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TP de Physique Générale - EPFL 1
Introduction au calcul d’incertitudes
Il est impossible de connaître la valeur exacte d'unegrandeur physique: il est très important de connaîtrel'incertitude (erreur) de la mesure.
Deux types d’erreurs:
erreurs systématiques: affectent le résultat constamment etdans le même sens. Eliminer, ou corriger le résultat, sipossible!
erreurs accidentelles (statistiques): répéter les mesures,calculer la moyenne et évaluer l'incertitude en utilisant lastatistique.
TP de Physique Générale - EPFL 2
Incertitudes absolues et relatives
Si la vraie valeur d’une grandeur est a et la valeur mesurée esta0, Δa est l’incertitude absolue:Le résultat s'écrit: a ± Δa (a et Δa ont la même unité de mesure).
incertitude relative: (exprimée souvent en %).
Un résultat est toujours suivi de son incertitude.
L'unité de mesure doit toujours être indiquée.
!
"a
a!
a "#a < a0
< a + #a
TP de Physique Générale - EPFL 3
Chiffres significatifs
1 ou 2 pour les incertitudes, même nombre pour lesvaleurs mesurées:
a = 134.462 ± 2.354 kg
a = 134.462 ± 2 kg
a = 134.5 ± 2.354367 kg
a = 134.5 ± 2.4 kg
a = 134 ± 2 kg
a = 134.5 kg ( à 1.8%)
TP de Physique Générale - EPFL 4
Un peu de statistique
Dans la plupart des mesures, on peut estimer l'erreur due àdes phénomènes aléatoires par une série de n mesures:x1, x2, …, xi, …, xn
Valeur moyenne: Ecart moyen:
Ecart quadratique moyenou écart type:σ2: variance
Incertitude sur la moyenne:
!
x =1
nx
i
i=1
n
"
!
"x =1
nx
i# x ( )
i=1
n
$
!
" =1
n #1x
i# x ( )
2
i=1
n
$
!
"x =#
n=
1
n n $1( )x
i$ x ( )
2
i=1
n
%
TP de Physique Générale - EPFL 5
Distribution de Gauss (gaussienne)
Lorsque le nombre des mesures indépendantes, n, augmente, ladistribution des mesures tend vers une gaussienne.
Probabilité pour la vraie valeur x0:
!
x "# < x0
< x +# 68%
!
x " 2# < x0
< x + 2# 95.5%
TP de Physique Générale - EPFL 6
Propagation des incertitudes
Soient une mesure x ± Δx et y = f(x) une fonction de x.Quelle est l'incertitude sur y?Lorsque Δx est petit, f(x) estremplacé au voisinage de xpar sa tangente:
On fait l'approximationΔy = dy, valable si Δx est petit et f(x) varie “ lentement”.
y
!
"y =df
dx"x
TP de Physique Générale - EPFL 7
Incertitude d'une fonction à plusieurs variables
Supposons que y dépende de plusieurs grandeurs x, z,t, mesurées avec les incertitudes Δx, Δz, Δt:y = f(x,z,t)L'erreur maximum possible sur y est:
Les dérivées partielles sont les dérivées de la fonctionf par rapport à une variable, les autres variables étantconsidérées comme constantes.!
"y =#f
#x"x +
#f
#z"z +
#f
#t"t
TP de Physique Générale - EPFL 8
Pratique
Addition:
Soustraction:
Multiplication:
Division:
!
y = x + z
!
y = x " z
!
y =x
z
!
"y = "x + "z
!
"y
y="x
x+"z
z
Les incertitudes absolues s'ajoutent pour l'addition et la soustraction.Les incertitudes relatives s'ajoutent pour la multiplication et ladivision.
!
"y = z"x + x"z
!
"y =z"x + x"z
z2
!
y = xz
TP de Physique Générale - EPFL 9
Exemple
Energie cinétique: m = masse, v = vitesse
on mesure m = 9.5 ± 1.8 kg, v = 7.35 ± 0.23 m/s
!
E =1
2mv
2
!
"E =#E
#m"m +
#E
#v"v =
v2
2"m + mv"v
"E
E="m
m+ 2
"v
v=1.8
9.5+ 2
0.23
7.35= 0.25 = 25%
E = 257 ± 65 kg m2/s2
TP de Physique Générale - EPFL 10
Régression linéaire (1)On mesure deux séries de grandeurs xi et yi .Existe-t-il une fonction y = f(x) qui traduit une relation entre ledeux grandeurs?Exemple: droite de régression y = ax + b pour la quellel'incertitude sur les xi est négligeable, et l'incertitude sur les yi estdistribuée selon une gaussienne de σ inconnu.
y = ax + b
TP de Physique Générale - EPFL 11
En minimisant la somme des carrés des distances d des points àla droite (méthode des moindres carrés), on obtient l'équation:
!
y " y = a(x " x ) avec (x ,y ) les valeurs moyennes de xi et yi
pente a: a =
xi " x ( ) yi " y ( )i=1
n
#
xi " x ( )2
i=1
n
#
!
incertitude sur a: "a =1
n # 2
yi # y ( )2
i=1
n
$
xi # x ( )2
i=1
n
$
TP de Physique Générale - EPFL 12
!
ordonnée à l'origine b: b = y " ax
!
incertitude sur b: "b =1
n # 2yi # y ( )
2
i=1
n
$1
n+
x 2
xi # x ( )2
i=1
n
$
%
&
' ' ' '
(
)
* * * *
TP de Physique Générale - EPFL 13
Régression linéaire (2)
Une estimation graphique est aussi possible:
La droite passe par le point
Pente: environ la moitié des points au dessus (resp. audessous) de la droite
Incertitude: varier la pente de la droite passant parde telle manière qu'elle passe par les extrémités de la barred'erreur du point le plus à gauche (ou le plus à droite)
!
x ,y ( )
!
x ,y ( )