CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA AA 2008/2009Geometria 1

Appunti dalle lezioni - 3.12.2008Prof.Rita Vincenti

.

Introduzione alla geometria affine

1 Generalita

Sia V uno spazio vettoriale sopra il campo K.Per ogni vettore a V si definisce traslazione di V la applicazione a : V V definita daa(v) = v + a.Sia T = {a|a V} linsieme delle traslazioni di V. E facile provare che (T, ) e un gruppo com-mutativo secondo la operazione binaria di composizione aa(v) = a(b(v)) = v+a+b = a+bcon elemento neutro 0 ed inverso di a definito da a.

Proprieta di rilievo del gruppo (T, ) sono:1) per ogni coppia di vettori u, v V esiste una unica x T tale che x(u) = v (essendo (V,+)gruppo);2) non esiste nessun v V tale che a(v) = v se a 6= 0 (cioe una traslazione a 6= 0 non ha puntifissi).Per queste due prime proprieta si dice che T agisce regolarmente su V.

3) il gruppo (T, ) e isomorfo a (V,+) (e sufficiente considerare la applicazione : T Vdefinita da (u) = u per ogni (u) T).

Il gruppo degli automorfismi lineari di V e indicato GL(n,K) ed e isomorfo al gruppo molti-plicativo Invnn(K) delle matrici invertibili n n ad elementi in K.

Sia S < V un sottospazio di V.Si definisca una relazione su V nel modo seguente:

a b a b S.Analogamente a quanto dimostrato per un gruppo e un suo sottogruppo normale, e facile provareche e una relazione di equivalenza su V e che ad essa e associata la partizione di V i cuielementi sono rappresentati dallinsieme quoziente V/S = {a+ S|a V}.

Tale insieme puo essere dotato di una operazione binaria + cos che (V/S,+) e gruppo, ilgruppo quoziente modulo il sottospazio S.Si e anche provato che per ogni a+ S, b+ S V/S si ha |a+ S| = |b+ S|.

.

1

Si collezionino per ogni scelta di S < V tutti gli elementi (laterali) a + S per ogni a V e siconsideri linsieme

L = {a+ S|a V,S < V}.Per ogni scelta del sottospazio S (e quindi della partizione {a + S|a V}), S e denominatosottospazio direttore.

Si noti che ogni laterale a+S puo considerarsi il trasformato a(S) del sottospazio S sotto lazionedella traslazione a T.

Se la dimensione dimV = n, si puo ripartire linsieme L a seconda della dimensione di S < V,iniziando dalla dimensione 0 (relativa alla scelta S = {0}) fino alla dimensione n 1 (relativaalla scelta S iperpiano di V) nel seguente modo:P = {a|a V},R = {a+ < m > |a V,m V = V \ {0}}, = {a+ < m,n > |a V,m, n V, dim < m, n >= 2},.............................................................H = {a+ < m1, ...,mn1 > |a V, dim < m1, ...,mn1 >= n 1}.

Sia A = (P ,R,, ...H, I, //) ove denominiamo P insieme dei punti, R insieme delle rette, insieme dei piani,...,H insieme degli iperpiani. In generale, un laterale A = a+ < m1, ...,mr >con dim < m1, ...,mr >= r si definisce sottospazio affine di dimensione r e il sottospazio< m1, ...,mr > lo spazio direttore di A.Inoltre I e la relazione di incidenza definita per ogni coppia di laterali (A,B) da AIB se AB 6= .Nel caso che A e un punto e B non lo e, se AIB si dice anche A appartiene a B.// e la relazione di parallelismo definita come segue:per ogni A,B R ... H, A = a+ S, B = b+ S, dimS dimS si ha A //B se e solo seS S.

NOTA 1 - Siano A = a+ S, B = b+ S. Se S = S, allora A //B precisamente quando A e Bsono traslati di uno stesso sottospazio, quindi equivalente ad affermare A = B oppure AB = con A unionmultiB = a+ < b a > +S (laterale generato da A B).Se S S, il laterale A = b+ S e contenuto in B = b+ S ed e tale che A ed A sono traslati diuno stesso sottospazio, quindi A A = con A unionmulti A = a+ < b a > +S (laterale generato daA A).Si conclude che A //B se e solo se A = B oppure, se il laterale B contiene un laterale A condimA = dimA tale che A//A (ovvero, se A contiene B con dimB = dimB tale che B // B).

NOTA 2 - I laterali A e B che non sono paralleli e per cui vale A B = si dicono sghembi.

DEFINIZIONE 1 - A = (P ,R,, ...H, I, //) e la geometria affine n-dimensionale sopra ilcampo K.Nel seguito si indichera A = AG(n,K).

Sia fissata in V una base B = {e1, e2, ..., en}. Si considerino i seguenti n + 1 punti di A: Ei :=ei, i = 1, 2, ..., n e un ulteriore punto O := o.Linsieme degli (n + 1) punti {O,Ei, i = 1, 2, ..., n} viene definito un riferimento affine per A.Non si perde generalita se si sceglie o = 0.

2

.Esprimendo ogni vettore v V rispetto alla base B cos che v = x1e1 + ...+ xnen ove xi K, alpunto P := v si puo associare univocamente la n-upla (x1, x2, ..., xn).Le n-uple (x1, x2, ..., xn) sono definite coordinate cartesiane affini per la geometria A.

In A valgono le seguenti proprieta:1) Due punti distinti appartengono ad una unica retta;

2) Esistono n+ 1 punti non appartenenti ad uno stesso iperpiano.

Dimostrazione.1) Siano P = p,Q = q due punti distinti di A. Una generica retta di A e un laterale di tipor = a+ < m >.I punti P e Q appartengono ad r precisamente quando p = a + m e q = a + m, da cui si ha( )m = q p. Poiche i punti P e Q sono distinti, 6= 0 per cui e < m >=< q p >.Da p = a+ m segue anche a = p m da cui si puo esprimere r = p+ < q p >.Oppure, analogamente, si perviene alla q+ < p q >. Ma si ha p+ < q p >= q+ < p q >,difatti p+ (q p) = q + (p q) per = 1 . Quindi r = p+ < q p >= q+ < p q > e laretta univocamente determinata.2) Gli (n + 1) punti {O,Ei, i = 1, 2, ..., n} non appartengono ad un iperpiano poiche {e1, ..., en}e una base per V per cui < e1, ..., en >= V.

Rappresentazione cartesiana (equazioni affini) di un sottospazio affine

Sia H = v+ < m1, ...,mn1 > un iperpiano di A. Sia P := x un punto di A.Indichiamo x = (x1, ..., xn).Si ha P I H se e solo se x = v + 1m1 + ...+ n1mn1.Questa relazione significa che gli n vettori x v,m1, ...,mn1 sono dipendenti e si rappresentaimponendo che sia nullo il determinante della matrice

M = (x v m1 ... mn1)t,matrice n n che ha per righe le componenti dei vettori x v,m1, ...,mn1.Espandendo quindi det M = 0 e raccogliendo i coefficienti di x1, ..., xn si ottiene una equazionelineare del tipo

a1x1 + ...+ anxn + h = 0

con ai, h K e che viene chiamata equazione cartesiana delliperpiano.

Per ogni sottospazio affine S = a+ < v1, ..., vs > di dimensione s si ha P I S se e solo sex = a + 1v1 + ... + svs, cioe se e solo se gli s + 1 vettori x a, v1, ..., vs sono dipendenti. Cioequivale ad affermare che sono nulli tutti i minori di ordine massimo s+1 della matrice (s+1)n

(x a v1 ... vs)t

che ha per colonne le componenti dei vettori x a, v1, ..., vs.Espandendo ed uguagliando a zero questi determinanti, si ottiene un sistema lineare di n sequazioni nelle n incognite x1, ..., xn, con rango della matrice incompleta pari ad n s e cherappresenta il sottospazio S in coordinate cartesiane.

3

2 Il piano affine reale pi = AG(2,R)Sia V = R2.La geometria affine pi = (P ,R, I, //) ove

P = {a|a V},R = {a+ < m > |a V,m V = R2 \ {0}},la relazione di incidenza I esplicitata come segue: se P P , r, r R allora PIr se P r, rIrse r r e un punto,r // r per r, r R se e solo se r = r oppure r r = ,e il piano affine reale, cioe pi = AG(2,R).

Valgono le seguenti proprieta:a1) Due punti distinti appartengono ad una unica retta;a2) Dati un punto P P e una retta r R non incidenti, esiste una unica retta r R tali cheP I r ed r // r;a3) Esistono 3 punti non incidenti una medesima retta.

Dimostrazione.Le proprieta a1), a3) sono state dimostrate in generale (v. proprieta 1), 2) di p.2).a2) Sia P = p un punto ed r = a+ < m > una retta di pi con P / r. Una qualunque retta per Pe della forma r = p+ < v >.Possono accadere due casi:i) < v > 6=< m >,ii) < v >=< m >.Caso i). Proviamo che r r consiste di un solo punto.Poiche < v > 6=< m >, i vettori m, v sono indipendenti quindi {m, v} e una base per R2.Esprimiamo a e p sulla base {m, v}:a = m+ v e p = m+ v con , , , R.Da cio segue r = m + v+ < m > ed r = m + v+ < v >= m+ < v > da cui si har = v+ < m > ed r = m+ < v >.E facile ora constatare che il punto R = v + m appartiene ad entrambe le rette. QuindiR r r.Supponiamo che esiste un ulteriore punto Q r r. Esiste allora una coppia di scalari , Rtali che v + m = m + v. Da questa uguaglianza segue ( )m = ( )v ovvero< m >=< v >, contro lipotesi.

Caso ii). Proviamo che r r = .Un punto incidente sia r che r e della forma a+m = p+m da cui si ottiene p = a+ ()move 6= 0 poiche il punto P non incide la retta r per ipotesi. In questo caso la retta r si puoesprimere a+ < ( )m >= a+ < m >, da cui segue r = r, contraddizione con il fatto che ilpunto P non e un punto di r. Da cio segue rr = e quindi che le rette r ed r sono parallele.

NOTA - Dalla dimostrazione della proprieta a2) si deduce che due rette del piano affine pi osono parallele (sono la stessa retta o non hanno punti in comune) oppure si incidono in un solopunto.

4

.Equazione cartesiana della retta

Sia B = {e1, e2} la base canonica di R2 cos che un punto P possa esprimersi con coordinatecartesiane (x, y) rispetto al riferimento (O,E1, E2).

Denotiamo PQ la retta definita dai punti P e Q. Si e visto nella proprieta 1) che se P = p eQ = q, si ha PQ = p+ < q p >. Sia P = (p1, p2), Q = (q1, q2).Lequazione cartesiana della retta PQ si ottiene (come gia visto per un iperpiano nella dimensionen) dal considerare la condizione a cui deve soddisfare un punto (x, y) perche appartenga al lateralePQ = p+ < qp > che si traduce nella det((xp1yp2) (q1p1q2p2))t = 0, da cui espandendoil determinante, si ottiene:

x p1q1 p1 =

y p2q2 p2

che e una forma cartesiana della retta per due punti, usabile se q1 p1, q2 p2 6= 0.Oppure si perviene allequazione

(q2 p2)x (q1 p1)y p1q2 + p2q1 = 0

ove (q2 p2, q1 p1) 6= (0, 0).Poiche < q p >=< (q p) > con R, si ottiene in generale una equazione lineare del tipo

ax+ by + c = 0

con (a, b) 6= (0, 0), che e definita a meno di fattori R.Notare che una retta parallela alla retta PQ e del tipo u+ < q p > quindi da luogo ad unaequazione cartesiana del tipo

ax+ by + c = 0

ove (a, b) = (a, b).

E evidente, viceversa, che da una equazione cartesiana ax+ by + c = 0 con (a, b) 6= (0, 0) si puodeterminare un laterale (retta) del tipo u+ < v > ove v = (b, a) e (u1, u2) e una qualunquesoluzione di ax+ by = c.

Rette di equazione particolare

Si noti che ogni retta del tipo < m > contiene il punto (0, 0)Consideriamo le due rette OE1 =< e1 > e OE1 =< e1 >.Si ha OE1 = {(1, 0)| R}, OE2 = {(0, 1)| R} quindi la retta OE1 ha equazione cartesiana

y = 0

e la retta OE2 ha equazione cartesianax = 0.

5

.Entrambe le rette contengono il punto O = (0, 0) denominato origine del riferimeno. Le rettey = 0, x = 0 si chiamano asse delle x e asse delle y, rispettivamente.Comunque si sceglie il punto P P , per P passa lunica parallela rx alla retta asse delle y cheinterseca lasse delle x in un punto Px = (x, 0) e la unica parallela ry alla retta asse delle xche interseca quindi lasse delle y nel punto Py = (0, y). Quindi il punto P ha necessariamentecoordinate (x, y).Da qui anche la denominazione di assi di riferimento per le due rette asse x e asse y e originedel riferimento per il punto O.Si verifica subito che una rette parallela allasse delle x ha equazione y = h, h R e una rettaparallela allasse delle y ha equazione x = k, k R.Una retta non parallela allasse delle y ha quindi equazione ax + by + c = 0 con b 6= 0, per cuipuo essere scritta y = a

bx c

b, ove a

be denominato coefficiente direttore della retta.

In conclusione quindi linsieme R delle rette del piano puo essere rappresentato dalle equazioni

x = k, y = mx+ h

al variare di k,m, h R.Si e visto che due rette sono parallele precisamente quando sono i laterali (ovvero, i traslati) diuno stesso sottospazio < u >.Da quanto sopra detto segue che una retta parallela alla retta di equazione cartesiana ax+by+c =0 ha equazione ax + by + c = 0, alla retta di equazione cartesiana y = mx + h ha equazioney = mx+ h.

Siano assegnate due rette di equazioni ax+ y + c = 0, ax+ by + c = 0.

Per definire le mutue posizioni, va quindi discusso il determinante della matrice M =

(a ba b

)dei coefficienti del sistema. Due casi possono accadere:

detM 6= 0 oppure detM = 0.Se detM 6= 0, il sistema e di Cramer e ha una sola soluzione P = (x, y), ovvero le due rette siincidono nel punto P .Se detM = 0, il sistema ammette tutte le soluzioni o nessuna a seconda che il rango rank M

della matrice completa M =(a b ca b c

)e 1 oppure 2.

Se rankM = 1 allora (a, b, c) = (a, b, c) per cui le due rette coincidono (e quindi sono paral-lele).Se rankM = 2, il sistema non ammette soluzioni, le due rette sono distinte e sono parallele nonnavendo punti a comune.

Si definisce fascio improprio linsieme delle rette parallele ad una retta assegnata, fascio propriolinsieme delle rette per un punto P0.Se un fascio e assegnato mediante le equazioni di due rette ax + by + c = 0, ax + by + c = 0allora

(a+ a)x+ (b+ b)y + (c+ c) = 0

6

e lequazione della generica retta del fascio.

Il gruppo delle affinita del piano pi = AG(2,R)

DEFINIZIONE 2 - Una affinita del piano pi = AG(2,R) e una biiezione dellinsieme Pdei punti, che trasforma biunivocamente linsieme R delle rette conservando lincidenza e ilparallelismo.Sia T il gruppo delle traslazioni di R2 e sia G = GL(2, R) il gruppo degli automorfismi linearidi R2.Sia = a f ove a T, f G.

PROPOSIZIONE 1 - = a f e una affinita di pi.Dimostrazione.

Essendo composizione di biiezioni sullinsime P , e una biiezione di P . La sua azione su unpunto P = p e la seguente: (P ) = a(f(p)) = f(p) + a.Sia r = u+ < m > una retta. Si ha (r) = ({u + m| R} = {f(u) + a + f(m)| R} = f(u) + a+ < f(m) >. Quindi limmagine di una retta e una retta. Quindi punti incidentiuna retta vengono trasformati in punti incidenti la retta trasformata. Facile provare che e unabiizezione dellinsieme R.Siano r ed r due rette parallele, quindi si epsrimono r = u+ < m > ed r = v+ < m >.Si ha (r) = f(u) + a+ < f(m) > e (r) = f(v) + a+ < f(m) >, quindi (r) e parallela ad(r).

Definiamo Aff pi := T G = {a f |a T, f G}.PROPOSIZIONE 2 - Aff pi e il gruppo delle affinita di pi.La dimostrazione e omessa.

Rappresentazione in coordinate affini del gruppo Affpi

Dalla (P ) = f(p) + a, esprimendo sulla base prescelta per R2 P = (x, y), (P ) = (x, y),a = (h, k) ed f con la matrice invertibile (aij) si ottengono le seguenti due relazioni scalari incoordinate cartesiane: {

x = a11x+ a12y + hy = a21x+ a22y + k

.

Al variare di aij, h, k R le due relazioni rappresentano quindi, in coordinate cartesiane, ilgruppo Affpi.

Il sottogruppo T delle traslazioni e rappresentato da

{x = x+ hy = y + k

al variare di h, k R.Per ogni a T e a(P ) 6= P per ogni P P .Il sottogruppo D delle dilatazioni e rappresentato dalle

{x = kxy = ky

al variare di k R.Ogni trasformazione = f 0 = f fissa il punto O.E facile provare che mentre (T, ) e isomorfo ad (R2,+), (D, ) e isomorfo ad (R, ).

Ogni elemento Affpi puo riguardarsi sia come trasformazione di movimento del piano pirispetto ad un fissato riferimento, sia come coordinatizzazione del piano rispetto a riferimentidiversi. Il primo riferimento e (O,E1, E2) ed il secondo e (O

, E 1, E2). La (aij) e la matrice del

7

cambiamento di base da {e1, e2} a {e1, e2} e il vettore a = (h, k) della traslazione trasforma ilpunto O nel punto O.

8