Introduction a la Courbe des Taux

Annee 2006

Florian Ielpo

25 septembre 2007

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Table des matieres

1 Quelques mots d’introduction 4

2 Mathematiques financieres 4

2.1 Principal et Interets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.1 Interets Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2 Interets Composes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Taux proportionnels et taux equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.1 Taux proportionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.2 Taux equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Interets en temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Conventions de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 Valeur Future et Valeur Actuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.6 Criteres de decision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.6.1 Valeur Actuelle Nette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.6.2 Taux Interne de Rentabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Les obligations et la courbe des taux 13

3.1 Quelques definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Caracteristiques d’une obligation a taux fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Bestiaire des produits obligataires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4 Les produits americains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.5 Les marches obligataires americains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Evaluation d’un produit obligataire 16

4.1 Evaluation d’une obligation ZC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.1.1 Calcul du prix de l’obligation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.1.2 Calcul du rendement de l’obligation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2 Autour de la courbe des taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3 Evaluation d’une obligation a coupon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.4 Calcul d’un coupon couru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5 Couverture 24

5.1 Quelques mots d’introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.2 La couverture en duration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.2.1 $ duration et duration modifiee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2.2 La duration : calcul et interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.2.3 Couverture en duration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.3 Au dela de la duration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.3.1 Grandes variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.3.1.1 La couverture avec la convexite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.3.2 Variations non paralleles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.3.2.1 Le cross-hedge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.4 Le cadre general et quelques approches astucieuses . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2

6 Selection 40

6.1 Strategies passives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.2 Strategies actives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.2.1 Un exemple de market timing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.2.2 Quelques strategies classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7 Retour sur la courbe des taux 43

7.1 Derivation de la courbe des ZC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.1.1 La methode theorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.1.2 La methode du bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.2 Rendre la courbe des taux continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.3 La courbe des taux forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Bibliographie 47

3

1 Quelques mots d’introduction

Les marches obligataires constituent a l’heure d’aujourd’hui un marche riche, liquide et innovant.C’est egalement l’un des secteurs les plus anciens de la finance : le mecanisme pret/emprunt estcertainement vieux comme le monde et de nombreux ouvrages historiques traitant de ces ques-tions sont disponibles. Il n’est ici pas question d’entrer dans ces considerations : l’ambition decette courte introduction est de fournir les outils de base permettant de comprendre les ideesles plus simples de la gestion de taux.

Comme c’est le cas pour de nombreux secteurs de la finance, deux niveaux d’explications etdonc d’enseignement sont disponibles pour les produits de taux. Le premier niveau - ce dontil sera question ici - presente globalement les methodes d’evaluation, de selection et de cou-verture de produits de taux a versement futurs certains. De nombreux concepts essentiels a lacomprehension de toute la finance sont exposes a cette occasion : celui d’actualisation, de pri-cing, de risk management, de duration, de sensibilites... Il s’agit de concepts tant theoriques quepratiques, et par consequent necessaires a la gestion au quotidient en salle de marche (desk fixedincome ou ALM).

Il existe cependant un second niveau de comprehension, plus exigeant et vaste que le precedent,integrant le caractere aleatoire des versements futurs et par consequent du prix des actifs. Iln’en sera pas question ici, dans la mesure ou ce type d’approche necessite de solides pre-requisde calcul stochastique.

Ces notes de cours s’inspirent de nombreux ouvrages disponibles sur les produits de taux. Achaque debut de section, il sera fait reference precisement aux chapitres d’interet de ces ou-vrages. Jarrow (2002) est un excellent petit ouvrage en langue anglaise, redige par l’un desfondateurs des modeles de taux. Cet ouvrage couvre les deux niveaux d’approches evoquesprecedement et presente une approche extrement pedagogique. Martellini and Priaulet (2004)est un ouvrage en francais couvrant de nombreux aspects de ce cours : de prix abordable, ilpresente de facon tant theorique que pratique les differents elements abordes dans le cadre de cecours. Martellini et al. (2003) est la version anglaise, chez Wiley, de l’ouvrage precedent. Il nes’agit pas simplement d’une traduction : l’ouvrage a ete considerablement epaissi et agremented’exemples pratiques. Cairns (2004) est un ouvrage dans la meme veine que celui de Jarrow,presentant les deux niveaux de comprehension des produits de taux. L’ouvrage est d’excellentefacture et tres pedagogique. Tuckman (2002) presente enfin de facon tres pratique l’ensembledes concepts abordes au cours de ce polycopier. Il offre l’avantage ( ?) d’utiliser un minimum demathematiques financieres et un maximum d’intuition.

Ces notes de cours emprunte a l’ensemble de ces ouvrages, et espere en avoir retire les elementsles plus pedagogiquement viables. Ce polycopier est susceptible d’evolutions, d’ameliorations...Bref, tout commentaire constructif est le bienvenu.

2 Mathematiques financieres

Avant toute chose, il est tout d’abord necessaire de presenter quelques outils du calcul financierbasique. Il n’existe pas de pre-requis particulier pour cette section, si ce n’est la ”maitrise” del’addition, la multiplication et un minimum de bon sens. Les ouvrages cites precedement ne

4

presentent ces differents elements que de facon diffuse, sans consacrer un chapitre special a ceselements. C’est pourquoi il n’est pas fourni de references precises.

Il sera principalement question de taux d’interet dans ce qui suit. L’interet est frequement appelela valeur temps de l’argent, c’est a dire la valeur accordee aujourd’hui au fait de ne pas utiliserl’argent dont on dispose pour une utilisation immediate (i.e. la consommation). Le fait de re-noncer a consommer aujourd’hui pour preter de l’argent a un prix, et ce prix peut etre assimileau taux d’interet. On revient dans ce qui suit sur les principes de capitalisation, d’actualisationet de critere de decision (a partir de quel niveau de taux choisit-on de ne pas consommer ?Comment choisir entre differents projets d’investissement ?).

2.1 Principal et Interets

L’idee de base de cette section est extrement simple : imaginons que vous investissiez un mon-tant de 100 euros sur une duree d’un an dans un placement qui rapporte 3% par an. A la fin decette annee d’investissement, vous serez alors l’heureux(se) detenteur(trice) de 103 euros. Vousavez ainsi accru votre capital de 3%. De facon general, en investissant un montant M a un tauxr%, vous vous retrouvez avec M(1 + r) a la fin de l’annee. Ce principe relativement simple,se complexifie legerement lorsque l’on depasse l’horizon d’investissement d’un an. On distinguealors les interets simples des interets composes.

2.1.1 Interets Simples

Les interets simples constituent la methode la plus simple de calcul des interets. Il s’agit d’uneregle de proportionnalite : les interets au bout de n annees sont egaux a n fois les interets aubout d’une periode.

Plus precisement, en reprenant l’exemple precedent, et en investissant dans un projet d’horizon3 ans, on obtient :

– des interets de Mr la premiere annee– des interets de Mr la deuxieme annee– des interets de Mr la troisieme annee,

soit 3 × Mr au terme des trois ans (la somme des trois versements d’interets). Le capital aubout de 3 ans est ainsi egal a M(1 + 3r).

L’idee est ici que les interets percus chaque annee ne donnent pas lieu a la perception d’interetssur les interets. Ceci expliquant la denomination d’interets simples : on se contente de calculer lesinterets chaque annee comme si il s’agissait d’un nouveau projet d’investissement d’un horizond’un an.

Notez que jusqu’ici les taux d’interets sont exprimes en base annuelle : il s’agit des interets liesa des projet d’un horizon d’un an. Il s’agit d’une pratique extremement courante et generalise al’ensemble des marches.

5

2.1.2 Interets Composes

Par opposition aux interets simples, les interets composes permettent de percevoir a la fois lesinterets et les interets des interets. En reprenant l’exemple precedent, on investit M au tauxannuel r% sur 3 ans, avec des interets composes. On obtient alors :

– des interets egaux a Mr% au bout d’un an– au bout de deux ans, on obtient a la fois Mr%, comme dans le cas precedent. On ajoute

a cela le fait que l’on ait reinvestit les interets de la premiere annee au meme taux, soit :Mr%(1 + r%)

– il en va de meme la derniere annee : on obtient classiquement les Mr%, auxquels s’ajoutentles interets des interets percus au cours de la premiere et deuxieme annee : soit Mr%(1 +r%)(1 + r%) pour ceux de la premiere annee et Mr%(1 + r%) pour la deuxieme annee.

Au total, on obtient alors :

M + Mr% + Mr%(1 + r%)(1 + r%) + Mr%(1 + r%) = M(1 + r%(1 + r%) + r% + r%(1 + r%)2) (1)

= M((1 + r%)(1 + r% + r%(1 + r%))) (2)

= M(1 + r%)3 (3)

Ainsi, dans le cas des interets composes, le capital accumule s’ecrit a l’aide de puissances etnon du produit comme c’etait le cas pour les interets simples. Encore une fois, il s’agit pour lemoment de capitalisation annuelle. On verra plus loin une methode permettant de capitalisersur des intervalles situes dans R

+∗.

Remarque 1 (Point de vocabulaire). Le capital initiallement investi est appele generalementprincipal. Ce terme reste inchange en anglais.

2.2 Taux proportionnels et taux equivalents

Il arrive tres souvent de devoir capitaliser des interets sur des periode differentes de l’annee :capitalisation sur une semaine, un mois, trois mois... ou pour des periodes plus complexes tellesque deux mois, trois semaine et deux jours. Il est alors necessaire de determiner le taux qui s’ap-plique a cette capitalisation, a partir du taux annuel de capitalisation. Il est possible d’utiliserles taux proportionnels ou les taux equivalent, selon l’approximation que l’on souhaite mettreen oeuvre.

2.2.1 Taux proportionnels

Comme on l’a fait remarquer, les taux d’interet sont frequemment exprimes en base annuelle(plus rarement en base semestrielle). Lorsque l’on considere une periode de capitalisation inferieurea l’annee (par exemple le mois ou le trimestre), le taux d’interet prevalant pour cette periodedoit etre calcule de maniere proportionnelle :

r : taux en base annuelle (4)

rm : taux periode si l’on considere qu ’il y a m periodes de capitalisation pendant l’annee(5)

6

On a alors :

rm =r

m(6)

Un exemple numerique permettra de clarifier les choses : soit un investissement de 10 000 eurosau taux de 12% avec capitalisation mensuelle des interets. Le taux est exprime en base annuelle.On a alors :

10000 × (1 + 1%) au bout d’un mois (7)

10000 × (1 + 1%)2 au bout de deux mois (8)

10000 × (1 + 1%)12 au bout d’un an (9)

Ceci vient naturellement du fait que le taux mensuel proportionnel au taux annuel de 12% est :

r12 =12%

12= 1% (10)

2.2.2 Taux equivalents

Dans le cas ou l’on travaille sur un intervalle de temps superieur a l’annee, on a generalement re-cours aux taux equivalents. Deux taux correspondant a des periodes de capitalisation differentessont equivalents quand ils donnent a interets composes la meme valeur acquise au bout du memetemps de placement. Autrement dit, l’equivalent annuel de ces deux taux doit etre le meme. Ondetaille la methode et on presente la encore un exemple nuemrique simple.

Ainsi, considerons :

r le taux d’interet en base annuelle pour m periodes de capitalisation (11)

ra le taux annuel equivalent (avec periode annuelle de capitalisation) (12)

L’egalite des valeurs acquises au bout d’un an entre les deux placements s’ecrit :

(1 + ra) =(

1 +r

m

)m(13)

ra = (1 +r

m)m − 1 (14)

r = m( m√

1 + ra − 1) (15)

La methode de calcul est ici legerement plus complexe que pour les interets proportionnels, maisl’approximation est meilleure.

Remarque 2. On notera qu’intuitivement, les interets proportionnels correspondent a une ca-pitalisation a interets simples, alors que les taux equivalents correspondent a une capitalisationa interets composes. On utilise ainsi davatage les interets simples pour des periodes inferieuresa l’annee et les interets composes pour des periodes superieures a l’annee.

La encore, un exemple numerique : soit un taux trimestriel de 1.5%. Ce taux correspond au tauxannuel equivalent de :

ra = (1 + 1.5%)4 − 1 = 6.14% (16)

7

Inversement on peut chercher le taux trimestriel equivalent a un taux annuel de 6%.

(1 + 6%) = (1 + rm)4 ⇒ rm = 1.47% (17)

Ce court exemple permet de se faire une idee de l’ecart existant entre taux proportionnel ettaux equivalent. 1.5% correspond a un taux annuel proportionnel de 6%, mais a un taux annuelequivalent de 6.14%. Plus le nombre de periodes est important (mois, semaine, jours...) et pluscet ecart se creuse. Globalement le taux proportionnel est inferieur au taux equivalent corres-pondant.

Remarque 3 (Taux effectif). On appelle egalement ce taux equivalent taux effectif, dans lamesure ou dans l’hypothese d’une capitalisation composee, le veritable loyer de l’argent est letaux d’interet ainsi calcule. Le terme anglais est effective rate.Le taux annualise (i.e. r), tel qu’il apparait dans les bases de donnees est appele taux nominalou nominal rate.

2.3 Interets en temps continu

De nombreux modeles d’evaluation de produits de taux reposent sur une modelisation en tempscontinu de la capitalisation. Ces modeles ne seront pas abordes dans le cadre de ce cours, maisune excellente revue de la litterature, tournee principalement vers le developpement des modelesHeath-Jarrow-Morton (HJM) est disponible dans Jarrow (2002). Il en va de meme pour Cairns(2004). Une version francaise plus succinte est disponible dans Martellini and Priaulet (2004).

Imaginons qu’il soit possible d’augmenter toujours davantage m, le nombre de periodes compo-sant une annee : il serait possible en theorie d’utiliser le mois comme intervalle, ou la semaine,le jours, l’heure, voire la minute... et de determiner ainsi le taux equivalent pour une unite detemps tendant vers 0 (et par consequent un nombre de periodes tendant vers +∞). Considererune composition continue revient a considerer qu’il est possible de capitaliser sur une periodede temps infinitesimale. Ainsi, a partir de la capitalisation suivante :

(1 +1

m)m (18)

une capitalisation continue revient a faire tendre n vers l’infini : on obtient un intervalle de tauxinfiniment petit. La limite de cette expression est alors :

limm→∞

(1 +1

m)m = e (19)

C’est ce qu’on observe sur la figure 1 (page 9).Une autre facon de le voir est de faire un developpement limite de eu au voisinage de 0 :

eu ∼ 1 + u (20)

On obtient de meme cette approximation pour (eu)n, capitalisation sur n periodes :

(eu)n = eun ∼ (1 + u)n (21)

On peut ainsi calculer la capitalisation d’une somme quelconque pour une periode de tempsquelconque, en temps continu. Notons t une variable permettant de compter le temps en baseannuelle. Ainsi t = 1 correspond a une annee, t = 0.25 a un trimestre et t = 1/52 a une semaine.

8

0 50 100 150 200

2.0

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

Index

dem

Convergence vers l’exponentielle

Fig. 1 – Convergence vers l’exponentielle

En divisant l’annee en m periodes comme precedement, on est alors en mesure de trouver unerelation approximativement bonne entre les variables t et m. On a ainsi :

t =k

m(22)

ou k est le nombre de periodes de m necessaire pour reconstituer a proximativement t. Parexemple, si t = 0.25 et que m = 12 (la periode choisie est le mois), on a alors k = 3 :

t =k

m=

3

12= 0.25 (23)

Plus m est important (plus le nombre de periodes est important) et plus l’approximation de tpar k/m est bonne. En faisant tendre m vers l’infini, celle-ci devient quasi parfaite, et on a :

[

1 +r

m

]k=

[

1 +r

m

]mt(24)

=([

1 +r

m

]m)t→ ert (25)

(26)

Ceci tient naturellement au fait que k ∼ mt. On trouve ainsi une expression de la capitalisationen temps continu d’un montant quelconque au taux annuel proportionnel r. Encore une fois cetype de capitalisation ne sert que dans le cas de modeles en temps continu, qui restent monnaiecourante en finance. Notons que le temps continu revient precisement a operer cette partitioninfinitesimale du temps.

2.4 Conventions de calcul

Tous les calculs precedents font intervenir la duree du placement. Il existe des conventionsprecises pour la calculer, qui different selon les marches et les produits. Voici pelle-mele quelquesunes de ces regles de calcul :

– La base renseigne sur la duree entre deux paiements et sur le nombre de jours considere dansune annee.

9

– Un placement sur une periode d’interet entre deux dates d1 et d2 est suppose inclure la dated1 et exclure la date d2.

– Les interets sont percus en fin de periode de capitalisation, i.e. pour une capitalisation annuelle,a la fin de chaque annee. On parle parfois d’interets post-comptes.

– Les principales bases sont :

– Base Exact/360 (Actual /360) : nombre exact de jours calendaires entre deux dates divisepar 360 ; elle est utilisee sur le marche monetaire avec des taux proportionnels.Entre le 01/08/1999 et le 03/09/2001 : 764 jours.

– Base Exact/Exact (Actual/Actual) : nombre exact de jours calendaires entre les deux dates.La base comprend 365 ou 366 jours selon les annees calendaires ; elle est utilisee pour lecalcul des coupons courus des obligations.Entre le 01/08/1999 et le 03/09/2001 : 152/365 + 1 + 246/365 = 2.0904Entre le 01/08/2000 et le 03/09/2002 : 152/366 + 1 + 246/365 = 2.0892

– Base 30/360 : annee divisee en 12 mois de 30 jours. On compte le nombre de mois calendairespleins + les fractions de mois ; elle est utilisee sur le marche des swaps.Entre le 01/01/2001 et le 25/03/2001 : 2 × 30 + 24 = 84 joursEntre le 15/01/2001 et le 31/05/2001 : 16 + 4 × 30 = 136 joursEntre le 31/01/2001 et le 31/05/2001 : 4 × 30 jours = 120 jours

2.5 Valeur Future et Valeur Actuelle

Imaginons que l’on vous propose un investissement d’un montant initial de 100 euros, qui vousrapporte un taux annuel de 4% sur deux ans. Vous vous interrogez : quelle sera la valeur futurede mon placement ? Par valeur future, on entend naturellement la valeur de votre patrimoineatteinte in fine grace a cet investissement. Rien n’est plus simple. Vous avez qu’avec des interetscomposes, vous obtiendrez au bout des deux ans :

V2 = 100(1 + 4%)2 (27)

On appelle V2 la valeur future de votre placement. En determinant la valeur future de differentsplacements a deux ans, vous serez alors en mesure de les comparer a l’heure d’aujourd’hui. Enrevanche, si vous souhaitez choisir entre differents placements d’horizons differents (un an ,deuxans, trois ans...), les projets n’etant pas de meme maturite, il ne vous est pas possible de procedercomme precedement. La valeur future n’est pas la bonne approche.

Si le fait de capitaliser les flux a l’aide d’interets composes permet d’obtenir in fine la valeurfuture du placement etudie, alors il est possible de determiner la valeur presente d’un placementfournissant une valeur future de Vf dont on connait les modalites de versement, autrement dit,la valeur qu’il est necessaire d’investir aujourd’hui pour obtenir Vf en fin de vie du produitobligataire.

Ceci revient a dire qu’un euro aujourd’hui n’a pas la meme valeur aujourd’hui et demain. Si ilest possible d’investir cet euro a un taux de 6% aujourd’hui, il est possible sur une periode dedeux ans d’obtenir :

Vf = (1 + 6%)2 = 1.1236 (28)

10

Autrement dit, la valeur actuelle de 1.1236 euros dans deux ans est 1 euro aujourd’hui. Onobtient Vp, la valeur presente comme suit :

Vp =1.1236

(1 + 6%)2= 1 (29)

Cette notion est essentielle, dans la mesure ou elle constitue la base de l’ensemble des methodesde valorisation des actifs (financiers). Elle sera fort utile pour le calcul des criteres de decisionsdeveloppes plus bas. Ainsi pour comparer la valeur de differents investissement, vous allezdeterminer l’ensemble des projets a la valeur presente et comparer cette valeur presente a l’in-vestissement necessaire. Il s’agit du point de depart des Valeurs Actualisees Nettes et des TauxInternes de Rentabilite.

2.6 Criteres de decision

On presente dans cette section deux methodes de calculs qui serviront lorsque l’on attaquera levif du sujet : il s’agit de la valeur actuelle nette et du taux interne de rentabilite. Les conceptsde valeur actuelle nette et de taux de rendement interne sont developpes de facon pedagogiquedans Brealey and Myers (2003, 2005)[Chapitre 2, 3 et 5]).

2.6.1 Valeur Actuelle Nette

La Valeur Actuelle Nette est une methode simple permettant de juger de l’interet d’un place-ment. C’est une methode largement presentee, sinon utilisee, lors de la selection de differentsinvestissements. L’idee est simple : on actualise les flux de revenu futurs occasiones par le pla-cement et on les compare au montant initial de l’investissement. La formule peut sembler apremiere vue complexe, mais il n’en est rien.

Un exemple permettre d’eclaircir les idees : imaginons que vous vous lanciez dans un placement(sur les conseils d’un ami bien avise) qui necessite une mise de depart de 100 euros, et vousrapporte au bout d’un an 5 euros, en plus de votre mise de depart. Vous allez voir votre ban-quier et vous lui demandez le taux d’interet qu’il vous servirait pour un placement sur une dureeequivalente. La reponse : 4%. Avez vous interet a investir dans ce placement ?

Une facon de repondre revient a determiner la valeur actuelle du placement : cette valeur actuelleest naturellement egale a :

Vp =105

1 + 4%= 100.96 euros (30)

En clair : vous avez le choix entre votre placement et pretter votre argent a la banque. Vous savezqu’en prettant 100 euros vous obtiendrez 105 euros in fine avec le placement de votre ami. Dansle cas ou vous pretteriez de l’argent a votre banque, combien faudrait il pretter pour obtenir infine 105 euros ? La reponse est solution de :

x(1 + 4%) = 105 ⇔ x =105

1.04(31)

soit la reponse donnee initiallement. On compare alors la somme initiale a investir pour obtenir105 euros dans un an pour les deux placements. Celui dont la somme est la plus faible (mise de

11

depart initiale la plus reduite) est le placement le plus interessant. En fait, on vient de comparerles valeurs presentes des deux investissements, en repondant a la question : combien faut-il quej’investisse aujourd’hui pour obtenir un montant donne dans le futur.

Il est possible de generaliser la formule de la VAN a des flux mutliples, tels que : recevoir 5euros dans un an, puis 5 euros dans deux ans et enfin 105 euros dans trois ans, pour une misede depart de 100 euros. Dans ce cas, on procede comme precedement : quel serait le montant ainvestir a 4% aupres de la banque pour obtenir ces flus ? On ne resout pas a nouveau le systeme,on se contente de calculer la valeur actuelle :

5

1, 04+

5

1, 042+

105

1, 043= 102.78 euros (32)

La encore le placement de votre ami est bien plus interessant. Notez au passage que l’actualisationa conduit a actualiser chacun des flux independement des autres. La formule generale de la VANest la suivante :

V AN = −I +n

∑

p=1

Fp

(1 + r)p(33)

Fp : Flux net de tresorerie de la periode p (34)

I : Le capital investi (35)

n : duree de vie du projet (36)

r : taux d’interet. (37)

Ce principe n’est pas utile en tant que tel pour les produits de taux, mais sa demarche estessentielle pour comprendre le fonctionnement des principes de base de l’evaluation des produitsde taux. Le taux interne de rentabilite est egalement un principe essentiel.

2.6.2 Taux Interne de Rentabilite

Le taux interne de rentabilite s’interroge quant a la rentabilite d’un placement. Combien merapporte en terme d’interet le placement precedent ? On connait la chronique des cash-flows,mais on ne connait pas encore le taux de rentabilite du projet. Quelques calculs evident montrentque ce taux de rentabilite n’est rien d’autre que le taux d’actualisation qui permet d’egaliser lasomme des cash flows futurs actualises et le montant initiallement investi. Il s’agit donc du tauxd’actualisation pour lequel la VAN est egale a 0. Autrement dit, c’est le taux x pour lequel il y aequivalence entre le capital investi et l’ensemble des cash flows. Sa formule est donc la suivante :

I =n

∑

p=1

Fp

(1 + x)p(38)

Remarque 4. Les criteres de la VAN et du TIR reposent sur des hypotheses de re-investissementdes flux de tresorerie pendant toute la duree de la vie du projet. Selon les criteres de la VAN,le reinvestissement se fait au taux d’actualisation alors que pour le TIR le reinvestissement desflux de tresorerie s’effectue au taux interne lui-meme.

Ces quelques mots autour de la VAN et du TIR prouveront dans ce qui suit toute leur utilite :l’actualisation est a la base du calcul obligataire simple.

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3 Les obligations et la courbe des taux

Cette section sera l’occasion de presenter l’ensemble des produits obligataires standards. Il seraegalement question de methodes de valorisation ainsi que du concept de courbe des taux, conceptessentiel s’il en est.

Cette section s’appuie sur differents chapitres des livres precedement cites. Leur lecture estconseillee. La premiere partie de cette section est inspiree de Martellini et al. (2003)[ChapitreXX]. La partie consacree au bestiaire des produits obligataires emprunte a Jarrow (2002)[Cha-pitre 1]. La partie consacree a l’analyse rich and cheap est tiree de Martellini and Priaulet(2004)[pages 166-168].

3.1 Quelques definitions

Definition 1 (Les obligations). Les obligations sont des titres de creance detenus par un ouplusieurs porteurs a l’encontre d’un emprunteur.

Derriere cette definition se cache une idee tres simple : quand un particulier souhaite emprunterde l’argent pour financer l’achat de sa maison de son appartement, la somme empruntee estderisoire, au regard des reserves dont dispose la banque. Lorsqu’une entreprise souhaite financerun projet d’investissement, le cout est tres largement superieur. La banque n’est alors plus enmesure de fournir seule la somme requise sans se mettre dramatiquement en danger. Une solutionsimple a ce probleme consiste a decouper la somme a pretter en autant de petites sommes qu’ille faut, et a proposer ces micro-prets sur un marche organise : le marche obligataire. Chacun deces micro-prets est appele obligation et porte des interets appeles coupon.

Definition 2 (Les coupons). Les coupons correspondent, dans le cas d’une obligation, au ver-sement des interets a intervalles fixes.

Les coupons correpondent donc aux tombees d’interets regulieres. Les intervalles entre deuxcoupons peuvent etre variables. Ils sont en general semi-annuel ou annuel. Le taux de coupon,i.e. le taux d’interet de reference pour calculer le coupon, est negocier a l’emission de l’obligation.

Il existe de multiples categories d’obligations segmentees selon differents criteres :

– Les obligations a taux fixe / les obligations a taux variable selon la nature fixe ou variable dutaux de coupon

– Les obligations d’Etat / les obligations corporate selon la nature publique ou privee del’emetteur

– Les obligations a coupon / les obligations zero-coupon selon l’existence ou non de couponsintermediaires dans l’echeancier de remboursement

– Les obligations sans clause optionnelle / les obligations a clause optionnelle (obligationsconvertibles...) selon l’existence ou non d’options associees au produit purement obligataire

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– Les obligations AAA / les obligations BBB selon la nature du rating de l’emetteur

Dans ce qui suit, on ne considerera que la classe d’obligation la plus standard ( plain vanillabond ou bullet bond ). Ce sont des obligations qui presentent les caracteristiques suivantes :

– a taux fixe

– sans risque de defaut ou rating AAA i.e. emises generalement par l’un des Etats membres duG7

– le plus generalement a coupons

– sans clause optionnelle

Ces obligations ne sont naturellement pas emises par des entreprises privees. Une entreprise estquoiqu’il arrive soumise a un risque de defaut, si faible soit il. Le risque de faut correspondsimplement au fait que l’entreprise ne rembourse pas l’argent qu’elle a emprunte a l’echeance dupret. Ces obligations vanilles sont principalement le fait des Etats : eux aussi ont de tres largesbesoins de financement. Pour les principaux pays du G7, le risque de defaut est quasi-nul et parabus de langage est considere comme nul. Ce rique est bien evidement quasi nul dans la mesureou des evenements geopolitiques peuvent encore et toujours eclater.

3.2 Caracteristiques d’une obligation a taux fixe

Les obligations a taux fixe presentent un certain nombre de caracteristiques qu’il convient d’avoiren tete avant de passer aux choses serieuses :

Emetteur : il s’agit de l’emprunteur. L’emprunteur peut etre une entreprise, l’Etat, une col-lectivite locale... S’il s’agit d’une entreprise, elle doit avoir au moins deux ans d’existence, deuxbilans regulierement approuve par les actionnaires et un capital entierement libere. La taille del’emission correspond au montant emprunte initialement par l’emprunteur.

Montant principal ou nominal : il s’agit de la taille de l’emission divise par le nombre to-tal d’obligations mis sur le marche. Exemple : Une entreprise emet un million d’obligations demontant nominal egal a 100 euros. La taille initiale de l’emission est egale a 100 millions d’euros.

Taux de coupon : c’est le taux d’interet verse periodiquement au detenteur de l’obligation.On appelle coupon le montant egal au taux de coupon multiplie par le montant nominal.

Frequence de tombee des coupons : frequence selon laquelle l’emprunteur versera desinterets au detenteur de l’obligation. Les frequences les plus classiques sont une fois par anet deux fois par an a des dates fixees lors de l’emission obligataire. Les coupons sont percus jus-qu’a echeance de l’obligation Exemple : Une entreprise emet une obligation de montant nominal100 euros qui verse annuellement des interets. Le taux de coupon est fixe a 5%. Le coupon versetous les ans a date anniversaire est donc egal a 5 euros.

Base : elle renseigne sur la duree entre deux dates et sur le nombre de jours considere dans uneannee. La base la plus souvent utilisee est la base Exact/Exact (Actual/Actual) qui prend en

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compte le nombre exact de jours calendaires entre 2 dates et 365 ou 366 jours selon les anneescalendaires.

Echeance : il s’agit de la date a laquelle l’obligation n’existe plus. L’emprunteur a rembourse acette date l’integralite de ce qu’il devait au detenteur de l’obligation. Classiquement, l’emprun-teur rembourse le montant nominal a l’echeance.

Echeancier des remboursements : il correspond a l’echeancier des versements effectues parl’emprunteur au preteur.

Exemple : Soit une obligation de montant nominal 100 euros emise le 05/04/01, de maturite 3 ans, detaux de coupon 10% verse annuellement et qui rembourse le montant nominal a echeance. L’echeancierde cette obligation est le suivant :

– 05/04/02 : versement d’un coupon de 10 euros

– 05/04/03 : versement d’un coupon de 10 euros

– 05/04/04 : versement d’un coupon de 10 euros et du montant nominal egal a 100 euros

Devise d’emission : elle correspond le plus souvent a la devise du pays d’appartenance del’emetteur.

Secteur d’activite : il s’agit simplement du secteur d’activite de l’emetteur de l’obligation.

Rating de l’emetteur : Il est une mesure de la capacite de l’emetteur a rembourser les interetset le montant principal de l’obligation. Autrement dit, il mesure le risque de defaut ou credit del’emetteur. Il est fourni par les agences de notations (Standard & Poors, Moodys,...). La figure?? donne un bref apercu de ce que sont les differentes notes.

3.3 Bestiaire des produits obligataires

On presente dans cette section un certain nombre de produit obligataires essentiels a la comprehensiondu travail effectue par n’importe quel trader taux en salle. Il ne sera ici question que des produitsles plus standards sur le marche americain.

3.4 Les produits americains

Les produits obligataires emis par le Tresor americain (bonds, notes and bills) sont des dettesobligataires garanties par l’Etat americain. On les considere donc en general comme ”sansrisque”. L’ampleur du deficit public americain garantit un approvisionnement consequent dumarche obligataire.

Il existe globalement deux types de produits du Tresor :

– les coupon bonds qui sont des obligations payant un coupon tous les six mois et dont le prin-cipal (ou face value) est paye au terme du contrat.

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– les zero-coupon bons qui ne servent pas d’interet et qui payent a maturite le principal.

Remarque 5. Par convention historique, le Tresor emet des 0-coupons sur des maturitesinferieures a l’annee. Les coupon-bonds sont emis sur des maturites superieures a l’annee.

Les zero-coupons sont appeles bills. Les coupon-bonds sont appeles notes si leur maturite estcomprise entre deux et dix ans et bonds pour des maturites superieures a 10 ans. Chaque typede produit a un type de cotation particulier (voir Jarrow (2002)[pages 8-11]).

En plus de ces trois produits, et a la demande des intervenants du marche, le Tresor emetdes titres synthetiques, les STRIPS (Separate Trading of Registered Interest and Principal ofSecurities) depuis aout 1985. Il s’agit de la cotation a part des coupons ou du principal dedifferents coupon bonds. Il s’agit en fait de zero-coupons synthetiques de maturite superieure aun an, permettant de completer la courbe des zero-coupons pour des maturites allant jusqu’a30 ans.

3.5 Les marches obligataires americains

Il existe trois marches pour les produits obligataires simples :

– le marche des taux spot, avec livraison immediate du produit. On parle sur ces marches detaux spots ;

– le marche des taux forward : un contrat forward est un contrat par lequel un acheteur et unvendeur s’engage a echanger un produit a une date future connue et a un prix (un taux) fixeaujourd’hui. On parle de taux forward dans ce cas ;

– le marche des taux futures : un contrat de futures est un contrat proche du contrat forward,mais pour lequel les reglements s’effectuent au jour le jour par des mecanismes de compensa-tions journalieres. On parle de daily installments/settlements et le fait de realiser ces appelsde marge est appele marking the market.

4 Evaluation d’un produit obligataire

Comme precise en introduction, l’ambition generale de la finance est triple : il s’agit d’une partde parvenir a donner un prix (evaluer), selectionner et couvrir le risque d’un produit financier,produit n’existant pas naturellement dans la nature. Commencon simplement par s’interrogersur la valeur d’une obligation. A la question ”quelle valeur a l’obligation X ?”, il est possible defournir deux types de reponses : d’une part, il est possible de s’interroger sur le prix de marchede cette obligation. Les obligations sont cotees en continu et il est possible a tout moment d’unejournee de trading d’obtenir le prix de marche, sorte de consensus autour de la valeur d’un titre.Dans premier temps donc, il sera question du mode de calcul de ce prix de marche. Dans unsecond temps, il est egalement possible que le trader ait un avis different du marche quant auprix de l’obligation et decide par consequent de prendre une position (acheter/vendre) ce produiten esperant que son opinion se realisera dans le futur. Cette second question sera brievementabordee dans le cadre de l’analyse rich and cheap : le manque de temps ne permet pas d’allerplus loin.

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Il est a present question d’apporter quelques elements tournant autour de la premiere reponse :comment calcule-t-on un prix de marche d’une obligation ? D’une facon generale, les obligationsa taux fixe sont cotees de deux facons differentes :

– cotation en prix ;

– cotation en taux de rendement.

Il n’existe donc une seule et unique facon de calculer le prix d’une obligation. On detaille cesdeux approches dans le cadre d’une obligation zero coupon.

4.1 Evaluation d’une obligation ZC

4.1.1 Calcul du prix de l’obligation

Le prix d’une obligation zero coupon emprunte a ce qui a ete presente dans le cadre de la VAN :le prix d’un ZC est l’actualisation de son unique flux en fin de vie au taux correspondant.

Entrons neanmoins dans les details : l’etalement des flux dans le temps se presente comme suit1 :

P|

|N

ou P est le prix paye pour acheter l’obligation ZC, N est le nominal et C l’unique coupon qui luiest attache. Un raisonnement approximatif permet de se faire rapidement une idee du prix dece ZC. Imaginons que le taux d’actualisation soit de r%. Afin de determiner si il est interessantd’acquerir cette obligation, pourquoi ne pas calculer sa VAN ? Sa VAN est alors :

V AN = −P +N

(1 + r%)n(39)

n est ici le delai jusqu’a maturite de l’obligation, i.e. le nombre de jours, de mois ou d’anneesavant le remboursement. Ici r% est exprime en base annuelle. A quelle condition est il interessantd’acquerir cette obligation ? Reponse : si sa VAN est positive, i.e. P < N

(1+r%)n . Si tel est le cas,que se passe-t-il alors ? Les intervenants decelant cette opportunite achetent l’obligation et sonprix se met alors naturellement a monter jusqu’a ce que V AN = 0. Dans le cas ou la VAN estnegative, un processus de vente conduit naturellement a la baisse du prix de marche.

Ainsi, sur un marche suffisament actif (on parle parfois de marche efficient, suivant E. Fama),on devrait avoir en permanence, pour chaque titre V AN = 0. Dans un tel cas, le prix de marcheest toujours et partout le flux futur actualise. On a ainsi :

P =N

(1 + r%)n(40)

1Attention ! Cette version du polycopier corrige la grosse coquille que j’avais laisse dans le precedent : un ZCne verse QUE le nominal en fin de vie (a maturite), et non le nominal et un coupon, comme il en serait le caspour un obligation a coupon d’une maturite d’un an et versant ses coupons sur une base annuelle...

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Cette idee est a la base du calcul obligataire : une obligation a taux fixe est un produit pourlequel on connait a l’avance le montant des flux futurs. Le prix d’un tel actif est simplementl’actualisation des flux futurs a un taux d’actualisation particulier : le taux zero-coupon.

4.1.2 Calcul du rendement de l’obligation

Les produits obligataires peuvent etre indifferement cotes en prix ou en rendement. Sachant cequi vient d’etre dit, cette idee ne pose aucun probleme. En effet, on sait que le prix d’un ZCs’etablit de facon a ce que sa VAN soit nulle. Le taux d’actualisation permettant d’obtenir cetteVAN nulle n’est donc rien d’autre que le TIR. Dans le cas du calcul obligataire, on parle nonpas de TIR mais de yield to maturity.

Il s’agit donc du taux solution de :

P =N

(1 + r%)n(41)

On appelle egalement ce taux, dans le cas des zero-coupons, taux zeros-coupon. Il est parti-culierement important pour donner un prix a une obligation a coupon.

4.2 Autour de la courbe des taux

Dans ce qui vient d’etre dit, on a pu donner l’impression que le taux ZC etait unique, quel quesoit la maturite. Ceci est bien entendu extrement faux : il existe (en principe) autant de tauxque de maturite. Ainsi, pretter de l’argent a l’Etat americain sous forme de ZC a 1 mois ne sefera pas au meme taux qu’a 1 an.

L’ensemble des couples (maturite , taux correspondant) est appele courbe des taux : il s’agitd’un concept fondamental pour la suite de ce cours. La figure 2 presente l’evolution de la courbedes taux depuis juillet 1996. Cette courbe des taux est appelee courbe spot, dans la mesure ouelle correspond a l’ensemble des taux par maturite, ayant pour denominateur commun un departdu pret immediat. Il existe d’autres courbes des taux, notamment des taux forwards. Il en seraquestion plus loin.

Pour le moment, contentons-nous de constater deux points :

– Il existe un certains nombre de ZC pour des maturites faibles (un jour a un an), ainsi quecertains substituts pour ce qui est de la suite de la courbe.

– Il n’existe cependant pas des taux ZC pour un continuum de maturite : la courbe des tauxn’est pas continue en pratique, meme si la plupart des modeles le supposent. Il sera doncnecessaire de parvenir a fournir une forme continue a cette courbe des taux lorsque l’on vou-dra donner un prix a n’importe quel actif. Ce point n’est que brievement aborde dans cesnotes de cours.

Ces elements seront abordes avec plus de details dans la Section consacree a la courbe des taux.Pour l’instant, contentons-nous d’imaginer que l’on dispose d’une courbe des taux ZC pour toutematurite, et que cette courbe des taux est continue.

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dates

500

1000

1500

2000

mat

urite

5

10

15

20

2530

taux

2

4

6

Fig. 2 – Courbe des taux depuis juillet 1996

19

4.3 Evaluation d’une obligation a coupon

On sait a present valoriser une obligation ZC : il est assez aise de passer des ZC aux obligationsa coupons. On rappelle que la difference fondamentale entre les deux types d’obligations est quele ZC ne delivre pas de coupons avant la maturite.

Pour donner un prix a une obligation a coupon, il suffit d’observer le timing des versementsattaches a une obligation a coupon. C’est ce qu’on represente sur la figure suivante :

P|

| | |C C ... C+N

On a deja idee que le prix de cette obligation a de fortes chances d’etre une somme de ses fluxfuturs actualises... mais a quel taux ? Pour repondre a cette question, il suffit de remarquerqu’il est possible d’imiter les differents paiements de ce titre a l’aide de ZC. Il suffit pour celad’investir dans une serie de ZC payant in fine C pour les differents horizons correpondant auxtombees de coupons, ainsi que dans un ZC versant C+N in fine pour une maturite exactementegale a celle de l’obligation a coupon.

Ce ”cocktail” de ZC fournit exactement les memes versements que l’obligation a coupon initiale.Le prix paye pour ce cocktail est simplement la somme des prix des differents ZC, i.e. le flux duZC actualise au taux ZC correspondant. Peut il exister une difference entre le cocktail de ZC etl’obligation initiale ? Si l’obligation a coupon est plus cher que le cocktail, alors il est interessantd’acheter le cocktail est de vendre l’obligation a coupon. On realise ainsi un arbitrage : on a unportefeuille de cout negatif, versant 0 in fine. Il suffit de profiter de cet arbitrage pour le fairedisparaitre : sur un marche raisonnablement liquide et informe, ce type d’opportunite d’arbi-trage n’a aucune raison d’exister. Il est possible de formuler le meme raisonnement pour le casou le prix du cocktail est superieur a celui de l’obligation a coupon.

Ce petit raisonnement permet d’arriver a une conclusion bien pratique : on sait que le prixde l’obligation a coupon est necessairement une actualisation de ses versemements futurs. Leprobleme est alors de connaitre le taux a utiliser pour actualiser ces flux : d’apres ce qu’on vientde dire, ce sont les taux ZC pour des maturites correspondantes aux versements qui doivent etreutilisees pour l’actualisation. D’ou le theoreme suivant :

Theoreme 1. En l’absence d’opportunite d’arbitrage, le prix d’une obligation a coupon, dematurite n, de nominal N et de coupons C est necessairement egal a :

P =C

1 + r(1)+

C

(1 + r(2))2+

C

(1 + r(3))3+ . . . +

C + N

(1 + r(n))n(42)

ou r(i) est le taux ZC correspondant a la maturite i.

Ce decoupage de l’obligation a coupon en autant d’obligations ZC qu’il y a de flux est ap-pele demembrement. Chacun des ZC synthetique ainsi cree est appele strip, du nom des actifssynthetiques cotes sur le marche US permettant d’obtenir une courbe des taux ZC plus fournie.STRIPS signifie : Separate Trading of Registered Interest and Principal Securities.

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Il est courant d’adopter une autre convention de presentation pour presenter l’actualisation deces flux : les facteurs d’escompte (en anglais : Discount Factor). Un facteur d’escompte permetde transformer des valeurs futures en valeurs actuelles. Il s’agit donc simplement d’un outil basesur l’actualisation des flux. On sait qu’un euro recu dans un an vaut aujourd’hui :

V A =1

1 + r(1)(43)

ou V A signifie valeur actuelle. Le facteur d’escompte a un an est exactement defini comme cetteV A. On le note en general B(τ) ou τ est l’horizon d’actualisation. Il offre des proprietes assezinteressantes : que vaut 1000 euros dans un an a l’heure d’aujourd’hui ? Reponse :

V A =1000

1 + r(1)= 1000 × B(1) (44)

Dans le meme ordre d’idee, un actif versant un coupon C dans un an et le nominal N et lesecond coupon C dans deux ans vaut :

P =C

1 + r(1)+

C + N

(1 + r(2))2(45)

= C × B(1) + (C + N) × B(2) (46)

Ainsi, ce DF permet de transformer des futurs euros en euros aujourd’hui. Le DF pour un horizonT , en base annuelle s’ecrit comme suit :

B(T ) =1

(1 + r(T ))T(47)

Ce type de notation peut simplifier les formules de valorisation d’obligations a coupons.

Exemple 1. Soit l’obligation de montant nominal 100 euros, de maturite 3 ans et de taux decoupon 10%. Les taux ZC correspondants aux maturites de 1 an, 2 ans et 3 ans sont respecti-vement 7%, 9% et 10%. Le prix P de l’obligation est egal a :

P =10

1 + 7%+

10

(1 + 9%)2+

110

(1 + 10%)3(48)

= 10B(1) + 10B(2) + 110B(3) (49)

= 100, 407 (50)

Notons pour conclure cette section qu’il est possible de determiner de la meme facon queprecedement un yield to maturity pour l’obligation a coupon. En notant ce taux r, il s’agitsimplement de la solution de :

P =n

∑

i=1

Fi

(1 + r)i(51)

Cette fois-ci, le YTM ne correpond pas le moins du monde au taux ZC : il s’agit simplementdu taux de rendement interne de l’investissement. En achetant une obligation a coupon, ensupposant que l’on peut reinvestir les coupons au taux r, le taux de rendement obtenu sur l’in-vestissement est r. Autrement dit, le rapport Valeur future

Prix est egal a 1 + r.

Ceci peut simplement se montrer sur un exemple. Soit une obligation de duree de vie 4 ans. Lenominal est de 100 euros et le taux de coupon est de 5%. Le YTM est de 3%. Le tableau suivantpresente la capitalisation et l’actualisation des differents flux sur la duree de vie de l’obligation.

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1 annee 2 annee 3 annee 4 annee Somme

Flux 5 5 5 105 -Flux capitalises au YTM 5,463635 5,3045 5,15 105 120,918135Flux actualises au YTM 4,85436893 4,71297955 4,5757083 93,29114 107,434197

Le fait de capitaliser les flux au YTM materialise l’hypothese implicite de reinvestissement desflux percus sur la duree de vie residuelle de l’obligation. Chacun des flux est ainsi capitalise sur saduree de vie residuelle et actualisee de la date de maturite jusqu’a aujourd’hui. On obtient ainsila valeur actuelle des flux capitalises. Ce calcul revient en fait strictement a actualiser les fluxjusqu’a aujourd’hui, en negligeant l’etape prealable de capitalisation. Ceci n’est bien evidementvrai qu’a la condition que le YTM soit bien le taux auquel on reinvestit les flux, ce qui n’est enrealite generalement pas le cas.

De facon plus formelle, pour une obligation de duree de vie n, un flux F percu en date n1 seraainsi capitalise sur n − n1, puis actualise jusqu’a aujourd’hui :

Capitalisation : F (1 + r)n−n1 (52)

Puis actualisation :F (1 + r)n−n1

(1 + r)n=

F

(1 + r)n1(53)

On retrouve ainsi bien le calcul que l’ona maintenant l’habitude de mettre en oeuvre. Revenonsmaintenant a nos moutons : on a capitalise l’ensemble des flux percus et calcule la somme deces flux (120,92) ; de meme on a determine le prix de l’obligation (somme des flux actualises),i.e. 107,43 euros. On cherche a present le rendement de l’operation.

Le rendement de cette operation est naturellement solution de :

120, 92

107, 43= (1 + Rdm)4 (54)

⇔Rdm =

(

120, 92

107, 43

)1/4

− 1 = 3% (55)

On retrouve donc bien le YTM : il s’agit donc du rendement espere de l’operation d’achat del’obligation, a la condition de pouvoir reinvestir les flux intermediaires a un taux egal au YTM.

Cette hypothese de reinvestissement n’est bien evidement jamais verifiee, faisant peser un risquede reinvestissement sur le portefeuille obligataire. Ce risque ne sera pas ou peu aborde dans le do-cument. Le lecteur soucieux d’obtenir quelques eclaircissements lira Martellini et al. (2003)[cha-pitre 3].

Remarque 6. Quand le taux de rendement de l’obligation est egal a son taux de coupon,l’obligation cote au pair. En effet, la somme actualisee de son flux futur est naturellement egalau nominal du contrat.

Demonstration. Cette derniere remarque est tres facile a prouver de facon formelle pour un zero-coupon : il suffit de se rappeler que C = i × N , ou i est le taux de coupon. Si i = r, autrement

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dit, si le taux de coupon est egal au taux d’actualisation, alors on a :

P =C + N

1 + r(56)

=i × N + N

1 + r(57)

=N(1 + i)

1 + r(58)

D’ou si i = r, on a :

P =N(1 + r)

1 + r= N (59)

(60)

4.4 Calcul d’un coupon couru

On revient brievement dans ce qui suit sur les conventions de cotation du marche. La cotation enprix s’exprime en general en pourcentage du montant du nominal. Il est donne pied de coupon,par opposition a coupon couru. Il s’agit d’une convention visant ne pas tenir compte dans le prixde cotation de la part du coupon revenant au detenteur de l’obligation.

Entre deux dates de tombee de coupon, le porteur d’une obligation beneficie du coupon qui acouru pendant la periode ou il detient l’obligation. Un petit exemple permettra d’eclaircir lesidees.

Exemple 2 (Coupon couru). Soit une obligation de montant nominal 100 euros, de taux decoupon 5%, d’echeance le 25/06/2004 qui est detenu par un porteur entre le 26/06/2001 et le25/09/2001. Le porteur a droit au coupon qui a couru entre le 26/06/01 et le 25/09/01. On lecalcule de la facon suivante :

Coupon couru = 100 × 5% 91365 = 1.247

Plus generalement, a une date t donnee on calcule le coupon couru depuis la derniere date detombee de coupon. L’acheteur de l’obligation doit verser au vendeur a la date t le prix incluantce coupon couru.

Exemple 3. Au 25/09/01, l’acheteur doit acquitter le prix de l’obligation egal au prix pied decoupon auquel on rajoute le coupon couru.

Remarque 7 (Prix bid/ask). Il n’existe pas un prix unique mais une fourchette bid-ask quifournit le prix auquel l’intermediaire financier est pret a acheter et vendre l’obligation. Le prixa l’achat (bid) est bien sur inferieur au prix de vente (ask). Il est frequent de calculer le prixmoyen entre le prix bid et le prix ask que l’on appelle ”prix mid”.

Remarque 8 (Cotations US). Aux Etats-Unis, il est frequent de coter la decimale du prix enfraction par rapport a 32.Exemple : 111-14 est en fait egal a 111 + 14/32 = 111.4375

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5 Couverture

La couverture est l’une des grandes problematiques de la finance de marche. Les marches fi-nanciers sont faits d’alea, exposant les intervenants a de serieuses deconvenues. La couverturea precisement pour objet de controler le niveau des risques attache a un portefeuille donne.Dans la presentation classique du calcul obligataire, la courverture est base sur les notions deduration, de sensibilite et de convexite.

5.1 Quelques mots d’introduction

Le point de depart de cette partie est le suivant : il s’agit de parvenir a quantifier le risquede taux, i.e. l’impact de la variation des taux ZC sur le prix d’un portefeuille obligataire. Lagrande question de cette partie d’introduction sera donc : pourquoi une obligation a taux fixeexpose-t-elle son detenteur a un risque de taux ? Un corrolaire evident de cette question serabien evidement : pourquoi une obligation a taux variable n’expose-t-elle pas son detenteur a unrisque de taux ?

Les lectures recommandees pour cette section sont : Martellini and Priaulet (2004)[chapitre 2],Martellini et al. (2003)[chapitre 5], Jarrow (2002)[partie 1, chapitre 2] et Tuckman (2002)[cha-pitre 7]. Chacun de ces ouvrages apporte des elements differents et des regards differents sur ceprobleme commun qu’est la couverture.

Commencons tout d’abord par materialiser quelque peu ce qu’est le risque de taux. Les troistables suivantes presentent les quelques intuitions qu’il est necessaire d’avoir lorsque l’on cherchea couvrir le risque de taux. Rappelons que l’on a affaire a des produits obligataires a taux fixe,et que c’est precisement le fait qu’il s’agisse d’un produit a taux fixe qui fait que l’on a a faireface a un risque.

La table 1 presente l’evolution du prix d’une obligation en fonction de son YTM. Imaginons uneobligation avec un nominal egal a 100 euros, un taux de coupon de 5% et un YTM actuel de 8%.La duree de vie residuelle est de 5 ans et la frequence de versement des coupons est annuelle. Leprix d’une telle obligation est 88.02 euros (calcul aise, avec les elements precedents). La questionest : si le niveau des taux change (i.e. si le YTM change), comment evolue le prix de l’obligation ?La table 1 fournit la variation (en pourcentage) du prix de l’obligation en fonction du change-ment du YTM. On constate qu’il existe une relation inverse entre l’evolution du YTM et du prixde notre obligation : autrement dit, plus les taux montent et moins les prix sont importants.Mais ce n’est pas tout : pour un nombre de points de base egal (0.01% vaut 1 bp), une baissedes taux a davantage d’impact qu’une hausse des taux. En partant de 8%, une baisse du tauxde 300 bp conduit a une variation du prix de 14%, alors qu’une hausse de 300 bp conduit a unebaisse du prix de 12%. Ainsi, le prix est affecte par davantage de mouvement lorsque les tauxbaissent que lorsqu’ils montent.

La table 2 montrent que cet effet a tendance a s’amplifier lorsque le time to maturity augmente.On a calculer la valeur d’une obligation similaire a la precedente, avec un YTM de base de 8%,mais avec un time to maturity variable. L’effet asymetrique releve plus haut est tres largementamplifie pour des maturites croissantes, allant du simple au double pour une obligation a 20 ans.

Dernier fait stylise, la table 3 presente la variation de cet effet asymetrique d’une maturite sur

24

YTM ∆ du prix ∆ du taux ∆ du prix/∆ du taux

1,03 0,24 -0,05 -4,801,04 0,19 -0,04 -4,671,05 0,14 -0,03 -4,541,06 0,09 -0,02 -4,411,07 0,04 -0,01 -4,291,08 0,00 0,00 -1,09 -0,04 0,01 -4,071,10 -0,08 0,02 -3,961,11 -0,12 0,03 -3,861,12 -0,15 0,04 -3,761,13 -0,18 0,05 -3,67

Tab. 1 – Variation de prix d’une obligation en fonction du YTM

YTM 1 an 3 ans 5 ans 10 ans 15 ans 20 ans

1,03 4,85% 14,51% 24,01% 46,56% 66,68% 83,93%1,04 3,85% 11,39% 18,67% 35,36% 49,51% 61,02%1,05 2,86% 8,38% 13,61% 25,20% 34,55% 41,75%1,06 1,89% 5,48% 8,82% 15,99% 21,48% 25,49%1,07 0,93% 2,69% 4,29% 7,62% 10,04% 11,72%1,08 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%1,09 -0,92% -2,59% -4,07% -6,94% -8,83% -10,01%1,10 -1,82% -5,10% -7,93% -13,26% -16,62% -18,59%1,11 -2,70% -7,51% -11,58% -19,04% -23,50% -25,98%1,12 -3,57% -9,84% -15,06% -24,32% -29,60% -32,36%1,13 -4,42% -12,09% -18,36% -29,15% -35,01% -37,91%

Tab. 2 – Variation du prix d’une obligation avec le YTM en fonction de la maturite

l’autre. Le pourcentage presente est le resultat du calcul suivant :

∆Prix2/∆Prix1 − 1

Maturite2 − Maturite1(61)

On remarque que si l’effet s’amplifie avec la maturite, cet amplification se fait a un taux decroissance qui decroit. Autrement dit, l’impact de l’effet est de moins en moins important au furet a mesure que la maturite s’accroit.

YTM 3 ans/1 an 5 ans/ 3 ans 10 ans/5 ans 15 ans/10 ans 20 ans/15 ans

1,03 39,78% 13,10% 18,78% 8,64% 5,18%1,04 39,21% 12,79% 17,89% 8,00% 4,65%1,05 38,65% 12,48% 17,04% 7,42% 4,17%1,06 38,11% 12,19% 16,25% 6,87% 3,73%1,07 37,58% 11,90% 15,49% 6,37% 3,34%1,08 - - - - -1,09 36,56% 11,36% 14,11% 5,47% 2,66%1,10 36,07% 11,10% 13,47% 5,06% 2,37%1,11 35,59% 10,84% 12,87% 4,69% 2,11%1,12 35,12% 10,60% 12,29% 4,34% 1,87%1,13 34,66% 10,36% 11,75% 4,02% 1,66%

Tab. 3 – Variation de la variation du prix en fonction du YTM et de la maturite

Ces quelques faits stylises sont detailles dans Martellini et al. (2003) sous la forme de theoremes.

25

On se contente ici de rappeler ces quelques points de facon synthetique :

– Il existe une relation decroissante entre le niveau des taux et le prix d’une obligation : plus lestaux montent et plus le prix des obligations existantes diminue.

– La variation du prix d’une obligation est plus importante dans le cas d’une baisse des taux quedans le cas d’une hausse.

– Ce dernier effet asymetrique s’accroit avec le time to maturity d’une obligation : plus la ma-turite est eloignee et plus une obligation amplifiera les mouvements de baisse des taux que lesmouvements de hausse.

– La croissance de l’effet asymetrique en fonction du time to maturity s’effectue a une rythmelui-meme decroissant : la variation de l’effet tend a ralentir au fur et a mesure que la maturites’accroit.

Bien evidement, l’ensemble de ces commentaires ne tient qu’a la condition de raisonner touteschoses egales par ailleurs : aucun autre facteur de mouvement du prix d’une obligation ne doitvarier pour parvenir a percevoir ces effets. Autant dire qu’ils constituent davantage une sommede points de repere une fois sur le terrain, davantage que des preceptes etablis et aisement re-connaissables dans les mouvements de prix des obligations.

La premiere de ces remarques est evidement la plus importante : le risque de taux vientprecisement du fait que le prix des obligations varie en fonction du niveau des taux. Cetterelation est ancienne et connue par un public etendu, au nombre duquel les economistes. En1936, J.M. Keynes expliquait cette relation decroissante de la facon suivante : lorsque les tauxmontent, les anciennes obligations versent alors un taux de coupon inferieur a ce qui se pratiquedesormais sur le marche. Les detenteurs d’anciennes obligations se debarrassent alors de leursobligations pour en acheter de nouvelles, au taux de coupon plus eleve. Le fait de vendre cesobligations conduit necessairement a la baisse de leur prix, par le jeu de l’offre et de la demande.

Une autre facon de voir les choses consiste plus simplement a calculer la variation du prix d’uneobligation par rapport au taux d’interet servant a actualiser ses flux. Il s’agit donc simplementde calculer une derivee de la formule de valorisation d’une obligation par rapport au tauxd’actualisation. On sait que le prix d’une obligation s’exprime en fonction de ses differents fluxet taux ZC de la facon suivante :

Pt({ri}) =T

∑

i=t+1

Fi

(1 + ri)i−t(62)

En principe, afin de determiner les evolutions possibles du prix de notre obligation, il devraitetre necessaire de determiner la differentielle totale de la precedente expression, qui se reduit(a l’ordre 1) a la somme des derivees par rapport a chacun des taux d’interet. Ce type dedemarche ne garantit malheureusement de resultats interessants : le nombre de derivees peut etrereellement important et la couverture de n facteurs de risques necessite d’utiliser n intrumentsde couverture... Bref, tout devient tres rapidement tres complique. On prefera (en premiereapproche) se contenter d’utiliser le YTM comme unique facteur de risque. On travaillera donc

26

sur la differentielle totale de l’expression suivante :

Pt(rt) =T

∑

i=t+1

Fi

(1 + rt)i−t(63)

ou rt est le YTM de l’obligation a la date t. Cette vision est certainement reductrice mais ellepresente neanmoins un certain nombre de vertus pedagogiques et pratiques.

5.2 La couverture en duration

Le premier objet de cette sous-section est de parvenir a quantifier le risque lie a la detentiond’une obligation versant n flux, a l’aide de son YTM. Le second objet sera de proposer unecouverture contre ce risque : on tentera de construire un portefeuille immunise contre le risquemis a jour.

On rappelle brievement la formule de Taylor, avant de developper son usage pour les produitsfixed income.

Rappel 1 (Formule de Taylor). Une fonction f n fois derivables et dont les derivees sontcontinues (fonction Cn sur R) admet le developpement suivant au voisinage de x0 :

f(x)|x0

= f(x0) +∂f

∂x(x0)(x − x0) +

1

2!

∂2f

∂x2(x0)(x − x0)

2 + ... +1

n!

∂nf

∂xn(x0)(x − x0)

n + o((x − x0)n+1) (64)

L’idee est donc d’utiliser cette fonction afin de determiner le sens et l’ampleur de la variation duprix d’une obligation lorsque son YTM evolue de facon infinitesimale. En supposant que P (rt)est C2 sur R, on est en mesure d’appliquer la formule de Taylor en s’arretant deliberement al’ordre 1 :

P (r) = P (r0) +∂P (r)

∂r(r − r0) + o((r − r0)

2) (65)

⇔P (r) − P (r0) =∂P (r)

∂r(r − r0) + o((r − r0)

2) (66)

⇔dP (r) =∂P (r)

∂rdr + o((r − r0)

2) (67)

Cette derniere equation tient naturellement a condition que r − r0 soit suffisament proche de 0.On a ainsi une idee de l’influence des mouvements du YTM sur le prix de l’obligation. Il resteneanmoins a calculer P ′(r) et a fournir une interpretation en terme de risque et de couverturede ce qu’on a trouver.

5.2.1 $ duration et duration modifiee

Commencons tout d’abord par revenir sur quelques questions de notations. Dans ce qui suit,comme pour ce qui precede, on s’appuie sur Martellini et al. (2003)[chapitre 5]. La lecture en estfortement recommandee. On rappelle la formule permettant de donner un prix a une obligationa coupons, en fonction des differents taux ZC :

Pt =T

∑

i=1

CFi

(1 + r(ti))ti−t(68)

27

Est il raisonnable de se lancer dans le calcul d’une derivee du prix de l’obligation en fonction dechacun des taux ZC? Une obligation a coupons de maturite 3 ans sera exposee au risque que cha-cun de ses trois versements actualises change de valeur actuelle : en effet, les trois actualisationsde la formule de valorisation de cette obligation sont susceptibles de varier et de d’entrainer avecelles le prix d’ obligation. La differentielle totale se compose donc de trois derivees partielles...et tout devient tres vite complique. L’idee serait plutot de synthetiser l’ensemble de ces taux enun unique taux et de faire dependre le prix de l’obligation de cet unique taux. On connait dejaun taux presentant ce type de caracteristique : le yield to maturity.

Il est possible de reecrire la formule de valorisation d’une obligation a coupons en fonction deYTM :

Pt =T

∑

i=1

CFi

(1 + rytm)ti−t(69)

Evidement, le yield to maturity n’est presque jamais un bon resume de l’ensemble de la courbedes taux. A vrai dire, il n’existe qu’un unique cas pour lequel le ytm est un bon resume : lecas d’une courbe des taux dite plate, i.e. pour laquelle l’ensemble des taux, quelle que soit leurmaturite, sont egaux. On rappelle sur la figure 3 quelques unes des differentes formes que peutprendre la courbe des taux. La cas d’une courbe plate est historiquement rare. Cependant, leytm est un raccourci pratique permettant de poser les premieres pierres de la couverture durisque de taux.

Dans ce qui suit, on notera r le ytm, afin d’alleger les notations. La derivee du prix par rapportau ytm est alors :

∂P (r)

∂r= −

T∑

i=1

(ti − t)CFi

(1 + r)ti−t+1(70)

Cette expression est relativement triviale a obtenir. Une fois reinjectee dans l’equation (67), onobtient alors l’expression de la variation du prix de l’obligation pour une variation du ytm egalea dr :

dP (r) ≈ −T

∑

i=1

(ti − t)CFi

(1 + r)ti−t+1dr (71)

Naturellement, la derivee du prix d’une obligation par rapport a son ytm est negative : lorsquele ytm augmente, on actualise davantage les euros que l’on percevra demain, ceci expliquantque la somme de ces valeurs actualisees se reduise et que le prix baisse. Une autre facon devoir les choses est la suivante : imaginons que vous deteniez une obligation avec un ytm de 3%en portefeuille. Un jour plus tard, une nouvelle obligation est emise, identique a la votre, maisavec un ytm de 4%. Que se passe t’il ? Naturellement, le mouvement de vente de la premiereobligation fait baisser son prix et monter son ytm.

On appelle sensibilite ou $ duration la derivee premiere du prix de l’obligation par rapport auytm. On a donc :

dP (r) ≈ $ duration dr (72)

Cette formule permet de determiner les Profit and Loss associees a un mouvement de taux. Ils’agit simplement de determiner le montant absolu perdu ou gagne suite a un mouvement de

28

0 5 10 15 20 25 30

01

23

45

6

Maturites

Tau

x

Plate Upward sloping

Downward sloping Creux/bosse

Fig. 3 – Exemples de formes de la courbe des taux

29

taux, dans le cas ou on choisirait de vendre l’obligation dans la minute suivant le mouvementde taux. En notant ∆r le mouvement du taux subit par l’obligation, on a :

Absolute P&L = $ duration ∆r (73)

Une fois le concept de Absolute Profit and Loss compris, il peut sembler relativement intuitif decalculer un relative P&L. Pour cela, il suffit de diviser dP (r) par le prix lui meme : on obtientainsi l’expression de la variation du prix de l’obligation en fonction des mouvements du ytm. Onobtient ainsi :

dP (r)

P (r)≈ P ′(r)

P (r)dr (74)

ou P ′(r) = ∂P (r)∂(r) . On appelle duration modifiee ou modified duration l’expression −P ′(r)

P (r) . Il s’agitnaturellement d’une expression qui est positive, dans la mesure ou les prix sont toujours positifs.En notant MD(r) la duration modifiee associee au ytm r, on a donc :

dP (r)

P (r)≈ −MD(r)dr (75)

Cette duration modifiee permet de calculer les P&L relatives, notees relative P&L :

Relative P&L = −MD(r) ∆r (76)

Remarque 9 (Coupon semi-annuel). De nombreuses obligations presentent la particularite deverser des coupons de facon semi-annuelle. Le prix d’une obligation versant des coupons semiannuels, calcule a l’aide de son ytm est le suivant :

Pt =T

∑

i=1

CFi

(1 + r2)2(ti−t)

(77)

avec CFi etant egal (hors dernier versement) 12Nc, avec c le taux de coupon annualise et N le

nominal. Dans cette formule, les ti sont des fractions d’annee. Dans ce cas, la sensibilite (ou $duration) devient :

P ′(r) = −T

∑

i=1

(ti − t)CFi

(1 + r2)2(ti−t)−1

(78)

et l’ensemble des calculs precedents sont utilisables.

5.2.2 La duration : calcul et interpretation

Il existe un troisieme type de duration, connue sous le nom de duration ou de duration deMacaulay. Il s’agit simplement de la capitalisation de la duration modifiee sur une periode auytm. En notant D cette duration, on a donc :

D = (1 + r)MD (79)

= −(1 + r)P ′(r)

P (r)(80)

= (1 + r)

∑Ti=1

(ti−t)CFi

(1+r)ti−t+1

P (r)(81)

=

∑Ti=1

(ti−t)CFi

(1+r)ti−t

P (r)(82)

30

En adoptant la notation suivante :

ωi =

CFi

(1+r)ti−t

P (r)(83)

on est alors en mesure de reecrire la duration comme suit :

D =T

∑

i=1

ωi(ti − t) (84)

Dans la mesure ou :

T∑

i=1

ωi = 1 (85)

on comprend que la duration est alors une somme ponderee des differentes maturites des couponsportes par l’obligation2. Cette interpretation est courante : la duration correspond a une duree devie moyenne de l’obligation. Il existe une seconde interpretation de cette quantite. On remarqueque :

D =∂P (r)

∂r

P (r)(1 + r) (86)

=

∂P (r)∂(1+r)

P (r)(1 + r) (87)

=

∂P (r)P (r)

∂(1+r)(1+r)

(88)

La duration peut donc s’interpreter comme une sensibilite du prix aux variations de taux,economiquement parlant. Il est inutile de preciser qu’il ne faut pas confondre la duration commesensibilite aux variations de taux et la sensibilite. On retrouve ces deux interpretations dansJarrow (2002)[chapitre 2].

La duration presente un certain nombre de caracteristiques interessantes dont on detaille cer-taines :

1. La duration d’une obligation est toujours inferieure ou egale a la maturite de l’obligation.

Demonstration. On sait que (ti − t) ≤ (tT − t), ∀i ∈ [1 : T ]. On en deduit que ωi(ti − t) ≤ωi(tT − t). En sommant pour les differents i, il vient :

∑Ti=1 ωi(ti − t) ≤ ∑T

i=1 ωi(tT − t) =(tT − t). Ce qui complete la preuve.

2. La duration est un operateur lineaire : la duration d’un portefeuille compose d’une obli-gation A et d’une obligation B est egale a la somme ponderee des deux durations. [VoirMartellini et al. (2003) pour la preuve].

3. La duration d’un ZC est egal a son time to maturity.

2Pour faire les choses propremement, il est egalement necessaire de prouver que ωi ≥ 0, ∀i.

31

Demonstration. Dans le cas d’un ZC, on a D = (tT − t)N

(1+r)tT −t

P (r) = (tT − t). Ceci vient dufait que ytm et taux ZC dans le cas d’un ZC coincident exactement ainsi que de la formulede valorisation d’un ZC.

Pour terminer, notons que la duration a la particularite suivante : un investisseur ayant un hori-zon d’investissement egal a la duration de l’obligation qu’il detient sera (relativement) immunisecontre les variations de taux de faible ampleur. Cf. exemple numerique de la feuille d’exercice.

5.2.3 Couverture en duration

La derniere etape de cette premiere approche du risk management est la couverture en dura-tion : la question est a present de savoir comment couvrir le risque de taux, maintenant quel’on dispose d’une modelisation basique mais pratique. L’idee de base de la couverture est deconstruire un portefeuille concu de facon a neutraliser le risque de l’un des actifs en portefeuille.On se placera ici dans le cas ou l’on dispose de deux obligations (A et B) et que l’on souhaiteconstruire un portefeuille immunise.

Definition 3 (Portefeuille immunise). Un portefeuille immunise est un portefeuille de valeurG, dependant de n facteurs de risque, tel que :

dG = 0 (89)

Dans notre cas, on va donc composer un portefeuille avec une unite de l’obligation A et unmontant γ investi dans l’obligation B. On suppose que le seul facteur de risque de chacune deces obligations est son yield to maturity. Evidement, ce ytm varie selon l’obligation. En notantrA et rB le ytm de chacune des obligations A et B, on peut ecrire la valeur du portefeuille Gcomme suit :

G(rA, rB) = PA(rA) + γPB(rB) (90)

Le calcul de la differentielle totale est aise :

dG(rA, rB) = P ′

A(rA)drA + γP ′

B(rB)drB (91)

En supposant que drA = drB = dr, autrement dit que les variations des ytm sont paralleles, ilvient :

dG(rA, rB) = (P ′

A(rA) + γP ′

B(rB))dr (92)

On egale cette differentielle a 0, et on termine la resolution :

dG(rA, rB) = 0 (93)

⇔(P ′

A(rA) + γP ′

B(rB))dr = 0 (94)

⇔P ′

A(rA) + γP ′

B(rB) = 0 (95)

⇔γ = −P ′

A(rA)

P ′

B(rB)(96)

⇔γ = −$duration (PA)

$duration (PB)(97)

32

On est ainsi parvenu a calculer le montant a investir dans l’obligation B pour obtenir un por-tefeuille immunise contre le risque de taux. Bien evidement, il est necessaire de se souvenir quececi ne fonctionne qu’aux conditions suivantes :

1. La courbe des taux est plate.

2. Il s’agit de petites variations de taux (dr proche de 0).

3. Les variations de taux sont paralleles (drA = drB).

Dans la suite de ce chapitre, on verra comment il possible de relacher certaines de ces hypotheseset d’ameliorer l’apprehension du risque ainsi que sa couverture. Evidement, ce qui vient d’etredit est un habile melange de theorie et de pratique. Dans une optique de pure pratique, lacouverture du risque de taux se fait principalement a l’aide de futures et de swaps. Martelliniet al. (2003) detaillent la couverture du risque de taux a l’aide de ces outils, notamment dansles chapitres 5, 10 et 11.

5.3 Au dela de la duration

Dans la section precedente, on a suppose que les changements de taux etaient infinitesimaux (1bp) et que les mouvements de la courbe des taux etaient paralleles. L’idee sous-jacente a cettesection est de relacher progressivement ces deux hypotheses en introduisant la convexite ainsique le cross-hedge.

5.3.1 Grandes variations

Les condiderations presentees dans le cadre de ce chapitre peuvent etre retrouvees dans Martelliniet al. (2003)[pages 182-188]. Lorsque les mouvements de taux que l’on anticipe ne sont pasinfinitesimaux, mais d’une ampleur plus importante. Pour cela, on etend la formule de Taylorutilisee precedement en incluant un terme d’ordre deux. Ce terme permet d’introduire unecorrection de convexite. Avec la formule de prix pour une obligation quelconque suivante :

Pt(r) =T

∑

i=1

CFi

(1 + r)ti−t(98)

La differentielle totale incluant des termes d’ordre 2 devient alors :

dPt(r) =∂Pt(r)

∂rdr +

1

2

∂2Pt(r)

∂r2(dr)2 + o((dr)2) (99)

En reprenant les notations precedentes, on a :

dPt(r) = $Durdr +1

2

∂2Pt(r)

∂r2(dr)2 + o((dr)2) (100)

En notant :

$Conv =∂2Pt(r)

∂r2(101)

33

On obtient alors :

dPt(r) ≈ $Durdr +$Conv

2(dr)2 (102)

La derivee seconde du prix par rapport au taux est, avec la formule de prix donnee plus haut,la suivante :

∂2Pt(r)

∂r2=

T∑

i=1

(ti − t)(ti − t + 1)CFi

(1 + r)ti−t+2(103)

Comme precedement, il est possible de determiner l’evolution relative du prix de l’obligation enfonction des evolutions du taux, en divisant dP par P. On obtient alors :

dP

P≈ −MDdr +

1

2RC(dr)2 (104)

ou RC est appelee Relative Convexity de l’obligation. Naturellement, on a :

RC =$Conv

P(105)

La encore, il est possible de determiner les Profit & Loss et Relative Profit & Loss en remplacantdr dans les formules par ∆r, la veritable variation observee sur la journee, le mois ou l’annee detrading. On a alors :

P&L = $Dur∆r +$Conv

2(∆)2 (106)

Relative P&L = −MD∆r +1

2RC(∆r)2 (107)

Les exercices de TD vous permettront d’evaluer le gain obtenu dans l’apprehension du risqueau travers de l’introduction de la convexite. Cette convexite dispose d’un certain nombre decaracteristiques que l’on detaille ici :

1. La $ convexite ou convexite relative sont positives. Sachant de plus que (dr)2 est egalementtoujours positif, la correction introduite dans dP est toujours positive.

2. Sachant ce qui vient d’etre dit, l’introduction de la convexite permet de prendre en comptede l’asymetrie dans la reaction des prix aux changements de taux. En effet, si dr < 0(dr > 0), alors $ Durdr > 0 ($ Durdr < 0). En ajoutant la convexite, on a alors :dP |dr<0 > dP |dr>0.

3. La convexite en valeur absolue et relative s’accroit avec le time to maturity. On retrouvedonc l’accroissement de l’effet asymetrique souligne lors de l’introduction.

4. La convexite est un operateur lineaire : la convexite d’une somme d’obligation est egalementa la somme des convexites ponderees par le poids des obligations dans la valeur du porte-feuille.

5.3.1.1 La couverture avec la convexite Comme precedement, il est possible de determinerla composition d’un portefeuille d’obligations tel que sa differentielle totale integrant les elementsd’ordre deux soit approximativement egale a 0. On obtient ainsi un portefeuille dont le risqueest suppose etre nul.

34

Dans le cas precedent, on utilisait un portefeuille compose de deux obligations, dont l’une desdeux permetttait de neutraliser le risque associe a la detention de la premiere. Avec une formulede Taylor tronquee a l’ordre un, on a implicitement reduit le risque de taux a un seul et uniquefacteur : la $ duration. Ici, l’addition d’un second terme dans la formule de Taylor conduit a lanecessite de neutraliser deux facteurs de risque : la $ duration et la convexite.

Un principe important de la couverture est le suivant : pour convrir n risques differents (on nepeut ecrire l’un des risques comme combinaison lineaire des autres sources de risque). Ici, on estface a deux sources de risque differentes : un risque de premier ordre (la $ duration) et un risquede second ordre (la convexite). On a donc besoin de deux obligations pour couvrir les risquesassocies a l’obligation que l’on souhaitait detenir initialement.

Soit les obligations A, B et C, de prix respectif PA, PB et PC , de ytm rA , rB et rC , de $duration respectives $DurA, $DurB et $DurC et de $ convexite respective $ConvA, $ConvB et$ConvC . Soit un portefeuille G compose de ces trois obligations, donc une unite de l’obligationA. Pour immuniser ce portefeuille contre le risque de taux, l’une des strategies qu’il est possiblede mettre en oeuvre est de tenter d’egaliser la differentielle totale au second ordre a 0. Ce n’estpas celle qui est implementee en general : on preferera rendre le portefeuille neutre a la convexited’une part et neutre a la duration d’autre part.

Le portefeuille a immuniser a la valeur suivante :

G = PA(rA) + φBPB(rB) + φCPC(rC) (108)

La neutralisation a la duration est identique dans sa formulation a celle presentee dans la sectionprecedente :

$DurAdrA + φB$DurBdrB + φC$DurCdrC = 0 (109)

Sur le meme principe, la neutralisation de la convexite prend la forme suivante :

$ConvAdrA + φB$ConvBdrB + φC$ConvCdrC = 0 (110)

On obtient ainsi un systeme de deux equations... a 5 inconnues (on ne connait pas drA, drB

et drC). Pour rendre le systeme identifiable, il est necessaire d’aouter une hypothese afin dese debarasser des ytm de chacune des obligations. Comme precedement, on supposera que lesmouvements de la courbe des taux sont parraleles : on a alors dr = drA = drB = drC .

Le systeme obtenu alors est le suivant :

{

$DurA + φB$DurB + φC$DurC = 0$ConvA + φB$ConvB + φC$ConvC = 0

(111)

Le resolution de ce type de programme a l’aide d’Excel est aisee, a l’aide des commandesInversemat et Produitmat, en remarquant qu’il est possible d’ecrire ce programme de faconmatricielle comme suit :

AΦ = B ⇒ Φ = A−1B (112)

35

ou on a :

A =

(

$DurB $DurC

$ConvB $ConvC

)

(113)

B =

(

−$DurA

−$ConvA

)

(114)

Φ =

(

φB

φC

)

(115)

Ce systeme n’admet de solution que si la matrice A est de plein rang (pas de colonnes colineaires).Ceci a un sens financier particulier : il est necessaire pour convrir deux risques differents de dis-poser de deux actifs qui ne soient pas colineaires (i.e. il ne portent pas le meme risque, ici mesurea l’aide de la convexite et de la duration). Il est donc necessaire que les deux actifs ne portentpas exactement le meme risque, defini comme le rapport entre la duration et la convexite pourchacun des actifs.

On rappelle pour le traitement des exercices que pour une matrice de dimension 2,2 de la forme :

A =

(

a bc d

)

(116)

Son inverse est alors donnee de facon explicite3 par :

A−1 =1

ad − bc

(

d −b−c a

)

(117)

ou la quantite ad − bc est le determinant de la matrice A.

Naturellement, cette couverture ne fonctionne correctement qu’a la condition que :

1. La courbe des taux soit plate.

2. Les variations de la courbe des taux sont paralleles.

On va finalement relacher cette derniere hypohtese, en explicitant le principe general et en pro-posant une appication particuliere.

5.3.2 Variations non paralleles

Dans cette section, on presente une methode simple permettant de relacher l’hypothese tresrestrictive de variations paralleles de la courbe des taux. Il est ici essentiel de ne pas confondrele fait que pour deux ytm rA et rB, relatifs a une obligation A et B, on a :

drA = drB = dr (118)

avec le fait que la courbe des taux est pour le moment consideree comme correctement resumeepar le ytm pour une obligation donnee. On s’attache ici a relacher d’une facon simple l’hypothesepresentee dans l’equation (118) d’une facon simple.

3Et, oui, il necessaire d’avoir cette formule en tete pour le partiel, a moins que vous n’ayez envie d’inverser lamatrice a la main pendant votre epreuve finale.

36

Supposons que l’on veuille detenir une obligation A, de prix PA et de ytm rA. On souhaitecouvrir son risque a l’ordre un (en $ duration, donc) a l’aide d’une seconde obligation B, deprix PB et de ytm rB. On decide d’acheter une quantite θ de cette second obligation, de facona couvrir le risque de la premiere obligation. On retrouve donc tres classiquement la dynamiquedu portefeuille G constitue de ces deux obligations que l’on avait detaille dans les precedentessections :

dG = $DurAdrA + φ$DurBdrB (119)

Jusqu’a present, on a suppose que l’hypothese introduite dans l’equation (118) s’appliquait et lasolution du systeme etait ridiculement simple. A present, on est convaincu que cette hypotheseest mauvaise. Une alternative possible (et empiriquement nettement moins fausse) serait de direque drB est une fonction inconnue de drA. Ceci se resume de la facon suivante :

drB = f(drA) (120)

La valeur du portefeuille en date d’aujourd’hui doit alors etre revue : la $ duration de chacunedes obligations s’ecrie a l’aide de son ytm. Le fait que l’un des ytm soit une fonction de l’autredoit permettre de reercrire les chose simplement :

G = PA(rA) + φPB(f(rA)) (121)

La dynamique est alors :

dG =∂PA

∂rAdrA + φ

∂PB

∂rA

∂f

∂rAdrA (122)

Il suffit alors d’egaler cette dynamique a 0 pour obtenir un portefeuille couvert a l’ordre 1. Onobtient alors :

φ = −∂PA

∂rA

∂PB

∂rA

∂f∂rA

(123)

Ce qui est tout a fait different de ce qu’on obtenait dans le cas ou l’on admettait que les variationsde la courbe des taux etaient paralleles. Le probleme est que l’on ne sait pour le moment pasgrand chose de cette fonction f .

5.3.2.1 Le cross-hedge Une facon simple de proceder revient a dire que rB est une fonctionaffine de rA de la forme :

rB = α0 + α1rA + ǫ (124)

ou ǫ est le plus souvent une erreur de mesure ou de modele, qui a la bonne propriete d’etrenulle en moyenne. Reste alors a determiner la valeur des deux parametres α0 et α1. La methodegeneralement appliquee revient a les choisir de facon a ce qu’ils minimisent la somme des ǫ aucarre :

n∑

i=1

ǫ2i =n

∑

i=1

(rB − α0 − α1rA)2 (125)

En reecrivant sous forme matricielle ce systeme, on a :

n∑

i=1

ǫ2i = (rB − Xα)T (rB − Xα) (126)

37

ou on a les matrices suivantes :

rB =

r1B...

rnB

(127)

α =

(

α0

α1

)

(128)

X =

1 r1A

1 r2A

......

1 rnA

(129)

Pour minimiser ce produit matriciel, il suffit de le deriver une fois en fonction de α, puis d’egalerla derivee a 0. L’ideal est evidement de bien verifier que l’on est face une probleme strictementconvexe. On obtient finalement :

(rB − Xα)T (rB − Xα)

∂α= −XT (rB − Xα) (130)

Et finalement en egalant a 0, il vient :

− XT (rB − Xα) = 0 (131)

α =(

XTX)

−1 (

XTrB

)

(132)

Encore une fois, le calcul matriciel avec Excel etant aise, il est extremement facile d’implementerce type de calcul dans une feuille quelconque.

Dans ce cas lineaire, la quantite de l’obligation B que l’on doit acheter pour obtenir un porte-feuille couvert est alors :

φ = −∂PA

∂rA

∂PB

∂rA

∂f∂rA

(133)

= −∂PA

∂rA

∂PB

∂rAα1

(134)

(135)

5.4 Le cadre general et quelques approches astucieuses

On se place ici dans le cadre le plus general possible, relachant toutes les hypotheses du modeleprecedent. Soit une obligation dont le prix depend de l’ensemble des taux ZC permettant d’ac-tualiser ses cashs flows. On a donc :

Pt(rt1 , ..., rtn) =n

∑

i=1

CFi

(1 + rti)ti

(136)

Sa dynamique a l’ordre 2 peut etre approximee de la facon suivante :

dP ≈n

∑

i=1

∂P

∂rti

drti +n

∑

i=1

n∑

j=1

1

2

∂2P

∂rtirtj

drtidrtj (137)

38

On se contente dans cette section de construire un portefeuille de couverture pour les n sourcesde risques. Soit un portefeuille G compose de n obligations, tel que :

G =n

∑

i=1

φjPi (138)

ou Pi est le prix de la ieme obligation. Ajoutons l’obligation de prix P a ce portefeuille. Cetteobligation est l’obligation dont on souhaite couvrir le risque. On a alors un portefeuille G*compose comme suit :

G∗ = P +n

∑

j=1

φjPj (139)

Ici encore, on a achete une unite de l’obligation que l’on souhaite couvrir et l’on cherche lesquantite φ1, ..., φn que l’on doit detenir pour couvrir ce portefeuille. On se content de couvrir lesrisques a l’ordre 1 de ce portefeuille. Sa differentielle est approximativement egale a :

dG∗ =n

∑

i=1

∂P

∂rti

drti +n

∑

j=1

n∑

i=1

φj∂P j

∂rti

drti (140)

En regroupant les termes de cette expression, on obtient :

dG∗ =n

∑

i=1

∂P

∂rti

+n

∑

j=1

φj∂P j

∂rti

drti (141)

Comme precedement, la couverture se fait risque par risque. On cherche donc a avoir :

∂P

∂rti

+n

∑

j=1

φj∂P j

∂rti

= 0, ∀i = {1, ..., n} (142)

En adoptant les notations suivantes :

G′ =

∂P 1

∂rt1. . . ∂P n

∂rt1...

......

∂P 1

∂rtn. . . ∂P n

∂rtn

(143)

Φ =

φ1...

φn

(144)

P ′ =

− ∂P∂rt1...

− ∂P∂rtn

(145)

il est possible de reecrire notre probleme de facon matricielle, comme suit :

G′Φ = P ′ (146)

et de le resoudre tres simplement par la meme occasion :

Φ = (G′)−1P ′ (147)

39

Ou est alors le probleme ? Pourquoi presenter la couverture en utilisant le ytm comme resumede la courbe des taux, et l’ensemble des hypotheses tres restrictives faites au cours de cettesection ? Le probleme ne tient pas au fait qu’il faille calculer un nombre croissant de deriveespour couvrir ce portefeuille : un ordinateur peut accomplir cette tache en l’espace de quelquessecondes tous les jours. Le probleme principal vient du fait qu’il soit necessaire d’utiliser n actifspour convrir une seule obligation. Le cout d’une telle couverture est bien evidement prohibitif.

De plus, cette methode ne se justifie pas entierement : il est necessaire d’utiliser n actifs decouverture, a la condition que la matrice H ′ soit inversible, autrement dit, que chacun des actifset chacun des risques soit en risque a part entiere : il n’est pas possible d’ecrire un seul de cesrisques comme combinaison lineaire des autres. La courbe des taux est en general le resultatde 3 facteurs de risques differents : un risque de niveau (facteur 1), un risque de pentification(facteur 2) et un risque de concavite (facteur 3).

Il est donc possible d’ecrire chacun des drti comme une combinaison lineaire de ces trois risques.Ceci reduit dramatiquement le nombre d’actif de couverture dont on a besoin : on passe de nrisques a 3 risques differents. Ce type de resultat est aise a obtenir a l’aide d’une analyse encomposantes principales, mais ceci reste trop avance pour le niveau de ce cours et sera reserve al’annee prochaine. Un apercu de cette methode est neanmoins disponible dans Martellini et al.(2003).

6 Selection

Derniere etape dans ce cours sur la courbe des taux et les produits obligataires : la selection.L’idee est de decrire (tres) brievement la formation d’une strategie de taux, qu’elle soit activeou passive. Une strategie de taux peut etre definie comme suit :

Definition 4. Une strategie de taux est un vecteur Φ = {φ1, ..., φj} ou φi represente laponderation d’une obligation i dans le portefeuille obligataire.

6.1 Strategies passives

Une strategie passive se definit simplement comme une strategie ayant pour but de faire aussibien que le marche, i.e. generer un gain qui reste en ligne avec les gains generes naturellementpar le marche. Il n’est pas question ici de rechercher une surperformance dans le marche. Ce typede strategie, comme presente dans Martellini et al. (2003)[chapitre 7], se focalise sur la reductiondes couts lies a la couverture. L’idee est donc de parvenir a suivre un indice de marche, tout enreajustant le moins possible le portefeuille.

Ceci revient a supposer que le marche est efficient, une hypothese dont il sera question dansd’autre cours que celui-ci. L’idee globale de cette hypothese est qu’il n’est pas possible dedegager davantage de rentabilite en esperance qu’un incide de marche, suffisament representatifdu marche en question.

6.2 Strategies actives

Une strategie active est une strategie visant a generer des rentabilites anormales dans le por-tefeuille. Une rentabilite anormale est une rentabilite qui depasse la rentabilite d’un indice

40

representatif du marche. Ces rentabilites sont en general mesurees par rapport a un modele.Dans le cadre du marche action, la premiere reference est celle du CAPM, dont il sera questiondans d’autres cours.

Dans le cas des fixed income securities, il est possible de distinguer deux types de gestions actives :

– il est tout d’abord possible de jouer sur des inefficiences de marche, i.e. sur le fait que le marchesoit mal arbitre a un instant donne. On pensera ici simplement a ce que l’on appelle l’ana-lyse reach and cheap, visant a reevaluer l’ensemble des obligations d’un marche a l’aide de lacourbe ZC theorique et a determiner la difference entre le prix de marche et le prix theoriquedes obligations. Lorsqu’une obligation a un prix de marche inferieur a son prix theorique,on achete cette obligation jusqu’a ce que l’anomalie disparaisse. Une fois revenue a son prixtheorique, le gain est egal a la difference entre le prix de vente et d’achat de l’obligation. Cetteclasse de strategie est appelee bond picking.

– il est ensuite possible de comparer la prevision implicite dans les taux de marche du futur dela courbe des taux, avec des previsions de taux tirees des avis des economistes de banque oudes responsables de salle. Il est alors possible de mettre en oeuvre des strategies permettantde tirer parti des divergences entre les deux scenarii de taux. Cette classe de strategie estappelee market timing.

6.2.1 Un exemple de market timing

Les strategies de market timing reposent sur trois types d’ingredients, dont la qualite fera na-turellement l’interet de la methode :

1. Il est tout d’abord necessaire de concevoir un modele permettant d’extraire de la courbedes taux spots les taux forwards pour des maturites variees.

2. Il est ensuite indispensable de beneficier de prevision de la courbe des taux qui soit en unsens plus efficiente que celles du marche.

3. Enfin, il est essentiel de savoir construire une strategie de taux permettant de tirer partide divergences relevees entre les previsions du marche et celle des economistes.

Ici, on s’interessera principalement au premier de ces trois points, en presentant la constructiond’une courbe des taux spots a l’aide d’une fonctions polynomiale de la maturite de ce taux. Onse restreindra ici a la classe de Nelson et Siegel, augmentee par Svensson. L’idee de depart decet exemple est la suivante : selon ce que l’on appelle l’expectation hypothesis, les taux forwardscorrespondent a la prevision du marche du futur des taux spot sur la periode correspondante.Ainsi, en notant rt le taux court (taux a un jour) pour la date t et f(t, T ) le taux court forwarden date T , alors on a :

f(t, T ) = E[rT ] (148)

dans la mesure ou rT est inconnu en date t. Jarrow (2002) fournit davantage de details relative-ment a la profondeur de cette hypothese et ses multiples declinaisons.

41

Ainsi, en calculant les taux forward courts pour des maturites variees, on devrait etre en mesurede connaitre la prevision du marche du taux court pour differentes maturites. Mieux, sachantque :

f(t, t1, t2) =

t2∏

k=t1

f(t, k) (149)

il est possible de retrouver l’ensemble des taux forward de depart t1 et de maturite t2.

Svensson montre qu’en estimant la courbe des taux spots a l’aide d’un jeu de 6 parametres avecla forme fonctionnelle suivante :

R(t, T ) = β0 + β1

1 − exp(

− Tτ1

)

Tτ1

+ β2

1 − exp(

− Tτ1

)

Tτ1

− T

τ1

+ β3

1 − exp(

− Tτ2

)

Tτ2

− T

τ2

(150)

il est alors possible de donner une expression simple au taux forward court :

f(t, T ) = β0 + β1exp

(

− T

τ1

)

+ β2T

τ1exp

(

− T

τ1

)

+ β3T

τ2exp

(

− T

τ2

)

(151)

Ceci est extrement pratique d’utilisation : cette forme fonctionnelle est capable d’accomoder laplupart des formes de la courbe des taux. L’estimation peut se faire naturellement par moindrescarres.

L’interet de cette approche repose sur le fait que le taux court spot (un jour) est egal (au moinspour l’euro et le dollar) au taux cible de la banque centrale majore d’un spred dit ”spread refi-jj”(le refi est un autre nom du taux cible de la banque centrale). L’idee est donc de determiner letaux forward de reunion des banquiers centraux en reunions et de juger de la pertinence de laprevision du marche. Cette section sera pleinement developpee dans le cadre du cours.

6.2.2 Quelques strategies classiques

Pour terminer cette section, il est possible de distinguer plusieurs types de strategies :

1. Une strategie de roll-over est une strategie visant pour un investissement de maturite n arepeter des investissement sur des horizons ni < n, de facon a tirer parti de la hausse oude la baisse des taux.

2. Un bullet portfolio est un portefeuille compose de titres ayant des maturites tres proches.On joue ici sur un mouvement anticipe d’un point de la courbe des taux.

3. Un barbell portfolio est un portefeuille compose de titres de maturites courtes et longues,mais pas intermediaires. L’idee est ici de profiter des mouvements de concavite de la courbe.

4. Un butterfly portfolio resulte de la combinaison des deux precedents portefeuilles : le bul-let constitue le corps du papillon (le pivot de la strategie) et le barbell constitue les ailes.L’idee est de tirer parti de mouvements autour du bullet, tout en profitant d’un mouve-ment de niveau sur bullet.

Pour terminer : notons qu’un portefeuille bullet et un portefeuille barbell de duration egale,n’auront pas la meme convexite. Le barbell a une convexite plus importante, puisque somme dedeux convexite differentes elevees au carre.

42

7 Retour sur la courbe des taux

Definition 5 (La courbe des taux). La structure par terme des taux d’interet (ou courbe destaux ou encore gamme des taux) est la fonction qui a une date donnee et pour chaque maturiteen abscisse, indique le niveau du taux d’interet associe en ordonnee.

Il existe trois grands types de courbe de taux zero-coupon :

– la courbe Tresor (ou courbe d’Etat)

– la courbe interbancaire

– et les courbes ”corporate”.

On ne se preocuppera ici que de la courbe Tresor : une fois la construction de cette courbecomprise, le reste des courbe ne pose aucune difficulte. La courbe Tresor est construite a partirdes obligations emises par l’Etat (OAT, BTAN et BTF en France, T-bills, T-notes et T-bondspour les USA).

Il s’agit de la courbe dite sans risque dans les pays du G7 dans la mesure ou les Etats de cespays sont censes ne jamais faire defaut. Les Etats de ces pays sont notes AAA par les agencesde rating, i.e. disposent de la meilleure notation possible.

La courbe Tresor est construite a partir d’obligations d’Etat. Il est important de faire uneselection rigoureuse des titres qui servent a la reconstitution. Il faut eliminer :

– les titres qui presentent des clauses optionnelles car la presence d’options rend le prix de cestitres non homogenes avec ceux qui n’en contiennent pas.

– les titres qui presentent des erreurs de prix, typiquement dues a des erreurs de saisie.

– les titres qui sont soit illiquides, soit surliquides, et presentent donc des prix qui ne sont pasdans le marche.

Il ne faut pas tracer la courbe des taux sur des segments de maturite ou l’on ne dispose pas detitres. Par exemple, ne pas tracer la courbe sur le segment [20-30 ans] si l’on ne dispose pas detitres de maturites superieures a 20 ans dans le panier.

7.1 Derivation de la courbe des ZC

On presente dans ce qui suit deux methodes pour tirer les taux 0-coupon a partir du prix desobligations : la methode theorique de reconstitution de la courbe, ainsi que le bootstrap.

7.1.1 La methode theorique

Elle permet de deduire directement les taux zero-coupon des obligations a coupons. Elle requiereles deux conditions suivantes :

43

– elles ont les memes dates de tombee de coupon

– elles ont des maturites multiples de la frequence de tombee des coupons.

Remarque 10. Cette methode n’est que theorique car dans la pratique il est tres rare depouvoir trouver un echantillon d’obligations ayant ces deux caracteristiques.

Notations et resolution

Soit Pt = (P 1t , P 2

t , ..., Pnt ) le vecteur des prix des n obligations. (152)

F = (Fij) la matrice n x n correspondant aux flux des n titres pour les n tombees de flux.(153)

Les dates de tombees des flux sont identiques pour tous les titres. (154)

Bt = (B(t, t1), B(t, t2), , ....., B(t, tn)) le vecteur des facteurs d’actualisation (155)

Par absence d’opportunite d’arbitrage, notre probleme prend la forme suivante :

Pt = FB′

t ⇔ Bt = (F−1Pt)′ (156)

On extrait le vecteur des taux zero-coupon a l’aide de la relation suivante :

R(t, ti − t) =

(

1

B(t, ti)

) 1ti−t

− 1 (157)

Si l’on souhaite utiliser des taux continus, on utilise alors :

R(t, ti − t) = − 1

ti − tln(B(t, ti)) (158)

Exemple 4. Soit les obligations suivantes :

Coupon Maturite Prix

Titre 1 5 1 101Titre 2 5,5 2 101,5Titre 3 5 3 99Titre 4 6 4 100

Tirez les prix des 0-coupons sous-jacents, puis les taux zero-coupon.

7.1.2 La methode du bootstrap

Il s’agit d’une procedure en plusieurs etapes qui permet de reconstituer une courbe zero-couponau comptant ”pas a pas”, i.e. segment par segment de maturite.

1. Pour le segment de la courbe inferieur a 1 an :

Extraction des taux zero-coupon grace aux prix des titres zero-coupon cotes sur le marchepuis obtention d’une courbe continue par interpolation.

44

2. Pour le segment de la courbe allant de 1 an a 2 ans :

Parmi les obligations de maturite comprise entre 1 an et 2 ans, on choisit l’obligationa l’echeance la plus rapprochee. Ce titre verse deux flux. Le facteur d’actualisation dupremier flux est connu grace a l ’etape 1. Le facteur d’actualisation du second flux estsolution de l’equation non lineaire :

P = CB(0, t1) + (100 + C)B(0, t2) avec t1 ≤ 1 et 1 < t2 ≤ 2 (159)

On obtient alors un premier point de courbe sur ce segment. On reitere alors le memeprocede avec l’obligation de maturite immediatement superieure mais toujours inferieurea 2 ans.

3. Pour le segment de la courbe allant de 2 ans a 3 ans :

On reitere l’operation precedente a partir des titres ayant une maturite comprise entre 2ans et 3 ans.

...etc...

Exemple 5. Soit les donnees suivantes :

Coupon Maturite

Titre 1 5% 1 an et 2 moisTitre 2 6% 1 an et 9 moisTitre 3 5,50% 2 ans

Maturite ZC

Overnight 4,40%1 mois 4,50%2 mois 4,60%3 mois 4,70%6 mois 4,90%9 mois 5%1 an 5,10%

Tirez les zero-coupons pour des maturites superieures a un an. On donne un debut de solution :

Le taux a un an et deux mois est solution de :

103, 7 =5

(1 + 4.6%)1/6+

105

(1 + x)1+1/6⇒ x = 5.41% (160)

Le taux a un an et 9 mois s’obtient comme suit :

102 =6

(1 + 5%)9/12+

105

(1 + x)1+9/12⇒ x = 5.69% (161)

Remarque 11 (Lissage de la courbe). On comprend bien que lors des calculs conduisant atracer la courbe des taux, nous sommes contraints par la gamme des echeances disponibles.Pour obtenir un taux zero-coupon entre deux dates disponibles, il est possible de proceder a uneinterpolation. La convexite/concavite de la courbe des taux rend cependant ce type de calculhasardeux (inegalite de Jensen).

45

7.2 Rendre la courbe des taux continue

Sur ce point, voir les splines de Svensson dans la partie strategie. On ajoute un cours laius surles splines cubiques. On suppose que l’on dispose de la courbe des ZC spot sur des maturitesallant de 1 a 30 ans. On souhaite ecrire les taux spots sous la forme d’une fonction cubique dela maturite, continue par morceaux. On a :

r(T ) =

r0 + a1T + b1T2 + c1T

3 si T ≤ 10r10 + a2(T − 10) + b2(T − 10)2 + c2(T − 10)3 si 10 < T ≤ 20r20 + a3(T − 20) + b3(T − 20)2 + c3(T − 20)3 si 20 < T

(162)

On reduit le nombre de parametres a identifier en ajoutant des conditions de continuitee surcette fonction par morceaux ainsi que sur les derivees premieres (de facon a ce que la courbedes taux soit C2). Pour plus de details, voir Tuckman (2002). Reste ensuite a optimiser parles moindres carres pour determiner les parametres libres. Il est egalement possible de faire dememe avec les discount factor (voir Martellini et al. (2003)[chapitre 4]).

7.3 La courbe des taux forward

Definition 6. Le taux forward (ou taux forward zero-coupon) F (t, x, y − x), determine en t,demarrant en x et d’echeance y, est defini par :

F (t, x, y − x) =

[

(1 + R(t, y))y−t

(1 + R(t, x))x−t

]1

y−x

− 1

Pour un emprunt avec remboursement des interets et du capital a l’echeance, F (t, x, y − x)est le taux d’interet auquel on peut signer un contrat aujourd’hui, avec un demarrage en x etl ’echeance en y.

Pour retrouver la formule precedente, il suffit de concevoir le probleme en terme d’absenced’opportunite d’arbitrage.

Definition 7 (AOA). Soit un portfeuille quelconque de titres, de cout nul ou negatif. On ditqu’il y a absence d’opportunite d’arbitrage si et seulement si il n’est pas possible de realiser aterme un profit positif presque surement. Autrement dit, si θ represente la quantites d’actifs enportefeuille et Pi leur prix en date i, alors :

θP0 ≤ 0 ⇒ P (θPt > 0) = 0

Dans notre cas, imaginons que l’on emprunte aujourd’hui un euro a deux ans et que l’on preteun euro a un an, puis un euro dans un an pour un an. Les cash-flows de l’operation sont alorsles suivants :

Aujourd’hui Dans 1 an Dans 2 ans

Emprunt 1 0 A = −(1 + R(0, 2)2

Pret -1 1+R(0,1) B = (1 + R(0, 1)) × (1 + F (0, 1, 1))

Solde Total 0 A+B

En AOA, on doit necessairement avoir A+B = 0. La resolution de cette derniere equation donnenecessairement :

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(1 + R(0, 2)2)

(1 + R(0, 1))− 1 = F (0, 1, 1)

Il est donc possible d’inferer cette courbe des taux forward a partir de la courbe des taux 0-coupon. Il existe naturellement un infinite de courbes forward (autant que d’echeance de departdu pret/emprunt).

References

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