Introduction à l’électromagnétisme - Accueil · • “Physique tout en un”, 1ère année, Dunod. ... (1885-1962) : 1er modèle atomique quantique. Les orbites des électrons

Universite de Cergy-PontoiseS3 Introduction a l’electromagnetisme 2015-16

Introduction a l’electromagnetisme

Partie A: Electrostatique

I. Forces et champs electrostatiques

II. Potentiel electrostatique, energie potentielle electrostatique

III. Theoreme de Gauss

IV. Forme locale des equations de l’electrostatique

V. Conducteur parfait a l’equilibre electrostatique

VI. Dipole electrostatique

Partie B: Magnetostatique – Induction

I. Milieu conducteur, courant, loi d’Ohm

II. Champ magnetique, force de Lorentz, force de Laplace

III. Champ magnetique. Loi de Biot et Savart

IV. Proprietees du champ magnetique. Theoreme d’Ampere

V. Induction magnetique

1

Travaux diriges

TD.1. Champ et potentiel electrostatiques, principe de superposition

TD.2. Theoreme de Gauss

TD.3. Conducteurs a l’equilibre

TD.4. Dipole electrostatique

TD.5. Force de Lorentz – Force de Laplace

TD.6. Loi de Biot et Savart

TD.7. Theoreme d’Ampere

TD.8. Induction

Enonces des travaux diriges, corriges des exercices supplementaires, annales (partiels et examensdes annees precedentes) et formulaire de mathematiques pour la physique :https://trambly.u-cergy.fr/L2Electromag/index.html

Bibliographie succincte

• H-Prepa “Electromagnetisme”, 1ere annee MPSI-PCSI-PTSI, Hachette.Pour l’induction voir : 2eme annee MP-PC-PSI-PT.

• “Physique tout en un”, 1ere annee, Dunod.Pour les formes locales, les conducteurs et l’induction voir : 2eme annee MP.

• “Physique 2. Electricite et magnetisme”, Halliday, Resnick et Walker, Dunod.

• Pour exercices (methodes) et annales voir :“Physique : 1ere annee” MPSI-PTSI, Grecias et Migeon, Tec & doc, Lavoisier.“Physique : 2eme annee” PSI, Augier et More, Tec & doc, Lavoisier.

• Sites WEB :Figures animees pour la physique :http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/index.html

Champ electrostatique et champ magnetique :http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Elec/Champs/Index_Champs.html

Videos d’experiences illustrant le cours :https://cpinettes.u-cergy.fr/Videos-Electromag_1.html

2

Quelques r epères historiques :

• 7ème siècle avant J.C. : Thalès de Milet : Corps électrisésSi l'on frotte de l'ambre, il attire de petits objets. L'ambre est donc un corps « électrisé »

• Début 18ème siècle : Dufay (1698-1739) : 2 types d'électricité : positive et négative « Des objets frottés contre de l'ambre se repoussent, ainsi que des objets frottés contre une baguette de verre, mais les objets frottés avec de l'ambre attirent ceux frottés avec le verre. »

• 1785 : Charles-Augustin Coulomb (1736-1806) : Loi élémentaire (force de Coulomb).

• Début 19ème siècle André-Marie Ampère (1775-1836) : Relation entre magnétisme et électricité. Force entre deux fils parcourus par un courant. Définition de l'Ampère (unité de courant).

• 1931 Michael Faraday (1791-1867) et 1934 Heinrich Lenz (1804-1865) : Induction. Loi de Lenz, force électromotrice. Cage de Faraday.

• 19ème siècle Carl Friedrich Gauss (1777-1855) : Théorème de Gauss. Il n'existe pas de monopôle magnétique.

• 19ème siècle : James C. Maxwell (1831-1879) : Équations unifiées de l'électromagnétisme (équations de Maxwell ou Maxwell-Lorentz).

• 1900 : Max Planck (1858-1947) : Quantification des échanges d'énergie avec la matière (corps noir).

• 1905 : Albert Einstein (1879-1955) : Théorie corpusculaire de la lumière (photon), effet photoélectrique.

• 1905 : Albert Einstein (1879-1955) : Théorie de la relativité restreinte.

1905 : Henri Poincaré (1854-1912) : Transformation de Lorentz. Les équations de Maxwell, qui ne sont pas compatibles avec la mécanique classique (Newton), sont compatibles avec la relativité restreinte.

• Début 20ème siècle : Hendrik A. Lorentz (1853-1928) : Force électromagnétique (force de Lorentz).

• 1910 : Expérience de Robert A. Millikan (1868-1853) : Les charges des ions sont des multiples entiers d'une charge élémentaire e = 1,60217646×10−19 C.

• 1911 : Expérience de Ernest Rutherford (1871-1837) : Les atomes (taille ~10-10 m = 1 Angström) sont constitués d'un noyau positif, très petit (~10-15 m), entouré d'électrons.

• 1913 : Niels Bohr (1885-1962) : 1 er modèle atomique quantique . Les orbites des électrons autorisées (possibles) correspondent à des énergies quantifiées des atomes. D'après la mécanique quantique ce modèle n'est pas correct, mais il donne les bons ordres de grandeur des énergies d'un atome.

• 1924 : Louis de Broglie (1892-1987) : D ualité onde-corpuscule

• 1926 : Erwin Schrödinger (1887-1961) : Une particule quantique (électron, proton, ions ...) est modélisée comme une onde qui détermine une « probabilité de présence » de la particule.

• Mécanique quantique …

3


Serie de TD no 1 : Champ et potentiel electrostatiques, principe de superposition

Ex 1. Quatre charges, 2 q, −2 q, q, −q, sont placees aux sommets d’un carre de cote a commesur la figure. Determiner l’intensite et la direction du champ electrostatique au centre dece carre O et au point P , milieu du segment (−q, q).

2 q -2 q

-q q

O

P

Ex 2. Calculer la charge totale d’un cylindre, de rayon R et de hauteur h, de densite volumique

de charge ρ(r, θ, z) = ρ0r

Ren coordonnees cylindriques .

Ex 3. On suppose que dans l’espace regne la densite volumique de charge:

ρ(r) =q

C re−r/a

ou r est la norme du rayon vecteur, q a la dimension d’une charge et a est une constantepositive.

a) Quelles sont les dimensions des constantes a et C?

b) Calculer la charge Q(R) dans une sphere de centre O et de rayon R.

Si l’on desire que la charge totale de l’espace Q soit Q = q, calculer C.

c) Quel pourcentage de la charge totale est contenue dans une sphere centree en O derayon R = 3 a ?

Ex 4. Determiner le champ et le potentiel electrostatiques crees par un arc de cercle, de chargelineıque λ constante, en son centre.

2α

4

Ex 5. Determinez le potentiel φ, l’intensite E et la direction du champ electrostatique cree parune spire de rayon R, de centre O de charge lineıque λ constante, en un point de son axeOz.

Interpreter les limites suivantes pour le champ−→E :

a) R → ∞,

b) z ≫ R.

Tracer E(z) et φ(z).

Ex 6. Une charge ponctuelle q, placee en O, cree un champ electrique−→E dans tout l’espace.

Calculer la circulation de−→E le long des trajets A

1→ B, B

2→ C et A

3→ C.

.O

. .A

B(3)

(1)

(2)

.C

Ex 7. Determiner en tout point de l’espace, le champ electrique et le potentiel cree par un filrectiligne infini de charge lineıque λ constante.

Tracer schematiquement les lignes de champ de−→E et les equipotentielles.

Exercices supplementaires

Ex 8. Disque charge. (exercice d’entraınement)

Determinez le potentiel φ, l’intensite E et la direction du champ electrostatique cree parun disque de rayon R, de centre O, de charge surfacique σ constante, en un point de sonaxe Oz.

Interpreter les limites suivantes pour le champ−→E :

a) R → ∞,

b) z ≫ R.

Tracer E(z) et φ(z).

5

Ex 9. Calotte spherique chargee. (entraınement, un peu difficile mais c’est un classique)

Soit une calotte spherique chargee uniformement en surface (charge surfacique σ), decentre O, de rayon R et d’axe de symetrie (Oz). Le disque fermant la calotte est vudepuis O sous un angle θ0 (voir figure).

a) Calculer la charge totale Q de la calotte.

b) Par des arguments de symetrie, que peut-on dire du champ electrostatique−→E (O) en

O?

c) Soit le champ electrostatique elementaire d−→E cree en O par les charges vues depuis O

sous un angle avec (Oz) compris entre θ et θ + dθ. Montrer que d−→E peut s’ecrire:

d−→E =

σ

2ǫ0sin θ cos θ dθ−→u

avec −→u un vecteur unitaire que l’on definira.

d) En deduire le champ electrostatique−→E (O) en O.

e) Determiner le potentiel electrostatique en O.

Ex 10. Calcul direct du potentiel cree par un fil charge infini. (Difficile).

Determinez le potentiel electrostatique cree par un fil rectiligne fini de charge lineıque λconstante, au point M repere comme sur la figure.

x=0M

d

b

a

x

θ

Donnee:d ln(u+

√1 + u2)

du=

1√1 + u2

.

Que se passe-t-il si le fil est infini ? Comparez a l’exercice 7. Expliquez.

6

Universite de Cergy-PontoiseS3 Introduction a l’electromagnetisme 2015/16

Serie de TD no 2 : Theoreme de Gauss

Ex 1. Soit une charge electrique isolee q. A l’aide du theoreme de Gauss, calculez le champelectrique cree par cette charge en un point M situe a une distance r de q. Retrouvez laloi de Coulomb.

Ex 2. Soit une sphere chargee uniformement en volume, de charge totale Q et de rayon R.

Calculer le champ−→E et potentiel electrostatiques φ, crees par cette distribution de charge,

a une distance r du centre de la sphere dans les deux cas r < R et r > R.Que retrouve-t-on dans le second cas ?Le champ est-il continu en r = R ?Tracer E(r) et φ(r).


Reprendre l’exercice si la densite volumique de charge n’est plus constante, mais que l’ona ρ(r) = A/r pour r < R.

Ex 3. On considere un cylindre infini, de rayon R, charge uniformement en surface. La densitesurfacique de charge est σ. Calculer le champ et potentiel electrostatiques en un pointsitue a une distance r de l’axe du cylindre (on etudiera les cas r < R et r > R).


Ex 4. On considere une surface carree de 1m de cote, portant une charge totale de 10−6C,uniformement distribuee sur la surface. Que vaut le champ electrique en un point situe a5mm de la surface et pas trop eloigne du centre de la surface ?

Meme question pour un point situe a 500m du centre de la surface.

Ex 5. On considere 3 plaques A, B et C paralleles et tres rapprochees entre elles. Les troisplaques ont chacune une surface de 100 cm2. Les charges portees par A B et C sontrespectivement 3µC, −2µC et 4µC. En negligeant les effets de bord, calculer le champelectrique cree par ces trois plaques dans les quatre domaines qu’elles definissent au voisi-nage des plaques.

Donnee :1

4πǫ0= 9× 109 S.I.


Ex 6. Retrouver les resultats du fil infini uniformement charge a l’aide du theoreme de Gauss.Peut-on faire de meme pour le fil fini ?

7

Ex 7. Une sphere de rayon R porte une densite volumique de charge constante ρ, sauf dans unecavite spherique (de rayon a et dont le centre est a la distance d du centre de la grandesphere) creusee dans la sphere. Calculer le champ electrique dans la cavite.


Ex 8. Sphere chargee en surface. (entraınement)

Reprendre l’Ex. 2 en considerant une sphere chargee uniformement en surface, de densitesurfacique de charge σ.

Ex 9. Cylindre charge en volume uniformement. (entraınement)

Reprendre l’Ex. 3 en considerant un cylindre charge uniformement en volume, de densitevolumique de charge ρ.

Ex 10. Cylindre charge en volume non uniformement. (entraınement)

Un cylindre infini d’axe (Oz) et de rayon R est charge en volume avec une densite decharges volumique ρ(r) = r/a, ou a est une constante positive et r la distance a l’axe(Oz).

a) Calculer la charge contenue dans un cylindre d’axe (Oz), de rayon r et de hauteur h.

b) Calculer le champ electrique en tout point de l’espace. Tracer E(r).

c) Calculer le potentiel electrostatique en tout point de l’espace. Tracer Φ(r). On prendral’origine des potentiels en r = 0.

Ex 11. (un peu plus difficile)

On considere que dans l’espace entier regne une distribution de charge a symetrie spherique

et on mesure un potentiel φ(r) =Q0

4 π ǫ0 rexp(−

r

a) a la distance r du centre O.

Calculer le champ electrique en tout point de l’espace. Trouver et tracer Q(r) la chargecontenue dans la sphere de rayon r. En deduire la distribution de charge en tout point del’espace.

Quel probleme physique vous semble ainsi avoir ete modelise ?

8


Serie de TD no 3 : Conducteurs a l’equilibre

Ex 1. a) Une sphere conductrice S, de rayon R, est seule dans l’espace, on la porte au potentielφ0. Calculer la charge Q0 et la densite surfacique de charge σ portees par S. Onprendra le potentiel nul a l’infini.

b) Sans qu’aucun contact electrique ne se fasse avec S, on l’entoure d’une couche spheriqueconductrice globalement neutre T , de rayon interieur R1 et de rayon exterieur R2

(R < R1 < R2). Quelles sont les charges portees par les differentes surfaces ? Calculerφ1 et ψ1, les potentiels respectifs de S et T .

c) T est maintenant reliee a la terre. Calculer φ2 et ψ2, les potentiels respectifs de S etT .

Ex 2. Calculer la capacite C d’un condensateur plan.

Ex 3. Une couche conductrice spherique, de rayon interne b et de rayon externe c, entoure unesphere conductrice de rayon a. Les deux conducteurs sont centres sur le meme point.Calculer la capacite de ce condensateur spherique.Que retrouve-t-on dans la limite b− a≪ a ?

Ex 4. Dans le montage suivant comment choisir c2, pour que la capacite de l’ensemble soitencore c2 ? A.N. c1 = 3µF.

AC1

C2

B

C1

F

D

Initialement, les condensateurs sont decharges. Puis on applique une tension de 400Ventre les bornes A et B. Determiner la charge et la tension de chaque condensateur.


Ex 5. (entraınement)

Une charge ponctuelle q = − 10−6C est placee en O. Une couche conductrice spherique,centree en O, de rayon interieur R1 = 20 cm et de rayon exterieur R2 = 30 cm, entoureq. La couche conductrice est portee au potentiel Φ = 104V. Le potentiel est choisi nul al’infini.

Calculer les charges sur les surfaces de la couche conductrice. Application numerique.

Donnee :1

4πǫ0= 9× 109 S.I.

9

Ex 6. (entraınement)

Une sphere conductrice de rayon R est portee au potentiel Φ. Elle est placee a l’interieurd’une couche spherique conductrice portee au potentiel Ψ, de meme centre, de rayoninterieur R1 > R et de rayon exterieur R2 > R1.

a) Calculer les charges portees par toutes les surfaces des deux conducteurs.

b) Calculer le champ et le potentiel en tout point de l’espace. Tracer Φ(r). On prendrale potentiel nul a l’infini.

Ex 7. Condensateur cylindrique. (entraınement)

On considere deux cylindres coaxiaux de rayons respectifs R1 et R2 (R1 < R2).Calculer la capacite lineıque de ce condensateur.Que retrouve-t-on dans la limite R2 − R1 ≪ R1 ?

10


Serie de TD no 4 : Dipole electrostatique

Ex 1. Dipole electrique

On place une charge positive q au point P et une charge −q au point N . La distanceentre ces charges est 2a (2a = NP ). On exprimera les resultats en fonction du momentdipolaire:

−→p = q−→

NP

Soit O le milieu de [NP ] et −→r =−→

OM .

a) Calculer le potentiel en un point M loin des charges (r ≫ a).

b) En deduire le champ electrique en M loin des charges.

c) Tracer schematiquement le champ−→E pour une valeur de r telle que r ≫ a

et θ = 0, π/4, π/3, π/2, π, 2π/3, 3π/4, 3π/2 ou θ est l’angle entre −→p et−−→OM .

Tracer schematiquement les lignes de champs de−→E .

d) Determiner l’equation de la surface equipotentielle de potentiel φ0.Pour quelles valeurs de θ la distance r est-elle nulle ou maximale ?Tracer schematiquement les equipotentielles.Quel lien local y a-t-il entre les lignes de champ et les equipotentielles ?

Exercice supplementaire

Ex 2. Dipole dans un champ.(entraınement)

Un dipole rigide, de moment dipolaire −→p , est initialement situe en M a proximite d’unecharge ponctuelle q, fixe, situee en O. Le dipole est mobile (il peut se deplacer librement).

a) Justifier que le dipole s’oriente par rapport a la charge dans une direction que l’ondeterminera.

b) Determiner l’expression de la force subie par le dipole. On supposera que le dipoles’est prealablement oriente selon la direction de la question precedente. On pourrasupposer que le dipole est constitue de deux charges ponctuelles de signes opposees.

Ex 3. Quadrupole electrique

Dans le plan (Oxy), on place deux charges +q et deux charges −q aux sommets d’un carre.Calculer le potentiel electrique cree par les 4 charges en un point situe a grande distancedu centre du carre. On considerera les deux cas suivants :

a) b)

q

-q

-q

q q

q

-q

-q

On pourra utiliser le resultat de l’exercice 1.

Le cas b) est hors programme (excercice complementaire difficile).

11


Serie de TD no 5: Force de Lorentz – Force de Laplace

Ex 1. Effet Hall

Des electrons se deplacant a la vitesse −→v dans un barreau metallique arrivent dans unezone ou regne un champ magnetique

−→B uniforme. Le barreau est de largueur L.

e-

v

B

LL

a) Montrer qu’un champ electrique−→

EH , appele champ de Hall, apparaıt dans le barreau.

Calculer−→

EH lorsque le regime permanent est atteint.

En deduire la tension de Hall UH aux bornes du barreau en regime permanent.

b) Montrer que cet effet permet de distinguer un courant d’electrons de vitesse −→v , d’uncourant de charges +e de vitesse −−→v .

Ex 2. La roue de Barlow (1776-1862)

La roue de Barlow fut imaginee en 1828 pour montrer l’action d’un champ magnetiquesur un courant electrique. Le courant I passe dans un rayon de la roue (en cuivre) placeedans l’entrefer d’un aimant, puis a travers un bain de mercure (voir figure).

Expliquer ce qu’il se passe.

Ex 3. Calculer la force subie par le circuit indeformable suivant:

I

B

place dans un champ magnetique−→B uniforme.

12

Ex 4. Conducteur ohmique cylindrique

Calculer la resistance d’un conducteur ohmique cylindrique de conductivite γ, de longueurL et de section S.

Application numerique: ρ = 1/γ = 17× 10−9Ω.m; S = 1mm2; L = 1m.

Exercice supplementaire

Ex 5. Conducteur ohmique spherique (entraınement, un peu difficile)

Calculer la resistance d’un conducteur ohmique de conductivite γ compris entre deuxspheres de rayons R1 et R2 (R1 < R2), portees respectivement aux potentiels φ1 et φ2.

Ex 6. Le galvanometre a cadre mobile (entraınement)

Le galvanometre a cadre mobile sert a mesurer de tres faibles intensites de courant, leplus souvent inferieures a 1µA. Il est constitue d’un cadre rectangulaire suspendu dansl’entrefer d’un aimant et d’une aiguille fixee perpendiculairement au cadre, l’ensemblecadre+aiguille etant mobile autour de l’axe vertical Oz. Le cadre est suspendu a un filvertical aligne sur Oz et de constante de torsion C, qui exerce un couple de rappel sur lecadre. Lorsqu’on applique un courant I dans les N spires du cadre, l’aiguille tourne d’unangle θ.

On notera a et b les longueurs des cotes du cadre et on supposera le champ magnetiquedans l’entrefer,

−→B , uniforme et parallele au plan du cadre (voir figure en vue de dessus).

a) Calculer le couple−→Γ B exerce par le champ magnetique sur le cadre.

b) Donner l’expression du couple de rappel−→Γ C exerce par le fil sur le cadre.

c) Donner la relation entre θ et I. En deduire que la mesure de l’angle de deviation θpermet de determiner le courant I traversant les spires.

13


Serie de TD no 6: Loi de Biot et Savart

Ex 1. On considere un fil rectiligne de longueur finie parcouru par un courant I.

I

Mα1

α2

a) Que dire des lignes du champ magnetique ? Calculer ce champ en M .

b) A tres petite distance du fil que retrouve-t-on ? Expliquer.

c) Calculer le champ magnetique au centre d’un circuit en forme de polygone regulier den cotes de rayon circonscrit R parcouru par un courant I.

En deduire, lorsque n tend vers l’infini, le champ magnetique cree par une spire cir-culaire en son centre.

Ex 2. On considere une spire circulaire, de rayon R, parcourue par un courant I. Calculer lechamp magnetique en un point quelconque de l’axe de la spire.


Ex 3. (entraınement, facile)

Un fil conducteur est forme de deux arcs de cercle de rayons R1 < R2 et de meme centreC reunis par deux segments. Il circule un courant I dans le fil.

Determiner le champ magnetique−→B (C) cree par ce courant au point C, pour les deux

configurations suivantes.

a)

R

R

IC

1

2

b)

R1

R2

C

I

Ex 4. Sphere chargee en rotation. (plus difficile)

Une sphere chargee uniformement en volume de rayon R et de charge Q tourne autour deson axe (Oz) avec une vitesse angulaire constante ω.

a) Calculer la densite de courant.

b) Calculer le champ magnetique en un point de l’axe tres eloigne de la sphere.

14


Serie de TD no 7: Theoreme d’Ampere

Ex 1. Definition de l’unite de courant electrique : l’Ampere

a) Calculer le champ magnetique cree par le courant permanent I parcourant un filrectiligne suppose infini (en negligeant les effets de bords).

b) Deux fils rectilignes infinis, paralleles, distants de d = 1m l’un de l’autre, sont par-courus par des courants identiques I mais en sens contraire.

- Quelle est la force par unite de longueur exercee par l’un des deux fils sur l’autre ?

- Faire un schema indiquant clairement la direction et le sens de cette force.

- Quelle doit etre l’intensite I pour que cette force soit egale a 2.10−7N/m ?

Donnee : µ0 = 4π × 10−7 SI

Ex 2. Solenoıde

a) On considere un solenoıde tres long. Le nombre de spires par unite de longueur est n.Il y circule un courant I. On suppose que le champ magnetique s’annule a tres grandedistance du solenoıde.

En negligeant les effets de bords, calculer le champ magnetique cree par ce solenoıde.Tracer les lignes de champ de

−→B .

b) Tracer qualitativement les lignes de champs d’un solenoıde de longueur finie pourlequel on ne peut pas negliger les effets de bords.

Ex 3. Cylindre infini

Un cylindre infini de rayon R est parcouru par un courant de densite uniforme −→ parallelea son axe. Calculer le champ magnetique

−→B cree par ce cylindre. Tracer les lignes de

champ de−→B .

Ex 4. Courant surfacique plan

a) Calculer le champ magnetique cree par un plan infini (Oxy) parcouru par un courantsurfacique uniforme et constant oriente suivant les x positifs. L’intensite du couranttraversant un segment de longueur unite parallele a l’axe (Oy) est donc constante etvaut λ (densite lineique de courant mesuree en Ampere/metre).

b) Calculer le champ magnetique cree par deux plans infinis paralleles et distants de d.On suppose que la densite lineique de courant est la meme pour les deux plans et queles courants vont dans des sens opposes.

Ex 5. Reconnaıtre des lignes de champ

Le champ de vecteurs represente sur la figure ci-dessous a la symetrie cylindrique. Peut-iletre un champ magnetique ? un champ electrique ?

15


Ex 6. Cable coaxial. (entraınement)

La ligne centrale et la gaine externe d’un cable coaxial suppose tres long (voir la figure ci-dessous) sont traversees par des courants de meme intensite I et de sens opposes. Calculerle champ magnetique a une distance r du centre. On etudiera les cas r < R1, R1 < r < R2,R2 < r < R3 et R3 < r. On suppose que les conducteurs sont homogenes, donc −→ estuniforme dans chaque conducteur.

I

I

R1 R2 R3

Ex 7. Champ dans un tore. (entraınement)

On considere un ensemble forme de N spires enroulees autour d’un tore, dans lesquellescircule un courant I. Quel est le champ magnetique a l’interieur du tore ? Montrer qu’al’exterieur du tore, le champ magnetique est nul.

Ex 8. Calcul d’une densite volumique de courant. (plus difficile)

Un cylindre de hauteur infinie et de rayon R est parcouru par un courant I suivant son axe(Oz). Ce courant n’est pas reparti uniformement dans le cylindre ; la densite volumiquede courant −→ est parallele a l’axe du cylindre et ne depend que de la distance r a cet axe(−→ = (r)−→u z).

a) Decrire les lignes du champ magnetique−→B cree par ce courant.

b) Determiner (r) pour que la norme de−→B soit constante et egale a B0 a l’interieur du

cylindre. Calculer alors I.

16

Ex 9. Champ cree par deux fils parcourus par un courant. (plus difficile)

On considere deux fils rectilignes de longueur infinie, distant de a, parcourus respective-ment par un courant I et −I. Calculer le champ magnetique

−→B en M .

O1 O2

M

r1 r2

I

I

Montrer que la norme de−→B ne depend que de I, a, r1 = O1M et r2 = O2M .

Tracer qualitativement les lignes de champ de−→B .

17


Serie de TD no 8: Induction

Ex 1. L’anneau qui saute

Qu’arrive-t-il a l’anneau quand on ferme l’interrupteur ? quand on l’ouvre ? On negligeral’effet de la pesanteur.

anneau metallique

Ex 2. Le rail de Laplace

Un circuit est constitue par deux rails metalliques, paralleles, horizontaux, sans resistance,et dont l’ecartement est l. Les rails sont relies, a l’une de leur extremite, par une resistanceR. Une barre metallique, sans resistance, de masse m, peut glisser sans frottement sur lesrails. Le tout est plonge dans un champ magnetique vertical et uniforme

−→B .

A t = 0, la barre est en x = 0, elle a une vitesse v0−→u x, puis elle est abandonnee aelle-meme.

0

R Bm l

x

a) Il apparait un courant induit I(t). Expliquez pourquoi (sans le calculer). Indiquez lesens de ce courant sur un petit croquis.

b) Donnez l’expression de I(t) en fonction de donnees du probleme et de la vitesse in-stantanee v(t) de la barre.

c) Trouvez et donnez la solution de l’equation differentielle satisfaite par v(t). En deduirela position de la barre x(t). Que devient, finalement, l’energie cinetique initiale de labarre.

Questions supplementaires (entraınement)

d) On remplace la resistance R par une capacite C. Trouvez la position de la barre x(t).

e) On remplace la resistance R par une inductance L et on suppose que I = 0 et x =x0 > v0/ω, a t = 0. Trouvez la position de la barre x(t).

18

Ex 3. L’alternateur

Une bobine d’axe vertical cree un champ magnetique uniforme et constant−→B , au voisinage

de son extremite superieure. On fait tourner dans ce champ un cerceau de diametre dautour de son axe horizontal a vitesse constante. Sur ce cerceau sont enroulees N spiresde fil de resistance negligeable sur lequel est branchee une ampoule de resistance R.

a) Expliquer ce qui se passe (et pourquoi) si le cerceau tourne assez vite. Comments’appelle le phenomene mis en evidence ?

b) On appelle P la puissance minimale qu’il faut fournir a l’ampoule pour qu’elle s’allume.A quelle frequence f faut-il faire tourner le cerceau pour voir le phenomene decrit ena) ?

A.N.: N = 10, B = 0.1T, P = 3W, R = 12Ω, d = 1m

Ex 4. Induction de Neumann

Une spire conductrice indeformable de rayon a et de resistance R est plongee dans unchamp magnetique variable

−→B = B0 cos(ωt)

−→u x +B1 sin(ωt)−→u z.

La spire est horizontale (dans le plan Oxy) et immobile.

a) Calculer le flux de champ magnetique a travers la spire a l’instant t.

b) Calculer le courant induit dans la spire I(t).

c) Calculer le champ magnetique induit en un point de l’axe de la spire.

Ex 5. Courants de Foucault

B

x0

v

l

l

y

a) Un fil conducteur carre indeformable, de cote l, de resistance R, se deplace rectiligne-ment a la vitesse v(t). A l’instant t = 0, il entre dans un demi-espace, x > 0, ou regne

un champ magnetique uniforme−→B perpendiculaire au plan du carre. On suppose que

le carre reste perpendiculaire a−→B .

Justifier l’existence d’une force de freinage sur le carre. On precisera bien quandapparaıt cette force. Donner son expression en fonction de R, I, l et v(t).

b) Le carre de la question a) est remplace par une plaque metallique carree. Expliquerqualitativement ce qui se passe.

c) Un petit aimant tombe en chute libre dans un tube. Expliquer pourquoi la duree dela chute est plus grande lorsque le tube est metallique que lorsqu’il est en plastique(isolant).

19


Ex 6. Induction dans un carre au voisinage d’un fil parcouru par un courant

Un carre conducteur indeformable, de cote a, est pose sur une table horizontale, a coted’un fil infini parcouru par un courant I. Le fil est parallele a un cote du carre.

a) Calculer le flux de−→B a travers le carre.

b) On deplace le carre sur la table avec une vitesse constante −→v de deux facons differentes:cas (i) −→v est parallele au fil ; cas (ii) −→v est perpendiculaire au fil et s’eloigne du fil.Indiquer dans les deux cas le sens du courant induit dans le circuit.

Ex 7. Freinage par induction. (entraınement)

a) spire conductrice rectangulaire MNPQ, de cotes a et b, de masse m, de resistance Ret d’inductance negligeable, se deplace parallelement a (Ox). Elle traverse une zonede longueur d (d > b) ou le champ magnetique est constant et uniforme et egal a−→B 0 = B0

−→u z. On negligera toute force autre que magnetique (la spire est suspenduea un fil tres long) et on notera x(t) l’abscisse du cote MN de longueur a et v(t) lavitesse de la spire.

B0P b

a

Q M

Nv(t)

y

0x(t) xd

b) Pour quelles valeurs de x un courant est-il induit dans la spire ? Calculer le courantinduit dans chaque cas.

c) Calculer les forces de Laplace qui s’exercent sur la spire. En deduire les equationsdifferentielles verifiees par v(t).

d) La spire entre dans le champ−→B 0 a t = 0 avec une vitesse v0.

En supposant que la spire sort de la region ou regne le champ−→B 0, calculer la diminu-

tion de vitesse ∆v qu’elle subit.

A quelle condition la spire sort-elle de cette region ?

Ex 8. Inductance d’un solenoıde. (cours)

Calculer l’inductance L d’un solenoıde tres long constitue de N spires et de longueur l.On negligera les effets de bords pour le calcul du champ magnetique.

20

Ex 9. Induction d’un tore. (entraınement)

On considere N spires (N ≫ 1) d’un fil conducteur, enroulees regulierement autour d’untore de section rectangulaire. Les distances r1, a et b sont definies sur la figure. Un courantpermanent I circule dans ce fil.

z

a

zCoupe :

a a

b b

r1

a) Quels sont les plans de symetrie du systeme ? Tracer quelques lignes de champs du

champ magnetique−→B cree par I.

b) Determiner−→B dans tout l’espace.

c) En deduire l’inductance L (coefficient d’auto-induction) de cette bobine torique.

21

Université de Cergy-Pontoise Année 2014-15Licence L2

Partiel d'électromagnétismemardi 18 novembre 2014 (1 heure)

Les exercices sont indépendants. Le barème est approximatif.Les calculatrices ne sont pas autorisées. Justifier toutes les réponses aux questions.

Exercice 1. Questions de cours (~ 6 points) les questions a et b sont indépendantes.

a) Condensateur :

a.1) Définir brièvement un condensateur et sa capacité C.

a.2) Montrer que l'énergie potentielle d'un condensateur chargé s'écrit Epot=12CU 2 , avec U la

différence de potentiel aux bornes du condensateur.

b) Pour une distribution quelconque de charges, montrer qu'en tout point M la ligne du champélectrique passant par M est perpendiculaire à l'équipotentielle passant par M.

Exercice 2. (~ 8 points)

Une sphère, de centre O, de rayon R, est chargée en volume avec une densité volumique de chargeρ constante. De plus une charge ponctuelle q est placée en O.

a) Calculer la charge Q(r) contenue dans une sphère de centre O et de rayon r : pour r < R etpour r > R.

b) Discuter les symétries et les invariances pour le champ électrique E .

c) Calculer le champ électrique E en tout point de l'espace.

d) Calculer le potentiel φ en tout point de l'espace. On prendra le potentiel nul \à l'infini.

e) Tracer schématiquement ∣E∣ et φ en fonction de r.

f) Tracer schématiquement des lignes du champ E et des équipotentielles.


Soit une barre AB de longueur 2a chargée uniformémentd'une charge linéique λ . Soit M un point du planmédiateur de [AB] (plan perpendiculaire à AB passantpar le milieu O de [AB]). M est \à la distance a de AB.

a) Par des arguments de symétrie déterminer ladirection du champ électrique E(M) en M.

b) Expliquer brièvement pourquoi on ne peut pas calculer E(M) en utilisant le théorème deGauss.

c) Calculer E(M) .

1/1

B

A

O M

a

a

a

22

22

E

O

IA

C D

A1

A3

A 4

j

A 2

Université de Cergy-Pontoise L2 M, P, MP, CUPGE - Année 2014-15

Examen d'électromagnétisme mardi 6 janvier 2015 (2 heures)Les exercices sont indépendants. Le barème est approximatif.

Les calculatrices ne sont pas autorisées. Justifier toutes les réponses aux questions.

Exercice 1. Cours (~ 4 points) a) Énoncer (sans démonstration) la forme globale et la forme locale de la conservation de la charge

électrique\. b) Trois fils conducteurs d'un circuit électrique se rejoignent en un nœud. Énoncer et démontrer (en

utilisant la question a) la relation entre les courants dans chaque fil en régime permanent. Faire un schéma pour représenter les sens des courants \que vous avez choisi.

Exercice 2. Conducteurs à l'équilibre (~ 7 points)Une sphère conductrice (S) de centre O et de rayon R est entourée d'une calotte sphérique conductrice (\T) de centre O de rayon intérieur R1 et de rayon extérieur R2 (R < R1 < R2)\. La sphère (S) est portée au potentiel , 0, la calotte (T) est à la terre et on prend le potentiel nul à l'infini.a) Par des arguments de symétrie et d'invariance, que peut-on dire du champ électrique en un point M de

l'espace ? b) Montrer que le champ électrique est nul à l'extérieur de la calotte sphérique (r > R2)\.c) Calculer la charge de la sphère (S) et de la calotte (T)\.d) Calculer le champ électrique EM entre les deux conducteurs.

- Tracer ∥E∥ en fonction de r = OM, pour tout r.- Tracer sur un schéma des lignes de champs de E .

e) Calculer le potentiel électrique M entre les deux conducteurs\. - Tracer en fonction de r \. - \Tracer des équipotentielles sur le même schéma que les lignes de champ de E (question d)\.

f) Calculer la capacité du condensateur formé par ces deux conducteurs.


Soit un cylindre conducteur d'axe O z et de rayon R parcouru par un courant de densité volumique non uniforme : j M = j0r uz , en coordonnées cylindriques M r , , z , où j0 est une constante positive.a) Quelles sont la dimension et l'unité en S.I. de j0 ?b) Déterminer le courant I dans le cylindre conducteur\.c) Par des arguments de symétrie et d'invariance, que peut-on dire du champ magnétique B M en un

point M de l'espace ?d) Calculer le champ magnétique B en tout point de l'espace en fonction de I, R, 0 et la position\.

Tracer ∥B∥ en fonction de r.Tracer sur un schéma les lignes de champs de B .

e) Un circuit conducteur carré (A1A2A3A4), parcouru par le courant I' dans le sens indiqué sur le schéma est placé comme indiqué sur la figure. Le plan du carré contient l'axe O z , les côtés A1A2 et A3A4

sont parallèles à O z et distants respectivement de a et b de O z .- Déterminer en fonction de I, I', a, b et 0 la force sur chaque côté du carré\. \Tracer ces forces sur un schéma\. - Tracer la résultante de ces forces (direction et sens)\.


Calculer le champ magnétique B au point O, créé par un courant permanent I circulant dans un fil ayant la forme suivante : le circuit est formé d’un arc de cercle de centre O, de rayon R2 = OA et d’angle 3 π / 2, de deux segments AE et DC portés par des rayons du cercle, et il est refermé par un arc de cercle de centre O et de rayon R1 = OE\.

Indiquer la direction et le sens de B O sur un schéma.

z

R

b

aI'

23

CO

OR

DO

NN

EE

S C

AR

TE

SIE

NN

ES

() z

yx

,,

C

OO

RD

ON

NE

ES

CY

LIN

DR

IQU

ES

() z,

,ϕρ

CO

OR

DO

NN

EE

S S

PH

ER

IQU

ES

()

ϕθ,,r

∞+≤

≤∞−

x,

∞+≤

≤∞−

y,

∞+≤

≤∞−

z

0 ≥ρ

, π

ϕ2

0≤

≤,

∞+≤

≤∞−

z

0 ≥r

, π

θ

0≤

≤,

πϕ

2

0

≤≤

x

yz

OM

xe

ye

ze

=+

+

z

OM

ez

eρ

ρ=

+

rO

Mr

e=

' d

d

d

d

x

yz

MM

lx

ey

ez

e=

=+

+

'

d

d

d

d

zM

Ml

ee

ze

ρϕ

ρρ

ϕ=

=+

+

'

d

d

d

sin

d

rM

Ml

re

re

re

θϕ

θθ

ϕ=

=+

+

zy

xV

d d

dd

=

zV

d d

dd

ϕρ

ρ=

2d

d s

ind

dV

rr

θθ

ϕ=

x

z

O

xe

ye

ze M

K

H

x

y

z

O

θe ϕe

re

M

K

H

ϕ θ

z

y

x

O

ρe

ϕe

ze M

K

H

ϕ

ρ

z

y

x

z

O

xe

ye

ze

K

dx

dz

dy

M

y

x

O

ρe

ϕe

ze

M

K ϕ

ρ

z

M'

dz

ϕd

ρd

ϕρd

y

x

O

re

ϕe

e θ

M

ϕ

z

M'

dr ϕd

drθ

si

nd

rθ

ϕθ

dθ

r

24

Physique des ondes – premier semestre

Formulaire

Calcul vectoriel# »

rot# »

grad V = !0# »

grad(V1V2) = V1# »

grad V2 + V2# »

grad V1

div# »

rot#»

A = 0# »

rot(V#»

A) = V# »

rot#»

A +# »

grad V !#»

A

div# »

grad V = !V div(V#»

A) = V div#»

A +# »

grad V ·#»

A# »

rot# »

rot#»

A =# »

grad div#»

A " !#»

A div(#»

A1 !#»

A2) =#»

A2 ·# »

rot#»

A1 "#»

A1 ·# »

rot#»

A2

Coordonnées cartésiennes

# »

grad V ="V

"x#»u x +

"V

"y#»u y +

"V

"z#»u z

div#»

A ="Ax

"x+

"Ay

"y+

"Az

"z

# »

rot#»

A =

!

"Az

"y"

"Ay

"z

"

#»u x +

!

"Ax

"z"

"Az

"x

"

#»u y +

!

"Ay

"x"

"Ax

"y

"

#»u z

!V ="2V

"x2+

"2V

"y2+

"2V

"z2

Coordonnées cylindriques

!!

!

# »

grad V ="V

"r#»u r +

1

r

"V

"##»u ! +

"V

"z#»u z

div#»

A =1

r

"rAr

"r+

1

r

"A!

"#+

"Az

"z# »

rot#»

A =

!

1

r

"Az

"#"

"A!

"z

"

#»u r +

!

"Ar

"z"

"Az

"r

"

#»u ! +1

r

!

"rA!

"r"

"Ar

"#

"

#»u z

!V =1

r

"

"r

!

r"V

"r

"

+1

r2

"2V

"#2+

"2V

"z2

Coordonnées sphériques

!

!

!

"

"

# »

grad V ="V

"r#»u r +

1

r

"V

"##»u ! +

1

r sin #

"V

"$#»u"

div#»

A =1

r2

"r2Ar

"r+

1

r sin #

" sin #A!

"#+

1

r sin #

"A"

"$

# »

rot#»

A =1

r sin #

!

" sin #A"

"#"

"A!

"$

"

#»u r + . . .

. . . +1

r

!

1

sin #

"Ar

"$"

"rA"

"r

"

#»u ! +1

r

!

"rA!

"r"

"Ar

"#

"

#»u"

!V =1

r

"2rV

"r2+

1

r2 sin #

"

"#

!

sin #"V

"#

"

+1

r2 sin2 #

"2V

"$2

Théorèmes

Théorème d’Ostrogradsky–Green :

S étant une surface fermée, % le volume intérieur à S,

ˆ

(S)

#»

A · !dS =

ˆ

(#)(div

#»

A)d%

Théorème de Stokes–Ampère :

C étant une courbe fermée bordant une surface S,

˛

(C)

#»

A · !dl =

ˆ

(S)(

# »

rot#»

A) · !dS

25

Claire&Philippe

Claire&Philippe

Formulaire d'analyse vectorielle

Claire&Philippe

Claire&Philippe

Claire&Philippe

Documents

Introduction à l’électromagnétisme - Accueil · • “Physique tout en un”, 1ère année, Dunod. ... (1885-1962) : 1er modèle atomique quantique. Les orbites des électrons