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Introducción a la estadística de distribuciones
Laboratorio de Mecánica y TermodinámicaCátedra: Prof. Ana Amador
Docentes del Laboratorio
Gustavo Grinblat
Jorge Alliende
Federico Petrovich
Función de distribución y densidad de probabilidad
• Se toma una muestra de tamaño N → 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑁
Función de distribución y densidad de probabilidad
• Se toma una muestra de tamaño N → 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑁𝑥10 𝑥4 𝑥3 𝑥1 𝑥2 𝑥6 𝑥8 𝑥5 𝑥9 𝑥7
N = 10 → 8,08 8,17 8,22 8,26 8,27 8,31 8,33 8,37 8,43 8,51
Función de distribución y densidad de probabilidad
• Se toma una muestra de tamaño N → 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑁𝑥10 𝑥4 𝑥3 𝑥1 𝑥2 𝑥6 𝑥8 𝑥5 𝑥9 𝑥7
N = 10 → 8,08 8,17 8,22 8,26 8,27 8,31 8,33 8,37 8,43 8,51
• Dividimos el intervalo (𝑥𝑚𝑖𝑛, 𝑥𝑚𝑎𝑥) en m sub-intervalos iguales de ancho 𝑎.
Función de distribución y densidad de probabilidad
• Se toma una muestra de tamaño N → 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑁𝑥10 𝑥4 𝑥3 𝑥1 𝑥2 𝑥6 𝑥8 𝑥5 𝑥9 𝑥7
N = 10 → 8,08 8,17 8,22 8,26 8,27 8,31 8,33 8,37 8,43 8,51
m = 5; 𝑎 = 0,1 | | | | | |
𝑥𝑚𝑖𝑛= 8,05 8,15 8,25 8,35 8,45 8,55 = 𝑥𝑚𝑎𝑥
• Dividimos el intervalo (𝑥𝑚𝑖𝑛, 𝑥𝑚𝑎𝑥) en m sub-intervalos iguales de ancho 𝑎.
Función de distribución y densidad de probabilidad
• Se toma una muestra de tamaño N → 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑁𝑥10 𝑥4 𝑥3 𝑥1 𝑥2 𝑥6 𝑥8 𝑥5 𝑥9 𝑥7
N = 10 → 8,08 8,17 8,22 8,26 8,27 8,31 8,33 8,37 8,43 8,51
m = 5; 𝑎 = 0,1 | | | | | |
𝑥𝑚𝑖𝑛= 8,05 8,15 8,25 8,35 8,45 8,55 = 𝑥𝑚𝑎𝑥
• Dividimos el intervalo (𝑥𝑚𝑖𝑛, 𝑥𝑚𝑎𝑥) en m sub-intervalos iguales de ancho 𝑎.
• Denotamos como 𝑛𝑗 al número de elementos contenidos en el j-ésimo intervalo.
Función de distribución y densidad de probabilidad
• Se toma una muestra de tamaño N → 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑁𝑥10 𝑥4 𝑥3 𝑥1 𝑥2 𝑥6 𝑥8 𝑥5 𝑥9 𝑥7
N = 10 → 8,08 8,17 8,22 8,26 8,27 8,31 8,33 8,37 8,43 8,51
m = 5; 𝑎 = 0,1 | | | | | |
𝑥𝑚𝑖𝑛= 8,05 8,15 8,25 8,35 8,45 8,55 = 𝑥𝑚𝑎𝑥
• Dividimos el intervalo (𝑥𝑚𝑖𝑛, 𝑥𝑚𝑎𝑥) en m sub-intervalos iguales de ancho 𝑎.
• Denotamos como 𝑛𝑗 al número de elementos contenidos en el j-ésimo intervalo.
𝑛1 = 1 𝑛2 = 2 𝑛3 = 4 𝑛4 = 2 𝑛5 = 1
Función de distribución y densidad de probabilidad𝑥10 𝑥4 𝑥3 𝑥1 𝑥2 𝑥6 𝑥8 𝑥5 𝑥9 𝑥7
N = 10 → 8,08 8,17 8,22 8,26 8,27 8,31 8,33 8,37 8,43 8,51
m = 5; 𝑎 = 0,1 | | | | | |
𝑥𝑚𝑖𝑛= 8,05 8,15 8,25 8,35 8,45 8,55 = 𝑥𝑚𝑎𝑥
𝑛1 = 1 𝑛2 = 2 𝑛3 = 4 𝑛4 = 2 𝑛5 = 1
Función de distribución y densidad de probabilidad𝑥10 𝑥4 𝑥3 𝑥1 𝑥2 𝑥6 𝑥8 𝑥5 𝑥9 𝑥7
N = 10 → 8,08 8,17 8,22 8,26 8,27 8,31 8,33 8,37 8,43 8,51
m = 5; 𝑎 = 0,1 | | | | | |
𝑥𝑚𝑖𝑛= 8,05 8,15 8,25 8,35 8,45 8,55 = 𝑥𝑚𝑎𝑥
𝑛1 = 1 𝑛2 = 2 𝑛3 = 4 𝑛4 = 2 𝑛5 = 1
• Función de distribución: 𝑓𝑗 =𝑛𝑗
𝑁
Función de distribución y densidad de probabilidad𝑥10 𝑥4 𝑥3 𝑥1 𝑥2 𝑥6 𝑥8 𝑥5 𝑥9 𝑥7
N = 10 → 8,08 8,17 8,22 8,26 8,27 8,31 8,33 8,37 8,43 8,51
m = 5; 𝑎 = 0,1 | | | | | |
𝑥𝑚𝑖𝑛= 8,05 8,15 8,25 8,35 8,45 8,55 = 𝑥𝑚𝑎𝑥
𝑛1 = 1 𝑛2 = 2 𝑛3 = 4 𝑛4 = 2 𝑛5 = 1
• Función de distribución: 𝑓𝑗 =𝑛𝑗
𝑁(σ𝑗=1
𝑚 𝑓𝑗 = 1 → la función está normalizada)
𝑓 se denomina también frecuencia de ocurrencia.
Función de distribución y densidad de probabilidad𝑥10 𝑥4 𝑥3 𝑥1 𝑥2 𝑥6 𝑥8 𝑥5 𝑥9 𝑥7
N = 10 → 8,08 8,17 8,22 8,26 8,27 8,31 8,33 8,37 8,43 8,51
m = 5; 𝑎 = 0,1 | | | | | |
𝑥𝑚𝑖𝑛= 8,05 8,15 8,25 8,35 8,45 8,55 = 𝑥𝑚𝑎𝑥
𝑛1 = 1 𝑛2 = 2 𝑛3 = 4 𝑛4 = 2 𝑛5 = 1
• Función de distribución: 𝑓𝑗 =𝑛𝑗
𝑁(σ𝑗=1
𝑚 𝑓𝑗 = 1 → la función está normalizada)
𝑓 se denomina también frecuencia de ocurrencia.
• Densidad de probabilidad: d𝑗 =𝑓𝑗
𝑎
Elaboración de un histograma
Se grafica 𝑓, 𝑛 ó d vs. 𝑥, utilizando columnas centradas en 𝑥𝑚𝑖𝑛 + 𝑎 𝑗 −1
2
Elaboración de un histograma
Se grafica 𝑓, 𝑛 ó d vs. 𝑥, utilizando columnas centradas en 𝑥𝑚𝑖𝑛 + 𝑎 𝑗 −1
2
8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60
1
2
3
4
n
x
Elaboración de un histograma
Se grafica 𝑓, 𝑛 ó d vs. 𝑥, utilizando columnas centradas en 𝑥𝑚𝑖𝑛 + 𝑎 𝑗 −1
2
8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60
1
2
3
4
n
x
Elaboración de un histograma
Se grafica 𝑓, 𝑛 ó d vs. 𝑥, utilizando columnas centradas en 𝑥𝑚𝑖𝑛 + 𝑎 𝑗 −1
2
8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60
1
2
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n
x
Elaboración de un histograma
Se grafica 𝑓, 𝑛 ó d vs. 𝑥, utilizando columnas centradas en 𝑥𝑚𝑖𝑛 + 𝑎 𝑗 −1
2
8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60
1
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n
x
Elaboración de un histograma
Se grafica 𝑓, 𝑛 ó d vs. 𝑥, utilizando columnas centradas en 𝑥𝑚𝑖𝑛 + 𝑎 𝑗 −1
2
8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60
1
2
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n
x
Elaboración de un histograma
Se grafica 𝑓, 𝑛 ó d vs. 𝑥, utilizando columnas centradas en 𝑥𝑚𝑖𝑛 + 𝑎 𝑗 −1
2
8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60
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n
x
Elaboración de un histograma
Se grafica 𝑓, 𝑛 ó d vs. 𝑥, utilizando columnas centradas en 𝑥𝑚𝑖𝑛 + 𝑎 𝑗 −1
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1
2
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n
x
• Media: Es el valor medio: തx = 𝑥 =1
𝑁σ𝑖=1𝑁 𝑥𝑖
• Moda: Valor de 𝑥 donde está la máxima frecuencia
• Mediana: Valor de 𝑥 que divide a la primera mitad de los valores, de la segunda mitad.
Elaboración de un histograma
Se grafica 𝑓, 𝑛 ó d vs. 𝑥, utilizando columnas centradas en 𝑥𝑚𝑖𝑛 + 𝑎 𝑗 −1
2
8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60
1
2
3
4
n
x
• Varianza: σ𝑥2 =
1
𝑁′σ𝑖=1𝑁 (𝑥𝑖−തx)
2
Elaboración de un histograma
Se grafica 𝑓, 𝑛 ó d vs. 𝑥, utilizando columnas centradas en 𝑥𝑚𝑖𝑛 + 𝑎 𝑗 −1
2
8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60
1
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3
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n
x
• Varianza: σ𝑥2 =
1
𝑁′σ𝑖=1𝑁 (𝑥𝑖−തx)
2
𝑁′ = 𝑁 si se trata de la población total𝑁′ = 𝑁 − 1 si se trata de una muestra de la población
Elaboración de un histograma
Se grafica 𝑓, 𝑛 ó d vs. 𝑥, utilizando columnas centradas en 𝑥𝑚𝑖𝑛 + 𝑎 𝑗 −1
2
8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60
1
2
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n
x
• Varianza: σ𝑥2 =
1
𝑁′σ𝑖=1𝑁 (𝑥𝑖−തx)
2
𝑁′ = 𝑁 si se trata de la población total𝑁′ = 𝑁 − 1 si se trata de una muestra de la población
• Desviación estándar: 𝜎𝑥
Ancho óptimo del sub-intervaloUn ancho demasiado pequeño o demasiado grande impide observar el patrón subyacente.
8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60
1
2
3
4
5
n
x
8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60
1
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n
x
8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60
1
2
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n
x
Ancho óptimo del sub-intervaloUn ancho demasiado pequeño o demasiado grande impide observar el patrón subyacente.
8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60
1
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n
x
8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60
1
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n
x
8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.60
1
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3
4
5
n
x
Ancho de columna a considerar1: 𝑎 = 3.5𝜎𝑥𝑁−1
3
1David W. Scott, Biometrika, Vol. 66, No. 3 (Dec., 1979), pp. 605-610
Evolución de una distribución según el valor de N
Lanzamos un dado N = 10 veces
Medimos el periodo de un faroN = 10 veces
Evolución de una distribución según el valor de N
Lanzamos un dado N = 10 veces
Medimos el periodo de un faroN = 10 veces
40
30
20
10
0
Frec
uen
cia
de
ocu
rren
cia
(%)
Den
sid
ad d
e p
rob
abili
dad
(s-1
)
Evolución de una distribución según el valor de N
Lanzamos un dado N = 100 veces
Medimos el periodo de un faroN = 100 veces
Frec
uen
cia
de
ocu
rren
cia
(%)
40
30
20
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0
Den
sid
ad d
e p
rob
abili
dad
(s-1
)
Evolución de una distribución según el valor de N
Lanzamos un dado N = 1000 veces
Medimos el periodo de un faroN = 1000 veces
40
30
20
10
0
Frec
uen
cia
de
ocu
rren
cia
(%)
Den
sid
ad d
e p
rob
abili
dad
(s-1
)
Evolución de una distribución según el valor de N
Lanzamos un dado N = 10000 veces
Medimos el periodo de un faroN = 10000 veces
40
30
20
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de
ocu
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(%)
Den
sid
ad d
e p
rob
abili
dad
(s-1
)
Distribuciones de probabilidad
Todas las posibilidades tienen igual probabilidad
Distribución normal ogaussiana
40
30
20
10
0
Frec
uen
cia
de
ocu
rren
cia
(%)
Den
sid
ad d
e p
rob
abili
dad
(s-1
)
Distribución gaussiana
𝑓(𝑥) =1
2𝜋𝜎𝑒𝑥𝑝 −
(𝑥 − 𝑥𝑐)2
2𝜎2
Función gaussiana
Distribución gaussiana
𝑓(𝑥) =1
2𝜋𝜎𝑒𝑥𝑝 −
(𝑥 − 𝑥𝑐)2
2𝜎2
Función gaussiana
• 𝑥𝑐: centro de la distribución
• 𝜎 : Medida del ancho de la distribución
• 2𝜎 contiene el 68.3% de los valores
• 4𝜎 contiene el 95.5% de los valores
• 6𝜎 contiene el 99.7% de los valores
Distribución gaussiana
Variando 𝑥𝑐y 𝜎
𝑥𝑐 =0𝜎= 2
𝑥𝑐=5𝜎= 3
𝑥𝑐 =2𝜎= 1
𝑥
• 𝑥𝑐: centro de la distribución
• 𝜎 : Medida del ancho de la distribución
• 2𝜎 contiene el 68.3% de los valores
• 4𝜎 contiene el 95.5% de los valores
• 6𝜎 contiene el 99.7% de los valores
Existen otras distribuciones
Distribución binomial Distribución de Poisson Distribución exponencial
Error de una magnitud según cuántas veces se mide
• N veces → 𝜎𝑒𝑠𝑡 = 𝜎 ҧ𝑥 =1
𝑁(𝑁−1)σ𝑖=1𝑁 (𝑥𝑖−തx)
2 =𝜎𝑥
𝑁(𝜎 ҧ𝑥: el error estándar del promedio)
Error de una magnitud según cuántas veces se mide
• N veces → 𝜎𝑒𝑠𝑡 = 𝜎 ҧ𝑥 =1
𝑁(𝑁−1)σ𝑖=1𝑁 (𝑥𝑖−തx)
2 =𝜎𝑥
𝑁(𝜎 ҧ𝑥: el error estándar del promedio)
Si reportamos un resultado como ҧ𝑥 ± 𝜎 ҧ𝑥 → el nivel de confianza es del 68%
Error de una magnitud según cuántas veces se mide
• N veces → 𝜎𝑒𝑠𝑡 = 𝜎 ҧ𝑥 =1
𝑁(𝑁−1)σ𝑖=1𝑁 (𝑥𝑖−തx)
2 =𝜎𝑥
𝑁(𝜎 ҧ𝑥: el error estándar del promedio)
• El error total se calcula como ∆𝑥 = 𝜎𝑎𝑝2 + 𝜎𝑒𝑥𝑎𝑐
2 +⋯+ 𝜎𝑒𝑠𝑡2
Si reportamos un resultado como ҧ𝑥 ± 𝜎 ҧ𝑥 → el nivel de confianza es del 68%
Error de una magnitud según cuántas veces se mide
• N veces → 𝜎𝑒𝑠𝑡 = 𝜎 ҧ𝑥 =1
𝑁(𝑁−1)σ𝑖=1𝑁 (𝑥𝑖−തx)
2 =𝜎𝑥
𝑁(𝜎 ҧ𝑥: el error estándar del promedio)
• El error total se calcula como ∆𝑥 = 𝜎𝑎𝑝2 + 𝜎𝑒𝑥𝑎𝑐
2 +⋯+ 𝜎𝑒𝑠𝑡2
• Si a mayor N, menor 𝜎𝑒𝑠𝑡 ¿Cuántas veces tiene sentido medir?
Si reportamos un resultado como ҧ𝑥 ± 𝜎 ҧ𝑥 → el nivel de confianza es del 68%
Error de una magnitud según cuántas veces se mide
• N veces → 𝜎𝑒𝑠𝑡 = 𝜎 ҧ𝑥 =1
𝑁(𝑁−1)σ𝑖=1𝑁 (𝑥𝑖−തx)
2 =𝜎𝑥
𝑁(𝜎 ҧ𝑥: el error estándar del promedio)
• El error total se calcula como ∆𝑥 = 𝜎𝑎𝑝2 + 𝜎𝑒𝑥𝑎𝑐
2 +⋯+ 𝜎𝑒𝑠𝑡2
• Si a mayor N, menor 𝜎𝑒𝑠𝑡 ¿Cuántas veces tiene sentido medir?
Un criterio sería medir tantas veces como para conseguir al menos 𝜎𝑒𝑠𝑡 𝜎𝑖𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
Si reportamos un resultado como ҧ𝑥 ± 𝜎 ҧ𝑥 → el nivel de confianza es del 68%
Discrepancia y promedios pesados
• Medición 1: 𝑋1 = 𝑋1 ± ∆𝑋1
• Medición 2: 𝑋2 = 𝑋2 ± ∆𝑋2
Discrepancia
Discrepancia y promedios pesados
• Medición 1: 𝑋1 = 𝑋1 ± ∆𝑋1
• Medición 2: 𝑋2 = 𝑋2 ± ∆𝑋2Definimos ∆𝑋 = ∆𝑋1
2 + ∆𝑋22
Discrepancia
Discrepancia y promedios pesados
• Medición 1: 𝑋1 = 𝑋1 ± ∆𝑋1
• Medición 2: 𝑋2 = 𝑋2 ± ∆𝑋2Definimos ∆𝑋 = ∆𝑋1
2 + ∆𝑋22
𝑋2 − 𝑋1 ≥ ∆𝑋 → Mediciones distintas entre sí con un límite de confianza del 68%
𝑋2 − 𝑋1 ≥ 2∆𝑋 → Mediciones distintas entre sí con un límite de confianza del 95%
Discrepancia
Discrepancia y promedios pesados
• Medición 1: 𝑋1 = 𝑋1 ± ∆𝑋1
• Medición 2: 𝑋2 = 𝑋2 ± ∆𝑋2Definimos ∆𝑋 = ∆𝑋1
2 + ∆𝑋22
𝑋2 − 𝑋1 ≥ ∆𝑋 → Mediciones distintas entre sí con un límite de confianza del 68%
𝑋2 − 𝑋1 ≥ 2∆𝑋 → Mediciones distintas entre sí con un límite de confianza del 95%
Discrepancia
Promedio pesados entre L mediciones independientes con su error
𝑥 𝑝 = 𝜎 𝑥 𝑝
2
𝑘=1
𝐿𝑥𝑘
𝜎𝑘2
Discrepancia y promedios pesados
• Medición 1: 𝑋1 = 𝑋1 ± ∆𝑋1
• Medición 2: 𝑋2 = 𝑋2 ± ∆𝑋2Definimos ∆𝑋 = ∆𝑋1
2 + ∆𝑋22
𝑋2 − 𝑋1 ≥ ∆𝑋 → Mediciones distintas entre sí con un límite de confianza del 68%
𝑋2 − 𝑋1 ≥ 2∆𝑋 → Mediciones distintas entre sí con un límite de confianza del 95%
Discrepancia
Promedio pesados entre L mediciones independientes con su error
𝑥 𝑝 = 𝜎 𝑥 𝑝
2
𝑘=1
𝐿𝑥𝑘
𝜎𝑘2
1
𝜎 𝑥 𝑝
2 =
𝑘=1
𝐿1
𝜎𝑘2
𝑥 𝑝: promedio pesado de 𝑥
𝜎 𝑥 𝑝: Error del promedio pesado