期 末 复 习

Introduction to

Graph Theory

计算机（软件）学院

林 兰

2017 春季

关于考试——分数比例

平时成绩 30%

作业及考勤 15%

期中考试 15%

期末考试70% （闭卷笔试）

关于考试——题型及分配

选择题（20%）

填空题（8%）

计算题（30%）

证明题（24%）

应用题（18%）

图的基本概念(第2章)

1. 图的定义（无向图、有向图、赋权图）有关的诸多概念，

以及它们之间的相互关系。

多重图、广义图、线图、基图。

2. 握手定理及其推论的内容。

3. 零图、平凡图、正则图、完全图、二部图，子图、补图、

图同构等概念及其它们的性质和相互关系。

（对实际问题的建模）

4. 道路（或通路，路径） 、简单道路、基本道路与回路、简单

回路、基本回路（圈）的定义，道路与回路的表示方法。

5. 无向图的连通性，连通分支等概念；

6. 无向图的点割集和边割集、点连通度、边连通度等概念及

其之间的关系。

7. 有向图连通性的概念及其分类，判断有向连通图类型的

方法。（概念判断、矩阵法）

8. 有向图的邻接矩阵、可达矩阵的基本概念

9. 熟练掌握用有向图的邻接矩阵及各次幂求图中通路与回

路数的方法

10. 熟练掌握用有向图的邻接矩阵及可达性矩阵求有向图的

所有强分图的方法

11. 关联矩阵的基本概念及其基本性质

12. 熟练掌握Dijkstra最短路径算法。

欧拉图和哈密顿图

1. 掌握欧拉图和欧拉道路的定义；(一笔画)

2. 欧拉图的判定定理,对于给定的图能判断它是否为欧

拉图或存在欧拉道路；

3. 掌握Fleury算法并会用 Fleury 算法求出欧拉图中

的欧拉回路；

4. 理解中国邮递员问题算法并会用中国邮递员算法求

出无向图中的欧拉回路；

5. 掌握哈密顿道路及其哈密顿图；

6. 哈密顿图的必要条件，利用必要条件判断某些图不

是哈密顿图；（删点法、标记法）

7. 哈密顿图和含哈密顿道路的充分条件，能判断某些

图是哈密顿图或是否含有哈密顿道路；

8. 严格区分哈密顿图的充分条件和必要条件；

9. 图的闭包概念，及判定H图的充要条件。

10.了解推销商问题的求解方法。

1.理解平面图、面、边界、极大平面图、对偶图的定义；

2.熟记欧拉公式和二个平面图的必要条件, 并能使用它们

来判断图的非平面性；

3. K5和K3,3称是非平面图（库拉托夫斯基图）；

4.库拉托夫斯基定理和细分图的概念；

5.掌握图的着色：色数、一些典型图的色数、顺序着色算

法；了解五色定理。

6.图着色的应用（考试安排问题\电视频道分配\贮藏问题）。

平面图

树及其应用

1. 掌握树的基本概念和六个等价命题，生成树、树枝

、树补的定义，掌握生成树的主要性质，并能灵活

应用它们；

2. 熟练地应用 Kruskal算法 求最小生成树；

3. 掌握根树及其相关术语、m叉树、完全m叉树、正则m

叉树、有序树、位置树、最优树的概念；

4. 有序树转换为二叉位置树的方法；

5. 熟练掌握 Huffman 算法，并使用它求最优二叉树。

1、证明：在（n，m）图中δ ≤ 2mn≤ ∆。

证：

∆≤≤⇒

∆≤=≤∴

∆≤≤

=

∑

∑∑∑

∑

∈

∈∈∈

∈

n2m

n2mn

2

G

GGG

G

δ

δ

δ

v

vvv

v

d(v)

d(v)

d(v)m

由握手定理，

练习

证：G-v产生d(v)个奇数度点，

由握手定理推论，每个连通分支

中奇数度点的个数必为偶数，

即G-v的连通分支中必须原有偶

数条边与v关联，最少有两条边

和v相连，所以总连通分支数最

多为d(v)/2。

2、设G=(V,E)是点度均为偶数的连通图。证明:对任何 𝑣𝑣 ∈ V，𝜔𝜔 𝐺𝐺 − 𝑣𝑣 ≤ 1

2deg 𝑣𝑣 。

练习

………

………

v

3、证明：简单连通无向图G的任何一条边都是G的某一

颗生成树的边。

证明：(反证法)

假设∃e ∈G（n，m），不是任何一棵生成树的边，

那么，任选一棵生成数T（n，n-1），增加边e，可

以在T+{e}中形成一个圈。

然后，删掉T+{e}中圈的任一条非e的边，使的删边子

图成为一棵树，并且包含e。

与假设矛盾。原命题结论成立。

练习

4、求下面权图中最小生成树及其权和。

练习

解: 最小生成树 𝑊𝑊 𝑇𝑇 = 1 + 2 + 3 + 5 + 7 = 18

5、将下面的有序树转化为一棵二叉树。

练习

v1

v3v2

v4 v5 v6 v7

v8 v9 v10 v11 v12

v1

v12

v11

v10 v7

v6v5

v9

v8

v4

v2

v3

解：转换后，二叉树为

6、找出图中的所有强分图。 由强分图定义可得3个强分图：

G({a, b, c, d})，G({g, f})，G({e})

练习

7、某地区内有n家电视发射台T1, T2, … Tn，主管部门

为每家电视发射台分配一个频道。为排除干扰，使用同

一频道的发射台之间的距离必须大于指定的正数d。问该

地区至少需要多少频道？（图建模分析）

分析：构建简单无向图𝐺𝐺 = 𝑉𝑉,𝐸𝐸 ，其中

𝑉𝑉 𝐺𝐺 = {T1, T2, … Tn},

𝐸𝐸 𝐺𝐺 = { Ti, Tj | Ti与Tj之间距离 ≤ 𝑑𝑑}

则需要的最少频道数=𝜒𝜒(𝐺𝐺)。

练习