Introduction Notations tensorielles Cinématique Equilibre Thermodynamique Lois de bilan Loi de comportement Initiation à la MMC, F. Golay 1/27 Initiation

Introduction

Notations tensorielles

Cinématique

Equilibre

Thermodynamique

Lois de bilan

Loi de comportement

Initiation à la MMC, F. Golay 1/27

Initiation à la MECANIQUE des MILIEUX CONTINUS


Notion de milieu continu

Fluide: « qui n’est ni solide, ni épais, qui coule aisément »Solide: « qui a de la consistance, qui n’est pas liquide, tout en pouvant être plus ou moins mou »Liquide: « tout corps qui coule ou tend à couler »

Petit Robert

Milieu continu: « milieu dont le comportement macroscopique peut être schématisé en supposant la matière répartie sur tout le domaine qu’il occupe »

J. Coirier


Notations: Notation indicielle

ii332211 eVeVeVeVV Vecteur & convention de sommation

jiij

333231

232221

131211

eeT

TTT

TTT

TTT

T

Tenseur d’ordre 2 & Produit tensoriel

ijijkkjiij eVTeVeeTVT Produit contracté

jiijqppqjiij BAeeB:eeABA Produit doublement contracté

ii, x

Dérivation

ii, e**** gradient

1:**(**)div divergence


Notations: Exemple

3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

jij,ijj,ii

x

V

x

V

x

Vx

V

x

V

x

Vx

V

x

V

x

V

eeVeeVV

3

3

2

2

1

1i,ijij,iqppqjij,i x

V

x

V

x

VVVee:eeV1:VVdiv

V:AV.AdivVAVAVAVAdivT

i,kikki,iki,kik


Cinématique:

•Notion de configuration, Euler /Lagrange•Application linéaire tangente•Notion de déformation•Tenseur des déformations•Hypothèse des petites perturbations•Dérivation


Cinématique: Notion de configuration

O1e

2e

3e

Configuration de référenceà l’instant t0

M0 X

Configuration actuelleà l’instant t

(t)

M )t,X(x

,t: Variables de Lagrange (en général mécanique du solide)X

,t: Variables d’Euler (en général mécanique des fluides)x dt

xd

dt

OMdVVitesse

)t,X(t

A)t,X(

dt

dA

V.At

AA.V

t

AV

x

A

t

A)t,x(

t

x

x

A)t,x(

t

A)t,x(

dt

dAi

i

i

i

Dérivée particulaire

Application: Accélération V.Vt

V)t,x(

dt

Vd


Cinématique: Application linéaire tangente

Transport d’un élément de volume

O1e

2e

3e

(t)

dV0

dV 0dV det F dV

Transport d’un élément de surface

O1e

2e

3e

(t) T

0ndS det F F NdS

1111111111111 1n

dSNdS0

O1e

2e

3e



Xd(t)

xd

XdFxd

3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

X

x

X

x

X

xX

x

X

x

X

xX

x

X

x

X

x

F


Cinématique: Notion de déformation


Cinématique: Tenseur des déformations

O1e

2e

3e



Xd(t)

xd

F

Xd xd

XdXd2Xd1FFXdXdXdxdxdTTT

1FF

2

1 T

O1e

2e

3e

0dldl

0

01111

20

20

2

10

dl

dldlsoit dl2dldl

edlXdXd Si

O1e

2e

3e

2211121220

2010

11cos2soit dl2cosldld

edlXdet edlXd Si

dl0dl

0dlld


Cinématique: Hypothèse des petites perturbations

u.uuu2

1

u1F

uXx

TT

1u

HPP

uu2

1 THPP

1

1

1 2 2HPP

2 1 2

1 3 3 2 3

3 1 2 3 3

u.. ..

X

1 u u u..

2 X X X

1 u u 1 u u u

2 X X 2 X X X


Cinématique: Dérivées

)t()t()t( dV)vk(div

t

kdVvkdiv

dt

dkdV)t,x(k

dt

d

)t()t( dV)vA(divt

AdV)t,x(A

dt

d

(t) (t)d dA

A(x, t).n dS Adivv v.A .n dSdt dt

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Application: Conservation de la masse !!

soit 0dV)t,x(dt

d donc cste Mor dV)t,x(M )t()t(

0)v(divt

ou

0vdivdt

d

)t()t( dVdt

(**)ddV(**)

dt

d


Cinématique: Exemple

Équilibre:

•Notion Contrainte•Principe fondamental



Équilibre: Notion de contrainte

Photo extraitede Le RugbyP. VILLEPREUXCours de J.SalençonPolytechnique

Efforts extérieurs

Efforts intérieurs

n

M ds

dF

nt,xn,t,xT

contrainteVecteur :T

dsn,t,xTds,n,t,xdF

ds,n,t,xdF cohésion"" deEffort

t,x Tenseur des contraintes de Cauchy


Équilibre: Principe Fondamental

O1e

2e

3e

F

f

)t(

)t(

n Principe Fondamental de la dynamique

Torseur dynamique=

Torseur des action extérieures

vdiv( v v) dV fdV nds

t

vv.v v div( v) dV fdV div dV

t t

f div dV 0

dvdV fdV Tds

dtd

OM vdV OM fdV OM Tdsdt

1111111111111 1

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Forme locale de l’équation d’équilibre

div f 0 dans

n F sur

1111111111111 1 Symétrique

Thermodynamique:

•Premier principe•Équation de la chaleur



Thermodynamique: Premier principe

Premier principe: conservation de l’énergie

extd

E K P Qdt

Énergie interne

E e dv

Énergie cinétique

1K v.v dv

2

Puissance des efforts extérieurs

extP f .v dv F.v ds 11111111111111111111111111 11

Taux de chaleur reçu

Q r dv q.n ds

Forme locale du premier principe

e : r divq


Thermodynamique: Équation de la chaleur

e Ts

Hypothèse énergie libre ( , T)

Second principe = et s=T

sChaleur spécifique C=T

T

Loi de Fourier

dTr d

q

iv k T C T :dt T

k T

Premier Principe

t


Lois de bilan:

Conservation de l’énergie

Conservation du moment cinétique T

Conservation de la quantité de mouvement div f

Conservation de la massed

divv 0dt

Lois de Bilan en M.M.C.

+Lois de Comportement

T, , , , , .... 0t t

e : r divq

Élasticité:

•Essai de traction•Expérience•Loi de comportement élastique linéaire•Le problème d’élasticité



Élasticité: Essai de traction

Essai de traction


Élasticité: Expérience

SL L

F

L

Plasticitéirréversible

Déformation permanente

11F

S

11L

L

Élasticitéréversible

e


Élasticité: Élasticité linéaire

C : Loi générale

tr 1 2 Élasticité isotrope coefficients de Lamé

1tr 1

E E

coefficients de Poisson, E module d’Young

tr 1 2 3 2 T1 Thermoélasticité isotrope coefficients de dilatation thermique

Élasticité orthotrope

12 1211 11

1 1 1

21 2322 22

2 2 2

31 3233 33

3 3 3

12 1212

13 1313

23 2323

10 0 0

E E E

10 0 0

E E E

10 0 0

E E E

10 0 0 0 02

G

10 0 0 0 02

G

10 0 0 0 02

G

Application à l’essai de traction

0 0 F / S 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0E

0 0E

0 0E


Élasticité: Le problème d’élasticité

O1e2e

3eF

f

)t(

i mpU11111111111111

F

U

T

imp U

F

U

1u u

2

u U sur

Equation de compatibilité

div f dans

F sur n

R sur

tr 1 2

1111111111111 1

11111111111111

11111111111111

divu div u f 0

Formulation en déplacement: Équation de Navier

T11 div tr divf1 f f 0

1 1

Formulation en contrainte: Équation de Michel


Élasticité: Exemple

iTiP

eTeP


Élasticité: Exemple: résolution

iT

eT

re

e

e e

0

i i

T 0dT

r div k T C T :dt T t

T T T T(r)(r)

avec T(r ) T et

T alnr

( ) T

b

T r

Problème thermique

rr

rrrr 2

rHypothèse

uu 2 u 3 2

u u(r)e

3 2 au(r) rL

T(r)u 0 0r

donc 0 u / r 0 et u u

0 0 0 u 2 3 2 T(r)r r

3 2 a1 u udiv f 0 u

r r r 2 rr

n(r) Ar2

rr e e rr i iavec (r ) P et (

B

r

r ) P

Problème mécanique


Mécanique des fluides: Fluide newtonien

dU

dy

Newton

Fluideépaississant

Fluidefluidifiant

Fluide à seuil

Fluide viscoplastique

T

T

div f

dvdiv p1 tr 1 2

dt

dvdiv p1 div divv1 div v

vv.v p divv div v

t

vdt

vv.v p divv div v div v

t

p1 tr 1 2

Fluide newtonien

Si le fluide est incompressible alors divv 0

v 1v.v p v

t

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