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Ejerciciso resueltos
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ESCUELA
POLITECNICA NACIONAL
INVESTIGACION OPERATIVA
Grupo 5
EJERCICIO 6
Klein Chemicals, Inc. produce un material especial con una base de petroleo que
actualmente esta escaso. Cuatro de los clientes de Klein ya hancolocado pedidos
que en conjunto exceden la capacidad combinada de las dos plantas de Klein. La
gerencia de la empresa enfrenta el problema de decidir cuantas unidades debe
proveer a cada cliente. Debido a que los cuatro clientes pertenecen a diferentes
sectores de la industria y existen varias estructuras de fijacion de precios segun la
industria, se pueden bajar distintos precios. Sin embargo, los costos de produccion
ligeramente son diferentes en las dos plantas y los costos de transporte entre las
plantas y los clientes varian, por lo que una estrategia de vender al mejor postor es
inaceptable. Despues de considerar el precio, los costos de produccion, y de
transporte, se establecieron las siguientes utilidades por unidad para cada
alternativa de planta-cliente:
La capacidad de la planta y los pedidos de los clientes son los siguientes:
PROCEDIMIENTO
Dibujar nodos de origen y destino
Asignar capacidades y demandas
En este caso la demanda es mayor que la oferta
Oferta = 8000
Demanda = 12000
Equilibrar modelos (nodos ficticios)
∑ = 12000 ∑=12000
3000
Dar sentido práctico a ficticios
Añadiendo el nodo ficticio el modelo está equilibrado, el nodo ficticio X es igual a
4000, que en este caso vendría hacer el producto que no se produce, el costo de
envió es cero.
Definir fórmula para los costos
Max U=Utilidad total
Max U=∑∑ Cij Xij
Max U= Utilidad*Ruta 11+ Utilidad*Ruta 12+ Utilidad*Ruta 13+ Utilidad*Ruta 14+
Utilidad*Ruta 21+ Utilidad*Ruta22+ Utilidad*Ruta 23+ Utilidad*Ruta 24
Max U= 32X11+34X12+32X13+40X14+34X21+30X22+28X23+38X24
Sujeto a:
X11+X12+X13+X14≤5000
X21+X22+X23+X24≤5000
DEEFINIR VARIABLES DE DECISIÓN X11 #unidades Clifton Springs -Destino 1 UNIDADES X12 #unidades Clifton Springs -Destino 2 UNIDADES X13 #unidades Clifton Springs -Destino 3 UNIDADES X14 #unidades Clifton Springs -Destino 4 UNIDADES X21 #unidades Davalle-Destino 1 UNIDADES X22 #unidades Davalle-Destino 2 UNIDADES X23 #unidades Davalle-Destino 3 UNIDADES X24 #unidades Davalle-Destino 4 UNIDADES Estructurar cuadro de transporte
Destino 1 Destino 2 Destino 3 Destino 4 Oferta
Clifton Springs
X11
32
X12
34
X13
32
X14
40 5000
Davalle
X21
34
X22
30
X23
28
X24
38 5000
Ficticio
X31
0
X32
0
X33
0
X34
0 4000
Demanda 2000 5000 3000 2000
Cuáles unidades debe producir cada planta para cada cliente con el fin de
maximizar las unidades?
Clientes Max Utilidad
Planta 1 2 3 4 $ 282.000,00
Clifton Springs 0 4000 0 1000
Davalle 2000 0 0 1000
Incumplimiento 0 1000 3000 0
La planta Clifton Springs debe producir las siguientes unidades para el cliente:
D2=4000 ; D4=1000
La planta Davalle debe producir las siguientes unidades para el cliente:
D1=2000 ; D4=1000
¿Cuáles demandas de los clientes no se cumplirían?
Al cliente D3 no se le surtiría unidades y al Cliente D2 tendría un déficit de 1000
unidades
Muestre su modelo de red y su formulación de programación lineal
elo de red y su formulación de programación lineal
5000
3000
4000
2000
5000
3000
2000
Clifton Springs
Davalle
Ficticio
Destino 1
Destino 2
Destino 1
Destino 3
Destino 1
Destino 4
Destino 1
Modelo resuelto mediante el uso del solver
MODELO KLEIN CHEMICALS
Clientes Max Utilidad
Envios 1 2 3 4 $ 282.000,00
clifton springs 0 4000 0 1000
davalle 2000 0 0 1000
incumplimiento 0 1000 3000 0
Costos 1 2 3 4
clifton springs 32 34 32 40
davalle 34 30 28 38
incumplimiento 0 0 0 0
Oferta 1 2 3 4 suministrado <= disponible
clifton springs 1 1 1 1 5000 <= 5000
davalle 1 1 1 1 3000 <= 5000
incumplimiento 0 0 0 0 0 = 4000
Demanda 1 2 3 4
clifton springs 1 1 1 1
davalle 1 1 1 1
incumplimiento 1 1 1 1
2000 5000 3000 2000 recibido
= = = = =
2000 5000 3000 2000 solicitado
EJERCICIO 7
Forbelt Corporation tiene un contrato de un año para proveer motores para todos los refrigeradores producidos por Ice Age Corporation, la cual fabrica los refrigeradores en cuatro lugares en todo el país: Boston, Dallas, Los Ángeles y St. Paul. Los planes exigen que se fabrique la siguiente cantidad de refrigeradores (en miles) en cada lugar:
FABRICAS CANTIDAD
Boston 50
Dallas 70
Los Ángeles
60
St. Paul 80
Las tres plantas de Forbelt son capaces de fabricar los motores. Las plantas y capacidades del producto (en miles) son:
PLANTAS CAPACIDADES
Denver 100
Atlanta 100
Chicago 150
Debido a que los costos de producción y transporte varían, las utilidades que Forbelt obtiene sobre cada lote de 1000 unidades dependen de cuál planta fabricó el lote y a cuál destino se envió. La tabla siguiente muestra las estimaciones de las utilidades por unidad que hizo el departamento de contabilidad (los envíos se harán en lotes de 1000 unidades):
ENVIADO A
FABRICA Boston Dallas Los Ángeles St. Paul
Denver 7 11 8 13
Atlanta 20 17 12 10
Chicago 8 18 13 16
Con la maximización de utilidades como un criterio, la gerencia de Forbelt quiere determinar cuántos motores debe fabricar cada planta y cuántos motores deben enviarse desde cada planta a cada destino.
a) Elabore una representación de red para este problema.
b) Encuentre la solución óptima.
1) GRAFICAR LA SITUACIÓN DEL PROBLEMA
2) DEEFINIR FUNCIÓN OBJETIVA MAX Gu= GANANCIAS DE UTILIDADES Gu=Número de unidades*Utilidades
Gu=#unidadesDenver-Boston*CostoDenver-Boston+#unidadesDenver-Dallas*CostoDenver-Dallas+#unidadesDenver-LosÁngeles*CostoDenver-LosÁngeles+#unidadesDenver-St.Paul*CostoDenver-St.Paul+#unidadesAtlanta-Boston*CostoAtlanta-Boston+#unidadesAtlanta-Dallas*CostoAtlanta-Dallas+#unidadesAtlanta-LosÁngeles*CostoAtlanta-LosÁngeles+#unidadesAtlanta-St.Paul*CostoAtlanta-St.Paul+ #unidadesChicago-Boston*CostoChicago-Boston+#unidadesChicago-Dallas*CostoChicago-Dallas+#unidadesChicago-
LosÁngeles*CostoChicago-LosÁngeles+#unidadesChicago-St.Paul*CostoChicago-St.Paul
Gu=#unidadesDenver-Boston*7+#unidadesDenver-Dallas*11+#unidadesDenver-LosÁngeles*8+#unidadesDenver-St.Paul*13+#unidadesAtlanta-Boston*20+#unidadesAtlanta-Dallas*17+#unidadesAtlanta-LosÁngeles*12+#unidadesAtlanta-St.Paul*10+ #unidadesChicago-Boston*8+#unidadesChicago-Dallas*18+#unidadesChicago-LosÁngeles*13+#unidadesChicago-St.Paul*16
3) DEEFINIR VARIABLES DE DECISIÓN X1 #unidadesDenver-Boston UNIDADES X2 #unidadesDenver-Dallas UNIDADES X3 #unidadesDenver-LosÁngeles UNIDADES X4 #unidadesDenver-St.Paul UNIDADES X5 #unidadesAtlanta-Boston UNIDADES X6 #unidadesAtlanta-Dallas UNIDADES X7 #unidadesAtlanta-LosÁngeles UNIDADES X8 #unidadesAtlanta-St.Paul UNIDADES X9 #unidadesChicago-Boston UNIDADES X10 #unidadesChicago-Dallas UNIDADES X11 #unidadesChicago-LosÁngeles UNIDADES X12 #unidadesChicago-St.Paul UNIDADES 4) DEFINIR LA FUNCIÓN OBJETIBO EN FUNCION DE LAS VARIABLES DE DECISIÓN Gu=7*X1+11*X2+8*X3+13*X4+20*X5+17*X6+12*X7+10*X8+8*X9+18*X10+13*X11+16*X12 5) RESTRICCIONES Número de unidades a producir por planta Denver X1+X2+X3+X4<=100000 Número de unidades a producir por planta Atlanta X5+X6+X7+X8<=100000 Número de unidades a producir por planta Chicago X9+X10+X11+X12<=150000 Equilibrio número de unidades Boston X1+X5+X9=50000 Equilibrio número de unidades Dallas
X2+X6+X10<=70000 Equilibrio número de unidades Los Ángeles X3+X7+X11<=60000 Equilibrio número de unidades St. Paul X4+X8+X12<=80000 6) MODELADO
Boston Dallas Los Ángeles St. Paul Ficticio Oferta
Denver 7 11 8 13 0 1000
00
Atlanta 20 17 12 10 0 1000
00
Chicago 8 18 13 16 0 1500
00
Demanda 50000 70000 60000 80000 90000
Envíos Boston Dallas Los
Ángeles St. Paul Ficticio Total
[unidades] Ganancia
total
Denver
0 0 0 10000 90000 100000
$ 4.240.000
,00
Atlanta 50000 50000 0 0 0 100000
Chicago 0 20000 60000 70000 0 150000
Costos Boston Dallas Los
Ángeles St. Paul Ficticio
El Paso 7 11 8 13 0 San Bernardino 20 17 12 10 0
Dallas 8 18 13 16 0
Oferta Boston Dallas Los
Ángeles St. Paul Ficticio Lo enviado Lo Recibido
El Paso 1 1 1 1 1
100000 <=
100000 San Bernardino 1 1 1 1 1
100000 <=
100000
Dallas 1 1 1 1 1
150000 <=
150000
Demanda Boston Dallas Los
Ángeles St. Paul Ficticio
El Paso 1 1 1 1 1 San Bernardino 1 1 1 1 1
Dallas 1 1 1 1 1
50000 70000 60000 80000 90000
lo enviado
= = = = =
50000 70000 60000 80000 90000
lo recibido
Por lo tanto, se tiene una ganancia máxima de $4.240.000 para lo cual debe mantenerse la distribución descrita en el literal 6.
Ejercicio 8
8. Ace Manufacturing Company tiene pedidos para tres productos parecidos:
Tres máquinas están disponibles para las operaciones de manufactura y pueden
fabricar todos los productos a la misma tasa de producción. Sin embargo, debido a
los porcentajes de defectos variables de cada producto en cada máquina, los costos
unitarios de los productos varían dependiendo de la maquina empleada. Las
capacidades de la máquina para la semana siguiente y los costos unitarios se alistan
a continuación:
Utilice un modelo de transporte para elaborar el programa de producción de costo
mínimo para los productos y maquinas. Muestre la formulación de programación
lineal.
1. Dibujar los nodos de origen y destino.
2. Asignar capacidades y demandas
En este caso la oferta es mayor que la demanda:
Oferta = 4000
Demanda = 3700
3. Equilibrar el modelo.
Para equilibrar el modelo se debe utilizar un nodo ficticio.
M1
1500
M2
1500
M3
1000
A
2000
B
500
C
1200
M1
1500
M2
1500
M3
1000
A
2000
B
300
C
1200
X
300
1
1,2
0,9
0
1,3 1,4
1,2
0
1,1 1
1,2
0
4. Dar sentido al nodo ficticio
Añadiendo el nodo ficticio el modelo está equilibrado, el nodo ficticio X es igual a
300, que en este caso vendría hacer el inventario que se tiene, el costo de envió es
cero.
5. Definir fórmula para los costos unitarios.
Para los costos de transporte se define las siguientes ecuaciones:
Función objetivo para minimizar los costos de producción:
𝑚 = 𝑥11 + 1,2𝑥12 + 0,9𝑥13 + 1,3𝑥21 + 1,4𝑥22 + 1,2𝑥23 + 1,1𝑥31 + 𝑥32 + 1,2𝑥33
Restricciones:
𝑥11 + 𝑥12 + 𝑥13 + 𝑥14 ≤ 1500
𝑥21 + 𝑥22 + 𝑥23 + 𝑥24 ≤ 1500
𝑥31 + 𝑥32 + 𝑥33 + 𝑥34 ≤ 1000
𝑥11 + 𝑥21 + 𝑥31 = 2000
𝑥12 + 𝑥22 + 𝑥32 = 500
𝑥13 + 𝑥23 + 𝑥33 = 1200
𝑥14 + 𝑥24 + 𝑥34 = 300
6. Estructurar cuadro de transporte
PRODUCTO A
PRODUCTO B
PRODUCTO C
INVENTARIO OFERTA
MAQUINA 1 1 1,2 0,9 0 1500
MAQUINA 2 1,3 1,4 1,2 0 1500
MAQUINA 3 1,1 1 1,2 0 1000
DEMANDA 2000 500 1200 300
7. Resolver en solver si los datos están completos.
Como se muestra en la figura anterior el costo mínimo de producción es de $ 3990,
teniendo 300 unidades producidos por la maquina 2 que irían a inventario, porque
con la producción de las demás maquinas se satisface el pedido de unidades.
Ejercicio 12
U.S. Cable utiliza un sistema con cinco centros de distribución y ocho zonas de
clientes, cada una de las cuales se asigna a un proveedor de origen y recibe todos
sus productos de cable del mismo centro de distribución. En un esfuerzo por
equilibrar la demanda y la carga de trabajo en los centros de distribución, el
vicepresidente de logística de la empresa dio instrucciones de que dichos centros
no se asignen a más de tres zonas de clientes.
La tabla siguiente muestra los cinco centros de distribución y el costo de proveer a
cada zona de clientes (en miles de dólares).
MAQUINAS A B C X
M1 300 0 1200 0
M2 1200 0 0 300 $ 3.990,00
M3 500 500 0 0
COSTOS
MAQUINAS A B C X
M1 1 1,2 0,9 0
M2 1,3 1,4 1,2 0
M3 1,1 1 1,2 0
OFERTA A B C X LO ENVIADO <= LO PRODUCIDO RESIDUO?
M1 1 1 1 1 1500 <= 1500 0
M2 1 1 1 1 1500 <= 1500 0
M3 1 1 1 1 1000 <= 1000 0
DEMANDA A B C X
M1 1 1 1 1
M2 1 1 1 1
M3 1 1 1 1
2000 500 1200 300 LO RECIBIDO
= = = = =
2000 500 1200 300 LO SOLICITADO
MINIMIZAR
COSTOS DE
PRODUCCION
PRODUCTO
PRODUCTO
Debido a que en la oferta los datos están incompletos se procede a realizar el modelo.
Costo de
distribución Los Ángeles Chicago Columbus Atlanta Kewark Kansas City Denver Dallas Oferta
Plano 70 47 22 53 98 21 27 13 ≤ 3
Nashville 75 38 19 58 90 34 40 26 ≤ 3
Flagstaff 15 78 37 82 111 40 29 32 ≤ 3
Springfield 60 23 8 39 82 36 32 45 ≤ 3
Boulder 45 40 29 75 86 25 11 37 ≤ 3
Demanda 1 1 1 1 1 1 1 1
Zona de Clientes
1
1
1
1
1
1
1
1
≤3
Función Objetivo Minimizar Costos = Costo x número de distribuciones Min C = 70X11 + 47 X12 + 22 X13 + 53 X14 + 98 X15 +……………...25 X56 +11 X57 + 37 X58 Variables de decisión Xi = número de distribuciones de centros de distribución a zona de clientes i = 1 2,3,4,5
Restricciones Z1 Los Ángeles X11 +X21 +X31 + X41 + X51 = 1 Z2 Chicago X12 +X22 +X32 + X42 + X52 = 1 Z3 Columbus X13 +X23 +X33 + X43 + X53 = 1 Z4 Atlanta X14 +X24 +X34 + X44 + X54 = 1 Z5 Kewark X15 +X25 +X35 + X45 + X55 = 1 Z6 Kansas City X16 +X26 +X36 + X46 + X56 = 1 Z7 Denver X17 +X27 +X37 + X47 + X57 = 1 Z8 Dallas X18 +X28 +X38 + X48 + X58 = 1 C1 Plano X11 + X12 + X13 + X14 + X15 + X16 + X17 + X18 ≤ 3 C2 Nashville X21 + X22 + X23 + X24 + X25 + X26 + X27 + X28 ≤ 3 C3 Flagstaff X31 + X32 + X33 + X34 + X35 + X36 + X37 + X38 ≤ 3 C4 Springfield X41 + X42 + X43 + X44 + X45 + X46 + X47 + X48 ≤ 3 C2 Boulder X51 + X52 + X53 + X54 + X55 + X56 + X57 + X58 ≤ 3 Modelo Matemático Función Objetivo Min C = 70X11 + 47 X12 + 22 X13 + 53 X14 + 98 X15 +……………...25 X56 +11 X57 + 37 X58 s.a. Demanda Z1 Los Ángeles X11 +X21 +X31 + X41 + X51 = 1 Z2 Chicago X12 +X22 +X32 + X42 + X52 = 1 Z3 Columbus X13 +X23 +X33 + X43 + X53 = 1 Z4 Atlanta X14 +X24 +X34 + X44 + X54 = 1 Z5 Kewark X15 +X25 +X35 + X45 + X55 = 1
Z6 Kansas City X16 +X26 +X36 + X46 + X56 = 1 Z7 Denver X17 +X27 +X37 + X47 + X57 = 1 Z8 Dallas X18 +X28 +X38 + X48 + X58 = 1 Oferta C1 Plano X11 + X12 + X13 + X14 + X15 + X16 + X17 + X18 ≤ 3 C2 Nashville X21 + X22 + X23 + X24 + X25 + X26 + X27 + X28 ≤ 3 C3 Flagstaff X31 + X32 + X33 + X34 + X35 + X36 + X37 + X38 ≤ 3 C4 Springfield X41 + X42 + X43 + X44 + X45 + X46 + X47 + X48 ≤ 3 C5 Boulder X51 + X52 + X53 + X54 + X55 + X56 + X57 + X58 ≤ 3 Contextuales X1, X2, X3, X4, X5 ≥ 0 Resolución mediante el Solver
Costo de
distribución Los Ángeles Chicago Columbus Atlanta Kewark Kansas City Denver Dallas
Plano 70 47 22 53 98 21 27 13
Nashville 75 38 19 58 90 34 40 26
Flagstaff 15 78 37 82 111 40 29 32
Springfield 60 23 8 39 82 36 32 45
Boulder 45 40 29 75 86 25 11 37
Función Objetivo
Costo Total
$ 216
Los Ángeles Chicago Columbus Atlanta Kewark Kansas City Denver Dallas
Plano 0 0 0 0 0 1 0 1
Nashville 0 0 0 0 0 0 0 0
Flagstaff 1 0 0 0 0 0 0 0
Springfield 0 1 1 1 0 0 0 0
Boulder 0 0 0 0 1 0 1 0
Zona de Clientes
Zona de Clientes
Restricciones
Demanda
Los Ángeles 1 1 1 1 1 1 = 1
Chicago 1 1 1 1 1 1 = 1
Columbus 1 1 1 1 1 1 = 1
Atlanta 1 1 1 1 1 1 = 1
Kewark 1 1 1 1 1 1 = 1
Kansas City 1 1 1 1 1 0 = 1
Denver 1 1 1 1 1 0 = 1
Dallas 1 1 1 1 1 1 = 1
Oferta
Plano 1 1 1 1 1 1 1 1 2 <= 3
Nashville 1 1 1 1 1 1 1 1 0 <= 3
Flagstaff 1 1 1 1 1 1 1 1 1 <= 3
Springfield 1 1 1 1 1 1 1 1 3 <= 3
Boulder 1 1 1 1 1 1 1 1 2 <= 3
a. Determine la asignación de las zonas de clientes a los centros de distribución que minimicen el costo. Asignaciones
Centro de distribución
Plano Kansas City Dallas
Nashville
Flagstaff Los Ángeles
Springfield Chicago Columbus Atlanta
Boulder Kewark Denver
b. ¿Cuáles centros de distribución, si los hay, no se utilizarán? No se utiliza el centro de distribución de Nashville c. Suponga que cada centro de distribución está limitado a un máximo de dos zonas de clientes. ¿Cómo cambia esta restricción la asignación y el costo de abastecer a las zonas de clientes? Se utilizan todos los centros de distribución y la zona de clientes de Columbus seria distribuida por Nashville. Al reducir una ruta de distribución de Springfield el costo aumenta en 11 mil dólares y al aumentar la zona de clientes al centro de distribución de Nashville no existe variación por lo que el costo total seria 227 mil dólares.
Final Sombra Restricción Permisible Permisible
Celda Nombre Valor Precio Lado derecho Aumentar Reducir
$J$24 Los Ángeles 1 15 1 2 1
$J$25 Chicago 1 34 1 1 0
$J$26 Columbus 1 19 1 3 0
$J$27 Atlanta 1 50 1 1 0
$J$28 Kewark 1 86 1 1 1
$J$29 Kansas City 1 21 1 1 1
$J$30 Denver 1 11 1 1 1
$J$31 Dallas 1 13 1 1 1
$J$33 Plano 2 0 3 1E+30 1
$J$34 Nashville 0 0 3 1E+30 3
$J$35 Flagstaff 1 0 3 1E+30 2
$J$36 Springfield 3 -11 3 0 1
$J$37 Boulder 2 0 3 1E+30 1
Ejercicio 13
United Express Service (UES) utiliza grandes cantidades de materiales de empaque
en sus cuatro centros de distribución. Después de examinar a los proveedores
potenciales, la empresa identificó seis vendedores que pueden suministrar
materiales que satisfagan sus estándares de calidad. UES pidió a cada uno de los
seis vendedores que presentaran propuestas para satisfacer la demanda anual en
cada uno de sus centros de distribución durante el año siguiente. Las propuestas
recibidas (en miles de dólares) se listan en la tabla siguiente. UES quiere asegurar
que un vendedor diferente atienda sólo uno de los centros de distribución.
≤1
1
1
1
1
Debido a que en la oferta los datos están incompletos se procede a realizar el modelo. Función Objetivo Minimizar Costos = Costo x número de vendedores Min C = 190X11 + 175 X12 + 125 X13 + 230 X14 +……………...270 X61 + 200 X62 + 130 X63 + 260 X64 Variables de decisión Xi = número de distribuciones de vendedores a centros de distribución i = 1 2,3,4,5,6
Restricciones C1 X11 +X21 +X31 +X31 + X41 + X51 + X61 = 1 C2 X12 +X22 +X32 +X32 + X42 + X52 + X62 = 1 C3 X13 +X23 +X33 +X33 + X43 + X53 + X63 = 1 C4 X14 +X24 +X34 +X34 + X44 + X54 + X64 = 1 V1 Martin Products X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 1 V2 Schmidl Materials X21 + X22 + X23 + X24 ≤ 1 V3 Miller Containers X31 + X32 + X33 + X34 ≤ 1 V4 D&J Burns X41 + X42 + X43 + X44 ≤ 1 V5 Larbes Furnishings X51 + X52 + X53 + X54 ≤ 1 V6 Lawler Depot X61 + X62 + X63 + X64 ≤ 1 Modelo Matemático Función Objetivo Min C = 70X11 + 47 X12 + 22 X13 + 53 X14 + 98 X15 +……………...25 X56 +11 X57 + 37 X58 s.a. Demanda C1 X11 +X21 +X31 +X31 + X41 + X51 + X61 = 1
Costos
Empresa 1 2 3 4 No enviar No enviar
Martin Products 190 175 125 230 10000000 10000000
Schmidl Materials 150 235 155 220 10000000 10000000
Miller Containers 210 225 135 260 10000000 10000000
D&J Burns 170 185 190 280 10000000 10000000
Larbes Furnishings 220 190 140 240 10000000 10000000
Lawler Depot 270 200 130 260 10000000 10000000
Centros de distribución
C2 X12 +X22 +X32 +X32 + X42 + X52 + X62 = 1 C3 X13 +X23 +X33 +X33 + X43 + X53 + X63 = 1 C4 X14 +X24 +X34 +X34 + X44 + X54 + X64 = 1 Oferta V1 Martin Products X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 1 V2 Schmidl Materials X21 + X22 + X23 + X24 ≤ 1 V3 Miller Containers X31 + X32 + X33 + X34 ≤ 1 V4 D&J Burns X41 + X42 + X43 + X44 ≤ 1 V5 Larbes Furnishings X51 + X52 + X53 + X54 ≤ 1 V6 Lawler Depot X61 + X62 + X63 + X64 ≤ 1 Contextuales X1, X2, X3, X4, X5, X6 ≥ 0 Resolución mediante solver
Empresa 1 2 3 4 No enviar No enviar
Martin Products 0 0 0 1 0 0
Schmidl Materials 1 0 0 0 0 0
Miller Containers 0 0 0 0 1 0 Min Costos
D&J Burns 0 1 0 0 0 0 $ 20.000.695
Larbes Furnishings 0 0 0 0 0 1
Lawler Depot 0 0 1 0 0 0 $ 695
Costos
Empresa 1 2 3 4 No enviar No enviar
Martin Products 190 175 125 230 10000000 10000000
Schmidl Materials 150 235 155 220 10000000 10000000
Miller Containers 210 225 135 260 10000000 10000000
D&J Burns 170 185 190 280 10000000 10000000
Larbes Furnishings 220 190 140 240 10000000 10000000
Lawler Depot 270 200 130 260 10000000 10000000
Oferta
Empresa 1 2 3 4 No enviar No enviar
Martin Products 1 1 1 1 1 1 1 = 1
Schmidl Materials 1 1 1 1 1 1 1 = 1
Miller Containers 1 1 1 1 1 1 1 = 1
D&J Burns 1 1 1 1 1 1 1 = 1
Larbes Furnishings 1 1 1 1 1 1 1 = 1
Lawler Depot 1 1 1 1 1 1 1 = 1
Demanda
Empresa 1 2 3 4 No enviar No enviar
Martin Products 1 1 1 1 1 1
Schmidl Materials 1 1 1 1 1 1
Miller Containers 1 1 1 1 1 1
D&J Burns 1 1 1 1 1 1
Larbes Furnishings 1 1 1 1 1 1
Lawler Depot 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
= = = = = =
1 1 1 1 1 1
Centros de distribución
Centros de distribución
Centros de distribución
Centros de distribución
¿Cuáles propuestas debe aceptar UES y cuáles vendedores debe seleccionar
para abastecer cada centro de distribución?
Centros de distribución
Empresa 1 2 3 4 No enviar No enviar
Martin Products 0 0 0 1 0 0
Schmidl Materials 1 0 0 0 0 0
Miller Containers 0 0 0 0 1 0
D&J Burns 0 1 0 0 0 0
Larbes Furnishings 0 0 0 0 0 1
Lawler Depot 0 0 1 0 0 0
Schmidl Materials abastece el centro de distribución 4
Martin Products abastece el centro de distribución 1
D%J Burns abastece el centro de distribución 2
Lawler Depot abastece el centro de distribución 3
Mientras que los ficticios que son distribuidos por Miller containers y Larbes
Furnishing son descartados
EJERCICIO 17
El sistema de distribución de Herman Company se compone de tres plantas, dos
almacenes y cuatro clientes. Las capacidades de las plantas y los costos de envió
por unidad (en $) desde cada planta a cada almacén son los siguientes:
La demanda de los clientes y los costos de envió por unidad (en $) desde cada
almacén a cada cliente son:
1. Elabore una representación de red para este problema.
En este caso la oferta es mayor a la demanda y eso indica que va existir un
inventario, se lo representa mediante el nodo ficticio Y.
Para lo cual se tiene preparado una tabla con los costos de transporte.
P1
450
P2
600
P3
380
4
A1
6
C1
5
A2
7
C2
8
C3
9
C4
300
300
300
400
4
7
8
5
5
6
6
3
4
6
8
7
4
7
Y
Ficticio 130
0
0
Los valores de -100000000 son colocados debido a que esos elementos de la matriz
no son utilizados.
2. Formule un modelo de programación lineal del problema.
La función objetivo para minimizar es:
𝑚 = 4𝑥14 + 7𝑥15 + 8𝑥24 + 5𝑥25 + 5𝑥34 + 6𝑥35 + 6𝑥46 + 4𝑥47 + 8𝑥48 + 4𝑥49 + 3𝑥56+ 6𝑥57 + 7𝑥58 + 7𝑥59
Restricciones:
𝑥14 + 𝑥15 ≤ 450
𝑥24 + 𝑥25 ≤ 600
𝑥34 + 𝑥35 ≤ 380
−𝑥14 − 𝑥24 − 𝑥34 + 𝑥46 + 𝑥47 + 𝑥48 + 𝑥49 + 𝑥4𝑦 = 0
−𝑥15 − 𝑥25 − 𝑥35 + 𝑥56 + 𝑥57 + 𝑥58 + 𝑥59 + 𝑥5𝑦 = 0
𝑥46 + 𝑥56 = 300
𝑥47 + 𝑥57 = 300
𝑥48 + 𝑥58 = 300
𝑥49 + 𝑥59 = 400
𝑥4𝑦 + 𝑥5𝑦 = 130
3. Resuelva el programa lineal para determinar el plan de envió óptimo
COSTOS
PLANTAS P1 (1) P2 (2) P3 (3) A1 (4) A2 (5) C1 (6) C2 (7) C3 (8) C4 (9) X (10)
P1 (1) -100000000 -100000000 -100000000 4 7 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000
P2 (2) -100000000 -100000000 -100000000 8 5 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000
P3 (3) -100000000 -100000000 -100000000 5 6 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000
A1 (4) -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 6 4 8 4 0
A2 (5) -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 3 6 7 7 0
CLIENTESPLANTAS ALMACENES
PLANTAS P1 (1) P2 (2) P3 (3) A1 (4) A2 (5) C1 (6) C2 (7) C3 (8) C4 (9) X (10)
P1 (1) 0 0 0 450 0 0 0 0 0 0
P2 (2) 0 0 0 0 600 0 0 0 0 0
P3 (3) 0 0 0 380 0 0 0 0 0 0 $ 12.500,00
A1 (4) 0 0 0 0 0 0 300 0 400 130
A2 (5) 0 0 0 0 0 300 0 300 0 0
COSTOS
PLANTAS P1 (1) P2 (2) P3 (3) A1 (4) A2 (5) C1 (6) C2 (7) C3 (8) C4 (9) X (10)
P1 (1) -100000000 -100000000 -100000000 4 7 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000
P2 (2) -100000000 -100000000 -100000000 8 5 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000
P3 (3) -100000000 -100000000 -100000000 5 6 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000
A1 (4) -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 6 4 8 4 0
A2 (5) -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 3 6 7 7 0
OFERTA
PLANTAS P1 (1) P2 (2) P3 (3) A1 (4) A2 (5) C1 (6) C2 (7) C3 (8) C4 (9) X (10) LO ENVIADO <= LO PRODUCIDO
P1 (1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 450 <= 450
P2 (2) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 600 <= 600
P3 (3) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 380 <= 380
A1 (4) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A2 (5) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
DEMANDA
PLANTAS P1 (1) P2 (2) P3 (3) A1 (4) A2 (5) C1 (6) C2 (7) C3 (8) C4 (9) X (10)
P1 (1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
P2 (2) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
P3 (3) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A1 (4) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A2 (5) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
300 300 300 400 130 LO RECIBIDO
= = = = = =
300 300 300 400 130 LO SOLICITADO
0 = 0
0 = 0
PLANTAS ALMACENES CLIENTES
RESTRICCIONES ADICIONALES
CLIENTES
PLANTAS ALMACENES CLIENTES
MINIMIZAR
COSTOS DE
PRODUCCIO
ALMACENES CLIENTESPLANTAS
PLANTAS ALMACENES
Como se puede ver en la respuesta que nos proporciona el Solver, el valor de $
12500 es el valor mínimo para el transporte con el transbordo incluido. Existe un
valor de 130 que se le considera como inventario debido a que al inicio la oferta
era mayor que la demanda, y para igualar el modelo se debe aumentar los 130.
Ejercicio 19
Adirondack Paper Mills, Inc. opera fábricas de papel en Augusta, Maine y Tupper
Lake, Nueva York. Las instalaciones de almacenes se localizan en Albany,
Nueva York y Portsmouth, New Hampshire. Los distribuidores se localizan en
Boston, Nueva York y Filadelfia. Las capacidades de la planta y las demandas
de los distribuidores para el mes próximo son las siguientes:
Los costos unitarios de transporte (en $) para los envíos desde las dos plantas
a los dos almacenes, y desde éstos a los tres distribuidores son los siguientes:
a. Trace la representación de red del problema de Adirondack Paper Mills.
b. Formule el problema de Adirondack Paper Mills como un problema de
programación lineal.
1. Grafico
2. Organizar en tablas
Destinos (costos unitarios de transporte (en $))
Origenes Albany Portsmouth Boston Nueva York Filadelfia Oferta
Augusta 7 5 x x x 300
Tupper Lake 3 4 x x x 100
Albany x x 8 5 7
Portsmouth x x 5 6 10
Demanda 150 100 150
3. Función objetivo
Minimizar costos de transporte = Costos unitarios de transporte * números de
rutas de disttribución
Min C = 7X13 + 5X14 + 3X23 + 4X24 + 8X35 + 5X36 + 7X37 + 5X45 + 6X46 + 1X47
4. Definir las variables de decisión
X13 = # de rutas de distribución de Augusta – Albany
X14 = # de rutas de distribución de Augusta - Portmouth
X23 = # de rutas de distribución de Tupper Laker - Albany
X24 = # de rutas de distribución de Tupper Laker – Portmouth
X35 = # de rutas de distribución de Albany – Boston
X36 = # de rutas de distribución de Albany – Nueva York
X37 = # de rutas de distribución de Albany – Filadelfia
X45 = # de rutas de distribución de Portmounth – Boston
X46 = # de rutas de distribución de Portmounth – Nueva York
X47 = # de rutas de distribución de Portmounth – Filadelfia
5. Función objetivo en base de las variables de decisión
Min C = 7X13 + 5X14 + 3X23 + 4X24 + 8X35 + 5X36 + 7X37 + 5X45 + 6X46 + 1X47
6. Restricciones
Restricciones del nodo de origen
X13 + X14 ≤ 300
X23 + X24 ≤ 100
Restricciones del nodo de transbordo
- X13 - X23 + X35 + X36 + X37 = 0
- X14 - X24 + X45 + X46 + X47 = 0
Restricciones del nodo de destino
X35 + X45 = 150
X36 + X46 = 100
X37 + X47 = 150
7. Modelo Matemático
Función objetivo
Min C = 7X13 + 5X14 + 3X23 + 4X24 + 8X35 + 5X36 + 7X37 + 5X45 + 6X46 + 1X47
s.a.
X13 + X14 ≤ 300 nodo de origen
X23 + X24 ≤ 100 nodo de origen
- X13 - X23 + X35 + X36 + X37 = 0 nodo de transbordo
- X14 - X24 + X45 + X46 + X47 = 0 nodo de transbordo
X35 + X45 = 150 nodo de destino
X36 + X46 = 100 nodo de destino
X37 + X47 = 150 nodo de destino
8. Solución Solver
c. Resuelva el programa lineal para determinar el programa de envío de costo
mínimo para el problema.
Minimizar costo de transporte $ 3.200,00
Minimizar costo de transporte
Rutas de distrib. X13 X14 X23 X24 X35 X36 X37 X45 X46 X47
costos unitarios 7 5 3 4 8 5 7 5 6 1
Rutas de distrib. X13 X14 X23 X24 X35 X36 X37 X45 X46 X47
# de rutas de distrib. 0 300 100 0 0 100 0 150 0 150
Resctricciones
Nodo de Origen
Augusta 1 1 300 = 300
Tupper Lake 1 1 100 = 100
Nodo de transbordo
Albany -1 -1 1 1 1 0 = 0
Portmounth -1 -1 1 1 1 0 = 0
Nodo de destino
Boston 1 1 150 = 150
Nueva York 1 1 100 = 100
Filadelfia 1 1 150 = 150
$ 3.200,00
CASO 2
Dibujar nodos de origen y destino
Asignar capacidades y demandas
En este caso la oferta es mayor que la demanda
Oferta = 50000
Demanda = 41260
Equilibrar modelos (nodos ficticios)
Definir fórmula para los costos
MIN Cu= COSTOS DE TRANSPORTE
Cu=Costos de producción + Costos de transporte planta-centro distribución+Costos de
transporte centro de distribución-clientes
Cu= #medidoresElPasto-FortWorth*CostoElPasto-FortWorth+#medidoresElPasto-
SantaFe*CostoElPasto-SantaFe+#medidoresElPasto-LasVegas*CostoElPasto-LasVegas+
#medidoresSanBernardino-SantaFe*CostoSanBernardino- SantaFe+#medidoresSanBernardino
-LasVegas*CostoSanBernardino-LasVegas+#medidoresFortWorth-Dallas*CostoFortWorth-
Dallas+#medidoresFortWorth-SanAntonio*CostoFortWorth-SanAntonio+#medidoresFortWorth-
Wichita*CostoFortWorth-Wichita+#medidoresFortWorth-KansasCity*CostoFortWorth-
KansasCity+#medidoresSantaFe-Denver*CostoSantaFe-Denver+#medidoresSantaFe-
SaltLakeCity*CostoSantaFe-SalLakeCity+#medidoresSantaFe-Phoenix*CostoSantaFe-
Phoenix+#medidoresLasVegas-LosÁngeles*CostoLasVegas-LosÁngeles
+#medidoresLasVegas -SanDiego*CostoLasVegas-SanDiego
Cu= #medidoresElPasto-FortWorth*3,2+#medidoresElPasto-
SantaFe*2,2+#medidoresElPasto-LasVegas*4,2+#medidoresSanBernardino-
SantaFe*3,9+#medidoresSanBernardino-LasVegas*1,2+#medidoresFortWorth-Dallas*0,3+ #
medidoresFortWorthSanAntonio*2,1+#medidores FortWorth-Wichita*3,1+#medidoresFortWorth-
KansasCity*4,4+#medidoresSantaFeDenver*2,7+#medidoresSantaFe-SaltLakeCity*4,7
+#medidoresSantaFe-Phoenix*3,4+#medidoresLasVegas-LosÁngeles*2,1+#medidores
LasVegas -SanDiego*2,5
DEFINIR VARIABLES DE DECISIÓN
X1 #medidoresElPasto-FortWorth UNIDADES
X2 #medidoresElPasto-SantaFe UNIDADES
X3 #medidoresElPasto-LasVegas UNIDADES
X4 #medidoresSanBernardino-SantaFe UNIDADES
X5 #medidoresSanBernardino-LasVegas UNIDADES
X6 #medidoresFortWorth-Dallas UNIDADES
X7 #medidoresFortWorth-SanAntonio UNIDADES
X8 #medidoresFortWorth-Wichita UNIDADES
X9 #medidoresFortWorth-KansasCity UNIDADES
X10 #medidoresSantaFe-Denver UNIDADES
X11 #medidoresSantaFe-SaltLakeCity UNIDADES
X12 #medidoresSantaFe-Phoenix UNIDADES
X13 #medidoresLasVegas-LosÁngeles UNIDADES
X14 #medidoresLasVegas-SanDiego UNIDADES
DEFINIR LA FUNCIÓN OBJETIBO EN FUNCION DE LAS VARIABLES DE
DECISIÓN
Cu=3,2*X1+2,2*X2+4,2*X3+3,9*X4+1,2*X5+0,3*X6+2,1*X7+3,1*X8+4,4*X9+2,
7*X10+4,7*X11+3,4*X12+2,1*X13+2,5*X14
RESTRICCIONES
Número de medidores a producir por planta El Pasto
X1+X2+X3<=30000
Número de medidores a producir por planta San Bernardino
X4+X5<=20000
Equilibrio número de medidores distribuidos por Fort Worth
X1-X6-X7-X8-X9=0
Equilibrio número de medidores distribuidos por Santa Fe
X2+X4-X10-X11-X12=0
Equilibrio número de medidores distribuidos por Las Vegas
X3+X5-X13-X14=0
Restricciones por demanda de clientes
X6 = 6300
X7 = 4880
X8 = 2130
X9 = 1210
X10 = 6120
X11 = 4830
X12 = 2750
X13 = 8580
X14 = 4460
ESTRUCTURA CUADRO DE TRANSPORTE
RESOLVER MEDIANTE SOLVER
1. Si la empresa no cambia su estrategia de distribución actual ¿Cuáles
serán los costos de distribución para el trimestre siguiente?
Los costos de distribución son $ 620,770
2. Supongamos que la empresa está dispuesta a considerar excluir las
limitaciones de los centros de distribución: es decir los clientes podrían ser
atendidos por cualquier de los centros de distribución para los cuales se
dispone de los costos. ¿Los costos se pueden reducir? ¿Por cuánto?
Si se puede reducir los costos en 600,942 dólares
3. La empresa quiere explorar la posibilidad de satisfacer parte de la demanda
de los clientes directamente desde las plantas de producción. En particular el
costo de envió es $ 0,30 por unidad desde San Bernardino a Los Ángeles y
de $0,70 desde San Bernardino a San Diego. EL costo de los envíos directos
desde El paso a San Antonio es $ 3,50 por unidad. ¿Se pueden reducir aún
más los costos de distribución al considerar estos envíos directos desde la
planta a los clientes?
Si se pueden reducir más los costos de envió a 553,534 dólares
4. Durante los próximos cinco años. Darby anticipa un crecimiento moderado
(5000 medidores) hacia el norte y el oeste. ¿Recomendaría usted que
considere la expansión de la planta en este momento?
Considerando que la cantidad de medidores suministrados por la empresa es
de 50000, para el caso de menor costo de transporte se tiene un total de 41260
unidades lo cual implica que:
Caso de crecimiento
Total de unidades disponibles 50000
Total de unidades producidas 41260
Unidades faltantes 8740
Crecimiento estimado 5000
Total de unidades sobrantes 3740
Por lo tanto, no es necesario la expansión de la compañía ya que la capacidad
de producción actual permite el incremento estimado y mantiene un sobrante
de crecimiento de 3740 para un futuro, para lo cual hay que considerar los
centros de distribución para mantener los costos de transporte y envió reducido.