Introduzione all’uso di Mathematica - Leaci.pdf

Introduzione all’uso di Mathematica c©

Antonio Leaci

24 marzo 2012

Dipartimento di Matematica e Fisica “Ennio De Giorgi”

In questo file e inclusa una vecchia e breve introduzione a Mathematica 5 che non e stata modificata.

Nel frattempo, oltre ad essere cambiata la denominazione del Dipartimento di cui faccio parte, e stata

rilasciata la versione Mathematica 8.

Oltre a questa pagina iniziale, ho aggiunto una brevissima appendice su alcune funzionalita introdotte

con Mathematica 8

Universita del Salento

Introduzione aMathematica

Antonio Leaci

Dipartimento di Matematica “Ennio De Giorgi”

N.B. Questo file è stato generato “quasi” automaticamente daMathematicaa partire da un notebook (estensione.nb, in parte presente su questa pagina) ed elaborato con LATEX. Per leggere e modificare un notebook bisognautilizzareMathematicaoppure il Wolfram CDF Player scaricabile gratuitamente dalsito Wolfram.com . Invecequesto file .pdf si legge facilmente conAcrobat Reader. Potrebbero esserci delle incongruenze dovute a questipassaggi intermedi.

Questa introduzione è suddivisa in capitoli. Per aprire (o chiudere) ciascun capitolo (nel notebook) fare doppio-click sulla parentesi quadra azzurra all’estrema destra con freccetta. Le parentesi azzurre individuano le celle checontengono testo oppure comandi oppure output.

1. Osservazioni preliminari.

Queste brevi note rappresentano una introduzione molto sintetica all’uso del programmaMathematica. Lo scopoprincipale è di utilizzarlo come supporto allo studio di argomenti di matematica (analisi matematica, geometria,algebra lineare, probabilità e statistica, cenni di calcolo numerico, ecc.). Naturalmente questo non può sostituire lostudio teorico degli argomenti di matematica. Per fare un esempio concreto, il problema della ricerca del massimoo del minimo di una funzione di una o più variabili, non può prescindere dalla conoscenza e comprensione delTeorema di Weierstrass e delle sue estensioni, che sotto opportune ipotesi garantisce l’esistenza del massimo e delminimo di una funzione. Il programmaMathematicaci può solo aiutare ad individuare i candidati ad essere puntidi massimo o di minimo.Naturalmente sono disponibili molte risorse per imparare ad utilizzare il programma. Oltre a numerosi libri e arti-coli disponibili su Internet (in particolare sul sito dellaCasa produttrice www.wolfram.com), la principale risorsa,che consiglio vivamente di utilizzare, è l’ottimo help in linea, che si può consultare premendo il tasto F1 o dalmenù a tendina Help.

1

In esso è interamente contenuto il libro TheMathematicaBook di S.Wolfram, all’interno del quale si può efficace-mente navigare in base all’argomento a cui si è interessati.La sua lettura non è comunque particolarmente agevole,almeno per i principianti. Meglio all’inizio limitarsi a consultare la parte A Practical Introduction toMathematica.Molto più utili sono il Tour e le Demos da cui si possono apprendere interattivamente molti esempi di uso diMa-thematica. Inoltre è estremamente efficace l’elenco delle funzioni disponibili (Built-in) e dei Package di estensione(Adds-on), che sono organizzate per argomenti, e forniscono il nome e la descrizione dei comandi, con numerosiesempi di utilizzo, che possono essere “riciclati” per affrontare il problema in esame.Il programmaMathematicaè sostanzialmente un linguaggio di programmazione finalizzato alla manipolazione diespressioni, ma non entrerò nella discussione approfondita delle procedure di programmazione. Mi limiterò a se-gnalare il minimo indispensabile di concetti di programmazione e mi soffermerò sull’uso dei comandi tipicamentematematici.Concludendo questo primo paragrafo, faccio notare cheMathematica“parla” in inglese, dunque i comandi e l’helpsono in inglese. In particolare i comandi Built-in sono costituiti generalmente da intere parole (eventualmentecomposte) in inglese in cui ogni parola inizia con la letteramaiuscola e con gli argomenti delimitati da parentesiquadre. Fanno eccezione, ad esempio, il determinante (che si ottiene conDet[]) oppure la derivata (che si ottienecon D[] ) oppure i nomi delle funzioni matematiche (Sin[], Cos[], Tan[], ArcTan[], Exp[], ecc.). Il programmadistingue tra lettere maiuscole e minuscole, quindi ad esempio una funzionesin[] non è definita (potrebbe esse-re definita dall’utente, ma creerebbe una discreta confusione). Si consiglia di definire funzioni e variabili usandolettere minuscole, per evitare conflitti con eventuali funzioni o costanti predefinite, ad esempio con i numeriE,Pi,I)

2. Struttura del programma.

Il programmaMathematicanella versione per Windows si divide in due sottoprogrammi:il FrontEnd e il Kernel.

2

Con doppio-click sull’icona diMathematica, appare una schermata come quella precedente, la finestra bianca è ilfoglio in cui scrivere, mentre le due finestre sulla destra sichiamano palette e verranno illustrate in seguito.Il FrontEnd è sostanzialmente un programma di elaborazionetesti (ad esempio questa introduzione è scritta usan-do il FrontEnd, con l’opzione ottenuta dal menù a tendina Format/Style Sheet/Classroom) e serve a gestire l’In-put/Output verso il Kernel (che è la parte del programma che effettivamente esegue i comandi). Per inserire leparti di testo si sceglie il menù a tendina Format/Style/Text, mentre per immettere i comandi si sceglie il menùFormat/Style/Input.Il FrontEnd permette di salvare i risultati ottenuti durante una sessione di lavoro in file detti Notebook, che hannoestensione .nb. Si usa il menù File/Save As e si assegna un nome. Ad esempio il file che contiene queste note sichiama Introduzione.nb.Il Kernel è un manipolatore di espressioni ed esegue i comandi provenienti dal FrontEnd, producendo espressioni,numeri, grafici, suoni, animazioni.Prima osservazione importante: per inviare un comando al Kernel bisogna premere contemporaneamenteMaiuscola+Invio .Il solo tasto Invio serve solo per andare a capo nella scrittura del testo in un Notebook.

Schema di funzionamento del programma

UtenteFrontEnd Notebook.nb

Kernel

La figura precedente è stata ottenuta con i comandi che seguono, per il momento piuttosto misteriosi, che potetetranquillamente ignorare. Notate solo che i grafici vengonocreati uno per volta e assegnati ad una variabile. Poisono messi insieme con il comandoShow[].

3

In[1]:= << Graphics‘Arrow‘

g1 = Graphics [Circle [0, 0.5, 0.4],Text [¢¢Utente ¢¢,0, 0.5],

Arrow [0.6, 0.5,0.9, 0.5,HeadScaling ® Relative ],

AspectRatio ® Automatic ]

-Graphics-

g2 = Graphics [RGBColor [0.8, 0.8, 0.8],Rectangle [1, 0.3,2,1],

RGBColor [0.8, 0.8, 0.8],Rectangle [2.5, 0.3,3.7, 1],

RGBColor [0.8, 0.8, 0.8],Rectangle [1,-1,2,-0.3],RGBColor [0, 0,0],

Text [¢¢FrontEnd ¢¢,1.5, 0.6],Text [¢¢Notebook .nb¢¢,3.1, 0.6],

Text [¢¢Kernel ¢¢,1.5,-0.6],

Arrow [2.1, 0.5,2.4, 0.5,HeadScaling ® Relative ],

Arrow [1.3, 0.2,1.3,-0.2,HeadScaling ® Relative ],

Arrow [1.6,-0.2,1.6, 0.2,HeadScaling ® Relative ],

AspectRatio ® Automatic ]

-Graphics-

Show[g1,g2,PlotLabel ®¢¢ Schema di funzionamento del programma ¢¢]

-Graphics-

3. Calcolo numerico e calcolo simbolico.

Il programmaMathematica(analogamente ad altri programmi simili comeDeriveo Maxima, quest’ultimo libera-mente scaricabile da Internet) è un sistema integrato di calcolo simbolico, di grafica bidimensionale e tridimensio-nale, di manipolazione di espressioni e di dati.Qual è la differenza con un tradizionale sistema di calcolo?Un qualunque linguaggio di programmazione (C, C++, Java, Pascal, Fortran, ecc.) o programmi come il fogliodi calcolo Excel e il potente programma di calcolo numerico Matlab, forniscono come risultato del calcolo, adesempio, di 1/3 o di radice quadrata di 2 i numeri 0.33333333333333 oppure 1.41421356237310, o ancora comevalore di 280 il numero 1.208925819614629e+024, dunque un numero costituito al massimo da 16 cifre decimali(la mantissa) e una potenza 10p (la caratteristica) con un esponentep che varia generalmente tra -308 e 308. Nu-meri più grandi generano l’errore diOverflow. Inoltre i linguaggi di programmazione o i programmi di calcolonumerico non consentono di effettuare calcoli letterali, ottenendo ad esempio come derivata dell’espressionexn

l’espressionen xn-1.Il programmaMathematicaè pensato per lavorare con espressioni e non con numeri. Eccoalcuni esempi di calcolidal risultato molto differente da quelli ottenuti in precedenza. (Le celle con sfondo beige sono celle di input e daesse, premendo Maiuscola+Invio, si invia un comando al Kernel. Le celle con sfondo rosacontengono l’output).

In[2]:= 1/3

Out[2]=1

3

In[3]:= Sqrt [2]

Out[3]=0

2

In[4]:= 2ˆ80

Out[4]= 1208925819614629174706176

In[5]:= 100!

Out[5]= 933262154439441526816992388562667004907159682643816 21468592963895217599993229

915608941463976156518286253697920827223758251185210 91686400000000000000000000

4

Osserviamo che il simbolo% si riferisce all’ultimo Output ottenuto e la funzioneN[] fornisce un’approssimazionenumerica con un numero di cifre da scegliere. Ad esempio l’approssimazione di100! con 20 cifre è

In[6]:= N[%, 20]

Out[6]= 9.332621544394415268 ´ 10157

4. Una premessa fondamentale: le parentesi.

In Mathematicaesistono 4 tipi di parentesi, e ciascuna di esse svolge un ruolo ben preciso: parentesi quadre [ ],tonde ( ), graffe , doppie quadre [[ ]]. Non si può fare confusione sul loro uso.

1) Parentesi quadre.

Le abbiamo già usate in precedenza. Si ottengono premendo contemporaneamente AltGr+[ oppure AltGr+].Servono esclusivamente per indicare l’argomento delle funzioni (già predefinite o definite da noi). Ad esempio

In[7]:= Exp[1 + Log[2]]

Out[7]= ã1+Log[2]

(notate che l’espressione non è stata semplificata)

In[8]:= Simplify [%]

Out[8]= 2ã

2) Parentesi tonde.

Le parentesi tonde servono per stabilire le precedenze nell’esecuzione di calcoli, e si possono annidare a piacere.Ad esempio:

In[9]:= (1 + 3)ˆ2 /3 + 1

Out[9]=19

3

In[10]:= (1 + 3)ˆ (2/3) + 1

Out[10]= 1 + 2 21/3

In[11]:= (2 + Sqrt [2])/2 * 3

Out[11]=3

2J2 +

02N

In[12]:= (2 + Sqrt [2])/(2 3)

Out[12]=1

6J2 +

02N

Osserviamo che le usuali operazioni di addizione, moltiplicazione, divisione ed elevamento a potenza si ottengonocon+ , * oppure uno spazio, / e ˆ . Come si è visto in precedenza, bisogna fare attenzione all’uso delle parentesitonde. Per esempio:

In[13]:= ((1 + x) * (1 - x) + 1)/(xˆ2 + 3) * (x + 7)

Out[13]=(7 + x) (1 + (1 - x) (1 + x))

3 + x2

Naturalmente è utile assegnare un nome ad un’espressione calcolata. Per esempio assegniamo alla lettera fl’espressione precedente:

In[14]:= f = %

Out[14]=(7 + x) (1 + (1 - x) (1 + x))

3 + x2

5

Da ora in poi la lettera f contiene tale espressione.

In[15]:= f

Out[15]=(7 + x) (1 + (1 - x) (1 + x))

3 + x2

Se ne può calcolare facilmente la derivata:

In[16]:= D[f , x]

Out[16]= -2 x (7 + x)

3 + x2 -2 x (7 + x) (1 + (1 - x) (1 + x))

(3 + x2)2 +

1 + (1 - x) (1 + x)

3 + x2

Per semplificare un’espressione basta dare il comando


Out[17]= --6 + 70 x + 11 x 2 + x4

(3 + x2)2

Per liberare la lettera f basta porre

In[18]:= f = .

Ora la lettera f indica solo se stessa

In[19]:= f

Out[19]= f

3) Parentesi graffe.

Le parentesi graffe servono per creare liste ordinate. Si ottengono premendo contemporaneamente Maiusc+AltGr+[oppure Maiusc+AltGr+]. Assegniamo un nome ad una lista:

In[20]:= lista = 2, 5,2,a, xˆ2

Out[20]= 2, 5,2,a, x2

In particolare i vettori sono liste e le matrici sono liste diliste.

Creiamo due vettori e una matrice:

In[21]:= v1 = 1,-1,-2, 3

Out[21]= 1,-1,-2, 3

In[22]:= v2 = 2,-1,4, 3

Out[22]= 2,-1,4, 3

In[23]:= m= 1, 2,-3, 4,2, 1,1,5

Out[23]= 1, 2,-3, 4,2, 1,1, 5

Per visualizzare una matrice nella forma tradizionale basta dare il comando:

In[24]:= MatrixForm [m]

Out[24]= K1 2 -3 42 1 1 5

Ooppure

In[25]:= m//MatrixForm

Out[25]= K1 2 -3 42 1 1 5

OQuest’ultima si chiama forma infissa del comando.

Si può calcolare il prodotto scalare tra vettori o il prodotto matrice per vettore usando l’operatore punto. .

6

In[26]:= v1.v2

Out[26]= 4

In[27]:= m.v1//MatrixForm

Out[27]= K1714O

In[28]:= v1.m

Dot :: dotsh : Tensors 1,-1,-2, 3 and

1, 2,-3, 4,2, 1, 1, 5 have incompatible shapes. More¼

Out[28]= 1,-1,-2, 3.1, 2,-3, 4,2, 1,1, 5

Notiamo che il programma,contrariamente alle usuali regole, ha moltiplicato tra loro due vettori riga, e una matrice2x4 per un vettore riga 1x4, mentre la moltiplicazione a sinistra ha prodotto un messaggio di errore. All’occorrenzadispone comunque del comandoTranspose[].

In[29]:= v1.Transpose [m]

Out[29]= 17, 14

In seguito torneremo brevemente sull’algebra lineare.

4) Doppie parentesi quadre.

Servono per estrarre gli elementi dalle liste. Ad esempio:

In[30]:= lista [[4]]

Out[30]= a

In[31]:= m[[1]][[3]]

Out[31]= -3

Abbiamo ottenuto l’elemento nella prima riga e terza colonna della matricem . Estraiamo una sottomatrice 22:

In[32]:= m//MatrixForm

Out[32]= K1 2 -3 42 1 1 5

OIn[33]:= m[[1]][[1, 2]],m[[2]][[1, 2]]

Out[33]= 1, 2,2,1

In[34]:= Det [%]

Out[34]= -3

Diamo un nome alla sottomatrice 22 (notate l’uso del doppio % per fare riferimento al penultimo Output)

In[35]:= mm= %%

Out[35]= 1, 2,2,1

In[36]:= b = 2,3

Out[36]= 2, 3

Possiamo risolvere il sistema lineare con matrice dei coefficienti mm e termine noto b :

In[37]:= x = LinearSolve [mm,b]

Out[37]= :4

3,

1

3>

Facciamo la verifica:

In[38]:= mm.x

Out[38]= 2, 3

7

5. Altra premessa fondamentale: l’uguaglianza.

In Mathematicaesistono 3 tipi di uguaglianza: la definizione, la definizione differita, l’uguaglianza in una equa-zione. Anche qui non si può fare confusione sul loro uso.

1) Definizione.

L’ abbiamo già usata in precedenza e si ottiene con= . L’espressione a sinistra diventa immediatamente uguale aciò che compare a destra:

In[39]:= f = (xˆ2 - 1)ˆ2

Out[39]= (-1 + x2)2

Se assegniamo il valore 2 alla variabilex

In[40]:= x = 2

Out[40]= 2

l’espressionef diventa

In[41]:= f

Out[41]= 9

Se liberiamo la variabilex

In[42]:= x = .

In[43]:= f

Out[43]= (-1 + x2)2

2) Definizione differita.

Si ottiene con il simbolo:= . L’espressione a sinistra non diventa immediatamente uguale a ciò che comparea destra ma viene valutata di volta in volta quando viene richiamata. Notate cheh è definita immediatamentementreg è definita in maniera differita e osservate la differenza di funzionamento.

In[44]:= h = D[f , x]

Out[44]= 4 x (-1 + x2)

In[45]:= g := D[f , x]

Come vedete manca l’output. Adesso richiamiamog

In[46]:= g

Out[46]= 4 x (-1 + x2)

Modifichiamo f

In[47]:= f = fˆ2

Out[47]= (-1 + x2)4

In[48]:= h

Out[48]= 4 x (-1 + x2)

è la derivata della vecchiaf

In[49]:= g

8

Out[49]= 8 x (-1 + x2)3

è la derivata della nuovaf

La definizione differita è molto utile, come vedremo su esempi più significativi (per esempio per scrivere uncomando che calcola la lunghezza di una curva o l’area di una superficie).

3) Uguaglianza in un’equazione.

Si ottiene con il simbolo== (due segni= consecutivi). Questo simbolo è un operatore logico, infatti si ottiene

In[50]:= 2 == 3

Out[50]= False

In[51]:= 3 == 3

Out[51]= True

Serve per formulare (e risolvere) un’equazione o un sistemausando per esempio il comandoSolve[,] . Perrisolvere un’equazione, assicuriamoci prima che il simbolo x sia libero

In[52]:= x = .

In[53]:= Solve [2xˆ2 + 3x - 2 == 0, x]

Out[53]= :x ® -2,:x ®1

2>>

Le soluzioni sono date sotto forma di “regola di sostituzione” per la variabile x, che rimane non assegnata. Perassegnare le soluzioni a due variabili si può usare la regoladi sostituzione ottenuta, che è fatta da due parti e siattiva mediante il comando/.

In[54]:= x/.%

Out[54]= : - 2,1

2>

In[55]:= a, b = %

Out[55]= : - 2,1

2>

adessoa eb sono le due soluzioni.

Facciamo la verifica (il simbolo “freccia” si ottiene scrivendo->):

In[56]:= 2xˆ2 + 3x - 2/.x ® a

Out[56]= 0

In[57]:= 2xˆ2 + 3x - 2/.x ® b

Out[57]= 0

Naturalmente dal Teorema di Ruffini segue, usando il comandoExpand[] per sviluppare il prodotto:

In[58]:= Expand [2(x - a)(x - b)]

Out[58]= -2 + 3 x + 2 x 2

Per risolvere un sistema dobbiamo dare le liste delle equazioni e delle incognite.

In[59]:= Solve [xˆ2 + yˆ2 == 4,2x - 3y == 1,x, y]

Out[59]= ::x ®1

13J2 - 3

051N, y ®

1

13J - 3 - 2

051N>,

:x ®1

13J2 + 3

051N, y ®

1

13J - 3 + 2

051N>>

Sono state trovate due soluzioni (naturalmente!). Facciamo la verifica per la prima soluzione:

In[60]:= xˆ2 + yˆ2 /.%[[1]], 2x - 3y/.%[[1]]

9

Out[60]= : 1

169J2 - 3

051N2

+1

169J - 3 - 2

051N2

,2

13J2 - 3

051N - 3

13J - 3 - 2

051N>


Out[61]= 4, 1

Lo stesso controllo si può fare con la seconda soluzione.

6. Terza premessa: espressioni e funzioni.

Fino ad ora abbiamo sempre definito delle espressioni. Ad esempio in memoria abbiamo ancora l’espressione dif modificata

In[62]:= f

Out[62]= (-1 + x2)4

Se vogliamo valutarla nel punto x=2 dobbiamo usare una regola di sostituzione, come sempre mediante il comando/. ; si ottiene

In[63]:= f /.x ® 2

Out[63]= 81

Invece possiamo definire una funzione, data dalla stessa legge di f ma con una dipendenza esplicita dalla variabilex. Questo si ottiene indicandola a sinistra nella definizioneconx_ (x seguito dal simbolo “sottolineato” _ ). Primaliberiamo il simbolo g

In[64]:= g = .

In[65]:= g[x_] = f

Out[65]= (-1 + x2)4

Adesso possiamo calcolare il valore dig[x] molto facilmente

In[66]:= g[1], g[2], g[3]

Out[66]= 0, 81,4096

e anche delle sue derivate (con le funzioni basta usare l’apice per avere la derivata prima)

In[67]:= g¢[1], g¢[2], g¢[3], g¢[x]

Out[67]= :0, 432, 12288 , 8 x (-1 + x2)3>

Il comando apice però può dare risultati sbagliati nel caso in cui venga utilizzato per una funzione composta. In talcaso meglio utilizzareD[] .L’uso delle funzioni serve anche per scrivere “programmi” nel linguaggio diMathematica, ma questo è un argo-mento più avanzato.

7. Un po’ di Analisi Matematica.

Possiamo facilmente ottenere un’idea del grafico di|f’ |

In[68]:= Plot [Abs[D[f , x]]//Evaluate ,x,-2, 2]

10

-2 -1 1 2

1

2

3

4

Out[68]= -Graphics-

Notate la necessità del comando//Evaluateusato con la notazione infissa (cioè preceduto da//).

Se si evidenzia il grafico precedente e si scorre su di esso conil mouse, tenendo premuto il tasto Ctrl, nell’angoloin basso a sinistra si ottengono le coordinate del punto su cui il mouse passa.Calcolare la derivata di una espressione contenente il valore assoluto, fornisce invece un risultato poco manegge-vole:

In[69]:= D[Abs[f ], x]

Out[69]= 8 x Abs [-1 + x2]3

Abs¢[-1 + x2]

In[70]:= %/.x ® 1/2

Out[70]=27

16Abs¢B - 3

4F

In questo caso è più opportune definire due diverse espressioni di f, tenendo conto della definizione del valoreassoluto, e studiare le derivate di queste due espressioni separatamente.Cambiamo ora l’espressione inf

In[71]:= f = x/(1 + xˆ2 )

Out[71]=x

1 + x2

e diamo un nome alla derivata dif

In[72]:= fx = D[f , x]

Out[72]= -2 x 2

(1 + x2)2 +

1

1 + x2

In[73]:= fx = Simplify [%]

Out[73]=1 - x2

(1 + x2)2

Troviamo i punti in cui la derivata si annulla

In[74]:= pcrit = Solve [fx == 0, x]

Out[74]= x ® -1,x ® 1

e calcoliamo il valore dif in questi punti

In[75]:= f /.%

Out[75]= : - 1

2,

1

2>

Studiamo il segno della derivata prima. Per risolvere le disequazioni si usa il comandoReduce[]

In[76]:= Reduce[fx > 0, x]

11

Out[76]= -1 < x < 1

Calcoliamo la derivata seconda dif nei due punti critici. Notate la sintassi per derivaref rispetto ax due volte

In[77]:= D[f ,x, 2]

Out[77]= -4 x

(1 + x2)2 + x

æççççè

8 x 2

(1 + x2)3 -

2

(1 + x2)2

ö÷÷÷÷ø

In[78]:= %/.pcrit

Out[78]= :1

2,-

1

2>

Dunquex=-1 è un punto di minimo relativo perf, mentrex=1 è un punto di massimo relativo perf .

Possiamo cercare i punti di flesso e gli intervalli di convessità:

In[79]:= fxx = Simplify [D[fx , x]]

Out[79]=2 x (-3 + x2)

(1 + x2)3

In[80]:= Solve [fxx == 0, x]

Out[80]= :x ® 0,:x ® -0

3>,:x ®0

3>>In[81]:= Reduce[fxx > 0, x]

Out[81]= -0

3 < x < 0||x >0

3

Le doppie linee verticali significano “oppure” mentre il simbolo && significa “e”. Disegniamo contemporanea-mente il grafico dif (in blu) e della sua derivata (in rosso)

In[82]:= Plot [f , fx ,x,-5, 5,PlotStyle ® Hue[0.7],Hue[0.9]]

-4 -2 2 4

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Out[82]= -Graphics-

Attenzione all’uso del comandoPlot[] , potrebbe dare risultati inaspettati:

In[83]:= g = Abs[2 - ãˆSqrt [Log[x]]] - 1

Out[83]= -1 + AbsB2 - ã0

Log[x]FIn[84]:= Plot [g,x,-3,3]

12

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1

2

Out[84]= -Graphics-

Naturalmente il dominio dig è x³1 ma il comandoAbs[] ci ha consentito di passare dal campo complesso eritornare in campo reale.

8. Uso delle palette.

Nel margine destro della finestra figurano le palette (se non ci sono, la più utile si ottiene dal menù File/Palettes/BasicInput).Tramite esse si possono scrivere i comandi e le formule in maniera tradizionale. Basta premere sul simbolo che sivuole utilizzare. Per esempio un integrale definito:

In[85]:= à

â

A questo punto, posizionando il mouse sulle caselle vuote, si immettono le espressioni volute:

In[86]:= à3

0f âx

Out[86]=Log[10]

2

Naturalmente lo stesso risultato si ottiene immettendo il comando nel solito formato di input

In[87]:= Integrate [f ,x,0, 3]

Out[87]=Log[10]

2

Ancora usando la palette otteniamo l’integrale indefinito di f:

In[88]:= à f âx

Out[88]=1

2Log[1 + x2]

9. Altri problemi di Analisi Matematica.

Possiamo calcolare il limite dif perx->+Infinity

In[89]:= Limit [f , x ® +¥]

Out[89]= 0

Possiamo ottenere la formula di Taylor di una funzione nel puntox=0 di grado10

13

In[90]:= Series [Tan[xˆ2 ],x, 0,10]

Out[90]= x2 +x6

3+

2 x 10

15+O[x]11

Per avere solo il polinomio di Taylor si usa il seguente comando:

In[91]:= t = Normal [%]

Out[91]= x2 +x6

3+

2 x 10

15

Mostriamo il grafico della funzione e del polinomio di Taylorprecedente.

In[92]:= Plot [Tan[xˆ2 ], t ,x,-3, 3,PlotStyle ® Hue[0.3],Hue[0.7]]

-3 -2 -1 1 2 3

-20

-10

10

20

30

Out[92]= -Graphics-

Possiamo calcolare la somma di alcune serie (oppure di sommefinite). Usiamo il pulsante corrispondente nellapalette (il simbolo¥, si trova nella palette File/Palettes/BasicTypesetting).

In[93]:=

â=

Riempiamo le caselle vuote e premiamo come sempre Maiusc+Invio

In[94]:=¥

âk=1

k

2ˆk

Out[94]= 2

(chi ha studiato la serie geometrica e il teorema di derivazione per serie può controllare il risultato ottenuto)

In[95]:=¥

âk=1

1

k2

Out[95]=Π2

6

Oppure si può usare il comando

In[96]:= Sum[1/kˆ2 ,k, 1,¥]

Definiamo una funzione che dipende da due argomenti. Prima liberiamo il simbolof e il simboloa

In[97]:= f = .;a = .

In[98]:= f [a_, x_] = Sin [a x]

Out[98]= Sin [a x]

14

Diamo tre valori al parametroa e coloriamo i grafici usando questa volta il comandoRGBColor[„] che stabiliscele componenti di Rosso, Verde (Green) e Blu.

In[99]:= Plot [f [1, x], f [2, x], f [3, x],x, 0,2Π,

PlotStyle ® RGBColor [1, 0,0],RGBColor [0,1,0],RGBColor [0,0, 1],

Background ® RGBColor [1, 1,0]]

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

Out[99]= -Graphics-

Proviamo a calcolare l’integrale del prodotto di due funzioni con parametri diversi

In[100]:= Integrate [f [k, x] * f [h, x],x, 0,2Π]

Out[100]=Sin [2 (h - k) Π]

2 (h - k)-

Sin [2 (h + k) Π]

2 (h + k)

Semplifichiamo, aggiungendo l’informazione cheh e k sono numeri interi (usare la palette per l’appartenenza)

In[101]:= Simplify [%,h Î Integers , k Î Integers ,h ¹ k]

Out[101]= 0

In[102]:= Integrate [f [k, x] * f [k, x],x, 0,2Π]

Out[102]= Π -Sin [4 k Π]

4 k

In[103]:= Simplify [%,k Î Integers ]

Out[103]= Π

Liberiamo il simbolo della funzionef:

In[104]:= f = .

10. Un compito di Analisi Matematica (I anno).

Compito di Analisi Matematica

Lecce, 24 maggio 2010

15

1) Studiare la funzione

f (x) = x+1|x- 1|

2) Calcolare l’integrale

à3

0ãx0ãx - 1âx

3) Studiare la serie

¥

ân=1

n2n

4) Calcolare il seguente limite

limx®0

sinx- tanx

x3

5) Determinare il polinomio di Taylor centrato in x= 0 di grado 5 della funzione

f (x) =ãx log(1+ x)

cosx

Soluzione

1) Il dominio è R 1. Studiamo gli asintoti.

In[105]:= f [x_] = x + 1/Abs[x - 1]

Out[105]= x +1

Abs[-1 + x]

In[106]:= Limit [f [x], x ® +¥]

Out[106]= ¥

Cerchiamo l’asintoto obliquo.

In[107]:= Limit [f [x]/x, x ® +¥]

Out[107]= 1

In[108]:= Limit [f [x] - x, x ® +¥]

Out[108]= 0

La retta y= x è asintoto obliquo a destra.

In[109]:= Limit [f [x], x ® -¥]

Out[109]= -¥

In[110]:= Limit [f [x]/x, x ® -¥]

Out[110]= 1

In[111]:= Limit [f [x] - x, x ® -¥]

Out[111]= 0

La retta y= x è anche asintoto obliquo a sinistra. Calcoliamo ora i limiti destro e sinistro in x=1.

16

In[112]:= Limit [f [x], x ® 1,Direction ® -1]

Out[112]= ¥

In[113]:= Limit [f [x], x ® 1,Direction ® 1]

Out[113]= ¥

La retta x= 1 è asintoto verticale.Distinguiamo ora tra x> 1 e x< 1. Definiamo due funzioni.

In[114]:= f1 [x_] = x + 1/(x - 1)

Out[114]=1

-1 + x+ x

In[115]:= f1x = D[f1 [x], x]

Out[115]= 1 -1

(-1 + x)2

In[116]:= Together [%]

Out[116]=-2 x + x2

(-1 + x)2

In[117]:= Solve [f1x == 0, x]

Out[117]= x ® 0,x ® 2

Solo x= 2 è accettabile.

In[118]:= f1 [x]/.%

Out[118]= -1, 3

In[119]:= f1xx = D[f1 [x],x, 2]

General :: spell1 : Possible spelling error : new symbol name ¢¢f1xx¢¢ is similar to existing symbol ¢¢f1x¢¢.

Out[119]=2

(-1 + x)3

La derivata seconda è positiva, dunque x= 2 è punto di minimo relativo e la funzione è convessa per x> 1 .

In[120]:= f2 [x_] = x + 1/(1 - x)

Out[120]=1

1 - x+ x

In[121]:= f2x = D[f2 [x], x]

Out[121]= 1 +1

(1 - x)2

In[122]:= Together [%]

Out[122]=2 - 2 x + x2

(-1 + x)2

In[123]:= Solve [f2x == 0, x]

Out[123]= x ® 1 - ä,x ® 1 + ä

La derivata prima è positiva, dunque la funzione è crescentein (-¥,1)

In[124]:= f2xx = D[f2 [x], x, x]

General :: spell1 : Possible spelling error : new symbol name ¢¢f2xx¢¢ is similar to existing symbol ¢¢f2x¢¢.

Out[124]=2

(1 - x)3

La derivata seconda è positiva, dunque la funzione è convessa per x< 1 . Possiamo disegnare il grafico di f .

In[125]:= Plot [f [x], x,x,-10, 10,

PlotStyle ® Thickness [0.01],RGBColor [1, 0,0],

Thickness [0.01],RGBColor [0, 0,1],

PlotRange ® -10, 10,-10, 10,AspectRatio ® 1]

17

-10 -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

Out[125]= -Graphics-

(Per salvare un grafico, fare click su di esso e scegliere dal menù Edit/Save Selection As il formato grafico che sipreferisce: PostScript, Bitmap, ecc.)

2) Calcoliamo l’integrale

In[126]:= Integrate [Exp[x] * Sqrt [Exp[x] - 1],x, 0,3]

Out[126]=2

3(-1 + ã3)

3/2

3) La serie è a termini positivi. Usiamo il criterio del rapporto:

In[127]:= Limit [((n + 1)/2ˆ (n + 1))/(n/2ˆn ), n ® +¥]

Out[127]=1

2

Poiché il risultato è minore di 1, la serie converge. Calcoliamo la somma:

In[128]:= Sum[n/2ˆn ,n, 1,+¥]

Out[128]= 2

4) Calcoliamo il limite

In[129]:= Limit [(Sin [x] - Tan[x])/xˆ3 , x ® 0]

Out[129]= -1

2

5) Determiniamo il polinomio di Taylor

In[130]:= f [x_] = Exp[x] * Log[1 + x]/Cos[x]

Out[130]= ãx Log[1 + x] Sec[x]

In[131]:= Series [f [x],x, 0,5]

Out[131]= x +x2

2+

5 x 3

6+

x4

4+

9 x 5

20+O[x]6

Consideriamo solo il polinomio

In[132]:= p = Normal [%]

Out[132]= x +x2

2+

5 x 3

6+

x4

4+

9 x 5

20

Confrontiamo la funzione (in rosso) con il polinomio (in blu).

In[133]:= Plot [f [x], p,x,-0.95, 0.95,

PlotStyle ® RGBColor [1,0, 0],RGBColor [0, 0,1]]

18

-0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75

-2

-1

1

2

3


11. Un compito di Analisi Matematica (II anno).

Compito di Analisi Matematica

Lecce, 24 maggio 2010

1) Sviluppare in serie di Fourier la funzione 2 - periodica definita in (0,2) daf(x) = x2

2) Determinare massimo e minimo della funzione

f (x) = x2 - 2y2 - 5xy

nell¢insiemex2 + y2 £ 1.

3) Risolvere il Problema di Cauchyy”[x] = 2 y’[x] - y[x], y[0] = 1, y’[0] = 2

4) Calcolare l’integrale triplo

Ù Ezâxâyâz

dove E= x2+y2+z2 £ 1, x2+y2 £ z2, z ³ 0

5) Calcolare la lunghezza della curva (elica)j(t) =(3cos t, 3sen t, t), t Î [0,6 Π].

6) Calcolare l’area della superficiej(u,v)= (u + v, u - v, u v) su u2 +v2 £ 1.

Soluzione

1) Determiniamo la serie di Fourier.

In[134]:= T = 2

Out[134]= 2

In[135]:= Ω = 2Π/T

Out[135]= Π

In[136]:= f [x_] = xˆ2

Out[136]= x2

In[137]:= a[0] =2

T àT

0f [x]âx

Out[137]=8

3

19

In[138]:= a[h_] = Simplify B2

T àT

0f [x]Cos[h Ω x]âx, h Î Integers F

(nel comandoSimplify[] abbiamo aggiunto l’informazione fondamentale che h è un numero intero).

Out[138]=4

h2 Π2

In[139]:= b[h_] = Simplify B2

T àT

0f [x]Sin [h Ω x]âx, h Î Integers F

Out[139]= -4

h Π

Formiamo una somma parziale della serie di Fourier (il puntoe virgola alla fine del comando serve per evitare lavisualizzazione di un lungo output)

In[140]:= s[x_] = a[0]/2 + Sum[a[h] * Cos[h Ω x] + b[h] * Sin [h Ω x],h,1, 100];

In[141]:= Plot [s[x]//Evaluate ,x,-4.2, 4.2]

-4 -2 2 4

1

2

3

4


2) Studiamo la funzione, cominciando a cercare i punti critici.

In[142]:= f [x_, y_] = xˆ2 - 2yˆ2 - 5 x y

Out[142]= x2 - 5 x y - 2 y 2

Possiamo calcolare il gradiente dif[x,y] e trovare i punti critici dif

In[143]:= gr = D[f [x, y], x],D[f [x, y], y]

Out[143]= 2 x - 5 y,-5 x - 4 y

In[144]:= pcrit = Solve [gr == 0,x, y]

Out[144]= x ® 0, y ® 0

Calcoliamo il valore dif nel punto trovato

In[145]:= f [x, y]/.pcrit

Out[145]= 0

Calcoliamo la matrice hessiana dif:

In[146]:= H= D[f [x, y], x, x],D[f [x, y], x, y],

D[f [x, y], y, x],D[f [x, y], y, y]Out[146]= 2,-5,-5,-4

Calcoliamo il determinante diH nei punti critici

In[147]:= Det [H]/.pcrit

Out[147]= -33

Dunque il punto(0,0) è di sella.Per trovare i punti di massimo e di minimo assoluto nel cerchio di centro l’origine e raggio 1 (che esistonoper il Teorema di Weierstrass) usiamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per esaminare la circonferenza.Definiamo

20

In[148]:= L[x_, y_,Λ_] = f [x, y] - Λ(xˆ2 + yˆ2 - 1);

e risolviamo il sistema

In[149]:= pvinc =

FullSimplify [

Solve [D[L[x, y,Λ], x] == 0,D[L[x, y,Λ], y] == 0,

D[L[x, y,Λ],Λ] == 0,x, y,Λ]]

Out[149]= ::Λ ® 1

2J - 1 -

034N, x ® -

21

2-

3

20

34, y ® -

21

2+

3

20

34>,

:Λ ® 1

2J - 1 -

034N, x ®

21

2-

3

20

34, y ®

21

2+

3

20

34>,

:Λ ® 1

2J - 1 +

034N, x ® -

21

2+

3

20

34, y ®

21

2-

3

20

34>,

:Λ ® 1

2J - 1 +

034N, x ®

21

2+

3

20

34, y ® -

21

2-

3

20

34>>

Abbiamo ottenuto quattro punti critici vincolati. Diamogli un nome.

In[150]:= a1 = x/.pvinc [[1]], b1 = y/.pvinc [[1]],

a2 = x/.pvinc [[2]], b2 = y/.pvinc [[2]],

a3 = x/.pvinc [[3]], b3 = y/.pvinc [[3]],

a4 = x/.pvinc [[4]], b4 = y/.pvinc [[4]]

Out[150]= :: -2

1

2-

3

20

34,-

21

2+

3

20

34>,:2

1

2-

3

20

34,

21

2+

3

20

34>,

: -2

1

2+

3

20

34,

21

2-

3

20

34>,:2

1

2+

3

20

34,-

21

2-

3

20

34>>

Calcoliamo il valore dif nei punti trovati

In[151]:= f [x, y]/.pvinc

Out[151]= :1

2-

3

20

34- 2æççççè

1

2+

3

20

34

ö÷÷÷÷ø- 5

3æççççè

1

2-

3

20

34

ö÷÷÷÷ø

æççççè

1

2+

3

20

34

ö÷÷÷÷ø,

1

2-

3

20

34- 2æççççè

1

2+

3

20

34

ö÷÷÷÷ø- 5

3æççççè

1

2-

3

20

34

ö÷÷÷÷ø

æççççè

1

2+

3

20

34

ö÷÷÷÷ø,

1

2+

3

20

34- 2æççççè

1

2-

3

20

34

ö÷÷÷÷ø+ 5

3æççççè

1

2-

3

20

34

ö÷÷÷÷ø

æççççè

1

2+

3

20

34

ö÷÷÷÷ø,

1

2+

3

20

34- 2æççççè

1

2-

3

20

34

ö÷÷÷÷ø+ 5

3æççççè

1

2-

3

20

34

ö÷÷÷÷ø

æççççè

1

2+

3

20

34

ö÷÷÷÷ø>

Calcoliamo il valore approssimato dif

In[152]:= N[%]

Out[152]= -3.41548 ,-3.41548 , 2.41548 , 2.41548

In conclusione i punti di minimo e di massimo assoluto si trovano sulla frontiera e sono rispettivamente

In[153]:= a1,b1,a2,b2

Out[153]= :: -2

1

2-

3

20

34,-

21

2+

3

20

34>,:2

1

2-

3

20

34,

21

2+

3

20

34>>

21

In[154]:= a3,b3,a4,b4

Out[154]= :: -2

1

2+

3

20

34,

21

2-

3

20

34>,:2

1

2+

3

20

34,-

21

2-

3

20

34>>

In[155]:= Plot3D [f [x, y],x,-3, 3,y,-3,3,

PlotLabel - >¢¢ Grafico di f (x, y)¢¢]

Grafico di f x,y

-2

0

2-2

0

2-40-20

020

-2

0

2

( )

Out[155]= -SurfaceGraphics-

Questo grafico è nel quadrato di lato 6. Per avere il grafico nelcerchio di raggio 1 dobbiamo descriverlo come unasuperficie utilizzando le coordinate polari

In[156]:= ParametricPlot3D [r * Cos[Θ], r * Sin [Θ], f [r * Cos[Θ], r * Sin [Θ]],

r , 0,1,Θ, 0,2Π,PlotPoints ® 20, 30]

-1 -0.50

0.51

-1-0.5

00.5

1

-2

0

2

-0.500.5

1

Out[156]= -Graphics3D-

(naturalmente è cambiata la scala del grafico)

3) Risolviamo il Problema di Cauchy con il comandoDSolve[]

In[157]:= DSolve [y ¢¢[x] == 2y ¢[x] - y[x], y[0] == 1, y ¢[0] == 2, y[x], x]

Out[157]= y[x] ® ãx (1 + x)

Anche questa volta la soluzione è una regola di sostituzione. Per ottenere la funzione che risolve il P.d.C. usiamoun altro simbolo

In[158]:= h[x_] = y[x]/.%

Out[158]= ãx (1 + x)

In[159]:= Plot [h[x],x,-2, 2]

22

-2 -1 1 2

2

4

6

8

10


Questo problema sarebbe stato più difficile, anche se dalla teoria conosciamo il metodo per trovare la soluzione(basta cambiare opportunamente la variabile indipendentee quella dipendente):

In[160]:= DSolve [y ¢[x] == (x + y[x] + 1)/(x + 2y[x] + 2), y[1] == 1, y[x],

x]

Solve :: tdep : The equations appear to involve the variables

to be solved for in an essentially non - algebraic way.

Out[160]= Solve B - ArcTanh B02 (1+y[x])x F0

2+

1

2Log[2 - x2 + 4 y[x] + 2 y[x]2] ==

-ArcTanh B2

02F0

2+

Log[7]

2,y[x]F

Il programma non è riuscito a trovare la soluzione.

4) Usiamo le coordinate cilindriche. Dobbiamo risolvere l’uguaglianzax2+y2 =1- (x2+y2) quindi Ρ2= 1

2.

Allora, inserendo il determinante dello jacobiano, e usando la formula di riduzione (la prima variabile vieneintegrata per ultima)

In[161]:= Integrate [z * Ρ,J, 0,2 Π,Ρ, 0,1/Sqrt [2],z,Ρ,Sqrt [1 - Ρˆ2 ]]

Out[161]=Π

8

5) Definiamo una funzione che calcola la lunghezza di una arbitraria curva (notate l’uso della definizione differita,altrimenti il comando non funzionerebbe!).

In[162]:= lung [curv_ ,a_,b_] :=

Integrate [Simplify [Sqrt [D[curv , t ].D[curv , t ]]],t , a,b]

Utilizziamo la funzione sulla curva assegnata:

In[163]:= j[t_ ] = 3 Cos[t ], 3 Sin [t ], t

Out[163]= 3 Cos[t ], 3 Sin [t ], t

In[164]:= lung [j[t ], 0, 6Π]

Out[164]= 60

10 Π

Disegniamo il sostegno della curva

In[165]:= ParametricPlot3D [j[t ]//Evaluate ,t , 0,6Π]

23

-20

2

-20

2

0

5

10

15

-20

2


Notate che la funzione permette anche di calcolare la lunghezza di una curva piana.

In[166]:= j[t_ ] = 2 Cos[t ] ,2 Sin [t ]

Out[166]= 2 Cos[t ], 2 Sin [t ]

In[167]:= lung [j[t ], 0, 2Π]

Out[167]= 4 Π

6) Per calcolare integrali superficiali importiamo un Package che permette di calcolare il prodotto vettoriale

In[168]:= << Calculus‘VectorAnalysis‘

Definiamo (la superficie dovrà sempre essere espressa mediante le variabili (u,v) in un dominio rettangolare)

In[169]:= area [superf_ ,a_,b_, c_,d_] :=

Integrate [

FullSimplify [

Sqrt [CrossProduct [D[superf ,u],D[superf , v]].

CrossProduct [D[superf ,u],D[superf , v]]]],u, a,b,v, c, d]

Poiché il dominio è un cerchio dobbiamo usare le coordinate polari (ma le variabili debbono sempre chiamarsi(u,v) )

In[170]:= j[u_, v_] = u * Cos[v] + u * Sin [v], u * Cos[v] - u * Sin [v],

uˆ2 * Cos[v] * Sin [v]

Out[170]= u Cos[v] + u Sin [v], u Cos[v] - u Sin [v], u2 Cos[v] Sin [v]

In[171]:= area [j[u, v], 0,1,0,2Π]

Out[171]= 20

2æççççè-

20

2

3+0

3ö÷÷÷÷øΠ

In[172]:= ParametricPlot3D [j[u, v]//Evaluate ,u, 0,1,v,0, 2Π]

-1

0

1

-1

0

1

-0.5-0.25

00.25

0.5

-1

0

1

24


Usiamo lo stesso comando per calcolare l’area della superficie sferica di raggio R

In[173]:= j[u_, v_] = R* Cos[u] * Sin [v],R* Sin [u] * Sin [v],R* Cos[v]

Out[173]= R Cos[u] Sin [v],R Sin [u] Sin [v],R Cos[v]

In[174]:= area [j[u, v], 0,2Π, 0,Π]

Out[174]= 4 Π1

R4

Calcoliamo l’area del toro di raggi R> r e disegniamo il nastro di Moebius.

In[175]:= j[u_, v_] = (R+ r Cos [u])Cos[v],(R+ r Cos [u])Sin [v], r Sin [u]

Out[175]= (R+ r Cos [u]) Cos[v],(R+ r Cos [u]) Sin [v], r Sin [u]

In[176]:= Simplify [area [j[u, v], 0,2Π, 0,2Π],R> r > 0]

Out[176]= 4 Π2 r R

In[177]:= R= 3; r = 1;

In[178]:= ParametricPlot3D [j[u, v],u,0, 2Π,v,0,2Π,Axes ® False ]


In[179]:= j[u_, v_] = 2 Cos[u] + v * Cos[u] * Cos[u/2],

2 Sin [u] + v * Sin [u] * Cos[u/2], v * Sin [u/2]

Out[179]= :2 Cos[u] + v Cos Bu

2F Cos[u], 2 Sin [u] + v Cos Bu

2F Sin [u], v Sin Bu

2F>

In[180]:= ParametricPlot3D [j[u, v],u,0, 2Π,v,-1, 1,Axes ® False ]


25

12. Grafici, animazioni, suoni.

Abbiamo già visto come produrre vari grafici. Nell’help potete trovare molti altri esempi. I grafici si possonoanche sovrapporre. Mostriamo una sfera e un piano.

In[181]:= g1 = ParametricPlot3D [Sin [Φ]Cos[J],Sin [Φ]Sin [J],Cos[Φ],

Φ, 0,Π,J, 0,2Π,Axes ® False ]


In[182]:= g2 = Plot3D [x - y,x,-1, 1,y,-1,1,Axes ® False ]

Out[182]= -SurfaceGraphics-

In[183]:= Show[g1,g2]

26


Si possono ottenere anche superfici in forma implicita. Per questo bisogna importare un apposito Package usandoil seguente comando:

In[184]:= << Graphics‘ContourPlot3D‘

In[185]:= g1 = ContourPlot3D [xˆ2 + yˆ2 + zˆ2 - 4,x,-2,2,y,-2,2,

z,-2, 2]


In[186]:= g2 = ContourPlot3D [(x - 1)ˆ2 + yˆ2 - 1,x, 0,2,y,-1, 1,z,-2, 2]

27


In[187]:= Show[g1,g2]


Vediamo come ottenere delle animazioni. Facciamo scorrereuna circonferenza su una retta. Un punto dellacirconferenza percorre una curva detta cicloide, che ha molte proprietà interessanti (scrivo solo i comandi da dare,non possiamo vedere il risultato!).

In[188]:= Do[

grafico = ParametricPlot [t - Sin [t ], 1 - Cos[t ],t , 0, x,

PlotStyle ® GrayLevel [0.7],Thickness [0.005],

RGBColor [0, 0,1],AspectRatio ® Automatic ,

ImageSize ® 500, 200,PlotRange ® -1, 10,-1, 2.5,

DisplayFunction ® Identity ];

grafico1 = ParametricPlot [x + Cos[t ], 1 + Sin [t ],t , 0,2Π,

PlotStyle ® GrayLevel [0.7],Thickness [0.005],

RGBColor [0, 0,1],AspectRatio ® Automatic ,

ImageSize ® 500, 200,PlotRange ® -1, 10,-1, 2.5,

DisplayFunction ® Identity ];

punto1 = Graphics [RGBColor [1, 0,0],PointSize [0.015],

Point [x - Sin [x], 1 - Cos[x]]];

linea1 = Graphics [RGBColor [1, 0,0],Thickness [0.005],

Line [x - Sin [x], 1 - Cos[x],x,1]];

mov[x] = Show[grafico ,grafico1 ,punto1 , linea1 ,

DisplayFunction ® $DisplayFunction ],x, 0.01, 9, 0.1]

Per vedere l’animazione, fare doppio click sull’immagine.Per fermarla fare un altro click.

Un’altra animazione che simula le oscillazioni di una membrana elastica.

In[189]:= f [x_, y_,a_, t_ ] := Cos[t ] * Sin [a * x] * Sin [a * y]

In[190]:= Do[

grafico = Plot3D [f [x, y,2, t ],x, 0,Π,y,0,Π,

Axes ® False ,DisplayFunction ® Identity ];

l [t ] = Show[grafico ,DisplayFunction ® $DisplayFunction ],

t , 0,2Π,2Π/10]

28

Infine ascoltiamo una nota (anche per questo ci vuole proprioil Notebook!):

In[191]:= Play [Sin [2000t ],t , 1,3]

Out[191]= -Sound-

e una sovrapposizione di note di varie frequenze

In[192]:= f [t_ ] = Sum[Sin [3000 * k * t ] * kˆ3 ,k, 1,4];

In[193]:= Play [f [t ],t , 1,3]

Out[193]= -Sound-

13. Un ultimo argomento: le definizioni per ricorrenza.

Molto spesso si incontrano successioni definite per ricorrenza. Consideriamo, per esempio,

I Numeri di Fibonacci

La succeccione di Fibonacci si ottiene assegnando i primi due termini, e poi calcolando gli altri come somma deidue precedenti. Un primo modo è il seguente:

In[194]:= fib1 [n_] := fib1 [n - 1] + fib1 [n - 2]

In[195]:= fib1 [1] = 1

Out[195]= 1

In[196]:= fib1 [2] = 1

Out[196]= 1

In[197]:= fib1 [15]

Out[197]= 610

Vediamo quanto tempo serve per calcolare il termine 35-esimo

In[198]:= fib1 [35]//Timing

Out[198]= 23.86 Second ,9227465

29

Troppo tempo e la crescita è esponenziale! Il problema è che ogni volta deve ricominciare tutto.Si può dare una definizione in modo che il programma tenga in memoria i numeri già calcolati.

In[199]:= fib2 [n_] := fib2 [n] = fib2 [n - 1] + fib2 [n - 2]

In[200]:= fib2 [1] = 1

Out[200]= 1

In[201]:= fib2 [2] = 1

Out[201]= 1

In[202]:= fib2 [200]//Timing

Out[202]= 0. Second ,280571172992510140037611932413038677189525

Mica male come guadagno! Ma c’è ancora un problema.

In[203]:= fib1 [350]//Timing

$RecursionLimit :: reclim : Recursion depth of 256 exceeded. More¼



General :: stop : Further output of $RecursionLimit :: reclim

will be suppressed during this calculation. More¼

Out[203]= $Aborted

(per interrompere un calcolo troppo lungo si usa il menù Kernel/Abort Evaluation).

Il programma ha raggiunto il numero massimo di ricorsione. Ci serve un’altra soluzione, questa volta senza usarela ricorsione. Dobbiamo scrivere un piccolo programma con un ciclo for che si ottiene mediante il comandoDo[]

In[204]:= fibo [q_] := a = 1;b = 1;Do[c = a + b; a = b;b = c,i ,3, q]; c

In[205]:= fibo [5000]//Timing ;

In[206]:= N[%, 30]

Out[206]= 0.015 Second ,3.8789684543883256337019163083 ´ 101044

ComunqueMathematicaha un comando built-in per questa successione:

In[207]:= Fibonacci [5000]//Timing ;

In[208]:= N[%, 30]

Out[208]= 0. Second ,3.8789684543883256337019163083 ´ 101044

che è leggermente più veloce.

30

Appendice. Un brevissimo cenno su Mathematica 8.

Nella versione 8 sono state introdotte molte novita, ed alcuni comandi descritti in precedenza sonodiventati obsoleti. Non usero in questa appendice lo stesso stile usato nelle sezioni precedenti ma milimitero a segnalare poche novita.

Innanzitutto sono cambiati il FrontEnd e l’help (quest’ultimo, a mio parere, e diventato piu difficileda utilizzare). Comunque l’help rimane sempre la principale risorsa a cui attingere per avere degli esempisignificativi e per controllare la sintassi dei comandi. Inutile tentare di ricordare esattamente come im-mettere i comandi: basta evidenziarli e premere il tasto F1 per avere subito un promemoria e gli esempiprincipali.Risulta molto utile il nuovo uso dei colori: cio che viene scritto rimane in blu finche non coincide esatta-mente con il nome di una funzione o di una costante gia definita.Anche le parentesi rimangono colorate in viola se non c’e corrispondenza tra parentesi aperte e parentesichiuse.Se si commette un errore di sintassi e si preme Shift+Invio tutta la cella e colorata in rosso e si riescea capire abbastanza facilmente dove e l’errore.

Molti dei Package sono inclusi direttamente nel Kernel e dunque non c’e piu bisogno di richiamarli. Adesempio nel caso dei grafici in forma implicita considerati a pagina 27, basta individuare un parallelepipedocontenente il grafico da visualizzare e dare direttamente il comandoContourPlot3D[x2+y2 == z2+1, x,−3.5,3.5, y,−3.5,3.5, z,−3,3] per ottenere l’iperboloide:

Il meccanismo illustrato a pagina 28 per ottenere animazioni non funziona piu: al suo posto e stataintrodotta la funzione Manipulate[]. Un’altra nuova funzione per gestire definizioni “dinamiche” eDynamic[].Ad esempio, il comando Manipulate[Plot[Sin[2kπ x], x,0,1], k,1,10] produce la visualizzazionedi sinusoidi con frequenza compresa tra 1 e 10.

Per ottenere l’animazione della cicloide si puo usare il seguente comando

Manipulate[

grafico =

ParametricPlot[t - Sin[t], 1 - Cos[t], t, 0, x,

PlotStyle -> GrayLevel[0.7], Thickness[0.005],

31

RGBColor[0, 0, 1], AspectRatio -> Automatic,

ImageSize -> 500, 200, PlotRange -> -1, 10, -1, 2.5];

grafico1 =

ParametricPlot[x + Cos[t], 1 + Sin[t], t, 0, 2 Pi,

PlotStyle -> GrayLevel[0.7], Thickness[0.005],

RGBColor[0, 0, 1], AspectRatio -> Automatic,

ImageSize -> 500, 200, PlotRange -> -1, 10, -1, 2.5];

punto1 =

Graphics[RGBColor[1, 0, 0], PointSize[0.015],

Point[x - Sin[x], 1 - Cos[x]]];

punto2 =

Graphics[RGBColor[0, 0, 1], PointSize[0.015], Point[x, 1]];

linea1 =

Graphics[RGBColor[1, 0, 0], Thickness[0.005],

Line[x - Sin[x], 1 - Cos[x], x, 1]];

Show[grafico, grafico1, punto1, punto2, linea1], x, 0.1, 9, 0.2]

Un frame dell’animazione e mostrato in figura:

x

4.7

2 4 6 8 10

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Risulta molto utile la nuova funzione Boole[] che non e altro che la funzione caratteristica di uninsieme: per esempio adesso per calcolare l’integrale 4) proposto a pagina 19 basta, anche in questo caso,individuare un parallelepipedo contenente l’insieme di integrazione e immettere il comando

Integrate[z Boole[x2 + y2 + z2 < 1&&x2 + y2 < z2 && z > 0], x, -1, 1,y, -1, 1,z, 0, 1],

ottenendo il risultato senza usare esplicitamente la formula di riduzione per gli integrali multipli. Lafunzione Boole[] e molto utile anche per disegnare grafici.Per risolvere l’esercizio 2) di pagina 18 sulla ricerca del massimo e del minimo di una funzione, bastainserire la funzione, la condizione (o le condizioni tra parentesi graffe) che individua l’insieme, in duevariabili un rettangolo abbastanza grande contenente l’insieme, e immettere i nuovi comandi:

Maximize[x2 − 2y2 − 5xy,x2 + y2 ≤ 1,x, -1, 1,y, -1, 1],

Minimize[x2 − 2y2 − 5xy,x2 + y2 ≤ 1,x, -1, 1,y, -1, 1].

Concludo queste brevi note con un’incursione nel campo del Calcolo Numerico. Ci sono equazionidifferenziali per cui non riusciamo a trovare una soluzione esplicita. Ad esempio proviamo a risolvere ilProblema di Cauchy:

y′ =

x2 + y2 − 1

x2 + y2 + 1y(0) = 0

Usiamo il comando DSolve[]

DSolve[y’[x] == (x^2 + y[x]^2 - 1)/(x^2 + y[x]^2 + 1), y[0] == 0, y[x], x]

e la risposta e

32

DSolve[Derivative[1][y][x] == (-1 + x^2 + y[x]^2)/(1 + x^2 + y[x]^2),

y[0] == 0, y[x], x]

quindi Mathematica 8 non riesce a risolvere il problema (non ci riuscirebbe neanche Mathematica ∞).Ricorriamo al comando NDSolve[], che non fornisce una soluzione esatta ma solo una “funzione interpo-lante”. Attenzione alla sintassi del comando, molto diversa da quella di DSolve[]

s = NDSolve[y’[x] == (x^2 + y[x]^2 - 1)/(x^2 + y[x]^2 + 1),

y[0] == 0, y, x, -3, 3]

la risposta e

y -> InterpolatingFunction[-3.,3.,<>]

e tracciamo il grafico della soluzione con il comando

Plot[Evaluate[y[x] /. s], x, -3, 3, PlotRange -> All]

-3 -2 -1 1 2 3

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

33

Documents

Introduzione all’uso di Mathematica - Leaci.pdf