INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

8/14/2019 INTRODUCCIN A LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO

COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

PLANTEL VALLEJO

MATEMTICAS IV

ASIGNATURA DE MATEMTICAS IV

PROGRAMA DEL CUARTO SEMESTRE DE MATEMTICAS

FUNCIONES:

POLINOMIALESTRIGONOMTRICAS

EXPONENCIALES

LOGARITMICAS

LIBRO III

2005-2006


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MATEMTICAS IV.

PROGRAMA DEL CUARTO SEMESTRE

DE MATEMATICAS IV

PLAN DE ESTUDIOS ACTUALIZADOS

AUTORES:

Clementina Mendoza Carrillo

Roberto Laguna Luna

LIBRO III

2005-2006


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DIRECTOR

SECRETARIA GENERAL

SECRETARIA ACADEMICA

SECRETARIA DOCENTE

SECRETARIA DEL SILADIN

SECRETARIA ESTUDIANTIL

SECRETARIA DE SERVICIOS ACADEMICOS

SECRETARIA ADMINISTRATIVA

SECRETARIA DE SERVICIOS ESCOLARES

JEFE DE SECCIN ACADEMICA

JEFE DEPTO. IMPRESIONES


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PRESENTACIN

Como siempre nuestra mxima preocupacin es el aprendizaje que podamos promover

en nuestros alumnos.

En este material se sealan, en primer lugar, los objetivos generales propios de la

asignatura de matemticas IV; posteriormente se da el enfoque de la Universidad

Nacional Autnoma de Mxico y la interpretacin personal que los autores hacen del

mismo, as como los contenidos temticos que lo conforman; para finalmente presentar

algunas fichas bibliogrficas de los textos que se pueden consultar con el fin de contar

con los elementos suficientes para la resolucin de problemas.

OBJETIVOS GENERALES

Este material est diseado de forma que los contenidos temticos se dividan en un

nmero de clases, determinado por las horas propuestas para el desarrollo del programa

de Matemticas IV. Se espera que los alumnos adquieran un conocimiento perdurable

sobre el tema de funciones, sabiendo que, para conseguirlo, el desarrollo de los ejes

temticos debe cobrar sentido en la percepcin que los alumnos tienen respecto al

mundo que nos rodea, desarrollando con estos conocimientos su capacidad de trabajo y

sus aptitudes para la investigacin, bsqueda de interrogantes y respuestas, que

propenda a la comunicacin de ideas. Las definiciones, problemas y ejercicios van de

acuerdo al nivel de estudio de los alumnos, por lo que el grado de profundidad permite

que los alumnos practiquen el razonamiento deductivo, eficientando el uso de


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herramientas de matemticas: tablas, graficas, lenguaje de matemticas, el uso de

calculadora y la computadora.

Se pretende que este material sea til y contribuya al aprovechamiento del alumno

permitindole que:

Incremente su capacidad de resolucin de problemas, al conocer y manejar

nuevas herramientas para modelar y analizar situaciones y fenmenos que se

pueden representar con las funciones estudiadas en el curso.

Enriquezca y utilice de manera integrada, diversos conceptos y procedimientos

de la aritmtica, el lgebra, la trigonometra, la geometra euclidiana y analtica,

en el estudio y modelacin del tipo de funciones expuestas en este curso.

Modele diversas situaciones que involucren variacin funcional, a travs delanlisis del comportamiento de la funcin respectiva, obteniendo informacin y

conclusiones sobre la situacin modelada.

Consolide su manejo del plano cartesiano, a travs de la graficacin de

funciones y el dominio de la vinculacin entre los parmetros y las

caractersticas de la grfica asociada.


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ENFOQUES Y CONTENIDOS

El material permite que el estudiante perciba las conexiones entre las distintas ramas

de la matemtica.

La cultura bsica que contina desarrollando el proyecto originario de 1971, es

formativo y pone nfasis en las habilidades de trabajo intelectual y en el

aprendizaje;

El uso de fuentes y la superacin del aprendizaje de comentarios que asume el

profesor como proveedor principal, si no exclusivo de informacin y conocimiento,

mientras que el modelo del colegio promueve que el alumno recurra directamente a

las fuentes de la cultura e informacin primarias;

La definicin del alumno como sujeto de su formacin y de la cultura, capaz de

comprender los contenidos de la enseanza, pero tambin de dar cuenta de sus

fundamentos, y si fuera de caso de trascenderlos y modificarlos, como sujeto

crecientemente autnomo en su saber y crtico.

La relacin de los aprendizajes con la experiencia personal del alumno y su

capacidad de aplicarlos, de maneras que su cultura sea no nicamente escolar ni

conceptual, sino prctica y productiva e interdisciplinaria por la combinacin de

aprendizajes procedentes de distintos campos del saber y del hacer.

- Aprender a aprender

- Aprender a hacer

- Aprender a ser

Sntesis prctica de los enfoques desarrollados.


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ARITMTICA Y ALGEBRA

FUNCIONES ESTADSTICA

CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Los contenidos permiten desarrollar procesos y soluciones que van ligados con otras

ramas de las matemticas y que en el tema de funciones terminan por aterrizar.

De la solucin de problemas surge la necesidad de aprender los procedimientos que

desembocan en conocimientos sistematizados conforme a las posibilidades y

condiciones del alumnado.

El material introduce:

Conceptos

Planteamientos de situaciones

Dificultades operativas

Relacin y correspondencia entre variables.

Interpretacin de graficas.


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ENFOQUE DE LA MATERIA

Muchos de los contenidos temticos de los programas de matemticas del Colegio

de Ciencias y Humanidades, por su naturaleza, forman parte del currculo de

cualquier institucin educativa del nivel medio superior del pas. Sin embargo, la

forma de enfocarlos, presentarlos y trabajarlos con el estudiante, es lo que hace la

diferencia y atiende a los principios educativos que pretende cada institucin.

De esta manera, en el Colegio de Ciencias y Humanidades la concepcin de la

matemtica conlleva una intencin del para qu queremos ensearla, y cmo

contribuye a la formacin de un sujeto capaz de buscar y adquirir por s mismo

nuevos conocimientos; adems de analizar e interpretar el mundo que lo rodea de

forma reflexiva, analtica, sistemtica y constructiva.

Por ello, en el CCH se concibe a la matemtica como una disciplina que:

o Posee un carcter dual: Es una ciencia y una herramienta.

o Manifiesta una gran unidad.

o Contiene un conjunto de simbologas propias y bien estructuradas, sujetas a

reglas especficas que permiten establecer representaciones a distintos

niveles de generalidades, que nos permite avanzar en su construccin como

ciencia y extender el potencial de sus aplicaciones.

o El libro conserva el enfoque, metodologa distribucin en el tiempo y

profundidad sugeridos por el plan de estudios del CCH.


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ENFOQUE DIDCTICO

Como en el CCH, un aspecto fundamental es la bsqueda del desarrollo de habilidades

de pensamiento que permitan al estudiante adquirir por su cuenta nuevos

conocimientos, se plantea que la puesta en prctica de estos programas, la enseanza

considere:

Promover la formacin de significados de los conceptos y procedimientos,

cuidando que stos surjan como necesidades del anlisis de situaciones o de

la resolucin de problemas, y se sistematicen y complementen finalmente,

con una actividad prctica de aplicacin en diversos contextos. Las

precisiones tericas se establecern cuando los alumnos dispongan de la

experiencia y los ejemplos suficientes para garantizar su comprensin.

Propiciar, sistemticamente, el trnsito entre diversos conceptos,

procedimientos, mtodos y ramas de la matemtica.

Fomentar el trabajo en equipos para la exploracin de caractersticas,

relaciones y propiedades tanto de conceptos como de procedimientos; la

discusin razonada; la comunicacin oral y escrita de las observaciones o

resultados encontrados.

Se proponen actividades de aprendizaje que propician la activa participacin

del estudiante en el proceso de aprendizaje, mediante su interaccin con

compaeros y profesor, as como a travs de la manipulacin que hace del

objeto de conocimiento.


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CONTRIBUCIN DEL REA DE MATEMTICAS

AL PERFIL DEL EGRESADO

Por lo anterior se busca que el estudiante sea el principal actor en el proceso de su

aprendizaje, adquiera un desempeo satisfactorio en la comprensin y manejo de los

contenidos de los cinco ejes temticos ( lgebra, Geometra, Trigonometra,

Geometra Analtica y Funciones), y desarrolle:

Empleo de diversas formas de pensamiento reflexivo.

Adquisicin de aprendizajes de manera independiente.

Comprensin de conceptos, smbolos y procedimientos matemticos a

nivel bachillerato.

Capacidad de anlisis.

Capacidad de formular conjeturas.

Capacidad de aprender acierto-error.

Capacidad para generalizar.

Habilidad en el manejo de estrategias.

Incorporacin de lenguaje cientfico.

Aplicacin de conocimientos.

Inters por la lectura y comprensin de texto cientfico.

Valoracin del conocimiento cientfico.


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CONTENIDO GENERAL DE LA ASIGNATURA

Nombre de la unidad No. Horas

1. - FUNCIONES POLINOMIALES duracin 20 hrs.

2. - FUNCIONES RACIONALES Y CON RADICALES duracin 20 hrs.

3. - FUNCIONES TRIGONOMTRICAS duracin 20 hrs.

4. - FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS duracin 20 hrs.


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BIBLIOGRAFA SUGERIDA

Barnett Raymond, et al. Algebra, Mc. Graw-Hill, Interamericana, Mxico 2000.

Barnett Raymond, et al. Precalculo: Funciones y Grficas. Mc. Graw-Hill, Mxico

2000

Johnson, Murphy, y Stefferson, Arnold. lgebra y trigonometra con aplicaciones.

Trillas, Mxico 1998.

Larson, Ronald, Hostetler, Robert. lgebra. Publicaciones, Cultural, Mxico 1996.

Leithol, Louis. Matemticas previas al clculo: Anlisis Funcional y Geometra

Analtica, Harla, Mxico 1996.

Sullivan, Michael. Preclculo. Prentice- Hall, Hispanoamericana, Mxico 1997.

Swokowski, Earl W. lgebra y Trigonometra con Geometra Analtica. Grupoeditorial Iberoamericana, Mxico 2002.

Rodrguez, Fco., et al. Paquete didctico para Matemticas IV. Gua del profesor. CCH

Oriente. UNAM. , Mxico 2002.

Walter Fleming, Dale Varberg, Hamline University, Prentice-Hall Hispanoamericana,

S.A., Mxico, Englewood Cliffs, Londres, Sydney, Toronto, Nueva Delhi, Tokio,

Singapur, Ri de Janeiro.

Bohuslov, Ronald, Geometra analtica, introduccin al precalculo, Union tipografica

editorial Hispano- Americana, S. A. De C.V. Mxico 1983.

Santal Sors Marcelo, Carbonell Chaure Vicente, Clculo Diferencial e Integral,

Grupo Editorial xodo, Mxico 2004.


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Lehmann, Charles H. , Geometria Analitica, The Cooper School of Engineering ,

Noriega Editores, Editorial Limusa S .A . de C . V . Mxico 1989.

Diplomado en docenca de ciencias y humanidades en el contexto actual

BIBLIOGRAFA SUGERIDA

Conociendo al Colegio, retrospectiva y anlisis del modelo del Colegio de Ciencias y

Humanidades..Rito Tern Olgun, Jos de J Bazn Levi, Alejandro Garca, Alfonso

Lpez Tapia, Zoilo Ramrez Maldonado.


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NDICE

Pg.

Presentacin----------------------------------------------------4

Bibliografa sugerida ---------------------------------------11

Evaluacin diagnostica ------------------------------------25 Duracin: 2hr.


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MATEMTICAS IV

TABLA DE OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

UNIDAD TRES: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

NUM. TEMTICA Y OBJETIVOS

Situaciones que involucran variacin peridica

3.1 El estudiante:

3.1.1 Explorar, en una situacin o fenmeno de variacin peridica, valores,

condiciones, relaciones, o comportamientos, a travs de diagramas, tablas expresiones

algebraicas, etc. que le permitan obtener informacin de ello como un paso previo al

establecimiento de conceptos, y al manejo de las representaciones pertinentes.

3.1.2 Generalizacin en el plano cartesiano, de las razones trigonomtricas para un

ngulo cualquiera.

2.1 Crculo unitario: extensin de las funciones seno y coseno para ngulos no

Agudos.

2.2 ngulos positivos y negativos.

2.3 ngulo de referencia. Sus cuatro posiciones.

2.4 Medida de ngulos con distintas unidades: grados y radianes.

2.5 Clculo del seno y coseno para ngulos mayores de 90.

3.1.3 Grfica de la funcin seno, coseno y tangente.

a) Anlisis del dominio y rango.

b) Nocin de amplitud, perodo y frecuencia.

3.1.4 Definicin de funcin peridica:

a) f(x + k) = f(x)


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3.1.5 Grfica de las funciones:

f(x) = a sen (bx + c) + d

f(x) = a cos (bx + c) + d

a) Anlisis de l comportamiento de sus parmetros a, b. c d.

b) Fase y ngulo de desfasamiento.

3.1.6 Las funciones trigonomtricas, como modelos de fenmenos periodicos.

Problemas de aplicacin


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MATEMATICAS IV. UNIDAD 3

FUNCIONES TRIGONOMETRICASDURACION 20 HRS.

EVALUACIN DIAGNOSTICA

Un tringulo es una figura plana cerrada compuesta por tres segmentos de recta.

1. Cuntos clases de tringulos conoces, mencinalos?

2. Clasifica los tringulos respecto a sus ngulos, dibjalos.

3. Clasifica los tringulos respecto a sus lados, dibjalos.

Los vrtices del tringulo son los puntos de interseccin de los tres segmentos.

ALTURA DE UN TRINGULO.

El segmento de recta que va de un vrtice cualquiera, en forma perpendicular, al lado

opuesto se llama altura del tringulo.

Ilustra lo anterior:

1. Dibuja tres tringulos diferentes y determina su altura.

Un tringulo rectngulo es aqul en el que uno de los ngulos es recto.

2. Dibuja un tringulo rectngulo.


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Sea el tringulo rectngulo con ngulo recto en C. El lado opuesto al ngulo recto se

conoce como hipotenusa. De acuerdo con el teorema de Pitgoras:

a + b = c

En el tringulo rectngulo seala cul es el ngulo recto y la hipotenusa.

Considrese el ngulo a del tringulo rectngulo ABC. El lado de longitud a es el cateto

opuesto; el lado de longitud b es el cateto adyacente y el lado c la hipotenusa.

B

c a

A b C

Las funciones trigonomtrica con respecto al ngulo agudo a son:

a) Seno es igual a cateto opuesto sobre hipotenusa

b) Coseno es igual a cateto adyacente sobre hipotenusa

c) Tangente es igual a cateto opuesto sobre cateto adyacente

1. Completa las siguientes funciones trigonomtricas:


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Sea:

A = ngulo agudo respecto al cul se obtienen las funciones trigonomtricas

c = Hipotenusa

b = Cateto Adyacente

c = Cateto Opuesto

1. Con base en esta informacin completa las funciones trigonomtricas siguientes:

a) Sen A = a /

b) Cos A = / c

c) Tan A = a / b

d) Csc A = c /

e) Sec A = c /

f) Cot A = b /

2. Obtn las funciones trigonomtricas con respecto al ngulo b

Resuelve los siguientes problemas:

1 . Una escalera de 30 pies se apoya en un muro formando un ngulo de 45 con el

suelo.

a) A qu distancia aproximada est el pie de la escalera de la base del muro.

b) Cul es la altura aproximada del tope de la escalera?

2 . Un avin forma un ngulo de elevacin de 37 A qu altura se encuentra cuando a

recorrido 1200 ft con respecto a la pista?

3 . Dos personas A y B que se encuentran en el mismo margen se paran frente a un ro

con una separacin entre ellos de 250 ft. El punto C se ubica en la otra orilla, frente al


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individuo B. El individuo A determina que el ngulo BAC mide 60. Obtn la anchura

del ro que es igual a la distancia BC.

4 . Una rampa de 92 ft tiene una inclinacin de 54 con respecto al suelo. Cul es la

altura que alcanza el extremo de la rampa con respecto al suelo?

5 . El tope de una escalera de 18 ft descansa en el pretil de la ventana de una casa. La

escalera forma un ngulo de 60 con el suelo y toca el borde superior de un muro

paralelo a la casa. Si el muro mide 7 ft de altura y 9 pulgadas de espesor, hallar la

distancia que existe entre ambos muros.

Para ngulos agudos cuando aumenta la medida del ngulo las funciones seno y

tangente aumentan y la funcin coseno disminuye. Para entender porqu observa los

dos tringulos y sigue el razonamiento.

B Bc = 1 a

c = 1 aA b C

A b C

En cada caso, el tringulo rectngulo ABC tiene 1 como hipotenusa, de modo que

Sen A = a / 1 = a cos A = b / 1 = b tan A = a / b


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Es claro que cuando el ngulo A aumenta, a, y por consiguiente, sen A, tambin

aumenta; mientras que b, y por tanto cos A, disminuye. Adems, a/b aumenta porqu

crece el numerador y decrece el denominador. As que tambin aumenta tan A.

Como te habrs dado cuenta resolver un tringulo rectngulo significa determinar laslongitudes de todos los lados y la amplitud de todos los ngulos desconocidos.

1. Halla las longitudes de los lados del tringulo y la medida de sus ngulos internos.

121 ft

90 39

ngulo de elevacin y ngulo de depresin. El ngulo que se encuentra por encima de

la horizontal es el ngulo de elevacin y el ngulo que se encuentra por debajo de la

horizontal es el ngulo de depresin.


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3.1.1 Situaciones que involucran variacin peridica.

- Lluvia de ideas

- Trabajo en equipos, mximo cuatro alumnos.

- Duracin 2hrs.

- Investigacin, ejercicios, y problemas de tarea.

Obtn las graficas siguientes:

1. f(x) = sen x ; - x

2. f(x) = cos x / 6 - 2 ; 0 < x < 2

3. f(x) = cos x / 12 ; 0 < x < 2

4. f(x) = sen x / 4 ; - < x <

1.- La rueda delantera de un triciclo tiene un dimetro de 21 pulgadas Qu tan lejos

llegar pedaleando a 60 revoluciones?

2.- Una banda se mueve a razn de 60 ft por segundo y hace girar una polea (una rueda)

a razn de 900 revoluciones por minuto. Encuentra el radio de la polea.

3.- La rbita de la tierra es una esfera de radio 3 960 millas. Qu tan rpido se mueve

(en millas por hora) un punto en el ecuador como resultado de la rotacin de la tierra

alrededor de su eje?


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4.- Una cuerda con punto inicial (0, 1) y con una longitud de 4 3 se enrolla alrededor

de un crculo unitario en el sentido de las manecillas del reloj. Cules son las

coordenadas del extremo?

Traza la grfica de cada funcin en el intervalo que se indica.

1. sen , 0 2

2. cos , 0 2

3. tan , - / 2 < < / 2

4. sen , - / 2 3 / 2

5. cos , 3

6. tan , / 2 < < 3 / 2

7. cot , 0 < <

8. sec , - / 2 < < / 2

9. sec , / 2 < < 3 / 2

10. csc , 0 < <


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3.1.2 Generalizacin en el plano Cartesiano, de las razones trigonomtricas para unngulo cualquiera.

- Investigacin en la biblioteca

- Equipos de trabajo con un mximo de cuatro alumnos

- Lluvia de ideas

- Duracin 2 hrs.

- Investigacin, ejercicios y problemas.

Las funciones trigonomtricas se pueden definir de modo que se apliquen a cualquier

nmero (de radianes):

1. Un radian equivale 57.3 ?

2. Demustralo utilizando la formula: C = 2 r

3. 270 equivalen a 3 / 2?

4. Demuestra el punto anterior.

5. Convierte de radianes a grados:

a) / 12 =

b) 11 / 12 =

c) / 6 =

d) 7 / 12 =

e) 5 / 12 =

f) / 2 =


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a) EL CRCULO UNITARIO Y LA MEDIDA EN RADIANES

En campos ms avanzados de las matemticas, es ms conveniente definir las funciones

trigonomtricas de modo que el dominio de cada funcin sea el conjunto de todos los

nmeros reales. Con este fin, considrese una circunferencia con centro en el origen y

con radio igual a 1, a la cual se le conoce como crculo unitario.

x + y = 1

Sea P (x, y), donde P est en el crculo unitario y en el primer cuadrante. Observa que:

Cos QOP = x / 1 = x

Sen QOP = y / 1 = y

Sea = QOP, entonces

P = (x, y) = (cos , sen )


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La frmula para longitud de arco toma una forma muy simple cuando r = 1, es decir, en

un crculo unitario, la longitud de un arco es la misma que la medida en radianes del

ngulo que lo determina.

s = longitud del arco.

t = la medida en radianes de un ngulo con vrtice en el centro de un crculo de radio

r.

s = t

Medida de ngulos con distintas unidades: grados y radianes.

1. Como sabes los ngulos se miden en ____________, y radianes.

2. Un grado se obtiene cuando la circunferencia se divide en ______partes iguales.

3. Cada una de esas 360 partes iguales recibe el nombre de 1. As la abertura que se

forma entre dos rectas que chocan en un punto, al que se llama vrtice, se mide en

__________, un grado se puede dividir en_____partes iguales, una de esas 60 partes

iguales se llama minuto, se representa con una comita, un minuto tambin se puede


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dividir en _____ partes iguales, a una de esas _____ partes iguales se le llama segundo,

se representa con doble coma. Aunque si se desea medir todo en grados se usan partes

decimales del grado, as 35 40 (treinta y cinco grados cuarenta minutos), se puede

escribir 35. 666.

4. Convierte a grados minutos y segundos a grados:

a) 50 38 25 =

b) 27 15 13 =

c) 76 56 =

5. Convierte de grados a grados minutos y segundos.

a) 51. 724 =

b) 78. 345 =

c) 12.518 =

6. Por convencin los grados se consideran positivos cuando se generan en sentido

___________ al movimiento de las manecillas del reloj. Y se consideran negativos

cuando se generan en _______ al movimiento de las manecillas del reloj.


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MEDIDAS EN RADIANES.

La medida en radianes aparece cuando se considera la frmula C = 2 r. Despejando r

del segundo miembro se tiene que C / r = 2, lo que significa que la circunferencia tiene

2 (aprox. 6.28) arcos de longitud r alrededor de l. Extendindonos en el razonamiento

de ngulos podemos formar un ngulo con vrtice en el centro del crculo, con un

ngulo determinado por un arco de longitud igual al radio a la medida de ese ngulo se

le llama radian y equivale a 57.3 o lo que es lo mismo:

360/ 2___ = ____/ = 5__.3

Por todo esto podemos establecer dos reglas sencillas de conversin de grados a

radianes.

Para convertir de grados a radianes, se multiplica por / 180.

1. Convierte de grados a radianes:

a) 35 = _______radianes.

b) 125 = _______radianes.


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c) 92 = ________radianes.

Para convertir de radianes a grados se multiplica por 180 / .

1. Convierte de radianes a grados:

a) 6 rad =

b) 23 rad =

c) 17 rad =

d) 45 rad =

2. Se define un radin como la medida del ngulo central que subtiende un arco cuyalongitud es igual al___________.

En general el nmero de radianes del ngulo central es igual a longitud del arco /longitud del radio.

Un ngulo central de dos radianes subtiende un arco cuya longitud es el doble del radiode la circunferencia.

1. Ilustra lo anterior:

2. La longitud del arco subtendido por un ngulo de 60 es el doble de la longitud del

arco subtendido por un ngulo de 30?


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4. Completa los ngulos especiales:

a) 90 = / _ radianes.

b) __ = / 3 radianes.

c) 45 = / _ radianes.

d) _0 = / 6 radianes.

5. Convierte cada una de las siguientes expresiones a radianes.

a) 234 = b) 126 = c) 56 = d) 23 =

e) 45 = f) 178 = g) 456 = h) 348 =


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LONGITUD DEL ARCO.

Sea rad la medida del ngulo en radianes

Sea r el radio de la circunferencia.

Sea B la longitud del arco.

B = rad (r); Arco = radian por radio


Supongamos que un desplazamiento lineal (recta) con ngulo de inclinacin se

grfica en el plano cartesiano, este desplazamiento (recta inclinada) en fsica se define

como una cantidad vectorial o vector, si suponemos que en los ejes del plano

cartesiano se plasma la sombra del desplazamiento lineal (de la recta inclinada) en los

ejes vertical y horizontal x, las sombras sobre los ejes serian las componentes del

desplazamiento lineal, y que en fsica llamamos componentes.


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Sen x

1. Cunto medir la altura de la sombra sobre el eje de las Y proyectada por el vector?

2. Ser cierto que la altura de la sombra en el eje Y esta dada por la funcin: y = sen

, demustralo.

3. Cunto medir la distancia horizontal que proyecta el vector sobre el eje x?

4. Ser cierto que la distancia horizontal que la sombra proyecta sobre el eje x esta

dada por la funcin: x = cos , demustralo.

5. Construye con el vector de desplazamiento un tringulo rectngulo y obtn las

funciones trigonomtricas.

Con ello se ha realizado una extensin en el concepto de funcin porqu adems de

incorporar el concepto de funcin trigonomtrica para cualquier nmero dado o no en

radianes, se ha visto que una de sus muchas aplicaciones sera en el campo de la fsica


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donde las funciones trigonomtricas se pueden referir al concepto de vector con todo lo

que ello implica.

Fig. 1 fig. 2

x > 0, y > 0 x = 3 2, y =

cos = x / 1> 0, sen = y / 1 > 0 cos / 6 = 3 2, sen 6 =

1 2

Fig. 3 Fig. 4

x < 0, y > 0 x < 0, y < 0

Por lo tanto, cos < 0, sen > 0 Por lo tanto cos < 0, sen< 0

Tambin = Tambin = -


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Fig. 5

x > 0, y < 0

Por lo tanto, cos > 0, sen < 0

Tambin = 2 0

Para un ngulo agudo , esta nueva definicin conserva las anteriores dadas para cos y

sen (fig. 3). Por ejemplo, cuando > / 6 (o bien 30), como en la fig. 2, entonces

OPQ es un tringulo de 30, 60, 90 y la hipotenusa OP es igual a 1, de esto se sigue

que: PQ = y la longitud OQ = 3 2. Usando las definiciones anteriores:

Cos 6 (30) = longitud OQ / longitud OP = 3 2 1 = 3 2

Sen 6 (30) = longitud PQ longitud OP = 1 2 1 = 1 2


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Usando la nueva definicin:

Cos 6 = x = 3 2, y sen 6 = y = 1 2

Construye un crculo unitario y demuestra lo anteriormente dicho:

Cuando el vector o segmento inclinado se encuentra en el primer cuadrante el cos y

sen son positivos.

1. Construye un crculo y demuestra el dicho.

Cuando el lado de un ngulo se encuentra en el segundo cuadrante el cos es negativo y

sen es positivo.


Cuando el vector o segmento inclinado se encuentra en el tercer cuadrante cos y sen

son negativos.


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Cuando el vector o segmento inclinado se encuentra en el cuarto cuadrante cos es

positivo y sen es negativo.


Los dems funciones trigonomtricas tangente, cosecante, secante y cotangente se

definen en trminos del seno, y coseno.

5. Define las funciones en base al seno y coseno:

a) Tan = a condicin de que cos 0

b) Sec = a condicin de que cos 0

c) Csc = a condicin de que sen 0

d) Cot = a condicin de que sen 0

Siempre que la tangente est definida se puede usar la inversa de la tangente

Cot = 1 / tan


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La tabla 1 indica el signo que afecta a las funciones trigonomtricas en los cuadrantes

del plano cartesiano.

Segundo cuadrante

II

Sen y csc son positivos

Primer cuadrante

I

Todas las funciones trigonomtricas son

positivasTercer cuadrante

III

Tan y cot son positivos

Cuarto cuadrante

IV

Cos y sec son positivos

Tabla 1

Cuando el vector o segmento inclinado se encuentra en los cuadrantes II, III, IV, se

toma como ngulo de referencia el formado por la componente del vector en el eje x y

el vector figuras 3, 4, y 5. As el ngulo agudo se conoce como ngulo de referencia

de .

1. Si: / 2 < < , entonces = ; (El ngulo vara de 90 hasta 180 ; El

ngulo

ngulo de referencia de , es igual a 180 menos el valor del ngulo )

Si = 3 / 4, entonces = 3 / 4 = / 4 , as:

= 3(180) / 4 = 540 / 4 = 135

= 180 3 (180) / 4 = 180 135 = 45


38/62

2. Construye un crculo y demuestra el ejemplo anterior:

Si < < 3 / 2 , entonces = .

Si = 7 / 6, entonces = 7 /6 = / 6.


Si 3 / 2 < < 2 , entonces = 2

Si = 5 / 3, entonces = 2 5 / 3 = / 3.


En los cuadrantes I y II sen = sen , sen es positivo; En los cuadrantes III y IV sen

= - sen , donde sen es negativo. De igual forma:


39/62

cos en los cuadrantes I y IV

Cos =

- cos en los cuadrantes II y III

Las otras funciones trigonomtricas se definieron en trminos de senos y cosenos, Por

consiguiente, con la posible excepcin del signo, el ngulo de referencia tiene el

mismo seno, coseno, tangente, secante, cosecante y cotangente que el ngulo .

1. Hallar los valores de las seis funciones trigonomtricas de 3 / 4.

2. Hallar los valores de las seis funciones trigonomtricas de 7 / 6.

3. Hallar: (- / 5), cos (- / 5), tan (- / 5), cot (- / 5)

4. Hallar los valores de las funciones trigonomtricas de 4 / 5


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3.1.3. Grfica de las funciones seno, coseno, y tangente

- Trabajo de investigacin por equipo en la biblioteca

- Duracin 4 hrs.

- Ejercicios y problemas de tarea

Grfica de la senosoide.

Algunas funciones como sen x repiten sus valores a intervalos regulares. Las

propiedades de esta funcin pueden estudiarse convenientemente por medio de la

ecuacin

y = sen (1)

La funcin se llama peridica si existe un nmero positivo p tal que, para todo nmero

real x se cumple:

1. Siempre que x pertenezca al dominio de la funcin, tambin existe un valor x + p que

pertenece al dominio.

2. f(x p) = f(x).

El menor de dichos nmeros positivos p se llama entonces periodo de la funcin.

Todas las funciones trigonomtricas son peridicas.

Para obtener el perodo tanto de la funcin coseno como de la funcin seno. Recurdese

que cada ngulo central determina un punto en el crculo unitario. El ngulo central del

crculo completo es 2 (360). Por tanto, cuando se aumenta 2 al ngulo central, el


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punto p despus de dar una vuelta vuelve a coincidir con su posicin inicial. Puesto que

las coordenadas (x, y) de p se dan por:

(cos , sen ) y por (cos - 2, sen 2 )

Se deduce:

cos ( + 2 ) = cos y sen ( + 2) = sen

Para el menor nmero positivo p = 2 (360) para el cual sen ( + p) = sen , observe

que sen = 1 slo cuando y = 1, y por lo tanto P= (0, 1). Esto ocurre cuando = / 2, o

cuando = / 2 + (un mltiplo entero de 2 ). Se deduce que el seno tiene un periodo

de 2 .

En forma similar, cos = 1 slo cuando x = 1 , y por consiguiente P(1, 0). De modo que

, cos = cos 2 = 1 , pero cos < 1 para 0 < < 2 Entonces el coseno tambin tiene

un periodo de 2 . Cundo se grfica el seno o el coseno, una vez que se ha trazado la

grfica para un intervalo de 2 unidades, el resto de la curva se repite. Por lo tanto, es

fcil extender la grfica a otros valores de .

El lugar geomtrico (Grfica) de la ecuacin (y = sen x) se llama Sinusoide.

Las intersecciones de la curva (y = sen x) con el eje x son , 2 , y, en general, n

, en que n es un nmero entero cualquiera. El nico punto de interseccin con el eje y es

el origen. Como


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sen (-x) = - sen x = - y

la curva es simtrica con respecto al origen. A la variable x pueden asignrsele todos los

valores reales; la variable y puede tomar valores reales en el intervalo 1 y 1.

Grfica de la funcin y = sen , para valores de = - 4 , - 7 / 2 , - 3 , - 5 / 2 , -

2 , -3 / 2, - , - / 2, 0, / 2, , 3 / 2, 2 , 5 / 2, 3 , 7 / 2, 4

1. La curva es simtrica con respecto al origen 0.

2. A la variable x pueden asignrsele todos los valores reales

3. La variable y puede tomar valores reales cualesquiera en el intervalo;

-1 sen 1.

4. La curva no tiene asntotas

5. Por tanto, el lugar geomtrico (grfica) se extiende indefinidamente hacia la derecha

y hacia la izquierda del eje x, entre los valores de sen = 1.

6. Las intersecciones con el eje son 0, , 2 , 3 ...

7. sen (+ ) = - sen para toda .

Por ejemplo:

Sen ( / 2 + ) = sen 3 / 2 = - 1 = - sen / 2

8. sen (- ) = - sen para toda . (El seno es una funcin impar)

9. sen ( ) = sen para toda .


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10. La funcin seno es peridica, con periodo 2.

El estudiante debe notar que los valores de la abscisa (eje de las x) son nmeros

expresados en radianes

Grfica la funcin y = sen , para los valores del dominio

= 0, / 4, / 2, 3 /4,

Figura

Observamos que la grfica se repite para cada cambio de 2 pi radianes en el valor x; por

eso se dice que tal curva es peridica.

Ejercicios, grfica cada funcin en el intervalo que se indica :

a) y = sen , 0 2


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b) y = sen , - 2 3 / 2

c) y = 2 sen ( + 1). < 2

Grfica de la Cosinusoide.

La funcin trigonomtrica cos x se estudia por medio de la ecuacin:

y = cos x

cuya grfica se llama cosinusoide. Como se sabe cos x = sen ( / 2 + x), por esto la

cosinusoide puede trazarse por medio de la sinusoide

y = sen (x + / 2).

La curva diferira de la correspondiente y = sen x, por tener el eje desplazado / 2 (90),

hacia la derecha. Como cos (-x) = cos x, la curva es simtrica respecto del eje y. La

amplitud es la unidad, y como cos (x + 2 ) el perodo es igual a 2 .

Construye la grfica de la funcin:

Y = cos , para el dominio = - 3 / 2 , - , - / 2 , 0 , / 2 , , 3 / 2

Anlisis:

1. El dominio es el conjunto de todos los nmeros reales

2. El contra dominio y esta determinado por el intervalo cerrado [ - 1 , 1] .

3. La ordenada al origen es 1


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4. Las intersecciones con el eje x son: / 2 , 3 / 2 , 5 / 2...

5. cos ( + ) = - cos , para toda

6. cos ( ) = - cos para toda .

Cos (0 ) = cos = - 1 = - cos

7. La funcin coseno es peridica, con periodo 2

Construye la grfica de y = sen (x + / 2); dados los mismo valores del dominio que en

el ejemplo anterior.

Ejercicios, grfica cada funcin en el intervalo que se indica:

a) y = cos , 0 2

b) y = 2 cos ( + 1)

c) y = cos , - / 2 2

Grfica de la tangentoide.

Para graficar la funcin tangente recuerda que:


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Tan = sen / cos ; cos 0

Pero

Cos = 0 para = / 2, 3 / 2, 5 / 2,...

Adems tan = 0 cuando sen = 0; es decir, cuando = 0, , 2 ,. . .

Tan (-) = sen (-) / cos (- ) = - sen / cos = - tan

Lo que significa que la grfica de la tangente ser simtrica con respecto al origen.

De hecho, para toda del dominio de la tangente,

Tan (- ) = sen (- ) / cos (- ) = - sen / - cos = tan

Y

Tan ( + ) = sen ( + ) / cos ( + ) = - sen / - cos = tan

Es evidente que es el menor nmero positivo p para el cual tan ( + p) = tan para

toda puesto que tan = tan = 0 para 0 . Por consiguiente la funcin tangente

tiene como periodo , por lo que su grfica se repite cada unidades.

Obtn la tangentoide de la funcin trigonomtrica tangente y = tan , para los valores

del dominio:


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= - / 3 , / 2 , - / 4 , 0 , / 4 , / 3 , / 2 , 2 / 3 , 3 / 4 , , 5 / 4 , 3 / 2 , 7

/ 4 , 2

Anlisis de la grfica:

1. El dominio es el conjunto de todos los nmeros reales, con excepcin de:

/ 2 , 3 2 , 5 / 2 ...

2. El contra dominio es el conjunto de todos los nmeros reales.

3. La ordenada al origen es 0.

4. Las intersecciones con el eje son 0, , 2 , 3 ,...

5. tan ( + ) = tan para toda del dominio de la tangente. De hecho la tangente es

peridica con periodo

6. tan (- ) = - tan para toda del dominio de la tangente. (La tangente es una funcin

impar)

7. tan tiende a infinito cuando se acerca a / 2 a travs de argumentos menores que

/2.

En realidad las rectas cuyas ecuaciones son

= / 2 , = 3 / 2 , = 5 / 2 , . . .

Son asntotas verticales de la funcin tangente.

Ejercicios:

a) y = tan , - < <


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b) y = 3 tan / 2. < <

c) y = tan 2 - / 2 < < / 2

3.1.4 Generalizar el concepto de razn trigonomtrica para ngulos agudos enparticular seno, coseno, tangente.

- Trabajo en equipo, mximo cuatro alumnos


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- Duracin 2 hrs.


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3.1.5 Definicin de funcin peridica:

f(x + k) = f(x).


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3.1.6 Grfica de las funciones:

f(x) = a sen (bx + c) + d


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f(x) = a cos (bx + c) + d

Trabajo por equipo, mximo cuatro personas.

Exposicin frente a pizarrn.

Hrs.

SINUSOIDE.

Veamos como se obtiene el perodo y la amplitud de una sinusoide partiendo de la

ecuacin general

y = a sen (kx + ) (3)

Donde a, k y son constantes. La amplitud de la curva esta dada por el valor absoluto

de la constante a = | a |; la constante a se llama factor de amplitud. Un ciclo completo de

la grfica se obtiene al variar el ngulo kx + en 2 radianes. La variacin p del

periodo de la curva se realiza sumando p a la variable x. Para determinar el valor de p:

k(x + p) + (kx + ) = 2,

de donde,

kp = 2 ,

y

Variacin peridica p = 2 / k.

Por lo tanto, comparando los perodos de las curvas (y = sen x) y (y = a sen (kx + )),

observamos que, mientras la curva (y = sen x) tiene un ciclo en el intervalo de 0 a 2, la

curva (y = a sen (kx + ) tiene k ciclos en el mismo intervalo. Por esto, a la constante k

se le llama factor de periodicidad.


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Factor de periodicidad k = 2 / p

El ngulo de fase no afecta ni la amplitud ni el perodo de la sinusoide, pero afecta la

posicin de la curva con relacin a los ejes coordenados. Esto puede verse escribiendo

la ecuacin

y = a sen (kx + )

En la forma:

Y = a sen k (x + / k) (4)

Y comparando su grfica con la grfica de la ecuacin

y = a sen kx (5)

Observamos que son idnticos en forma, pero si se trazan en el mismo sistema de ejes

coordenados aparecen como curvas separadas para las cuales los puntos

correspondientes tienen las mismas ordenadas pero sus abscisas difieren en una cantidad

igual a / k. Se dice entonces que las dos curvas estn fuera de fase o desfasadas, y el

ngulo / k se le da por esto el nombre de ngulo de fase.

ngulo de fase = / k


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Ejercicio: Trazar la sinusoide cuya ecuacin es

y = 2 sen ( x + 1), - < x < (6)

y determinar su amplitud, perodo y ngulo de fase

Solucin. La amplitud es igual, evidentemente a 2. Como el factor de periodicidad es ,

el perodo es igual a 2 / = 4 y el ngulo de fase es igual a 1 / , o sea 2 radianes.

El estudiante debe notar que el nmero 1 que aparece en el ngulo de la ecuacin (6)

representa un radian y no un grado.

Para trazar el lugar geomtrico de la ecuacin (6), es conveniente trasladar primero el

eje y. Para ello escribiremos la ecuacin (6) en la forma

Y = 2 sen (x + 2).

Y haremos

x + 2 = x

De esta manera la ecuacin transformada es

y = 2 sen x. (7)


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Figura 2

Como x = x 2, el nuevo origen de O es el punto (-2,0). Y la grfica puede trazarse

con relacin a los ejes x y y . Una parte de la curva resultante se ha representado en la

figura 2; por supuesto, que esta grfica es tambin el lugar geomtrico de la ecuacin ( y

= 2 sen ( x + 1)) con relacin a los ejes x y y. La escala sealada encima del eje x es

con relacin al eje y; la escala inferior es con relacin el eje y , se emplea para leer las

coordenadas de los puntos que estn sobre la grfica de la ecuacin (y = 2 sen ( x +

1)).


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Ejercicios traza la sinusoide de las siguientes funciones y determina su amplitud,

perodo y ngulo de fase.

a) y = 2 sen 3 x

b) y = 4 sen 2 x

c) y = 4 sen (x / 3 + 1)

d) y = - 2 sen (2 x + )

COSINUSOIDELas cinco restantes funciones trigonomtricas pueden estudiarse por medio de sus

grficas, cada una de las cuales recibe un nombre en relacin con la funcin

trigonomtrica correspondiente. As, la funcin trigonomtrica cos x se estudia por

medio de la ecuacin


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y = cos x ,

cuya grfica se llama cosinusoide. Como cos x = sen ( / 2 + x) , la cosinusoide puede

trazarse por medio de la sinusoide:

y = sen (x + / 2)

La curva de la figura (3), difiere de la correspondiente a y = sen x de la figura (1)

solamente por tener al eje y desplazado / 2 unidades hacia la derecha. Como cos (- x)

= cos x, la curva es simtrica con respecto al eje y. L a amplitud es la unidad, y como

cos x = cos (x + 2 ) el perodo es igual a 2 .

TANGENTOIDE

La grfica de la ecuacin:

y = tan x


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se llama tangentoide. Como tan x = tan (x + ), la curva es peridica y su perodo es

igual a . La grfica se compone de un nmero infinito de ramas diferentes que tienen

por asntotas las rectas x = n / 2 , en donde n es un entero impar.

COTANGENTOIDE

y = cot x

COSECANTOIDE

y= csc x

Ambas curvas, la secantoide y la cosecantoide son peridicas, siendo el perodo de cada

una igual a 2 .

GRFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS INVERSASLa funcin arc sen x puede estudiarse por medio de la ecuacin

y = arc sen x, (1)

La cual significa que y es el arco cuyo seno es x . La ecuacin (1) se escribe

frecuentemente en la forma:

y = sen- 1 x ,

Pero nosotros utilizaremos la notacin de la ecuacin (1). La relacin expresada por la

ecuacin (1) puede obtenerse a partir de la ecuacin:

x = sen y

Despejando y en funcin de x . Por tanto, la relacin (1) es inversa de la relacin (2);

consecuentemente, la funcin arc sen x se llama una funcin inversa del seno, y la

grfica de la ecuacin (1) se llama curva seno inversa.


59/62

Como la ecuacin (1) se deduce de la ecuacin (2), la grfica de la ecuacin (1) puede

obtenerse partiendo de la ecuacin (2).

Parte de la grfica se ha trazado en la figura (1), pero llamaremos la atencin sobre un

hecho importante: En el caso de la sinusoide, y = sen x, para cada valor asignado a x , se

obtiene uno y solamente un valor de y . Decimos entonces que y es una funcin

uniforme de x. En cambio, en el caso de la curva inversa (1), para cada valor que se le

asigna a x, se obtiene un nmero infinito de valores para y. As, si se le asigna a x el

valor , y puede tener uno cualquiera de los valores

/ 6 + 2 n 5 / 6 + 2 n ,

Siendo n un nmero entero cualquiera. De acuerdo con esto, se dice entonces que y es

una funcin multiforme de x. Para ciertos estudios se hace necesario restringir los

valores de y a un cierto intervalo con el fin de convertir a esta funcin en uniforme. Para

la funcin arc sen x, este intervalo es:

3 / 2 arc sen x / 2,

Y estos valores se llaman los valores principales del arc sen x. El estudiante debe

observar que, dentro del intervalo (3), la variable x puede tomar todos los valores desde

1 a + 1, inclusive. Aquella porcin de la curva seno inversa (1) incluida en el intervalo

(3) se llama rama principal de la curva; esta curva es la trazada con una lnea ms

gruesa en la fig. (1).

Para la curva coseno inversa cuya ecuacin es:

y = arc sen x,

La variacin de los valores principales est dada por el intervalo:


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0 arc cos x .

La rama principal de esta curva es la trazada en lnea gruesa en la figura (2)

Para la curva tangente inversa cuya ecuacin es:

y = arc tan x,

la variacin de los valores principales es :

3 / 2 < arc tan x < / 2

La rama principal de esta curva aparece en lnea gruesa en la figura (3)

Para la curva cotangente inversa:

y = arc cot x

Intervalo:

0 < arc cot x <

Para la curva secante inversa:

y = arc sec x

Intervalo:


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- arc sec x < - / 2

0 arc sec < / 2

Para la curva cosecante inversa:

Y = arc csc x

- < arc csc x - / 2

0 < arc csc x

3.1.6 Problemas de aplicacin.

- Resolucin de problemas por equipo

- Duracin 2 hrs.

- Investigacin

- Problemas y ejercicios de tarea.


62/62

LIBRO III

FIN

Documents

INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS