Profesor: Ing. Juan Rocha Martínez

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2

INDICE

Unidad 1Programación DinámicaIntroducción ……………………………………………………………………… 2Conceptos de programación dinámica ……………………………………….. 3Síntesis de la forma tabular ……………………………………………………. 3Problema de la diligencia ……………………………………………………… 4Problemas de programación dinámica con Variables continuas …………………………………………………………….. 13

Unidad 2Líneas de Espera Introducción ……………………………………………………………………… 16Definición de términos ………………………………………………………….. 16Análisis de problemas con población infinita …………………………………18Ejemplos …………………………………………………………………………. 19Análisis de problemas con población infinita Un solo canal …………………………………………………………………….23Ejemplos …………………………………………………………………………. 23Análisis de problemas con población infinita Multicanal ……………………. 24Ecuaciones para problemas de un solo canal y población finita …………. 25Análisis de problemas de cola multifuncional ……………………………….. 26

Unidad 3 Toma de DecisionesToma de decisiones bajo incertidumbre ……………………………………… 33Ejercicios Prácticos …………………………………………………………….. 33Toma de decisiones bajo riesgo ………...................................................... 37Ejerciciosprácticos ……………………………………………………………. 37Ejercidos propuestos …………………………………………………………… 40

Unidad 5 Terminología de redes Problema de la ruta más corta ………………………………………………… 50Terminología de redes …………………………………………………………. 52Algoritmo de la ruta más corta ………………………………………………… 55Aplicación de algoritmo al problema de la ruta más cortaDe Seervada Park ………………………………………………………………. 55Problema del Árbol de expansión mínima ……………………………………. 58Aplicaciones ……………………………………………………………………… 59Algoritmo …………………………………………………………………………. 60Algoritmo para el árbol de expansión mínima …………............................... 60Aplicación de algoritmo al problema del árbol de expansión Mínima de Seervada Park ……………………………………………………… 61Problema de Flujo máximo ……………………………………………………. 64Aplicaciones …………………………………………………………………….. 65Algoritmo del flujo máximo ……………………………………………………. 65Algoritmo de la trayectoria de aumento para el problema deFlujo máximo …………………………………………………………………….. 67Aplicación del algoritmo para el flujo máximo de Seervada Park ………….. 67Búsqueda de una trayectoria de aumento …………………………………… 71

Página 1

H8E5B2

C3 F6 I 9 K11A1

J10G7D4

UNIDAD I PROGRAMACIÓN DINAMICA

INTRODUCCIÓNDe las técnicas de investigación de operaciones, la programación dinámica emplea los conceptos más simples, sin embargo es la más difícil de aplicar. Una de las dificultades es la carencia de una formulación definida, así como los algoritmos de solución, lo que implica que cada problema requiere de toma de decisiones básicas en lo particular. Así, la formulación es semejante al desarrollo de un problema de probabilidad o incluso algebraico.

Se recomienda antes de solucionar el problema comprenderlo al mismo tiempo que se comprende también la técnica con la que se ha de resolverse.

En síntesis no hay reglas simples que conduzcan a una formulación correcta, lo que hacen necesario e desarrollo de varios ejemplos para comprender esta técnica. Considere e siguiente ejemplo del viajero

1 ETAPA 2 ETAPA 3 ETAPA 4 ETAPA7 6

63 3 4

45 3 7 5 3

4 3 4

4 7 52

2 4

S4 S3 S2 S1 S0

En ese supone que una persona debe trasladarse desde el punto A hasta el Z, y la red presenta todas las rutas que pueden tomar siempre y cuando no haya retornos. La solución que se pide es encontrar el camino entre A y Z que minimice la distancia total recorrida.

Página 2

FORMA NORMAL

1 ETAPAB C D

3 5 2

2 ETAPAE F G

B

C

D

3 ETPA H I J

E

F

G

4 ETAPA

K H

I

J

TOTAL= 1° etapa + 2° etapa + 3° etapa + 4° etapa Sustituyendo TOTAL= 2+2+4+5 = 13

FORMA INVERSA 1 ETAPA I-K C𝑖𝑗 32 ETAPA E-IC𝑖𝑗 33 ETAPA C-E C𝑖𝑗 44 ETAPA A-C C𝑖𝑗 5

TOTAL 15

Página 3

A

7 6

4 3 3

4 2

6 3

7 5 4

7 4

4

3

5

CONCEPTOS DE PROGRAMACIÓN DINAMICALa programación dinámica es la técnica más aceptada para resolver problemas que se deben de tomar en una forma secuencial, y por lo mismo cada uno influye en las decisiones futuras de esa misma secuencia.

Bellman permite la optimización parcial de una parte de la secuencia y luego relaciona las unidades utilizadas hasta que toda la secuencia es optimizada.

Estos principios pueden aplicarse tanto en problemas continuos como discretos. Y su representación más actual será por medio del problema del viajero.

SINTESIS DE LA FORMA TABULAR PARA LA RESOLUCION DE PROBLEMAS POR PROGRAMACION DINAMICA

PASOS 1° Establecer las etapas (según las variables de decisión) así como las condiciones de entrada o variables de estado.

2° Determinar la función de retorno de cada etapa.

3° Determinar el método de computo de las siguientes condiciones de entrada, así como resultado de las decisiones y condiciones anteriores.

4° Determinar f∗¿1¿ en función de d1 para el intervalo necesario de condiciones de entrada (computar la tabla n = 1).

5° Determinar f∗¿2¿ = r2 + f∗¿1¿(d2 , S2) para el intervalo necesario de condiciones de entrada (computar la tabla n = 2).

6° Repetir el paso 5 para todas las etapas.

Página 4

PROBLEMA DE LA DILIGENCIAFue elaborado especialmente para ilustrar las características e introducir la terminología de la programación dinámica. Trata sobre una casa fortunas mítico de Missouri que decide ir al oeste a unirse a la fiebre del oro en California a mediados del siglo XIX. Tiene que hacer el viaje en diligencia a través de los territorios sin ley cuando existían serios peligros de ser atacado por mero de adores. Aun cuando su punto de partida y su destino eran fijos, tenían muchas opciones en cuanto que estados (o territorios que más tarde se convertirían en estados) debía elegir como puntos intermedio.

Como se puede observar se requerían cuatro etapas (jornadas en diligencia) para viajar desde su punto de partida en el estado A (Missouri) a su destino en el estado J (California) este caza fortunas era un hombre prudente que estaba preocupado por su seguridad.

Después de reflexionar un poco se le ocurrió una manera bastante ingeniosa para determinar la ruta más segura. Se ofrecían pólizas de seguro de vida a los pasajeros. Como el costo de la póliza de cualquier jornada de la diligencia estaba basado en una evaluación cuidadosa de la seguridad del recorrido, la ruta más seguro debía ser aquella que tuviera el costo total más barato.

El costo de la póliza estándar para el viaje en diligencia, del estado i al estado j, se denotara por Costoij y es

7

4 4 6 4 1

2

3 3

4 2 6 3 3

4

4 3 4

33

5

Página 5

B

C

D

A F

I

E

G

H

J

FORMA NORMAL

1 ETAPA B C D

2 4 3

2 ETAPA E F G

B

C

D

3 ETPA H I

E

F

G

4 ETAPA

J H

I

TOTAL= 1° etapa + 2° etapa + 3° etapa + 4° etapaSustituyendo TOTAL= 2+4+3+4 = 13

FORMA INVERSA 1 ETAPA H-J C𝑖𝑗 32 ETAPA E-H C𝑖𝑗 13 ETAPA C-J C𝑖𝑗 34 ETAPA A-C C𝑖𝑗 4

TOTAL 11

Página 6

A

Un programa que sirve para realizar más rápido una

programación dinámica es winqusb

7 4 6

3 2 4

4 1 5

1 4

6 3

3 3

3

4

Problema 1Un inversionista cuenta con $6000 dólares para invertirlos en tres riesgos. El debe invertir en unidades de $1000 dólares, el retorno potencial a partir de la inversión en cualquier riesgo depende de la cantidad invertida de acuerdo a la siguiente tabla.

Resuelva el problema programación dinámica para ayudar a inversionistas a decidir sobre cuanto se debe invertir en cada riesgo tal que se maximice el retorno potencial (ganancias)

Solución

n3 =› d3 n2 =› d2 n1=›d1

S3= 6,000 S2=S3-d3 S1=S2-d2 S0= S1-d1

F3= r3 + F2 F2= r2 +F1 F1= r1

nota: los valores utilizados en la tablas fueron obtenidos de los datos iniciales del problema.

Página 7

A B C

RetornoCantidad inv.

A(R3)

B(R2)

C(R3)

0 0 0 0

1 0.5 1.5 1.2

2 1 2 2.4

3 3 2.2 2.5

4 3.1 2.3 2.6

5 3.2 2.4 2.7

6 3.3 2.5 2.8

Para n =1 f 1=r1S1 0 1 2 3 4 5 6 Max0 0 NF NF NF NF NF NF 01 0 1.2 NF NF NF NF NF 1.22 0 1.2 2.4 NF NF NF NF 2.43 0 1.2 2.4 2.5 NF NF NF 2.54 0 1.2 2.4 2.5 2.6 NF NF 2.65 0 1.2 2.4 2.5 2.6 2.7 NF 2.76 0 1.2 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.8

Para n = 2 f 2=r 2+ f 1S2 0 1 2 3 4 5 6 Max0 0 NF NF NF NF NF NF 01 0+1.2 1.5 NF NF NF NF NF 1.52 0+2.4 1.5+1.2 2.0 NF NF NF NF 2.73 0+2.5 1.5+2.4 2+1.2 2.2 NF NF NF 3.94 0+2.6 1.5+2.5 2+2.4 2.2+1.2 2.3 NF NF 4.45 0+2.7 1.5+2.6 2+2.5 2.2+2.4 2.3+1.2 2.4 NF 4.66 0+2.8 1.5+2.7 2+2.6 2.2+2.5 2.3+2.4 24+1.2 2.5 4.7

Para n = 3F 3=R 3+F 2

S2 0 1 2 3 4 5 6 max6 0+4.7 0.5+4.6 1+4.4 3+3.9 3.1+2.7 3.2+1.5 3.3 6.9

Conclusión

Invertir 3 en A $3,000 1 en B $1,000 2 en C $2,000

$ 6,000

Problema 2

Un camión puede transportar un total de 10,000 toneladas de productos. Hay tres clases de productos para transportarse. Sus pesos y valores o ganancias se dan en la siguiente tabla.

Página 8

Columna c0

1.22.42.52.62.72.8

Columna c = f1

Columna b0

1.52.73.94.44.64.7

Columna b= f2

Fórmulas para obtener f1, f2 y f3

f 2=r 2+ f 1

f 2=B+ f 1

f 3=r 3+ f 2

f 3=A+ f 2

Suponiendo que por lo menos debe transportarse un artículo de cada clase, determine el cargamento que maximiza el valor o ganancia total.

Clase Valor Peso toneladas

A 20 1B 50 2C 60 2

Solución

n3 = ›d3 n2 =› d2 n1=›d1

S3= 10,000S2=S3-d3 S1=S2-d2 S0= S1-d1

r3 r2 =B+F1 r1

Para n =1

S1 1 2 3 max2 60 NF NF 603 60 NF NF 604 60 120 NF 1205 60 120 NF 1206 60 120 180 1807 60 120 180 180

Para n = 2

S2 1 2 3 Max4 50+60 NF NF 1105 50+60 NF NF 1106 50+120 100+60 NF 1707 50+120 100+60 NF 1708 50+180 100+12

0150+60 230

9 50+180 100+120

150+60 230

Para n = 3

S2 1 2 3 4 5 6 max10 20+230 40+230 60+170 80+170 100+11

0120+110 270

Conclusión

Página 9

A B C

B +A =3-10=72+1=3-10=7

TONELADAS CON LAS QUE EMPESARE QUE ES LA(C)=2

B+C=42+2=4

A-10=91-10=9

Cargar 2 unidades en A 2 toneladas 1 unidad en B 2 toneladas 2 unidades en C 6 toneladas

10 toneladas

Problema 3

Resuelve por programación dinámica el siguiente problema

Maximizar Z= X1 (X2 -1)2 + (X3 – 2)3

Sujeto a: X1 + 2X2 + X3> 4Xi ≥ 0, Ui

Solución

d3 = X3 d2 = X2 d1= X1

S3= 4S2=S3- X3S1=S2-X2 S0=S1- X1

r3=(X3 – 2)3r2=(X2 -1)2r1= X1

f∗¿3¿ = (X3 – 2)3+ f∗¿2 f∗¿2¿¿ = (X2 -1)2+ f∗¿1 f∗¿1 ¿¿= X1

Para n=1

S1 0 1 2 3 4 f∗¿1¿

0 0 NF NF NF NF 01 0 1 NF NF NF 12 0 1 2 NF NF 23 0 1 2 3 NF 34 0 1 2 3 4 4

Para n=2

S1 0 1 2 f∗¿2¿

0 0 NF NF 01 0+1 NF NF 12 (0-1)²(2) (1-1)²(0) NF 23 (0-1)²(3) (1-1)²(2) NF 34 (0-1)²(4) (1-1)²(3) (2-1)²(0) 4

Total de sumatoria Para n = 2

Página 10

A B C

Para n=3

S1 0 1 2 3 4 f∗¿3¿

0 0 NF NF NF NF 01 (0-2)³(1) (1-2)³(0) NF NF NF 02 (0-2)³(2) (1-2)³(1) (2-2)³(0) NF NF 03 (0-2)³(3) (1-2)³(2) (2-2)³(1) (3-2)³(0) NF 04 (0-2)³(4) (1-2)³(3) (2-2)³(2) (3-2)³(1) (4-2)³(0) 1

Total de sumatoria Para n =3

S1 0 1 2 3 4 f∗¿3¿

0 0 NF NF NF NF 01 0 0 NF NF NF 02 0 0 0 NF NF 03 0 0 0 0 NF 04 -4 2 2 2 8 8

Conclusión X1 = 0X2 = 0X3 = 4

Problema 4

Página 11

LIBRO: INVESTIGACION DE OPERACIONES

“UN ENFOQUE FUNDAMENTAL”JAMES SHAMBLIN

S1 0 1 2 f∗¿2¿

0 0 NF NF 01 1 0 NF 12 2 0 NF 23 3 0 NF 34 4 0 0 4

Resuelve por programación dinámica el siguiente problema

Maximizar Z= 4X1 + 3X2 + 8X3

Sujeto a: 6X1 + 4X2 + 6X3 ≤ 14X3≤ 1Xi >0, Zi

Solución

d3 = X3 d2 = X2 d1= X1

S3 S2=S3 - 6X3S1=S2- 4X2 S0=S1- 6X1

r3= 8X3r2= 3X2r1= 4X1

f∗¿3¿ = 8X3+F2 f∗¿2¿ = 3X2+F1f∗¿1¿= 4X1

Para n=1 POSIBLES VALORES DE X1

Para n=2 POSIBLES VALORES X2

S2 0 1 2 3 Max8 0+4 3+0 6+0 NF 614 0+8 3+4 6+4 9+0 10

Para n=3 POSIBLES VALORES X3

S1 0 1 2 Max8 0+10 8+6 NF 1414 0+10 8+0 NF 14

Página 12

3 2 1

ESTA ECUACION NOS INDICA CUANTAS COLUMNAS COLOCAREMOS

6(2)=12 NO PUEDEN SER MAS POR QUE SE EXCEDE Y EL LIMITE ES 14 O MENOR

Max z=4x1+3x2+8x3s.a. 6x1+4x2+6x3≤14

x3≤1xi≥u i y entero

S3 0 1 2 Max0 0 NF NF 01 0 NF NF 02 0 NF NF 03 0 NF NF 04 0 NF NF 05 0 NF NF 06 0 4 NF 47 0 4 NF 48 0 4 NF 49 0 4 NF 410 0 4 NF 411 0 4 NF 412 0 4 8 813 0 4 8 814 0 4 8 8

Conclusión

X1 = 0 valor máximo x3=14X2= 2

X3= 1

Nota:La forma de obtener la solución al problema es leer las tablas iniciando con la que se concluyo el cálculo es decir la etapa 3 en este caso.

Se busca maximizar el valor en la ultima columna y cuando se tiene se busca en el renglón correspondiente en la columna (posible valor de la variable).

Se logro dicho valor y ese será el valor de la variable correspondiente ala etapa siguiente (tabla anterior) y se repite el mismo proceso según la etapas del problema asta encontrar todos los valores de las variables.El valor máximo de la función se encuentra en la última tabla tomando el valor máximo de la columna

PROBLEMAS DE PROGRAMACION DINAMICA CON VARIABLES CONTINUAS

Página 13

La solución de problemas de programación dinámica con variables continuas reduce la cantidad de cálculos, pero conduce a una forma de solución matemática más compleja.

Problema 5

Resuelva el siguiente problema a través de programación dinámica con variables continuas.

Maximizar Z= X1 ² + 2X2² + 4X3

Sujeto a: X1 + 2X2 + X3 ≤ 8Xi >0, Zi

Solución

d3 = X3 d2 = X2 d1= X1

S3= 8S2=S3 - X3S1=S2- 2X2 S0=S1- X1

r3= 4X3r2= 2X2r1= X1 ²f∗¿3¿ = r2 + f∗¿2 f∗¿2¿¿ = r1+ f∗¿1 f∗¿1 ¿¿= X1²

Para n = 1

Optimizar r (f 1= r1) siendo f 1= X1 ²

X1 ≤ 88 = S1

f∗¿1¿ = S1 ²

Para n = 2

f 2 = r2 + f∗¿1¿f 2 = r2 +X1 ²

Por lo tanto:

f 2 = 2X2 ² + S1²

Es necesario escribir f 2 en términos de la etapa 2 por lo tanto:

S1 = S2 - X2

S1² = (S2 - 2X2 ²)f 2 = 2X2 ² + (S2 - 2X2 ²) sustituyendof 2 = 2X2 ² + S2 ² - 4S2 X2 + 4X2 ² desarrollandof 2 = 6X2 ² - 4S2 X2 + S2 ² reduciendo términos semejantes Optimizando f 2

d f 2

d X2= 0

Página 14

3 2 1

d f 2

d X2 = 12X2 - 4S2

Entonces:

12X2 = 4S2

X2 = 4 S 212

X2 = 13

S2 Punto critico

1° Intervalo

0 ≤ X2 ≤ 12

S2

2° Para saber si es Max o min (obtener la segunda derivada)

d ² f 2

d X2² = 12

3° Evaluando en X2 = 0f 2 (X2 = 0)= 6(0)² - 4(0)S2 + S2 ²

4° Evaluando en X2 = 12

S2

f 2 (X2 = 12

S2)= 6(12

S2)² - 4(12

S2)S2 + S2 ²

f 2 (X2 = 12

S2) = 6(S 22

)² - 4(S 22

)S2 + S2 ²

f 2 (X2 = 12

S2) =12

S2

Por tanto

S2 ² ≥ 12

S2 = f∗¿2¿- S2 para X2 = 0

Para n = 3

f 3 = r3 + f∗¿2¿f 3 = 4X3 + S2 ²

Por lo tanto:

f 2 = S3- X3

Es necesario escribir f 3 en términos de la etapa 3 por lo tanto:

S2 = S3 – X3

S2² = (S3 – X3)²f 3 = 4X3 (S3 – X3)² sustituyendof 3 = 4X3S3² - 2S3X3+ X3² desarrollandof 2 = 4X3+ (8)²- 2(8)X3+ X3² simplificando

Página 15

f 2 = 4X3+ 64- 16X3+ X3² f 2 = X3² - 12X3+ 64

Optimizando f 3

d f 3

d X3= 0

d f 2

d X2 = 2X3 - 12

Entonces:

2X3 = -12

X3= 122

X3= 6 Punto critico

1° Intervalo

0 ≤ X2 ≤ 12

S2

2° Para saber si es Max o min (obtener la segunda derivada)

d ² f 3

d X3 ²= 2

3° Evaluando en X2 = 0f 2 (X2 = 0)= 6(0)² - 4(0)S2 + S2 ²

4° Evaluando en X2 = 12

S2

f 2 (X2 = 12

S2) = 6(12

S2)² - 4(12

S2)S2 + S2 ²

f 2 (X2 = 12

S2) = 6(S 22

)² - 4(S 22

)S2 + S2 ²

f 2 (X2 = 12

S2) = 12

S2

Por tanto

S2 ² ≥ 12

S2 = f∗¿2¿ - S2 Para X2= 0

Conclusión

S1= X3 = 0 S2= S3 - X3 = 8 – 0 = 8S2= 8

S1= f∗¿2¿ = S2 ² S2 ² = (8)² S2 ² = 64 Para X2 = 0

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S1=S2 - 2X2 = 8 – 2(0) =8S1= 8

Sabiendo que f∗¿1¿ ocurre en S1² cuando S1= X1

X1 = 8f∗¿1¿= X1 ² = (8) ² = 64

SoluciónX1 = 8X2 = X3 = 0Z1 = 6

UNIDAD 2 (B. Ll. J. C.)TEORIA DE LINEAS DE ESPERA

INTRODUCCION

La teoría de estas aparece como una de las técnicas de Investigación de Operaciones debido a que toda clase de negocios, gobiernos, industria, escuelas y hospitales: todos tienen problemas de líneas de espera. Por lo tanto el ejemplo clásico de una línea de espera consta de 2 elementos básicos:

1. El primero lo presentan los clientes que lleguen a la cola y esperan hasta que se les proporcione el servicio.

2. El segundo se refiere a la estación que presta el servicio a los clientes.

Aunado al sistema anterior existe una serie de términos y conceptos que debe establecerse con claridad.

DEFINICION DE TERMINOS

TASA DE LLEGADA ( ): Es la tasa a la cual llegan los clientes para ser atendidos y sus unidades son: clientes/hora, día, etc.

TASA DE SERVICIO ( ): Es la tasa la cual la unidad de serbio puede atender a los clientes, sus unidades son iguales a la de tasa de llegada. También se dice que representan la máxima cantidad de servicio. Normalmente se supone que estas tasas representan un promedio de muchos valores posibles mismos que se pueden describir mediante una distribución poisson.

CLIENTE: Unidad que llega requiriendo de algún servicio: puede ser personas, maquinas, partes o piezas, etc.

COLA O LINEA DE ESPERA: Está conformada por el número de clientes que esperan ser atendidos, y no incluye el cliente que está siendo atendido.

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CANAL DE SERVICIO: Es el proceso o sistema que está efectuando el servicio para el cliente, puede ser simple o multicanal. El símbolo (k) indicara el número de canales de servicio.

PRIORIDAD: Se refiere al decir cuál será el próximo cliente atendido, aunque la suposición más frecuente consiste, en el que el primero que llega es el primero que se atiende.

TAMAÑO DE LA POBLACION: Es el tamaño del grupo que proporciona los clientes, si solo hay unos pocos clientes potenciales, la población es finita, si el número es grande, por ejemplo mayor de 30, la población es infinita.

Lq: Numero esperado en la cola, es decir el número estimado de clientes que esperan ser atendidos.L: Numero esperado en el sistema, es igual a Lq mas el cliente que está siendo o están siendo atendidos.Wq: tiempo esperado en la cola, es el tiempo estimado que emplea, en cliente esperado en la cola.W: Tiempo esperado en el sistema, es el tiempo estimado que emplea un cliente esperando más el que emplea siendo atendido. = (Wq 1/) (hr/cliente)

CLASIFICACION DE LOS PROBLEMAS DE COLAS

TIPO DE PROBLEMA: Modelo de Prob. De colas.TAMAÑO DE POBLACION: Finito e InfinitoMO. CANALES: Finito (un Canal y Multicanal), Infinito (un canal y Multicanal)

ANALISIS DE PROBLEMAS CON POBLACION INFINITA

Quizás el modelo de colas más fácil de resolver es el de una sola cola que cuanta con un solo canal de servicio y atiende a una población infinita. Para trabajarlo se pude hacer uso de las siguientes 8 ecuaciones, a fin de poder resolver las interrogantes que presentan.Probabilidad con Población Infinita con un solo canal.

1. p = /(Probabilidad de hallar el sistema ocupado)2. Po = 1 - / (Probabilidad de hallar el sistema vacío)3. Lq = 2/(-) (Numero esperado en la cola)4. L = /- (Numero esperado en el sistema, la cola más atendida)5. Wq = /(-) (Tiempo esperado en la cola)6. W = 1/- (Tiempo esperado en el sistema)7. Ln = /- (Numero esperado en una cola no vacía)8. Wn = 1/- (Tiempo esperado en la cola, para colas no vacías)

Página 18

EJEMPLO:Una maquina copiadora para uso de oficina es utilizada y manejada para la secretaria y debido a los trabajos que se deben duplicarse, varían en amplitud (Mu) es decir el número de páginas del original así como el nuero de tantos requeridos. Así la tasa de servicio se considera aleatoriamente distribuida y aproximado, a una distribución de poisson con = 10 trabajos/hora. También se sabe que los requerimientos de utilización son aleatorios durante las ocho horas de trabajo diario, y están dados por una tasa de 5 trabajos/hora en las mismas condiciones que la tasa de llegada.Algunas personas han observado que ocasionalmente se forma una fila de espera y han objetado la política de mantener una sola copiadora. Si el tiempo de la secretaria esta evaluado en 3.5 DL/hr, haga un análisis para determinar.

a) La utilización del equipo.b) El porcentaje del tiempo que un cliente tiene que esperar.c) El tiempo promedio en el sistema.d) El costo promedio ocasionado por esperar y por realizar el trabajo.

Solución

DATOS = 5 trabajos/ Hora = 10 trabajo/ Hora Turno=8Hr/ DíaCosto secretaria=3.5 DL/Hr

a) La utilización del equipo

p = /

p = 5

10p = 0.5 = 50%

b) El porcentaje del tiempo que un cliente tiene que esperar

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P= a la utilización del equipo y la probabilidad de hallar el sistema ocupadoSe utiliza un 50% el equipo

Po= porcentaje del tiempo que un cliente tiene que esperar: la probabilidad de hallar el sistema Vacío (cuando está ocupado el sistema)Un cliente tiene que esperar la mitad del tiempo en el sistema

Po = 1 - /

Po = 1 - 5

10Po = 1 – 0.5 =Po = 50%

c) El tiempo promedio en el sistema

W = 1/-

W = 1

10−5

W = 15

W = 0.2 hrs/trabajadas

d) El costo promedio ocasionado por esperar y por realizar el trabajo (por turno)1° Costo promedio por trabajo

C = (0.2 trabajohoras

)($3.5 DL/Hr.)

C = $0.7 DL por trabajo

2° trabajos al día (promedio por turno)T = (8 hrs.)

T = (5 trabajosh oras

) (8 h oras

dia)

T = 40 trabajos

dia

3° Costo promedio de turno

C = ($0.7 por trabajo) (40 trabajos

dia)

C = 28 $

dia

Página 20

Po= porcentaje del tiempo que un cliente tiene que esperar: la probabilidad de hallar el sistema Vacío (cuando está ocupado el sistema)Un cliente tiene que esperar la mitad del tiempo en el sistema

W= tiempo promedio en el sistema; Tiempo esperado (promedio o perdido) en el Sistema en lo que se hace un trabajo

Si el tiempo de la secretaria se paga a 3.5 DL/Hr y se realiza un trabajo en un tiempo promedio de .2 Trab/Hr

῭ C (costo por trabajo)= (w tiempo esperado)(costo de secretaria)

Trabajos al día=(Tasa llegada)(Duración del turno)

Costo promedio=(costo por trabajo)(trabajos al día)

EJEMPLO:Una refinería distribuye sus productos mediante camiones que se cargan en la terminal. Dichos camiones pueden ser propiedad de la compañía o camiones de distribución independiente. Las compañías independientes, se quejan de que algunas veces deben esperar en la línea y perder dinero por mantener esperando al conductor y al camión.Y han solicitado la refinería disponer de una segunda terminal de carga o descontar un costo equivalente al tiempo de espera, los datos son los siguientes: = 2 camiones/hr, = 3 servicios/hr, además el 30% de todos los camiones son independientes y las tasas de llegada o servicio siguen una distribución de Poisson.Determinar:

a) La probabilidad de que un camión tenga que esperar.b) La espera de un camión.c) Tiempo estimado que los camiones independientes esperan por día.

Solución

DATOS

= 2 camiones

hora

= 3 servicios

horaCamiones independientes 30%

a) La probabilidad de que un camión tenga que esperar

Si:P = /

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P=la probabilidad de hallar el sistema ocupado La probabilidad de que un cliente tenga que esperar

῭la prob es: .66

P= 2

camionesh ora

3servicios

h ora

P = 66.7%

b) La espera de un camión

Si:

Wn = 1−¿¿

Wn = 1

3−2

Wn = 11

Wn = 1hora

c) Tiempo estimado que los camiones independientes esperan por día 1° Número de camiones independientes que llegan por día C = ()(turno)

C = (2 camiones

h ora )(8

horasdia

)

C = 16 camiones

dia

2° tiempo total de camiones independientes

T= (camionesindependientes

dia)(Wn)(e)

T = (4.8camionesindependientes

dia)(1 hora)(0.667%)

T = 3.20horas

dia

Página 22

Wn=El tiempo de espera de un camión (cliente); El tiempo esperado en la cola no vacía

῭un camión espera 1 Hr aprox.

Si C= número de camiones Totales al día y solo el 30% son camiones independientes

῭El 30% de 16= 4.8 camiones independientes

T= tiempo estimado que los camiones independientes tienen que esperar

῭Un camión independiente espera 3.2 Horas/día

UN SOLO CANAL (POBLACION INFINITA)EJEMPLO:Una grúa desplaza objetos, de una maquina a otra y se utiliza cada vez que una maquina requiere carga o descarga. La demanda de servicios es aleatoria y se aproxima a una distribución exponencial, con una media de una llamada cada 30 minutos, de manera semejante el tiempo de la carga y de la descarga toma un promedio de 10 min.Si el costo de maquina esta evaluado en 8.5 DL/hr.¿Cuánto vale el tiempo perdido por día?

DATOS1 llamada = 30 minutosTiempo Carga/Descarga = 10 minutos

Costo de maquinaria = 8.5 $hr

= 2 llamadas por hora = 6 llamadas por hora

W = 1−¿¿

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W= tiempo promedio (perdido) en el sistema Por cliente.

῭cada 15 min llega unallamada

W = 1

6−2

W = 14

W = 0.25 horas

1° Servicios por turno de 8 hrs.S = (8 hrs)( )S = (8 hrs)(2)

S = 16 llamadas

dia

2° Costo de tiempo perdido CT = (W) (costo de maquina)

CT = (0.25 horas) (8.5$hr

¿

CT = $ 2.125 $

3° Costo del tiempo perdido por turno

($ 2.125)(16 servicios

dia¿ = 34

$turno

POBLACION INFINITA (MULTICANAL)

Se puede decir que las expresiones equivalentes o semejantes para el tiempo en el sistema, así como algunos otros parámetros: ello para un problema de colas con servicio multicanal. Siempre y cuando se suponga una población infinita.Entendiendo que estas ecuaciones son más generales que las dadas anteriormente, puesto que pueden reducirse al caso de canal simple haciendo simplemente K = 1 y simplificando.Enseguida se presentan dichas ecuaciones para el problema multicanal y población infinita.

ECUACIONES PARA PROBLEMAS MULTICANAL (POBLACION INFINITA)

Po = 1 (Sistema vacío u ocioso)n k-1

( 1/n!) (/)n (1/k!) (/)k(k/k-) n 0

Página 24

Demanda diaria de llamadas Suponiendo un día de 8 horas, es ocho veces la demanda por hora

k = número de canales de Servicio. = Tasa de llegada = Tasa de Servicio

Pk = (1/k!)(/)k (k/k-)Po = Probabilidad de que haya k o más unidades en el sistema

Probabilidad de que un cliente tenga que esperar

L = (/)k(Po) (/) = Numero esperado en el sistema

(k-1)! (k-)2

Lq = (/)k(Po) = Numero esperado en la cola

(k-1)! (k-)2

Wq = (/)k (Po) = Tiempo esperado en la cola

(k-1)! (k-)2

W = (/)k (Po) (1/) =Tiempo esperado en el sistema

(k-1)! (k-)2

Wn=Wq/PK

ECUACIONES PARA PROBLEMAS DE 1 CANAL Y POBLACION FINITA

Po = 1 = Probabilidad de llegar a un sistema vacíon k-1

n 0

Pn = M! (/)n Po = Probabilidad de hallar ¨n¨ clientes en el sistema (M-n)!

L = n M

nPn = M-(/)(1-Po) = Número de clientes en el sistema n 0

Página 25

Lq = M - (1 - Po) = Número de clientes en la cola

COLA MULTIFUNCIONAL, POBLACION FINITA DONDE K = NUMERO DE CANALES DE SERVICIO Y ADEMAS 1KMPo = 1

n k-1 n = M

M! / (M – n)! (/)n M!/(M – n)k! kn – k (/)n

n 0 n = k

Pn = M! (/)n donde 0nk (M-n)! n!

Pn = Po M! (/)n para knM(M-n)! k! kn – k

L = n k-1 n = M n = k - 1

nPn (n – k)Pn k(1 - Pn)n 0 n = k n = 0

Lq = n M

(n – k) Pn

EJEMPLO:Demuestre que el tiempo esperado en el sistema es igual al tiempo esperado en la cola mas tiempo de servicio a partir de las ecuaciones generales (multicanal) para llegar a la ecuación de un solo canal.

Wq + 1μ = W + 1

μ

Po = (1−❑μ

)

1) W = (¿)k Po(k−1)!¿¿ + 1

μ Donde k = 1

2) W = (¿) ⁱPo(0) !¿¿ + 1

μ Sustituyendo k = 1

3) W = Po¿¿ + 1

μ Simplificando v

4) W = (1−❑μ

)

¿¿ + 1

μ Sustituyendo Po

Página 26

5) W = −(❑μ

) ²

¿¿ + 1

μ resolviendo

6) Wq = ¿¿ + 1μ

7) Wq = λµ−λ ²

µ(µ−λ) ² + 1μ Factor izando

8) Wq = λ

µ(µ−λ) + 1μ

9) Wq + 1μ = W + 1

μ

EJEMPLO:

Se ha objetado la situación presentada en el problema de la fotocopiadora debido al resultado del costo por día, y se está considerando la posibilidad de instalar hasta 2 máquinas pequeñas o una maquina más grande. Los datos son los sig.:EJ. TASA DE SERVICIO COSTO DIARIOMP 10 $ 5MG 15 $ 10

Por medio de un análisis de línea de espera determine que es lo más conveniente.

= 5 trabajos

diaCosto del tiempo perdido = $3.5

1) Costo Total diario= (costo maquina + costo de tiempo perdido)*1 Maquina Pequeña resultado del problema anterior del costo de una maquina pequeña

CT = 5DLdia

+ 28 = 33 $

dia

Página 27

*1 Maquina Grande

W = 1

λ−µ

W = 1

15−5

W = 1

10W = 0.1 horas

CT = 10 + (8 h oras

dia ) (5

trabajosdia

) (0.1 horas) ($3.5)

CT = 24 $

dia

῭el costo de una maquina pequeña es de: 33DL/ díael costo de una maquina grande es de: 24DL/ día

2 Maquinas Pequeñas K = 2

Para calcular el tiempo en el sistema de dos máquinas pequeñas primero se calcula la probabilidad de hallar vacío el sistema

Po =

1

∑n=0

n=k−1

( 1

n!( λµ )ⁿ )+ 1

k ! ( λλ )ᴷ( k µ

k µ− λ )

Po =

1

[∑n=0

n=1

( 1

0 ! ( 510 )⁰ )+

11 ! ( 5

10 ) ¹]+ 12 ! ( 5

10 )2( 2 (10 )

2 (10 )−5 )Po = 0.6

Tiempo esperado en el sistema:

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W= Tiempo promedio perdido en el sistema

CT= costo de la maquina grande + ( tasa de llegada al día*tiempo promedio perdido*costo del tiempo perdido)

W = (¿)k

(k−1)!¿¿(Po) (1/)

W = ( 10 ( 510 )

2

(2−1 ) ! [ (2 ) (10 )−5 ]2 )(0.6) + 1

10

W = 0.107 Hr/trabajo

CT = costo de maquina + costo de tiempo perdido

CT= 2 máquinas (5DLdia

) + (5trabajos

hr)(8 horas )(0.107)(3.5 tiempo perdido)

CT = 24. 98 $

dia

῭ el costo de dos maquina pequeña es de: 24.98DL/ día

CONCLUSION

Costo Total

2 maquina pequeñas = 24.98 $

dia

1 máquinas grande = 24 $

dia

1 maquina pequeña =33 $

dia

EJEMPLO:

Resolver el ejemplo de la Refinería suponiendo 2 canales de Servicios del mismo tamaño y los datos es: = 2 cam/hr= 3 cam/hrK = 2Número de camiones independientes 30% del total

Página 29

Tiempo perdido por día = 3.20 horas

dia respuesta del Problema con

población infinita

A. La probabilidad de que un camión tenga que esperarLa probabilidad de que un camión tenga que esperar es igual a la probabilidad ( PK) de encontrar ya dos o mas camiones en el sistema-

Y si Pk = (1/k!)(/)k (k/k-)Po = Probabilidad de que haya k o más unidades en el sistema

Probabilidad de que un cliente tenga que esperarY sabiendo que : Po = 1 (Sistema vacío u ocioso)

n k-1

( 1/n!) (/)n (1/k!) (/)k(k/k-) n 0

῭Po = 1 (Sistema vacío u ocioso)

n 1

( 1/1!) (2/3) (1/2!) (2/3)2(2*3/2*3-2) n 0

.5

῭P(2) =(1/2!)(2/3)2 (2*3/2*3-2)(.5)=

.25 proba. De que un camión tenga que esperar

B. Tiempo de espera de un camiónEl tiempo esperado de un camión es igual a :Wq = (/)k (Po) = Tiempo esperado en la cola

(k-1)! (k-)2

Wq = 3(2/3)2 (.5)

(1)! (2*3-2)2=.042

Y si wn =Wq/Pk ῭Wn = .042/.25= .167 hr

Página 30

C. Tiempo total estimado que los camiones independientes tienen que esperar diariamente

TT= (k*Hr/dia)(% cam indepen)(Pk)(Wn)= (2*8)(.3)(.042)

=.202 hr/dia

EJEMPLO:

Una compañía Telefónica está planeando la instalación de casetas telefónicas en un nuevo aeropuerto y se ha establecido la política de que una persona no tenga que esperar más del 10% de las veces que intente usar el teléfono. La demanda estimada se supone que sigue una distribución poisson, con un promedio de 30 hr, mientras la llamada telefónica promedio tiene una distribución exponencial con un tiempo medio de 5 min. ¿Cuántas casillas telefónicas se deben instalar?

Página 31

Datos λ= 30 por horaµ= 12 por hora 1 llamada = 5 min10 % de espera

Probabilidad de que el cliente tenga que esperar

Po =

1

∑n=0

n=k−1

( 1

n!( λµ )ⁿ )+ 1

k ! ( λµ )ᴷ ( k µ

k µ−λ )

Con k=2; 2*µ= 24 llamadas/hr

Po =

1

∑n=0

n=1

( 1

1 !( 3012 )ⁿ )+ 1

2! ( 3012 )2( 2∗12

2∗12−30 )

= -.111Con k=5; 5*µ= 60 llamadas/hr

Po =

1

∑n=0

n=4

( 1

n! ( λµ )ⁿ )n+ 1

k ! ( λµ )2( 5∗µ

5∗µ− λ )

= .0801

῭Pk=P(5)=.13

.13>.10 ῭ no cumple aun con los requerimientos

Con k=6; 6*µ= 72 llamadas/hr

Página 32

Po =

1

∑n=0

n=5

( 1

n!( λµ )ⁿ )n+ 1

k ! ( λµ )2( 6∗µ

5∗µ−λ )

= .08162

῭Pk=P(6)=.047

.047<.10 ῭ este es el número mínimo de casillas necesarias para cumplir con los requerimientos

Nota: En algunos casos de los problemas de colas el número de clientes es pequeño, tan pequeño que la llegada de un cliente afecta la probabilidad de futuras llegadas: Entonces la suposición de una población infinita ya no es válida.Por ejemplo, cuando el sistema consiste en un mecánico que atiende 3 máquinas. En este caso es evidente que la probabilidad de llegada de un cliente varía con un simple cambio en cuanto a la reparación, de cualquier máquina. Como regla implica, se dice que si la población de donde surge los clientes es menor que 30 deben usarse las ecuaciones correspondientes a población finita.Aunque los conceptos son iguales tenia población finita como infinita, algunos términos y ecuaciones requeridos en el análisis son diferentes.Por ejemplo: en población finita la probabilidad de una llegada varia según el número de clientes disponible para entrar en el sistema. Es decir, si M representa la población total de clientes y n es el numero de clientes que ya están en la cola; entonces, cualquier llegada debe provenir de los M x n restantes, por lo tanto, conociendo la probabilidad de una llegada individual es posible expresar, la probabilidad de cualquier llegada. Para ello considere que si 1/ es el tiempo entre requerimientos de servicio o tiempo medio entre llegadas, entonces () es la probabilidad de que un cliente requiere servicio; esto supone ala vez que dicha probabilidad es independiente del periodo de tiempo y por tanto tiene distribución de poisson.Así mismo, si es la probabilidad de que se requiere un servicio y M-n es el número de clientes que no están en la cola entonces la probabilidad de que un cliente requiere servicio (M-n).

Página 33

UNIDAD TRES.TEORÍA DE LA DECISIÓN

o Introducción

o Ambiente y criterios para la toma de decisiones

o Valor esperado en variables aleatorias

distribuidas continuamente

o Obtención de datos par a la toma de decisiones

o Árboles de decisión

o Problemas propuestos

o Bibliografía

UNIDAD 3.-TEORÍA DE LA DECISIÓN

Introducción

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Como cualquier ser humano, todos los días tomamos muchas decisiones. La mayoría de éstas son relativamente carentes de importancia y se hacen en forma habitual. En ocasiones, tomamos decisiones importantes que pueden tener efectos inmediatos y/o a largo plazo sobre nuestras vidas. Esas decisiones, tales como a qué escuela inscribirnos, si continuar estudiando o comenzar a trabajar, qué oferta de trabajo aceptar, si debemos rentar o comprar, o si su compañía debe aceptar una proposición de fusión, son decisiones importantes para las cuales preferiríamos dar la respuesta correcta. Con frecuencia estas decisiones se hacen con base en emociones o intuición, pero, ¿es esto apropiado?

En este capítulo se analiza el proceso de toma de decisiones y se presentan modelos que posiblemente pueden utilizarse para mejorarlo. Sin importar si en la actualidad usted usa o no estos modelos para tomar decisiones, aun así proporcionan un estándar contra el cual se pueden comparar las decisiones que usted tome.Es importante comprender lo que estos modelos pueden o no pueden hacer. En primer lugar, estos modelos proporcionan una estructura para examinar el proceso de toma de decisiones.

En algunas, situaciones no hay necesidad de justificar por qué se tomó una decisión. Sin embargo, en un mundo donde la mayoría de los administradores no son propietarios de los negocios que administran, se vuelve necesario emplear un proceso justificable para la toma de decisiones.

En segundo lugar, los modelos pueden utilizarse para evitar decisiones arbitrarias oinconsistentes que no se basen en todos los datos disponibles. Por desgracia, muchas veces tomamos decisiones que caen en esta categoría sin darnos cuenta que lo estamos haciendo. En sí, los modelos no nos dicen qué decisiones tomar; más bien, nos indican cómo proceder para tomarlas o cómo analizar decisiones pasadas.

Por último, y aun si utilizáramos estos modelos en todas las decisiones, no podríamos asegurar que el resultado fuera siempre favorable. En otras palabras, las buenas decisiones no garantizan buenos resultados. Por ejemplo, considere estudiantes universitarios que comparten unahabitación y se enfrentan a lamisma decisión en una feria regional. Se realiza un juego de azar que paga $100 por una apuesta de $10 y las probabilidades de perder son de 10 a 1. El primer estudiante paga sus $10 y gana el premio de $100. El segundo estudiante paga sus $10 y pierde. Ambos tomaron la misma decisión, que la mayoría de las personas consideraría buena, y aun así obtuvieron resultados distintos. Por ello, tomar una buena decisión no siempre da como resultado algo favorable.

Ambiente y criterios para la toma de decisionesDefinición y terminología

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Una decisión puede definirse como el proceso de elegir la solución para un problema, siempre y cuando existan al menos dos soluciones alternativas.Terminología de modelos de toma de decisionesAl igual que con cualquier tipo de modelo, los modelos de toma de decisiones tienen una terminología propia. Esta terminología describe las tres partes esenciales de una decisión:

1. Las decisiones alternativas de entre las cuales el Tomador de Decisiones (T. D) puede elegir.

2. Los estados de la naturaleza, o acciones externas que enfrenta la persona encargada detomar decisiones.

3. El resultado que se obtiene por el uso de una alternativa determinada cuando se presenta. Cierto estado de la naturaleza.

Decisiones alternativasCuando un T.D. enfrenta un problema que requiere una decisión, una de las acciones que debe emprender antes de llegar a una decisión, es determinar las alternativas sobre las cuales se basará la decisión final. Por ejemplo: En el caso de una Pizzería, ésta tiene cuatro alternativas relacionadas con el número de pizzas que debe hornear con anticipación (150, 160, 170 ó 180 pizzas). También tiene tres alterativas con respecto a la ubicación (no mudarse, el centro de la ciudad o ubicarse en una plaza comercial). Este caso ilustra el hecho de que no hacer cosa alguna es también una alternativa que quien toma las decisiones debe considerar. Observe también que sólo se consideran alternativas en verdad viables.

1.- K. Roscoe Davis, Patrick G. McKcown; Modelos cuantitativos para la Admón. Edit. Iberoamericana, México, 1996

Los estados de la naturalezaUna persona que toma decisiones y que enfrenta una situación de decisión en la que pueden producirse resultados múltiples a partir de una estrategia determinada, enfrenta estados de la naturaleza múltiples o acciones externas múltiples. Los estados de la naturaleza son las circunstancias que afectan el resultado de la decisión pero que están fuera del control del T.D. También se le denomina acciones externas porque son situaciones que le son externas.

En el caso de la Pizzería, en el cual se va a tomar una decisión con respecto a cuantas pizzas deben hornearse, los estados de la naturaleza se refieren a los niveles de demanda para las pizzas. Es decir, la Pizzería no puede controlar el número de pizzas que le solicitaran una noche determinada; aun así, este nivel de demanda tendrá efectos sobre las utilidades que obtenga por cualquier decisión que tome.

Con respecto a la decisión sobre la ubicación, de nuevo la Pizzería enfrenta tres estados de la naturaleza tres estados de la naturaleza sobre los cuales no tiene control. Estos estados de la naturaleza están influidos por las decisiones que alguna otra persona tomara con respecto al comercio en el centro de la Cd., o al desarrollo de la plaza

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comercial. Las decisiones tendrán un efecto inevitable sobres el valor presente de las utilidades, y esto sin importar que decisión tome el dueño de la pizzería con respecto a la ubicación. Esto es, mudarse al centro de la Cd., a la plaza comercial o no mudarse.

El concepto primordial que debe recordarse acera de los estados de la naturaleza, es que se trata de condiciones externas que tienen efecto sobre los resultados que se obtienen de diversas decisiones alternativas. De muevo, y al igual que en la selección de alternativas, es importante considerar solo condiciones del medio ambiente que tengan un efecto significativo sobre los resultados.

Para la combinación de estrategia y estado de la naturaleza habrá un resultado. Este resultado puede expresarse en términos de utilidades (como es el caso del problema de elegir el número de pizzas que deben hornearse), puede expresarse en términos de valores presentes (como el caso de la decisión sobre la ubicación), o puede expresarse en términos de alguna medida no monetaria.

Para determinar los resultados es necesario considerar todas las posibles combinaciones de decisiones y estados de la naturaleza para determinar el resultado que se obtendría si se utiliza una alternativa dada y si ocurre un estado especifico de la naturaleza. Por ejemplo, en el Problema de la ubicación de la pizzería si el dueño decidiera no mudarse al comercio del centro de la ciudad, se calcula que el resultado sería $50,000. En esa situación hipotética y dado que había tres alternativas y tres estados de la naturaleza existen 3 x 3 = 9 resultados que deben calcularse. En general, si existen k alternativas y estados de la naturaleza, será necesario calcular (k x n) resultados. Con bastante frecuencia los resultados también se denominan pagos y una tabla de resultados se denomina tabla de pagos.

Criterios para la toma de decisionesEn síntesis, la toma de decisiones racional implicara siempre un análisis de investigación de operaciones en el cual podamos apoyar la decisión final. En la actualidad se dice que la mayoría de las decisiones se toman bajo condiciones de incertidumbre; sin embargo se deben establecer las diferentes condiciones en que se puede tomar una decisión, siendo estas:a) Decisiones bajo certeza. Es cuando un solo estado de la naturaleza y además es conocido. A esto se le conoce como información determinística.b) Toma de decisiones bajo condiciones de incertidumbre. En este caso existes uno o más estados de la naturaleza y el decisor no tiene conocimientos de ellos ni está en condiciones de ellos ni está en condiciones de asignarle una probabilidad.c) Toma de decisiones bajo riesgo. En esta situación existe uno o más estados de la naturaleza, además el decisor tiene información que soportará la asignación de valores de probabilidad a cada uno de los estados posibles.Toma de decisiones bajo: certeza, incertidumbre y riesgoSe sugiere proceder mediante los tres siguientes pasos antes de tomar una decisión.

1. Listar todas las alternativas viables para tomar la decisión (aplicando a un problema de fabricación de audio cintas se tiene):a) Expandir instalacionesb) Construir una planta nuevac) Subcontratar parte de la producción

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2. Identificar loes eventos futuros que pueden llegar a suceder (estados de la naturaleza); de talForma que solo uno de ellos pueda ocurrir a la vez aclarando que estos no son controlables. (Para el ejemplo son):a) Alta demandab) Demanda moderada (aceptación razonable, competencia)c) Baja demandad) Falla (no hay aceptación)3. Construir una tabla de beneficios o pagos según se requiera, resultante de cada posible combinación entre las diferentes alternativas y los estados de la naturaleza.Traduciendo todo lo anterior respecto al problema del fabricante de cintas se construyes la tabla siguiente; misma que contiene las ganancias y las pérdidas calculadas para cada posible combinación de alternativas y estados de la naturaleza.

ESTADOS DE LA NATURALEZAALTERNATIVAS ALTA

DEMANDADEMANDAMODERADA

BAJADEMANDA

FALLA

Expandir 500 250 -250 -450

Construir 700 300 -400 -800

Subcontratar 300 150 -10 -100

Como ya se ha comentado las decisiones bajo certeza no requieren mayor estudio ya que involucran decisiones rutinarias y triviales, además de escasas. Por lo tanto nos abocaremos al análisis de las decisiones bajo incertidumbre y posteriormente aquellas que se tomen bajo riesgo.Así, los criterios establecidos para la toma de decisiones bajo incertidumbre son 4 principalmente; mismos que desarrollaremos a continuación para el ejemplo de las cintas.

1. CRITERIO MAXI MAX (optimista). La aplicación de este criterio en los problemas implicara seleccionar la alternativa que maximizará el beneficio máximo. Para ello se selecciona primero el beneficio máximo posible de cada alternativa y segundo, se selecciona.

El beneficio máximo dentro de este grupo.Máximos beneficios: 500,700, 300MAXI MAX = 700La aplicación de este criterio implicaría tomar la decisión de construir puesto que siendo optimistas aquí se tendría la mayor ganancia.

CRITERIO MAXI MIN (pesimista). Se intenta aquí maximizar los beneficios mínimos posibles. Análogamente con el criterio anterior se seleccionan primero los mínimos beneficios de cada alternativa, y segundo, se selecciona el máximo de este grupo.Mínimos beneficios: -450, -8000, -100

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MAXI MIN = -100De la misma forma que el criterio anterior este implicara una decisión de subcontratar ya que siendo pesimistas con esta decisión se perdería lo menos.

CRITERIO DE ARREPENTIMIENTO (Mini Max), o criterio de Savage. Aquí se evalúan diferentes combinaciones bajo la suposición de, ¿Qué habría pasado al suceder los diferentes estados de la naturaleza combinados con las alternativas?Por ejemplo. Supóngase que se toma la decisión de subcontratar y resulto que la demanda es alta. Por lo tanto la utilidad es de $300; pero si se hubiera sabido que la demanda iba a ser alta se habría escogido la alternativa de construir obteniendo así una utilidad de $700 que comparativamente con los $300 mencionados representan $400 más; valor que se le conoce como arrepentimiento.Así se construye una tabla de arrepentimiento restando todos y cada uno de los valores de la tabla utilidades (por columna) del valor máximo de su columna correspondiente, para luego escoger el máximo arrepentimiento y enseguida el mínimo de este grupo. Lo anterior se muestra en la tabla siguiente:

TABLA DE ARREPENTIMIENTO MAXIMO

Alta Moderada Baja Falla ARREP.

Expandir 200 50 240 350 350

Construir 0 0 390 700 700

Subcontratar 400 240 0 0 400La aplicación de este criterio por su parte indica que al tomar la decisión de expandir, con lo cual se minimizara en un determinado momento de arrepentimiento

1. CRITERIO DEL REALISMMO O DE HURWICZ. Este criterio está entre el maxi max y el maxi min y, requiere para su aplicación un coeficiente que especifique el grado de optimismo, el cual se ha simbolizado por la letra griega α donde: 0 α 1. Así se entiende que si α=0 indica total pesimismo, y si α=1 es total optimismo, para aplicarse se determinan el máximo y le mínimo beneficio para cada alternativa, calculándose a su vez el valor del realismo mediante la siguiente ecuación.

Medida de realismo = α (Beneficio máximo) + (1 - α) (Beneficio mínimo)La ventaja de este criterio es que el decisor puede introducir en el su propio punto de vista en base a la experiencia. La siguiente tabla muestra los cálculos para el problema del fabricante de audio cintas con un α = 0.7.

Máximo beneficio

Máximo beneficio

α(Máximo beneficio)

(1-α)(Máximo beneficio) Medida de real

Expandir 500 -450 350 -135 215Construir 700 -800 490 -240 250Subcontratar 300 -100 210 -30 180

Como puede apreciarse este criterio resulta en la decisión de construir, con lo cual se es pera un beneficio de $250.00.A manera de conclusión debe aclararse que los criterios por si solos no indican la decisión en sí, que ha de tomarse. Esto es evidente puesto que es un hecho que simplemente teniendo estas herramientas no se hace un gerente de operaciones

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efectivo, así como poseer una sierra y un martillo no hace a alguien un carpintero. Un gerente de operaciones debe saber cómo usar las herramientas de elaboración de decisión.Toma de decisiones bajo riesgoEste tipo de decisiones se dice que existe información en la cual sustentar la asignación de probabilidades a los posibles estados de la naturaleza. Dicha información puede provenir deDatos históricos y/o de la experiencia del decisor.Aunque algunas veces la fuente de información se considere trivial debe darnos una idea del estado en que se encuentra el ambiente, además de darnos la seguridad de su veracidad.Con todo lo anterior para la toma de decisiones bajo riesgo hay tres criterios a saber.Criterio del valor esperado o de BayesRequiere que el decisor calcule el valor esperado de cada alternativa para de ahí seleccionar aquella con el valor esperado máximoProblemaUna vendedora de fresas enfrenta el problema de decidir cuántas cajas de fresas almacenar para las ventas del siguiente día. Ella cuenta con información histórica que le permite establecer los posibles estados de la naturaleza; esto, al muestrear los últimos 90 días, la información es la siguiente:Ventas por díaNo. De días con esa venta Probabilidad que se

venta dese número de cajas

10 18 días 18/90 = 0.211 36 días 36/90 = 0.412 27 días 27/90 = 0.313 9 días 9/90 = 0.1∑ = 90 días ∑ = 1.0

Sabiendo que cada caja de fresas se compra en 3 dólares y se vende en 8; y además que las cajas que no se venden son pérdida total construya una tabla de ingresos y/o pagos y aplique el criterio del valor esperado para determinar la decisión procedenteNo tese que la tabla refleja en los estados de la naturaleza las posibles ventas por día que pueden ocurrir según el análisis de datos históricos. Por otra parte las alternativas representan las posibles decisiones de almacenamientos, como es obvio, si se supiera, que la demanda va a ser de 10 cajas se decidirá almacenar esa cantidad y así sucesivamente por lo que se considera una alternativa adecuada a cada estado de la naturaleza.

Tabla de ingresosALTERNATIVAS

10 11 12 13

Página 40

Estados de la naturaleza 10

$50 47 $44 41

11 50 55 52 49

12 50 55 60 57

13 50 55 60 55

Por otra parte, los pagos se obtienen como sigue:Tomemos por ejemplo, la combinación depende el estado de la naturaleza es de 10 cajas y la alternativa también es de 10 cajas de fresas, entonces el pagose obtiene de multiplicar los 5 dólares de ganancia por caja vendida por las 10 cajas que se venden. Debe observarse además que en esa columna todos los pago son de 50 dólares, ellos es debido a que no consideran en el problema los costosos de oportunidad (por venta no efectuada). Sin embargo si observamos el renglón correspondiente también a la combinación en cuestión de notar que los pagos si reflejan el costo por obsolescencia (exceso de inventario) puesto que el problema así lo maneja. Esto es, si tomamos el 1er. Estado de la naturaleza (10 cajas de fresas) y la alternativa de almacenar 11 cajas, el pago será el que se obtenga de la venta de 10 cajas igual a 50 dólares menos el costo de la onceava caja que no se vendió y costo 3 dólares quedando un pago 50 – 3 = 47 dólares.Ahora para aplicar el criterio debe construirse una tabla que contenga para cada combinación las utilidades condicionales (U.C.) calculadas en la tabla anterior, así como su probabilidad de ocurrencia para calcular su valor esperado.

Nota: Recuerde que el valor esperado de una variable aleatoria se obtiene al ponderar el valor de dicha variable por su probabilidad correspondiente. Así el mejor valor esperado después de que el proceso se repita varias veces es de 53.6 dolare4s y por lo tanto se deben almacenar 12 cajas. La tabla resultante es la siguiente1.- Herbert Moskowitz, Gordon P. Wright; Investigación de operaciones Prentice Hall, México

ALTERNATIVASAlmacén 10 Almacén 11 Almacèn12 Almacén 13UC P VE UC P VE UC P VE UC P VE

E. 10 50 0.2 10 47 0.2 9.4 44 0.2 8.8 41 0.2 8.2de 11 50 0.4 2 55 0.4 22 52 0.4 20.8 49 0.4 19.6la 12 50 0.3 15 55 0.3 16.5 6 0.3 18 57 0.3 17.1nat. 13 50 0.1 5 55 0.1 5.5 60 0.1 6 65 0.1 6.5

Σ=50 Σ=53.4 Σ=53.6 Σ=51.4

El valor de la información perfectaLa información adicional ocasionalmente es disponible, o puede compararse respecto a futuros sucesos, permitiendo al tomador de decisión tomar una decisión mejor. Por ejemplo una compañía podría contratar un pronosticador económico para determinar más precisamente las condiciones económicas que ocurrirán el futuro. Sin embargo sería necio pagara más por esta información que la posiciones para ganar extra en la ganancia. La información tiene algún valor máximo que es el límite que el tomador de

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decisión estaría dispuesto a gastar. Está valor de información puede computarse como un valor esperado.

En efecto considerando lo anterior y aplicándolo al problema del vendedor de fresas, para el cálculo del valor esperado de la información perfecta, debe considerarse:

1°. Que existe dicha información perfecta.

2°. Calcular la utilidad esperada al tomar decisiones basadas en información perfecta y

3°. Observar de cuanto es la diferencia en la utilidad esperada al tomar decisiones “con” y “sin” información prefecta, siendo esta la diferencia, precisamente el valor de dicha información.

El procedimiento para el cálculo mencionado anteriormente se basa en que al tener la información perfecta (certera) cerca del estado de la naturaleza que va a ocurrir es lógico que escoja la decisión que maximiza el pago para ese estado de la naturaleza. Ahora puesto que cada estado de la naturaleza ocurre solamente durante un lapso de tiempo, para calcular el valor esperado de la información perfecta, deben considerarse loas pagos máximos para cada estado de la naturaleza y ponderarlos por su probabilidad respectiva, resultados que al sumarse nos dan la utilidad con información perfecta. Estos cálculos se resumen en la siguiente. Tabla.

Por otra parte y respecto a la pregunta ¿Cuánto debe pagarse por la información perfecta? Esta se responde restando de la utilidad esperada “con” información perfecta la utilidad esperada “sin” este tipo de información lo que nos da un valor para el casi del vendedor de fresas de 2.90 dólares

Calculo de la utilidad esperada con información perfectaALTERNATIVAS

10 11 12 13 Prob. V.EEstados 10 50 0.2 10de la 11 55 0.4 22naturaleza 12 60 0.3 18

13 65 0.1 6.5Σ=53.6

Valor esperado c/inf. Perfecta - valor esperado s/inf. Perfecta= 56.5 – 53.6= 2.9

Criterio de la minimización de pérdidas

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Siguiendo con el problema del vendedor de fresas encontramos que están involucrados dos tipos de perdidas:Nota: Recuerde que hasta aquí en el problema citado solo se ha considerado la pérdida por obsolescencia.La primera se denomina perdida por obsolescencia y, es aquella originada por almacenar demasiadas unidades (cajas de fresas), ya que si no se venden se pierden completamente.El segundo tipo denominado perdida por oportunidad, se refiere a aquellas pérdidas causadas por no tener inventario cuando los compradores quieren comprar. A continuación se muestra al análisis del criterio enunciado, partiendo para ello de una tabla de pérdidas condicionales para calcular enseguida las perdidas esperadas y finalmente escoger la mínima de ellas.

Perdidas condicionalesALTERNATIVAS

10 11 12 13

Estados de la naturaleza

10 0 3 6 9

11 5 0 3 6

12 10 5 0 3

13 15 10 5 0

La tabla de pérdidas condicionales ha sido elaborada bajo los condicionamientos originales del problema. Esto es para el estado de la naturaleza igual a10 unidades y la alternativa de almacenara también 10 unidades se dice que la perdidas es cero puesto que se vendieron todas las unidades y no hubo faltante (solicitud de unidades sin cubrir).

Sin embargo para el mismo estado de la naturaleza y una alternativa de almacenamiento de 11 unidades hay una pérdida de 3 dólares puesto que solo se demandaron (según el estado de la naturaleza) y se vendieron 10 y como se habían almacenado 11 es una pérdida total, para las alternativas 12 y 13 sucede lo mismo solo que se pierden 2 y 3 unidades respectivamente.

Por otra parte, si se analiza por columna, tomando como punto de partida la primera alternativa de almacenamiento (10 cajas) se observa que para el estado de la naturaleza igual a 10 la pérdida es cero por las razones ya expuestas, pero para el estado iguala a 11 cajas se tiene una pérdida de 5 dólares, debido a que solo se almacenaron 10 cajas y se demandaron 11 por lo que al dejar de venderse una por faltante se perdió la posible ganancia de esta igual a 5 dólares.Para los estados 12 y 13 es análogo el cálculo.

En general la tabla de pérdidas condicionales refleja arriba de la diagonal principal perdida por obsolescencia (exceso de inventario) y debajo de lamisma pérdida por oportunidad (faltante). Asimismo en la diagonal principal observamos perdidas iguales

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a cero, esto es debido a que son las combinaciones perfectas por ejemplo si el estado de la naturaleza que se presento fue de 12 cajas demandadas y se había tomado la decisión de almacenar 12, entonces todo fue perfecto pues ni sobro ni falto.

La siguiente tabla muestra el cálculo de los valores esperados de las perdidas condicionales y el mínimo de ellosCálculo del valor esperado de las pérdidas condicionales

10 11 12 13UC P VE UC P VE UC P VE UC P VE

10 0 0.2 0 3 0.2 0.6 6 0.2 1.2 9 0.2 1.811 5 0.4 2 0 0.4 0 3 0.4 1.2 6 0.4 2.412 10 0.3 3 5 0.3 1.5 0 0.3 0 3 0.3 0.913 15 0.1 1.5 10 0.1 1 5 0.1 0.5 0 0.1 0

Σ=6.5 Σ=3.1 Σ=2.9 Σ=5.1

Los resultados reflejan que tanto el valor esperado de la utilidad como el de la perdida coinciden en la acción de almacenar doce cajas de fresas. Por lo que esta se considera la opima bajo el citado criterio del valor esperado.

Criterio de la racionalidad (o de Laplace)En ausencia de otra información acerca de los futuros estados de la naturaleza es posible suponer que es igualmente probable que suceda cualquiera de ellos; lo que se traduce en el concepto de la racionalidad.

Dicho concepto supone que para las condiciones del problema del vendedor de fresas en ausencia de mayor información es igualmente probable cualquier demanda.

Construyendo la tabla de utilidades condicionales para el problema de fresas y ponderando las probabilidades iguales se obtiene la solución por este criterio, escogiendo el mejor valor esperado.

Esto se muestra a continuación:10 11 12 13UC P VE UC P VE UC P VE UC P VE

10 50 .25 12.5 47 .25 11.75 44 .25 11 41 .25 10.2511 50 .25 12.5 55 .25 13.75 52 .25 13 69 .25 12.2512 50 .25 12.5 55 .25 13.75 60 .25 15 57 .25 14.2513 50 .25 12.5 55 .25 13.75 60 .25 15 65 .25 16.25

Σ= 50 Σ= 53 Σ= 54 Σ= 53

Nota: Aquí las utilidades condicionales solamente incluyen costos por exceso de inventario más no así los costos de oportunidad.

Criterio de máxima verosimilitudEste criterio es adecuado solo en problemas con pocos estados de la naturaleza y en loa cuales hay uno que se dispara en probabilidad con respecto a los demás; y no es

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recomendable en problemas con muchos estados de la naturaleza sonde la probabilidad se reparte casi por igual.

El criterio se muestra a continuación para el problema de las fresas:10 11 12 13UC P VE UC P VE UC P VE UC P VE

1011 50 0.4 20 55 .4 22 52 .4 20.8 49 .4 19.61213

Como lo indica el criterio solo se ha considerado el segundo estado de la naturaleza, esto es, una posible demanda de 11 cajas de fresas puesto que es el estado con mayor probabilidad. Así, una vez calculados los valores esperados para cada alternativa, se tiene que es mejor (obviamente) aquella de almacenar 11 cajas de fresas.

UNIDAD 3 EJERCICIOS

Toma de decisiones por incertidumbre

2.1 v. w. es un vendedor de casa en casa de productos alimenticios, utiliza un carro triciclo y camina por el vecindario vendiendo carne, huevos, algunas verduras y leche. Está considerando añadir embutido ahumado, sin embargo, debido a que su carro no tiene refrigeración, cualquier embutido que le quede al final del día se echa a perder. Del conocimiento de sus clientes V. estima que la demanda de embutido será 0 y 4 libras al di, usando su relación conocida de costo/precio, ha ensamblado esta tabla de perdida/utilidades.

DEMANDA NUMERO DE LIBRAS ALMACENADAS

0 1 2 3 4

0 $0 -$2 -$3 -$4 $8

1 0 3 1 -1 -3

2 0 3 6 4 2

3 0 3 6 9 7

4 0 3 6 9 12

Utilizando el criterio de decisión maximin, ¿cuantas libras debe almacenar V.W.?Solución:

DEMANDA NUMERO DE LIBRAS ALMACENADAS

0 1 2 3 4

0 $0 -$2 -$3 -$4 $8

1 0 3 1 -1 -3

2 0 3 6 4 2

3 0 3 6 9 7

4 0 3 6 9 12

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MINIMO 0 -2 -4 -6 -8

Por el criterio maximin, se ha tomado el máximo de los mínimos de las alternativas que se tienen, el cual fue la cantidad de (0), lo cual nos da como resultado de debe almacenar 0 libras, para tener la menor perdida.

2.2 yogurt hut, ltd, vende yogurt natural en una comunidad colegial. Julie stoneman, la gerente está llenando las órdenes para el surtido de la próxima semana. No tiene la certeza de cuáles serán la ventas. Julie tiene la tabla siguiente como representación de unidades, dadas ciertas combinaciones de nivel de ventas y compras.

VENTAS SEMANALES

ACCIONESCOMPRAR 200 COMPRAR 300 COMPRAR 400

200 $50 $25 $0300 50 75 50400 50 75 100

Utilizando el criterio de decisión máximas, ¿Qué consejo le puede dar a julie acerca de las cantidades de yogurt a comprar para la próxima semana?

Solución:VENTAS SEMANALES

ACCIONESCOMPRAR 200 COMPRAR 300 COMPRAR 400

200 $50 $25 $0300 50 75 50400 50 75 100MÁXIMO 50 75 100

El consejo que se puede dar, es que opte por la alternativa de comprar 400 unidades de yogurt, ya que es donde se tiene la mayor ganancia que es de 100, que se obtuvo por el criterio máximas.

2.3 la compañía X fabrica juguetes de madera para niños. La compañía cree que loa tendencia actual hacia juguetes más sencillos y duraderos continuara. Así, esta debe decidir entre los tres métodos alternos de surtir la demanda creciente esperada para sus productos. Estas son, reacondicionamiento total de la planta existente e instalación de maquinaria computarizada para el manejo dela madera, expansión de la planta actual y añadir más maquinaria o comprar la planta de la competencia que está en venta. Una cuarta alternativa (no hacer nada) seria limitar la producción a la capacidad de actual de la planta. La tabla de beneficios de la compañía X es como sigue.

ALTERNATIVAS DEMANDAALTA MODERADA BAJA FALLA

REACONDICIONAR $30,000 $10,000 -$5000 -$50,000

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EXPANDIR 60,000 20,000 -10,000 -70,000COMPRAR 50,000 15,000 -20,000 -60000NO HACER NADA 3000 2000 -1000 -5000

La gerencia no tiene información de cómo es probable que sea la demanda. Usando el criterio realista, con a=.75, determina la mejor opción para la compañía, bajo estas condiciones.

ALTERNATIVAS MaxBeneficio

MinBeneficio

a(MaxBeneficio).

(1-a)(Mini-Ben-)

Medida de Beneficio

REACONDICIONAR $30,000 -$50,000 $22,500 -$12,500 $10,000EXPANDIR 60,000 -70,000 $45,000 -$17,500 $27,500COMPRAR 50,000 -60000 $37,500 $15,000 $22,500NO HACER NADA 3000 -5000 $2,250 $1,250 $1000

VALOR MÁXIMO $27,500

Por lo tanto la alternativa seria de expansión, ya que tiene una máxima ganancia de $ 27,500, obtenido por el criterio de realismo.

2.4 Los fondos mutualistas del noreste tienen disponibles $500,000 para una de las tres inversiones en el mercado bursátil, la oferta de una acción segura, la oferta de una acción de crecimiento y la oferta de una acción especulativa. El ambiente de inversión puede tomar cualquiera de los cuatro estados y la mutualista no tiene información previa sobre lo que el mercado hará la tabla de beneficios de la mutualista es como sigue:

TIPO DE ACCION TENDENCIA DEL MARCADO DE VALORESAUGE CREC.MODERADO DECL.MODERADA CAIDA

SEGURA $25,000 475,000 40 $300,000CRECIMIENTO 375000 150,000 -50,000 -400,000ESPECULATIVA 500,000 100,000 -150,000 500,000

Usando el criterio de arrepentimiento minimax para la toma de decisión, evaluar cada alternativa y aconsejarle a la mutualista lo que es preferible.SOLUCION:

TIPO DE ACCION TENDENCIA DEL MARCADO DE VALORESAUGE CREC.MODERADO DECL.MODERADA CAIDA

SEGURA $25,000 475,000 40 $300,000CRECIMIENTO 375000 150,000 -50,000 -400,000ESPECULATIVA 500,000 100,000 -150,000 500,000MAYOR 500,000 150,000 0 -$300,000

SE HACE LA DIFERENCIA POR CELDA

TIPO DE ACCION

TENDENCIA DEL MARCADO DE VALORESAUGE CREC.MODERADO DECL.MODERADA CAIDA MAXIMIN

SEGURA 475,000 75,000 $0 0 47,000CRECIMIENTO 125,000 150,000 -50,000 -

100,000125,00

ESPECULATIVA 0 100,000 -150,000 200,000 200,000

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MINIMO 125,000

Por este criterio de arrepentimiento (maximin), nos muestra que conviene invertir en la alternativa de crecimiento.

TOMA DE DECISIONES BAJO RIESGO 2.5 Aquí está una distribución de ventas de cartucho de 8 pistas para una tienda de estéreo.

CANT.VENDIDA DIAS OCURRIDOS

P(OCURRENCIA) PROB.ACUMULADA

20 UNIDADES 10 .1 .125 30 .3 .840 50 .5 .660 10 0.1 0.1

El dueño compra estas a $6 cada una y las vende a $10Por lo que la utilidad es de 10-6 = $ 4 solo habrá costo de oportunidad y ¿por qué no de obsolescencia? por que el producto no se echa a perder.

ESTADOS DE LA NATURALEZA

ALTERNATIVAS

20 25 40 60U.C PROB V.E U.C PROB V.E U.C PROB V.E U.C PROB V.E

20 80 .1 8 80 .1 8 80 .1 8 80 .1 825 60 .3 18 100 .3 30 100 .3 30 100 .3 30

40 0 .5 0 40 .5 20 160 .5 80 160 .5 80

60 -80 .1 -8 -40 .1 -4 80 .1 8 240 .1 24SUMATORIA DE V-E

18 54 126 142

Valor esperado con información completa= 8+30+80+24=$142a) ¿Si almacenan 25 cada día, ¿Cuál es la cantidad esperada por día?

La utilidad seria de $54 b) ¿Cuál sería la utilidad por día con inventario de 60 unidades?

La utilidad seria de 142c) Que cantidad debe comprar cada día para maximizar las utilidades esperadas?

Debe comprar 60 unidades, ya que se tiene la máxima utilidad de 142d) ¿Cuál es el valor de la información perfecta para el dueño?

El valor de la información perfecta == 8+30+80+24=$142Valor máximo esperado sin información perfecta= 142Por lo tanto el valor de la información perfecta es ($142-142=0).

2.6 en una compañía distribuidora de langostas frescas, las órdenes se reciben por correo. La compañía las compra a $3.6 y las vende en $4.5 la distribución semanal de embarques es como sigue:

EMBARQUES SEMANAS PROBABILIDAD PROB.

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P/SEMANA OCURRIDAS ACUMULADA3000 5 .05 15,000 15 .15 .958,000 25 .25 .812,000 40 .4 .5518,000 15 .15 .15

Una firma de consultores especializados en pronósticos de ventas se ha puesto en contacto con la compañía. La firma ha ofrecido proveer a la distribuidora con un modelo de pronósticos de ventas que cuando menos duplicara las unidades actuales del distribuidor al igualar las compras y las ventas. El costo de comprar y operar el modelo será de 7500 a la semana. ¿Debe comprarlo la compañía?. (Ya se está usando el valor esperado para calcular cuantas langostas ordenar cada semana).

2.7 un vendedor de equipo de golf al comienzo de la temporada está decidiendo cuantas bolas de golf almacenar. Ha usado los riesgos previos para formular la tabla siguiente, que ilustra la demanda que espera y las unidades (perdidas) condicionales dadas ciertas acciones de almacenamiento. Usando el principio de máxima verosimilitud como criterio de decisión. ¿Qué cantidad debe almacenar?SOLUCION:

DEMANDA PROBABILIDAD UTILIDADES CONDICIONALES(ACCIONES DE ALMACENAMIENTO)

2 4 6 8 10 122 .1 $50 20 0 20 -60 -$1004 .3 50 100 50 0 -20 -606 .2 50 100 150 120 80 08 .2 50 100 150 200 160 12010 .1 50 100 150 200 250 19012 .1 50 100 150 200 250 300

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Ahora sacando el valor esperado se tienen las siguientes cantidades:

DEMANDA PROBABILIDAD UTILIDADES CONDICIONALES(ACCIONES DE ALMACENAMIENTO)

2 4 6 8 10 122 .1 $5 2 0 2 -6 -$104 .3 15 30 15 0 -6 -186 .2 10 20 30 24 16 08 .2 10 20 30 40 32 2410 .1 5 10 15 20 25 1912 .1 5 10 15 20 25 30SUMATORIA DE V.E. 50 92 105 106 86 $45

Se tiene un valor esperado máximo de $106, por lo que podemos decir que la alternativa que debe ser seleccionada es la de almacenar 8 bolsas.

2.1 Virgil Williams es un vendedor de casa en casa, de productos alimenticios, utilizan un carro triciclo y camina por el vecindario vendiendo carne, huevos, algunas verduras y leche. Virgil está considerando añadir embutido ahumado; sin embrago, debido a que su carro no tiene refrigeración, cualquier embutido que le quede al final del día se hecha a perder. Del conocimiento de sus clientes, Virgil estima que la demanda de embutido será entre 0 y 4 libras al día; usando su relación conocida de costo/precio, ha ensamblado esta tabla de pérdida/utilidades:

DemandaNumero de libras almacenadas

0 1 2 3 40 0 -2 -4 -6 -81 0 3 1 -1 -32 0 3 6 4 23 0 3 6 9 74 0 3 6 9 12

Utilizando el criterio de decisión máximin, ¿cuántas libras debe almacenar Virgil?

DemandaNumero de libras almacenadas

0 1 2 3 40 0 -2 -4 -6 -81 0 3 1 -1 -32 0 3 6 4 23 0 3 6 9 74 0 3 6 9 12

MaximinMinimax

2.2 Yogurt Hut, Lid., Vende yogurt natural en una comunidad colegial. Julie Stoneman, la gerente está llamando las órdenes para el surtido de la próxima

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semana. No tiene certeza de cuáles serán las ventas. Julie tiene la tabla siguiente como una representación de las utilidades, dadas ciertas combinaciones de nivel de ventas y compras:

Ventas Semanales

Numero de libras almacenadas Comprar 200 Compara 300 Comprar 400

200 50 25 0300 50 75 50400 50 75 100

Utilizando el criterio de decisión maximax, ¿Qué consejo le puede dar Julie acerca de las cantidades de Yogurt a comprar para la próxima semana?

Ventas Semanales

Numero de libras almacenadas Comprar 200 Compara 300 Comprar 400

200 50 25 0300 50 75 50400 50 75 100Maximax

2.3Los fondos mutualistas del noroeste tienen disponibles $500,000 para una de tres inversiones en el mercado bursátil: la oferta de una acción segura, la oferta de una acción de crecimiento y la oferta de una acción especulativa. El ambiente de inversión puede tomar cualquier de cuatro estados y la mutualista no tiene información previa sobre lo que el mercado hará. La tabla de beneficios de la mutualista es como sigue:

Tipo de acción TENDENCIA DEL MERCADO DE VALORES Auge Crecimiento Declinación Caída Moderado Moderada

Segura 250 000 75 000 0 -300 000

Crecimiento 375 000 150 0 -50 000 -400 000

Especulativa 500 000 100 000 -150 000 -500 000

Usando el criterio de arrepentimiento minimax para la toma de decisión, evaluar cada alternativa y aconsejar a la mutualista lo que es preferible para obtener la mayor ganancia.

2.3 La New Era Toy Co., Inc., fabrica juguetes de madera para niños. La compañía cree que la tendencia actual hacia juguetes más sencillos y duraderos continuara. Así, New Era debe decidir entre tres métodos alternos de surtir la demanda creciente esperada para sus productos. Estas son, reacondicionando total de la planta existente e instalación de maquinaria computarizada para el

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trabajo en madera, expansión de la planta actual y añadir más maquinas o comprar la planta de la computadora que esta en venta. Una cuarta alternativa (no hacer nada) seria limitar la producción a la capacidad actual de la planta. La tabla de beneficios de New Era es como sigue:

La gerencia de New Era no tiene información de como es probable que sea la demanda. Usando el criterio realista, con ∝=0,75 determine la mejor opción para New Era bajo estas condiciones.

ALTERNATIVAS DEMANDA

ALTA MODERADA BAJA FALL

Reacondicionar 30 000 10 00 -5 000 -50 000 Expandir 60 000 20 000 -10 000 -70 000Comprar 30 000 15 000 -20 000 -60 000No hacer nada 3 000 2 000 -1 000 -5 000

2.4 Aquí esta una distribución de ventas de cartuchos de 8 pistas para la tienda estéreo del Big Charlies

Cantidad Comprada Por Los Clientes

Numero De Días Que Ocurrieron

P(ocurrencias) Probabilidad acumulativa

20 unidades 10 0.10 1.0025 30 0.30 0.9040 50 0.50 0.6060 10 0.10 .10

Charlie compra estas a $6 cada una y las vende a $10a) Si almacena 25 cada día ¿Cuál es su utilidad esperada por día?b) ¿Cuál sería la utilidad esperada por día con un inventario de 60 unidades?c) ¿Qué cantidad debe Charlie comprar cada día para maximizar las utilidades

esperadas?d) ¿Cual es el valor esperado de la información perfecta para Charlie?

2.5 Un veterinario compra vacunas de inmunización contra la rabia, el lunes de cada semana. Debido a las características de esta vacuna, se debe usar el viernes a más tardar o desecharse. La vacuna cuesta $7 por dosis y el veterinario cobra $10 por dosis. En el pasado, el veterinario ha administrado vacunas contra la rabia en las siguientes cantidades:

Cantidad Usada Por Semana

Numero De Semanas Que Esto Ocurrió

P de ocurrencias Probabilidad acumulativa

25 15 0.40 1.00

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40 20 0.30 0.6050 10 020 0.3075 5 0.10 .10

Usando el análisis marginal, determine cuantas dosis debe ordenar el veterinario cada semana

2.6 La Capitain Table es un distribuidor de langostas frescas, las órdenes se reciben por correo. La compañía las compra a $3.60 y las vende a $4.50. la distribución semanal de embarques es como sigue:

Embarques Por Semana

Numero De Semanas Que Ocurrió Esto

Probabilidad De Que Suceda

Probabilidad acumulada

3 000 5 0.05 1.005 000 15 0.20 0.958 000 25 0.20 0.75

12 000 40 0.40 0.5518 000 15 0.15 0.15

Una firma de consultores especializados en pronósticos de ventas se ha puesto en contacto con la compañía. La firma ha ofrecido proveer a The Captain Table con un modelo de pronóstico de ventas que cuando menos duplicara las utilidades actuales del distribuidor al igualar las compras y las ventas. El costo de comprar y operar el modelo será de $7,500 a la semana. ¿Debe comprarlo la compañía? (ya se esta usando el valor esperado para calcular cuantas langostas ordenar cada semana).

2.7 Usted se ha comprometido a patrocinar un carro de carreras y un equipo como parte de una compañía publicitaria. Al preparar un estado de gastos esperados para la siguiente carrera, a acumulado esta información: una maquina nueva para el carro de carreras cuesta $5,000; un reacondicionamiento completo cuesta $2,000; una reparación menor es esencialmente un elemento sin costo puesto que la cuadrilla esta a sueldo. El equipo “vuela totalmente” (destruye) una maquina en 40% de las carreras; en 30% de las veces la maquina necesita un reacondicionamiento completo después de la carrera; 30% de las veces la maquina solo necesita una reparación menor. Sus datos también muestran las siguientes probabilidades condicionales para las velocidades de clasificación, dada la clase de reparación requerida por la maquina después de la carrera:

Velocidad de clasificación antes de

la carrera

Ocurrencia de máquinas voladas,

porcentaje

Ocurrencia de reacondicionamiento

mayor, porcentaje

Ocurrencia de reparación menor,

porcentajeMas de 175 mph 70 60 10De 160 a 175 mph 20 30 30

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Menos de 160 mph 10 10 60

Su piloto, Beauford Johnson ha clasificado para las 600 de Dixie a 182.375 mph. ¿Cuál es su gasto esperado en máquinas para la carrea?

2.8 Usted es dueño de una compañía fabricante de radios de banda civil. Compra sus cristales de dos fuentes diferentes para garantizar el abasto. La orden normal es de 30,000 cristales. Una fuente de abasto garantiza no más de 1% de defectuosos. L a otra fuente ha tenido porcentajes variables de acuerdo a esta tabal:

Porcentaje Defectuoso Probabilidad de este nivel

0.50 0.302.0 0.505.0 0.20

Su personal de la line de ensamble puede reparar los cristales defectuosos a un costo de $2 cada uno. La fuente de abasto con el porcentaje de defectuosos garantizado cobra $1,000 más por orden que la otra fuente. ¿Qué fuente proporciona el costo mas bajo para su abasto de cristales?

2.9 Southwestern University cree que se deben considerar cuatro características al seleccionar estudiantes para inscripciones: promedio de clasificaciones, resultado del examen de admisión, recomendaciones y actividades extraescolares. La universidad además cree que el promedio de clasificaciones es cuatro veces más importante que las actividades extraescolares; el examen de admisión es tres veces más importante que las actividades extraescolares y las recomendaciones son dos veces más importantes que las actividades extraescolares. Las puntuaciones están normalizadas en una escala de 100 puntos. En este momento hay dos vacantes para becas, escoja entre estos siete estudiantes:

Nombre del estudiante

calificaciones Examen de admisión

recomendación Actividades extraescolares

Steve 75 84 90 80Celeste 91 88 83 88Carole 86 93 90 92Frank 94 90 88 75Linda 94 84 86 89Cam 82 70 94 93Bill 74 89 85 68

2.10 Fred Allen tiene su propio camión de helados y vive a 48 kilómetros de la playa de recreo más cercana. El número de helados que vende depende en gran medida, del tiempo; el pronóstico más reciente indica una probabilidad de 0.3 de buen tiempo. Si hace buen tiempo y Fred va a la playa, el gana $90

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por día en promedio; si se queda en su casa su utilidad es de $40. Si el tiempo es malo, el gana solo $10 en la playa contra $25 en casa. Dado el último pronóstico del tiempo, construya la tabla de beneficios y recomiende si debe quedarse en casa o ir a la playa. ¿Cuánto podrá pagar Fred por un pronóstico realmente bueno del clima del día siguiente uno que rara vez fallara?

2.11 Alexander Livestock Company recibe órdenes en promedio, por 6000 docenas de huevos de codorniz a la semana. La desviación estándar de las ordenes semanales es de 425 docenas. El huevo cuesta $7 la docena y se revenden por $10 la decena. Si los huevos no se embarcan a más tardar en una semana, su fertilidad se ve disminuida y Alexander no los puede vender como de primera calidad, sin embargo, pueden venderé a $1 la docena. Calcule la orden de huevos semanal óptima de Alexander.

2.12 Charlie es dueño de un camión muy viejo que usa para entregas ocasionales tanto en la ciudad como fuera de ella. Si entrega fuera de la ciudad, puede promediar $100 por viaje, si el camión no se le descompone; si se descompone, las reparaciones, el retraso y la grúa reducen su utilidad a $20. Si se queda en la ciudad, gana $60 por viaje, pero se le reduce a $30 si el camión se descompone. Calcule cual tendría que ser la probabilidad de descompostura para que a Charlie le resulte indiferente donde entrega.

2.13 Terrys Pro Shop vende equipo de golf. Es el comienzo de la temporada y Terry esta decidiendo cuantas bolsas de golf almacenar. Ella ha usado los registros previos para formular la tabla siguiente, que ilustra la demanda que espera y las utilidades (perdidas) condicionales dadas ciertas acciones de almacenamiento. Usando el principio de máxima verosimilitud como criterio de decisión. ¿Qué cantidad debe almacenar Terry?

Demanda Probabilidad Unidades condicionales (acciones de almacenamiento)2 4 6 8 10 12

2 0.1 50 20 0 -20 -60 -1004 0.3 50 100 50 0 -20 -606 0.2 50 100 150 120 80 08 0.2 50 100 150 200 160 12010 0.1 50 100 150 200 250 19012 0.1 50 100 150 200 250 300

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2.14 Care Inc., es un centro creativo de alimentos que proporciona a familias pobres comidas sanas preparadas en forma diaria. Cada familia paga $1 por comidas que cuestan en promedio $3 de preparación. Si las comidas preparadas en un momento dado no son consumidas, se desperdician. Si la demanda es mayor que las perdidas, a cada familia que no puede dársele de comer se le da $3 para comprar su comida en otra parte. La demanda posible de comidas y los costos asociados de preparación y pago a familias que no alcanzaron comida son las siguientes:

Demanda Numero de comidas preparadas4 5 6 7 8 9

4 -8 -11 -14 -17 -20 -235 -11 -10 -13 -16 -19 -226 -14 -13 -12 -15 -18 -217 -17 -16 -15 -14 -17 -208 -20 -19 -18 -17 -16 -199 -23 -22 -21 -20 -19 -18

La institución que administra Care, Inc., desea minimizar sus gastos. Si usa el crédito de racionalidad. ¿Cuántas comidas debe preparar?

2.15 Al Sr. Wood se la ha propuesto una oportunidad de investigación que podría resultar en una utilidad o perdida que fluctúe entre -$3,000 y +$5,000. El es muy rico y aun el perder hasta $2,000 resultaría en una satisfacción positiva. De hecho, una situación en que ni pierda ni gane resultara en un nivel bastante alto de satisfacción.Dibuje una curva de satisfacción para el señor Wood.

2.16 Un asociado le ha propuesto una inversión a las señora Slade. La utilidad máxima que se puede obtener es $25,000 y la perdida posible máxima es $20,000. La señora Slade siente que una situación en que ni gana ni pierde lleva un bajo nivel de satisfacción. Dibuje su curva de satisfacción.

2.17 Un inversionista tiene $10,000 para invertir en acciones comunes. Su elección está entre las compañías A y B. El siente que para cada inversión tiene una probabilidad de 0.4 de duplicar su dinero y una probabilidad de 0.6 de perder la mitad de su dinero. Sus opciones son:1) Invertir toda la cantidad de A o en B 2) Invertir $5,000 en una compañía, y no invertir los otros $5,0003) Invertir $5,000 en A y $5,000 en B 4) No invertir nada.

Si los valores de satisfacción para el cambio en activos son: 1) $10,000 = 12) $5,000 = 0.903) $2,500 = 0.704) $0 = 0.405) -$2,500 = 0.20

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6) -$5,000 = 0¿Qué plan de inversiones debe escoger para maximizar su satisfacción esperada?

Suponga que la apreciación o declinación de cualquiera de las acciones es independiente de la otra.

2.18 Un inversionista está considerando dos alternativas para las que tiene $25,000, para invertir. La primera es en una propiedad comercial, la segunda es en acciones. El análisis ha revelado que cada alternativa ofrece una probabilidad de 0.3 de triplicar su inversión y una probabilidad de 0.7 de perder 60% de la cantidad total. Sus opciones son: 1) Invertir la cantidad total en una u otra2) Invertir la mitad de sus fondos en una u otra y guardar la mitad 3) Invertir la mitad en cada alternativa4) No hacer ninguna inversiónMuestra estas satisfacciones para el cambio de sus activos:

1) $50,000 = 12) $25,000 = 0.803) $17,500 = 0.604) $0 = 0.45) -$7,500 = 0.20 6) -$15,000 = 0

¿Qué plan de inversión debe seguir esta mujer para maximizar su satisfacción? Puede suponer que la apreciación o declinación de una inversión es independiente de la otra.

2.19 Caroline Edwards es una gran aficionada al basketball y una persona muy rica. Esta considerando comprar un equipo profesional de basquetbol. Una inspección de los registros financieros del equipo muestra utilidades y pérdidas de -$50,000 a $30,000. Debido al gusto de Caroline por el juego, el equipo podría perder hasta $30,000 sin causar que su satisfacción sea negativa. Si el equipo sale a mano, ella disfruta de un alto nivel de satisfacción. Dibuje la curva de utilidad

2.20 Freddy Jackson es un jugador compulsivo. Tiene varias deudas substanciales de apuestas que ya están vencidas. Ha conseguido $5,000 más prestados y está planeando invertir esta cantidad en una sola carrera de caballos. El caballo en que está considerando apostar pagara 20 a 1 si llega en primer lugar y cantidades decrecientes por llegar en segundo o tercer ligar. Si el caballo no llega a pagar por lo menos 10 a 1, la satisfacción de Freddy será negativa; un pago de 20 a 1 resultaría en una alta satisfacción para él. Dibuje la curva de satisfacción de freddy

2.21 Una compañía diseño un nuevo circuito integrado que le permitirá entrar, si así lo desea, al campo de las microcomputadoras. De otra manera puede vender sus derechos por $15 millones. Si elige construir computadoras, la rentabilidad de este proyecto depende de la habilidad de la compañía para

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comercializarlas durante el primer año. Tiene suficiente acceso a los distribuidores al menudeo como para garantizar la venta de 10 000 de ellas. Por otro lado, Si tiene éxito puede llegar a vender hasta 100,000 maquinas. Con el fin de analizar, estos dos nivles de ventas se toman como dos resultados posibles de la venta de computadoras. El costo de instalar la línea de producción es $6 millones. La diferencia entre el precio de venta y el costo variable de cada computadora es de $600.1) Desarrolle su formulación de análisis de decisiones para este problema

identificando las acciones, los estados de la naturaleza y la matriz de pagos.2) Desarrolle una gráfica del pago esperado para cada acción alternativa

contra la probabilidad a priori de vender 10 000 computadoras.3) Respecto a la gráfica desarrollada en el inicio 2 use el álgebra para obtener

el punto de cruce. Explique el significado de este punto.4) Desarrolle una gráfica del pago esperado (con la regla de decisión de Bayes)

contra la probabilidad a priori de vender 10 000 computadoras.5) Suponga que las probabilidades a priori de los dos niveles de ventas son 0.5

ambas, ¿Qué alternativa de acción debe elegirse?

2.22 Jean Clark es un gerente de Midtown Saveway Grocery Stire. Ella necesita restablecer su inventario de fresas. Su proveedor normal puede surtir todas las cajas que dese. Sin embargo, como ya están muy maduras, deberá venderlas mañana y después descartar las que queden. Jean estima que podría vender 10, 11, 12,y 13 cajas mañana. Puede comprar las fresas en $3 por caja y vender las en $8 por caja. Jean ahora necesita decidir cuantas cajas comprar.Jean Verifica los registros de ventas diarias de fresas de la tienda. Con base en ellos, estima que las probabilidades a priori de poder vender 10, 11, 12 y 13 cajas de mañana son 0.2, 0.4, 0.3, y 0.1.1) Desarrolle la formulación para el análisis de decisión de este problema

identificando las acciones alternativas, los estados de naturaleza y la tabla de pagos.

2) ¿Cuántas cajas de fresas debe comprar Jean si usa el criterio de máximo pago?

3) ¿Cuántas cajas de fresas debe comprar Jean si usa el criterio de máxima posibilidad?

4) ¿Cuántas cajas de fresas debe comprar según la regla de decisión de Bayes?

Jean piensa que tiene bien las probabilidades a priori para la venta de 10 y 13 cajas, pero no esta segura de como dividir esas probabilidades para 11 y 12 cajas. Aplique de nuevo la regla de decisión de Bayes cuando las probabilidades a priori de vender 11 y 12 cajas son:

a) 0.2 y 0.5 b) 0.3 y 0.4 c) 0.5 y 0.2

UNIDAD IV

Los problemas de redes surgen en una gran variedad de situaciones. Las redes de transporte, eléctricas y de comunicaciones predominan en la vida diaria. La

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representación de redes se utiliza ampliamente en áreas tan diversas como producción, planeación de proyectos, localización de instalaciones, administración de recursos y planeación financiera para nombrar solo unos ejemplos. De hecho una representación de redes. De hecho, una representación de redes proporciona un panorama general tan poderoso y una ayuda conceptual para visualizar las relaciones entre las componentes de los sistemas, que se usan en casi todas las áreas científicas, sociales y económicas.

Uno de los mayores desarrollos recientes en investigación de operaciones ha sido el rápido avance tanto en la metodología como en la aplicación de los modelos de optimización de redes. La aparición de algunos algoritmos ha tenido un impacto importante, al igual que las ideas de ciencias de la computación acerca de estructuras de datos y la manipulación eficiente de los mismos. En consecuencia, ahora se dispone de algoritmos y paquetes de computadora y se usan en forma rutinaria para resolver problemas muy grandes que no se habrían podido manejar hace dos o tres décadas.

En este capítulo solo se podrán plantear las bases de la metodología de redes actual. Sin embrago, se dará una introducción a cinco tipos importantes de problemas de redes y algunas ideas básicas sobre cómo resolverlos (sin profundizar en los aspectos de estructuras de bases de datos, tan vitales para la aplicación exitosa en los problemas de gran escala) Los tres primeros tipos de problemas son:

1. El problema de la ruta más corta 2. El problema del árbol de mínima expansión3. Problema del lujo máximo

Tienen una estructura específica que surge con frecuencia en la práctica.

4. El problema del flujo de costo mínimoProporciona un enfoque unificador de muchas otras aplicaciones por su estructura mucho más general. De hecho, esta estructura es tan general que incluye como casos especiales el problema de la ruta más corta y el de flujo máximo, al igual que los problemas de transporte y de asignación del capítulo 8. Debido a que el problema del flujo de costo mínimo es un tipo especial de problemas de programación lineal, se puede resolver de forma eficiente mediante una versión simplificada del método simplex llamada

5. Método simplex de redes(No se presentan problemas de redes aún más generales cuya solución es todavía más complicada)

La primera sección introduce un ejemplo prototipo que se usa más adelante para ilustrar el enfoque de los primeros tres tipos de problemas.

Ejemplo prototipo

En fecha reciente se reservó el área se SEERVADA PARK para paseos y campamentos. No se permite la entrada de automóviles pero existe un sistema de caminos angostos con curvas para tranvías y “jeeps” conducidos por los guardabosques. La figura 9.1 muestra este sistema de caminos (sin las

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curvas), en donde O es la entrada al parque; las otras letras representan la localización de las casetas de los guardabosques (y otras instalaciones de servicio). Los números son las distancias en millas de estos caminos sinuosos el parque contiene un mirador a un hermoso paisaje en la estación T. unos cuantos tranvías, transportan a los visitantes desde la entrada a la estación T y de regreso.

En este momento el administrador del parque se enfrenta a tres problemas:

1) Consiste en determinar que ruta, desde la entrada del parque a la estación T, es la que tiene la distancia total más corta para la operación de los tranvías. (este es un ejemplo del problema de la ruta mas corta que se estudiaría en la sesión 9.3).

2) Deben instalarse líneas telefónicas subterráneas para establecer comunicación entre todas las estaciones (incluso la entrada). Como la instalación es cara y perturba la ecología, se instalaran líneas que siguen solo los caminos necesarios para obtener comunicación entre cualquier par de estaciones. La pregunta es por donde deben tenderse las líneas para lograr esto con el mínimo número total de millas de cable instaladas. (este es un ejemplo del problema del árbol de mínima expansión que se analiza en la figura 9.4)

3) Durante la temporada pico, hay mas personas que quieren tomar el tranvía a ala estación T de las que se pueden acomodar. Para evitar la población indebida de la ecología y de la vida silvestre de la región, se ha impuesto un razonamiento estricto en el número de viajes al día que pueden hacer los tranvías en cada estación. (estos limites difieren entre los caminos, como se vera con detalle en la sección 9.5). Así durante la temporada pico, se pueden seguir varias rutas, sin tomar en cuanta la distancia para aumentar el número de viajes de tranvías diarios. La pregunta es cómo planear las rutas para los distintos viajes, de manera que se maximice el número total de viajes que se pueden hacer al día, sin violar los límites impuestos sobre cada camino. (Este es un ejemplo del problema de flujo máximo que se presentara en la sección 9.5).

TERMINOLOGIA DE REDES

Se ha desarrollado una terminología relativamente extensa para describir el tipo de redes y sus componentes. Aun que se ha evitado en lo posible el uso del vocabulario específico es necesario introducir un número considerable de términos que se usaran en este capítulo. Se sugiere al lector que lea la sección

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completa una vez para entender las definiciones y planear después regresar a refrescar la memoria conforme se usen los términos en las secciones subsecuentes. Como subsecuentes, se resalta el nombre de cada término en negritas en el punto en que se define.

Una red consiste en un conjunto de puntos y un conjunto de líneas que unen ciertos pares de puntos. Los puntos se llaman “nodos” (o vértices); por ejemplo, la red de la figura 9.1 tiene 7 nodos representados por 7 cirulos. Las líneas se llaman “arcos” (o ligaduras, aristas o ramas); por ejemplo, la red de la figura 9.1 tiene 12 arcos que corresponden a los 12 caminos del sistema del parque. Los arcos se etiquetan para dar nombre a los nodos en sus puntos terminales; por ejemplo, AB es el arco entre los nodos A y B en la figura 9.1.

Los arcos de una red pueden tener un flujo de algún tipo que pasa por ellos, por ejemplo, el flujo de tranvías sobre los caminos de SEERVADA PARK en la sección 9.1. La tabla 9.1 proporciona varios ejemplos de flujo en redes. Si el flujo a través e un arco se permiten solo en una dirección (como en una de un sentido) se dice que el arco es un arco dirigido. La dirección se indica agregando una cabeza de flecha al final de la línea que representa el arco. Al etiquetar un arco dirigido en el nombre de los nodos que se une siempre se pone primero el nodo de donde viene y después el nodo a donde va esto es, un arco dirigió del nodo A al nodo B debe etiquetarse como AB y no como BA. Otra manera de etiquetarlo es A B.

Si el flujo a través de un arco se permite ambas direcciones (como una tubería que se puede usar para bombera fluido en ambas direcciones), se dice que el arco es un arco no dirigido. Para ayudar a distinguir entre los dos tipos de arcos, con diferencia se hará referencia a los arcos no dirigidos con el subjetivo nombre de ligadura.

Aun que se permita que el flujo a través de un arco no dirigido ocurra en cualquier dirección, se supone que ese flujo será en una dirección en la seleccionada, y no se tendrán flujos simultáneos en direcciones opuestas. (Este último caso requiere usar un par de arcos dirigíos en direcciones opuestas) sin embargo, en el proceso de toma de decisiones sobre el flujo en un arco no dirigido, se permite hacer una secuencia de asignaciones de flujos en direcciones opuestas, pero en el entendimiento de que el flujo real será el flujo neto (la diferencia de los flujos asignados en las dos direcciones). Por ejemplo si se asigna un flujo de 10 en una dirección y después un flujo de 4 en la dirección opuesta el efecto real es la cancelación de 4 unidades de la asignación original, lo que reduce el flujo en la dirección original de 10 a 6. Aun para un arco dirigido, en coacciones se usa la misma técnica como una manera conveniente de reducir un flujo previamente asignado. En particular, se puede hacer una asignación ficticia de flujo en la dirección “equivocada” a través de un arco dirigido para registrar una reducción en esa cantidad en el flujo que va en la dirección “correcta”.

Una red que tiene solo arcos dirigidos se llama red dirigida. De igual manera, si todos sus arcos son no dirigidos se dice que se trata de una red no dirigida. Una red con una mescla de arcos dirigidos y no dirigidos (o incluso una con todos sus arcos no dirigidos) se puede convertir en una red dirigida, si se desea, sustituyendo cada arco por un par de arcos dirigidos en direcciones opuestas. (Después se puede optar por interpretar los flujos a través de cada

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par de arcos dirigidos como flujos simultáneos en direcciones opuestas o de proporcionar un flujo neto en una dirección, según se ajuste al caso).

Cuando dos nodos no están unidos por un arco surge la pregunta natural de si están conectados por una serie de arcos. Una trayectoria entre dos nodos es una sucesión de arcos distintos que conectan estos nodos. Por ejemplo, una de las trayectorias que conectan a los nodos O y T en la figura 9.1 es la sucesión de arcos OB – BD –DT

(O B D T), y viceversa. Cuando alguno o todos los arcos de una red son arcos dirigidos se hace la distinción entre trayectorias dirigidas y trayectorias no dirigidas. Una trayectoria no dirigida. Una trayectoria dirigida del nodo 𝑖 al nodo 𝑗, es una sucesión de arcos cuya dirección (si la tienen) se hacia el nodo 𝑗, de manera que el flujo del nodo 𝑖 al nodo 𝑗, a través de esta trayectoria es factible. Una trayectoria no dirigida del nodo 𝑖 al nodo 𝑗 es una sucesión de arcos cuya dirección ¿si la tiene? Puede ser hacia O desde el nodo 𝑗. (Observe que una trayectoria dirigida también satisface la definición de trayectoria no dirigida, pero el inverso no se cumple.) Con frecuencia una red no dirigida tendrá algunos arcos dirigidos hacia el nodo 𝑗 y otros desde el (es decir hacia el nodo 𝑖). En las secciones 9.5 y 9.7 se verá que, tal vez de maneara sorprendente, las trayectorias no dirigidas juegan un papel muy importante en el análisis de las redes dirigidas.Para ilustrar estas definiciones, la figura 9.2 muestra una red dirigida común (sus nodos y sus arco son los mismos que los de la figura 3.13 donde los nodos A y B representan dos fábricas y los nodos D y E representan dos almacenes el nodo C es un centro de distribución y los arcos representan las rutas de embarque.) las sucesión de arcos AB – BC – CE es una trayectoria dirigida (A B C E), del nodo A al nodo E ya que el flujo hacia el nodo E en toda esta trayectoria es factible. Por otro lado, BC – AC – AD(B C A D), no es una trayectoria dirigida del nodo B al nodo D, porque la dirección de arco AC es desde el nodo D (sobre esta trayectoria). No obstante B C A D es una trayectoria dirigida del nodo B al nodo D, debido a que la secuencia de arcos BC – AC – AD conecta a estos dos nodos (aun cuando la dirección del arco AC evita el flujo a través de esta trayectoria. Como ejemplo de la relevancia de las trayectorias no dirigidas, suponga que se habían asignado dos unidades del flujo de nodo A al nodo C al arco AC. Dada esta asignación previa, ahora es factible asignar un flujo más pequeño, digamos una unidad, a la trayectoria no dirigida B C A D, aunque la dirección de AC evita un flujo positivo a través de C A la razón es que esta asignación de flujo en la dirección “equivocada” para el arco AC de hecho solo reduce el flujo en la dirección “correcta” en una unidad.Un ciclo es una trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo, en una red dirigida, un ciclo puede ser dirigido o no dirigido, según si la trayectoria en cuestión red dirigida o no dirigida. (Como una trayectoria dirigida también es no dirigida, un ciclo dirigido es un ciclo no dirigido, pero en general el inverso no es cierto). Por ejemplo en la figura 9.2, DE – ED es un ciclo dirigido. Por el contrario, AB – BC – CA no es un ciclo dirigido puesto que la dirección del arco AC es opuesta a la de los arcos AB y BC. Por otro lado AB – BC – AC o es un ciclo dirigió porque A B C A es una trayectoria no dirigida. En la red no dirigida que se muestra en la figura 9.1 existen muchos ciclos, por ejemplo, OA – AB – BC – CO. De cualquier forma, nótese que la definición de

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trayectoria (una sucesión de arcos distintos) elimina la posibilidad de retroceder al formar un ciclo. Por ejemplo OB – BO en la figura 9.1 no califica como ciclo, porque OB y BO son dos etiquetas para el mismo arco (ligadura). Por otra parte en la figura 9.2 DE – ED es un ciclo (dirigido) porque DE y ED son arcos distintos.Se dice que dos nodos están conectados si la red contiene al menos una trayectoria no dirigida entre ellos. (Observe que no es necesaria que la trayectoria sea dirigida aun cuando la red es dirigida). Una red conexa es una red en la que cada par de nodos esta conectado. Entonces, las redes de las figuras 9.1 y 9.2 son ambas conexas. La última red no sería conexa si se eliminaran los arcos AD y CD.

Considere una red conexa con n nodos (por ejemplo, los n = 5 nodos en la figura 9.2) en la que e han eliminado todos los arcos. Se puede “hacer creer” un “árbol” si se agrega un arco (o “rama”) a la vez a partir de la red original de cierta manera. El primer arco puede ir en cualquier lugar de modo que conecte algún par de nodos. De ahí en adelante, cada arco nuevo debe agregarse entre un nodo que ya ha sido conectado a otros nodos y a un nuevo nodo no conectado. Si se agregan arcos de esta manera, se evita que se forme un ciclo y además se asegura que el número de nodos conexos es uno más que le número de arcos. Cada nuevo arco crea un árbol más grande, que es una red conexa (para algún subconjunto de n nodos) que no contiene ciclos no dirigidos. Una vez agregado el (n – 1)-esimo arco, el proceso se detiene por que el árbol resultante se expande (conecta) a todos los n nodos. Este árbol se llama árbol de expansión. Y es una red conexa para los n nodos que contiene ciclos no dirigidos. Todo árbol de expansión tiene justo n -1 arcos, ya que este es el número minino de arcos necesarios para tener una red conexa y el máximo número posible para que no haya ciclos no dirigidos.

La figura 9.3 muestra los 5 nodos y algunos de los arcos de la figura 9.2 para mostrar este proceso de hacer crear un árbol colocando un arco (rama) a la vez, hasta que se obtiene un árbol de expansión. En cada etapa del proceso se tienen varias alternativas para el nuevo arco, pero lo que la figura 9.3 muestra solo una de las muchas formas de construir un árbol de expansión en este caso. Ahora bien, observe como cada nuevo arco que se agrega satisface las condiciones especificadas en el párrafo anterior.

Por ultimo sería necesario introducir terminología adicional sobre los flujos en redes. La cantidad máxima de flujo (quizás infinito) que puede circular en un arco dirigido se conoce como capacidad del arco. Entre los odas, se pueden distinguir aquellos que son generadores de flujo, absolvedores netos o ninguno de los dos. Un nodo fuente (o nodo origen) tiene la propiedad de que el flujo que sale del nodo excede el flujo que entrega a él. El caso inverso en un nodo demanda (o nodo destino), donde el flujo que llega excede al que sale de él. Un nodo de transbordo (o intermedio) satisface la conservación del flujo, es decir, el flujo que entra es igual al que sale.

PROBLEMA DE LA RUTA MAS CORTA

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Aunque al final de la sección se mencionan otras versiones del problema de la ruta más corta (incluyendo algunas para redes dirigidas),la atención se centrará en la siguiente versión sencilla. Considere una red conexa y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen y destino. A cada ligadura (arco no dirigido) se asocia una distancia no negativa. El objetivo es encontrar la ruta más corta (la trayectoria con la mínima distancia total) del origen al destino.

Se dispone de un algoritmo bastante sencillo para este problema. La esencia del procedimiento es que analiza toda la red a partir del origen; identifica de manera sucesiva la ruta más corta a cada uno de los nodos en orden ascendente de sus distancias

(más cortas), desde el origen; el problema queda resuelto en el momento de llegar al nodo destino. Primero se describirá el método y después se ejemplificará con la solución del problema de la ruta más corta que enfrenta la de SEERVADA PARK en la sección 9.1.

ALGORITMO DE LA RUTA MAS CORTA

Objetivo de la n-ésima iteración: encontrar el n-ésimo nodo más cercano al origen. (Este

Paso se repetirá para n=1,2,…hasta que el n-ésim nodo más cercano sea el nodo destino).

Datos para la n-ésima iteración: n – I nodos más cercanos al origen (encontrados en las iteraciones ), incluida su ruta más corta y la distancia desde el origen. (Estos nodos y el origen se llaman nodos resueltos; el resto son nodos no resueltos).Candidatos para el n-ésimo nodo más cercano: cada nodo resuelto que tiene conexión directa por una ligadura con uno o más nodos no resueltos proporciona un candidato, y esté es el nodo no resuelto que tiene la ligadura más corta. (Los empates proporcionan candidatos adicionales).Cálculo del n-ésima nodo más cercano: para cada nodo resuelto y sus candidatos, se suma la distancia entre ellos y la distancia de la ruta más corta desde el origen a este nodo resuelto. El candidato con la distancia total más pequeña es el n-ésimo nodo más cercano (los empates proporcionan nodo resueltos adicionales), y su ruta más corta es la que genera esta distancia. Aplicación de este algoritmo al problema de la ruta más corta de SEERVADA PARK.

APLICACIÓN DE ESTE ALGORITMO AL PROBELMA DE LA RUTA MAS CORTA DE SEERVADA PARK

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La administración de SEERVADA PARK necesita encontrar la ruta más corta desde la entrada al parque (nodo O) hasta el mirador (nodo T) a través del sistema de caminos mostrado en la figura 9.1. En la tabla 9.2 se encuentran los resultados obtenidos al aplicar el algoritmo anterior (donde el empate para el segundo nodo más cercano permite pasar directo a buscar el cuarto nodo más cercano).

1) La primera columna (n) indica el número de la iteración.2) La segunda da una lista de los nodos resueltos para comenzar la

iteración actual, después de quitar los que no sirven (los que no tienen conexión directa con nodos no resueltos).

3) La tercera columna da los candidatos para el n-ésimo nodo más cercano (nodos no resueltos con la ligadura más corta al nodo resuelto).

4) La cuarta columna calcula la distancia de la ruta más corta desde el origen a cada candidato (esto es, la distancia al nodo resuelto más la de la ligadura que va al candidato). El candidato con la suma de distancias más pequeñas es el n-ésimo nodo más cercano al origen, según se indica en la quinta columna. Las dos últimas columnas resumen la información de este último nodo resuelto necesaria para pasar a las iteraciones siguientes (a saber, la distancia de la ruta más corta del origen a este nodo y la última rama en esta ruta).Ahora se relacionarán las columnas con la descripción del algoritmo. La entrada para la n-ésima iteración se encuentra en las columnas 5 y 6 de las iteraciones anteriores, donde los nodos resueltos de la quinta columna se enumeran después en la segunda para la iteración actual después de eliminar los que no tienen conexión directa con nodos no resueltos. Los candidatos para el n-ésimo nodo más cercano se enumeran en la tercera columna para la iteración actual. El cálculo del n-ésimo nodo más cercano se realizan en la columna 4 y los resultados se registran en las últimas tres columnas para la iteración actual.La ruta más corta desde el nodo destino hasta el origen se puede rastrear hacia atrás en la última columna de la tabla 9.2, con lo que se obtiene T D E B A O o bien T D B A O. Por tanto, se identificaron las dos opciones para la ruta más corta desde el origen hasta el destino como las cadenas O A B E D T y O A B D T, con una distancia total de 13 millas en cualquiera de las dos.

Tabla 9.2 Aplicación del algoritmo de la ruta más corta al problema de Seervada Park

n Nodos Resueltos Nodo No Distancia Total n-ésimo Distancia Ultima

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Conectados Directamente A

Nodos No Resueltos

Resuelto Más Cercano

Conectado

Involucrada Nodo Más Cercano

Mínima Conexión

1 O A 2 A 2 OA

2,3 O C 4 C 4 OC

A B 2 + 2 = 4 B 4 AB

4 A D 2 + 7 = 9

B E 4 + 3 = 7 E 7 BE

C E 4 + 4 = 8

5 A D 2 + 7 = 9

B D 4 + 4 = 8 D 8 BD

E D 7 + 1 = 8 D 8 ED

6 D T 8 + 5 = 13 T 13 DT

E T 7 + 7 = 14

PROBLEMA DEL ARBOL DE EXPANSION MINIMA

El problema del árbol de expansión mínima tiene algunas similitudes con la versión principal del problema de la ruta más corta que se presentó en la sección anterior. En ambos casos se considera una red no dirigida y conexa, en la que la información dada incluye alguna medida de longitud positiva

Página 66

(distancia, coto, tiempo, etc.) asociada con la ligadura. Los dos problemas involucran también el hecho de seleccionar un conjunto de ligaduras con la longitud total más corta entre todos los conjuntos de ligaduras que satisfacen cierta propiedad. Para el problema de la ruta más corta esta propiedad es que la ligadura seleccionada debe proporcionar una trayectoria entre el origen y el destino. Para el árbol de expansión mínima la propiedad requerida es que las ligaduras seleccionadas deben proporcionar una trayectoria entre cada para de nodos.

El problema del árbol de expansión mínima se puede resumir como sigue:

1) Se tienen los nodos de una red pero no las ligaduras. En su lugar se proporcionan las ligaduras potenciales y la longitud positiva para cada una si se inserta en la red. (las medidas alternativas para la longitud de una ligadura incluyen distancias, costos y tiempo)

2) Se desea diseñar la red con suficientes ligaduras para satisfacer el requisito de que haya un camino entre cada par de nodos.

3) El objetivo es satisfacer este requisito de manera que se minimice la longitud total de las ligaduras insertadas en la red.

Una red con n nodos requiere solo (n-1) ligaduras para proporcionar una trayectoria entre cada par de nodos. No deben usarse más ligaduras ya que esto aumentaría, sin necesidad, la longitud total de las ligaduras seleccionadas. Las (n-1) ligaduras deben elegirse de tal manera que la red resultante (con solo las ligaduras seleccionadas) forme un árbol de expansión. Por lo tanto, el problema es encontrar el árbol de expansión con la longitud total mínima de sus ligaduras.

La figura 9.5 ilustra el concepto del árbol de expansión para el problema de Seervada Park. La figura 9.5ª no es un árbol de expansión, pues los nodos O A B y C no están conectados con los nodos D E y T. se necesita una ligadura más para hacer esta conexión. En realidad esta red consiste en dos árboles, uno para cada uno de estos dos conjuntos de nodos. Las ligaduras de la figura 9.5b si se expanden por toda la red (es decir es una gráfica conexa según la definición), pero no es un árbol por que tiene dos ciclos (O –A –B – C – O y D –T – E – D) tienen demasiadas ligaduras. Como el problema de Seervada Park tiene n = 7 nodos, anteriormente se había indicado que una red debe tener justo n – 1 (n – 1 = 6) ligaduras y ningún ciclo para calificar como árbol de expansión. Esta condición se logra en la figura 9.5c, por lo que esta der es una solución factible (con una longitud total de 24 millas en las ramas o ligaduras) para el problema del árbol de expansión mínima. (se vera que esta solución no es óptima, ya que es posible construir un árbol de expansión con solo 14 millas en sus ramas.)

ALGUNAS APLICACCIONES

Se proporciona una lista de algunos tipos importantes de aplicaciones de este problema:

1) Diseño de redes de telecomunicación ((redes de fibra óptica, de computadoras, telefónicas, de televisión por cable, etc.)

2) Diseño de redes de transporte para minimizar el costo total de proporcionar las ligaduras (vías ferroviarias, carreteras, etc.)

Página 67

3) Diseño de una red de líneas de transmisión de energía eléctrica de alto voltaje.

4) Diseño de una red de cableado en equipo eléctrico (como sistemas de cómputo) para minimizar la longitud total del cable.

5) Diseño de una red de tuberías para conectar varias localidades.

a)

b)

2

2 4 5

c)

7

4

UN ALGORITMO

El problema del árbol de expansión mínima se puede resolver de una forma bastante directa, pues ocurre que se trata de uno de los pocos problemas de investigación de operaciones en el que ser codicioso en cada etapa del procedimiento de solución conduce al final a una solución óptima. Así, con el inicio en cualquier nodo, la primera etapa consiste en elegir la rama más corta posible a otro nodo, sin preocuparse del efecto que esta elección pueda traer en las decisiones posteriores. En la segunda etapa se trata de identificar el nodo no conectado que esté más cerca de cualquiera de los dos que se acaban de conectar

Página 68

O

A

B

C

T

D

E

O

B

C

T

D

E

A

O

B

C

T

D

E

A

FIGURA 9.5La ilustración del

concepto del árbol de

expansión mínima para el problema de

SeervadaPrak

a) No es un árbol

b) No es un árbol de expansión

c) Árbol de expansión

Y después agregar la ligadura correspondiente a la red. Este proceso se repite, según el resumen que se da a continuación, hasta haber conectado todos los nodos.

ALGORITMO PARA EL PROBLEMA DEL ARBOL DE EXPANSION MINIMA

1) Se selecciona, de manera arbitraria, cualquier nodo y se conecta (es decir, se agrega una ligadura) al nodo distinto más cercano.

2) Se identifica el nodo no conectado más cercano a un nodo conectado y se conectan estos dos nodos (es decir, se agrega una ligadura entre ellos). Este paso se repite hasta que todos los nodos estén conectados.

3) Empates: los empates para el nodo más cercano distinto (paso 1) o para el nodo no conectado más cercano (paso 2), se pueden romper en forma arbitraria y el algoritmo debe llegar a una solución óptima. No óbstate, estos empates son señales de que pueden existir (pero no necesariamente) soluciones optimas múltiples. Todas esas soluciones se pueden identificar si se trabaja con las demás formas de romper las empates hasta el final.

La manera más rápida de ejecutar este algoritmo en forma manual es el enfoque grafico que se ilustra en seguida.

APLICACIÓN DE ESTE ALGORITMO AL PROBLEMA DEL ARBOL DE EXPANSIÓN MINIMA DE SEERVADA PARK

La administración de Seervada Park necesita determinar los caminos bajo los cuales se deben tender las líneas telefónicas para conectar todas las estaciones con una longitud total mínima de cable. Se describirá paso a paso la solución de este problema con base en los datos que se dan en la figura 9.1-

Los nodos y distancias para el problema se resumen en seguida, en donde las líneas delgadas ahora representan ligaduras potenciales.

Página 69A

2 2 7

55 4

3 1 74 1

4

En forma arbitraria, se selecciona el nodo O como inicio. El nodo no conectado más cercano a O es A. se conecta el nodo A al nodo O.

2 2 7

55 4

3 1 74 1

4

El nodo no conectado más cercano a cualquiera de los nodos O o A es el nodo B (más cercano a A). Se conecta el nodo B al nodo A

2 2 7

55 4

3 1 74 1

4

Página 70

O B D

T

C E

O B D

A

T

C E

O B D

A

T

C E

El nodo no conectado más cercano a O, A o B es el nodo C (más cercano a B). se conecta el nodo C al nodo B.

2 2 7

55 4

3 1 74 1

4

El nodo no conectado más cercano a O, A, B o C es el nodo E (más cercano a B). Se conecta el nodo E al nodo B.

2 2 7

55 4

3 1 74 1

4

El nodo no conectado más cercano a los nodos O, A, B, C o E es el nodo D (más cercano a E). Se conecta el nodo D al nodo E.

2 2 7

55 4

3 1 74 1

Página 71

O B D

A

T

C E

O B D

A

T

C E

O B D

A

T

4

El único nodo no conectado es el nodo T. esta más cerca del nodo D. se conecta el nodo T al nodo D.

2 2 7

55 4

3 1 74 1

4

Todos los nodos han quedado conectados, por lo que eta es la solución (óptima) que se buscaba. La longitud total de la las ramas es 14 millas.

Aun que con este procedimiento a primera vista puede parecer que la elección del nodo inicial afectaría la solución final (y ala longitud total de las ligaduras), en realidad no es así. Se sugiere que se verifique este hecho para el ejemplo, aplicando de nuevo el algoritmo, pero con un nodo inicial distinto de O.

PROBLEMA DE FLUJO MAXIMO

3

1

95

7 45

4 2

1

Página 72

C E

O B D

A

T

C E

O B D

A

T

C E

FIGURA 9.6 Problema del flujo máximo para

Seervada Park.

4 6

Recuerde que el tercer problema al que se enfrenta el administrador de Seervada Park durante la temporada pico es determinar las rutas de algunos viajes de tranvía desde la entrada del parque (estación O) al mirador (estación T), de manera que el número de viajes diarios sea máximo. (Cada tranvía regresa por la misma ruta que tomo de ida, por lo que el análisis se hará solo sobre los viajes de ida.) Para evitar perturbaciones innecesarias a la ecología y a la vida silvestre se impusieron límites superiores estrictos sobre el número de viajes de salida permitidos hacia el mirador para cada camino individual en la dirección de ida. Para cada camino, la dirección del viaje de ida se indica por una flecha en la figura 9.6. El número que aparece en la base de la flecha da el límite superior para ese camino en la dirección de salida de la estación. Dados los límites, una solución factible es mandar 7 tranvías al día, cinco por la ruta

B E T, 1 por la ruta O B C E T y 1 por la ruta B C E D T. Pero esta solución bloquea el uso de cualquier ruta que comience con O C (por que las capacidades de E T y E D están saturadas). Es sencillo encontrar mejores soluciones factibles. Es necesario considerar muchas combinaciones de rutas (y el número de viajes asignados a cada una) para encontrar la (s) ruta (s) que maximicen el número de viajes al día. Este tipo de problemas se conoce como el problema del flujo máximo.

En términos generales, el problema del flujo máximo se puede describir como sigue:

1) Todo flujo a través de una red conexa dirigida se origina en un nodo, llamado fuente, y termina en otro nodo llamado destino (la fuente y el destino en Seervada Park son la encontrada en el nodo O y el mirador en el nodo T, respectivamente).

2) Los nodos restantes son nodos de transbordo (estos son los nodos A, B, C, D y E en el problema de Seervada Park)

3) Se permite el flujo a través de una arco solo en la dirección indicada por la flecha, donde la cantidad máxima de flujo este dada por la capacidad del arco. En la fuente, todos los arcos señalan hacia afuera. En el destino todos señalan hacia el nodo.

4) El objetivo de maximizar la cantidad toral de flujo de la fuente al destino. Esta cantidad se mide en cualquiera de las dos maneras equivalentes, esto es, la cantidad que sale de la fuente o la cantidad que entra el destino.

ALGUNAS APLICACIONES

Ahora se mencionan algunos tipos de aplicaciones comunes del problema del flujo máximo.

Maximizar el flujo a través de la red de distribución de la compañía de sus fábricas a sus clientes.Maximizar el flujo a través de la red de suministros de la compañía de los proveedores a las fábricas.Maximizar el flujo de petróleo por un sistema de tuberías.

Página 73

Maximizar el flujo del agua a través de un sistema de acueductos. Maximizar el flujo de vehículos por una red de transporte.

UN ALGORITMO

Como el problema del flujo máximo se puede formular como un problema de programación lineal, se puede resolver con el método simplex y es usar cualquier software. Sin embargo, se dispone de un algoritmo de trayectorias aumentadas mucho más eficientes. Este algoritmo se basa en dos conceptos intuitivos, el de una red residual y el de una trayectoria aumentada.

Una vez que se han asignado flujos a los arcos de la red original, la red residual muestra las capacidades restantes (llamadas capacidades residuales) para asignar flujos adicionales. Por ejemplo, considere el arco O B de la figura 9.6 que tiene una capacidad de 7. Ahora suponga que los flujos asignados incluyen un flujo de 5 a través de este arco, lo que deja una capacidad residual de 7 – 5 = 2 para cualquier asignación de flujo adicional a través de O B.

Este estado se describe en la red residual de la siguiente manera.

2 5

El número del arco junto al nodo de la capacidad residual para el flujo desde ese nodo hasta el otro. Pro lo tanto, además de la capacidad residual de 2 para el flujo de O a B, el 5 de la derecha indica una capacidad residual de 5 para asignar un flujo desde B hasta O (es decir, para cancelar algún flujo asignado antes de O a B)

En principio, antes e asignar cualquier flujo, la red residual tiene la apariencia mostrada en la figura 9.7. Todos los arcos en la red original (figura 9.6) se cambiaron de un arco dirigido a un arco no dirigido. No obstante, las capacidades en la dirección original son las mismas y las capacidades en la dirección opuesta son cero, de manera que las restricciones sobre los flujos no cambian.

30

1

5 0 0 02 5 9

4 0 52 0

4 0

0 5 1

Página 74

O B

O B D

A

T

C E

FIGURA 9.7La red residual para el

problema de flujo máximo de Seervada Park.

04 0 1

Después, siempre se asigna una cantidad de flujo a un arco, esta cantidad se resta de la capacidad residual, en la misma dirección y se suma a la capacidad residual en la dirección opuesta.

Una trayectoria de aumento es una trayectoria dirigida del nodo fuente al nodo destino en la red residual, tal que todos los arcos en esta trayectoria tienen capacidad residual estrictamente positiva. El mínimo de estas capacidades residuales se llama capacidad residual de la trayectoria de aumento, porque representa la cantidad de flujo que es factible agregar en toda la trayectoria. Por lo tanto, cada trayectoria de aumento proporciona una oportunidad de aumentar más el flujo a través de la red original.

El algoritmo de la trayectoria de aumento selecciona varias veces una trayectoria de aumento y agrega un flujo igual a su capacidad residual a la trayectoria en la red original. Este proceso continua hasta que no hay trayectorias de aumento, con lo que el flujo del nodo fuente al nodo destino no puede crecer. La clave para asignar que la solución final es necesariamente optima es el hecho de que las trayectoria de aumento pueden cancelar flujos asignados con anterioridad en la red original; así, una selección indiscriminada de trayectorias para asignar flujos no puede evitar el uso de una combinación mejor de asignaciones de flujos.

Para resumir, cada iteración del algoritmo consiste en los tres pasos siguientes.

ALGORITMO DE LA TRAYECTORIA DE AUMENTO PARA EL PROBLEMA DE FLUJO MAXIMO

1) Se identifica una trayectoria de aumento encontrando alguna trayectoria dirigida del origen al destino en la red residual, tal que cada arco sobre esta trayectoria tiene capacidad residual estrictamente positiva.(Si no existe una, los flujos netos asignados constituyen un patrón de flujo óptimo).

2) Se identifica la capacidad residual c# de esta trayectoria de aumento encontrando el mínimo de las capacidades residuales de los arcos sobre esta trayectoria. Se aumenta en c# el flujo de esta trayectoria.

3) Se disminuye en c# la capacidad residual de cada arco en esta trayectoria de aumento. Se aumenta en c# la capacidad residual de cada arco en la dirección opuesta en esta trayectoria. Se regresa al paso 1.

Página 75

Al realizar el paso 1, con frecuencia habrá varias alternativas de trayectorias de aumento entre las cuales se podrá escoger. Aunque la estrategia algorítmica para elegir es importante para la eficiencia en las aplicaciones a gran escala, no se profundizará en este tema relativamente especializado. (Más adelante en esta sección, se describe un procedimiento sistemático para encontrar una trayectoria aumentada). Entonces, para el siguiente ejemplo (y los problemas al final del capítulo), la selección se hará en forma arbitraria.

APLICACIÓN DEL ALGORITMO AL PROBLEMA DE FLUJO MÁXIMO DE SEERVADA PARK

La aplicación de este algoritmo al problema de SEERVADA PARK (vea la red original en la figura 9.6) lleva a los siguientes resultados. Comenzando con la red residual inicial dada en la figura 9.7, se da la nueva red residual después de una o dos iteraciones, donde la cantidad total de flujo de O a T logrado hasta el momento se muestra en negritas (junto a los nodo s O y T).

Iteración 1: en la figura 9.7, una de las trayectorias de uamento es

O B E T que tiene capacidad residual igual al min{7,5,6} = 5 a esta trayectoria, la red residual que resulta es

30

1

5 0 0 0 52 5 9

5 4 0 52 0

4 0

0 5 10

4 0 1 Iteración 2: se asigna un flujo de 3 a la trayectoria de aumentoO A D T. La red residual que resulta es

03

13

2 0 3 6 88 2 5 4 0

2 0 54 0

0 5 10 1

Página 76

O B D

A

T

C E

O B D

A

T

C E

4 0

Iteración 3: se asigna un flujo de I a la trayectoria de aumento O A B D T. Iteración 4: se asigna un flujo de 2 a la trayectoria de aumento O B D T. La red residual que resulta es

0

4 06 11

1 1 37 1 3 3 5

11 04 2 0

0 5 10

14 0

Iteración 5: se asigna un flujo de I a la trayectoria de aumento O C E D T. Iteración 6: se asigna un flujo de I a la trayectoria de aumento O C E T. La red residual resultante es

0

4 0

1 1 3 7 13

0 7 1 213 3 6

2 02 1

0 5 02

02 2

Página 77

O B D

A

T

C E

O B D

A

C E

T

Iteración 7: se asigna un flujo de I a la trayectoria de aumento O C E B D T. La red residual que resulta es

0

4 0 814

1 7 0 3 114 0 4 6

11 2 1

0 4 03

01 3

Ya no existen trayectorias de aumento por lo que el patrón de flujo actual es óptimo.

34 1 8 14

14 7 4

3 4 1 6

3El patrón de flujo actual se puede identificar ya sea acumulando la asignaciones del flujo o comparando las capacidades residuales finales como las capacidades originales en los arcos. Si se emplea este último método, existe un flujo a través de un arco si la capacidad residual final es menor que la capacidad original. La magnitud de este flujo es igual a la diferencia entre estas capacidades. Al aplicar este método de comparación de la red residual obtenida en la última interacción ya sea en la figura 9.6 o en la figura 9.7., se obtiene el patrón de flujo óptimo que se muestra en la figura 9.8. Este ejemplo ilustra en forma sencilla la razón para sustituir cada arco dirigido 𝑖 𝑗 de la red original por un arco no dirigido en la red residual y después aumentar c* unidades a la capacidad residual de 𝑗 𝑖 cuando se asigna un flujo de c*al arco 𝑖 𝑗. Sin este refinamiento, las primeras seis iteraciones no cambian, pero en ese momento pareciera que ya no quedan trayectorias de aumento (ya que la capacidad del flujo real sin usar de E B ese cero). El refinamiento permite agregar la asignación de un flujo de 1 a O C E B D T en la interacción 7. Esta asignación adicional cancela el flujo de 1 asignado en la interacción 1 (O B E T) y lo

Página 78

A

O DB

T

C E

A

O DB

T

C E FIGURA 9.8Solución óptima para el

problema de flujo máximo de Seervada Park

sustituye por las asignaciones de 1 unidad a las dos rutas O B E T y O C E T.

BUSQUEDA DE UNA TRAYECTORIA DE AUMNETO

La parte más difícil de este algoritmo, cuando se trabaja con redes grandes, es encontrar una trayectoria de aumento. Esta tarea se puede simplificar con un procedimiento sistemático. Se comienza por determinar todos los nodos que se pueden alcanzar desde el origen con un solo arco con capacidad residual estrictamente positiva. Después, para cada uno de estos nodos alcanzados, se determinan todos los nuevos nodos (entre los que no habían sido alcanzados) a los que se puede llegar desde este nodo con un solo arco con capacidad residual estrictamente positiva. Esto se repite con los nuevos nodos conforme se van alcanzando. El resultado será la identificación de un árbol con todos los nodos a los que se puede llegar desde el origen, a lo largo de una trayectoria de capacidad de fuljo residual estrictamente positiva. Este procedimiento de abanico siempre identificara una trayectoria de aumento, si existe. En la figura 9.9 se ilustra esto para la red residual obtenida en la iteración o del ejemplo anterior.

Página 79

FIGURA 9.9 Procedimiento para encontrar una trayectoria de

aumento de la iteración 7del problema de flujo máximo de Seervada Park

0

4 0 7

1 1 3 20 7 1 3 6

12 2 1

0 5 02

02 2

Ante el procedimiento de la figura 9.9 es relativamente directo, será útil poder reconocer cuando se tiene un patrón óptimo sin tener que buscar de manera exhaustiva una ruta que no existe. A veces es posible reconocer esto con el resultado de un teorema importante de teoría de redes, conocido como el teorema del flujo-máximo cortadura-mínima. Una cortadura se puede definir como cualquier conjunto de arcos dirigidos que contienen al menos un arco de cada trayectoria dirigida que va del nodo origen al nodo destino. En general hay muchas formas de dividir una red para formar una cortadura que ayude a analizarla. El valor de la cortadura es la suma de las capacidades de los arcos (en la dirección especificada) de la cortadura. El teorema de flujo-máximo cortadura-mínima establece que para cualquier red con un solo nodo origen y un solo nodo destino, el flujo máximo factible del origen al destino es igual al valor de la cortadura mínima para que todas las cortaduras de la red. Así si F denota la cantidad del flujo del origen al destino para cualquier patrón de flujo factible, el valor de cualquier cortadura proporciona una cota superior para F, y el menor de los valores de las cortaduras es igual al máximo valor de F. Entonces, si se puede encontrar, en la red original, una cortadura en la que el valor sea igual al valor actual de F encontrado con el procedimiento de solución, el patrón de flujo actual debe ser óptimo. Eventualmente se alcanza la optimalidad siempre que exista una cortadura cuyo valor sea cero en la red residual.

Para ilustrar esto considere la red de la figura 9.7 Una cortadura interesante se muestra en la figura 9.10. Note que el valor de la cortadura es 3 + 4 + 1 + 6 =14 Que, según se había encontrado, corresponde al máximo valor de F, por lo que se trata de una cortadura mínima. Observe también que en la red residual obtenida en la iteración 7, en donde F = 14, la cortadura correspondiente tiene valor cero. Si esto se hubiera, observado, no habría sido necesario buscar más trayectorias de aumento.

Página 80

A

O DB

T

C E

30 1 0

5 0 0 97 0 4 0 0

54 2 0

0 10 0

64 0

CADENAS DE MARKOVIntroducción

Las cadenas de Markov son una herramienta para analizar el comportamiento y el gobierno de determinados tipos de procesos estocásticos, esto es, procesos que evolucionan de forma no determinística a lo largo del tiempo en torno a un conjunto de estados; son una forma de analizar el movimiento actual de algunas variables, a fin de pronosticar el movimiento futuro de la misma.

Un tipo de cadenas de Markov son las irreducibles que es aquella en la que todos los estados son alcanzables desde cualquier otro estado de la cadena en un número finito de pasos. Eso implica que se puede llegar a cualquier estado Ej desde otro estado Ei esto es p(n) ij> 0, para algún número entero n.

HipótesisEn una cadena irreducible todos sus estados son accesibles entre sí y por tanto se comunican existiendo una única clase de estados.

Página 81

A

O DB

T

C E

FIGURA9.10Una cortadura mínima para el

problema de flujo máximo de

Seervada Park

DesarrolloCadenas irreduciblesUna cadena es irreducible siempre y cuando se cumplan cualquiera de las siguientes condiciones (equivalentes entre sí):

1. Desde cualquier estado de E se puede acceder a cualquier otro.2. Todos los estados se comunican entre sí.3. C(x)=E para algún x∈E.4. C(x)=E para todo x∈E.5. El único conjunto cerrado es el total.

Una matriz A = [aij ] se dice que es positiva si a(n) ij> 0 para todos los i, j.Una cadena regular obviamente es irreducible, sin embargo, lo contrario no tiene por qué ser necesariamente cierto.Una matriz de transición T se dice que es regular si existe un número entero N tal que TN es positivo.

Una propiedad muy importante de las cadenas irreducibles es que todos sus estados son del mismo tipo, esto es, o bien todos son transitorios o bien todos son recurrentes (nuloso no nulos) y todos tienen el mismo periodo. Esto significa que la clasificación de todos los estados de una cadena se puede deducir a partir de la clasificación conocida de uno de los estados.

También es obvio que todos los estados de una cadena finita irreducible no pueden ser transitorios, ya que eso significaría que el regreso a alguno de los estados no sería seguro, aunque todos los estados fueran accesibles desde cualquiera de ellos en un número finito de pasos.

Si un estado j es periódico con periodo δ y otro estado i comunica con él, entonces el estado i también es periódico con el mismo periodo. De este modo, el periodo es una característica común del conjunto irreducible y cerrado y se puede hablar del periodo de una subcadena irreducible.Si una subcadena cerrada e irreducible de estados C ∈ E tiene periodo δ, entonces C puede subdividirse de manera única en δ subconjuntos D0, D1, . . . , Dδ−1, tal que Di = C, de manera que la evolución de la cadena se produce cíclicamente pasando en cada etapa deDr a Dr+1 y de Dδ−1 a D0.

EJEMPLO.

En una carrera que dura 3 años, una persona tiene cada año una probabilidad p de pasar al siguiente curso, una probabilidad q de repetir curso y una probabilidad 1 − p − q de abandonar los estudios.

Consideramos, así el espacio de estados E = {1, 2, 3, A, T} donde A es abandonar, y T es terminar los estudios.

Como se muestra en la siguiente imagen.

Página 82

Entonces la matriz de transición es

Donde los estados absorbentes son {A, T} y los estados transitorios son {1, 2, 3}. Se reordena la matriz y se obtiene la matriz en forma canónica, poniendo primero los estados recurrentes y luego los transitorios:

Así, nos planteamos:

Página 83

a) ¿cuál es el número medio de años que pasa una persona estudiando en el primer curso?

En este caso,

Luego

Se pide calcular R11.Como el estado 1 es transitorio

Así, si suponemos que la probabilidad de pasar de curso es p = 0,4, la de repetir curso es q = 0,55 y la probabilidad de abandonar es 1 − p − q = 0,05, entonces

Si aumenta el valor de q, entonces aumenta también el número medio de años:

b) ¿cuál es la probabilidad de que se llegue a tercer curso?

La probabilidad de pasar a tercer curso es f13.Como 1 y 3 son transitorios, entonces

Donde S = (I − Q)−1. Entonces

Página 84

Si p = 0,4, y q = 0,55

Si se toma p = 0,2, y q = 0,75 esta probabilidad disminuye

c) ¿cuál es la probabilidad de que no se llegue a segundo curso?Se pide (1 − f12).

Como

Luego

En el caso de tomar p = 0,2, y q = 0,75

d) ¿Si se empieza en primero, cuál es la probabilidad de acabar la carrera?

Los estados {A, T} son recurrentes, de modo que se busca f1T donde 1 es un estado transitorio y T es recurrente. Como T es absorbente (sólo él forma un conjunto cerrado e irreducible) entonces basta calcular la probabilidad de absorción del 1 por el conjunto absorbente T.

Se calcula entonces G = (I − Q)−1B donde

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Así,

Por lo tanto, la probabilidad de acabar la carrera (pasar de 1 a T) es

Así, si p = 0,4, y q = 0,55,

De aquí se deduce que la probabilidad de abandonar la carrera (pasar de 1 a A) es

e) ¿Cuál es el número medio de años que se pasa en la carrera?

Se trata de calcular, en realidad, el número medio de etapas que se pasa en los estados transitorios, cuando se parte del estado transitorio 1. Esto es equivalente a calcular el tiempo medio de absorción desde i = 1, es decir, A1.

Se calcula el número medio de visitas (etapas) que se hacen a 1, a 2 y a 3.

Se considera S = (I − Q)−1, entonces

Si p = 0,4, y q = 0,55,

Si p = 0,2, y q = 0,75

Página 86

f) ¿Cuál es el número medio de años que se tarda en llegar a tercero?

Se tiene que calcular el número medio de etapas que se tienen que hacer desde primero antes de llegar a tercero.

Si p = 0,4, y q = 0,55,

ConclusionesCon la elaboración del ejercicio anterior podemos demostrar que la hipótesis establecida en un inicio es verdadera ya que todos los estados de una cadena irreducible estacionaria son accesibles entre sí pudiendo calcular de esta manera la probabilidad de cualquier

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estado desde otro estado diferente sin tener que pasar por cada uno de ellos y por tanto se comunican existiendo una única clase de estados al igual cumplen con las condiciones establecidas.Las cadenas de Marcov nos ayudan a determinar la probabilidad de que ocurra algún estado en algún problema planteado en cualquier evento futuro.

BibliografíaThierauf, Robert, J. Toma de decisiones por medio de Investigación de Operacioneshttp://halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/jmmarin/esp/PEst/tema4pe.pdf

Página 88