Introduktion Prisfastsættelse Modellering af ...web.math.ku.dk/~rolf/IOslides.pdf · x 10−3 1.0164 1.0166 1.0168 1.017 1.0172 1.0174 Short Rate Relative Price No I−O 40 I−O

Valgfrit afdragsfrie lån

Morten Nalholm

[email protected]

Valgfrit afdragsfrie lan – p. 1/32

• Introduktion

• Prisfastsættelse

• Modellering af låntagerheterogenitet

S.Jakobsen:"unødigt kompliceret" (om et RDs første FlexGaranti-lån)

Dagens emne er værre! (eller bedre afhængigt af synsvinkel)


• Realer med voksende ydelsesrækker lovlige fra 2003(Lov nr. 454).

• Konstrueres ved at tilføje afdragsfrie perioder tilannuiteter.

• Højst 10 års afdragsfrihed ved et 30 årigt lån.

• To typer:Afdragsfrie Alle afdragsfrie terminer lagt i starten af

løbetiden. Alle undtagen RD.Valgfrit afdragsfrie Låntager kan løbende placere

afdragsfrie terminer. Kun RD.


ISIN Serie Kupon Restgæld Antal lånDK0009273179 43D-38 4% 20,0 16.604DK0009271637 43D-35 5% 5,7 6.106DK0009272957 43D-38 5% 4,4 3.644DK0009272288 43D-38 6% 0,0 19

31 marts 2006 havde private afdragsfrie lån en restgældpå DKK 347 mia. hvoraf DKK 126 mia. var fastforrentet.Dvs. RDs VA obligationer havde en markedsandel på 24%af dette marked.


Fokus: Valgfrit afdragsfrie fastforrentede konverterbareannuitetslån.

• Klippekortsprincip med 40 klip.

• Udskudte afdrag amortiseres fuldt ud efterannuitetsprincippet.

År 1 2 3 4Ydelser uden VA 29.52 29.52 29.52 29.52Ydelser med VA 29.52 5.42 42.85 42.85

• Varsel på 2 md.


Et klip svarer til at tage et lån (til pari) med

• samme kuponrente som obligationen

• løbetid som obligationens restløbetid

• det udskudte afdrag som hovedstol

uanset rentestrukturen, dvs. selvom kursen er under pari.Altså er mulighed for at vælge en afdragsfri period enoption.VA lån giver låntager en portefølje af sådanne optioner.


Komplikationer:

• Et udskudt afdrag kan senere konverteres, såkonverteringsoptionen bliver mere værd

• det øger de fremtidige afdrag, og dermed ogsåværdien af de resterende VA-optioner

• ... men man fraskriver sig muligheden for at klippe pået senere tidspunkt

• Ved konvertering før alle klip er brugt mistes VAporteføljen

Optionselementerne påvirker hinanden ogprisfastsættelsen skal derfor regne på hele obligationensamlet.


Ingredienser

Π(t) Pris på konverterbar obligation

ΠIK(t) Pris på inkonverterbar obligation

ΠAC(t) Pris på konverteringsoptionen

δ(t) Betaling på tidspunkt t

V (t) Π(t) + δ(t)

H(t) Hovedstol efter afdrag på tidspunkt t


Låntager er kort en inkonverterbar annuitet og lang enamerikansk call på samme.

Π(t, i) = ΠIK(t, i) − ΠAC(t, i)

= ΠIK(t, i) − max(

ΠIK− H(t), PV (EQ

t [ΠAC(t + 1)]))

= −max(

−H(t), PV (EQt [ΠAC(t + 1)]) − ΠIK(t, i)

)

Kan udnytte at ΠIK(t, i) = PV (δ(t + 1) + EQt [ΠIK(t + 1)]).


Heldigvis er både PV (·) og E[·] lineære, så vi kan omskrive

Π(t, i) = −max (−H(t),

PV (EQt [ΠAC(t + 1) − ΠIK(t + 1) − δ(t + 1)])

)

= −max(

−H(t),−PV (EQt [Π(t + 1) + δ(t + 1)])

)

= min(

H(t), PV (EQt [Π(t + 1) + δ(t + 1)])

)

Låntager maksimerer værdien af sin position hvilket heruden omkostninger svarer til at minimere værdien afinvestors position.


Ser nu på værdien inkl. betaling på tidspunkt t

V (t) = Π(t) + δ(t).

Ydelsen for en obligation med kupon c, udløb T oghovedstol H(t − 1) er

y = H(t − 1)c

1 − (1 + c)−(T−(t−1))

som kan deles op i rentebetaling c × H(t − 1) og afdragy − c × H(t − 1). Ved konvertering skal der betales(1 + c)H(t − 1).


Værdien inkl. samtidig betaling

Π(t) + δ(t) = min(

y + H(t), y + PV (EQt [Π(t + 1) + δ(t + 1)])

)

V (t,H(t − 1)) = min(

y + H(t), y + PV (EQt [V (t + 1, H(t)])

)

= min ((1 + c)H(t − 1),

y + PV (EQt [V (t + 1, (1 + c)H(t − 1) − y)])

)

,

idet restgæld efter en ydelse er hovedstol+(påløbnerenter)-ydelse


Hovedstolshomogenitet (og V (t) = V (t, 1)) giver

V (t) = min(

1 + c, y(t) + PV (EQt [V (t + 1, 1 + c − y(t))])

)

= min(

1 + c, y(t) + (1 + c − y(t))PV (EQt [V (t + 1)])

)

,

hvory(t) =

c

1 − (1 + c)−(T−(t−1))


V k(t) er værdien af en VA obligation med k klip tilbage oghovedstol 1.

k = 0 er en almindelig konverterbar annuitet.

Hvis man har klip tilbage kan man nu gøre en ting mereend med en almindelig annuitet (hvor man kan konvertereeller betale ydelse), nemlig vælge afdragsfrihed. Dermedvil obligationen have

1. uændret hovedstol (1)

2. 1 termin mindre til udløb

3. et klip mindre tilbageValgfrit afdragsfrie lan – p. 14/32

Låntager minimerer stadig værdien af investors position,så værdien af VA obligationen er

V k(t) = min(

1 + c, y(t) + (1 + c − y(t))PV (EQt [V k(t + 1)]),

c + PV (EQt [V k−1(t + 1)])

)

Værdien V k(t) kræver altså information fra k og k − 1gitrene (springbetingelse).


Men vi har den nødvendige information!

• k = 0 løste vi tidligere

• k = n, n = 1, . . . , N klip startes som sædvanlig påtidspunkt T hvorefter vi løser baglæns i gitteret ogtrækker på k = n − 1 gitteret efter behov.

Man skal altså regne N klip + 1 gitre igennem og behøverkun at gemme 2 ad gangen.


Kritiske renteniveauer for VA og konvertering

0 5 10 15 20 25 300.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Time

Sho

rt R

ate

Prepayment No I−OPrepayment 40 I−OPrepayment 10 I−OInterest Only 40 I−OInterest Only 10 I−OZCB Yield Curve

Coupon


Konverteringsomkostninger - skelner mellem låntager oginvestor gitre.

Antag proportionale konverteringsomkostninger, ξk(t).

V kL (t) = min

(

1 + c + ξk(t), y(t) + (1 + c − y(t))PV (EQt [V k

L (t + 1)]),

c + PV (EQt [V k−1

L (t + 1)]))

Værdien af investors position følger ved at løse medbetalinger givet låntagers beslutninger.


Kritiske renteniveauer for VA og konvertering med omk.

0 5 10 15 20 25 30−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Time

Sho

rt R

ate

Prepayment No I−OPrepayment 40 I−OPrepayment 10 I−OInterest Only 40 I−OInterest Only 10 I−OZCB Yield Curve

Coupon


Kursforskel ml. alm. annuitet og VA obligation med 40 klip


Prepayment modellering kan også indarbejdes.

Tager man f.eks. en gevinstkravsmodel hvor andelen derkonverterer på tid-t i tilstand-i er π(t, i), fås for enkonverterbar annuitet

V 0L (t, i) = π(t, i)(1 + c + ξ0(t))

+(1 − π(t, i))(

y(t) + (1 + c − y(t))PV (EQt [V 0

L (t + 1)]))

Antag f.eks at den krævede konverteringsgevinst erz(t) ∼ N(m(t), v2(t)). Dvs. π(t, i) = Φ((g(t, i) − m(t))/v(t)).


Tilsvarende for VA obligationen

V kL (t, i) = π(t, i)(1 + c + ξk(t)) + (1 − π(t, i))

×min(

y(t) + (1 + c − y(t))PV (EQt [V k

L (t + 1)]),

c + PV (EQt [V k−1

L (t + 1)]))

hvor dem der ikke konverterer enten betaler ydelsen ellervælger afdragsfrihed.


Prepayment modellering


Prisdifference (heterogen-optimal; investorgitre)


Låntagernes udnyttelse af VA optioner er lige såsuboptimal som man kunne forvente (tal fra RD)

ISIN Serie Kupon Aftalte Afholdte Maks.DK0009273179 43D-38 4% 586.968 32.809 690.680DK0009271637 43D-35 5% 194.573 35.312 250.720DK0009272957 43D-38 5% 96.057 4.369 152.520DK0009272288 43D-38 6% 597 174 760

De fleste klip er aftalt!Det er mest rimeligt at antage at de aftalte VA perioderligger i starten af løbetiden. Dermed ligner VA obligationende andre institutters produkter og låntager betaler for enoptionalitet som ikke udnyttes. Valgfrit afdragsfrie lan – p. 25/32

Ligesom for prepayment kan man modellere suboptimal ogheterogen VA udnyttelse.

Et klip svarer som nævnt til at tage et lån til pari. Ser manbort fra konvertering og afdragsfrihed så kan VA gevinstenmodelleres som

Λ(t, i) =PV (y(t) − c) − ΠIK(t, i)[y(t) − c]

ΠIK(t, i)[y(t) − c]

Låntagernes suboptimale VA strategier kan så modelleresmed en VA gevinstkravsmodel, f.eks a laprepaymentgevinstkravsmodeller.


Tager man f.eks. en gevinstkravsmodel hvor andelen derklipper på tid-t i tilstand-i er q(t, i), fås

V kL (t, i) = π(t, i)(1 + c + ξk(t))

+(1 − π(t, i))

×

(

(1 − q(t, i))(y(t) + (1 + c − y(t))PV (EQt [V k

L (t + 1)]))

+q(t, i)(c + PV (EQt [V k−1

L (t + 1)])))

Informationen om de aftalte klip kan indgå i modellen for q.


VA elementet indgår også i 63D og 83D serierne.

63D Floating-to-fixed hvor der betales variabel rente indtilrenten rammer et loft hvorefter lånet omdannes til etfastforrentet lån. Her er der dog valgfri afdragsfrihed.

83D Capped-floater her med valgfri afdragsfrihed.


Kursdifferencer 1/20/2005-5/26/2006 mellem5RD43DOA38 og (5NYK73DOA38, 5RD23D38).

7.323 7.324 7.325 7.326 7.327 7.328 7.329

x 105

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5


Det ser jo mærkeligt ud at VA-lånet til tider handler tilkurser par med eller over både alm. afdragsfrit lån og alm.annuitet.

• Likviditetsforskelle er nok en væsentlig faktor

• Forskelle på prepaymentadfærd mellem forskelligeinstitutter (se også Gustavs slides)

• Asynkrone observationer (lukkekurser)

Men faktisk er det ikke umuligt i at finde denne effekt, selvmed optimal låntageradfærd.


Eksempel hvor optimal låntageradfærd medførerV 40(30Y ) > V (30Y ).

0 2 4 6 8 10 12

x 10−3

1.0164

1.0166

1.0168

1.017

1.0172

1.0174

Short Rate

Rel

ativ

e P

rice

No I−O40 I−O


Konklusioner

Teoretisk Et sjovt problem hvor der er brug for at anvendeadskillige værktøjer fra realkreditlitteraturen. Produkteter det mest komplicerede hidtil og det ser ud til atopfindsomheden er aftagende (jvf. S.Jakobsensforelæsning). Det er dog ikke mere kompliceret end atdet kunne gennemgås på en time.

Praktisk VA elementet har ikke vundet stor udbredelse. Ipraksis fører låntageradfærden til at VA næsten erækvivalent med alm. afdragsfrihed. Handler derforstort set som et alm. afdragsfrit lån.


Documents

Introduktion Prisfastsættelse Modellering af ...web.math.ku.dk/~rolf/IOslides.pdf · x 10−3 1.0164 1.0166 1.0168 1.017 1.0172 1.0174 Short Rate Relative Price No I−O 40 I−O