida usada para descrever uma característica

da população.

Exemplos de Parâmetros:

� Média populacional:

● Variância populacional: σσσσ2

� Desvio-padrão populacional: σσσσ

µµµµ



Exemplo:

Similarmente, se a variância da população σσσσ2 for também

desconhecida, um estimador para σσσσ2 será a variância da amostra

S2 e o valor numérico s2 = 6.9, calculado a partir dos dados

amostrais, é chamado de estimativa de σσσσ2.

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Problemas de estimação ocorrem frequentemente em todas as áreas. Geralmente, é necessário estimar:

A. A média µµµµ de uma única população;

B. A variância σσσσ2 (ou desvio-padrão σσσσ) de uma única população;

C. A proporção p de itens em uma população que pertence a uma classe

de interesse;

D. A diferença nas médias de duas populações, µµµµ1 - µµµµ

2 ;

E. A diferença nas proporções de duas populações, p1 – p

2 ;


Podemos ter várias escolhas diferentes para o estimador pontual de um

parâmetro. Por exemplo, se desejarmos estimar a média de uma

população, podemos considerar como estimadores a média ou a mediana

da amostra ou talvez a média das observações menores e maiores da

amostra.

SOLUÇÃO: Estabelecer critérios para escolha de um estimador.

Os critérios para escolha do “melhor” estimador para um determinado

parâmetro populacional são definidos a partir de “propriedades”

desejáveis destes estimadores.


Definição 5:

Se considerarmos todos os estimadores não viciados de um parâmetro

θ, aquele com menor variância será denominado de estimador não

viciado de menor variância.

EXEMPLO:

Deseja-se comprar um rifle, e dentre muitos, foram selecionados quatro

deles, denominados de rifles A, B, C e D. Com o objetivo de testá-los,

foram disparados 15 tiros com cada um deles. Com o objetivo de

selecionar uma arma dentre as 4, deve-se adotar alguns critérios.


Os rifles B e D são viciados, isto é, os tiros estão deslocados do alvo. Além disso, o B tem pouca precisão.

O rifle A é não viciado, porém apresenta baixa precisão, isto é os tiros estão muitos espalhados.

De acordo com esses critérios o rifles adotado seria o C, pois ele é não viciado e tem boa precisão.

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1º Semestre de 2013

MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO:

A forma de obtenção de um estimador para um dado parâmetro

populacional, de preferência com as propriedades desejáveis, pode ser

feita utilizando-se diferentes procedimentos chamados de métodos de

estimação. Esses métodos não serão aqui apresentados e podem ser

vistos, por exemplo, em Montgomery e Runger (ver bibliografia do curso).

Destacamos que os principais métodos de estimação são:

1. Métodos dos Momentos;

2. Método da Máxima Verossimilhança;

3. Método dos Mínimos Quadrados;


DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL:

A distribuição amostral de uma estatística depende da distribuição

da população, do tamanho da amostra e do método de seleção da

amostra. A próxima seção deste capítulo apresenta talvez a mais

importante distribuição amostral. Outras distribuições amostrais e

suas aplicações serão ilustradas quando necessárias (por exemplo, a

distribuição amostral da variância amostral).



Seja uma população composta de 4 suínos, cujos pesos foram observados:

Suínos Pesos (kg)

A 68

B 80

C 84

D 87

Todas as possíveis amostras de tamanho 2, com reposição, desta

população estão apresentadas na próxima tabela.

2 2 2208,7579,8 52,18 7, 22 kg

4kg kgµ σ σ σ= = = = =



Seja uma população composta de 4 suínos, cujos pesos foram observados:

Suínos Pesos (kg)

A 68

B 80

C 84

D 87

Todas as possíveis amostras de tamanho 2, com reposição, desta

população estão apresentadas na próxima tabela.

2 2 2208,7579,8 52,18 7, 22 kg

4kg kgµ σ σ σ= = = = =



A média, a variância e o desvio padrão da distribuição amostral da média são:

Conclusão: a média da distribuição amostral das médias é o mesmo da média da

população. Já variância da distribuição das médias é a variância populacional

dividida pelo tamanho da amostra.

2 2 22 2

74 76 ... 80 84 8779,75

16

(74 79,75) (76 79,75) ... (87 79,75)26,09

16

26,09 5,11 kg

X

X

kg

kg

µ

σ

σ

+ + + + += =

− + − + + −= =

= =


Distribuição Amostral da Média:

JUSTIFICATIVA TEÓRICA:

TEOREMA DO LIMITE CENTRAL

O Teorema do Limite Central (TLC) nos diz que, independente da

distribuição que a característica em estudo pode ser representada, à

medida que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição amostral

da média pode ser representada pelo modelo normal.

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