Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
C O L L E C T I O N G R E N O B L E S C I E N C E SdiriGée par jean bornarel
GRENOBLESCIENCES
UNIVERSITE
JOSEPHFOURIER
G R E N O B L E S C I E N C E SUniversité Joseph Fourier - BP 53 - 38041 Grenoble Cedex 9 - Tél : (33)4 76 51 46 95
ISBN 978 2 7598 0572 335 €
9 782759 805723
introduCtionaux variétéSdifférentielleS
Nouvelle édition
■ jacques lafontaine
■ introduCtion aux variétéS différentielleSL’ouvrage est une initiation aux variétés différentielles, préalable à des ensei-gnements plus spécialisés. Le lecteur devra posséder une compétence sur le calcul différentiel dans les espaces euclidiens. Sont abordées les principales notions de géométrie différentielle : variétés différentielles, espaces tangent et cotangent, champs de vecteurs, formes différentielles. De nombreux exemples sont traités en détail. Cet ensemble constitue une introduction aux groupes de Lie. Il est illustré par les éléments de théorie du degré et de cohomologie.
Introduction aux variétés différentielles a pour objectif d’être un ouvrage de base. Il propose des exercices classiques pour l’étudiant et le débutant en la matière, d’autres plus délicats pour l’enseignant, le chercheur ou l’étudiant de niveau plus avancé. Les solutions d’un bon nombre d’entre eux sont données en fin de volume.
Le succès de la première édition, notamment auprès des étudiants, a motivé les améliorations de cette édition. Un chapitre nouveau est proposé sur les caractéristiques d’Euler-Poincaré et le théorème de Gauss-Bonnet. Cet ouvrage est un pap-ebook : un site web corrélé propose des compléments et des annexes. Le lecteur peut ainsi s’appuyer sur des rappels, des exercices, des approfondissements sur le site compagnon présenté au début du livre.
Destiné aux étudiants de master et des préparations à l’agrégation, aux universitaires, aux professeurs des lycées et des classes préparatoires. Les physiciens sont également concernés.
■ jacques lafontaineAncien élève de l’Ecole Normale Supérieure (rue d’Ulm), Jacques Lafontaine a débuté sa carrière d’universitaire à l’université de Paris 7 (Diderot) avant de devenir pro-fesseur à l’Université de Montpellier 2. Ses travaux de recherche traitent des variétés conformément plates, des fonctionnelles sur l’espace des métriques riemanniennes et de la géométrie pseudo-riemannienne.
Auteur de nombreuses publications et co-auteur de plusieurs ouvrages en langue anglaise, de recherche ou de niveau Master, il a signé avec Introduction aux variétés différentielles un ouvrage qui remporte un vif succès auprès des étudiants (master, préparation à l’agrégation).
Jacques LAFO
NTA
INE ■
intr
od
uC
tion
au
x va
rié
téS
diffé
ren
tielle
S
Varie�te�sdif-NE.indd 1 5/07/10 16:57:49
IntroductIon aux varIétés dIfférentIelles
nouvelle édition
Grenoble Sciences
Grenoble Sciences est un centre de conseil, expertise et labellisation de l’ensei-gnement supérieur français. Il expertise les projets scientifiques des auteurs dans une démarche à plusieurs niveaux (référés anonymes, comité de lecture inte-ractif) qui permet la labellisation des meilleurs projets après leur optimisation. Les ouvrages labellisés dans une collection de Grenoble Sciences ou portant la mention « Sélectionné par Grenoble Sciences » (« Selected by Grenoble Sciences ») corres-pondent à : » des projets clairement définis sans contrainte de mode ou de programme, » des qualités scientifiques et pédagogiques certifiées par le mode de sélection (les membres du comité de lecture interactif sont cités au début de l’ouvrage),
» une qualité de réalisation certifiée par le centre technique de Grenoble Sciences.
Directeur scientifique de Grenoble SciencesJean Bornarel, Professeur à l’Université Joseph Fourier, Grenoble 1
On peut mieux connaître Grenoble Sciences en visitant le site web :http://grenoble-sciences.ujf-grenoble.fr
On peut également contacter directement Grenoble Sciences :Tél (33) 4 76 51 46 95, e-mail : [email protected]
Livres et pap-ebooksGrenoble Sciences labellise des livres papier (en langue française et en langue anglaise) mais également des ouvrages utilisant d’autres supports. Dans ce contexte, situons le concept de pap-ebook qui se compose de deux éléments : » un livre papier qui demeure l’objet central avec toutes les qualités que l’on connaît au livre papier
» un site web corrélé ou site web compagnon qui propose : › des éléments permettant de combler les lacunes du lecteur qui ne possèderait pas les prérequis nécessaires à une utilisation optimale de l’ouvrage › des exercices de training › des compléments permettant d’approfondir, de trouver des liens sur internet, etc.
Le livre du pap-ebook est autosuffisant et certains lecteurs n’utiliseront pas le site web compagnon. D’autres pourront l’utiliser, et chacun à sa manière. Un livre qui fait partie d’un pap-ebook porte en première de couverture un logo caractéristique et le lecteur trouvera le site compagnon à l’adresse internet suivante :
http://grenoble-sciences.ujf-grenoble.fr/pap-ebook/nom de l’auteur du livre
Grenoble Sciences bénéficie du soutien du Ministère de l’Enseignement supérieur et de la Recherche et de la Région Rhône-Alpes
Grenoble Sciences est rattaché à l’Université Joseph Fourier de Grenoble
IntroductIon aux varIétés dIfférentIelles
nouvelle édition
Jacques lafontaIne
17, avenue du HoggarParc d’Activité de Courtabœuf - BP 112
91944 Les Ulis Cedex A - France
Introduction aux variétés différentielles
Cet ouvrage est labellisé par Grenoble Sciences, est un des titres du secteur Mathématiques de la Collection Grenoble Sciences d’EDP Sciences, qui regroupe des projets originaux et de qualité. Cette collection est dirigée par Jean Bornarel, Professeur à l’Université Joseph Fourier, Grenoble 1.
Comité de lecture de l’ouvrage › Pierre averBuch, Directeur de recherche honoraire au CNRS, Grenoble › Pierre Berard, Professeur à l’Université Joseph Fourier, Grenoble I › Gaël MeIgnIez, Professeur à l’Université de Bretagne Sud › Jean-Yves MerIndol, Professeur, Directeur de l’ENS Cachan
Cette nouvelle édition d’Introduction aux variétés différentielles de Jacques Lafontaine a été suivie par Laura CapoLo pour la partie scientifique et par Anne-Laure passavant et Sylvie Bordage du centre technique Grenoble Sciences pour sa réalisation pratique.
L’illustration de couverture est l’œuvre d’Alice giraud, d’après : Thomas BanChoff & Jeff BeaLL, Brown University : Bouteille de KLein ; Fropuff/ Inductiveload, Wikimedia commons : Immersion « 8 » de la bouteille de KLein ; éléments fournis par l’auteur.
Autres ouvrages labellisés sur des thèmes proches (chez le même éditeur)
Analyse numérique et équations différentielles (Jean-Pierre Demailly) Analyse sta-tistique des données expérimentales (Konstantin Protassov) Approximation Hilber-tienne (Marc Attéia et Jean Gaches) Description de la symétrie (Jean Sivardière) Exercices corrigés d’analyse avec rappels de cours - Tome I (Daniel Alibert) Exer-cices corrigés d’analyse avec rappels de cours - Tome II (Daniel Alibert) Mathé-matiques pour l’étudiant scientifique - Tome I (Philippe-Jacques Haug) Mathéma-tiques pour l’étudiant scientifique - Tome II (Philippe-Jacques Haug) Mathéma-tiques Pour les Sciences de la Vie, de la Nature et de la Santé (Jean Paul et Françoise Bertrandias) Méthodes numériques appliquées pour le scientifique et l’ingénieur (Jean-Philippe Grivet) Nombres et algèbre (Jean-Yves Mérindol) Outils mathéma-tiques à l’usage des scientifiques et ingénieurs (E. Belorizky)
et d’autres titres sur le site internet :http://grenoble-sciences.ujf-grenoble.fr
ISBN 978-2-7598-0572-3© EDP Sciences, 2010
Pour David,
This page intentionally left blank
����� ��� ������
����� ��� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
����� ����� �� ������� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
����� �� ����� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
���� ����� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
������ ������� � ��� �� �� �� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
������ ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� ������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
������ �������� �� ������� �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
������ !�� �"������ #���������" � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$
������ %� ���� �� ����� Cp � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� !&�'�� ��� #� ���� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �(
��)� ��*���� � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��)��� ������&����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��)��� ������&����� � ��" � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��)��� ��������+ �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �)
��$� ,���*������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��$��� -������ �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��$��� ."������ / ��&'��+ ���+ 0��� �&0��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1
��$��� -������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��$�)� 2� ���� ���0����+ ���� � ���0��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��3� ,���0���� 4 �� ����'�� �� 0��� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$
���� -���� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �(
��(� 2����� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )�
�� ����������� �� �� � � ��� ���������
���� 5�� �� ���������� �� �������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )�
���1� 5��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )$
����� ."� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )�
����� �� ����� �� ���� ��� ��� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $�
���� ����� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $�
������ 6� �"����� �7����� / ��� ����� �� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $�
������ ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $)
���� 5����+ ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $$
������ ��� *������ ���0����� ��" *������ ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $$
������ -����� �"������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $(
���� %� ���� ��������� ��� 8 ������&����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $�
��)� 9� �&�'�� �� ��:��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 3�
��$� 9�� ���� �� �;� ��#� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 3)
��3� 9����� � *� ���� ���0��� 8 ����� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 3�
��3��� .��� � ���0���+ ����� ���� ������� ���0���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 3�
��3��� ������&����� � ��"+ ��������+ �� ������+ ����*������ ��
���� ��*<������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$
������ ������� ����� *����� �� �� 0��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$
������ ,����� ���"��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � (�
��(� ���� � ����� 4 ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ()
���� 5��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � (3
���1� ."� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ((
����� �� � ����� �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� ����� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� %� ���� ������� 8 ���0������ �� *������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �(
���� ���*����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1�
������ ���*����� �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1�
������ 6� ���� ���� �� *�� �� ������ � ���0��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1$
������ ���*����� 0� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1�
��)� ���0� ���� &��� �� *� ���� 8 &�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1�
��$� 9� � � ���0��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� ��� ������ ���
��$��� 9� *����� ��� *� ���� ���0���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
��$��� %� �� *� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
��$��� 5&���� �� *� ���� �� ��� *������ 8 &������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��$
��3� 9� =� ���� &��� �� *� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� 5&���� �� *� ���� ��������� �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��$
��(� 2������ �� �������� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��(
���� 5��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��1
���1� ."� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��)
����� !� "���� ��� ������� �� #� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �)�
)��� ����� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �)�
)��� 5&���� ��*������ 4 0�� &� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �))
)��� 9���0' � �� 9�� ���� 0��� �� 9�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �)�
)����� -������ �� ��� 8 ����������� ��;���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �)�
)����� ��� 0���� ��" ��0' �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$�
)����� ��� ��0' �� ��" 0���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$�
)�)� ��0����� �� ��� 0���� ���0����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$3
)�$� >���� �� 9�� �������#� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �3�
)�$��� 6� �&�'�� �� ��� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �3�
)�$��� 5� �� ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �3)
)�3� .��� �� &�0'��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �3$
)��� 5��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �3�
)�(� ."� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
����� $� %����� ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
$��� ����� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
$����� ��� #��� �������������+ ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
$����� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��(
$��� :�0' � ������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
$����� :�0' � ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
$����� :�0' � �"������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �(�
$����� :���� ���� / �� 0������������ ��� 2������ �� �������� � � � � � � �($
$��� 5�� ��� �*��� ���� ���� � �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �(3
�2 ����������� �� �� � � ��� ���������
$����� %��� �� ��0� 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �(3
$����� %��� �� ��0� ���� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �((
$�)� ������������ �"������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��1
$�$� -���� �������+ ���*�� �� 9�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��)
$�3� 9� ����� �� -�� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
$�3��� ?�*��� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
$�3��� %��� ��������� ���� ����'�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1�
$��� %��� ������������� �� ��� *����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1�
$�(� @������� �� A�"B��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1�
$�(��� .��� � �� A��CB�C� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1(
$�(��� 9� &��� ��� ����0������� *� ��� ��� #�� ������������ �1(
$�(��� 5&��� ��� ���0������� �� 0��� �� 9���D � � � � � � � � � � � � � � � � �1�
$��� 5��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
$��1� ."� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��)
����� &� �������� � ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
3��� ����� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
3��� ?�������� / ��� ���� �� *� ����� ��" *������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��$
3����� :���� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��$
3����� %��� *���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��3
3����� ��*<������ ��� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��1
3��� ����0���� �� ��� *������ 8 ��� ����'� ����� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
3����� ����0��� ����� #�� ������������ �� ��0� ��"���� � � � � � � � � � � ���
3����� 9� �&�'�� �� �� ��� &�*���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
3�)� !&�'�� �� ,�C�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��$
3�)��� ����0���� �� ��� ������ ��� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��$
3�)��� 9�� ������� �0����� �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��3
3�)��� 9� #���� �� ,�C�� ���� ��� ��� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
3�$� %�� *���� ������� ����� ����*����� �� ������ � �� ������ � � � � � � �)�
3�3� 9� �&�'�� �� E�B� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �)�
3��� 5��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$1
3�(� ."� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$�
���� ��� ������ 2
����� '� ��������� � ����� �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$�
���� ����� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$�
���� .��� �� �� �� �&�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$�
���� 5&��0�� �� ��0� ��"���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �31
��)� ��0� ����� ����� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �3)
��)��� 5�� �� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �3)
��)��� �������� �� ������� �� ��� ���� �� �� 0����� � � � � � � � � � � � � � �33
��)��� ��*���� � �� ��0� �� &����� 8 ����� ����� � � � � � � � � � � � � � � � �3(
��)�)� ���� � ���� &��� �� *� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
��$� ���� �� �� �&�'�� �� ��:��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
��$��� ���" ���*�� �� �&�'�� �� ��:��� �� ��������� �� ��0� � � � � � ���
��$��� 5������� ��� ��������� ���*�� �� �&�'�� �� ��:��� �� ��$
��3� .��� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��3
���� ��*���� � �� &����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �(1
��(� 9� ��� ��� �� A�7�F2����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �(�
��(��� ,����� �"� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �(�
��(��� 9� ����� �"� �� �� A�7�F2����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �($
��(��� :���� ���� / �������� �� ��� �� &��0�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �(�
��(�)� 5�� �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �(�
���� A��&��� ����0���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��1
���1� 5��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
����� ."� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��)
����� (� �������)�� �*+����,-������ � ��������� .����,/���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1�
(��� ����� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1�
(����� ��.� ���� 4 5��F%���� & >���� �� -���F?����� E���� � � � � � �1�
(����� .������� ����� ���*� �� �&�'�� �� >����FE���� � � � � � � � � � � �1$
(����� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1$
(��� 5�� ��������� ��.���F-�� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �13
(����� �������� 8 ������*��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �13
(����� -�*�0�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1�
(��� ��*������ 4 �� 0������ ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��1
2� ����������� �� �� � � ��� ���������
(�)� 9� �&�'�� �� -�� ��FG�# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��)
(�)��� ���� �� ������ � ���� &��� �� *� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��)
(�)��� 6� �&�'�� ��� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��$
(�$� �� -�� ��FG�# 4 >����FE���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
(�$��� :*� �� �&�'�� �� ������ ���� ��� ��#� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
(�$��� :*� ��� ��*�0�� / ���� �� �� ���*� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
(�$��� A��� �� #�� ��� �0������ �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��1
(�3� 5��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
(�3��� 5�� ��� ��#� �� ���0��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
(�3��� A������� ������������ �������� �� ��� ��#� �� � � � � � � � � � � � � ���
(�3��� ���� ����� �� ��� ��������� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
(��� ."� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��)
"���0� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
1����� �*�0������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
/��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$�
����0 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �3�
������� ������ ��� �� ���� ����������� �� � ��� ���� �
����� ��� ��" *������ ������������� ��� ���� �� �� ���� �*� ��� ��� ������� �� �� ��� ��*�� ����'� �� ��� ����# �� �� ��
A��� �� ��� ����� �� ��������� �� .������� 1������+ �����4���� �� ��*� ��� &��� �� ���� B� ��� ��� ��� ���� ,� � ���� B� �� �� ��� ��*�� /
F ��� �������� �� � �� ��� �� ���� �� �������+F ��� �"� � �� �� ��� �0�� ��������� �� ��������� �� �������� ��*����������+F ��� ���#����������� �� ��#�� ��� ������ � ��0��&����� �� ��" ��� ����������� ���� ����
9� ���� ����� &�� �� �� �� ����� �� #� ��� ��� ��00������� 9������� �� � ���� ���0�� ��� /
���� ��������� ����������� ������������� �����������
9� ��*� H�� �� ����I ��� ������ 4 ���������� �� �� ���� *����� ��� ��*��� �� ��������������+ ��� ������� �� &������+ ��� ��������� ��*��� ��� ���� ��� �*�0�� � ��� �� �� ���� �� �� �
9� ����� &����� �� ��� ��� ��� ��� &������ $ �� 3 #���� �� �"��� ������*����� ����� �� ������ �������� �����)��+ �� ���� � 4 �� #���� �� ,�C���
9� &����� � � ���� ���� �� #��� ������ � ��� ��� ��� ������ ������������� ����� ���� ��*� 4 ����� �� ��" 4 ��� ���� ���� #��� ���+ ������ �� ;�0����� � ������ � �� �� &������
9� &����� � ��� ���� �� &�����+ �� ������� �� � ����� �"��� ��� ����)��� ����*��� ������� ��� ����� ��
9�� ���" ������ &������ ���*��� <�� � ��� ��� ������ �'� ��� ��� ��J������� � �� ��� ����� �� *����� �� �� #�� �������������
K��� ����� ��� ��������� ���+ 4 ���� �� �� L&���&�M ���� ������"+ #������� ��� �"� � �� ������ � �� #��� �#��� �+ �� ������ ��� ��� ����� �������� ������ �� ������� ��� *������ ����"���
: �� ���� �� ���� ���"�'�� ������+ �� ����� C ��� ��*��� ���'������ ������N���� �� � ��� � ��� �� �� �� ���������� ������� ���� A��� �� ��� *��� ������ �� *������ ���� #��� �� ���0��� �� ��� �� �'� �'*����� ������� �������� ���"��� �� �� �*<�������� ,� �� �����+ �� ���� B� ��*��� ����� ��� ��������� �� �������� 9�� �� ���� ���*��� ��������� ������ 4 >�� �� , ��� ����� ��00������ �� ��� &� �� ���� B� ���0��� .���� ���� �"������� ���� ������� �� ���� ���
��������
5���� 4 � �� ��� %������ ��� ��� ����'�� � ������ �� ��� �� /F 5����� ��� �������� �� ����+ �*� ��� ��� �������+ �� ��������*������5���� ������� ���� &����+ �� ;� ��� ������� �*� ��� ��������� ������� �� ��� �� �� ;�����?� ��� ��*7� � &�� A��� ;� ����� ��� �� ���� ��&��� ���� ����� ���� ���+ ���� ;������ �0��� �� �� ������ �� ���� ����� �������� ������ �� �������� *�����+ �*� ��� ��� ��������K�� �� ����OP���+ ���� &������ Q� �� ����+ �� #�+ ���� �������� �� ����OP��� �� �� � !��� &��� A��� ����� ����� ���"�0�� ��� ��� ����� K�� ����� &����� ��� ��� �� ����� � �� � !���� &��+ ��� ����� &��� �� ����� �����+ ��� � ��� ���� ����� �� �������� ��� ��������+ ���*�� �� &�����1 �'� �� ����� ���+ ������� ��� 0���� R %������ �����<�� �� #�� ������F �� #��� ����� ��������� !��� &��+ �� �������Q� ����� �����9��������� �� ���� �� �������� *����� ���<�� 4 !��� &���
:����� %�� �+ � ���� �� ��� ���
5���� &������ ��O� �� ���&��0�� ���������� #� ��� �� ��;�� �� � ��*�� :��� ��� �� ;�0� �� ���� ��� ;��� �� ���� 9�� ������ ��� �� �� �&��� ��� *���������*���+ �� ��� *��� ���*� ���"����� �� %������+ ���� ���� 4 ��� ��*��������������� ���� ?� ����� ��<�� � ��� �� �� ��;�� �*��� �� ����� �*� ��� ��� *������N ����� ��� ��������
9�� *������ ������������� ��� �� 0����������� �������� ��� � �� �� ��� ��#� ���9� ���� �� *����� �����J� �� �� ����'� #�� H���� �"��� ����� RI ���� �� ��O�����0���� �� �������+ �� �($�+ �� ��� ����� �� ���� ��� ������ �����#��������� � �'�� �� ���0����� ����7����� ��� #� ���� &���&���
�� #��� ������� �� � �������' �� �� ������ �������� �� ��� �� ��0�0�� �� ���0���� � �*� �� ��� ��� ������ ���� ���� � Rn+ �*� n 0���+ ������� �� �� ������ �� � ����������+ ���� ����� #�O� ���� � ������ ��� ;��� F � ��� �����0�� ���� ������ � L������M �� �������� n+ F �� �������� �� ���� �� #� ������������ �� ��� �� �����
� �� ������� � ������� � ����� ������� �� �� ����������� ��� ��� � ��� ���������� ��
������� �� �� ��� ����� �� ���� ���� � �!"#� o�$�
) ����������� �� �� � � ��� ���������
9�� ����� �� ���������� 4 �� L0�����M ��������� ��� �� ������ 9���� ������� �*������� *���� ����F<�� �� �� �� ������ ��������� 9����� � ��� ��0���������� �7��'�� ��� ��� ������ *��� �� ���� �� ��� ����'��� / �� �� #��� ��;4 ��" ���� ������
9� #��� ����� �� ��� ��� ��;�� ��&���� �� �� ������ ��� ;��� ������� ��� ��������� �� Rn ��� ���� � &�� -� �"����� ������� �� ��� ��� ���� �� ������ � ����������� �� ���" ����'��� ����� 5���� �� #�O� �������� ��� *����� �� �����������"+ ������� �� ���� �;� ��#� �� ����� ���� �� �� ����� ���������� ������F���� � ���� ���� � �� ������� A��� �� ���������� �� ������� ��� ��" 7��"+ ���� ����� ��� �*����� �� ���� ���� ��*� ��� ��� ��� ���� L��������M ��� ��� ������
.� ���� ��� ��� ��+ ��� ���� ��� �7��'��� ��� ����+ S ���� ��������� ����*������+ � �� ��������� ��� �����*����� ����
5�� *������ L� �������M #�������� �� ��� ���&�������� ������ �� �� �� ������ �������� H���� � ��� ��0������ �� ���� � ��� �&����I+ ���� ����� �� �� �����*���0������ �� �� �� �&��� ��� ���� ���� ������������
Q��� *��� � �� �� ��"�� ���+ ��� �� ������ ����������+ � �� ��� *������ �� ������� ������ ���� ��+ �� ������������ ��� ��������� 4 ���� ������� ���0�������� � ���� �� *��+ ��� ��&'� ����� ��T� ������ ���� ��� ��&'�+ �� �<�� ������ ��� ��� � �� �� ��� ��#� ��+ � ���������� ��" ������� ���0����� ��������������+ �� �� ��" ������� �������� H��0���+ � ��+ �� ���I�
�� ��N� �� �� ��� ����� ��� �������� � ��� ���� �� �� �� ����������+ �� ������� �� ���0�� ���� L0������M� !���#��+ �������� �������+ �� ����� �� �� ��0��UU #�� ����� 4 ��� �������� �� ���� ��� ���� 6� ����� &����� ��� ��� � �� �� �� ���������� ��������+ �"��� �� #�O� 4 ��*� ���������� �� ���� ��� ���������� �� ��" *�������
9�� *������ ������� ����� ��� � ���� ��" ���"�'�� �� ����'�� &������� Q�������7� �� ���� �� ���� *��� ���� �� ��� �"������ �� ��� �������� ��0��� ���#��
6�� ����� ���"������ F ��� 0���� �� 9�� �� ���� ���� �� &�0'��� F ��� �����0����� ����� �� &����� �� ������<��� 9�� &������ $+ 3 �� � ��� ��� ����" #��� ������������� �� �� ���� ���� ���� �� ��� �� ������ �� ���0����� *������� 5&���� &����� ������ ��� �� ������+ 4 ��� �" ����� �'� / �� ���0���� �� 9�� H &����� )I ����*������� ���� ��� &����� ��� ���*���+ ���� ���������4 ���� ���"������ �� 4 �� ���� ���"� � ��� .���+ �� ����� &�����+ ��� ��� ����� ���� �;V� �� ���� ���"�'�� ������+ ����� �� �&�'�� �� >����FE���� ����� ��#� ��� 9��� ��� ������� �� � ������� ��� �� *����� ��� �� &������ ����� ��� ��W�*�� A��� �����+ �� ��� �� ����'� �� �&���'�� ��� ��� ���� �� �� #�� ������0� ��� ������ �� ������� / ���������� ��� �� �� ������ F ��*����� ��� ���� ������� ���� � F �� 0�������
5&���� &����� ���� � �� ��� ����� ��� �����*����� ��������� ���� ��������;� �� ���� �� � �� ���� ��� ���*����� �� ��� ��� ����� ��#����� �� �����+#������ ����� 4 ���������� 0�������� �� �� ���� 6�� �� ��� ��������� L5����������M ������� ��� ���0������ ���� ��� ��� ��;��� � ����
����������� $
5��� ;� ���� �"������ ���� &���+ ;��� ��� �� ���� �� �� ������ �� ����������� ��"��� ���� �������������� ,��# ���� �� ����� &�����+ ������ � ������� ����� � ����� �'� �������������+ ������ � �7���� ����� ��� �� ���� Q� �� ���� �� ��������� ���� ��� �� ���� �� L5���������M+ �� ���� �� � ��0��&�� ������� ���� ���0�� � ��"���
9�� �� ��" �"� � �� H���� �� ��� ��������I ��� �� �� ������ #� ����� 5��"��� ��� �������� �� ��� ����� ��� �� ��� ���� ���� ��� �� ��� �� ������� 5��" �������� ���" ������ �� ��� ��� # ����� �� &������+ ���� ����X� �� ��7�� L�� #������7 �����M� E��� �� ���*��� <�� ������� ��� ��� ��������� �� ��� 5��������� ;��� #��� �0�� ��� ������� ����� ������� ������ ��"�
����� ��� ������ S ;��� ����� �� �� �� 0������ ������������ 4 A��������+ ;��� ���� �� ���� �� �� ���� ���'����� �0�� ��+ �"�0���� �� �������#+ �� ����0������� ��� ��������� ,� �������� ��� *�*����� �� ��0� �� ����� S ;� ���������� ���� ��� �� ������� �� ����'� �V��� �� � ��*��
6�� #�� � �� ����� 4 �� ��� ��� >�� �� , ��� ��+ ;��� ���� ��� �'� ��� ����� ������� �� ��� ��00������ ����������� ��� ��� �� �� ���� �� �� ���+����� �� �� #�� ��� �� ��� �������� A��0� �� ��*����� ��� &�D�� � ������������ ��� ����������� �� �� ��'0���+ ;� �� �� ���� ;����� ��*� ���� �� �������� �������� &� 4 �� &��7��� 5���� ��������� 4 �� ���� �� ���� ���"�'�� ��������� ��� ����� ���� ���������� ��� �� ��� ������� ���� &��� ���� ��� ��00�����
6� 0��� �� � �0������� 4 9��� 5���+ �� ��*� � ������� �� >�� �� , ��� ��+����� ���4 ,7�*�� E��0� �� :���F9��� -����*���+ �� ��*� � �� &�����+ �� ����" ������� �����&'� �� ��*����
��� ��� ����� ;��� ��� �#������� ��=��� � �� �� ��J�� A� �� E�0��
This page intentionally left blank
������
�� ��� #��� �#��� � 4 �� ������ ��� H� 4 ��#��� 4 �� �� ���I S �� ������ �����J��� �� ����'� #��� %������ ����� ��� =' &�� �� ��� *� ���� � 2���� �� ��+ ������ �*�� ��� &� �� ������� ��� =' &�� ���������� �� ��� *� ���� ��������� �����" ����� /
−→ab ����0�� �� *� ��� ���0��� a �� ���"������ b�
〈, 〉 ����� � ����� �� ������⊗ ����� ������� H�� *� ���� � �� #���I $����⊗
����� ������� H������ �� � �� � �� *� �����I $����∧ ����� �"����� $����∧k ������� � �"������ k��'�� $����[, ] &�� �� ���" &���� �� *� ���� ��)[x] ���� �� PnK �� ������ &�0'��� x ��$α� *� ��� ��� �� 4 �� #�� α $����v� #�� ��� ��� �� *� ��� v $����∐
���� ����� ����� ��$��Ad ����������� ��;���� )��B(0, r) ��� �*��� �� ���� 0 �� �� �7� rCk(M) #� ���� �� ����� Ck �� M �����C∞(M) #� ���� ������ �� M �����C∞(E) �� ���� ������ �� � � *� ���� E ��$��C∞(TM) &���� �� *� ���� ������ �� �� *����� M ��$��d ������������ �"������ $�)deg(f) ��0� �� ������� ���� f ��)����� ������������ ������ ���* ��*�0�� � $�$E∗ ���� � ���� �� ������ � *� ���� E $����E(C,C′) ���� ����� �� ���" � �� C �� C′ ��3f∗ ���0� ��� �� �� ������� ���� f ��)f∗ ���0� � ����� �� ������� ���� f $����f|U ���� ��� �� f 4 ���*�� UFm 0���� �� #� ���� �� m �����
This page intentionally left blank
This page intentionally left blank