Introducció a la matemàtica financera - UOCxina.uoc.es/prestatgeries/PV02_01020_00021/mcomplement/...impulsar els jocs d’atzar i va ajudar en gran manera al naixement del càl-cul

Introduccióa la matemàticafinanceraMàxim Borrell Vidal

1 crèditP2/00022

UniversitatObertade Catalunya

© Universitat Oberta de Catalunya • P2/00022 Introducció a la matemàtica financera

Índex

Introducció....................................................................................... 5

Objectius............................................................................................ 6

1. Operacions financeres i matemàtica financera ................ 7

1.1. Una mica d’història................................................................. 7

1.2. Concepte d’ operació financera .............................................. 9

1.3. Concepte de matemàtica financera ........................................ 10

1.4. L’interès dels diners................................................................. 11

1.5. Els règims financers................................................................. 13

2. El règim financer d’ interès simple ...................................... 15

2.1. Nombres comercials i divisor fix............................................. 18

2.2. La rendibilitat d’ una inversió financera ................................ 20

2.3. El règim financer de descompte racional simple .................... 24

2.3.1. Introducció.................................................................... 24

2.3.2. Fórmula del descompte racional simple ....................... 25

2.3.3. les lletres del tresor ........................................................ 29

2.4. El règim financer de descompte comercial simple ................. 32

2.4.1. Formulació..................................................................... 32

2.4.2. La lletra del canvi .......................................................... 33

2.5. Comptes corrents bancaris...................................................... 36

2.5.1. Introducció.................................................................... 36

2.5.2. Compte corrent a la vista .............................................. 37

3. El règim financer d’ interès compost.................................... 41

3.1. Breu nota històrica sobre el règim financer

d’interès compost .................................................................... 41

3.2. El tipus d’ interès compost...................................................... 44

3.3. Càlcul dels interessos. Una fórmula per a l’ interès compost.... 45

3.4. Tipus d’ interès nominal i efectiu ........................................... 50

3.5. El règim financer de descompte racional compost................. 55

3.6. Tipus d’interès equivalents ..................................................... 56

© Universitat Oberta de Catalunya • P2/00022 Introducció a la matemàtica financera

Resum................................................................................................. 59

Exercicis d’ autoavaluació............................................................ 61

Solucionari ....................................................................................... 63

Glossari .............................................................................................. 75

Bibliografia ...................................................................................... 75

5© Universitat Oberta de Catalunya • P2/00022 Introducció a la matemàtica financera

Introducció

Aquest mòdul didàctic s’ha concebut com a una introducció a la disci-

plina anomenada matemàtica financera, que s’ocupa de l’estudi quanti-

tatiu de les operacions amb diner, sia per invertir-lo, sia per obtenir-lo a

fi de finançar una compra.

Per això es comença fent un breu repàs històric del desenvolupament de

les operacions financeres, que donà lloc al naixement d’aquesta nova

disciplina.

Després de presentar els conceptes de capital financer, operació finan-

cera i règim financer, s’entra en els dos grans blocs de continguts: el rè-

gim financer d’interès simple i el d’interès compost.

S’explica, mitjançant un seguit d’exemples, la conceptualització i el fun-

cionament del regim financer d’interès simple.

Seguidament es treballa el règim financer de descompte racional simple,

fent atenció a les lletres del tresor com a exemple il·lustratiu d’aquest rè-

gim.

Es desenvolupa, també, el règim financer de descompte comercial sim-

ple, amb una especial atenció a les lletres de canvi, i es fa una breu re-

ferència als comptes corrents bancaris.

Entrant ja en el segon bloc, es desenvolupa el tema dels règims financers

d’interès composts; tot i que no en tota la seva extensió, ja que solament

es proporcionen les bases fonamentals per a poder aprofundir adequada-

ment el tema després, en l’assignatura de Matemàtiques de les opera-

cions financeres.


Objectius

Després d’haver treballat els continguts que s’han esmentat en l’apartat

de la introducció i haver realitzat els exercicis d’autoavaluació correspo-

nents, l’estudiant ha de valorar si ha assolit els objectius següents:

1. Aprendre els conceptes de capital financer, preu del diner (tipus

d’interès i descompte) i operació financera.

2. Introduir-se en el concepte de règim financer.

3. Aprendre a utilitzar els règims financers simples que s’utilitzen per a

les operacions financeres a curt termini.

4. Saber quantificar la rendibilitat i el cost financer de certes opera-

cions a curt termini.

5. Saber aplicar el que s’ha estudiat a algunes operacions financeres a

curt termini.

6. Reconèixer el concepte d’interès compost.

7. Aprendre a calcular el valor dels interessos compostos.

8. Saber aplicar les fórmules de càlcul de l’interès compost aplicat a pe-

ríodes temporals.

9. Distingir els tipus d’interès nominal i efectiu.


1. Operacions financeres i matemàtica financera

Primer introduirem una breu nota històrica per situar el context econò-

mic que va originar el desenvolupament de les operacions financeres i

per fer veure que la repetició, per una part, i la necessitat d’innovar, per

l’altra, van anar creant les condicions per al naixement i desenvolupa-

ment d’una nova disciplina científica.

1.1. Una mica d’història

Les operacions financeres van indissolublement –encara que no exclusi-

vament– lligades a la institució canvista i bancària; és per això que ens

convé fer un breu recorregut històric des de l’àmbit de les esmentades

operacions.

El negoci bancari s’origina a l’edat mitjana europea; concretament amb

l’expansió comercial que hi va haver al segle XIII (a Catalunya, Castella i

Lleó, Venècia, Florència, Gènova, Gant, Bruges, etc.). L’activitat mercantil

dels homes emprenedors –els comerciants, els canvistes, els artesans– su-

posa un canvi extraordinari de mentalitat en

aquesta època: no cercaven la riquesa per si

mateixa, sinó la riquesa creadora de nova

riquesa. Això va implicar la necessitat de calcu-

lar per endavant la magnitud de la nova ri-

quesa creada, fet que donà un impuls enorme

a les ciències, les tècniques i les teories que

permetien tant el desenvolupament d’aques-

tes ciències i tècniques com la solució de nous

problemes de caràcter pràctic. Així nasqué

l’aritmètica mercantil, que ha anat evolucio-

nant fins a convertir-se en l’actual matemàtica

financera o, com també s’anomena, matemà-

tica de les operacions financeres (o, fins i tot, ma-

temàtica del finançament i de la inversió).

L’home ric

Abans, l’home ric ho era enterres, i els diners de quèdisposava els col·locava en unlloc segur (caixa forta) i anavaretirant-los a mesura queanava comprant més terres.


La majoria d’aquests problemes pràctics anaven acompanyats de riscos,

ja que, per exemple, en el transport de mercaderies per vaixell, el diner, a

més de quedar immobilitzat durant molt de temps, la qual cosa impedia

emprar-lo per a altres afers, corria perill de naufragi, pirateria, etc. Tot

això va crear les bases per al desenvolupament dels aparells aritmètics,

primer, i matemàtics, després, que servien per a tractar les qüestions rela-

tives a l’interès dels diners i a les assegurances (el gust pel risc també va

impulsar els jocs d’atzar i va ajudar en gran manera al naixement del càl-

cul de probabilitats).

Com a resultat del procés històric començat al segle XIII i que va durar

uns 500 anys, al segle XVIII hi havia bancs molt importants a les princi-

pals capitals europees, la funció dels quals era proporcionar diners a curt

termini. El procés d’industrialització que s’inicià llavors va crear necessi-

tats intenses de capitals a llarg termini (que s’anomenen capitals perma-

nents; aquí, “permanent” vol dir que quedaven durant més d’un any en

el balanç). Es tractà, doncs, de trobar i atraure l’estalvi en diners per fi-

nançar la nova activitat econòmica industrial (enormement ampliada

pel ferrocarril), la qual cosa va generar diversos efectes i fenòmens:

1) Va anar transformant el paper dels bancs; va estimular les emissions

de bons.

2) Va estimular la creació de les societats per accions.

3) Va fer créixer notablement les borses de valors, les quals es converti-

ren en un instrument indispensable per a proporcionar grans volums de

finançament a estats i grans empreses.

Avui la banca s’ha convertit en el pivot del desenvolupament econòmic,

ja que atrau i gestiona l’estalvi i el canalitza donant dos tipus bàsics de

serveis financers a les empreses:

• préstecs a curt termini per a finançar les operacions de producció, co-

mercialització i distribució; i

• préstecs a mitjà i llarg termini destinats a la renovació, modernització

i ampliació d’equips necessaris per a la producció.

Les operacions financeres del primer tipus funcionen mitjançant un fe-

nomen anomenat multiplicació del crèdit, que és com el subministrament

d’energia per a la vida econòmica: el crèdit, com que és líquid, es mou

Els bons o obligacions,...

... també anomenats cupons,són compromisos depagament futur fets pels estatsi també per les empreses, acanvi d’una quantitat dediners que es pot tornar, o bétota de cop o bé de mica enmica. L’estudi financer delsbons el farem més endavanten l’assignatura Matemàticafinancera.

Companyies per accions

De fet, l’origen de lescompanyies per accions esremunta a l’edat mitjana, peròno és fins al segle XIX quecomencen a ser enteses sensela desconfiança que hi havia, acausa de la corrupcióproduïda per la mancança delegislació adequada.A Espanya, el reconeixementlegal ve amb el primer codi decomerç: any 1829, article 265.

Valors

Valors vol dir el mateix quevalors mobiliaris , expressióque s’oposa a la de valorsimmobiliaris o propietats quetenien valor econòmic però nopodien canviar de lloc, comara una casa o un terreny. Encanvi, valor mobiliari esrefereix fonamentalment abons i obligacions, que podentraslladar-se de lloc.


lliurement de banc en banc, de país en país, a mesura que el procés de

producció progressa, i així permet que la banca faci préstecs nous i el

procés continuï. Com que normalment el banc no té la totalitat dels

fons que presta, per aconseguir-los emet un crèdit (no dóna diners, obre

un crèdit), operació comptable per la qual es treuen diners d’un compte

per afegir-los en un altre. D’aquesta manera, el beneficiari del crèdit paga

els seus deutes amb xecs i el préstec circula ja com a diner, el qual acaba

tornant al sistema bancari en forma de dipòsits.

Aquest fenomen ha fet que els documents moderns bancaris (xecs, girs,

lletres de canvi, targetes, etc.) siguin molt més importants per a les trans-

accions comercials que el diner en metàl·lic.

1.2. Concepte d’operació financera

Pel que acabem de dir, és clar que, quan per a portar a bon terme un

pla econòmic es van necessitant diners, cal anar al banc o, més en ge-

neral, al mercat monetari (mercat de diner per a les necessitats a curt

termini) o al mercat de capitals, com ara la borsa (per als diners a mitjà

i llarg termini). Igualment quan es tenen més diners dels necessaris (ex-

cedents de tresoreria) es pot mirar de col·locar-los per a treure’n un ren-

diment.

Això vol dir que es posen d’acord dues persones (físiques o jurídiques),

convenientment identificades, de manera que pacten:

• quantitat o quantitats de diners que s’intercanviaran entre elles (o

manera de calcular-les si en el moment del pacte encara no és possi-

ble de determinar-les exactament);

• dates en les quals es produiran lliuraments de les quantitats esmen-

tades;

• domiciliació d’aquests lliuraments;

• moneda o monedes emprades (pessetes, dòlars, etc.);

• garanties que es donen ambdues parts per al bon fi de l’operació.

Si hi pensem una mica, veurem que tota operació financera implica

l’existència de diners associats a dates (la data valor dels bancs). Es crea

!

Dòlar

La paraula dòlar prové d’unamoneda utilitzada a Bohèmiaanomenada tàler. Elslingüistes, d’aquestestransformacions, en diuencorrupció; així, doncs, dòlar ésuna corrupció de tàler.


així un concepte: el de capital financer, que representarem mitjançant un

parell ordenat:

(C, t)

sent: C = quantia

t = diferiment

L’operació financera més senzilla pot representar-se pel diagrama tempo-

ral següent:

Altres possibilitats molt corrents (n’hi ha més) són:

1.3. Concepte de matemàtica financera

Les operacions financeres comentades fins aquí requereixen que una de

les parts del contracte subjacent lliuri diners (part finançadora, inversora

o col·locadora; també, prestador o subjecte actiu de l’operació) i l’altra

els rebi (part finançada, prenedora de diner, prestatari o subjecte passiu

de l’operació). Per tant, parlar de finançament i d’inversió financera és

com parlar de la cara i la creu d’una moneda.

C—————————————0 t1 t2 t3 t4 t5

C9 C9 C9 C9 C9

(exemple, una hipoteca té aquesta estructura);

C C C C C—————————————0 t1 t2 t3 t4 t5

C9

(exemple, anar estalviant diners po-

sant-los en un compte bancari cada

C—————————

0 t

C9

(exemple, posar diners en un banc a termini fix).

Diferiment

Emprem aquesta paraula per aindicar que es tracta del’extensió del períodetemporal que va des d’unorigen determinat de temps(per exemple, la data delpacte) fins a la data en quès’ha de fer efectiva la quantiao data de venciment.

La veu financer...

... ve del llatí medieval finare,que vol dir ‘finir, acabar,pagar’ (no necessàriamentdiners; per exemple, pagarpels pecats fets) en algunadata. Derivada de finare éstambé la paraula finat (o sigui,‘mort’), el qual ha de pagar ala data de la mort pel que hafet durant l’interval de la vidausant el seu lliure albir. Segonssembla, aquestes paraules vanentrar al català i al castellàprocedents de la Cançó deRoland (1080), però molttardanament. Podeu consultarel Diccionari Etimològic de JoanCoromines.

Inversió financera...

... vol dir inversió de dinerscomprant productes financers(que també s’anomenen actiusfinancers) mentre que“inversió no financera” ésaquella que utilitza els dinersper a adquirir el ques’anomenen actius nofinancers, com ara cases,maquinària, etc.

!


És per això que la ciència que s’ocupa de l’estudi de les operacions finan-

ceres des del punt de vista de la seva quantificació utilitzant el mètode ma-

temàtic, l’anomenada matemàtica financera, té com a parts fonamentals

el que, d’acord amb autors molt reputats (per exemple, A. Rodríguez, de

la Universitat de Barcelona), s’anomena matemàtica del finançament i ma-

temàtica de la inversió. No hi ha identitat completa entre ambdues, ja que

el concepte d’inversió és més ampli del que hem pogut donar aquí (ve-

geu els comentaris sobre “inversió financera” i “inversió no financera”).

Avui, les grans fluctuacions de la vida econòmica i financera han desen-

volupat mercats i contractes nous destinats fonamentalment a la protec-

ció d’algunes de les característiques de les operacions de finançament i

inversió. Això constitueix, al nostre entendre, una altra part de la ma-

temàtica financera, que anomenem matemàtica financera dels actius deri-

vats (vol dir coses com ara futurs, opcions, etc., que veureu en algun mo-

ment de la carrera que ara inicieu).

Per acabar aquest epígraf, pensem que convé fer un breu comentari sobre la

denominació de matemàtica financera, encara que només sigui per estar

d’acord amb el que aconsellava Epictet: “sigui principi de qualsevol doctrina

la consideració del seu nom” (initium doctrinae sit consideratio nominis). El

sentit que es desprèn de l’esmentada denominació significa un desplaça-

ment del substantiu matemàtica (que en grec clàssic

volia dir ‘cosa apresa’), que aquí no indica que la disci-

plina sigui una branca de les matemàtiques (com ha-

via passat en altres èpoques, que es considerava ma-

temàtica tot el que es quantificava; per exemple, es

deia que la comptabilitat era una ciència matemàtica),

sinó que al·ludeix al mètode fonamental d’estudi.

Som, doncs, davant d’una ciència de caràcter econò-

mic que aplica les matemàtiques.

Nosaltres, en aquesta Introducció, veurem sola-

ment les operacions de finançament més senzilles i

freqüents a curt termini.

1.4. L’interès dels diners

En qualsevol negociació per a aconseguir diners, i en

el posterior contracte que fixi els acords establerts,

Taula de canvi de l’edat mitjana(gravat de De Sphaera)


hi consten, com ja hem dit, diversos punts, un dels quals és la quantitat

de diners que ha de pagar la persona que demana finançament.

És evident que si algú paga per disposar anticipadament de diners és per-

què pensa treure més profit utilitzant-los (per exemple, per a fer un bon

negoci) o perquè vol adquirir alguna cosa que desitja o li fa falta (per

exemple, per a comprar-se un ordinador). És per això que una quantitat

de diners avui (capital financer de diferiment zero) és equivalent, en el

mercat de diner en el qual s’ha adquirit, a una quantitat més elevada en

un moment posterior (capital financer de diferiment positiu).

La diferència que hi ha entre aquestes dues quantitats de diners es justifica

teòricament per diverses raons, entre les quals les derivades de: a) la neces-

sitat de produir coses que hi ha en una economia; b) premiar qui estalvia

avui per gastar més endavant; c) la psicologia humana: per exemple, són

preferibles 1 000 ptes. avui que 1 000 ptes. d’aquí a tres mesos.

El valor del diner

La idea del valor temporal del diner ha estat intuïda per moltes persones, encara que laseva activitat fos molt allunyada de l’economia. Per exemple:

• Montaigne, gran autor francès del segle XVI, que va escriure un munt de planes sobrela docència, deia que “ensenyar a llegir un nen no vol dir fer la despesa d’un llumí,sinó obrir la possibilitat d’obtenir una gran foguera”.

• Un pintor del segle XIX, el francès Delacroix, pensava que “treballem no sols per pro-duir, sinó per donar valor al temps”.

• Un escriptor espanyol contemporani, César González Ruano, en les seves memòries(Memorias. Mi medio siglo se confiesa a medias) creu que “el dinero tiene un valor absolu-tamente ocasional y por quinientas pesetas a tiempo bien se pueden dar setecientascuando se tiene una buena racha”.

• Finalment, un bonic proverbi nostre: “qui planta un gla de roure collirà”.

La raó psicològica és molt important i els teòrics de la ciència econòmica

la coneixen per preferència per la liquiditat. Va ser inicialment estudiada

(ara fa més o menys un segle) per L. Walras, C. Menger i E. von Böhm-

Bawerk. En particular, aquest últim posà en relleu la importància de

l’element temps en les activitats econòmiques i afirmà que la utilitat que

Sempre hi ha una diferència entre el total que ens presten i el total

que tornem; aquesta diferència es denomina interès. L’interès és,

doncs, un preu: el que cobra el finançador per despendre’s dels

seus diners durant un temps determinat o el que paga qui rep els

diners per disposar-ne abans que la seva capacitat d’estalvi li per-

meti tenir-los.

dinersprestats

dinerstornats

Interès = –


les coses presenten per als homes és més gran ara que les mateixes quan-

titats d’aquelles coses en un instant futur: és a dir (i això ho podem com-

provar fàcilment observant el nostre comportament), hi ha una subesti-

mació de les necessitats futures i una sobreestimació de les necessitats

del present.

Tot el que s’acaba de dir fa que es comprengui que es pugui parlar del va-

lor temporal del diner, que ja havia observat i pensat el gran sant Tomàs

d’Aquino al segle XIII.

El préstec de diners amb interès és molt antic (durant segles, de qualsevol preu dels di-ners prestats se’n deia usura); per exemple, en el Deuteronomi s’ordena al poble jueu queno presti a usura al seu germà (és a dir, a un altre jueu), sinó tan sols a l’estranger.

Basant-se en sant Mateu (VI, 24), “no podeu servir dos amos: Déu i el diner”, “la usuraés el pecat dels qui han agafat el diner com a amo”, i en sant Lluc (VII, 32), “presteusense esperança de rebre res a canvi”, l’Església catòlica havia condemnat aquest fetcom a pecat. També es poden trobar condemnes d’aquest tipus a l’Antic Testament: al’Èxode (22,25), al Levític (25, 35 i 38) i al ja esmentat Deuteronomi (19, 20, 21, 23).

L’animadversió contra els prestamistes amb interès es va prollongar durant molt detemps i fins i tot ara en queden residus més o menys difusos. En l’obra de Shakespeare,El mercader de Venècia, no sols es posa de manifest el ressentiment social contra elprestador a interès, sinó com es va produint l’evolució cap a la respectabilitat de la pro-fessió de prestador de diners: fer diners de diners passa a ser digne, no motiu de vergon-yosa i prudent ocultació; passa a ser mostra de categoria social. A Venècia els canvistesja encarregaven a pintors famosos que els fessin retrats comptant monedes amb mansplenes d’anells molt valuosos.

En to de broma, podríem dir que la usura seria com el fet de seguir els dos principis bà-sics següents per pactar: a) tu em dónes el rellotge i b) jo, en canvi, et donaré l’hora.

Malgrat les condemnes, la pràctica es va anar generalitzant perquè la mateixa activitateconòmica quedava ralentida o paralitzada pel fet de deixar diners sense rebre cap retri-bució (què calia dir, per exemple, quan, en ampliar-se enormement el comerç, algú de-manava diners a un altre, feia el negoci i després li tornava els diners quedant-se elguany que legítimament havien de compartir totes dues persones?), fins al punt que esva haver de distingir entre retribució legítima o interès i retribució abusiva o usura. Desd’aquest moment, les autoritats es van haver d’ocupar d’establir el límit entre interès iusura; així, el 1272, Felip August de França va posar-lo en 48% anual i Carles V d’Es-panya, el 1545, el posà en 12% anual.

1.5. Els règims financers

La manera com les dues parts d’una operació financera acorden amb re-

ferència a quin esquema calcularan el que han de pagar en concepte

Hem de distingir entre el préstec i el préstec amb interès. El primer

tipus exigeix tornar la cosa prestada en el moment acordat i en les

condicions en què va ser prestada. En el segon tipus, a més de la cosa

prestada, hi ha d’haver una retribució addicional; quan la cosa pres-

tada són diners, la retribució, també en diners, s’anomena interès.


d’interessos, i que estarà en funció del temps, de les quantitats de diners

i del tipus de mercat de diner de què es tracti, s’anomena règim financer

que regeix l’operació.

És usual i útil classificar els règims financers més importants de la ma-

nera següent:

Cada règim financer, o sigui cada esquema de càlcul dels interessos, té

una expressió matemàtica que obtindrem a partir de la comprensió clara

de com cada mercat estableix el preu del diner; és a dir, haurem d’entendre

perfectament què signifiquen, per exemple, locucions com ara tipus d’interès

simple, tipus de descompte comercial i tipus de descompte racional. Això és el

que anirem fent a continuació utilitzant el diagrama de l’operació financera

més senzilla (vegeu l’apartat 1.2). En la present introducció a la matemàtica

financera ens limitarem als règims financers simples.

• Règims financers a curt termini

(habitualment, per a operacions pactades amb un venciment

fins a un any, encara que hi ha alguna excepció):

a) Interès simple vençut (normalment es prescindeix de l’adjectiu

“vençut”).

b) Descompte racional (o matemàtic) simple.

c) Descompte comercial simple o descompte bancari.

• Règims financers a mitjà i llarg termini

(per a operacions amb un venciment superior a un any):

a) Interès compost (vençut).

b) Descompte racional (o matemàtic) compost. !

2. El règim financer d’interès simple

Siguin dues persones A, B, que pacten el següent:

– Avui (instant 0), A lliurarà a B la quantitat de 10 000 pessetes.

– Al cap d’un any, B tornarà a A les 10 000 pessetes més una retribució

del 10% anual d’interès simple.

Tindrem el diagrama temporal següent:

10 000———————————————0 1 any

10 000 + interès

Per a calcular l’interès o la retribució que B lliurarà a A com a conseqüèn-

cia del préstec, ens haurem de basar en el significat del 10%. Aquest per-

centatge és el “tipus d’interès simple vençut” de l’operació.

El 10% vol dir que, per cada 100 ptes. que A deixa a B durant un any,

aquest últim haurà de pagar 10 ptes. d’interessos en finalitzar l’any. Per

tant, per 10 000 ptes. els interessos pujaran 1 000 ptes. Veiem que sim-

plement hem fet una proporció. Aquesta idea és la que hi ha sempre que

es parla d’interès simple i ens permet trobar la fórmula matemàtica

que correspon al règim financer que tractem. En efecte, si i = tipus d’in-

terès simple expressat en tant per u (és a dir, per al 10% = 10 / 100

= 0,10; per al 4% seria 0,04):


“Vençut” vol dir que...

... la retribució es pagaconjuntament amb elprincipal (o sigui, amb les10 000 ptes. que B torna a A),és a dir, una vegada arribat elvenciment de l’operació. Si espactés que la retribució s’hade pagar en el moment que Brep les 10 000 ptes., diríemque l’interès és anticipat enlloc de vençut.

1 ptes. prestada durant 1 any és retribuïda amb i ptes.

C ptes. prestades durant 1 any són retribuïdes amb Ci ptes.

C ptes. prestades durant t anys són retribuïdes amb Cit ptes.

En conseqüència, la retribució total o interès és: Y = Cit


La recta ens informa que per cada espai de temps que avancem s’afe-

geix una quantitat constant de diners a la que hi havia abans; és a dir,

que, si en un any corresponen 1 000 ptes. d’interès, en 2, 3 ... anys cor-

respondria el doble, triple... de 1 000 ptes., d’acord amb la proporcio-

nalitat que ja havíem esmentat, el reflex de la qual és la recta dibui-

xada. De la mateixa manera, a mig any correspondria la meitat, 500

ptes. És per això que, en lloc d’un tipus d’interès anual i comptar el

temps en anys, també es pot utilitzar un tipus mensual, trimestral, etc.

i el temps en mesos, trimestres, etc. Els nous tipus d’interès són qualifi-

cats d’equivalents.

Exemple 7.1. Trobeu els tipus d’interès mensual, trimestral i semestral equi-

valents al 12% anual d’interès simple.

i la quantitat total que B paga a A al cap de t anys és:

doncs

C9= C + Y = C + Cit = C (1 + it)

Si representem gràficament la funció que dóna C9, obtindrem

una línia recta.

C9 = C + Y = C (1 + it)

QUANTIES

C •

0 1 2 3 4TEMPS

Els interessos

El que va generant interessosés la quantitat inicial C, no les quantitats que es puguin arribar a tenir afegint interessos. O sigui, elsinteressos no donen nous interessos, d’acord ambla prohibició bíblica.

Observació important aefectes de càlcul:

el temps t ha d’estar expressaten anys perquè el tipusd’interès estava referit enaquesta unitat.

període tipus d’interès (%)

1 any 121 mes 11 trimestre 31 semestre 6


Exemple 7.2. Calculeu l’interès que proporcionen 500 000 ptes. col·locades

a interès simple del 0,5% mensual des de l’1 de març fins al: a) 30 de juny del

mateix any; b) 22 de juliol del mateix any.

7.2. Solució:

a) El 0,5% mensual és equivalent al 6% anual i el temps és igual a 4 me-

sos; per tant,

Y = 500 000 ? 0,06 ? 4 / 12 = 10 000 ptes.

C9 = 510 000 ptes.

Observeu que hem treballat com si tots els mesos fossin iguals (ja que

hem multiplicat per 4 mesos, encara que passats a anys). Moltes vegades

es pacta d’aquesta manera; per exemple, perquè l’operació financera

s’acostuma a fer així o perquè el mercat té aquests convenis de càlcul

dels temps. Però, moltes altres vegades, els convenis poden ser diferents,

com ara comptar dia a dia i considerar anys de 360 dies; o comptar dia a

dia i els anys de 365 dies (o 366 si s’escau); o comptar tots els mesos

iguals i anys de 360 dies; etc.

b) De l’1 de març al 22 de juliol són (hi ha calculadores manuals que ho

donen directament):

març 30 dies (l’1 no es compta)

abril 30 dies

maig 31 dies

juny 30 dies

juliol 22 dies

143 dies

Suposem que el conveni de còmput del temps fos a base de tots els dies i

anys de 360 dies; llavors tindríem:

Y = 500 000 ? 0,06 ? 143 / 360 = 11 916,67 ptes.

C9 = 511 916,67 ptes.

Exemple 7.3. Un prestador demana 12 ptes. setmanals per cada 1 000

ptes. que presta. Suposant que la seva forma de comptar és considerar anys

de 52 setmanes, trobeu l’interès que exigiria per un milió de pessetes durant

mig any.


7.3. Solució: Per cada pesseta deixada durant una setmana s’han de pagar

12 / 1 000 = 0,012 ptes. d’interès. En mig any tindríem:

Y = 1 000 000 ? 0,012 ? 26 = 312 000 ptes.

C9 = 1 312 000 ptes.

Exercicis

7.1. Obteniu l’interès simple produït per 222 222 ptes. des del dia 25 de gener al 14d’octubre del mateix any suposant que és bixest (366 dies) i que el tipus d’interès és del2,2% bimestral.

7.2. La diferència entre els interessos simples que resulta d’una col·locació de dinersdurant 92 dies, calculats segons una base de 360 dies i segons una base de 365 dies, ésde 100 ptes. Si hi va haver un tipus del 8% anual, trobeu l’import col·locat.

7.3. La suma de 1 000 000 ptes. s’ha dividit en dues parts, que s’han posat a un interèssimple del 10% (si no es precisa més, vol dir que és un tipus anual) durant 181 dies. Labase de càlcul de la primera col·locació és de 360 i la de la segona, de 365 dies per any.Formuleu l’expressió de l’interès total rebut per l’inversor.

2.1. Nombres comercials i divisor fix

Fem una petita transformació en la fórmula que ens dóna l’interès Y des-

prés de:

• substituir t anys per a dies i suposar que es consideren anys de 360

dies (si es consideressin anys de 365 o 366 dies val la mateixa idea,

però canviant 360 per 365 o 366, respectivament);

• substituir el tipus d’interès i (que, recordeu-ho, està expressat en tant

per u) per r / 100;

Car CaY = Cit = ———— = —————

36 000 (36 000/r)

El producte de la quantia C pel nom-

bre de dies a es coneix per nombres co-

mercials i el quocient (36 000 / r), per

divisor fix. És habitual representar els

nombres comercials (moltes vegades,

quan no hi ha d’haver cap confusió, es

prescindeix de l’adjectiu comercial) per

la lletra N, i el divisor fix, per la D. Tin-


Aquesta manera de calcular els interessos s’utilitza normalment quan,

després d’establir-se un deute o de col·locar una quantitat de diners en

un compte, el simple pas del temps i, si s’escau, el reintegrament de part

dels diners o l’afegiment d’altres quantitats fan que, d’acord amb el

pacte que va motivar el deute o la col·locació, sigui necessari anar calcu-

lant interessos periòdicament (per exemple, cada trimestre).

Llavors, com passa als comptes corrents en els bancs, s’acumularia un

enorme treball de còmput d’interessos en dates determinades, però,

com que una mateixa classe de compte està sotmesa al mateix conveni

de càlcul d’interessos i al mateix tipus d’interès (com passa, per exem-

ple, als comptes corrents a la vista), es pot abreujar la feina emprant

l’última fórmula. Això, però, no estalvia prou temps de treball, raó per

la qual es van trobar procediments per a simplificar tasques repetiti-

ves, encara que nombroses (vegeu l’apartat referit als comptes co-

rrents).

Exemple 7.4. Trobareu els divisors fixos corresponents als tipus d’interès se-

güents, suposant: a) anys de 360 dies; b) anys de 365 dies:

r (%) = 4, 5, 6, 8, 9, 10

7.4. Solució:

a)r = 4 5 6 8 9 10

D = 9 000 7 200 6 000 4 500 4 000 3 600

b)r = 4 5 6 8 9 10

D = 9 125 7 300 6 083,33 4 562,5 4 055,55 3 650

Exemple 7.5. Trobeu els interessos generats per una imposició de 200 000

ptes. durant 90 dies al 0,10%, suposant una base de càlcul de 365 i una utilit-

zació del divisor fix corresponent.

7.5. Solució: tindrem:

N = 200 000 · 90 = 18 000 000

36 500D = ———— = 365 000

0,10

Per tant, Y = 18 000 000 / 365 000 = 49,32 ptes.

Quan per exemple estemen deute amb el banc,...

... llavors els interessos tambésón negatius, van en contranostra. Abans, per tal de posaren relleu l’existència dedeutes, els bancs (i altresinstitucions) escrivien les xifresrepresentatives dels nombresnegatius en tinta vermella. Ésaquest l’origen d’expressionscom: “Renoi!, estic ennombres vermells!”

360 dies

Vegeu que, aritmèticamentparlant, 360 té molts divisors(2, 3, 4, 5, 6...) mentre que365 en té molts menys; és peraixò, i per la facilitat de càlculamb nombres naturals en llocde nombres decimals ofraccionaris, que a l’edatmitjana es va cristal·litzar elcostum de considerar anys de360 dies en la majoria de lesoperacions financeres quellavors es feien. El costum s’haanat mantenint fins avui diaper a certes operacions, noper a totes; per exemple, elnostre tresor públic, compassa a diferents països, fa ungran nombre d’operacionsfinanceres amb base 360).


2.2. La rendibilitat d’una inversió financera

No s’ha de confondre el tipus d’interès amb la rendibilitat, error concep-

tual en què es cau freqüentment. El tipus d’interès és, com ja sabem, un

preu que l’inversor cobra pels diners que col·loca i la raó de la confusió

és que ambdues magnituds solen expressar-se en tant per cent i per

anualitat.

Però hi ha tres factors importants que

fan que la xifra que indica el tipus

d’interès i la que indica el rendiment

de la inversió difereixin:

1) El tipus d’interès significa quantita-

tivament coses diferents segons que

correspongui a un règim financer o a

un altre. A més, hi ha règims financers

Dijous negre de Wall Street: la borsa s’haviaconvertit en una font d’ingressos ràpids i fàcilsper a una gran part de nord-americans.


Aquests comentaris fan veure la necessitat de definir què entenem per

rendibilitat (moltes vegades també s’utilitza rendiment com a sinònim),

cosa que farem tot seguit. Un exemple numèric aclarirà el problema: su-

posem que comprem un actiu financer per 100 ptes. i que, al cap de mig

any, el venem per 110 ptes.

D’antuvi, imaginem que el comprador no té cap altra despesa ni cap al-

tre ingrés derivats de l’operació anterior. És lògic escriure:

rendibilitat total = 110 – 100 = 10 ptes.

La diferència anterior és una bona informació, ja que ens permet fer-nos

una idea de la rendibilitat mitjançant el guany que s’ha produït; per tant,

acceptem que guany = rendibilitat total. Però, malgrat la utilitat que per a

moltes coses significa saber la xifra del guany, ens cal una mica més d’in-

formació per a poder analitzar si es tracta d’una bona inversió.

És per aquesta raó que s’acordà establir un conveni sobre com s’ha de me-

surar la rendibilitat. Potser heu sentit a parlar de la TAE (hi ha publicitat

als mitjans de comunicació sobre inversions que es poden fer i que pro-

porcionen “una TAE de l’x%”). Aquest concepte és una mica difícil i encara

no estem en condicions d’entendre’l. Ja l’estudiarem a l’assignatura Ma-

temàtica financera.

De moment, ens conformarem a utilitzar una mesura aproximada, que

es fa servir en moltes operacions de curt termini (això és així perquè a

2) Hi solen haver despeses, comissions, impostos, etc., no inclo-

sos en el tipus d’interès (o de descompte), que acompanyen ne-

cessàriament una operació d’inversió i que, per tant, repercuteixen

sobre la rendibilitat.

3) En el tipus d’interès o de descompte hi pot haver un conveni de

càlcul que no consideri la totalitat dels dies de l’operació (per exem-

ple, mesos de 30 dies i estar-hi implicat pel mig el mes de febrer) i

que no consideri els anys de 365 (o de 366 si s’escau). Com és natu-

ral, la rendibilitat s’ha d’obtenir normalitzadament (per a poder

comparar operacions diferents) i de la manera més ajustada a la rea-

litat. És per això que per a trobar-la es compten tots els dies que

dura la inversió i l’any s’agafa segons els dies que té al calendari.

Comparar inversions

En efecte, si hem de compararinversions molt diferents en elperíode de duració o en laquantitat per col·locar, i si amés tinguéssim despeses iingressos addicionals mentredura l’operació o fins i tot unavegada acabada (com passaen l’impost sobre la renda),llavors la xifra de guanys noserveix per a prendre unadecisió prou acurada.


curt termini, com es veurà en estudiar l’interès compost l’any vinent,

l’error comès és, en general, bastant minso i més precisió no acostuma a

fer canviar la decisió).

El conveni sobre la mesura de la rendibilitat, que més amunt hem es-

mentat, és el d’utilitzar un règim financer d’interès vençut; i el con-

veni d’aproximació per a moltes operacions d’inversió a curt termini

és el d’utilitzar el règim financer d’interès simple vençut amb un tipus

d’interès constant. Dit d’una manera més entenedora: emprarem la

fórmula de l’interès simple que ja coneixem. Ara veurem la lògica

d’això.

Procedir així vol dir que la inversió anterior, que ha produït un guany de

10 ptes. en mig any, donaria com a rendibilitat anual (R):

110 = 100 (1 + R ? 0,5) Ñ R = 0,20 = 20%

Fixeu-vos-hi bé: aquest 20% no és un tipus d’interès, sinó que surt de tre-

ballar com si fos un tipus d’interès, a causa del conveni esmentat. Quina

lògica té, doncs, aquest conveni? Molt senzillament, el posa en relleu el

raonament següent:

• He guanyat 110 – 100 = 10 ptes. havent-ne invertit 100.

• Per tant, he guanyat un 10% efectiu.

• I, com que aquest 10% s’ha guanyat durant mig any, això vol dir que,

com a mitjana, la rendibilitat anualitzada i percentualment expressada

(algun autor la denomina rendibilitat nominal) val el 20%.

Fixeu-vos que hem fet el següent: si

s’han col·locat Q ptes. i després d’un

període de t anys, se n’han tret Q9

ptes., llavors hem treballat d’acord

amb la fórmula:

Q9 – QR = ———

Qt

i observeu que, desenvolupant-la, te-

!

Normalment quan esparla de “rendibilitat”...

... es fa referència a la“rendibilitat expressadapercentualment ianualitzada”.


O sigui, l’estructura de la fórmula que dóna la rendibilitat R és idèntica a

l’estructura a què ens portava el raonament que fèiem en introduir l’in-

terès simple. Ara es comprèn el perquè del conveni d’aproximació adop-

tat.

Exemple 7.6. Calculeu la rendibilitat proporcionada per un producte finan-

cer (o actiu financer) adquirit el dia 15 de març per 122 546 ptes. i venut el 20

de maig del mateix any. El comprador va haver de pagar comissions, una de

978 ptes. en el moment de l’adquisició i una altra de 1 025 ptes. en el moment

de la venda. Sense tenir en compte els impostos, calculeu la rendibilitat de

l’operació suposant que l’import de la venda va ser de a) 155 229 ptes.; b) 122

546 ptes.

7.6. Solució:

a) • Despesa total el 15 de març: 122 546 + 978 = 123 524 ptes.

• Ingrés net el 20 de maig: 155 229 – 1 025 = 154 204 ptes.

• Dies que hi ha entre les dates de compra i de venda: 66.

Per al càlcul de la rendibilitat s’han de comptar tots els dies que real-

ment ha durat la inversió (independentment del conveni que se se-

gueixi al mercat financer en què es negociï l’actiu); per tant, tenim:

Fins ara hem vist el cas simplificat corresponent al diagrama tem-

poral següent:

Q—————————

0 t

Q9

si hi ha altres quantitats implicades en l’operació d’inversió, lla-

vors una de dues:

a) les noves quantitats estan situades temporalment a 0 o a t; o

b) hi ha quantitats situades temporalment entre 0 i t.

En el cas a) no hi ha cap dificultat, ja que podem reduir el pro-

blema al tipus bàsic que mostra el diagrama d’abans; en el cas b)

les coses es compliquen i, ara per ara, no les podem tractar: ho fa-

rem en explicar la TAE .

La paraula “efectiu”

(rendibilitat efectiva) vol dirque el total de diners de quèes disposa en acabar el migany és el 10% més que encomençar l’operació.Observeu, però, que no hi hacap esment de cap unitat detemps. És a dir, hemaugmentat la qualitat de lainformació referent als nostresguanys en relacionar-la amb laquantitat de diners invertida;és clar, doncs, que una millorade la informació anterior (queja per si mateixa resulta forçaútil) ha de venir de la inclusiódel temps.

La raó d’això...

... és que l’aproximació quehem aplicat abans resulta méslaboriosa de calcular fentservir l’aproximació quecomputant directament laTAE. Costa més el farcit que elgall, com diu un proverbinostre.


123 524 ptes.————————————————0 66 dies

154 204 ptes.

O sigui:

154 204 – 123 524R = ————————— = 1,374 Ñ 137,4%

123 524 ? (66 / 365)

b) Actuant de la mateixa manera, tenim:

121 521 – 123 524R = ————————— = –0,0897 Ñ –8,97%

123 524 ? (66 / 365)

2.3. El règim financer de descompte racional simple

2.3.1. Introducció

L’operació de col·locació de diners durant un període de temps per a

augmentar de valor s’anomena operació de capitalització (tant si es fa a in-

terès simple com a interès compost).

Suposem que una persona B pacta amb una altra A el que ens mostra el

diagrama següent:

1 000 ptes.———————————————0 1 any

1 100 ptes.

És a dir, tenim que A fa una col·locació (o una inversió o una imposició)

de 1 000 ptes. en els afers de B, a interès simple del 10% durant 1 any, i

B es compromet a pagar 1 100 ptes. en un any. El compromís, com és lò-

gic, es farà mitjançant un document de caràcter jurídic i financer anome-

nat contracte quan es desitja posar en relleu el caire jurídic, o el nom

d’un producte financer (un actiu financer) quan es vol individualitzar fi-

nancerament i comercialment.

Si considerem l’operació des del punt de vista de A, el pacte és una opera-

ció de capitalització, en què el tant per cent del preu (el “tipus d’in-

terès”) s’aplica sobre la quantitat lliurada per A. Però, si l’operació es veu

des de la perspectiva de B, llavors tenim que aquesta última persona rep els

diners a canvi d’un compromís en ferm (amb les garanties que calgui) de

pagar en un futur determinat.

!


Diguem-ho d’una altra manera: la persona B està disposada que li des-

comptin una determinada quantitat de diners per disposar avui mateix

del líquid que necessita. Per a B, doncs, es tracta no d’una operació de

capitalització, sinó d’una operació de descompte.

O sigui, hi ha un lligam entre les operacions de capitalització i les de des-

compte. Això passa sempre, tant si som davant de règims financers sim-

ples com de compostos (però succeeix que de vegades el llenguatge que

la pràctica diària ha anat fixant, i que després ha passat a la ciència fi-

nancera, emmascara aquest lligam).

Hi ha dues classes bàsiques de descompte:

– Descompte el preu del qual s’expressa com un tant per cent sobre la

quantitat que rep qui necessita finançament avui; és el descompte ra-

cional o matemàtic. En el cas dels règims financers simples serà el que

en diem descompte racional simple i que explicarem tot seguit.

– Descompte el preu del qual s’expressa no com un tant per cent sobre

la quantitat que l’inversor o prestador col·loca (com el descompte ra-

cional), sinó sobre la quantitat que el prestatari dóna a canvi. Aquesta

segona classe d’operació s’anomena descompte comercial. En el cas dels

règims financers simples serà el que anomenem descompte comercial

simple o descompte bancari i que estudiarem més endavant.

2.3.2. Fórmula del descompte racional simple

Quan l’operació es veu com de des-

compte, la terminologia sol canviar:

a) la quantitat que la persona fi-

nançada ha de pagar al final s’anomena

nominal, i es representa amb el símbol

N (no la confongueu amb els nombres

comercials; el context evita la confu-

sió);

b) la quantitat que la persona finançada

rep al començament de l’operació s’ano-

mena efectiu, i es representa mitjançant

!

!

Descompteracionalsimple

Descomptecomercial

simple

Descomptes

Prestador

Tot sovint, s’utilitza elbarbarisme ˝prestamista˝, queté un matís pejoratiu. El termecorrecte en català és˝prestador˝.

Nominal i efectiu

Nominal i efectiu s’utilitzentant per al descompte racionalcom per al descomptecomercial, i tant per a règimsfinancers simples comcompostos.


Aquests canvis de nom i de notació no modifiquen, com és lògic, l’essèn-

cia de la fórmula de l’interès simple:

A efectes de càlcul, hi ha una petita diferència entre el problema concret

en interès simple i en descompte racional simple:

– en el cas de l’interès, coneixem C i cal trobar C9;

– en el cas del descompte, moltes vegades (no sempre) qui necessita

diners acostuma a precisar molt bé quina quantitat es compromet

a pagar al venciment de l’operació (és a dir, el nominal) i, com que

el mercat ja indica el preu a què es fan les operacions, el que cal

saber són els diners que el prestador ha de fer efectius (aquesta és

la raó del nom efectiu). Per tant, falta determinar l’efectiu i, per

això, la segona fórmula s’acostuma a escriure de la manera se-

güent:

Exemple 7.7. En un règim financer de descompte racional simple, sabem que

els capitals financers (1 900, 0) i (2 000, 300) són equivalents. Si el conveni

de càlcul compta dia a dia i utilitza anys de 365 dies, es demana:

a) tipus de descompte racional simple a què es va pactar l’operació;

b) valor actual (a 15 de novembre) de 200 000 ptes. que s’han de pagar en un

venciment que és el dia 25 de febrer de l’any següent.

7.7. Solució: podem dibuixar un diagrama per a ajudar-nos.

1 900————————————————0 300 dies

2 000 ptes.

a) 2 000 = 1 900 (1 + x · (300 / 365)) per tant, x = 0,0640 Ñ 6,40%

NEr = ————

1 + drt

Dr = descompte racional simple (és a dir, quantitat

descomptada sobre el nominal) = Erdrt

N = Er (1 + drt)

Terminologia

1. L’efectiu s’anomenatambé valor actual. Sempreque es cerca el valor d’unaquantitat de diners quecorrespon a una data anteriores pot parlar de descomptar od’actualitzar. Per tant, hi hauràtantes fórmules per aactualitzar com fórmulescorresponents a règimsfinancers.2. Els capitals financers (E, 0) i(N, t) es diu que sónfinancerament equivalents.El concepte d’equivalènciafinancera té un paperimportantíssim per a l’estudide les operacions financeresen general.

!

!

b) Ara tindrem:

Er———————————————————15 nov. 25 feb.

200 000 ptes.

Entre les dues dates hi ha (15 + 31 + 31 + 25 = 102) dies, per tant el valor

actual del nominal és:

200 000Er = ——————————— = 196 485,86 ptes.

1 + 0,0640 ? (102 / 365)

És a dir, hi hauria un descompte de:

200 000 – 196 485,86 = 3 514,14 ptes.

Exercicis

7.4. Avui, 10 de novembre, sabem que d’aquí a 3 mesos venç un compromís que ensobliga a pagar 150 000 ptes. L’operació es va iniciar el 10 de juny , en què es va acordarque es feia en règim de descompte racional simple de l’1% mensual amb el conveni decomptar mesos de 30 dies i anys de 360 dies. Es demana:

a) l’efectiu que vàrem rebre quan es va iniciar l’operació;b) el valor actual (el 10 de novembre) del compromís, suposant que el tipus de des-compte no hagi canviat.

7.5. En l’exercici anterior, suposem que en arribar el 10 de novembre sol·licitem alprestador el pagament anticipat. El prestador ho accepta, però, com que en l’esmentadadata el tipus de descompte que hi ha per a aquestes operacions és de l’11% anual, volactualitzar-lo segons el nou preu i així ens ho fa saber. Ho trobem raonable i, per tant,portarem a terme el nou pacte. Es demana:

a) La quantitat que haurem de pagar.b) El cost financer conjunt de totes dues operacions. Suposeu que aquest cost l’hemd’expressar per anualitats i en tant per cent.c) Si el prestador no tingués cap despesa relacionada amb les dues operacions, trobeu elrendiment de la seva inversió, expressat també de manera percentual i anualitzada.

7.6. Hi ha uns actius financers anomenats pagarés, que són compromisos o ordres depagament a curt termini, normalment emesos per grans empreses (emparats pel crèditque mereixen) i utilitzats com un procediment de finançament, encara que hi pot ha-ver altres motivacions.

Comenteu la fórmula que hi ha a la publicitat del programa de pagarés emesos per laRàdio-televisió Espanyola (9 de juny de 1993), que es mostra tot seguit.


Cost financer

Per al càlcul del cost financerval tot el que hem dit sobre elcàlcul de la rendibilitat d’unaoperació d’inversió.

Tres classes de pagarés

1. els pagarés emesos peracord privat entre dues parts; 2. els pagarés al portador fetsper entitats que depenen delsgrans bancs (entitatshipotecàries, de lísing, etc.), i 3. els pagarés emesos demanera seriada (és a dir, ensèrie), que s’han de registrarobligatòriament a la ComissióNacional del Mercat de Valorsa fi de reforçar-ne lesgaranties.

El pagaré típic...

... conté, entre altres, lesdades següents: nom del’emissor; nom i domicili del’entitat financera que fa el pagament per ordre del’emissor; data de l’emissió del document; venciment i quantitat que cal pagar.



2.3.3. Les lletres del tresor

Les lletres del tresor són un actiu financer típicament emès segons el rè-

gim financer de descompte racional simple. Per a portar a terme la seva

missió, tots els governs necessiten diners, els quals surten bàsicament

(hi ha també altres fons d’ingressos, que ja estudiareu en una altra as-

signatura de la carrera) dels impostos i de les compres (inversions) que

entitats i persones particulars fan de certs actius financers emesos pels

esmentats governs (que constitueixen l’anomenat deute públic) quan ho

necessiten.

Les emissions del deute públic són de dos tipus:

1) a curt termini, avui en dia a Espanya s’anomenen Letras del Tesoro

(abans hi havia també els Pagarés del Tesoro), que explicarem tot seguit, i

2) a mitjà i llarg termini, a Espanya són

els Bonos i les Obligaciones del Estado (que

explicarem a l’assignatura Matemàtica fi-

nancera).

Les lletres del tresor tenen les característi-

ques següents:

– la seva emissió es disposa per l’Ordre

ministerial d’11 de juny de 1987, és la

primera emissió i 15 dies després;

– l’emissor és la Direcció General del Tresor i Política Financera;

– per tal d’establir el preu (tipus d’interès simple des del punt de

vista dels inversors o tipus de descompte racional simple, des del

punt de vista del tresor), l’emissió es realitza mitjançant una sub-

hasta (“subhasta competitiva”, la qual està perfectament reglamen-

tada perquè no hi hagi cap dubte ni malentès), encara que també

n’hi ha a un preu convingut pel Banc d’Espanya i l’esmentada Di-

recció General;

– en la subhasta, la data límit de presentació de peticions d’adquisició

és el dimarts anterior al dia de l’emissió (que és un divendres) i la

data de resolució de la subhasta (quan s’estableix el preu) és un di-

jous;

!

Obligació emesa pel Banc de Reus

– a les subhastes hi poden participar les institucions financeres i els par-

ticulars;

– el termini fins al venciment ha d’estar entre 3 i 18 mesos; les més im-

portants, amb molta diferència, són les d’1 any;

– per a les lletres a 1 any, la subhasta es fa quinzenalment;

– l’emissió és al descompte, que vol dir que té l’estructura mostrada al

diagrama del descompte racional simple;

– a partir del 26 d’abril de 1993, les lletres del tresor es poden negociar

(és a dir, comprar-se i vendre’s) a la borsa;

– l’efectiu que rep el tresor (o sigui, la quantitat de diners que inverteix

el comprador d’una lletra del tresor quan l’adquireix a la seva emis-

sió) s’anomena preu mitjà ponderat resultant (precio medio ponderado re-

sultante);

– el lligam que obliga el tresor amb l’inversor és una anotació en un

compte especialment dissenyat (Sistema de Anotaciones en Cuenta)

que, dit amb poca precisió, però de manera entenedora, és com

quan ingressem diners a la nostra llibreta d’estalvis d’una caixa i en

lloc d’un document a paper en fan una anotació de la mateixa lli-

breta;

– el valor nominal és de 1 000 000 ptes.;

– la base de càlcul és l’any de 360 dies;

– en el moment de cobrar el milió de pessetes, la diferència que hi ha

entre aquest nominal i el que vàrem invertir (o sigui, els interessos) va

íntegrament a l’inversor sense que es faci la retenció del 25% a

compte de l’impost sobre rendiment de les persones físiques (IRPF) o,

si s’escau, de l’impost sobre societats.

El diagrama temporal de les emissions de lletres del tresor en relació amb

les subhastes és, d’acord amb la seva reglamentació (DL = dilluns; DM =

dimarts; DX = dimecres; DJ = dijous; DV = divendres; DS = dissabte; DD

= diumenge):


Si comproveu què passaen una llibreta d’estalvi...

... quan el banc o la caixad’estalvis us abona elsinteressos pels diners que hiheu tingut, veureu que hi hadues anotacions: una, per al’abonament dels interessos, iuna altra, per a la retenció del25% sobre la quantitatanterior.


Exemple 7.8. Setmanalment la Direcció General del Tresor Públic publica,

als principals diaris, informació sobre les subhastes. El dilluns dia 30 d’agost

de 1993, a La Vanguardia, l’esmentada informació deia, referint-se a l’emis-

sió en què la data de resolució era la de 25 d’agost de 1993:

1) preu mitjà resultant .......................................................... 911 980 ptes.

2) rendiment corresponent .............................................................. 9,545%

Es demana que comproveu si aquestes dades són correctes.

7.8. Solució: atès que l’operació es fa a descompte racional simple (des del

punt de vista del tresor), haurem d’utilitzar la fórmula:

N = Er (1 + dr t)

i sabem que:

N = 1 000 000 ptes.; E = 911 980 ptes.; d = 0,09545; t = 364 dies (obser-

veu atentament el diagrama temporal de la subhasta) = (364 / 360) anys.

Com que:

364911 980 (1 + 0,0954 ?———) = 1 000 000

360

la publicitat oficial era correcta.

DV DS DD DL DM DX DJ DV DS DD DL DM DX DJ DV DS

Període de presentació de peticions per a la

subhasta que es farà el dijous següent a

la data límit, que és un dimarts:

Data de resolució de la subhasta

Data de l’emissió de la lletra de venci-ment a 1 any

Data de pagament de l’efectiu


Exercicis

7.7. A la mateixa plana publicitària de l’exemple anterior, el tresor deia (transcrivim eltext literalment prescindint d’alguns fragments, cosa que senyalem amb tres punts sus-pensius tancats entre parèntesis):

“Dejando aparte las comisiones mayores o menores que la entidad a través de la quehaya operado pueda cobrarle, una persona que solicitó una Letra en la subasta (...) ha-brá tenido que pagar por ella el precio medio ponderado resultante (...). Es decir,911 980 pesetas.

Al vencimiento de la Letra, el día 26 de agosto de 1994, esta persona obtendrá (...) unosintereses de 88 020 pta (...).

¿Que rendimiento efectivo anual habrá obtenido? Pues ha de comparar las 88 020 pese-tas obtenidas con las 911 980 pesetas que invirtió –(88 020 : 911 980) X 100 =9,6515%–, y ajustarlo por el tiempo que ha durado la inversión. Como existe la con-vención de aplicar en las inversiones el año de 360 días y su dinero ha estado invertido364 días –desde la fecha de desembolso (...) hasta la de amortización (...)–, el rendi-miento efectivo anual obtenido habrá sido 9,6515 x 360 : 364 = 9,545%”

Es demana:

a) D’acord amb el que hem dit referent a la rendibilitat d’una inversió, feu una críticadel text del tresor.

b) Si la subscripció d’una lletra es fa mitjançant un banc, aquest banc cobra una co-missió, que suposem que és de 4 000 ptes. (aquest valor depèn del banc). Calculeu larendibilitat.

7.8. Qui té una lletra del tresor pot vendre-la quan li convingui (naturalment, aixòabans del venciment), ja que hi ha molts altres inversors desitjosos de comprar aquestactiu. Tècnicament, es diu que “hi ha un mercat secundari”.

Suposem que un inversor vol adquirir en un banc una lletra ja emesa (a vegades s’escriuen majúscula per a abreujar i per a no confondre-la amb les lletres de canvi, que veu-rem després) durant un termini de 75 dies. El banc li ofereix un preu de 895 000 ptes. iel compromís de recomprar-la posteriorment (després dels 75 dies) per 920 000 ptes. Ig-norant les possibles despeses de l’operació, digueu quina és la rendibilitat (això s’ano-mena operació amb pacte de recompra o abreujadament repo).

2.4. El règim financer de descompte comercial simple

2.4.1. Formulació

Aquí val tot el que hem dit abans sobre el descompte racional simple, a

excepció del que significa el preu o “tipus de descompte comercial sim-

ple”. Comencem per un exemple: què vol dir que el nominal del com-

promís és de 10 000 ptes., que el venciment és d’un any i que el tipus de

descompte és del 10%?

Fem un gràfic:

EC = ?—————————————————0 1 any

N = 10 000 ptes.

El mercat primari...

... és aquell al qual va la lletraen la seva emissió; el mercatsecundari és el mercat “desegona mà”. En el mónfinancer, la importància latenen els mercats secundaris,ja que són els que permetenque algú es desprengui d’unactiu quan les circumstànciesho aconsellen.


La clau és que el 10% s’aplica sobre el nominal (en lloc d’aplicar-se sobre

l’efectiu, com passava en el descompte racional). Així, l’efectiu val:

10 000 – descompte comercial = 10 000 – 1 000 = 9 000 ptes.

Ara entendrem fàcilment el raonament que donem a continuació:

a) 1 pesseta de nominal i venciment d’aquí a un any, descomptada al ti-

pus dc , suporta un descompte total de dc.

b) N ptes. de nominal i venciment d’aquí a un any, descomptades al ti-

pus dc suporten un descompte total de N dc.

c) N ptes. de nominal i venciment d’aquí a t anys, descomptades al tipus

dc , suporten un descompte total de N dct.

Tenim, per tant, les fórmules següents:

Dc= descompte comercial total = N dct

Ec = N – Dc = N (1 – dct)

ja que Ec = N – Dc = N – N dct.

Observem que el tipus de descompte comercial s’aplica sobre el nominal,

d’acord amb el que dèiem en parlar de les dues classes de descompte.

2.4.2. La lletra de canvi

Quan una empresa no ven al

comptat, sinó que a canvi de

lliurar mercaderies es con-

forma a rebre un compromís

de pagament futur (però a

curt termini), el més corrent

és que s’utilitzi com a docu-

ment jurídic representatiu del

compromís la lletra de canvi.

El dret mercantil estudia molt profundament aquest document, i vosal-

tres ho fareu oportunament amb un cert detall; aquí només ens convé

tenir una idea d’allò més fonamental per a fer determinats càlculs i com-

prendre’ls.

!


Amb la garantia que suposa la possessió de la lletra de canvi, l’empresa (o

lliurador del document; librador en castellà) pot anar al banc amb què treba-

lla habitualment per tal que li avanci diners (amb la clàusula “de reserva

acostumada”) i li faci la gestió de cobrament amb la data que consta al do-

cument. Ben entès, però, que, si arribat el moment el deutor (o lliurat; li-

brado en castellà) no paga, aleshores el banc recuperarà els diners avançats

(a més de posar en marxa les mesures legals i econòmiques que calguin).

L’esquema del procés és el següent:

La quantitat de diners que consta a la lletra de canvi és el nominal, i el

banc, a més d’avançar diners a l’empresa venedora, li cobra una comissió

(comissió de descompte) que s’aplica sobre el nominal esmentat, que acos-

tuma a ser el 0,40% o el 0,80% (segons que es tracti d’una lletra domici-

liada o no, respectivament), amb un mínim d’unes 400 o 500 ptes. (se-

gons el banc i la qualitat del client).

Per les lletres que s’han tornat com a impagades, el banc carrega al

venedor una comissió compresa entre el 2% i el 5% (també amb un

mínim).

A més, la utilització d’aquest efecte de comerç (aquesta expressió s’utilitza

molt) està sotmesa a un impost anomenat impost per actes jurídics docu-

mentats (IAJD o timbre; aquesta és una paraula que correspon a una

època anterior, però se’n conserva encara el nom, malgrat que l’impost

es va substituir per l’IAJD) per un import que depèn del nominal.

L’escala de tarifes és, avui dia, la que es transcriu a la taula següent i cal

advertir que les quantitats que s’han de pagar en concepte de l’impost

s’han de fer efectives sempre en metàl·lic. També cal advertir que les xi-

fres de la taula només són vàlides per a venciments fins a sis mesos i que,

quan tenim terminis més llargs, aleshores s’aplica una tarifa que és igual

al doble de la que correspondria al mateix nominal:

mercaderia

lletra de canvi

Banc

Venedor (A) d’unamercaderia

Comprador (B)de la mercaderia

Lletra acceptadai domiciliada...

... és aquella que porta lasignatura del comprador de lamercaderia i les dades delcompte i l’entitat bancària quepagarà en nom delcomprador.

Moltes empreses,...

... quan descompten un grannombre de lletres en unmateix banc, negocienl’eliminació de les comissions;per tant, únicament paguen eldescompte comercial. Aixòrep el nom de sistema for-fait.

diners lletra de canvi


Les empreses normalment porten diverses lletres al banc (per a ser des-

comptades) a la vegada. Les acompanyen amb un imprès que fa la rela-

ció de totes. És el que s’anomena una remesa de lletres. Aquest imprès pot

tenir, per exemple, les columnes següents:

núm. import venciment dies plaça correu % comissió

d’efecte

El document de remesa també conté altres informacions, com ara: nomi-

nal total, comissions totals, tipus de descompte que s’ha d’aplicar, despe-

ses de correu (o altres despeses d’aquesta mena), efectiu total, data del

valor de l’efectiu, cost financer (%) anualitzat, etc.

Exemple 7.9. L’empresa Sang i Fetge porta al seu banc una lletra de canvi de

450 000 ptes., que venç d’aquí a 90 dies. El tipus de descompte que s’ha apli-

cat és el 13%, la comissió de cobrament és el 0,40%, l’IAJD puja a 1 400 ptes.

Trobeu:

a) l’efectiu resultant d’aplicar únicament el descompte comercial;

b) l’efectiu que el banc abonarà al compte del client una vegada deduïdes totes

les despeses;

c) el cost financer aproximat de l’operació per a l’empresa.

7.9. Solució: Tenim:

a) E r 45 0000 1 0 13 90360

---------- ⋅, – 435 375 ptes. = =

Interval de quantitats nominals (ptes.) Import de l’impost (ptes.)

fins a 4 000 10de 4 001 a 8 000 20de 8 001 a 15 000 40de 15 001 a 30 000 80de 30 001 a 60 000 160de 60 001 a 125 000 330de 125 001 a 250 000 700de 250 001 a 500 000 1 400de 500 001 a 1 000 000 2 800d’1 000 001 a 2 000 000 5 600de 2 000 001 a 4 000 000 11 200de 4 000 001 a 8 000 000 22 400de 8 000 001 a 16 000 000 44 800de 16 000 001 a 32 000 000 89 600més de 32 000 000 3 ptes. per cada

1 000 ptes. o fracció

Una modalitat de lletresmolt freqüent...

... és les anomenades lletrespersiana o conjunt de lletresd’igual nominal i devenciments un mateix dia imesos consecutius. Les lletrespersiana són habituals en lavenda a terminis.

a)


b) Comissió = 0,40% ? 450 000 = 1 800 ptes.IAJD = 1 400 ptes.

3 200 ptes.

I l’efectiu final serà de 435 375 – 3 200 = 432 175 ptes.

c) El diagrama per a calcular el cost financer és:

432 175——————————————0 90

450 000

per tant:

que dóna: R = 16,73%.

Exercicis

7.9. Avui (moment 0), una empresa porta al descompte bancari 12 lletres de canvi denominal igual a 250 000 ptes. cada una i venciments mensuals (instants 1, 2...). Si el ti-pus de descompte és del 14% i la comissió del 0,40%, calculeu a) l’efectiu que rebrà i b)el cost financer.

7.10. Suposeu que l’empresa de l’exercici anterior va acordar amb el seu client la subs-titució de les 12 lletres per una altra de nominal 250 000 . 12 = 3 000 000 ptes. Si lescondicions del pacte van ser:

a) l’efectiu en el moment 0 derivat del descompte ha de ser igual en tots dos casos,b) el tipus de descompte continua sent del 14%,es demana la data de venciment de la lletra de 3 000 000 ptes.

7.11. A partir de la resolució de l’exercici anterior formuleu d’una manera general elproblema següent (anomenat problema del venciment comú de pagaments) i trobeu-ne lasolució: n lletres de canvi (N, tj), amb j = 1, 2..., n, es substitueixen per una de sola (N, t);l’operació es pacta segons un règim financer de descompte comercial simple a un tipusde descompte dc, i a l’instant 0 l’efectiu total de les n lletres coincideix amb l’efectiu dela lletra única.

7.12. Estudieu el següent cas particular del problema que acabem de descriure: aquellen què el nominal de la lletra única és igual a la suma aritmètica dels nominals del con-junt de n lletres (problema anomenat del venciment mitjà).

7.13. Baseu-vos en la fórmula del venciment mitjà per a trobar el d’un conjunt qualse-vol de lletres persiana.

2.5. Comptes corrents bancaris

2.5.1 Introducció

En general, un contracte de compte corrent és el que es pacta entre dues

persones físiques o jurídiques (és a dir, entre dues empreses, entre una

empresa i una persona particular o entre dues persones particulars) que

450 000 432 175 1 R 90365 ---------- ⋅ +

=

Manuel Girona iAgrafel...

(Tàrrega 1818 - Barcelona1905) és sens dubte la figuracabdal del món financer catalàde la segona meitatdel segle XIX. Creà el Banc deBarcelona el 1844, que fou lainstitució més important fins ala seva desaparició el 1920.


tenen relacions econòmiques (comercials o financeres) freqüents i que

acorden liquidar els seus compromisos de forma agrupada en dates prè-

viament establertes, que acostumen a ser de caràcter periòdic.

Un cas molt conegut avui dia és el contracte de compte corrent fet entre

una entitat financera (banc, caixa) i un particular o una empresa o

compte corrent bancari.

En el compte corrent bancari a la vista, el més habitual i, per això, el que

explicarem tot seguit, hi ha un règim financer d’interès acordat; també

hi ha un tipus d’interès quan el creditor és el particular o l’empresa (o si-

gui, quan el banc ens deu diners o, dit d’una altra manera, quan tenim

un saldo favorable) i un altre, molt més gran, quan el saldo és a favor del

banc (o sigui, quan estem en descobert).

2.5.2 Compte corrent a la vista

Aquest compte neix com a conseqüència de l’establiment d’un dipòsit de

diners fet per un particular en un banc o una caixa. És evident que esta-

blir un dipòsit implica la prèvia confiança del client en la institució fi-

nancera; això és essencial.

Préstec usuari

Una mostra d’això la trobem en una obra de Josep Pla, Un senyor de Barcelona (editorialDestino, 1951). Rafael Pugès, a qui es refereix el títol, explica a Pla el següent d’unjutge, Aulés, que conegué i que sempre estava entrampat per la seva gran passió pel joc:“Una vegada Aulés demanà a un usurer tres mil pessetes i es comprometé a tornar-li’nsis mil al cap de poc temps, d’uns mesos. En vista dels precedents, i per tenir-lo collat,l’usurer posà en el paper que es tractava d’una operació de dipòsit. (...). Quan arribà elvenciment, Aulés no pagà i fou processat per trencament de dipòsit. El dia de la vista esdefensà ell mateix. L’operació no és un dipòsit –digué Aulés a la sala–. Es tracta d’unpréstec usurari sense consciència. Un dipòsit no es fa mai a una persona desconeguda.Com és possible que aquest senyor, que no em coneixia, em donés una cosa en dipòsit,a mi, precisament a mi...? Una acció semblant és impensable, impossible... L’argumentera d’un cinisme enginyós. El tribunal dictaminà a favor d’Aulés.”

L’esquema general dels comptes corrents bancaris i, per tant, també del

compte a la vista és, d’acord amb la forma usual (que correspon a una

tècnica d’anotació i de càlcul, basat en el règim d’interès simple, cone-

guda per mètode hamburguès escalar):

Tècnicament es...

... parla d’un compte corrent ainterès no recíproc.

Classe de compte: Data de liquidació:Titulars: Número de compte:Disponibilitat: (conjunta, indistinta)Caràcter del tipus d’interès: (no recíproc)

Data Concepte Capital Data Dies Saldo Nombresoper. D H valor D H


En la liquidació periòdica del compte, les diferents operacions s’ordenen

segons la data valor (de menor a major), a fi de poder calcular fàcilment

el nombre de dies d’una data valor a la següent.

Els passos per a fer la liquidació són:

a) trobar el nombre de dies entre cada parell de dates valor consecutives;

b) trobar el saldo de capitals corresponents a cada data valor i posar una

D al seu costat si el saldo és deutor i una H, si és creditor;

c) computar els nombres comercials associats a cada saldo de capitals i po-

sar-los sota la subcolumna D o H que hi ha a la columna “Nombres”;

d) trobar la diferència entre els interessos D i els interessos H mitjançant

la fórmula de càlcul d’interessos Y = N / D, on N són els nombres comer-

cials, i col·locar aquesta diferència en la columna de capital (sota la sub-

columna H si és favorable al client del banc o sota la D si és a favor del

banc);

e) esbrinar l’import de la retenció a compte (25%) sobre els interessos

per raó de l’IRPF (impost sobre la renda de les persones físiques);

f) finalment, obtenir el saldo que servirà de punt de partença per al pe-

ríode següent (“saldo al nou compte”).

Exemple 7.10. Liquideu el compte corrent següent sabent que el tipus d’in-

terès és del 0,10% per als saldos H i del 25% per als saldos D; la data de liqui-

dació o tancament és el 30 / 06 i es consideren anys naturals:

7.10. Solució:

La solució és la següent, desenvolupada d’acord amb les instruccions do-

nades; per simplificar i evitar repeticions, eliminarem les columnes

“Data” i “Concepte”, i escriurem les quantitats (per tant, també els nom-

bres comercials) en milers de pessetes:

Data Concepte Capital Data valor

16 / 5 Xec al seu favor 500 000 21 / 518 / 5 Lletra al seu càrrec 200 000 18 / 522 / 5 Transfer. al seu fav. 100 000 25 / 512 / 6 Lliurament en efectiu 125 000 12 / 620 / 6 Reintegrament 150 000 20 / 6

!


En arribar el 30/6, farem el següent:

1) calcular els interessos a favor del client:

a) suma dels nombres comercials H = 16 350 000,

b) divisor fix corresponent al 0,10% = 36 500 / 0,10 = 365 000,

c) 16 350 000 / 365 000 = 44,79 ptes.

d) aquest valor es posa a la columna “Capital”, sota la subcolumna H;

2) calcular els interessos en contra del client:

a) suma dels nombres comercials D = 600 000,

b) divisor fix corresponent al 25% = 36 500 / 25 = 1 460

c) 600 000 / 1 460 = 411 ptes.

d) aquesta quantitat es posa a la columna “Capital”, sota la subcolum-

na D;

3) calcular l’import de la retenció a compte sobre els interessos H rebuts:

a) 25% ? 44,79 = 11,20 ptes.

b) posar aquest valor a la columna “Capital”, sota de la subcolumna D;

4) calcular el saldo amb què començarà el període de liquidació següent:

a) suma de totes les quantitats situades sota la subcolumna H de la co-

lumna “Capital” =

= 500 000 + 100 000 + 125 000 + 44,79 = 725 044,79 ptes.

Capital Data Dies Saldo capit. NombresD H valor D H

200 18/5 3 200 (D) 600500 21/5 4 300 (H) 1 200100 25/5 18 400 (H) 7 200125 12/6 8 525 (H) 4 200

150 20/6 10 375 (H) 3 750


b) suma de totes les quantitats situades sota la subcolumna D de la co-

lumna “Capital” =

= 200 000 + 150 000 + 411 + 11,20 = 350 422,20 ptes.

c) saldo que va al compte nou: 725 044,79 – 350 422,20 = 374 622,59

ptes.


3. El règim financer d’interès compost

Tot seguit ens esforçarem per dominar dos dels règims financers

compostos més importants, és a dir, més emprats en la pràctica financera:

Si posteriorment estudieu matemàtica financera, la comprensió d'aquests

dos règims financers us permetrà entendre bastant fàcilment altres règims

financers compostos, en particular el de major difusió en l'actualitat: el

vençut a tant variable referenciat (o flotant).

Com ja sabem, els règims financers proporcionen esquemes de càlcul per a

determinar les quantitats que s’han de pagar en concepte de preu pel diner

prestat o col·locat, que són el resultat de teoritzar sobre les observacions fetes

en els mercats financers en el procés d'establiment i de formació de preus

que porten a terme els agents econòmics que demanen i que ofereixen diner.

El coneixement d'aquests esquemes és absolutament necessari per a poder

analitzar les operacions financeres (particularment, la rendibilitat i el cost

financer). Així, com que una gran part de les operacions financeres (les de

mitjà i llarg termini) es pacten segons un règim financer compost, el pri-

mer que caldrà fer és explicar què entén el mercat quan dóna una deter-

minada xifra com a preu del diner implicat en una d'aquestes operacions.

3.1. Breu nota històrica sobre el règim financer d'interès compost

L’interès compost ja fou esmentat en la legislació romana, la qual el va

prohibir: tant el Digesto (XLII, 1, fragment 27) com el Codi de Justinià

(2, 11) l'anomenaven usura.

• L'interès compost vençut, a tant constant

• El descompte racional compost, a tant compost

"Referenciat" o "flotant"...

... vol dir que segueixl'evolució d'un tipus d'interèsconcret, corresponent a unmercat específic (o d’unamitjana de tipus d'interès),com per exemple, els tipus delmercat interbancari (MIBOR)o del mercat hipotecari.

Nota

Això és el que hem estudiat enl’apartat que tracta delsrègims simples.


Com a conseqüència d'aquesta prohibició, l'ús de l’interès compost gaire-

bé desapareix dels costums econòmics occidentals fins als segles XI i XII,

en què començà a reaparèixer, encara que molt lentament.

Catalunya en té una bona mostra, d'aquesta utilització, il·lustrada per les

recerques d'un notari, G. Feliu i Montfort, que en un article titulat “Interès

compost en un document barceloní de lány 1011” (publicat pel Col·legi

Notarial de Barcelona lány 1978) diu:

”Fos per un pacte previ o per qualsevol altra circumstància, era però també possible [...]que es produís una acumulació de capital i interessos que originés un interès compostfins que l’operació no fos saldada dálguna forma, que per regla general era la vendadels béns empenyorats. Bonnassie, en el seu magnífic estudi sobre la Catalunya alt-me-dieval, cita l’interès compost com un fet corrent (Pierre Bonaisse). La Catalogne du mi-lieu de Xe à la fin du XIe siècle. Croissance et mutations dúne societé, (2 vol., pàg. 409.Toulouse: 1976), i cita a continuació com a exemple el cas del prevere Aventí, el qualdel 1015 al 1018 veié transformar dues unces d'or i un mancús en cinc unces d'or i dosmancusos (pergamins de Ramon Borrell, núm. 113, i de Ramon Berenguer I, núm. 8).[...]

”L'operació, que Bonnassie creu corrent, més coneguda" –diu en Feliu i Montfort– "perun sol document de l'any 1011, publicat en el cartulari de Sant Cugat. Segons ell, Geri-bert, fill dÁstovald, empenyorà un alou per set mancusos i deixà passar el temps fins[...] nou unces i encara a part, en una altra operació, manllevà sobre el mateix alouquatre unces, per les quals n´havia de tornar sis. [...]"

”Comencem per dir que la taxa d'interès depassa l'establerta per la llei: mentre aquestafixava –però, amb quina efectivitat?– que vuit sous en poguessin produir un, o sigui,una taxa del 12,5%, el document exigeix un mancús per cada sis, o sigui, un 16,6%.

”Com devia ser calculada l'operació? En els nostres dies la fórmula matemàtica de l'in-terès compost permet calcular la suma final amb una sola operació, però això està moltlluny de les possibilitats de les matemàtiques que Geribert havia après a Catalunya defons àrabs per a difondre-les per Europa. El càlcul es devia fer any rere any, sota la vi-gilància dels dos oncles Adroer i Guadamir. Com? Evidentment, no en mancusos, queen la segona operació haurien plantejat greus dificultats, sinó en una moneda més frac-cionària.

”Les equivalències monetàries més corrents a la primeria del segle XI eren: 1 unça = 50sous i 1 unça = 7 mancusos (que trobem en el document) i, per tant, 1 mancús = 7sous, (... i) 1 mancús = 84 diners.

Lectures recomanades

Si voleu llegir alguna cosasobre la usura en els seusaspectes històrics podeu ferservir, per exemple, elsllibres següents:Dauphine Meunier, A.(1952). La doctrina económicade la Iglesia (pàg. 229- 238 i251-153). València: Fomentode la Cultura. Grice Hutchinson, M.(1982). El pensamientoeconómico en España (1177-1740) (pàg. 13-80).Barcelona: Crítica.Nelson, B.N. (1949). TheIdea of Usury: from TribalBrotherhood to UniversalOtherhood. Princeton.Pirenne, H. (1976). Historiaeconómica y social de la Edadmedia (pàg. 17-18, 90-92 i97-105). Mèxic: Fondo deCultura Económica.


”El càlcul any per any de l'interès compost, tal com el podien fer a l'època, o sigui, divi-dint per cada any el capital (en diners) per tal dáfegir la quantitat al total anterior(prescindint dels decimals del diner), ens donaria els resultats següents:

”O sigui, 60 mancusos, 2 sous, 8 diners. Comparant el resultat amb els càlculs mésexactes moderns, la diferència seria de poc més d'un sou.”

El règim financer dínterès compost adquireix veritable importància

econòmica a partir de la Revolució Industrial anglesa (segona meitat del

segle XVIII), quan els processos de finançament exigeixen sovint grans

intervals de temps. No obstant això, encara hi ha discussions de caràcter

ètic, jurídic, i econòmic, com demostra el fulletó Defensa de la usura, escrit

pel gran jurista J. Bentham (aquest autor tractà qüestions econòmiques

entre els anys 1786 i 1804).

La motivació per a escriure l'esmentat fulletó queda molt clara en llegir el

pròleg fet per un economista contemporani de renom, Stark, en el llibre

Escritos económicos de Jeremy Bentham (Mèxic: Fondo de Cultura

Económica, 1978).

“Pel que fa a la taxa d’interès, és ben sabut que (Adam Smith), en contraposició alseu liberalisme general, proposava un màxim legal del 5 % si l’interès legal foud’un 8 % o un 10 % —diu Smith—, la majoria dels diners prestats aniria a parar amans de pròdigs (malgastadors) i projectistes (empresaris) desgavellats, que són elsúnics capaços d’abonar rèdits tan elevats. D’aquesta manera, una gran quantitat delcapital de la nació no arribaria a mans d’aquells que es troben en condicions de fer-ne un ús raonable i profitós, i aniria a parar a altres persones que el dissiparien fà-cilment, fent-ne mal ús. (“La riquesa de les nacions”.) Bentham va mostrar unaforta objecció vers aquesta actitud [...]. En oposició, va escriure el fullet [...] ‘De-fensa de la usura’.”

Per finalitzar aquesta nota històrica, diem que en Marchena ("El abate

Marchena") en el seu "Prefacio del Traductor" del llibre Coup dóeil sur la for-

ce et lópulence de la Grande Bretagne, del Dr. Thomas Brooke Clarke

(Londres, 1801 en anglès, i París/Estrasburg, 1802 en traducció francesa

de Marchena) escriu (cita extreta de: Fuentes, J.M. José Marchena. Biografía

política e intelectual Barcelona: Crítica, 1989, pàg. 195).

Any Capital inicial Interessos Capital total

1 504 84 5882 588 98 6863 686 114 8004 800 133 9335 933 155 1.0886 1.088 181 1.2697 1.260 211 1.4808 1.480 246 1.7269 1.726 287 2.013

10 2.013 335 2.34811 2.348 391 2.73912 2.939 456 3.19513 3.195 532 3.72714 3.727 621 4.34815 4.348 724 5.072

A la “Lletra XI” de la pu-blicació Bentham diu:

"El molestaré amb una o duesparaules sobre l'interèscompost, ja que el condemnala llei, suposo que perconsiderar-lo com una espècied’usura. [...] De totesmaneres, no crec que la lleipugui castigar-lo sota el nomd’usura."


“Retrem homenatge a aquesta excel·lent concepció que ha aconseguit aplicar tan avan-tatjosament l’augment de la força nacional, la teoria de l’interès compost, que sem-blava destinada a servir només de diversió als algebristes, i que per la mateixa im-portància del seus resultats arribava a semblar il·lusòria.”

3.2. El tipus d'interès compost

D'una manera ràpida i senzilla, en el context en el qual ens movem ara,

simple vol dir que els interessos no creen altres interessos, mentre que com-

post s'aplica quan per als càlculs es té en consideració que els interessos

generen nous interessos. Un exemple numèric ho farà més entenedor.

Suposem que volem comprar un ordinador que val 200 000 ptes. i que

aquesta compra ens convé fer-la pagant una determinada quantitat men-

sual durant dos anys. El finançador ens diu que ens ofereix un bon preu i

que per això val la pena aprofitar l’avinentesa: un 8%, que significa en

realitat "un 8% anual quan es paga per mesos". (A la pràctica, tant en

l’argot dels mercats com en la notació científica s'acostuma a parlar molt

simplificadament –perquè se suposa que tothom coneix de què es parla.)

Pel que sentim a la TV i el que comentem amb els amics, veiem que veri-

tablement el 8% és un preu barat. Oi que sí? Bé, però us heu preguntat

què vol dir exactament aquest 8%? Reflexioneu una mica i sorgiran un

reguitzell de preguntes enutjoses:

• El 8% és calcula cada mes sobre la totalitat del préstec inicial?

• Tot el que pagarem cada mes són solament interessos?

• Es paga igual quantitat en concepte d’interessos per l’agost que pel

febrer, o bé es té en compte el nombre real de dies que té cada mes?

• Si després d'informar-nos ens diuen que cada mes pagarem un total que

resulta ser la suma dels interessos i d’una determinada quantitat ad-

dicional per a reduir progressivament el deute inicial, llavors: com és

calculen els interessos, sobre el deute inicial o sobre el deute pendent

després del pagament anterior?, com es calcula la quantitat addicional

destinada a reduir el deute?

• És clar que les diferents respostes a aquestes preguntes ens donaran dis-

tintes alternatives o modalitats de préstec del diner. Totes elles costen un

8% i suposen una rendibilitat del 8% per al finançador?


• Hi ha costos addicionals en començar l’operació? N'hi ha cada mes, en

fer el pagament?

• En cas que hi hagi costos, per exemple en iniciar-se l’operació, estan

calculats dintre del 8%?

• Si en lloc de fer pagaments mensuals ens convingués fer pagaments tri-

mestrals, el 8% es mantindria?

• El 8%, durant quant de temps es vàlid, durant el primer mes?, durant el

primer any?, durant els dos anys de vida del préstec?

• Etcètera.

Dissortadament per a la majoria dels clients, la manca de coneixements

financers unida a la manca d'esperit analític i crític fa que la xifra del 8%

operi efectes màgics sobre ells i es llancen satisfets i contents sobre el

finançament ofert. No obstant això, la consideració de les preguntes ante-

riors ens posa davant la possibilitat que les coses no siguin el que sembla.

Ara ja ensumem de què tracta aquest tema. Ara ja esteu preparats psicolò-

gicament perquè el professor que escriu aquestes planes "us compliqui un

xic la vida".

El ventall de preguntes és fonamental i dóna una panoràmica de necessi-

tats que serveixen per a establir un programa d'estudi de les operacions

financeres. Evidentment, aquí i ara no les podrem respondre totes, però en

posarem les bases per a poder-ho fer més endavant, quan ens dediquem a

l'assignatura anomenada Matemàtica de les operacions financeres.

3.3. Càlcul dels interessos. Una fórmula per a l’interès compost

Per aprendre a calcular el valor dels interessos compostos, agafem l’exem-

ple següent:

Pactem amb el nostre banc la col·locació de 300.000 ptes. al 6% anual,

durant un any, amb uns interessos trimestrals. Servim-nos d'un diagrama

temporal:

300.000 ptes.

0 1 2 3 4 trimestres

Recomanació

Cal sempre apartar lesaparences per a trobar el nuclide la veritat important, tanten ciència com en qualsevolaltra activitat humana; per aposar de relleu l’aparença jan’hi ha prou amb els sentitsfísics i amb la publicitat i lapropaganda.


Per aclarir millor què significa el 6% suposem que:

a) Aquesta xifra del 6% no canviarà al llarg dels dos anys. És una pregun-

ta que cal fer quan invertim.

b) Els interessos es deixaran al mateix compte (això no s'acostuma a fer; en

general, el banc els situa en un altre compte molt poc retribuït. Aquesta és

una pregunta clau que cal fer sempre que es posen diners a un termini

determinat.

c) Els trimestres es consideren tots iguals entre si; és a dir, es pagarà igual

en concepte d'interès en el primer trimestre que, posem per cas, en el ter-

cer. Això també cal especificar-ho.

La primera qüestió és: en el moment 1, quan s’apujaran els interessos? És

lògic que en aquest moment els interessos s'hagin de calcular igual que

ho fèiem en estudiar l'interès simple.

Recordem la fórmula que utilitzàvem:

on: C = quantitat de diners

i = tipus d'interès anual

t = temps, expressat en anys.

En el nostre cas, tenim que:

C = 300.000 i = 6% = 0,06 t = 1/4

Per tant, els interessos corresponents al primer trimestre, que simbolitza-

rem per Y(0, 1) valdran:

Y(0, 1) = 300.000 . 0,06 . (1/4) = 4.500 ptes.

Com que les 4.500 ptes. s'afegeixen a les 300.000 ptes. col·locades inicial-

ment, això vol dir que el saldo nou serà de 304.500 ptes. i que, per al tri-

mestre següent, generaran interessos tant les 300.000 ptes. com les

4.500 ptes. És a dir, caldrà calcular els interessos a què donen dret les pes-

setes que tenim al començament del segon trimestre, no solament les que

vàrem posar inicialment. Això és el que vol dir "interès compost".

Y = C i t

Nota

En ser la primera vegada quehi ha interessos, encara no esplanteja el problema de comes troben els interessosgenerats pels interessosanteriors.


Per tant, per trobar els interessos corresponents al segon trimestre farem:

Y(1, 2) = 304.500 . 0,06 . (1/4) = 4.567,50 ptes.

(Hem utilitzat el valor i = 0,06 perquè havíem pactat que aquesta retribu-

ció es mantindria al llarg de tot l'any.)

D’una manera anàloga calcularem Y(2, 3) i Y(3, 4):

Y(2, 3) = (300.000 + 4.500 + 4.567,50) · 0,06 · (1/4) = 4.636,01 ptes.

Y(3, 4) = (300.000 + 4.500 + 4.567,5 + 4.636,01) · 0,06 · (1/4)= 4.705,55 ptes.

En finalitzar els quatre trimestres, disposarem d’un nombre total de pes-

setes igual a:

300.000 + 4.500 + 4.567,5 + 4.636,01 + 4.705,55 = 318.409,06 ptes.

El gràfic número 1 permetrà veure el procediment.

Gràfic 1

Una fórmula per a l’interès compost

Ara ja sabem com calcular els successius interessos i la quantitat final de

diners de què l'inversor disposarà. Ja veiem que no és difícil d'entendre.

Però (sempre hi ha un però), com responem la pregunta següent: si una

320

315

310

305

3000 1 2 3 4 trimestres

quantitats (milers de pessetes)

Y(0,1)=4,5

Y(1,2)=4,5675

Y(2,3)=4,636

Y(3,4)=4,7055

318,4090

313,7035

309,0675

304,5


col·locació de diner, pactada exactament igual que l’anterior en totes les

seves condicions, durés 10 anys, quina suma final proporcionaria? Hi

podem perdre la paciència, perquè una cosa es saber-ho calcular i una altra

és haver de repetir una tècnica una vegada i una altra. Això comporta plan-

tejar-nos una nova qüestió:

Es pot dissenyar una fórmula que sintetitzi l'algorisme que acabem de fer

servir i que d'una manera directa doni la quantitat final de què es disposarà?

Òbviament, la resposta és afirmativa. Hi ha diferents maneres d'arribar a la

fórmula desitjada. Una de molt senzilla és la següent:

C

0 1 2 3 ... (r-1) r ... n períodes

Suposem que en 1 any hi ha m períodes (m = 12, 4, 2, 1, etc.); per tant,

expressat en anys, tindrem que:

1 "període" = (1/m) anys = p anys

Per exemple,

1 període trimestral = (1/4) anys = 0,25 anys

(Observa que m · p = 1)

Calculem ara les quantitats de diner que hi haurà en els moments:

1, 2, 3, ..., (r - 1), r, ..., n

després de l’abonament dels interessos, que seran, respectivament:

C1, C2, C3, ..., Cr–1, Cr, ..., Cn

C1 = C0 + Y(0, 1) = C + C i p = C · (1 + i p)

C2 = C1 + Y(1, 2) = C1 + C1 · i · p = C1 · (1 + i p) =

= (C · (1 + i p)) · (1 + i p) = C · (1 + i p)2

C3 = C2 + Y(2, 3) = C2 + C2 · i · p = C2 · (1 + ip) = C · (1 + ip)3

Cr = Cr–1 + Y(r – 1, r) = Cr – 1 + Cr – 1 · i · p = C (1 + i p)r

Cn = C · (1 + ip)n

“Períodes...”

... vol dir mesos, trimestres,semestres, anys, etc. segonssigui l’interval de tempsutilitzat per al pagament dels interessos (períoded'abonament dels interessoso, també, període decapitalització).


És aquesta la fórmula que cercàvem:

Hem arribat a l'expressió matemàtica de la corba exponencial (comproveu

que el gràfic núm. 1 ens en proporcionava una). El gràfic següent (gràfic

núm. 2) ens donarà una idea de la diferència creixent que hi ha entre les

quantitats totals abonades en concepte d'interessos en els casos d'interès

compost i d'interès simple. A mesura que la durada de l’operació finance-

ra es va fent més llarga, aquesta diferència es va fent més i més gran, supe-

rant a partir d'un determinat moment el mateix valor de la quantitat ini-

cialment col·locada.

El gràfic s'ha construït a partir de les dades següents:

C = 100 i = 0,10 m = 1 p = 1 n = 15 anys

• Interès simple:

C15 = 100 · (1 + 0,10 · 15) = 250

• Interès compost:

C15 = 100 · (1 + 0,10 · 1)15 = 417,72

• Diferència d'interessos:

417,72 - 250 = 167,72 > 100

Aquesta fórmula es pot deduir també si apliquem la tècnica de les

diferències finites. Observem que l'abonament periòdic d'interes-

sos suposa un ritme de creixement constant i recordem que quan

hem vist el tema de les diferències finites hem après que els fenò-

mens de creixement discret de caràcter periòdic podien modelit-

zar-se fàcilment mitjançant l'ús de les esmentades diferències.

Concretament, en el mòdul següent veurem exemples d'aplicació,

un dels quals, precisament, consisteix a trobar la fórmula de l’in-

terès compost. Penseu que en matemàtica financera hi ha vegades

en què els problemes plantejats requereixen fer servir aquest ins-

trument de les diferències finites.

Cn = C · (1 + i · p)n


Gràfic 2

3.4. Tipus d'interès nominal i efectiu

Al tipus d’interès i se l’anomena tipus d'interès nominal ("nominal" perquè

sol ser el que s'anuncia; recorda que aquest adjectiu ve del llatí nomen-

nominis = nom), mentre que al resultat

se’l coneix per tipus d'interès efectiu associat al període d’extensió p.

Per exemple, a un interès nominal del 12% anual, capitalitzable

• anualment (m = 1; p = 1) correspon un

interès efectiu anual = I = 0,12 · 1 = 0,12 = 12%

• semestralment (m = 2; p = 1/2) correspon un

interès efectiu semestral = I = 0,12 · (1/2) = 0,06 = 6%

• trimestralment (m = 4; p = 1/4) correspon un

interès efectiu trimestral = I = 0,12 · (1/4) = 0,03 = 3%

• mensualment (m = 12; p = 1/12) correspon un

interès efectiu mensual = I = 0,12 · (1/12) = 0,01 = 1%

i p = I

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 anys

250

200

150

100

quantitats

Cn=100(1,1)n

Cn

n

Cn=100(1+0,1 . n)


Per tant, quan ens diuen que una operació dóna el 12% d'interès compost,

a més de demanar per escrit el que abans hem esmentat (períodes d'abo-

nament d'interessos; com es compten els períodes; si aquests interessos

s'abonen en el mateix compte o en un altre i, si es així, quina retribució

tenen; etc.) cal també precisar si es tracta d'interès efectiu o nominal. Les

operacions que acabem de fer donen resultats prou diferents perquè tre-

ballem acuradament; hi ha moltes sorpreses desagradables, en general, per

a no haver de demanar per escrit (signant adequadament) les precisions

que acabem de fer.

El fet que quan l'abonament d'interessos sigui anual faci coincidir numè-

ricament els tipus d'interès nominal i efectiu (ja que dimensionalment es

tracta de magnituds diferents: multiplicar el tipus nominal per p anys no

pot donar les mateixes unitats de mesura que la que té la i) és la causa de

la persistència en la confusió que la gent corrent –i la que no ho és– té.

Quan veritablement la capitalització dels interessos es fa cada any, la con-

fusió no té conseqüències, però avui dia gairebé totes les operacions tenen

un període d'abonament d'interessos més petit; si més no recordem, per

exemple, el que succeeix amb les imposicions a terminis.

La fórmula de l'interès compost que abans hem deduït podrà, doncs,

escriure's d'aquesta manera:

Cn = C (1 + I)n

No oblidem que una operació financera és un nom genèric que en

els mercats financers es dóna a un pacte entre dues parts, l’expres-

sió del qual s'ha de fer documentalment. Quan un client signa un

document d'aquesta classe sol fer-ho sense mirar-se’l gaire. Però

això és un error que s'acostuma a esborrar a còpia d'alguna enso-

pegada mereixedora de ser recordada. A més, per a evitar ser massa

complicat, el document es refereix a disposicions que el client des-

coneix i que, en molts casos, li aclaririen aquelles preguntes. Així,

doncs, a més a més del document, cal tenir per escrit les precisions

esmentades. Els juristes fan servir una "llatinada" per a indicar

això: verba volant, scripta manent, o sigui, les paraules se les em-

porta el vent, però el que hi ha escrit roman.


I, repetim-ho, cal tenir cura d'aplicar-la en el sentit que la I està associa-

da a un determinat període de capitalització i que, en conseqüència, l'ex-

ponent, n, és el nombre de períodes de capitalització que en total té l’ope-

ració.

Exemple 7.11. Suposem que:

1) es pacta una operació de col·locació en les condicions que han servit per al

raonament que acabem de fer;

2) C0 = C = 1,5 M ptes.

tipus d'interès: 5% anual

abonament d'interessos: cada mes

durada de l’operació: 1,5 anys

Es demana:

a) calcular les quantitats acumulades fins als moments 6, 12, 18 mesos, una

vegada abonats els interessos;

b) trobar els interessos abonats en el moment 10.

7.11. Solució:

a) Tenim que:

m = 12 p = 1/12 anys

i = 0,05

n = nombre de períodes = nombre de vegades en què hi ha abonament

d'interessos = 18

C6 = 1.500.000 · (1 + 0,05 · (1/12))6 = 1.537.892,80

C12 = 1.500.000 · (1 + 0,05 · (1/12)12 =

= C6 · (1 + 0,05 · (1/12))6 = 1.576.742,85

C18 = C12 · (1 + 0,05 · (1/12))6 = 1.616.574,31

b) El càlcul dels interessos que ens demanen el podem fer de dues maneres:

Y(9, 10) = C9 · 0,05 · (1/12)9 = (1.500.000 · (1 + 0,05 · (1/12))9) · 0,05

· (1/12) = 6.488,32 ptes.

Y(9, 10) = C10 - C9 = 1.563.685,00 - 1.557.196,67 = 6.488,32 ptes.


Exemple 7.12. Suposem que es compleixen totes les condicions de l’exercici

anterior, però amb:

C = 250.000 ptes., ingressades el 20.03.1996

i = 6% anual

abonament diari d'interessos (1 any = 365 dies) data de finalització de l’opera-

ció: 31.07.1996.

Es demana calcular la quantitat final reintegrada.

7.12. Solució:

Tenim que:

m = 365 p = 1/365 anys

n = 133 dies

(sense comptar-hi el 20.03 i incloent-hi el 31.07)

Per tant,

C133 = 250.000 · (1 + 0,06 · (1/365)133 = 255.525,48 ptes.

o sigui, hem obtingut un abonament total d'interessos igual a 5.525,48 ptes.

Exemple 7.13. Calculem el valor que assoleix una quantitat de 5 milions de

pessetes posada durant 535 dies (considerant anys de 360 dies) a un interès

compost del 7,25%, amb abonament anual d'interessos i sabent que tots els

interessos que es vagin produint es col·locaran en el mateix compte, en què

seran retribuïts segons el tipus d'interès indicat.

7.13. Solució: tenim que:

C = 5 M i = 0,0725 m = 1 p = 1

n = 535 / 360 = 1,486 anys

C1,486 = 5.000.000 · (1 + 0,0725 · 1)1,486 = 5.548.050,35

Observeu que hem fet la deducció de la fórmula de l’interès compost uti-

litzant un nombre sencer de períodes de capitalització, n, que pertany al

conjunt dels nombres naturals. Per tant, el càlcul que acabem de fer és

una aproximació emprada molt correntment, que s'anomena conveni expo-

nencial.

Conveni lineal

Hi ha, tanmateix, un altreconveni per al càlcul delsinteressos corresponents altros del període no complert,que consisteix a operar com sien aquest tros d'intervals'utilitzés l'interès simple(conveni lineal).


Exercicis

7.14. En les condicions habituals que hem anat utilitzant fins aquí, indiqueu el tempsnecessari perquè una quantitat qualsevol de diners, posada al 5,75% anual i capitalitza-ble semestralment –és a dir, amb abonament semestral d'interessos (també, de vegades,s’anomena convertible semestralment, que significa que l'interès del semestre es conver-teix en capital generador de nous interessos)–, considerant semestres de 180 dies, es tri-pliqui.

7.15. Invertim 1 milió de pessetes durant 2 anys a un interès compost del 7% anual iamb un abonament trimestral d'interessos. Hem pactat amb el banc que tots els inte-ressos que es vagin rebent s'aniran posant en un altre compte retribuït amb un 0,10%anual i també amb un abonament trimestral d'interessos (la diferent i menor retribuciódels interessos generats pels interessos es justifica perquè es tracta de quantitats me-nors, col·locades durant un temps inferior al del milió). Demanem:

a) Quantitat de què es disposarà en finalitzar els dos anys. b) Considerant únicament el que es posa al començament de la inversió i el que se’ntreu al final, quin tipus d'interès anual (i amb abonaments anuals d'interessos) únic iutilitzant un sol compte (és a dir, el tipus d'interès que correspon a la fórmula habitual)equival a la doble operació pactada?c) Si no hi ha despeses de cap classe, quant val la rendibilitat obtinguda?

7.16. S'han col·locat 3 milions de pessetes a un interès compost de capitalització men-sual durant 3 anys. Demanem:

a) La quantitat final que podrà reintegrar-se sabent que el tipus d'interès serà del 8%durant el primer any, del 8,25% durant el segon i del 8,50% durant el tercer. b) El tipus d'interès compost únic, expressat anualment i suposant un abonamentanual d'interessos), que podria pactar-se per una altra operació equivalent a l’anterior,és a dir, que proporcionés la mateixa quantitat final.

7.17. Escolliu la millor de les dues alternatives inversores durant els 6 mesos (1 any =360 dies) següents:

a) 10% d'interès compost capitalitzable mensualment.b) 12% d'interès simple.

7.18. Trobeu el tipus d'interès compost anual, capitalitzable anualment, al qual va po-sar-se una quantitat C de diners durant 5 anys, sabent que, si el tipus hagués estat do-ble, la quantitat final hauria estat també doble.

7.19. En Fermín Cacho (24 anys d'edat) obtingué una medalla d'or en els 1.500 metresen els Jocs Olímpics de Barcelona 1992. Com a reconeixement, una entitat financera liva atorgar 100 milions de pessetes, que li lliuraria quan complís 50 anys d'edat. Si el ti-pus d'interès compost de l’operació fos del 6%, calculeu el valor de la gratificació enaquell moment; és a dir, trobeu el valor actual dels 100 milions de pessetes. (Consulteul’apartat que es refereix al concepte de valor actual.)

7.20. Calculeu l'interès nominal corresponent a un tipus d'interès efectiu diari (1 any = 365 dies) del 0,0328767%.

7.21. Calculeu el nombre d'anys necessari perquè 3,5 milions de pessetes col·locades al3,8% efectiu semestral es converteixin en 5,3 milions de pessetes.

7.22. Calculeu el tipus d'interès compost anual capitalitzable quadrimestralment neces-sari perquè C pessetes s'incrementin un 25%. Suposeu que l’operació té una durada de4 anys.

7.23. Una persona col·loca els capitals financers següents (recorda que "capital finan-cer" és un parell ordenat, que representa una quantia de diners i la data valor o data enla qual és efectiva:

(100.000; 15.01.1996) (250.000; 27.02.1996)(75.000; 12.04.1996) (175.000; 21.05.1996)

Si es pacta un interès compost anual del 10% capitalitzable anualment (1 any = 365dies), quina quantitat hi haurà acumulada el 31 d'agost de 1996?


3.5. El règim financer de descompte racional compost

D’altra banda, recordem que en una operació financera hi ha dos punts de

vista:

• el del prestador del diner (operació de capitalització); i

• el de qui agafa el diner (operació de descompte).

Doncs bé, hi ha una correspondència que ja coneixem i que ara ens fa falta:

• l’RF (règim financer) d'interès vençut s'associa amb l’RF de descompte

racional; i

• l’RF d'interès anticipat s'associa amb l’RF de descompte comercial.

Descompte compost - descompte comercial

I quan es fa servir rep el nom de "descompte compost", cosa que no deixa de ser unaambigüitat, perquè podria tractar-se del racional en lloc del comercial. De fet, avuimolts autors ni tan sols tenen present que el "descompte compost" sigui en realitat el"descompte comercial compost". La distinció s'ha anat perdent i el que ha quedat ésl’expressió ambigua, fins al punt que hi ha algun autor que nega la precisió i les asso-ciacions que hem esmentat. La podem trobar en algun text vell i oblidat, però enaquest punt es més precís que altres textos moderns; recordo, per exemple, una obradel doctor J. Prats Aymerich,Comptabilitat Comercial (Bilbao, Madrid, Barcelona: EspasaCalpe, 1904, pàg. 95- 98).

Aquestes associacions son vàlides tant per als règims simples com per als

compostos; per tant, l’RF d'interès compost vençut, a un tipus constant,

s'associa amb l’RF de descompte racional compost, a un tipus constant.

Això vol dir que per a actualitzar en aquest règim de descompte racional

caldrà utilitzar com a esquema de càlcul el que proporciona la fórmula de

l’interès compost que ja coneixem, però ara caldrà trobar C(0) = C partint

de C(n):

Com sabem, "descomptar" o "trobar el valor actual" (o fins i tot

"actualitzar") un capital financer és calcular el valor que té

avui. El càlcul s'ha de fer d'acord amb un esquema que s'ano-

mena règim financer de descompte, que dóna diverses possibili-

tats, segons sigui el mercat financer en el qual es realitza l’ope-

ració; així, hi ha els descomptes simples (dels quals hem vist el

comercial o bancari i el racional o matemàtic) i els descomptes

compostos.


Per tant, l'exercici proposat referit a l’esportista Fermín Cacho no era més

que un exercici de descompte racional compost.

En la pràctica del mercat i en la teoria, en moltes ocasions no es fa

l’al·lusió a l’adjectiu racional; es parla solament d’RF d'interès compost,

tant si es tracta d’una operació de capitalització com si és de descompte.

De vegades, sí que es parla de "tipus de descompte" i de "descomptar" refe-

rint-se al racional, ja que l’RF de descompte comercial compost es fa ser-

vir poc.

Creiem que si es medita una mica sobre el que hem dit es comprendrà la

idea fonamental que se’n desprèn i que, referida al que ara ens interessa

més, és la idea que no hi ha cap dificultat de càlcul ja que amb el que hem

après i practicant i estudiant l'interès compost n’hi ha prou.

3.6. Tipus d'interès equivalents

Un punt que no hem vist fins ara i que pot ser que algun lector hagi asse-

nyalat quan ha resolt els exercicis 7.15 b) i 7.16 b) és el següent: si per

exemple una operació es pacta a un interès capitalitzable mensualment,

quin serà el tipus capitalitzable semestralment (o trimestralment, o semes-

tralment, etc.) d'una operació equivalent, és a dir, que al final obtingui la

mateixa quantitat?

La resolució dels exercicis esmentats ens ha ensenyat a trobar el valor del

tipus d'interès efectiu anual que correspon a un tipus efectiu associat a una

altra periodicitat. Això vol dir que si simbolitzem amb I(m) l'interès efectiu

de periodicitat p = 1/m, sabem calcular:

I1 segons Im Þ 1

i inversament. Per tant, podem trobar

Im'Þ1 segons ImÞ1 amb m Þ m'

CnC0 = C = = Cn . (1 + I)-n

(1 + I)n


perquè sabem fer el següent:

ImÞ1 Ñ I1 Ñ Im'Þ1

El problema es pot enunciar així:

“Si una quantitat de diners C es col·loca durant n períodes a un RF d'interès

compost al preu Im, m Þ 1, quan valdrà I1?”

Tenim que:

D’altra banda, n períodes són n/m anys (per exemple, si m = 2, aleshores 15

semestres seran 15/2 = 7,5 anys); en conseqüència, podrem escriure que

Cn/m anys = C · (1 + I1)n/m

i com que perquè siguin equivalents les dues operacions cal que els dos pri-

mers membres de les igualtats anteriors siguin d’igual valor, tindrem que

si igualem els dos segons membres i cancel·lem les C resulta:

(1 + Im)n = (1 + I1)n/m

i per una propietat coneguda:

(1 + Im)m = 1 + I1

Ara ja podem relacionar directament Im amb Im', ja que d'acord amb el que

hem dit, haurà de succeir que:

(1 + Im)m = (1 + Im')m'

la qual cosa resol el problema.

Exemple 7.14. Si I4 = 0,025, quan valdrà I3?

7.14. Solució: tindrem que:

(1 + I4)4 = (1 + I3)

3

C(n períodes d’extensió p) = C · (1 + Im)n

Nota

Veurem que és possibleprescindir del "peatge" I1 irelacionar directament Imamb Im'. Per a aconseguir-ho,posem una mica d'atenció a la manera en quèobtenim I1.

Exemple

Calculem I1 a partir de I4 == 0,03.Tindrem que:(1,03)4 = 1 + I1o sigui, I1 = 0,125509.


és a dir,

(1,025)4 = (1 + I3)3

igualtat de la qual resulta que I3 = 0,03347 = 3,347%

Sempre que els tipus d'interès implicats corresponguin a operacions finan-

ceres equivalents, se’ls qualifica de la mateixa manera. I això passa encara

que es tracti d’un tipus d'interès nominal o fins i tot d’un tipus d'interès o

de descompte, tant si són simples com compostos. Referint-nos a l’RF d'in-

terès compost, tenim que, si simbolitzem amb i(m) el tipus d'interès nomi-

nal capitalitzable, s'estableixen les relacions següents:

Exemple 7.15. Si i2 = 10%, quan valdrà i3?

7.15. Solució: tindrem que:

• en primer lloc trobem I2

I2 = 0,10 · (1/2) = 0,05

• a continuació, hem de calcular I3

(1 + I2)2 = (1 + I3)

3

(1,05)2 = (1 + I3)3

I3 = 0,03306

• finalment, cerquem i3

i3 = 0,03306 · 3 = 0,09918 = 9,918%

relació no directaim im'

Im = im · p Im = im' · p

I(m) Im'

(1 + Im)m = (1 + Im')m'

Aquest diagrama…

... resumeix les maneresd'obtenir tipus d'interèsequivalents en RF d'interèscompost (recordeu que abans us hem ensenyat acalcular un tipus efectiu apartir del nominalcorresponent).


Resum

Les idees fonamentals d’aquest mòdul són les de capital financer, operació

financera –que porta a la d’equivalència financera– i règim financer.

Una vegada treballats aquests conceptes, hem vist el règim financer

d’interès simple, un dels més importants a la pràctica, n’hem après el sig-

nificat, les fórmules que el representen i la seva utilització.

A continuació, hem pogut parlar de nombres comercials i de divisor fix i

després, més endavant, hem pogut estudiar els comptes corrents a la vista.

El punt següent ens ha dut a entendre què volen dir –amb una certa pre-

cisió– la paraula rendibilitat i l’expressió cost financer. Després els hem après

a calcular quan es tracta d’operacions financeres a curt termini.

Però l’interès simple no és l’únic règim financer simple, és per això que

hem estudiat el descompte racional –que ens ha permès entendre les lletres

del tresor– i el descompte comercial o bancari –que ens ha permès enten-

dre les lletres de canvi.

L’últim bloc de contiguts treballats es centra en el règim financer d’interès

compost. Després de fer una breu ressenya històrica, hem vist el tipus

d’interès compost i com es poden calcular els interessos.

També s’ha exposat el què són els tipus d’interès nominal i efectiu i, com

en el bloc anterior, s’ha tractat el descompte racional, però, en aquest cas,

compost. Per acabar hem vist els tipus d’interès equivalents.


Exercicis d’autoavaluació

1. El 12 de juny es col·loquen 200 000 ptes. a interès simple del 5% i el 25 de juliol, en unaltre compte, retribuït al 6%, s’hi posen 300 000 ptes. Sabent que:

a) la base de càlcul és de 365 dies per any i es compten tots els dies de col·locació, a ex-cepció del primer,b) tots dos comptes es tanquen en una mateixa data,c) a la data de tancament, l’inversor reintegra un total, inclosos interessos, de 514 000ptes.,

es demana que trobeu l’esmentada data de tancament.

2. Un pagaré de venciment al cap de 182 dies es va comprar al 10% de descompte racionalsimple (base de càlcul: 365 dies per any) i 91 dies més tard es va vendre al 10% de des-compte comercial simple. Calculeu:

a) el preu d’adquisició; b) el preu de venda; c) la rendibilitat aproximada de l’operació per al primer comprador, suposant que no hihagués despeses de cap mena.

3. Quan un banc abona interessos li convé que la base de càlcul sigui de 360 o de 365 diesper any? I, quan descompta, li convé que la base de càlcul sigui de 360 o de 365 dies per any?

4. Expresseu el 12% anual d’interès simple de manera mensual, trimestral i semestral.Com es diu que són entre si tots aquests tipus d’interès?

5. En data d’avui, 7 de gener, una empresa presenta al seu banc un total de 13 lletres decanvi, cada una de 100 000 ptes. de nominal i venciments els dies 7 de febrer, març i abril.Sabent que:

a) el tipus de descompte és del 14%;b) la comissió de cobrament és del 0,40%;c) altres despeses que el banc carrega a l’empresa pugen a 525 ptes.;

calculeu:a) el venciment mitjà; b) el valor del descompte comercial; c) la quantitat abonada al client; d) el cost financer que suporta l’empresa.

6. L’empresa BON DIA porta al banc BON MATÍ una lletra de canvi de nominal 500 000ptes. i venciment al cap de 90 dies. Si el descompte és del 13% i la comissió de cobrament,del 0,40%, es demana: a) l’IAJD; b) l’efectiu; c) el cost financer que suporta BON DIA; d) larendibilitat que treu BON MATÍ si considera que cada lletra descomptada li comporta unscostos de 500 ptes. de mitjana.

7. Un banc vol que la inversió realitzada en un descompte comercial de lletres a 90 dies lidoni una rendibilitat del 12%. Es demana a) trobar el tipus de descompte que hauria d’apli-car; b) comparar el 12% d’interès amb el tipus de descompte que surti i comentar la lògicadel resultat.

8. Se sap que una lletra de canvi:a) venç al cap de 60 dies;b) el descompte comercial ha estat de 1 500 ptes.;c) la diferència entre aquest descompte i el racional (suposant que el tipus de des-compte racional i el de descompte comercial siguin iguals) val 10 ptes.;

es demana:a) quin descompte és més alt, el comercial o el racional?; per què?;b) trobeu el nominal de la lletra i el tipus de descompte aplicat.

9. Avui, l’empresa AIGUA I VI té pendents de pagament les tres lletres següents a un ma-teix creditor: 100 000 ptes. d’aquí a 30 dies; 200 000 ptes. d’aquí a 61 dies; i 250 000 ptes.d’aquí a 91 dies. AIGUA I VI acorda amb el seu creditor de substituir-les per un pagamentde 150 000 ptes. avui i de 390 000 ptes. en la data que correspongui. Les altres condicionsdel pacte són:

a) utilització del règim financer de descompte racional simple al 12%;b) base de càlcul: 365 dies per any;c) a la data d’avui hi ha d’haver equivalència financera entre les tres lletres inicials iaquelles que les substitueixen.

Calculeu el venciment de la lletra de 390 000 ptes.


10. Agafeu la vostra llibreta d’estalvi habitual i feu el següent:a) utilitzeu un full de càlcul (per exemple Excel) i disposeu-lo de manera que puguiportar un compte corrent pel mètode hamburguès escalar (vegeu al text les columnesque això exigeix);b) transcriviu al full de càlcul els moviments que hi hagi a la llibreta entre dues datesconsecutives d’abonament d’interessos;c) feu els còmputs necessaris seguint les instruccions que us hem explicat en el text icomproveu la correcció de les xifres que hi ha a la llibreta referents a liquidacions i in-teressos;d) si hi ha alguna cosa que “no quadra” haureu de repassar-ho tot molt bé; si conti-nua el problema, aleshores consulteu-ho amb el vostre tutor; i, si la dificultat encarasubsisteix, haureu d’anar a l’entitat financera...

11. Es vol fer una imposició d’1 milió de pessetes durant:a) 15 diesb) 1 mesc) més d’1 mes

Hi ha dos possibles pactes: règim financer d’interès simple vençut del 12% anual, i règimfinancer d’interès compost vençut del 12% anual i pagament mensual d’interessos. Quin ésel més convenient?

12. En data 20 de desembre, una persona comprova que ha de fer els pagaments esmentatstot seguit durant el primer trimestre de l’any següent:

(100.000; 15.01) (200.000; 31.03)

Es posa d’acord amb el seu creditor per a fer un únic pagament de:a) 298.000 ptes.b) 300.000 ptes.c) 305.000 ptes.

Quina és la data d’aquest pagament si el pacte s’ha fet segons un règim financer d’interèscompost vençut de tipus I1 = 10%?

13. Es pacta una operació d’inversió de 2 milions de pessetes des del 25.01 fins al 25.07,segons un règim d’interès vençut de tipus I1 = 12%. Si el comptatge de dies es fa considerantla totalitat de dies del calendari excepte el primer dia i si admetem d’altra banda que 1 any =360 dies (sistema de còmput "calendari/360"), calculeu el valor de la inversió al final del perí-ode de col·locació.

14. Se sap que i12 = 9,75%; trobeu els tipus d’interès compost equivalents següents;a) I12

b) I1

c) i3

15. Una persona sol·licita un préstec de 200.000 pessetes, que tornarà d’una sola vegada con-juntament amb el pagament dels interessos dintre de 8 mesos. L’operació es pacta al tipus i12 = 12% i l’única despesa a càrrec de la persona a la qual s’ha fet el finançament consisteixen el pagament de 1.000 pessetes en el moment del cobrament de la quantitat lliurada pelprestador. Trobeu el cost financer anualitzat de l’operació.


Solucionari

Exercicis

7.1.

i = 2,2% bimestral = 2,2 ? 6 = 13,2% anual.

7.2. Si C = import inicialment col·locat

7.3. Les dues parts són:

(C) (1 000 000 – C)

per tant,

Y = C ? 0,10 ? 181 / 360 + (1 000 000 – C) ? 0,10 ? 181 / 365

Operant adequadament, tenim:

Y = 0,0006887 ? C + 49.589,04

7.4.

10/6 10/11 10/1—————————————————————

150 000 ptes.

a) t = 7 mesos = 7 / 12 anysd = 1% mensual = 12% anual (tipus de descompte anual equivalent)

Tindrem que:

150 000Efectiu racional = Er = ———————— = 140 187 ptes.

1 + 0,12 ? (7 / 12)

Observeu que el denominador també es pot escriure utilitzant el tipus de descompte men-sual i el temps expressat en mesos: 1 + 0,01 ? 7 = 1,07. Això mostra l’equivalència entre elsdos tipus de descompte.

b) El nou efectiu valdrà:

150 000Er = ————————— = 145 631 ptes.

1 + 0,12 ? (3 / 12)

7.5.

a)?—————————————————10/11 10/1

150 000

Y

base 360

( )

C

0 08 92

⋅

360

⁄,

= =

Y

base 365

( )

C

0 08 92

⋅

365

⁄,

= =

( )

restant 100

C

0 08 92

⋅

1360

----------

1365

----------–

,

=-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

C 357.065 22 ptes. , =

Y 222.222 0 ⋅ 132 263366

---------- ⋅, 21.078 30 ptes. , = =

222 222—————————————————25/1 14/10

263 dies

181 dies

⟨ ⟨


150 000E = ————————— = 145 985 ptes.

1 + 0,11 ? (3 / 12)

b)

Com ja sabem, el cost financer es calcula de la mateixa manera que la rendibilitat:

R = 0,0987 Ñ 9,87%

c) Atès que la rendibilitat i el cost financers es calculen utilitzant la mateixa tècnica, i queel prestador no té cap altra despesa que el capital inicialment cedit, resulta que la rendibili-tat també serà del 9,87%.

7.6. Observem que la fórmula indicada a la publicitat,

nominal · 365E = ————————

365 + (n · I)

es pot escriure d’una altra manera, designant el nominal per N i dividint els dos termes dela fracció per 365:

NE = —————

n1 + I ? ——

365

Aquesta expressió és la de l’efectiu racional simple que ja hem estudiat (vegeu l’apartat dedicatal descompte racional), però els símbols del tipus d’interès i dels dies aquí són diferents.

7.7.

a) 915 980 ptes.———————————————————27/8/93 26/8/94

911 980 + 88 020 == 1 000 000

A la publicitat, el tresor, per a mesurar la rendibilitat de l’inversor, ha continuat utilitzantel criteri de càlcul sobre la base de 360 dies per any, que solament val per a establir el tipusd’interès (o de descompte racional) i no és el que cal emprar per a determinar la rendibilitat.Com que la diferència és petita, l’aproximació no té conseqüències importants a l’hora deprendre la decisió.

Així, doncs, sols coincidim amb el tresor en:

1) la rendibilitat total = 88 020 ptes.2) rendibilitat efectiva = 88 020 / 911 980 = 9,6515%

b) Ara el diagrama serà:

915 980————————————————0 364 dies

1 000 000

per tant,

R = 9,20%

1.000.000 915.980 1 R 364365

---------- ⋅ + =

145.985 140.187 1 R 153365

---------- ⋅ + =

140 187 ptes.———————————————————10/6 10/11

145 985 ptes.

153 dies


7.8.

985 000 ptes.————————————————0 75 dies

920 000

R = 13,594%

7.9.

a)0 1 2 3 ??? 11 12 mesos

250 250 250 ... 250 250 milers ptes.

1) Efectiu procedent del descompte comercial == suma dels efectius corresponents a les 12 lletres == 250 000 (1 – 0,14 ? 1 / 12) +

+ 250 000 (1 – 0,14 ? 2 / 12) + ...

... + 250 000 (1 – 0,14 ? 12 / 12)—————————————————————= 2 772 500 ptes.

2) Despeses:IAJD (vegeu quadre en el text) = 700 ? 12 = 8 400 ptes.Comissió = 0,40% sobre el nominal total = 0,40% ? 250 000 ? 12 = 12 000 ptes.

3) Deducció total sobre el nominal conjunt = 8 400 + 12 000 = 20 400 ptes.

4) Efectiu realment abonat al compte = 2 772 500 – 20 400 =2 752 100 ptes.

b) Aquí ens trobem amb un problema, ja que en el text dèiem que no estudiaríem el càlculdel cost financer i de la rendibilitat perquè exigia “més teoria”. Això, naturalment, tambéés veritat aquí, però hi ha una solució aproximada, la teoria de la qual és senzilla i instruc-tiva. Es tracta d’utilitzar la fórmula del venciment mitjà, que trobarem a l’exercici 7.11; pertant, deixem la qüestió pendent fins a conèixer l’esmentada fórmula.

7.10.

2 522 500———————————————0 t dies

3 M ptes.

t2 772 500 = 3 000 000 (1 – 0,14 ? ——)360

t = 195 dies

(Aquest valor s’ha trobat suposant implícitament que comptem els mesos com si tots tin-guessin 30 dies.)

7.11.

0 t1 t2 t3 ??? tn anysN1 N2 N3 ??? Nn ptes.

es substitueix per:

0 tn anysN ptes.

Necessàriament s’ha de complir que, fent els càlculs referits a la data 0:efectiu total del conjunt inicial de lletres = efectiu de la lletra única,o sigui (representant el tipus de descompte comercial per d):

N1 (1 – d t1) + N2 (1 – d t2) + ... + Nn (1 – d tn) = N (1 – d t)

és a dir:

920.000 895.000 1 R 75365

---------- ⋅ + =


n

S Nj (1 – d tj) = N (1 – d t)j = 1

D’aquesta equació es desprèn que, en cas de conèixer tots els nominals i els venciments deles lletres inicials, el primer membre donarà un valor concret, fàcilment calculable. Ara bé,al segon membre hi ha dues incògnites: N i t; per tant, el problema sols té solució quan espacti el valor d’una de les dues magnituds. Habitualment s’acorda el nominal de la lletraúnica i llavors ja no presenta cap dificultat trobar el venciment. Aquest venciment s’ano-mena venciment comú de pagaments.

7.12. Ara tindrem que:

n

S Nj = Nj = 1

per tant, treballant com a l’exercici 10, resultarà que:

n n

N – N dt = S Nj (1 – dtj) = S (Nj – Njdtj) =j = 1 j = 1

n n

= S Nj – d S Nj tjj = 1 j = 1

i, com que el nominal de la lletra única ha de ser igual a la suma dels nominals de les lle-tres inicials, aleshores, simplificant, canviant signes, dividint-ho tot pel tipus de descompte(d) i aïllant t, podem escriure:

n

S Njtjj = 1

t = ————N

Si observem aquesta fórmula, veurem que és una mitjana aritmètica dels venciments (tj)ponderats pels nominals (Nj); per això s’anomena fórmula del venciment mitjà.

7.13. Ja sabem el que són les lletres persiana; un exemple és el conjunt de lletres de l’exer-cici 7.8. Aquí tenim que:

N1 = N2 = ... = Nn = N *

per tant, N = n ? N * ? i

Snj = 1 Njtj N *?S

nj = 1 tj S

nj = 1 tj

t = ———— = ————— = ———N n ? N* n

Però, tj = 0, 1, 2..., n, o sigui,

nS t j = 1 + 2 ... + n = (suma dels termes d’una progressió aritmètica, que

j = 1

és igual a la semisuma del primer terme més l’últim, multiplicant el resultat pel nom-

bre de termes):

= n (n + 1) / 2

És a dir: el venciment mitjà val (n + 1) / 2.

(En l’exercici anterior, 13 / 2 = 6,5 mesos = 6,5 ? 30 = 195 dies.)

Aquesta gran simplificació permet calcular fàcilment el cost financer aproximat d’un con-junt de lletres persiana: és suficient convertir el conjunt de lletres en una de sola que siguifinancerament equivalent a les anteriors. I la manera de fer-ho és utilitzar una lletra de no-minal N (igual a la suma de nominals) i un venciment t igual al venciment mitjà.

Així, és senzill trobar el cost financer, perquè ho podem fer segons el camí que hem practi-cat en aquest mòdul, és a dir, aplicant la fórmula:

N = E (1 + Rt)

en què N és el nominal total i E, l’efectiu total.


7.14.

C———————————0 1 2 x semestres

3C

3C = C · (1 + 0,075 . 1/2)x Ñ (1,02875)x = 3x = (ln 3) / (ln 1,02875) = 38,76 semestres

7.15.i(4) = 0,07 Ñ I(4) = 0,07 . 1/4 = 0,0175

compte principal

1 M—————————————————0 1 2 3 4 5 6 7 8 trimestres

Y Y Y Y Y Y Y Y1 M

compte en què s’abonen els interessos

—————————————————0 1 2 3 4 5 6 7 8 trimestres

Y Y Y Y Y Y Y Y

Y = 1.000.000 · 0,0175 · 1 = 17.500 ptes.

Els interessos Y seran sempre els mateixos perquè en el compte principal mai no hi haurà capaltra quantitat que el milió de pessetes inicial.

Observeu el que passa en el diagrama cartesià següent:

a) Al final dels 2 anys es disposarà de la suma dels saldos del compte principal i del compteen què s’ingressen els interessos:

– saldo del compte principal = 1.000.000 ptes.– saldo del compte al qual s’ingressen els interessos:

Totes les Y hauran de capitalitzar-se fins al moment 8. Això vol dir que cada Y cal "traslladar-la financerament" des del moment en què s’abona fins a l’esmentat moment 8. El càlcul és unxic laboriós, però molt entenedor:

—————————————————0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y → Y’(1)

—————————————————0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y → Y’(2)

—————————————————0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y → Y’(3)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 trimestres

1 MY

quantitats


—————————————————0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y → Y’(4)

—————————————————0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y → Y’(5)

—————————————————0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y → Y’(6)

—————————————————0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y → Y’(7)

—————————————————0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y = Y’(8)

Els valors dels Y’ es troben fàcilment, ja que constitueixen un seguit de problemes senzills queexigeixen únicament aplicar la fórmula de l’interès compost.

Y’(1) = 17.500 · (1,0175)7 = 9.759,64Y’(2) = 17.500 · (1,0175)6 = 19.419,79Y’(3) = 17.500 · (1,0175)5 = 19.085,79Y’(4) = 17.500 · (1,0175)4 = 18.757,54Y’(5) = 17.500 · (1.0175)3 = 18.434,92Y’(6) = 17.500 · (1.0175)2 = 18.117,86Y’(7) = 17.500 · (1.0175) = 17.806,25Y’(8) = Y(8) = ................... = 17.500

148.881,80

És a dir, hem treballat d’acord amb el diagrama conjunt:

0 1 2 3 4 5 6 7 8Y Y Y Y Y Y Y Y = 17.500

= 17.806,25

= 18.117,86

= 18.434,92

= 18.757,54

= 19.085,79

= 19.419,79

= 19.759,64

- Per tant, en acabar els 2 anys es disposarà de:

1.000.000 + 148.881,80 = 1.148.881,80 ptes.

Aquest càlcul tan laboriós té l’avantatge didàctic de fer comprendre perfectament el que és la"capitalització en quantitat" (perdoneu-me!, això no és precisament una locució tècnica).Naturalment hi ha un altre procediment, més sintètic, que veurem a l’assignatura de matemà-tica financera en parlar de rendes.

b) Tindrem:

100.000———————————

0 2 anys

I1 1.148.881,80

1.148.881,80 = 1.000.000 · (1 + I1)2

I1 = 7,1859% Ñ i1 = 7,1859%


Sí, perquè d’una manera general a les operacions financeres, per conveni, la rendibilitat s’hau-ria sempre de mesurar fent servir l'interès compost vençut i constant. Recordeu que abanshem utilitzat una aproximació molt usada a la pràctica per a calcular la rendibilitat de les ope-racions financeres a curt termini: l’interès simple vençut.

7.16.

a) 3 M0 12 24 36 mesosi12 = 8% i12 = 8,25% i12 = 8,50%

C12 = 3.000.000 · (0,08 · 1/12)12 = 3.248.998,52C24 = C12 · (1 + 0,0825 · 1/12)12 = 3.527.412,15C36 = C24 · (1 + 0,0850 · 1/12)12 = 3.839.203,30

b) 3 M0 3 anys

I1 3.839.203,30

3.839.203,30 = 3.000.000 · (1 + I1)3

I(1) = 8,5692% Ñ i1 = 8,5692%

7.17.

a) C0 6 mesos

i12 = 10% (compost) C’

C’ = C · (1 + 0,10 · 1/12)6

b) C0 6 mesos

i12 = 10% (simple) C’’

C’’ = C · (1 + 0,12 · 6/12)

O sigui, convé més la segona alternativa perquè

C’ = 1,05105 · CC´´ > C´

C’’= 1,06000 · C

7.18.

C0 5 anys

I1 C5

C0 5 anys

2. I1 C’5 = 2 · C5

C5 = C · (1 + I1)5

C’5 = 2 · C5 = C · (1 + 2 · I1)5

Dividint membre a membre ambdues igualtats, fent I1 = x, i simplificant, tindrem

1 + 2x 5 1 + 2x——— = 2 ——— = 21/5 = 1,14871 + x 1 + x

per tant,x = 0,17467 ------> I1 = 17,467%


7.19.

C24 50 anys

I1 = 6% 100 M PTA

C = 100.000.000 · (1,06)26 = 24.697.854,80 ptes.

7.20.i365 = ?I365 = 0,0328767%

D’acord amb l’esquema que relaciona els tipus d’interès equivalents en règim financerd’interès compost, escriurem:

i365 = I365 · 365 = 12%

o sigui, representa un interès anual del 12% amb abonaments diaris (també es pot dir, comsabeu, capitalitzable o convertible diàriament).

7.21.

3,5 M0 x anys = 2z semestres

I2 = 3,8% 5,3 M PTA

5.300.000 = 3.500.000 · (1,038)2x

(1,038)x = 1,23056

x = (ln 1,23056) /(ln 1,038) = 5,56 anys

7.22.

C

0 4 anys = 12 quadrimestres

I3 = x C + 25% C = 1,25 C

1,25 C = C · (1 + x)12 Ñ X = 0,01877

i3 = 0,01877 Ñ I3 = i3 · 3 = 5,631%

7.23.I1 = 0,10

100 250 75 175 milers de pessetes

15.01 27.02 12.04 21.05 31.08

102 dies

141 dies185 dies

228 dies

Cal comptar financerament cada una de les quantitats, des de la data de col·locació fins al31.08 (observa el diagrama):

100.000 · (1,10)228/365 = 106.134,43250.000 · (1,10)185/365 = 262.373,4575.000 · (1,10)141/365 = 77.812,84

175.000 · (1,10)102/365 = 179.723,69

626.044,41 ptes.

Exercicis d’autoavaluació

1. Total al cap de t dies = 514 000 = (200 000 + interessos) + (300 000 + interessos) =

t t9= 200 000 (1 + 0,05 ? —— + 300 000 (1 + 0,06 ? ——)

365 365


i com que:

t9 = t – (dies que van del 12 de juny al 25 de juliol) == t – 43

hauríem de resoldre l’equació corresponent, que dónat = 210 dies

2.a) X

————————————————0 182 dies

N

NX = ————————— = 0,9525 ? N

1 + 0,10 ? 182 / 365

b) Z—————————————————0 91 182 dies

N

Z = N (1 – 0,10 ? 91 / 360) = 0,9747 ? N

c) 0,9525 N—————————————————0 91 dies

0,9747 N

0,9747 N = 0,9525 N (1 + R ? 91 / 365)R = 9,348%

3.a) Interessos simples = Y = Cit, però t anys = dies / 360 o bé dies / 365

Com que la segona fracció és més petita que la primera, això vol dir que al banc li convémés utilitzar la base de càlcul de 365 dies.

b) Referent al descompte, tenim:* Descompte racional = (efectiu) ? (tipus desc.) ? temps* Descompte comercial = (nominal) ? (tipus desc.) ? temps

Per tant, al banc li convé més utilitzar el descompte comercial i la base de 360.

4. Els tipus d’interès equivalents (així s’anomenen) al que s’ha donat són els següents (re-cordeu que en el règim financer d’interès simple val la proporcionalitat):

mensual trimestral semestral anual

12% / 12 = 12% / 4 = 12% / 2 = 12%= 1% = 3% = 6%

5.

a)7/1 7/2 7/3 ??? ??? 7/12 7/1 7/2

0 1 2 ??? 11 12 13 mesos100 100 ??? 100 100 100 milers ptes.

Es tracta d’un conjunt de lletres persiana; per tant, d’acord amb la fórmula del vencimentmitjà, tindrem que:

13 + 1t = ——— = 7 mesos

2

b) El descompte comercial total per al conjunt de lletres es pot trobar treballant sobre unahipotètica lletra única que les substituís, el nominal de la qual fos de 13 ? 100 000 ptes. =1 300 000 ptes., i el venciment fos de 7 mesos. Això passa perquè el conjunt de lletres ini-cials i la lletra hipotètica són financerament equivalents (és a dir, des del punt de vista finan-cer –i només des d’aquest punt de vista– es comporten igual). Per tant,


E––––––—————————————————0 7 mesos

1 300 000 ptes.

E = 1 300 000 (1 – 0,14 ? 7 / 12) = 1 193 833 ptes.

Descompte comercial = 1 300 000 – 1 193 833 = 106 167 ptes.

(Aquest valor és també –ho podeu comprovar– el resultat de calcular directament el des-compte comercial sobre la lletra hipotètica, aplicant la fórmula corresponent).

c) Despeses totals (a més del descompte):* Comissió = 0,40 ? 1 300 000 = 5 200 ptes.* Altres despeses (telèfon, fax, correu...) = 525 ptes.

o sigui, unes despeses de 5 725 ptes., cosa que donarà un efectiu realment abonatd’1 193 833 – 5 725 = 1 188 108 ptes.

d) El cost financer és fàcil de trobar gràcies al recurs de reunir totes les lletres en una de solaque sigui equivalent (observem que hem fet, així, una suma financera treballant en règim dedescompte comercial simple):

1 300 000 = 1 188 108 (1 + R ? 212 / 365)R = 16,21%

6.a) IAJD (vegeu el quadre corresponent) = 1 400 ptes.b)* efectiu comercial = 500 000 (1 – 0,13 ? 90 / 360) = 483 750 ptes.* despeses:

1) comissió = 0,40% ? 500 000 = 2 000 ptes.2) IAJD = 1 400 ptes.

* efectiu real = 483 750 – 3 400 = 480 350 ptes.c)

480 350—————————————————————————0 90 dies

500 000 ptes.500 000 = 480 350 (1 + R ? 90 / 365) R = 16,59%

d) El banc tindrà com a despeses i ingressos propis (sense comptar, per tant, impostos decap mena, és a dir, sense considerar ni l’impost de societat ni l’IAJD):

1) despeses: (500, 0) i (483 750, 0)

2) ingressos: (2 000, 0) i (500 000, 90)

500 ptes.483 750 ptes.——————————————————————0 90 dies 2 000 ptes. 500 000 ptes.

o sigui, fent la liquidació corresponent en instant 0, resultarà:

482 500 ptes.——————————————————————0 90 dies

500 000 ptes.

500 000 = 482 250 (1 + R9 ? 90 / 365)

R9= 14,93%

1 188 108 ptes.———————————————–––7/1 7/8

0 7 mesos

1 300 000 ptes.

212 dies


7.

a) E————————————————0 90 dies

N

* punt de vista del client:E = N (1 – d ? 90 / 360)

* punt de vista del banc com a inversor:N = E (1 + i ? 90 / 365) = 1,02959 ? E

Per tant, introduint aquesta relació a la primera, resultarà, després de simplificar les E:

1 = 1,02959 (1 – d / 4) → d = 11,50%

b) És natural que el tipus de descompte comercial sigui més baix que el d’interès, ja queaquest últim s’ha d’aplicar sobre E, mentre que aquell s’ha d’aplicar sobre N.

8.a) Lògicament, per a uns mateixos nominal, venciment, base de càlcul i tipus, el des-compte racional és més baix que el descompte comercial, perquè aquest últim s’aplica so-bre el nominal, no sobre l’efectiu (com fa el tipus de descompte racional).

b) Un procediment per a resoldre la qüestió és el següent:

Dc – Dr = Ndt – Er dt = (N – Er) dt = Dr dt

per tant, si fem una substitució, tindrem:

10 = 1 490 ? d ? 60 / 360 Ñ d = 4,027%

Ara el nominal ja és fàcil de trobar; per exemple, emprant la fórmula del descompte comercial:

1 500 = N ? 0,04027 ? 60 / 360N = 223 491 ptes.

9. Els diagrames que ens ajudaran a resoldre el problema són:

0 30 61 91 dies100 200 250 milers ptes.

0 t dies150 390 milers ptes.

D’acord amb el que hem dit sobre l’equivalència financera, tindrem que:

150 000 + valor actual de les 390 000 ptes. == suma dels valors actuals dels tres capitals financers.

Això ens porta a una senzilla equació:

390 000150 000 + ————————— =

1 + 0,12 ? t / 365

100 000 200 000= ————————— + ————————— +

1 + 0,12 ? 30 / 365 1 + 0,12 ? 61 / 365

250 000+ —————————

1 + 0,12 ? 91 / 365

Operant normalment, obtenim: t = 17 dies.

10. Les característiques de l’enunciat fan que no puguem donar la resolució de l’exercici.Llegiu atentament l’apartat dels comptes corrents i, en especial, la solució de l’exemple queallí es dóna.


11. Aplicant les fórmules habituals, obtindrem els resultats següents:

Règim financer d’interès simplea) (15 dies) 1.005.000 ptes.b) (1 mes) 1.010.000 ptes.c) (x mesos; x > 1) 1.000.000 · ( 1 + 0,12 x )x

Règim financer d’interès composta) (15 dies) 1.004.987,56 ptes.b) (1 mes) 1.010.000 ptes.c) (x mesos; x > 1) 1.000.000 · (1,01)

Per a x > 1, la quantitat acumulada amb interès compost és superior a l’acumulada ambinterès simple; per tant:

– Menys dún mes (és a dir, menys temps que el període de capitalització de l’interèscompost). Resulta preferible fer les col·locacions a interès simple.– Un mes (és a dir, el mateix temps que l’esmentat període de capitalització). L’un ol’altre règim financer són indiferents.– Més d’un mes (és a dir, un temps major que lésmentat període de capitalització).Resulta preferible invertir a un interès compost.

Aquestes conclusions tenen caràcter general i es poden visualitzar utilitzant un programa degràfics en l’ordinador.

12. La clau per a la resolució consisteix en els punts de raonament següents:– Es tracta d’una operació financera, és a dir, d’una operació d’intercanvi de diners en eltemps.– Tot intercanvi econòmic representa una equivalència entre el conjunt de béns econò-mics que entrega cada part de l’operació. Per tant, hi ha d’haver equivalència financeraentre els dos capitals financers d’entrega futura i el capital financer substituent.– Cal entendre aquesta equivalència d’acord amb els preus de mercat, és a dir, d’acordamb el tipus d’interès vigent en el moment del pacte.– Per tant, tindrem que el valor actual total dels dos capitals financers originals ha de serigual al valor actual del capital financer únic.

Si traslladem tot això al terreny concret de la quantificació, podem escriure per al cas a):valor actual de (100.000; 15.01)+valor actual de (200.000; 31.03)=valor actual de (298.000; ?)o sigui, suposant que considerem els anys de 365 dies:

20.12 15.01 ? 31.030 26 x 75

100.000 (1,10)-26/365 + 200.000 (1,10)-75/365 = 200.000 (1,10)-x/365

Per tant, x = 33 dies.

Per als casos b) i c) es procedeix de manera exactament igual.

13. Entre el 25.01 i el 25.97 hi ha 181 dies; per tant,

C’= 2.000.000 (1,12)181/365

C’= 2.117.267,45 ptes.

14. Haurem d’utilitzar l’esquema següent:

i12 im’

I12 Im’

a) I12 = i12 · 1/12 = 0,8125%

b) (1,008125)12 = 1 + I1 I1 = 10,20%

c) (1,008125)12 = (1 + I3)3 I3 = 3,29%i3 = 3 · 3,29% = 9,87%

Documents

Introducció a la matemàtica financera - UOCxina.uoc.es/prestatgeries/PV02_01020_00021/mcomplement/...impulsar els jocs d’atzar i va ajudar en gran manera al naixement del càl-cul