Investitionsplanung und -kontrolle - EconBiz...Einige Bemerkungen zur Stoffauswahl und zum Inhalt der Vorlesungen 7 men wird ein ertragsgesetzlicher Zusammenhang zwischen der erwarteten

Investitionsplanung und Investitionskontrolle

VonUniversitäts-ProfessorDr. Manfred Jürgen MatschkeInstitut für Wirtschaftswissenschaftder Technischen Universität Clausthal

unter MitwirkungvonXenia Matschke

Alle Rechte vorbehalten und beim Verfasser. Verwendung nur unter Zitatangabe.

Verlag Neue WirtschaftsbriefeHerne/Berlin 1993

VorwortEs wird hiermit das Manuskript meiner Vorlesung "Investitionsplanung und Inve-stitionskontrolle" vorgelegt, die ich im Rahmen einer Gastprofessur, die von derKonrad-Adenauer-Stiftung gefördert worden ist, im Sommersemester 1992 an derWirtschaftswissenschaftlichen Fakultät der Friedrich-Schiller-Universität Jena ge-halten habe.Das Manuskript dieser Vorlesung ist in dem relativ kurzen Zeitraum von Ende Fe-bruar bis Ende Juni 1992, also zum Teil noch während des laufenden Sommerse-mesters 1992 entstanden. Da mein Jenaer Engagement zusätzlich zur vollen Lehr-stuhlbelastung an der Technischen Universität Clausthal erfolgte, hatte dieseknappe zeitliche Entstehung natürlich zur Folge, daß es in dieser Zeit so gut wiekeine Freizeit für mich gab, daß Samstags-, Sonntags- und Feiertagsarbeit sowieArbeit bis in den sehr späten Abend hinein die Regel und nicht die Ausnahmewar.Jede Vorlesung verlangt nach einer Stoffauswahl wegen der gegebenen zeitlichenBeschränkung. Die Gesichtspunkte, die für mich relevant waren, habe ich in denan dieses Vorwort anschließenden Bemerkungen zur Stoffauswahl und zum Inhaltder Vorlesungen näher dargelegt. Hier sei gesagt, daß es sich bei der hier vorge-legten "Investitionsplanung und Investitionskontrolle" um eine Grundlagenlehr-veranstaltung zum Bereich der Investition handelt, so wie die "Finanzierung derUnternehmung" (erschienen im NWB-Verlag, Herne/Berlin 1991) eine Grundla-genlehrveranstaltung zum Bereich der Finanzierung wiedergibt. Der Stoff beiderin das Gebiet der Investition und Finanzierung einführenden Lehrbücher umfaßtdiejenigen finanzwirtschaftlichen Themenstellungen, die nach meiner Meinung je-der Student der Wirtschaftswissenschaft kennen sollte.Größten Wert habe ich auf eine verständliche Darstellung gelegt. Als Hochschul-lehrer ist man geneigt, manches vorauszusetzen, anderes nur anzudeuten oderGlieder in der Beweiskette zu überspringen, weil es doch "klar" ist. Man übersiehtdabei jedoch, daß die Studenten als Lernende, als weniger in der Sache Stehende,dadurch erhebliche Verständnisschwierigkeiten haben können, die vermeidbarsind, und daß sie so auf einen verhängnisvollen Weg geführt werden, nämlich da-zu verleitet werden können, Dinge, die sie verstanden haben sollten, nur auswen-dig zu lernen, um sie gerade noch in Prüfungen wiedergeben zu können. EineGrundlagenlehrveranstaltung sollte m.E. stets so gestaltet sein, daß die Beweisfüh-rung und der Stoff vom Studenten nachvollzogen werden können. Ein entspre-chendes, in ein Thema einführendes Lehrbuch muß daher in sich geschlossen undaus sich selbst heraus verständlich sein. Der Student sollte nicht gezwungen sein,gleichzeitig um sich herum einen Wust an weiterer Literatur aufbauen zu müssen,um ein Grundlagenlehrbuch verstehen zu können.So wie bei der "Finanzierung der Unternehmung" ist auch in bezug auf die "Inve-stitionsplanung und Investitionskontrolle" ganz bewußt die Gliederung des Stoffesnach Lehreinheiten (jeweils zweistündige Vorlesungen) vorgenommen worden,insgesamt sechzehn Vorlesungen. Der Zweck dieser auf Lehreinheiten abstellen-den Gliederung ist eine Selbstbindung. Denn während in den Studienplänen dieSemesterwochenstunden für ein bestimmtes Fachgebiet über die Jahre weitgehendunverändert bleiben, schwellen die Lehrbücher, auf die verwiesen wird, von Auf-

Vorwort 5

lage zu Auflage sichtbar (mehr Seiten) oder weniger sichtbar (kleinere Schriftty-pe, anderes Layout, dünneres Papier) an. Ganz selbstverständlich wird dieses im-mer umfangreichere Stoffgebiet bei den jeweiligen Prüfungen als Fundus für Prü-fungsthemen genommen. Die vielbeklagte Verlängerung der Studienzeiten hat si-cherlich auch etwas mit dieser hochschulweit und fachübergreifend verbreiteten,aus den Studienplänen nicht erkennbaren Ausweitung der Prüfungsstoffgebiete zutun. Wird eine auf Lehreinheiten bezogene Gliederung des Stoffes in einem Lehrbuch– wie hier – gewählt, so ist einer solchen – (un)heimlichen – Ausweitung ein er-kennbarer Riegel vorgeschoben. Denn bleibt die Zahl der Semesterwochenstundenlaut Studienplan für ein Lehrgebiet unverändert – und dies ist der Normalfall –, somüssen spätere Umgestaltungen des Lehrstoffes zu Lasten früherer Ausführungengehen und können nicht mehr bequem in Form von Ausweitungen und Ergänzun-gen bisheriger Ausführungen im Lehrbuch untergebracht werden. Ist eine Auswei-tung des Stoffgebiets zwingend geboten, so wird die lehrmäßige Konsequenz un-mittelbar sichtbar; denn man kommt nicht mehr mit der vorherigen Anzahl vonLehrveranstaltungen für dieses erweiterte Stoffgebiet aus. Eine auf Lehreinheitenbezogene Gliederung eines Lehrbuchs ist also ein Instrument der Selbstdiszipli-nierung des Lehrenden und Prüfenden und kann auf diese Weise zu einem Beitragzur Studienzeitverkürzung werden. Eine Begründung soll noch geliefert werden, weshalb ich mich entschlossen habe,meine Tochter, cand.rer.oec. Xenia Matschke, die z.Z. im achten Semester Wirt-schaftswissenschaften studiert und inzwischen ihre Diplomarbeit auf dem Gebietder Außenhandelstheorie erfolgreich bestanden hat, als Koautor aufzunehmen.Am Anfang bestand ihr Beitrag im Korrekturlesen, im Hinweis auf Fehler, Unge-nauigkeiten oder Unverständliches; denn sie konnte das, was ich geschrieben hat-te, aus der Sicht einer "Betroffenen" sehen. Sehr bald hat sich die Zusammenarbeitmit ihr über diese Hilfen hinaus intensiviert. Vieles ist später in gemeinsamer Dis-kussion gestaltet worden. Besonders hervorheben möchte ich ihren Anteil bezogenauf die richtige Beurteilung einer einzelnen Investition mit Hilfe der internenZinsfuß-Methode und ihren Anteil bei der Ermittlung der methodenspezifischenResultatsabweichungen zwischen den statischen und dynamischen Investitions-rechnungsmethoden.Meinem Mitarbeiter Diplom-Kaufmann Dr. Ulf Jaeckel möchte ich sehr herzlichfür seine Vorarbeiten in bezug auf den Bereich der Investitionskontrolle danken.Ohne diese Vorarbeiten wäre die Hektik der letzten Entstehungswochen noch grö-ßer geworden. Es ist halt leichter, einen "schon gebrochenen Stein" zu behauen,als ihn erst aus dem Fels zu brechen.Meiner Frau, Studienrätin Diplom-Kaufmann Christine Matschke, danke ich sehrherzlich für ihre Bereitschaft, das Manuskript zu lesen und auf orthographische,grammatikalische und stilistische Schwächen aufmerksam zu machen. Ebensodanke ich Frau Diplom-Ökonomin M. Preuß vom NWB-Verlag, die nicht bloßsehr sorgfältig das Manuskript gelesen, sondern auch auf die Einhaltung formalerGesichtspunkte bei der computermäßigen Manuskriptgestaltung streng geachtethat.

Clausthal-Zellerfeld, im Frühjahr 1993 Manfred Jürgen Matschke

6 Vorwort

Einige Bemerkungen zur Stoffauswahl und zum Inhalt derVorlesungenJede Vorlesung verlangt nach einer Stoffauswahl wegen der gegebenen zeitlichenBeschränkung. Ich möchte kurz erläutern, welche Gesichtspunkte für mich rele-vant waren und was der Inhalt der einzelnen Lehrveranstaltungen ist.In den ersten beiden Vorlesungen ging es mir darum, an die Vorlesung "Finanzie-rung der Unternehmung" (erschienen im NWB-Verlag, Herne/Berlin 1991) anzu-knüpfen und den Investitionsbegriff vertieft in seinem spiegelbildlichen Verhältniszum Finanzierungsbegriff zu erläutern, wobei jeweils ein Finanzierungs- und In-vestitionsbegriff im engeren und im weiteren Sinne unterschieden werden. Danachhabe ich gängige Investitionsbegriffe der Literatur und ihr Verhältnis zu den zuvorabgegrenzten Investitionsbegriffen erläutert. Der Katalog möglicher Investitions-arten kann beliebig umfangreich werden, weil der Anzahl der Gliederungskriteriennur durch die Phantasie Grenzen gesetzt werden. Im Rahmen der Vorlesung habeich Gliederungen der Investitionen nach dem Investitionsobjekt und nach dem In-vestitionszweck vorgestellt. Auch die dritte Vorlesung hat einführenden Charakter. Im Vordergrund steht derInvestitionsentscheidungsprozeß und die Erläuterung seiner verschiedenen Phasenim Sinne unterschiedlicher Aktivitätsschwerpunkte. Außerdem werden Schwach-stellen im Investitionsbereich angesprochen und einige Darlegungen zum Bereichder Investitionsorganisation gemacht – ein Thema, das in Investitionslehrbüchernmeist übergangen wird.Der Einstieg in die Investitionstheorie und Investitionsplanungsrechnung wird mitder vierten und fünften Vorlesung vollzogen, in der ausgehend vom Investitions-begriff im engeren Sinne einerseits unter Benutzung entscheidungstheoretischerTermini (Ergebnisdefinition, Präferenzen) die im weiteren Verlauf der Vorlesungzugrundegelegten Zielsetzungen für Investitionskalküle erläutert werden und an-dererseits Entscheidungen über das Investitionsvolumen behandelt werden. Ver-gleicht man gängige Investitionslehrbücher, so ist es eigentlich nicht üblich, denEinstieg in die Investitionstheorie und Investitionsrechnung über Investitionsvolu-mensentscheidungen zu wählen, nicht zuletzt deshalb, weil Investitionsvolumens-entscheidungen vielfach gar nicht angesprochen werden. Investitionsvolumensent-scheidungen sind nach meiner Meinung jedoch besonders gut geeignet für einenEinstieg in die Investitionstheorie, weil auf der Basis einfacher Zwei-Zeitpunkte-Modelle, also einer einperiodigen Betrachtungsweise, grundlegende Begriffe wieder Begriff des Kapitalwerts und des Vermögenswerts inhaltlich und noch ohnegroßen formalen Apparat erläutert werden können. Üblich ist es hingegen, in be-zug auf Kapitalwert und Vermögenswert zunächst Berechnungsgleichungen vor-zustellen, um später dem Berechneten einen ökonomischen Inhalt zu geben. DerWeg von der inhaltlichen Definition zur formalen Berechnung erscheint mir sinn-voller als der umgekehrte. Die Berechnungsgleichungen werden daher von mirstets aus den inhaltlichen Definitionsgleichungen dieser Begriffe entwickelt, zu-nächst nur für den Zwei-Zeitpunkte-Fall, später auch für den mehrperiodigen Fall.Den Komplex der Investitionsvolumensentscheidungen habe ich unterteilt einer-seits in Entscheidungen über das Sach- und Finanzinvestitionsvolumen bei gege-benen Investitionsmitteln und andererseits in Entscheidungen über Konsum undInvestition. Bei den Entscheidungen über das Sach- und Finanzinvestitionsvolu-

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men wird ein ertragsgesetzlicher Zusammenhang zwischen der erwarteten Ge-samteinzahlung in t = 1 und der Anfangsauszahlung in t = 0 angenommen. Sokann ein formaler Zusammenhang zur Produktionstheorie hergestellt und das Wis-sen der Studenten aus der Produktionstheorie für das Verständnis investitionstheo-retischer Fragestellungen genutzt werden. Das optimale Sachinvestitionsvolumenist in Abhängigkeit von der alternativen Finanzinvestition zu sehen. Seine Ermitt-lung ist unter den gesetzten Bedingungen auf der Basis einfacher Dominanzüber-legungen unter Verwendung einer monoton steigenden Höhenpräferenz möglich.Entscheidungen über das Sach- und Finanzinvestitionsvolumen bei gegebenen In-vestitionsmitteln verlangen daher weniger Informationen über die Nutzenfunktiondes Investors, als sie bei Entscheidungen über Konsum und Investition erforder-lich sind, die auf der Basis des Fisher-Hirshleifer-Modells erläutert werden. Diesegeringeren Anforderungen hinsichtlich der Kenntnis der Nutzenfunktion sind dererste Grund für die gewählte Reihenfolge. Der zweite Grund ist, daß die Annah-men über die Sachinvestitionen im Fisher-Hirshleifer-Modell spezieller sind, weillediglich abnehmende Grenzeinzahlungen in Abhängigkeit vom Investitionsvolu-men zugelassen werden. Der dritte Grund ist, daß die beim Fisher-Hirshleifer-Mo-dell übliche Darstellung der Investitionsmöglichkeiten als Transformationskurveeine Spiegelung einer Investitionskurve, die eine Abhängigkeit zwischen Gesamt-einzahlung und Investitionsvolumen wiedergibt, beinhaltet, die aufgrund der ge-wählten Reihenfolge nicht weiter erläutert zu werden brauchte. Der vierte Grundist schließlich, daß das Fisher-Hirshleifer-Modell wegen seiner Verknüpfung vonKonsum, Investition und Finanzierung und der Einbeziehung eines unvollkomme-nen Kapitalmarkts ein sehr komplexes Modell ist.Im Anschluß an die Investitionsvolumensentscheidungen werden in der sechstenund siebenten Vorlesung Entscheidungen über die Investitionsdauer behandelt,wobei es um die optimale Investitionsdauer und den optimalen Ersatzzeitpunktgeht. Auch dies ist nicht üblich und soll daher begründet werden. Den Entschei-dungen über das Investitionsvolumen liegt eine einperiodige Betrachtungsweisezugrunde. An diese Betrachtungsweise knüpfe ich bei den Entscheidungen überdie optimale Investitionsdauer an, aber mit dem wesentlichen Unterschied, daß dieLänge dieser Betrachtungsperiode jetzt Gegenstand der Entscheidung ist, was einekontinuierliche Betrachtungsweise bezogen auf die Gesamteinzahlungsfunktion inAbhängigkeit von der Zeit bedingt, wobei diese Gesamteinzahlung nur am Endeder Nutzungsdauer anfällt. Vergleicht man diese Vorgehensweise (einperiodigekontinuierliche Betrachtung mit variabler Periodenlänge) mit derjenigen in der Li-teratur, so ergeben sich auch hier Unterschiede; denn Nutzungsdauerentscheidun-gen werden dort gewöhnlich unmittelbar auf der Basis einer mehrperiodigen dis-kontinuierlichen Betrachtungsweise behandelt. Mehrperiodig bedeutet hierbei, daßnicht bloß zu Beginn und am Ende der Investitionsdauer Zahlungen erwartet wer-den, sondern auch schon während der Nutzungsdauer. Diese Vorgehensweise er-scheint mir inhaltlich wie didaktisch nicht sehr zweckmäßig. Inhaltlich ist einediskontinuierliche Betrachtungsweise wenig problemadäquat, weil die Entschei-dungsvariable die Nutzungsdauer ist, und die sollte zur Herleitung allgemeinerAussagen sinnvollerweise als kontinuierliche Variable definiert sein. Wird sie alskontinuierliche Variable definiert, so verlangt die Erfassung von Zahlungen inner-halb der Nutzungsdauer nach Anwendung der Integralrechnung, ist also formalaufwendiger zu handhaben. Außerdem sind die Ergebnisse hinsichtlich der opti-malen Nutzungsdauer dann keineswegs zwingend eindeutig, weil es durchaus

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mehrere (relative) Kapitalwertmaxima in Abhängigkeit von der Zeit geben kann –ein Problem, auf das regelmäßig nicht eingegangen wird.Bei der Erörterung der Investitionsdauerentscheidungen habe ich die einperiodigeBetrachtungsweise zunächst beibehalten. Dadurch ergeben sich Erleichterungenbezogen auf die formale Seite der Darstellungen, und Verständnisprobleme lassensich zumindest reduzieren. Den Hintergrund der Überlegungen zur optimalen In-vestitionsdauer bildet ein Reifemodell mit einer Anfangsauszahlung und mit einerGesamteinzahlung, und zwar habe ich ein Reifemodell mit einem ertragsgesetzli-chen Verlauf der Gesamteinzahlungsfunktion in Abhängigkeit von der Zeit ge-wählt. Wie das optimale Investitionsvolumen, so hängt auch die optimale Investi-tionsdauer einer Sachinvestition von der alternativen Finanzinvestition ab. Wer-den die Überlegungen zur optimalen Sachinvestitionsdauer auf der Basis eines (er-tragsgesetzlichen) Reifemodells hergeleitet, so kann über die Verwendung loga-rithmierter Gesamteinzahlungsfunktionen der Begriff der Momentanverzinsung ineinfacher und anschaulicher Weise sowohl in bezug auf eine Finanzinvestition alsauch in bezug auf eine Sachinvestition erläutert werden. Zugleich kann auf derBasis der logarithmierten Gesamteinzahlungsfunktionen unmittelbar an die Vor-gehensweise, die im Zusammenhang mit der Herleitung des optimalen Sachinve-stitionsvolumens gewählt worden war, bei der Herleitung der optimalen Investi-tionsdauer graphisch angeknüpft werden. Bei dem sog. Gesetz der Ersatzinvesti-tion, d.h. bei der Investitionsdauerbestimmung bei wiederholten Investitionen(endlichen und unendlichen Investitionsketten), habe ich mich in besonderer Wei-se bemüht, die einzelnen Schritte der Herleitung der Bedingungen für die optimaleInvestitionsdauer bei (endlich oder unendlich) wiederholten Investitionen sehr ge-nau anzugeben, weil gerade in bezug auf die Herleitung der Bedingungen bei (un-endlichen) Investitionsketten manches in der Lehrbuchliteratur im argen liegt, wasauch zu irrigen Schlußfolgerungen verleitet. Das Problem des optimalen Ersatzzeitpunkts ist ein Problem der Veränderung vonentscheidungsrelevanten Informationen im Zeitablauf. Entschieden wird, ob eineschon vorhandene Sachinvestition auf der Basis aktueller Informationen noch wei-ter fortgeführt werden soll oder ob sie sofort – mit oder ohne Ersatz – abgebro-chen werden soll. Wenn es um eine mögliche Abbruchentscheidung ohne Ersatzgeht, so kann an die Überlegungen hinsichtlich der Verlängerung der Investitions-dauer bei einmaliger Investition angeknüpft werden. Wenn es um eine möglicheAbbruchentscheidung mit Ersatz geht, so kann an die Überlegungen hinsichtlichder Verlängerung der Investitionsdauer bei wiederholter Investition angeknüpftwerden. Wegen dieser inhaltlichen Verbindung ergibt sich, daß auf den optimalenErsatzzeitpunkt erst nach der Behandlung der optimalen Investitionsdauer einge-gangen werden sollte. Da das Problem des optimalen Ersatzzeitpunkts nicht stän-dig, sondern bezogen auf eine Investition nur in zeitlichen Abständen aufgegriffenwird, müssen die bei kontinuierlicher Betrachtungsweise aufgestellten Bedingun-gen für eine Verlängerung der Investitionsdauer im Zusammenhang mit ihrer An-wendung auf das Problem des optimalen Ersatzzeitpunkts in eine diskontinuierli-che Betrachtungsweise überführt werden. Diese Ergebnisse lassen sich dann aufden Fall der Investitionsdauerbestimmung bei mehrperiodiger diskontinuierlicherBetrachtung unschwer übertragen.Einen ganz wesentlichen Inhalt einer jeden Investitionsvorlesung bilden die sog.Investitionseinzelentscheidungen. Bezogen auf die Investitionseinzelentscheidun-


gen beginne ich mit der Darstellung der dynamischen Investitionsrechnungsme-thoden, die Gegenstand der achten bis elften Vorlesung sind. Zunächst wird sehrausführlich die Entscheidungssituation beschrieben, die bei der Anwendung derdynamischen Investitionsrechnungsmethoden zugrundegelegt wird. Ich möchtehierbei insbesondere zeigen, daß die dynamischen Investitionsrechnungsmethodennicht voraussetzen, daß man die künftigen Zinssätze auf dem vollkommenen Ka-pitalmarkt kennen muß oder daß die künftigen Zinssätze alle gleich dem verwen-deten Kalkulationszinsfuß sein müssen, wie oft in Kritiken der dynamischen Inve-stitionsrechnungsmethoden mit Bezug auf die sog. Wiederanlageprämisse behaup-tet wird. Bezogen auf Investitionseinzelentscheidungen ist vorauszusetzen, daßdiese Entscheidungen einerseits unabhängig von Konsumentscheidungen, anderer-seits aber auch unabhängig von späteren Investitionsentscheidungen getroffenwerden können, daß neben der Separation zwischen Konsum und Investition aucheine zeitliche Separation von Investitionsentscheidungen möglich ist. Beides istgegeben, wenn es einen vollkommenen Kapitalmarkt gibt. Vollkommener Kapi-talmarkt bedeutet, daß bezogen auf – hinsichtlich Risiko, Laufzeit und Rechtsstel-lung der Vertragsparteien – gleichartige Kapitalmarkttransaktionen zur gleichenZeit Beträge zu übereinstimmenden Zinskonditionen angelegt oder aufgenommenwerden können. Mit dem Modell des vollkommenen Kapitalmarkts sind daherdurchaus Zinsstrukturen vereinbar, wobei ein vollkommener Kapitalmarkt über-einstimmende Haben- und Soll-Zinsstrukturen verlangt. Solche Zinsstrukturen,und zwar zeitlicher Art, werden von mir in die Überlegungen zur Investitionsbeur-teilung mit Hilfe der dynamischen Investitionsrechnungsmethoden ausdrücklicheingeführt und zugelassen. Bei diesen Zinsstrukturen handelt es sich immer umZinssätze, die im Entscheidungszeitpunkt tatsächlich auf dem Kapitalmarkt gelten.Solche Zinsstrukturen bilden keine künftigen Kapitalmarktzinsen ab, in ihnenspiegeln sich aber die im Entscheidungszeitpunkt gegebenen mehrheitlichen Er-wartungen der Kapitalmarktteilnehmer über die künftigen Zinsen wider. Im weite-ren Verlauf der achten bis elften Vorlesung werden die verschiedenen Methodenwie Kapitalwertmethode, Vermögensendwertmethode, Annuitätenmethode undinterne Zinsfuß-Methode näher vorgestellt. Ausgangspunkt bezogen auf die Kapi-talwertmethode, die Vermögensendwertmethode und Annuitätenmethode sind in-haltliche Aussagen. Die verschiedenen Berechnungsformeln bei diesen Methodenwerden aus diesen inhaltlichen Aussagen entwickelt. Die Methode des internenZinsfußes wirft bezogen auf richtige Schlußfolgerungen aus ihren Ergebnissen ei-nige Fragen auf. Solche Schlußfolgerungsprobleme ergeben sich insbesondere,wenn beliebige Zahlungsreihen und nicht bloß sog. Normalinvestitionen betrach-tet werden; denn dann kann die gängige ökonomische Interpretation des internenZinsfußes als Ausdruck der Kapitalrentabilität erhebliche Schwierigkeiten berei-ten, in die Irre führen oder unmöglich sein. Ein interner Zinsfuß ist zunächst undvor allem eine Nullstelle der Kapitalwertfunktion in Abhängigkeit vom Kalkula-tionszins. Die Kapitalwertfunktion ordnet jedem Kalkulationszinsfuß (und damitjedem möglichen Kapitalmarktzins) i innerhalb des ökonomisch relevanten Defi-nitionsbereichs, nämlich i > -1, bei stabiler Zinsstruktur (und nur dann!) einen Ka-pitalwert zu. Als Nullstelle der Kapitalwertfunktion beschreibt der interne Zinsfußeine Äquivalenzrelation, die zur Gleichbeurteilung von Durchführung oder Unter-lassung der Investition führt, wenn Kapitalmarktgeschäfte zum internen Zinsfußabgewickelt werden müßten. Diese Äquivalenzrelation gilt unabhängig davon, wiegroß der interne Zinsfuß ist, ob er positiv oder negativ ist, ob es nur einen oder


mehrere gibt. Gibt es keine reelle Nullstelle und damit keinen internen Zinsfuß, soheißt dies freilich, daß bei allen möglichen Kalkulationszinsfüßen keine Äquiva-lenzbeziehung zwischen der betrachteten Investition und Kapitalmarktgeschäftenableitbar ist, daß die betrachtete Investition immer besser oder immer schlechterals jede Kapitalmarkttransaktion zu jedem möglichen Zins ist. Gibt es mehrere po-sitive und/oder negative interne Zinsfüße, so besteht – anders als Seufzer in derLiteratur es vermuten lassen – kein Grund zum Verzweifeln bei der Anwendungder internen Zinsfuß-Methode, auch dann kann der interne Zinsfuß als Vorteilhaf-tigkeitskriterium für die Beantwortung der Frage, ob eine Investition durchgeführtwerden soll oder nicht, verwendet werden, aber in diesem Fall entzieht sich der in-terne Zinsfuß einer inhaltlichen Deutung als Kapitalrentabilität. Als Methode zurBeurteilung verschiedener vorteilhafter, aber sich gegenseitig ausschließender, al-so alternativer Investitionen ist die Methode des internen Zinsfußes nicht geeignet,weil sie mit dem bei Investitionseinzelentscheidungen zugrundegelegten Zielsy-stem nicht kompatibel ist. Schon im einperiodigen Fall einer Normalinvestition, indem es keine Probleme mit der inhaltlichen Deutung des internen Zinsfußes alsRentabilitätsmaß gibt und in dem die Kapitalwertfunktion nur eine reelle Nullstel-le hat, so daß der interne Zinsfuß auch eindeutig ist, erweisen sich nämlich Kapi-talwert (Vermögenswert) einerseits und der interne Zinsfuß andererseits nicht alssinngleiche Vorteilhaftigkeitskriterien. Breiten Raum in der Literatur nimmt das"Problem" der Ergänzungsinvestitionen und der Wiederanlageprämisse ein. In-haltlich sind Ergänzungsinvestitionen und Wiederanlageprämisse ein und dassel-be. Einem solchen "Problem" kann man sich als Hochschullehrer nicht verschlie-ßen. Glaubt man der Literatur, so gibt es ohne Berücksichtigung von Ergänzungs-investitionen gar keine Investitionsalternativen. Selbstverständlich ist dies barerUnsinn. Glaubt man den Verfechtern der Wiederanlageprämisse weiter, so mußInvestieren ein Selbstzweck sein und nicht etwa dem Konsum dienen. Allenfallsdürfte der Investor am Ende der längsten Investitionsdauer konsumieren. Wennman jedoch die Wiederanlageprämisse wirklich ernstnimmt, so wäre das Investi-tionsdauerende einer Investition eigentlich selber wiederum ein möglicher Beginnfür eine Ergänzungsinvestition usw.! Ein solcher immerwährender Investitions-zwang besteht indes nicht. Die Vertreter der Wiederanlageprämisse erweisen sich– inmitten einer hedonistischen Welt und Wissenschaft – als wahre Asketen, zu-mindest predigen sie konsumtive Enthaltsamkeit. Die Vorstellung, daß die Kapi-talwertmethode mit einer Wiederanlageprämisse verbunden sei, ist wohl einemMißverständnis hinsichtlich der Zinseszinsrechnung zu verdanken. Bei der Zinses-zinsrechnung geht es um das exponentielle Wachstum eines Kapitalbetrags in Ab-hängigkeit von der Anlagedauer (bei mehreren Verzinsungsperioden) und vondem Periodenzinssatz. D.h., es geht um die Frage, auf welchen Betrag ein An-fangskapital nach n Verzinsungsperioden angewachsen ist, wenn pro Periode derursprüngliche Kapitalbetrag zuzüglich der bis dahin angefallenen Zinsen mit demkonstanten Periodenzinssatz i verzinst wird. Selbstverständlich bedeutet diesnicht, daß man das Instrumentarium der Zinseszinsrechnung nur dann anwendendarf, wenn ein Kapital und die zwischenzeitlichen Zinsen darauf ständig angelegtbleiben. Das eine hat mit dem anderen nichts zu tun.In der zwölften Vorlesung werden ebenfalls noch Investitionseinzelentscheidun-gen behandelt. Erörtert werden die statischen Investitionsrechnungsmethoden unddie Amortisationsrechnung. Die gewählte Reihenfolge in der Behandlung der In-vestitionsrechnungsmethoden, nämlich zuerst die dynamischen und danach die


statischen Investitionsrechnungsmethoden, ist unüblich. Üblich ist die umgekehrteReihenfolge. Daher möchte ich meine Vorgehensweise begründen. Ich interpretie-re die statischen Investitionsrechnungsmethoden nicht als eigenständige Metho-den, sondern als vereinfachte Verfahren, als Näherungsrechnungen für die dyna-mischen Investitionsrechnungsmethoden, wobei die Kostenvergleichsrechnungund die Gewinnvergleichsrechnung als Näherungsrechnungen der Annuitätenme-thode und die Rentabilitätsvergleichsrechnung als Näherungsrechnung der inter-nen Zinsfuß-Methode gedeutet werden. Sind diese Verfahren jedoch Näherungs-rechnungen, so ist es zweckmäßig, zuerst die exakten Methoden und dann die Nä-herungsrechnungen vorzustellen. Dies erlaubt auch, daß man sich dem Problemder Abweichung zwischen den Ergebnissen der Näherungsrechnung und der zuge-hörigen exakten Methode zuwenden kann. Voraussetzung für einen solchen Re-sultatsvergleich ist freilich, daß bei den exakten Methoden nur solche zeitlichenZahlungsstrukturen zugelassen werden, für die die Näherungsrechnung gedachtist, nämlich gleichbleibende laufende Einzahlungen und Auszahlungen im Zeitab-lauf. Ohne diese Einschränkung wäre ein Resultatsvergleich aussagelos, weil dieResultatsdifferenzen dann nicht nur methodenspezifisch sind, sondern auch zah-lungsstrukturbedingt wären. Die methodenspezifischen Resultatsdifferenzen las-sen sich genau angeben. Die Amortisationsrechnung bildet eine eigene Klasse vonBeurteilungsverfahren, die "statisch" oder "dynamisch" gestaltet sein können. Siewerden ebenfalls vorgestellt.In der drei- und vierzehnten Vorlesung wende ich mich dem Problem der Investi-tionsprogrammentscheidungen zu. Während bei Investitionseinzelentscheidungendie Alternativenbildung als abgeschlossen unterstellt wird, geht es bei Investi-tionsprogrammentscheidungen auch um die Alternativenbildung, d.h. die Ermitt-lung eines zulässigen Investitionsprogramms. Es werden zwei Modelle näher be-trachtet: das Kapitalbudgetierungsmodell von Dean und das optimale Wertpapier-portefeuille. Zur Darstellung der sog. produktions- oder kapitaltheoretischen To-talmodelle habe ich mich nicht bloß aus Zeitgründen nicht entschließen können.Ich meine, daß die sehr komplexen Modelle auf der Basis der mathematischenProgrammierung wegen ihrer Komplexität wenig lehren. Auch sind die Zeitenm.E. vorbei, in denen man glaubte, daß man die Realitätsnähe eines Modells ander Anzahl der Entscheidungsvariablen und der Laufindizes messen könne. Daseinzig theoretisch Interessante solcher mit einer Vielzahl von Entscheidungspro-blemen überfrachteten Totalmodelle, nämlich die sog. endogenen Kalkulations-zinssätze, kann auch anhand des Dean-Modells abgeleitet und erläutert werden.Man sollte sich daher an den Schmalenbachschen Grundsatz der Methodensubsti-tution erinnern und das, was es zu erläutern gilt, auf der Basis des jeweils einfach-sten Modells erläutern. Nach meiner Auffassung gehören diese Totalmodelle zuden "fossilen" Relikten unserer Wissenschaft, auf die man bei "wissenschaftsar-chäologischen" Untersuchungen im Rahmen von Hauptseminaren vorstoßen kann.Gegenstand der fünf- und sechzehnten Vorlesung ist die Investitionskontrolle.Dies ist ein Thema, das in Lehrbüchern zur Investitionstheorie meist nicht zu fin-den ist. Schon aufgrund des Titels der Lehrveranstaltung ist es erforderlich gewe-sen, sich diesem Themenbereich zu widmen. Aber auch unter dem Aspekt, daß dieInvestitionskontrolle in der Unternehmungspraxis im Vergleich zur Investitions-planung einen untergeordneten Stellenwert einzunehmen scheint, ist es sinnvoll,über die Lehre ein wenig gegenzusteuern.


InhaltsverzeichnisVorwort …………………………………………………………… 5Einige Bemerkungen zur Stoffauswahl und zum Inhalt der Vorlesungen … 71./2. Vorlesung: Investitionsbegriff und Investitionsarten ……………… 17

A. Investitionsbegriff ………………………………………… 181. Finanzierungs- und Investitionsbegriff i.e.S. ………… 182. Finanzierungs- und Investitionsbegriff i.w.S. ………… 233. Investitionsbegriffe in der Literatur …………………… 264. Zusammenfassung …………………………………… 34

B. Investitionsarten …………………………………………… 371. Gliederung der Investitionsarten nach dem

Investitionsobjekt ……………………………………… 372. Gliederung der Realinvestitionen nach dem

Investitionszweck ……………………………………… 403. Vorlesung: Investitionsprozeß und Investitionsorganisation ……… 43

A. Phasenschema des Investitionsentscheidungsprozesses …… 44B. Schwachstellen im Investitionsbereich ……………………… 49C. Grundlagen der Investitionsorganisation …………………… 52

4./5. Vorlesung: Zielsetzung für Investitionskalküle undEntscheidungen über das Investitionsvolumen ……………… 57

A. Zielsetzungen für Investitionskalküle ……………………… 58B. Entscheidungen über das Sach- und Finanz-

investitionsvolumen ………………………………………… 66C. Entscheidungen über Konsum und Investition …………… 81

6./7. Vorlesung: Entscheidungen über die Investitionsdauer …………… 97A. Die optimale Investitionsdauer einer einmaligen

Investition ………………………………………………… 98B. Die optimale Investitionsdauer bei wiederholter

Investition ………………………………………………… 112C. Der optimale Ersatzzeitpunkt einer vorhandenen

Sachinvestition ……………………………………………… 1248./9./10./11.Vorlesung: Investitionseinzelentscheidungen:

Dynamische Investitionsrechnungsmethoden ……………… 137A. Entscheidungssituation bei Investitionseinzelent-

scheidungen mit Hilfe der dynamischen Investitions-rechnungsmethoden ………………………………………… 138

Inhaltsverzeichnis 13

1. Kennzeichen der Investitionseinzelentscheidungen …… 1382. Begriff des Investitionsobjekts ………………………… 1413. Vorgaben hinsichtlich des Kapitalmarkts ……………… 1444. Zusammenfassung ……………………………………… 161

B. Kapitalwertmethode ………………………………………… 1631. Herleitung der Berechnungsgleichung aus der

Definitionsgleichung des Kapitalwerts ………………… 1632. Varianten der Berechnungsgleichung des

Kapitalwerts bei stabiler Zinsstruktur ………………… 1703. Beispiele der Kapitalwertberechnung bei

unterschiedlichen Zinsstrukturen ……………………… 176C. Vermögensendwertmethode ………………………………… 186D. Annuitätenmethode ………………………………………… 198E. Methode des internen Zinsfußes …………………………… 214

1. Begriff des internen Zinsfußes und zurüblichen Deutung als Kapitalrentabilität ……………… 214

2. Berechnung des internen Zinsfußes für ein-und zweiperiodige Investitionen und dasProblem der Mehrdeutigkeit des internenZinsfußes ……………………………………………… 216

3. Weitere Berechnungsformeln für deninternen Zinsfuß ………………………………………… 231

4. Zur Anwendbarkeit der internen Zinsfuß-Methode bei der Wahl zwischen mehrerenSachinvestitionen ……………………………………… 233

F. "Problem" der Ergänzungsinvestitionen und derWiederanlageprämisse ……………………………………… 240

G. Wahl des Kalkulationszinses als Praxisproblem …………… 24912. Vorlesung: Investitionseinzelentscheidungen:

Statische Investitionsrechnungsmethoden undAmortisationsrechnung ……………………………………… 251

A. Gemeinsamkeiten der statischen Investitions-rechnungsmethoden ………………………………………… 252

B. Kostenvergleichsrechnung ………………………………… 2531. Beurteilung einer einzelnen Investition

(Rationalisierungsinvestition) auf der Basisder starren Kostenvergleichsrechnung ………………… 255

14 Inhaltsverzeichnis

2. Beurteilung mehrerer Investitionen (funktions-gleiche neue Anlagen) auf der Basis derflexiblen Kostenvergleichsrechnung …………………… 255

3. Entscheidung über den vorzeitigen Ersatzeiner vorhandenen alten Anlage durch eineneue Anlage zu Beginn der Vergleichsperiode ………… 257

4. Vergleich von Kostenvergleichsrechnung und Annuitätenmethode ……………………………… 258

C. Gewinnvergleichsrechnung ………………………………… 266D. Rentabilitätsvergleichsrechnung …………………………… 270E. Amortisationsrechnung …………………………………… 283

13./14. Vorlesung: Investitionsprogrammentscheidungen ………………… 287A. Charakterisierung von Investitionsprogramm-

entscheidungen ……………………………………………… 288B. Kapitalbudgetierungsmodell von Dean …………………… 290C. Das optimale Wertpapierportefeuille ……………………… 301

15./16. Vorlesung: Investitionskontrolle ………………………………… 331A. Kontrolle als Bestandteil eines Regelkreises ……………… 332B. Kontroll- und Controllingbegriff …………………………… 335C. Gegenstand, Ziele und Funktionen der

Investitionskontrolle ……………………………………… 3381. Gegenstand der Investitionskontrolle ………………… 3382. Ziele der Investitionskontrolle ………………………… 3403. Funktionen der Investitionskontrolle ………………… 343

D. Umfang und Zeitaspekte der Investitionskontrolle ………… 3451. Umfang und Dringlichkeit der Investitions-

kontrolle ……………………………………………… 3452. Zeitaspekte der Investitionskontrolle ………………… 349

E. Organisation der Investitionskontrolle ……………………… 3521. Träger der Investitionskontrolle ……………………… 3522. Organisatorischer Aufbau der Investitions-

kontrolle ……………………………………………… 354F. Vorgehensweise der Investitionskontrolle ………………… 357

1. Kontrollplanung ……………………………………… 3572. Informationsgewinnung ……………………………… 358

Inhaltsverzeichnis 15

3. Vergleichshandlungen (Verfahren) derInvestitionskontrolle ………………………………… 359

4. Auswertung der Kontrollergebnisse ………………… 366Abbildungsverzeichnis ………………………………………………… 369Verzeichnis wichtiger Symbole …………………………………………… 373Literaturverzeichnis ………………………………………………… 375Schlagwortverzeichnis ………………………………………………… 381

16 Inhaltsverzeichnis

1./2. Vorlesung:

Investitionsbegriff und Investitionsarten

In diesen ersten beiden Vorlesungen geht es vor allem um begriffliche Grundla-gen. Im Teil A. wird der Investitionsbegriff näher erläutert. Im Teil B. werdenverschiedene Investitionsarten voneinander abgegrenzt. Gegenstand des Teils C.ist der Investitionsprozeß.

A. InvestitionsbegriffDie betriebswirtschaftliche Literatur ist voll von Investitionsbegriffen. Ich hatte inder Vorlesung zur Finanzierung der Unternehmung darauf hingewiesen, daß Fi-nanzierung und Investition in einem engen begrifflichen und sachlichen Zusam-menhang stehen, und dabei einen Finanzierungs- und Investitionsbegriff i.e.S.und einen Finanzierungs- und Investitionsbegriff i.w.S. unterschieden1. Diessoll jetzt aufgegriffen und etwas vertieft werden.1. Finanzierungs- und Investitionsbegriff i.e.S.Der Begriff der Finanzierung i.e.S. bezog sich auf den geldwirtschaftlichenTransformationsprozeß der Unternehmung. Dieser geldwirtschaftliche Transfor-mationsprozeß läßt sich idealtypisch als Zeitspanne zwischen der Erbringung ei-ner geldwirtschaftlichen Gegenleistung der Unternehmung in bezug auf Beschaf-fungsvorgänge und der Erbringung der geldwirtschaftlichen Gegenleistung durchMarktpartner der Unternehmung in bezug auf Absatzvorgänge abgrenzen. Als Fi-nanzierung i.e.S. wurde demgemäß die Gesamtheit von Entscheidungen definiert,die im Zusammenhang mit diesem geldwirtschaftlichen Transformationsprozeßstehen und zur Bereitstellung von finanziellen Mitteln (Zahlungsmitteln) führen.Eine solche Bereitstellung von finanziellen Mitteln, sofern diese von Finanzmarkt-partnern stammen, führt künftig zu kontraktbestimmten (Fremdkapitalgeber) oderresidualgrößenbestimmten (Eigenkapitalgeber) finanziellen Leistungspflichten derUnternehmung gegenüber diesen Finanzmarktpartnern. Demgemäß läßt sich eineZeitspanne des Finanzierungsvorgangs definieren, die mit der Bereitstellung vonfinanziellen Mitteln (Einzahlungen) beginnt und ihren Abschluß mit der Erbrin-gung aller damit zusammenhängenden finanziellen Leistungspflichten (Auszah-lungen) findet. Die Zeitspanne des geldwirtschaftlichen Transformationsprozessesund die Zeitspanne des Finanzierungsvorgangs brauchen dabei nicht übereinzu-stimmen. Die Bereitstellung finanzieller Mittel durch Finanzmarktpartner erfolgt alsonicht selbstlos, sondern hat Gegenleistungen der Unternehmung zur Folge.Werden die aus einer Bereitstellung finanzieller Mittel folgenden finanziellenAuszahlungspflichten der Unternehmung mit berücksichtigt, so kann die Fi-nanzierung i.e.S. auch als Gesamtheit von Entscheidungen definiert werden, dieeinen Zahlungsstrom auslösen, der zunächst durch Einzahlungen von den Finanz-marktpartnern in die Unternehmung und später durch Auszahlungen aus der Un-ternehmung an die Finanzmarktpartner gekennzeichnet werden kann. Indem vonder Konkretisierung der Quellen des Zahlungsmittelzuflusses und der Richtungdes Zahlungsmittelabflusses abgesehen wird, kann Finanzierung i.e.S. auch allge-meiner als Gesamtheit von Entscheidungen definiert werden, die einen Zahlungs-strom auslösen, der mit Einzahlungen (Einzahlungsüberschüssen gemäß Et - At >0 mit E als Einzahlungen, A als Auszahlungen und t als Zeitindex) in die Unter-

18 1./2. Vorlesung: Investitionsbegriff und Investitionsarten

1 Vgl. Matschke, Manfred Jürgen: Finanzierung der Unternehmung, Herne/Berlin 1991, S. 14-22.

nehmung beginnt und Auszahlungen (Auszahlungsüberschüsse gemäß Et - At ≤ 0)aus der Unternehmung nach sich zieht.Diese Abstraktion von Quell- und Zielort des Zahlungsmittelstroms ist insofernzweckmäßig, als nicht bloß Finanzmarktpartner in Frage kommen, sondern auchandere wie z.B. Absatzmarktpartner und Staat. Ebenso ist es zweckmäßig, beimAuszahlungsüberschuß die Nullvariante (Et - At = 0) nicht auszuschließen. Dasheißt, der Zahlungsstrom kann möglicherweise nur aus anfänglichen Einzahlun-gen (Einzahlungsüberschüssen) bestehen, an die sich keine Auszahlungen (Aus-zahlungsüberschüsse) anschließen, wie dies bei der Subventionsfinanzierung inForm direkter staatlicher Zuschüsse der Fall ist. In der Realität kann es in bezug auf Finanzierungsmaßnahmen vorkommen, daßzwar den anfänglichen Einzahlungen spätere Auszahlungen folgen, daß aber ab-schließend auch noch Einzahlungen (etwa aus Abrechnungsgründen) entstehen.Auch in bezug auf solche gemischten Zahlungsströme soll von Finanzierung i.e.S.gesprochen werden, wenn die "aus der Reihe tanzenden Zahlungen" unbedeutendsind, das Gesamtbild des Zahlungsstroms also nicht bestimmen. Um den Schwie-rigkeiten mit der Definition des Finanzierungsbegriffs i.e.S. in einem solchen Fal-le aus dem Wege zu gehen, könnte der gesamte Zahlungsstrom auch gedanklich inmehrere Finanzierungsvorgänge zerlegt werden, wobei der erste (Haupt-)Finan-zierungsvorgang vor diesen abschließenden Einzahlungen als beendet angesehenwird und die abschließenden Einzahlungen einem zweiten (Neben-)Finanzie-rungsvorgang ohne nachfolgende Auszahlungen zugeordnet werden.Diesen Varianten des Begriffs der Finanzierung i.e.S. lassen sich spiegelbildlichzwei Varianten des Begriffs der Investition i.e.S. gegenüberstellen. Nach der er-sten Variante ist Investition i.e.S. eine Verwendung der bereitgestellten finan-ziellen Mittel für güterwirtschaftliche (produktive, allgemeiner: unterneh-merische) Zwecke, wodurch ein Beschaffungsvorgang abgeschlossen und der gü-terwirtschaftliche Transformationsprozeß (begonnen und/oder) fortgesetzt werdenkann. Dieser güterwirtschaftliche Transformationsprozeß läßt sich idealtypisch alsZeitspanne zwischen der Erbringung einer güterwirtschaftlichen Leistung durchMarktpartner der Unternehmung in bezug auf Beschaffungsvorgänge und der Er-bringung der güterwirtschaftlichen Leistung der Unternehmung in bezug auf Ab-satzvorgänge abgrenzen, wobei aus Gründen der Vereinfachung und daher starkabstrahierend von der Realität zunächst angenommen werden soll, daß die Ver-wendung der bereitgestellten finanziellen Mittel für produktive Zwecke lediglicheinen – beliebig langen, aber zeitlich abgrenzbaren – güterwirtschaftlichen Trans-formationsprozeß betrifft. Eine solche Verwendung von finanziellen Mitteln durch die Unternehmunggeschieht also nicht absichtslos. Will die Unternehmung dauerhaft tätig sein, somuß eine solche Verwendung ihr letztlich erlauben, sich zu regenerieren, d.h.,wenn schon nicht auf die einzelne Verwendung, so doch hinsichtlich aller Ver-wendungen. Sie muß also in die Lage versetzt werden, über den Absatz der mitHilfe der Investition erstellten Güter so viel an finanziellen Mitteln als Gegenlei-stung ihrer Absatzmarktpartner zu erwirtschaften, daß sie weitere güterwirtschaft-liche Prozesse ingang- und/oder fortsetzen kann. Aber sie muß auch zugleich die-jenigen erforderlichen Zahlungsmittel erwirtschaften, die es ihr gestatten, die aus

1./2. Vorlesung: Investitionsbegriff und Investitionsarten 19

Finanzierungsvorgängen (und aus anderen Gründen) resultierenden Leistungs-pflichten zu erfüllen. Demgemäß läßt sich eine Zeitspanne des Investitionsvor-gangs definieren, die mit der Verwendung von finanziellen Mitteln (Auszahlun-gen) für produktive Zwecke beginnt und dann endet, wenn die an diese Verwen-dung anknüpfenden Einzahlungserwartungen sich nicht mehr erfüllen. Die Zeit-spanne des – betrachteten einen, zeitlich beliebig langen, aber abgrenzbaren – gü-terwirtschaftlichen Transformationsprozesses und die Zeitspanne des Investitions-vorgangs brauchen dabei nicht übereinzustimmen. Werden die aus einer Verwendung finanzieller Mittel folgenden finanziellenEinzahlungserwartungen der Unternehmung mit berücksichtigt, so kann dieInvestition i.e.S. auch als Gesamtheit von Entscheidungen definiert werden, dieeinen Zahlungsstrom auslösen, der zunächst durch Auszahlungen der Unterneh-mung an Beschaffungsmarktpartner und später durch Einzahlungen (Einzahlungs-überschüsse) in die Unternehmung von Absatzmarktpartnern gekennzeichnet wer-den kann. Indem von den Gründen der Entstehung des Zahlungsstroms abstrahiertwird, kann Investition i.e.S. auch allgemeiner als Gesamtheit von Entscheidungendefiniert werden, die einen Zahlungsstrom auslösen, der mit Auszahlungen (Aus-zahlungsüberschüssen gemäß Et - At < 0) aus der Unternehmung beginnt und Ein-zahlungen (Einzahlungsüberschüsse gemäß Et - At ≥ 0) in die Unternehmung nachsich zieht. Diese Abstraktion ist insofern zweckmäßig, als ein solcher Zahlungs-strom nicht bloß güterwirtschaftliche Ursachen haben kann. Ebenso ist es zweck-mäßig, beim Einzahlungsüberschuß die Nullvariante (Et - At = 0) nicht auszu-schließen. Das bedeutet aber, daß der Zahlungsstrom möglicherweise nur aus an-fänglichen Auszahlungen (Auszahlungsüberschüssen) besteht, an die sich keineEinzahlungen (Einzahlungsüberschüsse) anschließen. Auch eine andere praktischbedeutsame Möglichkeit hinsichtlich der Gestalt des Zahlungsstroms sei einge-schlossen, nämlich daß die anfänglichen Auszahlungen zwar keine direkten Ein-zahlungen zur Folge haben, aber in Zukunft im Vergleich zur Nicht-Handlungsal-ternative, d.h. im Vergleich zum Verzicht auf die Investition, zu vermindertenAuszahlungen in der Zukunft führen. Hinsichtlich der Wirkung auf den Cash Flowder Unternehmung liegt eine ähnliche Situation vor. Der künftige Cash Flow ver-bessert sich, wenn auch nicht wegen künftiger höherer Einzahlungen, sondern we-gen künftiger geringerer Auszahlungen. In der Realität kann es vorkommen, daß zwar den anfänglichen Auszahlungenspätere Einzahlungen folgen, daß aber abschließend auch noch weitere Auszah-lungen entstehen, etwa aufgrund behördlicher Auflagen, die in einem unmittelba-ren sachlichen und rechtlichen Zusammenhang zur betrachteten Investition stehenund z.B. Rekultivierungs- und sonstige Umweltsanierungsmaßnahmen betreffen.Das heißt, es gibt das in bezug auf Finanzierungen schon angesprochene Problemanalog auch in bezug auf Investitionen. In gleicher Weise soll in bezug auf solchegemischten Zahlungsströme auch dann von einer Investition i.e.S. gesprochenwerden, wenn die "aus der Reihe tanzenden Zahlungen" das Gesamtbild des Zah-lungsstroms nicht prägen. Um den Schwierigkeiten mit der Definition des Investi-tionsbegriffs i.e.S. in einem solchen Falle aus dem Wege zu gehen, könnte der ge-samte Zahlungsstrom auch gedanklich in mehrere Investitionsvorgänge zerlegtwerden, wobei der erste (Haupt-)Investitionsvorgang vor diesen abschließenden


1 Vgl. Altrogge, Günter: Investition, 2. A., München-Wien 1991, S. 6.

Auszahlungen als beendet angesehen wird und die abschließenden Auszahlungeneinem zweiten (Neben-)Investitionsvorgang ohne nachfolgende Einzahlungen zu-geordnet werden.Der Begriff der Investition als spezieller Zahlungsstrom fußt auf einer bewußtenEinengung der Betrachtung auf die finanziellen Konsequenzen, die aus der Ver-wendung finanzieller Mittel für unternehmerische Zwecke resultieren. Alle nichtin Zahlungen abbildbaren Konsequenzen werden ausgeblendet. Dies ist unproble-matisch, 1. wenn es keine zielrelevanten nicht finanziellen Konsequenzen gibt,d.h., solche nicht verfolgt werden oder aufgrund des Investitionsobjekts nicht auf-treten können, oder 2. wenn zielrelevante nicht finanzielle Konsequenzen bei al-len in einen Vergleich einbezogenen Investitionen übereinstimmen, weil nur In-vestitionen betrachtet werden, mit denen etwa ein vorgegebenes leistungswirt-schaftliches Sachziel oder ein angestrebtes nicht monetäres Formalziel (z.B. be-stimmter Marktanteil) erreicht wird, so daß bei Erreichen dieses Zwecks eine reinfinanzwirtschaftliche Betrachtungsweise in bezug auf die verbliebenen Investi-tionsobjekte gemäß dem Sparprinzip vorgenommen werden kann, oder 3. wennzwischen den zielrelevanten finanziellen und nicht finanziellen KonsequenzenZielharmonie besteht, so daß Investitionsobjekte mit besser beurteilten finanziel-len Konsequenzen auch bessere nicht finanzielle Konsequenzen aufweisen. Sind diese Situationen indes nicht gegeben, so muß man sich der eingeschränktenBedeutung einer Investitionsbeurteilung auf der Basis allein des Zahlungsstromsbewußt sein und gegebenenfalls versuchen, zielrelevante nicht finanzielle Konse-quenzen etwa mit Hilfe von Verfahren der Nutzwertanalyse1 gesondert in den Be-urteilungsprozeß einzubeziehen. Die Einzahlungserwartungen sind dann nämlichnur ein Teil derjenigen Vorteile, die mit der Verwendung der finanziellen Mittelerreicht werden sollen und die man sich aus dieser Verwendung erhofft.In der nachfolgenden Abbildung 1 wird der Begriff der Investition i.e.S. erläu-tert. Im Zeitpunkt 0 wird das betrachtete Investitionsobjekt über den Beschaffungs-markt erworben, so daß von diesem Zeitpunkt an der auf das Investitionsobjektbezogene güterwirtschaftliche Transformationsprozeß beginnt. Zugleich fließen indiesem Zeitpunkt 0 der Unternehmung von seiten der Eigenkapitalgeber finanziel-le Mittel in Höhe von 100 Geldeinheiten (GE) zu. Im Zeitpunkt 1 werden vonFremdkapitalgebern finanzielle Mittel in Höhe von 1.000 GE bereitgestellt, und esfindet eine Verwendung dieser finanziellen Mittel in Höhe von 1.000 GE statt,d.h., die Unternehmung bezahlt das Investitionsobjekt, so daß von diesem Zeit-punkt an die Dauer des Investitionsvorgangs gemäß dem Begriff der Investitioni.e.S. beginnt. Die güterwirtschaftliche Transformation in bezug auf die getätigteInvestition soll im Zeitpunkt 2 enden. Die mit dem Investitionsobjekt erstelltenGüter (und eventuell das Investitionsobjekt selber) werden zu diesem Zeitpunktveräußert, jedoch erst im Zeitpunkt 3 erhält die Unternehmung dafür die geld-wirtschaftliche Gegenleistung in Höhe von 1.400 GE, die zugleich den gesamtenInvestitionsrückfluß ausmachen soll. Da aus Gründen der Vereinfachung nur eineinziger güterwirtschaftlicher Transformationsprozeß betrachtet wird, endet dieInvestitionsdauer in diesem Zeitpunkt. Im Zeitpunkt 3 wird zugleich auch der Kre-


1 Vgl. Zangemeister, Christof: Nutzwertanalyse in der Systemtechnik, 3. A., München 1973.

dit einschließlich 10 % Zinsen für zwei Perioden in Höhe von zusammen 1.210GE fällig und zurückgezahlt. Die Investition verlangt im Beispiel im Zeitpunkt 1 einen Finanzmitteleinsatzvon 1.000 GE und bringt im Zeitpunkt 3 einen Finanzmittelrückfluß von 1.400GE. Bezogen auf die Investitionsdauer von 2 Perioden ergibt dies eine objektbe-zogene Verzinsung in Höhe von r0 = (1400/1000)1/2 - 1 =̂ 18,322% pro Periode.Nach Berücksichtigung des Finanzmittelabflusses an die Fremdkapitalgeberkönnte aufgrund der Investition im Zeitpunkt 3 ein Betrag von 290 GE (= 190 DM+ 100 DM) an die Eigenkapitalgeber zurückfließen. Für die Eigenkapitalgeber er-gibt sich daraus eine Verzinsung ihres eingesetzten Kapitals von 100 GE – bezo-gen auf drei Perioden – in Höhe von rEK = (290/100)1/3 - 1 =̂ 42,604% pro Perio-de.

Daß die Zahlungsfähigkeit der Unternehmung im gesamten betrachteten Zeitraumgewährleistet ist, ergibt sich aus der nachfolgenden Finanzplantabelle, in der mit

Erbrin- gung dergüterwirt- schaft- lichenLeistung durch denBeschaf- fungs-markt-partner

Erbrin- gung dergeldwirt- schaft- lichenGegen- leistung durch dieUnter-nehmung

Erbrin- gung dergüterwirt- schaft- lichenLeistung durch dieUnter-nehmung

Erbrin- gung dergeldwirt- schaft- lichenGegen- leistung durch denAbsatz-markt-partner

Zeitspanne desBeschaffungsvorgangs

Zeitspanne desAbsatzvorgangs

Zeitspanne der güterwirtschaftlichen Transformation

0 1 2 3Zeit

Verwen-dung vonfinan-ziell enMitteln

Investi -tions-rück-fluß

Zei tspanne des Investi tionsvorgangs i .e.S.

-1000 +1400

Bereit- s tellung von finanziellen Mitteln durch Eigen-kapital-geber

Erbrin- gung dergeldwirt- schaft- lichenGegen- leis tungan Fremd-kapital-geber

Bereit- stellung von finanziellen Mitteln durch Fremd-kapital-geber

Zeitspanne des (Eigen- und Fremd-)Finanzierungsvorgangs i.e.S.

+100 +1000 -1210

Abbildung 1: Erläuterung des Begriffs der Investition i.e.S.


den Pfeilen die Zusammengehörigkeit von Zahlungen aus Investitions- und Finan-zierungsvorgängen zum Ausdruck gebracht wird:

2. Finanzierungs- und Investitionsbegriff i.w.S. Unter dem Begriff der Finanzierung i.w.S. war die Gesamtheit vonEntscheidungen1 verstanden worden, die zur Bereitstellung von effektiver und po-tentieller Kaufkraft (Kapital) führen, und unter Investition i.w.S. die Verwendungdieses Kapitals, wobei Finanzierung i.w.S. und Investition i.w.S. stets uno actu ge-schehen. Dies folgt aus dem verwendeten Kapitalbegriff. Der Begriff des Kapitals wird im bilanziellen Sinne, d.h. als ein Abstraktum ver-standen, durch das auf der Passivseite einer Bilanz die Zurverfügungstellung vonKaufkraft an die Unternehmung von seiten ihrer Eigner (Eigenkapital) und/odervon seiten ihrer Geld- und Warenkreditgeber (Fremdkapital) dokumentiert wird.Die Passivseite der Bilanz gibt also Auskunft über die Kapitalherkunft, d.h.,über die einzelnen Quellen und Beträge der Kaufkraft, über die die Unternehmungverfügen kann. Das Konkretum zur abstrakten Geldziffer "Kapital" steht auf der Aktivseite derBilanz und ist das Vermögen (Sachvermögen, Finanzvermögen, Kasse). Die Ak-tivseite der Bilanz gibt Auskunft darüber, in welcher konkreten Form das zur Ver-fügung gestellte Kapital gerade in der Unternehmung vorhanden ist und genutztwird, wie die Unternehmung aufgrund der Zurverfügungstellung von Kaufkraftmit Vermögensgegenständen aller Art (Sachvermögen, Finanzvermögen, Kasse)"eingekleidet" ist, in was sie dieses Kapital investiert hat2, d.h., wie die Unterneh-mung das ihr zur Verfügung gestellte Kapital verwendet hat, in welchen konkretenFormen das Kapital daher in Erscheinung tritt. Entsprechend den unterschiedenenArten von Vermögensgegenständen können Sachinvestitionen (Einkleidung derUnternehmung mit Sachvermögen), Finanzinvestitionen (Einkleidung der Unter-nehmung mit Finanzvermögen) oder auch Kasseninvestitionen (Einkleidung derUnternehmung mit liquiden Mitteln) vorliegen, wobei jedoch der Begriff "Kassen-

Zeit-punkt

Einzah-lungen

Auszah-lungen

Kassen-bestand

Bemerkungen

0 100 0 100 Finanzmittelzufluß (Eigenkapital), Erwerb desInvestitionsobjekts

1 1000 -1000 100 Finanzmittelzufluß (Fremdkapital), Finanzmit-telabfluß aufgrund der Investition

2 0 0 100Veräußerung der mit dem Investitionsobjekthergestellten Güter und/oder des Investitions-objekts selber

3 1400 -1210 290Finanzmittelzufluß aufgrund der Investition, Fi-nanzmittelabfluß aufgrund der Fremdfinanzie-rung, möglicher Mittelabfluß an Eigenkapital-geber in Höhe des Kassenbestands



2 Vgl. Schellers, Imm. Joh. Gerh.: Lateinisch-deutsches und deutsch-lateinisches Handlexikon, 1. Bd., 5. A., Leip-zig 1822, S. 1454; investire, investio, investivi, investitum = bekleiden, bedecken, einkleiden.

investitionen" ungebräuchlich ist. Die Aktivseite der Bilanz liefert Informationenüber die jeweilige Kapitalverwendung. Vermögen und Kapital sind so zwei Bezeichnungen für ein und dasselbe, nämlichfür den Wert aller Real- und Nominalgüter, über die die Unternehmung verfügenkann, wobei sich eine Beziehung zwischen Kapital und Vermögen über die Be-wertung des Vermögens in Geldeinheiten ergibt. Uno actu mit der Bereitstellungvon Kapital als Kaufkraft (Finanzierung i.w.S.) erfolgt stets auch eine Verwen-dung des Kapitals als Vermögen (Investition i.w.S.).Unter Zugrundelegung der in Abbildung 1 verwendeten Daten, wobei jetzt unter-stellt werden soll, daß die dort genannten Zeitpunkte äquidistant sind, lassen sichdie Finanzierung i.w.S. und die Investition i.w. S. anhand der jeweiligen Bilanz-strukturen zu den genannten Zeitpunkten beschreiben. Zur Vereinfachung wirddavon ausgegangen, daß das in Abbildung 1 betrachtete Investitionsobjekt keinerWertminderung (Abschreibung) unterliegen soll.

Zu Beginn der Periode 01 (01.01.00 = Zeitpunkt 0 in Abbildung 1) verfügt dieUnternehmung über ein Kapital von 1.100 GE, das als Eigenkapital 100 GE undals Warenkredit 1.000 GE zur Verfügung gestellt wurde. Verwendet wurde diesesKapital als Sachvermögen (z.B. Handelswaren (Wein)) 1.000 GE und als Kasse100 GE. Die Bilanz zum 01.01.00 ist vorstehend wiedergegeben.

Am Ende der Periode 01 (31.12.00 = Zeitpunkt 1 in Abbildung 1) verfügt die Un-ternehmung weiterhin über ein Kapital von 1.100 GE, das als Eigenkapital100 GE und als Geldkredit 1.000 GE zur Verfügung gestellt wurde. Denn zu Endeder Periode 01 wird die Warenkreditschuld (Verbindlichkeit aus Lieferungen undLeistungen) mit Hilfe eines neu aufgenommenen Geldkredits (Verbindlichkeitengegenüber Kreditinstituten) in Höhe von 1.000 GE (Darlehensschuld 1.000 GE,Auszahlung 100,0%, Zinssatz 10,0%, Fälligkeit einschließlich Zinsen am 31.12.02= Zeitpunkt 3 in Abbildung 1) beglichen. Durch diesen Akt der Umfinanzierunghat sich die Fremdkapitalstruktur der Unternehmung geändert. Investiert ist diesesKapital von 1.100 GE im Sachvermögen 1.000 GE und in der Kasse 100 GE. Er-folgswirksame Vorgänge haben sich während der Periode 01 (01.01.00 - 31.12.00)nicht ergeben. Es fand kein Umsatzakt statt. Eine Wertminderung des Sachvermö-gens trat annahmegemäß nicht ein. Sonstige Aufwendungen sollen ebenfalls nichtentstanden sein. Eine Gewinn- und Verlustrechnung braucht daher für die Periode01 nicht aufgestellt zu werden. Die Bilanz zum 31.12.00 ist vorstehend dargestellt.

Aktiva Bilanz 31.12.00 PassivaSachvermögen 1.000 GE Eigenkapital 100 GEKasse 100 GE Geldkreditschuld 1.000 GEBilanzsumme 1.100 GE Bilanzsumme 1.100 GE

Aktiva Bilanz 01.01.00 PassivaSachvermögen 1.000 GE Eigenkapital 100 GEKasse 100 GE Warenkreditschuld 1.000 GEBilanzsumme 1.100 GE Bilanzsumme 1.100 GE


Am Ende der Periode 02 (31.12.01 = Zeitpunkt 2 in Abbildung 1) wird das Sach-vermögen (Sachinvestitionsobjekt) auf Ziel veräußert. Dadurch endet der am01.01.00 (Zeitpunkt 0) begonnene Sachinvestitionsvorgang. Für die Periode 02(01.01.01 - 31.12.01) ergibt sich daher ein Umsatzerlös in Höhe von 1.400 GE.Der Sachaufwand (Anschaffungskosten der Handelswaren (Wein)) beträgt1.000 GE. Der Zinsaufwand der Periode 02 für den Geldkredit in Höhe von1.000 GE beträgt 100 GE, wobei die Zinsen jedoch annahmegemäß noch nicht zurZahlung fällig sind. Insgesamt ergibt sich für die Periode 02 (01.01.01 - 31.12.01)ein Gewinn von 300 GE. Durch die Veräußerung des Sachvermögens (Handels-waren) erhält die Unternehmung eine Forderung aus Lieferungen und Leistungen(Finanzvermögen) in Höhe von 1.400 GE. Mit der Forderungsentstehung beginntunter Zugrundelegung des Begriffs der Investition i.w.S. ein Finanzinvestitions-vorgang für die Unternehmung. Sachvermögen wird in Finanzvermögen "umge-schichtet". Die Gewinn- und Verlustrechnung der Periode 02 und die Bilanz zum31.12.01 sind vorstehend wiedergegeben.

Am Ende der Periode 03 (31.12.02 = Zeitpunkt 3 in Abbildung 1) erhält die Un-ternehmung ihre Forderung beglichen. Der Finanzinvestitionsvorgang endet dann.Mit dem Gegenwert von 1.400 GE tilgt sie die Geldkreditschuld von 1.000 GEund zahlt die Zinsen für die Gesamtlaufzeit in Höhe von 210 GE. Der Kassenbe-stand erhöht sich auf 290 GE. Fremdkapital wird nicht mehr eingesetzt. An er-folgswirksamen Vorgängen ist in der Periode 03 (01.01.02 - 31.12.02) nur einZinsaufwand in Höhe von 110 GE zu berücksichtigen. Da kein Ertrag in dieserPeriode 03 entstanden ist, ergibt sich folglich ein Verlust in gleicher Höhe. DerJahresabschluß der Periode 03 ist vorstehend dargestellt.Kommt es am 01.01.03 (also unmittelbar nach Zeitpunkt 3 in Abbildung 1) zurUnternehmungsauflösung, so erhalten die Eigenkapitalgeber einen Betrag von

Aufwand GuV-Rechnung 01.01.02 - 31.12.02 ErtragZinsaufwand 110 GE Verlust 110 GESumme 110 GE Summe 110 GE

Aktiva Bilanz 31.12.02 PassivaKasse 290 GE Eigenkapital 290 GE

Anfangsbestand 100 Anfangsbestand 400Zugang 1400 Verlust Periode 03 -110Abgang -1210

Bilanzsumme 290 GE Bilanzsumme 290 GE

Aufwand GuV-Rechnung 01.01.01 - 31.12.01 ErtragSachaufwand 1.000 GE Umsatzerlös 1.400 GEZinsaufwand 100 GEGewinn Periode 02 300 GESumme 1.400 GE Summe 1.400 GE

Aktiva Bilanz 31.12.01 PassivaFinanzvermögen 1.400 GE Eigenkapital 400 GE(Forderungen) Anfangsbestand 100

Gewinn Periode 02 300Geldkreditschuld 1.000 GE

Kasse 100 GE Zinsschuld 100 GEBilanzsumme 1.500 GE Bilanzsumme 1.500 GE


290 GE als Liquidationserlös. Bei einem anfänglichen Einsatz von 100 GE am01.01.01 (Zeitpunkt 1 in Abbildung 1) entspricht dies - wie schon genannt - einerVerzinsung von 42,604% pro Periode.

In der Abbildung 2 sind die bisherigen Ausführungen zum Begriff der Investitionzusammengefaßt. Der wesentliche Unterschied zwischen dem Begriff der Investi-tion i.e.S. und dem Begriff der Investition i.w.S. ist, daß beim Begriff der Investi-tion i.w.S. Investition und Finanzierung uno actu, also als untrennbarer Vorganggesehen werden, weil Kapital im bilanziellen Sinne als abstrakte Geldziffer, diedie zur Verfügung gestellte Kaufkraft dokumentiert, nicht losgelöst von konkretenErscheinungsformen (Vermögen) auftreten kann. Beim Begriff der Investitioni.e.S. wird von einer Trennung zwischen Investition und Finanzierung ausgegan-gen. Dabei beinhaltet die Finanzierung die Bereitstellung von finanziellen Mitteln(Geld) und die Investition die davon getrennt vorstellbare, logisch der Finanzie-rung folgende Verwendung der finanziellen Mittel für unternehmerische Zwecke(1. Variante). In der 2. Variante des Investitionsbegriffs i.e.S. wird der aus dieserVerwendung resultierende Zahlungsstrom als Begriffsinhalt gewählt. Die 1. Vari-ante des Begriffs der Investition i.e.S. stellt auf das Ereignis der Verwendung derfinanziellen Mittel ab und ist daher zeitpunkt- und ereignisorientiert, die 2. Va-riante des Begriffs der Investition i.e.S. betont hingegen die finanzwirtschaftlichenKonsequenzen dieser Verwendung im Zeitablauf und ist daher zeitraum- undvorgangsorientiert.3. Investitionsbegriffe in der LiteraturVergleicht man die in der Literatur zu findenden Investitionsbegriffe mit den hierunterschiedenen, so gibt es Übereinstimmungen und Unterschiede.

Heinen1, der deutsches, holländisches, schweizerisches, französisches, belgischesund italienisches Schrifttum ausgewertet hat, unterscheidet zwei Anschauungen

Begriff derInvestition

Investitioni.e.S.

1. VarianteVerwendung bereitgestellter

finanzieller Mittel fürunternehmerische Zwecke

2. Variante

Zahlungsstrom mitanfänglichen

Auszahlung(süberschüss)enund nachfolgenden

Einzahlung(süberschüss)en

Investitioni.w.S.

Kapitalverwendung im Sinne der Einkleidung derUnternehmung mit Vermögensgegenständen aller

Art aufgrund der Zurverfügungstellung vonKaufkraft (Finanzierung i.w.S.)

Abbildung 2: Begriff der Investition i.e.S. und i.w.S.


1 Vgl. Heinen, Edmund: Zum Begriff und Wesen der betriebswirtschaftlichen Investition, in: Betriebswirtschaft-liche Forschung und Praxis 1957, S. 16-31, 85-98.

Investieren

Denk-vorgänge

Beobachten

Bildung einer Idee

Gedankliche Verwirklichung der Idee und Vergleich mit dervoraussichtlichen wirtschaftlichen Entwicklung

Erkennen eines möglichen Erfolges

Entschluß zur Verwirklichung der Idee (Investitionsziel)

Ausführungs-vorgänge

Investitions-planung

Vorbereitung derInvestitions-

planung

Durchführungder Investitions-

planung

Finanzierungsplan für diegeplanten Investitionen

Endgültige Investitions-entscheidung für eine

bestimmteEinkleidungsform

Aufstellung einesdetaillierten Investitions-planes (Tätigkeitsplanes)

Beschaffung und termingerechteBereitstellung von Geldkapital

(Finanzierung)

Realisierung derInvestition

Einkleidung desGeldkapital-

einsatzes

Hingabe von Geldkapitalgegen bestimmteProduktionsmittel

(Beschaffungstätigkeit)

Kombination derInvestitionsgüter zu einer

arbeitsfähigenWirtschaftseinheit

(Installationsvorgang)

Desinvestition

Transformation derProduktionsmittel inFertigerzeugnisse imProduktionsprozeß

Wiedergeldwerdung imAbsatz

Reinvestition(Erneuerung der

Produktions-mittel)

Primärinvestition

Investitonsprozeß

Abbildung 3: Begriff des Investierens nach Heinen


zum Investitionsbegriff in der von ihm ausgewerteten Literatur1: 1. eine etymolo-gische, von der Wortbedeutung herkommende Auffassung im Sinne der gütermä-ßigen Konkretisierung des Kapitaleinsatzes oder der Unternehmungsidee ("Ein-kleidung des Geldkapitaleinsatzes oder der Unternehmungsidee") und 2. eine vomallgemeinen wirtschaftlichen Sprachgebrauch herkommende Auffassung im Sinneeiner "Kapitalanlage zwecks Gewinnerzielung". Er selber geht von der "Einklei-dung des Geldkapitaleinsatzes" aus und zieht zur näheren Charakterisierung desInvestitionsbegriffs "Aufgaben und Teilvorgänge, gegebenenfalls auch Elementar-tätigkeiten, die in ihrer Gesamtheit diese Einkleidung ausmachen", heran undskizziert "(u)nter dem Funktionalaspekt … das Investieren"2 als einen "Tätig-keitskomplex"3, der in Abbildung 3 vereinfacht dargestellt wird4. Heinen unterscheidet in bezug auf das, was er als Tätigkeitskomplex "Investie-ren" bezeichnet, zwischen Denkvorgängen einerseits und Ausführungsvorgän-gen andererseits. Die Ausführungsvorgänge werden von ihm unterteilt in dieKomplexe Investitionsplanung, Finanzierung und Realisierung der Investi-tion. Bezogen auf die Realisierung unterscheidet er zwischen Einkleidung desGeldkapitaleinsatzes, ferner Desinvestition als Umwandlung in Fertigerzeugnis-se und deren Absatz, wodurch der Wiedergeldwerdungsprozeß hinsichtlich des inProduktionsmitteln gebundenen Geldkapitals abgeschlossen wird, sowie Reinve-stition, womit die laufende Erneuerung der Produktionsmittel gemeint ist. MitBezug auf die Sequenz Geldkapitaleinsatz ⇒ Desinvestition (Wiedergeldwer-dung) ⇒ Reinvestition (abermaliger Geldkapitaleinsatz), die in Abbildung 3 dun-kel unterlegt ist, spricht Heinen vom Investitionsprozeß. Mit Bezug auf die Ein-kleidung des Geldkapitaleinsatzes, wobei er zwischen Beschaffungs- und Installa-tionsvorgang trennt, spricht er von Primärinvestition; auch dies ist in Abbildung3 durch eine (hellere) Unterlegung gekennzeichnet.Eine andere frühe Literaturauswertung zum Investitionsbegriff hat Packvorgelegt5. Auf ihn geht die Unterscheidung in 1. vermögensbestimmten Inve-stitionsbegriff, 2. ausgabenbestimmten Investitionsbegriff und 3. kombina-tionsbestimmten Investitionsbegriff zurück, die in der Literatur – zum Teil ohneweiteren Hinweis6, als Zeichen, daß es sich um eine Standardgliederung handelt –immer wieder zu finden ist.Nach dem vermögensbestimmten Investitionsbegriff ist Investition "die Um-wandlung von abstraktem Kapital in Vermögen (… reales Kapital …) … Alle aufder Aktivseite erscheinenden Werte sind im Betrieb investiert"7. In dieser Fassungentspricht der vermögensbestimmte Investitionsbegriff dem hier geprägten Begriffder Investition i.w.S..


1 Vgl. Heinen, Edmund: Zum Begriff und Wesen der betriebswirtschaftlichen Investition, in: Betriebswirtschaft-liche Forschung und Praxis 1957, S. 94-95.

2 Ebenda, S. 95.

3 Ebenda, S. 97.

4 Vgl. ebenda, S. 95-96.

5 Vgl. Pack, Ludwig: Betriebliche Investition, Wiesbaden 1959.

6 Vgl. z.B. Olfert, Klaus: Investition, 2. A., Ludwigshafen 1982.

7 Pack, Ludwig: Betriebliche Investition, a.a.O., S. 16.

Als Vertreter dieser weiten Fassung des vermögensbestimmten Investitionsbe-griffs wird von Pack1 Walter le Coutre genannt. Pack faßt die Aussagen von leCoutre wie folgt zusammen: "Berücksichtigen wir sämtliche bisher gegebenen Zi-tate, so können wir unter der Investition im Sinne le Coutres die Ausrüstung desBetriebes mit sämtlichen auf der Aktivseite der Bilanz erscheinenden Vermögens-teilen ansprechen, mittels Verwendung des durch Finanzierung beschafften Kapi-tals. Der Ton liegt in dieser Formulierung auf dem Wort 'sämtliche'; dies bedeutet,daß auch liquide Mittel, z.B. bares Geld, mit eingeschlossen sind"2 Pack erläutertdies dann noch anschaulicher: "Eine Investition im Sinne le Coutres liegt also indem Augenblick vor, da dem Betrieb durch Inanspruchnahme eines eingeräumtenKredites, durch das effektive Leisten einer Einlage, bzw. durch das effektive Ein-bringen von Gütern im Falle der Sacheinlage, durch Verschuldung gegenüber Lie-feranten usw. Vermögen in irgendeiner Form zufließt. Dieses Zufließen von Ver-mögen kann sowohl im Rahmen des Gründungsprozesses als auch im Verlaufedes späteren, laufenden Produktionsprozesses geschehen"3. Als einen anderen Vertreter des vermögensbestimmten Investitionsbegriffs nenntPack4 Erich Preiser5. Pack faßt Preisers Ansicht wie folgt zusammen: "Die Aus-führungen Preisers lassen sich am einfachsten darstellen, wenn man von seinemKapitalbegriff ausgeht: 'Kapital ist Geld für Investitionszwecke'. Mit Geld sindhier Finanzierungsmittel gemeint, also nicht nur liquide Kassenbestände, sondernauch Kredite, Buchgeld, Guthaben usw. Demzufolge ist nach Preiser unter einerInvestition grundsätzlich der Kauf von Produktivgütern zu verstehen"6. "Preiserbetrachtet … auch die Kassenbestände als im Betrieb investiert, jedoch nur soweites sich um die 'für den Transaktionsbedarf nötige Kasse' handelt. … 'Denn…(m)an braucht sie zur Durchführung des Unternehmungszweckes, wie man Ge-bäude, Maschinen, Gütervorräte und auch Forderungen «braucht»'"7. Ausgeschlossen aus dem Investitionsbegriff werden von Preiser alle Finanzanla-gen und aktiven Kreditgeschäfte, und zwar, soweit diese nicht im Zusammenhangmit dem leistungswirtschaftlichen Unternehmungszweck stehen; denn Forderun-gen im Sinne von Forderungen aus Lieferungen und Leistungen werden im SinnePreisers zur Erreichung des Unternehmungszweckes gebraucht. Pack drückt dieswie folgt aus: "Der Erwerb von Beteiligungspapieren und Obligationen, die Ge-währung von Krediten usw. sind nicht Investition, sondern Finanzierung. Preiserschlägt deshalb vor, die sogenannte 'finanzielle Investition je nach dem Zusam-menhang entweder “Finanzierung” oder “Anlage” zu nennen'"8. Hierzu ist zu be-merken, daß dieser gerade erwähnte Begriff der Finanzierung nicht aus dem übli-


1 Vgl. Pack, Ludwig: Betriebliche Investition, Wiesbaden 1959, S.17-21.

2 Ebenda, S. 18.

3 Ebenda, S. 19.


5 Vgl. die Aufsatzsammlung von Preiser, Erich: Bildung und Verteilung des Volkseinkommens, Göttingen 1957,S. 99-123, in der der ursprünglich in der Festschrift für Wilhelm Rieger erschienene Aufsatz "Der Kapitalein-satz und die neuere Theorie" wiederabgedruckt ist.

6 Pack, Ludwig: Betriebliche Investition, Wiesbaden 1959, S. 21.

7 Ebenda, S. 22-23.

8 Ebenda, S. 22.

chen Blickwinkel, d.h. aus dem Blickwinkel desjenigen, der sich finanziert(Geldnehmer, sog. passive Finanzierung), sondern aus dem Blickwinkel desjeni-gen, der finanziert (Geldgeber, sog. aktive Finanzierung), gebraucht wird. Daß es sich beim Investitionsbegriff von Preiser, den Pack als Variante des ver-mögensbestimmten Investitionsbegriffs bezeichnet, um eine Variante des Begriffsder Investition i.w.S. – wenn auch mit eingeschränktem Begriffsumfang – handelt,mag aus den zitierten Darlegungen von Pack noch nicht deutlich geworden sein.Denn die Umschreibung des Kapitalbegriffs durch Preiser als "Geld für Investi-tionszwecke" kann in dem Sinne mißverstanden werden, daß der Begriff "Geld" indiesem Zusammenhang die konkret beim Kauf von Produktivgütern als "Tausch-mittel" benutzten Zahlungsmittel (Bargeld, Buchgeld (einschl. Kreditgeld)) mei-nen könnte. Dies ist jedoch nicht der Fall. Dies folgt schon daraus, daß "Geld" alsTauschmittel in Höhe der erforderlichen Transaktionskasse nach Preiser als inve-stiert gilt. Das "Geld für Investitionszwecke", Preisers "Kapital", ist in der Bilanzgrundsätzlich nicht auf der Aktivseite zu finden, vielmehr "wird die Gesamtheitder Finanzierungsmittel, das gesamte Kapital, auf der Passivseite der Bilanz sicht-bar. Freilich: konkretes Geld ist dieses Kapital (zumeist – M.J.M.) nicht mehr. …Bis auf einen kleinen Rest, der als Kasse unter den Aktiven erscheint, ist das (kon-krete – M.J.M.) Geld weg, ohne Zweifel. … Das (konkrete – M.J.M.) Geld also istweg, aber dafür sind Produktivgüter da. Sie bilden das Vermögen der Unterneh-mung"1, und zwar einschließlich des Transaktionskassenbestandes. Konkretes Geld für Investitionszwecke ist nach Preiser nur vorübergehend in einerUnternehmung zu finden, und zwar als sogenannte "Horte auf Abruf, das heißtKassenbestände, die nur auf die Gelegenheit zu einer günstigen Anlage, auf ihreUmwandlung in nicht-liquide und daher rentenbringende Vermögensformen war-ten"2. Solche "Horte auf Abruf" sind lediglich Friktionserscheinungen. "Geld fürInvestitionszwecke" im Sinne Preisers erweist sich bei genauer Betrachtung alsoals Ausdruck für der Unternehmung überlassene Kaufkraft, die zum Erwerb vonVermögen eingesetzt werden kann, d.h. von Gütern, über die die Unternehmungverfügen kann, um sie letztlich zur Einkommenserzielung einzusetzen. Da Preiseraus seiner volkswirtschaftlichen Perspektive den Erwerb von Beteiligungs- undForderungstiteln (einschließlich aller nicht leistungswirtschaftlich bedingten akti-ven Kreditgeschäfte) durch die betrachtete Unternehmung aus dem Investitionsbe-griff ausschließt, weil die Unternehmung auf diese Weise anderen Unternehmun-gen Kaufkraft zur Verfügung (aktive Finanzierung) stellt, die diese Kaufkraft(Geld für Investitionszwecke) ihrerseits zum Erwerb von Vermögen einsetzen, al-so investieren können, stellt sich der vermögensbestimmte InvestitionsbegriffPreisers als eine Variante des Begriffs der Investition i.w.S. dar, aber mit einemaufgrund dieser volkswirtschaftlichen Sichtweise verkürzten Begriffsumfang. Dasmit dem Geld für Investitionszwecke (Kapital) erworbene Vermögen entsprichtdem leistungswirtschaftlich erforderlichen, d.h., dem sogenannten betriebsnotwen-digen Vermögen. Nur soweit betriebsnotwendiges Vermögen erworben wird, in-vestiert die Unternehmung im Sinne von Preiser. Die Bereitstellung von Kapitalals Geld für Investitionszwecke ist nach Preiser (passive) Finanzierung. Das fürdie Begriffe der Finanzierung i.w.S. und Investition i.w.S. charakteristische Merk-


1 Vgl. Preiser, Erich: Bildung und Verteilung des Volkseinkommens, Göttingen 1957, S. 106.

2 Ebenda, S. 112.

mal der Untrennbarkeit beider Vorgänge gilt ebenfalls, weil nach Preiser konkre-tes Geld für Investitionszwecke (Horte auf Abruf) lediglich eine Friktionserschei-nung ist; denn Kapital, wenn man es bekanntermaßen als Unternehmung nichtverwenden kann (Investition), wird man vernünftigerweise auch nicht beschaffen(Finanzierung).Der ausgabenbestimmte Investitionsbegriff weist große Übereinstimmung zuden definierten Varianten des Investitionsbegriffs i.e.S. auf. Eine Kurzformel wiehinsichtlich des vermögensbestimmten Investitionsbegriffs prägt Pack für den aus-gabenbestimmten Investitionsbegriff nicht, sondern er erläutert ihn an den Investi-tionsbegriffen verschiedener Autoren. Genauer ist es freilich, vom zahlungsbe-stimmten Investitionsbegriff statt vom ausgabenbestimmten Investitionsbegriffzu sprechen1.Pack erläutert Hans Ruchtis Investitionsbegriff wie folgt: "Ruchtis Investitions-begriff wird bestimmt durch seine Gliederung der Bilanz in 'Kapitalbereich, Zah-lungsbereich und Investitionsbereich'. Der Kapitalbereich umfaßt die gesamte Pas-sivseite der Bilanz, der Zahlungsbereich das gesamte Geldvermögen, d.h. die Po-sten, die für ihn liquide Mittel darstellen: Geld, Bank- und Postscheckguthaben.Der Investitionsbereich umfaßt das gesamte Realvermögen, worunter Ruchti allenicht-liquiden Vermögensteile versteht, also Anlagen, Stoffe, materielle und im-materielle Werte. Über das Verhältnis der drei Bereiche zueinander sagt Ruchti:'Der Kapitalbereich zeigt an, welche Einzahlungen oder Einnahmen dem Zah-lungsbereich zugeflossen sind' …, wobei er unterstellt, daß alle Werte, die demBetrieb zufließen, sich zunächst im Zahlungsbereich niederschlagen. 'Der Investi-tionsbereich ist hinsichtlich der Einnahmen und Ausgaben das Spiegelbild desZahlungsbereichs'. 'Der Zahlungsbereich umfaßt also das Geldvermögen und derInvestitionsbereich das Sachvermögen, denen beide der Kapitalbereich als rechne-rische Kontrollgröße gegenübersteht'. Zur Investition selbst sagt Ruchti: 'Um dieProduktion durchzuführen, muß der Betrieb Ausgaben machen … Die Ausgabenfür Anlagen, Stoffe und Dienste stellen Investitionen dar. Jede Ausgabe ist eineInvestition, jede Einnahme ist eine Desinvestition'"2. Die Begriffe Ausgaben undEinnahmen werden von Ruchti im Sinne von Auszahlungen und Einzahlungen ge-braucht. Der Investitionsbegriff von Ruchti entspricht weitgehend der 1. Variante des Be-griffs der Investition i.e.S.. Diese war definiert als Verwendung bereitgestellter fi-nanzieller Mittel (Zahlungsmittel) für unternehmerische Zwecke. Der BlickwinkelRuchtis ist jedoch nicht, wofür die Zahlungsmittel verwendet werden, sondern wiesich diese Verwendung auf den Zahlungsbereich der Unternehmung auswirkt.Diese Auswirkung ist ein Abfluß liquider Mittel aus der Unternehmung, den er alsAusgabe (besser: Auszahlung) bezeichnet.

Ein anderer Vertreter des ausgabenbestimmten Investitionsbegriffs ist nach Pack3

Martin Lohmann. Pack führt dazu aus: "Eine Investition im Sinne Lohmannsliegt immer vor, wenn Geldkapital in eine der Vermögensformen Boden im Er-


1 Vgl. Lücke, Wolfgang (Hrsg.): Investitionslexikon, 2. A., München 1991, S. 152.

2 Pack, Ludwig: Betriebliche Investition, Wiesbaden 1959, S. 30-31.


werb, Realvermögen und Finanzvermögen überführt wird, und die erlangten Ver-mögensteile nicht nur in den Besitz, sondern auch in das Eigentum des Betriebesübergehen. D.h., nur gemietete oder gepachtete Vermögensteile sind auszuschal-ten. … Da in einer auf dem erwerbswirtschaftlichen Prinzip basierenden Wirt-schaft ein derartiger Vorgang stets durch Tausch Ware gegen Geld erfolgt, was fürden investierenden Betrieb eine Ausgabe bedeutet, gründet Lohmann seine Inve-stitionsrechnung, genau wie Ruchti, auf Ausgaben und Einnahmen. Er übernimmtjedoch nicht die Formulierung, daß jede Ausgabe eine Investition sei, sondern nurAusgaben, die in Boden im Erwerb, Realvermögen und Finanzvermögen einge-kleidet werden, stellen Investitionen dar, was auch seiner Gliederung der Investi-tionen in finanzielle Investitionen und Realinvestitionen entnommen werdenkann"1.Pack ordnet Lohmanns Investitionsbegriff dem ausgabenbestimmten Investitions-begriff zu. Man kann durchaus zweifeln, ob diese Zuordnung richtig ist oder obsie sich nicht vielmehr aus der von Pack vorgenommenen (Fehl-)Interpretation desLohmannschen Begriffs des "Geldkapitals" ergibt, den Pack als "effektive Kauf-kraft, d.h. sämtliche Mittel, die eine effektive Nachfrage ermöglichen"2, deutet3.Zu dieser effektiven Kaufkraft (Zahlungsmittel) gehört neben Bargeld auch dasBuchgeld, und zwar nicht bloß im Sinne eines fälligen Guthabens bei einem Kre-ditinstitut, sondern auch im Sinne eines nicht ausgeschöpften Kredits; denn mitdessen Ausschöpfung entsteht uno actu Buchgeld für das Unternehmen.Pack übersetzt Lohmanns Begriff des "Geldkapitals" also mit Preisers Begriff des"konkreten Geldes als Tauschmittel (Zahlungsmittel)". Dementsprechend ist danndie Verwendung der Zahlungsmittel für den Erwerb von Vermögen eine Investi-tion, wobei der Vermögensbegriff "(i)n der Hauptsache … Sachgüter des Anlage-und Umlaufsvermögens" (Realinvestitionen) meint, auch wenn Lohmann das "Fi-nanzvermögen" nicht aus seiner Betrachtung ausschließt4. Mit Bezug auf die ersteVariante des Begriffs der Investition i.e.S. hieße dies, daß der Blickwinkel Loh-manns – anders als derjenige von Ruchti – vorrangig auf das Wofür der Verwen-dung der Zahlungsmittel gerichtet ist. Freilich wird man damit Lohmann nochnicht gerecht; denn auch Lohmann blickt – wie Ruchti – auf die Konsequenzen ei-ner solchen Verwendung, und zwar nicht bloß im negativen Sinne (Abfluß vonZahlungsmitteln), sondern auch im positiven Sinne (Zufluß von Zahlungsmitteln),die er mit den Begriffen Ausgaben und Einnahmen belegt und an Hand derer erdie Vorteilhaftigkeit einer Investition beurteilt. Mit Blick auf diese Beurteilungs-ebene der Investition wird Packs Zuordnung von Lohmann zu den Vertretern ei-nes ausgabenbestimmten (genauer: zahlungsbestimmten) Investitionsbegriffs frei-lich sehr verständlich. Mit Bezug auf den Begriff der Investition i.e.S. heißt dies,daß Lohmann dann auch als ein Vertreter der 2. Variante dieses Begriffs anzuse-hen ist.



2 Ebenda, S. 36.

3 Vgl. Lücke, Wolfgang (Hrsg.): Investitionslexikon, 2. A., München 1991, S, 151-152, erwähnt Lohmann alsVertreter des vermögensbestimmten Investitionsbegriffs.

4 Lohmann, Martin: Einführung in die Betriebswirtschaftslehre, 3. A., Tübingen 1959, S. 161.

Eine solche Charakterisierung trifft insbesondere für Erich Schneider zu, denPack zutreffend als Exponent des zahlungsbestimmten Investitionsbegriffs heraus-stellt1. Erich Schneider2 hat in der deutschen Investitionslehre dem zahlungsbe-stimmten Investitionsbegriff zum Durchbruch verholfen. Schneider sieht im Pro-duktionsprozeß der Unternehmung das eigentliche Investitionsobjekt, auch wenner zumeist nur auf Teilprozesse des gesamten Produktionsprozesses abstellt. Aus-zahlungen an die Unternehmungsumwelt würden geleistet, um mit Hilfe des Pro-duktionsprozesses Einzahlungen zu erhalten. Die Investition beginnt mit einerAuszahlung und endet mit der Liquidation des Investitionsobjekts, wobei alleZahlungen zwischen Beginn und Ende zur Charakterisierung einer Investitionherangezogen werden. Schneider trennt zwischen Ausgaben und Einnahmen so-wie Auszahlungen und Einzahlungen. Ausgaben (Einnahmen) sind das Geld-äquivalent eines Güterzugangs (Güterabgangs) oder eines Kaufs (Verkaufs). Aus-zahlungen (Einzahlungen) sind Kassenabfluß (Kassenzufluß). Ein Unterschiedergibt sich, wenn Kreditvorgänge zugelassen werden, von denen Schneider jedochbei seiner weiteren Analyse abstrahiert. Zu Recht weist Pack daraufhin, daß zwi-schen der Anschauung Erich Schneiders und derjenigen Wilhelm Riegers engeBeziehungen bestehen. "Während Rieger jedoch eine Totalrechnung für die ganzeUnternehmung aufmachen will, begnügt sich Schneider mit einer Totalrechnungfür das einzelne Investitionsobjekt, das im Ausnahmefall eine ganze Unterneh-mung ist, meistens dagegen nur ein genau bestimmter Teil derselben … Schneider(erfaßt) im Rahmen seiner Investitionsrechnung jedes Geschäft der Unternehmungals selbständige, in sich geschlossene Einheit. Dies erlaubt ihm, auf eine Perioden-rechnung (im Sinne von Erfolgsrechnung - M.J.M.) zu verzichten und jedes Ge-schäft … (auf der Basis einer) in sich geschlossene(n) Totalrechnung zu behan-deln"3, d.h. zu beurteilen. Der kombinationsbestimmte Investitionsbegriff weicht von den bisherigen In-vestitionsbegriffen grundlegend ab4. Auf ihn wird zwar in der Literatur hingewie-sen, ohne daß aber dieser Investitionsbegriff eine weitere Verbreitung gefundenhat. Pack faßt die Ausführungen von Werner Ballmann5 hierzu in der Weise zu-sammen, daß nach dem kombinationsbestimmten Investitionsbegriff unter Investi-tion die "Kombination der bereitgestellten Investitionsgüter zu einer neuen Pro-duktionsausrüstung oder (die) Eingliederung der beschafften Investitionsgüter indie vorhandene Anlagenapparatur"6 zu verstehen sei. In der nachstehenden Abbildung 4 werden die von Pack unterschiedenen Investi-tionsbegriffe zusammenfassend dargestellt:


1 Vgl. Pack, Ludwig: Betriebliche Investition, Wiesbaden 1959, S. 28-30.

2 Vgl. Schneider, Erich: Wirtschaftlichkeitsrechnung, Bern-Tübingen 1951, 8. A., Tübingen-Zürich 1973.



5 Vgl. Ballmann, Werner: Beitrag zur Klärung des betriebswirtschaftlichen Investitionsbegriffes und zur Ent-wicklung einer Investitionspolitik der Unternehmung, Diss. Mannheim 1954.


4. ZusammenfassungFür die weiteren Betrachtungen wird grundsätzlich von den Investitionsbegriffeni.e.S. und i.w.S. ausgegangen. Sie haben den Vorzug, daß sie streng symmetrischzum jeweiligen Begriff der Finanzierung i.e.S. und i.w.S. definiert sind. Finanzie-rung und Investition sind zwei Vorgänge, die sachlich und auch begrifflich zusam-mengehören. Diese Investitionsbegriffe sind außerdem so allgemein gehalten, daßalle anderen Investitionsbegriffe darin widergespiegelt werden können. Im Vordergrund wird indes der Begriff der Investition i.e.S. und hierbei die Deu-tung als spezieller Zahlungsstrom stehen. Dieser Begriff verlangt, das Investi-tionsobjekt so abzugrenzen, daß ihm neben Auszahlungen auch Einzahlungen zu-geordnet werden können, wobei davon ausgegangen wird, daß Auszahlungen undEinzahlungen durch dieselbe Entscheidung ausgelöst werden (Identitätsprinzip),so daß ohne diese Entscheidung diese Zahlungen nicht entstehen würden. DasBild des Zahlungsstroms umschreibt die Investition als einen zeitlichen Input-Output-Prozeß, wobei die Input- und die Outputgrößen in Zahlungen abge-bildet werden. Die Auszahlungen stehen dabei für die eingesetzten Ressourcenund die Einzahlungen für die nachfolgenden erwünschten Konsequenzen dieses

System derInvestitions-

begriffe nach L.Pack

Vermögens-bestimmter

Investitions-begriff

Umwandlung vonKapital injegliches

Vermögen

Vertreter: W. le Coutre

Umwandlung vonKapital in be-triebsnotwen-

diges Vermögen

Vertreter: E. Preiser

Ausgaben-bestimmter


Umwandlung vonZahlungsmitteln

in Sach-/Finanzvermögen

Vertreter: M. Lohmann

(in der Interpreta-tion von Pack)

Ausgaben fürGüter und Dienste

Vertreter: H. Ruchti

Zahlungsstrommit anfänglichenAusgaben undnachfolgenden

Einnahmen

Vertreter: E. Schneider

Kombinations-bestimmter


Kombination/Ein-gliederung von

Sachanlagegüternzur/in die

Betriebsapparatur

Vertreter: W. Ballmann

Abbildung 4: System der Investitionsbegriffe nach Pack


Ressourceneinsatzes. Ressourceneinsatz und Konsequenzen werden dabei mitdenjenigen Merkmalen abgebildet, die für die Beurteilung wesentlich sind. Dies bedeutet, daß Auszahlungen und Einzahlungen nicht bloß als finanzwirt-schaftliche Kategorien anzusehen sind, die etwa unter dem Gesichtspunkt ihresEinflusses auf die jederzeitige Zahlungsfähigkeit (Liquidität) der investierendenUnternehmung zu beachten sind, sondern daß Auszahlungen und Einzahlungenzugleich und vor allem Kategorien der Beurteilungsebene, also Zielgrößensind, die die Vorziehenswürdigkeit einer Investitionsalternative im Vergleich zueiner anderen (einschließlich der Unterlassensalternative) bestimmen. Aus demBlickwinkel der Entscheidungstheorie sind die eine Investition charakterisieren-den Auszahlungen und Einzahlungen daher vorrangig als Ergebnisse, interessie-rende Sachverhalte oder Zielgrößen anzusprechen1. Immer dann, wenn es bei In-vestitionen auch (oder gar ausschließlich) auf nichtmonetäre Vor- und Nachteileankommt, ist es wichtig, sich an diese Unterscheidung der Auszahlungen und Ein-zahlungen als finanzwirtschaftliche Größen mit ihrem Einfluß auf die Liquiditätund als spezielle Zielgrößen mit ihrem Einfluß auf die Vorziehenswürdigkeit zuerinnern. Die zeitliche Erstreckung des zu einem Zahlungsstrom führenden Input-Output-Prozesses kann im weiteren durchaus offengelassen werden. Denn mit dem glei-chen formalen Instrumentarium lassen sich in bezug auf Art und Dauer sehr unter-schiedliche Investitionen darstellen und beurteilen, so daß die vielfach im Zusam-menhang mit dem Investitionsbegriff gemachte Einschränkung auf langfristigwirksame Mittelbindungen im Strukturvermögen (Anlage- und dauernd ge-bundenes Umlaufvermögen2) nicht erforderlich erscheint. Dies gilt um so mehr,als die Kennzeichnung als langfristig zeitlich unbestimmt ist und nur über Kon-ventionen (z.B. langfristig = mehrjährig3) konkretisierbar wird. Mit dem Begriff"langfristig" wird häufig auch die Vorstellung einer geringen Revidierbarkeit4

und generell einer Einschränkung der Dispositionsfreiheit5 verbunden. Aberauch bezogen auf so motivierte Begriffseinschränkungen gilt, daß aus der gerin-gen Revidierbarkeit und Einschränkung der Dispositionsfreiheit allenfalls die For-derung nach besonders sorgfältiger Beurteilung, nicht jedoch nach besonderen Be-urteilungsmethoden gezogen werden kann.Gleiches gilt für die ebenfalls vielfach zu findende Einschränkung des Investi-tionsbegriffs auf den Einsatz relativ hoher Kapitalbeträge6. Denn was relativhoch ist, bleibt so lange unklar, wie der Bezugsmaßstab fehlt, zu dem indes regel-mäßig nichts ausgesagt wird. Ob die den Zahlungsstrom charakterisierenden Aus-


1 Vgl. Matschke, Manfred Jürgen: Der Entscheidungswert der Unternehmung, Wiesbaden 1975, S. 78-83;Sieben, Günter, Schildbach, Thomas: Betriebswirtschaftliche Entscheidungstheorie, 3. A., Düsseldorf 1990, S.24-25; Bamberg, Günter, Coenenberg, Adolf Gerhard: Betriebswirtschaftliche Entscheidungstheorie, 6. A.,München 1991, S. 26.

2 Vgl. Perridon, Louis, Steiner, Manfred: Finanzwirtschaft der Unternehmung, 6. A., München 1991, S. 24-27.

3 Vgl. Kappler, Ekkehard, Rehkugler, Heinz: Kapitalwirtschaft, in: Heinen, Edmund (Hrsg.): Industriebetriebs-lehre, 9. A., Wiesbaden 1991, S. 908.




zahlungen und Einzahlungen klein oder groß sind, spielt für die Beurteilungsme-thoden keine Rolle. Berührt wird indes wiederum die praktisch sicherlich bedeut-same Frage, ob man sich im konkreten Fall mehr oder weniger Mühe bei der Be-urteilung von Investitionen machen will oder nicht; denn auch in bezug auf dieBeurteilung von Investitionen gilt, daß sie Ressourcen verlangt und daß sich die-ser Einsatz unter dem Gesichtspunkt der Entscheidungsverbesserung rechtfertigenlassen muß, also ökonomisch sinnvoll sein muß. D.h., der Nutzen eines zusätzli-chen Ressourceneinsatzes muß die damit verbundenen Kosten übertreffen.


B. InvestitionsartenInvestitionsarten lassen sich in vielfältiger Weise unterscheiden, da im Grundsatzbeliebig viele Gliederungskriterien herangezogen werden können. Es soll daherauch gar nicht versucht werden, einen möglichst umfassenden Überblick über diein der Literatur unterschiedenen Investitionsarten zu geben1. Nur einige wenige,mir bedeutsam erscheinende Gliederungsmerkmale und die sich daraus ergeben-den Investitionsarten sollen daher vorgestellt werden.1. Gliederung der Investitionsarten nach dem InvestitionsobjektDie Unterscheidung in Realinvestitionen und Finanzinvestitionen knüpft an dasInvestitionsobjekt an. Für Finanzinvestitionen findet sich auch der Begriff "No-minalinvestition"2. Auf der Basis der 1. Variante des Begriffs der Investitioni.e.S. heißt dies, daß danach unterschieden wird, ob die finanziellen Mittel zumErwerb von Realgütern oder von Nominalgütern eingesetzt worden sind.

Realgüter können materieller oder immaterieller Art sein3, so daß sich die Realin-vestitionen weiter in materielle Realinvestitionen (Sachinvestitionen) und im-materielle Realinvestitionen untergliedern lassen. Der Begriff der Sachinvestitionen wird dabei häufig auf denjenigen Mitteleinsatzeingeschränkt, der zum Erwerb von Vermögensgegenständen des Sachanlagever-mögens ((Sach-)Anlageinvestitionen) führt. Wird er weitergefaßt, dann um-schließt er auch die Erhöhung des Vorratsvermögens (Vorrats- oder Lagerinve-stitionen). Der Begriff der Bruttoinvestition in der volkswirtschaftlichen Ge-samtrechnung umfaßt etwa Anlageinvestitionen und Lagerinvestitionen (Vorrats-änderungen). Auch der Begriff der immateriellen Realinvestition kann enger und weiter gefaßtwerden. Im engeren Sinn bezieht er sich auf den Erwerb solcher Vermögensge-genstände, die als immaterielle Vermögensgegenstände unter dem Anlagevermö-gen (Aktiva A. I. 1.) zu bilanzieren sind. Dazu gehören entgeltlich erworbeneKonzessionen als behördliche Genehmigungen zur Ausübung eines Gewerbes(z.B. Verkehrskonzessionen) oder als Verleihung eines Rechts an einer öffentli-chen Sache (z.B. Fischereirechte), ferner entgeltlich erworbene gewerblicheSchutzrechte (z.B. Patente, Markenrechte, Urheberrechte), ähnliche Rechte undWerte (z.B. Belieferungsrechte, ungeschützte Geheimverfahren) sowie durch ein-malige Zahlung erworbene (Pauschal-)Lizenzen als privatrechtliche Befugnis zurNutzung solcher Rechte und Werte4. Immaterielle Realinvestitionen im engerenSinne sind bilanzierungsfähig. Im weiteren Sinne umfaßt der Begriff der immate-riellen Realinvestitionen die Schaffung von nicht bilanzierungsfähigen ökonomi-


1 Vgl. hierzu Pack, Ludwig: Betriebliche Investition, Wiesbaden 1959, S. 87-179; Biergans, Enno: Investitions-rechnung, Nürnberg 1973, S. 27-33; Eich, Detlev: Investition, Begriff, in: Handwörterbuch der Finanzwirt-schaft, Stuttgart 1976, Sp. 831-833.

2 Vgl. Schwarz, Horst: Investition, in: Handwörterbuch der Betriebswirtschaft, 4. A., Bd. 2, Stuttgart 1975, Sp.1975, Warnecke, Hans-Jürgen: Der Produktionsbetrieb, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo 1984, S. 83,Busse von Colbe, Walter (Hrsg.): Lexikon des Rechnungswesens, 2. A., München 1991, S. 403.

3 Vgl. Stüdemann, Klaus: Grundlagen zur Unterscheidung von materiellen und immateriellen Gütern und zu ihrerAktivierung in der Bilanz, in: Der Betrieb 1985, S. 345-352.

4 Vgl. Matschke, Manfred Jürgen, in: Hofbauer/Kupsch, Bonner Handbuch der Rechnungslegung, § 266 HGB,Rz. 28-33, 5. Aktualisierung, Bonn 1991.

schen Nutzleistungen. Hierzu gehören sog. Organisationsinvestitionen, (Perso-nal(aus/fort/weiter-)Bildungsinvestitionen, Forschungs- und Entwicklungsin-vestitionen, Werbeinvestitionen. Von der in der 4. EG-Richtlinie eingeräumtenMöglichkeit, auch Forschungs- und Entwicklungskosten zu aktivieren und als ge-sonderte Position immaterieller Anlagewerte auszuweisen, hat der deutsche Ge-setzgeber keinen Gebrauch gemacht.Als Nominalgüter (Nominalrepräsentanten) gelten neben dem Geld alle Rech-te, die Gläubigerpositionen (Forderungstitel) und Eignerpositionen (Beteiligungs-titel) beinhalten, gleichgültig, ob sie verbrieft oder unverbrieft sind. Sie sind Stell-vertreter (Repräsentanten) für Realgüter, drücken diese in einer allgemein aner-kannten Recheneinheit aus und gestatten es, "unabhängig von der Verteilung derkonkreten Verfügungsmacht die Güter bestimmten Herrschaftsbereichen zuzuord-nen"1. Geld (Münzgeld, Notengeld, Buchgeld) kann als eine spezielle Forderungs-variante des Geldinhabers gegen den Geldemittenten angesehen werden. Der Begriff der Finanzinvestitionen (Nominalinvestitionen) bezieht sich auf denErwerb von Forderungstiteln und Beteiligungstiteln. Sind diese Titel gegen eineandere Unternehmung gerichtet, so stellen Forderungstitel aus der Sicht dieser an-deren Unternehmung Fremdkapitalanteile und Beteiligungstitel Eigenkapitalantei-le dar. Dies war, wie schon erwähnt, für Erich Preiser ein Grund, in bezug auf sol-che Tatbestände von aktiver Finanzierung und nicht von Finanzinvestition zusprechen. Finanzinvestitionen im Sinne des Erwerbs von Forderungstiteln entsprechen inder Realität dem Bild der Investition als Zahlungsstrom am ehesten. Dies gilt ins-besondere, wenn man etwa an den Erwerb einer Obligation denkt, die man diegesamte Laufzeit über behalten will. Im Erwerbszeitpunkt fallen Auszahlungenan, aufgrund der Emissionsbedingungen lassen sich die künftigen Einzahlungen inForm von Zinszahlungen und Tilgungszahlungen (weitgehend) zeit- und betrags-genau abschätzen. Noch eindeutiger sind die Verhältnisse in bezug auf sog. Ter-mingeldanlagen. Sie sind durch eine einmalige Auszahlung und durch eine ein-malige, zeitlich und betragsmäßig genau bestimmbare spätere Einzahlung charak-terisierbar. Für das letztere Beispiel würde zudem gelten, daß die in der Theorieoftmals unterstellte Eigenschaft der (beliebigen) Teilbarkeit einer Investition inidealer Weise erfüllt wird. Gleiches gilt auch in bezug auf eine andere Standardan-nahme der Theorie, nämlich die Unabhängigkeit der einzelnen Investitionen von-einander. Bezogen auf den Erwerb von Forderungsrechten gilt ferner, daß dieCharakterisierung der Auszahlungen und Einzahlungen als unmittelbare Zielgrö-ßen kaum Probleme bereitet, weil nicht erkennbar wird, daß mit einer solchen In-vestition andere als monetäre Ziele verfolgt werden könnten.Für Finanzinvestitionen im Sinne des Erwerbs von Beteiligungstiteln gelten diegerade gemachten Aussagen zur Teilbarkeit und zu den Auszahlungen und Ein-zahlungen als Zielgrößen cum grano salis auch, insbesondere wenn man an denErwerb von börsengängigen Aktien einer Unternehmung denkt und unterstellt,daß der erworbene Eigenkapitalanteil bezogen auf das gesamte Aktienkapital die-


1 Vgl. zu den Nominalrepräsentanten Stüdemann, Klaus: Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, 2. A., München-Wien 1990, Rz. 397-404, 739, Zitat Rz. 397; ferner Stüdemann, Klaus: Theorie der Nominalrepräsentanten,Berlin 1976.

ser Unternehmung als sog. Streubesitz zu qualifizieren ist, also keine spürbareEinflußnahme auf die Willensbildung in dieser Unternehmung ermöglicht. Aberschon bei diesem Beispiel wird ein Unterschied gegenüber den Finanzinvestitio-nen im Sinne des Erwerbs von Forderungstiteln deutlich. Die aus dem Erwerb re-sultierende Anfangsauszahlung läßt sich noch unproblematisch bestimmen, aberdie künftigen Einzahlungen lassen sich nicht mehr genau abschätzen, seien es diekünftigen Dividendenzahlungen, seien es die künftigen Aktienkurse. Die Unge-wißheit über den Zahlungsstrom ist bei solchen Finanzinvestitionen also weitausgrößer. Geht man über zum Erwerb von Aktienpaketen, die eine spürbare Einfluß-nahme auf die Willensbildung der anderen Unternehmung zulassen, so verschiebtsich der Charakter einer solchen Finanzinvestition immer mehr in Richtung aufdie Merkmale einer Realinvestition, und man wird davon ausgehen müssen, daßneben finanziellen Zielgrößen auch erwartete Erfüllungen nichtfinanzieller Ziele(z.B. externes Wachstum, Erschließung von Märkten, Zugang zu Know How) eineRolle beim Erwerb solcher Beteiligungstitel gespielt haben. Einen von der bisherigen Deutung des Begriffs der Finanzinvestitionen stark ab-weichenden Inhalt legen Günter Franke und Herbert Hax dem Begriff der Finanz-investitionen bei1. Sie gehen nicht vom Investitionsobjekt, sondern vom Motiv desInvestors aus. Finanzinvestitionen sind nach Franke und Hax solche, "die nichtsmit dem Leistungsbereich zu tun haben, bei denen vielmehr die Absicht im Vor-dergrund steht, verfügbare Mittel vorübergehend anzulegen oder auch langfristigeReserven zu schaffen. Hierzu gehören Kreditgewährungen sowie Anschaffungenvon Vermögensgegenständen wie Wertpapiere, Grundstücke, Edelmetalle u.ä. (so-weit dies nicht in Zusammenhang mit dem Leistungsbereich steht)"2. Dieser Be-griffsinhalt umfaßt einerseits "langfristige Reserven" im Sinne von nicht betriebs-notwendigen Vermögensgegenständen, andererseits aber auch "kurzfristige Geld-anlagen", die wohl im Sinne von rentierlich gehaltenen Liquiditätsreserven zudeuten sind. In der Literatur, soweit diese übersehen wird, stehen Franke und Haxmit dieser Festlegung des Begriffs der Finanzinvestitionen allein da. Ihnen wirdhier nicht gefolgt.In der nachfolgenden Abbildung 5 wird ein Überblick über die Investitionsartennach dem Gliederungsmerkmal des Investitionsobjekts gegeben.


1 Vgl. Franke, Günter, Hax, Herbert: Finanzwirtschaft des Unternehmens und Kapitalmarkt, Berlin, Heidelberg,New York, London, Paris, Tokyo 1988, S. 13.

2 Ebenda.

2. Gliederung der Realinvestitionen nach dem InvestitionszweckAn den Zweck der Realinvestitionen knüpft die Unterscheidung zwischen Inve-stitionen im Zusammenhang mit dem Aufbau der Unternehmung und Investi-tionen im Zusammenhang mit der Fortführung der Unternehmung sowie In-vestitionen im Zusammenhang mit dem Wachstum der Unternehmung.Investitionen im Zusammenhang mit dem Aufbau der Unternehmung werdenin der Literatur mit den Begriffen Erstinvestition, Errichtungsinvestition,Gründungsinvestition und auch Anfangsinvestition umschrieben, wobei dieseBegriffe weitgehend synonym gebraucht werden. Bei Investitionen im Zusam-menhang mit dem Aufbau der Unternehmung steht nicht ein einzelnes Investi-tionsobjekt, sondern der gesamte aufzubauende Betrieb im Blickfeld, so daß füreine nähere Umschreibung der Investitionsbegriff i.w.S. zugrundezulegen ist.Investitionen im Zusammenhang mit der Fortführung der Unternehmungwerden zumeist als Ersatzinvestitionen, Reinvestitionen oder Erhaltungsinve-stitionen bezeichnet. Im Vordergrund stehen einzelne Investitionsobjekte, die

Investitions-objekt als

Gliederungs-merkmal

Real-investitionen

materielle Real-investitionen

(Sachinvestitionen)

(Sach-)Anlage-investitionen

Vorrats- oderLager-

investitionen

immaterielle Real-investitionen

bilanzierungsfä-hige immaterielleRealinvestitionen

Erwerb vonimmateriellenVermögens-

gegenständen

nicht bilanzie-rungsfähigeimmaterielle

Realinvestitionen

Organisations-investitionen

(Personal-(aus/fort/weiter-)

Bildungs-investitionen

Forschungs- undEntwicklungs-investitionen

Werbe-investitionen

Finanz- oderNominal-

investitionen

Erwerb vonForderungstiteln

Erwerb vonBeteiligungstiteln

Abbildung 5: Gliederung der Investitionen nach dem Investitionsobjekt


durch den Gebrauch oder durch Alterung sowie aufgrund unvorhersehbarer Ursa-chen nicht mehr im Sinne der bisherigen, von ihnen geforderten leistungswirt-schaftlichen Aufgaben genutzt werden können, weil eine weitere Nutzung nichtmehr möglich oder aus technischen und ökonomischen Gründen (z.B. keine Ein-haltung technischer Toleranzwerte, Ausschußproduktion, erforderliche Nachbear-beitungen) nicht mehr zweckmäßig ist, und die bei der vorgesehenen Fortfüh-rung der Unternehmung im bisherigen quantitativen und qualitativen Lei-stungsumfang wiederbeschafft, ersetzt werden müssen. Im strengen Sinne gehenvon solchen Ersatzinvestitionen keine kapazitätsmäßigen Wirkungen aus; das Lei-stungsvermögen bleibt lediglich erhalten. Dies ist unter dem Aspekt der Wieder-beschaffung indes im strengen Sinn nur für den Fall des identischen Ersatzes ge-geben. Unter dem Aspekt der Erhaltung stellt die sog. Großreparatur wegenihrer ähnlichen Wirkungen wie ein identischer Ersatz eine reale Variante der Er-satzinvestition (ohne Kapazitätswirkungen) dar. Wegen des technischen Fort-schritts ist ein leistungswirtschaftlich gesehen identischer Ersatz von Investitions-objekten indes eher die Ausnahme in der Praxis denn die Regel. Werden unter denBedingungen des technischen Fortschritts nicht mehr nutzbare Investitionsob-jekte durch hinsichtlich ihrer leistungswirtschaftlichen Funktionen gleiche oderdoch vergleichbare Investitionsobjekte ersetzt, so sind damit Rationalisierungs-oder Verbesserungseffekte verbunden. Mit Blick auf solche Wirkungen sprichtman auch von Rationalisierungsinvestitionen, Verbesserungsinvestitionen undModernisierungsinvestitionen. Sie sind die vorrangigen realen Varianten der Er-satzinvestition, haben aber anders als etwa Großreparaturen meist auch kapazitäts-mäßige Wirkungen, die jedoch nicht im Vordergrund des Interesses stehen, nichtden Investitionszweck dominieren.Für Investitionen im Zusammenhang mit dem Wachstum der Unternehmungstehen die Begriffe Erweiterungsinvestitionen und Diversifikationsinvestitio-nen. Ähnlich wie bei Investitionen im Zusammenhang mit dem Aufbau der Unter-nehmung steht auch bei Investitionen im Zusammenhang mit dem Wachstum derUnternehmung nicht ein einzelnes Investitionsobjekt, sondern ein Investitions-komplex im Blickfeld. Mit dem Begriff des Unternehmungswachstums wird einepositive Veränderung der Unternehmungsgröße verbunden1. Nach der Art derRealisierung des Wachstums wird zwischen internem und externem Wachstumunterschieden. Bezogen auf externes Wachstum wird meist von Beteiligungser-werb, Unternehmungserwerb, Akquisition, Fusion gesprochen. Die BegriffeErweiterungsinvestitionen und Diversifikationsinvestitionen stehen für Vor-gänge des internen Wachstums. Nach der Richtung des Unternehmungs-wachstums unterscheidet man zwischen horizontalem, vertikalem und diagona-lem Wachstum. Mit dem Begriff Erweiterungsinvestition werden Vorgänge deshorizontalen und vertikalen Wachstums umschrieben. Erweiterungsinvestitionenim Zusammenhang mit horizontalem Wachstum zielen auf (multiple und/odermutative) Vergrößerungen der Kapazitäten im bisherigen Produkt-Marktspektrum.


1 Vgl. einführend zum Unternehmungswachstum Luckan, Eberhard: Grundlagen der betrieblichen Wachstums-planung, Wiesbaden 1970; Brockhoff, Klaus: Wachstumspolitik, marktorientiert, in: Handwörterbuch der Ab-satzwirtschaft, Stuttgart 1974, Sp. 2139-2149; Kieser, Alfred: Wachstum und Wachstumstheorien, betriebswirt-schaftliche, in: Handwörterbuch der Betriebswirtschaft, 4. A., Bd. 3, Stuttgart 1976, Sp. 4301-4318; Kortz-fleisch, Gert von, Zahn, Erich: Wachstum II: Betriebswirtschaftliche Probleme, in: Handwörterbuch der Wirt-schaftswissenschaft, Bd. 8, Stuttgart, New York, Tübingen, Göttingen, Zürich 1980, S. 432-449; Neeb, Fritz:Wachstum und Organisation, in: Handwörterbuch der Organisation, 2. A., Stuttgart 1980, Sp. 2369-2376.

Man investiert und erweitert die Kapazität, um ein neues Absatzmarktgebiet mitbisherigen Produkten beliefern zu können oder um die Angebotspalette um tech-nisch oder marktlich ähnliche Produkte zu vergrößern (Produktbreite). Erweite-rungsinvestitionen im Zusammenhang mit vertikalem Wachstum dienen dazu,die Kapazität im Sinne einer Ausdehnung der Produktionstiefe in vor- oder nach-gelagerte Produktionsstufen auszudehnen. Mit dem Begriff der Diversifikations-investitionen werden Vorgänge des diagonalen Wachstums umschrieben. Diversi-fikationsinvestitionen dienen dazu, die Produktpalette um Produkte zu erweitern,die mit den bisherigen keine oder nur eine geringe Verwandtschaft aufweisen. Eswerden mit Diversifikationsinvestitionen die Voraussetzungen geschaffen, um –aus der Sicht der Unternehmung – neue Märkte mit neuen Produkten zu erobern.Hierbei stehen Rendite- und Risikoaspekte im Sinne eines ausgeglichenen Markt-Produkt-Portfolios im Vordergrund des Investitionszwecks (Portfolioinvestitio-nen). Freilich ist darauf hinzuweisen, daß ein solches diagonales Wachstum in derPraxis eher auf externem Wege durch Unternehmungskäufe und Fusionen als aufinternem Wege versucht wird. In der nachfolgenden Abbildung 6 wird ein Überblick über die Investitionsartennach dem Gliederungsmerkmal des Investitionszwecks gegeben.

Zweck der Real-investitionen als

Gliederungs-merkmal

Investitionenim Zusammen-hang mit demAufbau der

Unternehmung

Erst-,Errichtungs-,Gründungs-,

Anfangs-investitionen

Investitionenim Zusammen-

hang mit derFortführung

derUnternehmung

Investitionenohne

kapazitätsmäßigeWirkung

Ersatz-, Re-,Erhaltungs-investitionen

IdentischerErsatz

Großreparatur

Investitionen mitkapazitätsmäßiger

Wirkung

Rationalisierungs-,Verbesserungs-,Modernisierungs-

investitionen

Investitionenim Zusammen-hang mit demWachstum derUnternehmung

Erweiterungs-investitionen

im Zusammenhangmit horizontalem

Wachstum

im Zusammenhangmit vertikalem

Wachstum

Diversifikations-investitionen

im Zusammenhangmit diagonalem

Wachstum

Abbildung 6: Gliederung von Realinvestitionen nach dem Investitionszweck


3. Vorlesung:

Investitionsprozeß und Investitionsorganisation

In dieser Vorlesung geht es um den Investitionsentscheidungsprozeß und um da-mit zusammenhängende Fragen der Investitionsorganisation. Im Teil A. wird dasPhasenschema des Investitionsentscheidungsprozesses vorgestellt und erläutert.Im Teil B. wird ein Überblick über typische Schwachstellen im Investitionsbe-reich gegeben. Im Teil C. werden Grundlagen der Investitionsorganisation an-gesprochen.

A. Phasenschema des InvestitionsentscheidungsprozessesZur idealisierenden Beschreibung des Investitionsprozesses kann auf das Phasen-schema des rationalen Handelns und auf das allgemeine Phasenschema einesEntscheidungsprozesses1 zurückgegriffen werden.Rationales Handeln bedeutet Handeln nach Zielen und Auswahl der besten Hand-lungsmöglichkeit, das heißt derjenigen Handlungsmöglichkeit, die voraussichtlichdie gesetzten Ziele am besten erfüllen wird. Formal kann rationales Handeln indrei Phasen unterteilt werden: Planung, Realisation und Kontrolle (vgl. Ab-bildung 7).

Die Planung als geistiger Prozeß sagt, was geschehen soll und wie es geschehensoll (Soll-Werte), und bereitet die Realisation vor, die das tatsächliche Handelnund die tatsächlichen Ergebnisse des Handelns beinhaltet (Ist-Werte). Bei dynami-scher Betrachtung ist die Kontrolle notwendig. Hier wird das "Soll" aus der Pla-nung mit dem "Ist" aus der Realisation verglichen (Soll-Ist-Vergleich). Die durchdiesen Vergleich erhaltenen (Abweichungs-)Informationen fließen dann in einenneuen Planungsprozeß ein. So ist es möglich, Planungen anzupassen und in Zu-kunft Fehler, die bei der vorherigen Planung oder der vorangegangenen Realisa-tion gemacht worden sind, zu vermeiden.Dieses Schema rationalen Handelns kann in bezug auf die Phase der Planung er-weitert und verfeinert werden. Man spricht wegen dieser Erweiterung dann vonden Phasen eines Planungsprozesses oder, da die Planung in einer Entscheidungkulminiert, auch von den Phasen eines Entscheidungsprozesses, die in der Ab-bildung 8 dargestellt sind und gleich noch im einzelnen mit Bezug auf einen In-vestitionsentscheidungsprozeß erläutert werden2.

Planung

Realisation Kontrolle

Soll-Werte Soll-Ist-Vergleich

Ist-Werte

Abbildung 7: Phasen des rationalen Handelns

44 3. Vorlesung: Investitionsprozeß und Investitionsorganisation

1 Vgl. hierzu z.B. Heinen, Edmund: Industriebetriebslehre als entscheidungsorientierte Unternehmungsführung, in:Heinen, Edmund (Hrsg.): Industriebetriebslehre, 9. A., Wiesbaden 1991, S. 35-37.

2 Vgl. hierzu auch Kappler, Ekkehard, Rehkugler, Heinz: Kapitalwirtschaft, in: Heinen, Edmund (Hrsg.): Indu-striebetriebslehre, 9. A., Wiesbaden 1991, S. 911-914; Perridon, Louis, Steiner, Manfred: Finanzwirtschaft derUnternehmung, 6. A., München 1991, S. 28-33.

Die Problemstellungs-, die Such- und die Beurteilungs- und Entscheidungs-phase dienen der Willensbildung, während die Phasen der Realisation und derKontrolle der Willensdurchsetzung dienen. Der Begriff der Phase ist in diesem Zusammenhang nicht notwendig im zeitlichenSinne zu verstehen. Vielmehr soll dieser Begriff eher einen Aktivitätsschwerpunktbezeichnen. Die einzelnen Phasen werden dementsprechend aufgrund ihres Inhaltsund nicht ihrer zeitlichen Abfolge nach abgegrenzt.Dieses Phasenschema gibt die Grobstruktur einer Ordnung an, die die Zu-sammenhänge zwischen den einzelnen Vorgängen in einem Entscheidungs-prozeß verdeutlichen soll. Dieses Phasenschema eines Planungsprozesses sagtnicht, wie Planungen und Entscheidungen sich in der Realität vollziehen. Da essich um ein gedankliches Ordnungsschema handelt, wird durch dieses Phasen-schema auch keine Aussage über wünschenswertes Planungs- und Entscheidungs-verhalten in der Realität gemacht. Empirische Untersuchungen zum Planungs- undEntscheidungsverhalten zeigen zwar, daß es solche unterscheidbaren Aktivi-tätsschwerpunkte gibt. Sie zeigen aber auch, daß viele Aktivitäten, die im Phasen-schema nacheinander angeordnet sind, in der Realität gleichzeitig ablaufen und

Phasen desEntscheidungs-

prozesses

Phasen derWillens-bildung

Anregungs- oderProblemstellungsphase

Suchphase

Beurteilungs- undEntscheidungsphase

Phasen derWillens-

durchsetzung

Realisationsphase

Kontrollphase

Abbildung 8: Phasen des Entscheidungsprozesses

3. Vorlesung: Investitionsprozeß und Investitionsorganisation 45

daß die Aktivitäten vielfach in mehreren Schleifen durchlaufen werden1. In derAbbildung 8 wird diese Rekursivität des Entscheidungsprozesses durch die rück-wärts gerichteten Pfeile angedeutet. Gedankliches Investitionsobjekt für die weite-ren Ausführungen sind Sachinvestitionen.In der Anregungs- oder Problemstellungsphase wird ausgehend von einer be-stimmten Situation ein Problem erkannt, eine Anregung gegeben. Man wird aufeine Gegebenheit aufmerksam, ergreift die Initiative und formuliert das betreffen-de Problem, das im weiteren durch die Planung bewältigt werden soll. Von derVorstellung, daß das durch eine Investition zu lösende Problem in all seinen Fa-cetten von Anfang an bekannt und beschrieben ist, sollte man sich indes lösen.Erst im Entscheidungsprozeß selber wird dies schrittweise geschehen. Die Infor-mationen, aus denen das zu planende Investitionsproblem abgeleitet wird, könnenaus der die Unternehmung umgebenden Umwelt (z.B. Beschaffungsmärkte, Ab-satzmärkte, Finanzmärkte) oder aus der Unternehmung selber (z.B. Produktion,Forschung und Entwicklung) stammen. Das Informationssystem der Unterneh-mung muß also sicherstellen, daß Chancen oder auch Schwachstellen, die durchInvestitionen genutzt oder abgestellt werden können, als solche und auch rechtzei-tig erkannt werden. Können, Erfahrung, Kooperationsvermögen und nicht zuletztauch Phantasie werden in dieser Phase in besonderem Maße von den involviertenMitarbeitern verlangt. Diese Eigenschaften sind erforderlich, um aus der Vielzahlder Informationen die wichtigsten herauszufiltern, sie zu verdichten und in dieweitere Planung einfließen zu lassen. Da sich nur solche Probleme lösen lassen,die man zuvor auch als Problem erkannt hat, kommt der Anregungs- oder Pro-blemstellungsphase eine sehr große Bedeutung innerhalb des Investitionsprozes-ses zu.In der Suchphase geht es um die Ermittlung von Investitionsalternativen und umeine Prognose der aus diesen Handlungsmöglichkeiten resultierenden Konsequen-zen. Hiermit eng verknüpft ist eine Analyse der Umwelt und der Unternehmung.Die Suchphase umfaßt dabei alle Aktivitäten, die vor einer Beurteilung und Ent-scheidung über einzelne Investitionsalternativen erforderlich sind. Es werden In-formationen über die möglichen Handlungsalternativen und die möglichen Um-welteinflüsse und -bedingungen beschafft. Ferner werden die künftig möglichenHandlungsresultate im Hinblick auf die Umweltbedingungen betrachtet, unter de-nen sie eintreffen könnten. In formaler Hinsicht können die Resultate der Such-phase als mögliche Handlungen (Planalternativen) und deren Konsequenzen inAbhängigkeit von den erwarteten Umweltzuständen beschrieben werden. In derEntscheidungstheorie nennt man dies eine Ergebnismatrix. Ein wichtiger Hand-lungsschwerpunkt in der Suchphase ist die Konstruktion von zulässigen Investi-tionsalternativen, die den zu beachtenden rechtlichen, technischen und wirtschaft-lichen Restriktionen entsprechen, wobei solche Restriktionen im besonderen Ma-ße bei komplexen Sachinvestitionen zu beachten sind. Zu beachtende rechtlicheRestriktionen können innerbetrieblicher Art (z.B. Vereinbarungen mit dem Be-triebsrat) oder außerbetrieblicher (z.B. baurechtlicher, umweltschutzrechtlicheroder arbeitsschutzrechtlicher) Art sein. Zu beachtende technische Restriktionensind z.B. das geforderte physikalische Leistungsvermögen (wie Genauigkeit,Durchsatzmengen usw.) oder die Beherrschung des von der Investition verlangten


1 Vgl. Witte, Eberhard: Phasen-Theorem und Organisation komplexer Entscheidungsverläufe, in: Zeitschrift fürbetriebswirtschaftliche Forschung 1968, S. 625-647.

technischen Know Hows. Restriktionen wirtschaftlicher Art sind etwa die Einpas-sung in das vorhandene Betriebsgefüge, die Sicherstellung der Deckung des erfor-derlichen Kapitalbedarfs oder die Beachtung der Finanzierungsgrenzen, die sichaus einem festgelegten Investitionsbudget ergeben. Unter dem Gesichtspunkt derKonstruktion von Investitionsalternativen ist die Trennung zwischen Entscheidun-gen über isolierte Investitionen, die per se Alternativen sind, und Entscheidungenüber Investitionsprogramme zu sehen, wobei die Investitionsprogramme als kom-plexe Investitionsalternativen unter Beachtung zeitlich horizontaler und vertikalerInterdependenzen gebildet werden1. Investitionsalternativen, die die zu beachten-den Restriktionen verletzen, stellen keine zulässigen Investitionsalternativen darund brauchen im weiteren Entscheidungsprozeß nicht mehr beachtet zu werden.Mit der Bewertungs- und Entscheidungsphase findet der Willensbildungsprozeßseinen Abschluß, da am Ende die Entscheidung für eine Investitionsalternativesteht, die verwirklicht werden soll. Es werden hier die prognostizierten Wirkungender einzelnen Handlungsmöglichkeiten hinsichtlich ihres Beitrags zur erwartetenZielerfüllung bewertet (Bewertungsphase). Dies geschieht durch die Anwendungmehr oder minder komplexer Investitionsrechnungsmethoden, die im Mittelpunktder weiteren Vorlesungen stehen werden. Die Bewertung führt dazu, daß die zurAuswahl stehenden Alternativen in eine Rangordnung gebracht werden, so daßdie beste Alternative ausgewählt werden kann (Entscheidungsphase). Dabei soll-te man sich der Grenzen jeder rechnerischen Entscheidungsvorbereitung bewußtsein. Mit der Entscheidung für die beste Alternative ist die eigentliche Planung be-endet. Diese Entscheidung ist als Verabschiedung eines Investitionsplans anzuse-hen, den es zu verwirklichen gilt. Während die Phasen der Anregung oder Problemstellung, der Suche sowieder Bewertung und Entscheidung zum Willensbildungsprozeß gehören, fälltdie Realisationsphase in den Prozeß der Willensdurchsetzung. In der Realisationsphase findet die Durchsetzung der gewählten Handlungsmög-lichkeit in der betrieblichen Praxis statt. In dieser Phase lassen sich unter demBlickwinkel der Überführung eines Plans in die Wirklichkeit zwei Aktivitäts-schwerpunkte unterscheiden, nämlich einerseits vorbereitende Aktivitäten fürdie Planausführung und andererseits die unmittelbaren Aktivitäten der Plan-ausführung. Bei einer erweiterten Betrachtung der Realisationsphase umfaßt die-se auch die Nutzung der realisierten Investitionsalternative (Betriebsphase).Die vorbereitenden Aktivitäten für die Planausführung konzentrieren sich aufdrei Gesichtspunkte :

1. Information der Planempfänger über die auf sie jeweils entfallendenTeilziele und Teilpläne und Einzelheiten der Planausführung (Wissen), 2. Schaffung der organisatorischen, sachlichen und persönlichen Voraus-setzungen zur Planverwirklichung (Können) und 3. Motivation der Mitarbeiter zur Planverwirklichung durch entsprechendeAnreize (Wollen).


1 Vgl. Jacob, Herbert: Neuere Entwicklungen in der Investitionsrechnung, in: Zeitschrift für Betriebswirtschaft1964, S. 502-507; Adam, Dietrich: Das Interdependenzproblem in der Investitionsrechnung und die Möglichkei-ten einer Zurechnung von Erträgen auf einzelne Investitionsobjekte, in: Der Betrieb 1966, S. 989-993; Jacob,Herbert: Kurzlehrbuch Investitionsrechnung, 3. A., Wiesbaden 1984, S. 20-24.

Die unmittelbaren Aktivitäten der Planausführung bedeuten die Umsetzungdes Investitionsplans in der betrieblichen Wirklichkeit. Sie beginnen mit der Frei-gabe entsprechender Mittel und setzen sich bei Sachinvestitionen fort über Be-schaffungsaktivitäten, Installationsaktivitäten, Erprobungsaktivitäten und vielfälti-ge Koordinationsaktivitäten für einen störungsfreien Ablauf der Realisation.Die Nutzung der realisierten Investitionsalternative beginnt mit der Inbetrieb-nahme der Sachinvestition und endet leistungswirtschaftlich mit der Stillegung, fi-nanzwirtschaftlich mit dem Eingang eines etwaigen Liquidationserlöses. An die Phase der Realisation schließt sich die Kontrollphase an. Sie ist notwen-dig, um zu erkennen, inwieweit der Plan verwirklicht worden ist. Die Planungkann ohne Kontrolle ihre Aufgabe, betriebliche Prozesse zielgerichtet zu steuern,nicht erfüllen. Ohne Kontrolle ist Planung sinnlos. Ohne Planung ist wieder-um Kontrolle unmöglich. Nicht disziplinarische Gesichtspunkte stehen im Vor-dergrund der Kontrolle, sondern die Verbesserung zukünftigen Planens und Reali-sierens. Für die Kontrolle ist die Feststellung der Durchführungsresultate und da-mit der tatsächlichen Wirkungen des Plans (Ist-Werte) erforderlich. Die Ist-Wertewerden mit den Daten des Plans (Soll-Werte) verglichen. Ein solcher Soll-Ist-Ver-gleich wird jedoch erst aussagekräftig, wenn man die Ursachen möglicher Unter-schiede zwischen Ist-Werten und Soll-Werten kennt. Daher schließt sich an denVergleich eine Analyse der Kontrollergebnisse (Abweichungsanalyse) an, um dieUrsachen für die festgestellten Abweichungen zwischen den Planausführungsda-ten und den Planzieldaten aufzudecken. Diese Abweichungen können in allenPhasen des Entscheidungsprozesses ihre Ursache haben. Kontrollvorgänge sindnicht bloß im Nachhinein möglich, wie dies das Phasenschema vielleicht sugge-rieren könnte, sondern auch begleitend zu den einzelnen Phasen vorzusehen. Kon-trollen beziehen sich nicht bloß auf Ergebnisse, sondern auch auf die Einhaltungvon Zuständigkeiten und sonstigen Verfahrensvorschriften. Die Investitionskon-trolle wird in späteren Vorlesungen zu vertiefen sein.


B. Schwachstellen im InvestitionsbereichInvestitionsprozesse laufen in der Realität nicht störungsfrei ab. Sie weisen viel-fältige Schwachstellen auf. Wer Verbesserungen im Investitionsbereich vorneh-men will, muß zuvor Schwachstellen analysieren. Hans Blohm und Klaus Lüderhaben die in Abbildung 8 genannten typischen Schwachstellen im Investitionsbe-reich aufgeführt, die kurz erläutert werden sollen1:

Blohm und Lüder konstatieren, daß "in Betrieben aller Größenklassen und Bran-chen häufig anzutreffen (ist), daß gerade der Investitionsbereich spezieller, zweck-mäßiger Organisationsregelungen entbehrt"2. Die Ursachen dafür lägen immenschlich-psychologischen (z.B. Vorrang des Naheliegenden, Ersatz fehlendenWissens durch Intuition und Fingerspitzengefühl) und im sachlichen Bereich (z.B.Prognoseschwierigkeiten, Komplexität).

Schwachstellen imInvestitionsbereich

Mangelndes Organisationskonzept

Fehlen geschlossenerWirkungskreise

“Verwässerung” desBewilligungsverfahrens

Überlastung der Leitungsorgane

Mangelnde Koordinierung derInvestitionsplanung mit anderen

betrieblichen Bereichen

Fehlende Alternativen

Über- oder Unterbewertungsteuerlicher Gesichtspunkte

Fehlende oder ungeeigneteInvestitionsrechnung

Abbildung 9: Schwachstellen im Investitionsbereich


1 Vgl. Blohm, Hans: Die Schwachstellenanalyse als Instrument der Internen Revision - dargestellt am Investitions-bereich im kybernetischen System, in: Interne Revision, 1970, S. 9-16; Blohm, Hans, Lüder, Klaus: Investition,7.A., München 1991, S. 5-57.

2 Blohm, Hans, Lüder, Klaus: Investition, 7.A., München 1991, S. 5.

Selbst wenn Investitionen auf der Grundlage von Kalkülen getroffen und dieDurchsetzung der Entscheidung überwacht werde, fehlten häufig Rückmeldungen.Der Wirkungskreis ist nicht geschlossen. "Es wird bei Fehlen der Rückmeldungnicht geprüft, wieweit die Erwartungen des Kalküls auch tatsächlich eintreten,welche Abweichungen zu verzeichnen sind, auf welchen Ursachen die Abwei-chungen beruhen und welche organisatorischen Mängel vorliegen"1. In der Tat istdie Investitionskontrolle eine besondere Schwachstelle in der Praxis, aber auch inder theoretischen Behandlung und in der Investitionslehre."Das Rückgrat eines geordneten Investitionswesens ist ein eindeutig festgelegtesBewilligungsverfahren auf der Grundlage objektiven und ausreichenden Informa-tionsmaterials"2, wobei Ausnahmefälle für Kleininvestitionen, um die Sachkennt-nis vor Ort bei Kleininvestitionen zu nutzen, aber auch im Sinne von Sonderbe-willigungen (z.B. wegen entsprechender Konkurrenzaktivitäten) und Nachtragsbe-willigungen (z.B. wegen technischer Änderungen oder Preissteigerungen) keinenWiderspruch dazu bilden, um flexibel auf geänderte und unvorhersehbare Ereig-nisse reagieren zu können. Solche sinnvollen Ausnahmen würden indes oft miß-braucht, um das normale Bewilligungsverfahren zu unterlaufen, um Sonderinter-essen durchzusetzen, um "Schwarze Investitionen" durchzuführen, wobei es auchzu "Manipulationen des Unterlagenmaterials" wie Zerlegung in "Kleininvestitio-nen" kommen könne3. Organisationslücken zusammen mit (schlechtem) Betriebs-klima und autoritärem Führungsstil ("grundlose" Ablehnung von Investitionsan-trägen, "alles" an sich ziehen) werden als Ursachen für die Bevorzugung von Sei-tenwegen und die dadurch eintretende "Verwässerung" des normalen Bewilli-gungsverfahrens genannt. Nicht jede Investition berührt die Unternehmung als Ganzes. Wird dies nicht be-achtet, so kommt es wegen der fehlender Delegation von Entscheidungen zuÜberlastungen der Leitungsorgane mit der Folge unzureichender Vorbereitungvon Investitionsentscheidungen. "Soll die Entlastung der Leitung durch Delega-tion nicht eine isolierte Maßnahme des Investitionsbereichs bleiben, so muß diegesamte Organisation nach den Grundsätzen der Dezentralisation, der Delegationund des Management by Exception aufgebaut sein"4. Bei Großunternehmen undKonzernen ist eine Arbeitsteilung der Leitungsfunktionen, d.h. die Verteilung vonLeitungsfunktionen auf verschiedene Hierarchieebenen, schon wegen des Ar-beitsumfangs erforderlich.

Blohm und Lüder5 sehen insbesondere Koordinationsmängel zwischen der Inve-stitionsplanung und der Finanzplanung, der Produktionsplanung und der Absatz-planung. Ferner weisen sie auf eine unzureichende Beachtung der Zusammenhän-ge mit der Anlagenwirtschaft hin, etwa wenn kurz vor der Ersetzung einer Anlagenoch erhebliche Instandhaltungen durchgeführt werden, oder auch mit dem Be-reich Forschung und Entwicklung, wenn bei der Entwicklung neuer Betriebsmittelzu sehr auf technische Leistungsmerkmale abgestellt wird.



2 Ebenda, S. 22.


4 Ebenda, S. 28.


Jede Entscheidung setzt eine Wahlsituation voraus. Fehlende Alternativen heißtim Extrem, daß keine Wahlsituation, sondern eine Zwangssituation vorliegt. Diesist nach Blohm und Lüder oftmals bei Ersatzinvestitionen gegeben, "da in diesemBereich die Gewohnheit verbreitet ist, einen technisch bedingten Ersatz auch wirt-schaftlich als unbedingt erforderlich anzusehen, was aber keinesfalls immer fest-steht. So kann das Unbrauchbarwerden einer Anlage durchaus Anlaß sein, einenProduktionszweig aufzugeben, bisher selbst erstellte Vorerzeugnisse fremd zu be-ziehen usw."1. Aber auch außerhalb des Bereichs der Ersatzinvestitionen wird dieEntscheidungssituation oftmals dadurch verkürzt, daß man unsystematisch vor-geht, daß die Investitionssuche auf ganz wenige Möglichkeiten eingeengt wird,daß man sich auf eingefahrenen Gleisen bewegt und Scheu davor hat, Alternativenaußerhalb des Üblichen überhaupt in Erwägung zu ziehen oder daß man sich in ei-ne Zwangssituation bringt, weil der gesamte Planungsprozeß zu spät eingeleitetwird, so daß keine Zeit mehr bleibt2.

Nach Blohm und Lüder3 kann es zu einer Unter- oder Überschätzung steuerlicherKonsequenzen bei der Investitionsbeurteilung kommen. Nach dem Motto "Steuernspielen keine Rolle!" oder "Steuerwirkungen machen eine Investition wirtschaft-lich!" Beides ist in dieser absoluten Form abwegig. "Investitionsrechnungen dienen der Vorbereitung von Investitionsentscheidungen.Sie sollen rationale Entscheidungen ermöglichen, nicht aber die Entscheidung vor-wegnehmen. Eine 'Entscheidung durch Rechnung' wäre nur denkbar, wenn sichalle für die Entscheidung notwendigen Überlegungen quantifizieren und simultanin einer Rechnung berücksichtigen lassen. Diese Voraussetzung ist aber grund-sätzlich nicht erfüllt. … Die Aufgabe der Investitionsrechnung besteht darin, einwesentliches Kriterium für die Investitionsentscheidung zu liefern. Dadurch solldie Treffsicherheit der Entscheidungen erhöht und das Risiko der Vornahme vonFehlinvestitionen vermindert werden. Es wäre also verfehlt anzunehmen, daß dieDurchführung von Investitionsrechnungen Fehlinvestitionen unmöglich macht"4.Die Investitionsrechnung kann sowohl bei fehlender als auch bei Anwendung un-geeigneter oder unvollständiger Investitionsrechnungen zur Schwachstelle wer-den.



2 Vgl. ebenda, S. 34.


4 Ebenda, S. 45.

C. Grundlagen der InvestitionsorganisationFragen der Investitionsorganisation gehören nicht zu den in der Investitionslitera-tur besonders häufig oder breit erörterten Problemstellungen. Im Gegenteil, siezählen eher zu den Randthemen der Investitionsliteratur, und vor allen Dingenfehlt es an zusammenfassenden und ordnenden Gesamtdarstellungen für diesesGebiet. Ein Indiz dafür ist zum Beispiel auch, daß es zum Bereich der Investi-tionsorganisation in den einschlägigen Handwörterbüchern keine gesondertenStichwörter gibt. Die bestehende Lücke kann durch die Vielzahl empirisch orien-tierter Untersuchungen über das Investitionsverhalten, in denen auch Fragen derOrganisation von Investitionsprozessen angesprochen werden, nicht geschlossenwerden. Hinzu kommt, daß diese in ihren Untersuchungsrichtungen divergieren,so daß ihre Ergebnisse wenig vergleichbar und in aller Regel auch nicht als reprä-sentativ gelten können1.Das Thema der Investitionsorganisation soll im Rahmen dieser Vorlesung nicht –wie sonst üblich – übergangen werden, aber es kann aus zeitlichen Gründen auchnicht sehr vertieft werden. Der Organisationsbegriff kann institutionell, strukturell und funktionell interpre-tiert werden. Im institutionellen Sinne ist Organisation ein arbeitsteiliges undzielgerichtetes Handlungssystem. Im strukturellen Sinne bedeutet Organisationdie Gesamtheit von Regelungen zur zielgerichteten Steuerung eines solchen Sy-stems. Im funktionellen Sinne meint Organisation den Vorgang der Schaffungund Veränderung solcher Regelungen. Der Begriff der Investitionsorganisationwird hier im Sinne des strukturellen Organisationsbegriffs verstanden. Investi-tionsorganisation ist die Gesamtheit von generellen und fallweisen Regelungenzur zielgerichteten Steuerung (Planung, Realisation, Kontrolle) von Investi-tionen in einer Unternehmung. Diese Regelungen können sich einerseits auf die zu lösenden Aufgaben (Aufbau-organisation) und andererseits auf den Ablauf der Aufgabenbewältigung (Ab-lauforganisation) beziehen. Die Investitionsaufbauorganisation bezieht sich auf die Aufgaben, die es zu lö-sen gilt, und ordnet diese bestimmten Teileinheiten (Stellen) zu. Außerdem wirdder aufgrund der zu lösenden Aufgaben gegebene Beziehungszusammenhang zwi-schen diesen Teileinheiten hinsichtlich Kommunikations- und Weisungsbefugnis-sen (Kommunikations- und Leitungssystem) betrachtet. Für die Gestaltung der In-vestitionsaufbauorganisation ist die Investition als Gesamtaufgabe in einzelneTeilaufgaben zu zerlegen (Aufgabenanalyse) und dann denjenigen Stellen zuzu-ordnen, die diese Aufgaben zu erfüllen haben (Aufgabensynthese). Bei der Aufga-


1 Vgl. hierzu Gutenberg, Erich: Untersuchungen über die Investitionsentscheidungen industrieller Unternehmen,Köln, Opladen 1959; Kosiol, Erich, u.a.: Die Organisation von Investitionsentscheidungen, in: Kosiol, Erich(Hrsg.): Organisation des Entscheidungsprozesses, Berlin 1959, S. 23-105; Oursin, Thomas: Probleme industriel-ler Investitionsentscheidungen, München, Berlin 1962; Klümper, Peter: Die Organisation von Entscheidungs-prozessen zum Kauf von Industrieanlagen, Diss. Mannheim 1969; Scheer, August-Wilhelm: Die industrielle In-vestitionsentscheidung, Wiesbaden 1969; Meier, Reto: Planung, Kontrolle und Organisation des Investitionsent-scheides, Diss. Bern 1970; Köhler, Wolfgang: Der Entscheidungsprozeß bei strategischen Unternehmungsinve-stitionen, Diss. Freiburg 1971; Zimmermann, Ewald: Koordination der Investitionsentscheidungen bei divisiona-ler Organisationsstruktur, Bochum 1974; Budde, Andreas: Die Organisationsstruktur von Investitionsentschei-dungen in Unternehmungen, Frankfurt, Bern, Las Vegas 1979; Staehelin, Erwin: Investitionsentscheide in indu-striellen Unternehmungen, Grüsch 1988.

benanalyse kann man sich dabei vom Grundsatz her sachlicher (wie Verrichtung,Objekt) und formaler (wie Rang, Phase) Gliederungsmerkmale bedienen, wobeiVerrichtung im Sinne von Investitionszweck und Objekt im Sinne von Investi-tionsobjekt am wichtigsten sein dürften1. Die unterschiedenen Aufgaben könnenunter den Gesichtspunkten der Zentralisation oder Dezentralisation auf die Stellenverteilt werden (Aufgabensynthese). Diese Investitionsaufbauorganisation kannfreilich nicht losgelöst von der allgemeinen Aufbauorganisation betrachtet wer-den, sondern muß beachten, welche organisatorischen Grundstrukturen (funktio-nale, divisionale, Matrixorganisation) die betreffende Unternehmung realisiert hat.In der Regel dürfte auch gelten, daß die im Zusammenhang mit Investitionen zuerfüllenden Aufgaben auf eine Mehrzahl von Stellen verteilt sind, die sich wieder-um nicht ausschließlich mit Investitionsproblemen befassen, so daß für die Inve-stitionsaufbauorganisation ein hoher Grad an Dezentralisation, d.h., eine Vielzahlvon betrieblichen Stellen ist damit befaßt, und mithin ein geringer Grad an Spezia-lisierung typisch sein dürfte, d.h., die Stellen befassen sich in der Regel nicht aus-schließlich mit Fragen der Investition2.Die Investitionsablauforganisation bezieht sich auf die Art und Weise der Auf-gabenerfüllung. Voraussetzung für solche ablauforganisatorischen Regelungen imInvestitionsbereich ist freilich, daß die zu erfüllenden Aufgaben inhaltlich undzeitlich gesehen ein hohes Maß an Stabilität aufweisen, so daß generelle Regelun-gen hinsichtlich der Aufgabenerfüllung zweckmäßig sind. AblauforganisatorischeHilfsmittel können dabei Investitionsformulare, Investitionsrichtlinien oder Inve-stitionshandbücher sein, die Verhaltensvorschriften in bezug auf den formalen, in-haltlichen und zeitlichen Ablauf konkretisieren3. Kern des strukturellen Investitionsorganisationsbegriffs sind generelle und fall-weise Regelungen. Ausgehend von den Phasen des Investitionsentscheidungspro-zesses4 können vereinfachend vier Regelungskomplexe der Investitionsorgani-sation unterschieden werden:

1. Regelungen über Initiierung und Weitergabe von Investitionsvor-schlägen, die sich auf die Problemstellungs- und Anregungsphase sowieauf die Suchphase beziehen,

2. Regelungen über die Beurteilung und Auswahl von Investitionsan-trägen, die sich auf die Beurteilungs- und Entscheidungsphase beziehen,

3. Regelungen über die Investitionsdurchführung, die die Phase derVorbereitung und der eigentlichen Verwirklichung betreffen, sowie

4. Regelungen über die Kontrolle der Investitionsaktivitäten.


1 Vgl. Budde, Andreas: Die Organisationsstruktur von Investitionsentscheidungen in Unternehmungen, Frankfurt,Bern, Las Vegas 1979, S. 117.

2 Vgl. ebenda, S. 107-109.

3 Vgl. die Wiedergabe von drei Investitionsrichtlinien mit Investitionsformularen bei Adelberger, Otto L., Günt-her, Horst H.: Fall- und Projektstudien zur Investitionsrechnung, München 1982, S. 47-77, 85-88, 98-105; fernerInvestitionsformulare bei Knappmann, Gerd: Betriebliche Investitionswirtschaft, Köln, Opladen 1970, S. 49-50.

4 Vgl. hierzu auch Brandt, Horst: Investitionspolitik des Industriebetriebs, Wiesbaden 1959, S. 158-219; Frese,Erich: Grundlagen der Organisation, 4. A., Nachdruck, Wiesbaden 1991, S. 542-547.

Betriebliche Investitionsmöglichkeiten sind keine Gegebenheiten, die der Unter-nehmung zufallen und von denen sie auszugehen hat, sondern Ergebnisse vonSuch- und Gestaltungsprozessen, die im Phasenschema des Investitionsentschei-dungsprozesses mit den Begriffen Anregung, Problemstellung, Suche umschrie-ben werden. Die Unternehmungsleitung kann die damit verbundenen Aufgabennicht allein lösen, sondern muß sie weitgehend an nachgeordnete Stellen und Ab-teilungen delegieren. Organisatorische Regelungen über Initiierung und Wei-tergabe von Investitionsvorschlägen betreffen einerseits den Kreis der Vor-schlagsberechtigten oder Vorschlagsverpflichteten. Durch diese Regelungensoll sichergestellt werden, daß keine Informationen, die auf Investitionsbedarfeschließen lassen, unbeachtet bleiben. Der Kreis der Vorschlagsberechtigten wirdregelmäßig weit gezogen. Im Grundsatz ist jedermann vorschlagsberechtigt. Dabeisind auch Außenstehende mit eingeschlossen, die zum Teil - wie Gewerbeauf-sichtsämter – Rechte haben, die weit über ein bloßes Anregungsrecht hinausge-hen. Vorschlagsverpflichtet sind solche Stellen, in denen investitionsrelevante In-formationen im besonderen Maße anfallen. Bezogen auf Ersatz- und Rationalisie-rungsinvestitionen sind dies etwa Leiter der Reparaturabteilung, der Fertigungs-vorbereitung und Fertigungskontrolle. In bezug auf Ersatz-, Rationalisierungs-,Modernisierungs-, aber auch Erweiterungsinvestitionen sind dies nicht zuletzt dieLeiter der Fertigungsstellen. Bezogen auf Verbesserungs- und Erweiterungsinve-stitionen kommen die Leiter der Vertriebsstellen hinzu. Bei Erweiterungs- und Di-versifikationsinvestitionen ist insbesondere die Unternehmungsleitung selber ge-fordert. Zu den Stellen, in denen investitionsrelevante Informationen im besonde-ren Maße anfallen, gehören auch Stabsstellen und Stabsabteilungen wie das inner-betriebliche Rechnungswesen, die interne Revision, aber etwa auch der Betriebs-arzt. Bei divisionaler Organisation sind in besonderer Weise die Spartenleitungengefordert, die generell eine Pflicht für die Entwicklung von spartenbezogenen In-vestitionsprojekten unter Berücksichtigung der allgemeinen und langfristig gelten-den strategischen Zielsetzungen der Unternehmungsleitung haben. Bei den Rege-lungen zur Initiierung von Investitionsvorschlägen sollte auch das Problem, daßdie Anregung oftmals selber angeregt werden muß, nicht vergessen werden. Ne-ben Regelungen zum Initiativrecht oder zur Initiativpflicht sind auch Regelungenüber die Weitergabe der Investitionsvorschläge erforderlich. Denn bei einer Viel-zahl von möglichen Initiativstellen muß bekannt sein, an wen die Investitionsanre-gungen weiterzugeben sind und welche inhaltlichen, formalen und zeitlichen Ge-sichtspunkte etwa dabei zu beachten sind. Bei einem mehrstufigen Weitergabepro-zeß muß das Problem der Abfilterung von Investitionsanregungen durch solcheZwischenstellen bedacht werden; denn eine Nicht-Weitergabe einer Investitions-anregung kommt einer Negativentscheidung gleich.Die organisatorischen Regelungen über die Beurteilung und Auswahl von In-vestitionsanträgen sind in Abhängigkeit von der allgemeinen Organisationsformund den daraus folgenden Kompetenzregelungen zu sehen. Eine Regelungsmög-lichkeit besteht darin, 1. daß Kleininvestitionsfonds geschaffen werden, 2. daß fürInvestitionen, die nur einen Unternehmungsbereich betreffen, auf der Basis festge-legter Investitionsbudgets die jeweilige Bereichsleitung in Abstimmung mit derUnternehmungsleitung entscheiden kann, 3. daß für die Abstimmung von Investi-tionen, die mehrere Unternehmungsbereiche betreffen, Investitionsausschüsse zurKoordination eingesetzt werden und die Beschlußfassung durch die Unterneh-


mungsleitung auf der Basis von Beschlußempfehlungen erfolgt und 4. daß fürGroßinvestitionen die Unternehmungsleitung zusammen mit dem Aufsichtsorgandie Entscheidungen trifft. Die eingeschalteten Investitionsausschüsse können da-bei als Beratungs- und/oder als Entscheidungskollegien gestaltet sein1.Regelungen über die Investitionsdurchführung betreffen vor allem die vorbe-reitenden und weniger die eigentlich ausführenden Aufgaben. Die (positive) Ent-scheidung über einen Investitionsantrag kann bedeuten, daß dieser Antrag ledig-lich weiterverfolgt werden soll, also etwa in ein mittel- oder langfristiges Investi-tionsprogramm eingestellt werden soll oder daß er ausführungsreif vorzubereitenist, wobei jedoch noch eine Ausführungsgenehmigung einzuholen ist, oder daß erunmittelbar umgesetzt werden kann. Diesen unterschiedlichen Entscheidungstat-beständen sind die organisatorische Regelungen über die Investitionsdurchführunganzupassen. Im ersteren Fall hat der Investitionsantrag lediglich eine wesentlicheHürde genommen. Es muß dann darum gehen, diese Entscheidung etwa im Wegeeiner rollierenden Planung informationsmäßig zu untermauern, damit zu späterenEntscheidungsterminen wieder darüber befunden werden kann. Der zweite Fallbetrifft neben Gesichtspunkten der technischen Ausführung auch die Terminsteue-rung der Ausführung unter finanziellen, kapazitativen oder absatzmäßigen Ge-sichtspunkten. Im dritten Fall geht es um Regelungen im Hinblick auf die Einlei-tung der erforderlichen Beschaffungsaktivitäten. Regelungen über die Kontrolle der Investitionsaktivitäten betreffen die Fragendes Kontrollobjekts, des Kontrollzeitpunkts, der Kontrollhäufigkeit, der Art undWeise der Kontrollen, der Kontrollorgane, der Weitergabe der Kontrollinformatio-nen usw.. Auf die Investitionskontrolle soll später noch ausführlicher eingegangenwerden.

In der nachfolgenden Abbildung 10 wird in Anlehnung an Blohm und Lüder2 einmöglicher Ablauf des Investitionsentscheidungsprozesses hinsichtlich der Phaseder Willensbildung dargestellt. Als beteiligte Stellen werden in diesem Schema ei-ner Investitionsablauforganisation der Antragsteller, die Bereichsleitung und dieUnternehmungsleitung (einschließlich zentraler Stabsstellen) unterschieden. Indiesem Ablauforganisationsschema wird davon ausgegangen, daß alle Anträgeüber die Bereichsleitung gehen, wobei diese z.T. darüber entscheiden kann. Ande-re Investitionsanträge übersteigen die Entscheidungskompetenz der Bereichslei-tung und sind an die Unternehmungsleitung mit einer Stellungnahme weiterzuge-ben. Die Überprüfung der Investitionsanträge durch die Bereichsleitung umfaßt ei-nerseits die Überprüfung der Vollständigkeit der Unterlagen (gegebenenfalls de-ren Ergänzung), andererseits die Überprüfung unter technischen und wirtschaftli-chen Gesichtspunkten unter Berücksichtigung der Zielvorgaben für die Bereichs-leitung. Die Entscheidung der Bereichsleitung führt zu einer Klassifizierung derAnträge in vorläufig genehmigte, die weiter zu verfolgen und zu konkretisierensind, in zur Ausführung genehmigte, in abgelehnte und in mit einer Stellungnah-me weitergeleitete Anträge. Die an die Unternehmungsleitung weitergeleiteten In-vestitionsanträge werden dort gesammelt sowie ebenfalls formal und inhaltlich


1 Vgl. Kosiol, Erich, und Mitarbeiter: Kollegien als Organisationsformen der Entscheidung, Beratung und Infor-mation, in: Kosiol, Erich: Organisation des Entscheidungsprozesses, Berlin 1959, S. 107-208.


unter technischen und vor allen Dingen wirtschaftlichen, die Unternehmungsge-samtziele beachtenden Gesichtspunkten überprüft.

Antragsteller Bereichsleitung Unternehmungsleitung

Sammlung der Anträge

Überprüfungder Anträge

Entscheidung über die Anträge

A B C D

Sammlung der Anträge1. Antragstellung

2. Antragstellung

Überprüfungder Anträge

Entscheidung über die Anträge

E F G

A = vorläufig genehmigte AnträgeB = genehmigte AnträgeC = abgelehnte AnträgeD = mit Stellungnahme weitergeleitete Anträge

E = vorläufig genehmigte AnträgeF = genehmigte AnträgeG = abgelehnte Anträge

Abbildung 10: Schaubild einer möglichen Investitionsablauforganisationnach Blohm und Lüder


4./5. Vorlesung:

Zielsetzungen für Investitionskalküle und Entscheidungen über das

Investitionsvolumen

Im Mittelpunkt von Teil A. dieser Vorlesungen stehen Ausführungen zu den Ziel-setzungen für Investitionskalküle. In den Teilen B. und C. werde ich mich mitProblemen der Entscheidung über das Investitionsvolumen befassen, wobei imTeil B. Entscheidungen über das Sach- und Finanzinvestitionsvolumen undim Teil C. Entscheidungen über Konsum und Investition erörtert werden.

A. Zielsetzungen für InvestitionskalküleDie Beurteilungsverfahren von Investitionen werden Investitionskalküle oder In-vestitionsrechnungen genannt. Gemeint sind insbesondere solche Beurteilungs-verfahren, die auf monetär meßbaren Konsequenzen der Investitionstätigkeit auf-bauen. Sie werden im Mittelpunkt aller weiteren Ausführungen stehen. Sollte da-von abgewichen werden, so wird dies ausdrücklich erwähnt werden. Die monetäreMessung von Investitionskonsequenzen beinhaltet die Anwendung einer absolu-ten Relationsskala. Auf der Basis einer solchen Meßskala sind alle Rechenopera-tionen zulässig.Geht es um die Vorbereitung einer Investitionsentscheidung, so handelt es sich umPlanungs- oder Vorrechnungen. Geht es um die Überprüfung einer Investitions-entscheidung, so handelt es sich um Kontroll- oder Nachrechnungen. Im Vor-dergrund werden die Investitionsrechnungen als Planungsrechnungen stehen.Wenn Kontrollrechnungen gemeint sind, so wird dies ausdrücklich hervorgehobenwerden.Nach dem Investitionsbegriff i.e.S. wird die Investition durch ihren Zahlungs-strom dargestellt, der mit anfänglichen Auszahlungen beginnt, an die sich nachfol-gend Einzahlungen anschließen. Wenn nicht etwas anderes ausgeführt wird, ste-hen die Begriffe Einzahlungen und Auszahlungen für Überschußgrößen. D.h.,Ein- und Auszahlungen, die zeitgleich erwartet werden, gehen als Saldogrößen indie Investitionsrechnung ein.Mit dem Bild vom Zahlungsstrom wird ein kontinuierlicher Anfall der Einzah-lungen und Auszahlungen im Zeitablauf verbunden. Diese Vorstellung eines kon-tinuierlichen Zu- und Abflusses von Zahlungsmitteln ist sicherlich bezogen aufSachinvestitionen weitgehend realitätsgerecht. In bezug auf Finanzinvestitionenhingegen trifft eine diskontinuierliche Darstellung im Sinne einer Zahlungsreiheeher den realen Sachverhalt. Aus Gründen der einfacheren rechnerischen Handha-bung wird indes meist auch in denjenigen Fällen, in denen eine kontinuierlicheBetrachtung möglich wäre, von einer diskontinuierlichen Betrachtung ausgegan-gen, indem die Zahlungen innerhalb einer Periode P als zu einem bestimmtenZeitpunkt t anfallend behandelt werden. Diese Vereinfachung führt dazu, daß dergesamte Investitionszeitraum Z in eine Anzahl T = Z/P Perioden gleicher Zeitlän-ge P eingeteilt wird. Die einzelnen Perioden Pτ werden durch äquidistante, alsogleichweit entfernte Zeitpunkte abgegrenzt, wobei die Periode Pτ im Zeitpunkt tτ–1beginnt und im Zeitpunkt tτ endet. Als Bezugszeitpunkt für die Berücksichtigungder innerhalb einer Periode anfallenden Zahlungen wird üblicherweise das Perio-denende, also der Zeitpunkt tτ, genommen. Eine Ausnahme bilden lediglich dieAnfangsauszahlungen einer Investition. Diese werden dem Entscheidungszeit-punkt zugeordnet. Der Entscheidungszeitpunkt wird üblicherweise als Zeitpunkt t= 0 oder t0 bezeichnet.

58 4./5. Vorlesung: Zielsetzungen und Entscheidungen über das Investitionsvolumen

Die Aus- und Einzahlungen einer Investition sind dabei nicht bloß finanzwirt-schaftliche Kategorien, sondern zugleich diejenigen Größen, anhand derer die In-vestition beurteilt wird. Das Interesse des Investors an der Investitionstätigkeitist demgemäß rein pekuniärer Natur. Es gilt allein der Zunahme (Einzahlungen)oder Abnahme (Auszahlungen) seines Zahlungsmittelbestands, scherzhaft gesagt,der Investor leidet am Dagobert-Duck-Syndrom. Welche Motive hinter dieserInteressenlage stehen, ist für die Investitionsbeurteilung unerheblich. Um das Ganze jedoch ein wenig anschaulicher zu machen, soll zwischen einemEinkommensmotiv (Entnahmemotiv, Entnahmestreben) und einem Vermögens-motiv (Vermögensstreben) unterschieden werden1. Die Investition kann aus derSicht des Investors der Einkommenserzielung und/oder der Vermögensmehrungdienen. Das Einkommensmotiv führt zum Wunsch, möglichst viele Zahlungsmit-tel während der Investitionsdauer aus der Unternehmung als Einkommen entneh-men zu können (Einkommensmaximierung, Entnahmemaximierung). DasVermögensmotiv führt unter den gemachten Annahmen zum Wunsch, möglichstviel liquides Vermögen am Ende der Investitionsdauer zu haben (Vermögensma-ximierung). Fällt das Ende der Investitionsdauer mit dem Unternehmungsendezusammen, so führt das Vermögensmotiv zum Wunsch, einen möglichst hohen(Netto-)Liquidationserlös (Liquidationserlösmaximierung) zu erzielen. Entnah-memaximierung und Vermögensmaximierung sind nur dann operational, wenn beiEntnahmemaximierung eine Aussage über das gewünschte Vermögen am Endedes Betrachtungszeitraums und bei Vermögensmaximierung eine Aussage überdie gewünschten Entnahmen während der Betrachtungszeitraums gemacht wird.Denn je kleiner das gewünschte Vermögen am Ende des Betrachtungszeitraums,desto größer können die Entnahmen während des Betrachtungszeitraums sein, undumgekehrt. Wird sowohl Wert auf laufende Entnahmen als auch auf ein Vermö-gen am Ende des Betrachtungszeitraums gelegt, so liegt eine sogenannte Wohl-standsmaximierung (Wohlstandsstreben) vor2.

Benutzt man die Terminologie der Entscheidungstheorie3, so werden die Investi-tionen auf der Basis einer homogenen Ergebnisdefinition (Veränderung des Zah-lungsmittelbestands) beurteilt. Bei einer homogenen Ergebnisdefinition kann derinteressierende Sachverhalt (Ergebnis) drei Merkmale, nämlich Höhenmerk-mal, Zeitmerkmal und Sicherheitsmerkmal, aufweisen. Werden Präferenzenniederer Ordnung zugrundegelegt, so sind drei unabhängige Aussagen über dieErwünschtheit dieser Merkmale, nämlich Höhenpräferenz, Zeitpräferenz und Si-cherheitspräferenz, erforderlich. Mit der Höhenpräferenz wird eine Aussage gemacht, wie der Investor unter-schiedliche Extensionen des ihn interessierenden Sachverhalts bewertet, "wie sich

4./5. Vorlesung: Zielsetzungen und Entscheidungen über das Investitionsvolumen 59

1 Vgl. hierzu auch Schneider, Dieter: Investition, Finanzierung und Besteuerung, 6. A., Nachdruck, Wiesbaden1991, S. 70-74; Schneider, Dieter: Ziele, finanzwirtschaftliche, in:Handwörterbuch der Finanzwirtschaft, Stutt-gart 1976, Sp. 1917-1927.

2 Vgl. hierzu auch Schneider, Dieter: Investition, Finanzierung und Besteuerung, 6. A., Nachdruck, Wiesbaden1991, S. 71; ferner Gans, Bernd, Looss, Wolfgang, Zickler, Dieter: Investitions- und Finanzierungstheorie, 2. A.,München 1974, S. 13.

3 Vgl. Matschke, Manfred Jürgen: Der Entscheidungswert der Unternehmung, Wiesbaden 1975, S. 78-100;Sieben, Günter, Schildbach, Thomas: Betriebswirtschaftliche Entscheidungstheorie, 3. A., Düsseldorf 1990, S.23-30; Bamberg, Günter, Coenenberg, Adolf Gerhard: Betriebswirtschaftliche Entscheidungstheorie, 6. A., Mün-chen 1991, S. 26-28.

also ceteris paribus bei Variation nur der Höhe von Ergebnissen deren Grad derErwünschtheit für den Entscheidungsträger ändert"1. Üblicherweise wird ein line-arer Verlauf unterstellt, d.h., die Wertvorstellung hinsichtlich des Höhenmerkmals(Höhenpräferenz) verändert sich proportional zur Ergebnishöhe. Ausreichend fürdie weiteren Überlegungen ist indes eine streng monoton (steigend, fallend) ver-laufende Höhenpräferenz. Angestrebt wird eine extremale (maximale, minimale)Ausprägung des erstrebten Sachverhalts.Die Zeitpräferenz drückt die Vorliebe für eine bestimmte Verteilung der Ergeb-nisse in der Zukunft aus. Diese Verteilung kann unmittelbar vorgegeben werden,wie dies in den Fällen der Entnahmemaximierung oder der Vermögensmaximie-rung geschieht, sie kann aber auch durch zeitabhängige Gewichtungsfaktoren aus-gedrückt werden. Liegt eine Minderschätzung künftiger Ergebnisse vor und wer-den die zeitabhängigen Gewichtungsfaktoren unter Zuhilfenahme von Marktzins-füßen gebildet, so spricht man von der Diskontierung oder Abzinsung. Im Falledes vollkommenen Kapitalmarktes – beliebige Beträge können zum Marktzinssatzgeliehen oder verliehen werden – ist es möglich, ohne explizite Vorgabe einer ge-wünschten zeitlichen Verteilung der Ergebnisse, d.h., ohne Formulierung einerZeitpräferenz, die Investitionsalternativen vollständig zu ordnen und diejenige zufinden, die – verglichen mit allen anderen – am besten ist. Eine Formulierung derZeitpräferenz ist unter der Bedingung des vollkommenen Kapitalmarktes deshalbnicht erforderlich, weil durch Kapitalmarktoperationen jeder beliebige Zahlungs-strom einer Investition in einen – hinsichtlich der Summe der abgezinsten Zahlun-gen – äquivalenten Zahlungsstrom mit erwünschter zeitlicher Struktur trans-formiert werden kann. Daß die Transformation in die gewünschte zeitliche Struk-tur der Zahlungen gelingt, heißt freilich nicht, daß diese Zahlungen zugleich auchdas jeweils gewünschte (absolute) Niveau (mindestens) erreichen, d.h., einer soformulierten Höhenpräferenz entsprechen. Letzteres ist nur dann der Fall, wenndie Summe der abgezinsten Zahlungen der zu beurteilenden Investition minde-stens gleich der Summe der abgezinsten, betragsmäßig in der Zukunft gewünsch-ten Zahlungen ist. Die Aussage, daß unter den Bedingungen des vollkommenen Kapitalmarktes dieFormulierung einer Zeitpräferenz nicht erforderlich ist, soll an einigen Beispielenerläutert werden. Der Marktzinssatz auf dem vollkommenen Kapitalmarkt solli = 0,1 sein. Den Betrachtungen soll die nachfolgende Investition zugrunde gelegtwerden:

Zeitt

Zahlungen derInvestition

Abzinsungs-faktor

(1+i)-t

Barwerte derInvestitions-zahlungen

0 -1000 1 -1000,001 500 0,909091 454,552 600 0,826446 495,873 300 0,751315 225,39

Summe 175,81


1 Sieben, Günter, Schildbach, Thomas: Betriebswirtschaftliche Entscheidungstheorie, 3. A., Düsseldorf 1990,S. 25.

Die Summe der Barwerte der erwarteten Investitionszahlungen (Kapitalwertder Investition) beträgt im Zahlenbeispiel K = 175,81 GE. Unter den Bedingun-gen des vollkommenen Kapitalmarkts lassen sich aus den Zahlungen der Investi-tion beliebig zeitlich strukturierte erwünschte Zahlungen, die Entnahmen oderVermögen darstellen, mit einem Kapitalwert K = 175,81 GE bilden.Die sog. Entnahmemaximierung, auf die schon hingewiesen worden ist, wirdzumeist als Maximierung gleichbleibender periodischer Entnahmen definiert. Soverstanden ist sie lediglich ein Spezialfall der Maximierung der Entnahmen beibeliebig vorgegebener zeitlicher Struktur in den einzelnen Perioden. Dieserallgemeine Fall soll in der nachfolgenden Tabelle am Beispiel der zeitlichen Ent-nahmestruktur a1:a2:a3 = 2:5:3 betrachtet werden:

Die periodischen Entnahmen Et sind dabei definiert als E1 = a1 • E, E2 = a2 • E undE3 = a3 • E. Die Summe der Entnahmestrukturfaktoren at wird zweckmäßigerweiseauf Eins normiert. Für die zur Berechnung der periodischen Entnahmen Et (imweiteren einschließlich der Möglichkeit einer Entnahme im Entscheidungszeit-punkt t = 0!) benötigte Größe E gilt, daß sie gleich der Summe der nicht abgezin-sten gesuchten Entnahmen Et ist und sich wie folgt berechnen läßt:

Es soll gelten:E = E0 + E1 + E2+…+ET-1 + ET

= a0 ∑E + a 1 ∑E + a 2 ∑E +…+ aT-1 ∑E + a T ∑E

mit att=0

T

∑ = 1.

Es soll ferner gelten:

K = a0 ∑E(1+ i)0 + a1 ∑E

(1+ i)1 +a2 ∑E(1+ i)2 +…+ aT-1 ∑E

(1+ i)T-1 +aT ∑E(1+ i)T

oder

K = E∑ a0

(1+ i)0 + a1

(1+ i)1 +a2

(1+ i)2 +…+ aT-1

(1+ i)T-1 +aT

(1+ i)T⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

oder

Zeit VorgegebeneZeitstrukturder Entnah-

men

Zahlungen beiMaximierungder Entnah-men bei vor-

gegebenerZeitstruktur

(ohne Vermö-gensmehrung)

Barwerte derEntnahmen

0 0 0,00 0,001 2 42,86 38,962 5 107,14 88,553 3 64,29 48,30

Summe 214,29 175,81


Wie dieser Formel entnommen werden kann, ist die Größe E, also die Summe dernicht abgezinsten gesuchten Entnahmen Et, vom Kapitalwert K, vom Kapital-marktzins i und von der zeitlichen Entnahmestruktur, die durch die Parame-ter at ausgedrückt wird, abhängig. Bei übereinstimmenden Strukturparameternat = 1/T mit t = 1, …, T ergibt sich:

Daraus folgt dann für die maximalen gleichbleibenden periodischen Entnah-men Et mit t = 1, …, T:

Die maximalen gleichbleibenden periodischen Entnahmen entsprechen in einer Si-tuation, in der kein Vermögenszuwachs am Ende des Betrachtungszeitraums ge-wünscht wird, der sogenannten Kapitalwertannuität der Investition. Bei Maxi-mierung gleicher periodischer Entnahmen, ohne daß ein Vermögenszuwachsam Ende des Betrachtungszeitraums gewünscht wird, können bezogen auf das ge-

Et =1Τ∑ K∑(1 + i)T

1T

(1+ i)T− t

t=1

T∑

= K∑i∑(1 + i)T

(1+ i)T −1.

E = K∑(1 + i)T

1T

(1+ i)T− t

t=1

T∑

= T∑K∑(1 + i)T

(1+ i)T −1i

= T∑K∑ i∑(1 + i)T

(1+ i)T −1.

K∑(1 + i)T = E∑

a0 ∑(1 + i)T

(1+ i)0 + a1 ∑(1 + i)T

(1+ i)1 + a2 ∑(1 + i)T

(1+ i)2 +…

+ aT-1 ∑(1 + i)T

(1+ i)T-1 + aT ∑(1 + i)T

(1+ i)T

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

oder

K∑(1 + i)T = E∑a0 ∑(1 + i)T-0 + a1 ∑(1 + i)T-1 + a2 ∑(1 + i)T-2+…

+aT-1 ∑(1 + i)T-(T-1) + aT ∑(1 + i)T-T

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

oder

K∑(1 + i)T = E∑ a tt=0

T

∑ ∑(1 + i)T-t

oder

E = K∑(1 + i)T

att=0

T

∑ ∑(1 + i)T-t.

Bezogen auf die vorgegebene Struktur des Beispiels folgt dann:

E = K∑(1 + i)T

at ∑(1 + i)T− t

t=1

T∑

= 175,81∑(1 + 0,1)3

0,2∑(1 + 0,1)2 + 0,5∑(1 + 0,1)1 + 0,3∑(1 + 0,1)0 = 214,29.


wählte Beispiel am Ende der Perioden 1, 2 und 3 Entnahmen in Höhe von E1 = E2= E3 = 70,69 GE getätigt werden, wie sich aus der nachstehenden Tabelle ergibt.

Abschließend sei noch die Situation betrachtet, in der das Vermögensmotiv vor-herrscht und keine laufenden Entnahmen gewünscht werden, also der Vermögens-zuwachs ohne laufende Entnahmen zu maximieren ist:

Der maximale Vermögenszuwachs, den die betrachtete Investition beim Investorbewirken kann, beträgt VT = 234,00 GE. Zu seiner Berechnung kann auf die For-mel für die Größe E bei beliebiger Zeitstruktur der Entnahmen zurückgegriffenwerden, wobei der Zahlungsstrukturparameter aT = 1 ist und die Zahlungsstruktur-parameter at≠T = 0 sind. Man erhält dann:

Das heißt, der maximale Vermögenszuwachs am Ende der Investitionsdauerist unter der Bedingung, daß keine periodischen Entnahmen gewünscht werden,also Et = 0 für alle t<T, gleich dem auf das Ende der Investitionsdauer aufgezin-sten Kapitalwert der Investition. Die Wohlstandsmaximierung wird als "Kombination von Einkommensmaximie-rung und Vermögensmaximierung" umschrieben, wobei eine Austauschregel er-

VT = K∑(1 + i)T

1∑(1 + i)T−T = K∑(1 + i)T .

Zeit VorgegebeneZeitstruktur

der erwünsch-ten Zahlungen

Zahlungen beiMaximierungdes Vermö-gens (ohneperiodischeEntnahmen)

Barwert desVermögens-zuwachses

0 0 0 01 0 0 02 0 0 03 1 234 175,81

Summe 175,81

Zeit Zahlungen beiMaximierunggleicher Ent-

nahmen(ohne Vermö-gensmehrung)

Barwerte derEntnahmen

0 0 01 70,69 64,272 70,69 58,433 70,69 53,11

Summe 175,81


forderlich sei, "aus der zu ersehen ist, wieviel Einkommenszuwachs dem Indivi-duum gleich gut einem bestimmten Vermögenszuwachs erscheint"1. Bei dieserAussage werden Entnahmen und Vermögenszuwachs als zwei unterschiedlicheZielgrößen (heterogene Ergebnisdefinition) interpretiert, wobei die Austauschre-gel die Artenpräferenz2 ist. Unter den gesetzten Bedingungen sind indes Entnah-men (Einkommen) und Vermögenszuwachs jeweils Zahlungsmittel. Es ist nureine sprachliche Konvention, ob ein Teil dieser Zahlungsmittel, die unter den Be-dingungen des vollkommenen Kapitalmarkts aus den Investitionszahlungen in ei-ne erwünschte Zeitstruktur (Zeitpräferenz) transformiert werden können, "Entnah-men (Einkommen)" und ein anderer Teil dieser Zahlungsmittel "Vermögenszu-wachs" oder beide zusammen "Wohlstandszuwachs" genannt werden.Bislang wurde in den erläuternden Zahlenbeispielen eine Entnahme zu Beginn derInvestition ausgeschlossen. Auch diese Einschränkung ist unter der Bedingung desvollkommenen Kapitalmarktes nicht erforderlich. Wird diese Annahme aufgeho-ben, so bestimmt sich die Größe E nach folgender Formel, wobei die Parameter atmit t = 0, 1, …, T die gewünschte zeitliche Zahlungsstruktur, im Zahlenbeispiela0:a1:a2:a3 = 1:2:4:3, beschreiben:

Bezogen auf diese Zeitstruktur der gewünschten Zahlungen ergibt sich dann:

Auch der Fall, daß der Investor ausschließlich Zahlungen im Zeitpunkt t = 0wünscht, läßt sich realisieren, wobei dann für die maximale Entnahme E0 = K gilt,d.h., daß diese Zahlung dem Kapitalwert der Investition entspricht:



MaximaleZahlungen beivorgegebenerZeitstruktur

Barwerte derZahlungen

0 1 20,98 20,981 2 41,97 38,152 4 83,94 69,373 3 62,95 47,30

Summe 209,85 175,81

E = K∑(1 + i)T

at ∑(1 + i)T− t

t=0

T∑

= 175,81∑(1 + 0,1)3

0,1∑(1 + 0,1)3 + 0,2∑(1 + 0,1)2 + 0,4∑(1 + 0,1)1 + 0,3∑(1 + 0,1)0 = 209,85.


1 Gans, Bernd, Looss, Wolfgang, Zickler, Dieter: Investitions- und Finanzierungstheorie, 2. A., München 1974, S.13; ebenso Schneider, Dieter: Investition, Finanzierung und Besteuerung, 6. A., Nachdruck, Wiesbaden 1991, S.71; Schneider, Dieter: Ziele, finanzwirtschaftliche, in:Handwörterbuch der Finanzwirtschaft, Stuttgart 1976, Sp.1921-1922.

2 Vgl. Sieben, Günter, Schildbach, Thomas: Betriebswirtschaftliche Entscheidungstheorie, 3. A., Düsseldorf 1990,S.26

Damit, so glaube ich, ist die Aussage, daß unter der Bedingung eines vollkomme-nen Kapitalmarktes die Formulierung einer Zeitpräferenz für die Beurteilung derInvestitionen nicht erforderlich sei, hinreichend erläutert.Eine Sicherheitspräferenz wird benötigt, wenn die Ergebnisse der Investitionnicht einwertig (Sicherheitssituation), sondern mehrwertig (Risikosituation, Unsi-cherheitssituation) erwartet werden. "Die Sicherheitspräferenz beschreibt die rela-tive Vorziehenswürdigkeit, die den zu vergleichenden … Ergebnisse(n) … einzigaufgrund der Ungewißheit ihres Eintritts für den Entscheidungsträger zukommt"1.Es kann zwischen einer entscheidungslogischen und einer fundamentalen Unge-wißheit unterschieden werden. Eine entscheidungslogische Ungewißheit liegtvor, wenn im Entscheidungszeitpunkt zwar nicht bekannt ist, was eintreten wird,aber immerhin bekannt ist, was überhaupt eintreten kann. Eine fundamentale Un-gewißheit liegt vor, wenn nicht bekannt ist, was eintreten könnte. Nicht zuletztaus didaktischen Gründen wird vielfach eine Sicherheitssituation unterstellt. Die-ser (didaktischen) Übung wird, sofern nicht ausdrücklich etwas anderes gesagtwird, im weiteren auch hier gefolgt, so daß wegen dieser Prämisse eine Sicher-heitspräferenz nicht benötigt wird.Hinsichtlich der Zielsetzung für die Investitionsbeurteilung gelten, wenn nicht et-was anderes dargelegt wird, die folgenden Annahmen:Alles, was an einer Investition interessiert, läßt sich monetär messen. Die Verän-derung des Zahlungsmittelbestands selber ist das, was interessiert (homogene Er-gebnisdefinition). Je größer (geringer) eine positive (negative) Veränderung desZahlungsmittelbestands ist, die die Investition bewirkt, desto besser wird sie beur-teilt (lineare Höhenpräferenz, Extremierungsvorschrift). Die möglichen Verände-rungen des Zahlungsmittelbestands aufgrund der Investitionstätigkeit werden ein-wertig erwartet (keine Sicherheitspräferenz erforderlich). Die Zahlungen der Inve-stition lassen sich unter der Voraussetzung des vollkommenen Kapitalmarktes injede beliebige erwünschte zeitliche Struktur mit gleichem Kapitalwert bringen, sodaß zwischen Investitionsalternativen entschieden werden kann, ohne daß dieZeitpräferenz des Investors bekannt sein muß.



Maximierungder Zahlungenbei vorgege-bener Zeit-

struktur

Barwerte derZahlungen

0 1 175,81 175,811 0 0 02 0 0 03 0 0 0

Summe 175,81 175,81


1 Sieben, Günter, Schildbach, Thomas: Betriebswirtschaftliche Entscheidungstheorie, 3. A., Düsseldorf 1990, S.26

B. Entscheidungen über das Sach- und Finanzinvestitionsvolumen

Maßgröße des Investitionsvolumens ist die anfängliche Auszahlung, die üblicher-weise mit dem Symbol a0 belegt wird. Normalerweise wird davon ausgegangen,daß die Anfangsauszahlung a0 einer Investition festliegt, wobei zugelassen wird,daß diese feststehende Anfangsauszahlung (beliebig) klein sein kann, aber natür-lich einen von Null verschiedenen Wert haben muß. Wird eine solche Situationzugrunde gelegt, so muß entschieden werden, ob investiert werden soll oder nicht.Von dieser Entscheidungssituation werden wir in der Regel auch ausgehen. ImRahmen dieser Vorlesung wird jedoch eine Ausnahme gemacht. Im Mittelpunktsteht nämlich die Frage, ob es ein optimales Sachinvestitionsvolumen gibt undunter welchen Bedingungen eine Sachinvestition gegenüber einer Finanzinvesti-tion vorzuziehen ist und umgekehrt. Um die Darstellung sehr einfach halten zu können, wollen wir voraussetzen, daßdie Investitionsdauer genau eine Periode beträgt. Eine Periode wird durch zweiZeitpunkte abgegrenzt. D.h., den Betrachtungen wird ein sogenanntes Zwei-Zeit-punkte-Modell (Point-Input-Point-Output-Modell) zugrundegelegt, wobei derAnfangszeitpunkt t = 0 und der Endzeitpunkt t = 1 sei. Dabei wird offengelassen,welche Zeitspanne diese Punkte begrenzen, wie lang also die Betrachtungsperiodereal ist. Bedingung ist jedoch, daß Zahlungen nur zu Beginn und am Ende der Pe-riode anfallen. Die jeweils betrachtete (Sach- oder Finanz-)Investition kann danndurch ihre Anfangsauszahlung a0 und durch ihre Einzahlung e1 genau beschriebenwerden. Die Einzahlung e1 muß indes eine Funktion der Anfangsauszahlung a0sein, weil ansonsten ein optimales Investitionsvolumen nicht feststellbar ist. Bezogen auf die funktionale Abhängigkeit zwischen dem Output (EinzahlungeS1) und dem Input (Anfangsauszahlung aS0) der Sachinvestition sei angenom-men, daß ein ertragsgesetzlicher Verlauf gilt. Das heißt, es werden zunächst zu-nehmende und danach abnehmende Ertragszuwächse (Grenzeinzahlungen) beigrößer werdendem Investitionsvolumen aS0 erwartet. Konkret sei von folgenderFunktion zur Beschreibung der Sachinvestition ausgegangen:

Dabei sind b, c und d Strukturparameter. Wenn für die Strukturparameter die fol-genden Werte gelten: b = 800, c = 3 und d = 4, so ergibt sich graphisch die in Ab-bildung 11 dargestellte Abhängigkeit zwischen dem Investitionsvolumen (Aus-zahlungen in t = 0) und den Gesamteinzahlungen eS1 in t = 1 bei der Sachinvesti-tion. Neben dem Verlauf der Gesamteinzahlungen eS1 sind in Abbildung 11auch die Verläufe der Grenzeinzahlungen e'S1 und der Durchschnittseinzahlun-gen e–S1 wiedergegeben. Für sie gelten die folgenden Funktionen:

Die Funktionen sollen kurz in ihren wesentlichen Merkmalen beschrieben werden.

eS1© = b∑a S0

d-1 ∑(c∑d − aS0 )(c + aS0 )d+2 und eS1 =

b∑a S0d-1

(c + aS0 )d+1 .

eS1 =b∑a S0

d

(c + aS0 )d+1 .


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Einzahlungen in t = 14./5. Vorlesung: Zielsetzungen und Entscheidungen über das Investitionsvolumen 67

Abb

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Die Funktion der Gesamteinzahlungen eS1 hat ihr Maximum, im BeispieleS1 = 21,845333, bei einem Investitionsvolumen von aS0 = c • d = 12. Bei diesemInvestitionsvolumen sind folglich die Grenzeinzahlungen e'S1 = 0. Die Wende-punkte der Funktion der Gesamteinzahlungen eS1 liegen dort, wo die Grenzein-zahlungsfunktion e'S1 ihr Maximum oder ihr Minimum hat. Zur Bestimmung derWendepunkte ist folglich die zweite Ableitung e''S1 zu berechnen. Sie lautet:

Die Extremwerte der Grenzeinzahlungsfunktion e'S1 liegen für das Beispiel bei

d.h., die Wendepunkte der Gesamteinzahlungsfunktion liegen bei aS0 = 2,513167mit eS1 = 6,265701 und bei aS0 = 21,486833 mit eS1 = 19,369416. In diesen Wen-depunkten hat die Funktion der Grenzeinzahlungen e'S1 ihr Maximum, also beiaS0 = 2,513167 mit e'S1 = 4,290110, und ihr Minimum, also bei aS0 = 21,486833mit e'S1 = -0,349247. Die Funktion der Durchschnittseinzahlungen e–S1 hat ihrMaximum im Beispiel bei

also bei aS0 = 4,5 mit e–S1 = 3,072.

Der Begriff der Rentabilität ist definiert als Verhältnis zwischen einem Über-schuß aus einer Kapitalnutzung und dem eingesetzten Kapital1. Bezogen aufdie betrachtete Sachinvestition gilt für ihre durchschnittliche Gesamtkapitalren-tabilität r:

D.h., die durchschnittliche Gesamtkapitalrentabilität der Sachinvestition ist gleichihrer um 1 verminderten Durchschnittseinzahlung e–S1 in Abhängigkeit vom Inve-stitionsvolumen. Für die Grenzkapitalrentabilität gilt:

d(eS1-aS0) ist dabei die infinitesimal kleine Veränderung des Überschusses aus derKapitalnutzung aufgrund der infinitesimal kleinen Veränderung daS0 des einge-

r©= d(eS1 − aS0 )daS0

= deS1

daS0

−1 = eS1© -1.

r = eS1 − aS0

aS0

= eS1

aS0

−1 = eS1 −1.

aS0 =c∑(d -1)

2,

aS0 = c∑(d ± d2 + d2

),

eS1©© = b∑

aS0d−2 ∑ c∑d 2 − c∑d − d∑a S0( )∑(c + aS0 ) − c∑d 2 ∑a S0 − d∑a S0

2 + 2∑c∑d∑a S0 − 2∑a S02( )[ ]

c + aS0( )d+3 .



setzten Kapitals. Die Grenzkapitalrentabilität der Sachinvestition ist folglichgleich ihrer um 1 verminderten Grenzeinzahlung e'S1 in Abhängigkeit vom Investi-tionsvolumen.Damit möchte ich die Beschreibung der verwendeten ertragsgesetzlichen Funktionfür die Sachinvestition beenden und mich wieder der Ausgangsfrage zuwenden,welches Investitionsvolumen bei der Sachinvestition verwirklicht werden sollte. Diese Frage läßt sich nur auf der Basis eines Vergleichsmaßstabes beantworten.Da es um eine Entscheidung über das Sachinvestitionsvolumen gehen soll,muß eine Wahlsituation vorliegen, wobei die Möglichkeiten, zwischen denen zuentscheiden ist, von seiten des Investors auch realisierbar sein müssen. Im weite-ren wird angenommen, daß der Investor über genügend eigenes Kapital verfügt,um das ins Auge gefaßte Investitionsvolumen auch tatsächlich realisieren zu kön-nen. Die Finanzierung jedes Investitionsvolumens wird also als gesichert unter-stellt.Die einfachste Wahlsituation ist diejenige zwischen Tun und Unterlassen, washier Hortung als nicht rentierliche (Verzinsung gleich Null!) Kassenhaltung desverfügbaren Kapitals heißen soll, oder zwischen Tun und Anderstun, was hier ren-tierliche (stets positive Verzinsung!) Finanzinvestition heißen soll. Unser Investorsoll also zwischen Sachinvestition, Hortung und Finanzinvestition wählen können,wobei Kombinationen dieser Möglichkeiten ebenfalls zugelassen werden.Gibt es eine rentierliche Finanzinvestition, wie hier angenommen wird, dann istjede Hortung als Investitionsalternative dominant schlechter als die Finanzinvesti-tion. Ein rational handelnder Investor würde sich nicht für Hortung entscheiden.Eine rationale Wahl über das Sachinvestitionsvolumen kann dann nur auf der Ba-sis der rentierlichen Finanzinvestition als Vergleichsmaßstab getroffen werden.Um die Situation nicht unnötig zu komplizieren, sei angenommen, daß die Ge-samteinzahlungen eF1 der Finanzinvestition eine lineare Funktion des Investi-tionsvolumens aF0 sein sollen: eF1 = aF0 • (1 + i), wobei i die vom Investitionsvo-lumen nicht abhängige Rendite, bezogen auf den Zeitraum zwischen t = 0 undt = 1, der Finanzinvestition sein soll.Vorgezogen wird – wegen der monoton steigenden Höhenpräferenz – diejenigeInvestitionsmöglichkeit, die bei dem jeweiligen Investitionsvolumen (Auszahlun-gen in t = 0) die höheren Gesamteinzahlungen aufweist. Werden von den Gesamt-einzahlungen der Sachinvestition beim jeweiligen Investitionsvolumen die Ge-samteinzahlungen der als Alternative verfügbaren Finanzinvestition abgezogen, sogibt eine positive Differenz die Vermögensmehrung VS1 wieder, die bei einer Ent-scheidung für die Sachinvestition im Vergleich zur Entscheidung für die Finanzin-vestition im Zeitpunkt t = 1 realisiert werden kann.

Die Differenz VS1 = eS1 – eF1 unter der Bedingung aS0 = aF0 soll der Vermö-gens(end)wert der Sachinvestition genannt werden. Der Vermögenswert derSachinvestition steigt, solange eine zusätzliche Kapitaleinheit, die in die Sachin-vestition investiert wird, einen größeren Zuwachs an Einzahlungen bewirkt als dieAnlage dieses zusätzlichen Kapitals in der Finanzinvestition, das heißt, solangedie Grenzeinzahlungen der Sachinvestition in Abhängigkeit vom Investitionsvolu-


men noch die Grenzeinzahlungen der Finanzinvestition in Abhängigkeit vom In-vestitionsvolumen übersteigen, also e'S1 > e'F1 gilt. Das optimale Sachinvesti-tionsvolumen wird erreicht, wenn die Grenzeinzahlungen der Sachinvestition unddie Grenzeinzahlungen der Finanzinvestition übereinstimmen, d.h., wenn e'S1 = e'F1gilt. Der Vermögenswert der Sachinvestition ist dann maximal. Diese Bedingungkann auch auf andere Weise hergeleitet werden.Die Definitionsgleichung für den Vermögenswert der Sachinvestition VS1 lau-tet:

oder unter Verwendung der angegebenen Gesamteinzahlungsfunktion der Sachin-vestition

Zum Verständnis wichtig ist hierbei, daß es sich beim Vermögenswert der Sach-investition inhaltlich um eine Differenzgröße zwischen den Gesamteinzahlun-gen eS1 der zu beurteilenden Sachinvestition und den GesamteinzahlungeneF1 der als Vergleichsmaßstab herangezogenen Finanzinvestition bei gleichemInvestitionsvolumen handelt. Die Einzahlungen eS1 sind das, was man erhält, wenn man die Sachinvestition tä-tigt. Sie sind die positive Konsequenz ("Erlös") der Entscheidung für die Sachin-vestition. Auf die Einzahlungen eF1 aus der Finanzinvestition verzichtet man,wenn man die Sachinvestition tätigt. Sie sind die negative Konsequenz ("Kosten")der Entscheidung für die Sachinvestition, die Opportunitätskosten der Sachinve-stition. Der Vermögenswert der Sachinvestition ist also nichts anderes als einespezielle Deutung des Begriffs "Gewinn".Weil bei einem solchen Vergleich zwischen Sachinvestition und Finanzinvestitionstets das gleiche Investitionsvolumen betrachtet werden muß, also aS0 = aF0 geltenmuß, kann man den Vermögenswert der Sachinvestition VS1 auch schreiben als:

Aus dieser Schreibweise folgt, daß der Vermögenswert der Sachinvestition be-rechnet werden kann, indem die Einzahlungen eS1 der Sachinvestition um den Be-trag der mit der Rendite i der Finanzinvestition aufgezinsten Anfangsauszahlun-gen aS0 • (1 + i) der Sachinvestition vermindert werden. Die Art und Weise derformalen Berechnung sollte nicht mit der materialen Deutung des Vermö-genswertes der Sachinvestition gleichgesetzt werden. Diese formale Schreib-weise hat jedoch den Vorteil, daß sie es erlaubt, den Vermögenswert der Sachin-vestition als Funktion des Investitionsvolumens aS0 zu behandeln. Wird die Ver-mögenswertfunktion der Sachinvestition nach dem Investitionsvolumen differen-ziert, so erhält man:

VS1 = eS1 − aS0 ∑(1 + i) = b∑a S0d

(c + aS0 )d+1 − aS0 ∑(1 + i).

VS1 = b∑a S0d

(c + aS0 )d+1 − aF0 ∑(1 + i) bei aS0 = aF0.

VS1 = eS1 − eF1 = eS1 − aF0 ∑(1 + i) bei aS0 = aF0


Ein Maximum liegt vor, wenn V'S1 = 0 und zugleich V''S1 < 0 ist. Aus V'S1 = 0folgt:

Der linke Ausdruck dieser Gleichung ist gleich der ersten Ableitung der verwen-deten Einzahlungsfunktion der Sachinvestition nach dem Sachinvestitionsvolu-men, d.h. der Grenzeinzahlungsfunktion e'S1 der Sachinvestition. Der rechteAusdruck (1 + i) ist die erste Ableitung der Einzahlungsfunktion eF1 = aF0 • (1 + i)der Finanzinvestition in Abhängigkeit vom Investitionsvolumen, also die Grenz-einzahlungsfunktion e'F1 der Finanzinvestition: e'F1 = 1 + i. Damit ist auf for-male Weise die schon gemachte Aussage bestätigt, daß das optimale Sachinvesti-tionsvolumen erreicht wird, wenn die Grenzeinzahlungen der Sachinvestition unddie Grenzeinzahlungen der Finanzinvestition übereinstimmen, d.h., wenn e'S1 = e'F1gilt. Diese Bedingung e'S1 = e'F1 ist äquivalent der Bedingung: r' = i. Der Ausdruck 1 + iist zugleich die Durchschnittseinzahlung e–F1 und die Grenzeinzahlung e'F1 der Fi-nanzinvestition in Abhängigkeit vom Investitionsvolumen, so daß i sowohl dieDurchschnittsrentabilität e–F1 – 1 als auch die Grenzkapitalrentabilität e'F1 – 1 derFinanzinvestition darstellt. Für die Bedingung r' = i ist i inhaltlich als Grenzka-pitalrentabilität der Finanzinvestition zu deuten.Um für das Beispiel das optimale Sachinvestitionsvolumen bestimmen zu können,muß für die Rendite der Finanzinvestition ein Zahlenwert festgelegt werden. Wirwollen i = 0,5 bezogen auf die betrachtete, zeitlich indes nicht näher charakteri-sierte Betrachtungsperiode annehmen. Dies mag zunächst hoch erscheinen. Daaber über die Länge der Betrachtungsdauer nichts ausgesagt ist, fehlt der Ver-gleichsmaßstab zu realen Zinssätzen. Wenn die Betrachtungsperiode z.B. 5 Kalen-derjahre wäre, so entspräche i = 0,5 lediglich einer Rendite pro Kalenderjahr vonca. 8,45%. In der nachfolgenden Abbildung 12 ist die im Beispiel gegebene Wahlsituationzwischen der Sachinvestition und der Finanzinvestition erläutert. Dargestellt sinddie Gesamteinzahlungen, die in Abhängigkeit vom Investitionsvolumen bei derSachinvestition und bei der Finanzinvestition erwartet werden. Die Differenz zwi-schen ihnen gibt den jeweiligen Vermögenswert der Sachinvestition an. Man er-kennt, daß der Vermögenswert der Sachinvestition teils negativ, und zwar biszum Investitionsvolumen bei aS0 = 1,528438, teils positiv, und zwar ab dem Inve-stitionsvolumen aS0 = 1,528438 bis zum Investitionsvolumen aS0 = 14,380773,und teils wiederum negativ ist, und zwar rechts ab dem Investitionsvolumen vonaS0 = 14,380773. Bei den Investitionsvolumina aS0 = 1,528438 und aS0 =14,380773 ist der Vermögenswert jeweils gleich Null. Der größte Vermögenswert

b∑a S0d-1 ∑(c∑d − aS0 )(c + aS0 )d+2 = (1+ i).

VS1© = eS1

© − (1+ i) = b∑a S0d-1 ∑(c∑d − aS0 )(c + aS0 )d+2 − (1+ i).


Abb

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Einzahlungen in t = 172 4./5. Vorlesung: Zielsetzungen und Entscheidungen über das Investitionsvolumen

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der Sachinvestition mit VS1 = 8,723738 wird im Beispiel bei einem Investitions-volumen von aS0 = 6,756634 erreicht. Dies ist das optimale Sachinvestitionsvo-lumen. Wie schon dargelegt, gilt für das optimale Sachinvestitionsvolumen die Bedin-gung, daß die Grenzeinzahlungen in Abhängigkeit vom Investitionsvolumen beiSach- und Finanzinvestition übereinstimmen. Graphisch bedeutet dies, daß dasje-nige Investitionsvolumen gesucht wird, bei dem die Gesamteinzahlungskurvenvon Sach- und Finanzinvestition den gleichen Anstieg aufweisen. Man erhält die-ses Investitionsvolumen, indem die Gesamteinzahlungskurve der Finanzinvesti-tion so lange parallel verschoben wird, bis sie zur Tangente an die Gesamteinzah-lungskurve der Sachinvestition wird. Fällt man das Lot vom Tangentialpunkt aufdie Abszisse, so erhält man das gesuchte optimale Sachinvestitionsvolumen.Fällt man das Lot von diesem Tangentialpunkt auf die Gesamteinzahlungskurveder Finanzinvestition, so gibt der Abstand den maximalen Vermögenswert derSachinvestition an. Dieser maximale Vermögenswert der Sachinvestition kannauch als Ordinatenabschnitt der parallel verschobenen Gesamteinzahlungskurveder Finanzinvestition gemessen werden, wie dies in Abbildung 12 gezeigt wird. Wollte man die gleiche Gesamteinzahlung von eS1 = 18,858689 wie aus der Sach-investition bei optimalem Investitionsvolumen von aS0 = 6,756634 durch eine Fi-nanzinvestition, also eF1 = 18,858689, erreichen, so müßte man im Beispiel ein Fi-nanzinvestitionsvolumen von aF0 = 12,572459 verwirklichen. Ein Investor, demzuvor nur diese Finanzinvestition offenstände und dem eine gesamteinzahlungs-gleiche Sachinvestition angeboten würde, könnte für diese Sachinvestition maxi-mal denjenigen Betrag zahlen, den er für die gesamteinzahlungsgleiche Finanzin-vestition alternativ zahlen müßte. Sein maximal zahlbarer Preis Pmax beträgt in ei-ner solchen Situation aF0. Er würde sich für die Sachinvestition entscheiden, wennderen (feststehender oder noch auszuhandelnder) Preis P = aS0 geringer als dermaximal zahlbare Preis Pmax ist.

Graphisch erhält man das – im Vergleich zum optimalen Sachinvestitionsvolumen– gesamteinzahlungsgleiche Finanzinvestitionsvolumen aF0, das zugleich den ma-ximal zahlbaren Preis für die Sachinvestition angibt, wenn man in Höhe des zuvorbestimmten Tangentialpunkts parallel zur Abszisse bis zur Gesamteinzahlungs-kurve der Finanzinvestition geht und dann das Lot auf die Abszisse fällt. Reali-siert der Investor das optimale Sachinvestitionsvolumen, so spart er im Beispielim Vergleich zu einer Finanzinvestition mit gleichen Gesamteinzahlungen einenAuszahlungsbetrag von KS0 = 12,572459 - 6,756634 = 5,815825. Denn er könntefür die Sachinvestition als Alternative für eine gesamteinzahlungsgleiche Finanz-investition maximal Pmax = 12,572459 zahlen, muß jedoch lediglich P = aS0= 6,756634 zahlen. Wenn er sich für die Sachinvestition entscheidet, so spart erden Betrag Pmax - P = 12,572459 - 6,756634 = 5,815825. Diese Differenz ist imBeispiel zugleich die größte mögliche Auszahlungsersparnis. Diese maximaleAuszahlungsersparnis kann graphisch als Abszissenabschnitt der parallel ver-schobenen Gesamteinzahlungskurve der Finanzinvestition bestimmt werden, wiedies aus Abbildung 12 zu ersehen ist.


Die Differenz zwischen dem maximal zahlbaren Preis für eine Sachinvestitionund dem tatsächlichen Preis für die Sachinvestition wird der Kapitalwert derSachinvestition KS0 genannt. Diese Definition des Kapitalwerts knüpft an dieKäufersituation des Investors an. In einer ausschließlichen Wahlsituation zwi-schen Sachinvestition und Finanzinvestition bei ausreichend gegebenem Ei-genkapital, die bislang nur betrachtet wird, ergibt sich der Kapitalwert der Sach-investition als Differenz zwischen dem jeweiligen Sachinvestitionsvolumenund einem dazu gesamteinzahlungsgleichen Finanzinvestitionsvolumen. Wirwerden später im Zusammenhang mit dem Fisher-Hirshleifer-Modell noch eineandere Situation zur Bestimmung des maximal zahlbaren Preises der Sachinvesti-tion kennenlernen. Allgemein gilt, daß die richtige Bestimmung des Kapital-werts die zutreffende Ermittlung des maximal zahlbaren Preises voraussetzt.Im Rahmen der Investitionstheorie wird indes genau diesem Aspekt eine geringeAufmerksamkeit geschenkt, während sich die Unternehmungsbewertungstheoriediesem Problem sehr ausführlich widmet.1

Die senkrechte Differenz (also parallel zur Ordinate!) zwischen den Gesamtein-zahlungskurven in Abbildung 12 gibt den jeweiligen Vermögenswert der Sach-investition in Abhängigkeit vom Investitionsvolumen an. Die waagerechteDifferenz (also Parallele zur Abszisse!) gibt den jeweiligen Kapitalwert derSachinvestition in Abhängigkeit vom Investitionsvolumen an.Während inhaltlich ein (positiver) Vermögenswert der Sachinvestition einEinzahlungsmehrbetrag der Sachinvestition gegenüber einer investitionsvo-lumensgleichen Finanzinvestition ist, ist – in der betrachteten Wahlsituationzwischen Sachinvestition und Finanzinvestition bei ausreichend gegebenemEigenkapital – inhaltlich ein (positiver) Kapitalwert der Sachinvestition einAuszahlungsminderbetrag der Sachinvestition gegenüber einer gesamtein-zahlungsgleichen Finanzinvestition.Inhaltlich ist dann der Kapitalwert der Sachinvestition KS0 definiert als:

In einer Wahlsituation zwischen Sach- und Finanzinvestition wird – wegen dermonoton steigenden Höhenpräferenz – diejenige Investition vorgezogen, die beiübereinstimmenden Einzahlungen die geringeren Anfangsauszahlungen aufweist.Das heißt, die Sachinvestition wird gewählt, wenn ihr Kapitalwert positiv ist, alsowenn bei übereinstimmenden Einzahlungen eF1 = eS1 für die Anfangsauszahlun-gen aF0 > aS0 gilt. Ist hingegen der Kapitalwert der Sachinvestition negativ, sowird ein rational handelnder Investor sich für die Finanzinvestition entscheiden. Die angegebene Definitionsgleichung für den Kapitalwert der Sachinvestitionkann umformuliert werden. Denn für die Gesamteinzahlungen der Finanzinvesti-tion gilt:

KS0 = aF0 − aS0 bei eF1 = eS1.


1 Vgl. Sieben, Günter: Bewertung von Erfolgseinheiten, Habil. Köln 1968; Matschke, Manfred Jürgen: Der Ent-scheidungswert der Unternehmung, Wiesbaden 1975; Sieben, Günter, Schildbach, Thomas: Betriebswirtschaftli-che Entscheidungstheorie, 3. A., Düsseldorf 1990, S.162-173; in der Unternehmungsbewertungstheorie wirdauch die Verkäufersituation behandelt, aus der die Definition des Kapitalwerts als Differenz zwischen dem tat-sächlichen Preis und dem minimal zu fordernden Preis folgt.

Daraus folgt:

Das heißt, der Kapitalwert der Sachinvestition KS0 kann berechnet werden, indemdie - mit der Rendite i der Finanzinvestition - abgezinsten Einzahlungen der zubeurteilenden Sachinvestition um den Anfangsauszahlungsbetrag der Sachinvesti-tion gekürzt werden. Diese Art und Weise der formalen Berechnung sollte -wie beim Vermögenswert - nicht mit der materialen Deutung des Kapitalwer-tes der Sachinvestition gleichgesetzt werden. Aus der formalen Schreibweise lassen sich unschwer Beziehungen zwischen demKapitalwert der Sachinvestition

und dem Vermögenswert der Sachinvestition

herleiten. Es gilt:

Die Abzinsung des Vermögenswerts der Sachinvestition mit der Rendite i der Fi-nanzinvestition führt zum Kapitalwert der Sachinvestition. Die Aufzinsung desKapitalwerts der Sachinvestition mit der Rendite i der Finanzinvestition führt zumVermögenswert der Sachinvestition. Nur erwähnt sei an dieser Stelle, daß dieseBeziehungen auch gelten, wenn die hier gewählte einperiodige Betrachtungsweiseaufgegeben wird.Die formale Schreibweise des Kapitalwerts der Sachinvestition als

hat den weiteren Vorteil, daß sie es erlaubt, den Kapitalwert der Sachinvestitionals Funktion des Investitionsvolumens aS0 zu behandeln und über diesen Ansatzdas optimale Sachinvestitionsvolumen zu bestimmen. Das optimale Sachinvesti-tionsvolumen ist dann dasjenige, bei dem der Kapitalwert der Sachinvestition ma-ximal wird. Das heißt, beim optimalen Sachinvestitionsvolumen muß für die er-ste Ableitung K'S0 = 0 und für die zweite Ableitung K''S0 < 0 gelten.

KS0 =eS1

(1+ i)− aS0 = b∑a S0

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(c + aS0 )d+1 ∑1

(1+ i)− aS0

KS0 =VS1

(1+ i)= eS1 − aS0 ∑(1 + i)

(1+ i)= eS1

(1+ i)− aS0 und

VS1 = KS0 ∑(1 + i) = ( eS1

(1+ i)− aS0 )∑(1 + i) = eS1 − aS0 ∑(1 + i).

VS1 = eS1 − aS0 ∑(1 + i)

KS0 =eS1

(1+ i)− aS0

KS0 =eF1

(1+ i)− aS0 oder wegen eF1 = eS1

KS0 =eS1

(1+ i)− aS0.

eF1 = aF0 ∑(1+ i).


Für die erste Ableitung des Kapitalwerts der Sachinvestition in Abhängigkeit vomInvestitionsvolumen erhält man bezogen auf die betrachtete Sachinvestition:

Daraus folgt als Bedingung für den maximalen Kapitalwert der Sachinvestition inAbhängigkeit vom Investitionsvolumen:

Das heißt, der Kapitalwert der Sachinvestition wird bei demjenigen Investitions-volumen maximal, für das die – mit der Rendite i der Finanzinvestition – abge-zinsten Grenzeinzahlungen der Sachinvestition (linke Seite der Gleichung!) denWert 1 annehmen. Diese Bedingung kann man umformen zu:

Das heißt, der Kapitalwert der Sachinvestition wird bei demjenigen Investitions-volumen maximal, für das die Grenzeinzahlungen der Sachinvestition (linke Seiteder Gleichung!) den Wert 1+i annehmen. Dies ist exakt die gleiche Bedingung,unter der der Vermögenswert der Sachinvestition in Abhängigkeit vom Investi-tionsvolumen maximal wird, wobei der Ausdruck 1+i den Grenzeinzahlungen derFinanzinvestition in Abhängigkeit vom Investitionsvolumen entspricht, wie schondargelegt worden ist. Aus der Abbildung 12 kann auch hergeleitet werden, wie sich der Investor ver-halten soll, wenn er in t = 0 über einen unterschiedlich großen Kapitalbetrag I fürInvestitionszwecke verfügen kann. Die entsprechenden Verwendungsempfehlun-gen für die in Abbildung 12 beschriebenen Investitionsmöglichkeiten sind in dernachfolgenden Tabelle zusammengefaßt:

Ist der verfügbare Kapitalbetrag I < 1,528438 (I ist kleiner als Investitionsvolu-men beim 1. Schnittpunkt der Gesamteinzahlungen von Sach- und Finanzinvesti-tion!), dann sollte der verfügbare Kapitalbetrag nur für die Finanzinvestitionverwendet werden. Gilt für den verfügbaren Kapitalbetrag 1,528438≤ I ≤ 6,756634 (also bis zum Betrag des optimalen Sachinvestitionsvolumens!),dann sollte der gesamte Betrag nur für die Sachinvestition eingesetzt werden. Istder verfügbare Kapitalbetrag I > 6,756634 (also größer als der Betrag des optima-len Sachinvestitionsvolumens!), dann sollte einerseits das optimale Sachinvesti-

Betrag des für Investitions-zwecke verfügbaren

Kapitals I in t = 0

Verwendungsempfehlung für den Gesamtbetrag desfür Investitionszwecke verfügbaren Kapitals I

I < 1,528438 aF0 = I, also nur Finanzinvestition

1,528438 ≤ I ≤ 6,756634 aS0 = I, also nur Sachinvestition

I > 6,756634aS0 = 6,756634, also optimale Sachinvestition, undaF0 = I - aS0, also Restbetrag für Finanzinvestition

eS1© = 1+ i oder b∑a S0

d-1 ∑(c∑d − aS0 )(c + aS0 )d+2 = 1+ i.

eS1© ∑ 1

(1+ i)= 1 oder b∑a S0

d-1 ∑(c∑d − aS0 )(c + aS0 )d+2 ∑ 1

(1+ i)= 1.

KS0© = eS1

© ∑ 1(1+ i)

−1 = b∑a S0d-1 ∑(c∑d − aS0 )(c + aS0 )d+2 ∑ 1

(1+ i)−1.


tionsvolumen realisiert werden und andererseits der verbleibende Restbetragfür die Finanzinvestition verwendet werden. Werden diese Verhaltensempfeh-lungen befolgt, so erzielt der Investor bezogen auf das jeweilige Investitionsvolu-men in t = 0 den größten Betrag an Einzahlungen in t = 1.Die Ausführungen zum optimalen Sachinvestitionsvolumen standen bisher unterder Prämisse, daß neben der Sachinvestition auch die Möglichkeit einer Finanzin-vestition mit der Rendite i genutzt werden kann. Dabei war die Rendite mit i > 0vorgegeben. Es soll nun dargelegt werden, wie das optimale Sachinvestitions-volumen sich in Abhängigkeit von i verändert. Für i soll dabei gelten: i ≥ 0.Das heißt, neben der Hortungsalternative (i = 0) wird jede positiv rentierliche Fi-nanzinvestition als Vergleichsalternative zur Sachinvestition zugelassen. Ist i = 0, dann ist das optimale Sachinvestitionsvolumen dasjenige, bei dem dieBedingung:

erfüllt ist, d.h., wenn 1+i gleich den Grenzeinzahlungen der Sachinvestition in Ab-hängigkeit vom Investitionsvolumen (linker Ausdruck der Gleichung!) ist und die-se den Wert 1 annehmen, wenn also i = e'S1 -1 = 0 gilt. Bei i = 0 erhält man zu-gleich den größten Wert für das optimale Sachinvestitionsvolumen in Abhän-gigkeit von der Rendite i der Finanzinvestition. Für die im Beispiel benutztenStrukturparameter b = 800, c = 3 und d = 4 gilt e'S1 = 1 für aS0 = 7,811703. Beidiesem Investitionsvolumen ist eS1 = 4,5.

Den kleinsten Wert für das optimale Sachinvestitionsvolumen erhält man,wenn die Bedingung

erfüllt ist, d.h., wenn 1+i gleich den Grenzeinzahlungen der Sachinvestition in Ab-hängigkeit vom Investitionsvolumen ist und diese gleich den Durchschnittseinzah-lungen der Sachinvestition in Abhängigkeit vom Investitionsvolumen sind oderwenn i = e'S1 -1 = e–S1 - 1 = r' = r gilt. Grenzeinzahlungen der Sachinvestition inAbhängigkeit vom Investitionsvolumen und Durchschnittseinzahlungen der Sach-investitionen in Abhängigkeit vom Investitionsvolumen stimmen jedoch, wie manaus Abbildung 11 (vgl. S. 67) ersehen kann, nur dann überein, wenn die Durch-schnittseinzahlungen der Sachinvestition in Abhängigkeit vom Investitionsvolu-men ihr Maximum erreicht haben. Zur Bestimmung des Maximums der Durchschnittseinzahlungen der Sachinvesti-tion in Abhängigkeit vom Investitionsvolumen muß die erste Ableitung bestimmtwerden. Die erste Ableitung der Durchschnitteinzahlungen der Sachinvestition inAbhängigkeit vom Investitionsvolumen lautet im Beispiel:

e©= b∑a S0d−2 ∑(c∑d − c − 2∑a S0 )

(c + aS0 )d+2 .

eS1© = 1+ i = eS1 oder b∑a S0

d-1 ∑(c∑d − aS0 )(c + aS0 )d+2 = 1+ i = b∑a S0

d-1

(c + aS0 )d+1

eS1© = 1+ i = 1 oder b∑a S0

d-1 ∑(c∑d − aS0 )(c + aS0 )d+2 = 1+ i = 1.


Abb

ildun

g 13

: Das

opt

imal

e Sa

chin

vest

ition

svol

umen

bei

unt

ersc

hied

liche

r R

endi

te i

der

Fina

nzin

vest

ition

01

23

45

67

89

1011

1213

1415

160

0246810121416182022 0

Inve

stito

nsvo

lum

en in

t =

0

Einzahlungen in t = 178 4./5. Vorlesung: Zielsetzungen und Entscheidungen über das Investitionsvolumen

Ges

amte

inza

hlun

gen

Sach

inve

stitio

n

Ges

amte

inza

hlun

gen

Hor

tung

sinve

stitio

n i =

0

Opt

imal

es S

ach-

inve

stitio

nsvo

lum

en

Ges

amte

inza

hlun

gen

Fina

nzin

vesti

tion

i = 2

,072

Para

llele

zu

Ges

amte

inza

hlun

-ge

n H

ortu

ngsin

vesti

tion

i = 0

Sie ist gleich Null, wenn für das Investitionsvolumen

gilt, d.h., dann werden die Durchschnittseinzahlungen der Sachinvestition in Ab-hängigkeit vom Investitionsvolumen maximal. Für die im Beispiel benutztenStrukturparameter b = 800, c = 3 und d = 4 ergibt sich für i = e'S1 –1 = e–S1 – 1 =3,072 – 1 = 2,072 ein optimales Sachinvestitionsvolumen von aS0 = 4,5. Bei die-sem Investitionsvolumen ist eS1 = 13,824 . Falls unsere Betrachtungsperiode ins-gesamt fünf Kalenderjahre betragen würde, so entspräche i = 2,072 einer Verzin-sung der Finanzinvestition von 25,17% pro Kalenderjahr. Sollte i > e–S1 –1 gelten,dann wird die Sachinvestition von der Finanzinvestition dominiert. Es lohnt sichdann nicht mehr, eine Sachinvestition vorzunehmen. In der vorstehenden Abbildung 13 wird die Herleitung des optimalen Sachinve-stitionsvolumens in Abhängigkeit von der Rendite i der Finanzinvestition er-läutert. Das optimale Sachinvestitionsvolumen für i = 0 erhält man, wenn man dieKurve der Gesamteinzahlungen der Hortungsinvestition eH1 = aH0 • (1 + i) =aH0 • (1 + 0) = aH0 parallel verschiebt, und zwar so lange, bis diese zur Tangentean die Gesamteinzahlungskurve der Sachinvestition wird. Das diesem Tangential-punkt zugeordnete Investitionsvolumen ist das optimale Sachinvestitionsvolumenbei i = 0, im Beispiel aS0 = 7,811703. Den minimalen Wert des optimalen Sachin-vestitionsvolumens erhält man, wenn die Kurve der Gesamteinzahlungen der Fi-nanzinvestition zur Tangente an die Gesamteinzahlungskurve der Sachinvestitionwird. Im Beispiel ist dies für i = 2,072 der Fall, woraus aS0 = 4,5 folgt.

In der nachfolgende Tabelle und in Abbildung 14 sind die optimalen Sachinvesti-tionsvolumina auch noch für Zwischenwerte von i dargestellt.

Rendite der Finanz-investition

i

Optimales Sachinvestitions-volumen

aS00 7,811703

0,025494 7,750,133315 7,50,248689 7,25

0,372 70,5 6,756634

0,503602 6,750,643808 6,50,792865 6,250,950922 61,117996 5,751,293918 5,51,478266 5,251,670288 51,868789 4,75

2,072 4,5

aS0 =c∑(d −1)

2


0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,200

1

2

3

4

5

6

7

8

0

Rendite i der Finanzinvestition

Opt

imal

es S

achi

nves

titio

nsvo

lum

en

Abbildung 14: Abhängigkeit des optimalen Sachinvestitionsvolumens vonder Rendite i der Finanzinvestition


C. Entscheidungen über Konsum und InvestitionEin formal einfaches Modell, an dem Entscheidungen über Konsum und Investi-tion erläutert werden können, ist das Fisher-Hirshleifer-Modell1.Ausgangspunkt ist ebenfalls ein Zwei-Zeitpunkte-Modell. Das Entscheidungs-subjekt verfügt im Zeitpunkt t = 0 über ein bestimmtes Kapital. Es kann dieseskonsumieren, es kann es aber auch investieren. Investiert das Entscheidungssub-jekt das Kapital, so erhält es im Zeitpunkt t = 1 Einzahlungen, die es dann konsu-miert; denn annahmegemäß (Zwei-Zeitpunkte-Modell!) endet im Zeitpunkt t =1der Betrachtungszeitraum, über dessen reale Länge nichts ausgesagt wird. Strenggenommen handelt es sich beim Fischer-Hirshleifer-Modell nicht um einInvestitionsplanungsmodell, sondern um ein Konsumplanungsmodell. Das Ent-scheidungssubjekt bewertet unterschiedliche Konsumpläne im Sinne unterschied-licher Kombinationen von Konsum heute und Konsum morgen und entschei-det sich für den aus seiner Sicht besten Konsumplan. Da aber in diesem Modellein Konsum morgen eine Investition heute verlangt, ist auf diese Weise dieKonsumplanung mit der Investitionsplanung verknüpft. Da in das Modell, wienoch zu zeigen sein wird, auch die Aufnahme von Kapital vom Kapitalmarkt inte-griert werden kann, kann auch eine Verbindung zur Finanzierungsplanung gezo-gen werden. Mit anderen Worten, das formal einfache Fischer-Hirshleifer-Modellkann inhaltlich sehr komplex gestaltet werden.Voraussetzung für das Fisher-Hirshleifer-Modell ist, daß das Entscheidungssub-jekt unterschiedliche Konsumpläne entsprechend seinen Konsumpräferenzen be-urteilen kann, wobei diese Konsumpräferenzen kombinierte Höhen- und Zeit-präferenzen, also Präferenzen höherer Ordnung sind2. Erforderlich, aber auch ausreichend für das Fisher-Hirshleifer-Modell ist, daß dasEntscheidungssubjekt aufgrund einer ordinalen Konsumnutzenmessung in derLage ist, alle denkbaren Konsumpläne (C0, C1) in seine subjektive Rangordnungzu bringen. Diese Konsumnutzenmessung muß dabei folgenden Axiomen ge-nügen:1. Vollständigkeitsaxiom: In bezug auf zwei beliebige Konsumpläne (C0, C1)und (C*

0, C*1) wird verlangt, daß das Entscheidungssubjekt angeben kann, ob es

einen der beiden Konsumpläne vorzieht oder ob es die beiden Konsumplänegleich beurteilt:

(C0,C1) (C0* ,C1

*) oder (C0,C1) (C0* ,C1

*) oder (C0,C1) ~ (C0* ,C1

*).


1 Vgl. Hirshleifer, Jack: On the Theory of Optimal Investment Decision, in: Journal of Political Economy 1958, S.329-352; Buchner, Robert: Anmerkungen zum Fisher-Hirshleifer-Ansatz der simultanen Bestimmung von Ge-winnausschüttungs-, Finanzierungs- und Investitionsentscheidungen, in: Zeitschrift für betriebswirtschaftlicheForschung 1968, S. 30-47, 378; Buchner, Robert: Zur Bedeutung des Fisher-Hirshleifer-Ansatzes für die be-triebswirtschaftliche Theorie der Kapitalwirtschaft, in: Zeitschrift für betriebswirtschaftliche Forschung 1969, S.706-727; Drukarczyk, Jochen: Finanzierungstheorie, München 1980, S.27-52; Franke, Günter, Hax, Herbert: Fi-nanzwirtschaft des Unternehmens und Kapitalmarkt, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo 1988,S. 100-113.

2 Vgl. Sieben, Günter, Schildbach, Thomas: Betriebswirtschaftliche Entscheidungstheorie, 3. A., Düsseldorf 1990,S. 27-30.

Als äquivalent beurteilte Konsumpläne, also (C0, C1) ~ (C*0, C*

1), liegen auf ei-ner Nutzenindifferenzlinie. Nutzenindifferenzlinien sind also Linien gleichenKonsumnutzens. Auf ihnen liegen alle Konsumpläne, die zum gleichen Nutzenni-veau führen. Der denkbare Fall, daß das Entscheidungssubjekt zu einer solchenRangordnungsbildung nicht fähig ist, wird durch das Vollständigkeitsaxiom aus-geschlossen.2. Reflexivitätsaxiom: Für zwei übereinstimmende Konsumpläne (C0, C1) und(C*

0, C*1) mit C*

0 = C0 und C*1 = C1 gilt stets die Äquivalenzrelation:

(C0, C1) ~ (C*0, C*

1).

3. Transitivitätsaxiom: Für drei beliebige Konsumpläne (C0, C1), (C*0, C*

1) und(C**

0, C**1), für die die Relationen

gelten, muß dann auch die Relation

gelten.4. Stetigkeitsaxiom: Stetigkeit ist eine Eigenschaft eines Punktes auf der Kon-sumnutzenfunktion. Sie ist für die gesamte Konsumnutzenfunktion gegeben,wenn für jeden Punkt P = (C0

P, C1P, NP) des Konsumnutzengebirges gilt, daß für je-

de abgesteckte Umgebung um das Nutzenniveau NP im Nutzenraum eine Umge-bung im Konsum-(C0, C1)-Raum existiert, die durch die Konsumnutzenfunktionvollständig in die abgesteckte Umgebung im Nutzenraum abgebildet wird. In Abbildung 15 wird das Stetigkeitsaxiom erläutert. Der betrachtete Punkt P hatdas Nutzenniveau NP. Die betrachtete abgesteckte Umgebung im Nutzenraum istder Bereich zwischen N1 und N2. Im Konsum-(C0, C1)-Raum ist der Bereich AB-DE abgesteckt, für den gilt, daß die zugehörigen Nutzenniveaus auf der FlächeA'B'D'E' im abgesteckten Nutzenbereich N1N2 liegen. Wenn dies für jede abge-steckte Umgebung um das Nutzenniveau NP im Nutzenraum gilt, so ist die Kon-sumnutzenfunktion im Punkt P stetig. Diese Überlegungen sollen für jeden belie-bigen Punkt P im Konsumnutzengebirge gelten.

(C0,C1) (C0**,C1

**)

(C0,C1) (C0* ,C1

*) und (C0* ,C1

*) (C0**,C1

**)


Die nachfolgenden weiteren Axiome der Konsumnutzenmessung müssen für diesogenannten effizienten Konsumpläne (vgl. Abbildung 16) gelten.

Effizient sind zwei Konsumpläne (C0, C1) und (C*0, C*

1), wenn für sie die Äqui-valenzrelation (C0, C1) ~ (C*

0, C*1) und entweder C0 < C*

0 und C1 > C*1 (vgl.

Abbildung 16, 1. Situation) oder C0 > C*0 und C1 < C*

1 (vgl. Abbildung 16, 2.

C0 C0*

C1

C1*

(C0,C1)

(C0*, C1

* )

C0C0*

C1

C1*

(C0,C1)

(C0*, C1

* )

1. Situation 2. Situation

Abbildung 16: Darstellung effizienter Konsumpläne

P

NP

N

C1

C0

C1P

C0P

A

BD

E

N2

N1

A'

E'

B'

D'

Abbildung 15: Erläuterung des Stetigkeitsaxioms


Situation) gilt. Im Bereich der effizienten Konsumpläne haben die auf die(C0, C1)-Ebene abgebildeten Nutzenindifferenzlinien eine negative Steigung. Beiineffizienten Konsumplänen haben die Nutzenindifferenzlinien hingegen einepositive Steigung. Ineffiziente Konsumpläne weisen auf Erscheinungen der Kon-sumsättigung hin, d.h., bei Konstanz von C0 wird ab einem bestimmten Niveauvon C1 jeder weitere Zuwachs an C1 negativ beurteilt, so daß die entsprechendenKonsumpläne ab einem Sättigungsniveau für C1, dessen Größe von C0 abhängigist, immer geringer eingeschätzt werden. Entsprechendes soll auch bei Konstanzvon C1 ab einem bestimmten Sättigungsniveau von C0 gelten. Die Gültigkeit des1. Gossenschen Gesetzes der Bedürfnissättigung wird also zugelassen. Es ist fürdie Konsumnutzenmessung nicht erforderlich, von der Annahme der Unersättlich-keit der Wünsche auszugehen1, also von Sättigungserscheinungen abzusehen.5. Konvexitätsaxiom: Gibt es zwei beliebige effiziente Konsumpläne (C0, C1)und (C*

0, C*1), für die die Äquivalenzrelation (C0, C1) ~ (C*

0, C*1) gilt, so gilt

für einen Konsumplan (C**0, C**

1), der aus einer gewichteten Kombination die-ser beiden Konsumpläne besteht, also C**

0 = a • C0 + (1 - a) • C*0 und C**

1 =a • C1 + (1 – a) • C*

1 mit 0 < a < 1, bei starker Konvexität die Relation

und bei schwacher Konvexität die Relation

Bezogen auf die Abbildung 16 läge der Konsumplan (C**0, C**

1) auf einer (nichteingezeichneten!) Verbindungslinie der Konsumpläne (C0, C1) und (C*

0, C*1). Bei

starker Konvexität sind die auf die (C0, C1)-Ebene abgebildeten Indifferenzlinienzum Ursprung (mit C0 = 0 und C1 = 0) hin gekrümmt (wie in Abbildung 16). Beischwacher Konvexität stellen die auf die (C0, C1)-Ebene abgebildeten Indifferenz-linien Geraden (mit negativer Steigung!) dar.6. Pareto-Dominanz-Axiom: Für zwei beliebige effiziente Konsumpläne(C0, C1) und (C*

0, C*1), für die entweder C0 = C*

0 und C1 < C*1 (vgl. Abbil-

dung 17, 1. Situation) oder C0 < C*0 und C1 = C*

1 (nicht in Abbildung 17 ent-halten!) sind, folgt die Präferenzrelation

Entsprechend gilt für zwei beliebige effiziente Konsumpläne (C0, C1) und(C*

0, C*1), für die entweder C0 = C*

0 und C1 > C*1 (nicht in Abbildung 17 ent-

halten!) oder C0 > C*0 und C1 = C*

1 (vgl. Abbildung 17, 2. Situation) sind, diePräferenzrelation(C0,C1) (C0

* ,C1*).

(C0,C1) (C0* ,C1

*).

(C0**,C1

**) ~ (C0,C1) und (C0**,C1

**) ~ (C0* ,C1

*).

(C0**,C1

**) (C0,C1) und (C0**,C1

**) (C0* ,C1

*)


1 So aber Drukarczyk, Jochen: Finanzierungstheorie, München 1980, S. 28.

In der vorstehenden Abbildung 18 ist der Graph einer Konsumnutzenfunktionwiedergegeben, die die genannten Axiome der Konsumnutzenmessung (ein-

0.0050.00100.00150.00200.00250.00300.00350.00400.00450.00500.00550.00600.00

0

100

200

300

400

500

600

Kons

umnu

tzen

Konsum in t = 0

KKoo nnssuumm iinn tt == 11

Abbildung 18: Darstellung eines Konsumnutzengebirges

C0 C0*

C1

C1*

(C0 ,C1)

(C0*, C1

* )

1. Situation

=

(C0 ,C1)(C0*, C1

* )

2. Situation

C1 C1*=

C0C0*

Abbildung 17: Erläuterung des Pareto-Dominanz-Axioms


schließlich Sättigungserscheinungen!) erfüllt, mit der Besonderheit jedoch, daßpositiv beurteilte Konsumpläne (Nutzen größer Null!) einen Konsum in beidenZeitpunkten erlauben müssen, also für sie gilt: C0 > 0 und C1 > 0. Es handelt sichdaher um eine peripher substitutionale Konsumnutzenfunktion. Bei einer totalsubstitutionalen Konsumnutzenfunktion wäre dagegen ein positiver Nutzenschon gegeben, wenn C0 > 0 oder C1 > 0 gilt.

Die in Abbildung 18 angegebenen Zahlenwerte für den Konsumnutzen bedeutennicht, daß es sich um eine kardinale Nutzenmessung handeln muß.Die Zahlen-werte können vielmehr auch in der Weise gedeutet werden, daß ein höherer Zah-lenwert lediglich ein höheres Niveau des Konsumnutzens wiedergeben soll, ohnedaß aus unterschiedlichen Zahlenwerten Abstände zwischen den Konsumnutzen-niveaus abgelesen werden können. In einem solchen Fall liegt lediglich eine ordi-nale Nutzenmessung vor. Diese ordinale Nutzenmessung reicht für das Fisher-Hirshleifer-Modell aus.Bezogen auf das Fisher-Hirshleifer-Modell lassen sich drei Modellvariantenunterscheiden, in denen von unterschiedlichen Annahmen hinsichtlich der Investi-tions- und Finanzierungsmöglichkeiten des Entscheidungssubjekts ausgegangenwird. In der nachfolgenden Abbildung 19 werden diese drei Modellvarianten nä-her beschrieben: 1. Variante: ohne Kapitalmarkt, 2. Variante: vollkommenerKapitalmarkt und 3. Variante: unvollkommener Kapitalmarkt.


Fisher-Hirshleifer-Modell

1. Variante:ohne

Kapitalmarkt

Investition

Sach-investition

vom Investitions-volumen abhän-gige fallende,

aber stets positiveGrenzkapital-rentabilität r’

Hortungs-investition

unrentierlicheKassenhaltung

mit iH = 0

Finanzierung Eigen-kapital

vorgegebenerliquider Betrag

2. Variante:vollkommenerKapitalmarkt

Investition

Sach-investition wie 1. Variante

Hortungs-investition wie 1. Variante

Finanz-investition

vom Investitions-volumen unab-hängige positiveGrenzkapitalren-tabilität (= Durch-

schnittsrenta-bilität) i

Finanzierung

Eigen-kapital wie 1. Variante

Fremd-kapital

beliebige Beträgezum gleichblei-benden Grenz-

kostensatz (= Durchschnitts-kostensatz) k = i

3. Variante:unvollkommener

Kapitalmarkt

Investition

Sach-investition wie 1. Variante

Hortungs-investition wie 1. Variante

Finanz-investition wie 2. Variante

Finanzierung

Eigen-kapital wie 1. Variante

Fremd-kapital

beliebige Beträgezum gleichblei-benden Grenz–kostensatz (=

Durchschnitts-kostensatz) k > i


Abbildung 19: Varianten des Fisher-Hirshleifer-Modells

In der 1. Variante (ohne Kapitalmarkt) verfügt das Entscheidungssubjekt übereinen bestimmten eigenfinanzierten liquiden Kapitalbetrag im Entscheidungszeit-punkt t = 0, den es konsumieren oder nicht konsumieren kann. Als nicht konsum-tive Verwendungen des Kapitals stehen dem Entscheidungssubjekt 1. eine (be-liebig teilbare) Sachinvestition und 2. eine (nicht rentierliche) Hortungsinve-stition offen. Wie im Teil B. dieser Vorlesung weist die Sachinvestition eine vomInvestitionsvolumen abhängige Grenzkapitalrentabilität r' auf, wobei – anders alsim Teil B. – die Grenzkapitalrentabilität r' jedoch in Abhängigkeit vom Investi-tionsvolumen stets fallend, aber positiv sein soll, also r' > 0. Die Gesamteinzah-lungen eS1 der Sachinvestition in Abhängigkeit vom Investitionsvolumen aS0wachsen demgemäß degressiv. Die Grenzeinzahlungen e'S1 der Sachinvestitionin Abhängigkeit vom Investitionsvolumen aS0 fallen, aber für sie gilt stetse'S1 > 1. Sofern das Entscheidungssubjekt bereit ist, auf Konsum heute zu verzich-

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,500

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0

Kon

sum

in t

= 1

Abbildung 20: Fisher-Hirshleifer-Modell: 1. Variante (ohne Kapitalmarkt)

(C0, C1)

Nutzenniveau 1

Nutzenniveau 2

Sachinvestition in t = 0Konsum in t = 0

A

B


ten, d.h., zu investieren, so ist unter diesen Bedingungen es stets suboptimal, dieHortung in Erwägung zu ziehen. Die Hortungsinvestition wird stets durch dieSachinvestition dominiert. Die Frage, wieviel das Entscheidungssubjekt investie-ren soll, hängt von seiner Konsumnutzenfunktion ab.Man erhält die in Abbildung 20 als sogenannte Transformationskurve darge-stellte Sachinvestitionskurve, indem man die ursprüngliche Sachinvestitionskurvean einer Parallele in Höhe des vorgegebenen Eigenkapitals zur Ordinate spiegeltund diese Parallele zur neuen Ordinate werden läßt. In der Abbildung sind außer-dem zwei Nutzenindifferenzlinien eingezeichnet, die sich aus einer peripher sub-stitutionalen Konsumfunktion ohne Sättigungserscheinungen ergeben. Das Nut-zenniveau 1 kann mit zwei alternativen Konsumplänen, dargestellt als Punkte Aund B, erreicht werden. Aufgrund der angenommenen Konsumnutzenfunktion istes jedoch nicht optimal, einen dieser Konsumpläne zu realisieren. Optimal ist viel-mehr derjenige Konsumplan, bei dem eine Nutzenindifferenzlinie zur Tangente andie Transformationskurve wird. Dies ist in Abbildung 20 die Nutzenindifferenzli-nie mit dem Nutzenniveau 2 und dem optimalen Konsumplan (C0, C1). Bezogenauf Bewegungen auf einer Nutzenindifferenzlinie gilt, daß der Nutzen N konstantist. Bei infinitesimaler Betrachtung gilt für das totale Grenznutzenprodukt

Das heißt, der Nutzenzuwachs bei partieller Zunahme des Konsums in t = 0

wird auf der Nutzenindifferenzlinie durch eine Nutzenabnahme

aufgrund der partiellen Abnahme des Konsums in t = 1 genau kompensiert. Formtman das totale Grenznutzenprodukt um, so erhält man

Der linke Ausdruck ist die sogenannte Grenzrate der Konsumsubstitution. Dierechte Seite gibt das Verhältnis der partiellen Grenzkonsumnutzen an. DieGrenzrate der Konsumsubstitution drückt die jeweilige Steigung der Nutzenindif-ferenzlinie aus. Die Steigung der Transformationskurve ist gleich dem negati-ven Ausdruck der Grenzeinzahlungen e'S1 der Sachinvestition in Abhängigkeitvom Investitionsvolumen aS0, weil in Abbildung 20 das Sachinvestitionsvolumenvon rechts nach links abgetragen wird, ausgehend vom vorgegebenen Eigenkapitalim Entscheidungszeitpunkt t = 0. Die Grenzeinzahlungen e'S1 der Sachinvestitionin Abhängigkeit vom Investitionsvolumen aS0 sind gleich der um den Summanden

dC1

dC0

= −

∂N∂C0∂N∂C1

.

∂N∂C1

∑dC 1

∂N∂C0

∑dC 0

dN =∂N∂C0

∑dC 0 +∂N∂C1

∑dC 1 = 0.


1 erhöhten Grenzkapitalrentabilität r'. Weil im Optimalpunkt die Nutzenindiffe-renzlinie zur Tangente an die Transformationskurve wird, muß – absolut gesehen– die Grenzrate der Konsumsubstitution gleich den Grenzeinzahlungen e'S1 derSachinvestition in Abhängigkeit vom Investitionsvolumen aS0 und damit gleichder um 1 erhöhten Grenzkapitalrentabilität r' sein:

Bezogen auf das der Abbildung 20 zugrundeliegende Zahlenbeispiel beträgt dasvorgegebene Eigenkapital EK = 6,180340. Davon werden im Entscheidungszeit-punkt t = 0 eine Sachinvestition im Volumen aS0 = 3,680340 und ein KonsumC0 = 2,5 finanziert. Die Sachinvestition erbringt im Zeitpunkt t = 1 eine Gesamt-einzahlung von eS1 = 6,875, die einen gleich großen Konsum C1 = 6,875 ermög-licht.In der Abbildung 21 ist die 2. Variante (vollkommener Kapitalmarkt) desFisher-Hirshleifer-Modells erläutert. Das Entscheidungssubjekt verfügt wiederüber ein bestimmtes vorgegebenes Eigenkapital im Entscheidungszeitpunkt t = 0.Es kann neben der Sachinvestition und der (indes nicht relevanten!) Hortungsinve-stition auch eine Finanzinvestition tätigen. Diese Finanzinvestition weist eine vomInvestitionsvolumen unabhängige positive Grenzkapitalrentabilität in Höhe voni > 0 auf, die zugleich auch die Durchschnittsrentabilität der Finanzinvestition ist.Vom Kapitalmarkt kann das Entscheidungssubjekt beliebige Fremdkapitalbeträgezum gleichbleibenden, d.h., von der Höhe der Fremdkapitalaufnahme unabhängi-gen Grenzkostensatz k = i aufnehmen, der zugleich auch der Durchschnittskosten-satz des aufgenommenen Fremdkapitals ist. Das optimale Sachinvestitionsvolu-men hängt unter der Bedingung des vollkommenen Kapitalmarkts nicht von dersubjektiven Konsumnutzenfunktion des Entscheidungssubjekts ab, sondern vonder Höhe des Kapitalmarktzinses i = k. Abhängig von der Konsumnutzenfunk-tion des Entscheidungssubjekts ist jedoch, welcher Konsumplan optimal ist. Umdiese Abhängigkeit zu erläutern, sind in der Abbildung 21 drei verschiedene Ent-scheidungssubjekte A, B und C betrachtet worden.Übereinstimmend haben in dem der Abbildung 21 zugrundeliegenden Zahlenbei-spiel alle Entscheidungssubjekte den gleichen Eigenkapitalbetrag EK =6,180340. Auch die Sachinvestition stimmt für alle Entscheidungssubjekte über-ein. Für alle ist ein Sachinvestitionsvolumen von aS0 = 3,680340 optimal.

Das Entscheidungssubjekt A hat eine starke Präferenz für künftigen KonsumC1. Seine Konsumnutzenfunktion führt dazu, daß es als optimalen Konsumplanden Punkt A realisiert. Wegen seiner starken Präferenz für künftigen Konsum tä-tigt es im Zeitpunkt t = 0 zusätzlich zur Sachinvestition eine Finanzinvestition inHöhe von aF0 = 1,5. Aus der Sachinvestition erhält es eine Einzahlung in t = 1 voneS1 = 6,875. Aus der Finanzinvestition erwartet das Entscheidungssubjekt A int = 1 eine Einzahlung von eF1 = 2,25, so daß es insgesamt in t = 1 für Konsum-zwecke über C1 = eS1 + eF1 = 6,875 + 2,25 = 9,125 verfügt. Sein optimaler Kon-sumplan lautet: A = (C0, C1) = (1; 9,125).

dC1

dC0

= −eS1© = −(1+ r©).


Das Entscheidungssubjekt B hat aufgrund seiner Konsumnutzenfunktion keiner-lei Veranlassung, auf dem Kapitalmarkt zu operieren. Seine Sachinvestition vonaS0 = 3,680340 erlaubt ihm einen Konsum in t = 0 von C0 = EK - aS0 = 6,180340 -3,680340 = 2,5. Aus seiner Sachinvestition erhält es eine Einzahlung in t = 1 von

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,500

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0

Kon

sum

in t

= 1

Subjekt A

Subjekt B

Subjekt C

A

B

CD

E

Abbildung 21: Fisher-Hirshleifer-Modell: 2. Variante (vollkommener Kapi-talmarkt)

Fremdkapitalauf-nahme von C

Finanzinve-stition von A

Sachinvestition von A, B und C Kapital-

wertSachin-vestition

Konsum C0 von B

Kon-sum C0von A

Konsum C0 von C


eS1 = 6,875, die es konsumiert. Der optimale Konsumplan lautet B = (C0, C1) =(2,5; 6,875).Das Entscheidungssubjekt C hat eine starke Gegenwartspräferenz. Aus die-sem Grund nimmt es auf dem Kapitalmarkt Fremdkapital in Höhe von FK = 2,5auf, um damit Konsum in t = 0 zu finanzieren. Sein Konsum in t = 0 beträgt C0 =EK - aS0 + FK = 6,180340 - 3,680340 + 2,5 = 5. Im Zeitpunkt t = 1 erhält es ausseiner Sachinvestition eine Einzahlung von eS1 = 6,875. An seine Fremdkapitalge-ber muß es einen Betrag von FK • (1 + k) = 3,75 zahlen, so daß für Konsum in t =1 ein Betrag von C1 = eS1 - FK • (1 + k) = 6,875 - 3,75 = 3,125 übrigbleibt. Seinoptimaler Konsumplan lautet C = (C0, C1) = (5; 3,125).

Unabhängig von ihrer Konsumnutzenfunktion treffen die EntscheidungssubjekteA, B und C die gleiche Entscheidung über die Sachinvestition. Das optimale Sach-investitionsvolumen ist unter der Bedingung des vollkommenen Kapitalmarktesunabhängig von den Konsumnutzenfunktionen. Die Sachinvestitionsentscheidungkann vollständig losgelöst von der Konsumentscheidung getroffen werden. Wenndiese Bedingung gilt, so spricht man vom Fisher-Separations-Theorem. Die Trennung von Sachinvestitionsentscheidungen von den Konsumentscheidun-gen unter der Bedingung des vollkommenen Kapitalmarkts bedeutet auch, daßderjenige, der die Sachinvestitionsentscheidung zu treffen hat (Unternehmer), undderjenige, der die Konsumentscheidung trifft (Eigenkapitalgeber), personell nichtidentisch sein müssen. Die Funktion des Unternehmers (Agent) und des Eigenka-pitalgebers (Prinzipal) kann vielmehr personell auseinanderfallen, ohne daß demEigenkapitalgeber dies zum Nachteil gereicht. Der Unternehmer muß folglich fürsein Handeln im Interesse des Eigenkapitalgebers dessen Konsumnutzenfunktionnicht kennen. Er muß indes darauf verpflichtet werden, nur solche Sachinvestitio-nen zu realisieren, deren Grenzkapitalrentabilität nicht geringer als der Kapital-marktzins ist.In der Abbildung 22 ist die 3. Variante (unvollkommener Kapitalmarkt) desFisher-Hirshleifer-Modells erläutert. Das Entscheidungssubjekt verfügt wiederüber ein bestimmtes vorgegebenes Eigenkapital im Entscheidungszeitpunkt t = 0.Es kann neben der Sachinvestition und der (indes nicht relevanten!) Hortungsinve-stition auch eine Finanzinvestition tätigen. Diese Finanzinvestition weist eine vomInvestitionsvolumen unabhängige positive Grenzkapitalrentabilität in Höhe voni > 0 auf, die zugleich auch die Durchschnittsrentabilität der Finanzinvestition ist.Vom Kapitalmarkt kann das Entscheidungssubjekt beliebige Fremdkapitalbeträgezum gleichbleibenden, d.h., von der Höhe der Fremdkapitalaufnahme unabhängi-gen Grenzkostensatz k > i aufnehmen, der zugleich auch der Durchschnittskosten-satz des aufgenommenen Fremdkapitals ist. Das optimale Sachinvestitionsvolumen hängt unter der Bedingung des unvoll-kommenen Kapitalmarkts von der subjektiven Konsumnutzenfunktion des jeweili-gen Entscheidungssubjekts ab. Um diese Abhängigkeit zu erläutern, sind in derAbbildung 22 zwei verschiedene Entscheidungssubjekte A und C betrachtet wor-den.


Das Entscheidungssubjekt A hat eine starke Präferenz für künftigen Konsum C1.Seine Konsumnutzenfunktion führt dazu, daß es als optimalen Konsumplan denPunkt A realisieren möchte. Dazu ist es erforderlich, daß es eine Sachinvestitionin Höhe von aS0 = 3,680340 tätigt. Wegen seiner starken Präferenz für künftigenKonsum tätigt es außerdem im Zeitpunkt t = 0 noch eine Finanzinvestition in Hö-he von aF0 = 1,5. Aus der Sachinvestition erhält es eine Einzahlung in t = 1 voneS1 = 6,875. Aus der Finanzinvestition erwartet das Entscheidungssubjekt A in

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,500

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0

Kon

sum

in t

= 1

Subjekt A

Subjekt C

A

C

Y

X

Abbildung 22: Fisher-Hirshleifer-Modell: 3. Variante (unvollkommenerKapitalmarkt)

Finanzinve-stition von A

Sachinvestition vonC

KapitalwertSachinvestition

Konsum C0 von C

Kon-sum C0von A für C für ASachinvestition von A

Fremdkapital-aufnahme

von C

E

D


t = 1 eine Einzahlung von eF1 = 2,25, so daß es insgesamt in t = 1 für Konsum-zwecke über C1 = eS1 + eF1 = 6,875 + 2,25 = 9,125 verfügt. Sein optimaler Kon-sumplan lautet: A = (C0, C1) = (1; 9,125). Der Kapitalwert der Sachinvestitionfür Entscheidungssubjekt A ist mit dem Zinssatz der Finanzinvestition i zu be-stimmen und beträgt unter den Bedingungen des Zahlenbeispiels KS0 =eS1/(1+i) – aS0 = 0,902993. Der Kapitalwert der Sachinvestition für Entschei-dungssubjekt A kann als Differenzgröße auf der Abszisse abgelesen werden. Zudiesem Zweck wurde die sog. Habenzinskurve, die im Tangentialpunkt X be-ginnt und in Richtung auf die Ordinate verläuft (also nur in diese Richtung defi-niert ist!), mit geringerer Punktstärke in Richtung auf die Abszisse verlängert. AlsHabenzins bezeichnet man unter den Bedingungen des unvollkommenen Kapital-marktes die Rendite i der Finanzinvestition. Der Kapitalwert der Sachinvestitionfür Entscheidungssubjekt A ist gleich der Differenz zwischen dem Schnittpunktdieser verlängerten Habenzinskurve mit der Abszisse und dem Schnittpunkt derTransformationskurve mit der Abszisse. Da im benutzten Zahlenbeispiel der Zins-satz i gegenüber der Situation der 2. Variante nicht verändert worden ist, hat sichfür das Entscheidungssubjekt A in der Situation des unvollkommenen Kapital-markts gegenüber derjenigen des vollkommenen Kapitalmarkts nichts geändert.Das Entscheidungssubjekt C in Abbildung 22 hat – ähnlich wie in Abbildung21 – eine starke Gegenwartspräferenz, aber es handelt sich nicht um das glei-che Entscheidungssubjekt, wie man aus seiner Nutzenindifferenzlinie im Ver-gleich zu der in Abbildung 21 sehen kann. Wegen seiner starken Gegenwartsprä-ferenz ist das Entscheidungssubjekt C auch nicht bereit, so viel wie Entschei-dungssubjekt A zu investieren. Entscheidungssubjekt C wird nur zugunsten derSachinvestition auf Konsum heute verzichten, solange diese eine über demFremdkapitalzinssatz k liegende Grenzkapitalrentabilität r' aufweist. Denn würdees darüber hinaus investieren, so müßte es wegen seiner starken Gegenwartspräfe-renz weiteres Fremdkapital aufnehmen, um seinen Gegenwartskonsum zu finan-zieren. Dieses weitere Fremdkapital würde ihn indes in t = 1 mehr kosten, als dieweitere Sachinvestition für ihn in t = 1 erbringen würde. Entscheidungssubjekt Ckönnte demgemäß dann nur Konsumpläne realisieren, die von ihm schlechter be-urteilt würden als diejenigen, die es erreichen kann, falls es schon dann mit seinerSachinvestition aufhört, wenn deren Grenzkapitalrentabilität r' = k ist. Für das op-timale Sachinvestitionsvolumen des Entscheidungssubjekts C gilt folglich die-se Bedingung. Der Kapitalwert der Sachinvestition für das Entscheidungssub-jekt C ist daher auf der Basis des Fremdkapitalkostensatzes k zu bestimmen:KS0 = eS1/(1 + k) - aS0. Der Ausdruck eS1/(1 + k) ist dabei gleich dem maximalzahlbaren Betrag für die Sachinvestition. Denn würde in Höhe dieses BetragesFremdkapital FKmax = eS1/(1 + k) aufgenommen, so könnten Tilgung und Zins da-für gerade noch aus der Einzahlung eS1 der Sachinvestition vollständig gedecktwerden. Der tatsächlich zu zahlende Betrag für die Sachinvestition ist gleich demAusdruck aS0. Der Kapitalwert bestimmt sich also wieder als Differenz zwi-schen dem maximal zahlbaren Preis und dem tatsächlichen Preis: KS0 =FKmax - aS0 = 2,444444 – 2,180340 = 0,264105. Aufgrund seiner Konsumnutzen-funktion sieht das Entscheidungssubjekt C den Kosumplan C als optimal an. Da-her wird es nicht den Fremdkapitalbetrag FKmax – im Beispiel FKmax = 2,444444 –


aufnehmen, sondern nur ein Fremdkapital in Höhe von FK = 1,5. Sein Konsumin t = 0 beträgt C0 = EK - aS0 + FK = 6,180340 - 2,180340 + 1,5 = 5,5. Im Zeit-punkt t = 1 erhält es aus seiner Sachinvestition eine Einzahlung von eS1 = 4,4. Anseine Fremdkapitalgeber muß es einen Betrag von FK • (1 + k) = 2,7 zahlen, sodaß für Konsum in t = 1 ein Betrag von C1 = eS1 - FK • (1 + k) = 4,4 - 2,7 = 1,7übrigbleibt. Sein optimaler Konsumplan lautet C = (C0, C1) = (5,5; 1,7).

In Abbildung 22 ist nur der Fall dargestellt, daß ein Entscheidungssubjekt fürKonsumzwecke Fremdkapital aufnimmt. Das optimale Sachinvestitionsvolumenkann voll durch Eigenkapital finanziert werden. Sollte dies nicht der Fall sein,dann lohnt es sich, für Zwecke der Sachinvestitionsfinanzierung ebenfalls Fremd-kapital aufzunehmen. Graphisch ließe sich diese Situation darstellen, wenn man inAbbildung 22 die Ordinate so weit nach rechts verschiebt, daß der Punkt Y linksvon der Ordinate liegen würde, etwa beim jetzigen Abszissenwert 4,5. Die Fremd-kapitalaufnahme des Entscheidungssubjekts C würde dann weiterhin FK = 1,5 be-tragen, wobei das Entscheidungssubjekt davon jedoch 0,5 der Unternehmung fürInvestitionszwecke zur Verfügung stellen müßte und 1,0 für Konsumzwecke be-nötigen würde.


Es gilt:E = E0 + E1 + E2+…+ET-1 + ET

= a0 ∑E + a 1 ∑E + a 2 ∑E +…+ aT-1 ∑E + a T ∑E.Es gilt ferner:

K = a0 ∑E(1+ i)0 + a1 ∑E

(1+ i)1 +a2 ∑E(1+ i)2 +…+ aT-1 ∑E

(1+ i)T-1 +aT ∑E(1+ i)T

= E∑ a0

(1+ i)0 + a1

(1+ i)1 +a2

(1+ i)2 +…+ aT-1

(1+ i)T-1 +aT

(1+ i)T⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

K∑(1 + i)T = E∑ a0 ∑(1 + i)T

(1+ i)0 + a1 ∑(1 + i)T

(1+ i)1 + a2 ∑(1 + i)T

(1+ i)2 +…+ aT-1 ∑(1 + i)T

(1+ i)T-1 + aT ∑(1 + i)T

(1+ i)T⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

K∑(1 + i)T = E∑a 0 ∑(1 + i)T-0 + a1 ∑(1 + i)T-1 + a2 ∑(1 + i)T-2+…+aT-1 ∑(1 + i)T-(T-1) + aT ∑(1 + i)T-T[ ]K∑(1 + i)T = E∑ a t

t=0

T

∑ ∑(1 + i)T-t

oder

E = K∑(1 + i)T

att=0

T

∑ ∑(1 + i)T-t.

(1) (1+ i)T-t

t=1

T

∑ = (1+ i)T-1 + (1+ i)T-2+…+ (1+ i)T-(T-1) + (1+ i)T-T

(2) (1+ i)T-t

t=1

T

∑ = (1+ i)0 + (1+ i)1+…+ (1+ i)T-2 + (1+ i)T-1

(3) (1+ i)∑ (1 + i)T-t

t=1

T

∑ = (1+ i)1+… + (1+ i)T-1 + (1+ i)T

(4) = (3) − (2)

(1+ i)∑ (1 + i)T-t

t=1

T

∑ − (1+ i)T-t

t=1

T

∑ = −(1+ i)0 + (1+ i)T

oder

(1+ i)T-t

t=1

T

∑ ∑(1 + i) -1[ ] = (1+ i)T − (1+ i)0 = (1+ i)T −1

(1+ i)T-t

t=1

T

∑ = (1+ i)T −1(1+ i) -1[ ]

= (1+ i)T −1i


6./7. Vorlesung:

Entscheidungen über die Investitionsdauer

Bei unseren Überlegungen zum optimalen Investitionsvolumen war die Investi-tionsdauer vorgegeben. Sie betrug auf der Basis der betrachteten Modelle eine Pe-riode, was freilich über die reale Länge dieser Periode nichts aussagte. Typischer-weise wird bei Investitionsentscheidungen die Investitionsdauer vorgegeben. Imweiteren Verlauf werden wir dies ebenfalls wieder tun. In diesen beiden Vorlesun-gen soll jedoch die Investitionsdauer zum Entscheidungsproblem werden. Da-bei soll es um die Investitionsdauer von Sachinvestitionen gehen. In der Praxis istdie Investitionsdauer, d.h. die Zeitdauer der Nutzung eines Sachinvestitionsob-jekts, auch keine vorgegebene Größe, sondern unterliegt ökonomischen Kalkülen. Diese ökonomischen Kalküle können sich auf zwei Fragestellungen beziehen:1. Wie lange plant man, eine Sachinvestition, die erst noch realisiert werdensoll, voraussichtlich zu nutzen?2. Wie lange soll man eine Sachinvestition, die man schon realisiert hat, nochweiter nutzen?Die erste Fragestellung bezieht sich auf die optimale Investitionsdauer im Sin-ne der wirtschaftlichen Nutzungsdauer der Sachinvestition. Dabei können zwei Si-tuationen unterschieden werden: 1. die Situation einer einmaligen Investition (oh-ne geplanten Nachfolger) und 2. die Situation einer wiederholten Investition, einersog. (endlichen oder unendlichen) Investitionskette.Die zweite Fragestellung bezieht sich auf den optimalen Ersatzzeitpunkt, dasheißt, ob es sinnvoll ist, eine vorhandene Anlage noch eine weitere Periode zunutzen, oder ob es zweckmäßiger ist, sie sofort zu ersetzen.Entsprechend diesen Fragestellungen wird im Teil A. zum Problem der optimalenInvestitionsdauer einer einmaligen Investition, im Teil B. zum Problem deroptimalen Investitionsdauer bei wiederholter Investition und im Teil C. zumProblem des optimalen Ersatzzeitpunkts Stellung genommen.

A. Die optimale Investitionsdauer einer einmaligen Investition

Die grundlegenden Aussagen zur optimalen Investitionsdauer lassen sich mit Hil-fe eines einfachen Modells darstellen. Ausgangspunkt der Betrachtung ist wieder-um eine Welt mit lediglich zwei Investitionsalternativen: 1. eine Sachinvestition,für die die optimale Investitionsdauer bestimmt werden soll, und 2. als Alternativedazu eine Finanzinvestition, deren Laufzeit beliebig lange dauern kann und die ei-ne von der Laufzeit unabhängige, konstante Verzinsung erwarten läßt. Eine optimale Investitionsdauer kann es für eine Sachinvestition nur geben, wenndie entscheidungsrelevanten Tatbestände von der Länge der Investitionsdauer ab-hängig sind. Das Investitionsvolumen wird im Zeitpunkt t = 0 festgelegt. Es istnicht zeitabhängig. Zeitabhängig können die zukünftigen Konsequenzen, d.h. dienach dem Entscheidungszeitpunkt erwarteten Einzahlungen und Auszahlungensein. Diese müssen je nach betrachteter Investitionsdauer unterschiedlich sein. Imweiteren werden die künftigen Konsequenzen der Sachinvestition, soweit nichtsanderes gesagt ist, als Einzahlungsüberschüsse definiert. Ohne deren zeitliche Ab-hängigkeit gibt es keine von der Investitionsdauer abhängige Verzinsung derSachinvestition und damit keine optimale Investitionsdauer für eine Sachinvesti-

98 6./7. Vorlesung: Entscheidungen über die Investitionsdauer

tion. Die Zeitabhängigkeit der Sachinvestitionskonsequenzen ist eine notwendigeBedingung, aber noch keine hinreichende Bedingung für eine optimale Investi-tionsdauer im Bereich 0 < t < ∞. Gäbe es zwar eine zeitliche Abhängigkeit der Verzinsung der Sachinvestition,aber läge diese ständig unter oder ständig über der zeitunabhängigen Verzinsungder Vergleichsalternative (Finanzinvestition), so gäbe es ebenfalls keine optimaleInvestitionsdauer der Sachinvestition. In einer solchen Situation gäbe es bloß Do-minanzbeziehungen zwischen der Sachinvestition und der Finanzinvestition.Wenn die zeitabhängige Verzinsung der Sachinvestition immer unter der Verzin-sung der Finanzinvestition läge, würde keine Sachinvestition realisiert, also t = 0.Wenn die zeitabhängige Verzinsung der Sachinvestition immer über der Verzin-sung der Finanzinvestition läge, würde die Sachinvestition für alle Zeit realisiert,also t = ∞. Für eine (endliche) optimale Investitionsdauer ist es erforderlich, daßdie zeitliche Verzinsung der Sachinvestition im Zeitablauf teils über und teils un-ter der zeitunabhängigen Verzinsung der Finanzinvestition liegt. Die optimale In-vestitionsdauer ist erreicht, wenn sich eine weitere Nutzung der Sachinvestitionnicht mehr lohnt.Um diese Situation darzustellen, wollen wir zunächst die bisherige einperiodigeBetrachtung im Prinzip beibehalten, wobei jedoch die Periodenlänge im Sinne deroptimalen Investitionsdauer zu bestimmen ist. Das heißt, die betrachtete Sachin-vestition läßt sich durch ihre Anfangsauszahlung aS0 im Entscheidungszeitpunkt t= 0 und durch eine einmalige im Zeitpunkt 0 < t < ∞ erwartete GesamteinzahlungeS(t) charakterisieren. Es handelt sich um die Darstellung eines Reifemodells1.Die optimale Investitionsdauer ist erreicht, wenn der Reifeprozeß abgebrochenwerden soll. Die zeitlichen Grenzeinzahlungen e'S(t) der Sachinvestition in Ab-hängigkeit von der Investitionsdauer sollen zunächst steigen und danach fallen.Bevor die optimale Investitionsdauer der Sachinvestition bestimmt werden kann,muß zunächst die Entwicklung der Gesamteinzahlung der Finanzinvestition imZeitablauf erörtert werden.Für die Finanzinvestition soll gelten, daß sie – bezogen auf einen Zeitraum t = [0… 1] – Zinsen in Höhe von i pro investierter Kapitaleinheit erwarten läßt. Wirdder Betrag aF0 investiert, so erhöht er sich demgemäß im Zeitraum t auf den Be-trag

Das heißt, zum investierten Kapital aF0 kommt ein einmaliger, im Zeitpunkt t = 1fälliger Zinsbetrag aF0 • i hinzu. Der Faktor q = (1 + i) wird Aufzinsungsfaktorgenannt. Wird der Zeitraum t = [0 … 1] in sehr viele Teilperioden unterteilt (imExtrem unendlich viele, also kontinuierliche Betrachtung!), so kann man die zeit-liche Entwicklung des Einzahlungsbetrags eF(t) im Zeitraum t = [0 … 1] auch alsExponentialfunktion

eF(t) = aF0 • ec•t

eF1 = aF0 • (1 + i) = aF0 • q = aF0 + aF0 • i.

6./7. Vorlesung: Entscheidungen über die Investitionsdauer 99

1 Vgl. Gans, Bernd, Looss, Wolfgang, Zickler, Dieter: Investitions- und Finanzierungstheorie, 2. A., München1974, S. 62-66.

schreiben, wobei e = 2,718281828, also die Eulersche Zahl ist. Der Faktor c istdabei die sogenannte Momentanverzinsung, die dazu führt, daß im Zeitpunktt = 1 der Betrag eF1 = aF0 • (1 + i) und der Betrag eF (t=1) = aF0 • ec•1 gleich sind,also

gilt. Für die Momentanverzinsung c, auch Verzinsungsintensität, Verzinsungs-energie genannt, erhält man dann:

In der Abbildung 23 wird die Ermittlung der Momentanverzinsung graphisch er-läutert. Die obere Kurve ist dabei lediglich die lineare Verbindungslinie zwischenaF0 im Zeitpunkt t = 0 und eF1 im Zeitpunkt t = 1. Die untere Kurve ist dieWachstumskurve der Gesamteinzahlungen eF(t) bei mehrmaliger (ständiger) Fäl-ligkeit der Zinsen im Zeitraum t = [0 … 1] und sofortiger weiterer Verzinsungdes Kapitals und der fälligen Zinsen bis zum Zeitpunkt t = 1, zu dem Kapital undsämtliche Zinsen zur Zahlung gelangen sollen. Die Momentanverzinsung ist sodefiniert, daß im Zeitpunkt t = 1 die Gesamteinzahlungen eF1 und eF(t = 1) über-einstimmen.Wird das investierte Kapital bezogen auf einen Zeitraum t = [0 … T] mit T > 1insgesamt n–mal verzinst, d.h., wird der Zeitraum 0 bis T in n gleiche Verzin-sungsperioden unterteilt, wobei für jede Periode der Zinssatz i gilt, so erhöht sichdas investierte Kapital in der Finanzinvestition auf den Betrag

Das heißt, man erhält den Betrag eFT, indem das investierte Kapital aF0 n-mal mitdem Aufzinsungsfaktor q multipliziert wird. Auch hier gilt:

eFT = aF0 • (1 + i)n = eF (t=T) = aF0 • ec•n.

eFT = aF0 • (1 + i)n = aF0 • qn.

Neue Reihe Nr. 1 Neue Reihe Nr. 2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 100

1

2

3

4

0

Zeit

Ges

amte

inza

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g

Abbildung 23: Erläuterung der Momentanverzinsung

eF1 = aF0•(1 + i) eF(t) = aF0•ec•t

c = ln(1 + i).

aF0 • (1 + i) = aF0 • ec•1


01

23

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260

02468101214161820222426 0

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Einzahlungen am Ende der Investitionsdauer in Abhängigkeit von der Investitionsdauer6./7. Vorlesung: Entscheidungen über die Investitionsdauer 101

Abb

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Allgemein ist die Momentanverzinsung definiert als Verhältnis aus Einzahlungs-änderung (Grenzeinzahlung) e'(t) = de/dt und Einzahlung e(t):

Die Grenzeinzahlungen e'(t) = de/dt sind dabei als Zinsen im infinitesimal kleinenVerzinsungszeitraum dt auf das eingesetzte Kapital in Höhe der Einzahlung e(t)zu sehen. Die Momentanverzinsung entspricht bei einer logarithmierten Einzah-lungsfunktion deren erster Ableitung nach der Zeit, was gleich noch gezeigt wer-den soll. In der Abbildung 24 wird der Verlauf der Gesamteinzahlungen eS(t) der Sach-investition in Abhängigkeit von der Investitionsdauer dargestellt. Für die zeitli-chen Grenzeinzahlungen e'S(t) gilt, daß sie zunächst steigen und danach fallen.Außerdem ist in der Abbildung 24 noch der Verlauf der GesamteinzahlungeneF(t) der Finanzinvestition in Abhängigkeit von der Investitionsdauer einge-tragen. Es wird also wieder eine sehr einfache Wahlsituation betrachtet.Die in der Abbildung 24 betrachtete Sachinvestition könnte z.B. die Anlage einerBaumplantage sein. Die Gesamteinzahlungskurve eS(t) der Sachinvestition be-ginnt im Beispiel im Ursprung, also eS(t=0+) = 0. Dies kann, muß aber nicht sosein. Wenn man es so macht wie in Abbildung 24, so wird damit unterstellt, daßman bei einem Abbruch unmittelbar nach der Investition (Pflanzung), im sog.Zeitpunkt t = 0+, den Gesamtbetrag des Investitionsvolumens aS0 der Sachinve-stition, nämlich die Zahlungen für die Anlage dieser Pflanzung, verliert. Dies istsicherlich nicht unrealistisch. Man könnte die Gesamteinzahlungskurve der Sach-investition freilich auch in Höhe des Sachinvestitionsvolumens selber beginnenlassen1, eS(t=0+) = aS0. Dann hieße das, daß man bei einem Abbruch im Zeitpunktt = 0+ das Investitionsvolumen aS0 der Sachinvestition wieder erlöst, d.h., manhofft, daß sich jemand finden wird, der die vorgetane Arbeit voll honoriert. Denk-bar wäre es auch, daß die Gesamteinzahlungskurve der Sachinvestition oberhalbdes Sachinvestitionsvolumens beginnt, also eS(t=0+) > aS0 gilt. Dies hieße, daß eseinen (positiven) originären Goodwill gäbe, was eintreten kann, wenn es eineSachinvestition wäre, die nicht von jedermann realisiert werden kann, so daß derInvestor ein Monopol darauf hätte. Wenn sich dann mehrere dafür interessierenwürden, so könnte er eine Monopolrente erzielen. Die Idee zur Sachinvestitionwird in einem solchen Fall zusätzlich zur vorgetanen Arbeit noch honoriert.Diese Ausführungen sollten reichen als Begründung dafür, daß es für die weitereBetrachtung von geringer Bedeutung ist, wo die Gesamteinzahlungskurve derSachinvestition beginnt. Wichtig ist jedoch, daß stets das gleiche Investitions-volumen betrachtet wird, also aS0 = aF0 gilt, und daß die Gesamteinzahlun-gen eS(t) der Sachinvestition in Abhängigkeit von der Investitionsdauer we-nigstens teilweise größer als die Gesamteinzahlungen eF(t) der Finanzinvesti-

c =

dedt

e(t)= de

dt∑ 1

e(t).


1 Vgl. Gans, Bernd, Looss, Wolfgang, Zickler, Dieter: Investitions- und Finanzierungstheorie, 2. A., München1974, S. 63.

tion in Abhängigkeit von der Investitionsdauer sind. Dies ist in Abbildung 24der Fall. Der Graphik liegen folgende Funktionen zugrunde:

Das im Zahlenbeispiel zugrundegelegte Investitionsvolumen lautet: aS0 = aF0 = 1,die Verzinsung der Finanzinvestition beträgt i = 0,2. Um die optimale Sachinvestitionsdauer graphisch bestimmen zu können, muß dieDarstellung in Abbildung 24 so verändert werden, daß aus ihr die Momentanver-zinsungen bei der Sach- und der Finanzinvestition abgelesen werden können.Hierzu ist es erforderlich, die Gesamteinzahlungsfunktionen der Sach- und der Fi-nanzinvestition zu logarithmieren. Logarithmiert man die Gesamteinzahlungs-funktion der Finanzinvestition, so erhält man:

Die logarithmierte Gesamteinzahlungsfunktion der Finanzinvestition ist also eineGerade in Abhängigkeit von der Investitionsdauer t mit der Steigung ln (1+i) =ln (1+0,2), also der Momentanverzinsung der Finanzinvestition. Die erste Ab-leitung der Funktion ln eF(t) nach der Zeit ist:

Bei Logarithmierung der Gesamteinzahlungsfunktion der Sachinvestition er-hält man im Zahlenbeispiel:

Die Steigung der logarithmierten Gesamteinzahlungsfunktion der Sachinve-stition ist gleich der Momentanverzinsung der Sachinvestition. Es muß also dieerste Ableitung der Funktion ln eS(t) nach der Zeit gebildet werden. Man erhält:

Die erste Ableitung der logarithmierten Gesamteinzahlungsfunktion der Sachinve-stition ist zugleich auch das Verhältnis der Grenzeinzahlungen e'S(t) zu den Ge-samteinzahlungen eS(t) der Sachinvestition, also deren Momentanverzinsung:

ln© eS(t) = ln©800∑t 4

(3 + t)5 = 4t− 5

3 + t.

ln eS(t) = ln 800∑t 4

(3 + t)5 = ln 800 + 4∑ln t − 5∑ln(3 + t).

ln© eF (t) = ln(1+ 0,2).

ln eF (t) = ln(aF0 ∑et∑ln(1+ i ) ) = ln aF0 + t∑ln(1+ i)∑ ln e

oder unter Zugrundelegung der Zahlenwerteln eF (t) = ln 1+ t∑ln(1+ 0,2)∑ln e

= 0 + t∑ln(1+ 0,2)∑1= t∑ln(1+ 0,2).

eS(t) = 800∑t 4

(3 + t)5 und eF (t) = aF0 ∑et∑ln(1+ i ) = 1∑e t∑ln(1+ 0,2).


01

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3,54 0

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Logarithmierte Einzahlungen am Ende der Investitionsdauer in Abhängigkeit von derInvestitionsdauer sowie Momentanverzinsungen


Abb

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Logarithmus des VerhältnisseseS(t = tSopt)/eF(t = tSopt)

Der Anstieg der logarithmierten Gesamteinzahlungsfunktion der Sachinvestitionverläuft fallend in Abhängigkeit von der Zeit. Die optimale Sachinvestitionsdau-er ist erreicht, wenn die Momentanverzinsung der Sachinvestition auf diegleichbleibende Momentanverzinsung der Finanzinvestition abgesunken ist,das heißt, wenn die logarithmierten Gesamteinzahlungsfunktionen von Sach- undFinanzinvestition die gleiche Steigung haben.Graphisch läßt sich die optimale Sachinvestitionsdauer (vgl. Abbildung 25)bestimmen, indem die logarithmierte Gesamteinzahlungskurve ln eF(t) der Finanz-investition parallel verschoben wird, bis sie zur Tangente an die logarithmierteGesamteinzahlungskurve ln eS(t) der Sachinvestition wird, und vom Tangential-punkt das Lot auf die Abszisse gefällt wird. Man erhält auf diese Weise diejenigeInvestitionsdauer, bei der der Kapitalwert der Sachinvestition in Abhängigkeitvon der Investitionsdauer maximal wird:

Wird diese Kapitalwertfunktion nach der Zeit differenziert und gleich Null ge-setzt, so erhält man:

Die erste Ableitung der Kapitalwertfunktion nach der Zeit wird gleich Null, wennder Zähler gleich Null wird:

Diese Bedingung besagt, daß es sinnvoll ist, die Investition weiter zu nutzen, solange die Veränderung ihrer Einzahlung bei Verlängerung der Investitionsdauer(Grenzeinzahlungen e'S(t)) größer ist, als die (momentanen) Zinsen, die die Anla-ge der Gesamteinzahlung eS(t) auf dem Kapitalmarkt (Finanzinvestition!) erwar-ten läßt. Der Ausdruck e'S(t) gibt an, was man zusätzlich bei einer Verlängerungder Investitionsdauer "erlöst", der Ausdruck ln(1 + i) • eS(t) gibt an, was eine sol-che Verlängerung "kostet". Die Differenz e'S(t) – ln(1+i)•eS(t) ist mithin ein "zeit-licher Grenzgewinn". Wenn der "zeitliche Grenzgewinn" gleich Null wird,lohnt sich eine Verlängerung der Investitionsdauer nicht mehr.Aus der genannten Bedingung folgt dann:e©S (t)eS(t)

= ln(1 + i).

e©S (t) − ln(1 + i)∑e S(t) = 0.

K©S0 (t) = e©S (t)∑e t∑ln(1+ i ) − ln(1 + i)∑e t∑ln(1+ i ) ∑e S(t)e2∑t∑ln(1+ i )

= e©S (t) − ln(1 + i)∑e S(t)et∑ln(1+ i ) = 0.

KS0 (t) = eS(t)et∑ln(1+ i ) − aS0.

ln© eS(t) = eS©(t)

eS(t)=

800∑4∑t 3 ∑(3 + t)5 − 5∑(3 + t)4 ∑800∑t 4

(3 + t)10

800∑t 4

(3 + t)5

= 4t− 5

3 + t.


Der linke Ausdruck ist, wie schon gezeigt, die Momentanverzinsung der Sach-investition, also der Anstieg der logarithmierten Gesamteinzahlungsfunktionln eS(t) der Sachinvestition. Der rechte Ausdruck ist die Momentanverzinsungder Finanzinvestition, also der Anstieg der logarithmierten Gesamteinzahlungs-funktion ln eF(t) der Finanzinvestition.

Der Schnittpunkt der parallel verschobenen logarithmierten Gesamteinzahlungs-funktion ln eF(t) der Finanzinvestition mit der Ordinate gibt die Differenzln eS (t = topt) – ln eF (t = topt) an. Diese Differenz stellt den Logarithmus des Ver-hältnisses der Gesamteinzahlungen von Sach- und Finanzinvestition bei der opti-malen Investitionsdauer der Sachinvestition dar, also gilt:

Die Differenz ln eS (t = topt) – ln eF (t = topt) ist im Tangentialpunkt (vgl. Abbil-dung 25) am größten. Daß dort auch der Kapitalwert der Sachinvestition in Ab-hängigkeit von der Investitionsdauer am größten ist, läßt sich auch auf folgendeWeise zeigen. Denn das Verhältnis eS(t)/eF(t) ist nicht bloß das Verhältnis der Ge-samteinzahlungen von Sach- zu Finanzinvestition, sondern zugleich auch der umden konstanten Faktor 1/aF0 veränderte maximal zahlbare Preis Pmax der Sach-investition. Für den maximal zahlbaren Preis Pmax der Sachinvestition gilt:

Für den Kapitalwert der Sachinvestition gilt, wie dargelegt:

Der Nenner et•ln (1+i) ist wegen eF(t) = aF0 • et•ln (1+i) jedoch gleich der um den

konstanten Faktor 1/aF0 veränderten Gesamteinzahlungsfunktion der Finanz-investition, also 1/aF0 • eF(t) = et•ln (1+i). Für den Kapitalwert der Sachinvestitionin Abhängigkeit von der Investitionsdauer kann daher auch geschrieben werden:

Wird dies berücksichtigt, so erhält man für den maximal zahlbaren Preis Pmaxder Sachinvestition bei optimaler Investitionsdauer:

Das heißt, der Ausdruck ln eS (t = topt) – ln eF (t = topt) ist der Logarithmus des umden konstanten Faktor 1/aF0 veränderten maximal zahlbaren Preises, alsoln Pmax – ln aF0.

Pmax = KS0 (t = topt ) + aS0 = (aF0 ∑e S(t)eF (t)

− aS0 ) + aS0 = aF0 ∑e S(t)eF (t)

.

KS0 (t) = eS(t)1

aF0

eF (t)− aS0 = aF0 ∑e S(t)

eF (t)− aS0.

KS0 (t) = eS(t)et∑ln(1+ i ) − aS0.

Pmax = KS0 (t = topt ) + aS0.

lneS(t = topt )eF (t = topt )

= ln eS(t = topt ) − ln eF (t = topt ).


Da der Logarithmus einer Funktion eine die ordinale Rangordnung nicht verän-dernde Umformung ist – also, wenn ln x1 < ln x2 richtig ist, auch x1 < x2 gilt, weilln x eine streng monoton wachsende Funktion für alle x > 0 ist –, kann aus

geschlossen werden, daß dementsprechend

gilt. Da 1/aF0 ein konstanter positiver Faktor ist, ist dort, wo 1/aF0 • Pmax maximalist, auch Pmax selber maximal.

Da der Kapitalwert der Sachinvestition sich aus dem maximal zahlbaren Preisdurch Abzug des tatsächlichen Preises (Sachinvestitionsvolumen aS0!) der Sachin-vestition ergibt, ist dementsprechend der Kapitalwert der Sachinvestition dannmaximal, wenn der maximal zahlbare Preis maximiert ist.Bezogen auf das der Abbildung 25 zugrundeliegende Zahlenbeispiel giltln Pmax – ln aF0 = 1,813870. Daraus folgt 1/aF0 • Pmax = 6,134141, wegen aF0 = 1folgt Pmax = 6,134141. Beim zugrundegelegten Sachinvestitionsvolumen aS0 = 1beträgt der maximale Kapitalwert der Sachinvestition bei optimaler Investi-tionsdauer KS0 = 5,134141.

In der Abbildung 26 sind die Ergebnisse unserer Betrachtung aufgegriffen und indie nichtlogarithmische Darstellung übertragen worden. Man erhält die optimaleSachinvestitionsdauer, indem man die Gesamteinzahlungskurve eF(t) der Fi-nanzinvestition waagerecht parallel verschiebt. Der Tangentialpunkt dieser Pa-rallele mit der Gesamteinzahlungskurve eS(t) der Sachinvestition bestimmt dieoptimale Sachinvestitionsdauer. Würde der maximal zahlbare PreisPmax = 6,134141 als Kapital in die Finanzinvestition investiert, so erhält man nachder optimalen Investitionsdauer von tSopt = 4,912689 aus der Finanzinvestition imZahlenbeispiel eine Gesamteinzahlung

Diese stimmt, wie aus Abbildung 26 ersehen werden kann, mit derjenigen aus derSachinvestition bei optimaler Investitionsdauer überein. Dargestellt ist in Abbil-dung 26 auch der Verlauf der Kapitalwertfunktion KS0(t).

Aus der Abbildung 26 kann auch hergeleitet werden, wie sich der Investor in be-zug auf Sach- und Finanzinvestitionen verhalten soll, wenn er unterschiedliche In-vestitionsdauern ins Auge faßt. Bei einer ins Auge gefaßten Investitionsdauer klei-ner als der 1. Schnittpunkt der Gesamteinzahlungskurven von Sach- und Fi-nanzinvestition, im Beispiel t = 1,190021, ist es sinnvoll, nur die Finanzinvesti-tion zu wählen. Bei einer Investitionsdauer ab diesem 1. Schnittpunkt bis zuroptimalen Investitionsdauer topt = 4,912689 der Sachinvestition ist es zweck-

eF (t = tSopt) = Pmax • etSopt•ln (1+i) = 6,134141 • e4,912689•ln (1+0,2) = 15,022653.

1aF0

∑Pmax → max!

ln eS(t)eF (t)

= ln eS(t) - ln eF (t) → max!


01

23

45

67

89

1011

1213

1415

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2021

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02468101214161820222426 0 -2

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Einzahlungen am Ende der Investitionsdauer in Abhängigkeit von der Investitionsdauer108 6./7. Vorlesung: Entscheidungen über die Investitionsdauer

Abb

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mäßig, nur die Sachinvestition zu wählen, und zwar von Anfang an. Bei einer ge-wünschten Investitionsdauer, die darüber liegt, ist es sinnvoll, bis zu topt =4,912689 die Sachinvestition und danach die Finanzinvestition zu wählen, wobeidie Gesamteinzahlung eS (t = topt) = 15,022653 ab dem Zeitpunkt topt zum Zinssatzder Finanzinvestition anzulegen ist. Diese Verhaltensempfehlungen für die in Ab-bildung 26 beschriebenen Investitionsmöglichkeiten sind in der nachfolgendenTabelle zusammengefaßt:

Es sei jetzt die einperiodige Betrachtung aufgegeben. Bei mehrperiodiger konti-nuierlicher Betrachtung hat eine Investition nicht bloß zu Beginn und am Endeder Investitionsdauer eine Zahlungskonsequenz, sondern während der gesamtenInvestitionsdauer. Für die Bestimmung der optimalen Investitionsdauer ist der Ka-pitalwert der Sachinvestition in Abhängigkeit von der Investitionsdauer zu maxi-mieren:

Hierbei sind e'S(t) die zeitlichen Grenzeinzahlungen aus der Sachinvestition. Wodas Maximum des Kapitalwerts liegt, hängt allein von der Größe der Grenzeinzah-lungen e'S(t) ab. Sind diese immer negativ, so liegt die "optimale" Investitionsdau-er am unteren Rand des Definitionsbereichs, also bei t = 0, was freilich heißt, daßdie Sachinvestition nicht getätigt wird. Sind die zeitlichen Grenzeinzahlungen im-mer positiv, so liegt das Maximum am oberen Rand des Definitionsbereichs, alsoin t = ∞, d.h., es gibt keine (endliche) optimale Investitionsdauer. Eine endlicheoptimale Investitionsdauer ergibt sich, wenn die Grenzeinzahlungen im zeitlichenAblauf das Vorzeichen wechseln, also bei stetigem Verlauf einen Nulldurchganghaben:

Es müssen dabei möglicherweise mehrere lokale Extremwerte miteinander ver-glichen werden, wenn e'S(t) mehrere Nullstellen hat. Eine eindeutige Lösungstellt sich ein, wenn die Grenzeinzahlungsfunktion e'S(t) nur einen Null-durchgang mit negativer Steigung hat. Wenn sie nach dem Nulldurchgangstets negativ bleibt, ist es unerheblich, wie sie im einzelnen verläuft.In der Abbildung 27 wird das Problem der Ermittlung der optimalen Investitions-dauer der Sachinvestition bei mehrperiodiger kontinuierlicher Betrachtungsweise

e©S (t)∑ 1et∑ln(1+ i ) = 0 oder e©S (t) = 0.

KS0 (t) = e©S (t)∑ 1et∑ln(1+ i )

0

t

∫ ∑dt − aS0 → max!

Gewünschte Investitions-dauer

Verhaltensempfehlung für die Kapitalanlage in Ab-hängigkeit von der gewünschten Investitionsdauer

t < 1,190021 nur Finanzinvestition

1,190021 ≤ t ≤ 4,912689 nur Sachinvestition

I > 4,912689bis tSopt = 4,912689 Sachinvestition und danach

Anlage von eS (t = topt) als Finanzinvestition


schematisch erläutert, wobei der Fall mehrerer Extremwerte des Kapitalwerts derSachinvestition dargestellt ist. Die Bestimmung des Kapitalwerts in Abhängigkeitvon der Zeit stellt sich graphisch als Flächenbestimmung dar, wobei jedoch vonder ermittelten Fläche immer noch das Anfangsinvestitionsvolumen abzuziehenist. Das heißt, die Flächenbetrachtung führt lediglich zum maximal zahlbarenPreis Pmax(t) für die Sachinvestition in Abhängigkeit von der Investitionsdauer.Der Kapitalwert der Sachinvestition ist dann: KS0(t) = Pmax(t) - aS0. Der Kapital-wert der Sachinvestition zum Zeitpunkt des ersten lokalen Extremums (Kapi-talwertmaximum) ist größer als der Kapitalwert der Sachinvestition beim zwei-ten lokalen Extremum (Kapitalwertminimum), aber kleiner als der Kapitalwertder Sachinvestition beim absoluten Kapitalwertmaximum.

Bei mehrperiodiger kontinuierlicher Betrachtung einschließlich eines imZeitablauf fallenden Liquidationserlöses L(t) ist zur Bestimmung der optimalenInvestitionsdauer der Kapitalwert der Sachinvestition in Abhängigkeit von der In-vestitionsdauer gemäß folgender Formel zu maximieren:

Die notwendige Bedingung für ein Maximum der Kapitalwertfunktion innerhalbdes Definitionsbereichs lautet dann:

KS0© (t) = e©S (t)∑ 1

et∑ln(1+ i ) + L©(t)∑e t∑ln(1+ i ) − L(t)∑ln(1+ i)∑e t∑ln(1+ i )

e2∑t∑ln(1+ i ) = 0

oder

e©S (t)∑ 1et∑ln(1+ i ) = L(t)∑ln(1+ i)∑e t∑ln(1+ i ) − L©(t)∑e t∑ln(1+ i )

e2∑t∑ln(1+ i ) = L(t)∑ln(1+ i) − L©(t)et∑ln(1+ i )

oder

KS0 (t) = e©S (t)∑ 1et∑ln(1+ i )

0

t

∫ ∑dt + L(t)∑ 1et∑ln(1+ i ) − aS0 → max!

Lokales Kapitalwert- maximum

Absolutes Kapitalwert- maximum

Lokales Kapitalwert- minimum

Zeit

Abgezinste Grenzeinzahlungen Sachinvestition

Abbildung 27: Schematische Erläuterung der Bestimmung der optimalenInvestitionsdauer bei mehrperiodiger kontinuierlicher Betrachtungsweise


Die optimale Investitionsdauer ist erreicht, wenn die Grenzeinzahlungen e'(t)gleich den momentanen Zinsen L(t) • ln(1 + i) auf den Liquidationserlös L(t) ab-züglich der (negativen!) Veränderung des Liquidationserlöses L'(t) sind; d.h., diemomentanen Zinsen werden um den Betrag der Veränderung des Liquidationser-löses erhöht. Gleichbedeutend damit ist die Bedingung, daß die Grenzeinzahlun-gen e'(t) unter Berücksichtigung der (negativen!) Veränderung des Liquidationser-löses L'(t) den momentanen Zinsen L(t) • ln(1 + i) auf den Liquidationserlös L(t)entsprechen.Da der Ausdruck L(t) • ln(1 + i) – L'(t) wegen des im Zeitablauf fallenden Liqui-dationserlöses stets positiv ist, bedeutet dies, daß die optimale Investitionsdauerbei Berücksichtigung eines im Zeitablauf fallenden Liquidationserlöses bei glei-cher zeitabhängiger Grenzeinzahlungsfunktion e'(t) sich gegenüber einer Situationohne einen Liquidationserlös verkürzt. Dieser Effekt wird in dem nachfolgendenBeispiel gezeigt, dem folgende Funktionen zugrundeliegen:

α ist die Rate, um die der Liquidationserlös pro Periode sinkt. Die relevanten Zah-lenwerte stehen in der nachfolgenden Tabelle:

Ohne zu berücksichtigenden Liquidationserlös beträgt die optimale Investitions-dauer t = 13,817446, mit zu berücksichtigendem Liquidationserlös t = 13,522440.

Zeit eS'(t) L(t) nnn L'(t) L(t)•ln(1+i) L(t)•ln(1+i)-L'(t)0 0,000000 70,000000 -11,376325 12,762509 24,1388341 9,016414 59,500000 -9,669876 10,848133 20,5180092 17,568734 50,575000 -8,219395 9,220913 17,4403083 25,216752 42,988750 -6,986486 7,837776 14,8242614 31,566810 36,540438 -5,938513 6,662109 12,6006225 36,292055 31,059372 -5,047736 5,662793 10,7105296 39,149270 26,400466 -4,290575 4,813374 9,1039507 39,991386 22,440396 -3,646989 4,091368 7,7383578 38,775060 19,074337 -3,099941 3,477663 6,5776049 35,562896 16,213186 -2,634950 2,956013 5,59096310 30,520233 13,781208 -2,239707 2,512611 4,75231911 23,906628 11,714027 -1,903751 2,135720 4,03947112 16,062496 9,956923 -1,618188 1,815362 3,43355013 7,391593 8,463385 -1,375460 1,543057 2,918518

13,522440 2,680945 7,774451 -1,263495 1,417450 2,68094513,817446 0,000000 7,410506 -1,204347 1,351095 2,555442

14 -1,659772 7,193877 -1,169141 1,311599 2,48074015 -10,625704 6,114795 -0,993770 1,114859 2,10862916 -19,044709 5,197576 -0,844704 0,947630 1,79233517 -26,483440 4,417940 -0,717999 0,805486 1,52348418 -32,559012 3,755249 -0,610299 0,684663 1,29496219 -36,958701 3,191961 -0,518754 0,581963 1,10071820 -39,456045 2,713167 -0,440941 0,494669 0,935610

eS©(t) = b∑sin t

d∑π mit b = 40, d = 1,4 und π = 3,14159 sowie

L(t) = aS0 ∑(1 − α)t mit aS0 = 70 und α = 0,15.

e©S (t) = L(t)∑ln(1+ i) − L©(t)odere©S (t) + L©(t) = L(t)∑ln(1+ i).


B. Die optimale Investitionsdauer bei wiederholter Investition

Es soll nun betrachtet werden, wie sich die optimale Investitionsdauer verändert,wenn von vornherein eine Nachfolgeinvestition geplant ist. An die erste Sachin-vestition schließt sich eine zweite an, an diese eine dritte usw.. Wenn dies der Fallist, so spricht man von einer Investitionskette.Um die Betrachtung einfach und anschaulich halten zu können, sei zunächst einezweigliedrige Investitionskette betrachtet, wobei wir bezogen auf jede Investi-tion vom Reifemodell ausgehen wollen. Das heißt, jede Sachinvestition wirddurch ihre Anfangsauszahlung und durch ihre am Ende ihrer Investitionsdauer er-wartete Gesamteinzahlung charakterisiert. Für jedes Glied der Investitionskettesollen dabei die gleichen Gesetzmäßigkeiten bezogen auf die Gesamteinzahlun-gen in Abhängigkeit von der Investitionsdauer gelten. Diese letztere Vorausset-zung ist strenggenommen nicht erforderlich, vereinfacht aber die weitere Betrach-tung.In einer solchen Situation ist der Kapitalwert der betrachteten Investitionskette,hier bestehend aus den Sachinvestitionen A und B, zu maximieren:

Hierbei ist der erste Ausdruck gleich dem Kapitalwert der (ersten) Investition Aund der zweite Ausdruck gleich dem auf den Zeitpunkt t = 0 abgezinsten Kapital-wert der (zweiten) Investition B zum Zeitpunkt tA, also zum Zeitpunkt des Be-ginns der zweiten Investition B.Bezogen auf den Nachfolger B gilt, daß er so genutzt wird, als wäre er kein Gliedeiner Investitionskette. Dies bedeutet, daß die Zeitdifferenz zwischen dem Endeder Investition B und dem Ende der Investition A, also die optimale Investitions-dauer für B: toptB = tB – tA, unabhängig von der Länge der Investitionsdauer tAder Investition A ist. Daraus folgt, daß der Kapitalwert

der Nachfolgeinvestition B feststeht. Das Problem ist also die Bestimmung deroptimalen Nutzungsdauer toptA für die Investition A unter Berücksichtigungder geplanten Nachfolgeinvestition B. Ist die optimale Investitionsdauer toptA fürdie Investition A bestimmt, dann ist auch zugleich die Nutzungsdauer der gesam-ten Investitionskette bestimmt, die bis zum Zeitpunkt tB = toptA + toptB reicht.

Eine Nutzung der Investition A lohnt sich, solange der Grenzkapitalwert der Inve-stitionskette in Abhängigkeit von der Investitionsdauer tA noch nicht negativ ist.Dies ist der Fall, solange

gilt. Der Bruch ist gleich dem Kapitalwert der Investition B zum Zeitpunkt t = 0:

K©K0 (tA ) = K©A0 (tA ) − ln(1+ i)∑KBt A

(tB - tA )et A ∑ln(1+ i ) ≥ 0

KBt A(tB - tA )

KK0 (tA , tB) = KA0 (tA ) +KBt A

(tB - tA )et A ∑ln(1+ i ) → max!


KB0 ist der Barwert des Kapitalwerts KBtA der Investition B. Das heißt, der

Kapitalwert der Investitionskette wird maximal, wenn der Grenzkapitalwert derInvestition A gleich den Zinsen auf den Barwert des Kapitalwerts KBtA

der Inve-stition B ist:

Denn wird die Nutzungsdauer tA der Investition A verlängert, so bedeutet dies,daß der Beginn der Investition B entsprechend hinausgeschoben wird. Dies hat je-doch zur Konsequenz, daß der Barwert KB0 entsprechend kleiner wird, da der Ka-pitalwert KBtA

der Investition B einen längeren Zeitraum abgezinst wird. EineVerlängerung der Nutzungsdauer der Investition A lohnt sich nur, wenn diese Ab-nahme des Barwerts noch durch eine Zunahme des Kapitalwerts der InvestitionA kompensiert wird. Diese Kompensation ist nicht mehr möglich, wenn derGrenzkapitalwert der Investition A kleiner als die Zinsen auf den Barwert KB0 ist.Bei kontinuierlicher Betrachtung ist für die Berechnung dieser Zinsen die Mo-mentanverzinsung der Finanzinvestition zu verwenden. Das heißt, die optimale In-vestitionsdauer der Investition A endet schon zu einem Zeitpunkt, in dem derGrenzkapitalwert der Investition A noch positiv ist. Die optimale Investitionsdau-er der Investition A ist folglich kürzer als im Fall ohne Nachfolger.Äquivalent der Bedingung

ist die Aussage, daß der Kapitalwert der Investitionskette maximal wird, wenn deraufgezinste Grenzkapitalwert K'A0(t) • et•ln(1+i) der Anfangsinvestition Agleich den Zinsen auf den Kapitalwert der Nachfolgeinvestition B zum Zeit-punkt tA ist:

Der aufgezinste Grenzkapitalwert K'A0(t) • et•ln(1+i) der Investition A ist nichtgleich den Grenzeinzahlungen e'A(t) der Investition A. Zwischen den Grenz-einzahlungen und dem aufgezinsten Grenzkapitalwert gilt folgende Beziehung(vgl. auch S. 105):

K©A0 (t) = e©A (t) − ln(1 + i)∑e A (t)et∑ln(1+ i )

oderK©A0 (t)∑e t∑ln(1+ i ) = e©A (t) − ln(1 + i)∑e A (t)odere©A (t) = K©A0 (t)∑e t∑ln(1+ i ) + ln(1 + i)∑e A (t).

K©A0 (tA )∑e t A ∑ln(1+ i ) = ln(1+ i)∑K B0 ∑et A ∑ln(1+ i ) = ln(1+ i)∑K Bt A

(tB - tA ).

K©A0 (tA ) = ln(1+ i)∑K B0

K©A0 (tA ) = ln(1+ i)∑K B0.

KB0 =KBt A

(tB - tA )et A ∑ln(1+ i ) .


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Für den aufgezinsten Grenzkapitalwert gilt:

Das heißt, der aufgezinste Grenzkapitalwert ist gleich (vgl. S. 105) dem zeitlichenGrenzgewinn e'S(t) - ln(1+i) • eS(t).

Unter Berücksichtigung der schon genannten Bedingung

läßt sich die Bedingung (vgl. S. 112) für die Nutzung der Anfangsinvestition Aauch wie folgt formulieren:

Das heißt, es geht bei der Entscheidung über die Investitionsdauer in einer Investi-tionskette um einen zweifachen Vergleich. Einerseits darf der zeitliche Grenzge-winn (linker Klammerausdruck!) nicht negativ sein. Dies bedeutet, daß manbei der Verlängerung der Sachinvestitionsdauer die Sachinvestition mit deralternativen Finanzinvestition vergleicht. Andererseits darf der Gesamtaus-druck nicht negativ sein, d.h., der zeitliche Grenzgewinn darf nicht kleiner als diemomentane Verzinsung des Kapitalwerts der Nachfolgeinvestition B sein. Dies istder Vergleich zwischen der Vorgängerinvestition A und der Nachfolgeinvesti-tion B, wobei die Nachfolgeinvestition B selber schon mit der Finanzinvesti-tion (wegen der Kapitalwertbetrachtung!) verglichen worden ist. Daß sich ei-ne Verlängerung der Investitionsdauer der Investition A nur lohnt, wenn der Ge-samtausdruck nicht negativ ist, ist dabei die engere Bedingung.In der Abbildung 28 wird die Ermittlung der optimalen Investitionsdauer für dieInvestition A für den Fall, daß eine Nachfolgeinvestition B geplant ist, unter Ver-wendung des benutzten Zahlenbeispiels am Reifemodell erläutert. Dargestellt isteinerseits die Kapitalwertfunktion KA0(t) der Investition A, wie sie auch ausAbbildung 26 ersehen werden kann, andererseits deren Grenzkapitalwertfunk-tion K'A0(t) und die Zinsen auf den – in Abhängigkeit von der Investitions-dauer tA abgezinsten – maximalen Kapitalwert KBtA

der Investition B. DerSchnittpunkt beider Kurven liegt bei t = 4,225812. Zur gleichen optimalen Investi-tionsdauer für die Investition A (mit Nachfolger B) kommt man, wenn man sicham Schnittpunkt der Kurve des aufgezinsten GrenzkapitalwertsK'A0(t) • et•ln(1+i) der Anfangsinvestition A mit der Kurve der Zinsen auf denmaximalen Kapitalwert KBtA

der Nachfolgeinvestition B orientiert.

Außerdem ist die Kapitalwertfunktion KK0(t) der Investitionskette in Abhän-gigkeit vom Ersatzzeitpunkt für die Investition A wiedergegeben.Während ohne Nachfolger die Investition A bis zum Maximum ihres Kapitalwertsgenutzt würde, nämlich bis t = 4,912689, wird sie mit einem geplanten NachfolgerB nur bis zum Zeitpunkt t = 4,225812 genutzt. Der maximale Kapitalwert KBtA– im Zahlenbeispiel KBtA

= 5,134141 – der Investition B entspricht dabei dem ma-

e©A (t) − ln(1 + i)∑e A (t)[ ]− ln(1+ i)∑K Bt A(tB - tA ) ≥ 0.

K©A0 (tA )∑e t A ∑ln(1+ i ) = ln(1+ i)∑K Bt A(tB - tA )

K©A0 (t)∑e t∑ln(1+ i ) = e©A (t) − ln(1 + i)∑e A (t).


ximalen Kapitalwert der Investition A. Der maximale Kapitalwert der Investi-tionskette beträgt im Beispiel KK0 = 7,369752. Die optimale Investitionsdauerder Investitionskette beträgt toptK = toptA + toptB = 4,225812 + 4,912689 =9,138501, wobei die angegebene Aufteilung dieser optimalen Investitionsdauerder Investitionskette auf ihre beiden Glieder entscheidend ist.

In der vorstehenden Tabelle sind die Ergebnisse zusammengestellt. Wird der imZeitpunkt t = 4,225812 sich ergebende Einzahlungsüberschuß von 11,950822 zumZinssatz der Finanzinvestition bis zum Zeitpunkt t = 9,138501 aufgezinst, so er-wartet der Investor unter Berücksichtigung der Einzahlung aus der Investition Bdann zum Zeitpunkt t = 9,138501 eine Gesamteinzahlung von 44,290492. Um die-se Gesamteinzahlung aus der Finanzinvestition allein zu erhalten, müßte er Pmax =KK0 + aS0 = 8,369752 im Zeitpunkt t = 0 investieren. Bei Realisation der Investi-tionskette spart er folglich einen Betrag in Höhe des Kapitalwerts der Investitions-kette von 7,369752. Wenn die Bedingung gleicher Kapitalwertfunktionen in Abhängigkeit von derZeit für die Glieder der Investitionskette erfüllt ist, gleichgültig auf der Basis wel-cher Zahlungsströme, so spricht man von identischen Investitionen1. IdentischeInvestitionen sind also nicht bloß bei physischer Identität gegeben. In der Lite-ratur wird die Investitionskettenbetrachtung üblicherweise auf die Wiederholungsolcher identischen Investitionen beschränkt2. Für den Fall solcher identischen In-vestitionen gilt das sog. Gesetz der Ersatzinvestition von Preinreich3. Dies be-sagt, daß in "einer endlichen Kette identischer Investitionen … die Nutzungsdauerjeder Anlage länger als die ihrer Vorgängerin und kürzer als die ihrer Nachfolge-rin"4 ist. Die Kernaussage dieses Gesetzes der Ersatzinvestition ist, daß sichdie Investitionsdauer eines Kettengliedes um so mehr verkürzt, je mehrNachfolger es hat, und daß die optimale Investitionsdauer des letzten Gliedesderjenigen ohne Nachfolger entspricht.

Zeit Investitionskette Summe Abzinsungsfak-tor Barwert

t Investition A Investition B A+B e-t•ln(1+0,2)0 -1 -1 1 -1

4,225812 12,950822 -1 11,950822 0,462802 5,5308619,138501 15,022653 15,022653 0,188974 2,838891

Summe 7,369752

Zeit Finanzinvestition Investitionskettet mit aF0 = Pmax0 -8,369752 -1

9,138501 44,290492 44,290492


1 Vgl. Schneider, Dieter: Investition, Finanzierung und Besteuerung, 6. A., Nachdruck, Wiesbaden 1991, S. 101;Busse von Colbe, Walther, Laßmann, Gert: Betriebswirtschaftstheorie, Bd. 3, Investitionstheorie, 3. A., Berlin,Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo, Hong Kong 1990, S. 137, die von identischen Investitionen nursprechen wollen, wenn zusätzlich auch die Investitionsvolumina der Investitionskettenglieder übereinstimmen;im von uns benutzten Zahlenbeispiel gilt dies auch.

2 Vgl. Perridon, Louis, Steiner, Manfred: Finanzwirtschaft der Unternehmung, 6. A., München 1991, S. 76.

3 Vgl. Preinreich, Gabriel A.D.: Replacement in the Theory of the Firm, in: Metroeconomica 1953, S. 68-86.

4 Schneider, Dieter: Investition, Finanzierung und Besteuerung, 6. A., Nachdruck, Wiesbaden 1991, S. 102.

Für den Fall einer endlichen Investitionskette ist jedoch eine solche Be-schränkung der Aussage des Gesetzes der Ersatzinvestition auf identische In-vestitionen nicht erforderlich1. Die Kapitalwertfunktionen der Nachfolgerkönnen vielmehr verschieden sein, müssen jedoch in ihrer Abhängigkeit vonder Investitionsdauer bekannt sein und dürfen sich nicht dadurch verändern,daß die Nutzungsdauer ihrer Vorgänger variiert. Feststehen muß auch, wiedie einzelnen Investitionen aufeinander folgen. Auch in einem solchen Fallstellt sich – im Vergleich zur jeweiligen einmaligen Investition – die Verkürzungder optimalen Investitionsdauer ein, auch wenn wegen der Unvergleichbarkeit derKettenglieder die eingängige Formulierung des Gesetzes der Ersatzinvestitionnicht übernommen werden kann.Von identischen Investitionen ist lediglich im Falle einer sogenannten unend-lichen Investitionskette auszugehen, weil ansonsten keine Grenzwertbetrach-tung möglich ist.Bei einer endlichen identischen Investitionskette (vgl. Abbildung 28) wird dieNutzungsdauer der ersten Investition, hier Investition A genannt, dann abgebro-chen, wenn der aufgezinste Grenzkapitalwert K'A0(t)•et•ln(1+i) der Anfangsinvesti-tion A gleich den Zinsen auf den Kapitalwert ihrer Nachfolger ist, im Beispielgleich den Zinsen auf den Kapitalwert von Investition B. Bei einer unendlichen identischen Investitionskette ist zu ermitteln, gegen wel-chen Grenzwert der Kapitalwert aller Nachfolger strebt. Die optimale Investi-tionsdauer des ersten Gliedes (Investition A!) einer solchen Kette ist erreicht,wenn dessen aufgezinster Grenzkapitalwert K'A0(t)•et•ln(1+i) gleich den Zinsen aufden Kapitalwert KK0•ln(1+i) der unendlichen identischen Investitionskette ist. Die-se Zinsen sind gleich der Annuität des Kapitalwerts KA0(tA)•w der Investition A:

wie gleich noch zu zeigen sein wird – mit w als ebenfalls noch zu erläuterndemWiedergewinnungs- oder Annuitätenfaktor.Für eine unendliche identische Investitionskette gilt, daß jedes Glied dieser Ketteselber wiederum ein erstes Glied einer Kette mit unendlich vielen Nachfolgern ist.Daraus folgt, daß für jedes Glied der Investitionskette von einer gleichen optima-len Investitionsdauer auszugehen ist. Diese optimale Investitionsdauer ist je-doch kürzer als diejenige bei einmaliger Investition. Man muß diese optimaleInvestitionsdauer für das erste Kettenglied (also für Investition A und damit auchfür alle Nachfolger!) aber erst noch bestimmen. Ausgangspunkt dafür ist derGrenzwert für den Kapitalwert einer unendlichen identischen Investitionskette,der aus der Summenformel für den Kapitalwert einer endlichen identischen Inve-stitionskette

herzuleiten ist. Daraus folgt:

KK0 (tA ) = KA0 (tA ) + KA0 (tA )et A ∑ln(1+ i ) + KA0 (tA )

e2∑t A ∑ln(1+ i ) +…+ KA0 (tA )e(n-1)∑t A ∑ln(1+ i ) + KA0 (tA )

en∑t A ∑ln(1+ i )

KK0 = KA0 (tA )∑wln (1+ i)

oder KK0 ∑ln (1+ i) = KA0 (tA )∑w,


1 Vgl. Kruschwitz, Lutz: Investitionsrechnung, 4. A., Berlin, New York 1990, S. 151-156, der auch "nicht-identi-sche Investitionsketten" betrachtet.

Für den Klammerausdruck kann man auch schreiben:

Wird dies berücksichtigt, so ergibt sich als Summenformel für eine endliche iden-tische Investitionskette:

Wenn n → ∞ geht, so ergibt sich folgender Grenzwert für eine unendliche identi-sche Investitionskette:

In dieser Formel ist w der Wiedergewinnungsfaktor einer endlichen kontinuierli-chen Zahlung vom Wert 1 bis zum Zeitpunkt tA, w • KA0(tA) ist die Annuität zumKapitalwert KA0(tA). Der Ausdruck 1/ln(1+i) ist die kaufmännische Kapitalisie-rungsformel für den Fall einer kontinuierlichen Verzinsung, die als Grenzwertdes Barwertfaktors 1/w hergeleitet werden kann. Der Kapitalwert KK0(tA) einer unendlichen identischen Investitionskette läßtsich folglich als Barwert einer unendlichen nachschüssigen Zahlungsreihe mitZahlungsgliedern in Höhe der Annuität des Kapitalwerts des ersten Investitions-kettengliedes w • KA0(tA) bestimmen.

limn→∞

KK0 (tA ) = limn→∞

KA0 (tA )∑1- 1

e(n+1)∑t A ∑ln(1+ i )

1 - 1et A ∑ln(1+ i )

= KA0 (tA )∑ 1

1- 1et A ∑ln(1+ i )

− limn→∞

KA0 (tA )∑

1e(n+1)∑t A ∑ln(1+ i )

1 - 1et A ∑ln(1+ i )

= KA0 (tA )∑ et A ∑ln(1+ i )

et A ∑ln(1+ i ) -1 = KA0 (tA )

ln (1+ i)∑ln (1+ i)∑e t A ∑ln(1+ i )

et A ∑ln(1+ i ) -1

= KA0 (tA )∑ln (1+ i)∑e t A ∑ln(1+ i )

et A ∑ln(1+ i ) -1∑ 1

ln (1+ i)= KA0 (tA )∑w∑ 1

ln (1+ i)

= KA0 (tA )∑wln (1+ i)

.

KK0 (tA ) = KA0 (tA ) + 1et A ∑ln(1+ i ) ∑(K K0 (tA ) − KA0 (tA )

en∑t A ∑ln(1+ i ) ) oder

(1- 1et A ∑ln(1+ i ) )∑K K0 (tA ) = KA0 (tA )∑(1- 1

e(n+1)∑t A ∑ln(1+ i ) ) oder

KK0 (tA ) = KA0 (tA )∑1- 1

e(n+1)∑t A ∑ln(1+ i )

1 - 1et A ∑ln(1+ i )

.

KK0 (tA ) − KA0 (tA )en∑t A ∑ln(1+ i ) .

KK0 (tA ) = KA0 (tA ) + 1et A ∑ln(1+ i ) ∑(K A0 (tA ) + KA0 (tA )

et A ∑ln(1+ i ) + KA0 (tA )e2∑t A ∑ln(1+ i ) +…+ KA0 (tA )

e(n-1)∑t A ∑ln(1+ i ) )


Wichtig ist jedoch, daß man bedenkt, daß in dieser (Grenzwert-)Formel fürden Kapitalwert KK0(tA) einer unendlichen identischen Investitionskette die(optimale) Investitionsdauer tA des Anfangsgliedes (Investition A) dieser un-endlichen identischen Investitionskette noch nicht bestimmt ist.tA ist so zu bestimmen, daß der gerade ermittelte Grenzwert maximal wird, wobeiwir auf die nicht erweiterte Fassung der Formel zurückgreifen:

Zur Bestimmung seines Maximums in Abhängigkeit von der Investitionsdauer tAdes Anfangsgliedes (Investition A – und damit auch aller anderen Kettenglieder,weil jedes Kettenglied selber unendlich viele Nachfolger hat!) ist der Kapitalwertder unendlichen identischen Investitionskette nach der Variablen tA unterVerwendung der Quotientenregel (für rechten Ausdruck!) und Produktregel (fürGesamtausdruck!) zu differenzieren und die erste Ableitung ist gleich Null zusetzen:

Der Kapitalwert einer unendlichen identischen Investitionskette ist bei derje-nigen Nutzungsdauer maximal, bei der der aufgezinste GrenzkapitalwertK'A0(t) • et•ln(1+i) der Anfangsinvestition A (linker Ausdruck!) gleich der Annui-

K©K0 (tA ) = KA0 (tA )∑ln(1+ i)∑e t A ∑ln(1+ i ) ∑e t A ∑ln(1+ i ) -1[ ]− ln(1+ i)∑e t A ∑ln(1+ i ) ∑e t A ∑ln(1+ i )

et A ∑ln(1+ i ) -1[ ]2

+ K©A0 (tA )∑ et A ∑ln(1+ i )

et A ∑ln(1+ i ) -1= 0

oder

K©A0 (tA )∑ et A ∑ln(1+ i )

et A ∑ln(1+ i ) -1+ KA0 (tA )∑

ln(1+ i)∑e t A ∑ln(1+ i ) ∑ e t A ∑ln(1+ i ) -1[ ]− et A ∑ln(1+ i ){ }et A ∑ln(1+ i ) -1[ ]2 = 0

oder

K©A0 (tA )∑ et A ∑ln(1+ i )

et A ∑ln(1+ i ) -1+ KA0 (tA )∑ln(1+ i)∑e t A ∑ln(1+ i ) ∑ -1{ }

et A ∑ln(1+ i ) -1[ ]2 = 0 ∑et A ∑ln(1+ i ) -1et A ∑ln(1+ i )

oder

K©A0 (tA ) - KA0 (tA )∑ ln(1+ i)et A ∑ln(1+ i ) -1

= 0

oder

K©A0 (tA ) = KA0 (tA )∑ ln(1+ i)et A ∑ln(1+ i ) -1

∑e t A ∑ln(1+ i )

oder

K©A0 (tA )∑e t A ∑ln(1+ i ) = KA0 (tA )∑ln(1+ i)∑e t A ∑ln(1+ i )

et A ∑ln(1+ i ) -1.

KA0 (tA )∑ et A ∑ln(1+ i )

et A ∑ln(1+ i ) -1→ max!


00,

20,

40,

60,

81

1,2

1,4

1,6

1,8

22,

22,

42,

62,

83

3,2

3,4

3,6

3,8

44,

24,

44,

64,

85

5,2

5,4

5,6

5,8

66,

26,

46,

66,

80

012345678910 0 -1 -2 -3

Inve

stitio

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Abb

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tät ihres Kapitalwerts (rechter Ausdruck!) ist. Wenn dies gilt, ist der Grenzkapi-talwert K'K0(t) der unendlichen identischen Investitionskette gleich Null.

In der Abbildung 29 sind für das benutzte Zahlenbeispiel die zur Bestimmung deroptimalen Investitionsdauer der Anfangsinvestition A einer unendlichen identi-schen Investitionskette erforderlichen Kurven dargestellt. Man kann erkennen,daß sich die optimale Investitionsdauer für die Anfangsinvestition A vont = 4,912689 (im Falle einer einmaligen Investition ohne Nachfolger!) auft = 3,674263 im Falle einer Investitionskette mit unendlich vielen Nachfolgernverkürzt. Da bei einer unendlichen identischen Investitionskette jedes Glied sel-ber Anfangsglied einer unendlichen identischen Kette ist, ist die optimale Investi-tionsdauer jedes Kettenglieds demgemäß t = 3,674263. Zur Erinnerung sei noch einmal erwähnt, daß im Falle einer zweigliedrigen identi-schen Investitionskette die optimale Investitionsdauer für die AnfangsinvestitionA den Wert t = 4,225812 angenommen hatte. Daß für den Fall einer unendlichenidentischen Investitionskette die optimale Nutzungsdauer der Anfangsinvestitionkürzer sein muß als im Falle einer zweigliedrigen identischen Investitionsketteund letztlich einem Grenzwert, im Zahlenbeispiel t = 3,674263, zustreben muß,folgt aus dem Gesetz der Ersatzinvestition.Deutlich erkennbar ist aus der Abbildung 29, daß dort, wo der Kapitalwert derunendlichen identischen Investitionskette in Abhängigkeit von der Investitions-dauer für die Anfangsinvestition A (also zugleich für alle!) maximal wird, nämlichdort, wo der aufgezinste Grenzkapitalwert K'A0(t)•et•ln(1+i) der Anfangsinvesti-tion A gleich der Annuität ihres Kapitalwerts ist, der Kapitalwert des einzelnenKettengliedes nicht maximal ist1. Bei einer Investitionsdauer von t = 3,674263 wird in unserem Reifemodell eineGesamteinzahlung von

bei einer Anfangsauszahlung aA0 = 1 erwartet. Der Kapitalwert der Investition Abei dieser Nutzungsdauer beträgt:

Das heißt, die Annuität des Kapitalwerts der Investition A bei t = 3,674263 ist:

Der aufgezinste Grenzkapitalwert K'A0(t) • et•ln(1+i) der Anfangsinvestition A beit = 3,674263 ist:

KA0 (t = 3,674263)∑ln(1+ i)∑e t∑ln(1+i)

et∑ln(1+i) -1= 4,634062∑ln(1+ 0,2)∑e 3,674263∑ln(1+0,2)

e3,674263∑ln(1+0,2) -1= 1,730484.

KA0 (t = 3,674263) = eA (t = 3,674263)et∑ln(1+i) − aA0 = 11,009165

e3,674263∑ln(1+0,2) −1 = 4,634062.

eA (t = 3,674263) = 800∑t 4

(3 + t)5 = 800∑3,674263 4

(3 + 3,674263)5 = 11,009165.


1 Mißverständlich Schneider, Dieter: Investition, Finanzierung und Besteuerung, 6. A., Nachdruck, Wiesbaden1991, S. 103, der vom "im Zeitablauf maximale(n) Kapitalwert für die einzelne Investition" spricht.

Der Kapitalwert der unendlichen identischen Investitionskette, in der jedes Gliedeine Nutzungsdauer von t = 3,674263 hat, ist:

Die Zinsen auf diesen Kapitalwert betragen:

Das heißt, alle genannten Bedingungen sind erfüllt.Bei optimaler Nutzungsdauer aller Kettenglieder ergeben sich dann folgende Zah-lungserwartungen für die unendliche identische Investitionskette:

Das heißt, um die gleichen Gesamteinzahlungsüberschüsse nach dem ersten Inve-stitionszeitpunkt (t = 0) wie aus der unendlichen identischen Sachinvestitionsketteaus einer Finanzinvestition zu erhalten, muß man dort einen um den Kapitalwert

Zeit Investitionskette Summe Finanzinvestition SummeAuszah-lungen

Einzahlun-gen

Auszah-lungen

Einzahlun-gen

0 -1 -1 -10,49138 -10,491383,6742631 -1 11,009165 10,009165 -10,49138 20,500548 10,0091657,3485262 -1 11,009165 10,009165 -10,49138 20,500548 10,00916511,022789 -1 11,009165 10,009165 -10,49138 20,500548 10,00916514,697052 -1 11,009165 10,009165 -10,49138 20,500548 10,00916518,371316 -1 11,009165 10,009165 -10,49138 20,500548 10,00916522,045579 -1 11,009165 10,009165 -10,49138 20,500548 10,00916525,719842 -1 11,009165 10,009165 -10,49138 20,500548 10,00916529,394105 -1 11,009165 10,009165 -10,49138 20,500548 10,00916533,068368 -1 11,009165 10,009165 -10,49138 20,500548 10,00916536,742631 -1 11,009165 10,009165 -10,49138 20,500548 10,00916540,416894 -1 11,009165 10,009165 -10,49138 20,500548 10,00916544,091157 -1 11,009165 10,009165 -10,49138 20,500548 10,009165

usw. usw. usw. usw. usw. usw. usw.

KK0 (tA = 3,674263)∑ln(1+ i) = 9,491382∑0,182322 = 1,730484.

KK0 (tA = 3,674263) = KA0 (tA )∑ et A ∑ln(1+ i )

et A ∑ln(1+ i ) −1

= 4,634062∑ e3,674263∑ln(1+ 0,2)

e3,674263∑ln(1+ 0,2) −1

= 4,634062∑1,9540370,954037

= 9,491382.

K©A0 (t)∑e t∑ln(1+ i ) = e©A (t) − ln(1 + i)∑e A (t)oder

K©A0 (t)∑e t∑ln(1+ i ) = 800∑4∑t 3 ∑(3 + t)5 − 5∑(3 + t)4 ∑800∑t 4

(3 + t)10 − ln(1 + 0,2)∑800∑t 4

(3 + t)5

oder

K©A0 (t)∑e t∑ln(1+ i ) = 800∑4∑3,674263 3 ∑(3 + 3,674263)5 − 5∑(3 + 3,674263)4 ∑800∑3,674263 4

(3 + 3,674263)10

− ln(1 + 0,2)∑11,009165oderK©A0 (t)∑e t∑ln(1+ i ) = 3,737692 − 2,007208 = 1,730484.


der Sachinvestitionskette höheren Betrag (d.h. Pmax der Sachinvestitionskette!),nämlich 10,491383, investieren. Der Kapitalwert der Sachinvestitionskette KK0 =9,491383 ist also, wie schon dargelegt, gleich der Differenz Pmax - aS0 =10,491383 - 1. Er ist eine Auszahlungsersparnis.


C. Der optimale Ersatzzeitpunkt einer vorhandenen Sachinvestition

Es geht jetzt um das Problem, ob eine schon vorhandene Sachinvestition auf derBasis aktueller Informationen fortgeführt oder im Vergleich zu den ursprüngli-chen Planungen vorzeitig beendet werden soll. Das Problem der Bestimmung desoptimalen Ersatzzeitpunkts einer vorhandenen Sachinvestition ist also ein Pro-blem der Veränderung von entscheidungsrelevanten Informationen im Zeit-ablauf.Entschieden wird freilich jeweils, ob die vorhandene Sachinvestition noch fortge-führt werden soll oder nicht. Bei Nicht-Fortführung kann dies Abbruch der In-vestitionsdauer ohne Ersatz oder mit Ersatz bedeuten. Stets geht es aber nurum die Entscheidung über die weitere Fortführung bis zum nächsten Ent-scheidungszeitpunkt. Falls sich im Falle der Nicht-Fortführung ein Ersatz an-schließen soll, geht es ausschließlich um den sofortigen Ersatz. Es wird demge-mäß keine optimale Restnutzungsdauer für die vorhandene Sachinvestition be-stimmt.Die theoretischen Grundlagen für diese Entscheidungen sind schon erarbeitet wor-den.Wenn kein Ersatz vorgesehen ist, geht es um eine Abbruchentscheidung. Theo-retisch kann man daher auf das Kriterium für die Verlängerung der Investi-tionsdauer bei einmaliger Sachinvestition (vgl. S. 105) zurückgreifen:

Wenn ein einmaliger Ersatz vorgesehen ist, geht es um die Entscheidung überFortführung bis zum nächsten Entscheidungszeitpunkt oder über sofortigenErsatz. Theoretisch kann man daher auf das Kriterium für die Verlängerungder Investitionsdauer bei einer zweigliedrigen Investitionskette (vgl. S. 112)zurückgreifen:

Falls ein mehrmaliger (späterer) Ersatz vorgesehen ist, geht es ebenfalls um dieEntscheidung über Fortführung bis zum nächsten Entscheidungszeitpunktoder über sofortigen Ersatz. Möglicher Anknüpfungspunkt ist eine endliche(mehr als zweigliedrige) identische Investitionskette. Wenn die Zahl der späterenErsatzinvestitionen nicht abgeschätzt werden kann, aber als sehr groß anzunehmenist, kann man auf das Kriterium für die Verlängerung der Investitionsdauerbei einer unendlichen identischen Investitionskette (vgl. S. 119) zurückgreifen:

e©A (t) − ln(1 + i)∑e A (t)[ ]− ln(1+ i)∑K Bt A(tB - tA ) > 0

odere©A (t) − ln(1 + i)∑e A (t)[ ] > ln(1+ i)∑K Bt A

(tB - tA )

odere©A (t) > ln(1+ i)∑K Bt A

(tB - tA ) + ln(1 + i)∑e A (t).

e©A (t) − ln(1 + i)∑e A (t) > 0odere©A (t) > ln(1 + i)∑e A (t).


Diesen drei Entscheidungskriterien liegt eine kontinuierliche Betrachtungsweisezugrunde, weil es bei ihrer Herleitung um die Entscheidung über die Investitions-dauer ging. In allen diesen Entscheidungskriterien ist der linke Ausdruck (bezo-gen auf die jeweils letzte Formulierung der Kriterien!) gleich der erwarteten posi-tiven Konsequenz einer Fortführung und der rechte Ausdruck gleich der da-mit verbundenen negativen Konsequenz einer Fortführung.Bezogen auf das jetzige Problem, nämlich weitere Fortführung oder sofortigerAbbruch oder sofortiger Ersatz, müssen diese noch einmal in Erinnerung geru-fenen Entscheidungskriterien umformuliert werden. Ihnen muß jetzt eine diskon-tinuierliche Betrachtungsweise zugrundegelegt werden. Denn sinnvollerweisewird dieses Problem nicht ständig aufgeworfen, sondern nur in periodischen Ab-ständen, weil der Entscheidungsprozeß selber wiederum Zeit und Ressourcenein-satz benötigt.Zunächst soll die Überführung des ersten Entscheidungskriteriums in die dis-kontinuierliche Betrachtungsweise auf der Basis des zugrundegelegten Reife-modells dargestellt werden, um unmittelbar an die bisherigen Ausführungen an-knüpfen zu können. Graphisch ergibt sich dann das folgende Bild (vgl. Abbil-dung 30 (links)):

K©A0 (tA )∑e t A ∑ln(1+ i ) - KA0 (tA )∑ln(1+ i)∑e t A ∑ln(1+ i )

et A ∑ln(1+ i ) -1> 0

oder

e©A (t) − ln(1 + i)∑e A (t)[ ]− KA0 (tA )∑ln(1+ i)∑e t A ∑ln(1+ i )

et A ∑ln(1+ i ) -1> 0

oder

e©A (t) − ln(1 + i)∑e A (t)[ ] > KA0 (tA )∑ln(1+ i)∑e t A ∑ln(1+ i )

et A ∑ln(1+ i ) -1

oder wegen KA0 (tA )∑ln(1+ i)∑e t A ∑ln(1+ i )

et A ∑ln(1+ i ) -1= ln(1 + i)∑K K0 (tA )

e©A (t) − ln(1 + i)∑e A (t)[ ] > ln(1 + i)∑K K0 (tA )odere©A (t) > ln(1 + i)∑K K0 (tA ) + ln(1 + i)∑e A (t).


Führt man die Investition unter Zugrundelegung des Reifemodells um eine Perio-de fort, so ist die positive Konsequenz eine Gesamteinzahlung eA(t+1), die imnächsten Entscheidungszeitpunkt t+1 anfällt. Die negative Konsequenz ist, daßman auf die Gesamteinzahlung eA(t), die im Entscheidungszeitpunkt t bei Ab-bruch anfallen würde, verzichtet. Diese Konsequenzen können einerseits bezogen auf den Zeitpunkt t oder anderer-seits bezogen auf den Zeitpunkt t+1 beurteilt werden. Beurteilt man die Konsequenzen bezogen auf den Zeitpunkt t, so muß die positi-ve Konsequenz eA(t+1) auf den Zeitpunkt t abgezinst werden. Man erhält dann alsEntscheidungskriterium:

Die Fortführung ist so lange sinnvoll, wie der Barwert der GesamteinzahlungeA(t+1) zum Zeitpunkt t nicht kleiner als die Gesamteinzahlung eA(t) ist. Giltdie Gleichheitsbedingung, so kann die Investition (gerade) noch um die betrachte-te Periode fortgeführt werden. Da die Betrachtungsperiode der Zeitraum zwischenden Zeitpunkten t und t+1 ist, muß auf diese Periode auch der Zinssatz i definiertwerden.Beurteilt man die Konsequenzen bezogen auf den Zeitpunkt t+1, so erhält manals Entscheidungskriterium:eA (t + 1) ± eA (t)∑(1 + i) ≥ 0

eA (t + 1)(1 + i)

− eA (t) ≥ 0.

t t+1 t t+1

eA(t)

e'A

L(t)

eA(t+1)

L(t+1)

e'A

Abbildung 30: Schematische Darstellung des Reifemodells (links) unddes mehrperiodigen Modells (rechts) bei diskontinuierlicher Betrachtung


Das heißt, die Fortführung lohnt sich nur, wenn die Gesamteinzahlung eA(t+1)nicht kleiner als die aufgezinste Einzahlung eA(t), also eA(t) • (1+i), ist. Dasgilt, wenn die Differenz zwischen dem Einzahlungszuwachs e'A und den Zin-sen eA(t) • i auf die Einzahlung eA(t) des Zeitpunkts t nicht negativ ist. DerEinzahlungszuwachs e'A wird bei diskontinuierlicher Betrachtung als DifferenzeA(t+1) – eA(t) gemessen (vgl. Abbildung 30, linke Seite). Die letztere Formulie-rung des Fortführungskriteriums besagt, daß eine Fortführung sinnvoll ist, solangeder zeitliche Grenzgewinn e'A - eA(t) • i nicht negativ ist. Sie ist unmittelbar mitdem Entscheidungskriterium bei kontinuierlicher Betrachtung (vgl. S. 105) ver-gleichbar.Jetzt soll die Bedingung für die Fortführung und gegen den sofortigen Ab-bruch der Sachinvestition auf der Basis eines mehrperiodigen Modells in diediskontinuierliche Betrachtungsweise überführt werden, d.h., die Investition hat– anders als im Reifemodell – zu mehreren Zeitpunkten Einzahlungserwartungen.Eine Fortführung der Investition um eine Periode hat zwei positive Konsequen-zen: 1. den erwarteten Liquidationserlös L(t+1) im Zeitpunkt t+1 und 2. den Pe-riodeneinzahlungsüberschuß e'A dieser Periode, der nachschüssig erwartetwird. Die negative Konsequenz einer Entscheidung zur Fortführung ist der Ver-zicht auf den Liquidationserlös L(t) im Zeitpunkt t. Realistischerweise ist davonauszugehen, daß der Liquidationserlös im Zeitablauf sinkt, so daß gilt:L(t) > L(t+1) (vgl. Abbildung 30, rechte Seite). Der Liquidationserlös sollte nichtmit dem bilanzierten Restbuchwert des Sachinvestitionsobjekts verwechselt wer-den. Letzterer ist entscheidungsirrelevant.Auch hier können die Konsequenzen einerseits bezogen auf den Zeitpunkt t oderandererseits bezogen auf den Zeitpunkt t+1 beurteilt werden. Beurteilt man dieKonsequenzen bezogen auf den Zeitpunkt t, so muß die folgende Bedingung gel-ten, wenn sich eine Fortführung lohnen oder noch zulässig sein soll:

Das heißt, die Fortführung ist sinnvoll, wenn der Barwert der Summe ausnachschüssigem Periodeneinzahlungsüberschuß e'A und LiquidationserlösL(t+1) nicht kleiner als der Liquidationserlös L(t) im Zeitpunkt t ist.Werden die Konsequenzen auf der Basis des Zeitpunkts t+1 beurteilt, so erhältman als Fortführungsbedingung:e©A +L(t + 1)[ ] ± L(t)∑(1 + i) ≥ 0

e©A +L(t + 1)(1 + i)

− L(t) ≥ 0.

odereA (t + 1) ± eA (t)[ ] ± eA (t)∑i ≥ 0

odere©A ± eA (t)∑i ≥ 0.


Das heißt, die Fortführung ist sinnvoll, wenn die Summe aus nachschüssigemPeriodeneinzahlungsüberschuß e'A und Liquidationserlös L(t+1) nicht klei-ner als der aufgezinste Liquidationserlös L(t), also L(t) • (1 + i), ist. Andersausgedrückt, eine Fortführung ist sinnvoll, solange der erwartete Periodenein-zahlungsüberschuß e'A noch ausreicht, um den Rückgang des Liquidationser-löses L(t) – L(t+1) während der Periode und die entgangenen Zinsen i • L(t)auf den bei sofortigem Abbruch zu erwartenden Liquidationserlös L(t) zukompensieren. Der Ausdruck

ist dabei nichts anderes als der zeitliche Grenzgewinn. Vom "Erlös" e'A derFortführung werden die "Kosten"[(L(t) - L(t+1)) + i • L(t)] der Fortführungabgezogen. Bleibt ein "Gewinn" übrig, so sollte man die vorhandene Investi-tion noch nicht abbrechen, sondern noch fortführen. Ist der "Gewinn" gleichNull, so läßt eine Fortführung weder einen Vor- noch einen Nachteil erwarten.Der Ausdruck L(t) – L(t+1) gibt die erwartete Wertminderung des Investitionsob-jekts während der nächsten Nutzungsperiode an. Diese Wertminderung als Rück-gang des Liquidationserlöses sollte nicht mit den "kalkulatorischen Abschrei-bungskosten" des Investitionsobjekts verwechselt werden. Der Ausdruck i • L(t)drückt einen Zinsentgang aus. Er sollte nicht mit den "kalkulatorischen Zinsko-sten" verwechselt werden.Man kann das Entscheidungskriterium auch umformulieren zu:

In dieser Umformulierung kann der linke Ausdruck als Rentabilitätsgröße inter-pretiert werden. Der Zähler stellt dabei den in der Nutzungsperiode erwarteten(zusätzlichen) Überschuß aus der Sachinvestition dar. Der Nenner gibt die Höhedes gebundenen Kapitals in der Sachinvestition an. Eine Fortführung ist also sinn-voll, wenn die Kapitalrendite der Sachinvestition nicht kleiner als die zum Ver-gleich herangezogene Rendite der Finanzinvestition ist. Inhaltlich handelt es sichdabei jeweils um eine Grenzrendite. Betrachtet man das Entscheidungskriterium für den Fall eines einmaligen Ersat-zes

e©A (t) − ln(1 + i)∑e A (t)[ ] > ln(1+ i)∑K Bt A(tB - tA )

e©A − (L(t) ± L(t + 1)) + i∑L(t)[ ] ≥ 0odere©A − L(t) ± L(t + 1)[ ] ≥ i∑L(t)odere©A − L(t) ± L(t + 1)[ ]

L(t)≥ i.

e©A − (L(t) ± L(t + 1)) + i∑L(t)[ ]

odere©A − (L(t) ± L(t + 1)) + i∑L(t)[ ] ≥ 0.


und das Entscheidungskriterium für den Fall des Ersatzes durch eine unendlicheidentische Investitionskette

unter den Bedingungen einer kontinuierlichen Betrachtungsweise, so sieht man,daß stets der zeitliche Grenzgewinn der Investition A (linker Ausdruck!) mitden momentanen Zinsen auf den Kapitalwert ihres Ersatzobjekts (rechterAusdruck!) verglichen wird, wobei dieses Ersatzobjekt einerseits eine einzigeInvestition B und andererseits eine unendliche identische Investitionskette ist. DerBegriff Ersatzobjekt umfaßt also stets alle nachfolgenden Investitionen. Kapi-talwert des Ersatzobjekts bedeutet stets Kapitalwert aller Nachfolgeinvestitio-nen.Der Kapitalwert des Ersatzobjekts – gleichgültig, ob Einzelobjekt oder Investi-tionskette – ist auf der Basis seiner optimalen Investitionsdauer und seiner Zah-lungsstruktur zu bestimmen und steht dann fest. Bezeichnet man den Kapitalwert des Ersatzobjekts mit KE0, so erhalten wir beikontinuierlicher Betrachtungsweise das folgende Entscheidungskriterium fürdie Entscheidung über weitere Fortführung:

Überträgt man diese Bedingung in das Reifemodell bei diskontinuierlicher Be-trachtung, so erhält man als Entscheidungskriterium:

Das heißt, die Fortführung ist sinnvoll, wenn der zeitliche Grenzgewinn beiFortführung der vorhandenen Investition um eine Periode ausreicht, umauch die Zinsen auf den Kapitalwert des Ersatzobjekts zu erwirtschaften. Einsofortiger Ersatz sollte vorgenommen werden, wenn dies nicht mehr der Fall ist.Überträgt man die Bedingung

in das mehrperiodige Modell bei diskontinuierlicher Betrachtungsweise, so er-hält man als Entscheidungskriterium:

Die ökonomische Aussage ist die gleiche. Die Fortführung lohnt sich noch,wenn der zeitliche Grenzgewinn der vorhandenen Investition nicht kleinerals die Zinsen auf den Kapitalwert des Ersatzobjekts ist. Gilt dies nicht, so istein sofortiger Ersatz vorzusehen. Grundsätzlich muß jedoch bei mehrperiodiger

e©A − (L(t) ± L(t + 1)) + i∑L(t)[ ] ≥ i∑K E0

oder

e©A − (L(t) ± L(t + 1)) + i∑L(t)[ ] − i∑K E0 ≥ 0.

e©A (t) − ln(1 + i)∑e A (t)[ ] > ln(1 + i)∑K E0

e©A − i∑e A (t) ≥ i∑K E0

odere©A − i∑e A (t)[ ] ± i∑K E0 ≥ 0.

e©A (t) − ln(1 + i)∑e A (t)[ ] > ln(1 + i)∑K E0.

e©A (t) − ln(1 + i)∑e A (t)[ ] > ln(1 + i)∑K K0 (tA )


Betrachtung geprüft werden, ob es nicht mehrere Extremwerte des Kapitalwertsim Zeitablauf geben könnte, weil der zeitliche Grenzgewinn im Zeitablauf mehr-mals das Vorzeichen wechselt. Ist dies zu erwarten, so sollten für die möglichenErsatzzeitpunkte (einschließlich des Betrachtungszeitpunktes!) die zugehörigenKapitalwerte ermittelt werden. Es ist dann derjenige Ersatzzeitpunkt festzustellen,bei dem der Kapitalwert am größten ist. Liegt dieser Ersatzzeitpunkt später als derBetrachtungszeitpunkt, so ist die Investition (zunächst) fortzuführen. Diese Über-prüfung ist im weiteren Verlauf der Nutzung zu wiederholen. Für den Fall, daß das Ersatzobjekt eine unendliche identische Investitionskettemit der Investition A als Kettenglied ist, gilt:

Wird dies berücksichtigt, so kann man das Entscheidungskriterium auch wie folgtschreiben:

Wichtig ist hierbei, daß man den Ausdruck

richtig interpretiert. Inhaltlich handelt es sich um die Zinsen auf den Kapital-wert des Ersatzobjekts, das freilich nicht eine einzelne Investition, sondern eineunendliche identische Investitionskette mit der Investition A als Kettenglied ist.Berechnen lassen sich diese Zinsen auf den Kapitalwert dieser unendlichen iden-tischen Investitionskette als Annuität auf den Kapitalwert der Investition A,wobei von der optimalen Nutzungsdauer tAopt für die Investition A in einer unend-lichen identischen Investitionskette auszugehen ist. Das heißt, wenn man das ge-nannte Entscheidungskriterium

anwendet, so wird stets eine unendliche identische Investitionskette als Ersatzob-jekt zugrundegelegt. Ob diese bei Anwendung des genannten Entscheidungs-kriteriums implizierte Unterstellung realistisch ist, sollte daher geprüft wer-den. Eine Anwendung des Entscheidungskriteriums ohne eine solche Prüfungwürde heißen, daß man etwas tut, ohne eigentlich zu wissen, was man tut.Sollte es nicht sinnvoll sein, den Begriff des Ersatzobjekts als unendliche identi-sche Investitionskette mit der Investition A als Kettenglied zu interpretieren, son-

e©A − (L(t) ± L(t + 1)) + i∑L(t)[ ] ≥ KA0 (tAopt )∑i∑(1 + i)t Aopt

(1 + i)t Aopt −1

KA0 (tAopt )∑i∑(1 + i)t Aopt

(1 + i)t Aopt −1

e©A − (L(t) ± L(t + 1)) + i∑L(t)[ ] ≥ KA0 (tAopt )∑i∑(1 + i)t Aopt

(1 + i)t Aopt −1oder

e©A − (L(t) ± L(t + 1)) + i∑L(t)[ ] − KA0 (tAopt )∑i∑(1 + i)t Aopt

(1 + i)t Aopt −1≥ 0.

i∑K E0 = KA0 (tAopt )∑w = KA0 (tAopt )∑i∑(1 + i)t Aopt

(1 + i)t Aopt −1.


dern sollte man aufgrund der realen Gegebenheiten nur von einer einzigen identi-schen Nachfolgeinvestition A als Ersatzobjekt ausgehen, dann gilt das folgendeEntscheidungskriterium:

Der linke Ausdruck ist der zeitliche Grenzgewinn der bisherigen Investition. Derrechte Ausdruck bedeutet "Zinsen auf den Kapitalwert des Ersatzobjekts". Bei einem Vergleich der Entscheidungskriterien ist zu beachten, daß der Kapital-wert KA0(tAopt) und der Kapitalwert KA0(t*Aopt) nicht übereinstimmen, weil die je-weils zugrundezulegende optimale Nutzungsdauer verschieden ist. Aufgrunddes Gesetzes der Ersatzinvestition gilt unter gleichen realen Bedingungen:

Daraus folgt bezogen auf die gleiche reale Situation, daß auch

gilt. Für jede endliche Investitionsdauer ist der Wiedergewinnungfaktor größerals der Zinssatz i:

weil i zum Grenzwert des Wiedergewinnungsfaktors wird, wenn die Nutzungs-dauer gegen unendlich geht:

Aus alledem läßt sich folgern, daß sich aus der gewählten Vergleichsbasis (Ersatz-objekt), nämlich, ob man von einem Einzelobjekt oder einer unendlichen identi-schen Investitionskette ausgeht, nur dann keine Auswirkungen auf den optima-len Ersatzzeitpunkt der zu beurteilenden vorhandenen Investition ergeben, wenngilt:

Das heißt, wenn das Verhältnis der Kapitalwerte, also KA0(t*Aopt)/KA0(tAopt), unddas Verhältnis von Wiedergewinnungsfaktor w(tAopt) zu Zinssatz i übereinstim-men. Da diese Bedingung allenfalls zufällig erfüllt ist, muß man sich Gedan-ken über das Ersatzobjekt – also Einzelobjekt oder Investitionskette – unddamit Gedanken darüber machen, welches Entscheidungskriterium heranzu-ziehen ist. Diese Abhängigkeit des heranzuziehenden Entscheidungskriteriumsvom Ersatzobjekt muß beachtet werden. Es gibt dementsprechend nicht ein davon

KA0 (tAopt* )

KA0 (tAopt )=

i∑(1 + i)t Aopt

(1 + i)t Aopt −1i

.

limt Aopt →∞

i∑(1 + i)t Aopt

(1 + i)t Aopt −1= lim

t Aopt →∞

1(1 + i)t Aopt −1i∑(1 + i)t Aopt

= limt Aopt →∞

11i− 1

i∑(1 + i)t Aopt

= i.

i∑(1 + i)t Aopt

(1 + i)t Aopt −1> i,

KA0 (tAopt ) < KA0 (tAopt* )

tAopt < tAopt* .

e©A − (L(t) ± L(t + 1)) + i∑L(t)[ ] ≥ KA0 (tAopt* )∑i.


Zeit

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9,76

149,

6014

96,0

214

9,60

2134

2,39

582,

72-2

40,3

39,

222,

311,

15-2

43,7

9-3

2,94

1240

,70

139,

7614

3,46

1434

,55

143,

4622

325,

2760

0,20

-274

,93

7,38

1,84

0,92

-277

,69

-34,

1112

06,5

913

9,76

137,

5613

75,5

713

7,56

2330

9,01

618,

21-3

09,2

05,

901,

480,

74-3

11,4

1-3

4,78

1171

,81

139,

7613

1,91

1319

,13

131,

91

Abb

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unabhängiges, sozusagen allgemeingültiges Kriterium für den optimalen Er-satzzeitpunkt, wie dies manchmal den Anschein hat1.In der Abbildung 31 wird die Ermittlung der optimalen Investitionsdauer am Zah-lenbeispiel für eine mehrperiodige diskontinuierliche Betrachtungsweise erläutert.Es wird eine Investition mit einer Anfangsauszahlung im Zeitpunkt t = 0 vonaS0 = 1000 betrachtet. Weitere empirische (im Sinne von prognostizierten!) Datenneben der Anfangsauszahlung sind die laufenden Einzahlungen (Spalte 2) sowiedie laufenden Auszahlungen (Spalte 3) der Periode und der im Zeitablauf abneh-mende, am jeweiligen Periodenende erwartete Liquidationserlös (Spalte 5), beidem eine jährliche Reduktion um 20% angenommen worden ist. Alle anderenGrößen in der Tabelle sind berechnete Größen. Als Differenz der laufenden Ein-und Auszahlungen werden die (als nachschüssig angenommenen) Grenzeinzah-lungen (Periodenüberschuß) (Spalte 4) berechnet. Die Wertminderung derSachinvestition (Spalte 6) ist die Differenz zwischen dem am Ende der Vorperio-de und am Ende der jeweiligen Betrachtungsperiode prognostizierten Liquida-tionserlös. Der Zinsentgang (Spalte 7) wird auf den am Ende der Vorperiode pro-gnostizierten Liquidationserlös berechnet, wobei von einem Zinssatz i = 0,1 aus-gegangen worden ist. Der zeitliche Grenzgewinn (Spalte 8) ist gleich dem Perio-denüberschuß (Grenzeinzahlungen) abzüglich der Wertminderung und dem Zins-entgang. Den Grenzkapitalwert der Periode (wegen der diskontinuierlichen Be-trachtung genauer: Differenzkapitalwert) (Spalte 9) erhält man, indem der zeitli-che Grenzgewinn der Periode auf den Zeitpunkt t = 0 abgezinst wird. Der zeitab-hängige Kapitalwert der Investition (Spalte 10) wird als Summe der Grenzkapi-talwerte (bis einschließlich der jeweiligen Betrachtungsperiode) berechnet.Auf der Basis der Werte in den Spalten 1 bis 10 läßt sich die Frage beantworten,wie lange diese betrachtete Investition genutzt werden sollte, wenn keine Nach-folgeinvestition geplant ist. Zur Beantwortung dieser Frage kann man auf die Da-ten in den Spalten 8, 9 oder 10 zurückgreifen. Die optimale Investitionsdauerohne geplanten Nachfolger ist erreicht, wenn der Grenzkapitalwert der PeriodeNull wird; denn dann ist der zeitabhängige Kapitalwert der Investition maximal.Da der Grenzkapitalwert ein um den Faktor 1/qt = 1/(1+i)t verringerter zeitlicherGrenzgewinn ist, ist dort, wo der zeitliche Grenzgewinn gleich Null ist, auch derGrenzkapitalwert der Investition gleich Null. Im Beispiel ist diese Bedingung imZeitpunkt t = 14, also am Ende der Periode 14, erfüllt. Ohne geplanten Nachfol-ger sollte die Investition also 14 Perioden lang genutzt werden. Auf der Basis der Werte in den Spalten 8 und 11 läßt sich die Frage beantworten,wie lange diese Investition genutzt werden sollte, wenn eine einmalige Wieder-holung der Investition geplant ist. Diese Fragestellung ist gleich derjenigen hin-sichtlich der optimalen Investitionsdauer in einer zweigliedrigen Investitionsket-te, wobei hier von einer identischen Wiederholung ausgegangen wird. Die Vor-gängerinvestition sollte so lange genutzt werden, wie ihr zeitlicher Grenzgewinnnoch nicht kleiner als die Zinsen auf den Kapitalwert der (einen) Nachfolgeinve-stition ist, wobei dieser auf der Basis der optimalen Nutzungsdauer für die Nach-


1 Vgl. Däumler, Klaus-Dieter: Sonderprobleme der Investitions- und Wirtschaftlichkeitsrechnung, Herne/Berlin1981, S. 147-155; Huch, Burkhard, Behme, Wolfgang, Ohlendorf, Thomas: Rechnungswesenorientiertes Con-trolling, Heidelberg 1992, S. 135-136, 143; diese Autoren gehen implizit immer von einer unendlichen identi-schen Investitionskette als Ersatzobjekt aus.

folgeinvestition zu berechnen ist. Die optimale Nutzungsdauer der Nachfolgeinve-stition ist dabei dort, wo deren Kapitalwert maximal wird. Bezogen auf das Bei-spiel einer zweigliedrigen identischen Investitionskette sollte die Nachfolgeinve-stition 14 Perioden genutzt werden. Der Kapitalwert dieser identischen Nachfolge-investition beträgt dann 1397,59. Bei einem Zinssatz von i = 0,1 betragen die Zin-sen auf diesen Kapitalwert 139,76. Die Vorgängerinvestition sollte also nichtmehr genutzt werden, wenn ihr zeitlicher Grenzgewinn auf diesen Betrag herabge-sunken ist. Wendet man dies an, so bedeutet dies für unser Beispiel, daß beieiner zweigliedrigen identischen Investitionskette die erste Investition nach10 Perioden abgebrochen werden sollte und daß die Nachfolgeinvestition 14Perioden genutzt werden sollte.Auf der Basis der Werte in den Spalten 8 sowie 12 bis 14 läßt sich die Frage be-antworten, wie lange jede einzelne Investition genutzt werden sollte, wenn es sichum eine unendliche identische Investitionskette handelt. Jede Investition solltedann nur solange genutzt werden, wie ihr zeitlicher Grenzgewinn noch nicht klei-ner als die Zinsen auf den zeitabhängigen Kapitalwert einer unendlichen identi-schen Investitionskette ist. Denn dann wird der zeitabhängige Kapitalwert der (ge-samten) Investitionskette maximal; im Zahlenbeispiel beträgt er dann 2260,99.Das heißt, es sind die Werte der Spalte 8 und Spalte 14 miteinander zu verglei-chen. Da die Zinsen auf den zeitabhängigen Kapitalwert der unendlichen identi-schen Investitionskette gleich der Annuität des zeitabhängigen Kapitalwerts einesKettengliedes sind, kann die Entscheidung auch auf der Basis der Werte in Spalte8 und Spalte 12 getroffen werden. Bezogen auf unser Zahlenbeispiel in Abbil-dung 31 bedeutet dies, daß jede Investition in einer unendlichen identischenKette nur 8 Perioden genutzt werden sollte. Die genannten Entscheidungskriterien

für den Fall, daß das Ersatzobjekt ein Einzelobjekt ist, und

für den Fall, daß das Ersatzobjekt eine unendliche identische Investitionskette ist,können sowohl bezogen auf Investitionsobjekte (Beurteilungsobjekt, Ersatzobjekt)angewandt werden, denen laufende Einzahlungen und laufende Auszahlungenzugeordnet werden können, als auch bezogen auf Investitionsobjekte angewandtwerden, denen keine laufenden Einzahlungen zugeordnet werden können.Die bisherige Darstellungsweise ging vom Fall aus, daß den Investitionsobjek-ten laufende Einzahlungen und laufende Auszahlungen zugeordnet werdenkönnen. In einem solchen Fall kommt als Ersatzobjekt nur eine Investition mitpositivem Kapitalwert in Betracht. Ein Ersatz ist vorzusehen, wenn die (unter-stellterweise im Zeitablauf sinkenden) zeitlichen Grenzgewinne der vorhandenenInvestition (Beurteilungsobjekt) geringer werden als der Betrag der Zinsen auf denKapitalwert des (jeweiligen) Ersatzobjekts. Die bisherige Investition wird fortge-führt, wenn ihr zeitlicher Grenzgewinn noch nicht kleiner als die Zinsen auf denKapitalwert des Ersatzobjekts ist.

e©Alt − (LAlt (t) ± LAlt (t + 1)) + i∑L Alt (t)[ ] ≥ KA0Neu (tAoptNeu )∑i∑(1 + i)t AoptNeu

(1 + i)t AoptNeu −1

e©Alt − (LAlt (t) ± LAlt (t + 1)) + i∑L Alt (t)[ ] ≥ KA0Neu (tAoptNeu* )∑i


Können den Investitionsobjekten (Beurteilungsobjekt, Ersatzobjekt) keine laufen-den Einzahlungen zugeordnet werden, was nicht ausschließt, daß einmalige Ein-zahlungen wie ein Liquidationserlös anfallen, so lassen sich diese Entscheidungs-kriterien dennoch anwenden. Als Ersatzobjekt ist dann ein funktionsgleiches Inve-stitionsobjekt zu wählen, wobei das Wirtschaftlichkeitsprinzip im Sinne des Spar-prinzips zur Anwendung käme. Wenn man Auszahlungen als negative Größen ab-bildet, wäre dann bezogen auf das Ersatzobjekt diejenige Nutzungsdauer zu wäh-len, bei der sein Kapitalwert den geringsten negativen Wert annimmt. D.h., letzt-lich orientiert man sich bei der Bestimmung der optimalen Investitionsdauer fürdas Ersatzobjekt am maximalen Kapitalwert in Abhängigkeit von der Nutzungs-dauer. Angewandt auf die Entscheidungskriterien heißt dies, daß in einer solchenSituation die zu vergleichenden Größen jeweils negativ sind. Eine negative Größeist aber um so größer, je kleiner ihr Zahlenwert ist. Lediglich dies müßte bei derAnwendung der Entscheidungskriterien beachtet werden. Will man in dieser Situ-ation aus Gründen der besseren Verständlichkeit mit positiven Zahlenwerten ar-beiten, so müssen die genannten Entscheidungskriterien mit minus Eins multipli-ziert werden, wobei dann aus "≥" jedoch "≤" wird. Das heißt, eine Fortführung derbisherigen Investition ist sinnvoll, solange der (unterstellterweise im Zeitablaufsteigende) Grenzverlust (linke Seite) noch nicht größer als die Zinsen auf den Ka-pitalwert des Ersatzobjekts ist. Die bisherige Investition sollte demgemäß er-setzt werden, wenn der durch sie verursachte Grenzverlust größer als dieZinsen auf den Kapitalwert des Ersatzobjekts wird. Diese Bedingung läßt sich unter der Voraussetzung, daß das Ersatzobjekt eineunendliche identische Investitionskette mit der Investition A als Kettengliedist und daß keine Liquidationserlöse anfallen, auch in anderer, sehr anschaulicherWeise formulieren. Denn in einem solchen Fall gilt für den (minimalen negativen)Kapitalwert des Ersatzobjekts:

Für die Zinsen auf diesen Kapitalwert, also i • KE0, erhält man dann:

Die Zinsen auf den Kapitalwert des Ersatzobjekts sind dann gleich der Summe ausden beim Ersatzobjekt zu erwartenden laufenden periodischen AuszahlungenaANeu und der Annuität des Investitionsvolumens. Letztere ist gleich dem Kapital-dienst (Zinsen + Tilgung) für das Ersatzobjekt.

i∑K E0 = aANeu ∑(1 + i)t AoptNeu −1i∑(1 + i)t AoptNeu

+ aA0Neu

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥∑

(1 + i)t AoptNeu

(1 + i)t AoptNeu −1∑i

oder

i∑K E0 = aANeu + aA0Neu ∑(1 + i)t AoptNeu

(1 + i)t AoptNeu −1∑i = a ANeu + aA0Neu ∑

i∑(1 + i)t AoptNeu

(1 + i)t AoptNeu −1.

KE0 = KA0Neu (tAoptNeu )∑ (1 + i)t AoptNeu

(1 + i)t AoptNeu −1= aAtNeu

(1 + i)t + aA0Neut =1

t AoptNeu

∑⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥∑

(1 + i)t AoptNeu

(1 + i)t AoptNeu −1oder, wenn aAtNeu = aAt+1Neu =…= aANeu gilt,

KE0 = aANeu ∑(1 + i)t AoptNeu −1i∑(1 + i)t AoptNeu

+ aA0Neu

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥∑

(1 + i)t AoptNeu



Wird bezogen auf die vorhandene Investition ebenfalls nur von laufenden Aus-zahlungen e'Alt = aAlt ausgegangen, so daß ihr zeitlicher Grenzverlust diesen Be-trag annimmt, so ist eine Fortführung der bisherigen Investition sinnvoll, solangeihre laufenden Auszahlungen e'Alt = aAlt nicht größer als die Summe aus lau-fenden Auszahlungen und Kapitaldienst des Ersatzobjekts sind:

Wenn diese Bedingung nicht mehr gilt, also

dann würde man bei sofortigem Ersatz Auszahlungen in Höhe der Differenze'Alt – aANeu sparen. Diese Ersparnis wäre dann größer als der Kapitaldienst für dasErsatzobjekt. Das heißt, aus dieser Ersparnis könnten Tilgung und Zinsen (Kapi-taldienst) für das Ersatzobjekt gezahlt werden, und es bliebe immer noch etwasübrig.Wichtig ist, daß man nicht vergißt, daß diese letzten, sicherlich sehr anschaulichenBedingungen auf der Basis einer unendlichen identischen Investitionskette alsErsatzobjekt hergeleitet worden sind, wobei außerdem noch weitere Vereinfa-chungen (nur laufende (Netto-)Auszahlungen in gleicher Höhe!) hinsichtlich derZahlungsströme bei Beurteilungsobjekt und Ersatzobjekt gemacht worden sind.Diese weiteren Vereinfachungen könnten sukzessive aufgehoben werden1, washier jedoch unterbleiben soll, weil es sich nur um Umformulierungen hinlänglicherörterter Entscheidungskriterien handelt.

e©Alt > aANeu + aA0Neu ∑i∑(1 + i)t AoptNeu

(1 + i)t AoptNeu −1oder

e©Alt − aANeu > aA0Neu ∑i∑(1 + i)t AoptNeu

(1 + i)t AoptNeu −1,

e©Alt ≤ aANeu + aA0Neu ∑i∑(1 + i)t AoptNeu



1 Vgl. Däumler, Klaus-Dieter: Sonderprobleme der Investitions- und Wirtschaftlichkeitsrechnung, Herne/Berlin1981, S. 147-155; Huch, Burkhard, Behme, Wolfgang, Ohlendorf, Thomas: Rechnungswesenorientiertes Con-trolling, Heidelberg 1992, S. 135-136, 143.

Laufende Einzahlungen Laufende Auszahlungen Grenzeinzahlungen

0 2 4 6 8 10 12 14 160

0

5

10

15

0

-5

-10

-15

-20

Zeit

Zahl

unge

n

Abbildung 27: Schematische Erläuterung des Begriffs der Grenzeinzahlun-gen bei mehrperiodigen kontinuierlicher Betrachtung



Zinssatz i 0,2

Ent-wer-tungsfak-tor

0,15

Zeit e'(t) L(t)

Ab-zin-sungs-fak-tor

Ab-ge-zin-sterL(t)

Ab-ge-zin-stee'(t) L'(t)

Momen-tane Ver-zinsungL(t)•ln(1+i)

L(t)•ln(1+i)-L'(t)

e'(t)+L'(t)

e'(t)+L'(t)-L(t)•ln(1+i)

0 0 70 1 70 0 -11,38 12,76251 24 -11,4 -24,13883404042106781 9,02 59,5 0,83 49,58 7,51 -9,67 10,84813 21 -0,65 -11,50159497450276492 17,6 50,6 0,69 35,12 12,2 -8,219 9,220913 17 9,349 0,12842591943849713 25,2 43 0,58 24,88 14,6 -6,986 7,837776 15 18,23 10,39249074710402344 31,6 36,5 0,48 17,62 15,2 -5,939 6,662109 13 25,63 18,96618765872725235 36,3 31,1 0,4 12,48 14,6 -5,048 5,662793 11 31,24 25,58152643352159636 39,1 26,4 0,33 8,841 13,1 -4,291 4,813374 9,1 34,86 30,04532031005275817 40 22,4 0,28 6,263 11,2 -3,647 4,091368 7,7 36,34 32,25302935135574628 38,8 19,1 0,23 4,436 9,02 -3,1 3,477663 6,6 35,68 32,19745602204701549 35,6 16,2 0,19 3,142 6,89 -2,635 2,956013 5,6 32,93 29,9719331387122515

10 30,5 13,8 0,16 2,226 4,93 -2,24 2,512611 4,8 28,28 25,767914683130286611 23,9 11,7 0,13 1,577 3,22 -1,904 2,13572 4 22 19,867156877654434312 16,1 9,96 0,11 1,117 1,8 -1,618 1,815362 3,4 14,44 12,628945864039844813 7,39 8,46 0,09 0,791 0,69 -1,375 1,543057 2,9 6,016 4,47307520644374053

13,5224396662264836 2,68 7,77 0,08 0,661 0,23 -1,263 1,41745 2,7 1,417 -0,0000000000000002813,8174461615251021 0 7,41 0,08 0,597 0 -1,204 1,351095 2,6 -1,2 -2,55544239153446387

14 -1,66 7,19 0,08 0,56 -0,1 -1,169 1,311599 2,5 -2,83 -4,1405116651383987515 -10,6 6,11 0,06 0,397 -0,7 -0,994 1,114859 2,1 -11,6 -12,734333131686241416 -19 5,2 0,05 0,281 -1 -0,845 0,94763 1,8 -19,9 -20,837043182189582217 -26,5 4,42 0,05 0,199 -1,2 -0,718 0,805486 1,5 -27,2 -28,006924880430651618 -32,6 3,76 0,04 0,141 -1,2 -0,61 0,684663 1,3 -33,2 -33,853973919339031419 -37 3,19 0,03 0,1 -1,2 -0,519 0,581963 1,1 -37,5 -38,059418300362125320 -39,5 2,71 0,03 0,071 -1 -0,441 0,494669 0,9 -39,9 -40,3916547346159998

A B C D E F G H I J K

1

2

345678910111213141516171819202122232425262728

e'(t)L(t)

L'(t)L(t)•ln(1+i)-L'(t)

L(t)•ln(1+i)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0

10

20

30

40

50

60

70

0

-10

-20

-30

-40

8./9./10./11. Vorlesung:

Investitionseinzelentscheidungen:Dynamische Investitionsrechnungsmethoden

Im weiteren wird davon ausgegangen, daß das Investitionsvolumen und die Inve-stitionsdauer der zu beurteilenden Investitionen festliegen. Falls diese Gegenstandvon Entscheidungen waren, so sollen diese Entscheidungen schon getroffen wor-den sein. Gegenstand der weiteren Betrachtungen sind sog. Investitionseinzelent-scheidungen. Dabei werden im Mittelpunkt solche Beurteilungsmethoden ste-hen, die auf der Finanzmathematik beruhen. In der Literatur werden sie dynami-sche Investitionsrechnungsverfahren genannt.Im Teil A. soll die bei Anwendung der dynamischen Investitionsrechnungsverfah-ren zugrundegelegte Entscheidungssituation bei Investitionseinzelentscheidun-gen näher charakterisiert werden. Im Teil B. wird die Kapitalwertmethode alsInstrument der Investitionsbeurteilung im einzelnen behandelt. Die inhaltlicheSeite des Kapitalwerts ist schon im Zusammenhang mit den Betrachtungen zumProblem der Investitionsvolumens- und Investitionsdauerentscheidungen darge-legt worden. Im Vordergrund werden daher Fragen der Berechnung des Kapital-werts stehen. Im Teil C. geht es um die Vermögensendwertmethode und im TeilD. um die Annuitätenmethode. Die Begriffe des Vermögenswerts und der An-nuität tauchten auch schon auf, wobei bislang nur die Berechnung kurz angespro-chen wurde. Im Teil E. werde ich die sog. Methode des internen Zinsfußes vor-stellen. Auch hierbei geht es einerseits um die Präzisierung des Begriffs und ande-rerseits um Fragen der Berechnung des internen Zinsfußes. Im Teil F. habe ichvor, das "Problem" der Ergänzungsinvestitionen und der Wiederanlageprä-misse anzusprechen. Das "Problem" der Ergänzungsinvestitionen und der Wieder-anlageprämisse ist freilich eher ein Problem des Vergessens der Prämissen, vondenen man bei Investitionseinzelentscheidungen ausgeht. Im Teil G. werde ichauf die Frage der Wahl des Kalkulationszinsfußes als Praxisproblem eingehen.

A. Entscheidungssituation bei Investitionseinzelentscheidungen mit Hilfe der dynamischen Investitionsrechnungsmethoden

1. Kennzeichen der InvestitionseinzelentscheidungenDer Begriff der Investitionseinzelentscheidung wird hier in Gegenüberstellungzum Begriff der Investitionsprogrammentscheidung gebraucht1. Das Unter-scheidungsmerkmal hinsichtlich dieser Begriffe ist das Problem der Alternati-venbildung. Ausgehend vom Phasenschema der Investitionsentscheidung sind imWillensbildungsprozeß neben der Zielbildung und dem Entscheidungsakt zweisachliche Aufgabenbereiche hervorzuheben: 1. die Alternativenbildung (ein-schließlich der Beschreibung der Alternativen anhand ihrer im Zeitablauf erwarte-ten zielrelevanten Konsequenzen) und 2. die Alternativenbewertung (im Sinneder Schaffung einer Rangordnung unter den Alternativen). Die Probleme "Alter-nativenbildung" und "Alternativenbewertung" können grundsätzlich sukzessive,also nacheinander, oder simultan, also gleichzeitig, gelöst werden.Bei Investitionseinzelentscheidungen wird das Problem der Alternativenbil-dung als gelöst vorausgesetzt. Für Investitionseinzelentscheidungen ist – bezo-gen auf die Probleme der Alternativenbildung und Alternativenbewertung – deren

138 8./9./10./11. Vorlesung: Investitionseinzelentscheidungen: Dynamische Investitionsrechnungsmethoden

1 Vgl. Kruschwitz, Lutz: Investitionsrechnung, 4. A., Berlin, New York 1990, S. 6-7; Huch, Burkhard, Behme,Wolfgang, Ohlendorf, Thomas: Rechnungswesenorientiertes Controlling, Heidelberg 1992, S. 94.

sukzessive Lösung charakteristisch. Bei Investitionseinzelentscheidungen geht esnur noch um die Alternativenbewertung im Sinne der Schaffung einer Rangord-nung. Falls in diese Rangordnung alle zielrelevanten Konsequenzen eingeflossensind, so kann sich daran die Entscheidung, d.h. die Wahl der besten Alternativeaus den vorgegebenen Alternativen, anschließen. Im weiteren wird immer so ge-tan werden, als sei die mit Hilfe der finanzmathematischen Investitionsrech-nungsverfahren ermittelte Rangordnung der Investitionsalternativen diejenige,die unmittelbar in eine rationale Entscheidung umgesetzt werden kann. Im Ein-klang damit wird die mit Hilfe dieser Verfahren ermittelte rangbeste Investi-tionsalternative auch die optimale Investitionsalternative genannt.Bei Investitionsprogrammentscheidungen ist die Alternativenbildung nochnicht abgeschlossen. Bekannt sind vielmehr nur einzelne Elemente (Investitions-anträge), die erst miteinander kombiniert sich gegenseitig ausschließen sollen,d.h., zu einer Alternative werden. Die Bildung der Investitionsalternativen (sog.Investitionsprogramme) und deren Bewertung sind dann zu lösen. Grundsätz-lich ist auch hierbei eine sukzessive Vorgehensweise, also erst Alternativenbil-dung, dann Alternativenbewertung, denkbar. Aus praktischen Gründen stößt diesjedoch schnell auf Grenzen der Machbarkeit, wie dies aus der folgenden Tabellezu ersehen ist:

In dieser Tabelle sind die Anzahl der zu kombinierenden Elemente x, die Anzahlder möglichen Kombinationen (Alternativen einschließlich Unterlassensalternati-ve) 2x und die Zeit zur Bildung und Beurteilung für alle Alternativen aufgeführt,wobei für die Bildung (einschließlich Zuordnung aller Konsequenzen) und Beur-teilung von 1000 Alternativen eine einzige Sekunde veranschlagt worden ist1. Dieausgewiesenen Zeiten sprechen für sich, wobei die betrachtete Zahl der sich nichtgegenseitig ausschließenden Investitionsanträge keineswegs als übertrieben anzu-sehen ist. Eine sukzessive Lösung von Alternativenbildung und Alternativenbeur-teilung kommt daher bei Investitionsprogrammentscheidungen in der Regel nichtin Betracht, vielmehr müssen Alternativenbildung und Alternativenbewertung si-multan vollzogen werden, und zwar so, daß gar nicht alle Alternativen zu prüfensind und dennoch die rangbeste Alternative gefunden werden kann.Das wichtigste Charakteristikum von Investitionseinzelentscheidungen ist, daßdie zu beurteilenden Investitionen im entscheidungstheoretischen Sinne Alterna-tiven sind. Dieser Hinweis erscheint angebracht, weil umgangssprachlich der Be-griff der Alternative häufig nicht im entscheidungstheoretischen Sinn gebrauchtwird. Der Begriff der Alternative im entscheidungstheoretischen Sinne besagt,

Zeit zur Bildung und Bewertung aller AlternativenAn-zahlderEle-

mente

Anzahl derKombinatio-

nen (Alternativen)

in Sekunden(pro 1000 Al-

ternativen 1 Sekunde)

in Jahren (pro Jahr

365,25 Tage)

in Mensch-heitsgeneratio-

nen (30 Jahre proGeneration)

in MilliardenJahren

10 1024 1,02420 1048576 1048,57640 1,099512E+12 1099511627,8 34,84 1,1680 1,208926E+24 1,208926E+21 3,830855E+13 1,276952E+12 38309160 1,461502E+48 1,461502E+45 4,631219E+37 1,54374E+36 4,631219E+28

8./9./10./11. Vorlesung: Investitionseinzelentscheidungen: Dynamische Investitionsrechnungsmethoden 139

1 Vgl. auch Kruschwitz, Lutz: Investitionsrechnung, 4. A., Berlin, New York 1990, S. 171.

daß das Entscheidungssubjekt zwischen verschiedenen Handlungen (Tätigkeiten)zu wählen hat und daß sich diese – bei rationaler Wahl – von ihm anhand seinesZielsystems (Ergebnisdefinition und Präferenzen) zu beurteilenden Handlungs-möglichkeiten gegenseitig ausschließen. Das strenge Exklusionsprinzip muß inbezug auf die Alternativen gelten. Die Gesamtheit aller Alternativen stellt dasEntscheidungsfeld des Entscheidungssubjekts (Investors) dar.

Unter den hier geprägten Begriff der Investitionseinzelentscheidungen fallen so-wohl das Problem der Entscheidung über eine einzelne Investition (Investi-tionseinzelentscheidung i.e.S.) als auch das Problem der Wahl zwischen meh-reren sich gegenseitig ausschließenden Investitionen (Investitionswahlent-scheidung) (vgl. Abbildung 32). Beim Problem der Entscheidung über eine einzelne Investition geht es um dieWahl zwischen Durchführung und Nicht-Durchführung dieser Investition. Die In-vestition soll durchgeführt werden, wenn sie vorteilhaft ist, anderenfalls soll sienicht durchgeführt werden. Auch bei dieser einfachen Problemstellung gilt dasstrenge Exklusionsprinzip; denn die Durchführung schließt die Nicht-Durchfüh-rung (sog. Unterlassensalternative) aus und umgekehrt. Die Entscheidung übereine einzelne Investition ist wegen der notwendigen Einbeziehung der Unterlas-sensalternative in die Überlegungen nur ein Sonderfall des Wahlproblems. Beim Problem der Wahl zwischen mehreren alternativen Investitionen hatman mehrere Durchführungsalternativen. Besteht kein Entscheidungszwangin dem Sinne, daß eine der zur Wahl stehenden Investitionen durchgeführt werden

Investitionseinzel-entscheidungen

Problem derEntscheidung

über eineeinzelne

Investition

Durchführungs-alternative

Unterlassens-alternative

Problem derWahl

zwischenmehreren

alternativenInvestitionen

Entscheidungs-freiheit

Unterlassensalternative

Durchführungs-alternativen

Investition 1

usw.

Investition n

Entscheidungs-zwang

Investition 1

usw.

Investition n

Abbildung 32: Investitionseinzelentscheidungen


muß, so beinhaltet das Problem der Wahl zwischen mehreren sich gegenseitig aus-schließenden Investitionen selbstverständlich auch die Lösung, daß keine dieseralternativen Investitionen gewählt werden sollte. Denn wenn bezogen auf jedeeinzelne Investition deren Unterlassung möglich ist, was mit der Möglichkeit, ei-ne andere Investition ergreifen zu können, logisch impliziert wird, so ist es beiEntscheidungsfreiheit auch logischerweise möglich, in bezug auf alle Investitio-nen die Unterlassensalternative vorzuziehen. Nur bei Entscheidungszwang fälltdie Unterlassensalternative aus dem Wahlproblem von vornherein heraus. BeiEntscheidungsfreiheit wird sie indes irrelevant, falls es eine vorteilhafte Durchfüh-rungsalternative gibt.Gleichgültig, ob man vom Problem der Entscheidung über eine einzelne Investi-tion oder vom Problem der Entscheidung zwischen mehreren alternativen Investi-tionen ausgeht, stets liegt eine Entweder-Oder-Situation bezogen auf gegebeneAlternativen zugrunde. In beiden Zusammenhängen wird die Alternativenbildungals gelöst vorausgesetzt und dementsprechend nicht problematisiert. Für die theo-retische Analyse ist es unerheblich, wie groß die Zahl der gegebenen Alternativenist. Das heißt, ob – wie im Falle des Problems der Entscheidung über eine ein-zelne Investition – lediglich von zwei Alternativen auszugehen ist oder ob – wieim Falle des Problems der Entscheidung über mehrere alternative Investitio-nen bei Entscheidungsfreiheit – insgesamt n+1 Alternativen (nämlich n Durch-führungsalternativen und eine Unterlassensalternative) zu betrachten sind oder –bei Entscheidungszwang – n Durchführungsalternativen zur Auswahl stehen.Von Bedeutung ist aber, daß die Alternativenbildung abgeschlossen ist, so daß esausschließlich um die Bewertung dieser Alternativen geht.2. Begriff des InvestitionsobjektsIm Zusammenhang mit Investitionseinzelentscheidungen beziehen sich die zubeurteilenden Handlungsmöglichkeiten (Alternativen im entscheidungstheoreti-schen Sinne) auf das Investieren und werden traditionell – bezogen auf die Durch-führungsalternativen – mit dem Begriff Investitionsobjekt belegt. Diese Wort-wahl ist nicht ganz unproblematisch, weil sie zu mißlichen inhaltlichen Verschie-bungen beitragen kann, nämlich weg vom entscheidungstheoretischen Alternati-venbegriff und hin zum sinnlich wahrnehmbaren (mehr oder minder komplexenSach- oder Finanzvermögens–)Gegenstand, insbesondere der "Maschine".Denn der Begriff Investitionsobjekt wird auch definiert als "Wirtschaftsgut, daszum Zweck der Nutzung gekauft, gepachtet, gemietet oder durch Leasing erwor-ben wird"1. Der Begriff Wirtschaftsgut2 selbst ist indes wiederum äußerst viel-schichtig. Als sog. positive Wirtschaftsgüter (BFH: Sachen und Rechte, tatsäch-liche Zustände, konkrete Möglichkeiten und Vorteile, deren Erlangung sich derKaufmann etwas kosten läßt und die nach der Verkehrsauffassung einer besonde-ren Bewertung zugänglich und die einzeln oder im Zusammenhang mit dem Be-trieb übertragbar sind) und negative Wirtschaftsgüter (BFH: selbständig bewer-tungsfähige Lasten) ist der Begriff des Wirtschaftsguts ein Begriff des Steuerbi-lanzrechts. Als Begriff des Steuerbilanzrechts steht er wiederum in Beziehung


1 Lücke, Wolfgang (Hrsg.): Investitionslexikon, 2. A., München 1991, S. 181.

2 Vgl. einführend Rückle, Dieter: Vermögensgegenstand/Wirtschaftsgut, in: Busse von Colbe, Walther (Hrsg.):Lexikon des Rechnungswesens, 2. A., München, Wien 1991, S. 563-565.

zum Begriff des Vermögensgegenstands (≈ positives Wirtschaftsgut) und derSchulden (≈ negatives Wirtschaftsgut) des Handelsbilanzrechts. Diese durch die Wahl des Wortes Investitionsobjekt verbundene inhaltliche Be-griffsverschiebung – von Investitionsobjekt = Durchführungsalternative hin zuInvestitionsobjekt = (Sach-/Finanzvermögens–)Gegenstand = Maschine – istbeispielsweise die Ursache für die Diskussion über die sog. Zahlungszurech-nungsproblematik auf Investitionsobjekte1 gewesen. Klinger hat mit einem Beitrag zum "Schwächebild der Investitionsrechnungen" inden sechziger Jahren eine breitere Diskussion darüber ausgelöst2. Als einen"Schwächepunkt" nennt er, daß – nach seiner Auffassung – die "dynamischen In-vestitionsrechnungen … mit der Vorstellung (arbeiten), daß einzelne MaschinenEinnahmen haben und Ausgaben verursachen. So erfordert für (Erich) Schnei-der die Charakterisierung einer Investition die Angabe der gesamten, sich auf eineMaschine beziehenden 'Einnahme(n)ströme' und 'Ausgabenströme'. Hier liegt einSchwächepunkt seiner Theorie. Der Ertrag einer einzelnen Maschine ist nichtmeßbar. Er läßt sich auch nicht aus dem Gesamtertrag einer Industrieunterneh-mung ableiten. Der ganzheitliche Charakter einer Industrieunternehmung läßt einesolche Aufspaltung des Erfolges nicht zu. … Die Vorstellung, daß man die Erträ-ge einer Maschine bestimmen … kann, ist … absurd. Dennoch hat der Begriff der'Einnahme(n)ströme einer Maschine' in das betriebswirtschaftliche Schrifttumüber Investitionsfragen Eingang gefunden"3.Auch wenn in dieser Diskussion (und von Klinger) besonders auf die Zurech-nung von Einzahlungen (= Einnahmen bei Erich Schneider) auf einzelne Investi-tionsobjekte (= Maschinen) abgestellt wird, weil daran das Problem besonders an-schaulich gemacht werden kann, ist die Zurechnungsproblematik jedoch daraufnicht beschränkt, sondern gilt grundsätzlich in gleicher Weise – vielleicht im Ein-zelfall graduell unterschiedlich – auch für die Auszahlungsseite eines solchen In-vestitionsobjekts (= Maschine). In der Tat ist es nicht möglich, alle Einzahlungenund Auszahlungen einer Unternehmung einzelnen Vermögensgegenständen dieserUnternehmung verursachungsgerecht zuzuordnen. Man weiß nicht, welche Ein-zahlungen, welche Auszahlungen auf eine ganz bestimmte Maschine entfallen, seisie vorhanden, sei sie erst noch anzuschaffen. Man kann es prinzipiell auch nichtwissen. Aber man braucht dies in der Weise, wie dies von Klinger dargestellt undverlangt worden ist, auch nicht zu wissen, um eine Entscheidung über Investi-tionsalternativen zu treffen. Kruschwitz hat dies klar formuliert, so daß ich seine Ausführungen zitierenmöchte: "Investitionen, vor allem Sachinvestitionen im Fertigungsbereich von In-


1 Zusammenfassende Ausführungen bei Kruschwitz, Lutz: Investitionsrechnung, 4. A., Berlin. New York 1990, S.30-31; Lücke, Wolfgang (Hrsg.): Investitionslexikon, München 1991, S. 429; Perridon, Louis, Steiner, Manfred:Finanzwirtschaft der Unternehmung, 6. A., München 1991, S. 82-83.

2 Vgl. die Diskussion zwischen Klinger, Karl: Das Schwächebild der Investitionsrechnungen, in: Der Betrieb1964, S. 1821-1824; Scheffler, Hans Eberhard: Zur Investitionsrechnung in der Praxis, in: Der Betrieb 1965, S.228-230; Hilgert, Siegfried: Zur Berücksichtigung von Erträgen in Investitionsrechnungen, in: Der Betrieb 1966,S. 81-84; Adam, Dietrich: Das Interdependenzproblem in der Investitionsrechnung und die Möglichkeiten einerZurechnung von Erträgen auf einzelne Investitionsobjekte, in: Der Betrieb 1966, S. 989-993.

3 Klinger, Karl: Das Schwächebild der Investitionsrechnungen, in: Der Betrieb 1964, S. 1822-1823, Hervorhebun-gen im Original.

dustrieunternehmungen, finden auf der Basis von schon vorhandenen Anlagenstatt. Ein investierender Betrieb besitzt schon vor Durchführung der Investition ei-ne bestimmte Menge von arbeitsfähigen Betriebsmitteln (Gebäude, Maschinen,Aggregate). Er besitzt auch danach eine – durch die Investition allerdings verän-derte – arbeitsfähige Betriebsmittelkombination. Die Investition stellt somit nureinen Teil der gesamten Betriebsmittelkombination dar. Durch die Investition än-dert sich aber nicht nur die Betriebsmittelkombination; es ändern sich ebenfallsdie Ausgaben und Einnahmen des Betriebes. Wenn nun z.B. die Einnahmen einesBetriebes aufgrund einer Investition steigen, so ist das Mehr nicht allein auf dieInvestition zurückzuführen. Auch die bereits vorhandenen Teile der Betriebsmit-telkombination haben zu dem besseren Ergebnis beigetragen. Daraus folgt: Es istnicht feststellbar, welcher Anteil der Einnahmen dem neuen Investitionsobjektund welcher Anteil den bereits vorhandenen Betriebsmitteln zuzurechnen ist. Mitdieser Aussage … ist aber noch nicht die Frage beantwortet, ob man ihrer über-haupt bedarf, wenn man Investitionseinzelentscheidungen zu treffen hat. … BeiInvestitionsentscheidungen kommt es immer auf die Bewertung von Investitions-handlungen und der aus diesen Tätigkeiten folgenden Veränderungen von Zah-lungsreihen … an … Es sind also Tätigkeiten zu bewerten und nicht Einnahmen'verursachungsgerecht' auf einzelne Teile der neuen Betriebsmittelkombination zuverteilen. Daraus ziehen wir den Schluß: Es ist nicht notwendig festzustellen, wel-cher Anteil der Einnahmen dem neuen Investitionsobjekt und welcher Anteil derbereits vorhandenen Betriebsmittelkombination zuzurechnen ist. Diese Aussagegilt zumindest dann, wenn die Investitionshandlungen sich gegenseitig ausschlie-ßende Tätigkeiten (Alternativen) sind, ein Merkmal aller Investitionseinzelent-scheidungen"1.Diese alternative Investitionstätigkeit, die bei Investitionseinzelentscheidungen zubeurteilen ist, kann freilich mit und an einzelnen Gegenständen vollzogen werdenoder sich auf solche Gegenstände beziehen. Wenn dies der Fall ist, so kann zurBeschreibung der jeweiligen Investitionstätigkeit der betreffende Gegenstand alsSprachkürzel verwendet werden. Er steht dann als pars pro toto. Wenn es etwaheißt, es stehen zwei funktionsgleiche Maschinen A und B zur Auswahl, dann istdamit gemeint, daß man zwischen dem Erwerb und der Nutzung von Maschine Aoder Maschine B zu entscheiden hat, wobei die Nutzung nicht isoliert zu sehen ist,sondern in das gesamte geplante Betriebsgeschehen eingebunden ist. Mit dem Er-werb und der Nutzung von Maschine A oder Maschine B werden zielrelevanteZahlungsänderungen ausgelöst und erwartet, die auf die jeweilige Entscheidunggemäß dem Identitätsprinzip zurückgeführt werden können und anhand derersich die alternativen Erwerbs- und Nutzungsentscheidungen beschreiben lassen.Auf der Basis dieser zielrelevanten Konsequenzen läßt sich zwischen den Alterna-tiven wählen. Man kann sich für eine dieser Erwerbs- und Nutzungstätigkeiten,für eines der Investitionsobjekte entscheiden. Der Begriff Investitionsobjekt wirdin diesem entscheidungstheoretischen Sinne gebraucht, wobei bei Investitionsein-zelentscheidungen die Alternativenbildung als gelöst vorausgesetzt ist. Wirwerden im weiteren die sich gegenseitig ausschließenden Investitionsobjekteauch als Sachinvestitionen bezeichnen.


1 Kruschwitz, Lutz: Investitionsrechnung, 4. A., Berlin. New York 1990, S. 30-31, Hervorhebungen im Original.

Das bedeutet, daß das Problem der inneren Struktur der jeweiligen Investitionsal-ternative, d.h. des einzelnen Investitionsobjekts, nicht betrachtet wird. Der Frage,wieso die Investitionsobjekte ganz bestimmte Einzahlungen und Auszahlungen er-warten lassen, welche Tätigkeiten also im einzelnen zur Wahl stehen, wird folg-lich nicht nachgegangen, sondern sie wird bei Investitionseinzelentscheidungenals schon beantwortet angesehen. Die Antwort ist eine bestimmte, für jedes Inve-stitionsobjekt (Investitionsalternative) gegebene Zahlungsreihe. Die Investitionsal-ternativen werden im Zusammenhang mit dem Problem der Investitionseinzelent-scheidungen als eine Black-Box betrachtet.3. Vorgaben hinsichtlich des KapitalmarktsDie Entscheidungssituation, von der bei Anwendung der dynamischen Investi-tionsrechnungsverfahren ausgegangen wird, umfaßt jedoch nicht bloß die schonbenannten alternativen Investitionsobjekte im Sinne der Durchführungsalternati-ven und – bei Entscheidungsfreiheit – der Unterlassensalternative bezogen auf je-des Investitionsobjekt und hinsichtlich aller Investitionsobjekte, sondern darüber-hinaus auch Vorgaben hinsichtlich des Kapitalmarkts und der auf ihm mögli-chen Finanzierungs- und Investitionsentscheidungen. Kapitalanlagen (Inve-stitionen) auf dem vollkommenen Kapitalmarkt sollen neben den sich gegen-seitig ausschließenden Investitionsobjekten (Sachinvestitionen) beliebig mög-lich sein. In bezug auf solche sich nicht gegenseitig ausschließenden Investitionen aufdem Kapitalmarkt soll zur leichteren sprachlichen Unterscheidung von Finanz-investitionen oder allgemein von Finanzierungstiteln gesprochen werden. DieBegriffe Sachinvestitionen und Finanzinvestitionen werden daher im weiteren alsSprachkürzel für sich gegenseitig ausschließende oder sich gegenseitig nicht aus-schließende Investitionen benutzt.Die finanzmathematischen Investitionsrechnungsverfahren verlangen einen soge-nannten vollkommenen Kapitalmarkt. Von einem vollkommenen Kapitalmarktspricht man, wenn zu einem bestimmten Zinssatz i beliebig viel Kapital aufge-nommen und angelegt werden kann. Bezogen auf den Zinssatz, den man bei Kapi-talaufnahme vom Kapitalmarkt (Finanzierungsentscheidungen) zahlen muß,spricht man auch vom Sollzins. Bezogen auf den Zinssatz, den man bei Kapitalan-lage auf dem Kapitalmarkt (Finanzinvestitionsentscheidungen) erhält, spricht manvom Habenzins. Auf einem vollkommenen Kapitalmarkt stimmen Soll- undHabenzins überein. Das heißt, wird auf dem vollkommenen Kapitalmarkt Kapi-tal neu angelegt oder neu aufgenommen oder werden bisherige Finanzierungstitelge- oder verkauft, so gilt dafür der gleiche Zins. Dieser Zinssatz i ist der auf dem vollkommenen Kapitalmarkt zum Entschei-dungszeitpunkt t = 0 geltende Zinssatz. Das heißt, werden zu diesem ZeitpunktKapitalmarktoperationen gemacht, so muß dieser Zinssatz akzeptiert werden. Diefinanzmathematischen Investitionsrechnungsverfahren arbeiten mit diesem Zins-satz i als sog. Kalkulationszinssatz. Zum geltenden Zinssatz i kann man heute,also im Entscheidungszeitpunkt t = 0, zeitlich beliebig lange wirkende Ent-scheidungen auf dem Kapitalmarkt treffen. Die Prämisse des vollkommenenKapitalmarkts verlangt nicht die Einschränkung, daß nur einperiodige Kapital-marktoperationen zulässig sind. Eine solche Einschränkung ist weder aus theoreti-


schen Erwägungen erforderlich, noch steht sie mit den praktischen Gegebenheitenin Übereinstimmung. Mit der Prämisse des vollkommenen Kapitalmarkts ist esvereinbar, daß Kapitalaufnahme- und Kapitalanlageentscheidungen mit unter-schiedlicher zeitlicher Wirkung zu unterschiedlichen Bedingungen (Zinssätzen)heute abgewickelt werden. Wenn dies der Fall ist, dann gilt indes nicht ein einzi-ger heutiger Zinssatz i (als skalare Größe), sondern eine heutige zeitliche Zins-struktur i (als vektorielle Größe).Die Prämisse des vollkommenen Kapitalmarkts verlangt dann freilich, daß dieZinsstrukturen bezogen auf Anlagezinsen (Habenzinsstruktur) und Aufnah-mezinsen (Sollzinsstruktur) übereinstimmen. Auf einem vollkommenen Kapi-talmarkt können "alte" wie "neue" Finanzierungstitel – gleichgültig, welche nomi-nalen Zinsen (Kupons) sie haben – in beliebigem Umfang jederzeit gekauft oderverkauft werden, und zwar zu den gleichen, den jeweils aktuellen und als Zins-struktur ausgedrückten Bedingungen. Jede Kapitalmarktoperation wird also zudem für ihre zeitliche Reichweite (und sonstigen vertraglichen Bedingungen) ge-rade geltenden Zins abgewickelt. Bei einem vollkommenen Kapitalmarkt wirdniemand schlechtere Bedingungen akzeptieren, aber es kann auch niemandbessere Bedingungen realisieren als die gerade geltenden.Was unter einer zeitlichen Zinsstruktur zu verstehen ist, soll kurz erläutertwerden1. Von einer "normalen" (steigenden) Zinsstruktur spricht man, wennheute (im Entscheidungszeitpunkt!) zeitlich länger wirksame Entscheidungen zuhöheren Zinssätzen abgeschlossen werden als zeitlich kürzer wirksame Entschei-dungen. Eine "inverse" (fallende) Zinsstruktur liegt vor, wenn sog. Kurzläuferhöhere Renditen als sog. Langläufer aufweisen. Sind die Zinssätze laufzeitunab-hängig, so liegt eine "stabile" (flache) Zinsstruktur vor. Eine Aussage über einmögliches Zinsänderungsrisiko, also über eine Änderung der Zinsen und Zins-strukturen in der Zukunft gegenüber den heutigen Zinssätzen und der heutigenZinsstruktur, ist mit einer Charakterisierung einer Zinsstruktur als normal, inversoder stabil nicht verbunden2.Solche zeitlichen Zinsstrukturen sind ein am realen (mehr oder minder unvoll-kommenen) Kapitalmarkt beobachtbares Phänomen. Als Beispiel zur Illustrationvon Zinsstrukturen werden in der nachfolgenden Tabelle und in der Abbildung 33die Renditestrukturen umlaufender Bundesanleihen in Abhängigkeit von ih-rer Restlaufzeit dargestellt3. Es handelt sich also um eine spezielle, auf einen be-stimmten Emittenten (den Bund einschließlich Bahn und Post!) und damit auf eineweitgehend risikohomogene Gruppe von Wertpapieren ausgerichtete Zinsstruktur.


1 Vgl. einführend Duwendag, Dieter: Zinsstruktur, in: Handwörterbuch der Finanzwirtschaft, Stuttgart 1976, Sp.1927-1936.

2 Vgl. auch Schneider, Dieter: Investition, Finanzierung und Besteuerung, 6. A., Nachdruck, Wiesbaden 1991, S.106-108.

3 Vgl. Statistische Beihefte zu den Monatsberichten der Deutschen Bundesbank, Reihe 2, Wertpapierstatistik,März 1992, S. 33; zur Methodik der Berechnung der Renditestrukturen vgl. Monatsberichte der Deutschen Bun-desbank, Die Zinsentwicklung seit 1978, Januar 1983, S. 14-26; Berechnung erfolgt auf der Basis einer Regres-sionsfunktion: R(RLZ) = a0 + a1 • RLZ + a2 • ln RLZ + a3 • K(RLZ) + a4 • ln K(RLZ) mit R(RLZ) als durch-schnittliche Rendite der Restlaufzeitklasse RLZ, a0, a1, a2, a3 und a4 als mit Hilfe der Methode der kleinstenQuadrate zu schätzende Regressionskoeffizienten sowie K(RLZ) als durchschnittliche Nominalverzinsung ("Ku-pon") in der Restlaufzeitklasse RLZ.

Die Renditestruktur Ende 1986 ist ein Beispiel einer "normalen" Zinsstruk-tur. Die Renditestruktur Ende 1991 wie auch am 6.3.1992 sind Beispiele einer"inversen" Zinsstruktur, während die Renditestruktur Ende 1989 als (ziem-lich) "stabile" Zinsstruktur anzusehen ist.Bei Anwendung der finanzmathematischen Methoden wird vielfach von der Prä-misse einer stabilen Zinsstruktur im Entscheidungszeitpunkt ausgegangen. Eswird dann mit einem von der zeitlichen Reichweite der Kapitalmarktoperatio-nen unabhängigen einheitlichen Kapitalmarktzins (Sollzins = Habenzins) alsKalkulationszinssatz i gearbeitet. Diese Annahme einer stabilen Zinsstruktur aufdem vollkommenen Kapitalmarkt zum Entscheidungszeitpunkt dient der rechen-technischen Vereinfachung, weil dann nicht – je nach zeitlicher Reichweite –mit unterschiedlichen Kalkulationszinssätzen operiert werden muß. Eine stabileZinsstruktur im Entscheidungszeitpunkt sagt natürlich nichts über den tatsächli-chen Zinssatz im Zeitablauf aus. Die für die Anwendung der finanzmathemati-schen Investitionsrechnungsverfahren erforderliche Prämisse eines vollkomme-

Renditestruktur Ende 1986 Renditestruktur Ende 1989 Renditestruktur Ende 1991

1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 103

8

Restlaufzeit

Rend

ite

Abbildung 33: Erläuterung von zeitlichen Zinsstrukturen

Restlauf- Rendite umlaufender Bundesanleihen in % p.a.zeit

in JahrenEnde 1986 Ende 1989 Ende 1991 6.3.1992

1 4,46 7,67 9,43 8,951,5 4,82 7,67 9,23 8,762 5,06 7,67 9,09 8,62

2,5 5,25 7,67 8,98 8,513 5,40 7,66 8,89 8,43

3,5 5,52 7,66 8,81 8,364 5,62 7,65 8,75 8,30

4,5 5,71 7,64 8,69 8,245 5,79 7,64 8,63 8,19

5,5 5,86 7,63 8,58 8,156 5,92 7,62 8,54 8,11

6,5 5,98 7,61 8,50 8,087 6,03 7,61 8,46 8,04

7,5 6,07 7,60 8,42 8,018 6,11 7,59 8,39 7,98

8,5 6,15 7,58 8,35 7,969 6,19 7,57 8,32 7,93

9,5 6,22 7,56 8,29 7,9110 6,25 7,55 8,26 7,89


nen Kapitalmarkts mit übereinstimmender Soll- und Haben-Zinsstruktur imEntscheidungszeitpunkt, so daß Kapitalmarktoperationen beliebiger zeitlicherReichweite zu im Entscheidungszeitpunkt bekannten Bedingungen getroffen wer-den können, und die aus Gründen der rechentechnischen Vereinfachung ge-troffene Annahme einer stabilen Zinsstruktur, damit mit einem einzigen Kal-kulationszinssatz i gerechnet werden kann, sollten nicht mit der nicht erforderli-chen Annahme über einen im Zeitablauf bekannten und konstanten Zinssatz aufdem vollkommenen Kapitalmarkt verwechselt werden.Eine Aussage über den Zinssatz, der bei zukünftigen Operationen auf dem Kapi-talmarkt zu akzeptieren ist, verlangen die finanzmathematischen Methoden nicht.Es werden ausschließlich heute, also im Entscheidungszeitpunkt t = 0, verfüg-bare Alternativen auf der Basis heutiger Informationen beurteilt. Eine Kennt-nis von künftigen, d.h. im Zeitablauf auf dem Kapitalmarkt geltenden Zinssätzen,ist genausowenig erforderlich wie eine Kenntnis der künftigen, außerhalb des Ka-pitalmarkts liegenden Investitionsalternativen.Während letzteres im Zusammenhang mit der Anwendung der finanzmathemati-schen Methoden regelmäßig nicht verlangt wird, setzt man ersteres überflüssiger-weise oft voraus1. Denn unter der Prämisse einer übereinstimmenden Soll- undHaben-Zinsstruktur im Entscheidungszeitpunkt, so daß Kapitalmarktoperationenbeliebiger zeitlicher Erstreckung zu heute bekannten Bedingungen abgeschlos-sen werden können, braucht man für eine optimale Entscheidung im Entschei-dungszeitpunkt t= 0 keine Kenntnis der zukünftigen Zinssätze. Bei einem vollkommenen Kapitalmarkt mit einer übereinstimmenden (also stabileZinsstruktur nicht erforderlich!) Soll- und Haben-Zinsstruktur ist nicht bloß eineSeparation von Investitions- und Konsumentscheidungen, sondern auch eine zeit-liche Separation der Investitionsentscheidungen möglich. Diese zeitliche Sepa-ration ergibt sich, weil zeitlich beliebig lange Kapitalmarktoperationen zuge-lassen werden. Ohne Kenntnis der künftigen Finanzierungs- und Investitions-möglichkeiten kann man auf der Basis der heutigen Zinsstruktur heute richtig ent-scheiden.Ich möchte diese zeitliche Separation der Investitionsentscheidungen an einfachenZahlenbeispielen erläutern. Es soll ein "ewiges" Investitionsobjekt beurteilt wer-den, das für alle Zukunft gleichbleibende Einzahlungen (Rente R) von 10 Geldein-heiten (GE), also eine sog. "ewige Rente", erwarten läßt. Es soll gefragt werden,welchen maximal zahlbaren Preis ein Investor dafür zahlen könnte, wenn heuteauf dem Kapitalmarkt ein Zinsniveau von 10% gültig ist, wobei dies zugleich dieheutige Zinsstruktur für beliebig lange wirkende Kapitalmarktoperationen seinsoll, so daß eine stabile Zinsstruktur angenommen wird. Die Darstellung soll indrei Varianten präsentiert werden.


1 So z.B. Hetzel, Heiko: Stichtagszins oder zukünftiger Zins zur Ertragswertermittlung im Rahmen der modernenUnternehmensbewertung?, in: Betriebs-Berater 1988, S. 725-728; ferner Schneider, Dieter: Investition, Finanzie-rung und Besteuerung, 6. A., Nachdruck 1991, S. 82. Zur unmittelbaren Kritik an Hetzel vgl. Jaeckel, Ulf: ZurBestimmung des Basiszinsfußes bei der Ertragswertermittlung, in: Betriebswirtschaftliche Forschung und Praxis1988, S. 553-563.

1. Variante (vgl. Abbildung 34): Der Investor kennt nur die heutige stabile Zins-struktur auf dem Kapitalmarkt; d.h., "ewige" Finanzierungstitel verzinsen sichheute zu 10,0% p.a.. Der Investor könnte daher maximal einen Preis von Pmax =100 GE für die zu bewertende "ewige" Rente zahlen. Diesen Preis Pmax = P mußer tatsächlich heute zahlen, wenn er anstelle des zu beurteilenden Investitionsob-jekts heute einen "ewigen" Finanzierungstitel auf dem Kapitalmarkt erwirbt, weiler heutige Kapitalmarktoperationen nur zu heutigen Bedingungen abschließenkann.2. Variante (vgl. Abbildung 35): Der Investor kennt die heutige Zinsstruktur,d.h., er weiß, daß sich "ewige" Finanzierungstitel heute zu 10,0% p.a. verzinsen,aber er (allein) kennt auch die künftigen Zinsstrukturen, wobei er weiß, daß imZeitablauf der Zinssatz für "ewige" Finanzierungstitel fallend sein wird. Weil nurer diese Kenntnis und Erwartung haben soll, bleibt die heutige Zinsstruktur, diesich aus den am Kapitalmarkt vorherrschenden Erwartungen der Marktteilnehmerbildet, weiterhin stabil. D.h., die jetzt betrachtete Situation sollte daher nicht miteiner "inversen" Zinsstruktur verwechselt werden, weil eine inverse Zinsstruktursich auf den gleichen Zeitpunkt bezieht! Der Investor könnte maximal einen Preisvon 100 GE zahlen. Diesen Preis muß er auch tatsächlich heute für "ewige" Finan-zierungstitel auf dem Kapitalmarkt zahlen. Daß er bei Erwerb eines solchen Fi-nanzierungstitels zum Preis von 100 GE einen Rentenstrom von R = 10 GE er-wirtschaften kann, ist beispielhaft für zwei Handlungsalternativen (Probe 1 undProbe 2) dargestellt. Wegen der im Zeitablauf angenommenen fallenden Zinsenfür "ewige" Finanzierungstitel steigt deren Ertragswert (Kurswert am Kapital-markt) im Zeitablauf. Aber wegen der fallenden Zinsen müßte der Investor künftigauch einen höheren Kapitalbetrag für den Erwerb des Rentenstroms auf dem Ka-pitalmarkt anlegen. Der Investor kann allein auf der Basis der Kenntnis heutigerZinsstrukturen die "ewige" Rente richtig bewerten.

Zeit t 0 1 2 3 4 5 usw.Zu bewertende "ewige" Einzahlungen R 10 10 10 10 10 usw.Heutiger Zinssatz i (für "ewige" Finanzierungstitel) auf demKapitalmarkt 0,1Rentenbarwertfaktor 1/i 10Maximal zahlbarer Preis ("Ertragswert") für"ewige" Rente im Zeitpunkt t = 0: Pmax = R • 1/i 100

Probe:Investition "Erwerb des ewigen Finanzierungsti-tels zum maximal zahlbaren Preis und Halten desFinanzierungstitels" -100 10 10 10 10 10

Verzinsung des investierten Kapitals bezogen auf die gesamteInvestitionsdauer 0,1

Abbildung 34: 1. Variante: Investor kennt nur die heutige stabile Zinsstruktur!


Zeit t 0 1 2 3 4 5 usw.Zu bewertende "ewige" Einzahlungen R 10 10 10 10 10 usw.Zinssatz it für "ewige" Finanzierungstitel im Zeitablauf (je-weils stabile Zinsstruktur) 0,1 0,09 0,08 0,07 0,06 0,06

Rentenbarwertfaktor 1/it im Zeitablauf 10 11,11 12,5 14,29 16,67 16,67Maximal zahlbarer Preis ("Ertragswert") für"ewigen" Rente im Zeitpunkt t = 0:Pmax = R • 1/i0

100

Probe 1:Investition "Erwerb des ewigen Finanzierungsti-tels zum maximal zahlbaren Preis und Haltendes Finanzierungstitels" -100 10 10 10 10 10


Probe 2:Investition "Erwerb des ewigen Finanzierungsti-tels zum maximal zahlbaren Preis und Veräuße-rung des Finanzierungstitels nach jeweils einerPeriode auf dem Kapitalmarkt sowie erneuteKapitalanlage"

-100 10 10 10 10 10

Auszahlung für Finanzierungstitel -100Zinsbetrag für eine Periode auf der Basis von it-1 10Veräußerungserlös (Ertragswert einer ewigen Rente R auf derBasis des Rentenbarwertfaktors 1/it) im Zeitpunkt t 111,1

Anlagebetrag für Erwerb einer "ewigen Rente" R im Zeit-punkt t -111,1

Zinsbetrag für eine Periode auf der Basis von it-1 10Veräußerungserlös (Ertragswert einer ewigen Rente R auf derBasis des Rentenbarwertfaktors 1/it) im Zeitpunkt t 125

Anlagebetrag für Erwerb einer "ewigen Rente" R im Zeit-punkt t -125

Zinsbetrag für eine Periode auf der Basis von it-1 10Veräußerungserlös (Ertragswert einer ewigen Rente R auf derBasis des Rentenbarwertfaktors 1/it) im Zeitpunkt t 142,9







Abbildung 35: 2. Variante: Investor kennt die heutige stabile Zinsstrukturund ferner die künftigen tatsächlichen, im Zeitablauf fallenden Zinssätze(aber jeweils stabile Zinsstruktur)!


Zeit t 0 1 2 3 4 5 usw.Zu bewertende "ewige" Einzahlungen R 10 10 10 10 10 usw.Zinssatz it für "ewige" Finanzierungstitel im Zeitablauf (je-weils stabile Zinsstruktur) 0,1 0,11 0,12 0,13 0,14 0,14

Rentenbarwertfaktor 1/it im Zeitablauf 10 9,091 8,333 7,692 7,143 7,143Maximal zahlbarer Preis ("Ertragswert") für"ewigen" Rente im Zeitpunkt t = 0:Pmax = R • 1/i0

100

Probe 1:Investition "Erwerb des ewigen Finanzie-rungstitels zum maximal zahlbaren Preis undHalten des Finanzierungstitels" -100 10 10 10 10 10

Verzinsung des investierten Kapitals bezogen auf die ge-samte Investitionsdauer 0,1

Probe 2:Investition "Erwerb des ewigen Finanzie-rungstitels zum maximal zahlbaren Preis undVeräußerung des Finanzierungstitels nach je-weils einer Periode auf dem Kapitalmarkt so-wie erneute Kapitalanlage"

-100 10 10 10 10 10

Auszahlung für Finanzierungstitel -100Zinsbetrag für eine Periode auf der Basis von it-1 10Veräußerungserlös (Ertragswert einer ewigen Rente R aufder Basis des Rentenbarwertfaktors 1/it) im Zeitpunkt t 90,91


Zinsbetrag für eine Periode auf der Basis von it-1 10Veräußerungserlös (Ertragswert einer ewigen Rente R aufder Basis des Rentenbarwertfaktors 1/it) im Zeitpunkt t 83,33








Verzinsung des investierten Kapitals bezogen auf die ge-samte Investitionsdauer 0,1

Abbildung 36: 3. Variante: Investor kennt die heutige stabile Zinsstrukturund ferner die künftigen tatsächlichen, im Zeitablauf steigenden Zinssätze(aber jeweils stabile Zinsstruktur)!


3. Variante (vgl. Abbildung 36): Der Investor kennt die heutige Zinsstruktur,d.h., er weiß, daß sich "ewige" Finanzierungstitel heute zu 10,0% p.a. verzinsen,aber er (allein) kennt auch die künftigen Zinsstrukturen, wobei er weiß, daß imZeitablauf der Zinssatz für "ewige" Finanzierungstitel steigend sein wird. Weilwiederum nur er diese Kenntnis und Erwartung haben soll, bleibt die heutigeZinsstruktur, die sich aus den am Kapitalmarkt vorherrschenden Erwartungen derMarktteilnehmer bildet, weiterhin stabil. D.h., die jetzt betrachtete Situation solltedaher nicht mit einer "normalen" Zinsstruktur verwechselt werden! Wie die vor-stehende Tabelle zeigt, könnte der Investor wiederum maximal einen Preis von100 GE zahlen. Diesen Preis muß er auch tatsächlich heute für "ewige" Finanzie-rungstitel auf dem Kapitalmarkt zahlen. Daß er bei Erwerb eines solchen Finan-zierungstitels zum Preis von 100 GE einen Rentenstrom von R = 10 GE erwirt-schaften kann, ist beispielhaft für zwei Handlungsalternativen (Probe 1 und Probe2) dargestellt. Wegen der im Zeitablauf angenommenen steigenden Zinsen für"ewige" Finanzierungstitel fällt deren Ertragswert (Kurswert am Kapitalmarkt) imZeitablauf. Wegen der steigenden Zinsen müßte er künftig einen geringeren Kapi-talbetrag für den Erwerb eines gleich hohen Rentenstroms auf dem Kapitalmarktanlegen. Der Investor kann die zu beurteilende "ewige" Rente allein auf der Basisder Kenntnis heutiger Zinsstrukturen richtig bewerten. Er muß dazu nicht die tat-sächlichen künftigen (steigenden) Zinssätze kennen.Voraussetzung für die Anwendung der finanzmathematischen Investitionsrech-nungsverfahren und die zeitliche Separation von Investitionsentscheidungen istdie Kenntnis der heutigen Zinsstruktur auf dem vollkommenen Kapital-markt. Diese heutige Zinsstruktur leitet sich aus den heute auf dem Kapitalmarkt vor-herrschenden Vorstellungen über die künftigen Zinsen ab und ist ein Ergebnisdes Markthandelns. Das Entstehen einer Zinsstruktur soll kurz erläutert werden,um die Bedeutung der Prämisse der Kenntnis der heutigen Zinsstruktur noch bes-ser verstehen zu können. Zur Vereinfachung sei angenommen, daß alle Kapital-marktteilnehmer übereinstimmende Vorstellungen über die künftigen Zinssätzehätten, was freilich noch nichts darüber aussagt, daß die künftigen Zinssätze tat-sächlich so sein werden, wie sie übereinstimmend erwartet werden.Es sollen steigende Zinsen erwartet werden. Die heutigen Zinserwartungen für dieeinzelnen Zeitpunkte seien i*t . Die Zinserwartung i*t gibt an, welcher Zinssatz fürKapitalanlagen und Kapitalaufnahmen mit einperiodiger Laufzeit im Zeitpunkt t,also für die Periode t+1, die vom Zeitpunkt t bis zum Zeitpunkt t + 1 läuft, heuteerwartet wird. Im Beispiel sollen bis zum Zeitpunkt t = 4 steigende Zinsen, danachgleichbleibende Zinsen erwartet werden:

Welche Zinsstruktur wird sich bei diesen – unterstellterweise – von allen Kapi-talmarktteilnehmern in gleicher Weise gehegten Erwartungen heute für Kapital-marktoperationen mit unterschiedlicher Laufzeit einstellen? Hierzu ist zu un-tersuchen, welche Handlungsstrategie sich aufgrund solcher Erwartungen in Ab-hängigkeit von ihrer Laufzeit für den einzelnen (und unter der genannten Bedin-gung für alle) Kapitalmarktteilnehmer als optimal erweist. Es geht dabei um die

Zeitpunkt 0 1 2 3 4 5 usw.Heutige Zinserwartungen i*t 0,1 0,11 0,12 0,13 0,14 0,14 usw.


Frage, welche Zahlungen die Kapitalmarktteilnehmer bei optimaler, diese Erwar-tungen berücksichtigender Handlungsweise aufgrund von Kapitalmarktoperatio-nen erwarten können. Welche Wachstumserwartungen, welche Verzinsungserwar-tungen bezogen auf einen Kapitalbetrag von 1 GE haben die Kapitalmarktteilneh-mer? Wer einen Kapitalbetrag von 1 GE in t = 0 anlegt, erwartet in der angenommenenSituation, daß im Zeitpunkt t = 1 daraus ein Betrag (1 + i*0 ) = (1 + 0,1) gewordenist. Auf dem Kapitalmarkt wird wegen der übereinstimmenden Erwartungen fürFinanzierungstitel mit einer Laufzeit von einer Periode sich ein Zinssatz i01 = i*0 =0,1 einstellen. Der Zinssatz i01 ist also der im Zeitpunkt t = 0 auf dem Kapital-markt geltende Zinssatz für einperiodige Kapitalanlagen. Anders als die (sub-jektiven) Zinserwartungen i*0 ist der Zinssatz i01 ein beobachtbares (objektives)Marktphänomen.Wer einen Kapitalbetrag von 1 GE in t = 0 für zwei Perioden, also bis zum Zeit-punkt t = 2, anlegen möchte, könnte dies individuell auf zwei verschiedene Artentun: 1. Er macht einen Vertrag über eine Laufzeit von zwei Perioden, so daß der Kapi-talbetrag von 1 GE in t = 0 auf (1 + i02)2 in t = 2 anwächst, wobei der Zinssatz i02der heute geltende Zinssatz für zweiperiodige Kapitalanlagen ist, oder 2. er macht zwei Verträge (mit einem oder zwei Partnern) auf der Basis des ge-genwärtig für die Periode 1 geltenden Zinses i01 und eines heutigen Zinses fürAnlagen vom Zeitpunkt t = 1 bis t = 2, so daß der Kapitalbetrag von 1 GE in t = 0auf (1 + i01) • (1 + i12) = (1 + 0,1) • (1 + 0,11) in t = 2 anwächst. Weil die Zinser-wartung i*1 = 0,11 von allen Marktteilnehmern geteilt wird, wird sich für Geschäf-te zwischen den Zeitpunkten t = 1 und t = 2 ein heute geltender Zinssatz i12 inHöhe von i12 = 0,11 einstellen.

Auf einem vollkommenen Kapitalmarkt stellt sich ein Gleichgewicht ein, das da-zu führt, daß beide Vorgehensweisen gleichwertig sind, also Arbitrage nicht mög-lich wird, so daß gelten muß:

(1 + i02)2 = (1 + i01) • (1 + i12) = (1 + 0,1) • (1 + 0,11).

Daraus läßt sich der im Zeitpunkt t = 0 geltende Zinssatz i02 für zweiperiodigeKapitalmarktanlagen ausrechnen:

(1 + i02 )2 = (1 + i01)∑(1 + i12 )oder

(1 + i02 )22 = (1 + i01)∑(1 + i12 )2

oder

i02 = (1 + i01)∑(1 + i12 )2 −1.


Wenn dieZinssätze i0tbekannt sindkönnen dieZinssätzeit,t+1 berech-net werden;vgl. Stei-ner/Bruns,Wertpapier-management,Stuttgart1993, S. 227.

Unter Zugrundelegung der geltenden Zinssätze i01 =0,1 und i12 = 0,11 folgt dar-aus: i02 = 0,104989.

Wer einen Kapitalbetrag von 1 GE in t = 0 für drei Perioden, also bis zum Zeit-punkt t = 3, anlegen möchte, könnte dies individuell auf vier verschiedene Artentun: 1. Er macht einen Vertrag mit einem Partner über eine Laufzeit von drei Perioden,so daß der Kapitalbetrag von 1 GE in t = 0 auf (1 + i03)3 in t = 3 anwächst, wobeider Zinssatz i03 der heute geltende Zinssatz für dreiperiodige Kapitalanlagenist, oder 2. er macht zwei Verträge, einen mit einer Laufzeit von zwei Perioden auf der Ba-sis des für zweiperiodige Kapitalanlagen geltenden Zinssatzes i02 = 0,104989 undund einen Vertrag auf der Basis eines heute geltenden Zinssatzes i23 für Ge-schäfte zwischen den Zeitpunkten t = 2 und t = 3, so daß sein Kapital auf(1 + i02)2 • (1 + i23) = (1 + 0,104989) • (1 + 0,12) anwächst, da der Zinssatz i23wegen der vorausgesetzten übereinstimmenden Zinserwartungen auf dem heuti-gen Kapitalmarkt i23 = 0,12 betragen wird, oder

3. er macht zwei andere Verträge, einen mit einer Laufzeit von einer Periode aufder Basis von i01 und einen mit einer Laufzeit von zwei Perioden auf der Basis ei-nes Zinssatzes i13, der heute für Kapitalanlagen vom Zeitpunkt t = 1 bis zumZeitpunkt t= 3 gilt, so daß sein Kapital auf (1 + i01) • (1 + i13)2 anwächst, oder

4. er macht drei Verträge (mit einem oder mehreren Partnern) auf der Basis dergeltenden Zinssätze i01 sowie i12 und i23 über eine Laufzeit von jeweils einerPeriode, so daß der Kapitalbetrag von 1 GE in t = 0 auf(1 + i01) • (1 + i12) • (1 + i23) = (1 + 0,1) • (1 + 0,11) • (1 + 0,12) in t = 3 anwächst.

Auf einem vollkommenen Kapitalmarkt stellt sich ein Gleichgewicht ein, das da-zu führt, daß alle vier Vorgehensweisen gleichwertig sind, also Arbitrage nichtmöglich wird, so daß gelten muß:

Unter Zugrundelegung der geltenden Zinssätze i01 = 0,1 und i02 = 0,104989 sowiei12 = 0,11 und i23 = 0,12 errechnen sich dann die im Entscheidungszeitpunkt t = 0geltenden arbitragefreien Kapitalmarktzinssätze i03= 0,109970 und i13 = 0,114989.

Entsprechend ergeben sich die heutigen Kapitalmarktzinssätze für Kapitalmarkt-entscheidungen anderer zeitlicher Erstreckung. Bezogen auf das Zahlenbeispiel

(1 + i03 )3 = (1 + i02 )2 ∑(1 + i23 ) = (1 + i01) ∑(1 + i13 )2 = (1 + i01)∑(1 + i12 )∑(1 + i23 )oder

(1 + i03 )33 = (1 + i02 )2 ∑(1 + i23 )3 = (1 + i01) ∑(1 + i13 )23 = (1 + i01)∑(1 + i12 )∑(1 + i23 )3

oder

i03 = (1 + i02 )2 ∑(1 + i23 )3 −1 = (1 + i01) ∑(1 + i13 )23 −1 = (1 + i01)∑(1 + i12 )∑(1 + i23 )3 −1.


sind die Resultate dieser Überlegungen in der nachfolgenden Tabelle zusammen-gefaßt.

Auf der Basis dieser Zinssätze iτt (vgl. Abbildung 37) lassen sich im Entschei-dungszeitpunkt tatsächlich Kapitalmarktgeschäfte abschließen. Die erste Zeiledieser Zinsstrukturmatrix gibt die sich bei den im Entscheidungszeitpunkt t= 0vorherrschenden Zinserwartungen auf dem Kapitalmarkt einstellende heutigezeitliche Zinsstruktur i0t an. Es handelt sich wegen der steigenden Zinserwartun-gen um eine normale Zinsstruktur, die freilich nicht mit den Zinserwartungen sel-ber verwechselt werden darf. Die zweite Zeile dieser Zinsstrukturmatrix gibt dieheutigen Vorstellungen über die im Zeitpunkt t = 1 herrschende Zinsstrukturan, was natürlich nicht bedeutet, daß dies die im Zeitpunkt t = 1 tatsächlich gelten-de Zinsstruktur sein wird. Es handelt sich dabei nicht um bloße Erwartungen, son-dern zugleich um Zinssätze, auf deren Basis heute arbitragefrei Geschäfte abge-wickelt werden können. Entsprechend sind die anderen Zeilen der Zinsstrukturma-trix zu deuten.Wir wollen jetzt darstellen, welche Bedeutung eine solche Zinsstruktur für die Be-wertung des zuvor unter der Bedingung einer stabilen Zinsstruktur betrachtetenewigen Rentenstroms von R = 10 GE hat, d.h., wie sich diese Zinsstruktur auf denheute dafür maximal zahlbaren Preis Pmax auswirkt. Während unter der Bedingungeiner stabilen Zinsstruktur mit einem einzigen Kalkulationszinssatz gearbeitetwerden konnte, weil alle, zeitlich beliebig lange wirksamen Entscheidungen zudiesen Bedingungen heute auf dem Kapitalmarkt abgewickelt werden konnten,muß man jetzt mit unterschiedlichen, der heutigen Zinsstruktur entsprechendenKalkulationszinssätzen arbeiten. Da alle Zinssätze in der Zinsstrukturmatrix bei einem vollkommenen Kapital-markt arbitragefrei sind, d.h., alle jeweils möglichen Kapitalmarktstrategiengleichwertig sind und, weil es keine bessere geben kann, in gleicherweise opti-mal sind, braucht man für die Überlegungen zur Herleitung des maximal zahlba-ren Preises nicht mehr alle zulässigen alternativen Kapitalmarktstrategien einzube-ziehen, sondern kann eine einzige davon herausgreifen.

Zeitpunkt 0 1 2 3 4 5Heutige Zinser-wartungen i*t

0,1 0,11 0,12 0,13 0,14 0,14

Heute geltende Zinssätze iτt für Kapitalanlagen zwischen dem Zeitpunkt τ und tEndzeitpunkt t ⇒

Anfangszeit-punkt τ ⇓ 1 2 3 4 5 6

0 0,1 0,1049887 0,1099700 0,1149439 0,1199107 0,12323421 0,11 0,1149888 0,1199702 0,1249444 0,12793962 0,12 0,1249889 0,1299705 0,13246963 0,13 0,1349890 0,13665694 0,14 0,145 0,14

Abbildung 37: Beispiel einer aus Zinserwartungen hergeleiteten Zinsstruktur


Die Frage, die es zu beantworten gilt, lautet demgemäß: Was müßte man heute(bei optimaler Kapitalmarktstrategie) für einen ewigen Rentenstrom in Höhe vonR = 10 GE auf dem Kapitalmarkt anlegen?

Um eine Rente R1 = 10 GE im Zeitpunkt t = 1 zu realisieren, müßte man heuteeinen Geldbetrag

anlegen (Finanzierungstitel 1).


über zwei Perioden anlegen (Finanzierungstitel 2).


über drei Perioden anlegen (Finanzierungstitel 3).


über vier Perioden anlegen (Finanzierungstitel 4).Bezogen auf die Renten R5 = R6 = R7 = R8 = …= R = 10 GE ab dem Zeitpunktt = 5 müßte man heute einen Geldbetrag

aufbringen, wie dieser Betrag zu verstehen ist, wird gleich noch erläutert (Finan-zierungstitel 5). Hierbei ist der Zinssatz i45 derjenige, der heute für Terminge-schäfte mit Wirkung ab dem Zeitpunkt t = 4 gilt. Er drückt zugleich die heute fürden Zeitpunkt t = 4 erwartete stabile Zinsstruktur aus, wie man der Zinsstruktur-matrix des Beispiels entnehmen kann. Der Ausdruck R • 1/i45 ist dabei derGrenzwert bezogen auf die folgende Summe S, wenn die zeitliche BetrachtungT → ∞ geht:

10 • 1/0,14 • 1/(1+0,1149439)4 = 46,223181K0tt = 5

∞

∑ = R∑1 / i45 ∑1 / (1 + i04 )4 =

K04 = R4/(1 + i04)4 = 10/(1+0,1149439)4 = 6,471245

K03 = R3/(1 + i03)3 = 10/(1+0,10997)3 = 7,312507

K02 = R2/(1 + i02)2 = 10/(1+0,1049887)2 = 8,190008

K01 = R1/(1 + i01) = 10/(1+0,1) = 9,090909


Der Betrag R • 1/i45 im Zeitpunkt t = 4 ist dabei allen Rentenzahlungen von t = 5bis t = ∞ äquivalent. Er gibt an, über welchen Investitionsbetrag ein Investor heu-te ein Termingeschäft abschließen müßte, das im Zeitpunkt t = 4 von ihm zu erfül-len ist, wobei er im Zeitpunkt t = 4 eine Auszahlung in Höhe von R • 1/i45 zu er-bringen hat, und das für ihn ab dem Zeitpunkt t = 5 einen gleichbleibenden Ren-tenstrom von R = 10 bringen wird (Finanzierungstitel 6). Damit der Investor imZeitpunkt t = 4 den Auszahlungsbetrag in Höhe von R • 1/i45 erbringen kann,müßte er außerdem heute einen Vertrag abschließen, aus dem er im Zeitpunkt t =4 diesen Betrag R • 1/i45 als Einzahlung erwarten kann. Um eine Einzahlung indieser Höhe im Zeitpunkt t = 4 zu erhalten, müßte er heute eine Kapitalanlage miteiner Laufzeit von vier Perioden in Höhe von [R • 1/i45]• 1/(1+i04)4 zum Zinssatzfür vierperiodige Kapitalanlagen i04 tätigen (Finanzierungstitel 7). Die hier vor-genommene Trennung des Finanzierungstitels 5 in einen Finanzierungstitel 7mit Zahlungen im Zeitpunkt t = 0 (Auszahlung) und t = 4 (Einzahlung) und in

S = R5

(1 + i45 )+ R6

(1 + i45 )2 +…+ RT

(1 + i45 )T−4

oderwegen R5 = R6 = … = RT = R

S = R(1 + i45 )

+ R(1 + i45 )2 +…+ R

(1 + i45 )T−4

oder nach Ausklammerung von 1(1 + i45 )

S = 1(1 + i45 )

∑R + R(1 + i45 )

+…+ R(1 + i45 )T−5

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

oder nach Multiplikation von S mit (1 + i45 ) und Bildung der Differenz

zwischen S∑(1 + i45 ) = R + R(1 + i45 )

+…+ R(1 + i45 )T−5 und S

S∑(1 + i45 ) − S = R − R(1 + i45 )T−4

oder

S∑i 45 = R∑1 − 1(1 + i45 )T−4

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

oder

S = R∑1i45

∑1 − 1(1 + i45 )T−4

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

oder

limT→∞

S = R∑1i45

.


einen Finanzierungstitel 6 mit Zahlungen im Zeitpunkt von t = 4 (Auszahlung)und ab t = 5 bis in alle Zukunft (Einzahlungen) ist eher von didaktischer als prak-tischer Relevanz, da beide ökonomisch eine Einheit bilden, nämlich den Finanzie-rungstitel 5 ausmachen. Bezogen auf diesen Finanzierungstitel 5 ist heute eineAuszahlung in Höhe von R • 1/i45 • 1/(1+i04)4 zu leisten und werden ab dem Zeit-punkt t = 5 (!) Einzahlungen in Höhe von R = 10 GE erwartet, weil sich die Ein-und Auszahlung in Höhe von R • 1/i45 im Zeitpunkt t = 4 betragsmäßig gegensei-tig aufheben.Der Gesamtbetrag Pmax, der heute angelegt werden müßte, um einen ewigen Ren-tenstrom von R = 10 GE über den Kapitalmarkt durch Erwerb verschiedener Fi-nanzierungstitel zu erhalten, beträgt dann:

oder unter Zugrundelegung der Daten:

Hierbei ist es wichtig, daß man die Abzinsungsfaktoren

richtig deutet. Die darin vorkommenden Zinssätze i0t oder iττττ,,,,ττττ++++1111 sind keine künf-tigen Zinssätze auf dem Kapitalmarkt im Zeitpunkt t oder in der Periode τ+1,denn die künftigen Zinssätze weiß grundsätzlich niemand und braucht auch nie-mand zu wissen, um den maximal zahlbaren Preis heute richtig zu ermitteln, son-dern es handelt sich ausschließlich um heutige Zinssätze. Sie sollten demgemäßauch nicht als subjektive Zinserwartungen des einzelnen Investors gedeutet wer-den. In ihnen spiegeln sich freilich die heute auf dem Kapitalmarkt vorherrschen-den Zinserwartungen wider, so daß diese heutigen Zinssätze von diesen Zinser-wartungen der Kapitalmarktteilnehmer geprägt sind.

1(1 + i0t )

t oder 1(1 + iτ,τ+1)τ= 0

t-1

∏

Pmax = 9,090909 + 8,190008 + 7,312507 + 6,471245 + 46,223181 = 77,28785 .

Pmax = K01 + K02 + K03 + K04 + K0tt = 5

∞

∑

Pmax = R1

(1 + i01)+ R2

(1 + i02 )2 + R3

(1 + i03 )3 + R4

(1 + i04 )4 + Ri45

∑ 1(1 + i04 )4

oder, weil eine mögliche Kapitalmarktstrategie auch Verträge über die Kapitalanlage von jeweils einer Periode beinhaltet,

Pmax = R1

(1 + i01)+ R2

(1 + i01)∑(1 + i12 )+ R3

(1 + i01)∑(1 + i12 )∑(1 + i23 )

+ R4

(1 + i01)∑(1 + i12 )∑(1 + i23 )∑(1 + i34 )+ R

(1 + i01)∑(1 + i12 )∑(1 + i23 )∑(1 + i34 )∑1

i45

oder

Pmax = Rtt =1

4

∑ ∑ 1(1 + iτ,τ+1)τ= 0

t-1

∏ + R∑1i45

∑ 1(1 + iτ,τ+1)τ= 0

3

∏


In der Literatur findet man dafür auch Bezeichnungen1 wie it oder kt oder ik, wo-bei die Erläuterungen hierzu als im Zeitablauf "nicht-konstante Zinssätze"(Kruschwitz) oder als "Kalkulationszinsfuß für Periode t" (Franke/Hax) zumindesterklärungsbedürftig sind, zumal wenn im gleichen Zusammenhang andere Grö-ßen, die mit dem Zeitindex t beschrieben werden, zu diesem Zeitpunkt t prognosti-zierte Größen sind. Erich Schneider ist da eindeutig, wenn er schreibt2: "Variiertder Zinsfuß, so daß ik der Zinsfuß in der kten ZE (k = 1, 2, …, n) ist, so erhältman:

wobei x der Barwert von K ist. Die Ansicht, daß im Abzinsungsfaktor

künftige Zinssätze stehen, hat also eine lange Tradition in der Literatur und dazuauch noch eine prominente Quelle. Wir halten aber fest: Die für die Abzinsungs-faktoren bei nicht stabiler Zinsstruktur benötigten Zinssätze i0t oder iττττ,,,,ττττ++++1111sind keine prognostizierten Größen, sondern heutige Fakten.Die subjektiven Zinserwartungen des einzelnen Investors sind belanglos für dieErmittlung des maximal zahlbaren Preises. Insbesondere wäre ein Investorschlecht beraten, auf der Basis seiner subjektiven Zinserwartungen eine Bewer-tung vorzunehmen und den auf dieser Basis ermittelten Kapitalbetrag P*max inkonkrete Entscheidungen einfließen zu lassen. Falls P*max > Pmax gelten würde,würde er eine Fehlentscheidung treffen, wenn der tatsächlich anzulegende Kapi-talbetrag P größer als der unter Berücksichtigung der heutigen Zinsstruktur sichergebende maximal zahlbare Preis Pmax ist: P*max > P > Pmax . Er würde dann einesuboptimale Entscheidung treffen. Er würde nämlich den zu bewertenden Einzah-lungsstrom zum Preis P zu teuer einkaufen, da er ihn über den Kapitalmarkt zudem niedrigeren Pmax erwerben kann. Falsch würde seine Entscheidung auch sein,wenn Pmax > P > P*max gilt und er demgemäß zu einer Ablehnungsentscheidungkäme; denn ihm entginge eine günstige Anlagemöglichkeit. Zugleich könnte erüber den Kapitalmarkt den zu bewertenden Einzahlungsstrom nicht realisieren,weil er dafür P = Pmax zahlen müßte; denn bezogen auf Operationen auf dem voll-kommenen Kapitalmarkt gilt, daß niemand günstigere Bedingungen (undPmax > P > P*max gehört dazu!) realisieren kann, aber auch keiner ungünstigereBedingungen (und P*max > P > Pmax gehört dazu!) akzeptieren muß.

1(1 + iτ,τ+1)τ= 0

t-1

∏

(22a) x = K(1 + i1)(1 + i2 )…(1 + in )

",


1 Zu den Bezeichnungen it vgl. Kruschwitz, Lutz: Investitionsrechnung, 4. A., Berlin, New York 1990, S. 69, oderkt vgl. Franke, Günter, Hax, Herbert: Finanzwirtschaft des Unternehmens und Kapitalmarkt, Berlin, Heidelberg,New York, London, Paris, Tokyo 1988, S. 116, oder ik vgl. Schneider, Erich: Wirtschaftlichkeitsrechnung, 7. A.,Tübingen, Zürich 1968, S. 153.

2 Schneider, Erich, ebenda, S. 153; so auch schon in der ersten Auflage: Schneider, Erich: Wirtschaftlichkeitsrech-nung, Bern, Tübingen 1951, S. 143.

Zeit t 0 1 2 3 4 5 usw.Zu bewertende "ewige" Einzahlungen R 10 10 10 10 10 usw.Heutige Abzinsungsfaktoren 1/(1+ i0t )

t für Zahlungen im Zeit-punkt t (gemäß Abbildung 37)

0,9091 0,819 0,7313 0,6471 0,5677

Heutiger Rentenbarwertfaktor 1/i45 (gemäß Abbildung 37) 7,1429Künftige tatsächliche Zinsen it (jeweils stabile Zinsstruktur) 0,09 0,11 0,08 0,12 0,1 usw.Rentenbarwertfaktor 1/it im Zeitablauf 11,111 9,0909 12,5 8,3333 10

Maximal zahlbarer Preis ("Ertragswert") Pmax für"ewige" Rente" im Zeitpunkt t = 0 77,288

Probe 1:Investition "Erwerb der verschiedenen Finanzierungsti-tel und Halten bis zum jeweiligen Laufzeitende" -77,288 10 10 10 10 10 usw.Finanzierungstitel 1 -9,0909 10Finanzierungstitel 2 -8,1900 10Finanzierungstitel 3 -7,3125 10Finanzierungstitel 4 -6,4712 10Finanzierungstitel 5 -46,223 10Verzinsung des investierten Kapitals bezogen auf die gesamte In-vestitionsdauer 0,12939

Probe 2:Investition "Erwerb verschiedener Finanzierungstitelund Veräußerung nach jeweils einer Periode auf demKapitalmarkt sowie erneute Anlage "

-77,288 10 10 10 10 10 usw.

Auszahlung für Finanzierungstitel 1 bis 5 -77,288Einzahlung aus Finanzierungstitel 1 10Veräußerungserlös für Finanzierungstitel 2 bis 5 (Ertragswert ei-ner ewigen Rente R auf der Basis des Rentenbarwertfaktors 1/it)im Zeitpunkt t

111,11

Anlagebetrag für Erwerb einer "ewigen" Rente R im Zeitpunkt tzum dann geltenden Zinssatz it -111,11

Zinsbetrag für eine Periode auf der Basis von it-1 10Veräußerungserlös für Finanzierungstitel 3 bis 5 (Ertragswert ei-ner ewigen Rente R auf der Basis des Rentenbarwertfaktors 1/it)im Zeitpunkt t

90,91


Zinsbetrag für eine Periode auf der Basis von it-1 10Veräußerungserlös für Finanzierungstitel 4 bis 5 (Ertragswert ei-ner ewigen Rente R auf der Basis des Rentenbarwertfaktors 1/it)im Zeitpunkt t

125

Anlagebetrag für Erwerb einer "ewigen" Rente R im Zeitpunkt tzum dann geltenden Zinssatz it -125

Zinsbetrag für eine Periode auf der Basis von it-1 10Veräußerungserlös für Finanzierungstitel 5 (Ertragswert einerewigen Rente R auf der Basis des Rentenbarwertfaktors 1/it) imZeitpunkt t

83,33


Zinsbetrag für eine Periode auf der Basis von it-1 10Veräußerungserlös (Ertragswert einer ewigen Rente R auf der Ba-sis des Rentenbarwertfaktors 1/it) im Zeitpunkt t 100

Anlagebetrag für Erwerb einer "ewigen Rente" R im Zeitpunkt t -100Verzinsung des investierten Kapitals bezogen auf die gesamte In-vestitionsdauer 0,12939

Abbildung 38: 4. Variante: Investor kennt die heutige normale Zinsstrukturund ferner die künftigen tatsächlichen, im Zeitablauf schwankenden Zinssätze(aber jeweils stabile Zinsstruktur)!


4. Variante (vgl. Abbildung 38): Der Investor kennt die heutige normale Zins-struktur, wie sie in Abbildung 37 wiedergegeben ist. Aus welchen Gründen auchimmer sollen sich die heutigen Zinserwartungen für die Zukunft als unzutreffenderwiesen haben. In Zukunft sollen unterschiedliche, aber (aus Gründen der rechen-technischen Vereinfachung!) jeweils stabile Zinsstrukturen gelten. Diese künfti-gen Zinsstrukturen soll der Investor schon heute kennen, und zwar als einziger, sodaß sich keine Auswirkungen auf die heutige Zinsstruktur ergeben. Seine heutigeBewertung der zu beurteilenden "ewigen" Rente wird daher von dieser Kenntnisder künftigen Zinssätze nicht berührt. Wie schon im einzelnen gezeigt, könnte derInvestor heute maximal einen Preis von 77,287851 GE zahlen; denn dafür könnteer auf dem Kapitalmarkt heute verschiedene Finanzierungstitel 1 bis 5 erwerben,aus denen er eine "ewige" Rente von R = 10 GE in Zukunft erhalten würde. Diesist die zutreffende heutige Bewertung, und sie ist unabhängig davon, was der In-vestor in Zukunft tatsächlich machen wird.1 Um dies zu zeigen, sind zwei Hand-lungsalternativen (Probe 1 und 2) näher dargestellt. Bei der ersten Handlungsalter-native behält er die im Zeitpunkt t= 0 erworbenen Finanzierungstitel bis zu ihremjeweiligen Laufzeitende. Bei der zweiten Handlungsalternative veräußert er seinenoch für die Zukunft geltenden Finanzierungstitel zum jeweiligen aktuellen Kurs-wert und legt diesen Veräußerungserlös zum jeweils geltenden Kapitalmarktzinswieder an. Es verbleiben ihm dann im Zeitpunkt t= 1 die Einzahlungen aus demFinanzierungstitel 1 und in den nachfolgenden Zeitpunkten jeweils die Zinsen füreine Periode aus der Anlage des Veräußerungserlöses zum Kapitalmarktzins desvorherigen Zeitpunkts. Ob der Investor im Entscheidungszeitpunkt t = 0 über vorhandene (eigene) Finan-zierungsmittel M0, also über einen sog. Anfangskassenbestand, verfügt, ist fürdie Anwendung der dynamischen Investitionsrechnungsverfahren nicht von Be-deutung. Gleiches gilt, wenn er in Zukunft Finanzierungsmittel, die in keinem Zu-sammenhang mit den zu beurteilenden alternativen Investitionsobjekten stehenund auch nicht aus Mittelaufnahmen auf dem vollkommenen Kapitalmarkt stam-men, erhalten sollte.

Mit anderen Worten, die autonomen Finanzierungsmittel Mt ≥ 0 können imZeitablauf beliebig groß sein, einen Einfluß auf die Beurteilung der Investitions-objekte haben sie dennoch nicht2. Gleiches gilt in bezug auf deren konsumtiveoder investive Verwendung.


1 Vgl. hierzu auch Matschke, Manfred Jürgen: Funktionale Unternehmungsbewertung, Bd. II: Der Arbitriumwertder Unternehmung, Wiesbaden 1979, S. 216-217.

2 Vgl. Kruschwitz, Lutz: Investitionsrechnung, 4. A., Berlin, New York 1990, S. 66, der von Basiszahlungen stattvon autonomen Finanzierungsmitteln spricht.

4. ZusammenfassungHinsichtlich der Zielsetzung für die Investitionsbeurteilung waren die folgendenAnnahmen gesetzt worden, die zur Vollständigkeit der Beschreibung der Ent-scheidungssituation, von der bei Investitionseinzelentscheidungen ausgegangenwird, noch einmal erwähnt werden sollen:Alles, was an einer Investition interessiert, läßt sich monetär messen. Die Verän-derung des Zahlungsmittelbestands selber ist das, was interessiert (homogene Er-gebnisdefinition). Je größer (geringer) eine positive (negative) Veränderung desZahlungsmittelbestands ist, die die Investition bewirkt, desto besser wird sie beur-teilt (lineare oder – allgemeiner – monoton steigende Höhenpräferenz, Extremie-rungsvorschrift). Die möglichen Veränderungen des Zahlungsmittelbestands auf-grund der Investitionstätigkeit werden einwertig erwartet (keine Sicherheitspräfe-renz erforderlich). Die Zahlungen der Investition lassen sich unter der Vorausset-zung des vollkommenen Kapitalmarktes in jede beliebige erwünschte zeitlicheStruktur mit gleichem Kapitalwert bringen, so daß zwischen Investitionsalternati-ven entschieden werden kann, ohne daß die Zeitpräferenz des Investors bekanntsein muß. In der Abbildung 39 ist die im folgenden zugrundegelegte Entscheidungssituationnoch einmal knapp und übersichtlich zusammengefaßt. Bezogen auf die Kapital-marktsituation wird in der Literatur üblicherweise (ohne nähere Kennzeichnung)von einer stabilen Zinsstruktur ausgegangen. Im weiteren sollen jedoch auch an-dere Zinsstrukturen mit zugelassen werden.Aus der Prämisse, daß bei vollkommenem Kapitalmarkt die Zeitpräferenz des In-vestors nicht bekannt sein muß, folgt auch, daß es für die Beurteilung der sich ge-genseitig ausschließenden Investitionsalternativen unerheblich ist, was der Inve-stor mit ihm nach Abzug von Finanzierungskosten verbleibenden Einzahlungsü-berschüssen aus den Investitionsobjekten oder mit deren gegenwärtigen äquiva-lenten Werten machen will. Stets gilt jedoch, daß Entscheidungen ausschließlichim Zeitpunkt t = 0, also dem Entscheidungszeitpunkt, getroffen werden und daßdie Alternativenbildung abgeschlossen ist, insbesondere keine Entscheidungenmehr über das Investitionsvolumen, die Investitionsdauer und über eine In-vestitionskette im Entscheidungszeitpunkt zu treffen sind, sondern ausschließ-lich eine Entscheidung darüber, welches aus den sich gegenseitig ausschließendenund gegebenen Investitionsobjekten im Entscheidungszeitpunkt gewählt werdensoll.Die erwähnte Annahme sicherer Erwartungen bedeutet nicht, daß von der Prämis-se einer vollkommenen Voraussicht oder vollständigen Information ausgegangenwird, sondern nur, daß der Investor keine mehrwertigen Erwartungen bezogen aufalle künftigen Zahlungskonsequenzen hegt. Diese Annahme sicherer Erwartungenist nicht konstitutiv für die dynamischen Investitionsrechnungsverfahren. Sie wirdhier vor allem aus Gründen der einfacheren rechnerischen Darstellung gemacht.


Beschrei-bung derEntschei-

dungss itua-tion bei In-ves ti tions-einzelent-

scheidungenmit Hil fe

der dynami-schen Inve-s ti tionsrech-

nungsver-fahren

Entschei -dungsfeld

Investitions-möglichkeiten

Sach-investitionen

Unterlassensalternative

Durchführungs-alternativen

Investitionsobjekt 1

usw.

Investitionsobjekt n

Finanz-investitionen

Beliebige Kapitalanlagen mit beliebigerzeitlicher Wirkung auf dem vollkommenen

Kapitalmarkt!

Kein Ausschluß mit Sachinvestitionen!

Finanzierungs-möglichkeiten

Beliebige autonome Finanzierungsmittel im Zeitablauf!

Beliebige Kapitalaufnahme mit beliebiger zeitlicher Wirkungauf dem vollkommenen Kapitalmarkt!

Sicherheitssituation: Einwertige Erwartungen hinsichtlich derZahlungskonsequenzen!

Alle Entscheidungen werden im Entscheidungszeitpunkt t = 0 getroffen!

Zielplan

Ergebnis-definition

Homogene Ergebnisdefinition: Veränderung desZahlungsmittelbestands als Zielgröße!

Präferenzen

Lineare Höhenpräferenz: Extremierungsvorschrift

Beliebige Zeitpräferenz: Keine Vorgaben hinsichtlich derEntnahmes truktur erforderlich!

Keine Sicherheitspräferenz wegen einwertigerZahlungserwartungen erforderlich!

Keine Artenpräferenz wegen homogener Ergebnisdefinitionerforderlich!

Bekannte (stabile) heutigeHaben-Zinsstruktur = Soll-Zinsstruktur

Bekannte (stabile) heutigeSoll-Zinsstruktur = Haben-Zinsstruktur

Abbildung 39: Beschreibung der Entscheidungssituation bei Investitionsein-zelentscheidungen mit Hilfe der dynamischen Investitionsrechnungsverfahren


B. Kapitalwertmethode1. Herleitung der Berechnungsgleichung aus der

Definitionsgleichung des KapitalwertsDer Begriff des Kapitalwerts einer Sachinvestition wurde schon im Zusammen-hang mit Entscheidungen über das optimale Sach- und Finanzinvestitionsvolumenund mit Entscheidungen über Konsum und Investition definiert.Inhaltlich, so hatten wir im Zusammenhang mit Entscheidungen über das optimaleSach- und Finanzinvestitionsvolumen gesagt, ist ein (positiver) Kapitalwert ei-ner Sachinvestition ein Auszahlungsminderbetrag der Sachinvestition gegen-über einer gesamteinzahlungsgleichen Finanzinvestition.Die Definitionsgleichung des Kapitalwerts einer Sachinvestition lautet daher:

In einer Wahlsituation zwischen einer Sachinvestition S und der FinanzinvestitionF auf dem Kapitalmarkt – dies entspricht bezogen auf die jetzt betrachtete Situa-tion bei Investitionseinzelentscheidungen einer Entscheidungssituation, in der nurein einziges Investitionsobjekt bei ausreichenden autonomen (eigenen) Finanzie-rungsmitteln, also M0 ≥ aS0 + KS0, zu beurteilen ist – wird wegen der monotonsteigenden Höhenpräferenz diejenige Investition vorgezogen, die bei überein-stimmenden Einzahlungen die geringeren Anfangsauszahlungen aufweist. Es er-geben sich damit die folgenden möglichen Beurteilungssituationen und Hand-lungsempfehlungen für rationale Entscheidungen:

Die Sachinvestition wird vorgezogen, wenn ihr Kapitalwert positiv ist. Ist hinge-gen der Kapitalwert der Sachinvestition negativ, so wird ein rational handelnderInvestor sich für die Finanzinvestition entscheiden. Bei einem Kapitalwert KS0 = 0sind beide Investitionen als gleichwertig zu beurteilen.Aus der angegebenen Definitionsgleichung kann eine Berechnungsgleichungfür den Kapitalwert einer Sachinvestition hergeleitet werden. Für den einperiodigen Fall ergibt sich diese Berechnungsgleichung wie folgt:KS0 = aF0 − aS0 oder wegen eF1 = aF0 ∑(1+ i 01) und i01 = i

KS0 = eF1

(1 + i)− aS0

oder wegen eF1 = eS1

KS0 = eS1

(1 + i)− aS0.

S F, wenn KS0 = aF0 − aS0 > 0 bei eSt = eFt für alle t,S F, wenn KS0 = aF0 − aS0 < 0 bei eSt = eFt für alle toderS ≈ F, wenn KS0 = aF0 − aS0 = 0 bei eSt = eFt für alle t.

KS0 = aF0 - aS0 bei eFt = eSt für alle t.


Für den mehrperiodigen Fall ergibt sich entsprechend die folgende Berech-nungsgleichung:

In den vorstehenden Formeln ist aF0t derjenige Investitionsbetrag, der auf dem Ka-pitalmarkt bei der zugrundegelegten Zinsstruktur angelegt werden muß, um dieEinzahlung eFt im Zeitpunkt t zu erhalten. Den Gesamtbetrag aF0 erhält man danndurch Summation der Einzelbeträge aF0t. Der Gesamtbetrag aF0 stellt den maxi-mal zahlbaren Preis Pmax für die Sachinvestition im Entscheidungszeitpunktt = 0 dar. Der tatsächlich zu zahlende Preis P im Entscheidungszeitpunkt ist aS0.Berücksichtigt man dies, so kann man sagen: Inhaltlich gibt ein positiver Kapitalwert KS0 einer Sachinvestition an, daß derInvestor für diese Sachinvestition mehr zahlen könnte, als er zahlen muß, wo-bei der maximal zahlbare Preis unter der Bedingung gleicher Einzahlungenaus Beurteilungsobjekt (Sachinvestition) und Vergleichsobjekt (Finanzinve-stition) zu ermitteln ist.Im Zusammenhang mit Entscheidungen über Konsum und Investition hatten wirfür den Fall eines unvollkommenen Kapitalmarkts hinsichtlich des optimalenSachinvestitionsvolumens dargelegt, daß dieses von den Konsumpräferenzen desEntscheidungssubjekts abhängt. Ein Entscheidungssubjekt mit starker Präferenzfür künftigen Konsum wird seine Sachinvestition so weit ausdehnen, bis dieGrenzkapitalrentabilität r' dem Haben-Zinssatz für Kapitalanlagen i entsprichtund darüberhinaus noch eine Finanzinvestition tätigen. Der maximal zahlbarePreis und damit der Kapitalwert der Sachinvestition bestimmt sich auf der Basisdes Habenzinssatzes. Die bisherigen Überlegungen zur Herleitung der Berech-nungsgleichung lassen sich unmittelbar auf diesen Fall übertragen.

KS0 = aF0 − aS0

oder wegen eF1 = aF01 ∑(1+ i 01), eF2 = aF02 ∑(1+ i 02 )2 usw. oder

allgemein eFt = aF0t ∑(1+ i 0t )t für alle t = 1, …, T auch

KS0 = (aF01 + aF02 +…+aF0T ) − aS0 = aF0tt =1

T

∑ − aS0 mit aF0tt =1

T

∑ = aF0 = Pmax

oder

KS0 = ( eF1

(1 + i01)+ eF2

(1 + i02 )2 +…+ eFT

(1 + i0T )T ) − aS0 = eFt

(1 + i0t )t −

t =1

T

∑ aS0

oder wegen eF1 = eS1, eF2 = eS2 usw. oder allgemein eFt = eSt für alle t = 1, …, T undbei grundsätzlich variabler Zinsstruktur

KS0 = ( eS1

(1 + i01)+ eS2

(1 + i02 )2 +…+ eST

(1 + i0T )T ) − aS0 = eSt

(1 + i0t )t −

t =1

T

∑ aS0

und bei stabiler Haben - Zinsstruktur wegen i01 = i02 =…= i0T = i

KS0 = ( eS1

(1 + i)+ eS2

(1 + i)2 +…+ eST

(1 + i)T ) − aS0 = eSt

(1 + i)t − t =1

T

∑ aS0.


Bei starker Gegenwartspräferenz wird und soll das Entscheidungssubjekt hinge-gen nur dann zugunsten einer Sachinvestition auf Konsum heute verzichten, so-lange diese Sachinvestition eine über dem Fremdkapitalzinssatz (Soll-Zinssatz) kliegende Grenzkapitalrentabilität r' aufweist. Denn würde das Entscheidungssub-jekt darüber hinaus investieren, so müßte es wegen seiner starken Gegenwartsprä-ferenz weiteres Fremdkapital aufnehmen, um seinen Gegenwartskonsum zu finan-zieren. Dieses weitere Fremdkapital würde indes mehr kosten, als die weitereSachinvestition erbringt, so daß das Entscheidungssubjekt danach nur Konsumplä-ne realisieren könnte, die es schlechter beurteilt als diejenigen, die es erreichenkann, wenn es schon dann mit seiner Sachinvestition aufhört, wenn deren Grenz-kapitalrentabilität r' = k ist. Geht man von dieser Basis aus, so läßt sich der Kapitalwert der Sachinvestitioninhaltlich als eine Differenzgröße zwischen demjenigen auf dem Kapitalmarktmaximal zur Finanzierung des Erwerbs der Sachinvestition aufnehmbaren(Fremd-)Kapitalbetrag FKmax und dem tatsächlich für den Erwerb im Ent-scheidungszeitpunkt erforderlichen, aufzunehmenden Kapitalbetrag FK = aS0definieren, wobei der maximal aufnehmbare Kapitalbetrag unter der Bedin-gung zu ermitteln ist, daß die aus der zu beurteilenden (und zu finanzieren-den) Sachinvestition erwarteten Einzahlungen eSt zur Deckung der Auszah-lungen (Kapitaldienst, d.h. Zinsen und Tilgung) aFKt für diesen Kapitalbetraggerade ausreichen. Die Definitionsgleichung für den Kapitalwert einer Sachinvestition lautetdann:

Die Wahlsituation, die hierbei betrachtet wird, ist die zwischen der Durchfüh-rung der Sachinvestition S und ihrem Unterlassen U wegen Nichtfinanzier-barkeit, so daß folgende Handlungsempfehlungen für rationale Entscheidun-gen abgeleitet werden können:

Die Sachinvestition wird durchgeführt, wenn sie einen positiven Kapitalwert hat,d.h., wenn man bei ihrer Durchführung gar nicht alles Kapital benötigt, das überden Kapitalmarkt dafür bereitgestellt werden könnte. Nimmt der Investor in einersolchen Situation nur so viel Kapital auf, wie er gerade braucht, also FKmax > FK= aS0, so führt dies dazu, daß in Zukunft – nach Berücksichtigung des Kapitaldien-stes in bezug auf das aufgenommene Kapital – noch Einzahlungsüberschüsse fürden Investor aus der Investition übrigbleiben werden. Die Investition bringt demInvestor einen Vorteil. Die Durchführung der Sachinvestition muß wegen nicht er-reichbarer Finanzierung hingegen unterbleiben, wenn ihre Einzahlungen eSt nicht

S U, wenn KS0 = FKmax − aS0 > 0 bei eSt = aFKt für alle t,S U, wenn KS0 = FKmax − aS0 < 0 bei eSt = aFKt für alle toderS ≈U, wenn KS0 = FKmax − aS0 = 0 bei eSt = aFKt für alle t.

KS0 = FKmax - aS0 bei aFKt = eSt für alle t.


ausreichen, um die Auszahlungen aFKt zu decken, die mit der Aufnahme eines Ka-pitalbetrags in Höhe von FK = aS0 über den Kapitalmarkt verbunden sind.

Eine Investition ist über den Kapitalmarkt grundsätzlich finanzierbar, wennihre Einzahlungen (im Extrem: gerade noch!) ausreichen, um daraus in Zukunftdie Zinsen und Tilgungen für einen aufzunehmenden Kapitalbetrag in Höhe desAnfangsinvestitionsbetrags zu decken. Eine Investition, die gerade noch finan-zierbar ist, weist einen Kapitalwert von Null auf. Sie kann durchgeführt wer-den, aber ihre Durchführung bringt keinen Vorteil für den Investor. Sollte derPreis P = FK = aS0 der Sachinvestition noch auszuhandeln sein, so könnte der In-vestor einen Preis bis zu FKmax noch finanzieren (und akzeptieren), aber würdebei P = FKmax keinen Vorteil mehr aus der Durchführung der Investition haben.

Schätzen Investor und Kapitalgeber die Zukunftsaussichten in bezug auf diezu beurteilende (und zu finanzierende) Sachinvestition in gleicher Weise ein,so läßt sich jede finanzierbare Investition, für die also KS0 ≥ 0 gilt, auch überden Kapitalmarkt finanzieren. Betrachtet man Investor und Kapitalgeber als je-weils ein Entscheidungssubjekt, so gilt zugleich bei rationalem Handeln beider,daß die konkreten Finanzierungsbedingungen, die zu den Auszahlungen aFKt beimInvestor führen, von ihnen unter Beachtung der geltenden Kapitalmarktzins-sätze (Soll-Zinsstruktur) so vereinbart werden, daß sie aus den Einzahlungen eStgeleistet werden können. D.h., eine finanzierbare Sachinvestition scheitert beiübereinstimmenden Erwartungen über die Investition und bei rationalemHandeln von Investor und Kapitalgeber nicht an der Finanzierung!Aus der zuletzt genannten Definitionsgleichung für den Kapitalwert der Sachinve-stition läßt sich folgende Berechnungsgleichung für den einperiodigen Fall ab-leiten:

Für den mehrperiodigen Fall ergibt sich die folgende Berechnungsgleichung:KS0 = FKmax − aS0

oder wegen aFK1 = FK01 ∑(1+ k 01), aFK2 = FK02 ∑(1+ k 02 )2 usw. oder

allgemein aFKt = FK0t ∑(1+ k 0t )t für alle t = 1, …, T auch

KS0 = (FK01 + FK02 +…+FK0T ) − aS0 = FK0tt =1

T

∑ − aS0

oder

KS0 = FKmax − aS0 oder wegen aFK1 = FKmax ∑(1+ k 01), aFK1 = eS1 und k01 = k

KS0 = aFK1

(1 + k)− aS0

oder

KS0 = eS1

(1 + k)− aS0.


Der Ausdruck FK0t gibt dabei einen (Fremd-)Kapitalbetrag an, der im Entschei-dungszeitpunkt 0 aufgenommen wird und im Zeitpunkt t zurückzuzahlen ist. Füreine Kapitalaufnahme vom Zeitpunkt 0 bis t gilt im Entscheidungszeitpunkt einSollzinssatz k0t. Der Zins- und Tilgungsbetrag für das Kapital FK0t ist im Zeit-punkt t fällig und beträgt aFKt = FK0t • (1 + k0t)t.

Für den maximal zahlbaren Preis Pmax gilt je nach Zinsstruktur:

und für den maximal aufnehmbaren Kapitalbetrag FKmax:

Die beiden aus unterschiedlichen Blickwinkeln gerade hergeleiteten Berech-nungsgleichungen für den Kapitalwert der Sachinvestition führen zum gleichenResultat, wenn Soll- und Haben-Zinsstruktur übereinstimmen:

Die Berechnungsgleichungen für den Kapitalwert einer Sachinvestition sind aufder Basis zweier unterschiedlicher Entscheidungssituationen hergeleitet worden:1. In der ersten Situation ging es um die Wahl zwischen einer Sachinvestitionund einer Finanzinvestition bei autonomen Finanzierungsmitteln in Höhevon M0 ≥ aS0 + KS0. Eine Finanzierungsentscheidung im Sinne einer weiteren Ka-pitalaufnahme auf dem Kapitalmarkt stand nicht an.

KS0 = Pmax − aS0 = FKmax − aS0 gilt,wenn Pmax = FKmax erfüllt ist.

KS0 = eSt

(1 + i0t )t −

t =1

T

∑ aS0 = eSt

(1 + k0t )t −

t =1

T

∑ aS0 gilt,

wenn i0t = k0t für alle t = 1, …, T gilt.

KS0 = eSt

(1 + i)t − t =1

T

∑ aS0 = eSt

(1 + k)t − t =1

T

∑ aS0 gilt,

wenn i = k gilt.

FKmax = FK01 + FK02 +…+FK0T = FK0tt =1

T

∑ = aFKt

(1+ k0t )t

t =1

T

∑ = eSt

(1 + k)t bei aFKt = eSt . t =1

T

∑

Pmax = aF01 + aF02 +…+aF0T = aF0tt =1

T

∑ = eFt

(1 + i0t )t = eSt

(1 + i)t t =1

T

∑ bei eFt = eStt =1

T

∑

KS0 = ( aFK1

(1 + k01)+ aFK2

(1 + k02 )2 +…+ aFKT

(1 + k0T )T ) − aS0 = aFKt

(1 + k0t )t −

t =1

T

∑ aS0

oder wegen eSt = aFKt für alle t = 1, …, T und variabler Soll - Zinsstruktur

KS0 = ( eS1

(1 + k01)+ eS2

(1 + k02 )2 +…+ eST

(1 + k0T )T ) − aS0 = eSt

(1 + k0t )t −

t =1

T

∑ aS0

und bei stabiler Soll - Zinsstruktur wegen k01 = k02 =…= k0T = k

KS0 = ( eS1

(1 + k)+ eS2

(1 + k)2 +…+ eST

(1 + k)T ) − aS0 = eSt

(1 + k)t − t =1

T

∑ aS0.


2. In der zweiten Situation ging es um die Wahl zwischen Durchführung undUnterlassung einer Sachinvestition und die Aufnahme der für die Durchfüh-rung erforderlichen Finanzierungsmittel auf dem Kapitalmarkt, so daß fürdie autonomen Finanzierungsmittel M0 = 0 gilt.

In der ersten Situation läßt sich die Sachinvestition dadurch finanzieren, daßder Investor auf die Vornahme von einzahlungsgleichen Finanzinvestitionenverzichtet:

Er setzt dadurch Mittel für den Erwerb (Durchführung) der Sachinvestition frei.Die Mittelfreisetzung wird maximal, wenn die Einzahlungen eFt aus den verdräng-ten (verzichteten) Finanzinvestitionen gleich den Einzahlungen eSt aus der Sachin-vestition sind.In der zweiten Situation wird die Sachinvestition dadurch finanziert, daß Kapitalauf dem Kapitalmarkt aufgenommen wird. Eine Verdrängung von Finanzin-vestitionen ist nicht möglich, weil autonome Finanzierungsmittel, mit denendiese sinnvoll finanziert werden könnten, fehlen. Ohne autonome Finanzie-rungsmittel müßte man, wenn man Finanzinvestitionen durchführen wollte, Kapi-tal vom Kapitalmarkt aufnehmen, um es dann wieder als Finanzinvestition dortanzulegen. Dies ist zwar auf einem vollkommenen Kapitalmarkt mit rationalemHandeln vereinbar, aber dennoch nicht sinnvoll, weil solche Transaktionen demEntscheidungssubjekt keinen Vorteil bringen würden. Auf einem unvollkomme-nen Kapitalmarkt mit geringerem Haben- als Soll-Zinssatz, also bei stabiler Zins-struktur i < k, würden solche Transaktionen gegen das Rationalitätspostulat ver-stoßen.Unsere zugrundegelegte Entscheidungssituation der Investitionseinzelentschei-dungen ist hinsichtlich der Finanzierung von Sachinvestitionen umfassender alsdie beiden gerade betrachteten Situationen, weil sowohl autonome Finanzie-rungsmittel als auch Kapitalmarkttransaktionen zugelassen werden. Dasheißt, grundsätzlich ist es dann möglich, zur Finanzierung einer Sachinvestitionsowohl auf eine Finanzinvestition zu verzichten, d.h., auf die ansonsten dafürverwendeten autonomen Finanzierungsmittel zurückzugreifen, als auch zusätzli-ches Kapital auf dem Kapitalmarkt aufzunehmen. Unter den Bedingungen eines vollkommenen Kapitalmarkts bringt eine solche ge-mischte Strategie zur Finanzierung einer Sachinvestition jedoch keinen Vorteilgegenüber der reinen Finanzierungsstrategie einer zusätzlichen Kapitalaufnahmeauf dem Kapitalmarkt. Denn bei Verdrängung einer durch autonome Finanzie-rungsmittel finanzierten Finanzinvestition kostet eine so verfügbar gemachte Ka-pitaleinheit pro Periode einen Betrag in Höhe des Kapitalmarktzinssatzes (Haben-Zinssatz) i. Bei Aufnahme einer zusätzlichen Kapitaleinheit auf dem Kapitalmarktkostet diese pro Periode (bei stabiler Zinsstruktur) ebenfalls einen Betrag in Höhedes Kapitalmarktzinssatzes (Soll-Zinssatzes) k = i.Weil dies so ist, können die autonomen Finanzierungsmittel und deren Ver-wendung ganz aus der weiteren Betrachtung ausgeschlossen werden. Sofern

Pmax = aF01 + aF02 +…+aF0T = aF0tt =1

T

∑ .


die autonomen Finanzierungsmittel positiv sind und zu Finanzinvestitionszweckengenutzt werden sollen, würden die realen Investitionsalternativen sich jeweilsaus einer autonom finanzierten Finanzinvestition und einer über die Aufnah-me von zusätzlichem Kapital finanzierten Sachinvestition (Investitionsobjekt)zusammensetzen. Die gegenseitige Ausschließung dieser so gebildeten realenInvestitionsalternativen ist aufgrund der Annahme, daß sich die Sachinvesti-tionen gegenseitig ausschließen, gegeben. Für die so gebildeten Investitionsalter-nativen gilt freilich, daß die autonom finanzierten Finanzinvestitionen kein Unter-scheidungsmerkmal dieser Investitionsalternativen sein können, weil die autonomfinanzierten Finanzinvestitionen in gleicher Weise bei allen Investitionsalternati-ven auftreten. Gleiches kann aus einem Vergleich von Alternativen stets herausgenommenwerden, weil aus Gleichem keine Unterschiede ableitbar sind. Bei der Investi-tionsbeurteilung mit Hilfe der Kapitalwertmethode geht es aber um eine Rangbil-dung der Investitionsalternativen und damit um die Feststellung von Unterschie-den zwischen ihnen.Unser Begriff der Finanzinvestitionen umschließt nur Kapitalanlagen auf dem Ka-pitalmarkt zum geltenden Kapitalmarktzins i, alles andere wird – wie erwähnt –aus Gründen der sprachlichen Vereinfachung als Sachinvestition (Investitionsob-jekt) bezeichnet. Aufgrund dieser Begriffsbestimmung und wegen der Annahmeeines vollkommenen Kapitalmarktes mit i = k ergibt sich, daß dann eine Finanz-investition stets einen Kapitalwert von Null hat. Denn unabhängig davon, obman von der ersten oder zweiten Situation herkommend den Begriff des Kapital-werts einer Finanzinvestition erläutern würde, immer würde die Kapitalmarkt-operation mit sich selbst verglichen werden. Beurteilungsobjekt und Vergleichs-objekt stimmten stets überein. Ein solcher Vergleich muß wegen der dann gegebe-nen Reflexivität zu einer Äquivalenzrelation bei der Beurteilung führen und da-mit zu einem Kapitalwert von Null. Ein Kapitalwert von Null, so kann man den Berechnungsgleichungen des Kapital-werts entnehmen, ergibt sich auch, wenn alle Ein- und Auszahlungen Null sindoder sich kein Ein- oder Auszahlungsüberschuß im Zeitablauf (einschließlicht = 0) ergibt. Ordnet man einen solchen "Zahlungsstrom" der Unterlassensalterna-tive zu, was gewöhnlich gemacht wird1, so kann man sagen, daß die Unterlas-sensalternative ebenfalls einen Kapitalwert von Null hat. Wenn der Unterlas-sensalternative jedoch ein Kapitalwert von Null zugeordnet wird, folgt daraus, daßes nicht sinnvoll sein kann, etwas zu tun, also eine Durchführungsalternative (In-vestitionsobjekt) zu ergreifen, wenn deren Kapitalwert geringer wäre.Daraus leitet sich folgende Handlungsempfehlung bezogen auf die Wahlsitua-tion zwischen Durchführung und Unterlassung eines Investitionsobjekts ab:Realisiere ein Investitionsobjekt nur dann, wenn dessen Kapitalwert nicht ne-gativ ist! In Anschluß an Erich Schneider wird diese Aussage auch das Funda-mentalprinzip I genannt2. Das Entscheidungs- oder Vorteilhaftigkeitskriterium,wenn es um die Beurteilung eines einzigen Investitionsobjekts geht, lautet folg-


1 So explizit Kruschwitz, Lutz: Investitionsrechnung, 4. A., Berlin, New York 1990, S. 67.

2 Vgl. Schneider, Erich: Wirtschaftlichkeitsrechnung, 7. A., Tübingen, Zürich 1968, S. 24.

lich: KS0 ≥ 0. Von einer Vorteilhaftigkeit im eigentlichen Sinne kann indes nur beieinem positiven Kapitalwert gesprochen werden! Der Kapitalwert einer Sachinve-stition drückt eine relative Vorziehenswürdigkeit der beurteilten Sachinvestitionim Vergleich zur als Beurteilungsbasis gewählten Kapitalmarkttransaktion (Fi-nanzinvestition, Fremdkapitalaufnahme) aus. Der Kapitalwert der Sachinvesti-tion ist also keine der Sachinvestition anhaftende absolute Eigenschaft, sondernein Beurteilungsmaß, das von der Höhe des maximal zahlbaren Preises ab-hängig ist. Dessen Höhe ist wiederum von der Beurteilungsbasis (Finanzinvesti-tion) abhängig und gilt nur bezogen auf die jeweilige Entscheidungssituation.Stehen mehrere nach dem Fundamentalprinzip I vorteilhafte Sachinvestitionen zurAuswahl, so geht es nicht mehr um die Frage Durchführung oder Unterlassung,sondern um die Frage, welches dieser vorteilhaften Investitionsobjekte durch-geführt werden soll. Die dafür geltende Handlungsempfehlung lautet:Realisiere von mehreren vorteilhaften Investitionsobjekten dasjenige, dessenKapitalwert am größten ist! Im Anschluß an Erich Schneider wird vom Funda-mentalprinzip II oder vom Kriterium des maximalen Kapitalwerts oder vomFisher-Kriterium (zu Ehren von Irving Fisher!) gesprochen.2. Varianten der Berechnungsgleichung des Kapitalwerts bei

stabiler ZinsstrukturBevor die Kapitalwertmethode an Zahlenbeispielen erläutert werden soll, sollenausgehend von der hergeleiteten Berechnungsgleichung

einige Varianten dieser Berechnungsgleichung für den Kapitalwert der Sach-investition bei stabiler Zinsstruktur auf dem Kapitalmarkt im Entscheidungs-zeitpunkt vorgestellt werden. Die Berechnungsgleichung läßt sich vereinfachen, wenn gleiche Einzahlungenim Zeitablauf erwartet werden; denn dann kann man die Summe der abgezinstenEinzahlungen mit Hilfe eine zusammenfassenden Formel bestimmen, wie kurz ge-zeigt werden soll:

(1) S = eS1

(1 + i)1 + eS2

(1 + i)2 + eS3

(1 + i)3 +…+ eST

(1 + i)T

oder wegen eS1 = eS2 = eS3 =…= eST = eS

(2) S = eS ∑1

(1 + i)1 + 1(1 + i)2 + 1

(1 + i)3 +…+ 1(1 + i)T

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

(3) S∑(1 + i) = eS ∑1 + 1(1 + i)1 + 1

(1 + i)2 +…+ 1(1 + i)T-1

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

KS0 = eS1

(1 + i)+ eS2

(1 + i)2 +…+ eST

(1 + i)T − aS0 = eSt

(1 + i)t − t =1

T

∑ aS0


1 Vgl. Schneider, Erich: Wirtschaftlichkeitsrechnung, 7. A., Tübingen, Zürich 1968, S. 38.

Diese Summenformel S besteht aus zwei Bestandteilen, einerseits den am Endevon T Perioden erwarteten, sog. nachschüssigen gleichbleibenden Einzahlun-gen eS der Sachinvestition und andererseits dem sog. Rentenbarwertfaktor füreine endliche nachschüssige Rente in Höhe von 1, die T Perioden lang gezahltwird.Berücksichtigt man diese Vereinfachung in der Berechnungsformel für den Kapi-talwert der Sachinvestition, so erhält man für den Fall, daß die Einzahlungen alseine gleichbleibende endliche nachschüssige Rente erwartet werden:

Sollte die Anzahl T der erwarteten gleichbleibenden Einzahlungen eS der Sachin-vestition gegen unendlich gehen, so erhält man folgende Berechnungsformel desKapitalwerts der Sachinvestition für den Fall, daß die Einzahlungen als einegleichbleibende unendliche nachschüssige Rente erwartet werden:

Der Faktor 1/i ist also der Grenzwert des Rentenbarwertfaktors für T → ∞.Man nennt ihn die kaufmännische Kapitalisierungsformel.Diese Vereinfachungen lassen sich mit dem Fall unterschiedlicher Einzahlun-gen für einen Teil der Betrachtungsperioden verbinden. Wenn für die nächsteZukunft, also bis zum Zeitpunkt τ, differenzierte Schätzungen vorliegen und da-nach, also vom Zeitpunkt τ bis zum Zeitpunkt τ+n, aus Vereinfachungsgründenvon gleichbleibenden Einzahlungen ausgegangen wird, erhalten wir als Berech-nungsformel für den Kapitalwert der Sachinvestition:

limT→∞

KS0 = limT→∞

eS ∑(1 + i)T −1i∑(1 + i)T − aS0 = lim

T→∞eS ∑

1i− 1

i∑(1 + i)T⎡⎣⎢

⎤⎦⎥− aS0

oder

limT→∞

KS0 = eS ∑1i− aS0.

KS0 = eS ∑(1 + i)T −1i∑(1 + i)T − aS0.

(4) S∑(1 + i) - S = eS ∑1 + 1

(1 + i)1 + 1(1 + i)2 +…+ 1

(1 + i)T-1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− 1(1 + i)1 + 1

(1 + i)2 + 1(1 + i)3 +…+ 1

(1 + i)T⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

(5) S∑(1 + i) -1[ ] = eS ∑1- 1(1 + i)T

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ oder

(6) S∑i = eS ∑(1 + i)T −1

(1 + i)T oder

(7) S = eS ∑(1 + i)T −1i∑(1 + i)T .


Falls n → ∞ geht, erhält man als Berechnungsformel:

Sollten die Einzahlungen der Sachinvestition bis auf die der letzten Periode Tübereinstimmen, so ergibt sich folgende Vereinfachung, wenn wir annehmen, daßdie letzte Einzahlung eST in eine Einzahlung eS, die in gleicher Höhe vom Zeit-punkt 1 bis zum Zeitpunkt T-1 auch erwartet wird, und einen sogenannten Liqui-dationserlös LT zerlegt werden kann, also eST = eS + LT, so daß insgesamt für TPerioden eine laufende gleichbleibende Rente in Höhe von eS und ein einmaligerLiquidationserlös LT als Einzahlungsstrom vorliegt:

Diese gesonderte Aufführung eines Liquidationserlöses LT zum Schluß der Inve-stitionsdauer dient nur einer anschaulicheren Beschreibung der Quellen der er-warteten Einzahlungen der Sachinvestition. Für die Berechnung des Kapital-werts der Sachinvestition ist diese Trennung der für den Zeitpunkt T prognosti-zierten Einzahlungen eST in Einzahlungen eS der Periode T und in einen einmali-gen Liquidationserlös LT am Ende der Investitionsdauer unerheblich, wenn dasErfordernis der vollständigen Erfassung aller Ein- und Auszahlungen derSachinvestition beachtet wird. Die Hervorhebung, daß zu den Einzahlungen ei-ner Investition auch ein möglicher Liquidationserlös am Schluß der Investitions-dauer gehören kann, ist daher als eine Gedächtnisstütze zu sehen, damit man sichbei der Berechnung des Kapitalwerts der Sachinvestition an den Grundsatz dervollständigen Erfassung aller Zahlungen erinnert, also nichts vergessen wird.

Sind die Einzahlungen eSt als Überschußgröße eSt = e*St - a*

St für t ≥ 1 definiert,so ergeben sich unter Einbeziehung eines Liquidationserlöses LT folgende Berech-nungsformeln für den Kapitalwert der Sachinvestition, wenn diese Überschußgrö-ße in ihre Bestandteile "laufende Einzahlungen e*

St" und "laufende Auszahlungena*

St" zerlegt wird:

KS0 = e *S1

(1 + i)− a *S1

(1 + i)+ e *S2

(1 + i)2 − a *S2

(1 + i)2 …+ e *ST

(1 + i)T + LT ∑1

(1 + i)T − a *ST

(1 + i)T − aS0

oder

KS0 = eS ∑(1 + i)T −1i∑(1 + i)T + LT ∑

1(1+ i)T ± aS0.

KS0 = eSt

(1 + i)t + eS ∑1i∑ 1

(1+ i)τ±

t =1

τ

∑ aS0.

KS0 = ( eS1

(1 + i)+ eS2

(1 + i)2 +…+ eSτ

(1 + i)τ+ eS

(1 + i)τ +1 + eS

(1 + i)τ + 2 +…+ eS

(1 + i)τ + n ) − aS0

oder

KS0 = eSt

(1 + i)t + eS ∑(1 + i)n −1i∑(1 + i)n ∑

1(1+ i)τ

± t =1

τ

∑ aS0.


In dieser Berechnungsformel des Kapitalwerts der Sachinvestition stellt der ersteKlammerausdruck den Gegenwartswert aller Einzahlungen und der zweiteKlammerausdruck den Gegenwartswert aller Auszahlungen dar. Wir könnendaher sagen, daß der Kapitalwert der Sachinvestition positiv ist, wenn der Ge-genwartswert ihrer Einzahlungen den Gegenwartswert ihrer Auszahlungenübersteigt.

Sind die laufenden Einzahlungen e*St im Zeitablauf konstant, also gleich e*

S, sokann diese Formel unter Verwendung des Rentenbarwertfaktors wie folgt umge-schrieben werden:

Wenn die laufenden Auszahlungen a*St im Zeitablauf konstant sind, ergibt sich

folgende Formel des Kapitalwerts:

Sind sowohl die laufenden Einzahlungen als auch die laufenden Auszahlun-gen im Zeitablauf konstant, so liegt ein spezieller Fall des vorher schon betrach-teten Falls von im Zeitablauf konstanten Einzahlungsüberschüssen (ohne Einbe-ziehung des Liquidationswerts) vor; denn solche können sich auch ergeben, wenne*

St und a*St im Zeitablauf nicht konstant sind:

Geht unter diesen Bedingungen die Anzahl der betrachteten Perioden T gegen un-endlich, so geht der Barwert eines Liquidationserlöses gegen Null, soweit LTsinkt, konstant bleibt oder weniger stark wächst als (1+i)T, und es ergibt sich alsGrenzwert des Kapitalwerts der Sachinvestition dann:

limT→∞

KS0 = eS ∑1i

± aS0 = (e *S ±a *S)∑1i

± aS0 = e *S

i− a *S

i± aS0.

KS0 = e *S ∑(1 + i)T −1i∑(1 + i)T + LT ∑

1(1 + i)T ± a *S ∑

(1 + i)T −1i∑(1 + i)T ± aS0

oder

KS0 = (e *S ±a *S)∑(1 + i)T −1i∑(1 + i)T + LT ∑

1(1 + i)T ± aS0

oder

KS0 = eS ∑(1 + i)T −1i∑(1 + i)T + LT ∑

1(1 + i)T ± aS0.

KS0 = e *St

(1 + i)t + LT ∑1

(1 + i)Tt =1

T

∑ ± a *S ∑(1 + i)T −1i∑(1 + i)T ± aS0.

KS0 = e *S ∑(1 + i)T −1i∑(1 + i)T + LT ∑

1(1 + i)T − a *St

(1 + i)t − aS0. t =1

T

∑

KS0 = e *St

(1 + i)t + LT ∑1

(1 + i)T − a *St

(1 + i)t − t =1

T

∑t =1

T

∑ aS0

KS0 = e *St

(1 + i)t + LT ∑1

(1 + i)Tt =1

T

∑⎡⎣⎢

⎤

⎦⎥ −

a *St

(1 + i)t + aS0t =1

T

∑⎡⎣⎢

⎤

⎦⎥.


Abschließend sollen noch Berechnungsformeln des Kapitalwerts für den Fall sog.vorschüssiger gleichbleibender Renten wiedergegeben werden. In diesem Fallwerden die Einzahlungsüberschüsse einer Periode nicht am Periodenende, sondernschon am Periodenanfang erwartet. Das heißt, eine Einzahlung eSt der Periode tfällt schon zum Zeitpunkt t-1 an. Es gilt dann:

Wir erhalten somit folgende Berechnungsformel für den Kapitalwert der Sachin-vestition, wenn die Einzahlungen als gleichbleibende endliche vorschüssigeRente gegeben sind:

Sofern die Anzahl T der gleichbleibenden vorschüssigen Renten gegen unendlichgeht, erhalten wir als Berechnungsformel für den Kapitalwert der Sachinvestitionbei einer gleichbleibenden unendlichen vorschüssigen Rente:

limT→∞

KS0 = limT→∞

(eS ∑(1 + i)T −1i∑(1 + i)T-1 − aS0 )

limT→∞

KS0 = limT→∞

eS ∑(1 + i)

i− lim

T→∞eS ∑

1i∑(1 + i)T-1 − lim

T→∞aS0

limT→∞

KS0 = eS ∑(1 + i)

i− 0 − aS0

limT→∞

KS0 = eS ∑(1 + i)

i− aS0.

KS0 = eS ∑(1 + i)T −1i∑(1 + i)T-1 − aS0.

KS0 = eS1 + eS2

(1 + i)+ eS3

(1 + i)2 +…+ eST

(1 + i)T−1 − aS0

oder, wenn eS1 = eS2 = eS3 =…= eST = eS gilt,

KS0 = eS ∑1 + 1(1 + i)

+ 1(1 + i)2 +…+ 1

(1 + i)T−1⎡⎣⎢

⎤⎦⎥− aS0.

Für den Klammerausdruck schreiben wir:

(1) S = 1 + 1(1 + i)

+ 1(1 + i)2 +…+ 1

(1 + i)T−1

(2) S(1 + i)

= 1(1 + i)

+ 1(1 + i)2 +…+ 1

(1 + i)T−1 + 1(1 + i)T

(3) S − S(1 + i)

= 1− 1(1 + i)T

(4) S∑1 − 1(1 + i)

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= (1 + i)T −1(1 + i)T

(5) S = (1 + i)T −1(1 + i)T ∑1 + i

i= (1 + i)T −1

i∑(1 + i)T-1 .


In den Berechnungsformeln sind verschiedene Faktoren aufgetaucht, die noch ein-mal zusammengefaßt werden sollen:1. Rentenbarwertfaktor für eine endliche nachschüssige Rente über n Perioden:

2. Rentenbarwertfaktor für eine unendliche nachschüssige Rente:

3. Rentenbarwertfaktor für eine endliche vorschüssige Rente über n Perioden:

4. Rentenbarwertfaktor für eine unendliche vorschüssige Rente:

5. Aufzinsungsfaktor:

6. Abzinsungsfaktor:

In der Literatur wird statt vom Rentenbarwertfaktor auch vom Diskontierungs-summenfaktor gesprochen1. Die Berechnung dieser Faktoren basiert auf der Prä-misse einer stabilen Zinsstruktur.

vt = 1qt = 1

(1 + i)t

qt = (1 + i)t

a∞ •q =

1i• (1 + i) =

(1 + i)i

na •q = (1 + i )n −1

i • (1 i) n • (1+ i ) = (1 + i )n −1i •(1 i)n -1+ +

a∞ = 1

i

an

= (1 + i)n −1i •(1+ i)n


1 Vgl. z.B. Busse von Colbe, Walther, Laßmann, Gert: Betriebswirtschaftstheorie, Band 3, Investitionstheorie, 3.A., Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo, Hong Kong 1990, S. 36; Däumler, Klaus-Dieter: Son-derprobleme der Investitions- und Wirtschaftlichkeitsrechnung, Herne/Berlin 1981, S. 71.

3. Beispiele der Kapitalwertberechnung bei unterschiedlichenZinsstrukturen

Es soll im weiteren die folgende Entscheidungssituation hinsichtlich der alterna-tiven Investitionsobjekte (vgl. Abbildung 40) gegeben sein1:

Auf dem vollkommenen Kapitalmarkt gilt zum Entscheidungszeitpunkt t = 0 fürbeliebige Kapitalanlagen und Kapitalaufnahmen die folgende (Haben– undSoll–)Zinsstruktur (vgl. Abbildung 41):

Daraus ergeben sich die folgenden im Entscheidungszeitpunkt t = 0 geltenden Ab-zinsungsfaktoren (vgl. Abbildung 42), auf deren Basis die Kapitalwerte zu er-mitteln sind:


Anfangszeit-punkt τ ⇓ 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,11 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,12 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,13 0,1 0,1 0,1 0,1 0,14 0,1 0,1 0,1 0,15 0,1 0,1 0,16 0,1 0,17 0,1

Abbildung 41: Geltende stabile Zinsstruktur im Entscheidungszeitpunkt t = 0

Erwartete Zahlungen der InvestitionsobjekteZeitpunkt 0 1 2 3 4 5 6Investitionsobjekt 1 -1400 600 500 500 500Investitionsobjekt 2 -1000 700 600Investitionsobjekt 3 -600 200 200 200 200 200Investitionsobjekt 4 -1200 300 300 500 500 100 100Investitionsobjekt 5 -3000 1360 240 1790Abbildung 40: Zu beurteilende alternative Investitionsobjekte


1 Vgl. Busse von Colbe, Walther, Laßmann, Gert: Betriebswirtschaftstheorie, Band 3, Investitionstheorie, 3. A.,Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo, Hong Kong 1990, S. 52, 63, 71.

Die alternativen Investitionsobjekte haben dann die folgenden Kapitalwerte (vgl.Abbildung 43):

Das heißt, das Investitionsobjekt 1 ist mit einem Kapitalwert von 275,84 das besteund sollte durchgeführt werden. Das Investitionsobjekt 5 ist wegen seines negati-ven Kapitalwerts von -220,44 nicht vorteilhaft.Wie sich die Kapitalwerte ergeben, kann man ersehen, wenn man berücksichtigt,daß das Entscheidungssubjekt Finanzierungsmittel im Entscheidungszeitpunktvom Kapitalmarkt aufnehmen muß.In der nachstehenden Tabelle (vgl. Abbildung 44) wird dargestellt, in welchemUmfang im Entscheidungszeitpunkt t = 0 aufgenommene FinanzierungsmittelFK0t, für die im Zeitpunkt t Zinsen und Tilgung in Höhe von aFKt fällig sind, vondem jeweiligen Investitionsobjekt bedient werden können, so daß aFKt = eSt gilt.D.h., es wird ermittelt, wie groß der jeweilige maximal zahlbare Preis

für das Investitionsobjekt ist und welcher Kapitalwert im Sinne eines Auszah-lungsminderbetrages sich ergibt.

Pmax = FKmax = FK0tt =1

T

∑ bei aFKt = eSt

Abgezinste erwartete Zahlungen der Investitionsobjekte Kapital-Zeitpunkt 0 1 2 3 4 5 6 wertInvestitions-objekt 1 -1400 545,45 413,22 375,66 341,51 275,84Investitions-objekt 2 -1000 636,36 495,87 132,23Investitions-objekt 3 -600 181,82 165,29 150,26 136,60 124,18 158,16Investitions-objekt 4 -1200 272,73 247,93 375,66 341,51 62,09 56,45 156,36Investitions-objekt 5 -3000 1236,36 198,35 1344,85 -220,44

Abbildung 43: Kapitalwerte der Investitionsobjekte

Heute geltende Abzinsungsfaktoren (1+iτt)-(t-τ) für Kapitalanlagen zwischen τ und t

Endzeitpunkt t ⇒Anfangszeit-

punkt τ ⇓ 1 2 3 4 5 6 7 80 0,90909 0,82645 0,75131 0,68301 0,62092 0,56447 0,51316 0,466511 0,90909 0,82645 0,75131 0,68301 0,62092 0,56447 0,513162 0,90909 0,82645 0,75131 0,68301 0,62092 0,564473 0,90909 0,82645 0,75131 0,68301 0,620924 0,90909 0,82645 0,75131 0,683015 0,90909 0,82645 0,751316 0,90909 0,826457 0,90909

Abbildung 42: Im Entscheidungszeitpunkt t = 0 geltende Abzinsungsfaktoren


Daß das Investitionsobjekt 1 das günstigste ist, wird auch deutlich, wenn man er-mittelt, welche Entnahmen für Konsumzwecke die einzelnen Investitionsobjekteerlauben, wenn die nachfolgende gewünschte zeitliche Entnahmestruktur (Zeit-präferenz) gilt:

Das heißt, die Konsumplanung des Entscheidungssubjekts erstreckt sich überacht Perioden, während die im Entscheidungszeitpunkt t = 0 verfügbaren Investi-tionsobjekte maximal eine zeitliche Erstreckung von sechs Perioden aufweisen.

Zeitpunkt 0 1 2 3 4 5 6 7 8Gewünschte Entnahmestruktur 1 3 2 5 4 7 4 1 3Gewichtungsfaktoren at 0,033 0,1 0,067 0,167 0,133 0,233 0,133 0,033 0,1

Erwartete ZahlungenZeitpunkt 0 1 2 3 4 5 6

Investitionsobjekt 1 -1400 600 500 500 500Finanzierung 1 545,45 -600Finanzierung 2 413,22 -500Finanzierung 3 375,66 -500Finanzierung 4 341,51 -500Maximal zahlbarer Preis 1675,84Kapitalwert 1 275,84

Investitionsobjekt 2 -1000 700 600Finanzierung 1 636,36 -700Finanzierung 2 495,87 -600Maximal zahlbarer Preis 1132,23Kapitalwert 2 132,23

Investitionsobjekt 3 -600 200 200 200 200 200Finanzierung 1 181,82 -200Finanzierung 2 165,29 -200Finanzierung 3 150,26 -200Finanzierung 4 136,60 -200Finanzierung 5 124,18 -200Maximal zahlbarer Preis 758,16Kapitalwert 3 158,16

Investitionsobjekt 4 -1200 300 300 500 500 100 100Finanzierung 1 272,73 -300Finanzierung 2 247,93 -300Finanzierung 3 375,66 -500Finanzierung 4 341,51 -500Finanzierung 5 62,09 -100Finanzierung 6 56,45 -100Maximal zahlbarer Preis 1356,36Kapitalwert 4 156,36

Investitionsobjekt 5 -3000 1360 240 1790Finanzierung 1 1236,36 -1360Finanzierung 2 198,35 -240Finanzierung 3 1344,85 -1790Maximal zahlbarer Preis 2779,56Kapitalwert 5 -220,44Abbildung 44: Maximal zahlbare Preise und Kapitalwerte der Investitionsobjekte


Von den vorteilhaften Investitionsobjekten erlaubt das Investitionsobjekt 1 diehöchsten, der gewünschten zeitlichen Struktur entsprechenden Entnahmen fürKonsumzwecke (vgl. Abbildung 45). Da Wirtschaften dem Konsum dient, ist esoffensichtlich am günstigsten, Investitionsobjekt 1 zu realisieren.Es soll nun gezeigt werden, daß das Entscheidungssubjekt ausschließlich durchheutige Entscheidungen sich den günstigsten Entnahmestrom sichern kann. Hier-zu ist es zweckmäßig, den vollständigen Finanzplan, der alle, aus allen heute zutreffenden Entscheidungen resultierenden Zahlungen enthält, aufzustellen (vgl.Abbildung 46):

Wir wollen nun untersuchen, welche Konsequenzen sich für die Beurteilung deralternativen Investitionsobjekte ergeben, wenn es sich zwar um einen vollkomme-nen Kapitalmarkt handelt, aber die (Soll- und Haben-)Zinsstruktur im Ent-scheidungszeitpunkt t= 0 wegen der Erwartung künftig steigender Zinsen

Erwartete ZahlungenZeitpunkt 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Investitionsobjekt 1 -1400 600 500 500 500Finanzierung 1 545,45 -600Finanzierung 2 413,22 -500Finanzierung 3 375,66 -500Finanzierung 4 341,51 -500Finanzinvestition 1 -36,90 40,59Finanzinvestition 2 -22,37 27,06Finanzinvestition 3 -50,83 67,66Finanzinvestition 4 -36,97 54,12Finanzinvestition 5 -58,81 94,72Finanzinvestition 6 -30,55 54,12Finanzinvestition 7 -6,94 13,53Finanzinvestition 8 -18,94 40,59Entnahmen 13,53 40,59 27,06 67,66 54,12 94,72 54,12 13,53 40,59Abbildung 46: Vollständiger Finanzplan für das günstigste Investitionsobjekt

Durch das jeweilige Investitionsobjekt ermöglichte EntnahmenZeitpunkt 0 1 2 3 4 5 6 7 8Investitions-objekt 1 13,53 40,59 27,06 67,66 54,12 94,72 54,12 13,53 40,59Investitions-objekt 2 6,49 19,46 12,97 32,43 25,95 45,41 25,95 6,49 19,46Investitions-objekt 3 7,76 23,27 15,52 38,79 31,03 54,31 31,03 7,76 23,27Investitions-objekt 4 7,67 23,01 15,34 38,35 30,68 53,69 30,68 7,67 23,01Kontrolle: Summe der abge- Summe der unab-

zinsten Entnahmen gezinsten EntnahmenInvestitions-objekt 1 275,84 405,93Investitions-objekt 2 132,23 194,59Investitions-objekt 3 158,16 232,75Investitions-objekt 4 156,36 230,11

Abbildung 45: Mögliche Entnahmen für Konsumzwecke


normal ist. Die jetzt geltenden Kapitalmarktzinssätze im Entscheidungszeit-punkt t = 0 sind in der folgenden Tabelle (vgl. Abbildung 47) aufgeführt:

Aus dieser im Entscheidungszeitpunkt geltenden Zinsstruktur ergeben sich dienachfolgenden Abzinsungsfaktoren 1/(1+i0t)t (vgl. Abbildung 48):

Unter Berücksichtigung der erwarteten Zahlungen der zu beurteilenden Investi-tionsobjekte (vgl. Abbildung 40) ergeben sich in dieser – wegen der geändertenKapitalmarktkonditionen – neuen Entscheidungssituation die folgenden Kapital-werte (vgl. Abbildung 49):

Heute geltende Abzinsungsfaktoren (1+iτt)-(t-τ)

für Kapitalanlagen zwischen τ und tEndzeitpunkt t ⇒

Anfangs-zeitpunkt τ

⇓1 2 3 4 5 6 7 8

0 0,90909 0,81900 0,73125 0,64712 0,56765 0,49794 0,43679 0,383151 0,90090 0,80438 0,71184 0,62442 0,54774 0,48047 0,421462 0,89286 0,79014 0,69310 0,60799 0,53332 0,467833 0,88496 0,77628 0,68094 0,59732 0,523964 0,87719 0,76947 0,67497 0,592085 0,87719 0,76947 0,674976 0,87719 0,769477 0,87719




⇓1 2 3 4 5 6 7 8

0 0,1 0,10499 0,10997 0,11494 0,11991 0,12323 0,12561 0,12741 0,11 0,11499 0,11997 0,12494 0,12794 0,12994 0,131372 0,12 0,12499 0,12997 0,13247 0,13397 0,134973 0,13 0,13499 0,13666 0,13749 0,137994 0,14 0,14 0,14 0,145 0,14 0,14 0,146 0,14 0,147 0,14

Abbildung 47: Geltende normale Zinsstruktur im Entscheidungszeitpunkt t = 0


Vergleicht man die Rangfolge der Investitionsobjekte, wie sie sich jetzt ergibt, mitderjenigen zuvor, so wird man Unterschiede feststellen. Die jetzige Rangfolgelautet:

Die vorherige Rangfolge lautete:

Die beste Alternative ist jedoch weiterhin Investitionsobjekt 1 geblieben. Unterden jetzt geltenden Kapitalmarktverhältnissen beträgt sein Kapitalwert 244,14.Diese Veränderung in der Rangfolge wie auch in der Höhe der Kapitalwerte ist ei-ne Folge der Veränderung des Vergleichsmaßstabs und der dadurch hervorgerufe-nen Veränderung hinsichtlich des maximal zahlbaren Preises für das jeweilige In-vestitionsobjekt. Die jetzt geltenden maximal zahlbaren Preise können der fol-genden Tabelle (vgl. Abbildung 50) entnommen werden:

Investition 1 Investition 3 Investition 4 Investition 2 Investition 5.

Investition 1 Investition 3 Investition 2 Investition 4 Investition 5.




Der Kapitalwert einer Sachinvestition ist, wie schon dargelegt, gleich der Diffe-renz zwischen dem maximal zahlbaren Preis und dem tatsächlichen Preis in Höhedes Investitionsvolumens aS0 und hängt somit unmittelbar vom maximal zahlbarenPreis ab. Der maximal zahlbare Preis ist jedoch ein spezieller Entscheidungswert.Ein Entscheidungswert läßt sich durch folgende Merkmale charakterisieren1:1. Der Entscheidungswert ist eine kritische Größe (Merkmal des Grenzwer-tes).

Erwartete ZahlungenZeitpunkt 0 1 2 3 4 5 6

Investitionsobjekt 1 -1400 600 500 500 500Finanzierung 1 545,45 -600Finanzierung 2 409,50 -500Finanzierung 3 365,63 -500Finanzierung 4 323,56 -500Maximal zahlbarer Preis 1644,14Kapitalwert 1 244,14

Investitionsobjekt 2 -1000 700 600Finanzierung 1 636,36 -700Finanzierung 2 491,40 -600Maximal zahlbarer Preis 1127,76Kapitalwert 2 127,76

Investitionsobjekt 3 -600 200 200 200 200 200Finanzierung 1 181,82 -200Finanzierung 2 163,80 -200Finanzierung 3 146,25 -200Finanzierung 4 129,42 -200Finanzierung 5 113,53 -200Maximal zahlbarer Preis 734,82Kapitalwert 3 134,82

Investitionsobjekt 4 -1200 300 300 500 500 100 100Finanzierung 1 272,73 -300Finanzierung 2 245,70 -300Finanzierung 3 365,63 -500Finanzierung 4 323,56 -500Finanzierung 5 56,77 -100Finanzierung 6 49,79 -100Maximal zahlbarer Preis 1314,17Kapitalwert 4 114,17

Investitionsobjekt 5 -3000 1360 240 1790Finanzierung 1 1236,36 -1360Finanzierung 2 196,56 -240Finanzierung 3 1308,94 -1790Maximal zahlbarer Preis 2741,86Kapitalwert 5 -258,14Abbildung 50: Maximal zahlbare Preise und Kapitalwerte der Investitionsobjekte


1 Vgl. Matschke, Manfred Jürgen: Der Gesamtwert der Unternehmung als Entscheidungswert, in: Betriebswirt-schaftliche Forschung und Praxis 1972, S. 146-161; Matschke, Manfred Jürgen: Der Entscheidungswert der Un-ternehmung, Wiesbaden 1975, S. 23-27; Matschke, Manfred Jürgen: Entscheidungswert, in: Lück, Wolfgang(Hrsg.): Lexikon der Betriebswirtschaft, 4. A., Landsberg/Lech 1990, S. 337-338; Sieben, Günter, Schildbach,Thomas: Betriebswirtschaftliche Entscheidungstheorie, 3. A., Düsseldorf 1990, S. 42-45.

2. Der Entscheidungswert wird im Hinblick auf eine bestimmte Handlung ermit-telt (Merkmal der Handlungsbezogenheit).3. Der Entscheidungswert ist auf ein bestimmtes Entscheidungssubjekt und des-sen Zielsystem bezogen (Merkmal der Zielsystembezogenheit).4. Der Entscheidungswert ist nur für ein bestimmtes Entscheidungsfeld gültig(Merkmal der Entscheidungsfeldbezogenheit).Die Veränderung des maximal zahlbaren Preises für die Investitionsobjekte ist inunserem Zusammenhang auf die Veränderung des Entscheidungsfeldes, geänderteKapitalmarktsituation, zurückzuführen; denn alle anderen Bedingungen sind un-verändert geblieben.Auch bezogen auf diese Situation sollen die Entnahmen, die die zu beurteilendenInvestitionsobjekte ermöglichen, ermittelt werden, wobei von der gleichen ge-wünschten Entnahmestruktur ausgegangen wird:

Die in der 4./5. Vorlesung angegebene Formel (vgl. S. 62) zur Berechnung dereiner gewünschten Entnahmestruktur entsprechenden Entnahmen Et = at • Eging explizit von einer stabilen Zinsstruktur aus, da lediglich ein Zinssatz i vorge-geben worden ist. Sie muß jetzt für die Situation einer beliebigen Zinsstrukturverallgemeinert werden:

K = E∑a0 + a1

(1+ i01)+ a2

(1+ i01)(1+ i12 )+…+ aT-1

(1+ i01)(1+ i12 )…(1+ iT-2,T-1)

+ aT

(1+ i01)(1+ i12 )…(1+ iT-2,T-1)(1+ iT-1,T )

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

,

so da˚ folgt :

Es gilt ferner:

K = a0 ∑E + a1 ∑E(1+ i01)1 + a2 ∑E

(1+ i02 )2 +…+ aT-1 ∑E(1+ i0,T-1)T-1 + aT ∑E

(1+ i0T )T ) = E∑a 0 + at

(1+ i0t )t

t=1

T

∑⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

oder

E = K

a0 + at

(1+ i0t )t

t =1

T

∑oder

Es gilt:E = E0 + E1 + E2 +…+ET-1 + ET

= a0 ∑E + a 1 ∑E + a 2 ∑E +…+ aT-1 ∑E + a T ∑E mit a t = 1t=0

T

∑ .

Zeitpunkt 0 1 2 3 4 5 6 7 8Gewünschte Entnahmestruktur 1 3 2 5 4 7 4 1 3Gewichtungsfaktoren at 0,033 0,1 0,067 0,167 0,133 0,233 0,133 0,033 0,1


Unter Verwendung dieser – zugegebenermaßen erschreckenden – Formel sind dienachfolgenden, durch das jeweilige Investitionsobjekt ermöglichten Entnahmenberechnet worden (vgl. Abbildung 51):

Diese Formel kann unter Verwendung des Produktzeichens umformuliert werden:

K∑ (1+ i τ -1,τ )τ=1

T

∏ = E∑

a0 ∑ (1+ i τ -1,τ )τ=1

T

∏ +a1 ∑ (1+ i τ -1,τ )

τ=1

T

∏(1+ i01)

+a2 ∑ (1+ i τ -1,τ )

τ=1

T

∏(1+ i01)(1+ i12 )

+…

+aT-1 ∑ (1+ i τ -1,τ )

τ=1

T

∏(1+ i01)(1+ i12 )…(1+ iT-2,T-1)

+aT ∑ (1+ i τ -1,τ )

τ=1

T

∏(1+ i01)(1+ i12 )…(1+ iT-2,T-1)(1+ iT-1,T )

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

oder

K∑ (1+ i τ -1,τ )τ=1

T

∏ = E∑a0 ∑ (1+ i τ -1,τ )

τ=0+1

T

∏ + a1 ∑ (1+ i τ -1,τ )τ=1+1

T

∏

+a2 ∑ (1+ i τ -1,τ )τ=2+1

T

∏ +…+aT-1 ∑ (1+ i τ -1,τ )τ=(T-1)+1

T

∏ + aT

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

oder

K∑ (1+ i τ -1,τ )τ=1

T

∏ = E∑ a t ∑ (1+ i τ -1,τ )τ=t+1

T

∏⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

t=0

T

∑oder

E =K∑ (1+ i τ -1,τ )

τ=1

T

∏

at ∑ (1+ i τ -1,τ )τ=t+1

T

∏⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

t=0

T

∑.

E = K

a0 + a1

(1+ i01)+ a2

(1+ i01)(1+ i12 )+…+ aT-1

(1+ i01)(1+ i12 )…(1+ iT-2,T-1)

+ aT

(1+ i01)(1+ i12 )…(1+ iT-2,T-1)(1+ iT-1,T )

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

.


Das Investitionsobjekt 1 ermöglicht den dominant besten Konsumplan.Diesen günstigsten Entnahmestrom kann sich das Entscheidungssubjekt durchausschließlich heutige Entscheidungen sichern. Um dies zu zeigen, wird dervollständige Finanzplan, der alle, aus allen heute zu treffenden Entscheidungenresultierende Zahlungen enthält, aufgestellt (vgl. Abbildung 52):



Durch das jeweilige Investitionsobjekt ermöglichte EntnahmenZeitpunkt 0 1 2 3 4 5 6 7 8Investitions-objekt 1 12,74 38,22 25,48 63,71 50,96 89,19 50,96 12,74 38,22Investitions-objekt 2 6,67 20,00 13,34 33,34 26,67 46,67 26,67 6,67 20,00Investitions-objekt 3 7,04 21,11 14,07 35,18 28,14 49,25 28,14 7,04 21,11Investitions-objekt 4 5,96 17,88 11,92 29,79 23,83 41,71 23,83 5,96 17,88Kontrolle: Summe der abge- Summe der unab-

zinsten Entnahmen gezinsten EntnahmenInvestitions-objekt 1 244,14 382,24Investitions-objekt 2 127,76 200,03Investitions-objekt 3 134,82 211,08Investitions-objekt 4 114,17 178,76



C. VermögensendwertmethodeDer Vermögens(end)wert der Sachinvestition war für den einperiodigen Falldefiniert worden als Einzahlungsmehrbetrag der Sachinvestition gegenüber ei-ner investitionsvolumensgleichen Finanzinvestition:

Für die Einzahlung der Finanzinvestition eF1 gilt dabei eF1 = aF0 • (1 + i01). Be-rücksichtigt man dies und die Bedingung aS0 = aF0, so erhält man als Berech-nungsformel für den Vermögens(end)wert der Sachinvestition im einperiodi-gen Fall:

Betrachtet man nun eine Situation, in der weiterhin nur eine einzige Einzahlungam Ende der Periode T, also nur zum Zeitpunkt T, aus der Sachinvestition erwar-tet wird, so würde diese Einzahlung mit der aus einer Finanzinvestition in Höhevon

zu vergleichen sein, so daß für diesen Spezialfall einer mehrperiodigen Be-trachtung, wenn eine einzige Einzahlung aus der Sachinvestition erwartet wird,die Berechnungsformel des Vermögens(end)werts der Sachinvestition lautet:

Es sei jetzt eine zweiperiodige Sachinvestition mit Einzahlungen in den Zeit-punkten t = 1 und t = 2 betrachtet. Verglichen wird sie mit einer Finanzinvestition,aus der eine Einzahlung in t = 2 resultiert. Die Beurteilungssituation ist folgende:

Es gilt dabei wieder aS0 = aF0. Wie ist in einer solchen Situation der Vermögens-wert der Sachinvestition zum Zeitpunkt t = 2 zu bestimmen? Dabei ist diese Be-stimmung inhaltlich so zu entwickeln, daß alle zu treffenden Entscheidungen imEntscheidungszeitpunkt t= 0, d.h. auf der Basis der heute geltenden Kapitalmarkt-zinssätze, und nicht erst in der Zukunft getroffen werden. Der Investor kann heute einen neuen Finanzierungstitel auf dem Kapitalmarktemittieren, der dem Erwerber eine Einzahlung im Zeitpunkt t = 1 in Höhe von eS1verspricht. Dieser Finanzierungstitel wird auf der Basis des heute für solche ein-periodigen Kapitalmarkttransaktionen geltenden Zinssatzes i01 abgewickelt, sodaß er einen Veräußerungserlös für den Finanzierungstitel in Höhe von

aF0* = eS1

(1 + i01)

Zeitpunkt 0 1 2Zu beurteilende Sachinvestition aS0 eS1 eS2Vergleichsmaßstab Finanzinvestition aF0 eF2

VST = eST − aS0 ∑(1+ i 0T )T.

eFT = aF0 ∑(1 + i0T )T oder wegen aS0 = aF0

eFT = aS0 ∑(1 + i0T )T

VS1 = eS1 − aS0 ∑(1+ i 01).

VS1 = eS1 − eF1 bei aS0 = aF0.


erhält. Diesen Veräußerungserlös kann er heute wiederum auf dem Kapitalmarktfür den Erwerb eines anderen Finanzierungstitels mit zweiperiodiger Laufzeitverwenden. Auf der Basis des heute dafür geltenden Kapitalmarktzinssatzes i02erhält der Investor im Zeitpunkt t = 2 dann eine Einzahlung

Der Investor vergleicht damit im Ergebnis die Sachinvestition unter Berücksichti-gung dieser heutigen Kapitalmarkttransaktionen mit einer Finanzinvestition alsVergleichsmaßstab. Er erwartet dann im Zeitpunkt t = 2 aus der so erweitertenSachinvestition eine Einzahlung in Höhe von

Ersetzt man den Veräußerungserlös für den vom Investor emittierten Finanzie-rungstitel, also

so ergibt sich:

Für den zweiperiodigen Fall lautet somit die Berechnungsformel für den Ver-mögens(end)wert der Sachinvestition:

Das heißt, der Vermögenswert der Sachinvestition kann berechnet werden, indemalle Zahlungen auf das Ende der Sachinvestition aufgezinst werden, wobei aus-schließlich heutige Zinssätze zur Verwendung kommen; denn auch der Zinssatzi12 ist ein heute geltender Zinssatz, wie schon dargelegt.

Diese Berechnungsformel des zweiperiodigen Falls läßt sich wie folgt umformu-lieren:

VS2 = eS2* − aS0 ∑(1+ i 02 )2

oder

VS2 = eS2 + eS1

(1 + i01)∑(1 + i02 )2⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ − aS0 ∑(1+ i 02 )2

oderVS2 = eS2 + eS1 ∑(1 + i12 ) − aS0 ∑(1+ i 02 )2.

eS2* = eS2 + eF2* = eS2 + eS1

(1 + i01)∑(1 + i02 )2

oder

eS2* = eS2 + eS1

(1 + i01)∑(1 + i01)∑(1 + i12 ) = eS2 + eS1 ∑(1 + i12 ).

aF0* = eS1

(1 + i01),

eS2 + eF2* = eS2 + aF0* • (1 + i02)2.

eF2* = aF0* • (1 + i02)2.


Das heißt, der Vermögensendwert der Sachinvestition läßt sich über die Aufzin-sung des Kapitalwerts der Sachinvestition errechnen. Die gerade angestellten Überlegungen können verallgemeinert werden und führendann zu folgender allgemeiner Berechnungsformel für den Vermögensendwertder Sachinvestition, wobei zunächst der dreiperiodige Fall und danach der T-periodige Fall betrachtet werden:

VS3 = eS3 + eS2

(1 + i02 )2 ∑(1 + i03 )3 + eS1

(1 + i01)1 ∑(1 + i03 )3 − aS0 ∑(1+ i 03)3

oder allgemein bei T Perioden ± unter Verwendung des Summenzeichens ±

VST = eST + eSt

(1 + i0t )t ∑(1 + i0T )T

t =1

T−1

∑ − aS0 ∑(1+ i 0T )T

oder

VST = eST + (1 + i0T )T ∑ eSt

(1 + i0t )t

t =1

T−1

∑ − aS0 ∑(1+ i 0T )T

oder nach Division mit (1 + i0T )T

VST ∑1

(1 + i0T )T = eST ∑1

(1 + i0T )T + (1 + i0T )T ∑ 1(1 + i0T )T ∑

eSt

(1 + i0t )t

t =1

T−1

∑

− aS0 ∑(1+ i 0T )T ∑ 1(1 + i0T )T

oder

VST ∑1

(1 + i0T )T = eST ∑1

(1 + i0T )T + eSt

(1 + i0t )t

t =1

T−1

∑ − aS0 = eSt

(1 + i0t )t

t =1

T

∑ − aS0

VS2 = eS2 + eS1

(1 + i01)∑(1 + i02 )2 − aS0 ∑(1+ i 02 )2

oder nach Division durch (1 + i02 )2

VS2 ∑1

(1 + i02 )2 = eS2 ∑1

(1 + i02 )2 + eS1

(1 + i01)∑(1 + i02 )2 ∑ 1

(1 + i02 )2 − aS0 ∑(1+ i 02 )2 ∑ 1(1 + i02 )2

oder

VS2 ∑1

(1 + i02 )2 = eS1

(1 + i01)+ eS2 ∑

1(1 + i02 )2 − aS0

oder

VS2 ∑1

(1 + i02 )2 = KS0

oderVS2 = KS0 ∑(1 + i02 )2 .


Zu dem Ergebnis, daß der Vermögens(end)wert der Sachinvestition über eineAufzinsung des Kapitalwerts der Sachinvestition berechnet werden kann, gelan-gen wir auch über folgende Überlegungen. Emittiert der Investor zur Finanzierungseiner Sachinvestition bezogen auf alle künftigen Einzahlungsüberschüsse Finan-zierungstitel, die dem Erwerber Einzahlungen in Höhe der erwarteten Einzahlun-gen der Sachinvestition versprechen, so erhält der Investor als gesamten Veräuße-rungserlös für diese Finanzierungstitel in t = 0 einen Betrag in Höhe des maxi-mal zahlbaren Preises:

Für den maximal zahlbaren Preis gilt:

Wenn der Investor den Kapitalbetrag in Höhe des maximal zahlbaren Preises an-legt, so erhält er im Zeitpunkt T eine Einzahlung in Höhe von

Unsere Definitionsgleichung für den Vermögens(end)wert der Sachinvestitionkann dann geschrieben werden als

Als Fazit können wir festhalten, daß die Vermögensendwertmethode keine ei-genständige Methode, sondern lediglich eine Variante der Kapitalwertmetho-de ist. Der Vermögensendwert zu einem Bezugszeitpunkt T ergibt sich aus einerlinearen Transformation des Kapitalwerts durch Multiplikation mit einem kon-stanten Faktor, nämlich dem auf den Bezugszeitpunkt T berechneten Aufzinsungs-faktor.

VST = eST* − eFT

oderVST = (KS0 + aS0 )∑(1 + i0T )T − eFT

oder wegen eFT = aF0 ∑(1 + i0T )T

VST = (KS0 + aS0 )∑(1 + i0T )T − aF0 ∑(1 + i0T )T

oder wegen aF0 = aS0

VST = (KS0 + aS0 )∑(1 + i0T )T − aS0 ∑(1 + i0T )T

oderVST = KS0 ∑(1 + i0T )T .

eST* = eFT* = Pmax ∑(1 + i0T )T = (KS0 + aS0 )∑(1 + i0T )T .

Pmax = KS0 + aS0.

Pmax = eSt

(1 + i0t )t

t =1

T

∑ .

oder

VST ∑1

(1 + i0T )T = KS0

oderVST = KS0 ∑(1 + i0T )T .


Die Wahlsituation, die wir bisher betrachtet hatten, ist die zwischen der Durch-führung der Sachinvestition S und ihrem Unterlassen U gewesen. Aus derVermögensendwertmethode lassen sich für diese Wahlsituation die folgendenHandlungsempfehlungen für rationale Entscheidungen ableiten:

Die Sachinvestition wird als vorteilhaft, durchführenswert beurteilt, wenn sieeinen positiven Vermögensendwert hat. Sie kann ohne Vorteil noch bei einemVermögenswert von Null durchgeführt werden. Bei einem negativen Vermögens-wert sollte sie unterbleiben.Bevor auf die Wahlsituation zwischen verschiedenen alternativen Investitionsob-jekten eingegangen wird, sollen einige Berechnungsformeln für den Vermö-gens(end)wert der Sachinvestition aufgeführt werden.Lassen sich die erwarteten Einzahlungen der Sachinvestition als endliche nach-schüssige Rente zuzüglich eines Liquidationserlöses beschreiben, erhalten wirals Berechnungsformel für den Vermögens(end)wert der Sachinvestition:

Lassen sich die erwarteten Einzahlungen der Sachinvestition als endliche vor-schüssige Rente ohne einen Liquidationserlös beschreiben, erhalten wir als Be-rechnungsformel für den Vermögens(end)wert der Sachinvestition:

Neben dem Aufzinsungsfaktor sind in diesen Formeln sog. Rentenendwertfakto-ren enthalten:1. Rentenendwertfaktor für eine endliche nachschüssige Rente über n Perioden:

sn = (1 + i)n −1

i

VST = eS ∑(1 + i)T −1i∑(1 + i)T-1 ∑(1 + i)T − aS0 ∑(1 + i)T

oder

VST = eS ∑(1 + i)T −1

i∑(1 + i) − aS0 ∑(1 + i)T

oder

VST = eS ∑(1 + i)T+1 − (1 + i)

i− aS0 ∑(1 + i)T .

VST = eS ∑(1 + i)T −1i∑(1 + i)T ∑(1 + i)T + LT ∑

1(1+ i)T ∑(1 + i)T ± aS0 ∑(1 + i)T

oder

VST = eS ∑(1 + i)T −1

i+ LT ± aS0 ∑(1 + i)T .

S U, wenn VST > 0 ,S U, wenn VST < 0 oderS ≈U, wenn VST = 0.


2. Rentenendwertfaktor für eine endliche vorschüssige Rente über n Perioden:

In der letzten Formel ist v der Abzinsungsfaktor, so daß i•v = i der Barwert desZinses i ist. Wenn man i als Postnumerandozinssatz bezeichnet, so ist i•v = i derdazu konforme Pränumerandozinssatz.Soll auf der Basis der Vermögensendwertmethode zwischen mehreren alternati-ven Investitionsobjekten gewählt werden, so ist dies nur möglich, wenn ein be-stimmter, für alle Investitionsobjekte übereinstimmender Bezugszeitpunkt Tgewählt wird. Dieser Bezugszeitpunkt T kann frei gewählt werden und muß nichtmit dem Ende eines der Investitionsobjekte übereinstimmen. Es bietet sich jedochan, als Bezugszeitpunkt T das Ende desjenigen Investitionsobjekts zu neh-men, das die längste Laufzeit hat. In einer Wahlsituation mit mehreren vorteilhaften Investitionsobjekten istdasjenige Investitionsobjekt vorzuziehen, dessen Vermögens(end)wert bezo-gen auf den übereinstimmend gewählten Bezugszeitpunkt T am größten ist. Der Vermögensendwert stellt zugleich auch eine Vermögensmehrung, gemessenzum Zeitpunkt T, im Vergleich zu demjenigen Vermögen dar, das der Investorim Zeitpunkt 0 hat, wenn die betrachtete Sachinvestition nicht durchgeführtwird. Diese Vermögensmehrung könnte demgemäß in voller Höhe Konsum-zwecken zugeführt werden, ohne daß der Investor sein im Entscheidungszeitpunktt = 0 vorhandenes (bisheriges) Vermögen angreifen muß. Der Vermö-gens(end)wert gibt damit zugleich die maximale Entnahme an, die die betrach-tete Investition im Bezugszeitpunkt T ermöglicht. Folgt man diesen Überlegun-gen, so ist es zweckmäßig, den Bezugszeitpunkt T aus der Konsumplanung desInvestors abzuleiten. Der Bezugszeitpunkt T ergäbe sich nach dieser Überlegungaus der gewünschten Entnahmestruktur:

Die Vermögensendwertmethode sei anhand der in Abbildung 40 (vgl. S. 176)aufgeführten Investitionsobjekte und auf der Basis einer inversen Zinsstrukturauf dem Kapitalmarkt zum Entscheidungszeitpunkt t = 0 erläutert. Die für dasjetzige Beispiel im Entscheidungszeitpunkt geltende Zinsstruktur auf dem voll-kommenen Kapitalmarkt ist in Abbildung 53 aufgeführt:

E0 : E1 : … : ET−1 : ET : ET +1 : … : ET + n = 0 : 0 : … : 0 : 1 : 0 : … : 0.

sn • q =(1 + i)n − 1

i• (1 + i) =

(1+ i)n+1−(1 + i)i

= s n •1v

= (1+ i)n − 1

i • 1(1 + i )

=(1+ i)n −1

i • v=

(1 + i)n −1i

.


Die sich aus dieser Zinsstruktur ergebenden Abzinsungsfaktoren stehen in Ab-bildung 54, die entsprechenden Aufzinsungsfaktoren enthält Abbildung 55.

In der nachfolgenden Tabelle (vgl. Abbildung 56) sind die Kapitalwerte der al-ternativen Investitionsobjekte aufgeführt, um den Schritt, daß die Vermögens-endwerte transformierte Kapitalwerte sind, ebenfalls nachvollziehen zu können:

Heute geltende Abzinsungsfaktoren (1+iτt)-(t-τ)



⇓1 2 3 4 5 6 7 8

0 0,87719 0,77628 0,69310 0,62442 0,56765 0,51605 0,46913 0,426491 0,88496 0,79014 0,71184 0,64712 0,58830 0,53481 0,486192 0,89286 0,80438 0,73125 0,66477 0,60434 0,549403 0,90090 0,81900 0,74455 0,67686 0,615334 0,90909 0,82645 0,75131 0,683015 0,90909 0,82645 0,751316 0,90909 0,826457 0,90909


Heute geltende Aufzinsungsfaktoren (1+iτt)(t-τ)



⇓1 2 3 4 5 6 7 8

0 1,14 1,28820 1,44278 1,60149 1,76164 1,93780 2,13158 2,344741 1,13 1,26560 1,40482 1,54530 1,69983 1,86981 2,056792 1,12 1,2432 1,36752 1,50427 1,65470 1,820173 1,11 1,22100 1,34310 1,47741 1,625154 1,1 1,21000 1,33100 1,464105 1,1 1,21000 1,331006 1,1 1,210007 1,1

Abbildung 55: Im Entscheidungszeitpunkt t = 0 geltende Aufzinsungsfaktoren



⇓1 2 3 4 5 6 7 8

0 0,14 0,13499 0,12997 0,12494 0,11991 0,11657 0,11419 0,11241 0,13 0,12499 0,11997 0,11494 0,11194 0,10994 0,108512 0,12 0,11499 0,10997 0,10747 0,10597 0,104973 0,11 0,10499 0,10332 0,10249 0,101994 0,1 0,1 0,1 0,15 0,1 0,1 0,16 0,1 0,17 0,1

Abbildung 53: Geltende inverse Zinsstruktur im Entscheidungszeitpunkt t = 0


Es ergibt sich, daß auch in der im Beispiel zugrundegelegten inversen Kapital-marktsituation das Investitionsobjekt 1 den höchsten Kapitalwert hat. DieRangfolge der Investitionsobjekte hat sich gegenüber der zuvor betrachteten nor-malen Zinsstruktur nicht verändert, was jedoch bei anderen Investitionsobjektendurchaus der Fall sein könnte, weil der Kapitalwert vom maximal zahlbaren Preis,d.h., dem Entscheidungswert für das Investitionsobjekt abhängt und dieser jeweilsnur für das gerade betrachtete Entscheidungsfeld gilt. In der vorstehenden Tabelle(vgl. Abbildung 56) stehen die abgezinsten Zahlungen der Investitionsobjekte.Für Investitionsobjekt 1 werden in t = 1 Einzahlungen von 600 (vgl. Abbildung40) erwartet. Werden diese unter Verwendung des Zinssatzes i01 = 0,14 abgezinst,erhält man 526,32 = 600/(1+0,14). Entsprechend ergeben sich die anderen Zahlen-werte.In der Abbildung 57 sind die Vermögens(end)werte der Investitionsobjekte aus-gerechnet worden, wobei als Bezugszeitpunkt T das Ende desjenigen Investi-tionsobjekts genommen worden ist, das die längste Laufzeit hat, also hierT = 6.

In der vorstehenden Tabelle (vgl. Abbildung 57) stehen die auf den Bezugszeit-punkt T = 6 aufgezinsten Zahlungen der Investitionsobjekte. Der Endwert inHöhe von 1019,90 der in t = 1 erwarteten Zahlung von 600 bei Investitionsob-jekt 1 ergibt sich, wenn diese Zahlung auf T = 6 aufgezinst wird. Die Berechnungkann auf verschiedene Weise geschehen. Geht man vom Barwert in Höhe von

Auf T=6 aufgezinste erwartete Zahlungen der Investitionsobjekte Vermögens-Zeitpunkt 0 1 2 3 4 5 6 wertInvestitions-objekt 1 -2712,92 1019,90 752,14 671,55 605,00 335,66Investitions-objekt 2 -1937,80 1189,88 902,56 154,64Investitions-objekt 3 -1162,68 339,97 300,85 268,62 242,00 220,00 208,76Investitions-objekt 4 -2325,36 509,95 451,28 671,55 605,00 110,00 100,00 122,42Investitions-objekt 5 -5813,41 2311,77 361,03 2404,15 -736,47

Abbildung 57: Vermögensendwerte der Investitionsobjekte




526,32 aus, so ist der Aufzinsungsfaktor auf der Basis des Zinssatzes i06 =0,116567 zu ermitteln und lautet (1 + i06)6 = (1 + 0,116567)6 = 1,937803. Es er-gibt sich dann:

1019,90 = 600/(1+0,14) • (1 + 0,116567)6 =526,32 •1,937803. Man kann freilich auch die Zahlung von 600 in t = 1 direkt unter Verwendung desheutigen Zinssatzes i16 = 0,111939 mit Hilfe des Aufzinsungsfaktors (1 + i16)5

= (1 + 0,111939)5 = 1,699827 auf den Zeitpunkt T = 6 aufzinsen und erhält dann:

1019,90 = 600 • (1 + 0,111939)5.Auf diese Weise lassen sich auch die anderen aufgezinsten Werte (vgl. Abbildung57) herleiten. Der Vermögenswert eines Investitionsobjekts ergibt sich schließ-lich durch Summation der aufgezinsten Zahlungen und entspricht zugleich demmit dem Aufzinsungsfaktor (1 + i06)6 = (1 + 0,116567)6 = 1,937803 aufgezin-sten Kapitalwert, bezogen auf das Investitionsobjekt 1 also: 335,66 = 173,22 • 1,937803.In der nachstehenden Tabelle (vgl. Abbildung 58) sind die maximal zahlbarenPreise, die Kapitalwerte und die Vermögenswerte der betrachteten alternativenInvestitionsobjekte aufgeführt. In dieser Abbildung 58 wird auch die Definitiondes Vermögenswerts als Einzahlungsmehrbetrag (eST* - eFT) der Sachinvestitionam Ende der Nutzungsdauer gegenüber einer investitionsvolumensgleichen Fi-nanzinvestition erläutert. Aufgrund dieser aufgeführten Einzahlungsmehrbeträgekann die Vorteilhaftigkeit des einzelnen Investitionsobjekts im Vergleich zurjeweiligen Unterlassensalternative gezeigt werden. Bis auf das Investitionsob-jekt 5 sind alle anderen Investitionsobjekte im Vergleich zu ihrer Unterlassensal-ternative vorteilhaft.


Erwartete ZahlungenZeitpunkt 0 1 2 3 4 5 6Investitionsobjekt 1 -1400 600 500 500 500Finanzierung 1 526,32 -600Finanzierung 2 388,14 -500Finanzierung 3 346,55 -500Finanzierung 4 312,21 -500Maximal zahlbarer Preis 1573,22Kapitalwert 1 173,22Einzahlung eST* in T=4 2519,49Einzahlung eFT in T=4 2242,09Vermögenswert 1 in T=4 277,40Investitionsobjekt 2 -1000 700 600Finanzierung 1 614,04 -700Finanzierung 2 465,77 -600Maximal zahlbarer Preis 1079,80Kapitalwert 2 79,80Einzahlung eST* in T=2 1391,00Einzahlung eFT in T=2 1288,20Vermögenswert 2 in T=2 102,80Investitionsobjekt 3 -600 200 200 200 200 200Finanzierung 1 175,44 -200Finanzierung 2 155,26 -200Finanzierung 3 138,62 -200Finanzierung 4 124,88 -200Finanzierung 5 113,53 -200Maximal zahlbarer Preis 707,73Kapitalwert 3 107,73Einzahlung eST* in T=5 1246,76Einzahlung eFT in T=5 1056,98Vermögenswert 3 in T=5 189,78Investitionsobjekt 4 -1200 300 300 500 500 100 100Finanzierung 1 263,16 -300Finanzierung 2 232,88 -300Finanzierung 3 346,55 -500Finanzierung 4 312,21 -500Finanzierung 5 56,77 -100Finanzierung 6 51,60 -100Maximal zahlbarer Preis 1263,17Kapitalwert 4 63,17Einzahlung eST* in T=6 2447,78Einzahlung eFT in T=6 2325,36Vermögenswert 4 in T=6 122,42Investitionsobjekt 5 -3000 1360 240 1790Finanzierung 1 1192,98 -1360Finanzierung 2 186,31 -240Finanzierung 3 1240,66 -1790Maximal zahlbarer Preis 2619,95Kapitalwert 5 -380,05Einzahlung eST* in T=3 3780,02Einzahlung eFT in T=3 4328,35Vermögenswert 5 in T=3 -548,34Abbildung 58: Maximal zahlbare Preise, Kapitalwerte und Vermögenswerte


Wie schon erwähnt, kann der Bezugszeitpunkt T bei einer Entscheidung zwischenmehreren alternativen Investitionsobjekten auch entsprechend der gewünschtenEntnahmestruktur festgelegt werden, wobei eine Entnahme nur zu diesem Be-zugszeitpunkt T geplant ist. Es soll von der nachfolgenden gewünschten Entnah-mestruktur ausgegangen werden, so daß der Bezugszeitpunkt T = 8 gilt:

In der nachfolgenden Tabelle (vgl. Abbildung 59) ist dargelegt, welche Entnah-men die vorteilhaften Investitionsobjekte aufgrund dieser gewünschten Entnahme-struktur ermöglichen. Zur Kontrolle sind außerdem noch die Summe der abgezins-ten Entnahmen, die jeweils dem Kapitalwert der Investition entsprechen muß, unddie Summe der unabgezinsten Entnahmen E, die aufgrund der gewünschten Ent-nahmestruktur, nämlich nur Entnahmen in T = 8, gleich dem Vermögenswert desjeweiligen Investitionsobjekts zu diesem Zeitpunkt sein muß, aufgeführt.

In der nachfolgenden Tabelle (vgl. Abbildung 60) wird anhand des vollständigenFinanzplans gezeigt, daß der gewünschte Entnahmestrom allein durch heutigeEntscheidungen auf der Basis heutiger, bekannter Kapitalmarktbedingungen reali-sierbar ist. Um den Vergleich mit den anderen Varianten des Beispiels (vgl. S.179, 185) zu erleichtern, sind auch diejenigen Finanzinvestitionen, die nicht zumZuge kommen, nämlich Finanzinvestitionen 1 bis 7, der Vollständigkeit halber mitaufgeführt.

Durch das jeweilige Investitionsobjekt ermöglichte EntnahmenZeitpunkt 0 1 2 3 4 5 6 7 8Investitions-objekt 1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 406,15Investitions-objekt 2 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 187,11Investitions-objekt 3 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 252,60Investitions-objekt 4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 148,12Kontrolle: Summe der abge- Summe der unab- Vermögenswert

zinsten Entnahmen gezinsten Entnahmen zum Zeitpunkt t = 8Investitions-objekt 1 173,22 406,15 406,15Investitions-objekt 2 79,80 187,11 187,11Investitions-objekt 3 107,73 252,60 252,60Investitions-objekt 4 63,17 148,12 148,12


Zeitpunkt 0 1 2 3 4 5 6 7 8Gewünschte Entnahmestruktur 0 0 0 0 0 0 0 0 1Gewichtungsfaktoren at 0 0 0 0 0 0 0 0 1



Investitionsobjekt 1 -1400 600 500 500 500Finanzierung 1 526,32 -600Finanzierung 2 388,14 -500Finanzierung 3 346,55 -500Finanzierung 4 312,21 -500Finanzinvestition 1 0,00 0,00Finanzinvestition 2 0,00 0,00Finanzinvestition 3 0,00 0,00Finanzinvestition 4 0,00 0,00Finanzinvestition 5 0,00 0,00Finanzinvestition 6 0,00 0,00Finanzinvestition 7 0,00 0,00Finanzinvestition 8 -173,22 406,15Entnahmen 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 406,15Abbildung 60: Vollständiger Finanzplan für das günstigste Investitionsobjekt


D. AnnuitätenmethodeDie Annuitätenmethode kommt dem in der Praxis bevorzugten Denken in Durch-schnitten entgegen. Inhaltlich knüpft die Annuität einer Sachinvestition an denVermögenswert der Sachinvestition an. Ist der Vermögenswert inhaltlich einEinzahlungsmehrbetrag einer Sachinvestition im Bezugszeitpunkt T im Ver-gleich zu einer investitionsvolumensgleichen Finanzinvestition, so ist die An-nuität der Sachinvestition inhaltlich gleich einem durchschnittlichen Einzah-lungsmehrbetrag der Sachinvestition, bezogen auf T Betrachtungsperioden,im Vergleich zu einer investitionsvolumensgleichen Finanzinvestition:

Wegen ihres Bezugs zur Anzahl T der Betrachtungsperioden ist die Größe der An-nuität, so wie dies auch beim Vermögenswert der Fall ist, von T unmittelbar ab-hängig. Die Annuität ist jedoch anders als der Vermögenswert – ceteris paribus –um so kleiner, je größer der Betrachtungszeitraum, d.h., je größer die AnzahlT der zugrundegelegten Perioden ist.Aus der inhaltlichen Definition der Annuität folgt, daß die Annuität der Sachin-vestition gleich dem Vermögenswert der Sachinvestition ist, wenn der Be-trachtungszeitraum genau eine Periode lang ist, also vom Zeitpunkt 0 bis zumZeitpunkt 1 reicht:

Betrachten wir jetzt den Fall einer zweiperiodigen Sachinvestition, wobeiaS0 = aF0 sowie eS1 = eS2 und eF1 = eF2 gelten, in folgender Beurteilungssituation:

In diesem Spezialfall ist die Annuität der Sachinvestition sehr einfach zu ermit-teln; denn sie muß gleich der Differenz der Einzahlungen zwischen Sachinve-stition und investitionsvolumensgleicher Finanzinvestition sein:

Dieser Spezialfall kann jedoch als Ausgangspunkt gewählt werden, um eine allge-meingültige Berechnungsformel für die Annuität der Sachinvestition zu ent-

AS02 = eS02 − eF02 = eS1 − eF1 = eS2 − eF2.

Zeit 0 1 2Zu beurteilende Sachinvestition aS0 eS1 eS2Finanzinvestition 1 aF10 eF1

Finanzinvestition 2 aF20 eF2

Finanzinvestition (1+2) aF0= aF10 + aF20 eF1 eF2

Annuität der Sachinvestition eS1 - eF1 eS2 - eF2

AS01 = eS01 − eF01 = VS1 = eS1 − eF1.

AS0T = eS0T − eF0T = const. für T Perioden bei aS0 = aF0

mit AS0T = Annuität der Sachinvestition für den Zeitraum 0 bis T

eS0T = durchschnittliche Einzahlungen aus der Sachinvestition im Zeitraum 0 bis T

eF0T = durchschnittliche Einzahlungen aus der Finanzinvestition im Zeitraum 0 bis T.


wickeln. Aus diesem Grunde betrachten wir, wie die Annuität bezogen auf diesenSpezialfall berechnet werden kann. Es gibt hierfür zwei Vorgehensweisen: 1. über den Kapitalwert der Sachinvesti-tion und 2. über den Vermögenswert der Sachinvestition. Da wir schon gezeigt ha-ben, daß der Vermögenswert aus dem Kapitalwert durch Aufzinsung hergeleitetwerden kann und die Vermögens(end)wertmethode daher als keine eigenständigeMethode anzusehen ist, soll hier an die erste Vorgehensweise angeknüpft wer-den. Die zweite Vorgehensweise ergibt sich dann aus der Transformation des Ka-pitalwerts in den Vermögenswert der Sachinvestition.In unserer betrachteten Beurteilungssituation gilt für den Kapitalwert der Sach-investition:

Das heißt, der Kapitalwert der Sachinvestition ist gleich der Differenz zwi-schen dem Gegenwartswert aller Einzahlungen aus der Sachinvestition (lin-ker Klammerausdruck) und dem Gegenwartswert aller Einzahlungen aus derinvestitionsvolumensgleichen Finanzinvestition (rechter Klammerausdruck).Der Gegenwartswert aller Einzahlungen aus der Sachinvestition entspricht demmaximal zahlbaren Preis Pmax der Sachinvestition, der Gegenwartswert aller Ein-zahlungen aus der Finanzinvestition deren Investitionsvolumen aF0, das wiederumgleich dem der Sachinvestition sein soll, also aF0 = aS0.

Diese gerade hergeleitete Kapitalwertformel läßt sich umformulieren:

Das heißt, den Kapitalwert der Sachinvestition kann man auch bestimmen, in-dem man die Annuität der Sachinvestition mit der Summe der Abzinsungs-faktoren multipliziert. Sofern die heutigen Kapitalmarktzinssätze i0t für t = 1 bisT übereinstimmen, also eine stabile Zinsstruktur gegeben ist, kann man die

Wegen eS1 = eS2 = eS und eF1 = eF2 = eF

KS0 = eS ∑1

(1+ i01)+ 1

(1+ i02 )2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ − eF ∑

1(1+ i01)

+ 1(1+ i02 )2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

oder

KS0 = eS − eF( )∑ 1(1+ i01)

+ 1(1+ i02 )2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

oder wegen eS − eF = eS02 − eF02 = AS02

KS0 = eS02 − eF02( )∑ 1(1+ i01)

+ 1(1+ i02 )2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = AS02 ∑

1(1+ i01)

+ 1(1+ i02 )2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥.

KS0 = eS1

(1+ i01)+ eS2

(1+ i02 )2 − aS0

oder wegen aS0 = aF1 0 + aF2 0 = eF1

(1+ i01)+ eF2

(1+ i02 )2

KS0 = eS1

(1+ i01)+ eS2

(1+ i02 )2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −

eF1

(1+ i01)+ eF2

(1+ i02 )2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥.


Summe der Abzinsungsfaktoren mit Hilfe der Formel für den Rentenbarwert-faktor ermitteln. Aus der zuletzt genannten Berechnungsformel für den Kapital-wert ergibt sich folgende Berechnungsformel für die Annuität:

Das heißt, die Annuität der Sachinvestition kann berechnet werden, indem manden Kapitalwert der Sachinvestition mit dem Kehrwert der Summe der Ab-zinsungfaktoren multipliziert. Der Kehrwert der Summe der Abzinsungsfak-toren ist der Wiedergewinnungsfaktor (Annuitätenfaktor). Nur bei stabilerZinsstruktur kann er mit obiger Formel (Multiplikator des Kapitalwerts!) berech-net werden.Da zwischen dem Kapitalwert und dem Vermögenswert der Sachinvestition – be-zogen auf unsere zugrunde gelegte zweiperiodige Beurteilungssituation – folgendeBeziehung besteht:

läßt sich die gerade entwickelte Berechnungsformel für die Annuität auch um-formulieren zu:

VS2 = KS0 ∑(1+ i 02 )2

oder

KS0 = VS2

(1+ i02 )2 ,

AS02 = KS0 ∑1

1(1+ i01)

+ 1(1+ i02 )2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

oder ± verallgemeinert auf den T - periodigen Fall ±

AS0T = KS0 ∑1

1(1+ i01)

+ 1(1+ i02 )2 +…+ 1

(1+ i0T )T

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

oder

AS0T = KS0 ∑1

1(1+ i0t )

tt =1

T

∑oder, wenn eine stabile Zinsstruktur mit i0t = i für alle t = 1, …, T gegeben ist,

AS0T = KS0 ∑1

(1 + i)T −1i∑(1 + i)T

oder

AS0T = KS0 ∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1.


Das heißt, die Annuität der Sachinvestition kann bestimmt werden, indem manden Vermögens(end)wert der Sachinvestition mit dem Abzinsungsfaktor, be-zogen auf den Zeitraum 0 bis T, sowie mit dem Kehrwert der Summe der Ab-zinsungsfaktoren multipliziert. Für den Fall einer stabilen Zinsstruktur kannman die Annuität der Sachinvestition berechnen, indem man den Vermögens-wert mit dem Abzinsungsfaktor (1+i)-T und mit dem Kehrwert des Renten-barwertfaktors multipliziert. Im Nenner des Bruches, mit dem der Vermögens-wert zu multiplizieren ist, steht dann das Produkt aus Aufzinsungsfaktor (1 +i)T

und Rentenbarwertfaktor, also der sog. Rentenendwertfaktor.

AS02 = VS2

(1+ i02 )2 ∑1

1(1+ i01)

+ 1(1+ i02 )2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

oder

AS02 = VS2 ∑1

(1+ i02 )2 ∑1

1(1+ i01)

+ 1(1+ i02 )2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

oder

AS02 = VS2 ∑1

(1+ i02 )2 ∑ 1(1+ i01)

+ 1(1+ i02 )2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

oder ± verallgemeinert für den T - periodigen Fall ±

AS0T = VST ∑1

(1+ i0T )T ∑ 1(1+ i01)

+ 1(1+ i02 )2 +…+ 1

(1+ i0T )T

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

oder

AS0T = VST ∑1

(1+ i0T )T ∑ 1(1+ i0t )

tt =1

T

∑oder, wenn eine stabile Zinsstruktur i0t = i für alle t = 1, …, T gegeben ist,

AS0T = VST ∑1

(1+ i)T ∑(1 + i)T −1i∑(1 + i)T

oder

AS0T = VST ∑1

(1 + i)T −1i

oder

AS0T = VST ∑i

(1 + i)T −1.


Äquivalent zur Berechnung der Annuität über den Kapitalwert ist also diezuletzt erwähnte Berechnung über den Vermögenswert. Man erhält die An-nuität der Sachinvestition, indem man den Vermögenswert mit dem Kehr-wert des Rentenendwertfaktors multipliziert. Den Kehrwert des Rentenend-wertfaktors nennt man auch Rückwärtsverteilungsfaktor1, weil mit seiner Hilfeein gegebener Endwert (oder allgemein eine Zahlung in T) in eine dazu äquivalen-te gleichbleibende Rente zurückgerechnet werden kann.Wir haben auf diese Weise zwei Grundformeln für die Berechnung der Annui-tät der Sachinvestition für den Fall einer stabilen Zinsstruktur im Entschei-dungszeitpunkt erhalten:

Für den Fall einer beliebigen Zinsstruktur im Entscheidungszeitpunkt lautensie:

Ausgehend von diesen Grundformeln können verschiedene andere Berechnungs-formeln für die Annuität der Sachinvestition entwickelt werden, wobei dieshier nur für den Fall einer stabilen Zinsstruktur im Entscheidungszeitpunktund ausgehend von der an den Kapitalwert anknüpfenden Grundformel getan wer-den soll.Für den Fall beliebiger laufender, als nachschüssig behandelter Einzahlungene*

St und Auszahlungen a*St

und der gesonderten Berücksichtigung eines Li-quidationserlöses LT erhalten wir die folgende Berechnungsformel für die An-nuität der Sachinvestition:

Mit dieser Formel kann die Aussage illustriert werden, daß bei der Ermittlung derAnnuität eine beliebige Ein- und Auszahlungsreihe in eine dazu äquivalente,d.h. kapitalwertgleiche, Reihe von uniformen, d.h. gleichbleibenden, und zu

AS0T = eSt*

(1 + i)t + LT ∑1

(1 + i)Tt =1

T

∑⎡⎣⎢

⎤

⎦⎥ −

aSt*

(1 + i)t + aS0t =1

T

∑⎡⎣⎢

⎤

⎦⎥ ∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1.

AS0T = VST ∑1

(1+ i0T )T ∑ 1(1+ i0t )

tt =1

T

∑und

AS0T = KS0 ∑1

1(1+ i0t )

tt =1

T

∑.

AS0T = VST ∑i

(1 + i)T −1und

AS0T = KS0 ∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1.


1 Vgl. Busse von Colbe, Walther, Laßmann, Gert: Betriebswirtschaftstheorie, Band 3, Investitionstheorie, 3. A.,Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo, Hong Kong 1990, S. 35.

äquidistanten Zeitpunkten, d.h. zu gleich weit entfernten Zeitpunkten, erwarte-ten Zahlungen in Höhe der Annuität AS0T transformiert wird.

Äquivalent zur gerade aufgeführten Berechnungsformel sind die folgenden:

Die Annuität AS0T der Sachinvestition kann also auch als Differenz aus Ein-zahlungsannuität (Annuität aller Einzahlungen)

und Auszahlungsannuität (Annuität aller Auszahlungen)

berechnet werden. In der Literatur wird die Annuität AS0T der Sachinvestition auch als Kapital-wertannuität oder als Gewinnannuität1 bezeichnet. Die Einzahlungsannuität(Annuität aller Einzahlungen) wird auch Ertragsannuität2 und die Auszah-lungsannuität (Annuität aller Auszahlungen) auch Kostenannuität3 genannt .Für den Fall übereinstimmender laufender nachschüssiger Einzahlungene*

St = e*S und Auszahlungen a*

St = a*

S für t = 1, …, T und der gesonderten Be-rücksichtigung eines Liquidationserlöses LT erhalten wir als weitere Berech-nungsformel für die Annuität der Sachinvestition:

AS0T = eS* ∑(1 + i)T −1

i∑(1 + i)T + LT ∑1

(1 + i)T⎡⎣⎢

⎤⎦⎥− aS

* ∑(1 + i)T −1i∑(1 + i)T + aS0

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1oder

AS0T = eS* + LT ∑

1(1 + i)T ∑

i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1⎡⎣⎢

⎤⎦⎥− aS

* + aS0 ∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

oder

AS0T = eS* + LT ∑

i(1 + i)T −1

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥− aS

* + aS0 ∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1⎡⎣⎢

⎤⎦⎥.

aS0T* = aSt

*

(1 + i)t + aS0t =1

T

∑⎡⎣⎢

⎤

⎦⎥∑

i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1

eS0T* = eSt

*

(1 + i)t + LT ∑1

(1 + i)Tt =1

T

∑⎡⎣⎢

⎤

⎦⎥∑

i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1

AS0T = eSt*

(1 + i)t + LT ∑1

(1 + i)Tt =1

T

∑⎡⎣⎢

⎤

⎦⎥∑

i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1− aSt

*

(1 + i)t + aS0t =1

T

∑⎡⎣⎢

⎤

⎦⎥∑

i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1oder

AS0T = eS0T* − aS0T

* .


1 So Seicht, Gerhard: Investition und Finanzierung, 6. A., Wien 1990, S. 61.


3 Vgl. ebenda, S. 85; z.T. einschränkend nur auf das Investitionsvolumen bezogen (ebenda, S. 65) oder unter Ab-zug eines Liquidationserlöses berechnet (ebenda, S. 87).

Die Einzahlungsannuität (Annuität aller Einzahlungen) ist in dieser Situation:

also gleich der im Zeitablauf gleichbleibenden Periodeneinzahlung zuzüglichdes verrenteten Liquidationserlöses, wobei die Verrentung mit Hilfe desRückwärtsverteilungsfaktors geschieht. Für die Auszahlungsannuität (Annuität aller Auszahlungen) erhält man in die-ser Situation:

so daß sie gleich der im Zeitablauf gleichbleibenden Periodenauszahlung zu-züglich des verrenteten Investitionsvolumens ist, wobei die Verrentung mitHilfe des Wiedergewinnungsfaktors geschieht.Der Fall gleichbleibender laufender Einzahlungen und Auszahlungen ist ein Spe-zialfall des Falls übereinstimmender Einzahlungsüberschüsse. Für den Fall über-einstimmender periodischer Einzahlungsüberschüsse eSt = eS für t = 1, …, Tund gesonderter Berücksichtigung eines Liquidationserlöses LT erhält manfolgende Berechnungsformel für die Annuität der Sachinvestition, wobei der Aus-druck in der inneren Klammer gleich dem maximal zahlbaren Preis Pmax ist:

Der Minuend in dieser Berechnungsformel ist die Annuität aller Einzahlungs-überschüsse:

Sie ist gleich dem im Zeitablauf gleichbleibenden Einzahlungsüberschuß zu-züglich des mit Hilfe des Rückwärtsverteilungsfaktors verrenteten Liquida-tionserlöses. Sie entspricht zugleich der Annuität des maximal zahlbaren Prei-ses und läßt sich dementsprechend auch durch Verrentung des maximal zahlba-ren Preises mit Hilfe des Wiedergewinnungsfaktors bestimmen. Die Annuitätaller Einzahlungsüberschüsse ist um den Betrag der durchschnittlichen laufen-den Periodenauszahlungen geringer als die Einzahlungsannuität (Annuität al-ler Einzahlungen).

eS0T = Pmax ∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1= eS + LT ∑

i(1 + i)T −1

= eS0T* − aS

* mit aS* = aSt

*

(1 + i)t ∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1t =1

T

∑ .

AS0T = eS ∑(1 + i)T −1i∑(1 + i)T + LT ∑

1(1 + i)T

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥− aS0 ∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1oder

AS0T = eS + LT ∑1

(1 + i)T ∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1⎡⎣⎢

⎤⎦⎥− aS0 ∑

i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1oder

AS0T = eS + LT ∑i

(1 + i)T −1⎡⎣⎢

⎤⎦⎥− aS0 ∑

i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1.

aS0T* = aS

* + aS0 ∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1,

eS0T* = eS

* + LT ∑i

(1 + i)T −1,


Der Subtrahend ist die Annuität des Investitionsvolumens

d.h. das mit Hilfe des Wiedergewinnungsfaktors verrentete Investitionsvolu-men. Die Annuität des Investitionsvolumens ist ebenfalls um den Betrag derdurchschnittlichen laufenden Periodenauszahlungen geringer als die Auszah-lungsannuität (Annuität aller Auszahlungen). In der Literatur wird die Annuität des Investitionsvolumens auch als dynami-sche Abschreibung1 bezeichnet. Die Annuität des Investitionsvolumens setztsich aus einem im Zeitablauf größer werdenden Tilgungsbetrag Tt (vergleichbarmit steigenden kalkulatorischen Abschreibungen!)

und einem im Zeitablauf entsprechend sinkenden Zinsbetrag Zt (vergleichbar mitabnehmenden kalkulatorischen Zinsen auf das noch gebundene Kapital!)

Zt = aS0T − Tt

oder

T1 = aS0T − i∑a S0 ,

T2 = aS0T − i∑a S0 − T1( ) = aS0T − i∑a S0 − aS0T − i∑a S0[ ]( )oder

T2 = (1 + i)∑a S0T − i∑(1 + i)∑a S0 = (1 + i)2-1 ∑a S0T − i∑a S0( )oder allgemein für t = 1 , …, T

Tt = (1+ i)t-1 ∑a S0T − i∑a S0( )oder

Tt = (1+ i)t-1 ∑ a S0 ∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1− i∑a S0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

oder

Tt = (1+ i)t-1 ∑ a S0 ∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1−1⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

oder

Tt = (1+ i)t-1 ∑ a S0 ∑i∑(1 + i)T − (1 + i)T −1

(1 + i)T −1⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

oder

Tt = aS0 ∑i

(1 + i)T −1∑(1+ i) t-1

aS0T = aS0 ∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1= aS0T

* − aS* mit aS

* = aSt*

(1 + i)t ∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1t =1

T

∑ ,


1 So Seicht, Gerhard: Investition und Finanzierung, 6. A., Wien 1990, S. 62.

zusammen. Der Tilgungsbetrag Tt ergibt sich als aufgezinstes, mit dem Rück-wärtsverteilungsfaktor verrentetes Investitionsvolumen. Der Zinsbetrag Zt istgleich der Annuität des Investitionsvolumens abzüglich des Tilgungsbetrags.Für den Fall beliebiger periodischer Einzahlungsüberschüsse eSt für t = 1, … ,T und gesonderter Berücksichtigung eines Liquidationserlöses LT erhält mandie Kapitalwertannuität der Sachinvestition nach folgender Formel:

Die Annuität aller Einzahlungsüberschüsse ist dann

also gleich dem durchschnittlichen periodischen Einzahlungsüberschuß eS zu-züglich des mit Hilfe des Rückwärtsverteilungsfaktors verrenteten Liquida-tionserlöses. Gleichgültig, von welcher Berechnung der Kapitalwertannuität man im konkretenFall auszugehen hat – es ergibt sich unter gleichen Verhältnissen kein Einfluß aufdie Größe der Kapitalwertannuität:

Wenn wir noch einmal zurückblicken (vgl. S. 198) auf unsere zweiperiodige Aus-gangssituation, in der aS0 = aF0 sowie eS1 = eS2 und eF1 = eF2 galten, also kein ge-sonderter Liquidationserlös zu berücksichtigen war und in der für die Kapitalwert-annuität

AS0T = eS0T* − aS0T

* = eS0T − aS0T = eS0T* − aS

*[ ] ± aS0T* − aS

*[ ].

eS0T = eS + LT ∑i

(1 + i)T −1 mit eS = eSt

(1 + i)t ∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1t =1

T

∑ ,

AS0T = eSt

(1 + i)t + LT ∑1

(1 + i)Tt =1

T

∑⎡⎣⎢

⎤

⎦⎥ − aS0 ∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1oder

AS0T = eSt

(1 + i)t + LT ∑1

(1 + i)Tt =1

T

∑⎡⎣⎢

⎤

⎦⎥∑

i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1− aS0 ∑

i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1oder

AS0T = eSt

(1 + i)t ∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1+ LT ∑

i(1 + i)T −1t =1

T

∑⎡⎣⎢

⎤

⎦⎥ − aS0 ∑

i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1.

Zt = aS0T − aS0 ∑i

(1 + i)T −1∑(1+ i) t-1

oder

Zt = aS0 ∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1− aS0 ∑

i(1 + i)T −1

∑(1+ i) t-1

oder

Zt = aS0 ∑i

(1 + i)T −1∑(1 + i)T − (1+ i)t-1[ ] für t = 1, …, T.


galt, so ergibt sich:

Das heißt, die Kapitalwertannuität als durchschnittlicher Einzahlungsmehrbe-trag der Sachinvestition im Vergleich zu einer investitionsvolumensgleichen Fi-nanzinvestition war in dieser zweiperiodigen Ausgangssituation als Differenz derAnnuität aller Einzahlungsüberschüsse (Annuität des maximal zahlbarenPreises) und der Annuität des Investitionsvolumens der Sachinvestition be-stimmt worden.Für eine Wahlsituation, in der zwischen der Durchführung der SachinvestitionS und ihrem Unterlassen U zu wählen ist, ergeben sich aus der Annuitätenme-thode die folgenden Handlungsempfehlungen für rationale Entscheidungen:

Eine Sachinvestition wird als vorteilhaft, durchführenswert beurteilt, wenn sie ei-ne positive Kapitalwertannuität hat. Sie kann noch durchgeführt werden, wenn ih-re Kapitalwertannuität gleich Null ist. Sie sollte bei einer negativen Kapitalwert-annuität unterlassen werden.Wenn unter mehreren vorteilhaften Sachinvestitionen zu wählen ist, so sollteder Investor diejenige durchführen, deren Kapitalwertannuität am größtenist. Dies ist die aus dem Fundamentalprinzip II folgende und für die Annuitä-tenmethode geltende Handlungsempfehlung. Sofern die zu beurteilenden alter-nativen Investitionsobjekte unterschiedliche Laufzeiten haben, so muß ein Be-zugszeitraum 0T festgelegt werden, für den die Annuität der Sachinvestitionenermittelt werden soll. Dieser Bezugszeitraum muß bezogen auf alle zu beurtei-lenden alternativen Investitionsobjekte gleich sein, kann aber vollkommenfrei gewählt werden. Seine Wahl hat keinen Einfluß auf die Rangfolge der Investitionsobjekte, abereinen Einfluß auf die absolute Höhe der errechneten Kapitalwertannuität. Es bietetsich an, einerseits den Bezugszeitraum an der längsten Investitionsdauer auszu-richten oder andererseits diesen Bezugszeitraum aus der Konsumplanung des In-vestors abzuleiten.Die Annuitätenmethode sei anhand der in Abbildung 40 (vgl. S. 176) aufgeführ-ten Investitionsobjekte und auf der Basis der in Abbildung 53 (vgl. S. 192) aufge-führten inversen Zinsstruktur auf dem Kapitalmarkt zum Entscheidungszeit-

S U, wenn AS0T > 0 ,S U, wenn AS0T < 0 oderS ≈U, wenn AS0T = 0.

eS02 = eS1 = eS2 = eS = eS ∑(1 + i)T −1i∑(1 + i)T ∑

i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1= Pmax ∑

i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1

und eF02 = aS02 = aS0 ∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1.

AS02 = eS02 − eF02 = eS1 − eF1 = eS2 − eF2


punkt t = 0 erläutert. Die aus dieser Zinsstruktur resultierenden Aufzinsungsfak-toren und Abzinsungsfaktoren enthalten die Abbildungen 54 und 55 (vgl. S. 192).In der nachfolgenden Abbildung 61 stehen die jeweiligen daraus folgenden Ren-tenbarwertfaktoren, die wegen der betrachteten inversen Zinsstruktur sich nichtmit Hilfe des Formel für den Rentenbarwertfaktor ermitteln lassen, sondern alsSummen der Abzinsungfaktoren (vgl. S. 199-201) zu berechnen sind. In der Ab-bildung 62 sind die Wiedergewinnungsfaktoren aufgeführt, die als Kehrwertdes jeweiligen Rentenbarwertfaktors gemäß Abbildung 61 bestimmt werden.

In der Abbildung 63 sind die für die betrachtete Zinsstruktur (vgl. Abbildung 53)geltenden Rentenendwertfaktoren aufgeführt, die sich ergeben, wenn der jewei-lige Rentenbarwertfaktor (vgl. Abbildung 61) mit dem zugehörigen Aufzinsungs-faktor multipliziert wird. Durch Bildung des Kehrwerts der Rentenendwertfakto-ren (vgl. Abbildung 63) erhält man die jeweiligen Rückwärtsverteilungsfakto-ren, die in Abbildung 64 wiedergegeben sind.

8Rentenbarwertfaktor ∑(1+iτt)-(t-τ) für Kapitalanlagen zwischen τ und t

Endzeitpunkt t ⇒Anfangs-

zeitpunkt τ⇓

1 2 3 4 5 6 7 8

0 0,87719 1,65347 2,34657 2,97099 3,53865 4,05469 4,52383 4,950321 0,88496 1,67509 2,38693 3,03406 3,62235 4,15717 4,643362 0,89286 1,69723 2,42848 3,09326 3,69760 4,247003 0,90090 1,71990 2,46445 3,14131 3,756644 0,90909 1,73554 2,48685 3,169875 0,90909 1,73554 2,486856 0,90909 1,735547 0,90909

Abbildung 61: Geltende Rentenbarwertfaktoren

Wiedergewinnungsfaktor 1/∑(1+iτt)-(t-τ) für Kapitalanlagen zwischen τ und t


zeitpunkt τ⇓

1 2 3 4 5 6 7 8

0 1,14000 0,60479 0,42615 0,33659 0,28259 0,24663 0,22105 0,202011 1,13000 0,59698 0,41895 0,32959 0,27606 0,24055 0,215362 1,12000 0,58919 0,41178 0,32328 0,27045 0,235463 1,11000 0,58143 0,40577 0,31834 0,266204 1,10000 0,57619 0,40211 0,315475 1,10000 0,57619 0,402116 1,10000 0,576197 1,100008

Abbildung 62: Geltende Wiedergewinnungsfaktoren


Betrachtet werden wiederum die in Abbildung 40 (vgl. S. 176) dargestellten Inve-stitionsobjekte.In der nachfolgenden Abbildung 65 sind die jeweiligen maximal zahlbarenPreise, Kapitalwerte und auf die jeweilige Investitionsdauer bezogenen Kapi-talwertannuitäten aufgeführt. Aufgrund der Kapitalwertannuitäten ist ersichtlich,daß bis auf Investitionsobjekt 5 alle anderen gegenüber der Unterlassensalterna-tive vorteilhaft sind, da ihre auf die Investitionsdauer des jeweiligen Investitions-objekts bezogenen Kapitalwertannuitäten positiv sind.

8Rentenendwertfaktor (1+iτt)(t-τ)•∑(1+iτt)-(t-τ) für Kapitalanlagen zwischen τ und t


zeitpunkt τ⇓

1 2 3 4 5 6 7 8

0 1,00000 2,13000 3,38560 4,75802 6,23382 7,85720 9,64292 11,607211 1,00000 2,12000 3,35320 4,68852 6,15737 7,77311 9,550422 1,00000 2,11000 3,32100 4,65310 6,11841 7,730253 1,00000 2,10000 3,31000 4,64100 6,105104 1,00000 2,10000 3,31000 4,641005 1,00000 2,10000 3,310006 1,00000 2,100007 1,00000

Abbildung 63: Geltende Rentenendwertfaktoren

Rückwärtsverteilungsfaktor 1/[(1+iτt)(t-τ)•∑(1+iτt)-(t-τ)] für Kapitalanlagen zwischen τ und t


zeitpunkt τ⇓

1 2 3 4 5 6 7 8

0 1,00000 0,46948 0,29537 0,21017 0,16042 0,12727 0,10370 0,086151 1,00000 0,47170 0,29822 0,21329 0,16241 0,12865 0,104712 1,00000 0,47393 0,30111 0,21491 0,16344 0,129363 1,00000 0,47619 0,30211 0,21547 0,163804 1,00000 0,47619 0,30211 0,215475 1,00000 0,47619 0,302116 1,00000 0,476197 1,00000

Abbildung 64: Geltende Rückwärtsverteilungsfaktoren


Erwartete ZahlungenZeitpunkt 0 1 2 3 4 5 6Investitionsobjekt 1 -1400 600 500 500 500Finanzierung 1 526,32 -600Finanzierung 2 388,14 -500Finanzierung 3 346,55 -500Finanzierung 4 312,21 -500Maximal zahlbarer Preis 1573,22Kapitalwert 1 173,22Einzahlung eS0T bis T=4 529,53 529,53 529,53 529,53Einzahlung eF0T bis T=4 471,22 471,22 471,22 471,22Annuität 1 bis T=4 58,30 58,30 58,30 58,30Investitionsobjekt 2 -1000 700 600Finanzierung 1 614,04 -700Finanzierung 2 465,77 -600Maximal zahlbarer Preis 1079,80Kapitalwert 2 79,80Einzahlung eS0T bis T=2 653,05 653,05Einzahlung eF0T bis T=2 604,79 604,79Annuität 2 bis T=2 48,26 48,26Investitionsobjekt 3 -600 200 200 200 200 200Finanzierung 1 175,44 -200Finanzierung 2 155,26 -200Finanzierung 3 138,62 -200Finanzierung 4 124,88 -200Finanzierung 5 113,53 -200Maximal zahlbarer Preis 707,73Kapitalwert 3 107,73Einzahlung eS0T bis T=5 200,00 200,00 200,00 200,00 200,00Einzahlung eF0T bis T=5 169,56 169,56 169,56 169,56 169,56Annuität 3 bis T=5 30,44 30,44 30,44 30,44 30,44Investitionsobjekt 4 -1200 300 300 500 500 100 100Finanzierung 1 263,16 -300Finanzierung 2 232,88 -300Finanzierung 3 346,55 -500Finanzierung 4 312,21 -500Finanzierung 5 56,77 -100Finanzierung 6 51,60 -100Maximal zahlbarer Preis 1263,17Kapitalwert 4 63,17Einzahlung eS0T bis T=6 311,53 311,53 311,53 311,53 311,53 311,53Einzahlung eF0T bis T=6 295,95 295,95 295,95 295,95 295,95 295,95Annuität 4 bis T=6 15,58 15,58 15,58 15,58 15,58 15,58Investitionsobjekt 5 -3000 1360 240 1790Finanzierung 1 1192,98 -1360Finanzierung 2 186,31 -240Finanzierung 3 1240,66 -1790Maximal zahlbarer Preis 2619,95Kapitalwert 5 -380,05Einzahlung eS0T bis T=3 1116,50 1116,50 1116,50Einzahlung eF0T bis T=3 1278,46 1278,46 1278,46Annuität 5 bis T=3 -161,96 -161,96 -161,96Abbildung 65: Maximal zahlbare Preise, Kapitalwerte und Kapitalwertannuitäten


Die angegebenen durchschnittlichen Einzahlungen eS0T ergeben sich, wenn dermaximal zahlbare Preis für das betrachtete Investitionsobjekt mit dem für seineInvestitionsdauer geltenden Wiedergewinnungsfaktor aus Abbildung 62 multipli-ziert wird (Annuität des maximal zahlbaren Preises). Die durchschnittlichenEinzahlungen eF0T erhält man, wenn man das Produkt aus InvestitionsvolumenaS0 = aF0 und dem für die Investitionsdauer des betrachteten Investitionsobjektsgeltenden Wiedergewinnungsfaktor bildet (Annuität des Investitionsvolumens).Die Differenz eS0T – eF0T gibt die auf die Investitionsdauer bezogene Kapital-wertannuität an. Sie läßt sich auch ermitteln als Produkt aus dem jeweiligen Ka-pitalwert und dem für die Investitionsdauer des betrachteten Investitionsobjektsgeltenden Wiedergewinnungsfaktor.Zu den gleichen Resultaten hinsichtlich der Kapitalwertannuität gelangt man,wenn man den jeweiligen Vermögenswert (vgl. Abbildung 58, S. 195) am Endeder Investitionsdauer des betrachteten Investitionsobjekts mit Hilfe des für dieseInvestitionsdauer geltenden Rückwärtsverteilungsfaktors aus Abbildung 64 ver-rentet.

Für die Wahl zwischen den vorteilhaften Investitionsobjekten ist ein gleicher Be-zugszeitraum 0T erforderlich. Wählt man die Investitionsdauer desjenigen vor-teilhaften Investitionsobjekts mit der längsten Investitionsdauer, so erhalten wirdie nachfolgenden vergleichbaren Kapitalwertannuitäten (vgl. Abbildung 67):

Zeit 0 1 2 3 4 5 6Vermögenswert 1 in T=4 335,66Annuität 1 bis T=4 42,72 42,72 42,72 42,72 42,72 42,72Vermögenswert 2 in T=2 154,64Annuität 2 bis T=2 19,68 19,68 19,68 19,68 19,68 19,68Vermögenswert 3 in T=5 208,76Annuität 3 bis T=5 26,57 26,57 26,57 26,57 26,57 26,57Vermögenswert 4 in T=6 122,42Annuität 4 bis T=6 15,58 15,58 15,58 15,58 15,58 15,58Vermögenswert 5 in T=3 -736,47Annuität 5 bis T=3 -93,73 -93,73 -93,73 -93,73 -93,73 -93,73

Abbildung 67: Kapitalwertannuität für Zeitraum bis T = 6

Zeit 0 1 2 3 4 5 6Vermögenswert 1 in T=4 277,40Annuität 1 bis T=4 58,30 58,30 58,30 58,30Vermögenswert 2 in T=2 102,80Annuität 2 bis T=2 48,26 48,26Vermögenswert 3 in T=5 189,78Annuität 3 bis T=5 30,44 30,44 30,44 30,44 30,44Vermögenswert 4 in T=6 122,42Annuität 4 bis T=6 15,58 15,58 15,58 15,58 15,58 15,58Vermögenswert 5 in T=3 -548,34Annuität 5 bis T=3 -161,96 -161,96 -161,96

Abbildung 66: Kapitalwertannuität als Verrentung des Vermögenswerts


Wie schon erwähnt, kann der Bezugszeitraum 0T bei einer Entscheidung zwi-schen mehreren alternativen Investitionsobjekten auch entsprechend der ge-wünschten Entnahmestruktur festgelegt werden, wobei eine Entnahme nur vomZeitpunkt t = 1 bis zum Zeitpunkt t = T geplant ist. Es soll von der nachfolgendengewünschten Entnahmestruktur, also bis T = 8, ausgegangen werden:

In der nachfolgenden Tabelle (vgl. Abbildung 68) ist dargelegt, welche annuitä-ren Entnahmen die vorteilhaften Investitionsobjekte aufgrund dieser gewünsch-ten Entnahmestruktur ermöglichen. Zur Kontrolle sind außerdem noch die Summeder abgezinsten Entnahmen, die jeweils dem Kapitalwert der Investition entspre-chen muß, und die Summe der unabgezinsten Entnahmen E aufgeführt.

In der nachfolgenden Tabelle (vgl. Abbildung 69) wird anhand des vollständigenFinanzplans für das beste Investitionsobjekt gezeigt, daß der gewünschte gleich-bleibende Entnahmestrom allein durch heutige Entscheidungen auf der Basis heu-tiger, bekannter Kapitalmarktbedingungen realisierbar ist. Alle primären Zah-lungen fallen im Entscheidungszeitpunkt an. Die künftigen sekundären Zahlun-gen sind Folge einer Entscheidung.

Durch das jeweilige Investitionsobjekt ermöglichte EntnahmenZeitpunkt 0 1 2 3 4 5 6 7 8Investition-objekt 1 0,00 34,99 34,99 34,99 34,99 34,99 34,99 34,99 34,99Investitions-objekt 2 0,00 16,12 16,12 16,12 16,12 16,12 16,12 16,12 16,12Investitions-objekt 3 0,00 21,76 21,76 21,76 21,76 21,76 21,76 21,76 21,76Investitions-objekt 4 0,00 12,76 12,76 12,76 12,76 12,76 12,76 12,76 12,76Kontrolle: Summe der abge- Summe der unab- Vermögenswert

zinsten Entnahmen gezinsten Entnahmen zum Zeitpunkt t = 8Investitions-objekt 1 173,22 279,93 406,15Investitions-objekt 2 79,80 128,96 187,11Investitions-objekt 3 107,73 174,1 252,60Investitions-objekt 4 63,17 102,09 148,12

Abbildung 68: Annuitäre Entnahmen für Konsumzwecke

Zeitpunkt 0 1 2 3 4 5 6 7 8Gewünschte Entnahmestruktur 0 1 1 1 1 1 1 1 1Gewichtungsfaktoren at 0 0,125 0,125 0,125 0,125 0,125 0,125 0,125 0,125





E. Methode des internen Zinsfußes1. Begriff des internen Zinsfußes und zur üblichen Deutung als

KapitalrentabilitätBei der internen Zinsfuß-Methode werden einer Sachinvestition S mit ihren er-warteten Zahlungen (aS0, eS1, eS2, …, eST) denkbare Kapitalmarkttransaktionen Fzu einem (noch zu bestimmenden) Zinssatz gegenübergestellt, wobei die Kapital-markttransaktionen dazu führen sollen, die Zahlungsreihe der Sachinvestitionvollständig zu rekonstruieren, so daß

gilt. Der einheitliche Zinssatz, zu dem die Kapitalmarkttransaktionen abge-wickelt werden müßten, um diese vollständige Übereinstimmung der Zah-lungsreihen zu erreichen, heißt der interne Zinsfuß rS der Sachinvestition.Vergleicht man die Vorgehensweise mit derjenigen der Kapitalwertmethode, sogilt, daß bei der Kapitalwertmethode bei gegebener Kapitalmarktzinsstruktur eineteilweise Rekonstruktion der Zahlungsreihe der Sachinvestition erfolgt, nämlichnur bezogen auf die Einzahlungsüberschüsse

so daß der Kapitalwert sich als Auszahlungsdifferenzgröße bei einem Vergleichder Sachinvestition mit der einzahlungsüberschußgleichen Finanzinvestition er-gibt. Bei der internen Zinsfuß-Methode wird hingegen eine vollständige Re-konstruktion der Zahlungsreihe der Sachinvestition durch Kapitalmarkttransaktio-nen auf der Basis eines gesuchten Zinses durchgeführt. Das Vergleichsobjekt (Fi-nanzinvestition) wird also so festgelegt, daß sich eine Gleichbeurteilung mit derSachinvestition ergeben muß. Die Gleichbeurteilung (Äquivalenzrelation) vonSachinvestition und Finanzinvestition tritt ein, wenn der Kapitalwert der Sachin-vestition gleich Null ist. Dies ist wegen der Beziehung

gegeben. Man kann wegen der zu erfüllenden Bedingung der Gleichbeurteilungden internen Zinsfuß daher auch als denjenigen (imaginären) Kapitalmarktzins de-finieren, bei dessen Anwendung als Kalkulationszinsfuß der Kapitalwert der Sach-investition Null wird:

Der interne Zinsfuß wird üblicherweise als ein Rentabilitätsmaß der Sachinvesti-tion gedeutet. Er soll die Rentabilität des im betrachteten Investitionsobjekt einge-setzten (investierten) Kapitals wiedergeben. Es handelt sich dabei um eine Ge-samtkapitalrentabilität des Investitionsobjekts. Die Gesamtkapitalrentabilitätstellt ein Verhältnis zwischen einer Überschußgröße aus der Kapitalnutzungund dem dafür eingesetzten Kapital dar. Während die Kapitalwertmethode und die daraus ableitbaren Varianten (Vermö-gensendwertmethode und Annuitätenmethode) mit einem vorgegebenen Kalkula-

KS0 = eSt

(1 + rS)tt =1

T

∑ − aS0 = 0.

(aS0, eS1, eS2, …, eST) = (aF0, eF1, eF2, …, eFT)

(eS1, eS2, …, eST) = (eF1, eF2, …, eFT),

(aS0, eS1, eS2, …, eST) = (aF0, eF1, eF2, …, eFT)


tionszinsfuß arbeiten, steht bei der internen Zinsfuß-Methode die Ermittlung einesZinssatzes im Mittelpunkt der Betrachtung. "Intern" heißt dieser Zinsfuß, weil zuseiner Berechnung mit Hilfe der Kapitalwertformel ausschließlich Daten des be-trachteten Investitionsobjekts benutzt werden, während etwa zur Berechnung vonKapitalwert, Vermögenswert oder Annuität stets eine externe Größe, nämlich dergeltende Kapitalmarktzins i (bei stabiler Zinsstruktur), mit einfließt.Nach der Methode des internen Zinsfußes wird eine Investition als vorteilhaft an-gesehen, wenn ihr interner Zinsfuß rS als imaginärer Kapitalmarktzins größer alsder tatsächliche Kapitalmarktzins i ist. Durchführung und Unterlassung der Inve-stition werden als äquivalent beurteilt, wenn der interne Zinsfuß rS mit dem Kapi-talmarktzins i übereinstimmt. Die Investition sollte unterlassen werden, wenn ihrinterner Zinsfuß rS kleiner als der Kapitalmarktzins i ist1.

Für eine Wahlsituation, in der zwischen der Durchführung der SachinvestitionS und ihrem Unterlassen U zu wählen ist, ergeben sich dann entsprechend die-sen Aussagen zum Vorteilhaftigkeitskriterium der internen Zinsfuß-Methode diefolgenden Handlungsempfehlungen:

Wir werden noch später darauf einzugehen haben, welche Voraussetzungenfür die zutreffende Anwendung dieser Handlungsempfehlungen erfüllt seinmüssen.Unterlassen der Sachinvestition heißt nicht zwingend, überhaupt nicht zu investie-ren, sondern kann auch heißen, auf dem Kapitalmarkt zu investieren, was wir miteiner Finanzinvestition bezeichnet hatten. Daraus ergibt sich auch die folgendeDeutung der obigen Handlungsempfehlungen. Im Vergleich zur Finanzinvesti-tion auf der Basis des tatsächlichen Kapitalmarktzinses i ist eine Sachinvesti-tion vorzuziehen, wenn ihr interner Zinsfuß rS größer als die Verzinsung i ei-ner tatsächlichen Finanzinvestition ist. Wenn es darum geht, Kapital für Investi-tionszwecke vom Kapitalmarkt aufzunehmen, so ist eine solche Kapitalaufnah-me zur Finanzierung einer Sachinvestition nur sinnvoll, wenn die Kapitalko-sten k = i für das aufgenommene Kapital geringer als der interne Zins rS derSachinvestition sind.Sofern mehrere Investitionsobjekte zu beurteilen sind, erfolgt nach der Me-thode des internen Zinsfußes deren Rangfolge nach der Höhe ihres internenZinsfußes. Es wird noch darzulegen sein, ob oder unter welchen Bedingungendies ein sinnvolles Kriterium bei der Wahl zwischen mehreren Durchführungsal-ternativen ist.

S U, wenn rS > i ,S U, wenn rS < i oderS ≈U, wenn rS = i.


1 Vgl. z.B. Süchting, Joachim: Finanzmanagement, 5. A., Wiesbaden 1989, S. 264; Däumler, Klaus-Dieter: Grund-lagen der Investitions- und Wirtschaftlichkeitsrechnung, 4. A., Herne/Berlin 1984, S. 54.

2. Berechnung des internen Zinsfußes für ein- und zweiperiodigeInvestitionen und das Problem der Mehrdeutigkeit des internenZinsfußes

Zuvor sollen Fragen der Berechnung des internen Zinsfußes angesprochenwerden. Dazu werden beispielhaft einige Investitionsobjekte betrachtet. Es sei folgende Investition gegeben:

Diese Investition ist gekennzeichnet durch einen Kapitaleinsatz (Anfangsauszah-lung) von aS0 = 100 im Zeitpunkt t = 0 und eine Gesamteinzahlung eS1 = 120 imZeitpunkt t = 1. Es handelt sich also um eine einperiodige Investition. Die Über-schußgröße aus der Kapitalnutzung für diese Nutzungsperiode ist offensichtlichgleich der Differenz zwischen der Gesamteinzahlung am Periodenende und demKapitaleinsatz am Periodenanfang, also eS1 - aS0 = 120 - 100 = 20. Der Kapital-einsatz beträgt aS0 = 100, so daß die Gesamtkapitalrentabilität bezogen auf dieNutzungsperiode zwischen t = 0 und t = 1

ist. Der interne Zinsfuß ist im einperiodigen Fall gleich einem Quotienten, indem im Zähler die Differenz zwischen der Einzahlung eS1 und dem Investitions-volumen aS0 und im Nenner das Investitionsvolumen aS0 steht.

Zu dieser Berechnungsformel für den einperiodigen Fall gelangen wir auch, in-dem wir folgende Gleichung nach der darin enthaltenen Unbekannten, dem inter-nen Zinsfuß, auflösen:

Die Ausgangsgleichung für diese Berechnung ist die Kapitalwertformel für deneinperiodigen Fall, in der jedoch der Kalkulationszinsfuß nicht vorgegeben, son-dern so zu bestimmen ist, daß der Kapitalwert Null wird. Der interne Zinsfuß istalso formal derjenige Kalkulationszinsfuß, bei dessen Verwendung als Kalkula-tionszins der Kapitalwert Null wird. Diesen Zusammenhang kann man nutzen, umden internen Zinsfuß als Nullstelle der Kapitalwertfunktion in Abhängigkeitvom Kalkulationszins i zu bestimmen.In der Abbildung 70 ist die Kapitalwertfunktion für den betrachteten einperiodi-gen Fall dargestellt. Der interne Zinsfuß rS ist derjenige Kalkulationszinsfuß i, bei

eS1

1+ rS

− aS0 = 0 oder eS1 − aS0 ∑(1 + rS) = 0

oder

aS0 ∑(1 + rS) = eS1 oder (1 + rS) = eS1

aS0

oder

rS = eS1

aS0

−1 = eS1 − aS0

aS0

.

rS = eS1 − aS0

aS0

= 120 −100100

= 0,2

Zeitpunkt 0 1Investition -100 120


dem die Kapitalwertfunktion in Abhängigkeit vom Kalkulationszinsfuß ihre Null-stelle hat. Aus der nebenstehenden Tabelle zur Abbildung 70 ist ersichtlich, daßes einen Pol mit Vorzeichenwechsel bei i = -1 gibt. Eine Polstelle bei i = -1 istfür jede Kapitalwertfunktion charakteristisch. Die Kapitalwertfunktion in Abhän-gigkeit vom Kalkulationszinsfuß hat nur eine einzige Nullstelle, nämlich bei i =0,2 = rS. Es gibt einen eindeutigen positiven internen Zinsfuß. Sofern Kapital-marktanlagen nur eine Verzinsung von i = 0,1 im Entscheidungszeitpunkt erbrin-gen, ist die Sachinvestition mit rS = 0,2 vorzuziehen.

Betrachten wir nun die folgende zweiperiodige Investition:

Ausgehend von der dafür geltenden Kapitalwertformel erhalten wir:eS2

(1+ rS)2 − aS0 = 0 oder eS2 − aS0 ∑(1 + rS)2 = 0

oder

aS0 ∑(1 + rS)2 = eS2 oder (1 + rS) = ± eS2

aS0

2

oder

Zeitpunkt 0 1 2Investition 1 -100 0 130

Zeitpunkt 0 1Investition -100 120Interner Zinsfuß 0,2

Kalkulationszins Kapitalwert-1,5 -340

-1,25 -580-1,01 -12100

-1 DIV/0!-0,99 11900-0,75 380-0,5 140

-0,25 600 20

0,1 9,09090910,2 00,3 -7,69230770,4 -14,2857140,5 -200,6 -250,7 -29,4117650,8 -33,3333330,9 -36,8421051 -40

1,1 -42,8571431,2 -45,454545

Abbildung 70: Kapitalwertfunktion für eine einperiodige Investition

0 0,5 1 1,50-0,5-1-1,5

0

20

40

60

80

100

0

-20

-40

-60

-80

-100

Kalkulationszins

Kap

italw

ert


Die (beiden1) internen Zinsfüße lassen sich für diesen Fall – eine Einzahlung imZeitpunkt T, eine Auszahlung im Zeitpunkt 0 – sehr einfach ermitteln, indem mandie T-te Wurzel aus dem Quotienten "Einzahlung eST zu Investitionsvolumen aS0"berechnet und um 1 vermindert. Nach Umformung erhalten wir einen Bruch, der zwar für die Berechnungnicht so günstig ist, aber die formale Struktur einer Rentabilitätskennzifferaufweist. Im Zähler dieses Bruches steht eine Überschußgröße und im Nenner dasInvestitionsvolumen. Das Problem hierbei ist, daß der Minuend in dieser Über-schußgröße eine künstliche, nur errechnete, nicht aber beobachtbare Zah-lung darstellt und außerdem wegen des Wurzelausdrucks sowohl positiv als auchnegativ sein kann.Bezogen auf unser Zahlenbeispiel gilt damit:

Wir erhalten zwei interne Zinsfüße, wobei der erste Zinsfuß als durchschnittlicheVerzinsung des eingesetzten Kapitals interpretiert werden kann. Denn wenn wirzur Finanzierung unserer Investition Fremdkapital vom Kapitalmarkt im VolumenFK0 = aS0 = 100 aufnehmen müßten, so wäre dies sinnvoll, solange dessen Ver-zinsung i nicht größer als der erste interne Zinsfuß von rS1 = 0,140175 ist. Isti = 0,1, so wäre die betrachtete Sachinvestition als vorteilhaft anzusehen. Bis zueinem Fremdkapitalkostensatz imax = rS1 wäre unsere Sachinvestition jedochnoch finanzierbar. Diese Grenzsituation ist nachfolgend dargestellt:

Der zweite interne Zinsfuß von rS2 = -2,140175, der links von der der Polstelleangesiedelt ist (vgl. Abbildung 71), ist hingegen ökonomisch nichtinterpretierbar2.

Zeitpunkt 0 1 2Investition 1 -100 0 130Fremdkapital 100 -130Fremdkapitalzins imax 0,1401754Interner Zins rS1 0,1401754

rS = ± 130100

2 −1 = ± 130∑1002 −100100

oderrS1 = +1,140175 −1 = 0,140175 und rS2 = −1,140175 −1 = −2,140175.

rS = ± eS2

aS0

2 −1 =± eS2 ∑a S0

2 − aS0

aS0

oder ± verallgemeinert für den Fall einer einzigen Einzahlung in T ±

rS = ± eST

aS0

T −1 =± eST ∑a S0

T − aS0

aS0

.


1 Zwei interne Zinsfuße (positiver und negativer Wurzelausdruck!) ergeben sich, wenn T geradzahlig ist; für T un-gerade gibt es nur einen (positiven) Wurzelausdruck.

2 Vgl. Kilger, Wolfgang: Zur Kritik am internen Zinsfuß, in: Zeitschrift für Betriebswirtschaft 1965, S. 776-777.

In der Abbildung 71 ist der Graph der Kapitalwertfunktion

für die betrachtete zweiperiodige Sachinvestition dargestellt, in der der Kalkula-tionszinsfuß i die unabhängige Variable ist. Wir erkennen, daß diese Kapitalwert-funktion eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei i = -1 hat. Davor verläuft dieKapitalwertfunktion monoton ansteigend, danach monoton fallend. Die erste Null-stelle ist, wie schon erwähnt, bei i = -2,140175, die zweite Nullstelle bei i =0,140175.

Betrachten wir die nun nachfolgende zweiperiodige Investition:

Ausgehend von der dafür geltenden Kapitalwertformel erhalten wire1

(1 + rS01)+ e2

(1 + rS02 )2 − aS0 = 0 ∑(1 + rS02 )2

oder wegen rS01 = rS12 = rS02 = rS

e1 ∑(1 + rS) + e2 − aS0 ∑(1 + rS)2 = 0 :(−aS0 )oder

Zeitpunkt 0 1 2Investition 2 -100 40 80

Zeitpunkt 0 1 2Investition 1 -100 0 130Interner Zinsfuß 1 0,1401754Interner Zinsfuß 2 -2,1401754

Kalkulationszins Kapitalwert-3 -67,5

-2,75 -57,55102-2,5 -42,222222-2,25 -16,8

-2,140175425099 0-2 30

-1,75 131,11111-1,5 420-1,25 1980-1,01 1299900

-1 DIV/0!-0,99 1299900-0,75 1980-0,5 420-0,25 131,11111

0 300,140175425099 0

0,25 -16,80,5 -42,2222220,75 -57,55102

1 -67,5

Abbildung 71: Kapitalwertfunktion für eine zweiperiodige Investition 1

0 0,5 10-0,5-1-1,5-2-2,5-3

0

20

40

60

80

100

0

-20

-40

-60

-80

-100

Kalkulationszins

Kap

italw

ert

eS2

(1+ i)2 − aS0 = 130(1+ i)2 −100


Die Berechnung ist für diesen Fall einer zweiperiodigen Investition etwasschwieriger, aber läßt sich noch ohne Näherungsverfahren mit Hilfe einer quadra-tischen Ergänzung lösen. Auch ist bezogen auf diesen Fall eine Darstellung mög-lich, die die formale Struktur einer Rentabilitätskennziffer aufweist. Es gilt jedochwiederum, daß der Minuend der Überschußgröße nur eine künstliche, errechne-te, nicht beobachtbare Zahlung darstellt und sowohl positiv als auch negativsein kann, je nachdem, wie groß der Wert der inneren Klammer ist. Sofern es sichbei den künftigen Zahlungen um echte Einzahlungsüberschüsse, wie unterstellt,handelt, gibt es zwei reelle Lösungen, die beide jedoch durchaus negativ seinkönnen, wenn der Minuend (also die äußere Klammer im Bruch!) sowohl unterBerücksichtigung der positiven als auch der negativen Wurzel kleiner als der Sub-trahend, also das Investitionsvolumen aS0, ist. Letzteres ist der Fall, wenn dieSumme der unabgezinsten echten Einzahlungsüberschüsse kleiner als das Investi-tionsvolumen ist, also eS1 + eS2 < aS0 gilt. Dies leuchtet unmittelbar ein, weil danndie Investition nicht in der Lage ist, das investierte Kapital zurückzugewinnen. Bezogen auf unser Zahlenbeispiel gilt damit:

rS =

12∑40 ± 402 + 4∑100∑80⎡

⎣⎢⎤⎦⎥−100

100oderrS1 = 0,116515 und rS2 = −1,716515.

(1 + rS)2 − e1

aS0

∑(1 + rS) − e2

aS0

= 0 Quadratische Ergänzung zu (a2 − 2ab + b2 )

oder

(1 + rS)2 − e1

aS0

∑(1 + rS) + e12

4∑a S02

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −

e12

4∑a S02 − e2

aS0

= 0

oder

(1 + rS) ± e1

2∑a S0

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

2

− e12

4∑a S02 − e2

aS0

= 0

oder

(1 + rS) ± e1

2∑a S0

= ± e12

4∑a S02 + e2

aS0

2

oder

rS = ± 12∑a S0

∑ e 12 + e2 ∑4∑a S0

2 + e1

2∑a S0

−1

oder

rS =

12∑e 1 ± e1

2 + 4∑a S0 ∑e 22⎡

⎣⎢⎤⎦⎥− aS0

aS0

.


Wir erhalten zwei interne Zinsfüße, wobei der erste interne Zinsfuß als durch-schnittliche Verzinsung des eingesetzten Kapitals interpretiert werden kann. Denn wenn wir zur Finanzierung unserer Investition Fremdkapital vom Kapital-markt im Volumen FK01 + FK02 =35,825757 + 64,174243 = aS0 = 100 aufnehmenmüßten, so wäre dies sinnvoll, solange dessen Verzinsung i nicht größer als dererste interne Zinsfuß von rS1 = 0,116515 ist. Ist i = 0,1, so wäre die betrachteteSachinvestition als vorteilhaft anzusehen. Bis zu einem Fremdkapitalkostensatzi = rS1 wäre unsere Sachinvestition jedoch noch finanzierbar. Diese Grenzsi-tuation ist nachfolgend dargestellt:

Der zweite interne Zinsfuß von rS2 = -1,716515, der links von der Polstelle liegt,ist ökonomisch nicht interpretierbar.In der Abbildung 72 ist die für dieses Beispiel geltende Kapitalwertfunktion inAbhängigkeit vom Kalkulationszinsfuß dargestellt, wobei diese Funktion beii = –1 einen Pol ohne Vorzeichenwechsel hat.

Zeitpunkt 0 1 2Investition 2 -100 40 80Interner Zinsfuß 1 0,116515Interner Zinsfuß 2 -1,716515

Kalkulationszins Kapitalwert-3 -100

-2,75 -96,734694-2,5 -91,111111-2,25 -80,8

-2 -60-1,75 -11,111111

-1,716515138991 0-1,5 140-1,25 1020-1,01 795900

-1 DIV/0!-0,99 803900-0,75 1340-0,5 300-0,25 95,555556

0 200,116515138991 0

0,25 -16,80,5 -37,7777780,75 -51,020408

1 -60


0 0,5 10-0,5-1-1,5-2-2,5-3

0

20

40

60

80

100

0

-20

-40

-60

-80

-100

Kalkulationszins

Kap

italw

ert

Zeitpunkt 0 1 2Investition 2 -100 40 80Fremdkapital FK01 35,825757 -40Fremdkapital FK02 64,174243 -80Fremdkapitalzins imax 0,1165151Interner Zins rS1 0,1165151


Bislang haben wir nur Beispiele betrachtet, in denen einer der internen Zinsfüßenicht ökonomisch zu interpretieren war, also jenseits der Polstelle lag. Es sei nundie folgende zweiperiodige Investition betrachtet:

Es handelt sich um eine Investition mit einer Anfangsauszahlung und einerSchlußauszahlung sowie einer zwischenzeitlichen Einzahlung, die jedoch absolutgrößer als die beiden Auszahlungen ist. Die Berechnung kann mit der zuvor ent-wickelten Formel durchgeführt werden, wenn für eS2 = -70 eingesetzt wird. Manerhält jetzt rechts von der Polstelle zwei interne Zinsfüße (vgl. Abbildung 73),nämlich rS1 = 0,4 und rS2 = -0,5. Die Interpretation dieses Ergebnisses ist schonein wenig problematischer.

Die Äquivalenzrelation, die zur Gleichbeurteilung von Durchführung undUnterlassung der Sachinvestition, also zu KS0 = 0, führt, ergibt sich, wenn Ka-pitalmarktgeschäfte zum internen Zinsfuß der Sachinvestition abgewickeltwerden müßten. Denn um die gleichen künftigen Zahlungen wie aus der Sachin-vestition über Kapitalmarkttransaktionen zu erhalten, die zum internen Zinsfuß rS1= 0,4 = i abgewickelt werden, müßten folgende Kapitalmarktgeschäfte im Ent-scheidungszeitpunkt abgeschlossen werden:

Zeitpunkt 0 1 2Investition 3 -100 190 -70Interner Zinsfuß 1 0,400000Interner Zinsfuß 2 -0,500000

Kalkulationszins Kapitalwert-2 -360

-1,75 -477,77778-1,5 -760-1,25 -1980

-1 DIV/0!-0,75 -460-0,5 0-0,45 14,049587-0,4 22,222222-0,3 28,571429

-0,263157894737 28,928571-0,2 28,125

0 200,1 14,8760330,2 9,72222220,3 4,73372780,4 00,5 -4,44444440,7 -12,4567470,8 -16,0493830,9 -19,390582


0 0,5 1 1,5 20-0,5-1-1,5-2

0

20

40

0

-20

-40

-60

Kalkulationszins

Kap

italw

ert

Zeitpunkt 0 1 2Investition 3 -100 190 -70


Das heißt, man könnte einen Fremdkapitalbetrag in Höhe von 135,71 aufnehmen,dessen Kapitalkostensatz maximal imax = rS1 = 0,4 betragen darf, und man müßtedavon einen Betrag in Höhe von 35,71 auf dem Kapitalmarkt als Finanzinvestitionzu einem Verzinsungssatz von mindestens imin = rS1 = 0,4 anlegen können. Dannverbliebe noch ein Restbetrag in Höhe von 100, der maximal für die Sachinvesti-tion eingesetzt werden könnte. Da Pmax = 100 mit dem tatsächlichen PreisaS0 = 100 übereinstimmt, wäre die Sachinvestition unter diesen Bedingungen ge-rade noch akzeptabel, freilich ohne Vorteil für den Investor.Zur Bevorzugung der Durchführung gegenüber der Unterlassung kommenwir, wenn der tatsächliche Kapitalmarktzins i kleiner als der interne ZinsfußrS1 ist. Wenn auf dem Kapitalmarkt zum Zinsfuß i = 0,1 beliebig Kapital aufge-nommen und angelegt werden kann (stabile Zinsstruktur vorausgesetzt!), könntenwir die folgenden Kapitalmarktgeschäfte im Entscheidungszeitpunkt t = 0 ab-schließen:

Wir erkennen, daß der Investor unter den Bedingungen der tatsächlichen Kapital-marktsituation die Investition durchführen könnte, weil er dafür maximal einenPreis von Pmax = 114,88 zahlen könnte, aber tatsächlich nur einen Preis vonaS0 = 100 zahlen muß.

Schwieriger ist die Interpretation des zweiten internen Zinsfußes rS2 = -0,5. Auchhier ergibt sich die Äquivalenzrelation, die zur Gleichbeurteilung von Durch-führung und Unterlassung der Sachinvestition führt, wenn Kapitalmarktge-schäfte zum internen Zinsfuß der Sachinvestition abgewickelt werden müß-ten. Denn um die gleichen künftigen Zahlungen wie aus der Sachinvestition überKapitalmarkttransaktionen zu erhalten, die zum internen Zinsfuß rS2 = -0,5 = i ab-gewickelt werden, müßten folgende Kapitalmarktgeschäfte im Entscheidungszeit-punkt abgeschlossen werden:

Zeitpunkt 0 1 2Investition 3 -100 190 -70Fremdkapital 1 FK01 172,73 -190Finanzinvestition 1 aF02 -57,85 70Maximal zahlbarer Preis Pmax 114,88Fremdkapitalzins i 0,1Finanzinvestitionszins i 0,1Interner Zins rS1 0,4

Zeitpunkt 0 1 2Investition 3 -100 190 -70Fremdkapital 1 FK01 135,71 -190Finanzinvestition 1 aF02 -35,71 70Maximal zahlbarer Preis Pmax 100Fremdkapitalzins imax 0,4Finanzinvestitionszins imin 0,4Interner Zins rS1 0,4


Das heißt, der Investor müßte im Entscheidungszeitpunkt Fremdkapital in Höhevon 380 aufnehmen können, für das er jedoch im Zeitpunkt t = 1 lediglich dieHälfte, nämlich 380 • (1 + (-0,5)) = 190, zurückzuzahlen braucht. Zugleich müßteer einen Teil des aufgenommenen Fremdkapitals in Höhe von 280 auf dem Fi-nanzmarkt verlustreich anlegen, so daß er im Zeitpunkt t = 2 lediglich ein Viertelseines dafür aufgewendeten Kapitals wieder zurückerlangt, nämlich 280 • (1 + (-0,5))2 = 70. Dies ist sicherlich keine praktisch relevante Situation. Zwar mag jeder gern Kapi-tal aufnehmen wollen, wofür er nur weniger in Zukunft zurückzahlen muß, aber esdürften die Kapitalgeber fehlen, die zu diesen (im Zeitpunkt des Geschäftsab-schlusses bekannten!) Bedingungen freiwillig Kapitalmarktgeschäfte abzuschlie-ßen bereit wären. Denn für die Interpretation des zweiten internen ZinsfußesrS2 = -0,5 ist es bedeutsam, daß die Bedingungen von Kapitalmarkttransaktionenim Zeitpunkt des Geschäftsabschlusses festgelegt werden und damit ex ante be-kannt sind, so daß man sich auch nicht mit Argumenten einer ex post-Betrachtungdavonstehlen kann. Wir wollen dieses Problem eines negativen zweiten internen Zinsfußes hier zu-nächst nicht weiter verfolgen, und zwar wegen der offensichtlichen praktischen Ir-relevanz der unterstellten Kapitalmarktsituation. Festzuhalten ist nur, daß auch derzweite, der negative interne Zinsfuß eine rechnerische Äquivalenzrelation be-schreibt. Ob auf seiner Basis trotz ökonomischer Irrelevanz dennoch einesinnvolle Entscheidung getroffen werden könnte, soll zunächst offenbleiben. Dafür wollen wir die nachfolgende zweiperiodige Investition uns ein wenig nä-her betrachten:

Auch diese hat wie die vorherige eine Anfangsauszahlung und eine Schlußauszah-lung sowie eine zwischenzeitliche Einzahlung, die unabgezinst jedoch kleiner alsdie Summe der beiden Auszahlungen ist.In der nachfolgenden Abbildung 74 ist der Graph der Kapitalwertfunktion dieserInvestition in Abhängigkeit vom Kalkulationszinsfuß dargestellt. Auch diese Inve-stition hat zwei interne Zinsfüße. Beide sind jedoch diesmal positiv. Der ersteinterne Zinsfuß ist rS1 = 0,2. Der zweite interne Zinsfuß ist geringer, nämlichrS2 = 0,125. Unser Investor hat keine Bedenken, diese Investition durchzuführen,da auf dem Kapitalmarkt ein Zins in Höhe von i = 0,1 gelten soll. Denn gleich-gültig, welchen internen Zinsfuß der Investor zum Vergleich heranzieht, je-

Zeitpunkt 0 1 2Investition 4 -400 930 -540

Zeitpunkt 0 1 2Investition 3 -100 190 -70Fremdkapital 1 FK01 380,00 -190Finanzinvestition 1 aF02 -280,00 70Maximal zahlbarer Preis Pmax 100Fremdkapitalzins imax -0,5Finanzinvestitionszins imin -0,5Interner Zins rS2 -0,5


der interne Zinsfuß r ist größer als der geltende Kapitalmarktzins i und er-füllt das schon zitierte Vorteilhaftigkeitskriterium der internen Zinsfußme-thode: r > i. Skeptisch hinsichtlich der Empfehlung "Investition ist vorteilhaft!"sollte man indes sein, weil das Deckungskriterium nicht erfüllt ist; denn dieSumme aller Auszahlungen ist größer als die Summe der Einzahlungen.

Ein Blick auf die Kapitalwertfunktion zeigt denn auch, daß der Schluß des In-vestors, daß diese Investition bei einem geltenden Kapitalmarktzins von i =0,1 wegen rS1 = 0,2 > i = 0,1 und rS2 = 0,125 > i = 0,1 vorteilhaft sei, falsch ist.Denn bei einem Kalkulationszinsfuß von i = 0,1 ist der Kapitalwert -0,826446,d.h., der maximal zahlbare Preis liegt offenbar bei der geltenden Kapitalmarktsi-tuation unter der Anfangsauszahlung:

Zeitpunkt 0 1 2Investition 4 -400 930 -540Interner Zinsfuß 1 0,2Interner Zinsfuß 2 0,125

Kalkulationszins Kapitalwert0,09 -1,29618720,095 -1,05085380,1 -0,8264463

0,105 -0,62242790,11 -0,43827610,115 -0,27348230,12 -0,1275510,125 00,13 0,10964050,135 0,20182810,14 0,27700830,145 0,33561530,15 0,37807180,155 0,404790,16 0,41617120,165 0,41260660,17 0,39447730,175 0,36215480,18 0,31600110,185 0,25636920,19 0,18360290,195 0,09803750,2 0

0,205 -0,11019090,21 -0,23222460,215 -0,36579790,22 -0,51061540,225 -0,6663890,23 -0,83283760,235 -1,00968710,24 -1,19667010,245 -1,39352590,25 -1,6


0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2 0,22 0,24 0,26

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0

-0,1

-0,2

-0,3

-0,4

-0,5

-0,6

-0,7

-0,8

-0,9

-1

Kalkulationszins

Kap

italw

ert


Dieses Beispiel sollte zeigen, daß die Vorstellung, ein über dem Kalkulationszinsliegender interner Zinsfuß führe zwangsläufig zur Beurteilung als vorteilhafteSachinvestition, problematisch ist.Die Problematik dieser Ansicht ergibt sich aus der Ermittlung des internen Zinsfu-ßes über die Kapitalwertfunktion. Die Kapitalwertfunktion ordnet jedem Kalkula-tionszinsfuß (und damit jedem möglichen Kapitalmarktzins auf dem vollkomme-nen Kapitalmarkt!) i innerhalb des ökonomisch relevanten Definitionsbereichs,nämlich i > -1 (rechts von der Polstelle!), bei stabiler Zinsstruktur (und nur in die-ser Situation!) einen Kapitalwert zu. Sofern die Kapitalwertfunktion in Abhängig-keit vom Kalkulationszinsfuß die Abszisse schneidet, trennt der interne Zinsfußals Nullstelle der Kapitalwertfunktion in einem lokalen Bereich die möglichenKapitalmarktzinsfüße, bei denen die Investition vorteilhaft ist, von denjenigen, beidenen die Investition nicht vorteilhaft ist, wobei der Begriff "Investition" hier-bei als "jede beliebige Zahlungsreihe" zu verstehen (also weiter als bisher ge-faßt wird!) ist. Ob die Kalkulationszinsfüße (und damit die möglichen Kapital-marktzinssätze!), bei denen eine Investition vorteilhaft ist, kleiner oder größer alsder interne Zinsfuß (Nullstelle!) sind, hängt vom Verlauf der Kapitalwertfunktionin dem jeweiligen lokalen Bereich um die Nullstelle ab.Schneidet die Kapitalwertfunktion die Abszisse von oben nach unten, wie diesetwa in der Abbildung 74 beim internen Zinsfuß rS1 = 0,2 der Fall ist, so liegendiejenigen Kalkulationszinssätze und damit möglichen Kapitalmarktzinssätze,bei denen die Investition vorteilhaft ist, links von der Nullstelle (= internerZinsfuß rS1 = 0,2!), d.h., im Bereich 0,125 < i < 0,2. Die Kalkulationszinssätzeund möglichen Kapitalmarktzinssätze, bei denen die Investition nicht vorteil-haft ist, liegen im Fall, daß die Kapitalwertfunktion die Abszisse von oben nachunten schneidet, rechts von der Nullstelle, d.h., im Bereich i > 0,2.Schneidet die Kapitalwertfunktion die Abszisse von unten nach oben, wie dies inder Abbildung 74 beim internen Zinsfuß rS2 = 0,125 der Fall ist, so liegen die-jenigen Kalkulationszinssätze und damit möglichen Kapitalmarktzinssätze, beidenen die Investition vorteilhaft ist, rechts von der Nullstelle (= interner Zins-fuß rS2 = 0,125!), d.h., im Bereich 0,125< i < 0,2. Die Kalkulationszinssätze undmöglichen Kapitalmarktzinssätze, bei denen die Investition nicht vorteilhaftist, liegen im Fall, daß die Kapitalwertfunktion die Abszisse von unten nachoben schneidet, links von der Nullstelle, d.h., im Bereich -1 < i < 0,125.Wenn wir zurückkommen auf die Situation in Abbildung 73 (vgl. S. 222), so kön-nen wir nunmehr sagen, daß auch bezogen auf den negativen Zinsfuß vonrS2 = -0,5 im Vergleich mit dem geltenden Kapitalmarktzinssatz von i = 0,1 eine

Zeitpunkt 0 1 2Investition 4 -400 930 -540Fremdkapital 1 FK01 845,45 -930Finanzinvestition 1 aF02 -446,28 540Maximal zahlbarer Preis Pmax 399,17Fremdkapitalzins i 0,1Finanzinvestitionszins i 0,1Interner Zins rS1 0,2


richtige Beurteilung vorgenommen werden kann. Denn bei diesem negativenZinsfuß von rS2 = -0,5 schneidet die Kapitalwertfunktion die Abszisse von untennach oben, so daß diejenigen Kalkulationszinssätze und damit möglichen Kapi-talmarktzinssätze, für die die Investition als vorteilhaft zu beurteilen ist,rechts von dieser Nullstelle liegen, d.h., im Bereich -0,5 < i < 0,4. In der nachfolgenden Abbildung 75 sind für die in Abbildung 73 dargestellte In-vestition verschiedene Beurteilungszonen mit den Konsequenzen hinsichtlichder Aussage eingetragen, ob die Investition als vorteilhaft oder als unvorteilhaftanzusehen ist.

Da eine Kapitalwertfunktion mathematisch ein Polynom n-ten Grades ist, hat siegrundsätzlich n Nullstellen, wobei aber Mehrfachnullstellen oder Nullstellen au-ßerhalb des Bereichs der reellen Zahlen (komplexe Zahlen) vorkommen können.Es kann auch sein, daß es keine reelle Nullstelle gibt.Allgemein lassen sich drei Fälle bei einer Beurteilung einer Investition (belie-bige Zahlungsreihe!) mit Hilfe des internen Zinsfußes unterscheiden:1. Es gibt keine reelle Nullstelle und damit keinen internen Zinsfuß.Dann ist zu prüfen, ob die Kapitalwertfunktion im positiven oder im negativenBereich verläuft. Verläuft die Kapitalwertfunktion im positiven Bereich, so ist dieInvestition im Vergleich zur Unterlassensalternative vorteilhaft. Anderenfalls soll-te man sie nicht durchführen.

Abbildung 75: Darstellung von Beurteilungszonen der Kapi-talmarktzinssätze im Vergleich zu den internen Zinssätzender Investition

0 0,2 0,4 0,6 0,8 10-0,2-0,4-0,6-0,8-1

0

10

20

30

40

50

0

-10

-20

-30

-40

-50

-60

Kalkulationszins

Kap

italw

ert

Im Bereich dieser Kalkulations-zinssätze Beurteilung alternativ auf

Basis rS1 = 0,4 und rS2 = -0,5möglich:

Sachinvestition vorteilhaft !

Im Bereich dieserKalkulationszinssät-ze Beurteilung auf

Basis rS2 = -0,5 möglich:

Sachinvestition un-vorteilhaft !

Im Bereich dieserKalkulationszinssät-ze Beurteilung auf

Basis rS1 = 0,4 möglich:

Sachinvestition un-vorteilhaft !


2. In der lokalen Nachbarschaft des geltenden Kapitalmarktzinses gibt es nureine reelle Nullstelle.Diese Situation bedeutet nicht, daß es überhaupt nur eine einzige reelle Nullstelle(internen Zinsfuß) gibt, sondern daß der geltende Kapitalmarktzins nicht vonzwei reellen Nullstellen (internen Zinsfüßen) eingerahmt wird. In dieser Situationwird die Investition anhand des dem geltenden Kapitalmarktzins benachbar-ten internen Zinsfußes der Sachinvestition beurteilt. Bei dieser Beurteilung istauf den Verlauf der Kapitalwertfunktion und die Größenrelation von heran-gezogenem internen Zinsfuß und geltendem Kapitalmarktzins abzustellen. Essind dann grundsätzlich vier Beurteilungssituationen möglich:

3. Der geltende Kapitalmarktzins liegt zwischen zwei reellen Nullstellen (inter-nen Zinsfüßen).In dieser Situation wird der geltende Kapitalmarktzinsfuß durch zwei benachbarteinterne Zinsfüße eingerahmt. Die Investition kann auf der Basis jedes dieser in-ternen Zinsfüße zutreffend mit Hilfe des geltenden Kapitalmarktzinses beur-teilt werden. Bei der Beurteilung ist wie im Fall 2 auf den Verlauf der Kapital-wertfunktion und auf die Größenrelation des herangezogenen internen Zinsfußesim Vergleich zum geltenden Kapitalmarktzins abzustellen. Wir erhalten dann be-zogen auf den herangezogenen internen Zinsfuß im Vergleich zum geltendenKapitalmarktzins die gleichen Beurteilungssituationen wie im Fall 2 und die glei-chen Schlußfolgerungen für die Beurteilung der Investition.Zur Erläuterung dieses dritten Falls wird von der Kapitalwertfunktion in Abbil-dung 76 ausgegangen. Die betrachtete Investition 5 hat zwei Nullstellen (interneZinsfüße) im positiven Bereich, nämlich rS1 = 0,2 und rS2 = 0,0625. Der geltendeKapitalmarktzins soll i = 0,1 sein. Es ergibt sich dann die nachfolgende Beurtei-lungsmatrix:

Geht man vom internen Zinsfuß rS1 = 0,2 aus, so ist dieser größer als der gel-tende Kapitalmarktzins i = 0,1. Außerdem gilt bezogen auf diesen internen Zins-fuß, daß die Kapitalwertfunktion die Abszisse von oben nach unten schneidet.Daher wird die Investition als vorteilhaft beurteilt.

Verhältnis von geltendem KapitalmarktzinsKapitalwertfunktion und herangezogenem lokalen internen Zinsfußschneidet die Abszisse i = 0,1 < rS1 = 0,2 i = 0,1 > rS2 = 0,0625

von oben nach unten Sachinvestition vorteilhaft

von unten nach oben Sachinvestition vorteilhaft

Verhältnis von geltendem KapitalmarktzinsKapitalwertfunktion und lokalem internen Zinsfußschneidet die Abszisse i < r i > rvon oben nach unten Investition

vorteilhaft!Investition

nicht vorteilhaft!von unten nach oben Investition

nicht vorteilhaft!Investition vorteilhaft!


Zum gleichen Resultat hinsichtlich der Beurteilung der Investition gelangt man,wenn man sich am internen Zinsfuß rS2 = 0,0625 orientiert. Im Vergleich zumgeltenden Kapitalmarktzins i = 0,1 ist dieser interne Zinsfuß kleiner. Bezogenauf diesen internen Zinsfuß gilt, daß die Kapitalwertfunktion die Abszisse von un-ten nach oben schneidet. Die Schlußfolgerung lautet: Investition ist vorteilhaft!

Die Kritik am internen Zinsfuß als Beurteilungskriterium bezogen auf eine einzel-ne Investition ist, soweit sie an die mögliche Mehrdeutigkeit des internen Zinsfu-ßes anknüpft, unberechtigt. Das in der Literatur zu findende und schon zitierteVorteilhaftigkeitskriterium, nämlich rS > i, geht von einer inhaltlichen Deu-tung des internen Zinsfußes als Renditemaß aus und berücksichtigt nicht denVerlauf der Kapitalwertfunktion. Es ist daher unvollständig.

Zeitpunkt 0 1 2Investition 5 -400 905 -510Interner Zinsfuß 1 0,2Interner Zinsfuß 2 0,0625

Kalkulationszins Kapitalwert0,05 -0,68027210,055 -0,39082680,06 -0,1245995

0,0625 00,065 0,1190240,07 0,34064110,075 0,54083290,08 0,72016460,085 0,87918620,09 1,01843280,095 1,1384250,1 1,2396694

0,105 1,32265920,11 1,38787440,115 1,43578190,12 1,46683670,125 1,48148150,13 1,48014720,135 1,46325370,14 1,43120960,145 1,3844130,15 1,32325140,155 1,24810250,16 1,15933410,165 1,05730440,17 0,94236250,175 0,81484830,18 0,67509340,185 0,52342040,19 0,36014410,195 0,1855710,2 0

0,205 -0,19627760,21 -0,4029779


0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2 0,22

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

Kalkulationszins

Kap

italw

ert


Die inhaltliche Deutung des internen Zinsfußes als Renditemaß ist nur in bezugauf eine reine Investition1 möglich, d.h., in den ersten Zahlungszeitpunkten istdie Summe der Zahlungen bis zum jeweils betrachteten Zeitpunkt stets nega-tiv, und danach folgen nur noch echte Einzahlungsüberschüsse, wobei dieSumme der Einzahlungsüberschüsse die Nettoauszahlungen übersteigt. EineSpezialform der reinen Investition ist die Normalinvestition, bei der die Zah-lungsreihe mit Nettoauszahlungen beginnt und sich mit echten Einzahlungs-überschüssen fortsetzt, wobei die Summe der Einzahlungsüberschüsse dieNettoauszahlungen übersteigt. Diesen Typus der Sachinvestition legt man zu-meist zugrunde, wie wir es – mit Ausnahme unserer Ausführungen zum internenZinsfuß – auch getan haben. In einer solchen Situation gibt es stets einen eindeu-tigen internen Zinsfuß je Investition, wobei die Kapitalwertfunktion die Abszissevon oben nach unten schneidet. Dann kann auch das genannte Vorteilhaftigkeits-kriterium rS > i uneingeschränkt angewandt werden.

Bei jeder Beurteilung auf der Basis der Methode des internen Zinsfußes ist zu be-rücksichtigen, daß der interne Zinsfuß als Nullstelle der Kapitalwertfunktion einimaginärer, d.h. lediglich vorstellbarer und daher nur zufällig geltender Kapital-marktzins ist. Diese Eigenschaft hat er freilich mit allen seinen Vettern im Defini-tionsbereich des Kalkulationszinsfußes im Sinne der unabhängigen Variablen i derKapitalwertfunktion gemeinsam. Während man mit dem geltenden Kapitalmarkt-zins auf dem vollkommenen Kapitalmarkt beliebige Kapitalmarkttransaktionendurchführen kann, kann man es mit dem internen Zins der Sachinvestition alsimaginärem Kapitalmarktzins nicht.Die Mehrdeutigkeit des internen Zinsfußes tritt auf im Zusammenhang mit Ab-weichungen vom Typus der Normalinvestition. In einem solchen Fall treten dieProbleme mit der inhaltlichen Deutung des internen Zinsfußes als Renditemaßdeutlich hervor und haben in der Literatur zu offen ausgesprochenen Zuständender Verwirrung geführt:"Eine Investition hat mehrere (reelle) interne Zinsfüße… Wie soll man ein Pro-jekt beurteilen, das drei verschiedene Renditen gleichzeitig hat? … Eine Investi-tion hat keinen einzigen (reellen) internen Zinsfuß … Hier muß man völlig ver-wirrt sein. Was soll man von einer Investition halten, die überhaupt keine – nichteinmal eine negative – (reelle) interne Verzinsung besitzt?"2

Es besteht indes kein Grund zum Verzweifeln bei der Anwendung der Methodedes internen Zinsfußes, wie wir zuvor gezeigt haben. Der interne Zinsfuß kann un-ter der Voraussetzung einer stabilen Kapitalmarktzinsstruktur, also eines einzigengeltenden Kapitalmarktzinses i, auch dann als Vorteilhaftigkeitskriterium für dieBeantwortung der Frage, ob eine Investition durchgeführt werden soll odernicht, verwendet werden, wenn er sich einer inhaltlichen Deutung als Renditemaßverschließt.


1 Vgl. Witten, Peer, Zimmermann, Horst-Günther: Zur Eindeutigkeit des internen Zinssatzes und seiner numeri-schen Bestimmung, in: Zeitschrift für Betriebswirtschaft 1977, S. 103-105.

2 Kruschwitz, Lutz: Investitionsrechnung, 4. A., Berlin, New York 1990, S. 89-90; im Original mit Klammerzusät-zen.

3. Weitere Berechnungsformeln für den internen ZinsfußWir hatten schon für den Fall einer einperiodigen Investition (vgl. S. 216), einerInvestition mit einer einzigen Einzahlung am Investitionsende (vgl. S. 217-218)sowie einer beliebigen zweiperiodigen Investition (vgl. S. 219-220) die Berech-nungsformeln für den internen Zinsfuß angegeben.Relativ einfach ist die Berechnung des internen Zinsfußes auch für den Fall, daßdie Einzahlungsüberschüsse als gleichbleibende nachschüssige endliche Rentezuzüglich eines Liquidationserlöses in Höhe des Investitionsvolumens, alsoLT = aS0, erwartet werden. Dann gilt:

Der interne Zins ist dann gleich dem Quotienten aus erwartetem Periodenüber-schuß und Investitionsvolumen.Für den Fall, daß die Einzahlungsüberschüsse nur als gleichbleibende nach-schüssige periodische Rente erwartet werden, gilt:

KS0 = eS ∑(1 + rS)T −1rS ∑(1 + rS)T ± aS0 = 0

oder

eS ∑(1 + rS)T −1rS ∑(1 + rS)T = aS0

odereS

aS0

= 1(1 + rS)T −1rS ∑(1 + rS)T

= rS ∑(1 + rS)T

(1 + rS)T −1

oder ± alternativ ±

KS0 = eS ∑(1 + rS)T −1rS ∑(1 + rS)T + LT ∑

1(1 + rS)T ± aS0 = 0

oder wegen LT = aS0

eS ∑(1 + rS)T −1rS ∑(1 + rS)T = aS0 ± aS0 ∑

1(1 + rS)T

oder

eS ∑(1 + rS)T −1rS ∑(1 + rS)T = aS0 1 ± 1

(1 + rS)T

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = aS0 ∑

(1 + rS)T −1(1 + rS)T

oder

eS ∑1rS

= aS0

oder

rS = eS

aS0

.


Für diesen Fall ist eine näherungsweise Ermittlung des internen Zinsfußes mitHilfe des Rentenbarwertfaktors oder des Wiedergewinnungsfaktors möglich.Die Vorgehensweise ist dabei die, daß man zunächst den Quotienten eS/aS0 oderaS0/eS berechnet und dann in finanzmathematischen Tabellen bezogen auf die Nut-zungsdauer T der Sachinvestition denjenigen Wert des Rentenbarwertfaktors oderdes Wiedergewinnungsfaktors sucht, der diesem Quotienten entspricht oder dochnahekommt. Der zu diesem Wiedergewinnungsfaktor (Quotient eS/aS0) oder Ren-tenbarwertfaktor (Quotient aS0/eS) gehörende Zinsfuß (eventuell über eine lineareInterpolation bestimmt!) ist der gesuchte interne Zinsfuß. Die Genauigkeit der Er-mittlung hängt von der Differenziertheit der verwendeten finanzmathematischenTabellen ab. Es soll der interne Zinsfuß für eine Investition ermittelt werden, deren LaufzeitT = 10 beträgt, deren Investitionsvolumen aS0 = 2000 und deren gleichbleibendeEinzahlungsüberschüsse eS = 300 sind. Für die zu betrachtenden Quotienten erhal-ten wir:

Es seien folgende Ausrisse aus finanzmathematischen Tabellenwerken gege-ben:

Gleichgültig, ob man vom Rentenbarwertfaktor (Quotient aS0/eS) oder vom Wie-dergewinnungsfaktor (Quotient eS/aS0) her das Problem löst, stets würde als Lö-sung folgen, daß der interne Zinsfuß der betrachteten Investition im Bereich 8,0%< rS < 8,5% liegt, und zwar näher zu 8,0% als zu 8,5%, im Beispiel bei 0,081442.

Finanzmathematisches Tabellenwerk für Rentenbarwertfaktoren: Jahre Zinssatz

… 7,5% 8,0% 8,5% 9,0% …… … … … … … …9 … 6,378887 6,2468879 6,1190626 5,9952469 …

10 … 6,864081 6,7100814 6,5613481 6,4176577 …11 … 7,3154241 7,1389643 6,9689844 6,8051906 …… … … … … … …

Finanzmathematisches Tabellenwerk für Wiedergewinnungswertfaktoren: Jahre Zinssatz

… 7,5% 8,0% 8,5% 9,0% …… … … … … … …9 … 0,1567672 0,1600797 0,1634237 0,1667988 …

10 … 0,1456859 0,1490295 0,1524077 0,1558201 …11 … 0,1366975 0,1400763 0,1434929 0,1469467 …… … … … … … …

eS

aS0

= rS ∑(1 + rS)10

(1 + rS)10 −1= 300

2000= 0,15

oderaS0

eS

= (1 + rS)10 −1rS ∑(1 + rS)10 = 2000

300= 6,666667.

aS0

eS

= (1 + rS)T −1rS ∑(1 + rS)T .


Falls die Einzahlungsüberschüsse als unendliche nachschüssige gleichbleiben-de Rente erwartet werden, ist die Ermittlung des internen Zinsfußes sehr einfach:

Der interne Zins ist gleich dem Quotienten aus erwarteter Rente und Investitions-volumen.Bei Investitionen mit mehr als zwei Perioden Nutzungsdauer und beliebigen Zah-lungen läßt sich der interne Zinsfuß grundsätzlich über Näherungsverfahren belie-big genau bestimmen. Angesichts der verfügbaren Rechentechnik ist heutzutagedas Problem der Ermittlung des internen Zinsfußes kein Problem mehr. Über dieVisualisierung, nämlich über die Darstellung des Graphen der Kapitalwertfunk-tion in Abhängigkeit vom Kalkulationszinsfuß, ist auch – unter Berücksichtigungder gemachten Ausführungen zum Verlauf der Kapitalwertfunktion und zum Ver-hältnis von geltendem Kapitalmarktzins und Nullstellen der Kapitalwertfunktion– eine richtige Deutung der Ergebnisse der Methode des internen Zinsfußes hin-sichtlich der Vorteilhaftigkeit einer Investition im Vergleich zur Unterlassens-alternative unschwer möglich.4. Zur Anwendbarkeit der internen Zinsfuß-Methode bei der

Wahl zwischen mehreren SachinvestitionenOffen bleibt noch die Frage, ob die Methode des internen Zinsfußes zur Beurtei-lung verschiedener, vorteilhafter alternativer Investitionsobjekte geeignet ist.Dabei kann man sich durchaus auf den Vergleich verschiedener vorteilhafter Nor-malinvestitionen beschränken, bei denen eine inhaltliche Deutung des einen in-ternen Zinsfußes als Renditemaß sinnvoll ist. Eine Antwort auf diese Frage muß vom unterstellten Zielsystem her ausgehen.Der interessierende Sachverhalt war umschrieben worden als Veränderung desZahlungsmittelbestands durch die Investition. Wegen der Annahme einer mo-noton steigenden Höhenpräferenz wird eine möglichst große positive Verände-rung angestrebt. Werden die alternativen Investitionsobjekte nach ihrer Renditegeordnet, so ist damit nicht gewährleistet, daß die Rangfolge der Investitionsob-jekte nach dem internen Zinsfuß mit diesem Ziel übereinstimmt. Dies läßt sich schon anhand einer einperiodigen Entscheidungssituation erläu-tern. In solchen einperiodigen Entscheidungssituationen läßt sich das genannteZiel als Maximierung des Auszahlungsminderbetrags (Kapitalwert) des Inve-stitionsobjekts im Vergleich zu einer einzahlungsgleichen Finanzinvestition oderals Maximierung des Einzahlungsmehrbetrags (Vermögenswert) des Investi-tionsobjekts im Vergleich zu einer investitionsvolumensgleichen Finanzinvestitionkonkretisieren.In der nachfolgenden Abbildung 77 sind die zu beurteilenden alternativen Inve-stitionsobjekte mit ihren charakteristischen Größen wiedergegeben.

KS0 = eS ∑1rs

± aS0 = 0 oder eS ∑1rs

= aS0 oder rS = eS

aS0

.


Wie zu sehen ist, stimmt die Rangfolge der alternativen Investitionsobjektenach dem internen Zinsfuß

rS = eS1 − aS0

aS0

= eS1

aS0

−1

Alter-native

Nr.

Anfangs-auszahlung

aS0

Einzahlung eS1

zt

InternerZinsfuß

rS

Kapitalwert

KS0 bei i = 0,5

Vermö-genswert

VS1 bei i = 0,5

1 4,5 13,824 2,072 4,716 7,0742 4,75 14,5665235 2,06663652 4,96101565 7,441523473 5 15,2587891 2,05175781 5,17252604 7,758789064 5,25 15,902209 2,0289922 5,35147269 8,027209035 5,5 16,4985629 1,99973871 5,49904192 8,248562886 5,75 17,0498711 1,96519498 5,61658075 8,424871137 6 17,558299 1,92638317 5,70553269 8,558299048 6,25 18,0260841 1,88417345 5,76738939 8,651084099 6,5 18,4554818 1,83930489 5,80365453 8,7054817910 6,75663402 18,8586889 1,79113666 5,81582526 8,7237378811 7 19,208 1,744 5,80533333 8,70812 7,25 19,535417 1,69454028 5,77361134 8,6604170113 7,5 19,8330061 1,64440081 5,72200406 8,5830060914 7,75 20,1027039 1,59389728 5,6518026 8,477703915 8 20,3463499 1,54329374 5,56423328 8,3463499116 8,25 20,5656845 1,49281024 5,46045633 8,190684517 8,5 20,7623491 1,4426293 5,34156604 8,0123490518 8,75 20,9378877 1,39290145 5,2085918 7,812887719 9 21,09375 1,34375 5,0625 7,5937520 9,25 21,2312945 1,29527508 4,90419633 7,356294521 9,5 21,3517926 1,24755712 4,73452843 7,1017926422 9,75 21,4564331 1,2006598 4,5542887 6,8314330523 10 21,5463259 1,15463259 4,3642173 6,5463259524 10,25 21,6225075 1,10951293 4,16500503 6,2475075425 10,5 21,6859444 1,06532804 3,95729629 5,9359444426 10,75 21,7375379 1,02209655 3,74169197 5,6125379527 11 21,7781282 0,97982983 3,51875211 5,2781281628 11,25 21,808498 0,93853315 3,28899864 4,9334979629 11,5 21,8293768 0,89820668 3,05291786 4,5793767930 11,75 21,8414442 0,85884632 2,81096282 4,2164442231 12 21,8453333 0,82044444 2,56355556 3,8453333332 12,25 21,8416339 0,78299052 2,31108927 3,466633933 12,5 21,8308954 0,74647163 2,05393025 3,0808953734 12,75 21,8136296 0,71087291 1,79241977 2,6886296535 13 21,7903137 0,67617798 1,52687581 2,2903137236 13,25 21,7613921 0,64236921 1,25759471 1,8863920737 13,5 21,7272789 0,60942807 0,98485262 1,4772789438 13,75 21,6883605 0,57733531 0,70890698 1,0633604739 14 21,6449966 0,54607119 0,42999776 0,6449966440 14,25 21,5975231 0,51561566 0,14834874 0,2225231141 14,3807725 21,5711588 0,5 0 042 14,5 21,5462529 0,48594847 -0,1358314 -0,203747143 14,75 21,4914779 0,45704935 -0,4223481 -0,6335221

Abbildung 77: Zu beurteilende alternative Investitionsobjekte


nicht mit derjenigen nach dem Kapitalwert

oder dem Vermögenswert

überein. Während die Alternative 1 den größten internen Zinsfuß, nämlichrS = 2,072, aufweist, hat die Alternative 10 den größten Kapitalwert, nämlichKS0 = 5,815825, und größten Vermögenswert, nämlich VS1 = 8,723738.

Diese Unterschiede hinsichtlich der Rangfolge alternativer Investitionsobjekte las-sen sich erklären, wenn man die in Abbildung 77 dargestellten einperiodigen In-vestitionsobjekte als Punkte einer stetigen Funktion der Einzahlungen in Abhän-gigkeit von dem Investitionsvolumen sieht (vgl. zur zugrundegelegten Funktion S.66) und auf dieser Basis die Bedingungen für den maximalen internen Zinsfußund für den maximalen Kapitalwert und maximalen Vermögenswert ableitet:

Der interne Zinsfuß wird maximal, wenn die Grenzeinzahlungen e'S1(aS0) gleichdem Verhältnis der Einzahlungen eS1 zum Investitionsvolumen aS0 oder gleichdem um 1 erhöhten jeweiligen internen Zinsfuß rS(aS0) sind.

2. Bedingung für den maximalen Kapitalwert:

KS0 (aS0 ) = eS1

(1+ i)− aS0 → max!,

wenndKS0

daS0

= 1(1 + i)

∑e S1© (aS0 ) −1 = 0

oder1

(1 + i)∑e S1

© (aS0 ) = 1

1. Bedingung für den maximalen internen Zinsfu˚ :

rS(aS0 ) = eS1 − aS0

aS0

= eS1

aS0

−1→ max!,

wenndrS

daS0

= eS1© (aS0 )∑a S0 − eS1 ∑1

aS02 = 0

odereS1

© (aS0 )∑a S0 − eS1 = 0oder

eS1© (aS0 ) = eS1

aS0

= 1 + rS(aS0 ).

VS1 = eS1 − aS0 ∑(1+ i)

KS0 = eS1

(1+ i)− aS0


Der Kapitalwert (Vermögenswert) wird hingegen maximal, wenn die Grenzein-zahlungen e'S1(aS0) gleich dem um 1 erhöhten Kalkulationszinsfuß i, d.h. gleichdem für einperiodige Transaktionen auf dem Kapitalmarkt geltenden Zins im Zeit-punkt t = 0, sind. Da generell rS(aS0) ≠ i gilt, sind folglich die Grenzeinzahlun-gen, bei denen die Bedingung für den maximalen internen Zinsfuß erfüllt ist,nicht mit denjenigen identisch, bei denen die Bedingung für den maximalenKapitalwert oder maximalen Vermögenswert erfüllt ist. Da die Grenzeinzah-lungen zur Ableitung der jeweiligen Maximumbedingungen in Abhängigkeit vomInvestitionsvolumen definiert worden sind, bedeutet dies zugleich, daß das Inve-stitionsvolumen für den maximalen internen Zinsfuß nicht mit demjenigen füreinen maximalen Kapitalwert (Vermögenswert) übereinstimmt. Das heißt, daßschon im einperiodigen Fall Kapitalwert (Vermögenswert) einerseits und internerZinsfuß andererseits sich nicht als sinngleiche Vorteilhaftigkeitskriterienerweisen1.Als Fazit ist festzuhalten, daß das Kriterium der internen Zinsfußmethode nichtmit dem zugrundegelegten Zielsystem kompatibel ist und insofern sich grund-sätzlich nicht zur Beurteilung alternativer Investitionsobjekte eignet2. Die Rang-folge nach dem internen Zinsfuß bei alternativen Investitionsobjekten führt nichtzwingend zur optimalen Alternative bezogen auf das zugrunde gelegte Zielsystem.Dies gilt bezogen auf alternative Normalinvestitionen stets, wenn sich die Ka-pitalwertfunktionen in Abhängigkeit vom Kalkulationszinsfuß nach oder

odereS1

© (aS0 ) = 1+ i.3. Bedingung für den maximalen Vermögenswert:VS1(aS0 ) = eS1 − aS0 ∑(1+ i) → max!, wenndVS1

daS0

= eS1© (aS0 ) −1∑(1+ i) = 0

odereS1

© (aS0 ) = 1+ i.


1 Unzutreffend Schneider, Dieter: Investition, Finanzierung und Besteuerung, 6. A., Nachdruck 1991, S. 79, derbehauptet, daß "Kapitalwert und interner Zinsfuß … sich im einperiodigen Modell als sinngleiche Vorteilhaftig-keitskriterien" erweisen, während dies "(f)ür mehrperiodige Planungen … nicht mehr" gilt. Obwohl Schneider ei-ne Marginalbetrachtung durch Bezeichnungen wie "finanzwirtschaftliches Cournot-Theorem", "Grenzerlös" und"Grenzkosten" (ebenda, S. 77-79) ankündigt, wird von ihm eine solche auf das Kapitalwert- und interne Zinsfuß-Kriterium bezogene Marginalbetrachtung tatsächlich nicht durchgeführt. Denn sein «Grenzerlös E'» ist in unsererBezeichnung die Einzahlung eS1 und seine «Grenzkosten K'» die Anfangsauszahlung aS0. Mit seinen Gleichun-gen (2) und (3) (ebenda, S. 79) beweist er lediglich, daß die Durchführung jeder einperiodigen Normalinvesti-tion lohnend ist, deren interner Zinsfuß (nach seiner Gleichung (3)) größer als der Kapitalmarktzins i ist; denndann gilt, daß der Kapitalwert (nach seiner Gleichung (2)) noch positiv ist. Dies ist ein Ergebnis, das nicht über-rascht, aus dem jedoch nicht auf eine Sinngleichheit von Kapitalwert- und internem Zinsfuß-Kriterium bei ein-periodiger Betrachtung geschlossen werden kann. Insbesondere ergibt sich daraus nicht, daß bei einer Entschei-dung zwischen vorteilhaften alternativen Investitionen zwangsläufig die gleiche optimale Alternative ausge-wählt wird, was bei Sinngleichheit jedoch der Fall sein müßte.

2 Zutreffend Kruschwitz, Lutz: Investitionsrechnung, 4. A., Berlin, New York 1990, S. 85.

beim geltenden Kapitalmarktzins, aber noch vor ihrem jeweiligen internenZinsfuß schneiden, was schon bei einer einperiodigen Investition auftreten kann.Der Kalkulationszinsfuß, bei dem sich die Kapitalwertfunktionen schneiden, istder kritische Zinsfuß ikritisch. Anders ausgedrückt, zu unterschiedlichen Rang-folgen alternativer Normalinvestitionen führen die Methode des internen Zins-fußes und die Kapitalwertmethode (Vermögenswertmethode, Annuitätenmethode)immer dann, wenn der geltende Kapitalmarktzins iKapitalmarkt kleiner odergleich dem kritischen Zinsfuß ikritisch und dieser wiederum kleiner als die in-ternen Zinsfüße rS der verglichenen alternativen Investitionsobjekte ist, alsowenn gilt:

Daß genau dies in bezug auf die Investition 1 und die Investition 10 aus Abbil-dung 77 zutrifft, wird in der nachfolgenden Abbildung 78 gezeigt, in der die Ka-pitalwertfunktionen dieser Investitionen in Abhängigkeit vom Kalkulations-zinsfuß dargestellt sind.

Bis zu einem Kalkulationszinsfuß i < 1,231061 ist der Kapitalwert der Investition1 kleiner als der Kapitalwert der Investition 10. Beim kritischen Zinsfußikritisch = 1,231061 stimmen die Kapitalwerte beider Investitionen überein. Ist derKalkulationszinsfuß i > 1,231061, so ist der Kapitalwert der Investition 1 größer

Zeitpunkt 0 1Investition 1 -4,5 13,824Investition 10 -6,756634 18,858689

Kalkulations-zinsfuß

Kapital-wert 1

Kapital-wert 10

0 9,324 12,1020550,15 7,5208696 9,64222590,3 6,1338462 7,75004980,45 5,0337931 6,24935830,6 4,14 5,03004660,75 3,3994286 4,01975960,9 2,7757895 3,16899171,05 2,2434146 2,4427264

1,231061338 1,6961542 1,69615421,5 1,0296 0,78684151,65 0,7166038 0,3598524

1,791136661 0,4528209 01,95 0,1861017 -0,36385812,072 0 -0,61773792,1 -0,0406452 -0,6731862,25 -0,2464615 -0,95396052,4 -0,4341176 -1,20996082,55 -0,6059155 -1,44432732,7 -0,7637838 -1,65969112,85 -0,9093506 -1,8582733

3 -1,044 -2,04196183,15 -1,1689157 -2,2123716

Abbildung 78: Darstellung von Kapitalwertfunktionen alternativer Investitionsobjekte

Kapitalwert 1 Kapitalwert 10

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,50

0

2

4

6

8

10

12

14

0

-2

-4

iKapitalmarkt ≤ ikritisch < rS.


als der Kapitalwert der Investition 10. Der interne Zinsfuß der Investition 1 be-trägt rS1 = 2,072 und übersteigt damit den internen Zinsfuß rS10 = 1,791137 der In-vestition 10. Als geltender Kapitalmarktzins war in Abbildung 77 iKapitalmarkt =0,5 angenommen. Damit liegt der kritische Zinsfuß ikritisch = 1,231061 einerseitsüber dem geltenden Kapitalmarktzins von iKapitalmarkt = 0,5 und andererseits unterden internen Zinsfüßen rS1 = 2,072 und rS10 = 1,791137. Das heißt, die interneZinsfußmethode muß bei dieser Konstellation zwangsläufig zu einem anderenErgebnis als die Kapitalwertmethode führen.Bezogen auf die Alternativen in Abbildung 77 ergibt sich eine solche unter-schiedliche Rangfolge nach internem Zinsfuß und Kapitalwert bezogen auf die In-vestitionen 1 bis 10, hingegen führen interner Zinsfuß und Kapitalwert zur glei-chen Rangfolge bei den Investitionen 10 bis 43; denn während alle Investitionennach dem internen Zinsfuß geordnet sind (Nr. gibt gleichzeitig Rang an!), weil derinterne Zinsfuß in Abhängigkeit von der Anfangsauszahlung eine streng monotonfallende Funktion ist, gilt für die Investitionen 1 bis 10, daß deren Kapitalwert inAbhängigkeit vom Investitionsvolumen zunächst ansteigt, bei der Investition 10den Maximalwert erreicht und danach fällt. Für den Fall, daß es sich um (beliebig teilbare) Normalinvestitionen handelt unddie Investitionsobjekte sich nicht gegenseitig ausschließen, kann unter der Bedin-gung des vollkommenen Kapitalmarkts der interne Zinsfuß als Rangfolgekrite-rium verwendet werden, um zu entscheiden, welche dieser kombinierbaren In-vestitionen zusammen verwirklicht werden sollen. Es geht dann um die Opti-mierung des Investitionsvolumens. Dies soll unter Verwendung der Daten ausAbbildung 77 mit der nachfolgenden Abbildung 79 kurz erläutert werden, wobeijetzt die Investitionen in Abbildung 77 als sich nicht gegenseitig ausschließendangesehen werden. Alle Investitionen, deren interner Zinsfuß größer oder gleich dem geltenden Kapi-talmarktzins auf dem vollkommenen Kapitalmarkt ist, sollten realisiert werden.Der interne Zinsfuß der jeweiligen Investition ist dabei als Grenzkapitalrentabilitätund ihr jeweiliger Kapitalwert als Grenzkapitalwert deutbar. Auch wenn dieRangfolge der Investitionen nach ihrem internen Zinsfuß und nach ihremKapitalwert unterschiedlich ist, ist der Umfang und die Zusammensetzungdes zu bildenden Investitionsprogramms unter der Bedingung des vollkom-menen Kapitalmarkts davon unabhängig.


Reali-sierteInve-stitio-nenbis Nr.

uztiK

Gesamtin-vestitions-volumen∑aS0

Gesamtein-zahlung∑eS1

Gesamtin-terner Zins-

fuß(Durch-

schnittska-pitalrenta-

bilität) r*S

Gesamtka-pitalwert ∑KS0

bei i = 0,5

Grenzkapi-talwert

(Kapital-wert der je-

weiligenInvestition)

K'S1 bei i = 0,5

Grenzkapi-talrentabili-

tät (interner

Zinsfuß derjeweiligenInvestition)

r'S

GeltenderKapital-

marktzinsi

1 4,5 13,824 2,072 4,716 4,716 2,072 0,52 9,25 28,390523 2,0692458 9,6770156 4,9610156 2,0666365 0,53 14,25 43,649313 2,0631097 14,849542 5,172526 2,0517578 0,54 19,5 59,551522 2,0539242 20,201014 5,3514727 2,0289922 0,55 25 76,050084 2,0420034 25,700056 5,4990419 1,9997387 0,56 30,75 93,099956 2,0276408 31,316637 5,6165808 1,965195 0,57 36,75 110,65825 2,011109 37,02217 5,7055327 1,9263832 0,58 43 128,68434 1,992659 42,789559 5,7673894 1,8841735 0,59 49,5 147,13982 1,9725216 48,593214 5,8036545 1,8393049 0,510 56,256634 165,99851 1,9507366 54,409039 5,8158253 1,7911367 0,511 63,256634 185,20651 1,9278591 60,214372 5,8053333 1,744 0,512 70,506634 204,74193 1,9038675 65,987984 5,7736113 1,6945403 0,513 78,006634 224,57493 1,8789209 71,709988 5,7220041 1,6444008 0,514 85,756634 244,67764 1,8531628 77,36179 5,6518026 1,5938973 0,515 93,756634 265,02399 1,8267225 82,926024 5,5642333 1,5432937 0,516 102,00663 285,58967 1,7997166 88,38648 5,4604563 1,4928102 0,517 110,50663 306,35202 1,77225 93,728046 5,341566 1,4426293 0,518 119,25663 327,28991 1,7444168 98,936638 5,2085918 1,3929015 0,519 128,25663 348,38366 1,7163013 103,99914 5,0625 1,34375 0,520 137,50663 369,61495 1,6879791 108,90333 4,9041963 1,2952751 0,521 147,00663 390,96674 1,6595177 113,63786 4,7345284 1,2475571 0,522 156,75663 412,42318 1,6309775 118,19215 4,5542887 1,2006598 0,523 166,75663 433,9695 1,6024122 122,55637 4,3642173 1,1546326 0,524 177,00663 455,59201 1,5738697 126,72137 4,165005 1,1095129 0,525 187,50663 477,27796 1,5453924 130,67867 3,9572963 1,065328 0,526 198,25663 499,01549 1,5170179 134,42036 3,741692 1,0220966 0,527 209,25663 520,79362 1,4887795 137,93911 3,5187521 0,9798298 0,528 220,50663 542,60212 1,4607066 141,22811 3,2889986 0,9385332 0,529 232,00663 564,4315 1,4328248 144,28103 3,0529179 0,8982067 0,530 243,75663 586,27294 1,4051569 147,09199 2,8109628 0,8588463 0,531 255,75663 608,11827 1,3777224 149,65555 2,5635556 0,8204444 0,532 268,00663 629,95991 1,3505385 151,96664 2,3110893 0,7829905 0,533 280,50663 651,7908 1,3236199 154,02057 2,0539302 0,7464716 0,534 293,25663 673,60443 1,2969794 155,81299 1,7924198 0,7108729 0,535 306,25663 695,39475 1,2706275 157,33986 1,5268758 0,676178 0,536 319,50663 717,15614 1,2445735 158,59746 1,2575947 0,6423692 0,537 333,00663 738,88342 1,2188249 159,58231 0,9848526 0,6094281 0,538 346,75663 760,57178 1,1933878 160,29122 0,708907 0,5773353 0,539 360,75663 782,21677 1,1682672 160,72122 0,4299978 0,5460712 0,540 375,00663 803,8143 1,1434669 160,86956 0,1483487 0,5156157 0,541 389,38741 825,38546 1,1197025 160,86956 0 0,5 0,542 403,88741 846,93171 1,09695 160,73373 -0,1358314 0,4859485 0,543 418,63741 868,42319 1,0744042 160,31139 -0,4223481 0,4570493 0,5

Abbildung 79: Optimierung des Investitionsvolumens


F. "Problem" der Ergänzungsinvestitionen und der Wiederanlageprämisse

Einen breiten Raum in der investitionstheoretischen Literatur nimmt das "Pro-blem" der Ergänzungsinvestitionen und der Wiederanlageprämisse ein. Statt vonErgänzungsinvestition1 wird auch von Komplementärinvestition2, Supple-mentinvestition3, Differenzinvestition4, Zusatzinvestition5 sowie X-Investi-tion6 gesprochen. Die Begriffe Differenzinvestition7 und X-Investition werden da-bei z.T. eingeengt benutzt. Erich Schneider spricht von einer DifferenzinvestitionA–B, "wenn man die Investition B von der Investition A subtrahiert, d.h. (,) wennman die entsprechenden Einnahmenreihen bzw. die entsprechenden Ausgabenrei-hen voneinander subtrahiert"8, und nennt einen Vergleich auf der Basis solcherDifferenzzahlungen die Differenzmethode.Mit dem Begriff der Ergänzungsinvestition soll beschrieben werden, daß sichzwei zu vergleichende alternative Investitionsobjekte in bezug auf ihre Anschaf-fungsauszahlungen, ihre Nutzungsdauer und ihre Einzahlungsüberschüsse unter-scheiden können. Man trennt dabei noch zwischen betragsmäßigen und zeitli-chen Ergänzungsinvestitionen. Betragsmäßige Ergänzungsinvestitionen kön-nen bei einem Vergleich zweier Investitionsobjekte mit übereinstimmender Nut-zungsdauer auftreten, und zwar in der Weise, daß diese unterschiedliche Anfangs-auszahlungen (Anfangsauszahlungsdifferenzinvestition) und/oder unterschiedli-che Einzahlungsüberschüsse (Einzahlungsdifferenzinvestition) haben. ZeitlicheErgänzungsinvestitionen können sich ergeben, wenn die zu vergleichenden Inve-stitionsobjekte bei übereinstimmenden Anfangsauszahlungen und bei (bezogenauf die überlappende Investitionsdauer) übereinstimmenden Einzahlungsüber-schüssen verschieden lange Nutzungsdauern (Nutzungsdauerdifferenzinvesti-tion) haben.In der Abbildung 80 sind die Merkmale der verschiedenen Arten von "rei-nen" Ergänzungsinvestitionen aufgeführt.


1 Vgl. Gutenberg, Erich: Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, 1. Band: Die Produktion, 10. A., Berlin, Heidel-berg, New York 1965, S. 179.

2 Vgl. Pack, Ludwig: Betriebliche Investition, Wiesbaden 1959, S. 161.

3 Vgl. Heister, Matthias: Rentabilitätsanalyse von Investitionen, Köln, Opladen 1962, S. 37.

4 Vgl. Ahlsdorff, Manfred: Zum Problem der Differenzinvestition, in: Zeitschrift für Betriebswirtschaft 1964, S.449-457.

5 Vgl. Buchner, Robert: Zur Fragwürdigkeit der Argumentation für die Prävalenz des internen Zinsfußes als inve-stitionsrechnerisches Auswahlkriterium, in: Die Betriebswirtschaft 1979, S. 625.

6 Vgl. Lücke, Wolfgang: Investitionslexikon, 2. A., München 1991, S. 416.

7 Vgl. Schneider, Erich: Wirtschaftlichkeitsrechnung, Tübingen 1951, S. 38.

8 Ebenda.

Die Berücksichtigung von Ergänzungsinvestitionen wird in der Literatur damit be-gründet, daß die zu beurteilenden Investitionen ansonsten nicht vergleichbarseien1 und "Aussagen über die Vorteilhaftigkeit einer gegenüber einer anderen In-vestition"2 sich nur bei Berücksichtigung von (fiktiven oder echten) Ergänzungs-investitionen machen ließen und daß erst durch die Berücksichtigung von Ergän-zungsinvestitionen aus "mehreren miteinander konkurrierenden Investitionspro-jekten … echte, sich gegenseitig vollständig ausschließende Alternativen"3 ent-stünden. "So kann ein Investor, der liquide Mittel von M0 = 100 (Geldeinheiten)besitzt, nicht zwischen den Projekten A (Anschaffungsausgaben z0 -100) und B(Anschaffungsausgaben z0 = -70) wählen, ohne sich Gedanken darüber zu ma-chen, was er im Falle der Realisierung des Projektes B mit dem Restvermögen(M0 + z0 = 100 - 70 = 30 ) tut"4 . Hier ergeben sich schon sprachliche Verständi-gungsprobleme. Wenn die Projekte A und B miteinander konkurrieren, heißt diesdoch, daß man nicht zugleich A und B realisieren kann, und zwar unabhängig da-von, wieviel liquide Mittel man hat, d.h., unabhängig von der Frage der konkretenFinanzierung. Lassen sich aber A und B nicht zugleich realisieren, dann schließensie einander aus, d.h., sie sind Alternativen. Weshalb daraus erst "echte" Alternati-ven werden sollen, wenn man sich Gedanken über die Restmittelverwendungmacht, leuchtet wenig ein.Die wesentliche Begründung ist jedoch, daß zutreffende Aussagen über die Vor-teilhaftigkeit ("rationale Wahl"5) zwischen mehreren alternativen Investitionennur bei Berücksichtigung von Ergänzungsinvestitionen möglich seien und daß diefinanzmathematischen Methoden implizit mit fiktiven Ergänzungsinvestitionen ar-beiten würden, daß insbesondere die Kapitalwertmethode eine Wiederanlage allerEinzahlungsüberschüsse zum Kalkulationszinsfuß verlange. Daß die Begründung, daß die zutreffende Rangfolge sich gegenseitig ausschlie-ßender, also alternativer Investitionen von der Berücksichtigung von Ergänzungs-

Vergleichzwischen al-

ternativen

Anfangsauszah-lungen

Periodische Ein-zahlungsüber-

schüsse

Nutzungsdauer Art der Ergänzungsin-vestition

InvestitionenA und B ungleich gleich gleich Anfangsauszahlungs-

differenzinvestitionInvestitionen

A und B gleich ungleich gleich Einzahlungs-differenzinvestition

InvestitionenA und B gleich gleich ungleich Nutzungsdauer-

differenzinvestition

Abbildung 80: Arten von "reinen" Ergänzungsinvestitionen


1 Vgl. Busse von Colbe, Walther, Laßmann, Gert: Betriebswirtschaftstheorie, Band 3, Investitionstheorie, 3. A.,Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo, Hong Kong 1990, S. 55, die "(d)ie Vergleichbarkeit …im wesentlichen durch fiktive Ergänzungsinvestitionen hergestellt" sehen; im Original hervorgehoben. Esbleibt dabei unklar, was mit der Einschränkung "im wesentlichen" gemeint ist.

2 Ebenda, S. 59

3 Kruschwitz, Lutz: Investitionsrechnung, 4. A., Berlin, New York 1990, S. 46.

4 Ebenda; so auch schon Schneider, Erich, Wirtschaftlichkeitsrechnung, Tübingen 1951, S. 33, 34.


investitionen abhänge, nicht überzeugt, läßt sich am einfachsten darstellen, wennman einige Klassen von Anwendungsfällen "reiner" Ergänzungsinvestitionen be-

trachtet (vgl. Abbildung 81):

Es bedarf wohl keiner näheren Begründung, daß in diesen Anwendungsfällen "rei-ner" Ergänzungsinvestitionen die Rangfolge zwischen den zu vergleichenden al-ternativen Investitionsobjekten feststeht. Beim Anwendungsfall der "reinen" An-fangsauszahlungsdifferenzinvestition ist die Investition B besser als die Investi-tion A. Es wird das Minimumprinzip als Variante des Wirtschaftlichkeitsprinzipsbenutzt. Beim Anwendungsfall der "reinen" Nutzungsdauerdifferenzinvesti-tion ist die Investition A besser als die Investition C. Es wird das Maximumprin-zip als Variante des Wirtschaftlichkeitsprinzips benutzt. Beim Anwendungsfallder "reinen" Einzahlungsdifferenzinvestition ist die Investition A besser als dieInvestition D. Es wird wiederum das Maximumprinzip als Variante des Wirt-schaftlichkeitsprinzips benutzt.In all diesen Fällen steht die relative Vorziehenswürdigkeit (Rangfolge) eindeutigfest, offen bleibt die absolute Vorziehenswürdigkeit der Alternativen, d.h. imVergleich zur Unterlassensalternative – ein Problem, das sich freilich unabhängigvom "Problem" der Ergänzungsinvestition stellt und für das das Konzept der Er-gänzungsinvestitionen auch nicht gedacht ist.Das "Problem" der Ergänzungsinvestition läßt sich wie viele andere investitions-theoretische Probleme in der deutschsprachigen Literatur auf eine Quelle, nämlichErich Schneider, zurückführen1. Betrachtet werden dabei aber regelmäßig keine"reinen" Ergänzungsinvestitionen, wie dies zum Beispiel bei den folgenden beidensich ausschließenden Investitionen der Fall ist2:

Reine Anfangsauszahlungsdifferenzinvestition:Zeitpunkt 0 1 2 3Investition A -1000 500 500 500Investition B -900 500 500 500

Reine Nutzungsdauerdifferenzinvestition:Zeitpunkt 0 1 2 3Investition A -1000 500 500 500Investition C -1000 500 500

Reine Einzahlungsdifferenzinvestition:Zeitpunkt 0 1 2 3Investition A -1000 500 500 500Investition D -1000 400 400 400

Abbildung 81: Anwendungsfälle "reiner" Ergänzungsinvestitionen


1 Schneider, Erich, Wirtschaftlichkeitsrechnung, Tübingen 1951, S. 32-38.


Investition A und B weisen unterschiedliche Anfangsauszahlungen auf, sie habeneine unterschiedliche Nutzungsdauer und außerdem unterschiedliche Einzahlungs-überschüsse. Mit der Berücksichtigung von Ergänzungsinvestitionen sollen nachherrschender Ansicht diese Zahlungsdifferenzen bis auf einen Zeitpunkt ausgegli-chen werden. Die Vorgehensweise wird dabei anhand von Symbolen allgemeinerläutert. Alle Einzahlungsüberschüsse während der Investitionsdauer sowiedie Anfangsauszahlungsdifferenz werden bis zum Ende der länger dauerndenInvestition auf dem Kapitalmarkt zu künftigen Bedingungen wiederangelegt.Dabei wird unterstellt, daß ein Eigenkapital in Höhe des größeren Anfangs-auszahlungsbetrags zur Verfügung steht. D.h., Ergänzungsinvestitionen undWiederanlageprämisse sind inhaltlich ein und dasselbe.

Die Aufzinsungsfaktoren qt = (1+ i)t werden mit dem Kalkulationszinsfuß i gebil-det. Diese Vorgehensweise unterstellt nicht bloß eine stabile Zinsstruktur imEntscheidungszeitpunkt t = 0, sondern setzt auch voraus, weil künftige Wiederan-lagen betrachtet werden, daß diese Zinsstruktur im Zeitablauf invariant ist. Aufjeden Fall muß der jeweilige tatsächliche künftige Zins bekannt sein. DieseVorgehensweise bezieht künftige Entscheidungen mit in die Überlegungen ein,aber nur soweit sie Kapitalmarkttransaktionen betreffen, nicht etwa auch künftigeweitere Sachinvestitionsentscheidungen. D.h., sie verkürzt die künftigen Entschei-dungssituationen und verletzt zugleich die Prämisse, daß es im Entscheidungszeit-punkt t= 0 um Investitionseinzelentscheidungen gehen soll. Die Wiederanlageprämisse impliziert, daß Entscheidungen über künftige Wieder-anlagen auf der Basis heutiger Informationen heute getroffen werden, wobei essich jedoch nicht um bedingte Entscheidungen, sondern um definitive heutigeFestlegungen für die Zukunft handelt, weil ansonsten im Entscheidungszeitpunktgar keine Entscheidung (Wahl einer Alternative) getroffen werden würde. DieseVorgehensweise begründet zugleich nicht, warum man für heutige rationale Ent-scheidungen solche definitiven Festlegungen über die Zukunft treffen soll, obwohlman die künftigen Anlagebedingungen auf dem Kapitalmarkt nicht kennen kann.

Zeitpunkt 0 1 2 3Investition A -1000 500 500 500Investition B -850 450 780Zahlungsdifferenzen A-B -150 50 -280 500Investition A -aA0 +eA1 +eA2 +eA3Ergänzungsinvestition 1 -eA1 +eA1•q2

Ergänzungsinvestition 2 -eA2 +eA2•qEigenkapital EK0 = aA0 +aA0Summe 0 0 0 +eA3 + eA1•q2 +eA2•q

Investition B -aB0 +eB1 +eB2Ergänzungsinvestition 1 -eB1 +eB1•q2

Ergänzungsinvestition 2 -eB2 +eB2•qEigenkapital EK0 = aA0 +aA0Ergänzungsinvestition 3 -(aA0-aB0) +(aA0-aB0)•q3

Summe 0 0 0 + eB1•q2 +eB2•q +(aA0-aB0)•q3


Die Behauptung, daß zur Kapitalwertmethode Ergänzungsinvestitionen und Wie-deranlage zu künftigen Kapitalmarktzinsen zwangsläufig gehörten, bedeutet zu-gleich eine unbegründete Entwertung des Kapitalwerts als Auswahlregel für In-vestitionen unter der Bedingung des vollkommenen Kapitalmarkts. Denn wennman diese Behauptungen ernstnähme, hieße dies, daß die Kapitalwertmethodeselbst im Modell des vollkommenen Kapitalmarkts wegen der fehlenden Kennt-nis über die künftigen Zinssätze gänzlich unbrauchbar wäre. Die Wiederanlageprämisse verlangt Kenntnisse, die im Modell des vollkom-menen Kapitalmarkts nicht verlangt werden müssen, und ist für die Anwen-dung des Kapitalwertkriteriums unter der Prämisse des vollkommenen Kapi-talmarkts weder erforderlich noch sinnvoll. Mit der Wiederanlageprämisse wird zugleich vollkommen aus dem Auge verlo-ren, daß Wirtschaften und damit auch Investieren letztlich dem Konsum dient.Denn es wird so getan, als ob ein Investor, der heute investieren möchte, erst amEnde der längsten Investitionsdauer – vielleicht! – konsumieren darf; denn derZeitpunkt t = T wäre wieder ein möglicher Zeitpunkt t = 0 und der dann erwarteteEinzahlungsüberschuß ein möglicher Eigenkapitalbetrag, den der Investor erneutinvestieren müßte, usw.. Ein solcher immerwährender Investitionszwang bestehtaber nicht. Die Vertreter der Wiederanlageprämisse erweisen sich so – inmitteneiner hedonistischen Welt und Wissenschaft – als wahre Asketen, zumindest pre-digen sie konsumtive Enthaltsamkeit. Die Vorstellung, daß die Kapitalwertmethode mit einer Wiederanlageprämisseverbunden sei, ist wohl einem Mißverständnis hinsichtlich der Zinseszinsrechnungzu verdanken. Die Kapitalwertmethode benutzt die Zinseszinsrechnung. Bei derZinseszinsrechnung geht es um das exponentielle Wachstum eines Kapitalbetragsin Abhängigkeit von der Anlagedauer und dem Periodenzinssatz. D.h., es geht umdie Frage, auf welchen Betrag ein Anfangskapital nach n Perioden angewachsenist, wenn pro Periode der ursprüngliche Kapitalbetrag zuzüglich der bis dahin an-gefallenen Zinsen mit dem Zinssatz i verzinst wird. Selbstverständlich bedeutetdies nicht, daß man das Instrumentarium der Zinseszinsrechnung nur dann anwen-den darf, wenn ein Kapital und die zwischenzeitlichen Zinsen darauf ständig ange-legt bleiben. Das eine hat mit dem anderen nichts zu tun. Das wäre so, als ob sich jemand über die Ungerechtigkeit beschwert, daß er, ob-wohl er eine 6%ige Verzinsung versprochen bekommen habe, nach n Periodenüber weniger Kapital verfügen könne als jemand, dem nur eine 5%ige Verzinsunggewährt worden sei. Auf Nachfrage legt der Beschwerdeführer freilich dar, daß erseine Zinsen immer abgehoben habe, der andere habe sie dagegen, weil er auf dieZinsen – anders als er – nicht angewiesen sei, stehengelassen. Trotzdem kann manzeigen, daß der Beschwerdeführer den größeren Vorteil hatte. Denn bei einemKalkulationszins von 5% ergäbe sich für seine Anlage ein höherer Kapitalwert alsfür die des von ihm Beneideten. Hat unser Beschwerdeführer die herrschendeLehrbuchmeinung gut gelernt, so wird er – unter ausgiebiger Zitierung der ein-schlägigen Literatur – erwidern, daß man seinen Fall gar nicht mit dem des ande-ren vergleichen könne. Schließlich habe er nicht wiederangelegt. Die Wiederanla-ge sei jedoch für einen Vergleich seines Falls mit dem des anderen unabdingbar.Selbstverständlich ist dieses Argument unseres Beschwerdeführers Unsinn! Daßdiese Erkenntnis sich auch in bezug auf die Wiederanlageprämisse durchsetzen


könnte, erscheint fraglich. Schließlich steht dieser Unsinn seit mehr als vierzigJahren in den Lehrbüchern, und alle haben ihn inzwischen verinnerlicht. Es ist da-her zu befürchten, daß dieses "Problem" auch in Zukunft noch ein Problem blei-ben wird.Wir wollen nunmehr am gleichen Beispiel (vgl. S. 243) zeigen, daß auch ohne Er-gänzungsinvestitionen und Wiederanlageprämisse unser Investor heute vernünftigentscheiden kann:

Der Investor soll über eigene Mittel im Entscheidungszeitpunkt in Höhe von EK0= 1000 verfügen. Auf dem vollkommenen Kapitalmarkt gilt heute ein Zinsfußi = 0,1 (stabile Zinsstruktur). Welche Zinsen in Zukunft gelten werden, weiß derInvestor nicht. Welche Investition, A oder B, soll er durchführen? Was soll er mitden eigenen Mitteln tun? Welche Kapitalmarkttransaktionen sind sinnvoll? Nachdem Kapitalwertkriterium sind beide Investitionsobjekte gegenüber der Unterlas-sensalternative vorteilhaft. Im Vergleich zueinander ist die Investition A besser alsdie Investition B. Das heißt, der Investor sollte die Investition A realisieren.Wie soll er die Investitionsalternativen finanzieren? Hierzu gibt es mehrere Mög-lichkeiten, wobei aus Vereinfachungsgründen lediglich zwei "extreme" Finanzie-rungsstrategien betrachtet werden sollen: 1. Da er über eigene Mittel verfügt in Höhe von EK0 = 1000, könnte er die Inve-stitionen jeweils eigenfinanzieren (Eigenfinanzierungsstrategie). Macht er dies,so hat er bezogen auf die Investition B einen Restbetrag an eigenen Mitteln in Hö-he von ΔEK0 = EK0 - aB0 = 1000 - 850 = 150 noch übrig. Was soll er damit tun?Dies hängt von seinen Konsumpräferenzen ab. Er kann den Restbetrag in t = 0vollständig konsumieren. Er kann ihn vollständig auf dem Kapitalmarkt (mit be-liebiger Anlagefrist!) anlegen. Er kann eine Zwischenstrategie wählen. Wir wol-len annehmen, daß er alles, was aufgrund der Investitionen an Konsum heutemöglich ist, auch heute konsumiert, d.h., daß kein künftiger Konsum geplant sei.Weil der Kapitalwert der alternativen Investitionen positiv ist, sollte im Interessedes heutigen Konsums eine Sachinvestition realisiert werden, während eine Fi-nanzinvestition auf dem Kapitalmarkt keinen zusätzlichen Beitrag zum heutigenKonsum über einen investierten Eigenkapitalbetrag hinaus ermöglicht, so daß einesolche Finanzinvestition unterbleiben kann. Es ergeben sich dann folgende voll-ständige Finanzpläne:

Zeitpunkt 0 1 2 3 Kapitalwert bei i = 0,1Investition A -1000 500 500 500 243,43Investition B -850 450 780 203,72


2. Da der Investor auf dem vollkommenen Kapitalmarkt heute zum Zinssatzi = 0,1 Kapital aufnehmen kann und die alternativen Investitionen eine höhereRendite erwirtschaften, als das aufgenommene Kapital Kosten verursacht, kannder Investor die Investitionen auch vollständig fremdfinanzieren (Fremdfinanzie-rungsstrategie). Dann verbleibt ihm ein Restbetrag an finanziellen Mitteln in Hö-he von ΔEK0 = EK0 =1000. Was soll er damit tun? Dies hängt von seinen Kon-sumpräferenzen ab. Er kann den Restbetrag in t = 0 vollständig konsumieren. Erkann ihn vollständig auf dem Kapitalmarkt (mit beliebiger Anlagefrist!) anlegen.Wir wollen annehmen, daß er alles, was aufgrund der Investition an Konsum heu-te möglich ist, auch heute konsumiert. Wiederum gilt, daß eine Finanzinvestitionauf dem Kapitalmarkt keinen zusätzlichen Beitrag zum heutigen Konsum übereinen investierten Eigenkapitalbetrag hinaus ermöglicht, so daß eine Finanzinve-stition unterbleiben kann. Es ergeben sich dann folgende vollständige Finanzplä-ne:

Vollständiger Finanzplan für Investition A:Zeitpunkt 0 1 2 3Investition A -1000 500 500 500Fremdkapital FK01 454,55 -500Fremdkapital FK02 413,22 -500Fremdkapital FK03 375,66 -500Resteigenkapital ΔEK0 1000Möglicher Konsum 1243,43 0 0 0

Vollständiger Finanzplan für Investition B:Zeitpunkt 0 1 2 3Investition B -850 450 780Fremdkapital FK01 409,09 -450Fremdkapital FK02 644,63 -780Resteigenkapital ΔEK0 1000Möglicher Konsum 1203,72 0 0 0

Vollständiger Finanzplan für Investition A:Zeitpunkt 0 1 2 3Investition A -1000 500 500 500Eigenkapital EK0 1000Zwischensumme 0 500 500 500Fremdkapital FK01 454,55 -500Fremdkapital FK02 413,22 -500Fremdkapital FK03 375,66 -500Möglicher Konsum 1243,43 0 0 0

Vollständiger Finanzplan für Investition B:Zeitpunkt 0 1 2 3Investition B -850 450 780Eigenkapital EK0 850Zwischensumme 0 450 780 0Fremdkapital FK01 409,09 -450Fremdkapital FK02 644,63 -780Resteigenkapital ΔEK0 150Möglicher Konsum 1203,72 0 0 0


Betrachtet man die sich bei diesen Finanzierungsstrategien ergebenden vollständi-gen Finanzpläne, so sieht man, daß diese inhaltlich identisch sind. Sie unterschei-den sich lediglich in der Gliederung der einzelnen Positionen. Ohne Investition Aoder B könnte der Investor in diesem Beispiel einen Konsum in t = 0 von 1000verwirklichen. Entscheidet er sich für Investition A, so erhöht sich die Konsum-möglichkeit unabhängig von der Finanzierungsart um 243,43 auf 1243,43. Ent-scheidet er sich für Investition B, so erhöht sich sein möglicher Konsum in t = 0um 203,72 auf 1203,72. Ein gleiches Phänomen würde eintreten, wenn neben A und B noch eine be-liebig teilbare Normalinvestition X mit beliebigem, aber endlichem Investi-tionsvolumen aX0, die mit A oder B kombiniert werden kann, vorhanden ist,wobei rX stets größer als der Kapitalmarktzins i sein soll. Der Investor sollein beliebiges Eigenkapital EK0 im Entscheidungszeitpunkt t = 0 zur Verfü-gung haben und zusätzlich noch beliebig Fremdkapital FK0t zum Kapital-marktzins i (stabile Zinsstruktur) aufnehmen können. Dann würde ein rationalhandelnder Investor stets auch diese Investition X realisieren, gleichgültig wie ersie im einzelnen durch Eigen- und/oder Fremdkapital finanziert. Der dann ermög-lichte zusätzliche Konsum heute aus dieser Investition X ist stets gleich ihrem po-sitiven Kapitalwert KX0. Der gesamte mögliche Konsum heute wäre dann gleichdiesem Betrag zuzüglich des Kapitalwerts von A oder von B und des vorhande-nen Eigenkapitals EK0, also einerseits EK0 + KX0 + KA0 bei Realisation von Inve-stition A und andererseits EK0 + KX0 + KB0 bei Realisation von Investition B.Man erkennt, daß sich die Rangfolge zwischen den alternativen Investitionen Aund B durch die Berücksichtigung einer damit jeweils kombinierbaren Investi-tion X nicht verändern kann, gleichgültig wie groß deren Kapitalwert ist. Dieseletztere Aussage würde auch bei einem negativen Kapitalwert der sowohl mit Aals auch mit B kombinierbaren Investition X gelten, etwa wenn die Investition Xnicht freiwillig, sondern erzwungenermaßen (stets) durchgeführt werden müßte.Nicht entscheidend für eine vernünftige Wahl zwischen A und B ist es folglich,daß eine zusätzliche Investition X, die neben A oder B treten kann, einen Kapi-talwert von KX0 = 0 hat, wie dies teilweise in der Literatur verlangt wird1. Anderswäre dies, wenn die Investition X nicht in gleicher Weise mit beiden verglichenenalternativen Investitionen A und B kombinierbar wäre. Dann wäre die Alterna-tivenbildung bei alleinigem Vergleich von A und B noch gar nicht sinnvoll abge-schlossen. Fehler, die aus einer solchen unvollständigen Alternativenbildung her-rühren, sollte man indes nicht der Beurteilungsmethode zurechnen.Wir halten fest, daß unser Investor weder eine Anfangsauszahlungsdifferenz-investition getätigt hat noch irgendwelche später anfallenden Einzahlungs-überschüsse auf dem Kapitalmarkt wiederangelegt hat. Letzteres nicht zu-letzt deshalb, weil er die künftigen Anlagebedingungen gar nicht kannte. We-gen seiner ausgeprägten Gegenwartskonsumpräferenz hat der Investor indesFinanzierungstitel (Null-Kupon-Anleihen) emittiert, die im Effekt zu einemVerkauf seiner erwarteten Einzahlungsüberschüsse aus den Investitionen auf



dem vollkommenen Kapitalmarkt zu heutigen Konditionen führen, wie diesetwa theoretisch aus dem Fisher-Hirshleifer-Modell (2. Variante) hergeleitetwerden kann. Selbstverständlich bedeutet dies nicht, daß der Investor in dieserWeise immer handeln müßte, also stets alles heute konsumieren sollte. DiesesBeispiel zeigt aber, daß die Behauptung, daß Ergänzungsinvestitionen und Wie-deranlageprämisse für die Anwendbarkeit der Kapitalwertmethode konstitutivseien, falsch ist. Da es für die Widerlegung einer Aussage reicht, ein Gegenbei-spiel anzuführen, bringt dieses Beispiel die Behauptungen zur Wiederanlageprä-misse und zu Ergänzungsinvestitionen zu Fall.


G. Wahl des Kalkulationszinses als PraxisproblemDie finanzmathematischen Investitionsrechnungsverfahren verlangen einen Kal-kulationszinsfuß, um etwa Abzinsungen vornehmen zu können. Wie dargelegt,muß es sich nicht um einen einheitlichen Zinsfuß handeln. Ein solcher vereinfachtnur die Rechenoperationen. Es muß ein Zinssatz sein, der im Entscheidungszeit-punkt auch realisierbar ist, so daß auf seiner Basis Finanztransaktionen möglichsind. Subjektive Mindestverzinsungsansprüche als Kalkulationszinsfuß genügen die-sem Anspruch nicht. Denn auf ihrer Basis kann kein zutreffender maximal zahlba-rer Preis für ein zu beurteilendes Investitionsobjekt und damit grundsätzlich auchkeine richtige Entscheidung fundiert werden. Gleiches gilt für Kalkulationszinsfü-ße, die aus durchschnittlichen Unternehmensrenditen der Vergangenheit her-geleitet werden.Die finanzmathematischen Investitionsrechnungsverfahren arbeiten mit einemZins, der sich auf dem vollkommenen Kapitalmarkt im Entscheidungszeitpunkteinstellt. Der vollkommene Kapitalmarkt ist sicherlich nur ein theoretisches Mo-dell. Er erscheint daher als unrealistisch. Werden dadurch die finanzmathemati-schen Verfahren unbrauchbar? Sicherlich nicht. Der Zins auf dem vollkommenen Kapitalmarkt drückt eine entgangene Gelegen-heit aus. Er entspricht daher dem Opportunitätskostengedanken. Dies ist unterdem Gesichtspunkt einer rationalen Entscheidungsvorbereitung der richtige An-satz zur Ableitung des Kalkulationszinsfußes. Bei Unternehmen, die unmittelbar Zugang zum organisierten Kapitalmarkt haben,leitet sich der Kalkulationszinsfuß aus den Bedingungen ab, unter denen sie imEntscheidungszeitpunkt Kapital auf dem Kapitalmarkt durch Emission von Finan-zierungstiteln aufnehmen könnten. Der Kapitalmarkt beurteilt dabei zugleich auchdie Bonität und das Standing des Unternehmens, so daß Modifikationen des Kal-kulationszinsfußes wegen des Risikos nicht erforderlich werden. Aber auch Unter-nehmen mit Zugang zum Kapitalmarkt können nicht beliebige Finanzmittel zugleichen Bedingungen aufnehmen. Problematisch ist dies für die Herleitung desKalkulationszinses indes nicht. Denn in der Praxis ist es nicht erforderlich, daßman beliebig viel Kapital aufnehmen kann, sondern es reicht aus, daß man imHinblick auf das zu finanzierende Investitionsvolumen hinreichende Mittel auf-nehmen kann. Ist dies gewährleistet, so kann das Unternehmen bei seinen Ent-scheidungen so verfahren, als ob es auf einem vollkommenen Kapitalmarkt in be-zug auf Kapitalaufnahmen operieren würde. Zugleich besteht auch für solche Un-ternehmen die Möglichkeit, selber als Kapitalanleger auf dem Kapitalmarkt aufzu-treten. Sie könnten Finanzierungstitel von anderen Emittenten vergleichbarer Bo-nität wieder erwerben. Für sie würde dann gelten, daß ihr Anlagezins und ihr Auf-nahmezins als übereinstimmend anzusehen sind.Was ergibt sich aus dem Opportunitätskostengedanken für eine Schlußfolgerung,wenn das Unternehmen keinen unmittelbaren Zugang zum organisierten Kapital-markt hat, um Finanzierungstitel emittieren zu können? Soweit das Unternehmenneues Kapital benötigt, um die zu beurteilenden Investitionsobjekte realisieren zukönnen, ist der Kalkulationszinsfuß aus den Bedingungen abzuleiten, zu denen dasUnternehmen tatsächlich Kapital aufnehmen kann. Hat das Unternehmen genü-


gend eigenes Kapital, so muß es entsprechend dem OpportunitätskostengedankenRenditeforderungen an neue Investitionen stellen, die sich aus den Verzinsungser-wartungen derjenigen Kapitalanlagen herleiten, auf die bei Durchführung der zubeurteilenden Investitionen verzichtet werden muß. Es handelt sich dabei um dieam wenigsten rentierlichen der ansonsten durchgeführten Investitionen. Diese ver-drängten Kapitalanlagen könnten auch vorzeitige Rückzahlungen bestehenderKreditverpflichtungen sein. Wenn deren Bedingungen den aktuellen Kapital-marktentwicklungen Rechnung tragen, so würden sich darin einerseits die allge-meinen Kapitalmarktkonditionen wie auch andererseits die der Bonität des Unter-nehmens entsprechenden speziellen Konditionen widerspiegeln. Im Prinzip würdedann wieder gelten, daß Kapitalaufnahmezins und Kapitalanlagezins für das Un-ternehmen einander weitgehend entsprechen. Das Modell des vollkommenen Ka-pitalmarkts hat also auch in dieser Situation noch nicht ausgedient.


Die Bautreu AG, Jena, möchte aus dem Bestand der Treuhand AG 1000 Wohnein-heiten erwerben. Es handelt sich dabei um folgende Wohneinheiten:

Die noch nicht abgeschlossenen Verhandlungen mit der Treuhand AG haben bis-lang folgende Ergebnisse gebracht:

Die Zahlungsbedingungen sehen vor, daß die Bautreu AG Altschulden im Wertvon 13.000.000 DM übernimmt und der Rest nach Eintragung einer Auflassungs-vormerkung zu zahlen ist. In der Planung geht die Bautreu AG davon aus, daßdies zum 30.6.1993 der Fall sein wird. Der Besitzübergang ist zum 1.1.1993 vor-gesehen. Von diesem Zeitpunkt gehen die Mietverträge auf die Bautreu AG über,zugleich trägt sie von diesem Zeitpunkt ab alle Lasten aus dem Grundbesitz. Be-zogen auf die übernommenen Schulden wird vereinbart, daß diese bis zu zehnJahren tilgungsfrei sind und die Bautreu AG das Recht hat, die Schulden jederzeitvorzeitig zu tilgen. Der Zinssatz paßt sich halbjährlich an die aktuelle Kapital-marktzinsentwicklung an. Die Treuhand AG verlangt, daß die Bautreu AG inner-halb der nächsten zwei Jahre Investitionen von mindestens 50 Millionen DM tä-tigt.Im Kaufvertrag mit der Treuhand AG ist eine Spekulationsklausel enthalten, nachder sich der Kaufpreis bei einer Veräußerung des Wohnungsbestands als Eigen-tumswohnungen oder Mietwohnungen bis einschließlich 30.6.2000 erhöht, wobeider Erhöhungsbetrag bei Verkauf der Wohnungen fällig wird. Im einzelnen siehtdiese Spekulationsklausel folgende Regelungen vor:

Die Bautreu AG hat vor, die erworbene Wohnanlage in der äußeren Gestaltung zusanieren und außerdem die Wohneinheiten selber zu modernisieren. Ferner plantsie, die Wohneinheiten zum 30.6.2002 schuldenfrei an bisherige Mieter oder ansonstige Dritte zu veräußern. Bis dahin geht die Bautreu AG davon aus, daß dieMieterträge (einschließlich der von ihr berücksichtigten steuerlichen Wirkungen)gerade ausreichen werden, alle laufenden Ausgaben einschließlich der in diesemZeitraum erforderlichen, aber nach ihrer Ansicht nicht werterhöhend wirkendenInstandhaltungen sowie der Zinsen auf die übernommenen Altschulden deckenwerden.Die Architekten der Bautreu-AG haben hinsichtlich der auf jeden Fall notwendi-

Bei vorzeitiger Veräußerung der Wohnungen bis zum30.6.1994 30.6.1995 30.6.1996 30.6.1997 30.6.1998 30.6.1999 30.6.2000

Kaufpreiser-höhung um 15.000.000 12.500.000 10.000.000 8.000.000 6.000.000 4.000.000 2.000.000

Preis/Wohneinheit GesamtpreisEinraumwohnungen 10.000 DM 1.000.000 DMZweiraumwohnungen 20.000 DM 6.000.000 DMDreiraumwohnungen 30.000 DM 15.000.000 DMVierraumwohnungen 40.000 DM 4.000.000 DM

Summe 26.000.000 DM

Einraumwohnungen 100Zweiraumwohnungen 300Dreiraumwohnungen 500Vierraumwohnungen 100Summe 1000


gen äußeren Grundsanierung und hinsichtlich der Modernisierungen die folgendenKostenschätzungen erarbeitet:

Die Bautreu AG plant, daß die Sanierungs- und Modernisierungsmaßnahmen imJahr 1993 durchgeführt und abgeschlossen werden können. Als mittleren Zah-lungstermin nimmt sie den 30.6.1993 an, den sie zugleich als Bezugszeitpunkt fürihre Überlegungen wählt. Aufgrund der nach ihrer Ansicht fortdauernden weiteren Enge auf dem Woh-nungsmarkt geht sie davon aus, daß der Preisindex für Wohnungen der verschie-denen Größen und Ausstattungen sich wie folgt entwickeln wird:

Unter Berücksichtigung der Wohnungsgrößen und bezogen auf den geplantenStandard sind jetzt in einer vergleichbaren Stadt und in vergleichbarer Wohnge-gend in Westdeutschland nach Kenntnis der Bautreu AG folgende Preise erziel-bar:

Die Bautreu AG nimmt an, daß sich die Marktverhältnisse für Wohnungen beivergleichbaren Größen und Ausstattungen in Ost und West schnell angepaßt ha-ben werden. Zur Finanzierung des gesamten Vorhabens plant die Bautreu AG die Emissionvon Null-Kupon-Anleihen mit einer Endfälligkeit am 30.6.2002. Wegen der nachihrer Ansicht günstigen augenblicklichen Zinslage, die sie sich sichern möchte,will sie die erforderlichen Finanzmittel sofort (d.h., zum 30.6.1992) aufnehmen.Null-Kupon-Anleihen von Emittenten ihres Standards und dieser Laufzeit werdenzur Zeit zum Kurs von 463.193 DM pro eine Million DM Nennwert gehandelt. Dadie Bautreu AG das Geld jedoch nach ihren Planungen erst zum 30.6.1993braucht, will die Bautreu AG zwischenzeitlich Null-Kupon-Anleihen andererEmittenten mit einer mittleren Endfälligkeit zum 30.6.1993 zum aktuellen Kurs

MittlererStandard

GehobenerStandard

Einraumwohnungen 50.000 DM 65.000 DMZweiraumwohnungen 75.000 DM 95.000 DMDreiraumwohnungen 101.000 DM 130.000 DMVierraumwohnungen 130.000 DM 175.000 DM

Geschätzte durchschnittliche Preissteigerungsrate pro JahrMittlerer Standard Gehobener Standard

Einraumwohnungen 9,0% 5,0%Zweiraumwohnungen 5,0% 6,0%Dreiraumwohnungen 7,5% 5,0%Vierraumwohnungen 5,5% 7,0%

Äußere Grundsanierungfür gesamte Wohnanlage 5.000.000 DM

Modernisierung Mittlerer Standard

GehobenerStandard

Einraumwohnungen 40.000 DM 45.000 DMZweiraumwohnungen 55.000 DM 61.000 DMDreiraumwohnungen 68.000 DM 86.000 DMVierraumwohnungen 75.000 DM 100.000 DM


von 925.926 DM pro eine Million DM erwerben.1. Die Bautreu AG möchte ihre Entscheidung hinsichtlich der Wohnungssanie-rung von Wirtschaftlichkeitsüberlegungen (Vermögenswert zum 30.6.2002, Kapi-talwert zum 30.6.1993) abhängig machen. Sie ist auch bereit, jeweils nur einenTeil der Wohnungen entsprechend den genannten Standards zu modernisieren,wenn dies wirtschaftlich sinnvoll ist.Bereiten Sie die Daten so auf, daß diese Wirtschaftlichkeitsüberlegungen möglichwerden und daß Sie erkennen, daß es sich um eine Entscheidungssituation überdas optimale Investitionsvolumen handelt! Prüfen Sie, ob die von der TreuhandAG verlangten Mindestinvestitionen erreicht werden. 2. Wie verzinsen sich zur Zeit Null-Kupon-Anleihen mit einer zehnjährigerLaufzeit (volle Prozent!)? Wie verzinsen sich zur Zeit Null-Kupon-Anleihen miteiner mittleren Restlaufzeit von einem Jahr (volle Prozent!)? Sehen Sie im weiteren diese Zinsen als repräsentativ für die gesamte zur Zeit(30.6.1992) geltende Zinsstruktur an! Wie qualifizieren Sie diese Zinsstruktur?3. Was schlagen Sie der Bautreu AG im einzelnen hinsichtlich der Modernisie-rung der Einraumwohnungen, Zweiraumwohnungen, Dreiraumwohnungen undVierraumwohnungen vor?4. Sind die vorgesehenen Maßnahmen (Erwerb, Grundsanierung, Modernisie-rung, späterer Verkauf) aus der Sicht der Bautreu AG sinnvoll, wenn sie eine Ein-heitsstrategie (alle Wohnungstypen werden der gleichen Modernisierungsstrategieunterworfen!) realisiert? Was raten Sie der Bautreu AG in dieser Situation hin-sichtlich der Verhandlungen mit der Treuhand AG? Könnte die Bautreu AG beidieser Modernisierungsstrategie das bisher vorliegende Verhandlungsergebnis ak-zeptieren? 5. Wie sieht die Situation aus, wenn die Bautreu AG die beste gemischte Strate-gie hinsichtlich der Modernisierung realisiert? Ist das Verhandlungsergebnis dannfür die Bautreu AG akzeptabel? Wenn die Höhe der Altschulden kein Verhand-lungsgegenstand mehr sind, welchen maximal zahlbaren Barpreis könnte die Bau-treu AG unter Zugrundelegung der gemischten Modernisierungsstrategie geradenoch akzeptieren?6. Stellen Sie in bezug auf die optimale gemischte Modernisierungsstrategie denvollständigen Finanzplan a) ohne Entnahmen und b) unter Berücksichtigung einerannuitären Entnahme zum 30.6.1994 bis 30.6.2002 auf!7. Untersuchen Sie, ob die geplante Investitionsdauer bis zum 30.6.2002 ausder Sicht der Bautreu AG unter Berücksichtigung der vertraglichen Spekulations-dauer sinnvoll ist! Das heißt


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3


a0 400interner Zins 1e1 e2 (e12+4a0e2)0,5/a0 i2 i1

1200 -510 1,9748417658131499 -0,4874209 1,48742091195 -510 1,95580066724602587 -0,4841503 1,47165031190 -510 1,93665304068643127 -0,4808265 1,45582651185 -510 1,91739569468589347 -0,4774478 1,43994781180 -510 1,89802528961023067 -0,4740126 1,42401261175 -510 1,87853832806253916 -0,4705192 1,40801921170 -510 1,85893114450213029 -0,4669656 1,39196561165 -510 1,83919989397563853 -0,4633499 1,37584991160 -510 1,81934053986602519 -0,4596703 1,35967031155 -510 1,79934884055315966 -0,4559244 1,34342441150 -510 1,77922033486580858 -0,4521102 1,32711021145 -510 1,75895032618888928 -0,4482252 1,31072521140 -510 1,73853386507137099 -0,4442669 1,29426691135 -510 1,71796573015878288 -0,4402329 1,27773291130 -510 1,69724040724936784 -0,4361202 1,26112021125 -510 1,67635206624384247 -0,431926 1,2444261120 -510 1,65529453572468486 -0,4276473 1,22764731115 -510 1,63406127486089089 -0,4232806 1,21078061110 -510 1,61264534228701383 -0,4188227 1,19382271105 -510 1,5910393615495501 -0,4142697 1,17676971100 -510 1,56923548264752158 -0,4096177 1,15961771095 -510 1,54722533911515294 -0,4048627 1,14236271090 -510 1,525 -0,4 1,1251085 -510 1,50254991597617149 -0,395025 1,1075251080 -510 1,47986485869487421 -0,3899324 1,08993241075 -510 1,45693385230764681 -0,3847169 1,07221691070 -510 1,43374509589396678 -0,3793725 1,05437251065 -510 1,41028587527493872 -0,3738929 1,03639291060 -510 1,38654246238620475 -0,3682712 1,01827121055 -510 1,3625 -0,3625 11050 -510 1,33814236910726356 -0,3565712 0,9815712

A B C D E F

1

2

3

45678910111213141516171819202122232425262728293031323334


12. Vorlesung:

Investitionseinzelentscheidungen:Statische Investitionsrechnungsmethoden

und Amortisationsrechnung

In dieser Vorlesung werden die sog. statischen Investitionsrechnungsmethodensowie die Amortisationsrechnung behandelt. Im Teil A. werden die Gemein-samkeiten der statischen Investitionsrechnungsmethoden vorgestellt. Zu denstatischen Verfahren gehören die Kostenvergleichsrechnung (Teil B.), die Ge-winnvergleichsrechnung (Teil C.) und die Rentabilitätsvergleichsrechnung(Teil D.). Die Amortisationsrechnung (Teil E.) stellt eine eigene Klasse von In-vestitionsrechnungsverfahren dar, deren Ausprägungen statischer oder dynami-scher Art sein können.

A. Gemeinsamkeiten der statischen Investitionsrechnungsmethoden

Es sind drei Gemeinsamkeiten, die die statischen Investitionsrechnungsmetho-den kennzeichnen:1. Hervorstechendstes gemeinsames Merkmal, das zugleich die Abgrenzung zuden dynamischen Verfahren beinhaltet, ist die Abstraktion von der Zeit bei denstatischen Verfahren. Die Beurteilung eines Investitionsobjekts wird ausschließ-lich von den Konsequenzen einer einzigen Periode abhängig gemacht, so daß aufdie Darstellung der zeitlichen Struktur der Konsequenzen verzichtet wird. Die derBeurteilung zugrunde gelegten Daten können sich dabei entwedera. auf eine reale Periode innerhalb des Investitionszeitraums (Nutzungsdauer)beziehen, die als repräsentativ gilt, weil die in dieser Periode erwarteten Konse-quenzen auch in sämtlichen anderen Perioden nach Art und Umfang ebenfallserwartet werden oder weil sie im Zeitablauf nur geringfügige Schwankungenaufweisen, die man angesichts der in den Daten enthaltenen Unsicherheiten alsvernachlässigbar ansieht, oder b. auf eine fiktive Periode beziehen, deren Daten als echte Durchschnittswerteermittelt werden, weil die prognostizierten Konsequenzen im Zeitablauf größe-ren, nicht vernachlässigbaren Schwankungen unterliegen, wobei jedoch bei derDurchschnittsbildung die tatsächliche zeitliche Struktur der Investitionskonse-quenzen nicht beachtet wird.Häufig geht man in der Praxis indes von den prognostizierten Konsequenzen fürdas erste "normale" Nutzungsjahr des Investitionsobjekts aus und unterstellt perPrämisse, d.h. nicht aufgrund konkreter Planungen und Prognosen, daß diese Kon-sequenzen auch für die weiteren Nutzungsjahre durchschnittlich angenommenwerden können (unechte Durchschnittswerte).2. Die Konsequenzen des Investitionsobjekts werden in periodisierten Erfolgs-größen (Kosten, Erlöse, Gewinne) des betrieblichen Rechnungswesens abge-bildet, nicht in Zahlungsgrößen (Auszahlungen, Einzahlungen).3. Bei den zu beurteilenden Investitionen handelt es sich um alternative Inve-stitionsobjekte, denen isoliert Konsequenzen zugeordnet werden können, so daßdas Merkmal der Investitionseinzelentscheidung, nämlich, daß die Alternativen-bildung schon abgeschlossen ist, gilt.

252 12. Vorlesung: Investitionseinzelentscheidungen: Statische Investitionsrechnungsmethoden

B. KostenvergleichsrechnungIn die Kostenvergleichsrechnung sind generell alle diejenigen Kosten einzubezie-hen, die sich aufgrund der zu beurteilenden Investitionen verändern (relevanteKosten). Kosten, die sich bei allen zu beurteilenden Investitionen in gleicherWeise verändern, brauchen nicht berücksichtigt zu werden, weil durch sie dieRangfolge der Investitionen nicht verändert werden kann. Mit Hilfe der Kosten-vergleichsrechnung kann jedoch bei mehreren zu vergleichenden Alternativenimmer nur die relative Vorziehenswürdigkeit einer Alternative im Vergleich zuden anderen ermittelt werden.Im allgemeinen sind folgende Kostenarten zu berücksichtigen, wobei eine Tren-nung in fixe und variable Kostenbestandteile vorgenommen werden sollte: kal-kulatorische Abschreibungen, kalkulatorische Zinsen, Personalkosten (Ar-beitsentgelte, Personalnebenkosten), Materialkosten (Fertigungsmaterial, Ge-meinkostenmaterial), Energiekosten, Werkzeugkosten, Instandhaltungsko-sten.Die Anwendung des Kostenvergleichsverfahrens beschränkt sich auf solche Inve-stitionen, die keinen unterschiedlichen Einfluß auf die Erlösseite haben, so daßdie Kostenvergleichsrechnung insbesondere zur Beurteilung von Ersatz- und Ra-tionalisierungsinvestitionen sowie von solchen Neuinvestitionen, bei denen einfunktionsgleiches Investitionsobjekt unter mehreren ausgewählt werden soll,herangezogen werden kann. Bei Erweiterungsinvestitionen ist die Kostenver-gleichsrechnung nur dann einsetzbar, wenn die Erlöswirkungen bei allen vergli-chenen Investitionen übereinstimmen, was sicherlich die Ausnahme ist. Die Aus-wahl der kostengünstigsten funktionsgleichen Investition beinhaltet ein Han-deln gemäß der mitteleinsatzorientierten Definition der relativen Wirtschaft-lichkeit.Die relative Wirtschaftlichkeit ist dabei das Verhältnis der absoluten Wirt-schaftlichkeit der zu beurteilenden Alternative zur absoluten Wirtschaftlich-keit der als Vergleichsmaßstab gewählten Alternative. Die absolute Wirt-schaftlichkeit einer Alternative ist gleich dem Verhältnis aus Zweckerfolg undMitteleinsatz dieser Alternative. Diejenige der zu beurteilenden Alternativen istdie beste, bei der die relative Wirtschaftlichkeit maximal wird:

Wenn der Zweckerfolg von Beurteilungsalternative und Vergleichsalternativeübereinstimmt, so erhält man als Variante der relativen Wirtschaftlichkeit die mit-teleinsatzorientierte relative Wirtschaftlichkeit:

Wrelativmitteleinsatzorientiert = MEV

MEB

→ max!

bei vorgegebenem Zweckerfolg ZEB = ZEV = konstant.

Wrelativ = WabsolutBeurteilungsalternative

WabsolutVergleichsalternative =

ZweckerfolgBeurteilungsalternative

MitteleinsatzBeurteilungsalternative

ZweckerfolgVergleichsalternative

MitteleinsatzVergleichsalternative

=

ZEB

MEBZEV

MEV

→ max!

12. Vorlesung: Investitionseinzelentscheidungen: Statische Investitionsrechnungsmethoden 253

Gibt es mehrere zu beurteilende Alternativen, mit denen der vorgegebene, kon-stante Zweckerfolg ZEB = ZEV erreicht werden kann, so wird diejenige vorgezo-gen, bei der die mitteleinsatzorientierte relative Wirtschaftlichkeit am größten ist. Stimmen Mitteleinsatz von Beurteilungsalternative und Vergleichsalternativeüberein, so erhält man als Variante der relativen Wirtschaftlichkeit die zweck-orientierte relative Wirtschaftlichkeit:

Die Kostenvergleichsrechnung kann als starre und als flexible Kostenvergleichs-rechnung praktiziert werden. Bei der starren Kostenvergleichsrechnung sind al-le Investitionen auf der Basis einer übereinstimmenden, vorgegebenen ("starren")Auslastung zu vergleichen. Bei der flexiblen Kostenvergleichsrechnung wirdder Kostenverlauf bei veränderlicher ("flexibler") Auslastung in den Vergleicheinbezogen und eine kritische Auslastung ermittelt, bei der die verglichenen Al-ternativen die gleichen Kostenkonsequenzen haben. Grundsätzlich kann der Kostenvergleich auf der Basis der Periodenkosten oderder Stückkosten vorgenommen werden. Die in der Literatur zu findendeForderung1, Investitionsobjekte mit unterschiedlichem Leistungsvermögen (Kapa-zität) auf der Basis von Stückkosten zu vergleichen, ist entweder unnötig oder feh-lerhaft. Unnötig ist diese Forderung, wenn dem Erfordernis eines Vergleichs, nämlichGleiches miteinander zu vergleichen, entsprochen wird. Das heißt in unserem Zu-sammenhang, daß der Vergleich auch zwischen Investitionsobjekten mit unter-schiedlichem Leistungsvermögen auf der Basis der gleichen Leistungsmenge vor-genommen werden muß, was freilich voraussetzt, daß es einen Bereich überein-stimmender Leistungsmengen geben muß. Auf der Basis gleicher Leistungsmen-gen führen jedoch der Vergleich auf der Basis der Periodenkosten oder auf derBasis der Stückkosten zu übereinstimmenden Beurteilungen der Investitionen.Fehlerhaft wird diese Forderung, wenn die verglichenen Investitionsobjekte kei-ne übereinstimmenden Leistungsmengen aufweisen, weil dann nicht davonausgegangen werden kann, daß die Prämisse der Kostenvergleichsrechnung, daßsich die verglichenen Investitionen in gleicher oder in keiner Weise auf die Er-lösseite auswirken, erfüllt sein wird. Ebenso ist ein Vergleich fehlerhaft, wenn

Wrelativzweckerfolgsorientiert = ZEB

ZEV

→ max!

bei vorgegebenem Mitteleinsatz von MEB = MEV = konstant.


1 Vgl. Wöhe, Günter: Einführung in die Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, 16. A., München 1986, S. 684; Bus-se von Colbe, Walther, Laßmann, Gert: Betriebswirtschaftstheorie, Band 3, Investitionstheorie, 3. A., Berlin,Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo, Hong Kong 1990, S. 21; Perridon, Louis, Steiner, Manfred: Fi-nanzwirtschaft der Unternehmung, 6. A., München 1991, S. 41. Perridon und Steiner vergleichen drei funktions-gleiche Anlagen mit unterschiedlichen Leistungsmengen, wobei diejenige Anlage (bei ihnen: C) mit den niedrig-sten Stückkosten (bei ihnen: k = 3,82 Geldeinheiten) die höchste Leistungsmenge (bei ihnen: x = 12000 Stück)aufweist. Ist in einer solchen Situation der Preis pro Leistungsmengeneinheit gleich, dann ist selbstverständlichdiejenige Anlage am (gewinn)günstigsten, die bei größter Leistungsmenge die geringsten Stückkosten aufweist;vgl. Blohm, Hans, Lüder, Klaus:. Investition, 7.A., München 1991, S. 158. Ist diese Konstellation (größte Lei-stungsmenge, geringste Stückkosten) indes nicht gegeben, so kann der ausschließliche Vergleich über die Stück-kosten, den Perridon und Steiner vornehmen, indes in die Irre führen. Eine Stückkostenvergleichsbetrachtung beiunterschiedlichen Leistungsmengen der Anlagen kann auch dadurch in die Irre führen, daß bei unterschiedlichenLeistungsmengen die Stückerlöse (Preis je Leistungseinheit) – etwa wegen eines monopolistischen Marktes – un-terschiedlich sind.

jeweils die optimale Leistungsmenge, d.h. die Leistungsmenge mit den gering-sten Stückkosten, herangezogen würde, da diese optimale Leistungsmenge bei denverglichenen Investitionsobjekten allenfalls zufällig übereinstimmen würde, sodaß mit ungleichen Erlöswirkungen zu rechnen ist. Sind jedoch ungleiche Erlös-wirkungen zu erwarten, so ist die Gewinn- und nicht die Kostenvergleichsrech-nung anzuwenden. Im weiteren werden immer Periodenkosten verglichen.1. Beurteilung einer einzelnen Investition

(Rationalisierungsinvestition) auf der Basis der starren Kostenvergleichsrechnung

Es lohnt sich, eine Rationalisierungsinvestition durchzuführen (absolute Vorteil-haftigkeit), wenn die Kosten ohne die Durchführung der Investition Kalt (Kostender alten Situation) größer sind als die Kosten nach Durchführung der InvestitionKneu (Kosten der neuen Situation). Die Kostenersparnis beträgt dann pro PeriodeΔK = Kalt – Kneu. Diese Kostenersparnis entspricht der Gewinnverbesserung, davoraussetzungsgemäß die Erlösseite unberührt bleibt. Absolute Vorteilhaftigkeitbedeutet hier, daß die betrachtete Investition Vorteile (Kostenersparnisse) ge-genüber der Unterlassensalternative hat.Bezogen auf das nachfolgende Beispiel (vgl. Abbildung 82) sollen vor und nachDurchführung einer Rationalisierungsinvestition folgende Kosten für die Zukunfterwartet werden:

Das heißt, die Rationalisierungsinvestition sollte durchgeführt werden.2. Beurteilung mehrerer Investitionen (funktionsgleiche neue

Anlagen) auf der Basis der flexiblen KostenvergleichsrechnungUnter mehreren zur Auswahl stehenden funktionsgleichen (alternativen) Investi-tionen ist diejenige durchzuführen, deren Kosten bezogen auf das relevante Lei-stungsmengenintervall am geringsten sind. Für die günstigste Investition gilt,daß sie – bezogen auf alle anderen, alternativ zur Wahl stehenden Investitionen –den größten Vorteil (Kostenersparnis gegenüber dem Vergleichsobjekt) aufweist(relative Vorteilhaftigkeit).Es stehen drei funktionsgleiche Anlagen zur Auswahl, für die folgende Daten er-mittelt worden sind:

KostenartKosten der

alten Situation

Kosten derneuen

SituationKalkulatorische Abschreibungen 10.000 DM 20.000 DMKalkulatorische Zinsen 2.500 DM 5.000 DMMaterialkosten 25.000 DM 22.000 DMPersonalkosten 80.000 DM 60.000 DMSonstige Kosten 2.500 DM 3.000 DMSumme 120.000 DM 110.000 DMKostenersparnis 10.000 DMAbbildung 82: Beispiel einer Kostenvergleichsrechnung


Die Kostenfunktionen der drei Anlagen nach Abbildung 83 lauten:

Graphisch ergibt sich folgendes Bild (vgl. Abbildung 84):

Kostenfunktion A Kostenfunktion B Kostenfunktion C

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 2000000

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

0

Ausbringung in Stück pro Periode

Kos

ten

pro

Perio

de

Abbildung 84: Kostenverläufe der verglichenen Investitionen

KA = 20000 + 10∑x, K B = 40000 + 5∑x und K C = 70000 + 2∑x.

Anlage A Anlage B Anlage CAbschreibungsbasis 70.000 DM 145.000 DM 260.000 DMErwartete Nutzungsdauer in Jahren 5 5 5Maximale Ausbringung (Stück/Jahr) 12000 15000 20000

Fixe Kosten pro Jahr:Kalkulatorische Abschreibungen 14.000 DM 29.000 DM 52.000 DMKalkulatorische Zinsen (10%) 3.500 DM 7.250 DM 13.000 DMSonstige fixe Kosten 2.500 DM 3.750 DM 5.000 DMSumme fixe Periodenkosten 20.000 DM 40.000 DM 70.000 DMVariable Kosten je Stück:Personalkosten 6,00 DM 2,20 DM 0,70 DMFertigungsmaterial 3,00 DM 2,00 DM 1,20 DMSonstige variable Kosten 1,00 DM 0,80 DM 0,10 DMSumme variable Stückkosten 10,00 DM 5,00 DM 2,00 DMAbbildung 83: Flexible Kostenvergleichsrechnung


Die kritische Auslastung beim Vergleich von A und B liegt bei 4.000 Stück proPeriode. Die kritische Auslastung beim Vergleich von B und C liegt bei 10.000Stück. Nicht entscheidungsrelevant ist die kritische Auslastung beim Vergleichvon A und C bei 6.250 Stück. Die Entscheidung für eine der Investitionen fällt inAbhängigkeit vom erforderlichen Leistungsmengenintervall. Ist die geforderteLeistungsmenge geringer als 4.000 Stück, so sollte die Anlage A gewählt werden.Bei verlangten Leistungsmengen zwischen 4.000 und 10.000 Stück ist die AnlageB am besten. Liegt die erwartete Leistungsmenge über 10.000 Stück, so sollte dieAnlage C gewählt werden.3. Entscheidung über den vorzeitigen Ersatz einer vorhandenen

alten Anlage durch eine neue Anlage zu Beginn der Vergleichsperiode

Bei einer Entscheidung über den vorzeitigen Ersatz einer vorhandenen Anlagesind die Kosten der alten Anlage (sog. Defender) bei weiterer Nutzung um einePeriode mit denjenigen Kosten zu vergleichen, die bei sofortiger Anschaffung derneuen Anlage (sog. Challenger) pro Periode in der Zukunft erwartet werden. Esist insofern auf die Ausführungen zum optimalen Ersatzzeitpunkt zu verweisen.Während bei der neuen Anlage die Kapitalkosten auf der Basis des Anschaf-fungswertes - wie gewohnt - als kalkulatorische Abschreibungen und kalkula-torische Zinsen in den Kalkül eingehen, werden bei der alten Anlage anstellekalkulatorischer Abschreibungen die Minderung des Restverkaufserlöses bei ei-ner weiteren Nutzung um eine Periode und anstelle kalkulatorischer Zinsen dieentgangenen Zinsen auf den Restverkaufserlös angesetzt, der bei vorzeitigemErsatz zu Beginn der Periode erzielt werden könnte und der bei weiterer Nutzungnicht für eine rentierliche Verwendung in der Vergleichsperiode zur Verfügungsteht. Die sonstigen fixen und variablen Kosten werden in gewohnter Weise inden Vergleich einbezogen. Ein vorzeitiger Ersatz ist sinnvoll, wenn die Kostendes Challengers (Ersatzanlage) geringer als die Kosten des Defenders (alteAnlage) in der Vergleichsperiode sind. Hierzu folgendes Zahlenbeispiel:

Kosten des Defenders (alte Anlage)

KapitalkostenVerminderung des Resterlöses 15.000 DMResterlös zu Beginn der Periode 18.000 DMResterlös am Ende der Periode 3.000 DMEntgangene Zinsen (10%) 1.800 DMauf Resterlös zu Beginn der PeriodeSumme Kapitalkosten 16.800 DMSonstige fixe Kosten 1.000 DMSumme fixe Kosten der Periode 17.800 DM

Variable Kosten der Periode 93.800 DM(6,70 DM/Stück bei 14.000 Stück)

Kosten bei weiterer Nutzung um eine Periode 111.600 DM

Abbildung 85a: Beispiel einer Kostenvergleichsrechnung (Defender)


Im Beispiel sollte die alte Anlage (Defender) vorzeitig durch die neue Anlage(Challenger) ersetzt werden. Die Kostenersparnis bei sofortigem Ersatz beträgtpro Periode 2.500 DM. Sie setzt sich aus der Differenz bei den Kapitalkosten(Erhöhungsbetrag) von 17.500 DM - 16.800 DM = 700 DM und aus der Diffe-renz bei den anderen Kosten (sonstige fixe Kosten, variable Kosten) (Vermin-derungsbetrag) von 91.600 DM - 94.800 DM = -3.200 DM zusammen.4. Vergleich von Kostenvergleichsrechnung und

AnnuitätenmethodeDie Kostenvergleichsrechnung kann als eine vereinfachte Annuitätenrechnungaufgefaßt werden, wobei ein Vergleich der Kosten mit Auszahlungsannuitätenvorzunehmen ist. Mit Ausnahme der Kapitalkosten KK kann grundsätzlich davonausgegangen werden, daß die in den Kostenvergleich einbezogenen laufenden zu-sätzlichen variablen und sonstigen fixen Periodenkosten KP zugleich in der je-weiligen Periode auch zu gleich hohen Auszahlungen führen, die in eine Annui-tätenberechnung einfließen würden. Sofern diese laufenden periodischen Auszah-lungen im Zeitablauf gleich sind, würde wegen der Prämisse, bei der Kostenver-gleichsrechnung von einer repräsentativen Periode für alle Perioden der Investi-tionsdauer auszugehen, damit auch in der Kostenvergleichsrechnung gerechnetwerden. Für die Auszahlungsannuität bezogen auf die laufenden periodischenAuszahlungen gilt dann:

Bei dieser Sachlage kann ein Unterschied zwischen den Kosten K = KP + KKnach der Kostenvergleichsrechnung und der Annuität aller Auszahlungen

oder zwischen den Kosten K = KP + KK und der um den Liquidationserlös mo-difizierten Annuität aller Auszahlungen

aS0T* = aSt

*

(1 + i)t + aS0t =1

T

∑⎡⎣⎢

⎤

⎦⎥∑

i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1

aSt*

(1 + i)tt =1

T

∑⎡⎣⎢

⎤

⎦⎥∑

i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1= aS

* ,wenn aSt* = konstant für alle t ist, und aS

* = KP.

Kosten des Challengers (Ersatzanlage)

KapitalkostenKalkulatorische Abschreibung 12.500 DMAbschreibungsbasis = Anschaffungskosten 100.000 DMNutzungsdauer in Jahren 8Kalkulatorische Zinsen (10%) 5.000 DMSumme Kapitalkosten 17.500 DMSonstige fixe Kosten 2.000 DMSumme fixe Kosten der Periode 19.500 DM

Variable Kosten der Periode(6,40 DM/Stück bei 14.000 Stück) 89.600 DM

Kosten pro Periode nach Vornahme des Ersatzes 109.100 DM

Abbildung 85b: Beispiel einer Kostenvergleichsrechnung (Challenger)


nur in bezug auf die Kapitalkosten KK entstehen.

In der Tat werden die Kapitalkosten KK in der Kostenvergleichsrechnung nichtals Annuität des Investitionsvolumens

oder als Annuität des um den Liquidationserlös modifizierten Investitionsvo-lumens

berechnet. Die Kapitalkosten KK setzen sich vielmehr aus den kalkulatorischen Abschrei-bungen KA und den kalkulatorischen Zinsen KZ zusammen. Die kalkulatori-schen Abschreibungen KA werden im Rahmen der Kostenvergleichsrechnungauf der Basis der linearen Zeitabschreibung von der sog. Abschreibungsbasis (=Anschaffungskosten - Restwert am Ende der Nutzungsdauer) berechnet. Wenn kein Restwert (Liquidationserlös) am Ende der Nutzungsdauer erwartetwird, ergibt sich für die kalkulatorischen Abschreibungen KA:

Wenn ein Restwert (Liquidationserlös) am Ende der Nutzungsdauer erwartetwird, ergibt sich für die kalkulatorischen Abschreibungen KA:

Die kalkulatorischen Zinsen KZ werden im Rahmen der Kostenvergleichsrech-nung auf das durchschnittlich gebundene Kapital berechnet. Wenn kein Restwert (Liquidationserlös) am Ende der Nutzungsdauer erwartetwird, ergibt sich für die kalkulatorischen Zinsen KZ:

Der Ausdruck aS0/2 ist gleich dem durchschnittlich gebundenen Kapital wäh-rend der Nutzungsdauer bei kontinuierlichem Rückfluß der Abschreibungsge-genwerte aS0/T.

Wenn ein Restwert (Liquidationserlös) am Ende der Nutzungsdauer erwartetwird, ergibt sich für die kalkulatorischen Zinsen KZ:

KZ = aS0

2∑i.

KA = aS0 − LT

T.

KA = aS0

T.

aS0 − LT ∑1

(1 + i)T⎡⎣⎢

⎤⎦⎥∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1

aS0 ∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1

aS0T** = aSt

*

(1 + i)t + aS0 − LT ∑1

(1 + i)Tt =1

T

∑⎡⎣⎢

⎤

⎦⎥∑

i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1


Der Klammerausdruck

gibt dabei das durchschnittlich während der Nutzungsdauer gebundene Kapi-tal an, wenn ein kontinuierlicher Rückfluß der Abschreibungsgegenwerte

erfolgt1. Ein solcher kontinuierlicher Rückfluß der Abschreibungsgegenwertewird regelmäßig unterstellt und ist auch realistisch. Würde der Rückfluß der Abschreibungsgegenwerte immer erst am Ende einerPeriode erfolgen, so erhält man unter Berücksichtigung eines Liquidationserlösesfür das durchschnittlich während der Nutzungsdauer gebundene Kapital2

Der Betrag des durchschnittlich gebundenen Kapitals bei diskontinuierlichemRückfluß der Abschreibungsgegenwerte ist unabhängig von der Größe des Liqui-dationserlöses (also auch bei LT = 0!) stets größer als derjenige bei kontinuierli-chem Rückfluß der Abschreibungsgegenwerte, so daß auch die darauf berechnetenkalkulatorischen Zinsen stets größer als die bei kontinuierlichem Rückfluß derAbschreibungsgegenwerte sind:

Um zu übereinstimmenden Ergebnissen von Kostenvergleichsrechnung und An-nuitätenmethode zu kommen, müßte die jeweils heranzuziehende Annuität (An-nuität des Investitionsvolumens, Annuität des um den Liquidationserlös modifi-zierten Investitionsvolumens) mit den Kapitalkosten KK übereinstimmen.

Die Frage ist hierbei, ob eine Übereinstimmung der Ergebnisse von Kosten-vergleichsrechnung und Annuitätenmethode überhaupt möglich ist. Dies istin der Regel nicht der Fall. Die Kapitalkosten der Kostenvergleichsrechnungsind in der Regel kleiner als die zum Vergleich heranzuziehende Annuität.

aS0 − LT

2+ LT < (aS0 − LT )∑1 + T

2∑T+ LT

oderaS0 − LT

2< aS0 − LT

2∑1 + T

Toder

1 < 1 + TT

, wenn T > 0.

aS0

2∑(T + 1)

T+ LT

2∑(T −1)

T= (aS0 − LT )∑1 + T

2∑T+ LT.

aS0 − LT

T= 1

T∑(a S0 − LT )

aS0 − LT

2+ LT = aS0 + LT

2.

KZ = aS0 − LT

2+ LT

⎛⎝

⎞⎠ ∑i.



2 Vgl. ebenda, S. 149-151.

Es ergibt sich folgende Differenzgröße für den Fall, daß die Abschreibungsge-genwerte kontinuierlich zurückfließen und kein Liquidationserlös zu berück-sichtigen ist:

Der Ausdruck in den eckigen Klammern gibt den Abweichungsfaktor an, um dendie Annuität des Investitionsvolumens (= Abschreibungsbasis, wenn Liquidations-erlös = 0!) größer als die Kapitalkosten ist. Für den Fall, daß ein Liquidationserlös zu berücksichtigen ist, ergibt sich diefolgende Differenzgröße, wenn von einem kontinuierlichen Rückfluß der Ab-schreibungsgegenwerte ausgegangen wird:

Der Ausdruck in den eckigen Klammern gibt den Abweichungsfaktor an, um dendie Annuität des um den Liquidationserlös modifizierten Investitionsvolumensgrößer als die Kapitalkosten ist. Die Annuität des um den Liquidationserlösmodifizierten Investitionsvolumens ist dabei gleich der Annuität der Abschrei-bungsbasis zuzüglich der Zinsen auf den Liquidationserlös:

aS0 − LT ∑1

(1 + i)T⎡⎣⎢

⎤⎦⎥∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1= (aS0 − LT )∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1+ LT ∑i.

DAnnuitätenmethode-Kostenvergleichsrechnungbei L T > 0 und kontinuierlichem Rückflu˚ von K A = aS0 − LT ∑

1(1 + i)T

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1± (KA + KZ )

= aS0 − LT ∑1

(1 + i)T⎡⎣⎢

⎤⎦⎥∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1± aS0 − LT

T+ aS0 − LT

2+ LT

⎛⎝

⎞⎠ ∑i

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= aS0 − LT ∑1

(1 + i)T⎡⎣⎢

⎤⎦⎥∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1± aS0 − LT( )∑ 1

T+ i

2⎛⎝

⎞⎠ + LT ∑i

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= aS0 − LT + LT − LT ∑1

(1 + i)T⎡⎣⎢

⎤⎦⎥∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1± aS0 − LT( )∑ 1

T+ i

2⎛⎝

⎞⎠ + LT ∑i

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= (aS0 − LT )∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1+ (LT − LT ∑

1(1 + i)T )∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1± aS0 − LT( )∑ 1

T+ i

2⎛⎝

⎞⎠ + LT ∑i

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= (aS0 − LT )∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1+ LT ∑

(1 + i)T −1(1 + i)T ∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1± aS0 − LT( )∑ 1

T+ i

2⎛⎝

⎞⎠ + LT ∑i

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= (aS0 − LT )∑ i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1− 1

T+ i

2⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥.

DAnnuitätenmethode-Kostenvergleichsrechnungbei L T = 0 und kontinuierlichem Rückflu˚ von K A = aS0 ∑

i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1± (KA + KZ )

= aS0 ∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1± aS0

T+ aS0

2∑i⎛

⎝⎞⎠

= aS0 ∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1± 1

T+ i

2⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥.



Nut-zungs-dauer ⇓ Kalkulationszinsfuß ⇒

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,11 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04 0,045 0,052 0,0025124 0,0050495 0,0076108 0,0101961 0,0128049 0,0154369 0,0180918 0,0207692 0,0234689 0,02619053 0,0016888 0,0034213 0,0051970 0,0070152 0,0088752 0,0107765 0,0127183 0,0147002 0,0167214 0,01878154 0,0012811 0,0026238 0,0040270 0,0054900 0,0070118 0,0085915 0,0102281 0,0119208 0,0136687 0,01547085 0,0010398 0,0021584 0,0033546 0,0046271 0,0059748 0,0073964 0,0088907 0,0104565 0,0120925 0,01379756 0,0008817 0,0018591 0,0029308 0,0040952 0,0053508 0,0066960 0,0081291 0,0096487 0,0112531 0,01294077 0,0007711 0,0016548 0,0026492 0,0037525 0,0049627 0,0062779 0,0076961 0,0092153 0,0108334 0,01254848 0,0006903 0,0015098 0,0024564 0,0035278 0,0047218 0,0060359 0,0074678 0,0090148 0,0106744 0,01244409 0,0006293 0,0014043 0,0023227 0,0033819 0,0045790 0,0059111 0,0073754 0,0089686 0,0106877 0,0125294

10 0,0005821 0,0013265 0,0022305 0,0032909 0,0045046 0,0058680 0,0073775 0,0090295 0,0108201 0,012745411 0,0005450 0,0012689 0,0021684 0,0032399 0,0044798 0,0058838 0,0074478 0,0091673 0,0110376 0,013054112 0,0005155 0,0012263 0,0021288 0,0032188 0,0044921 0,0059437 0,0075687 0,0093617 0,0113173 0,013430013 0,0004917 0,0011953 0,0021065 0,0032207 0,0045327 0,0060370 0,0077278 0,0095987 0,0116435 0,013855414 0,0004726 0,0011734 0,0020978 0,0032404 0,0045954 0,0061563 0,0079164 0,0098683 0,0120046 0,014317715 0,0004571 0,0011588 0,0020999 0,0032744 0,0046756 0,0062961 0,0081280 0,0101629 0,0123922 0,014807116 0,0004446 0,0011501 0,0021108 0,0033200 0,0047699 0,0064521 0,0083576 0,0104769 0,0127999 0,015316617 0,0004345 0,0011463 0,0021290 0,0033750 0,0048756 0,0066213 0,0086017 0,0108059 0,0132227 0,015840618 0,0004265 0,0011465 0,0021531 0,0034378 0,0049907 0,0068010 0,0088570 0,0111465 0,0136567 0,016374719 0,0004202 0,0011502 0,0021823 0,0035070 0,0051134 0,0069893 0,0091214 0,0114960 0,0140988 0,016915320 0,0004153 0,0011567 0,0022157 0,0035818 0,0052426 0,0071846 0,0093929 0,0118522 0,0145465 0,017459621 0,0004117 0,0011657 0,0022527 0,0036611 0,0053771 0,0073855 0,0096700 0,0122132 0,0149976 0,018005322 0,0004092 0,0011769 0,0022928 0,0037443 0,0055160 0,0075910 0,0099512 0,0125775 0,0154504 0,018550523 0,0004076 0,0011898 0,0023356 0,0038308 0,0056586 0,0078002 0,0102357 0,0129439 0,0159036 0,019093624 0,0004068 0,0012044 0,0023807 0,0039202 0,0058042 0,0080123 0,0105224 0,0133113 0,0163559 0,019633125 0,0004068 0,0012204 0,0024279 0,0040120 0,0059525 0,0082267 0,0108105 0,0136788 0,0168063 0,020168126 0,0004073 0,0012377 0,0024768 0,0041058 0,0061028 0,0084428 0,0110995 0,0140456 0,0172538 0,020697527 0,0004085 0,0012560 0,0025272 0,0042015 0,0062548 0,0086601 0,0113887 0,0144111 0,0176979 0,021220628 0,0004101 0,0012754 0,0025789 0,0042987 0,0064082 0,0088783 0,0116776 0,0147746 0,0181378 0,021736729 0,0004123 0,0012956 0,0026319 0,0043972 0,0065628 0,0090969 0,0119659 0,0151358 0,0185730 0,022245330 0,0004148 0,0013166 0,0026859 0,0044968 0,0067181 0,0093156 0,0122531 0,0154941 0,0190030 0,0227459

Mini-mum 0,0004068 0,0011463 0,0020978 0,0032188 0,0044798 0,0058680 0,0073754 0,0089686 0,0106744 0,0124440


0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,21 0,055 0,06 0,065 0,07 0,075 0,08 0,085 0,09 0,095 0,12 0,0289336 0,0316981 0,0344836 0,0372897 0,0401163 0,0429630 0,0458295 0,0487156 0,0516210 0,05454553 0,0208797 0,0230156 0,0251886 0,0273981 0,0296436 0,0319245 0,0342403 0,0365905 0,0389746 0,04139194 0,0173264 0,0192344 0,0211942 0,0232048 0,0252654 0,0273751 0,0295331 0,0317387 0,0339909 0,03628915 0,0155703 0,0174097 0,0193145 0,0212835 0,0233156 0,0254094 0,0275639 0,0297778 0,0320502 0,03437976 0,0147099 0,0165591 0,0184866 0,0204908 0,0225702 0,0247232 0,0269481 0,0292435 0,0316076 0,03403917 0,0143581 0,0162606 0,0182537 0,0203352 0,0225032 0,0247555 0,0270901 0,0295049 0,0319978 0,03456688 0,0143211 0,0163028 0,0183867 0,0205700 0,0228501 0,0252243 0,0276899 0,0302444 0,0328851 0,03560949 0,0144906 0,0165678 0,0187578 0,0210573 0,0234629 0,0259714 0,0285794 0,0312837 0,0340811 0,0369684

Mini-mum 0,0143211 0,0162606 0,0182537 0,0203352 0,0225032 0,0247232 0,0269481 0,0292435 0,0316076 0,0340391


0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,31 0,105 0,11 0,115 0,12 0,125 0,13 0,135 0,14 0,145 0,152 0,0574887 0,0604505 0,0634305 0,0664286 0,0694444 0,0724779 0,0755286 0,0785965 0,0816812 0,08478263 0,0438422 0,0463247 0,0488392 0,0513850 0,0539617 0,0565689 0,0592061 0,0618729 0,0645687 0,06729324 0,0386324 0,0410201 0,0434514 0,0459255 0,0484417 0,0509993 0,0535976 0,0562358 0,0589132 0,06162925 0,0367653 0,0392059 0,0417004 0,0442477 0,0468467 0,0494964 0,0521958 0,0549438 0,0577393 0,06058156 0,0365363 0,0390978 0,0417220 0,0444075 0,0471528 0,0499566 0,0528173 0,0557336 0,0587042 0,06172767 0,0372099 0,0399252 0,0427107 0,0455644 0,0484845 0,0514691 0,0545164 0,0576246 0,0607918 0,0640165

Mini-mum 0,0365363 0,0390978 0,0417004 0,0442477 0,0468467 0,0494964 0,0521958 0,0549438 0,0577393 0,0605815

Abbildung 86: Abweichungsfaktoren bei kontinuierlichem Rückfluß der Abschreibungen

Vergleicht man die beiden ermittelten Differenzgrößen, so ergibt sich, daßfür den Fall eines kontinuierlichen Rückflusses der Abschreibungsgegenwer-te und eines Liquidationserlöses der Abweichungsfaktor mit demjenigenübereinstimmt, der sich für den Fall ergibt, daß kein Liquidationserlös an-fällt. In der Abbildung 86 sind die Abweichungsfaktoren

angegeben. Diese Abweichungsfaktoren gelten, wenn man – unabhängig davon,ob ein Liquidationserlös zu berücksichtigen ist oder nicht – von einem kontinu-ierlichen Rückfluß der Abschreibungsgegenwerte ausgeht, was realistisch undim Rahmen der Kostenvergleichsrechnung üblich ist. Multipliziert man dieseAbweichungsfaktoren mit der jeweiligen Abschreibungsbasis (Abschreibungsba-sis = Investitionsvolumen aS0 – Liquidationserlös LT), so erhält man den absolutenBetrag, um den die Kapitalkosten KK = KA + KZ geringer als die jeweils heranzu-ziehende Annuität des Investitionsvolumens oder die Annuität des um den Liqui-dationserlös modifizierten Investitionsvolumens ist. Mit den Kapitalkosten derKostenvergleichsrechnung werden also die heranzuziehenden Annuitäten unter-schätzt, und zwar absolut um so stärker, je kleiner der Liquidationserlös ist. Dennder absolute Betrag der Abweichung wird um so größer, je kleiner der erwarteteLiquidationserlös der Investition ist. Keine Abweichung tritt auf, wenn der Li-quidationserlös gleich dem Investitionsvolumen ist:

Denn dann gilt, daß die Annuität der Abschreibungsbasis sowie die kalkulatori-schen Abschreibungen gleich Null sind und die Zinsen auf den Liquidationserlösden kalkulatorischen Zinsen entsprechen.Aus Abbildung 86 erkennt man, daß die Abweichungsfaktoren um so kleinersind, je geringer der Kalkulationszins bei konstanter Nutzungsdauer ist. Manerkennt ferner, daß die Abweichungsfaktoren bei konstantem Kalkulations-zinsfuß mit zunehmender Nutzungsdauer zunächst fallen und nach Erreichen

Für LT = aS0 gilt:

aS0 − LT ∑1

(1 + i)T⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1 - KA + KZ( ) = 0

oder

(aS0 − LT )∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1+ LT ∑i

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

- KA + KZ( ) = 0

wegen

(aS0 − LT )∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1= (aS0 − aS0 )∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1= 0 = KA = aS0 − LT

T= aS0 − aS0

T= 0

und

LT ∑i = a S0 ∑i = K Z = aS0 − LT

2+ LT

⎛⎝

⎞⎠ ∑i = aS0 + LT

2∑i = aS0 + aS0

2∑i = a S0 ∑i.

i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1− 1

T+ i

2⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥


eines Minimums wieder steigen. Die Aussage, daß die mit der Kostenvergleichs-rechnung erreichte "Näherung um so besser (sei), je kleiner T und i sind"1, ist indieser Form nicht gültig. Sie trifft nur, wie noch zu zeigen sein wird, für den Falldes diskontinuierlichen Rückflusses der Abschreibungsgegenwerte zu. Für denpraktisch relevanteren Fall des kontinuierlichen Rückflusses der Abschreibungs-gegenwerte ist der Abweichungsfaktor nämlich bei T = 1 und T → ∞ am größtenund beträgt dann i/2. Der geringste Abweichungsfaktor liegt nicht an einem derRänder des Definitionsbereichs, also nicht bei T = 1 oder T → ∞, sondern dazwi-schen. Mit steigendem Kalkulationszinsfuß liegt dieses Minimum bei immer ge-ringer werdender Nutzungsdauer.Einen anderen Abweichungsfaktor ermittelt man, wenn man von einem diskonti-nuierlichen Rückfluß der Abschreibungsgegenwerte, nämlich nur jeweils amEnde einer Periode, ausgeht. Denn dann ergibt sich, wie schon erwähnt, ein ande-rer Betrag des durchschnittlich während der Nutzungsdauer gebundenen Kapitals,und daraus folgen andere kalkulatorische Zinsen2. Der Abweichungsfaktor beidiskontinuierlichem Rückfluß der Abschreibungsgegenwerte gilt unabhängigdavon, ob ein Liquidationserlös zu berücksichtigen ist oder nicht, so daß aufeine diesbezügliche Unterscheidung verzichtet werden kann:

In der nachfolgenden Tabelle (vgl. Abbildung 87) sind die Abweichungsfakto-ren für den Fall des diskontinuierlichen Rückflusses der Abschreibungsgegen-werte aufgeführt. Für diesen Fall ergibt sich, daß Annuitätenmethode und Kosten-vergleichsrechnung zu keinen Abweichungen – unabhängig von der Größe desLiquidationserlöses – bei einperiodiger Nutzungsdauer führen. Der Abwei-chungsfaktor steigt mit zunehmender Nutzungsdauer und wachsendem Kalkula-tionszins. Der maximale Abweichungsfaktor ergibt sich für T →→→→ ∞ und beträgti/2. Der absolute Betrag der Abweichung hängt wiederum von der Größe des Li-quidationserlöses ab und wird um so größer, je kleiner der Liquidationserlös ist.Weitere Abweichungen zwischen der Kostenvergleichsrechnung und der Annuitä-tenmethode können sich ergeben, wenn die laufenden periodischen Auszahlun-gen im Zeitablauf schwanken, so daß es zusätzlich auch noch zu Abweichungenzwischen der Annuität der laufenden periodischen Auszahlungen und den

DAnnuitätenmethode-Kostenvergleichsrechnungdiskontinuierlicher Rückflu˚ von K A = aS0 − LT ∑

1(1 + i)T

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1± (KA + KZ )

= aS0 − LT ∑1

(1 + i)T⎡⎣⎢

⎤⎦⎥∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1± aS0 − LT

T+ (aS0 − LT )∑1 + T

2∑T+ LT

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥∑i⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= (aS0 − LT )∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1+ LT ∑i ± aS0 − LT

T+ (aS0 − LT )∑1 + T

2∑T+ LT

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥∑i⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= (aS0 − LT )∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1− aS0 − LT( )∑ 1

T+ 1 + T

2∑T∑i⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

= (aS0 − LT )∑ i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1− 1

T+ 1 + T

2∑T∑i⎛

⎝⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥.


1 Blohm, Hans, Lüder, Klaus: Investition, 7. A., München 1991, S. 157.

2 Vgl. ebenda.

laufenden Periodenkosten KP der Kostenvergleichsrechnung kommen kann.Die daraus resultierenden Abweichungen lassen sich schwer abschätzen, weil sienicht methodenspezifisch sind, sondern von der zeitlichen Struktur der tatsächli-chen Auszahlungen abhängen, die jedoch im Rahmen der Kostenvergleichsrech-nung nicht ermittelt werden.Nut-zungs-dauer ⇓ Kalkulationszinsfuß ⇒

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 0,0000124 0,0000495 0,0001108 0,0001961 0,0003049 0,0004369 0,0005918 0,0007692 0,0009689 0,00119053 0,0000221 0,0000880 0,0001970 0,0003485 0,0005419 0,0007765 0,0010517 0,0013668 0,0017214 0,00211484 0,0000311 0,0001238 0,0002770 0,0004900 0,0007618 0,0010915 0,0014781 0,0019208 0,0024187 0,00297085 0,0000398 0,0001584 0,0003546 0,0006271 0,0009748 0,0013964 0,0018907 0,0024565 0,0030925 0,00379756 0,0000484 0,0001925 0,0004308 0,0007619 0,0011841 0,0016960 0,0022958 0,0029821 0,0037531 0,00460747 0,0000569 0,0002262 0,0005064 0,0008953 0,0013912 0,0019922 0,0026961 0,0035010 0,0044048 0,00540558 0,0000653 0,0002598 0,0005814 0,0010278 0,0015968 0,0022859 0,0030928 0,0040148 0,0050494 0,00619409 0,0000737 0,0002932 0,0006561 0,0011597 0,0018012 0,0025778 0,0034865 0,0045242 0,0056877 0,0069739

10 0,0000821 0,0003265 0,0007305 0,0012909 0,0020046 0,0028680 0,0038775 0,0050295 0,0063201 0,007745411 0,0000904 0,0003598 0,0008047 0,0014218 0,0022071 0,0031566 0,0042660 0,0055309 0,0069467 0,008508612 0,0000988 0,0003929 0,0008788 0,0015522 0,0024087 0,0034437 0,0046520 0,0060284 0,0075673 0,009263313 0,0001071 0,0004260 0,0009526 0,0016822 0,0026096 0,0037293 0,0050355 0,0065218 0,0081819 0,010009314 0,0001155 0,0004591 0,0010263 0,0018118 0,0028097 0,0040135 0,0054164 0,0070111 0,0087903 0,010746215 0,0001238 0,0004921 0,0010999 0,0019411 0,0030090 0,0042961 0,0057946 0,0074962 0,0093922 0,011473816 0,0001321 0,0005251 0,0011733 0,0020700 0,0032074 0,0045771 0,0061701 0,0079769 0,0099874 0,012191617 0,0001404 0,0005581 0,0012466 0,0021985 0,0034050 0,0048566 0,0065428 0,0084530 0,0105757 0,012899418 0,0001487 0,0005910 0,0013198 0,0023267 0,0036018 0,0051343 0,0069126 0,0089243 0,0111567 0,013596919 0,0001570 0,0006239 0,0013928 0,0024544 0,0037976 0,0054103 0,0072793 0,0093908 0,0117304 0,014283720 0,0001653 0,0006567 0,0014657 0,0025818 0,0039926 0,0056846 0,0076429 0,0098522 0,0122965 0,014959621 0,0001736 0,0006895 0,0015384 0,0027087 0,0041866 0,0059569 0,0080033 0,0103084 0,0128547 0,015624422 0,0001819 0,0007223 0,0016110 0,0028352 0,0043796 0,0062274 0,0083603 0,0107593 0,0134050 0,016277823 0,0001902 0,0007551 0,0016835 0,0029612 0,0045716 0,0064959 0,0087139 0,0112048 0,0139471 0,016919624 0,0001985 0,0007878 0,0017557 0,0030868 0,0047626 0,0067623 0,0090640 0,0116446 0,0144809 0,017549825 0,0002068 0,0008204 0,0018279 0,0032120 0,0049525 0,0070267 0,0094105 0,0120788 0,0150063 0,018168126 0,0002150 0,0008531 0,0018998 0,0033366 0,0051412 0,0072890 0,0097533 0,0125071 0,0155231 0,018774427 0,0002233 0,0008857 0,0019716 0,0034608 0,0053289 0,0075490 0,0100924 0,0129296 0,0160312 0,019368828 0,0002316 0,0009182 0,0020432 0,0035844 0,0055154 0,0078068 0,0104276 0,0133460 0,0165306 0,019951029 0,0002398 0,0009508 0,0021147 0,0037075 0,0057007 0,0080624 0,0107590 0,0137565 0,0170212 0,020521230 0,0002481 0,0009833 0,0021859 0,0038301 0,0058848 0,0083156 0,0110864 0,0141608 0,0175030 0,0210792


0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 0,0014336 0,0016981 0,0019836 0,0022897 0,0026163 0,0029630 0,0033295 0,0037156 0,0041210 0,00454553 0,0025464 0,0030156 0,0035220 0,0040648 0,0046436 0,0052579 0,0059070 0,0065905 0,0073079 0,00805864 0,0035764 0,0042344 0,0049442 0,0057048 0,0065154 0,0073751 0,0082831 0,0092387 0,0102409 0,01128915 0,0045703 0,0054097 0,0063145 0,0072835 0,0083156 0,0094094 0,0105639 0,0117778 0,0130502 0,01437976 0,0055432 0,0065591 0,0076532 0,0088242 0,0100702 0,0113899 0,0127815 0,0142435 0,0157743 0,01737247 0,0065010 0,0076892 0,0089679 0,0103352 0,0117889 0,0133270 0,0149472 0,0166477 0,0184263 0,02028118 0,0074461 0,0088028 0,0102617 0,0118200 0,0134751 0,0152243 0,0170649 0,0189944 0,0210101 0,02310949 0,0083794 0,0099011 0,0115356 0,0132795 0,0151296 0,0170825 0,0191350 0,0212837 0,0235255 0,0258572


0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 0,0049887 0,0054505 0,0059305 0,0064286 0,0069444 0,0074779 0,0080286 0,0085965 0,0091812 0,00978263 0,0088422 0,0096581 0,0105058 0,0113850 0,0122951 0,0132356 0,0142061 0,0152062 0,0162354 0,01729324 0,0123824 0,0135201 0,0147014 0,0159255 0,0171917 0,0184993 0,0198476 0,0212358 0,0226632 0,02412925 0,0157653 0,0172059 0,0187004 0,0202477 0,0218467 0,0234964 0,0251958 0,0269438 0,0287393 0,03058156 0,0190363 0,0207644 0,0225553 0,0244075 0,0263195 0,0282899 0,0303173 0,0324003 0,0345375 0,03672767 0,0222099 0,0242109 0,0262821 0,0284216 0,0306274 0,0328977 0,0352307 0,0376246 0,0400775 0,0425879

Abbildung 87: Abweichungsfaktoren bei diskontinuierlichem Rückfluß der Abschreibungen


C. GewinnvergleichsrechnungDie Gewinnvergleichsrechnung beurteilt die Investitionen auf der Basis des durchdie jeweilige Investition zusätzlich zu erwartenden Gewinns als Differenz zwi-schen zusätzlichen Erlösen (entscheidungsrelevante Erlöse) und zusätzlichen Ko-sten (entscheidungsrelevante Kosten). Es handelt sich dabei um einen durch-schnittlichen, für die gesamte Nutzungsdauer repräsentativen Gewinn pro Periode.In die Kosten sind dabei auch kalkulatorische Zinsen einzubeziehen. Läßt die In-vestition unter Berücksichtigung kalkulatorischer Zinsen einen zusätzlichen Ge-winn erwarten, so bedeutet dies, daß die Durchführung der Investition besser alsihre Unterlassung und die Anlage des einzusetzenden Kapitals zum kalkulatori-schen Zinssatz ist. Der von der Investition zugunsten der Kapitalgeber erwirt-schaftete Überschuß ist gleich der Summe aus kalkulatorischen Zinsen und zusätz-lichem Gewinn (Übergewinn).Unter mehreren alternativen Investitionen ist diejenige vorzuziehen, die den höch-sten zusätzlichen Gewinn erwarten läßt. Angewandt wird die Gewinnvergleichs-rechnung, wenn die zu vergleichenden Investitionen die Erlösseite in unterschied-lichem Maße verändern, wie dies etwa für Erweiterungs- und Diversifikations-investitionen der Fall ist. Auch die Gewinnvergleichsrechnung kann als starre und als flexible Gewinn-vergleichsrechnung durchgeführt werden. Bei einer starren Gewinnvergleichs-rechnung wird von bestimmten festen Schätzungen hinsichtlich der Erlösseite(insbesondere der jeweils erreichbaren Absatzmengen und Absatzpreise) ausge-gangen, und es werden diesem Erlös die damit verbundenen Kosten gegenüberge-stellt, um den zusätzlichen Gewinn zu ermitteln. Bei einer flexiblen Gewinnver-gleichsrechnung wird die Abhängigkeit der zu erwartenden Gewinne von derAusbringungsmenge und den Absatzpreisen untersucht. Es lassen sich dann bezo-gen auf jede Investition kritische Ausbringungsmengen (Gewinnschwellen) er-rechnen, die erreicht werden müssen oder bis zu denen ein zusätzlicher Gewinnerwartet werden kann. Bei mehreren Investitionen gibt die flexible Gewinnver-gleichsrechnung einen Einblick, welche Erlös- und Kostenänderungen bezogenauf die verglichenen Investitionen für die Rangfolge zwischen ihnen unerheblichsind.An einem Beispiel soll die starre Gewinnvergleichsrechnung erläutert werden.Es soll eine Diversifikation des Produktionsprogramms untersucht werden, wobeizwei Alternativen zur Wahl stehen: entweder eine Erweiterung des Produktions-programms um das Produkt A, was eine Investition A zur Folge hat, oder Erweite-rung des Produktionsprogramms um das Produkt B, was eine Investition B zurFolge haben soll. In der nachfolgenden Tabelle (vgl. Abbildung 88) sind die Resultate der Wirt-schaftlichkeitsüberlegungen zusammengefaßt:


Aufgrund dieser Informationen sollte man sich für die Erweiterung des Produk-tionsprogramms um das Produkt A entscheiden. Der pro Periode erwartete zusätz-liche Gewinn beträgt bei der Investition A 300.000 DM, während er bei der Inve-stition B nur 280.000 DM beträgt. Die Kapitalkosten der Investition A belaufensich auf insgesamt 225.000 DM, bei der Investition B auf insgesamt 210.000 DMpro Periode. Ein solcher Unterschied (und insbesondere auch der Unterschied inder Struktur der Kapitalkosten) kann sich auch bei gleichem Investitionsvolumen(z.B. 1.200.000 DM) und gleicher Investitionsdauer (z.B. 5 Jahre) ergeben, wenndie Restwerte (Liquidationserlöse, z.B. bei A: 500.000 DM, bei B: 600.000 DM)und damit die Abschreibungsbasen verschieden sind. Wenn die Investition Beinen höheren Restwert und damit eine niedrigere Abschreibungsbasis hat, ergäbesich unter diesen Bedingungen einerseits ein niedrigerer Betrag der kalkulatori-schen Abschreibungen, andererseits aber ein höheres durchschnittlich gebundenesKapital und damit höhere kalkulatorische Zinsen.Auch die Gewinnvergleichsrechnung läßt sich als eine Näherungsrechnung für dieAnnuitätenrechnung charakterisieren, wobei der zusätzliche Gewinn der Gewinn-vergleichsrechnung mit der der Kapitalwertannuität (Gewinnannuität) der An-nuitätenmethode zu vergleichen ist. Die zusätzlichen Erlöse E der Gewinnvergleichsrechnung müßten mit der An-nuität der laufenden periodischen Einzahlungen

verglichen werden. Wenn die von der Gewinnvergleichsrechnung vorausgesetztenVerhältnisse (gleichbleibende Gewinne) in der Realität erfüllt sind, würde gelten,daß die Annuität der laufenden Einzahlungen gleich den laufenden periodischenEinzahlungen und diese wiederum gleich dem zusätzlichen Erlös der Gewinnver-gleichsrechnung sind:

Die zusätzlichen variablen und zusätzlichen sonstigen fixen PeriodenkostenKP der Gewinnvergleichsrechnung müßten mit der Annuität der laufenden peri-

eSt*

(1 + i)tt =1

T

∑⎡⎣⎢

⎤

⎦⎥∑

i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1= eS

* = E, wenn eSt* = konstant für alle t ist.

eSt*

(1 + i)tt =1

T

∑⎡⎣⎢

⎤

⎦⎥∑

i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1

Investition A Investition BZusätzliche Erlöse 5.000.000 DM 4.400.000 DMKalkulatorische Abschreibungen 140.000 DM 120.000 DMKalkulatorische Zinsen 85.000 DM 90.000 DMSonstige fixe Kosten 40.000 DM 50.000 DMZusätzliche fixe Kosten 265.000 DM 260.000 DMZusätzliche variable Kosten 4.435.000 DM 3.860.000 DMZusätzlicher Gewinn 300.000 DM 280.000 DMAbbildung 88: Starre Gewinnvergleichsrechnung


odischen Auszahlungen verglichen werden. Ist die von der Gewinnvergleichs-rechnung vorausgesetzte Situation gegeben, so würde gelten:

Die Kapitalkosten KK = KA + KZ müßten, wie schon im Zusammenhang mit derKostenvergleichsrechnung dargelegt, mit der Annuität des um den Liquida-tionserlös modifizierten Investitionsvolumens verglichen werden. Die Annuitätdes um den Liquidationserlös modifizierten Investitionsvolumens ist, wie ge-zeigt (vgl. S. 261), gleich der Annuität der Abschreibungsbasis zuzüglich derZinsen auf den Liquidationserlös:

Wie schon dargelegt, sind die Kapitalkosten KK = KA + KZ in der Regel kleinerals die Annuität des um den Liquidationserlös modifizierten Investitionsvolu-mens:

Dies bedeutet, daß der zusätzliche Gewinn G der Gewinnvergleichsrechnung

in der Regel größer als die Kapitalwertannuität

ist. Die Abweichung zwischen zusätzlichem Gewinn und Kapitalwertannuitätbeträgt bei kontinuierlichem Rückfluß der Abschreibungsgegenwerte:

und bei diskontinuierlichem Rückfluß der Abschreibungsgegenwerte:

G - AS0T = DGewinnvergleichsrechnung-Annuitätenmethodediskontinuierlicher Rückflu˚ von K A = (aS0 − LT )∑ i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1− 1

T+ 1 + T

2∑T∑i⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟.

G - AS0T = DGewinnvergleichsrechnung-Annuitätenmethodekontinuierlicher Rückflu˚ von K A = (aS0 − LT )∑ i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1− 1

T+ i

2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟.

AS0T = eSt*

(1 + i)t + LT ∑1

(1 + i)Tt =1

T

∑⎡⎣⎢

⎤

⎦⎥ −

aSt*

(1 + i)t + aS0t =1

T

∑⎡⎣⎢

⎤

⎦⎥ ∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1oder

AS0T = eSt*

(1 + i)tt =1

T

∑⎡⎣⎢

⎤

⎦⎥∑

i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1− aSt

*

(1 + i)tt =1

T

∑⎡⎣⎢

⎤

⎦⎥∑

i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1− aS0 − LT ∑

1(1 + i)T

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1oder

AS0T = eSt*

(1 + i)tt =1

T

∑⎡⎣⎢

⎤

⎦⎥∑

i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1− aSt

*

(1 + i)tt =1

T

∑⎡⎣⎢

⎤

⎦⎥∑

i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1− aS0 − LT( )∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1+ LT ∑i

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥.

G = E - K = E - (KP + KA + KZ )

KA + KZ < (aS0 − LT )∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1+ LT ∑i.

aS0 − LT ∑1

(1 + i)T⎡⎣⎢

⎤⎦⎥∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1= (aS0 − LT )∑i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1+ LT ∑i.

aSt*

(1 + i)tt =1

T

∑⎡⎣⎢

⎤

⎦⎥∑

i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1= aS

* = KP,wenn aSt* = konstant für alle t ist.


Die Abweichungen zwischen der Gewinnvergleichsrechnung und der Annuitäten-methode lassen sich unter den geschilderten Prämissen auf die gleichen Ursachenzurückführen, wie sie bei der Kostenvergleichsrechnung herausgearbeitet wordensind. Die Werte der Abweichungsfaktoren (Klammerausdrücke!) können denAbbildungen 86 und 87 (vgl. S. 262, 265) entnommen werden. Für den absolutenBetrag der Abweichung gilt wiederum, daß er um so größer ist, je kleiner der er-wartete Restwert (Liquidationserlös) der Investition ist und daß keine Abwei-chung auftritt, wenn der Liquidationserlös gleich dem Investitionsvolumen ist.Falls die zusätzlichen Erlöse der Gewinnvergleichsrechnung nicht gleich der An-nuität der laufenden periodischen Einzahlungen und die zusätzlichen variablenund zusätzlichen sonstigen fixen Kosten nicht gleich der Annuität der laufendenperiodischen Auszahlungen sind, ergeben sich weitere, nicht methodenspezifischeAbweichungen, deren Größenordnung nicht abschätzbar ist, weil in der Gewinn-vergleichsrechnung die für eine solche Abschätzung benötigten Daten (laufendeperiodische Einzahlungen, laufende periodische Auszahlungen) nicht prognosti-ziert werden.


D. RentabilitätsvergleichsrechnungDie Rentabilitätsvergleichsrechnung beurteilt die Investitionen auf der Basis ihrerKapitalrentabilität, wobei grundsätzlich von der Eigenkapitalrentabilität oder derGesamtkapitalrentabilität ausgegangen werden kann. Diese können wiederum oh-ne oder mit Berücksichtigung von Steuern berechnet werden. Die Kapitalrentabilität ist allgemein definiert als Verhältnis zwischen demÜberschuß aus einer Kapitalnutzung und dem eingesetzten Kapital. Gemäßdem Grundsatz der Extensionsentsprechung bei Vergleichen müssen die Über-schußgröße und die Kapitalgröße aufeinander abgestimmt werden, damit einesinnvolle Relation, also eine sinnvolle Kapitalrentabilität, gebildet wird. Wir wol-len im weiteren die zu ermittelnde Kapitalrentabilität als Gesamtkapitalrentabili-tät definieren. Unter dieser Prämisse ist die mit Hilfe der Rentabilitätsvergleichs-rechnung ermittelte Kapitalrentabilität als eine Näherung des internen Zinsfu-ßes der Investition anzusehen.Entsprechend dem Grundgedanken der statischen Investitionsrechnungsmethodenwird die Kapitalrentabilität in der Rentabilitätsvergleichsrechnung als Ver-hältnis zwischen dem zusätzlichen durchschnittlichen periodischen Über-schuß aus der Investition und dem zusätzlichen durchschnittlich eingesetztenKapital aufgrund der Investition definiert:

Nach der Rentabilitätsvergleichsrechnung ist eine Investition im Vergleich zurUnterlassensalternative vorteilhaft, wenn ihre Kapitalrentabilität größer odergleich dem kalkulatorischen Zinssatz ist. Unter mehreren Investitionsobjektenwird dasjenige vorgezogen, das die größte Kapitalrentabilität aufweist.Die Besonderheit der Rentabilitätsvergleichsrechnung ist der Bezug zum zusätzli-chen durchschnittlich eingesetzten Kapital. Dieses ist als Ausgangsgröße zuwählen. Auf das zusätzlich durchschnittlich eingesetzte Kapital ist – in Ab-hängigkeit von dessen Abgrenzung – die Überschußgröße zu definieren, umGleiches mit Gleichem zu vergleichen, d.h., dem Grundsatz der Extensions-entsprechung Rechnung zu tragen. Eine große Quelle von Unzulänglichkeiten und Fehlern bei der Verwendungder Rentabilitätsvergleichsrechnung ist, daß diese Notwendigkeit der Abstim-mung des Zählers (Überschußgröße) auf den Inhalt des Nenners (Kapitalgrö-ße) nicht beachtet wird. Um das zusätzlich durchschnittlich gebundene Kapital richtig zu bestimmen,muß von der Kapitalbindungsfunktion der betrachteten Investition währendder Investitionsdauer ausgegangen werden1. Dabei sei angenommen, daß derhöchste Betrag des gebundenen Kapitals gleich dem Investitionsvolumen aS0im Zeitpunkt t = 0 und der niedrigste Betrag des gebundenen Kapitals gleichdem Liquidationserlös (Restwert) LT im Zeitpunkt t = T ist. Die Kapitalbin-dungsfunktion, die der Rentabilitätsvergleichsrechnung als einem Verfahren, das

Kapitalrentabilität der Investition = zusätzlicher durchschnittlicher Überschu˚zusätzliches durchschnittlich eingesetztes Kapital


1 Vgl. auch Matschke, Manfred Jürgen: Finanzierung der Unternehmung, Herne/Berlin 1991, S. 149-154.

mit traditionellen Erfolgsgrößen arbeitet, zugrunde gelegt wird, ergibt sich aus derbuchmäßigen Behandlung des Investitionsobjekts, das heißt, der Betrag des ge-bundenen Kapitals reduziert sich entsprechend den berücksichtigten kalku-latorischen Abschreibungen und dem erwarteten Restwert am Ende der Nut-zungsdauer.Bezogen auf diese Kapitalbindungsfunktion sind dann zwei grundsätzliche Si-tuationen zu unterscheiden:1. Der Kapitalrückfluß über die verdienten Abschreibungen erfolgt diskon-tinuierlich jeweils am Ende einer Periode innerhalb der Nutzungsdauer.2. Der Kapitalrückfluß über die verdienten Abschreibungen erfolgt konti-nuierlich während der Nutzungsdauer und ist bezogen auf eine Periode gleichdem Abschreibungsbetrag.Das gebundene Kapital fließt in Höhe der Differenz aus Investitionsvolumen undLiquidationserlös, also in Höhe der Abschreibungsbasis, während der Nutzungs-dauer und in Höhe des Liquidationserlöses am Ende der Nutzungsdauer zurück.Der während der Nutzungsdauer pro Periode zurückfließende Kapitalbetrag ent-spricht dem Betrag der kalkulatorischen Abschreibung KA, die im Rahmen derstatischen Investitionsrechnungsmethoden üblicherweise auf Basis der linearenAbschreibung berechnet wird. Wird dies berücksichtigt, so ergibt sich, wie schon im Zusammenhang mit der Ko-stenvergleichsrechnung dargelegt, ein unterschiedliches durchschnittlich gebunde-nes Kapital je nachdem, ob von einem diskontinuierlichen Rückfluß der Abschrei-bungsgegenwerte während einer Periode oder von einem kontinuierlichen Rück-fluß der Abschreibungsgegenwerte am Ende einer Periode ausgegangen wird. Beidiskontinuierlichem Rückfluß ergibt sich eine Treppenfunktion, bei kontinuierli-chem Rückfluß eine stetige fallende Funktion für das gebundene Kapital. Das zusätzlich durchschnittlich gebundene Kapital der Investition beträgt beidiskontinuierlichem Rückfluß während der Nutzungsdauer in Höhe der Peri-odenabschreibung und des Restwerts (Liquidationserlös) am Ende der Nut-zungsdauer

Hierbei gibt T sowohl die Anzahl der Nutzungsperioden als auch die Anzahlder Rückflußzeitpunkte an.Ist der Restwert (Liquidationserlös) der Investition am Ende ihrer Nutzungs-dauer gleich dem Investitionsvolumen, so ergibt sich als zusätzlich durch-schnittlich gebundenes Kapital ein Betrag in Höhe des Investitionsvolumens, weildann während der Nutzungsdauer keine Abschreibungen zu berücksichtigen sind,außerdem beträgt in dieser Situation die Anzahl der Rückflußzeitpunkte T = 1:

In dieser Situation ist die Abschreibungsbasis der Investition gleich Null, d.h., essind keine kalkulatorischen Abschreibungen KA anzusetzen. Der zusätzlichedurchschnittliche Überschuß Ü ist dann:

DKRückflu˚ nur am Ende der Nutzungsdauer in Höhe von L T = a S0

diskontinuierlicher Rückflu˚ = (aS0 − aS0 )∑1 + T2∑T

+ aS0 = aS0.

DKRückflu˚ während und am Ende der Nutzungsdauerdiskontinuierlicher Rückflu˚ = aS0

2∑(T + 1)

T+ LT

2∑(T −1)

T= (aS0 − LT )∑1 + T

2∑T+ LT.


d.h., der Überschuß Ü muß in dieser Situation, in der der Kapitalrückfluß nur amEnde der Nutzungsdauer über den Liquidationserlös LT = aS0 erfolgt, als Diffe-renz zwischen dem zusätzlichen Erlös und den zusätzlichen variablen und zu-sätzlichen sonstigen fixen Periodenkosten KP, die voraussetzungsgemäß aus-zahlungsgleich sind, berechnet werden, d.h. als Cash Flow CF und nicht als Ge-winn G.Wir erhalten in dieser Situation als Rentabilität R der Investition:

Wenn die realen Voraussetzungen für die Anwendung der statischen Investitions-rechnungsmethoden tatsächlich gegeben sind, dann gilt für den zusätzlichendurchschnittlichen Erlös E, daß er gleich der Annuität der laufenden Einzah-lungen ist und diese wiederum gleich den konstanten laufenden Einzahlungensind:

Zugleich gilt dann auch, daß die zusätzlichen variablen und zusätzlichen sonsti-gen fixen Periodenkosten KP gleich der Annuität der laufenden Auszahlun-gen und diese wiederum gleich den konstanten laufenden Auszahlungen sind:

Dies bedeutet, es gilt dann auch:

Das heißt, die Rentabilitätsvergleichsrechnung ermittelt für den Fall, daß währendder gesamten Nutzungsdauer ein Kapital in Höhe des Investitionsvolumens durch-schnittlich gebunden ist, weil ein Restwert (Liquidationserlös) in Höhe des Inve-stitionsvolumens erwartet wird, exakt den internen Zinsfuß der Investition, wie ersich für eine Investition ergibt, für die Einzahlungsüberschüsse als gleichbleiben-de nachschüssige endliche Rente zuzüglich eines Liquidationserlöses in Höhe desInvestitionsvolumens erwartet werden (vgl. S. 231). Die Überschußgröße Ü mußdabei der Datenkonstellation entsprechend richtig berechnet werden, näm-lich als Differenz zwischen zusätzlichem Erlös und zusätzlichen laufendenauszahlungsgleichen Kosten (= zusätzliche variable und zusätzliche sonstigefixe Kosten), so daß sie dem periodischen Einzahlungsüberschuß der Investi-tion, d.h. dem Cash Flow, entspricht.

R = ÜDKRückflu˚ nur am Ende der Nutzungsdauer in Höhe von L T = a S0

diskontinuierlicher Rückflu˚ = E − KP

aS0

= CFaS0

= eS* − aS

*

aS0

= eS

aS0

= r.

KP = aSt*

(1 + i)tt =1

T

∑⎡⎣⎢

⎤

⎦⎥∑

i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1= aS

* .

E = eSt*

(1 + i)tt =1

T

∑⎡⎣⎢

⎤

⎦⎥∑

i∑(1 + i)T

(1 + i)T −1= eS

* .

R = ÜDKRückflu˚ nur am Ende der Nutzungsdauer in Höhe von L T = a S0

diskontinuierlicher Rückflu˚ = E − KP

aS0

= CFaS0

.

Ü = G + KZ = (E − K) + KZ = E − (KP + KA + KZ ) + KZ = E − KP − KA

oder wegen KA = 0

Ü = E − KP = CF,


Zu Widersprüchen kommt es hingegen, wenn man einerseits ein gebundenesKapital in Höhe des Investitionsvolumens voraussetzt und andererseits einenLiquidationserlös kleiner als das Investitionsvolumen (speziell LT = 0) an-nimmt, mit der Folge, daß kalkulatorische Abschreibungen KA > 0 berücksichtigtwerden1. In einem solchen Fall würde die Überschußgröße um den Betrag der kal-kulatorischen Abschreibungen verkürzt, also Ü* = Ü - KA, mit der Folge, daß diedarauf berechnete Rentabilität R* = Ü*/aS0 der Investition stets kleiner als dieRentabilität R = Ü/aS0 und kleiner als der interne Zinsfuß r = R sein muß. Auf die-ser widersprüchlichen Vorgehensweise beruht die Aussage, "daß die auf derGrundlage des gesamten ursprünglichen Kapitaleinsatzes errechnete Rentabilität… stets niedriger … als der interne Zinssatz ist"2. Die Ursache dieser unzutreffen-den Aussage ist, daß die Notwendigkeit der inhaltlichen Abstimmung von Nen-ner und Zähler bei der Rentabilitätsrechnung unbeachtet bleibt, so daß gegeneinen zentralen Grundsatz eines jeden Vergleichs, nämlich Gleiches mit Gleichemzu vergleichen, verstoßen wird.Die Rentabilität der Investition wird für den Fall eines diskontinuierlichenRückflusses der Abschreibungsgegenwerte zum Ende einer jeden Periodeund eines Liquidationserlöses LT < aS0 berechnet als:

Für den Fall, daß das zusätzliche durchschnittliche gebundene Kapital der Investi-tion kleiner als das Investitionsvolumen ist, weil Abschreibungsgegenwerte schonwährend der Nutzungsdauer zurückfließen, läßt sich der Grad der Übereinstim-mung der Rentabilitätsvergleichsrechnung mit der internen Zinsfußmethode ameinfachsten vergleichen, wenn der Liquidationserlös LT gleich Null ist.

Sofern die realen Voraussetzungen für die Anwendung einer statischen Investi-tionsrechnungsmethode gegeben sind, so würde dies heißen, daß die Investitioneinen gleichbleibenden Cash Flow

R = ÜDKRückflu˚ während und am Ende der Nutzungsdauer

diskontinuierlicher Rückflu˚ = G + KZ

(aS0 − LT )∑1 + T2∑T

+ LT

= E − KP − KA

(aS0 − LT )∑1 + T2∑T

+ LT

=E − KP −

aS0 − LT

T(aS0 − LT )∑1 + T

2∑T+ LT

=CF − aS0 − LT

T(aS0 − LT )∑1 + T

2∑T+ LT

oder, wenn LT = 0 gilt,



aS0 ∑1 + T2∑T

=E − KP −

aS0

TaS0 ∑

1 + T2∑T

=CF − aS0

TaS0 ∑

1 + T2∑T

.


1 So Blohm, Hans, Lüder, Klaus: Investition, 7. A., München 1991, S. 166-167, in Anlehnung an Sarnat, Marshall,Levy, Haim: The Relationship of Rules of Thumb to the Internal Rate of Return: A Restatement and Generaliza-tion, in: Lüder, Klaus (Hrsg.): Investitionsplanung, München 1977, S. 96.

2 Blohm, Hans, Lüder, Klaus: Investition, 7. A., München 1991, S. 168.

während der Nutzungsdauer erwarten läßt.Bei einer Investition mit gleichbleibendem Einzahlungsüberschuß (ohne Li-quidationserlös) ist, wie schon dargelegt (vgl. S. 231), der Quotient eS/aS0 gleichdem Wiedergewinnungsfaktor:

so daß der interne Zinsfuß r mit Hilfe von finanzmathematischen Tabellenwerkenbestimmt werden kann.Formen wir die Berechnungsformel für die Rentabilität der Investition für denFall eines diskontinuierlichen Rückflusses und LT = 0 um, so erhalten wir

Da unter den genannten Bedingungen eS = CF gilt und CF/aS0 dem Wiederge-winnungsfaktor entspricht, können wir den linken Ausdruck dieser Gleichunggleich dem Kapitalwiedergewinnungsfaktor setzen, um so eine Gleichung für Rin Abhängigkeit von der Nutzungsdauer T und dem internen Zinsfuß r zu er-halten:

Wird r konstant gehalten und die Nutzungsdauer T als unabhängige Variable be-trachtet, so ist die Funktion der Rentabilität R(T) in Abhängigkeit von derNutzungsdauer eine streng monoton wachsende Funktion für das Intervallzwischen T=1 und T →→→→ ∞ mit R(T = 1) = r und R(T →→→→ ∞) = 2 • r:

R∑1 + T2∑T

+ 1T

= r∑(1 + r)T

(1 + r)T −1oder

R = r∑(1 + r)T

(1 + r)T −1− 1

T⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∑2∑T

1 + T.



aS0 ∑1 + T2∑T

=E − KP −

aS0

TaS0 ∑

1 + T2∑T

oder

R =CF − aS0

TaS0 ∑

1 + T2∑T

= 2∑T1 + T

∑CF − aS0

TaS0

= 2∑T1 + T

∑ CFaS0

− 1T

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

oder

R∑1 + T2∑T

+ 1T

= CFaS0

.

eS

aS0

= r∑(1 + r)T

(1 + r)T −1,

CF = E − KP = eS* − aS

* = eS


Das bedeutet, daß die Rentabilität R bis auf den Fall einer einperiodigen Nut-zungsdauer größer als der interne Zinsfuß r ist und die DifferenzfunktionR–r mit steigendem T wächst. Größer als der interne Zinsfuß r ist die Renta-bilität R auch bei konstantem T und variablem internen Zinsfuß r. Mit stei-gendem r wächst die Differenz zwischen R und r.In der nachfolgenden Tabelle (vgl. Abbildung 89) ist die relative AbweichungFd = (R – r)/r in Abhängigkeit von T und r unter der Bedingung eines dis-kontinuierlichen Rückflusses von Abschreibungsgegenwerten während derNutzungsdauer und eines Liquidationserlöses LT = 0 angegeben, d.h., die Wer-te geben an, um wieviel Prozent eine berechnete Rentabilität R unter diesenBedingungen größer als der interne Zinsfuß r ist:

R(T) = r∑(1 + r)T

(1 + r)T −1− 1

T⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∑2∑T

1 + Toder für T = 1

R(T) = r∑(1 + r)(1 + r) −1

− 11

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∑2∑1

1 + 1= r∑1 + r2

r−1⎛

⎝⎜⎞⎠⎟∑1 = r

und für T →∞

limT→∞

R(T) = limT→∞

r∑(1 + r)T

(1 + r)T −1− 1

T⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∑2∑T

1 + Toder

limT→∞

R(T) = 2∑limT→∞

r∑(1 + r)T

(1 + r)T −1− 1

T⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∑ T

1 + T= 2∑r − 0( )∑lim

T→∞

T1 + T

= 2∑r − 0( )∑1 = 2∑r.


Das zusätzlich durchschnittlich gebundene Kapital der Investition beträgt beikontinuierlichem Rückfluß (Anzahl der Rückflußzeitpunkte geht gegen un-endlich!) während der Nutzungsdauer in Höhe der Periodenabschreibungund des Restwerts (Liquidationserlös) am Ende der Nutzungsdauer:

Als Berechnungsformel für die Rentabilität der Investition R für den Fall eineskontinuierlichen Rückflusses und LT = 0 erhalten wir:

DKRückflu˚ während und am Ende der Nutzungsdauerkontinuierlicher Rückflu˚ = lim

T→∞ (aS0 − LT )∑1 + T

2∑T+ LT = (aS0 − LT )

2+ LT.

Interner Zinsfuß r ⇒Nutzungs-dauer T⇓ 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1

1 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,00000002 0,0016584 0,0033003 0,0049261 0,0065359 0,0081301 0,0097087 0,0112721 0,0128205 0,0143541 0,01587303 0,0033167 0,0066004 0,0098515 0,0130702 0,0162569 0,0194120 0,0225357 0,0256284 0,0286904 0,03172214 0,0049750 0,0099002 0,0147757 0,0196018 0,0243786 0,0291065 0,0337855 0,0384161 0,0429984 0,04753295 0,0066333 0,0131995 0,0196984 0,0261297 0,0324933 0,0387889 0,0450165 0,0511761 0,0572677 0,06329136 0,0082914 0,0164982 0,0246191 0,0326530 0,0405989 0,0484561 0,0562237 0,0639011 0,0714879 0,07898377 0,0099495 0,0197962 0,0295373 0,0391705 0,0486936 0,0581047 0,0674019 0,0765838 0,0856489 0,09459628 0,0116075 0,0230933 0,0344527 0,0456814 0,0567756 0,0677316 0,0785463 0,0892169 0,0997408 0,11011599 0,0132653 0,0263894 0,0393648 0,0521847 0,0648429 0,0773337 0,0896521 0,1017935 0,1137538 0,125529710 0,0149230 0,0296844 0,0442731 0,0586793 0,0728936 0,0869078 0,1007144 0,1143066 0,1276786 0,140825411 0,0165805 0,0329781 0,0491774 0,0651643 0,0809260 0,0964509 0,1117285 0,1267495 0,1415060 0,155990912 0,0182379 0,0362705 0,0540771 0,0716387 0,0889382 0,1059599 0,1226898 0,1391158 0,1552272 0,171015013 0,0198951 0,0395613 0,0589718 0,0781016 0,0969284 0,1154318 0,1335939 0,1513990 0,1688338 0,185886914 0,0215520 0,0428506 0,0638611 0,0845521 0,1048949 0,1248638 0,1444365 0,1635932 0,1823177 0,200596215 0,0232088 0,0461380 0,0687446 0,0909891 0,1128358 0,1342530 0,1552132 0,1756925 0,1956712 0,215133316 0,0248653 0,0494236 0,0736219 0,0974117 0,1207495 0,1435967 0,1659199 0,1876911 0,2088870 0,229489317 0,0265215 0,0527072 0,0784926 0,1038191 0,1286342 0,1528920 0,1765528 0,1995838 0,2219583 0,243655918 0,0281775 0,0559886 0,0833562 0,1102103 0,1364884 0,1621364 0,1871080 0,2113654 0,2348786 0,257625319 0,0298332 0,0592678 0,0882124 0,1165844 0,1443104 0,1713272 0,1975818 0,2230312 0,2476420 0,271390520 0,0314886 0,0625446 0,0930608 0,1229405 0,1520986 0,1804621 0,2079708 0,2345764 0,2602429 0,284945221 0,0331436 0,0658189 0,0979009 0,1292778 0,1598514 0,1895386 0,2182715 0,2459969 0,2726761 0,298283822 0,0347983 0,0690905 0,1027324 0,1355953 0,1675673 0,1985544 0,2284808 0,2572886 0,2849370 0,311401223 0,0364527 0,0723594 0,1075549 0,1418923 0,1752448 0,2075071 0,2385956 0,2684478 0,2970215 0,324293124 0,0381067 0,0756253 0,1123680 0,1481679 0,1828826 0,2163948 0,2486131 0,2794711 0,3089257 0,336955725 0,0397603 0,0788883 0,1171712 0,1544213 0,1904791 0,2252153 0,2585307 0,2903553 0,3206464 0,349386026 0,0414135 0,0821482 0,1219643 0,1606517 0,1980331 0,2339667 0,2683457 0,3010975 0,3321805 0,361581527 0,0430662 0,0854047 0,1267469 0,1668582 0,2055432 0,2426470 0,2780559 0,3116952 0,3435258 0,373540228 0,0447186 0,0886580 0,1315185 0,1730402 0,2130081 0,2512545 0,2876591 0,3221460 0,3546799 0,385260929 0,0463705 0,0919077 0,1362788 0,1791968 0,2204266 0,2597875 0,2971532 0,3324479 0,3656414 0,396742830 0,0480219 0,0951538 0,1410275 0,1853274 0,2277975 0,2682445 0,3065365 0,3425992 0,3764090 0,4079855


1 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,00000002 0,0173776 0,0188679 0,0203443 0,0218069 0,0232558 0,0246914 0,0261137 0,0275229 0,0289193 0,03030303 0,0347237 0,0376956 0,0406381 0,0435516 0,0464363 0,0492926 0,0521207 0,0549211 0,0576939 0,06043964 0,0520197 0,0564592 0,0608517 0,0651975 0,0694971 0,0737507 0,0779587 0,0821215 0,0862395 0,09031305 0,0692471 0,0751352 0,0809557 0,0867089 0,0923950 0,0980144 0,1035673 0,1090541 0,1144751 0,11983096 0,0863880 0,0937007 0,1009217 0,1080510 0,1150885 0,1220343 0,1288888 0,1356520 0,1423244 0,14890647 0,1034247 0,1121336 0,1207224 0,1291904 0,1375376 0,1457637 0,1538687 0,1618528 0,1697162 0,17745948 0,1203403 0,1304125 0,1403312 0,1500955 0,1597048 0,1691584 0,1784564 0,1875986 0,1965854 0,20541719 0,1371181 0,1485167 0,1597233 0,1707364 0,1815548 0,1921780 0,2026054 0,2128371 0,2228735 0,232715210 0,1537426 0,1664267 0,1788749 0,1910849 0,2030553 0,2147850 0,2262738 0,2375216 0,2485293 0,259297811 0,1701986 0,1841242 0,1977641 0,2111155 0,2241765 0,2369461 0,2494242 0,2616113 0,2735087 0,285118112 0,1864719 0,2015919 0,2163704 0,2308043 0,2448916 0,2586315 0,2720244 0,2850715 0,2977751 0,310138113 0,2025492 0,2188137 0,2346752 0,2501302 0,2651771 0,2798156 0,2940469 0,3078736 0,3212992 0,334328614 0,2184180 0,2357749 0,2526615 0,2690743 0,2850123 0,3004764 0,3154691 0,3299947 0,3440589 0,357668515 0,2340666 0,2524621 0,2703141 0,2876200 0,3043798 0,3205960 0,3362731 0,3514179 0,3660385 0,380144916 0,2494844 0,2688630 0,2876198 0,3057533 0,3232651 0,3401602 0,3564458 0,3721316 0,3872292 0,401751917 0,2646619 0,2849670 0,3045671 0,3234622 0,3416568 0,3591585 0,3759782 0,3921294 0,4076276 0,422490318 0,2795901 0,3007646 0,3211461 0,3407374 0,3595461 0,3775838 0,3948656 0,4114095 0,4272358 0,442366819 0,2942614 0,3162476 0,3373488 0,3575714 0,3769271 0,3954322 0,4131068 0,4299744 0,4460607 0,461393320 0,3086690 0,3314092 0,3531691 0,3739592 0,3937964 0,4127028 0,4307043 0,4478305 0,4641132 0,479586021 0,3228070 0,3462439 0,3686020 0,3898975 0,4101531 0,4293975 0,4476635 0,4649874 0,4814078 0,496964922 0,3366705 0,3607472 0,3836445 0,4053849 0,4259982 0,4455206 0,4639926 0,4814578 0,4979622 0,513552923 0,3502554 0,3749161 0,3982949 0,4204218 0,4413350 0,4610788 0,4797021 0,4972568 0,5137964 0,529375424 0,3635586 0,3887484 0,4125528 0,4350104 0,4561685 0,4760806 0,4948047 0,5124014 0,5289324 0,544459625 0,3765777 0,4022431 0,4264190 0,4491540 0,4705052 0,4905362 0,5093148 0,5269105 0,5433937 0,558833926 0,3893111 0,4154002 0,4398958 0,4628573 0,4843531 0,5044574 0,5232480 0,5408043 0,5572051 0,572527727 0,4017581 0,4282206 0,4529862 0,4761265 0,4977214 0,5178569 0,5366213 0,5541037 0,5703918 0,585570728 0,4139185 0,4407059 0,4656944 0,4889683 0,5106205 0,5307487 0,5494525 0,5668306 0,5829798 0,597992729 0,4257931 0,4528589 0,4780254 0,5013909 0,5230615 0,5431476 0,5617598 0,5790072 0,5949948 0,609823230 0,4373830 0,4646826 0,4899849 0,5134027 0,5350563 0,5550688 0,5735622 0,5906556 0,6064628 0,6210914

Abbildung 89: Relative Abweichung Fd der Rentabilität R vom internen Zinsfuß rbei diskontinuierlichem Rückfluß der Abschreibungsgegenwerte und LT = 0


Da unter den genannten Bedingungen eS = CF gilt und CF/aS0 dem Wiederge-winnungsfaktor entspricht, können wir den linken Ausdruck dieser Gleichunggleich dem Kapitalwiedergewinnungsfaktor setzen, um so eine Gleichung für Rin Abhängigkeit von der Nutzungsdauer T und dem internen Zinsfuß r zu er-halten

Wird r konstant gehalten und die Zeit als unabhängige Variable betrachtet, so istdie Funktion der Rentabilität R(T) in Abhängigkeit von der Nutzungsdauereine erst fallende, dann steigende Funktion für das Intervall zwischen T=1und T →→→→ ∞ mit R(T = 1) = 2 • r und R(T →→→→ ∞) = 2 • r, wobei R aber immerüber r liegt. Wird r als Variable angesehen und die Nutzungsdauer T festge-halten, so steigt der Unterschied zwischen R und r mit zunehmendem inter-nen Zinsfuß.In der nachstehenden Tabelle (vgl. Abbildung 90) ist die relative AbweichungFk = (R – r)/r in Abhängigkeit von T und r unter der Bedingung eines konti-nuierlichen Rückflusses von Abschreibungsgegenwerten während der Nut-zungsdauer und eines Liquidationserlöses LT = 0 angegeben, d.h., die Wertegeben an, um wieviel Prozent eine berechnete Rentabilität R unter diesen Be-dingungen größer als der interne Zinsfuß r ist.

R2

+ 1T

= r∑(1 + r)T

(1 + r)T −1oder

R = r∑(1 + r)T

(1 + r)T −1− 1

T⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∑2.


kontinuierlicher Rückflu˚ = G + KZaS0

2

=E − KP −

aS0

TaS0

2

=CF − aS0

TaS0

2oder

R =CF − aS0

TaS0

2

= 2∑CF − aS0

TaS0

= 2∑ CFaS0

− 1T

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

oder

R2

= CFaS0

− 1T

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

oderR2

+ 1T

= CFaS0

.


Den zugehörigen internen Zinsfuß r bei einer gegebenen Rentabilität R erhältman gemäß folgender Beziehung:

wobei F die relative Abweichung entsprechend Abbildung 89 oder 90 ist, jenachdem, ob man R auf der Basis eines diskontinuierlichen oder eines kontinuier-lichen Rückflusses der Abschreibungsgegenwerte berechnet hat.

wegen F = R ± rr

folgt r = RF +1

,


1 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,00000002 0,5024876 0,5049505 0,5073892 0,5098039 0,5121951 0,5145631 0,5169082 0,5192308 0,5215311 0,52380953 0,3377556 0,3421339 0,3464687 0,3507603 0,3550093 0,3592160 0,3633809 0,3675045 0,3715872 0,37562944 0,2562188 0,2623753 0,2684697 0,2745023 0,2804733 0,2863831 0,2922319 0,2980201 0,3037480 0,30941615 0,2079599 0,2158394 0,2236381 0,2313557 0,2389919 0,2465467 0,2540198 0,2614114 0,2687213 0,27594966 0,1763400 0,1859146 0,1953889 0,2047618 0,2140321 0,2231987 0,2322609 0,2412180 0,2500693 0,25881437 0,1542280 0,1654813 0,1766141 0,1876235 0,1985070 0,2092625 0,2198879 0,2303815 0,2407416 0,25096718 0,1380584 0,1509799 0,1637593 0,1763916 0,1888725 0,2011981 0,2133646 0,2253690 0,2372084 0,24888049 0,1258503 0,1404326 0,1548497 0,1690941 0,1831588 0,1970375 0,2107245 0,2242150 0,2375042 0,2505886

10 0,1164153 0,1326528 0,1487004 0,1645472 0,1801830 0,1955986 0,2107858 0,2257372 0,2404464 0,254907911 0,1089970 0,1268852 0,1445571 0,1619974 0,1791920 0,1961282 0,2127947 0,2291813 0,2452792 0,261081012 0,1030911 0,1226263 0,1419168 0,1609420 0,1796831 0,1981232 0,2162473 0,2340421 0,2514961 0,268599613 0,0983485 0,1195276 0,1404311 0,1610325 0,1813075 0,2012343 0,2207935 0,2399682 0,2587441 0,277108914 0,0945200 0,1173399 0,1398512 0,1620201 0,1838159 0,2052113 0,2261819 0,2467070 0,2667689 0,286353015 0,0914227 0,1158806 0,1399943 0,1637217 0,1870248 0,2098699 0,2322274 0,2540720 0,2753826 0,296142216 0,0889194 0,1150126 0,1407233 0,1660000 0,1907963 0,2150715 0,2387899 0,2619218 0,2844424 0,306332417 0,0869051 0,1146311 0,1419333 0,1687496 0,1950245 0,2207092 0,2457618 0,2701476 0,2938382 0,316812118 0,0852985 0,1146547 0,1435427 0,1718886 0,1996267 0,2266995 0,2530585 0,2786635 0,3034830 0,327493319 0,0840349 0,1150187 0,1454868 0,1753520 0,2045373 0,2329760 0,2606125 0,2874012 0,3133074 0,338305820 0,0830630 0,1156718 0,1477138 0,1790875 0,2097035 0,2394852 0,2683693 0,2963052 0,3232550 0,349192521 0,0823409 0,1165721 0,1501819 0,1830529 0,2150824 0,2461833 0,2762844 0,3053301 0,3332797 0,360106822 0,0818346 0,1176855 0,1528566 0,1872133 0,2206385 0,2530341 0,2843208 0,3144381 0,3433433 0,371010323 0,0815158 0,1189837 0,1557095 0,1915398 0,2263424 0,2600075 0,2924476 0,3235977 0,3534138 0,381871024 0,0813611 0,1204431 0,1587166 0,1960082 0,2321694 0,2670779 0,3006387 0,3327824 0,3634643 0,392662225 0,0813507 0,1220438 0,1618581 0,2005981 0,2380983 0,2742239 0,3088719 0,3419695 0,3734722 0,403361426 0,0814678 0,1237692 0,1651168 0,2052921 0,2441113 0,2814269 0,3171283 0,3511397 0,3834183 0,413950027 0,0816983 0,1256049 0,1684782 0,2100752 0,2501929 0,2886710 0,3253913 0,3602765 0,3932860 0,424412128 0,0820300 0,1275386 0,1719298 0,2149345 0,2563298 0,2959422 0,3336469 0,3693655 0,4030614 0,434734529 0,0824522 0,1295597 0,1754608 0,2198588 0,2625102 0,3032285 0,3418827 0,3783944 0,4127325 0,444906330 0,0829560 0,1316589 0,1790617 0,2248383 0,2687241 0,3105193 0,3500877 0,3873525 0,4222893 0,4549183


1 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,00000002 0,5260664 0,5283019 0,5305164 0,5327103 0,5348837 0,5370370 0,5391705 0,5412844 0,5433790 0,54545453 0,3796316 0,3835941 0,3875175 0,3914021 0,3952484 0,3990567 0,4028276 0,4065614 0,4102585 0,41391944 0,3150246 0,3205739 0,3260646 0,3314969 0,3368714 0,3421884 0,3474484 0,3526519 0,3577993 0,36289125 0,2830965 0,2901622 0,2971468 0,3040507 0,3108740 0,3176173 0,3242808 0,3308649 0,3373702 0,34379706 0,2674527 0,2759842 0,2844087 0,2927261 0,3009365 0,3090400 0,3170369 0,3249274 0,3327118 0,34039087 0,2610568 0,2710099 0,2808256 0,2905033 0,3000429 0,3094442 0,3187071 0,3278317 0,3368185 0,34566788 0,2603828 0,2717140 0,2828726 0,2938575 0,3046679 0,3153033 0,3257634 0,3360484 0,3461585 0,35609429 0,2634646 0,2761296 0,2885814 0,3008182 0,3128387 0,3246422 0,3362282 0,3475968 0,3587483 0,369683510 0,2691169 0,2830694 0,2967624 0,3101934 0,3233608 0,3362635 0,3489011 0,3612738 0,3733822 0,385227611 0,2765803 0,2917719 0,3066517 0,3212169 0,3354652 0,3493958 0,3630082 0,3763033 0,3892822 0,401947012 0,2853446 0,3017246 0,3177346 0,3333713 0,3486326 0,3635175 0,3780265 0,3921608 0,4059230 0,419316313 0,2950530 0,3125686 0,3296502 0,3462941 0,3624984 0,3782629 0,3935890 0,4084792 0,4229376 0,436969214 0,3054478 0,3240446 0,3421373 0,3597225 0,3767989 0,3933675 0,4094311 0,4249943 0,4400631 0,454644815 0,3163377 0,3359595 0,3550017 0,3734614 0,3913385 0,4086357 0,4253580 0,4415124 0,4571078 0,472154516 0,3275772 0,3481670 0,3680961 0,3873629 0,4059692 0,4239202 0,4412237 0,4578898 0,4739310 0,489361417 0,3390537 0,3605533 0,3813063 0,4013130 0,4205778 0,4391090 0,4569181 0,4740194 0,4904292 0,506166218 0,3506784 0,3730293 0,3945431 0,4152228 0,4350764 0,4541162 0,4723581 0,4898211 0,5065267 0,522498319 0,3623805 0,3855238 0,4077356 0,4290226 0,4493970 0,4688760 0,4874809 0,5052362 0,5221692 0,538308720 0,3741025 0,3979797 0,4208275 0,4426572 0,4634863 0,4833379 0,5022395 0,5202220 0,5373188 0,553565321 0,3857979 0,4103507 0,4337735 0,4560831 0,4773033 0,4974640 0,5165999 0,5347487 0,5519511 0,568248922 0,3974283 0,4225994 0,4465375 0,4692660 0,4908163 0,5112261 0,5305377 0,5487968 0,5660514 0,582350723 0,4089622 0,4346951 0,4590903 0,4821793 0,5040018 0,5246040 0,5440370 0,5623549 0,5796136 0,595870024 0,4203735 0,4466129 0,4714091 0,4948025 0,5168422 0,5375840 0,5570883 0,5754181 0,5926379 0,608812125 0,4316408 0,4583328 0,4834758 0,5071201 0,5293254 0,5501577 0,5696874 0,5879870 0,6051295 0,621187326 0,4427461 0,4698387 0,4952764 0,5191211 0,5414436 0,5623211 0,5818345 0,6000660 0,6170976 0,633009627 0,4536750 0,4811176 0,5068005 0,5307978 0,5531926 0,5740738 0,5935332 0,6116631 0,6285545 0,644295628 0,4644156 0,4921597 0,5180407 0,5421458 0,5645713 0,5854183 0,6047901 0,6227889 0,6395148 0,655063829 0,4749584 0,5029575 0,5289918 0,5531630 0,5755809 0,5963596 0,6156136 0,6334557 0,6499947 0,665334330 0,4852957 0,5135054 0,5396510 0,5638494 0,5862249 0,6069044 0,6260143 0,6436775 0,6600116 0,6751278

Abbildung 90: Relative Abweichung Fk der Rentabilität R vom internen Zinsfuß rbei kontinuierlichem Rückfluß der Abschreibungsgegenwerte und LT = 0


Interessant ist noch der Vergleich der Rentabilitäten Rd bei diskontinuierli-chem Rückfluß und Rk bei kontinuierlichem Rückfluß der Abschreibungsge-genwerte und LT= 0, um eine Aussage darüber treffen zu können, welche Renta-bilität bei gegebener Nutzungsdauer und gegebenem internen Zinsfuß unterder Bedingung LT = 0 eine bessere Approximation des internen Zinsfußesdarstellt. Dieser Vergleich ist leicht zu ziehen, da sich die Formel für die Rentabilität Rdbei diskontinuierlichem Rückfluß der Abschreibungsgegenwerte und die Formelfür die Rentabilität Rk bei kontinuierlichem Rückfluß der Abschreibungsge-genwerte nur durch einen Faktor unterscheiden:

Die Differenz zwischen Rk und Rd ist somit immer positiv, und das heißt zu-gleich, da sowohl Rk als auch Rd größer als der interne Zinsfuß r sind, daß dieRentabilität Rd bei gleichem internen Zinsfuß und gleicher Nutzungsdauerstets eine bessere Näherung an den internen Zinsfuß r darstellt als die Renta-bilität Rk. Daß dies gilt, davon kann man sich unmittelbar durch Vergleich derZahlenwerte in den Abbildungen 89 und 90 überzeugen. Aus Gründen einer möglichst guten Annäherung der Kapitalrentabilitätnach der Rentabilitätsvergleichsrechnung an den internen Zinsfuß sollte dieKapitalrentabilität unter der Prämisse eines diskontinuierlichen Rückflussesberechnet werden, wenn das zusätzliche durchschnittlich gebundene Kapitalwegen verdienter kalkulatorischer Abschreibungen kleiner als das Investi-tionsvolumen ist und kein Liquidationserlös erwartet wird1.In der Abbildung 91 ist ein Zahlenbeispiel zur Berechnung der Rentabilität derbeiden Investitionen gemäß der Rentabilitätsvergleichsrechnung wiedergegeben,wobei die Rentabilitäten einerseits auf der Basis eines diskontinuierlichen Rück-flusses der Abschreibungsgegenwerte und andererseits auf der Basis eines konti-nuierlichen Rückflusses berechnet worden sind.

Rk ± Rd = r∑(1 + r)T

(1 + r)T −1− 1

T⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∑2 ± r∑(1 + r)T

(1 + r)T −1− 1

T⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∑2∑T

1 + Toder

Rk ± Rd = r∑(1 + r)T

(1 + r)T −1− 1

T⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∑(2 ± 2∑T

1 + T)

oder

Rk ± Rd = r∑(1 + r)T

(1 + r)T −1− 1

T⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∑2∑(1 ± T

1 + T)

oder

Rk ± Rd = r∑(1 + r)T

(1 + r)T −1− 1

T⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∑2∑1+ T ± T

1 + T= r∑(1 + r)T

(1 + r)T −1− 1

T⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∑2∑ 1

1 + T.


1 So auch Blohm, Hans, Lüder, Klaus: Investition, 7. A., München 1991, S. 168, aber auf ganz anderer Argumen-tationsbasis.

Auf der Basis des für die Investitionen jeweils geltenden Wiedergewinnungsfak-tors kann mit Hilfe eines finanzmathematischen Tabellenwerks (vgl. Abbildung92) der zugehörige interne Zinsfuß durch lineare Interpolation abgeschätzt wer-den.

Investition A Investition B

Investitionsvolumen aS0 1.000.000 DM 1.200.000 DMNutzungsdauer in Jahren 5 5Liquidationserlös LT 0 DM 0 DM

Zusätzlicher Erlös E 3.000.000 DM 3.500.000 DMZusätzliche auszahlungsgleiche varia-ble und sonstige fixe Kosten KP

2.550.000 DM 3.000.000 DMZusätzlicher Cash Flow CF 450.000 DM 500.000 DMZusätzliche Abschreibungen KA 200.000 DM 240.000 DMZusätzlicher Überschuß Ü 250.000 DM 260.000 DM

Zusätzliches durchschnittlich gebun-denes Kapital (diskontinuierlicherRückfluß)DK = (aS0 – LT)•(1 + T)/(2 • T) + LT

600.000 DM 720.000 DM

Rentabilität der Investition Rd 0,416667 0,361111

Zusätzliches durchschnittlich gebun-denes Kapital (kontinuierlicher Rück-fluß)DK = (aS0 – LT) • 2 + LT

500.000 DM 600.000 DM

Rentabilität der Investition Rk 0,5 0,433333

Wiedergewinnungsfaktor CF/aS0 0,45 0,4167

Interner Zinsfuß r 0,349433 0,307720

Abbildung 91: Rentabilitätsvergleichsrechnung


Investition A

Interner Zins r 0,3494328Nutzungsdauer T 5Wiedergewinnungsfaktor w 0,44999991/T 0,2w-1/T 0,24999992•1/(1+T) 0,3333333(w-1/T)•2•1/(1+T) 0,0833333Rk - Rd 0,0833333

Für die Investition A gilt für den internen Zinsfuß 0,349 < rA < 0,35 oder linearinterpoliert rA = 0,349433, so daß der Abweichungsfaktor bei Berechnung desDurchschnittskapitals unter der Prämisse eines diskontinuierlichen RückflussesFdA = 0,192409 beträgt. Wird hingegen das Durchschnittskapital unter der Prämis-se eines kontinuierlichen Rückflusses berechnet, so ergibt sich ein Abweichungs-faktor FkA = 0,430890. Es gilt also, daß RdA = 0,416667 eine genauere Schätzungfür den internen Zinsfuß rA = 0,349433 ist als RkA = 0,5.

Für die Investition B gilt für den internen Zinsfuß 0,307 < rB < 0,308 oder linearinterpoliert rB = 0,307720, so daß der Abweichungsfaktor bei Berechnung desDurchschnittskapitals unter der Prämisse eines diskontinuierlichen RückflussesFdB = 0,173507 beträgt. Wird hingegen das Durchschnittskapital unter der Prämis-se eines kontinuierlichen Rückflusses berechnet, so ergibt sich ein Abweichungs-faktor FkB = 0,408209. Es gilt also, daß RdB = 0,361111 eine genauere Schätzungfür den internen Zinsfuß rB = 0,307720 ist als RkB = 0,433333.

Die Abweichungsfaktoren für die Investitionen A und B sind wegen der unter-schiedlichen internen Zinsfüße trotz übereinstimmender Nutzungsdauer verschie-den. Wegen der Abhängigkeit der Abweichungsfaktoren von r und T ergibt sich,daß es bei unterschiedlichem internen Zinsfuß und unterschiedlicher Nutzungs-dauer T der zu beurteilenden Investitionen auch unter der Bedingung eines Liqui-dationserlöses LT = 0 möglich ist, daß die Rangfolge nach den Rentabilitäten Rder Investitionen nicht die gleiche sein muß wie nach ihren internen Zinsfü-

Zinsfuß i ⇒Zeit t⇓ 0,305 0,306 0,307 0,308 0,309 0,31 0,311 0,312

1 1,305000 1,306000 1,307000 1,308000 1,309000 1,310000 1,311000 1,3120002 0,738839 0,739651 0,740463 0,741276 0,742088 0,742900 0,743713 0,7445263 0,554499 0,555275 0,556051 0,556827 0,557603 0,558379 0,559156 0,5599334 0,465501 0,466277 0,467053 0,467829 0,468606 0,469383 0,470161 0,4709385 0,414520 0,415309 0,416098 0,416888 0,417679 0,418469 0,419261 0,4200526 0,382425 0,383233 0,384041 0,384850 0,385660 0,386469 0,387280 0,3880907 0,361007 0,361835 0,362664 0,363494 0,364324 0,365154 0,365985 0,3668178 0,346151 0,347000 0,347849 0,348700 0,349550 0,350401 0,351253 0,3521059 0,335569 0,336438 0,337307 0,338177 0,339047 0,339918 0,340789 0,34166110 0,327889 0,328775 0,329663 0,330551 0,331439 0,332328 0,333218 0,334108

Zinsfuß i ⇒Zeit t⇓ 0,345 0,346 0,347 0,348 0,349 0,35 0,351 0,352

1 1,345000 1,346000 1,347000 1,348000 1,349000 1,350000 1,351000 1,3520002 0,771439 0,772257 0,773076 0,773894 0,774713 0,775532 0,776351 0,7771703 0,585730 0,586517 0,587303 0,588090 0,588877 0,589664 0,590452 0,5912404 0,496810 0,497600 0,498391 0,499182 0,499973 0,500764 0,501556 0,5023485 0,446423 0,447229 0,448036 0,448843 0,449650 0,450458 0,451267 0,4520756 0,415120 0,415947 0,416774 0,417602 0,418431 0,419260 0,420089 0,4209197 0,394550 0,395399 0,396249 0,397099 0,397949 0,398800 0,399651 0,4005038 0,380531 0,381402 0,382272 0,383143 0,384015 0,384887 0,385760 0,3866339 0,370737 0,371627 0,372518 0,373408 0,374299 0,375191 0,376083 0,37697610 0,363776 0,364684 0,365592 0,366500 0,367409 0,368318 0,369228 0,370138

Abbildung 92: Ausriß aus einem finanzmathematischen Tabellenwerk (Wiedergewinnungsfaktoren)


ßen r, wie dies für das Beispiel in Abbildung 93 gilt, oder daß die Rangfolgenach der Rentabilität Rd eine andere ist als nach der Rentabilität Rk.


Investitionsvolumen aS0 1.000.000 DM 1.200.000 DMNutzungsdauer in Jahren 10 7Liquidationserlös LT 0 DM 0 DM

Zusätzlicher Erlös E 3.000.000 DM 3.500.000 DMZusätzliche auszahlungsgleiche varia-ble und sonstige fixe Kosten KP

2.761.477 DM 3.157.920 DMZusätzlicher Cash Flow CF 238.523 DM 342.080 DMZusätzliche Abschreibungen KA 100.000 DM 171.429 DMZusätzlicher Überschuß Ü 138.523 DM 170.652 DM

Zusätzliches durchschnittlich gebun-denes Kapital (diskontinuierlicherRückfluß)DK = (aS0 – LT)•(1+T)/(2•T)+ LT

550.000 DM 685.714 DM

Rentabilität der Investition Rd 25,185956% 24,886737%

Wiedergewinnungsfaktor CF/aS0 0,238523 0,285067

Interner Zinsfuß r 0,200000 0,210000

Abbildung 93: Rentabilitätsvergleichsrechnung


E. AmortisationsrechnungDie Amortisationsrechnung stellt eine eigene Klasse von Investitionsbeurteilungs-methoden dar. Beurteilungskriterium ist die Amortisationszeit. Man spricht auchvon Kapitalrückflußzeit, von Pay-off-Zeit oder Pay-out-Zeit. Die Amortisa-tionszeit ist derjenige Teil der Nutzungsdauer, in dem, gemessen vom Investi-tionszeitpunkt, das investierte Kapital vollständig aus den laufenden Einzahlungs-überschüssen wiedergewonnen worden (zurückgeflossen) ist.Nach der Amortisationsrechnung ist eine Investition vorteilhaft, wenn ihreAmortisationszeit eine vorgegebene Maximalzeit nicht überschreitet. Beimehreren Investitionen werden diese nach ihrer Amortisationszeit geordnet, wobeieine Investition in der Rangfolge um so besser plaziert ist, je kürzer ihre Amor-tisationszeit ist. Die Amortisationszeit dient als Risikomaß. Eine Investition wirdals weniger risikoreich angesehen, je kürzer ihre Amortisationszeit ist.Die Amortisationsrechnung kann die Merkmale eines statischen und eines dyna-mischen Verfahrens aufweisen.Bei der statischen Amortisationsrechnung geht man von einem durchschnittli-chen erwarteten Cash Flow CF aus, den man aus dem zusätzlichen durchschnitt-lichen Gewinn zuzüglich der kalkulatorischen Zinsen und der kalkulatorischenAbschreibungen der Investition ermittelt. Die Amortisationszeit ZS erhält mandann als Durchschnitt aus Investitionsvolumen aS0 und durchschnittlichemCash Flow CF (Durchschnittsrechnung):

Bei der statischen Amortisationsrechnung wird mithin davon ausgegangen, daßdas maximal gebundene Kapital gleich dem Investitionsvolumen aS0 ist unddaß der Cash Flow CF in den einzelnen Perioden der Nutzungsdauer konstantist und innerhalb einer Periode kontinuierlich fließt.Es seien die folgenden Investitionen (vgl. Abbildung 94) zu beurteilen, wobei diemaximale Amortisationszeit für Investitionen der betrachteten Art Zmax = 4 Jah-re sein soll:

Im Beispiel werden also beide Investitionen als vorteilhaft beurteilt, weil sie dievorgegebene Amortisationszeit unterschreiten, zugleich wird die Investition Bbesser als die Investition A beurteilt.


Investitionsvolumen aS0 1.500.000 DM 1.200.000 DM

Zusätzlicher Cash Flow CF pro Jahr 450.000 DM 500.000 DM

Amortisationszeit in Jahren 3,33 2,40

Abbildung 94: Statische Amortisationsrechnung

ZS = aS0

CF= aS0

G + KZ + KA

.


Die dynamische Amortisationsrechnung berücksichtigt die zeitliche Strukturder mit der Investition verbundenen Zahlungen. Zur Berechnung der Amortisa-tionszeit müssen die Einzahlungen und Auszahlungen der Investition im Zeit-ablauf untersucht werden, daher die Kennzeichnung der Methode als "dyna-misch". Zu einem Kapitalrückfluß kommt es, wenn die Einzahlungen dieAuszahlungen der betrachteten Periode übersteigen. Zu einer weiteren Kapi-talbindung kommt es hingegen, wenn die Auszahlungen in der betrachtetenPeriode größer als die Einzahlungen sind. Dies bedeutet, daß bei der dynami-schen Amortisationsrechnung nicht von einem maximalen gebundenen Kapital inHöhe des Investitionsvolumens ausgegangen wird, sondern daß der Betrag des ge-bundenen Kapitals sich aufgrund von späteren Auszahlungsüberschüssen, insbe-sondere in der Anfangsphase, weiter erhöhen kann. Es sei die folgende Investition (vgl. Abbildung 95) zu beurteilen, wobei die ma-ximale Amortisationszeit für Investitionen der betrachteten Art Zmax = 5 Jahrebetragen soll:

Im Beispiel unterschreitet die Investition die vorgegebene maximale Amortisa-tionszeit von 5 Jahren, so daß sie als vorteilhaft beurteilt wird. Die Amortisa-tionszeit kann bestimmt werden, indem man zum Investitionsvolumen dielaufenden Auszahlungen addiert und die laufenden Einzahlungen subtra-hiert. Die Zahlungen werden also über die Zeit kumuliert (Kumulationsrech-nung). Die Investition hat sich amortisiert, sobald die Summe der Einzahlungendie Investitionsanfangsauszahlungen sowie sonstigen Auszahlungen im Zeitablauferreicht hat. Dies bedeutet, die Amortisationszeit ist erreicht, wenn das gebundeneKapital gleich Null wird. Der Begriff des gebundenen Kapitals wird also in derAmortisationsrechnung anders gebraucht als in der Rentabilitätsvergleichs-rechnung. Im Rahmen der Amortisationsrechnung vermindert sich das gebundeneKapital um den Einzahlungsüberschuß der Investition, während es sich bei derRentabilitätsvergleichsrechnung während der Nutzungsdauer nur um den Betragder Abschreibungsgegenwerte vermindert.Im Beispiel ist das gebundene Kapital genau nach vier Perioden über die Einzah-lungsüberschüsse zurückgeflossen. Bei dieser periodenweisen Kumulation kann es

Einzahlungen AuszahlungenGebundenes

Kapital

Investitionsvolumen aS0 1.000.000 DM 1.000.000 DM

Periode 1 450.000 DM 500.000 DM 1.050.000 DMPeriode 2 600.000 DM 300.000 DM 750.000 DMPeriode 3 700.000 DM 350.000 DM 400.000 DMPeriode 4 800.000 DM 400.000 DM 0 DMPeriode 5 700.000 DM 370.000 DMPeriode 6 650.000 DM 350.000 DM

Amortisationszeit in Jahren 4

Abbildung 95: Dynamische Amortisationsrechnung


natürlich vorkommen, daß am Ende der einen Periode sich noch ein gebundenesKapital ergibt und am Ende der darauffolgenden Periode schon ein Überschußbe-trag ausgewiesen wird. In einer solchen Situation läßt sich durch Interpolation,wenn nötig, die Amortisationszeit genauer ermitteln, wobei bei einer solchen Vor-gehensweise ein kontinuierlicher gleichmäßiger Anfall der Einzahlungen undAuszahlungen während der jeweiligen Periode unterstellt wird.Bei Anwendung der Amortisationsrechnung will man wissen, wann der Be-trag des gebundenen Kapitals gleich Null ist. Es interessiert dabei nicht, wel-che Einzahlungsüberschüsse danach in welcher Höhe und für welche Zeitnoch erwartet werden. Die Zahlungen nach Erreichen eines gebundenen Kapitalsvon Null bleiben unbeachtet. Sie spielen für die Beurteilung einer einzelnen Inve-stition wie auch für die Rangfolge mehrerer Investitionen keine Rolle. Das heißt,die Einzahlungsüberschüsse bis zum Amortisationszeitpunkt werden ohne Ge-wichtung nach dem zeitlichen Anfall berücksichtigt, während die Einzahlungs-überschüsse nach dem Amortisationszeitpunkt überhaupt keine Berücksichtigungfinden.Da man mit der Amortisationszeit einem zeitlichen Risikogedanken Rechnung tra-gen möchte, heißt dies, daß offenbar die Einzahlungsüberschüsse bis zum Amorti-sationszeitpunkt als risikolos, danach als höchst gefährdet angesehen werden, oh-ne daß dies freilich aus der Sache heraus einsichtig wird.Neben der gerade dargestellten Variante der dynamischen Amortisationsrechnungohne Zinseszinsbetrachtung gibt es noch eine weitere Variante, die als finanzma-thematische Amortisationsrechnung bezeichnet werden soll. Bei dieser Varianteist die Amortisationszeit erreicht, wenn in Abhängigkeit von der Zeit die Sum-me der Barwerte der Einzahlungen gleich der Summe aus Investitionsan-fangsauszahlung und Barwerten der sonstigen Auszahlungen ist. Dies bedeu-tet, daß zu diesem Zeitpunkt nicht bloß die bis dahin angefallenen Auszahlungendurch die bis dahin angefallenen Einzahlungen betragsmäßig gedeckt sind, son-dern daß die bis dahin angefallenen Einzahlungen auch noch eine Verzinsung desgebundenen Kapitals in Höhe des Kalkulationszinses erbracht haben.In der Abbildung 96 wird die Ermittlung der Amortisationszeit nach der finanz-mathematischen Amortisationsrechnung erläutert, wobei davon ausgegangen wird,daß der Kalkulationszins i = 0,1 beträgt und daß die zur Beurteilung herangezo-gene maximale Amortisationszeit 5 Perioden betragen soll. Die Investition er-weist sich aufgrund der Zahlungserwartungen als vorteilhaft, da sie eine Amorti-sationszeit von 4 Perioden hat, also die vorgegebene Zeit von maximal 5 Periodenunterschreitet.


Die finanzmathematische Amortisationsrechnung ist nichts anderes als eine An-wendung der Kapitalwertmethode, wobei der Kapitalwert in Abhängigkeit von derZeit berechnet wird, wie wir dies im Zusammenhang mit der Ermittlung der opti-malen Investitionsdauer getan haben. Die Amortisationszeit nach der finanzma-thematischen Amortisationsrechnung stellt also eine kritische Zeit dar, beider der Kapitalwert gerade Null wird. Sofern der Kapitalwert in Abhängigkeitvon der Nutzungsdauer keine Nullstelle aufweist und im negativen Bereich ver-bleibt, wird das gebundene Kapital über die Einzahlungen nicht mit einer Verzin-sung in Höhe des Kalkulationszinses zurückgewonnen. Bei Normalinvestitionenist der Kapitalwert in Abhängigkeit von der Zeit zunächst negativ und anstei-gend. Er kann dann ein Maximum erreichen und danach wieder abfallen, oh-ne negativ zu werden. In diesem Fall ergibt sich einerseits, daß die (einzige)Nullstelle der Kapitalwertfunktion gleich der Amortisationszeit ist und daßandererseits die Investition bei Erreichen des maximalen Kapitalwerts abgebro-chen werden sollte (optimale Investitionsdauer). Der Kapitalwert in Abhängigkeit von der Nutzungsdauer kann aber auch zwei(oder mehrere) Nullstellen aufweisen. Sofern die späteren (lokalen) Kapitalwert-maxima geringer sind als das Maximum nach der ersten Nullstelle, ergibt sich,daß die relevante Amortisationszeit gleich der ersten Nullstelle ist und daß dieweiteren Nullstellen irrelevant sind, weil sie nach der optimalen Investitions-dauer liegen und die Investition bei rationalem Handeln schon vorher been-det sein wird. Dadurch, daß eine Kapitalwertfunktion in Abhängigkeit von derZeit mehrere Nullstellen haben kann, wird die Amortisationsdauer noch nicht zueinem ungeeigneten Beurteilungskriterium1. Die Kritik auch an der finanzmathe-matischen Amortisationsrechnung muß vielmehr daran ansetzen, daß nach Errei-chen des Amortisationszeitpunkts eigentlich der weitere Verlauf der Kapitalwert-funktion nicht untersucht wird und daß dementsprechend eine Investition mit ge-ringerer Amortisationszeit und geringerem maximalen Kapitalwert bei ihrer opti-malen Nutzungsdauer einer Investition vorgezogen wird, deren Amortisationszeitlänger, deren maximaler Kapitalwert bei optimaler Nutzungsdauer aber auch grö-ßer ist.

Rechnerische Aufspaltung

Periode

Gebunde-nes Kapi-tal zu Be-ginn derPeriode

Einzah-lungsüber-schuß amEnde derPeriode

Zinsen (i = 0,1) aufdas gebun-

dene Kapital

Rückzah-lungsbetrag

Rückzah-lungsbe-trag ku-muliert

Entnahme-fähiger

Betrag derPeriode

1 400,00 100,00 40,00 60,00 60,00 40,002 340,00 150,00 34,00 116,00 176,00 34,003 224,00 246,40 22,40 224,00 400,00 22,404 0,00 400,00 0,00 0,00 400,00 0,005 0,00 500,00 0,00 0,00 400,00 500,006 0,00 500,00 0,00 0,00 400,00 500,00

Abbildung 96: Finanzmathematische Amortisationsrechnung


1 So aber Franke, Günter, Hax, Herbert: Finanzwirtschaft des Unternehmens und Kapitalmarkt, Berlin, Heidelberg,New York, London, Paris, Tokyo 1988, S. 131.

13./14. Vorlesung:

Investitionsprogrammentscheidungen

Im Mittelpunkt dieser Vorlesungen stehen verschiedene Modelle der Investitions-programmplanung, auf deren Basis Investitionsprogrammentscheidungen vorbe-reitet werden können. Im Teil A. wird eine kurze Charakterisierung von Inve-stitionsprogrammentscheidungen gegeben. Im Teil B. möchte ich auf das Ka-pitalbudgetierungsmodell von Dean eingehen. Im Teil C. geht es um die Ermitt-lung eines optimalen Wertpapierportefeuilles.

A. Charakterisierung von Investitionsprogrammentscheidungen

Investitionsprogrammentscheidungen unterscheiden sich von Investitionseinzel-entscheidungen dadurch, daß bei Investitionsprogrammentscheidungen die Alter-nativenbildung selber als zu lösendes Problem behandelt wird, so daß es nichtallein um die Alternativenbewertung gehen kann, wie dies für Investitionseinzel-entscheidungen charakteristisch ist. Die sich gegenseitig ausschließenden Alterna-tiven sind die Investitionsprogramme. Investitionsprogramme stellen zulässige Kombinationen aus verschiedenen sichnicht gegenseitig ausschließenden Möglichkeiten der Kapitalanlage dar. Zulässigsind solche Kombinationen, die die zu beachtenden Restriktionen nicht verletzen.Welche Restriktionen zu beachten sind, ergibt sich aus der jeweiligen Situation.Die Investitionsprogrammplanung kann dabei mit verschiedenen anderen betrieb-lichen Planungsbereichen verbunden werden, so daß sachliche und zeitliche Inter-dependenzen etwa zwischen Investition und Finanzierung (sog. kapitaltheoreti-sche Investitionsprogrammodelle, Kapitalbudgetierungsmodelle), zwischenInvestition und Produktion sowie Absatz (sog. produktionstheoretische Investi-tionsprogrammodelle) beachtet werden können. In bezug auf eine solche Verbin-dung unterschiedlicher Planungsbereiche wird in der Literatur dann auch etwasübertrieben von Totalmodellen gesprochen, im Gegensatz zur Situation der Inve-stitionseinzelentscheidungen, bei denen man mit Partialmodellen arbeitet. Der Komplexität (Anzahl von Entscheidungsvariablen, zu beachtende Restrikti-onen) von Investitionsprogrammentscheidungen sind theoretisch keine Grenzengesetzt. Es kann bei ihnen nicht bloß um Investitionsvolumensentscheidungen ge-hen, sondern auch um Entscheidungen über einen Abbruch während des Betrach-tungszeitraums zu realisierender Investitionen (Investitionsdauerentscheidungen)oder schon vor dem Betrachtungszeitraum realisierter Investitionen (Ersatzproble-me, Desinvestitionsentscheidungen), ferner um Finanzierungsentscheidungen so-wie Entscheidungen über das Produktions- und Absatzprogramm während des Be-trachtungszeitraums.Praktische Grenzen für solche Modelle ergeben sich jedoch dadurch, daß es sichgrundsätzlich um kombinatorische Probleme handelt, die zu lösen sind, so daß ei-ne sukzessive Vorgehensweise – erst Investitionsprogrammbildung, dann Investi-tionsprogrammbewertung – bei einer Vielzahl kombinierbarer Entscheidungsva-riablen aus Gründen des erforderlichen Zeitbedarfs für die Bildung aller Investi-tionsprogramme entfällt und man daher zu simultanen Lösungsansätzen – Pro-grammbildung und gleichzeitig Bewertung – kommen muß. Eine solche simultaneVorgehensweise bringt es aber mit sich, daß keine vollständige Rangordnung deralternativen Investitionsprogramme offengelegt wird. Ausgewiesen werden nurdas optimale Programm und eventuell noch einige wenige andere Alternativen.

288 13./14. Vorlesung: Investitionsprogrammentscheidungen

Die Notwendigkeit von simultanen Planungsansätzen ist wiederum die Ursachedafür, daß der Komplexität solcher Investitionsprogrammodelle praktische Gren-zen gesetzt sind, weil die damit verbundenen Informationsprobleme nicht lösbarsind. Investitionsprogrammodelle haben dann lediglich einen didaktischen, be-schreibenden oder auch erklärenden Wert, aber keinen handlungsleitenden Wert.Wegen ihrer Komplexität ist jedoch gerade der didaktische Wert der besonderskomplexen sog. kapitaltheoretischen und produktionstheoretischen Investitions-programmmodelle auf der Basis mathematischer Programmierungsansätze als äu-ßerst gering einzuschätzen. Aus diesem Grunde werden sie hier auch nicht weiterbetrachtet.1

13./14. Vorlesung: Investitionsprogrammentscheidungen 289

1 Zu Überblicken über Investitionsprogrammplanungsmodelle auf der Basis der mathematischen Programmierungvgl. Seelbach, H.: Planungsmodelle in der Investitionsrechnung, Würzburg-Wien 1967, S. 3-54; Schweim, Joa-chim: Integrierte Unternehmungsplanung, Bielefeld 1969, S. 31-56, Kern, Werner: Investitionsrechnung, Stutt-gart 1974, S. 268-296; Blohm, Hans, Lüder, Klaus: Investition, 7.A., München 1991, S. 280-303; Perridon, Lou-is, Steiner, Manfred: Finanzwirtschaft der Unternehmung, 6. A., München 1991, S. 132-141. Ferner Albach,Horst: Investition und Liquidität, Wiesbaden 1962; Hax, Herbert: Investitions- und Finanzplanung mit Hilfe derlinearen Programmierung, in: Zeitschrift für betriebswirtschaftliche Forschung 1964, S. 430-446; Jacob, Herbert:Investitionsplanung und Investitionsentscheidung mit Hilfe der Linearprogrammierung, 3.A., Wiesbaden 1976.

B. Kapitalbudgetierungsmodell von DeanEin Kapitalbudget ist ein kombiniertes Investitions- und Finanzierungspro-gramm, d.h., Finanzierung und Investition werden aufeinander abgestimmt. Einbekanntes Kapitalbudgetierungsmodell hat Joel Dean aufgestellt1. Das Kapital-budgetierungsmodell von Dean berücksichtigt nur solche Investitionen, die indem Betrachtungsjahr, für das das Kapitalbudget aufgestellt wird, auch begonnenwerden sollten, weil eine zeitliche Verschiebung die Vorteilhaftigkeit dieser Inve-stitionen nicht erhöhen, sondern nur verringern könnte2. Gedacht ist dieses Modellnicht als ein einperiodiges Modell. Es werden aber lediglich die Zahlungskonse-quenzen des Betrachtungsjahrs im Sinne der mit den Investitionen verbundenenAuszahlungen (Investitionsvolumen) und mit den Finanzierungsmaßnahmen ver-bundenen Einzahlungen explizit betrachtet, so daß (vordergründig) nur bezogenauf dieses Betrachtungsjahr gewährleistet ist, daß die Liquiditätsbedingung einge-halten wird. Die anderen Jahre gehen implizit über die Verwendung des internenZinsfußes als Kriterium zur Ordnung der verfügbaren, sich nicht gegenseitig aus-schließenden Investitions- und Finanzierungsmöglichkeiten in das Modell ein.Dean unterscheidet zwei Situationen: 1. eine Situation mit ausschließlicher in-terner Finanzierung (Autonomous Financing)3, 2. eine Situation mit externerFinanzierung bei unterschiedlichen Finanzierungskosten (External Finan-cing)4.Die Rangordnung der Investitionsmöglichkeiten beginnt mit derjenigen Investi-tion, die den höchsten internen Zinsfuß hat5. Die Rangordnung der externen Fi-nanzierungsmöglichkeiten beginnt mit derjenigen, deren Finanzierungskostensatzam geringsten ist6.

Auch wenn Dean in seiner Graphik7 mit geglätteten (stetigen) Kurven des internenZinsfußes in Abhängigkeit vom gesamten Investitionsvolumen (Kapitalnachfra-gekurve) und des Finanzierungskostensatzes in Abhängigkeit vom gesamten Fi-nanzierungsvolumen (Kapitalangebotskurve) arbeitet, beschreibt er sein Modellinhaltlich als ein Modell, in dem mit diskreten, stufigen Kapitalnachfragekurvenund Kapitalangebotskurven operiert wird8. Als solches wird es in der Literaturüblicherweise vorgestellt9.Es sei zunächst die Situation mit ausschließlicher interner Finanzierung amBeispiel erläutert (vgl. Abbildung 97). Es stehen zehn Investitionsmöglichkeiten,


1 Vgl. Dean, Joel: Capital Budgeting, 4. A., New York 1959.





6 Vgl. ebenda, S. 52, 67.



9 Vgl. z.B. Gutenberg, Erich: Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, 3. Bd., Die Finanzen, 2. A., Berlin, Heidel-berg, New York 1969, S. 362.

die miteinander kombiniert werden können und in sich beliebig teilbar sein sollen,zur Auswahl. Ihr interner Zinsfuß liegt zwischen 0,08 und 0,5. Nur diese Investi-tionen konkurrieren um die für Investitionszwecke zur Verfügung stehenden inter-nen Finanzmittel von insgesamt K = 400.

Abbildung 97 zeigt, daß man nicht alle Investitionsmöglichkeiten realisierenkann. Entsprechend der Vorgehensweise von Dean sollten die Investitionen Nr. 1bis Nr. 4 vollständig und die Investition Nr. 5 zur Hälfte realisiert werden. DasVolumen des Investitionsprogramms nimmt dann den Betrag der vorhandenen in-ternen Finanzierungsmittel an.Denjenigen Zinsfuß, bei dem sich die Kapitalangebotskurve und die Kapitalnach-fragekurve schneiden, nennt Dean die Cut-off-Rate1. Im Beispiel beträgt sie 0,3.Diese Cut-off-Rate wird also dem Modell nicht extern vorgegeben, sondern istResultat der im Modell durchgeführten Abstimmung von Kapitalnachfrage undKapitalangebot. Es handelt sich um einen sog. endogenen Kalkulationszinssatz.Der endogene Kalkulationszinsfuß ist im Modell mit ausschließlicher interner Fi-nanzierung gleich dem internen Zinsfuß der letzten noch (ganz oder teilweise)durchgeführten Investitionsmöglichkeit. Wenn es sich um Normalinvestitionenhandelt, so würde gelten, daß diejenigen Investitionen, die durchgeführt werdensollen, auf der Basis der Cut-off-Rate als Kalkulationszinsfuß einen KapitalwertKS0 ≥ 0 haben.

In der Abbildung 98 wird die Situation mit externer Finanzierung am Beispielerläutert. Es sollen wieder die gleichen Investitionsmöglichkeiten zur Auswahlstehen. Außerdem sollen sechs verschiedene Finanzierungsmöglichkeiten mit un-terschiedlichen aufnehmbaren Kapitalbeträgen und unterschiedlichen Finanzie-rungskostensätzen zur Verfügung stehen.

Investi-tionen

bis Nr.

An-fangs-

auszah-lung aS0

uztiK

Gesamt-investi-tionsvo-lumen∑aS0

as w

Grenz-kapital-rentabi-

lität (internerZinsfußder je-

weiligenInvesti-

tion)r'S

1 100 100 0,5 400 02 50 150 0,45 400 0,63 100 250 0,44 50 300 0,355 200 500 0,36 100 600 0,257 50 650 0,28 100 750 0,159 80 830 0,110 100 930 0,08 500

Abbildung 97: Dean-Modellbei interner Finanzierung

0 200 400 600 800 100000

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0

Gesamtinvestitions- und Gesamtfinanzvolumen

Inte

rner

Zin

sfuß

Kapitalnachfragekurve

Kapitalangebotskurve(interne Finanzierung)


1 Vgl. Dean, Joel: Capital Budgeting, 4. A., New York 1959, S. 67.

Aus der Abbildung 98 ist zu entnehmen, daß die Investitionen Nr. 1 bis 5 voll-ständig und die Investition Nr. 6 teilweise (oder gar nicht!) realisiert werden soll-ten. Zur Finanzierung sollte auf die Finanzierungsmöglichkeiten Nr. 1 bis 3 vollund auf die Finanzierungsmöglichkeit Nr. 4 ganz (oder zum Teil, wenn InvestitionNr. 6 nicht realisiert wird!) zurückgegriffen werden. Das heißt, für das optimaleKapitalbudget gibt es bei eindeutiger Cut-off-Rate einen gewissen Spielraum.Das optimale Investitions- und Finanzprogramm (Kapitalbudget) beträgt (un-ter Einschluß eines Teils der Investition Nr. 6!) dann:

In-ve-sti-tio-nenbis Nr.

Anfangs-auszah-

lung aS0

uztiK


as w

Grenzkapital-rentabilität

(internerZinsfuß der

jeweiligen In-vestition)

r'S

Fi-nan-zie-run-gen bis Nr.

Aufnehm-barer

Kapital-betrag

FKuztiK

Gesamtfi-nanzvolu-

men ∑FK

as w

Grenzfinan-zierungsko-

sten (Finanzie-

rungskosten-satz der je-weiligen Fi-nanzierung)

k'1 100 100 0,5 1 200 200 0,1252 50 150 0,45 2 150 350 0,153 100 250 0,4 3 100 450 0,24 50 300 0,35 4 80 530 0,255 200 500 0,3 5 150 680 0,36 100 600 0,25 6 300 980 0,357 50 650 0,28 100 750 0,159 80 830 0,110 100 930 0,08

Abbildung 98: Dean-Modell bei externer Finanzierung

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100000

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0


Inte

rner

Zin

sfuß

, Fin

anzi

erun

gsko

stens

atz


Kapitalangebotskurve(externe Finanzierung)


Die Cut-off-Rate (endogener Kalkulationszinsfuß) beträgt in diesem Beispiel0,25. Wird sie als Kalkulationszinsfuß benutzt, so weisen alle zu realisierendenInvestitionen und alle zu verwendenden Finanzierungen einen nicht negativenKapitalwert auf. Unter Zugrundelegung der Prämisse, daß die Investitions- undFinanzierungsdauer eine einzige Periode beträgt, ergeben sich für die in Abbil-dung 98 genannten Investitionen und Finanzierungen die folgenden Kapitalwert-funktionen in Abhängigkeit vom Kalkulationszinsfuß (vgl. Abbildung 99):

Investition Nr. 1

Investition Nr. 2

Investition Nr. 3

Investition Nr. 4

Investition Nr. 5

Investition Nr. 6

Finanzierung Nr. 1

Finanzierung Nr. 2

Finanzierung Nr. 3

Finanzierung Nr. 4

Cut-off-Rate

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,60

0

10

20

30

40

50

60

0

-10

-20

-30

-40

Kalkulationszins

Kap

italw

ert

Abbildung 99: Kapitalwertfunktionen der zu realisierenden Investitionenund Finanzierungen des optimalen Kapitalbudgets

Investitionen Betrag uFinanzierung Betrag1 100 1 2002 50 2 1503 100 3 1004 50 4 805 2006 30

Summe 530 Summe 530


Mit Ausnahme der "Grenz"-Investition Nr. 6 und der "Grenz"-Finanzierung Nr. 4,deren Kapitalwert bei der Cut-off-Rate gleich Null ist, haben die anderen reali-sierten Investitionen und Finanzierungen bei der Cut-off-Rate von 0,25 einen po-sitiven Kapitalwert.Unter der Bedingung eines vollkommenen Kapitalmarkts wurde gezeigt, daßder interne Zinsfuß als Rangfolgekriterium für sich nicht gegenseitig ausschlie-ßende Investitionen benutzt werden kann, um das optimale Volumen eines Inve-stitionsprogramms zu bestimmen (vgl. S. 238). Das Problem, daß die Rangfolgenach dem internen Zinsfuß eine andere als nach dem Kapitalwert sein kann, wenniKapitalmarkt ≤ ikritisch < rS gilt, hat dann keine Auswirkung auf die Zusammenset-zung des Investitionsprogramms, weil alle Investitionen mit rS > iKapitalmarkt in dasProgramm aufgenommen werden sollten. Der kritische Zinsfuß ikritisch ist dabeiderjenige Kalkulationszinsfuß gewesen, bei dem sich die Kapitalwertfunktionen inAbhängigkeit vom Kalkulationszinsfuß schneiden. Diese Aussage kann auch auf die Situation des unvollkommenen Kapital-markts, von der Dean ausgeht, übertragen werden, wobei jedoch jetzt an dieStelle von iKapitalmarkt der endogene Kalkulationszinssatz iCut–off–Rate tritt. AlleInvestitionen mit rS ≥ iCut–off–Rate und alle Finanzierungen mit k ≤ iCut–off–Ratesind in das Programm aufzunehmen. So gilt z.B. für die Investitionen Nr. 2 und3 (vgl. Abbildung 99), daß sich ihre Kapitalwertfunktionen rechts von der Cut-off-Rate bei einem positiven Kapitalwert schneiden. Der Kapitalwert der Investi-tion Nr. 2 ist bei iCut–off–Rate = 0,25 kleiner als der Kapitalwert der Investition Nr.3. Der interne Zinsfuß der Investition Nr. 2 ist dagegen größer als der interneZinsfuß der Investition Nr. 3. Diese unterschiedliche Rangfolge beeinflußt je-doch nicht die Zusammensetzung des optimalen Investitionsprogramms, indem sowohl die Investition Nr. 2 als auch die Investition Nr. 3 enthalten sind.Wie schon erwähnt, kann es für das optimale Kapitalbudget bei eindeutiger Cut-off-Rate einen gewissen Spielraum geben (vgl. S. 292). Umgekehrt kann es eineindeutiges optimales Kapitalbudget geben, ohne daß eine einheitliche Cut-off-Rate existiert. Dies gilt etwa für die folgende Situation (vgl. Abbildung 100), diesich von derjenigen in Abbildung 98 in bezug auf die Investition Nr. 5 und die Fi-nanzierung Nr. 4 unterscheidet. Die Kapitalnachfragekurve und Kapitalangebots-kurve schneiden sich jetzt bei einem Investitions- und Finanzvolumen von 450.Der endogene Kalkulationszinssatz ist nicht genau bestimmt, sondern es ergebensich für ihn zwei Werte. Die untere Cut-off-Rate beträgt iuntere Cut–off–Rate = 0,25.Auf ihrer Basis sind die in Frage kommenden Finanzierungen zu beurteilen. Diesbedeutet, daß alle zu realisierenden Finanzierungen keinen höheren Finanzie-rungskostensatz aufweisen dürfen. Die obere Cut-off-Rate beträgt iobere Cut–off–Rate= 0,275. Auf ihrer Basis sind die in Frage kommenden Investitionen zu beurteilen.Dies bedeutet, daß alle zu realisierenden Investitionen keinen niedrigeren internenZinsfuß aufweisen dürfen.


In der Abbildung 101 sind die Kapitalwertfunktionen der in das optimale Kapital-budget aufzunehmenden Investitionen 1 bis 5 und Finanzierungen 1 bis 3 sowiedie Kapitalwertfunktionen der angrenzenden, aber nicht aufzunehmenden Investi-tion 6 und Finanzierung 4 wiedergegeben. Man sieht, daß alle zu realisierendenFinanzierungen bei der unteren Cut-off-Rate iuntere Cut–off–Rate = 0,25 einen positi-ven Kapitalwert und alle zu realisierenden Investitionen bei der oberen Cut-off-Rate iobere Cut–off–Rate = 0,275 einen positiven Kapitalwert haben. Die Investition 6hat dagegen bei der oberen Cut-off-Rate einen negativen Kapitalwert. Gleichesgilt für die Finanzierung 4 bei der unteren Cut-off-Rate.

In-ve-sti-tio-nenbis Nr.

Anfangs-auszah-

lung aS0

uztiK


as w

Grenzkapital-rentabilität

(internerZinsfuß der

jeweiligen In-vestition)

r'S

Fi-nan-zie-run-gen bis Nr.

Aufnehm-barer

Kapital-betrag

FKuztiK

Gesamtfi-nanzvolu-

men ∑FK

as w

Grenzfinan-zierungsko-

sten (Finanzie-

rungskosten-satz der je-weiligen Fi-nanzierung)

k'1 100 100 0,5 1 200 200 0,1252 50 150 0,45 2 150 350 0,153 100 250 0,4 3 100 450 0,24 50 300 0,35 4 80 530 0,2755 150 450 0,3 5 150 680 0,36 100 550 0,25 6 300 980 0,357 50 600 0,28 100 700 0,159 80 780 0,110 100 880 0,08

Abbildung 100: Dean-Modell bei externer Finanzierung (ohneeinheitlichen endogenen Kalkulationszinssatz)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100000

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0


Inte

rner

Zin

sfuß

, Fin

anzi

erun

gsko

stens

atz


Kapitalangebotskurve(externe Finanzierung)


Für das Verständnis des Dean-Modells ist es wichtig, daß man beachtet, daß mitHilfe dieses Modells ausschließlich das Volumen und die Zusammensetzungdes optimalen Kapitalbudgets im Entscheidungszeitpunkt t = 0 bestimmtwerden sollen. Das Problem ist dabei, daß Dean sein Modell nur unvollständig beschrieben hat.Eine Kritik an diesem Modell muß daher zunächst die impliziten Prämissen desModells aufdecken. Da ausschließlich das Volumen und die Zusammensetzung des Kapitalbudgets be-trachtet werden, muß die Dauer der zur Auswahl stehenden Investitionen undFinanzierungen vorgegeben und kein Gegenstand von Optimierungsüberle-gungen sein. Insbesondere muß gelten, daß sowohl die Dauer aller Investitionenund Finanzierungen als auch die zeitliche Struktur ihrer künftigen Zahlungenübereinstimmen.

Investition Nr. 1

Investition Nr. 2

Investition Nr. 3

Investition Nr. 4

Investition Nr. 5

(Investition Nr. 6)

Finanzierung Nr. 1

Finanzierung Nr. 2

Finanzierung Nr. 3

(Finanzierung Nr. 4)

Untere Cut-off-Rate

Obere Cut-off-Rate

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,60

0

10

20

30

40

50

60

0

-10

-20

-30

-40

Kalkulationszins

Kap

italw

ert

Abbildung 101: Kapitalwertfunktionen der zu realisierenden Investitionen1 bis 5 und Finanzierungen 1 bis 3 des optimalen Kapitalbudgets und dernicht durchzuführenden Investition 6 und Finanzierung 4


Hinsichtlich der zeitlichen Struktur der künftigen Zahlungen aus den Investi-tionen ZInv1 : … : ZInvT und Finanzierungen ZFin1 : … : ZFinT muß dabei keineGleichverteilung ZInv1 : … : ZInvT = ZFin1 : … : ZFinT = 1 : … : 1 vorausgesetztwerden; sie muß lediglich für alle Investitionen und Finanzierungen übereinstim-men, d.h., es genügt ZInv1 : … : ZInvT = ZFin1 : … : ZFinT. Denn wenn die zeitlicheStruktur der künftigen Zahlungen aus den Investitionen und Finanzierungen über-einstimmt, ist im Deanschen Modell zugleich gewährleistet, daß nicht bloß imEntscheidungszeitpunkt t = 0, sondern auch in allen künftigen Zeitpunkten die Li-quiditätsbedingung nicht verletzt wird. Handelt es sich um Normalinvestitio-nen, so existiert auch nicht das Problem der Mehrdeutigkeit oder der Nichtexi-stenz von internen Zinsfüßen.Sind diese Prämissen in der Realität erfüllt, so läßt sich auf der Basis desDeanschen Modells auch bei mehrperiodiger Betrachtung zutreffend das op-timale Kapitalbudget bestimmen. Die Kritik, daß das Dean-Modell im mehrperiodigen Fall nicht notwendig zumoptimalen Kapitalbudget führe1, beruht vollständig auf der Nichtbeachtung dieserimpliziten Prämissen und wird insofern dem Modell in seiner Intention, nämlicheine Aussage über das Volumen und die Zusammensetzung des Kapitalbudgetsableiten zu wollen, nicht gerecht.Als Beispiel für eine Kritik, die die impliziten Prämissen des Modells nicht beach-tet und insofern rein modellextern ist, sei der nach Ansicht von Kruschwitz wich-tigste Kritikpunkt ("Das von Dean empfohlene Verfahren führt nicht immer zu op-timalen Entscheidungen, und zwar auch dann nicht, wenn man nur Projekte miteinem eindeutigen internen Zinsfuß betrachtet und die Liquidität vollständig ge-wahrt bleibt"2) näher untersucht.

Kruschwitz3 betrachtet zwei Investitionen A und B, deren Laufzeit zwei Jahre be-trägt, sowie zwei Finanzierungen C und D, für die die folgenden Daten im Sinnedes Deanschen Modells gelten:

Hinsichtlich der Kapitalnachfragekurve und der Kapitalangebotskurve ergibt sichdann folgendes Bild4:

Volumen Interner Zins Finanzie-rungskosten

Investition A 200 0,25Investition B 120 0,1Finanzierung C 200 0,05Finanzierung D 300 0,12


1 Vgl. Kruschwitz, Lutz: Investitionsrechnung, 4. A., Berlin, New York 1990, S. 188-190.

2 Ebenda, S. 188; im Original zum Teil hervorgehoben.

3 Vgl. ebenda, S. 188-190.


Nach Dean ergibt sich dann ein optimales Kapitalbudget von 200, das einerseitsdie Investition A und andererseits die Finanzierung C umfaßt.Unter Beachtung der impliziten Prämissen kann man dann folgenden Finanz-plan 1 erstellen, in dem hinsichtlich der zeitlichen Struktur der künftigen Zah-lungen von Investition und Finanzierung von einer Gleichverteilung ausge-gangen werden soll:

Unter Beachtung der impliziten Prämissen kann man aber auch folgenden Fi-nanzplan 2 erstellen, in dem hinsichtlich der zeitlichen Struktur der künftigenZahlungen von Investition und Finanzierung davon ausgegangen wird, daß fürdie Zahlungen Z1 und Z2 zu den Zeitpunkten 1 und 2 folgende Relation gilt:Z1 : Z2 = 2 : 1.

Kruschwitz meint, daß der Investor, falls er "sich … jedoch dazu entschließt, das… scheinbar ungünstigere Programm (A, B, C, D) zu verwirklichen, … besser be-raten"1 sei. Um Dean gerecht zu werden, muß freilich dieses Programm den impli-ziten Prämissen von Dean Rechnung tragen, wie dies in den nachfolgenden Fi-nanzplänen 3 und 4 geschieht:

Finanzplan 2:

Zeitpunkt 0 1 2InternerZinsfuß

Finanzie-rungskosten-

satzInvestition A -200 178,57 89,29 0,25Finanzierung C 200 -142,26 -71,13 0,05Summe 0 36,31 18,16

Finanzplan 1:





Kapitalangebotskurve

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 50000

0,1

0,2

0,3

0

Investitions- und Finanzvolumen

Inte

rner

Zin

s,Fi

nanz

ieru

ngsk

oste

nsat

z

Abbildung 102: Beispiel von Kruschwitz zum Dean-Modell



Vergleicht man die vergleichbaren Finanzpläne 1 und 3 oder 2 und 4 miteinander,so erkennt man, daß das Programm (A, C) dominant besser als das Programm (A,B, C, D) ist. Kruschwitz' Aussage, daß man sich "(a)uf die Qualität des von Dean propagiertenLösungsweges … nicht verlassen"1 sollte, beruht auf folgenden Vorgaben2:1. Die Investitionen A und B weisen feste künftige Zahlungen auf, deren zeitlicheStrukturen nicht übereinstimmen:

2. Die Finanzierungen C und D können hinsichtlich der Tilgung und der Laufzeitund somit hinsichtlich ihrer künftigen Zahlungsstrukturen beliebig und wiederumabweichend von den zeitlichen Zahlungsstrukturen der Investitionen gestaltetwerden.Diese Vorgaben benutzt Kruschwitz bei der Aufstellung der nachfolgenden Fi-nanzpläne 5 und 6:Finanzplan 5:




Zeitpunkt 0 1 2Investition A -200 190,00 75,00Investition B -120 12,00 132,00

Finanzplan 3:



satzInvestition A -200 138,89 138,89 0,25Investition B -120 69,14 69,14 0,1Finanzierung C 200 -107,56 -107,56 0,05Finanzierung D 120 -71,00 -71,00 0,12Summe 0 29,47 29,47

Finanzplan 4:



satzInvestition A -200 178,57 89,29 0,25Investition B -120 90,75 45,38 0,1Finanzierung C 200 -142,26 -71,13 0,05Finanzierung D 120 -92,92 -46,46 0,12Summe 0 34,14 17,07



2 Vgl. ebenda, S. 189-190.

Die Umkehrung der Vorteilhaftigkeit der beiden Programme ergibt sich jedochausschließlich dadurch, daß diese Finanzpläne auf Prämissen beruhen, die nichtdiejenigen von Dean sind. Sicherlich kann man mit dem Deanschen Modell "dieoptimale Entscheidung verfehlen"1. Diese Aussage gilt freilich für jedes Modell,wenn die (expliziten wie impliziten) Anwendungsprämissen des Modells nichtbeachtet werden, d.h., wenn man es in einer Situation und auf Fragestellungen an-wendet, für die es nicht geschaffen wurde.

Finanzplan 6:



satzInvestition A -200 190,00 75,00 0,25Investition B -120 12,00 132,00 0,1Finanzierung C 200 -67,60 -149,52 0,05Finanzierung D 120 -134,40 0,12Summe 0 0,00 57,48



C. Das optimale WertpapierportefeuilleBei der Ermittlung des optimalen Wertpapierportefeuilles1 geht es um das Volu-men und die Zusammensetzung eines Wertpapierportefeuilles unter mehr-wertigen Erwartungen. Der Betrachtungszeitraum ist dabei eine Periode. Die Ermittlung des optimalen Wertpapierportefeuilles kann in zwei Schritte un-terteilt werden: 1. Der erste Schritt ist die Ermittlung der Erwartungen über dieRendite und das Risiko der zur Auswahl stehenden Wertpapiere. 2. Der zweiteSchritt ist die Auswahl der in das Wertpapierportefeuille aufzunehmenden Wert-papiere und die Auswahl der besten Mischung dieser Wertpapiere.Die Erwartungsbildung umschließt die Abschätzung der mittleren Rendite wieder möglichen Streuung darum. Die Renditeerwartung ergibt sich einerseits ausden Erwartungen über die Zins- oder Dividendenzahlungen und aus den erwarte-ten Kursveränderungen während des Betrachtungszeitraums sowie andererseitsaus den diesen Renditeerwartungen zugeordneten Eintrittswahrscheinlichkeiten.Es sei angenommen, daß der Investor von folgenden Erwartungen hinsichtlich ei-nes Wertpapiers h = 1 ausgeht:

Daraus bestimmt sich die jeweilige, d.h., auf eine bestimmte Eintrittswahrschein-lichkeit bezogene erwartete Rendite rhj gemäß der folgenden Formel:

d.h., die erwartete Rendite rhj wird bestimmt von den laufenden Zins- oder Divi-dendenerwartungen und der erwarteten Kursveränderung, bezogen auf den einzu-setzenden Kapitalbetrag. Der Renditeerwartungswert µµµµh des Wertpapiers ergibtsich gemäß folgender Formel:

Der Renditeerwartungswert µh des Wertpapiers ist formal ein gewogenes arith-metisches Mittel der erwarteten Renditen rhj, wobei als Gewichtungsfaktoren dieEintrittswahrscheinlichkeiten whj dienen.

Das Risiko des Wertpapiers wird über die Varianz σh2 oder Standardabweichung

σh seiner erwarteten Renditen gemessen. Die Varianz σσσσh2222 (oder Standardabwei-

µ h =Dhj + (Khj,t +1 − Kh,t )( )∑w hj

j∑

Kh,t

= rhj ∑w hjj∑ .

rhj =Dhj + (Khj,t +1 − Kh,t )

Kh,t

,

Eintrittswahrscheinlichkeit whj beim Umweltzustand j 0,2 0,3 0,4 0,1Dividendenerwartung Dhj in DM 9 10 11 13Kurserwartung Khj,t+1 in DM 90 100 110 115Heutiger Anschaffungspreis Kh,t in DM 100


1 Vgl. Markowitz, Harry: Portfolio Selection, in: Lüder, Klaus (Hrsg.): Investitionsplanung, München 1977, S.287-297.

chung σσσσh) ist wie der Erwartungswert eine Größe zur Charakterisierung einerVerteilungs- oder Wahrscheinlichkeitsfunktion. Die Varianz σh

2 wird ermittelt alsSumme der quadrierten Abweichungen der einzelnen erwarteten Renditen rhj vomRenditeerwartungswert µh, gewichtet wiederum mit den Eintrittswahrscheinlich-keiten whj:

Bezogen auf das betrachtete Wertpapier haben die erwarteten Renditen rhj, derRenditeerwartungswert µh und die Varianz σh

2 sowie Standardabweichung σh fol-gende Werte:

Neben dem gerade betrachteten Wertpapier soll noch ein zweites Wertpapier h = 2in die Überlegungen einbezogen werden, dessen Daten in der nachfolgenden Ta-belle stehen:

Trägt man die beiden Wertpapiere mit ihren charakteristischen Merkmalen Rendi-teerwartungswert und Standardabweichung in ein (µ, σ)-Diagramm ein, so erhal-ten wir folgende Graphik (vgl. Abbildung 103):

Eintrittswahrscheinlichkeit whk beim Umweltzustand k 0,7 0,3Dividendenerwartung Dhk in DM 25 15Kurserwartung Khk,t+1 in DM 160 105Heutiger Anschaffungspreis Kh,t in DM 140Erwartete Rendite rhk 0,321439 -0,142857Renditeerwartungswert µh 0,182150Varianz σh

2 0,045270Standardabweichung σh 0,212767

Eintrittswahrscheinlichkeit whj 0,2 0,3 0,4 0,1Erwartete Rendite rhj -0,01 0,1 0,21 0,28Renditeerwartungswert µh 0,14Varianz σh

2 0,0089Standardabweichung σh 0,094340

σh2 = (rhj ± µ h )2 ∑w hj

j∑ .


Eine Aussage darüber, welches Wertpapier unter Rendite- und Risikogesichts-punkten vorzuziehen ist, ist nicht möglich, sofern ein höherer Renditeerwartungs-wert, zugleich aber auch ein niedrigeres Risiko vorgezogen wird. Das Wertpapier1 hat zwar ein geringeres Risiko, gemessen als Standardabweichung, als das Wert-papier 2, aber auch einen geringeren Renditeerwartungswert. Eine Dominanzbe-ziehung zwischen den beiden Wertpapieren liegt also nicht vor. Das heißt, ohneweitere Angaben über die Präferenzen des Entscheidungssubjekts ist eine Entwe-der-Oder-Entscheidung zwischen diesen beiden Wertpapieren nicht möglich.Die Wertpapierportefeuilletheorie beruht auf der Anwendung des (µµµµ, σσσσ)-Prinzipsals Entscheidungsregel. Das (µ, σ)-Prinzip verlangt die Vorgabe einer Risikoprä-ferenzfunktion, wobei drei Klassen von Risikopräferenzfunktionen unterschie-den werden können, je nachdem, ob das Entscheidungssubjekt als risikoindiffe-rent, risikoaversiv oder risikofreudig anzusehen ist.Die partielle Risikopräferenzfunktion u(µµµµ) in Abhängigkeit vom Renditeer-wartungswert µµµµ bei Konstanz der Standardabweichung σ wird als steigend ange-nommen, d.h., zunehmende Renditen werden vom Investor bei gleichem Risikovorgezogen. Die Einteilung in Risikoindifferenz, Risikoaversion und Risikofreude beruhtauf einem unterschiedlichen Verlauf der partiellen Risikopräferenzfunktionu(σσσσ) (nicht partielle Ableitung!) in Abhängigkeit von der Variablen σσσσ, die alsMaß des Risikos angesehen wird, während die andere Variable µ als konstant an-genommen wird.Von Risikofreude kann gesprochen werden, wenn bei konstantem Renditeerwar-tungswert µ die partielle Risikopräferenzfunktion u(σσσσ) in Abhängigkeit vomRisiko σσσσ steigend verläuft. Im (µ, σ)-Diagramm drückt sich Risikofreude durcheinen fallenden Verlauf der Nutzenindifferenzlinien aus, wie dies in der Abbil-dung 104 dargestellt wird. In der Abbildung 104 sind vier verschiedene Nutzen-indifferenzlinien wiedergegeben, wobei die Nutzenindifferenzlinie 1 das niedrig-ste und die Nutzenindifferenzlinie 4 das höchste Risikopräferenzniveau ausdrückt.Eine Aussage über den Verlauf der partiellen Risikopräferenzfunktion in Abhän-gigkeit vom Risiko erhält man, wenn man den Renditeerwartungswert konstant

Wertpapier 1 Wertpapier 2

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,2500

0,1

0,2

0,3

0

Renditeerwartungswert

Stan

dard

abw

eich

ung

Abbildung 103: Wertpapiere im (µµµµ, σσσσ)-Diagramm


hält, wie dies für µ = 4 gemacht worden ist. Man erkennt, daß mit größer werden-der Standardabweichung bei konstantem Renditeerwartungswert ein immer höhe-res Risikopräferenzniveau erreicht wird. Wie die partielle Risikopräferenzfunktionu(σ) im einzelnen verläuft, etwa linear, progressiv oder degressiv steigend, hängtvon den Nutzenniveaus ab, die die einzelnen Nutzenindifferenzlinien verkörpern,und kann aus Abbildung 104 nicht unmittelbar (nur ordinale Messung!) entnom-men werden.

Bei Risikoaversion sinkt hingegen das Risikopräferenzniveau mit steigendem Ri-siko σ bei Konstanz des Renditeerwartungswerts µ. Die partielle Risikopräfe-renzfunktion u(σσσσ) in Abhängigkeit von σσσσ fällt. Im (µ, σ)-Diagramm drückt sichRisikoaversion durch einen steigenden Verlauf der Nutzenindifferenzlinien aus,wie dies in der Abbildung 105 dargestellt wird. In der Abbildung 105 sind vierverschiedene Nutzenindifferenzlinien wiedergegeben, wobei die Nutzenindiffe-renzlinie 1 das niedrigste und die Nutzenindifferenzlinie 4 das höchste Risikoprä-ferenzniveau ausdrückt. Eine Aussage über den Verlauf der partiellen Risikopräfe-renzfunktion in Abhängigkeit vom Risiko erhält man, wenn man den Renditeer-wartungswert konstant hält, wie dies für µ = 12 gemacht worden ist. Man erkennt,daß mit größer werdender Standardabweichung bei konstantem Renditeerwar-tungswert ein immer niedrigeres Risikopräferenzniveau erreicht wird. Wie diepartielle Risikopräferenzfunktion u(σ) im einzelnen verläuft, etwa linear, progres-siv oder degressiv fallend, hängt von den Nutzenniveaus ab, die die einzelnenNutzenindifferenzlinien verkörpern, und kann aus Abbildung 105 nicht unmittel-bar entnommen werden.

Indifferenzlinie 1

Indifferenzlinie 2

Indifferenzlinie 3

Indifferenzlinie 4

Partielle Risikopräferenzfunktion bei konstantem Renditeerwartungswert

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1400

5

10

15

20

25

30

0


Stan

dard

abw

eich

ung

Abbildung 104: Nutzenindifferenzlinien bei Risikofreude (Anwendung des(µµµµ, σσσσ)-Prinzips)


Risikoindifferenz heißt, daß eine Erhöhung des Risikos σ bei konstantem Rendi-teerwartungswert µ das Risikopräferenzniveau nicht verändert. Im (µ, σ)-Dia-

Indifferenzlinie 1 Indifferenzlinie 2 Indifferenzlinie 3 Indifferenzlinie 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1200

5

10

15

20

25

30

0


Stan

dard

abw

eich

ung

Abbildung 106: Nutzenindifferenzlinien bei Risikoindifferenz (Anwendungdes (µµµµ, σσσσ)-Prinzips)

Indifferenzlinie 1

Indifferenzlinie 2

Indifferenzlinie 3

Indifferenzlinie 4

Partielle Risikopräferenzfunktion bei konstantem Renditeerwartungswert

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 140

5

10

15

20

25

30

0


Stan

dard

abw

eich

ung

Abbildung 105: Nutzenindifferenzlinien bei Risikoaversion (Anwendung des(µµµµ, σσσσ)-Prinzips)


gramm drückt sich Risikoindifferenz durch einen parallelen Verlauf der Nutzen-indifferenzlinien zur Ordinate aus, wie dies in der Abbildung 106 dargestelltwird. In der Abbildung 106 sind vier verschiedene Nutzenindifferenzlinien wie-dergegeben, wobei die Nutzenindifferenzlinie 1 das niedrigste und die Nutzenin-differenzlinie 4 das höchste Risikopräferenzniveau ausdrückt. Im Rahmen der Wertpapierportefeuille-Theorie wird von einem risikoaversivenInvestor ausgegangen. Seine totale Risikopräferenzfunktion u(µµµµ, σσσσ) stellt sichgraphisch als ein Nutzengebirge dar. Bezogen auf das Nutzengebirge werden ausGründen der Darstellung im (µµµµ, σσσσ)-Diagramm einzelne Präferenzniveaus in Formvon Nutzenindifferenzlinien herausgegriffen.

In der Abbildung 107 sind neben den aus Abbildung 103 bekannten Parameternder beiden Wertpapiere 1 und 2 noch zwei Indifferenzlinien eingetragen, die einunterschiedliches Nutzenniveau verkörpern. Weil die partielle Risikopräferenz-funktion u(µ) in Abhängigkeit vom Renditeerwartungswert µ bei Konstanz derStreuung σ als steigend angenommen wird, repräsentiert eine weiter rechts lie-gende Indifferenzlinie ein höheres gesamtes Präferenzniveau. Bezogen auf Ab-bildung 107 heißt dies, daß die auf der Indifferenzlinie 2 liegenden Kombinatio-nen (µ, σ) solchen auf der Indifferenzlinie 1 vorgezogen werden. Mit Hilfe dieserIndifferenzlinien ist jetzt auch eine Ordnung der beiden Wertpapiere möglich. DasWertpapier 1 verspricht aufgrund der geltenden, in den Indifferenzlinien zumAusdruck kommenden Risikopräferenzfunktion einen höheren Nutzen als dasWertpapier 2.Ein Wertpapierportefeuille stellt eine Mischung (Kombination) verschiede-ner Wertpapiere dar, wobei, wie noch zu zeigen sein wird, nicht nur Mi-schungen zwischen nicht dominierten Wertpapieren interessant sind1 .

Indifferenzlinie 1 Indifferenzlinie 2 Wertpapier 1 Wertpapier 2

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,2500

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0


Stan

dard

abw

eich

ung

Abbildung 107: Wertpapiere im (µµµµ, σσσσ)-Diagramm mit Nutzenindifferenzlinien


1 Anders Schneider, Dieter: Investition, Finanzierung und Besteuerung, 6. A., Nachdruck, Wiesbaden 1991, S.378-379, der Wertpapiere, die durch andere einzelne Wertpapiere oder durch Mischungen benachbarter Wertpa-piere dominiert werden, bei ihm E sowie B und D, nicht in die Portefeuillebetrachtung einbezieht.

Wir wollen jetzt verschiedene Portefeuilles aus den beiden Wertpapieren bildenund die Auswirkungen auf Risiko und Renditeerwartungswert, jetzt aber bezogenauf das Portefeuille, betrachten. Dabei soll ein fester Investitionsbetrag im Ver-hältnis x1 : x2 auf die Wertpapiere 1 und 2 mit x1 + x2 = 1 aufgeteilt werden.

Das Problem hierbei ist die Ermittlung des Renditeerwartungswerts µµµµP undder Standardabweichung σσσσP eines Portefeuilles.

Unproblematisch ist noch die Ermittlung des Renditeerwartungswerts µµµµP einesPortefeuilles. Zwei mögliche Wege kommen zur Ermittlung in Betracht: 1. Eswird ein gemeinsamer Umweltzustandsraum (gemeinsame Wahrscheinlichkeits-funktion) für das Portefeuille gebildet. 2. Auf die Bildung eines gemeinsamenUmweltzustandsraums wird explizit verzichtet. Stattdessen geht man von den Um-weltzustandsräumen der einzelnen Wertpapiere (Randverteilungen) aus.

In der Abbildung 108 ist bezogen auf ein Wertpapierportefeuille, das aus denWertpapieren 1 und 2 besteht, eine mögliche (vorgegebene) gemeinsame Wahr-scheinlichkeitsfunktion mit der Zufallsvariablen S1 als Ausdruck der mögli-chen Umweltzustände s1j mit den zugehörigen erwarteten Renditen r1j desWertpapiers 1 und mit der Zufallsvariablen S2 als Ausdruck der möglichenUmweltzustände s2k mit den zugehörigen erwarteten Renditen r2k des Wertpa-piers 2 dargestellt. Eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion W(S1 = s1j,S2 = s2k) = f(s1j, s2k) = pjk der Zufallsvariablen S1 und S2 gibt die Wahrscheinlich-keit pjk dafür an, daß die Zufallsvariable S1 den Wert s1j und die ZufallsvariableS2 gleichzeitig den Wert s2k annimmt1 . Bezogen auf unser Beispiel gibt die (vor-

Umweltzustände s1j des Wertpapiers 1S11 S12 S13 S14

Eintrittswahrscheinlichkeit w1jw11 w12 w13 w140,2 0,3 0,4 0,1

Erwartete Renditen r1jr11 r12 r13 r14

-0,01 0,1 0,21 0,28

0,1 0,25 0,3 0,05 0,7p11 p21 p31 p41

0,1 0,05 0,1 0,05 0,3p12 p22 p32 p42

0,2 0,3 0,4 0,1

Abbildung 108: Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion

Um

wel

tzus

tänd

e s 2

k de

s Wer

tpap

iers

2S 2

2S 2

1Ei

ntrit

tswah

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eit w

2kw

22w

210,

30,

7Er

war

tete

Ren

dite

n r 2

kr 2

2r 2

1-0

,142

857

0,32

1439


1 Vgl. z.B. Bleymüller, Josef, Gehlert, Günther, Gülicher, Herbert: Statistik für Wirtschaftswissenschaftler, 5. A.,München 1988, S. 45.

gegebene) gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion eine Antwort auf die Frage,wie groß die Wahrscheinlichkeit pjk ist, daß gleichzeitig die Rendite r1j und dieRendite r2k erwartet werden, wobei die Rendite r1j der Ausprägung s1j der Zufalls-variablen S1 und die Rendite r2k der Ausprägung s2k der Zufallsvariablen S2 zuge-ordnet wird. Wie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion W(S1 = s1j, S2 =s2k) = f(s1j, s2k) = pjk konkret aussieht, hängt davon ab, ob und in welcher Art undStärke Beziehungen, eventuell auch über dritte Größen, zwischen den betrachtetenZufallsvariablen S1 und S2 bestehen. Solche Beziehungen können mit Hilfe desKorrelationskoeffizienten -1 ≤ ρ12 ≤ 1 erfaßt werden. Falls die beiden Zufallsva-riablen voneinander unabhängig sind, ergeben sich die gemeinsamen Wahrschein-lichkeiten als Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. Bezogen auf die numerischspezifizierte gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion in Abbildung 108 ist diesnicht der Fall.Ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion W(S1 = s1j, S2 = s2k) = pjk be-kannt, so kann der Renditeerwartungswert µµµµP des Wertpapierportefeuilles alsgewichtetes arithmetisches Mittel bestimmt werden:

Unter Offenhaltung der Anteile x1 und x2 der Wertpapiere im Portefeuille erhaltenwir unter Zugrundelegung der Symbole aus Abbildung 108 dann folgende Be-rechnungsformel für den Renditeerwartungswert µP des Wertpapierportefeuilles:

Bezogen auf die in dieser Formel angeführten gemeinsamen Wahrscheinlichkeitengilt nun

Das heißt, die Summe der gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten ergibt spalten-weise die jeweilige Eintrittswahrscheinlichkeit w1j des Umweltzustands s1j desWertpapiers 1 und zeilenweise die jeweilige Eintrittswahrscheinlichkeit w2kdes Umweltzustands s2k des Wertpapiers 2. Es handelt sich um die Randvertei-lungen der Zufallsvariablen S1 und S2.

Die Randverteilung fS1(s1j ) des Wertpapiers 1 (und entsprechend die Randver-

teilung fS2(s2k ) des Wertpapiers 2!) gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit

dafür ist, daß die Zufallsvariable S1 einen speziellen Wert s1j annimmt, unab-

pjkk∑ = w1j und pjk

j∑ = w2k .

µ P = x1 ∑[(r11 ∑p 11 + r11 ∑p 12 ) + (r12 ∑p 21 + r12 ∑p 22 ) + (r13 ∑p 31 + r13 ∑p 32 ) + (r14 ∑p 41 + r14 ∑p 42 )] + x2 ∑[(r21 ∑p 11 + r21 ∑p 21 + r21 ∑p 31 + r21 ∑p 41) + (r22 ∑p 12 + r22 ∑p 22 + r22 ∑p 32 + r22 ∑p 42 )]oderµ P = x1 ∑[r11 ∑(p 11 + p12 ) + r12 ∑(p 21 + p22 ) + r13 ∑(p 31 + p32 ) + r14 ∑(p 41 + p42 )] + x2 ∑[r21 ∑(p 11 + p21 + p31 + p41) + r22 ∑(p 12 + p22 + p32 + p42 )].

µ P = x1 ∑ r1jk∑

j∑ ∑p jk + x2 ∑ r2k

j∑

k∑ ∑p jk .


hängig davon, welchen Wert die andere Zufallsvariable aufweist1. Dies bedeu-tet, daß die zuletzt genannte Berechnungsformel für den RenditeerwartungswertµP des Wertpapierportefeuilles umgeformt werden kann zu

Das heißt, man kann den Renditeerwartungswert µP des Wertpapierportefeuillesauch bestimmen, ohne auf die gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten pjk zurückgrei-fen zu müssen (2. Vorgehensweise). Der Renditeerwartungswert µP des Wert-papierportefeuilles läßt sich direkt als Summe der Erwartungswerte µh dereinzelnen Wertpapiere, gewichtet mit den Anteilen xh am Investitionsbetrag,berechnen. Er liegt zwischen den Renditeerwartungswerten der beiden Wertpapie-re. Für unser Zahlenbeispiel aus Abbildung 108 erhalten wir als Renditeerwar-tungswert µP des Wertpapierportefeuilles:

Die Standardabweichung σσσσP des Wertpapierportefeuilles ergibt sich als Wur-zel aus der Varianz var(X) = var(x1 • S1 + x2 • S2) = σP

2 der gemeinsamen Wahr-scheinlichkeitsfunktion W(S1 = s1j, S2 = s2k) = f(s1j, s2k) = pjk . Die Varianz σσσσP

2

ist definiert als Summe der mit den gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten pjkgewichteten quadrierten Abweichungen zwischen den Ausprägungen (x1 • r1j+ x2 • r2k) der Zufallsvariablen X und deren Erwartungswert µP:

σP2 = (x1 ∑r1j + x2 ∑r2k − µ P )2 ∑p jk

j∑

k∑

oder wegen µ P = x1 ∑µ1 + x2 ∑µ2

σP2 = (x1 ∑r1j + x2 ∑r2k − x1 ∑µ1 + x2 ∑µ2[ ])2 ∑p jk

j∑

k∑

oder nach Umgruppierung

σP2 = (x1 ∑r1j − µ1[ ] + x2 ∑r2k − µ2[ ])2 ∑p jk

j∑

k∑

oder nach Ausmultiplikation

σP2 = (x1 ∑r1j − µ1[ ])2 + (x2 ∑r2k − µ2[ ])2 + 2∑(x 1 ∑r1j − µ1[ ])∑(x 2 ∑r2k − µ2[ ])( )∑p jk

j∑

k∑ .

µP = 0,14 • x1 + 0,18215 • x2.

µ P = x1 ∑[r11 ∑w 11 + r12 ∑w 12 + r13 ∑w 13 + r14 ∑w 14 ] + x2 ∑[r21 ∑w 21 + r22 ∑w 22 ]

oder wegen r1j ∑w 1jj∑ = µ1 und r2k ∑w 2k

k∑ = µ2

µ P = x1 ∑µ1 + x2 ∑µ2 = xh ∑µ hh∑ .


1 Vgl. z.B. Bleymüller, Josef, Gehlert, Günther, Gülicher, Herbert: Statistik für Wirtschaftswissenschaftler, 5. A.,München 1988, S. 46.

Diese Berechnungsformel der Varianz des Wertpapierportefeuilles kann

wegen r1j − µ1[ ]2∑w 1j

j∑ = σ1

2 , r2k − µ2[ ]2 ∑w 2kk∑ = σ2

2

und r1j − µ1[ ]∑r2k − µ2[ ]∑p jkj∑

k∑ = cov12

umformuliert werden zu:σP

2 = x12 ∑σ1

2 + x22 ∑σ2

2 + 2∑x 1 ∑x 2 ∑cov12

Bezogen auf den ersten Summenausdruck gilt:

x12 ∑ r1j − µ1[ ]2

∑p jkj∑

k∑ = x1

2 ∑ r1j − µ1[ ]2∑ p jk

k∑

j∑ ,

weil der Laufindex k nur bei den gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten pjk enthalten ist,und entsprechend gilt bezogen auf den zweiten Summenausdruck:

x22 ∑ r2k − µ2[ ]2 ∑p jk

j∑

k∑ = x2

2 ∑ r2k − µ2[ ]2 ∑ p jkj∑

k∑ .

Wird dies berücksichtigt, so erhalten wir:

σP2 = x1

2 ∑ r1j − µ1[ ]2∑ p jk

k∑

j∑ + x2

2 ∑ r2k − µ2[ ]2 ∑ p jkj∑

k∑

+2∑x 1 ∑x 2 ∑ r1j − µ1[ ]∑r2k − µ2[ ]∑p jkj∑

k∑

oder wegen pjkk∑ = w1j und pjk

j∑ = w2k

σP2 = x1

2 ∑ r1j − µ1[ ]2∑w 1j

j∑ + x2

2 ∑ r2k − µ2[ ]2 ∑w 2kk∑

+2∑x 1 ∑x 2 ∑ r1j − µ1[ ]∑r2k − µ2[ ]∑p jkj∑

k∑ .

oder nach Ausklammerung der Konstanten

σP2 = x1

2 ∑ r1j − µ1[ ]2∑p jk

j∑

k∑ + x2

2 ∑ r2k − µ2[ ]2 ∑p jkj∑

k∑

+2∑x 1 ∑x 2 ∑ r1j − µ1[ ]∑r2k − µ2[ ]∑p jkj∑

k∑ .

Die Aufgliederung nach den einzelnen Summen ergibt:

σP2 = (x1 ∑r1j − µ1[ ])2 ∑p jk

j∑

k∑ + (x2 ∑r2k − µ2[ ])2 ∑p jk

j∑

k∑

+ 2∑(x 1 ∑r1j − µ1[ ])∑(x 2 ∑r2k − µ2[ ])∑p jkj∑

k∑


Die Kovarianz cov12 ist ein Ausdruck für Richtung und Stärke des Zusammen-hangs zwischen den beiden Zufallsvariablen S1 und S2. Die Berechnung derKovarianz ist ohne Kenntnis der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion nichtmöglich. Für unabhängige Zufallsvariable ist die Kovarianz cov12 = 0. DerUmkehrschluß, daß bei Verschwinden der Kovarianz die Zufallsvariablen unab-hängig sind, ist jedoch nicht zulässig1.Die Kovarianz cov12 hat als Dimension [Maßeinheit der Zufallsvariablen S1 • Maßeinheit der Zufallsvariablen S2], hängt also von den Maßeinheiten der Zu-fallsvariablen ab. Um diese Abhängigkeit zu vermeiden und einen dimensionslo-sen Ausdruck für die Beziehung zwischen den Zufallsvariablen zu erhalten,dividiert man die Kovarianz durch das Produkt der Standardabweichungenσ1 • σ2 und erhält auf diese Weise den sog. Korrelationskoeffizienten ρρρρ12:

Der Korrelationskoeffizient ρρρρ12 kann Werte annehmen zwischen -1 und +1. Istder Korrelationskoeffizienten ρ12 = -1, so sind die beiden Zufallsvariablen voll-ständig negativ korreliert. Ist der Korrelationskoeffizienten ρ12 = +1, so sind diebeiden Zufallsvariablen vollständig positiv korreliert. Ist der Korrelationskoeffi-zienten ρ12 = 0, so sind die beiden Zufallsvariablen nicht miteinander korreliert.

Unter Berücksichtigung des Korrelationskoeffizienten ρ12 erhalten wir für die Va-rianz σσσσP

2 des aus zwei Wertpapieren bestehenden Portefeuilles:

Das Risiko des Wertpapierportefeuilles hängt 1. von den Einzelrisiken, gemes-sen als Varianzen σ1

2 und σ2

2 oder Standardabweichungen σ1 und σ2, 2. von denAnteilen x1 und x2 der Wertpapiere am Portefeuille sowie 3. von dem Korrela-tionskoeffizienten ρ12, also letztlich von der Kovarianz und damit von der gemein-samen Wahrscheinlichkeitsfunktion ab.

Für die Standardabweichung σσσσP

des aus zwei Wertpapieren bestehendenPortefeuilles ergeben sich für bestimmte Werte des Korrelationskoeffizienten ρ12vereinfachte Berechnungsformeln:

σP2 = x1

2 ∑σ12 + (1− x1)2 ∑σ2

2 + 2∑x 1 ∑(1 − x1)∑ρ12 ∑σ1 ∑σ2 .

cov12

σ1 ∑σ2

=r1j − µ1[ ]∑r2k − µ2[ ]∑p jk

j∑

k∑

σ1 ∑σ2

= ρ12 .

oder wegen x2 = 1− x1

σP2 = x1

2 ∑σ12 + (1− x1)2 ∑σ2

2 + 2∑x 1 ∑(1 − x1)∑cov12.


1 Vgl. Reichardt, Helmut: Statistische Methodenlehre für Wirtschaftswissenschaftler, 6. A., Nachdruck, Wiesba-den 1985, S. 177.

Bezogen auf unser Zahlenbeispiel aus Abbildung 108 erhalten wir für die Kova-rianz cov12:

oder unter Verwendung der Zahlenwerte (vgl. Abbildung 108 und S. 302):

Der Korrelationskoeffizient ρρρρ12 beträgt bezogen auf das Zahlenbeispiel mithin:

so daß zwischen den beiden Wertpapieren aufgrund der gesetzten Daten hinsicht-lich der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion nur eine sehr schwache positi-ve Korrelation besteht.

Die Varianz σσσσP2

des aus zwei Wertpapieren bestehenden Portefeuilles lautetunter Offenhaltung der Anteile x1 und x2 = 1 - x1 im Zahlenbeispiel:

ρ12 = cov12 /(σ1 • σ2) = 0,001393/(0,094340 • 0,212767) = 0,069393,

cov12 = (-0,01 - 0,14)•(0,3214 - 0,1822)•0,1 + (0,1 - 0,14)•(0,3214 - 0,1822)•0,25

+ (0,21 - 0,14)•(0,3214 - 0,1822)•0,3 + (0,28 - 0,14)•(0,3214 - 0,1822)•0,05

+ (-0,01 - 0,14)•(-0,1429 - 0,1822)•0,1 + (0,1 - 0,14)•(-0,1429 - 0,1822)•0,05

+ (0,21 - 0,14)•(-0,1429 - 0,1822)•0,1 + (0,28 - 0,14)•(-0,1429 - 0,1822)•0,05

= -0,002089 + (-0,001393) + 0,002925 + 0,000975+ 0,004875 + 0,000650 + (-0,00227505) + (-0,00227505)= 0,001393.

cov12 = [(r11 - µ1) • (r21 - µ2) • p11 + (r12 - µ1) • (r21 - µ2) • p21

+ (r13 - µ1) • (r21 - µ2) • p31 + (r14 - µ1) • (r21 - µ2) • p41]

+ [(r11 - µ1) • (r22 - µ2) • p12 + (r12 - µ1) • (r22 - µ2) • p22

+ (r13 - µ1) • (r22 - µ2) • p32 + (r14 - µ1) • (r22 - µ2) • p42]

für ρ12 = + 1: σP = x12 ∑σ1

2 + (1− x1)2 ∑σ22 + 2∑x 1 ∑(1 − x1)∑ρ12 ∑σ1 ∑σ2

oder wegen a2 + b2 + 2∑a∑b = (a + b) 2

σP = x1 ∑σ1 + (1− x1) ∑σ2 ,

für ρ12 = 0: σP = x12 ∑σ1

2 + (1− x1)2 ∑σ22 ,

für ρ12 = −1: σP = x12 ∑σ1

2 + (1− x1)2 ∑σ22 − 2∑x 1 ∑(1 − x1)∑ρ12 ∑σ1 ∑σ2

oder wegen a2 + b2 ± 2∑a∑b = (a ± b) 2

σP = x1 ∑σ1 − (1− x1) ∑σ2 .


In den hergeleiteten Formeln für den Renditeerwartungswert µP und für die Vari-anz σP

2 eines aus zwei Wertpapieren bestehenden Portefeuilles, nämlich

sind diese als Funktion der Anteile x1 und x2 = 1 - x1 der beiden Wertpapiere amPortefeuille definiert. Um jedoch verschiedene Wertpapierportefeuilles für eine spätere Effizienzbe-trachtung im (µ, σ)-Diagramm darstellen zu können, muß eine funktionale Bezie-hung zwischen dem Risikomaß σσσσP und dem Renditeerwartungswert µµµµP herge-stellt werden. Um dies zu erreichen, werden die Anteile x1 und x2 = 1 - x1 umfor-muliert zu

Setzt man diese Ausdrücke in die Formel für die Standardabweichung σP ein, soerhält man die für die Darstellung im (µ, σ)-Diagramm erforderliche funktionaleAbhängigkeit des Risikomaßes σσσσP(µµµµP) vom Renditeerwartungswert µµµµP:

Um eine Aussage über den Verlauf der Funktion σP(µP) zu erhalten, muß die ersteAbleitung nach dem Renditeerwartungswert µP gebildet werden:

σP = x12 ∑σ1

2 + (1− x1)2 ∑σ22 + 2∑x 1 ∑(1 − x1)∑ρ12 ∑σ1 ∑σ2

oder

σP = µ P − µ2

µ1 − µ2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

∑σ12 + µ1 − µ P

µ1 − µ2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

∑σ22 + 2∑µ P − µ2

µ1 − µ2

∑µ1 − µ P

µ1 − µ2

∑ρ12 ∑σ1 ∑σ2

oder

σP = 1µ1 − µ2

∑ µ P − µ2( )2 ∑σ12 + µ1 − µ P( )2 ∑σ2

2 + 2∑( µ P − µ2 )∑( µ1 − µ P )∑ρ12 ∑σ1 ∑σ2 .

µ P = x1 ∑µ1 + (1− x1)∑µ2 = x1 ∑( µ1 − µ2 ) + µ2

oderx1 ∑( µ1 − µ2 ) = µ P − µ2

oder

x1 = µ P − µ2

µ1 − µ2

und

x2 = 1 ± x1 = 1− µ P − µ2

µ1 − µ2

= µ1 − µ P

µ1 − µ2

.

µ P = x1 ∑µ1 + x2 ∑µ2 = x1 ∑µ1 + (1− x1)∑µ2

undσP

2 = x12 ∑σ1

2 + (1− x1)2 ∑σ22 + 2∑x 1 ∑(1 − x1)∑ρ12 ∑σ1 ∑σ2 ,

σP2 = x1

2 • 0,0089 + (1 -x1)2 • 0,0453 + 2 • x1 • (1 -x1) • 0,0694 • 0,0943 • 0,2128.


Zur Extremwertbestimmung ist die erste Ableitung gleich Null zu setzen. Sie wirdgleich Null, wenn der Zähler des Bruchs den Wert Null annimmt:

D.h., die Funktion σP(µP) hat bei diesem Renditeerwartungswert µP ein Minimum.

Ist der Korrelationskoeffizient ρρρρ12 = 1, so vereinfacht sich die Funktion σP(µP)zu einer Geradengleichung:

Für alle Renditeerwartungswerte µp zwischen µ1 und µ2 ist die Standardabwei-chung σP des Wertpapierportefeuilles bei einem Korrelationskoeffizient ρ12 = 1 ei-ne lineare Funktion σP(µP) vom Renditeerwartungswert µP.

Ist der Korrelationskoeffizient ρρρρ12 = 0, so ist die Standardabweichung σP desWertpapierportefeuilles keine lineare Funktion vom Renditeerwartungswert µP:

σP = 1µ1 − µ2

∑ µ P − µ2( )2 ∑σ12 + µ1 − µ P( )2 ∑σ2

2 + 2∑( µ P − µ2 )∑( µ1 − µ P )∑1∑σ1 ∑σ2

oder

σP = 1µ1 − µ2

∑ µ P − µ2( )∑σ1 + µ1 − µ P( )∑σ2[ ]oder

σP = σ1

µ1 − µ2

∑µ P −σ1

µ1 − µ2

∑µ2 + σ2

µ1 − µ2

∑µ1 −σ2

µ1 − µ2

∑µ P

oder

σP = σ2 ∑µ1 − σ1 ∑µ2

µ1 − µ2

+ σ1 − σ2

µ1 − µ2

∑µ P .

µ P − µ2( )∑σ12 − µ1 − µ P( )∑σ2

2 − cov12 ∑( µ P − µ2 ) + cov12 ∑( µ1 − µ P ) = 0oderµ P ∑(σ1

2 + σ22 − 2∑cov12 ) + µ2 ∑(cov12 − σ1

2 ) + µ1 ∑(cov12 − σ22 ) = 0

oder

µ P = µ2 ∑(σ12 − cov12 ) + µ1 ∑(σ2

2 − cov12 )σ1

2 + σ22 − 2∑cov12

.

dσP

dµ P

= 1µ1 − µ2

∑

12∑2∑ µ P − µ2( )∑σ1

2 − 2∑µ1 − µ P( )∑σ22 + 2∑cov12 ∑( µ P − µ2 )∑(−1) + 2∑cov12 ∑( µ1 − µ P )[ ]

µ P − µ2( )2 ∑σ12 + µ1 − µ P( )2 ∑σ2

2 + 2∑( µ P − µ2 )∑( µ1 − µ P )∑cov12

oder

dσP

dµ P

= 1µ1 − µ2

∑µ P − µ2( )∑σ1

2 − µ1 − µ P( )∑σ22 − cov12 ∑( µ P − µ2 ) + cov12 ∑( µ1 − µ P )[ ]

µ P − µ2( )2 ∑σ12 + µ1 − µ P( )2 ∑σ2

2 + 2∑( µ P − µ2 )∑( µ1 − µ P )∑cov12

.


Um weitere Informationen über den Verlauf der Funktion σσσσP(µµµµP) bei einemKorrelationskoeffizient ρρρρ12 = 0 zu erhalten, ist es sinnvoll, ihre erste Ableitungnach dem Renditeerwartungswert µP des Wertpapierportefeuilles zu bilden:

Zur Extremwertbestimmung ist diese erste Ableitung gleich Null zu setzen. Sie istgleich Null, wenn der Zähler gleich Null ist:

Die Funktion σP(µP) hat bei diesem Renditeerwartungswert ein Minimum. Diesbedeutet, daß schon bei einem Korrelationskoeffizient ρρρρ12 = 0 durch ein Wert-papierportefeuille Diversifikationseffekte, nämlich geringeres Risiko bei zu-nehmendem Renditeerwartungswert des Portefeuilles, im Vergleich zu deneinzelnen Wertpapieren, erzielt werden können.Ist der Korrelationskoeffizient ρρρρ12 = -1, so ergibt sich folgende Funktion derStandardabweichung σP vom Renditeerwartungswert µP des Wertpapierporte-feuilles:

σ12 ∑µ P − µ2( ) − σ2

2 ∑µ1 − µ P( )( ) = 0

oderµ P ∑(σ1

2 + σ22 ) − σ1

2 ∑µ2 − σ22 ∑µ1 = 0

oder

µ P = σ12 ∑µ2 + σ2

2 ∑µ1

(σ12 + σ2

2 ).

dσP

dµ P

= 1µ1 − µ2

∑

12∑2∑σ1

2 ∑µ P − µ2( ) − 2∑σ22 ∑µ1 − µ P( )( )

µ P − µ2( )2 ∑σ12 + µ1 − µ P( )2 ∑σ2

2

oder

dσP

dµ P

= 1µ1 − µ2

∑σ1

2 ∑µ P − µ2( ) − σ22 ∑µ1 − µ P( )( )

µ P − µ2( )2 ∑σ12 + µ1 − µ P( )2 ∑σ2

2.

σP = 1µ1 − µ2

∑ µ P − µ2( )2 ∑σ12 + µ1 − µ P( )2 ∑σ2

2 + 2∑( µ P − µ2 )∑( µ1 − µ P )∑0∑σ1 ∑σ2

oder

σP = 1µ1 − µ2

∑ µ P − µ2( )2 ∑σ12 + µ1 − µ P( )2 ∑σ2

2 .


Diese Betragsfunktion σP(µP) erreicht den Wert σP = 0, wenn für den Renditeer-wartungswert µP des Wertpapierportefeuilles gilt:

Dies bedeutet, daß man bei vollständiger negativer Korrelation zwischen denWertpapieren ein Portefeuille zusammenstellen kann, das kein Risiko auf-weist, obwohl die beteiligten Wertpapiere selber risikobehaftet sind.In den gerade hergeleiteten Funktionen σP(µP) für verschiedene Korrelationskoef-fizienten ist die Mischung der Wertpapiere, d.h., das Verhältnis ihrer Anteile x1und x2 = 1 - x1, über die Größe des Renditeerwartungswerts µP des Wertpapier-portefeuilles enthalten. Denn es gilt:

Die Wertpapiermischung x1/x2 ist folglich eine Funktion des Renditeerwar-tungswerts µµµµP des Wertpapierportefeuilles. Aussagen über den genauen Ver-lauf der Funktion x1/x2 in Abhängigkeit vom Renditeerwartungswert µµµµP des

x1

x2

=

µ P − µ2

µ1 − µ2µ1 − µ P

µ1 − µ2

= µ P − µ2

µ1 − µ P

σP = 0 = − σ1 ∑µ2 + σ2 ∑µ1

µ1 − µ2

+ σ1 + σ2

µ1 − µ2

∑µ P

oderσ1 + σ2

µ1 − µ2

∑µ P = σ1 ∑µ2 + σ2 ∑µ1

µ1 − µ2

oder

µ P = σ1 ∑µ2 + σ2 ∑µ1

σ1 + σ2

.

σP = σ1

µ1 − µ2

∑µ P −σ1

µ1 − µ2

∑µ2 −σ2

µ1 − µ2

∑µ1 + σ2

µ1 − µ2

µ P

oder

σP = − σ1 ∑µ2 + σ2 ∑µ1

µ1 − µ2

+ σ1 + σ2

µ1 − µ2

∑µ P .

σP = 1µ1 − µ2

∑ µ P − µ2( )2 ∑σ12 + µ1 − µ P( )2 ∑σ2

2 + 2∑( µ P − µ2 )∑( µ1 − µ P )∑(−1)∑σ1 ∑σ2

oder

σP = 1µ1 − µ2

∑ µ P − µ2( )∑σ1 − µ1 − µ P( )∑σ2[ ]oder


Wertpapierportefeuilles erhält man, wenn man die erste Ableitung nach demRenditeerwartungswert µP des Wertpapierportefeuilles bildet:

Gilt µ1 > µ2, so ist die erste Ableitung immer positiv. Gilt µ1 < µ2, so ist die ersteAbleitung stets negativ. D.h., die Funktion x1/x2 hat eine streng monotone Ver-laufsform. Daraus folgt: Für verschiedene Renditeerwartungswerte µµµµp desWertpapierportefeuilles kann das Verhältnis x1/x2 nicht gleich sein. Da dieAnteile x1 und x2 auf den Bereich von 0 bis 1 festgelegt sind, folgt aus x1 = 0, daßµP = µ2 sein muß; denn das Wertpapierportefeuille besteht dann nur aus demWertpapier 2. Aus x1 = 1 folgt µP = µ1, weil dann das Wertpapierportefeuille nuraus dem Wertpapier 1 besteht.Die Funktionen σP(µP) sollen an einem Zahlenbeispiel für alternative Korrela-tionskoeffizienten erläutert werden :

In diesem Beispiel wird das Wertpapier 1 durch das Wertpapier 2 dominiert. Beieiner Entweder-Oder-Entscheidung käme das Wertpapier 1 also nicht in Be-tracht. Daß dies bei einer Mischungsentscheidung anders sein kann, soll nun-mehr gezeigt werden.Für einen Korrelationskoeffizient ρρρρ12 = 1 ergibt sich die Funktion

Ist der Korrelationskoeffizient ρρρρ12 = 0, so erhalten wir die Funktion

Für einen Korrelationskoeffizient ρρρρ12 = -1 ergibt sich die Funktion

In Abbildung 109 werden lediglich drei mögliche Korrelationskoeffizienten be-trachtet. Die Wertpapiermischungskurven für Korrelationskoeffizienten zwischen0 < ρ12 < 1 liegen zwischen derjenigen für den Korrelationskoeffizienten ρ12 = 0und derjenigen für den Korrelationskoeffizienten ρ12 = 1. Entsprechendes gilt fürsolche Wertpapiermischungskurven mit Korrelationskoeffizienten zwischen -1 <ρ12 < 0. Ihr Verlauf ist jeweils konvex.

σP(µp) = |-(-0,482) + (-4,4) • µp| = |0,482 - 4,4 • µp|.

σP(µp) = |-20| • [(µp - 0,13)2 • 0,132 + (0,08 - µp)2 • 0,092]0,5.

σP(µp) = |0,194 + (-0,8) • µp| = |0,194 - 0,8 • µp| .

Renditeerwar-tungswert µi

Standardabwei-chung σi

Wertpapier 1 0,08 0,13Wertpapier 2 0,13 0,09

d x1

x2

dµ P

= (µ1 − µ P ) + (µ P − µ2 )(µ1 − µ P )2 = (µ1 − µ2 )

(µ1 − µ P )2 .


Aus Abbildung 109 kann man ersehen, daß in unserem Beispiel mit einem domi-nierten Wertpapier (nämlich Wertpapier 1) nicht bloß dieses, sondern für den Falleines Korrelationskoeffizienten ρ12 = 1 auch alle Portefeuilles mit echten Mi-schungen aus den beiden Wertpapieren durch das Wertpapier 2 dominiert werden.Das heißt, für den Fall eines Korrelationskoeffizienten ρ12 = 1 (aber nur für die-sen Fall!) kann man von vornherein dominierte Wertpapiere aus der Portefeuille-betrachtung ausschließen. Für alle anderen Korrelationskoeffizienten, also ρ12 ≠ 1,gilt dies hingegen nicht. Es ist daher problematisch – unabhängig von der Größedes Korrelationskoeffizienten – Wertpapiere, die durch einzelne andere oder durchMischungen benachbarter Wertpapiere dominiert werden, nicht bei der Ermittlungdes optimalen Wertpapierportefeuilles zu berücksichtigen1, weil dadurch das tat-

Für Korrelationskoeffizient ρ12 = 1 Für Korrelationskoeffizient ρ12 = 0Renditeerwar-tungswert µp

Standardabwei-chung σP(µp)

Renditeerwar-tungswert µp


0,08 0,13 0,08 0,130,09 0,122 0,09 0,1055461984160,1 0,114 0,1 0,085906926380,11 0,106 0,11 0,0749666592560,12 0,098 0,112 0,0742159012610,13 0,09 0,1138 0,073997297248

0,114 0,0740,116 0,0743236167040,118 0,0751797845170,12 0,0765506368360,13 0,09

Für Korrelationskoeffizient ρ12 = -1Renditeerwar-tungswert µp


0,08 0,130,09 0,0860,1 0,042

0,109545454545 00,11 0,0020,12 0,0460,13 0,09

Abbildung 109: Funktionale Abhängigkeit der Standardabweichung σσσσPvom Renditeerwartungswert µµµµP bei alternativen Korrelationskoeffizienten ρρρρ12

Für Korrelationskoeffizient = 1

Für Korrelationskoeffizient = 0

Für Korrelationskoeffizient = -1

Wertpapier 1

Wertpapier 2

0,08 0,09 0,1 0,11 0,12 0,130

0,05

0,1

0,15

0


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1 So verfährt aber Schneider, Dieter: Investition, Finanzierung und Besteuerung,. 6. A., Nachdruck, Wiesbaden1991, S. 378.

sächlich optimale Wertpapierportefeuille verfehlt werden kann. Bei Mischungenaus nicht dominierten Wertpapieren ergibt sich für den Fall eines Korrelations-koeffizienten ρ12 = 1 eine linear steigende Effizienzlinie mit der Konsequenz, daßalle Mischungen dieser effizienten Wertpapiere ebenfalls effizient sind.Generell gilt, daß Wertpapierportefeuilles auf den fallenden Ästen der Funktio-nen σσσσP(µµµµP) ineffizient sind. Diese Wertpapierportefeuilles werden von denjenigenWertpapierportefeuilles dominiert, die auf dem steigenden Kurvenabschnitt lie-gen.Für das Zahlenbeispiel in Abbildung 109 gilt folgender Zusammenhang zwischendem Renditeerwartungswert µP und dem Anteil x1 des Wertpapiers:

Das heißt, in dem Beispiel sind für den Fall eines Korrelationskoeffizientenρρρρ12 = 0 Wertpapierportefeuilles erst ab einem Renditeerwartungswert µP = 0,1138und damit ab einem Anteil x1 ≤ 0,324 des Wertpapiers 1 effizient. Für den Fall ei-nes Korrelationskoeffizienten ρρρρ12 = -1 sind Wertpapierportefeuilles erst abeinem Renditeerwartungswert µP = 0,109545 und damit ab einem Anteil x1 ≤0,409091 des Wertpapiers 1 effizient.Nachdem wir die effizienten Wertpapierportefeuilles (auf den steigenden Kurven-abschnitten) von den ineffizienten Wertpapierportefeuilles (auf den fallenden Kur-venabschnitten) über Dominanzüberlegungen getrennt haben, verbleibt noch dieAufgabe, aus der Vielzahl der effizienten Wertpapierportefeuilles das oder die op-timalen herauszusuchen. Dafür muß auf die schon erläuterten Nutzenindifferenz-kurven zurückgegriffen werden.Die effizienten Teile der Wertpapiermischungskurven verlaufen alle entwe-der linear oder konvex steigend. Dagegen verlaufen die Nutzenindifferenz-kurven eines risikoaversiven Investors zwar auch steigend, aber konkav oderzumindest linear. Weiter rechts liegende Nutzenindifferenzkurven beinhalten da-bei ein höheres Risikopräferenzniveau. Das optimale Wertpapierportefeuille ermittelt man nun wie folgt: Man legt dasNutzenindifferenzkurvensystem in das (µ, σ)-Diagramm mit der effizienten Wert-papiermischungskurve (Effizienzlinie) und ermittelt den oder die Punkte, bei dereine möglichst weit rechts liegende Nutzenindifferenzkurve diese Wertpapiermi-schungskurve gerade noch berührt. Dabei ist es möglich, daß es mehrere, nämlich bei als beliebig angenommenerTeilbarkeit unendlich viele Berührpunkte und damit optimale Wertpapierporte-feuilles gibt. Dies ist der Fall bei einer linearen Effizienzlinie und gleichzeitig zu-mindest teilweise linearer Nutzenindifferenzkurve mit gleicher Steigung wie dieWertpapiermischungslinie.

Renditeerwartungswert µP 0,08 0,085 0,09 0,095 0,1 0,105 0,1095Anteil x1 des Wertpapiers 1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4091Renditeerwartungswert µP 0,11 0,1138 0,115 0,12 0,125 0,13Anteil x1 des Wertpapiers 1 0,4 0,324 0,3 0,2 0,1 0


Zumeist wird es aber nur genau ein optimales Wertpapierportefeuille geben, das 1.entweder mitten im Definitionsbereich der Linie effizienter Wertpapiermischun-gen liegt oder das 2. sich am Definitionsrand der Linie effizienter Wertpapiermi-schungen befindet.Der erstere Fall tritt auf, wenn eine Nutzenindifferenzlinie die Effizienzlinie gera-de tangiert, also in einem Punkt die gleiche Steigung wie die Wertpapiermi-schungslinie im gleichen Punkt aufweist. Ein solcher Fall ist in Abbildung 110für die Effizienzlinie aus Abbildung 109 mit einem Korrelationskoeffizienten von0 und linearen Nutzenindifferenzkurven dargestellt:

Das optimale Wertpapierportefeuille ist hierbei dasjenige, das einen Renditeer-wartungswert von µP = 0,1208 und eine Standardabweichung von σP = 0,077237aufweist. In diesem Wertpapierportefeuille beträgt der Anteil des Wertpapiers 1x1 = 0,184 und damit der Anteil des Wertpapiers 2 x2 = 0,816. Es handelt sich alsoum eine echte Mischung.Im zweiten Fall liegt das optimale Wertpapierportefeuille am Rand des Defini-tionsbereichs der Effizienzlinie. Es gibt dann keinen Punkt, in dem die Nutzenin-differenzkurve die gleiche Steigung wie die Effizienzlinie aufweist. Es existiert je-doch ein Schnittpunkt zwischen einer möglichst weit rechts liegenden Nutzenin-differenzkurve und der Effizienzlinie. Verläuft die Nutzenindifferenzlinie flacher als die Effizienzlinie, so befindetsich der Schnittpunkt und damit das optimale Wertpapierportefeuille am unterenRand des Definitionsbereichs der Effizienzlinie. Das optimale Wertpapierporte-feuille ist dasjenige mit dem geringsten Risiko.

EffizienzlinieNutzenindifferenzkurve

Optimales Wertpapierportefeuille

0,112 0,114 0,116 0,118 0,12 0,122 0,124 0,126 0,128 0,130,07

0,075

0,08

0,085

0,09


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Abbildung 110: Bestimmung des optimalen Wertpapierportefeuilles (Lageinnerhalb des Definitionsbereichs der Effizienzlinie)


In bezug auf die in Abbildung 109 dargestellte Situation gibt es für den Korrela-tionskoeffizienten ρρρρ12 = 1 nur einen Effizienzpunkt, nämlich das Wertpapier 2.Werden aber nur nicht dominierte Wertpapiere gemischt, so existiert – wie darge-legt (vgl. S. 319) – eine steigende Effizienzlinie. Verläuft dann die Nutzenindiffe-renzlinie flacher als die Effizienzlinie, so ist bei einem Korrelationskoeffizientenρ12 = 1 nur das risikoärmere Wertpapier in diesem Portefeuille enthalten (unechteMischung). Verläuft die Nutzenindifferenzlinie bei einem Korrelationskoeffizienten ρρρρ12 = -1flacher als die Effizienzlinie, so ist das optimale Wertpapierportefeuille dasjenigePortefeuille, bei dem das Risiko vollständig wegdiversifiziert worden ist (echteMischung).Ein flacher Verlauf der Nutzenindifferenzkurven weist auf eine starke Risiko-aversion des Entscheidungssubjekts hin. Die Zunahme des Risikos um eine Ein-heit wird nur dann als den Risikopräferenzwert nicht mindernd angesehen, wennsie mit einer verhältnismäßig großen Steigerung des Renditeerwartungswertes ein-hergeht. Umgekehrt liegt der Fall, wenn die Nutzenindifferenzkurve steiler als die Effi-zienzlinie verläuft. Der Schnittpunkt liegt dann am oberen Rand des Definitions-bereichs der Effizienzlinie, so daß das optimale Wertpapierportefeuille nur dasWertpapier mit höherem Risiko und höherem Renditeerwartungswert enthält. Indiesem Fall ist das Entscheidungssubjekt nur relativ wenig risikoaversiv, und zwarum so weniger, je steiler die Nutzenindifferenzlinie verläuft. Dieser Fall kann un-abhängig von der Größe des Korrelationskoeffizienten auftreten.In der folgenden Abbildung 111 wird der Fall, daß das optimale Wertpapierporte-feuille am Rand des Definitionsbereichs der Effizienzlinie bei einem Korrelations-koeffizienten ρ12 = -1 liegt, am benutzten Zahlenbeispiel graphisch veranschau-licht.


Vom Grundsatz her vollzieht sich die Auswahl der optimalen Wertpapiermi-schung bei mehr als zwei Wertpapieren analog zum 2-Wertpapier-Fall. Mankonstruiert zuerst eine Effizienzlinie für 2 Wertpapiere und kombiniert jedenPunkt dieser Linie mit einem dritten Wertpapier usw.. Da eine solche Vorgehens-weise zwangsläufig zu einer Schar von unendlich vielen Wertpapiermischungsli-nien führen würde, ist dieser Weg praktisch nicht gangbar. Glücklicherweise sindvon den Punkten dieser Kurven auch die meisten nicht interessant, da sie von an-deren Mischungen dominiert werden. Gesucht ist somit nur die Umhüllungskur-ve oder – anders ausgedrückt – die Linie, die die dominierenden Wertpapiermi-schungen, die für einen bestimmten Renditeerwartungswert die kleinste Streuungaufweisen, verbindet1.Vom n-Wertpapierfall soll im folgenden nur eine Variante herausgegriffen wer-den, nämlich die mit zwei risikobehafteten Wertpapieren und einer sicherenKapitalmarktanlage. Dafür greifen wir unser erstes Zahlenbeispiel (vgl. S. 302,307, 312) wieder auf und geben einen risikolosen Kapitalmarktzins von i = 0,08vor:

Effizienzlinie bei Korrelationskoeffizient = -1

Nutzenindifferenzkurve 1 (starke Risikoaversion)

Nutzenindifferenzkurve 2 (schwache Risikoaversion)

0,105 0,11 0,115 0,12 0,125 0,130

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0


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Abbildung 111: Bestimmung des optimalen Wertpapierportefeuilles (Lageam Rand des Definitionsbereichs der Effizienzlinie bei einem Korrelations-koeffizienten ρρρρ12 = -1)


1 Zur analytischen Herleitung dieser Umhüllungskurve mit Hilfe von Lagrange-Funktionen vgl. Drukarczyk, Jo-chen: Finanzierungstheorie, München 1980, S. 309-315.

Auch in dieser Situation sind unendlich viele Kombinationen der risikobehaftetenWertpapiere mit der Kapitalmarktanlage denkbar. Aus diesen Kombinationen sollen nun die Kombinationen, die sich aus einer Mi-schung eines festen Portefeuilles P* aus den beiden risikobehafteten Wertpapieren1 und 2 mit einem Anteil von xP* und der Kapitalmarktanlage mit einem Anteilvon xKM = 1 – xP* am Gesamtportefeuille P ergeben, herausgegriffen werden.Analog zum 2-Wertpapierfall ergibt sich der Renditeerwartungswert µµµµP des Ge-samtportefeuilles als:

und die Varianz σσσσP2222 des Gesamtportefeuilles als:

Um die Standardabweichung σσσσP des Gesamtportefeuilles in Abhängigkeitvom Renditeerwartungswert µµµµP darstellen zu können, wird die Formel des Ren-diteerwartungswertes nach xP* aufgelöst, um diesen Wert dann in die Formel fürdie Standardabweichung einsetzen zu können.µ P = (1− xP* )∑µKM + xP* ∑µ P*

oderµ P = µKM − xP* ∑µKM + xP* ∑µ P*

oderµ P − µKM = xP* ∑( µ P* − µKM )oder

xP* = µ P − µKM

µ P* − µKM

und

1- xP* = 1− µ P − µKM

µ P* − µKM

= µ P* − µKM − (µ P − µKM )µ P* − µKM

= µ P* − µ P

µ P* − µKM

.

σP2 = (1− xP* )2 ∑σKM

2 + xP*2 ∑σP*

2 + 2∑(1 − xP* )∑x P* ∑cov P*,KM

oder wegen σKM = 0 und covP*,KM = 0 für Kombinationen, die eine sichere Anlage enthalten,σP = xP* ∑σP*.

µ P = (1− xP* )∑µKM + xP* ∑µ P*

Wertpapier 1 Wertpapier 2Renditeerwartungswert µh 0,14 0,18215Standardabweichung σh 0,094340 0,212767Kovarianz cov12 0,001393Korrelationskoeffizient ρ12 0,069393Risikoloser Kapitalmarktzins i = µKM 0,08


Setzt man den Wert für xP* in die Formel für die Standardabweichung σP ein, soerhält man eine lineare Funktion der Standardabweichung σσσσP in Abhängigkeitvom Renditeerwartungswert µµµµP, die den Kapitalmarktanlagepunkt (µKM; σKM)und den gerade jeweils betrachteten Mischpunkt (µP*; σP*) der risikobehaftetenWertpapiere auf der Effizienzlinie verbindet:

Eine solche Mischungsgerade kann für jeden beliebigen Punkt der Effizienzlinieder risikobehafteten Wertpapiere ermittelt werden, so daß auch beliebig vieleWertpapier-Kapitalmarktanlage-Portefeuilles gebildet werden können, in denendas Verhältnis der risikobehafteten Wertpapiere zueinander dem jeweiligen Ver-hältnis des gerade zugrundegelegten Punkts auf der Effizienzlinie der risikobehaf-teten Wertpapiere entspricht. Von Interesse sind hingegen nur diejenigen Wertpapier-Kapitalmarktanlage-Porte-feuilles, die nicht von anderen dominiert werden. Solche liegen auf derjenigen Mi-schungsgeraden zwischen der Kapitalmarktanlage und einem effizienten Teil-portefeuille der risikobehafteten Wertpapiere, die den flachsten Verlauf aufweist;denn für diese Gerade gilt, daß sie gegenüber den anderen Mischungsgeraden fürjeden relevanten Renditeerwartungswert ein niedrigeres Risiko hat. Auf dieser Mi-schungsgeraden mit dem flachsten Anstieg liegt das optimale Gesamtporte-feuille. Welcher Punkt auf dieser Mischungsgerade als optimales Gesamtporte-feuille gewählt wird, hängt von der Risikopräferenzfunktion des Investors ab.Die Mischungsgerade mit dem flachsten Anstieg ist diejenige, die die Effi-zienzlinie der risikobehafteten Wertpapiere gerade tangiert. Der Tangential-punkt hat die Koordinaten µP*opt und σP*opt. Es handelt sich um den Renditeerwar-tungswert µP*opt und die Standardabweichung σP*opt des in jedes optimale Ge-samtportefeuille aufzunehmenden optimalen Teilportefeuilles der risikobehaf-teten Wertpapiere.Die Verbindungslinie zwischen dem Kapitalmarktanlagepunkt (µKM; σKM) unddem optimalen Teilportefeuille der risikobehafteten Wertpapiere (µP*opt; σP*opt) istdie sog. Kapitalmarktlinie1. Wir stellen fest: Die Anteile der risikobehafteten Wertpapiere an dem nur ausrisikobehafteten Wertpapieren bestehenden Teilportefeuille sind im optima-len Gesamtportefeuille unabhängig von der Risikopräferenzfunktion des In-vestors. Von der Risikopräferenzfunktion des Investors abhängig ist hinge-gen der Anteil dieses Teilportefeuilles risikobehafteter Wertpapiere am opti-malen Gesamtportefeuille.

σP = σP* ∑µ P − µKM

µ P* − µKM

oder

σP = σP*

µ P* − µKM

∑µ P −σP* ∑µKM

µ P* − µKM

.



Bezogen auf das Beispiel (vgl. S. 323), das in Abbildung 112 graphisch darge-stellt wird, gelten für die Effizienzlinie der risikobehafteten Wertpapiere fol-gende Werte:

Die Koordinaten des optimalen Teilportefeuilles lauten: (µP*opt; σP*opt) =(0,150236; 0,091018). Ein Renditeerwartungswert µP*opt = 0,150236 entsprichteinem Verhältnis der Anteile der risikobehafteten Wertpapiere von x1 : x2 =0,75715 : 0,24285. In diesem Mischungsverhältnis sind die beiden Wertpapiere inein optimales Gesamtportefeuille aufzunehmen.Wird aufgrund der Risikopräferenzfunktion des Investors als optimales Gesamt-portefeuille eine Kombination zwischen dem Kapitalmarktanlagepunkt(µKM; σKM) = (0,08; 0) und dem Punkt (µP*opt; σP*opt) = (0,150236; 0,091018) desoptimalen Teilportefeuilles der risikobehafteten Wertpapiere gewählt, so teilt derInvestor seinen Investitionsbetrag zwischen dem optimalen Teilportefeuille der ri-sikobehafteten Wertpapiere und der Kapitalmarktanlage im Verhältnis xP* : xKM

auf das risikobehaftete optimale Teilportefeuille und auf die risikolose Kapital-

Renditeerwartungswert µP* 0,14616 0,15 0,150236 0,16 0,17 0,18 0,18215Standardabweichung σP* 0,08834 0,09072 0,091018 0,11552 0,1557 0,20231 0,21277Anteil x1 des Wertpapiers 1 0,8539 0,76275 0,75715 0,5255 0,28826 0,05101 0

Ineffiziente Portefeuilles der risikobehafteten Wertpapiere

Kapitalmarktlinie

Effizienzlinie der risikobehafteten Wertpapiere

Optimales Teilportefeuille der risikobehafteten Wertpapiere

Kapitalmarktanlagepunkt

0,08 0,09 0,1 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,190

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0


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Abbildung 112: Kombination zwischen zwei risikobehafteten Wertpapierenund einer risikolosen Kapitalmarktanlage


marktanlage auf. Weiter rechts liegende Gesamtportefeuilles enthalten dabei einengrößeren Anteil des risikobehafteten Teilportefeuilles. Im am weitesten links lie-genden Kapitalmarktanlagepunkt (µKM; σKM) wird nur in die sichere Kapital-marktanlage investiert, im Punkt (µP*opt; σP*opt) des optimalen Teilportefeuilles derrisikobehafteten Wertpapiere nur in die risikobehafteten Wertpapiere. Bezogenauf das Beispiel, das in Abbildung 112 graphisch dargestellt wird, gelten für dieKapitalmarktlinie folgende Werte:

Das optimale Teilportefeuille der risikobehafteten Wertpapiere wird auchTangentialportefeuille1 oder Marktportefeuille2 genannt. Der Begriff Markt-portefeuille resultiert daraus, daß unter bestimmten Prämissen dieses Portefeuilledas Portefeuille aller Marktteilnehmer ist, wenn sich der Kapitalmarkt im Gleich-gewicht befindet. Diese Prämissen sind3:1. Alle Kapitalmarktteilnehmer sind risikoaversiv, so daß ihre Nutzenindiffe-renzlinien steigend im (µ, σ)-Diagramm verlaufen und weiter rechts liegende einhöheres Präferenzniveau aufweisen.2. Alle Kapitalmarktteilnehmer haben die gleichen Erwartungen hinsichtlichRenditen, Streuungen und gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktionen, so daßunter Berücksichtigung ihrer Risikoaversion alle Kapitalmarktteilnehmer von dergleichen Effizienzlinie der risikobehafteten Wertpapiere ausgehen.3. Der Kapitalmarkt ist vollkommen, so daß jeder Kapitalmarktteilnehmer zumgeltenden Kapitalmarktzins beliebig viel anlegen oder aufnehmen kann, was zu-gleich bedeutet, daß durch die Kapitalmarkttransaktionen eines einzelnen Kapital-marktteilnehmers der Kapitalmarktzins nicht verändert wird.Die Punkte auf der Kapitalmarktlinie stellen Investitionspunkte dar, die sich rea-lisieren lassen, wenn der Investor über autonome Finanzierungsmittel (Eigen-kapital EK) im Entscheidungszeitpunkt t verfügt. Da das Gesamtportefeuillenur über die Mischungsverhältnisse, nämlich einerseits xP* : xKM und andererseitsx1 : x2, bestimmt ist, müssen die autonomen Finanzierungsmittel EK in einem sol-chen Umfang zur Verfügung stehen, daß diese Mischungsverhältnisse tatsächlich

Renditeerwartungswert µP 0,08 0,09 0,1 0,11 0,12 0,13 0,14Standardabweichung σP 0 0,01296 0,02592 0,03888 0,05184 0,06479 0,07775Anteil xP* des optimalenTeilportefeuilles 0 0,14238 0,28475 0,42713 0,56951 0,71188 0,85426

Renditeerwartungswert µP 0,15 0,15024Standardabweichung σP 0,09071 0,09102Anteil xP* des optimalenTeilportefeuilles 0,99664 1


1 Vgl. Bitz, Michael: Entscheidungstheorie, München 1981, S. 138.


3 Vgl. z.B. Schneider, Dieter: Investition, Finanzierung und Besteuerung, 6. A., Nachdruck, Wiesbaden 1991, S.424.

realisierbar sind. Unter der Prämisse beliebiger Teilbarkeit von Kapitalmarktanla-ge und Wertpapieranlage ist diese Bedingung für jedes Eigenkapital EK > 0 gege-ben. Wenn die Kapitalmarktanlage beliebig teilbar ist, in die risikobehaftetenWertpapiere zwar jeweils beliebig viel, aber im Sinne eines ganzzahligen Vielfa-chen ihrer Anschaffungspreise Kh,t zu investieren ist, so müssen autonome Finan-zierungsmittel EKmin in solcher Höhe mindestens zur Verfügung stehen, daß dasMischungsverhältnis im optimalen Teilportefeuille mit hinreichender Genauigkeitauf dem Markt verwirklicht werden kann.Aufgrund der Herleitung der Kapitalmarktlinie als Mischungsgeraden zwischender risikolosen Kapitalmarktanlage und dem optimalen Teilportefeuille der risiko-behafteten Wertpapiere (Marktportefeuille) ist die Kapitalmarktlinie bislang nurzwischen dem Kapitalmarktanlagepunkt (µµµµKM; σσσσKM) und dem Punkt(µµµµP*opt; σσσσP*opt) des optimalen Teilportefeuilles der risikobehafteten Wertpa-piere definiert. Wenn der Kapitalmarkt, auf dem ein risikoloser Zins in Höhe vonµKM = i gilt, vollkommen ist, so daß zu diesem Zins Kapitalaufnahmen möglichsind, so kann Fremdkapital FK aufgenommen werden, um es in risikobehaftetenhöher verzinslichen Wertpapieren anzulegen. Unter diesen Bedingungen kann dieKapitalmarktlinie über den Punkt des optimalen Teilportefeuilles nach rechts ver-längert werden. Das Gesamtportefeuille wird dann einerseits mit dem gegebenenEigenkapital EK und andererseits mit dem aufzunehmenden Fremdkapital FK fi-nanziert und besteht ausschließlich aus risikobehafteten Wertpapieren, und zwarin der Mischung des Marktportefeuilles.Für den Renditeerwartungswert µµµµP eines zum Teil fremdfinanzierten Gesamt-portefeuilles gilt folgende Abhängigkeit von der Fremdfinanzierung FK:

Das heißt, der Leverage-Effekt ist auch in dieser Situation wirksam1, sofern derRenditeerwartungswert µP*opt des optimalen Teilportefeuilles größer als der Soll-zins i des Kapitalmarkts ist, was vorausgesetzt worden ist. Für die Varianz eines Gesamtportefeuilles mit Kapitalmarktanlage gilt:

σP2 = x1

2 ∑σPopt

*2 + (1− x1)2 ∑σKM

2 + 2∑x 1 ∑(1 − x1)∑covPopt

* ,KM.

µ P =µ

Popt* ∑(EK + FK) − i∑FK

EKoder

µ P = µPopt

* ∑(1 + FKEK

) − i∑FKEK

oder

µ P = µPopt

* + (µPopt

* − i)∑FKEK

mit EK = const..


1 Vgl. Matschke, Manfred Jürgen: Finanzierung der Unternehmung, Herne/Berlin 1991, S. 32.

Aufbauend auf dieser Formel kann die Formel für die Varianz eines zum Teilfremdfinanzierten Gesamtportefeuilles hergeleitet werden, wenn x1 als Relationzwischen dem gesamten investierten Betrag EK+FK und dem Eigenkapital EKdefiniert wird:

Wird dies berücksichtigt, so erhalten wir:

In den beiden hergeleiteten Formeln für den Renditeerwartungswert µµµµP eineszum Teil fremdfinanzierten Gesamtportefeuilles

und für die Standardabweichung σσσσP eines zum Teil fremdfinanzierten Ge-samtportefeuilles

sind diese in Abhängigkeit vom Verschuldungsgrad FK/EK dargestellt. Umwiederum eine Beziehung zwischen der Standardabweichung σP und dem Rendi-teerwartungswert µP herzustellen, lösen wir die Formel für den Renditeerwar-tungswert µP nach dem Verschuldungsgrad auf:

Wird dies in die Formel der Standardabweichung σσσσP eines zum Teil fremdfi-nanzierten Gesamtportefeuilles eingesetzt, so erhalten wir:

µ P = µPopt

* ∑(1 + FKEK

) − i∑FKEK

oder

µ P − µPopt

* = (µPopt

* − i)∑FKEK

oder

FKEK

=µ P − µ

Popt*

µPopt

* − i.

σP = 1 + FKEK

⎛⎝

⎞⎠ ∑σPopt

*

µ P = µPopt

* ∑(1 + FKEK

) − i∑FKEK

σP2 = 1 + FK

EK⎛⎝

⎞⎠

2

∑σPopt

*2 + − FK

EK⎛⎝

⎞⎠

2

∑σKM2 + 2∑1 + FK

EK⎛⎝

⎞⎠ ∑ − FK

EK⎛⎝

⎞⎠ ∑cov

Popt* ,KM

oder wegen covPopt

* ,KM= 0 und σKM

2 = 0

σP2 = 1 + FK

EK⎛⎝

⎞⎠

2

∑σPopt

*2

oder

σP = 1 + FKEK

⎛⎝

⎞⎠

2

∑σPopt

*2 = 1 + FK

EK⎛⎝

⎞⎠ ∑σPopt

* .

x1 = FK + EKEK

= 1 + FKEK

und 1− x1 = − FKEK

.


Man erhält also wiederum eine Geradengleichung. Die Mischungsgerade, die den Kapitalmarktanlagepunkt (µKM; σKM) mit dem op-timalen Teilportefeuille der risikobehafteten Wertpapiere (µP*opt; σP*opt) verbindet,lautete:

und stimmt wegen µKM = i formal mit der obigen überein. Ein inhaltlicher Un-terschied besteht jedoch aufgrund des unterschiedlichen Definitionsbereichs. Die Mischungsgerade, die den Kapitalmarktanlagepunkt (µKM; σKM) mit dem op-timalen Teilportefeuille der risikobehafteten Wertpapiere (µP*opt; σP*opt) verbindet,ist definiert für

Es handelt sich um die Funktion der Standardabweichung σσσσP eines nur eigen-finanzierten Gesamtportefeuilles.Die Funktion der Standardabweichung σσσσP eines zum Teil fremdfinanziertenGesamtportefeuilles ist hingegen definiert für

Anders ausgedrückt heißt dies, daß die Mischungsgerade, die den Kapitalmarktan-lagepunkt (µKM; σKM) mit dem optimalen Teilportefeuille der risikobehaftetenWertpapiere (µP*opt; σP*opt) verbindet, nur für einen einzigen Verschuldungsgrad

bestimmt ist, während die Funktion der Standardabweichung σP eines zum Teilfremdfinanzierten Gesamtportefeuilles für

gilt.

FKEK

≥ 0 und xPopt

* = 1

FKEK

= 0 und 0 ≤ xPopt

* ≤ 1

µPopt

* ≤ µ P .

i ≤ µ P ≤ µPopt

* .

σP =σ

Popt*

µPopt

* − µKM

∑µ P −σ

Popt* ∑µKM

µPopt

* − µKM

σP = 1 +µ P − µ

Popt*

µPopt

* − i

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ∑σPopt

* =µ

Popt* − i + µ P − µ

Popt*

µPopt

* − i∑σ

Popt*

oder

σP = µ P − iµ

Popt* − i

∑σPopt

* =σ

Popt*

µPopt

* − i∑µ P −

σPopt

* ∑i

µPopt

* − i.


Berücksichtigt man die Fremdkapitalaufnahme zum Zinssatz i in unserem Bei-spiel, so ergibt sich folgende Graphik (vgl. Abbildung 113):

Bezogen auf dieses Beispiel erhalten wir für die Kapitalmarktlinie der teil-fremdfinanzierten Gesamtportefeuilles z.B. folgende Werte:

Die Theorie des optimalen Wertpapierportefeuilles ist Ausgangspunkt für weiterekapitalmarkttheoretische Überlegungen wie das sog. Capital Asset Pricing-Mo-dell, auf die im Rahmen dieser Vorlesung nicht einzugehen ist.

Renditeerwartungswert µP 0,15024 0,155 0,16 0,165 0,17 0,175 0,18Standardabweichung σP 0,09102 0,09719 0,10367 0,11015 0,11663 0,12311 0,12959Anteil FK/EK 0 0,06783 0,13901 0,2102 0,28139 0,35258 0,42377

Ineffiziente Portefeuilles der risikobehafteten Wertpapiere

Kapitalmarktlinie: Eigenfinanziertes Gesamtportefeuille

Effizienzlinie der risikobehafteten Wertpapiere

Optimales Teilportefeuille der risikobehafteten Wertpapiere

Kapitalmarktanlagepunkt

Kapitalmarktlinie: Teilfremdfinanziertes Gesamtportefeuille

0,08 0,09 0,1 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,190

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0


Stan

dard

abw

eich

ung

Abbildung 113: Kapitalmarktlinie: Eigen- und teilfremdfinanziertes Ge-samtportefeuille


15./16. Vorlesung:

Investitionskontrolle

An die Phase der Realisation schließt sich als notwendiger Bestandteil des betrieb-lichen Entscheidungsprozesses die Kontrollphase an. Diese Phase umfaßt eineBeurteilung der betrieblichen Planung und Realisation. Bezogen auf den Investi-tionsprozeß soll überprüft werden, inwieweit die Investition die an sie gestelltenAnforderungen erfüllt hat (Soll-Ist-Vergleich) und welche Schlußfolgerungen ausmöglichen Abweichungen gezogen werden können (Abweichungsanalyse). AufGegenstand, Ziele und Gestaltungsmöglichkeiten der Investitionskontrolle soll imRahmen dieser Vorlesung näher eingegangen werden.Der Teil A. beinhaltet eine Einführung in die Kontrollthematik in Form einer Dar-stellung der Kontrolle als Bestandteil eines Regelkreises. Im Teil B. soll dannder Kontroll- und Controllingbegriff näher bestimmt werden. Der Teil C. wirdden Gegenstand, die Ziele und die Funktionen der Investitionskontrolle zumInhalt haben. Im Teil D. werden Umfang und Zeitaspekte der Investitionskon-trolle behandelt. Die Organisation der Investitionskontrolle soll im Teil E. er-läutert werden. Im Teil F. wird dann schließlich die Vorgehensweise der Investi-tionskontrolle angesprochen.

A. Kontrolle als Bestandteil eines RegelkreisesIm Rahmen des Systemansatzes der Betriebswirtschaftslehre können betrieblicheProzesse wie etwa die Investitionstätigkeit als Regelkreis, wie er in der Kyberne-tik anzutreffen ist, dargestellt werden. In diesen Regelkreis können Rückkopp-lungsmechanismen eingebaut sein, die eine systemimmanente Kontrolle der be-treffenden Tätigkeit erlauben. Die Rückkopplung innerhalb des Regelkreises ver-hindert nicht das Eintreten einer Störung, sondern hebt die Wirkung einer auf dasSystem einwirkenden Störung nachträglich möglichst auf. Das Prinzip der Rückkopplung kann anhand eines selbstregulierenden Spülka-stens erläutert werden. Beim selbstregulierenden Wasserkasten wird durch einenSchwimmer der Ist-Wasserstand gemessen und gleichzeitig ein Ventil gesteuert.Ein bestimmter Soll-Wasserstand innerhalb des Kastens wird dadurch aufrecht er-halten, daß das Ventil die Wasserzufuhr öffnet, wenn der Ist-Wasserstand unterden Soll-Wasserstand sinkt. Hat der Ist-Wasserstand wieder die Höhe des Soll-Wasserstands erreicht, so wird das Ventil über den Schwimmer geschlossen. DieFunktion des Schwimmers besteht darin, eine Verbindung zwischen dem Outputdes Systems (hier: der Ist-Wasserstand des Spülkastens) und dem Input des Sy-stems (hier: die Wasserzufuhr) herzustellen. Der Schwimmer wird so eingestellt,daß eine Abweichung vom Soll-Wasserstand des Behälters eine Veränderung derWasserzufuhr zur Folge hat. Dies bewirkt eine Regulation der auf das System ein-wirkenden Störungen, die zur Senkung des Wasserstandes geführt haben. Es han-delt sich hierbei um eine entgegengerichtete oder kompensierende Rückkopp-lung, da eine Abweichung vom gewollten Systemzustand rückgängig gemachtwird. Der vorgegebene Soll-Wert wird auch bei Rückkopplungen nicht dauerndeingehalten. Vielmehr bewegt sich der Ist-Wert bedingt durch den Regelungspro-zeß um den Sollwert herum, wobei er mit diesem auch durchaus übereinstimmenkann. In der Betriebswirtschaftslehre kann man dieses Regelkreiskonzept, bei dem eineRückkopplung zwischen dem Output und dem Input eines Systems stattfindet,vielseitig anwenden. Jede Handlungsweise, die dem Ausgleich von Soll-Ist-Unter-

332 15./16. Vorlesung: Investitionskontrolle

schieden dient, wie dies auch bei der Investitionskontrolle der Fall ist, ist als Re-gelkreismodell darstellbar. Ein Regelsystem und die darin auftretenden einzelnenElemente sind in der folgenden Abbildung 114 veranschaulicht1:

Damit überhaupt eine Rückkopplung stattfinden kann, muß das System nicht nurden Sollwert erkennen, sondern auch den Istwert laufend messen. Das Elementdes Systems, das den Istwert laufend zu messen hat, ist der Istwerterfasser oder

Zielsetzendes System (ZS)

Ziel,Sollwert

Ist-Wert-Erfasser (IWE)

Regler (R)(Soll-Ist-Vergleich)

Entscheidungsinstanz (E)

RegelstreckeInput

Störungen

IstwertRegelsystem

Output

Kor

rekt

ur-

entsc

heid

e

Übergeordnetes System

Auslösung und Inganghaltung des Ziel- Ansteuerungsvorganges

R ü c k k o p p e l u n g s s c h l e i f e, bestehend aus

- Istwert-Erfassung- Soll-Ist-Vergleich- Korrekturmaßnahmen

Regler i. w. S.

Abbildung 114: Darstellung eines Regelsystems

15./16. Vorlesung: Investitionskontrolle 333

1 In Anlehnung an: Ulrich, Hans: Die Unternehmung als produktives soziales System, Bern, Stuttgart 1968, S.123.

Meßfühler. Die Aufgabe, den vom Istwerterfasser ermittelten Istwert oder Istzu-stand mit dem Sollwert oder Sollzustand zu vergleichen und mögliche Abwei-chungen festzustellen, wird vom Regler (i.e.S.) wahrgenommen. Die im Soll-Ist-Vergleich ermittelten Unterschiede sollen durch Korrekturmaßnahmen, die auchStellgrößen genannt werden, beseitigt werden. Dies wird durch die sog. Ent-scheidungsinstanz veranlaßt, die auch die zu regelnden Aktivitäten und Prozesse,die sog. Regelstrecke, in Gang zu halten hat.Von einem Regelkreis ist dann die Rede, wenn das Steuersystem oder das zielset-zende System nicht ausdrücklich in die Betrachtung mit eingeschlossen wird. So-mit bildet der Regelkreis die Gesamtheit der Elemente, die an dem geschlosse-nen Wirkungsablauf der Regelung mitwirken.Übertragen auf die Investitionskontrolle stellt der Investitionsprozeß die Re-gelstrecke dar, und die Investitionskontrolle würde zusammen mit der Ent-scheidungsinstanz als Regler den Prozeß über Anweisungen, d.h. Stellgrößen,regulieren. Die Investitionskontrolle nimmt also hier die Aufgabe der Istwert-Erfassung und des Soll-Ist-Vergleichs wahr.


B. Kontroll- und ControllingbegriffDer Begriff der Kontrolle wird häufig gleichgesetzt mit dem in den letzten Jahrenviel diskutierten Begriff des Controlling. Diese Gleichsetzung beruht jedoch aufeinem falschen Verständnis der beiden Begriffe, so daß eine Abgrenzung der bei-den Begriffe notwendig ist.Der Begriff Controlling kommt aus dem angelsächsischen Raum, wo er, langebevor dies in Deutschland der Fall war, diskutiert wurde1. Er leitet sich von demenglischen Verb "to control" ab, was so viel bedeutet wie beherrschen, steuernund lenken2. Schon aus diesem Wortinhalt ergibt sich, daß der Begriff Controllingnicht mit dem deutschen Wort Kontrolle übersetzt werden darf. Controlling ist er-heblich weiter zu fassen als Kontrolle3. In der Literatur wird Controlling als einezentrale Managementaufgabe verstanden, die weit über den Rahmen des eigentli-chen Kontrollierens hinausgeht. Matschke und Kolf verstehen "unter Controllingein Subsystem der Führung, das durch die Erfassung, Aufbereitung und Bereitstel-lung führungsrelevanter Informationen die Integration und Koordination allerTeilsysteme auf das Ziel des Gesamtsystems 'Unternehmung' hin anstrebt"4.Dem Controlling als eigenständigem Konzept können folgende Funktionen zuge-wiesen werden5:

1. Planung,2. Kontrolle,3. Information und4. Steuerung.

Im Rahmen des Controlling sind Unternehmenspläne aufzustellen, zu koordi-nieren und zu überwachen. Die Planung umfaßt dabei im wesentlichen Gewinn-pläne, Absatzpläne, Kostenpläne sowie Investitions- und Finanzierungspläne6. DieErfüllung dieser Pläne ist einer Kontrolle zu unterwerfen. Die Ergebnisse dieserKontrolle sind dann als Informationen zu sammeln, zu transformieren undweiterzugeben. Es findet also zunächst eine Erschließung der Informationsquel-len und eine Informationsgewinnung statt. Dann werden die gesammelten Infor-mationen zweckentsprechend zusammengestellt und aufbereitet. Anschließendwerden diese Informationen an den Empfänger weitergeleitet. Im Rahmen derSteuerungsfunktion werden diese Informationen dazu genutzt, um regelnd in denBetriebsablauf einzugreifen und die Erreichung der gesetzten Ziele in der Zukunftzu gewährleisten7.


1 Vgl. hierzu Horváth, Péter: Controlling, 4. A., München 1991, S. 26-68.

2 Vgl. Matschke, M. J., Kolf, J.: Historische Entwicklung, Begriff und organisatorische Probleme des Controlling,in: Der Betrieb 1980, S. 602.

3 Vgl. u.a. Horváth, Péter: Controlling, 4. A., München 1991, S. 25; Peemöller, Volker H.: Controlling, Herne/Ber-lin 1990, S. 45.

4 Matschke, M. J., Kolf, J.: Historische Entwicklung, Begriff und organisatorische Probleme des Controlling, in:Der Betrieb 1980, S. 602.

5 Vgl. Peemöller, Volker H.: Controlling. Grundlagen und Einsatzgebiete, Herne/Berlin 1990, S. 53-58.

6 Vgl. Bramsemann, Rainer: Handbuch Controlling, 2. A., München, Wien 1990, S.49.

7 Vgl. Peemöller, Volker H.: Controlling, Herne/Berlin 1990, S. 56-58.

Es ist bei den Funktionen des Controlling zu beachten, daß die hier wiedergegebe-ne zeitliche Reihenfolge der Erfüllung der Funktionen nicht starr ist. Vielmehrwird es in der Praxis ein häufig paralleles Zusammenwirken der Funktionen oderein Überspringen einzelner Funktionen geben. So kann etwa die Kontrolle einesPlans laufend und nicht erst bei Beendigung der Plandurchführung erfolgen. Auchkann eine neue Planung schon erfolgen, ohne daß bereits sämtliche Informationengesammelt und an Steuerungsinstanzen weitergegeben worden sind.Ebenso ist zu berücksichtigen, daß die Abgrenzung zwischen den hier genann-ten Funktionen des Controlling nicht immer eindeutig möglich sein wird. Sofindet beispielsweise im Rahmen der Kontrollfunktion schon eine Sammlung undmöglicherweise eine Aufbereitung von Informationen statt. Auch kann eine Infor-mationsweitergabe allein bereits eine steuernde Wirkung haben, ohne daß es wei-terer Regulierungsmaßnahmen bedarf.Der Begriff Controlling umfaßt also eine Reihe von Funktionen, von denen nur ei-ne die Funktion der Kontrolle ist. Kontrolle ist ein Bestandteil des umfassendenControlling-Konzeptes. Was aber ist nun der Begriffsinhalt der Kontrolle?In der älteren deutschsprachigen Literatur wird die Kontrolle lediglich als dieDurchführung eines Vergleichs angesehen. Voraussetzung für einen Vergleichsind mehrere (mindestens zwei) Vergleichsgrößen, die auf eine gemeinsame Ver-gleichsbasis zurückgeführt werden können1. Sehr häufig wird die Kontrolle als einVergleich zwischen einer Vorgabegröße (Soll) und einer tatsächlich realisiertenGröße (Ist), d.h., als ein sogenannter Soll-Ist-Vergleich durchgeführt. Dieser Soll-Ist-Vergleich setzt die Ermittlung einer Sollgröße, die sich in der Regel aus denUnternehmensplänen ergibt, und die Ermittlung einer Istgröße, die aus dem tat-sächlich erreichten Ergebnis resultiert, voraus. Die Ermittlung von Soll- und Ist-größen ist daher ebenfalls als Bestandteil der Kontrolle zu interpretieren, ebensowie die Festlegung des Kontrollfeldes2. Die Festlegung des Kontrollfeldes, dieErmittlung von Soll- und Istgröße sowie der eigentliche Soll-Ist-Vergleich bil-den also den Inhalt des traditionellen Kontrollbegriffs.In der neueren Literatur wird jedoch über diesen traditionellen Kontrollbegriffhinausgegangen. So wird neben den bisherigen Elementen auch die Analyse derAbweichungsursachen in die Definition des Kontrollbegriffs aufgenommen. DieKontrolle hat somit nicht nur eine Feststellungs- und Vergleichsfunktion, son-dern auch eine Aufklärungs- und Beeinflussungsfunktion. Die Kontrollaktivitä-ten sind somit nicht nur auf die Vergangenheit, sondern auch auf die Gegenwartund die Zukunft ausgerichtet3.In der folgenden Abbildung 115 sind die Bestandteile des Kontrollbegriffs sowiedessen Abgrenzung zum Begriff des Controlling noch einmal veranschaulicht4.


1 Vgl. Frese, Erich: Kontrolle und Unternehmensführung, Wiesbaden 1968, S.49.

2 Vgl. Matschke, M. J., Kolf, J.: Historische Entwicklung, Begriff und organisatorische Probleme des Controlling,in: Der Betrieb 1980, S. 602-603.

3 Vgl. Brink, Hans-Josef: Kontrolle, Organisation der, in: Handwörterbuch der Organisation, 3. A., Stuttgart 1992,Sp. 1144.

4 In Anlehnung an Matschke, M. J., Kolf, J.: Historische Entwicklung, Begriff und organisatorische Probleme desControlling, in: Der Betrieb 1980, S. 603.

Anhand dieser Abbildung 115 ist zu erkennen, daß schon die Vorschläge fürKorrekturmaßnahmen nicht mehr unter den Kontrollbegriff fallen. Während dieVorschläge für Korrekturmaßnahmen eindeutig zum Controlling gezählt werdenkönnen, ist es umstritten, ob die Korrekturentscheide dem Controlling-Bereich zu-zuordnen sind oder nicht. Unstrittig ist dagegen der Einfluß des Controlling aufdiese Entscheidung1.

trad. Kontroll-begriff

neuererKontroll-begriff

Controlling

>

>

Controlling-/ Kontrollhandlungen Begriffe

>

Analyse der Abweichungsursachen

Vorschläge für Korrekturmaßnahmenund Korrekturentscheide

Festlegung desKontrollfeldes

Ermittlung von SollgrößenErmittlung von Istgrößen

Soll-Ist-Vergleich

Abbildung 115: Begriffsabgrenzung Controlling - Kontrolle


1 Vgl. Matschke, M. J., Kolf, J.: Historische Entwicklung, Begriff und organisatorische Probleme des Controlling,in: Der Betrieb 1980, S. 603.

C. Gegenstand, Ziele und Funktionen der Investitionskontrolle

1. Gegenstand der InvestitionskontrolleFür das Verständnis der Kontrolle im allgemeinen ist es zweckmäßig, den betrieb-lichen Leistungsprozeß nach den Merkmalen Realisation und Planung in ver-schiedene Schichten zu untergliedern. Nur durch eine Differenzierung der Ebenender Realisation ist es möglich, bei der Kontrolle die relevanten Größen zuzuord-nen. Nach Frese lassen sich folgende Ebenen des Handlungsgefüges eines be-trieblichen Leistungsprozesses unterscheiden1:

1. die Ebene der eigentlichen Betriebsleistung,2. die Ebene der Planung der eigentlichen Betriebsleistung (Planung er-

sten Grades) und3. die Ebene der Planung der Planung ersten Grades (Metaplanung,

Planung zweiten Grades) usw..

Die unterste Schicht (vgl. Abbildung 116) bildet die eigentliche Betriebslei-stung. Sie umfaßt die Erstellung und den Absatz eines Gutes. Diese eigentlicheBetriebsleistung kann unter der Maxime rationalen Handelns nur erbracht werden,wenn vorher eine Planung stattgefunden hat. Durch die Planung soll ein zielge-richteter Einsatz knapper Mittel gewährleistet werden. Die eigentliche Betriebslei-stung soll so effizient wie möglich gestaltet werden. Diese Planung der eigentli-chen Betriebsleistung (Planung ersten Grades) ist jedoch selbst wiederum soeffizient wie möglich zu gestalten, da auch bei der Planung knappe Güter einge-setzt werden. Es ist also eine Planung der Planung ersten Grades erforderlich. Die-se Planung wird als Planung zweiten Grades oder auch als Metaplanung be-zeichnet. Auch für diese Metaplanung gilt wiederum, daß deren Einsatzmittel be-schränkt sind, so daß auch die Metaplanung geplant werden muß2. Dieser Prozeß

Eigentliche BetriebsleistungPlanung 1. GradesPlanung 2. GradesPlanung 3. Grades

...

...

.........

Abbildung 116: Ebenen des betrieblichen Handlungsgefüges


1 Vgl. Frese, Erich: Kontrolle und Unternehmensführung, Wiesbaden 1968, S. 57.

2 Vgl. ebenda.

ließe sich nun theoretisch immer weiter fortsetzen, was jedoch aus praktischerSicht wenig sinnvoll wäre.Es stellt sich nun die Frage, wie Kontrollen in dieses Schichtensystem zu integrie-ren sind. Sieht man in Kontrollen den Vergleich zwischen realisierten und geplan-ten Größen, so sind Kontrollen hier nichts anderes als der Vergleich zwischenzwei benachbarten Schichten. Eine untere Stufe ist dabei als Realisation der je-weils darüberliegenden Stufe anzusehen. Die eigentliche Betriebsleistung stellt so-mit ebenso die Realisation der Planung ersten Grades dar, wie die Planung erstenGrades die Durchführung der Planung zweiten Grades ist, usw.. Für die Festlegung des Kontrollobjekts ist es erforderlich, diese Einteilung desbetrieblichen Handlungsgefüges zu beachten. Der Gegenstand der Kontrolle hängtentscheidend davon ab, welche Ebene als Realisationsebene und welche als Pla-nungsebene anzusehen ist. Ist beispielsweise ein Vergleich der Planung erstenGrades als Realisation und der Planung zweiten Grades als Planung durchzufüh-ren, so ergibt sich ein anderes Kontrollobjekt als bei einem Vergleich der eigentli-chen Betriebsleistung mit der Planung ersten Grades.Bei der Frage nach dem Gegenstand der Kontrolle, also nach dem Kontrollob-jekt, wird in der betriebswirtschaftlichen Literatur häufig davon ausgegangen, daßgrundsätzlich alle Planungsobjekte auch Kontrollobjekte sein können. Insbesonde-re lassen sich zwei Gruppen von Kontrollobjekten unterscheiden1:

1. Ergebnisse und 2. Verfahren.

Die Ergebniskontrolle findet im wesentlichen als Vergleich der beiden unterstenSchichten des betrieblichen Handlungsgefüges statt. Sie bezieht sich in erster Li-nie auf die in der Planung ersten Grades festgelegten Zielgrößen sowie auf die mitihnen korrespondierenden tatsächlich erreichten Größen. Als Ergebnisse kommenhierfür nicht nur Endergebnisse, sondern auch Teil- und Zwischenergebnisse inBetracht. Zu den Ergebniskontrollen werden auch die Kontrolle von Zielen undPotentialen gezählt2, wobei jedoch immer die damit im Zusammenhang stehendenErgebnisse von Bedeutung sind. Die Verfahrenskontrolle ist in erster Linie ein Vergleich zwischen der Planungersten Grades als Realisationsebene und der Planung zweiten Grades als Pla-nungsebene. Sie bezieht sich auf die angewandten Planungsverfahren. Es werdenhier nicht mehr Ergebnisse, sondern Verfahrensweisen kontrolliert. Es findet einVergleich zwischen den tatsächlich angewandten und den aufgrund vorgelagerterPlanungsakte vorgeschriebenen Planungsverfahren statt3.Es stellt sich nun die Frage nach der Abgrenzung des Gegenstandes der Investi-tionskontrolle. In der Literatur sind hierzu unterschiedliche Auffassungen zufinden4. So wird unter Investitionskontrolle beispielsweise nur die Überwachung





4 Vgl. Spielberger, Michael: Betriebliche Investitionskontrolle, Würzburg, Wien 1983, S. 14.

des Investitionsbudgets verstanden. Auch wird die Ansicht vertreten, daß sie le-diglich die Überprüfung des wirtschaftlichen Erfolgs von Investitionen um-faßt. Diese Auffassungen sind sehr eng und beinhalten zudem nur Ergebniskon-trollen, vernachlässigen also die Verfahrenskontrollen. Vielmehr soll Gegenstandder Investitionskontrolle die gesamte betriebliche Investitionspolitik sein, d.h.,sämtliche mit der Investitionstätigkeit und den Ergebnissen dieses Tätigkeit zu-sammenhängende Handlungen, deren Auswirkungen sowie auch die zugehörigenOrganisationseinheiten1. Die Investitionskontrolle umfaßt somit den gesamten In-vestitionsprozeß von der Planung über die Realisation bis zur Kontrolle selbst. DieInvestitionskontrolle kann als Ergebniskontrolle oder als Verfahrenskontrol-le ausgestaltet sein, da sie sich sowohl auf die Planung der Investitionstätigkeitals auch auf die Ergebnisse der Realisation der Investition beziehen kann2. Die In-vestitionskontrolle als Ergebniskontrolle hat die wirtschaftlichen Resultate derInvestition zum Gegenstand. Die Investitionskontrolle als Verfahrenskontrollebezieht sich demgegenüber auf die Handlungen im Rahmen der Investitionstätig-keit sowie die handelnden Subjekte. Je nachdem, ob es sich um ergebnisorientierte oder um verfahrensorientierte Kon-trollen handelt, können unterschiedliche Kontrollverfahren angewandt werden,worauf im Verlauf der Vorlesung noch näher eingegangen werden soll.2. Ziele der InvestitionskontrolleDie Durchführung von Investitionskontrollen soll wie jedes betriebliche Handelnder betrieblichen Zielerreichung dienen. Die Ziele der Investitionskontrolle ha-ben zumeist den Charakter von Unterzielen bezogen auf betriebliche Oberziele.Die Bedeutung der Kontrollziele liegt darin, daß sich die Tätigkeit der Investi-tionskontrolle an ihnen auszurichten hat. Welchen Umfang die Kontrollen habensollen, welche Verfahren bei der Kontrolle angewandt werden sollen oder welcherKontrollzeitpunkt gewählt wird, ist abhängig von den Kontrollzielen. In der Literatur zeigt sich, abgesehen von systematischen und semantischen Un-terschieden, eine weitgehende Übereinstimmung bei der Aufstellung eines Kata-logs von Zielen der Investitionskontrolle3. Es werden dabei insbesondere folgendeZiele (vgl. Abbildung 117) genannt4:


1 Vgl. Blohm, Hans: Investitionsprüfung, in: Handwörterbuch der Revision 2. A., Stuttgart 1992, Sp. 918.



4 Vgl. Lüder, Klaus: Investitionskontrolle in industriellen Großunternehmen, in: Zeitschrift für Betriebswirtschaft1980, S. 356-358.

1. Beurteilung des Erfolges der Investitionspolitik in einzelnen Teilbereichender Unternehmung. Hierdurch soll sichergestellt werden, daß die Investitionstä-tigkeit der Planung entsprechend durchgeführt wird. Dieses Ziel bezieht sich aufdie Kontrolle nachgeordneter Organisationseinheiten, die mit der Ausführung derHandlungen im Rahmen der Investitionstätigkeit betraut sind.2. Erkennen von Fehlentwicklungen als Voraussetzung für korrigierendesEingreifen beim kontrollierten Projekt. Mit der Verfolgung dieses Ziels sollenInformationen für ein kurzfristiges Eingreifen bei der Investitionsrealisation be-reitgestellt werden. Die Durchführung der Investition soll hierdurch gesteuert wer-den. Hierfür ist eine frühzeitige Aufdeckung von Abweichungen zwischen Ist-und Planwerten erforderlich. Die dann erforderlichen Korrekturen sollen eine An-näherung der Istwerte an die Planwerte bewirken. Diese Korrektur wird auch alsRegelung bezeichnet. Diese Regelung kann als Ex-post- oder als Ex-ante-Rege-lung ausgestaltet sein. Bei der Ex-post-Regelung werden die eingetretenen Ist-werte mit den Planwerten (Ist-Plan-Vergleich) verglichen. Hier ist eine negati-ve Abweichung bereits eingetreten, wenn es zu Korrekturmaßnahmen kommt. Beider Ex-ante-Regelung findet ein Vergleich zwischen den erwarteten Istwertenmit den Planwerten (Wird-sein-Plan-Vergleich) statt, um eine sich anbahnendeAbweichung frühzeitig zu erkennen und möglichst noch zu verhindern1.3. Verbesserung künftiger Planungen durch die Einbeziehung von Erfah-rungswerten. Hierdurch sollen Lernprozesse in bezug auf die Investitionsplanung

Ziele derInvestitionskontrolle

Beurteilung des Erfolgs derInvestitionspolitik in

einzelnenUnternehmungsbereichen

Erkennen vonFehlentwicklungen als

Voraussetzung fürKorrekturmaßnahmen

Verbesserung künftigerPlanungen durchEinbeziehung vonErfahrungswerten

Aufdeckung undVerhinderung von

Manipulationen

Aufdeckung vonSchwachstellen im

Planungsprozeß

Abbildung 117: Ziele der Investitionskontrolle


1 Vgl. Lüder, Klaus: Investitionskontrolle, Wiesbaden 1969, S. 56.

und Investitionsrealisation stattfinden, die zu einem verbesserten künftigen Inve-stitionsverhalten führen sollen. Es sollen hierdurch in Zukunft insbesondere Ver-besserungen bei organisatorischen Prozessen und Instrumenten sowie bei indivi-duellen Leistungen erreicht werden. Durch die Investitionskontrolle sollen die dieInvestition durchführenden Personen mit zusätzlichen Informationen versorgtwerden. Diese Personen sollen in die Lage versetzt werden, aus positiven oder ne-gativen Erfahrungen mit realisierten Investitionen zu lernen und ihr so gewonne-nes Wissen in neue Investitionsprozesse einzubringen.4. Verhinderung und Aufdeckung von Manipulationen bei der Investitions-planung. Dieses Ziel steht in Zusammenhang mit dem zuerst genannten Ziel, daes sich auch auf die Kontrolle von Organisationseinheiten bezieht. Die Einhaltungdieses Ziels soll gewährleisten, daß die Investitionsplanung den vorgegebenen An-forderungen genügt. Es findet eine Kontrolle der Planung statt, durch die verhin-dert werden soll, daß etwa zu einseitige Schätzungen (über-optimistische oderüber-pessimistische) die Planung beeinflussen. Diese Manipulationen können ei-nerseits dadurch verhindert werden, daß direkte Eingriffe zur Verhinderung derManipulationen vorgenommen werden. Andererseits kann schon die reine Exi-stenz einer Kontrolle präventiv wirken, so daß diese Manipulationen nicht odernur noch eingeschränkt vorgenommen werden1.5. Aufdeckung von Schwachstellen im Planungsprozeß. Im Gegensatz zumvorherigen Ziel soll jetzt die Planung als Objekt und nicht der Planer als Subjektkontrolliert werden. Es sollen Fehler in der Planung aufgezeigt und Informationenfür ihre Beseitigung geliefert werden.Es stellt sich nun die Frage, welche Bedeutung den genannten Zielen der Inve-stitionskontrolle beigemessen werden kann. Während in der Literatur hierüberkeine Einigkeit herrscht2, konnte in einer Befragung von Lüder bei deutschen Un-ternehmungen eine deutliche Einteilung der Ziele nach ihrer Bedeutung in zweiKlassen festgestellt werden. So ist danach eine Trennung in vorrangige undnachrangige Ziele der Investitionskontrolle möglich3. Zu den vorrangigen Zie-len zählen die Ziele 1 bis 3, während die Ziele 4 und 5 sich bei der Befragung alsnachrangige Ziele herausgestellt haben.Die Ziele der Investitionskontrolle können den einzelnen Phasen des Investitions-prozesses zugeordnet werden4. In den Phasen der Willensbildung ist es das Zielder Investitionskontrolle, Fehler und Manipulationen in der Planung der Investi-tionen sowie bei den mit der Investitionsplanung beauftragten Personen aufzu-decken und ihre Ursachen zu erforschen (Ziele 4 und 5). Es soll die Verbesserungkünftiger Planungen erreicht werden (Ziel 3). Die für die Kontrolle erforderlichenSollwerte sind der betrieblichen Metaplanung zu entnehmen. Die Kontrolle der In-vestitionsplanung kann auch beinhalten, aktuelle Informationen für den Planungs-prozeß bereitzustellen. Diese aktuellen Informationen können dazu führen, daß die


1 Vgl. Lüder, Klaus: Investitionskontrolle, Wiesbaden 1969, S. 55-56.

2 Vgl. Spielberger, Michael: Betriebliche Investitionskontrolle, Würzburg, Wien 1983, S. 18-19.

3 Vgl. Lüder, Klaus: Investitionskontrolle in industriellen Großunternehmen, in: Zeitschrift für Betriebswirtschaft1980, S. 357.

4 Vgl. Spielberger, Michael: Betriebliche Investitionskontrolle, Würzburg, Wien 1983, S. 20-22.

Planung den veränderten Bedingungen angepaßt wird oder sogar eine vollständigePlanrevision durchgeführt werden muß.Die Phase der Willensdurchsetzung (Realisationsphase) kann bei einer erwei-terten Betrachtung, wie bereits in der 3. Vorlesung geschildert, in die vorberei-tenden und die unmittelbaren Aktivitäten der Planausführung sowie die Nut-zung der realisierten Investitionsalternative (Betriebsphase) unterteilt werden.Bei den vorbereitenden und unmittelbaren Aktivitäten der Planausführungverfolgt die Investitionskontrolle das Ziel einer planentsprechenden Durchführungdes Investitionsvorhabens (Ziele 1 und 2). Die Kontrolle kann sich dabei bei-spielsweise auf die Überwachung der Investitionsausgaben und Erstellungstermi-ne sowie die technische Überprüfung des Investitionsobjekts beziehen. In dieserPhase der Willensdurchsetzung werden die realisierten Ist-Größen mit den vorge-gebenen Soll-Größen der Investitionsplanung verglichen. Festgestellte Abwei-chungen können dann dazu führen, daß entweder sofort eingegriffen wird oderdaß künftige Planungen verbessert werden (Ziel 3). Die Kontrolle der Nutzungder realisierten Investitionsalternative verfolgt das Ziel, Informationen über dieBetriebsphase zu sammeln, wozu auch die Feststellung der mit der Nutzung er-zielten Ergebnisse gehört. Bei Investitionsobjekten im Fertigungsbereich kann dasetwa zu einer Kontrolle der Kapazitätsauslastung, der Herstellungsmengen oderder Produktqualität führen. Während der Zeit der Nutzung kann die Kontrolleauch dazu dienen, die Art der Nutzung an sich zu überprüfen. So kann die Kon-trolle zu Anpassungsmaßnahmen in Form einer veränderten Nutzung des Investi-tionsobjekts führen.3. Funktionen der InvestitionskontrolleDie Ziele der Investitionskontrolle lassen sich auf zwei grundlegende Funktionenzurückführen1:

1. die Informationsfunktion und2. die Verhaltensbeeinflussungsfunktion.

Zur Informationsfunktion ist zu sagen, daß mit der betrieblichen Investitionstä-tigkeit im Regelfall Ungewißheitsaspekte verbunden sind. Einerseits müssen In-vestitionsentscheidungen unter unvollkommener Information über das Ein-treten planungsrelevanter Tatbestände getroffen werden. Teile der Konsequen-zen einer Investition sind nicht am Anfang des Investitionsprozesses bekannt. Sieergeben sich häufig erst bei der Realisation des Investitionsobjekts. Da insbeson-dere die Nutzung des Investitionsobjekts über einen längeren Zeitraum erfolgenkann, ist häufig eine langfristige Planung der Investition erforderlich. Mit zuneh-mender Länge des Planungszeitraums nimmt jedoch der Grad der Vorhersehbar-keit der Konsequenzen der Investition ab, so daß unter immer größerer Unsicher-heit geplant werden muß. Andererseits kann der Investor nicht mit Sicherheitvoraussetzen, daß die im Rahmen der Investitionstätigkeit, die im allgemeinen ar-beitsteilig organisiert ist, weitergegebenen Aufgaben auch seinen Vorstellungenentsprechend ausgeführt werden. Es ergeben sich Unsicherheiten aus dieser De-legation. Der Beauftragte kann sich dabei bewußt oder unbewußt falsch verhalten.


1 Vgl. hierzu und im folgenden Spielberger, Michael: Betriebliche Investitionskontrolle, Würzburg, Wien 1983, S.22-26.

Die Informationsfunktion der Kontrolle besteht darin, die genannten Unsicherhei-ten über das Eintreten planungsrelevanter Tatbestände und über das Verhal-ten der mit der Investitionstätigkeit beauftragten Personen abzubauen. DemInvestor sollen durch die Investitionskontrolle Informationen zur Verfügung ge-stellt werden, um die Ungewißheit zu verringern. Die Informationen können danndazu genutzt werden, um eine bessere Zielerreichung zu ermöglichen. So könnenanhand der Informationen Korrekturen bei der Projektrealisation vorgenom-men und Verbesserungen der Investitionsplanung initiiert werden. Auch kön-nen diese Informationen zur Beurteilung der Investitionstätigkeit und der amInvestitionsprozeß beteiligten Personen herangezogen werden.Die Verhaltensbeeinflussungsfunktion zielt im wesentlichen auf die psychologi-schen Wirkungen der Investitionskontrolle. Allein die Existenz oder die An-kündigung von Kontrollen kann bei den mit der Investitionstätigkeit beauftragtenPersonen dazu führen, daß sie auf bewußtes Fehlverhalten verzichten oder auf-grund einer höheren Aufmerksamkeit ein unbewußtes Fehlverhalten unterbleibt.Diese Verhaltensbeeinflussungsfunktion kann also auch schon wirksam werden,wenn noch gar keine Kontrollen durchgeführt werden. Allerdings wird die Wir-kung der reinen Ankündigung von Kontrollen mit zunehmender Verzögerung derKontrollrealisation abnehmen, da die im Investitionsprozeß agierenden Personenimmer weniger an eine tatsächliche Durchführung der Kontrollen glauben.


D. Umfang und Zeitaspekte der Investitionskontrolle1. Umfang und Dringlichkeit der InvestitionskontrolleBezogen auf den Umfang der Investitionskontrolle ist zwischen Vollkontrollenund Teilkontrollen zu unterscheiden1. Der Begriff der Vollkontrolle besagt, daßalle Investitionstätigkeiten zu überprüfen sind, wobei der Kreis der Kontrollob-jekte noch unterschiedlich abgrenzbar ist, nämlich alle Investitionsobjekte einerbestimmten Art nach Größe, Bereich usw., alle Investitionen eines bestimmtenZeitraums oder alles, was mit einer bestimmten Investition zusammenhängt. Einesolche Vollkontrolle liefert ein Höchstmaß an Kontrollinformationen. Auch istes wahrscheinlich, daß die Verhaltensbeeinflussung durch die Ankündigung ei-ner Vollkontrolle stärker als bei der Ankündigung einer Teilkontrolle ausgeprägtsein wird, da ein Hoffen auf "Schlupflöcher" aussichtslos erscheint. Diesen positi-ven Eigenschaften steht bei der Vollkontrolle jedoch ein hoher Kontrollaufwandgegenüber. Es ist daher abzuwägen, ob tatsächlich zur Erreichung der Kontrollzie-le eine Vollkontrolle erforderlich ist oder ob die angestrebten Ziele nicht auch miteiner Teilkontrolle ausreichend erfüllt werden.

Bei der Teilkontrolle, die das in der Praxis häufiger angewandte Verfahren ist2,wird nur eine Auswahl der Investitionstätigkeiten überprüft. Die Menge der beiTeilkontrollen gewonnenen Informationen ist demzufolge geringer als bei derVollkontrolle. Auch führt eine Teilkontrolle nicht zu einer so starken Verhaltens-beeinflussung, da die in den Investitionsprozeß eingebundenen Personen eineChance haben, nicht überprüft zu werden. Der Aufwand ist bei Teilkontrollen je-doch geringer als bei Vollkontrollen.Grundsätzlich ist eine zusätzliche Investitionskontrolle immer dann sinnvoll,wenn der mit ihr verbundene zusätzliche Aufwand den durch sie erzielten zusätz-lichen Nutzen nicht übersteigt.Wie sind nun aber zusätzlicher Aufwand und Nutzen einer Investitionskon-trolle abgrenzbar? Der zusätzliche Aufwand der Investitionskontrolle umfaßtin erster Linie zusätzliche Aufwendungen für Personal, aber auch zusätzlichenSachaufwand. Diese Aufwendungen sind (wenn auch unter möglichen Zurech-nungsschwierigkeiten) aus Unterlagen des betrieblichen Rechnungswesens zu er-mitteln. Der durch eine Investitionskontrolle zusätzlich entstehende Aufwanddürfte, soweit die gegebene Kontrollkapazität noch nicht voll ausgelastet ist, rela-tiv unbedeutend sein. Anders ist dies, wenn durch diese Investitionskontrolle Ka-pazitätssprünge (zusätzliches Personal für Kontrolltätigkeiten) ausgelöst werden.Schwieriger ist die Feststellung des zusätzlichen Nutzens von Investitionskon-trollen. Als Nutzen von Investitionskontrollen kann der durch die Investitionskon-trollen verursachte Ertragszuwachs im Sinne eines vermiedenen Verlustsoder eines vermiedenen Gewinnentgangs beim überprüften Investitionsob-jekt und/oder bei Folgeobjekten verstanden werden3.



2 Vgl. Lüder, Klaus: Investitionskontrolle in industriellen Großunternehmen, in: Zeitschrift für Betriebswirtschaft1980, S. 362.


Bei der Messung dieses zusätzlichen Nutzens können sich aber erheblicheSchwierigkeiten dadurch ergeben, daß es oft nicht möglich ist, den vermiedenenVerlust oder den vermiedenen Gewinnentgang der entsprechenden Kontrolltätig-keit zuzurechnen, wobei diese Schwierigkeiten in der Regel um so größer seindürften, je enger das Kontrollobjekt abgegrenzt wird. Der zusätzliche Nutzen einerKontrolle muß geschätzt werden. Dies kann etwa anhand von Erfahrungswertenerfolgen. Eine Entscheidung anhand von Schätzgrößen wird jedoch immer eineEntscheidung unter Unsicherheit sein. Daher liegt es nahe, weitere Hilfsgrößen zusuchen, die es erlauben, den Nutzen der Kontrolle mit größerer Sicherheit schät-zen zu können.Hierfür ist es sinnvoll, Aussagen über das Nutzenpotential zu machen, welchesbei den Investitionsobjekten durch Investitionskontrollen erschlossen werdenkann. In einem ersten Schritt wird hierfür angenommen, daß jedes Investitionsob-jekt vollständig kontrolliert wird. Der Ertrag jeder Investitionskontrolle kann in Abhängigkeit von mehreren Fak-toren gesehen werden. Lüder nennt in diesem Zusammenhang insbesondere fol-gende Faktoren1:

1. die Größe des Investitionsobjekts,2. die Häufigkeit der Wiederholung desselben oder eines ähnlichen In-

vestitionsobjekts und3. die Schätzgenauigkeit der Daten der Investitionsplanung.

Die Größe des Investitionsobjekts ist abhängig vom finanziellen, personellenund zeitlichen Umfang des Projekts. Die Größe spiegelt häufig die Bedeutung derMaßnahme für die Unternehmung wider. Je größer das Investitionsobjekt ist,desto größere Bedeutung kommt ihm in der Regel zu und desto größer wirddas Nutzenpotential einer Investitionskontrolle sein.Die Häufigkeit der Wiederholung derselben oder einer ähnlichen Investitiongibt die Anzahl der Investitionsobjekte an, die durch eine Investitionskontrolle ef-fizienter gestaltet werden können. Bei gleichen oder ähnlichen Investitionsobjek-ten genügt manchmal schon eine einzige vollständige Kontrolle bei der erstenDurchführung, um Verbesserungen für alle folgenden Objekte zu erreichen. Jehäufiger das Investitionsobjekt oder ein ähnliches wiederholt wird, desto grö-ßer ist also der mögliche vermiedene Verlust oder der mögliche vermiedeneGewinnentgang.Die Schätzgenauigkeit der Daten der Investitionsplanung ist ein Ausdruck fürden Unsicherheitsgrad der Erwartungen, die mit einer Investition verbunden sind(z.B. Ein- und Auszahlungserwartungen). Sie ist häufig abhängig von der Zahl derin der Vergangenheit gesammelten Erfahrungswerte mit gleichartigen oder ähnli-chen Investitionen oder von der Fristigkeit der Planung. Je geringer die Schätz-genauigkeit der Daten der Investitionsplanung ist (z.B. bei einer langfristigenInvestitionsplanung), desto größer ist die Wahrscheinlichkeit, daß Planwerteund realisierte Werte differieren, und desto größer ist das Nutzenpotential,das durch eine frühzeitige, ex-ante-orientierte Investitionskontrolle erschlos-sen werden kann.



Anhand der folgenden Abbildung 1181 soll für Investitionen mit bestimmtenAusprägungen der drei genannten Merkmale das durch eine jeweils vollständigeInvestitionskontrolle erschließbare Nutzenpotential tendenziell bestimmt werden.

Lüder hat in bezug auf die genannten Faktoren (Größe der Investition, Häufigkeitder Wiederholung, Schätzgenauigkeit der Daten) jeweils nur zwei Ausprägungenbetrachtet, so daß sich insgesamt acht Merkmalskombinationen ergeben, wobeidie Merkmalsausprägungen 1 (große Investitionen), 3 (häufig wiederholte In-vestitionen) und 5 (geringe Schätzgenauigkeit der Daten) als Indikatoren ei-nes großen Nutzenpotentials angesehen werden.Bei der Kombination 135, bei der alle Merkmale stark ausgeprägt sind, ist einmöglicher Kontrollnutzen als hoch einzuschätzen, auch wenn es vielleicht nichtallzu häufig vorkommen dürfte, daß eine häufige Wiederholung der Investitionenmit geringer Schätzgenauigkeit der Plandaten verbunden ist.Bei den Kombinationen 136, 145 und 235 weisen jeweils zwei Merkmale auf einhohes Nutzenpotential hin.Bei den Kombinationen 146, 236 und 245 liegen jeweils zwei Merkmale vor, dieein geringes Nutzenpotential signalisieren. Bei der Kombination 246 sind alle Merkmale bezogen auf das Nutzenpotentialschwach ausgeprägt. Ein Vergleich von Nutzenpotential und dem durch die jeweils vollständige Inve-stitionskontrolle einer Investition verursachten Aufwand führt zu einer erstenRangfolge der Investitionsobjekte nach der Kontrolldringlichkeit. Sofern derAufwand der Investitionskontrolle für ein Investitionsobjekt als weitgehend gleich

135136145146235236245246

1

2

3

4

3

4

5

65

6565

6

3 = häufig4 = selten

5 = gering6 = hoch

Größe Häufigkeit Schätzgenauigkeitder Plandaten

1 = groß2 = klein

Abbildung 118: Einteilung der Kontrollobjekte nach dem mögli-chen Kontrollnutzen



angesehen werden kann, ist diese Rangfolge die gleiche wie nach der Größe desNutzenpotentials, wie sie gerade hergeleitet worden ist. Das heißt, Investitions-kontrollen sollten sich dann vorrangig auf Investitionsobjekte mit den Merkmals-kombinationen 135, 136, 145 und 235 beziehen. Investitionsobjekte mit den ande-ren Merkmalskombinationen sind dann weniger dringlich zu kontrollieren, wasfreilich nicht dazu führen darf, daß sie überhaupt nicht kontrolliert werden. Insbe-sondere dann, wenn die Durchführenden dieser Investitionsobjekte von der Ein-ordnung als wenig kontrollintensiv und der Regelung, in diesen Fällen auf Kon-trolle zu verzichten, wissen, würde die Bereitschaft zu einer gewissenhaftenDurchführung solcher Investitionen rapide sinken, wodurch sich die Kosten einesKontrollverzichts stark erhöhen würden. Dieses Problem entsteht dadurch, daß dasNutzenpotential der Kontrolle einer einzelnen Investition tatsächlich mehr Bestim-mungsfaktoren besitzt, als in Abbildung 118 angenommen wurde.Die Rangfolge der Investitionsobjekte nach der Kontrolldringlichkeit kann sich je-doch verändern, wenn man den Kontrollumfang für jede einzelne Investition alsvariabel betrachtet. Aus einer Schätzung von Kontrollaufwand und Kontrollnutzenbei unterschiedlichem Kontrollumfang für jedes Investitionsobjekt erhält maneinen Zusammenhang zwischen Nettoertrag der Kontrolle und Kontrollumfang(eine "Funktion" des Nettokontrollertrages in Abhängigkeit vom Kontrollumfang).Der Vergleich des jeweiligen Optimums dieser "Funktionen" für jedes möglicheKontrollobjekt führt dann zu einer neuen Rangfolge der Kontrolldringlichkeit.Der Umfang von Investitionskontrollen kann auch vom Aggregationsgrad der zuüberprüfenden Investitionsobjekte und von der Auswahl der von den Auswir-kungen der Investition betroffenen Unternehmungsbereiche, die untersuchtwerden sollen, abhängig sein. Nach dem Kriterium des Aggregationsgrads der zu überprüfenden Investi-tionsobjekte können individuelle und summarische Investitionskontrollen1 un-terschieden werden. Bei individuellen Investitionskontrollen wird jedes Investi-tionsobjekt einzeln einer gesonderten Prüfung unterzogen. Es können so Planab-weichungen unmittelbar für jede Investition festgestellt werden, so daß Anpas-sungsmaßnahmen gezielt erfolgen können. Allerdings ist die individuelle Investi-tionskontrolle zumeist auch aufwendiger. Bei der summarischen Investitions-kontrolle werden mehrere Investitionsobjekte hinsichtlich ihrer Auswirkungenauf einen bestimmten Unternehmensbereich einer gemeinsamen Prüfung unterzo-gen, wobei Abweichungen nur diesem Unternehmensbereich zugeordnet werden.Dadurch wird die Vornahme von Korrekturen bei den einzelnen Investitionen er-schwert.Die summarischen Investitionskontrollen können je nach der Auswahl der vonden Auswirkungen der Investition betroffenen Unternehmungsbereiche, dieuntersucht werden sollen, in globale und teilbereichsbezogene Investitions-kontrollen unterteilt werden. Bei globalen Investitionskontrollen werden dieAuswirkungen der Investition auf die gesamte Unternehmung überprüft, etwa aufder Basis von Bewegungsbilanzen. Bei teilbereichsbezogenen Investitionskon-trollen werden nur die Auswirkungen auf bestimmte Teilbereiche überprüft. DieAuswahl der zu kontrollierenden Teilbereiche kann sich beispielsweise an dem



Ausmaß der Betroffenheit oder der Sensibilität des Teilbereichs bezogen auf dieInvestitionswirkungen orientieren.2. Zeitaspekte der InvestitionskontrolleDie Zeitaspekte der Investitionskontrolle beziehen sich insbesondere auf die Häu-figkeit und den Zeitpunkt der Kontrollen. Es wird gefragt, wie oft und wannInvestitionskontrollen durchgeführt werden sollen.Investitionskontrollen können einmalig, mehrfach oder ständig veranlaßtwerden. Die Häufigkeit der Investitionskontrollen ist dabei in erster Linie vonWirtschaftlichkeitsgesichtspunkten abhängig.Aus theoretischer Sicht stellt sich die Frage nach dem Optimum der Kontroll-häufigkeit. Überlegungen dazu sollen anhand der Abbildung 119 erläutert wer-den:

In dieser Abbildung 119 wird hinsichtlich des Gesamtnutzens der Investitions-kontrolle in Abhängigkeit von der Kontrollhäufigkeit ein ertragsgesetzlicher Ver-lauf unterstellt. Das heißt, daß eine zunehmende Kontrollhäufigkeit mit zunächststeigendem und dann fallendem Grenznutzen verbunden ist. Ein Rückgang desGesamtnutzens kann daher rühren, daß übermäßige Kontrollen zur Störung desBetriebsablaufs und des Betriebsklimas führen können. Geht man zur Vereinfa-chung der Darstellung davon aus, daß der zusätzliche Aufwand einer weiterenKontrolle gleichbleibt, so erhalten wir eine lineare Gesamtaufwandsfunktion, diedurchaus einen fixen Bestandteil enthalten kann. Die optimale Kontrollhäufigkeitist dann erreicht, wenn eine zusätzliche Kontrolle keinen Nettonutzen mehr stiftenkann, also Grenznutzen und Grenzaufwand übereinstimmen.

Kontrollhäufigkeit

Kon

trolln

utze

nK

ontro

llauf

wan

d

Kontrollnutzen

Kontrollaufwand

Parallele zumKontrollaufwand

OptimaleKontrollhäufigkeit

Abbildung 119: Optimale Kontrollhäufigkeit


Eine praktische Bestimmung der optimalen Kontrollhäufigkeit auf diese Weisedürfte kaum möglich sein. Der Grund hierfür liegt vor allem in den Schwierigkei-ten bei der Bestimmung des Nutzens der Investitionskontrolle in Abhängigkeitvon der Kontrollhäufigkeit. Selbst wenn man die optimale Kontrollhäufigkeit ana-lytisch bestimmen könnte, müßten dann noch die Kontrollzeitpunkte festgelegtwerdenEs muß deshalb versucht werden, Verfahren zu finden, die eine Annäherung andas "theoretische" Kontrolloptimum und eine Bestimmung der Kontrollzeitpunktegestatten. Ein solches Verfahren wird von Lüder vorgeschlagen. Es beinhaltet dieAbleitung von Prinzipien für die Bestimmung des Kontrolloptimums aus denZielen der Investitionskontrolle1.Hinsichtlich der Zielsetzung der Verbesserung der Schätzgenauigkeit der Inve-stitionsplanung ist es grundsätzlich notwendig, eine einmalige Kontrolle amEnde der Lebensdauer eines Investitionsobjekts durchzuführen, sofern im An-schluß daran weitere ähnliche Investitionen vorgesehen werden, weil dann eineVerbesserung der Schätzgenauigkeit aufgrund der Kontrollergebnisse diesen wei-teren Investitionen zugute kommen kann. Zum Ende der Investitionsdauer könnengrundsätzlich die tatsächlichen Auswirkungen der Investition festgestellt und mitden geplanten Auswirkungen verglichen werden. Vorherige zusätzliche Kontrol-len sollten jedoch immer dann vorgenommen werden, wenn vorgesehen ist, einInvestitionsobjekt schon innerhalb seiner Lebensdauer zu wiederholen. Dadurchsoll erreicht werden, daß schon die Planung des Wiederholungsobjekts Erfah-rungswerte des ersten Investitionsobjekts berücksichtigen kann.Bezogen auf das Ziel der Verhinderung von Manipulationen kann grundsätzlichgesagt werden, daß die Kontrollen für die zu überprüfenden Personen nicht bere-chenbar sein sollten, damit keine Gegenstrategien entwickelt werden können.Auch sollten die Kontrollen nicht in zu großem Abstand von der jeweiligen Akti-vität erfolgen, da mit zunehmender Zeitdauer eine Nachprüfung und Zurechnungauf die Verantwortlichen immer schlechter möglich sein wird. Aus der letzterenÜberlegung kann der Schluß gezogen werden, daß eine Kontrolle in der erstenZeit der Lebensdauer einer Investition erfolgen sollte. Allerdings sollten dieKontrollen nicht immer zu einem bestimmten Termin stattfinden, um ihre Vorher-sehbarkeit nicht zu groß werden zu lassen. Es sollte vielmehr eine Variation desKontrollzeitpunkts innerhalb der Anfangsphase einer Investition stattfinden. Zueiner weiteren Verminderung der Vorhersehbarkeit würde es zudem führen, wennkeine Beschränkung auf eine einmalige Kontrolle vorgenommen werden würde.Durch in Zahl und Zeitpunkt variierende Kontrollen kann möglichen Manipu-lationen begegnet werden.Im Hinblick auf die Zielsetzung der Durchführung von Korrekturmaßnahmenerscheint es sinnvoll, Kontrollen vor den Zeitpunkten durchzuführen, zu denenKorrekturen notwendig und möglich sind. Solche "korrektursensiblen" Zeit-punkte sind nach Lüder2 insbesondere die in der folgenden Abbildung 120 wie-dergegebenen.


1 Vgl. hierzu und im folgenden Lüder, Klaus: Investitionskontrolle, Wiesbaden 1969, S. 70-73.


Die in der vorstehenden Abbildung 120 erwähnten Zeitpunkte stellen dabei nureine Auswahl möglicher sinnvoller Zeitpunkte für Kontrollmaßnahmen dar. DieAufstellung besagt auch nicht, daß immer zu den genannten Zeitpunkten Kontrol-len stattfinden sollten. Die Wahl der Kontrollzeitpunkte wird in der Praxis viel-mehr auch von der Art und dem Umfang des Investitionsobjekts, seiner Bedeu-tung für die Unternehmung und der Art und Situation der Unternehmung abhän-gen.

Mögliche sinnvolleKontrollzeitpunkte

Ende der Anlaufperiode

Auftauchen verbesserter,funktionsgleicher Anlagen

Zeitpunkt einer erforderlichenGroßreparatur

Zeitpunkt einerProduktionsprogrammumstellung

Ende der Plan-Amortisationszeit

Zeitpunkt des Ablaufs vonGarantiefristen

Zeitpunkt einesFunktionswechsels der Anlage

Zeitpunkt der Beschaffung vonZusatzaggregaten

Zeitpunkt des Endes derEinführungsphase von neuen

Produkten

Zeitpunkt des Auftretens neuerKonkurrenten

Ende der Plan-Nutzungsdauerder Anlage

Abbildung 120: Mögliche sinnvolle Kontrollzeitpunkte


E. Organisation der Investitionskontrolle1. Träger der InvestitionskontrolleIm Prozeß der Investitionskontrolle sind verschiedene Arten von organisatori-schen Einheiten als Kontrollträger vorstellbar. Eine Systematisierung dieser orga-nisatorischen Einheiten kann insbesondere nach zwei Merkmalen vorgenommenwerden1,

1. der Systemzugehörigkeit und2. der Funktionstrennung.

Nach dem Merkmal der Systemzugehörigkeit des Trägers der Investitionskon-trolle kann zwischen internen und externen Investitionskontrollen unterschie-den werden. Nach dem Merkmal der Funktionstrennung kann nach Eigenkon-trollen und Fremdkontrollen getrennt werden. Diese Systematisierung der Investitionskontrolle nach dem Träger ist in der fol-genden Abbildung 121 wiedergegeben:

Interne Investitionskontrollen werden von systeminternen Organisationsein-heiten ausgeführt. Sie können als Eigenkontrollen (Eigenprüfung) oder alsFremdkontrollen (Auftragsprüfung) ausgestaltet sein2.

Bei Eigenkontrollen, die auch als Selbstkontrollen bezeichnet werden3, nehmendie an dem Investitionsprozeß beteiligten Personen die Überprüfung selbstvor. Sie kontrollieren die Ergebnisse ihres eigenen Handelns oder des Handelnsder von ihnen beauftragten Personen. Eigenkontrollen kommen in der Regel dannin Betracht, wenn keine speziellen Kontrollinstitutionen (wie z.B. Interne Revi-sion) in der Unternehmung existieren4. Träger der Eigenkontrollen können alle an

Investitionskontrollartennach dem Träger derInvestitionskontrolle

interneKontrollen

Eigenkontrollen

Fremdkontrollen

externeKontrollen Fremdkontrollen

Abbildung 121: Systematisierung der Investitionskontrollartennach dem Träger der Investitionskontrolle


1 Vgl. hierzu auch Brink, Hans-Josef: Kontrolle, Organisation der, in: Handwörterbuch der Organisation, 3. A.,Stuttgart 1992, Sp. 1148-1149.

2 Vgl. hierzu Rockel, Klaus: Fehlinvestitionen und ihre Prüfung, Frankfurt am Main, Bern, Las Vegas 1979, S.203.

3 Vgl. etwa Brink, Hans-Josef: Kontrolle, Organisation der, in: Handwörterbuch der Organisation, 3. A., Stuttgart1992, Sp. 1148.

4 Vgl. hierzu Rockel, Klaus: Fehlinvestitionen und ihre Prüfung, Frankfurt am Main, Bern, Las Vegas 1979, S.203-204.

der Durchführung der Investition beteiligten Personen sein. Insbesondere werdendie einer am Investitionsprozeß beteiligten Organisationseinheit vorstehenden Per-sonen (wie etwa Gruppenleiter, Abteilungsleiter oder bei kleineren Unternehmun-gen auch die Geschäftsführer) die Kontrollfunktion wahrnehmen.Fremdkontrollen im Rahmen der internen Investitionskontrolle werden vonKontrollinstanzen innerhalb der Unternehmung durchgeführt. Bei internenFremdkontrollen findet eine Aufgabentrennung zwischen den am Investi-tionsprozeß beteiligten Organisationseinheiten und den Kontrollträgern statt.Diese Art der Kontrolle ist zumindest bei größeren Unternehmungen als der "Nor-malfall" für eine Investitionskontrolle anzusehen1. Träger der internen Fremdkon-trolle können beispielsweise die Controlling-Abteilung2 oder die InterneRevision3 einer Unternehmung sein. Diese Institutionen sind zumeist als Stabstel-len angelegt und häufig direkt der Unternehmungsleitung unterstellt. Ein weiterer Träger der Fremdkontrollen im Rahmen der internen Investi-tionskontrolle kann bei Aktiengesellschaften, größeren Gesellschaften mit be-schränkter Haftung und Genossenschaften der Aufsichtsrat sein. Vor allem beiInvestitionen mit einer großen Bedeutung für die Unternehmung (wie etwa die Er-richtung eines Zweigwerks oder der Kauf anderer Unternehmungen) hat der Auf-sichtsrat seine Kontrollfunktion wahrzunehmen. Im Gegensatz zur Kontrolledurch die Controlling-Abteilung oder die Interne Revision basiert die Kontrolledurch den Aufsichtsrat auf einer gesetzlichen Grundlage. So hat der Aufsichtsrateiner AG nach § 111 Abs. 1 AktG die Pflicht, die Geschäftsführung zu überwa-chen. Nach herrschender Meinung bezieht sich dies unter anderem auch auf we-sentliche Geschäftsvorfälle, zu denen die erwähnten bedeutenden Investitionengehören4.Die externe Investitionskontrolle ist stets als Fremdkontrolle ausgestaltet. Siewird von Personen vorgenommen, die nicht dem System der Unternehmungangehören. Ihre Tätigkeit kann sowohl auf einer freiwilligen Verpflichtung alsauch auf gesetzlichen Vorschriften5 basieren. Wird die externe Investitions-kontrolle aufgrund einer freiwilligen Verpflichtung durchgeführt, so kann dieUnternehmung Art, Umfang und Zeitpunkt der Überprüfung weitgehend bestim-men. Die externe Investitionskontrolle aufgrund von gesetzlichen Vorschriftenwird im wesentlichen im Rahmen der Pflichtprüfungen nach dem Handelsge-setzbuch (§§ 316 ff. HGB) und dem Publizitätsgesetz (§ 6 PublG i.V.m. §§ 316ff. HGB) durch Abschlußprüfer durchgeführt, bei staatlichen Unternehmenkann es auch zu Kontrollen durch die Rechnungsprüfungsämter und Rech-nungshöfe kommen, sofern sich diese nicht der Wirtschaftsprüfer bedienen. Inve-stitionskontrollen gehören nicht zum Umfang gesetzlicher Pflichtprüfungen des


1 Vgl. Rockel, Klaus: Fehlinvestitionen und ihre Prüfung, Frankfurt am Main, Bern, Las Vegas 1979, S. 204.

2 Zur Investitionskontrolle im Rahmen eines Investitions-Controllings vgl. Reichmann, Thomas: Controlling mitKennzahlen, München 1985, S. 193-231.


4 Vgl. hierzu Lutter, Marcus: Aufsichtsrat, Prüfungsbefugnisse, in: Handwörterbuch der Revision, 2. A., Stuttgart1992, Sp. 97-98.

5 Vgl. Rockel, Klaus: Fehlinvestitionen und ihre Prüfung, Frankfurt am Main, Bern, Las Vegas 1979, S. 207.

Jahresabschlusses. Wenn eine realisierte oder geplante Investition jedoch die Exi-stenz einer Unternehmung gefährdet oder deren Entwicklung wesentlich beein-trächtigt, so hat der Abschlußprüfer aufgrund seiner Redepflicht nach § 321 Abs.2 HGB hierüber zu berichten, so daß sich hieraus auch umfangreichere Investi-tionsprüfungen ergeben können. Dies ist beispielsweise dann der Fall, wenn Hin-weise existieren, daß

1. keine finanzielle Absicherung der Investition gegeben ist,2. die Investition die Existenz der Unternehmung gefährdet,3. die Investition nicht ausreichend geplant ist,4. die Schließung von Teilbetrieben durch die Investition verursacht

werden könnte,5. die Dividendenzahlungen durch die Investition gefährdet sind oder6. die Gefahr besteht, daß behördliche Auflagen nur eine unrentable

Produktion erlauben1.Die Prüfung der Investitionstätigkeit kann insbesondere hinsichtlich der Planungund Durchführung der Investitionen sowie als Kontrolle der Vorteilhaftigkeit derInvestitionen erfolgen. Als Prüfungsunterlagen für die externe, aber auch fürdie interne Fremdkontrolle dienen im Investitionsbereich vor allem

1. Planungsunterlagen wie etwa Investitionsvorrechnungen und Finan-zierungspläne,

2. Ausschreibungs- und Vergabeunterlagen, 3. Liefervereinbarungen, 4. Aufzeichnungen über die Investitionsdurchführung und mögliche

Planänderungen, 5. Gewährleistungsvereinbarungen sowie 6. Organisationsanweisungen und

7. Ergebnisse von Organisationsprüfungen2.2. Organisatorischer Aufbau der InvestitionskontrolleDie Planung der Organisation der Investitionskontrolle erfordert nicht nur eineBestimmung der Kontrollträger, sondern sie bedingt auch eine Festlegung des or-ganisatorischen Aufbaus. Dabei ist von besonderer Bedeutung, welche Phase desKontrollprozesses betrachtet wird. Lüder unterscheidet hinsichtlich des organisa-torischen Aufbaus drei Teilfunktionen der Investitionskontrolle,

1. die Überwachung,2. die Datengewinnung und

3. die Datenverarbeitung3.


1 Vgl. Blohm, Hans: Investitionsprüfung, in: Handwörterbuch der Revision, 2. A., Stuttgart 1992, Sp. 925-926.

2 Vgl. ebenda, Sp. 920.

3 Vgl. hierzu Lüder, Klaus: Investitionskontrolle, Wiesbaden 1969, S. 126.

Bei der Teilfunktion Überwachung wird das Kontrollprogramm erstellt. Eswird bestimmt, welche Objekte wann und in welchem Umfang zu kontrollie-ren sind und welche Kontrollverfahren angewendet werden sollen. Auch fin-det hier die Überwachung der termingerechten und ordnungsgemäßen Durch-führung des Kontrollprogramms statt. Bei der Datengewinnung werden dieverschiedenen in die Kontrolle eingehenden Daten ermittelt. Es wird eine Samm-lung von für die Beurteilung der Investition benötigten Informationen vorge-nommen. Während der Datenverarbeitung werden die gesammelten Daten dannschließlich genutzt, um die Investitionsnachrechnungen durchzuführen. Hierfindet die eigentliche Beurteilung der Investition statt.Der organisatorische Aufbau der Investitionskontrolle kann für jede der drei Teil-funktionen der Kontrolle grundsätzlich entweder zentral oder dezentral erfolgen.Bei einem zentralen Aufbau wird die Investitionskontrolle nur von einer Stellein der Unternehmung vorgenommen. Bei einem dezentralen Aufbau sind die je-weiligen Aufgaben innerhalb einer Unternehmung auf mehrere Stellen verteilt.Eine zentrale Überwachung beinhaltet, daß eine Organisationseinheit das Kon-trollprogramm für alle Investitionskontrollen der Unternehmung aufstellt und dieDurchführung dieses Kontrollprogramms überwacht. Es gibt also nur ein Kon-trollprogramm für die gesamte Unternehmung. Bei einer dezentralen Überwa-chung stellt jeder Unternehmensbereich, in dem investiert wird, sein eigenes Kon-trollprogramm auf und überwacht dessen Durchführung. Die Überwachung wirdvon der Organisationseinheit vorgenommen, die auch die Investition durchführt.Es findet also bei der dezentralen Überwachung eher eine Eigenkontrolle statt,während die zentrale Überwachung eine Fremdkontrolle ist. Eine zentrale Über-wachung kann den Vorteil haben, daß durch sie Manipulationen eher ausgeschlos-sen werden können als bei dezentraler Überwachung. Auch ist bei zentraler Über-wachung eine Gleichbehandlung aller Unternehmensbereiche in bezug auf Kon-trollen eher gewährleistet. Bei einer dezentralen Überwachung kann das für einewirksame Überwachung notwendige qualifizierte Personal fehlen. Die dezentraleÜberwachung kann daher entweder von geringerer Qualität sein oder einen höhe-ren Aufwand verursachen1.Eine zentrale Datengewinnung bedeutet, daß die Informationen über alle Investi-tionen einer Unternehmung von einer gesonderten Organisationseinheit eingeholtwerden. Bei einer dezentralen Datengewinnung wird die Sammlung der Infor-mationen entweder durch die die Investition durchführende Stelle selbst oderdurch "Spezialisten" aus anderen Unternehmungsbereichen vorgenommen. Für diedezentrale Organisation der Datengewinnung spricht die oft größere Sachkenntnisund Vertrautheit mit dem Investitionsobjekt. Hierdurch lassen sich Daten häufigleichter ermitteln, als wenn "Fremde", die mit dem Investitionsobjekt erst vertrautgemacht werden müssen, die Datengewinnung vornehmen. Vielfach, wenn dieDatengewinnung durch Messung bei der Durchführung der Investition erfolgenmuß, wird ohnehin nur eine dezentrale Datengewinnung durch die ausführendeStelle vorgenommen werden können. Eine zentrale Datengewinnung ist in solchenFällen nicht möglich. Gegen eine dezentrale Datengewinnung spricht allerdings,daß hier die Manipulationsmöglichkeiten größer sind als bei zentraler Datenge-


1 Vgl. hierzu Lüder, Klaus: Investitionskontrolle, Wiesbaden 1969, S. 127-128.

winnung. Auch ist die Einheitlichkeit der Datengewinnung bei der Informations-sammlung durch mehrere Stellen schlechter zu gewährleisten. Ebenso wie bei derdezentralen Überwachung kann es auch bei der dezentralen Datengewinnung zueiner Überforderung des in den einzelnen Organisationseinheiten tätigen Personalskommen, so daß eine qualitativ anspruchsvolle Informationssammlung nicht vor-genommen werden kann1 .Bei einer zentralen Datenverarbeitung wird die Beurteilung der Investitionen ei-ner Unternehmung von einer einzigen Stelle durchgeführt. Eine dezentrale Da-tenverarbeitung wird dagegen von der jeweils die Investition ausführenden Stellevorgenommen. Die Beurteilung der Investition erfolgt also bei einer dezentralenDatenverarbeitung durch die in den Investitionsprozeß eingebundenen Personen.Hieraus ergeben sich auch wieder Manipulationsmöglichkeiten. Auch ist bei einerzentralen Datenverarbeitung die Einheitlichkeit der Durchführung von Investi-tionsnachrechnungen und damit die Vergleichbarkeit der Ergebnisse eher gege-ben. Ebenso sind die personelle und die EDV-Ausstattung einer zentralen Beurtei-lungsstelle zumeist besser als die kleinerer Kontrollinstanzen. Dadurch ist auchder Aufwand für eine zentrale Datenverarbeitung niedriger als für einedezentrale2.Zusammenfassend läßt sich feststellen, daß sowohl in der Phase der Überwachungals auch in der Phase der Datenverarbeitung eine zentrale Kontrollinstanz vorteil-haft ist. In der Phase der Datengewinnung spricht vieles für einen dezentralenAufbau, zumal eine reine zentrale Datengewinnung oft gar nicht möglich seinwird. Allerdings ist die dezentrale Datengewinnung, wie gezeigt, auch mit einigengrundlegenden Problemen verbunden.


1 Vgl. hierzu Lüder, Klaus: Investitionskontrolle, Wiesbaden 1969, S. 128-129.

2 Vgl. ebenda, S. 129-130.

F. Vorgehensweise der InvestitionskontrolleBei der Vorgehensweise der Investitionskontrolle können grundsätzlich vier Pha-sen (vgl. Abbildung 122) unterschieden werden,

1. die Kontrollplanung,2. die Informationsgewinnung,3. die (eigentlichen) Vergleichshandlungen (Verfahren der Investitions-

kontrolle) und4. die Auswertung der Vergleichsergebnisse:

1. KontrollplanungDie Kontrollplanung umfaßt im wesentlichen folgende Komponenten1, die in derfolgenden Abbildung 123 wiedergegeben sind und zu drei Gruppen zusammenge-faßt werden können:

1. Festlegung der Kontrollaufgabe,2. Bestimmung der Kontrollträger und der Aufgabenverteilung zwi-

schen ihnen sowie3. Strukturierung des Kontrollprozesses.

Die wesentlichen Inhalten dieser Komponenten können der Abbildung 123 ent-nommen werden.

Kontrollplanung

Informationsgewinnung

Vergleichshandlungen

Auswertung der Vergleichsergebnisse

Abbildung 122: Vorgehensweise beider Investitionskontrolle


1 Vgl. hierzu auch Franken, Rolf, Frese, Erich: Kontrolle und Planung, in: Handwörterbuch der Planung, Stuttgart1989, Sp. 893.

2. InformationsgewinnungIn der Phase der Informationsgewinnung sind die für die Investitionskontrolleerforderlichen Daten zu sammeln. Dabei handelt es sich im wesentlichen um diefür einen Vergleich erforderlichen Ist-Daten, also um tatsächlich realisierte Grö-ßen, denn die ebenfalls benötigten Plandaten liegen dem Kontrollträger in der Re-gel in Form von Investitionsplanungsunterlagen vor. Die Informationsgewinnungist einerseits von dem betrieblichen Kommunikationssystem, welches für dieÜbermittlung der Daten genutzt werden soll, und andererseits von den zur Verfü-gung stehenden Unterlagen, die ausgewertet werden können, abhängig. Beideswird in der Kontrollplanung festgelegt.Das betriebliche Kommunikationssystem spiegelt die Struktur des Austauschesvon Informationen zwischen verschiedenen Organisationseinheiten wider. SeineBestandteile sind informationsverarbeitende und informationsweiterleitende Stel-len sowie die zwischen ihnen existierenden Kommunikationskanäle1. Informa-

Komponenten derKontrollplanung

Festlegung derKontrollaufgabe

Vorgabe der Kontrollziele

Festlegung derauszuwertenden

Kontrollunterlagen

Bestimmung derKontrollträger undAufgabenverteilung

Strukturierung desKontrollprozesses

Vorgabe des anzuwendendenKontrollverfahrens

Vorgabe desKontrollinformationssystems

Festlegung desKontrollobjekts

Festlegung desKontrollumfangs

Festlegung derKontrollhäufigkeit

Festlegung derKontrollzeitpunkte

Abbildung 123: Komponenten der Kontrollplanung


1 Vgl. Frese, Erich: Kontrolle und Unternehmensführung, Wiesbaden 1968, S. 140-141.

tionsverarbeitende und informationsweiterleitende Stellen sind dabei Organi-sationseinheiten der Unternehmung (wie etwa Abteilungen oder Bereiche). AlsKommunikationskanäle für den Datenaustausch dienen diesen vor allem EDV-Netzwerke, Telekommunikationseinrichtungen und persönliche Gespräche inForm von Konferenzen und Besprechungen. In den meisten Unternehmungen exi-stiert neben einem formellen Kommunikationssystem, in dem die Informationenauf vorgegebenen Wegen ausgetauscht werden, auch ein informelles Kommuni-kationssystem. Hier werden unabhängig von den organisatorisch festgelegtenKommunikationswegen Informationen ausgetauscht. Es handelt sich dabei etwaum persönliche Gespräche während der Pausen oder außerhalb der Unterneh-mung. Häufig gelangen auf diesem Wege Informationen sogar schneller an ihrZiel. Bezogen auf die Investitionskontrolle spielt jedoch zumeist das formelleKommunikationssystem eine größere Rolle, da Kontrolldaten in der Regel auf "of-fiziellem" Wege weitergegeben werden. Zu den für die Kontrolle zur Verfügung stehenden Unterlagen gehören im we-sentlichen Aufzeichnungen über direkte Messungen am Investitionsobjekt so-wie Unterlagen aus dem betrieblichen Rechnungswesen1. Durch direkte Mes-sungen am Investitionsobjekt können beispielsweise die Ausbringung und dieAuslastung eines Investitionsobjekts (z.B. eine Maschine) oder die Umweltver-träglichkeit einer Investition festgestellt werden. Andere Größen wie etwa die Be-triebskosten des Investitionsobjekts oder der Wert der mit der Investition erstelltenProdukte können auf diesem Weg jedoch nicht ermittelt werden. Hierfür ist einRückgriff auf das betriebliche Rechnungswesen erforderlich. Dort sind jedochdie mit einer Investition verbundenen Ist-Daten häufig nicht bezogen auf das ein-zelne Investitionsobjekt, sondern nach anderen Kriterien (z.B. nach Kostenstellenoder nach Produkten) erfaßt. Die objektbezogenen Ist-Größen müssen somit erstaus umfassenderen Größen (indirekte Messungen) abgeleitet werden, woraussich erhebliche Zurechnungsprobleme ergeben können2, die prinzipiell unlösbarsind. Man kann dann in Anlehnung an Verfahrensweisen der Kostenrechnung eineSchlüsselung von gemeinsam auftretenden Ergebnissen vornehmen und auf dieseWeise die objektbezogenen Ist-Werte rechnerisch ermitteln, wobei jedoch erhebli-che (unerkannte) Fehler in die Kontrollergebnisse einfließen können.Sind die Ist-Werte jedoch weder durch direkte Messungen am Investitionsobjektnoch durch Ableitung aus dem betrieblichen Rechnungswesen zu ermitteln, somüssen Schätzungen vorgenommen werden.3. Vergleichshandlungen (Verfahren) der InvestitionskontrolleVoraussetzung für die Vornahme von Vergleichshandlungen ist, wie bereits ein-gangs erwähnt, das Vorhandensein von mindestens zwei Vergleichsgrößen. DieseVergleichsgrößen können sich auf die Gegenwart beziehen oder zukunftsorien-tiert sein. Größen mit einem Gegenwartsbezug werden im allgemeinen als Ist-Größen bezeichnet. Sie bilden in der Regel tatsächlich realisierte Werte ab. Beieiner Ausrichtung auf die Zukunft kann man im Hinblick auf Vergleichshandlun-gen zwischen Soll-Größen (Plan-Größen) und Wird-Größen unterscheiden.




Soll-Größen stellen dabei durch Planungsaktivitäten festgelegte Vorgaben dar.Wird-Größen basieren demgegenüber auf Prognosen. Sie geben voraussichtli-che Ist-Werte an.Aus der Kombination dieser drei Vergleichsgrößenarten ergeben sich sechs grund-sätzliche Typen von Vergleichshandlungen1,

1. Ist-Ist-Vergleiche,2. Soll-Soll-Vergleiche,3. Wird-Wird-Vergleiche,4. Soll-Ist-Vergleiche,5. Wird-Ist-Vergleiche und6. Soll-Wird-Vergleiche.

Die Ist-Ist-Vergleiche beziehen sich nur auf Gegenwartsgrößen. Hierdurch kön-nen beispielsweise Vergleiche zwischen verschiedenen Organisationseinheiten ei-nes Betriebes, verschiedenen Betrieben oder Unternehmungen sowie Vergleichezwischen den Werten verschiedener Perioden durchgeführt werden.Soll-Soll-Vergleiche und Wird-Wird-Vergleiche sind ausschließlich zukunftsbe-zogen. Aufgabe der Soll-Soll-Vergleiche ist die Kontrolle der Planungsziele undder Vorgehensweise bei der Ermittlung von Plan-Größen. Hierbei kann beispiels-weise untersucht werden, inwieweit Abweichungen zwischen Plan-Werten ver-schiedener Perioden oder verschiedener Organisationseinheiten vorliegen. Wird-Wird-Vergleiche dienen insbesondere der Kontrolle der angewandten Prognose-verfahren. So kann es in manchen Fällen wie etwa bei der Absatzplanung ratsamsein, Prognosen bezogen auf verschiedene Größen (wie beispielsweise die Absatz-menge, Marktanteile) aufzustellen und diese Prognosen im Zeitablauf zu wieder-holen. Ein Vergleich der prognostizierten Größen kann dann etwa Erkenntnissefür die Vornahme künftiger Prognosen liefern und Trends aufzeigen.Soll-Ist-Vergleiche stellen den wohl am häufigsten angewandten Vergleichstypdar. Auch die in der Literatur zur Kontrolle von Investitionen diskutierten Verfah-ren beziehen sich in erster Linie auf Soll-Ist-Vergleiche. Bei diesem Typ von Ver-gleichshandlungen werden durch die Planung vorgegebene Größen mit tatsächlichrealisierten Größen verglichen. Es wird die Umsetzung der Planung in die Realitätüberprüft. So kann festgestellt werden, inwieweit die Ausführung einer Handlungdie sich in den Soll-Größen widerspiegelnden Zielsetzungen erfüllt hat. DiesemVergleichstyp, der auch als Rückkopplung bezeichnet wird, kommt dabei eine re-gelnde Funktion im Sinne der Systemtechnik zu. Bei Wird-Ist-Vergleichen liegt der Schwerpunkt auf der Unterstützung der Pro-gnose im Rahmen der Planungstätigkeit. Es findet eine Überprüfung der progno-stizierten Werte anhand der tatsächlich realisierten Größen statt. Bei der Aufstel-lung zukünftiger Prognose können diese Vergleichsergebnisse wichtige Hinweiseliefern. Allerdings kann dieser Vergleichstyp grundsätzlich nur unterstützend wir-ken, da er keine vorgegebenen Zielgrößen beinhaltet.



Soll-Wird-Vergleiche setzen durch die Planung vorgegebene Größen in Bezie-hung zu prognostizierten Größen. Dabei wird die zeitliche Reihenfolge zumeistdergestalt sein, daß zunächst eine Plan-Größe festgelegt wird, bevor dann in zeitli-chem Abstand ein entsprechender Prognosewert ermittelt wird. Anhand der pro-gnostizierten Größe wird dann überprüft, ob mit der Realisierung der Plan-Größenoch zu rechnen ist oder nicht. Es kann eventuell auch die Wahrscheinlichkeit desEintreffens der Soll-Größe ermittelt werden. Anhand der Ergebnisse des Soll-Wird-Vergleichs können Plankorrekturen vorgenommen werden. Diese Plankor-rekturen können vor Realisierung der Ist-Werte, also entweder noch vor oder wäh-rend der Planausführung, durchgeführt werden. Der Soll-Wird-Vergleich kann da-zu beitragen, Schwächen der Planung aufzudecken. Er kann es auch ermöglichen,Störungen in der Planausführung vor ihrem Eintreten zu erkennen und zu verhin-dern. Dieser Vergleichstyp, der auch als Vorwärtskopplung (feedforward) be-zeichnet wird, erfüllt somit eine Steuerungsfunktion.Der am häufigsten eingesetzte Vergleichstyp im Rahmen der Investitionskontrolleist, wie schon erwähnt, der Soll-Ist-Vergleich. Für die Vergleichshandlungen be-zogen auf Investitionen liegen als Soll-Werte die Ergebnisse der Investitionsvor-kalkulation vor. Diese Investitionsvorrechnung ist mit Hilfe bestimmter Investi-tionsrechnungsverfahren wie etwa der Kapitalwertmethode, der Interne-Zinsfuß-Methode, der Amortisationsrechnung, der Kostenvergleichsrechnung, Gewinnver-gleichsrechnung oder der Rentabilitätsvergleichsrechnung vorgenommen worden.Die sich aus den verschiedenen Verfahren ergebenden Kennzahlen wie etwa Kapi-talwerte, interne Zinsfüße, Amortisationsdauer, Kosten- und Gewinngrößen oderRentabilitäten sowie daraus zu entwickelnde und bereits in der Planung festgeleg-te Soll-Größen wie beispielsweise Umsatzerlöse, Auslastungsgrade, Lohn-, Mate-rial- und sonstige Kosten bilden die Soll-Werte, mit denen die tatsächlich erreich-ten Ist-Werte verglichen werden sollen1.Für die Durchführung der Vergleichshandlungen ist es erforderlich, daß die in derInvestitionsnachrechnung zu ermittelnden Ist-Werte sich auf die gleichenKennzahlen wie die Soll-Werte beziehen. Dies bedeutet, daß in der Investitions-nachrechnung jeweils die gleichen Verfahren wie in der Investitionsvorrechnunganzuwenden sind.Diesem Grundsatz der Gegenüberstellung gleicher Kennzahlen kann nun ei-nerseits dadurch gefolgt werden, daß sämtliche in der Planung durchgeführtenRechnungen noch einmal mit den Ist-Werten vorgenommen werden und noch ein-mal sämtliche Kennzahlen neu entwickelt werden. Diese Vorgehensweise be-zeichnet man als Vollrechnung. Jeder geplanten Soll-Größe wird eine entspre-chende Ist-Größe gegenübergestellt. Diese Vollrechnung verursacht jedoch in derRegel einen hohen Kontrollaufwand. Daher ist es andererseits oft aus Wirtschaft-lichkeitsüberlegungen heraus zweckmäßig, nicht alle in der Planung festgelegtenGrößen mit neuen Daten noch einmal zu berechnen. Es werden dann nur einemTeil der Soll-Größen die entsprechenden Ist-Werte gegenübergestellt. Diese Vor-gehensweise im Rahmen der Kontrollhandlungen wird als Teilrechnung bezeich-net. Sie ist vielfach die einzig mögliche Form der Vergleichshandlung, da eineVollrechnung aufgrund der Zurechnungsprobleme der realisierten Werte zu den


1 Vgl. Reichmann, Thomas: Controlling mit Kennzahlen, München 1985, S. 230.

einzelnen Investitionsobjekten teilweise nicht durchführbar ist. Allerdings liegtbei der Teilrechnung im Gegensatz zur Vollrechnung keine vollständige Ver-gleichbarkeit der Soll- und Ist-Werte mehr vor1.Im Falle der Durchführung einer Teilrechnung stellt sich das Problem derAuswahl der in den Vergleich einzubeziehenden Größen. Grundsätzlich ist inbezug auf dieses Problem zu fordern, in die Vergleichshandlungen insbesonderedie sogenannten "kritischen Variablen" einzubeziehen. Als "kritische Varia-blen" werden dabei diejenigen Größen bezeichnet, von denen das wirtschaftlicheErgebnis einer Investition in erster Linie abhängt2. Diese "kritischen Variablen"müssen jedoch ebenfalls erst bestimmt werden. Hierfür kann beispielsweise fol-gendes Verfahren angewandt werden3.Es werden diejenigen Größen ausgewählt, deren Planabweichungen zu er-heblichen Änderungen der verfolgten Ziele führen. Ein Beispiel hierfür wäredie Merkmalsgröße Umsatzerlöse, deren Abweichungen einen starken Einflußauf eine Zielgröße wie etwa den Kapitalwert haben können. Zur Ermittlung desEinflusses der Datenausprägungen auf die Zielgröße können Sensibilitätsanalysendurchgeführt werden, die zeigen können, welche Änderung der Zielgröße eine be-stimmte Abweichung der Merkmalsgröße zur Folge hat. Es lassen sich so prozen-tuale Abhängigkeiten der Zielgrößen von den Merkmalsgrößen ermitteln. Diesekönnen dann als Kriterium für die Auswahl der in den Vergleich einzubeziehen-den Merkmalsgrößen dienen.Zu den Vergleichshandlungen gehört auch eine Analyse der aufgetretenen Ab-weichungen. Hierbei ist zu unterscheiden zwischen Gesamtabweichungen undTeilabweichungen. Teilabweichungen können dabei primäre Abweichungen(Einzelabweichungen, Abweichungen erster Ordnung), Abweichungen höhe-rer Ordnung sowie Zusammenfassungen von Abweichungen erster und höhe-rer Ordnung sein. Die Gesamtabweichung stellt die Veränderung der Ist-Werte gegenüber den Plan-Werten für eine Zielgröße wie etwa den Kapital-wert insgesamt dar.Die Gesamtabweichung läßt sich jedoch nur bei additiven Verknüpfungen dereinzelnen Merkmalsgrößen eindeutig in Teilabweichungen im Sinne von primä-ren Abweichungen (Abweichungen erster Ordnung) aufspalten, so daß die Summeder Teilabweichungen gleich der Gesamtabweichung ist. Bei multiplikativ ver-knüpften Merkmalsgrößen können neben den primären Abweichungen auchsog. Abweichungen höherer Ordnung auftreten, die nicht eindeutig einem dermultiplikativ verknüpften Merkmalswerte zugeordnet werden können (Abwei-chungsinterdependenz). Die Behandlung solcher Abweichungen höherer Ord-nung bei multiplikativ verknüpften Merkmalswerten ist bei den verschiedenenAbweichungsanalysemethoden verschieden4.


1 Vgl. zu Voll- und Teilrechnung Lüder, Klaus: Investitionskontrolle, Wiesbaden 1969, S. 84; Spielberger, Mi-chael: Betriebliche Investitionskontrolle, Würzburg, Wien 1983, S. 32-34.

2 Vgl. u.a. Lüder, Klaus: Investitionskontrolle, Wiesbaden 1969, S. 89.


4 Zu den Abweichungsanalysemethoden vgl. Kloock, Josef: Kostenkontrolle auf der Basis kombinierter und lern-orientierter Feedback-Feedforward-Prozesse, Diskussionsbeiträge zum Rechnungswesen der Wirtschafts- undSozialwissenschaftlichen Fakultät der Universität zu Köln, Nr. 1, Köln 1990.

Sofern es bei multiplikativ verknüpften Merkmalswerten Abweichungen höhe-rer Ordnung gibt, gilt bei Anwendung der sog. alternativen Abweichungsanaly-se, daß die Summe der Teilabweichungen grundsätzlich ungleich der Gesamt-abweichung ist. Bei der alternativen Abweichungsanalyse wird eine Teilabwei-chung in der Weise bestimmt, daß bezogen auf das betrachtete Merkmal, für dasdie Teilabweichung bestimmt werden soll, Ist-Werte und Soll-Werte miteinanderverglichen werden, während bei allen anderen Merkmalen nur die Ist-Werte be-trachtet werden, so daß bei ihnen eine möglicherweise vorhandene Abweichungnicht betrachtet, formal gleich Null gesetzt wird. Die Vorgehensweise soll allge-mein kurz erläutert werden:

Die Gesamtabweichung ΔZ ist die Differenz zwischen dem erreichten ZielwertZi und dem geplanten Zielwert Zp. Die Zielwerte sollen sich durch Multiplikationder Merkmalswerte xj ergeben (multiplikative Verknüpfung). Bei Anwendungder alternativen Abweichungsanalyse werden die Teilabweichungen ΔΔΔΔaltZj wiefolgt ermittelt:

Als primäre Abweichung (Abweichung erster Ordnung) bezeichnet man den-jenigen Unterschied, der sich ergibt, wenn in bezug auf das betrachtete Merk-mal die Differenz zwischen Ist-Wert und Plan-Wert berücksichtigt wird undin bezug auf alle anderen Merkmale von den Plan-Werten ausgegangen wird,d.h., um diese Differenz wäre der Ist-Zielwert vom Plan-Zielwert nur verschieden,wenn bis auf das betrachtete Merkmal alle anderen planmäßig realisiert wordenwären. Bezogen auf das Beispiel ergeben sich folgende primäre AbweichungenΔΔΔΔ1Zj:

ΔaltZ1 = x1i ∑x 2

i ∑…∑ xni − x1

p ∑x 2i ∑…∑ xn

i


i ∑…∑ xni − x1

i ∑x 2p ∑…∑ xn

i …

ΔaltZn = x1i ∑x 2

i ∑…∑ xni − x1

i ∑x 2i ∑…∑ xn

p ,so da˚ gilt :ΔZ ≠ ΔaltZ1 + ΔaltZ2+…+ΔaltZn .Zahlenbeispiel:x1

i = 4, x2i = 5, x3

i = 6 und x1p = 3, x2

p = 4, x3p = 7

ΔZ = Zi − Zp = 4∑5∑6 − 3∑4∑7 = 120 − 84 = 36ΔaltZ1 = x1

i ∑x 2i ∑x 3

i − x1p ∑x 2

i ∑x 3i = 4∑5∑6 − 3∑5∑6 = 120 − 90 = 30


i ∑x 3i − x1

i ∑x 2p ∑x 3

i = 4∑5∑6 − 4∑4∑6 = 120 − 96 = 24


i ∑x 3i − x1

i ∑x 2i ∑x 3

p = 4∑5∑6 − 4∑5∑7 = 120 −140 = −20ΔZ ≠ ΔaltZ1 + ΔaltZ2 + ΔaltZ3 oder 36 ≠ 30 + 24 + (−20) = 34.

ΔZ = Zi − Zp

mit Zi = x1i ∑x 2

i ∑…∑ xni und Zp = x1

p ∑x 2p ∑…∑ xn

p sowie x ji = xj

p + Δxj für alle j = 1, …, n.


Zwischen den nach der alternativen Abweichungsanalyse errechneten Teilab-weichungen einerseits und den primären Abweichungen sowie Abweichungenhöherer Ordnung andererseits bestehen folgende Beziehungen:

Das heißt, in den nach der Methode der alternativen Abweichungsanalyse er-mittelten Teilabweichungen ΔΔΔΔaltZj sind neben der jeweiligen primären Abwei-chung alle relevanten, das betrachtete Merkmal betreffende Abweichungenhöherer Ordnung jeweils mitenthalten. Für die Gesamtabweichung gilt, daß sie sich aus der Summe aller primärenAbweichungen und Abweichungen höherer Ordnungen ergibt:

Der Unterschied zwischen der Summe der Teilabweichungen nach der alter-nativen Abweichungsanalyse und der Gesamtabweichung ergibt sich durch dieMehrfacherfassung der Abweichungen höherer Ordnungen:

Bei Anwendung der kumulativen Abweichungsanalyse werden die Teilabwei-chungen wie folgt ermittelt:

(ΔaltZ1 + ΔaltZ2 + ΔaltZ3) − ΔZ = Δ2Z12 + Δ2Z13 + Δ2Z23 + 2∑Δ3Z123

im Beispiel:34 − 36 = 7 + (−4) + (−3) + 2∑(−1) = −2.

ΔZ = Δ1Z1 + Δ1Z2 + Δ1Z3 + Δ2Z12 + Δ2Z13 + Δ2Z23 + Δ3Z123,im Beispiel:36 = 28 + 21+ (−12) + 7 + (−4) + (−3) + (−1).

ΔaltZ1 = Δ1Z1 + Δ2Z12 + Δ2Z13 + Δ3Z123 = 30 = 28 + 7 + (−4) + (−1) = 30ΔaltZ2 = Δ1Z2 + Δ2Z12 + Δ2Z23 + Δ3Z123 = 24 = 21+ 7 + (−3) + (−1) = 24ΔaltZ3 = Δ1Z3 + Δ2Z13 + Δ2Z23 + Δ3Z123 = −20 = −12 + (−4) + (−3) + (−1) = −20.

Δ1Z1 = Δx1 ∑x 2p ∑x 3

p = (+1)∑4∑7 = 28

Δ1Z2 = x1p ∑Δx2 ∑x 3

p = 3∑(+1)∑7 = 21

Δ1Z3 = x1p ∑x 2

p ∑Δx3 = 3∑4∑( −1) = −12.Die Abweichungen zweiter Ordnung lauten:Δ2Z12 = Δx1 ∑Δx2 ∑x 3

p = (+1)∑(+1)∑7 = 7

Δ2Z13 = Δx1 ∑x 2p ∑Δx3 = (+1)∑4∑( −1) = −4

Δ2Z23 = x1p ∑Δx2 ∑Δx3 = 3∑(+1)∑(−1) = −3.

Die Abweichung dritter Ordnung lautet:Δ3Z123 = Δx1 ∑Δx2 ∑Δx3 = (+1)∑(+1)∑(−1) = −1.


Aufgrund dieser Herleitung der Teilabweichungen ΔkumZj ist die Summe derTeilabweichungen nach der kumulativen Abweichungsanalyse immer gleichder Gesamtabweichung. Die Teilabweichungen ΔkumZj nach der Methode derkumulativen Abweichungsanalyse lassen sich auch durch Modifikation der Teil-abweichungen ΔaltZj nach der alternativen Abweichungsanalyse ermitteln:

Bezogen auf die zuerst ermittelte Teilabweichung ΔΔΔΔkumZ1 gilt, daß sie einer-seits gleich der Teilabweichung ΔΔΔΔaltZ1 nach der alternativen Abweichungs-analyse ist und andererseits sich als Summe der primären und derjenigenAbweichungen höherer Ordnung ergibt, in der das erste Merkmal mit sei-nem Unterschied ΔΔΔΔx1 enthalten ist. Bezogen auf die zuletzt ermittelte Teilab-weichung ΔΔΔΔkumZn gilt, daß sie gleich der primären Abweichung ΔΔΔΔ1Zn ist.

Die Ermittlung einer Gesamtabweichung und deren Teilabweichungen soll im fol-genden an einem einfachen Beispiel (vgl. Abbildung 124) bezogen auf das Kapi-talwertkriterium dargestellt werden1. Hierbei wird davon ausgegangen, daß derverwendete Abzinsungsfaktor 1/q =1/(1 + i) bei der Investitionsvorrechnung undder Investitionsnachrechnung (hier auf der Informationsbasis bis zum Zeitpunkt T,also dem Investitionsdauerende) übereinstimmt, so daß bezogen auf die anderenMerkmale, nämlich laufende Einzahlungen e*

t, laufende Auszahlungen a*t und

Anfangsauszahlungen a0 keine multiplikativen Verknüpfungen mehr vorliegen.

ΔkumZ1 = ΔaltZ1 = Δ1Z1 + Δ2Z12 + Δ2Z13 + Δ3Z123 = 30 = 28 + 7 + (−4) + (−1) = 30ΔkumZ2 = ΔaltZ2 − (Δ2Z12 + Δ3Z123) = Δ1Z2 + Δ2Z23 = 24 − [7 + (−1)] = 21+ (−3) = 18ΔkumZ3 = ΔaltZ3 − (Δ2Z13 + Δ2Z23 + Δ3Z123) = Δ1Z3 = −20 − [(−4) + (−3) + (−1)] = −12.

ΔkumZ1 = x1i ∑x 2

i ∑…∑ xni − x1

p ∑x 2i ∑…∑ xn

i

ΔkumZ2 = x1p ∑x 2

i ∑…∑ xni − x1

p ∑x 2p ∑…∑ xn

i …

ΔkumZn-1 = x1p ∑x 2

p ∑…∑ xn-2p ∑x n-1

i ∑x ni − x1

p ∑x 2p ∑…∑ xn-2

p ∑x n-1p ∑x n

i

ΔkumZn = x1p ∑x 2

p ∑…∑ xn-2p ∑x n-1

p ∑x ni − x1

p ∑x 2p ∑…∑ xn

p ,so da˚ gilt :ΔZ = ΔkumZ1 + ΔkumZ2+…+ΔkumZn.Zahlenbeispiel:x1

i = 4, x2i = 5, x3

i = 6 und x1p = 3, x2

p = 4, x3p = 7

ΔZ = Zi − Zp = 4∑5∑6 − 3∑4∑7 = 120 − 84 = 36ΔkumZ1 = x1

i ∑x 2i ∑x 3

i − x1p ∑x 2

i ∑x 3i = 4∑5∑6 − 3∑5∑6 = 120 − 90 = 30


i ∑x 3i − x1

p ∑x 2p ∑x 3

i = 3∑5∑6 − 3∑4∑6 = 90 − 72 = 18


p ∑x 3i − x1

p ∑x 2p ∑x 3

p = 3∑4∑6 − 3∑4∑7 = 72 − 84 = −12ΔZ = ΔkumZ1 + ΔkumZ2 + ΔkumZ3 oder 36 = 30 +18 + (−12) = 36.


1 In Anlehnung an Spielberger, Michael: Betriebliche Investitionskontrolle, Würzburg, Wien 1983, S. 35-37.

Dadurch ist die Gesamtabweichung (Kapitalwertabweichung) eindeutig in pri-märe Abweichungen bezogen auf die laufenden Einzahlungen, laufendenAuszahlungen und die Anfangsauszahlung zerlegbar (vgl. Abbildung 124):

4. Auswertung der KontrollergebnisseDie Auswertung der Ergebnisse der Investitionskontrolle beinhaltet im wesentli-chen die Erforschung der Abweichungsursachen sowie die Erarbeitung vonEmpfehlungen zur Beseitigung der festgestellten Abweichungsursachen. DieAuswertung der Ergebnisse kann dabei grundsätzlich als Einzelauswertungund/oder als summarische Auswertung ausgestaltet sein. Bei der Einzelauswer-tung werden für jedes kontrollierte Investitionsobjekt die Abweichungsursachengesondert festgestellt. Die summarische Auswertung faßt dagegen Abweichun-gen von mehreren Investitionsobjekten zusammen und analysiert sie1. Bei der Einzelauswertung stellt sich grundsätzlich die Frage, ob alle Abweichun-gen einer Untersuchung zu unterwerfen sind. Dies kann vielfach vor allem ausWirtschaftlichkeitsgründen nicht zweckmäßig sein. Es ist daher eine Auswahl derauszuwertenden Abweichungen zu treffen. Für die Festlegung der zu untersu-chenden Abweichungen werden dabei in der Literatur folgende grundsätzliche Be-dingungen vorgeschlagen2:1. Es soll sich um eine negative Abweichung handeln. Positive Abweichungenwerden also nicht untersucht.2. Die Abweichung der Ist-Größe von der Soll-Größe soll insgesamt oder be-zogen auf ein Merkmal einen bestimmten Toleranzwert überschreiten. DieBedeutung der Abweichung bezogen auf die Vorgabewerte soll also erheblichsein.

Abbildung 124: Beispiel zur Abweichungsanalyse anhand des Kapitalwert-kriteriums

Plan-Kapitalwert:

Ist-Kapitalwert:

Kapitalwertabweichung:

KS0p = (et

*p

t=1

T

∑ − at*p )∑q − t − a0

p

KS0i = (et

*i

t=1

T

∑ − at*i )∑q − t − a0

i

ΔK = (et*i

t=1

T

∑ − at*i )∑q − t − a0

i ± (et*p

t=1

T

∑ − at*p )∑q − t − a0

p⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ΔK = (et*i

t=1

T

∑ − et*p )∑q − t − (at

*i

t=1

T

∑ − at*p )∑q − t − a0

i − a0p( )



2 Vgl. ebenda, S. 140-141.

3. Der Auswerter schätzt den Nutzen der Analyse höher ein als den Aufwand.Damit ist die Auswahl der zu untersuchenden Abweichungen von der subjektivenEinschätzung des Auswertenden abhängig. Die Einheitlichkeit und Nachvollzieh-barkeit des Auswertungsvorgangs wird dadurch jedoch erheblich beeinträchtigt.Den Abschluß der Investitionskontrolle bildet dann die Erstellung eines Kon-trollberichts. Dieser kann in seiner Ausgestaltung sehr unterschiedlich sein. EinBeispiel für einen Investitionskontrollbericht unter Verwendung von Kennzahlenist in der folgenden Abbildung 1251 gegeben:Es wird hier der Aufbau eines Kontrollbogens mit verschiedenen Kennzahlen ei-ner Investition gezeigt. Neben den Zielgrößen Interner Zinsfuß, Kapitalwert undAmortisationsdauer sind auch Merkmalsgrößen mit ihren Soll- und Ist- sowie denrevidierten Sollgrößen für die Jahre der Investitionsdauer in einer Übersicht darge-stellt. Es können somit sowohl zeitliche Tendenzen wie auch Abweichungsursa-chen für die Zielgrößen in Form von Abweichungen bei den Merkmalsgrößen ab-gelesen werden.

Projekt-Nr.: Investitionskontrolle Berichtszeitraum: 1992

Invest.-Dauer: 1.1.91-31.12.94Jahr 1991 1992 1993 1994

Soll Ist Soll Ist Abw. Soll Soll Ist Soll Soll Istrev. rev.

Laufende EinzahlungenLaufende Auszahlungen

Interner Zinsfuß

Kapitalwert

Amortisationsdauer

Auslastungsgrade

Umsatzerlöse/Einzah-lungenLohnkosten/Auszahlun-genMaterialkosten/Auszah-lungensonst. lfd. Kosten/Aus-zahlungen

Abbildung 125: Investitionskontrollbericht


1 In Anlehnung an Reichmann, Thomas: Controlling mit Kennzahlen, München 1985, S. 231.

Abbildungsverzeichnis Seite

Abbildung 1: Erläuterung des Begriffs der Investition i.e.S. 22Abbildung 2: Begriff der Investition i.e.S. und i.w.S. 26Abbildung 3: Begriff des Investierens nach Heinen 27Abbildung 4: System der Investitionsbegriffe nach Pack 34Abbildung 5: Gliederung der Investitionen nach dem Investitionsobjekt 40Abbildung 6: Gliederung von Realinvestitionen nach dem Investitionszweck 42Abbildung 7: Phasen des rationalen Handelns 44Abbildung 8: Phasen des Entscheidungsprozesses 45Abbildung 9: Schwachstellen im Investitionsbereich 49Abbildung 10: Schaubild einer möglichen Investitionsablauforganisation nach

Blohm und Lüder 56Abbildung 11: Beschreibung der ertragsgesetzlichen Abhängigkeit der Einzahlun-

gen vom Investitionsvolumen bei der Sachinvestition 67Abbildung 12: Bestimmung des optimalen Sachinvestitionsvolumens 72Abbildung 13: Das optimale Sachinvestitionsvolumen bei unterschiedlicher Rendi-

te i der Finanzinvestition 78Abbildung 14: Abhängigkeit des optimalen Sachinvestitionsvolumens von der

Rendite i der Finanzinvestition 80Abbildung 15: Erläuterung des Stetigkeitsaxioms 83Abbildung 16: Darstellung effizienter Konsumpläne 83Abbildung 17: Erläuterung des Pareto-Dominanz-Axioms 85Abbildung 18: Darstellung eines Konsumnutzengebirges 85Abbildung 19: Varianten des Fisher-Hirshleifer-Modells 87Abbildung 20: Fisher-Hirshleifer-Modell: 1. Variante (ohne Kapitalmarkt) 88Abbildung 21: Fisher-Hirshleifer-Modell: 2. Variante (vollkommener

Kapitalmarkt) 91Abbildung 22: Fisher-Hirshleifer-Modell: 3. Variante (unvollkommener

Kapitalmarkt) 93Abbildung 23: Erläuterung der Momentanverzinsung 100Abbildung 24: Gesamteinzahlungen einer Sachinvestition und einer Finanzinvesti-

tion am Reifemodell 101Abbildung 25: Bestimmung der optimalen Investitionsdauer einer Sachinvestition

am Reifemodell (logarithmische Darstellung) 104Abbildung 26: Bestimmung der optimalen Sachinvestitionsdauer am Reifemodell

(nichtlogarithmische Darstellung) 108Abbildung 27: Schematische Erläuterung der Bestimmung der optimalen Investi-

tionsdauer bei mehrperiodiger kontinuierlicher Betrachtungsweise 110Abbildung 28: Bestimmung der optimalen Investitionsdauer für die Investition A

am Reifemodell 114Abbildung 29: Bestimmung der optimalen Investitionsdauer für die Investition A

am Reifemodell bei unendlicher identischer Investitionskette 120Abbildung 30: Schematische Darstellung des Reifemodells (links) und des mehr-

periodigen Modells (rechts) bei diskontinuierlicher Betrachtung 126Abbildung 31: Ermittlung der optimalen Investitionsdauer am Zahlenbeispiel

(mehrperiodige diskontinuierliche Betrachtung) 132Abbildung 32: Investitionseinzelentscheidungen 140Abbildung 33: Erläuterung von zeitlichen Zinsstrukturen 146

Abbildungsverzeichnis 369

Abbildung 34: 1. Variante: Investor kennt nur die heutige stabile Zinsstruktur! 148Abbildung 35: 2. Variante: Investor kennt die heutige stabile Zinsstruktur und fer-

ner die künftigen tatsächlichen, im Zeitablauf fallenden Zinssätze(aber jeweils stabile Zinsstruktur)! 149

Abbildung 36: 3. Variante: Investor kennt die heutige stabile Zinsstruktur und fer-ner die künftigen tatsächlichen, im Zeitablauf steigenden Zinssätze(aber jeweils stabile Zinsstruktur)! 150

Abbildung 37: Beispiel einer aus Zinserwartungen hergeleiteten Zinsstruktur 154Abbildung 38: 4. Variante: Investor kennt die heutige normale Zinsstruktur und

ferner die künftigen tatsächlichen, im Zeitablauf schwankendenZinssätze (aber jeweils stabile Zinsstruktur)! 159

Abbildung 39: Beschreibung der Entscheidungssituation bei Investitionseinzelent-scheidungen mit Hilfe der dynamischen Investitionsrechnungsver-fahren 162

Abbildung 40: Zu beurteilende alternative Investitionsobjekte 176Abbildung 41: Geltende stabile Zinsstruktur im Entscheidungszeitpunkt t = 0 176Abbildung 42: Im Entscheidungszeitpunkt t = 0 geltende Abzinsungsfaktoren 177Abbildung 43: Kapitalwerte der Investitionsobjekte 177Abbildung 44: Maximal zahlbare Preise und Kapitalwerte der Investitionsobjekte 178Abbildung 45: Mögliche Entnahmen für Konsumzwecke 179Abbildung 46: Vollständiger Finanzplan für das günstigste Investitionsobjekt 179Abbildung 47: Geltende normale Zinsstruktur im Entscheidungszeitpunkt t = 0 180Abbildung 48: Im Entscheidungszeitpunkt t = 0 geltende Abzinsungsfaktoren 180Abbildung 49: Kapitalwerte der Investitionsobjekte 181Abbildung 50: Maximal zahlbare Preise und Kapitalwerte der Investitionsobjekte 182Abbildung 51: Mögliche Entnahmen für Konsumzwecke 185Abbildung 52: Vollständiger Finanzplan für das günstigste Investitionsobjekt 185Abbildung 53: Geltende inverse Zinsstruktur im Entscheidungszeitpunkt t = 0 192Abbildung 54: Im Entscheidungszeitpunkt t = 0 geltende Abzinsungsfaktoren 192Abbildung 55: Im Entscheidungszeitpunkt t = 0 geltende Aufzinsungsfaktoren 192Abbildung 56: Kapitalwerte der Investitionsobjekte 193Abbildung 57: Vermögensendwerte der Investitionsobjekte 193Abbildung 58: Maximal zahlbare Preise, Kapitalwerte und Vermögenswerte 195Abbildung 59: Mögliche Entnahmen für Konsumzwecke 196Abbildung 60: Vollständiger Finanzplan für das günstigste Investitionsobjekt 197Abbildung 61: Geltende Rentenbarwertfaktoren 208Abbildung 62: Geltende Wiedergewinnungsfaktoren 208Abbildung 63: Geltende Rentenendwertfaktoren 209Abbildung 64: Geltende Rückwärtsverteilungsfaktoren 209Abbildung 65: Maximal zahlbare Preise, Kapitalwerte und Kapitalwertannuitäten 210Abbildung 66: Kapitalwertannuität als Verrentung des Vermögenswerts 211Abbildung 67: Kapitalwertannuität für Zeitraum bis T = 6 211Abbildung 68: Annuitäre Entnahmen für Konsumzwecke 212Abbildung 69: Vollständiger Finanzplan für das günstigste Investitionsobjekt 213Abbildung 70: Kapitalwertfunktion für eine einperiodige Investition 217Abbildung 71: Kapitalwertfunktion für eine zweiperiodige Investition 1 219Abbildung 72: Kapitalwertfunktion für eine zweiperiodige Investition 2 221Abbildung 73: Kapitalwertfunktion für eine zweiperiodige Investition 3 222

370 Abbildungsverzeichnis

Abbildung 74: Kapitalwertfunktion für eine zweiperiodige Investition 4 225Abbildung 75: Darstellung von Beurteilungszonen der Kapitalmarktzinssätze im

Vergleich zu den internen Zinssätzen der Investition 227Abbildung 76: Kapitalwertfunktion für eine zweiperiodige Investition 5 229Abbildung 77: Zu beurteilende alternative Investitionsobjekte 234Abbildung 78: Darstellung von Kapitalwertfunktionen alternativer Investitionsob-

jekte 237Abbildung 79: Optimierung des Investitionsvolumens 239Abbildung 80: Arten von "reinen" Ergänzungsinvestitionen 241Abbildung 81: Anwendungsfälle "reiner" Ergänzungsinvestitionen 242Abbildung 82: Beispiel einer Kostenvergleichsrechnung 255Abbildung 83: Flexible Kostenvergleichsrechnung 256Abbildung 84: Kostenverläufe der verglichenen Investitionen 256Abbildung 85a: Beispiel einer Kostenvergleichsrechnung (Defender) 257Abbildung 85b: Beispiel einer Kostenvergleichsrechnung (Challenger) 258Abbildung 86: Abweichungsfaktoren bei kontinuierlichem Rückfluß der Abschrei-

bungen 262Abbildung 87: Abweichungsfaktoren bei diskontinuierlichem Rückfluß der Ab-

schreibungen 265Abbildung 88: Starre Gewinnvergleichsrechnung 267Abbildung 89: Relative Abweichung Fd der Rentabilität R vom internen Zinsfuß r

bei diskontinuierlichem Rückfluß der Abschreibungsgegenwerteund LT = 0 276

Abbildung 90: Relative Abweichung Fk der Rentabilität R vom internen Zinsfuß rbei kontinuierlichem Rückfluß der Abschreibungsgegenwerte undLT = 0 278

Abbildung 91: Rentabilitätsvergleichsrechnung 280Abbildung 92: Ausriß aus einem finanzmathematischen Tabellenwerk (Wiederge-

winnungsfaktoren) 281Abbildung 93: Rentabilitätsvergleichsrechnung 282Abbildung 94: Statische Amortisationsrechnung 283Abbildung 95: Dynamische Amortisationsrechnung 284Abbildung 96: Finanzmathematische Amortisationsrechnung 286Abbildung 97: Dean-Modell bei interner Finanzierung 291Abbildung 98: Dean-Modell bei externer Finanzierung 292Abbildung 99: Kapitalwertfunktionen der zu realisierenden Investitionen und Fi-

nanzierungen des optimalen Kapitalbudgets 293Abbildung 100: Dean-Modell bei externer Finanzierung (ohne einheitlichen endoge-

nen Kalkulationszinssatz) 295Abbildung 101: Kapitalwertfunktionen der zu realisierenden Investitionen 1 bis 5

und Finanzierungen 1 bis 3 des optimalen Kapitalbudgets und dernicht durchzuführenden Investition 6 und Finanzierung 4 296

Abbildung 102: Beispiel von Kruschwitz zum Dean-Modell 298Abbildung 103: Wertpapiere im (µ, σ)-Diagramm 303

Abbildung 104: Nutzenindifferenzlinien bei Risikofreude (Anwendung des (µ, σ)-Prinzips) 304

Abbildung 105: Nutzenindifferenzlinien bei Risikoaversion (Anwendung des (µ, σ)-Prinzips) 305

Abbildungsverzeichnis 371

Abbildung 106: Nutzenindifferenzlinien bei Risikoindifferenz (Anwendung des(µ, σ)-Prinzips) 305

Abbildung 107: Wertpapiere im (µ, σ)-Diagramm mit Nutzenindifferenzlinien 306Abbildung 108: Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion 307Abbildung 109: Funktionale Abhängigkeit der Standardabweichung σP vom Rendi-

teerwartungswert µP bei alternativen Korrelationskoeffizienten ρ12318

Abbildung 110: Bestimmung des optimalen Wertpapierportefeuilles (Lage inner-halb des Definitionsbereichs der Effizienzlinie) 320

Abbildung 111: Bestimmung des optimalen Wertpapierportefeuilles (Lage am Randdes Definitionsbereichs der Effizienzlinie bei einem Korrelations-koeffizienten ρ12 = -1) 322

Abbildung 112: Kombination zwischen zwei risikobehafteten Wertpapieren und ei-ner risikolosen Kapitalmarktanlage 325

Abbildung 113: Kapitalmarktlinie: Eigen- und teilfremdfinanziertes Gesamtporte-feuille 330

Abbildung 114: Darstellung eines Regelsystems 333Abbildung 115: Begriffsabgrenzung Controlling - Kontrolle 337Abbildung 116: Ebenen des betrieblichen Handlungsgefüges 338Abbildung 117: Ziele der Investitionskontrolle 341Abbildung 118: Einteilung der Kontrollobjekte nach dem möglichen Kontrollnutzen 347Abbildung 119: Optimale Kontrollhäufigkeit 349Abbildung 120: Mögliche sinnvolle Kontrollzeitpunkte 351Abbildung 121: Systematisierung der Investitionskontrollarten nach dem Träger der

Investitionskontrolle 352Abbildung 122: Vorgehensweise bei der Investitionskontrolle 357Abbildung 123: Komponenten der Kontrollplanung 358Abbildung 124: Beispiel zur Abweichungsanalyse anhand des Kapitalwertkriteri-

ums 366Abbildung 125: Investitionskontrollbericht 367

372 Abbildungsverzeichnis

Verzeichnis wichtiger SymboleA Kapitalwertannuität KM Kapitalmarktindex

α Abnahmerate des LiquidationserlösesKP laufende variable und sonstige fixe Peri-

odenkosten; auszahlungsgleiche Kostena* laufende periodische Auszahlungen KZ kalkulatorische Zinsena0 Anfangsauszahlung; Investitionsvolumen L Liquidationserlös

a=

Auszahlungsannuität lim Grenzwertat Entnahmestrukturfaktor ln natürlicher LogarithmusC Konsum µ Renditeerwartungswert

c MomentanverzinsungM0 im Entscheidungszeitpunkt vorhandene

autonome FinanzierungsmittelCF Cash Flow ME Mitteleinsatzcov12 Kovarianz N NutzenD Dividendenerwartung n Anzahl der Wiederholungend Index für diskontinuierlichen Rückfluß der

Abschreibungsgegenwerte opt Index für "optimal"

Δ1Z Abweichung erster Ordnung, primäre Ab-weichung

p gemeinsame Wahrscheinlichkeit; Index für"Plan-Größe"

Δ2Z Abweichung zweiter Ordnung, sekundäreAbweichung P Portefeuilleindex

Δ3Z Abweichung dritter Ordnung, tertiäre Ab-weichung

Pmax maximal zahlbarer Preis

ΔaltZj Teilabweichung bei alternativer Abwei-chungsanalyse q Aufzinsungsfaktor (1 + i)

ΔK Kostenersparnis R Kapitalrentabilität; ewige RenteDK zusätzlich durchschnittlich gebundenes Ka-

pital r interner Zinsfuß; Gesamtkapitalrentabilität

ΔkumZj Teilabweichung bei kumulativer Abwei-chungsanalyse

ρ12 Korrelationskoeffizient

ΔZ Summe der Teilabweichungen σ StandardabweichungE Entnahme; Index für Ersatzobjekt S Zufallsvariable; Index für Sachinvestitione Eulersche Zahl s Umweltzustand

e* laufende periodische EinzahlungenT Investitionsendzeitpunkt; Anzahl der Inve-

stitionsnutzungsperioden; Tilgungsbetrag

e=

Einzahlungsannuität t Laufindex für ZeitEK Eigenkapital τ Laufindex für Zeitet Einzahlungsüberschuß zum Zeitpunkt t u Risikopräferenzfunktion

e_

Durchschnittseinzahlung U UnterlassensalternativeF relative Abweichung; Index für Finanzinve-

stitionÜ zusätzlicher durchschnittlicher Überschuß

aus der KapitalnutzungFK Fremdkapital V Vermögenswertfsh

(shj) Randverteilung var Varianz, Streuung

G Gewinnw Eintrittswahrscheinlichkeit; Wiedergewin-

nungsfaktor

h Laufindex für WertpapiereW gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion;

Wirtschaftlichkeit

H Index für Hortungsinvestitionx Portefeuillegewichtungsfaktoren; Ausbrin-

gungsmengei Kalkulationszinsfuß, Kapitalmarktzinsfuß,

Habenzinsfuß; Index für "Ist-Größe" xij Istwerte

i* Zinserwartung xsj Sollwerte

j Laufindex für Umweltzustände Z AmortisationszeitKK Kapitalkosten

Symbolverzeichnis 373

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Zimmermann, Ewald: Koordination der Investitionsentscheidungen bei divisiona-ler Organisationsstruktur, Bochum 1974.


SchlagwortverzeichnisAbbruchentscheidung; 124Ablauforganisation; 52Ablehnungsentscheidung; 158Absatzmarktpartner; 19; 20Absatzpläne; 335Absatzplanung; 50; 360Absatzvorgänge; 18Abschlußprüfer; 353Abschreibungsbasis; 259; 263Abschreibungsgegenwerte; 259absolute Relationsskala; 58Abweichungen erster Ordnung; 362; 363Abweichungen höherer Ordnung; 362; 364Abweichungsanalyse; 48; 366Abweichungsanalysemethoden; 362Abweichungsfaktoren; 261; 262; 263; 265; 269; 281Abweichungsinterdependenz; 362Abweichungsursachen; 336; 366Abzinsung; 60Abzinsungsfaktoren; 106; 157; 158; 175; 176; 177; 180;191; 192; 199; 201; 208Agent; 92Akquisition; 41Aktiengesellschaften; 353aktive Finanzierung; 30aktive Kreditgeschäfte; 29; 30alternative Abweichungsanalyse; 363; 364Alternative; 139; 241Alternativenbewertung; 138; 139; 288Alternativenbildung; 138; 139; 141; 247; 252; 288Amortisationsdauer; 367Amortisationsrechnung; 251; 283; 284; 285; 361Amortisationszeit; 283; 284; 286Anfangsauszahlungen; 66Anfangsauszahlungsdifferenzinvestition; 240; 241; 247Anfangsinvestition; 40Anfangsinvestitionsvolumen; 110Anfangskassenbestand; 160Anlageinvestitionen; 37Anlagenwirtschaft; 50Anlagezinsen; 145; 249annuitäre Entnahmen; 212Annuität aller Auszahlungen; 203; 204; 205; 258Annuität aller Einzahlungen; 203; 204Annuität aller Einzahlungsüberschüsse; 204; 206; 207Annuität der Abschreibungsbasis; 261; 268Annuität der laufenden periodischen Auszahlungen; 258;264; 269; 272Annuität der laufenden periodischen Einzahlungen; 267;269; 272Annuität des Investitionsvolumens; 205; 207; 211; 259;261Annuität des maximal zahlbaren Preises; 204; 207; 211Annuität des um den Liquidationserlös modifiziertenInvestitionsvolumens; 259; 261; 268Annuität; 118; 121; 130; 198; 201Annuitätenfaktor; 200Annuitätenmethode; 138; 198; 207; 214; 258; 260

Anregungs- oder Problemstellungsphase; 46Anschaffungskosten; 259Äquivalenzrelation; 82; 83; 84; 169; 222; 223Arbeitsentgelte; 253Arbeitsteilung; 50Arbitrage; 152Artenpräferenz; 64Aufbauorganisation; 52Aufgabenanalyse; 52Aufgabensynthese; 52Aufklärungs- und Beeinflussungsfunktion; 336Aufnahmezinsen; 145; 249Aufsichtsrat; 353Auftragsprüfung; 352Aufzinsungsfaktoren; 99; 175; 192; 193; 208Ausführungsgenehmigung; 55Ausgaben; 31; 32; 33ausgabenbestimmter Investitionsbegriff; 28; 31Auswahl der auszuwertenden Abweichungen; 366Auszahlungen; 18; 31; 33; 35; 58; 252; 284Auszahlungsannuität; 203; 204; 205; 258Auszahlungsersparnis; 73auszahlungsgleiche Kosten; 272Auszahlungsminderbetrag; 74; 163; 233autonome Finanzierungsmittel; 160; 167; 168; 326autoritärer Führungsstil; 50Axiome der Konsumnutzenmessung; 83Bargeld; 32Barwertfaktor; 118Berechnung des internen Zinsfußes; 216Berechnungsformel für den Vermögensendwert; 187;188; 190Berechnungsformel für die Annuität; 198; 200; 202Berechnungsformel für den internen Zinsfuß; 230Berechnungsformel für den Kapitalwert; 163; 167; 170Bereichsleitung; 55Beschaffungsaktivitäten; 48Beschaffungsmarktpartner; 20Beschaffungsvorgänge; 18Beteiligungs- und Forderungstitel; 30Beteiligungserwerb; 41Beteiligungstitel; 38Betrachtungszeitraum; 71; 81betragsmäßige Ergänzungsinvestitionen; 240betriebliches Kommunikationssystem; 358betriebliches Rechnungswesen; 359Betriebsmittelkombination; 143betriebsnotwendiges Vermögen; 30Betriebsphase; 47; 343Beurteilungsobjekt; 164Bewertungsphase; 47Bewilligungsverfahren; 50Bezugszeitpunkt; 58; 191; 193Bezugszeitraum; 207; 211Bildungsinvestitionen; 38Buchgeld; 32; 38Bundesanleihen; 145Capital Asset Pricing-Modell; 330

Schlagwortverzeichnis 381

Cash Flow; 20; 272; 283Challenger; 257; 258Controlling-Abteilung; 353Controlling; 335; 336; 337Cut-off-Rate; 291; 293; 294; 295Dagobert-Duck-Syndrom; 59Darlehensschuld; 24Dean-Modell bei externer Finanzierung; 292; 295Dean-Modell bei interner Finanzierung; 291Deckungskriterium; 225Defender; 257; 258Definitionsgleichung des Kapitalwerts; 163; 165Definitionsgleichung für den Vermögensendwert; 189Delegation von Entscheidungen; 50; 343Desinvestition; 26dezentrale Datengewinnung; 355dezentrale Datenverarbeitung; 356dezentrale Überwachung; 355Dezentralisation; 50; 53diagonales Wachstum; 41; 42Differenzinvestition; 240Differenzkapitalwert; 133Differenzmethode; 240direkte Messungen; 359Diskontierung; 60Diskontierungssummenfaktor; 175diskontinuierliche Betrachtungsweise; 125; 126; 127; 129diskontinuierlicher Rückfluß der Abschreibungsgegen-werte; 264; 268; 273; 275; 276; 279Diversifikationseffekte; 315Diversifikationsinvestitionen; 41; 42; 54; 266divisionale Organisation; 54dominierte Wertpapiere; 306; 318Durchführungsalternativen; 140; 141; 142; 169; 215durchschnittlich gebundenes Kapital; 259; 281durchschnittliche Unternehmensrenditen; 249Durchschnittseinzahlungen; 66; 68; 77; 79Durchschnittskostensatz; 90; 92Durchschnittsrechnung; 283Durchschnittsrentabilität; 90; 92dynamische Abschreibung; 205dynamische Amortisationsrechnung; 284dynamische Investitionsrechnungsmethoden; 137; 162Ebene der eigentlichen Betriebsleistung; 338Ebene der Planung der eigentlichen Betriebsleistung; 338Ebene der Planung der Planung ersten Grades; 338echte Durchschnittswerte; 252effiziente Konsumpläne; 83; 84Effizienzlinie; 319; 320; 321; 324; 325eigenfinanziertes Gesamtportefeuille; 329Eigenfinanzierungsstrategie; 245Eigenkapitalgeber; 18Eigenkapitalrentabilität; 270Eigenkontrollen; 352; 355Eigenprüfung; 352eingesetztes Kapital; 68; 270Einkommen; 64Einkommensmaximierung; 59; 63Einkommensmotiv; 59einmalige Investition; 98; 121einmaliger Ersatz; 128; 129

Einnahmen; 31; 32; 33einperiodiger Fall; 163; 186Eintrittswahrscheinlichkeit; 308Einzahlungen; 18; 31; 33; 35; 58; 66; 172; 252; 284Einzahlungsannuität; 203; 204Einzahlungsdifferenzinvestition; 240; 242Einzahlungsmehrbetrag; 74; 186; 194; 198; 233Einzahlungsüberschüsse; 220Einzelabweichungen; 362Einzelauswertung; 366endliche identische Investitionskette; 117endliche nachschüssige Rente; 171; 175; 190endliche vorschüssige Rente; 174; 175; 190; 191endogener Kalkulationszinssatz; 291; 293; 294Energiekosten; 253Entnahmemaximierung; 59; 60; 61Entnahmemotiv; 59Entnahmen für Konsumzwecke; 64; 178; 179; 196; 212Entnahmestreben; 59Entnahmestruktur; 62; 178; 183; 191; 196; 212Entnahmestrukturfaktoren; 61Entscheidung über das Sachinvestitionsvolumen; 69Entscheidungen über Konsum und Investition; 81Entscheidungsfeld; 140Entscheidungsfeldbezogenheit; 183Entscheidungsfreiheit; 141Entscheidungsinstanz; 334Entscheidungskollegien; 55Entscheidungskompetenz; 55entscheidungslogische Ungewißheit; 65Entscheidungsphase; 47entscheidungsrelevante Erlöse; 266entscheidungsrelevante Kosten; 266Entscheidungssituation; 51Entscheidungssubjekt; 81; 140Entscheidungstheorie; 35Entscheidungswert; 182; 193Entscheidungszeitpunkt; 58; 146Entscheidungszwang; 140; 141Ergänzungsinvestitionen; 138; 240; 241; 242; 243Ergebniskontrollen; 339; 340Ergebnismatrix; 46Ergebnisse; 35Erhaltungsinvestitionen; 40Erlös; 70; 128; 252; 266Erprobungsaktivitäten; 48Errichtungsinvestition; 40Ersatzanlage; 257Ersatzinvestitionen; 40; 41; 51; 54; 116Ersatzobjekt; 129; 130; 131; 133; 136Ersatzzeitpunkt; 115Erstellungstermine; 343Erstinvestition; 40Ertragsannuität; 203Ertragswert; 148; 151Ertragszuwächse; 66Erweiterungsinvestitionen; 41; 42; 54; 253erwerbswirtschaftliches Prinzip; 32Ex-ante-Regelung; 341Ex-post-Regelung; 341Exklusionsprinzip; 140

382 Schlagwortverzeichnis

externe Finanzierung; 290; 291externe Investitionskontrolle; 353externes Wachstum; 41Extremierungsvorschrift; 65Fehlinvestitionen; 51Fertigungsmaterial; 253Feststellungs- und Vergleichsfunktion; 336fiktive Periode; 252Finanzanlagen; 29finanzierbare Investition; 166Finanzierung i.e.S.; 18; 19Finanzierung i.w.S.; 18; 23; 24; 30Finanzierung; 28; 31; 166Finanzierungsmittel; 30Finanzierungsmöglichkeiten; 290Finanzierungspläne; 354Finanzierungsplanung; 81Finanzierungsstrategie; 168Finanzierungstitel; 144; 145; 148; 155; 247Finanzinvestition; 23; 37; 38; 39; 58; 66; 69; 70; 71; 73;76; 90; 92; 94; 99; 106; 144; 163; 168; 198; 215; 233Finanzinvestitionsvolumen; 73Finanzinvestitionsvorgang; 25Finanzmarktpartner; 18; 19finanzmathematische Amortisationsrechnung; 285; 286finanzmathematische Investitionsrechnungsverfahren;139; 144Finanzplan; 179; 185; 298Finanzplanung; 50Finanzvermögen; 23; 32Fisher-Hirshleifer-Modell; 81; 86; 87; 88; 90; 91; 92; 93;248Fisher-Kriterium; 170Fisher-Separations-Theorem; 92flexible Gewinnvergleichsrechnung; 266flexible Kostenvergleichsrechnung; 254; 255; 256Forderungstitel; 38Formalziel; 21formelles Kommunikationssystem; 359Forschungs- und Entwicklungsinvestitionen; 38; 50Fremdfinanzierungsstrategie; 246Fremdkapital; 92Fremdkapitalgeber; 18Fremdkapitalkostensatz; 94; 218; 221Fremdkontrollen; 352; 353; 355fundamentale Ungewißheit; 65Fundamentalprinzip; 169; 170; 207Funktionen der Investitionskontrolle; 343Funktionen des Controlling; 336funktionsgleiches Investitionsobjekt; 253Funktionstrennung; 352Fusion; 41gebundenes Kapital; 270; 273; 279; 284Gegenstand der Investitionskontrolle; 338Gegenwartspräferenz; 92; 94; 165Gegenwartswert aller Auszahlungen; 173Gegenwartswert aller Einzahlungen; 173; 199Geld für Investitionszwecke; 30Geld; 26; 38Geldgeber; 30Geldkapital; 31

Geldnehmer; 30Geldvermögen; 31geldwirtschaftlicher Transformationsprozeß; 18Gemeinkostenmaterial; 253gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion; 307; 308; 309generelle und fallweise Regelungen; 52Genossenschaften; 353Gesamtabweichung; 362; 363; 364; 365; 366Gesamteinzahlungen; 66; 68; 69; 70; 76; 79; 88; 100;102; 107gesamteinzahlungsgleiches Finanzinvestitionsvolumen;74Gesamtkapitalrentabilität; 68; 214; 216; 270Gesamtportefeuille; 323; 327Gesellschaften mit beschränkter Haftung; 353Gesetz der Ersatzinvestition; 116; 117; 131Gewährleistungsvereinbarungen; 354Gewerbeaufsichtsämter; 54gewerbliche Schutzrechte; 37Gewinn; 70; 128; 252Gewinnannuität; 203; 267Gewinnpläne; 335Gewinnschwelle; 266Gewinnvergleichsrechnung; 266; 361globale Investitionskontrollen; 348Gossensches Gesetz der Bedürfnissättigung; 84Grenzeinzahlungen; 66; 68; 71; 76; 77; 88; 89; 90; 102;109; 111; 133; 236Grenzeinzahlungsfunktion; 71Grenzkapitalrentabilität; 68; 71; 88; 90; 92; 94; 164; 165Grenzkapitalwert; 112; 113; 119; 121Grenzkostensatz; 90; 92Grenzrate der Konsumsubstitution; 89; 90Grenzverlust; 135Grenzwert; 182Großinvestitionen; 55Großreparatur; 41Grundsatz der Extensionsentsprechung; 270Grundsatz der Gegenüberstellung gleicher Kennzahlen;361Grundsatz der vollständigen Erfassung aller Zahlungen;172Gründungsinvestition; 40Güterabgang; 33güterwirtschaftlicher Transformationsprozeß; 19; 21Güterzugang; 33Habenzins; 144; 146; 164; 168Habenzinskurve; 94Habenzinsstruktur; 145Handlungsbezogenheit; 183Handlungsresultate; 46Häufigkeit der Investitionskontrollen; 349heterogene Ergebnisdefinition; 64Höhenmerkmal; 59Höhenpräferenz; 59; 60; 65; 69; 161; 163homogene Ergebnisdefinition; 59; 65; 161horizontales Wachstum; 41Horte auf Abruf; 31Hortung; 69Hortungsinvestition; 79; 88; 89; 90; 92identische Investitionen; 116


identischer Ersatz; 41Identitätsprinzip; 34; 143immaterielle Realinvestitionen; 37Inbetriebnahme der Sachinvestition; 48Indifferenzlinien; 84indirekte Messungen; 359individuelle Investitionskontrollen; 348ineffiziente Konsumpläne; 84Information; 335Informationsfunktion; 343Informationsgewinnung; 357; 358informelles Kommunikationssystem; 359Input-Output-Prozeß; 34Installationsaktivitäten; 48Instandhaltungen; 50Instandhaltungskosten; 253interessierender Sachverhalt; 35; 59interne Finanzierung; 290interne Fremdkontrollen; 353interne Investitionskontrollen; 352; 353Interne Revision; 352; 353interne Zinsfußmethode; 138; 214; 215; 237; 361interner Zinsfuß; 214; 215; 222; 223; 228; 230; 235; 236;238; 272; 275; 277; 278; 279; 291: 367internes Wachstum; 41inverse Zinsstruktur; 145; 146; 191; 192; 207Investition i.e.S.; 20; 21; 22; 26; 31; 34; 37; 58Investition i.w.S.; 23; 24; 26; 28; 30; 40Investition; 17; 18; 28; 31; 34; 781; 144; 166; 226; 227Investitionen im Zusammenhang mit dem Aufbau derUnternehmung; 40Investitionen im Zusammenhang mit dem Wachstum derUnternehmung; 40; 41Investitionen im Zusammenhang mit der Fortführung derUnternehmung; 40Investitions- und Finanzierungspläne; 335Investitionsablauforganisation; 53; 55; 56Investitionsalternativen; 46; 142; 144; 169; 343Investitionsanregungen; 54Investitionsanträge; 55Investitionsarten; 17; 37Investitionsaufbauorganisation; 52; 53Investitionsausschüsse; 54; 55Investitionsbereich; 31; 49Investitionsbudget; 54; 339Investitionsdauer; 59; 66; 97; 102; 161Investitionseinzelentscheidung i.e.S.; 140Investitionseinzelentscheidungen; 137; 138; 139; 140;141; 143; 161; 162; 243; 251Investitionsentscheidungsprozeß; 44Investitionsformulare; 53Investitionsgüter; 33Investitionshandbücher; 53Investitionshandlungen; 143Investitionskalküle; 57; 58Investitionskette; 112; 115; 121; 131; 133; 161Investitionskontrollbericht; 367Investitionskontrolle; 48; 55; 331; 334; 338; 340; 342;357Investitionsmöglichkeiten; 290Investitionsnachrechnungen; 355; 356; 361

Investitionsobjekte; 37; 40; 141; 142; 143; 144; 169; 191;252; 346Investitionsorganisation; 43; 44; 52Investitionsplanung; 28; 48; 50; 81; 341; 342; 344; 346Investitionsplanungsmodell; 81Investitionspolitik; 340; 341Investitionsprogrammbewertung; 288Investitionsprogrammbildung; 288Investitionsprogramme; 47; 139; 238; 288Investitionsprogrammentscheidungen; 138; 139; 287;288Investitionsprozeß; 28; 43; 334; 344Investitionsrealisation; 342Investitionsrechnungen; 51; 58Investitionsrichtlinien; 53Investitionsrückfluß; 21Investitionsverhalten; 342Investitionsvolumen; 57; 66; 67; 69; 70; 75; 76; 79; 88;89; 102; 161; 205; 231; 238; 239; 270; 271Investitionsvorrechnungen; 354; 361Investitionswahlentscheidung; 140Investitionszwang; 244Investitionszweck; 40; 42Investor; 140Ist-Größen; 359Ist-Ist-Vergleiche; 360Ist-Plan-Vergleich; 341Istwerterfasser; 333Kalkulationszinsfuß; 138; 144; 146; 154; 158; 230; 236;244; 249; 285; 291kalkulatorische Abschreibungen; 205; 253; 257; 259;271; 279; 283kalkulatorische Zinsen; 205; 253; 257; 259; 283Kapazitätsauslastung; 343Kapital; 23; 26; 28; 30Kapitalangebotskurve; 290; 291; 297Kapitalanlagen; 144; 152Kapitalbereich; 31Kapitalbindung; 284Kapitalbindungsfunktion; 270; 271Kapitalbudget; 290; 292Kapitalbudgetierungsmodelle; 288; 290Kapitaldienst; 136; 165Kapitalherkunft; 23Kapitalkosten; 258; 259Kapitalmarkt; 166Kapitalmarktanlagen; 152; 327Kapitalmarktlinie; 324; 326; 327; 330Kapitalmarktstrategien; 154Kapitalmarktzins; 62; 90; 92; 146; 166; 168; 215; 222;226; 228; 229; 230; 236Kapitalnachfragekurve; 290; 291; 297Kapitalrentabilität; 214; 270; 279Kapitalrückfluß; 284Kapitalrückflußzeit; 283kapitaltheoretische Investitionsprogrammodelle; 288Kapitalverwendung; 24Kapitalwert; 61; 62; 63; 64; 74; 75; 94; 105; 107; 110;119; 163; 167; 173; 177; 193; 195;199; 210; 233; 235;236; 286; 367Kapitalwertabweichung; 366


Kapitalwertannuität; 62; 203; 206; 207; 209; 210; 211;267; 268Kapitalwertformel für den einperiodigen Fall; 216Kapitalwertfunktion für eine einperiodige Investition;217Kapitalwertfunktion für eine zweiperiodige Investition;219; 221; 222; 225; 229Kapitalwertfunktion nach der Zeit; 105Kapitalwertfunktionen; 226; 227; 233; 237; 286; 293;295; 296Kapitalwertmethode; 138; 163; 189; 214; 237; 244; 361kardinale Nutzenmessung; 86Kasse; 23Kassenabfluß; 33Kassenhaltung; 69Kasseninvestitionen; 23Kassenzufluß; 33Käufersituation; 74kaufmännische Kapitalisierungsformel; 118; 171Kleininvestitionen; 50Kleininvestitionsfonds; 54kombinationsbestimmter Investitionsbegriff; 28; 33Kommunikations- und Leitungssystem; 52Kommunikationskanäle; 359Kommunikationssystem; 358kompensierende Rückkopplung; 332Komplementärinvestition; 240Konsum; 81Konsumentscheidungen; 92Konsumnutzenfunktion; 82; 85; 89; 90; 92; 94Konsumnutzengebirge; 82; 85Konsumnutzenmessung; 81; 85Konsumpläne; 81; 89; 165; 185Konsumplanung; 81; 178; 191Konsumplanungsmodell; 81Konsumpräferenzen; 81; 245; 246Konsumsättigung; 84kontinuierliche Betrachtungsweise; 99; 125; 129kontinuierlicher Rückfluß der Abschreibungsgegenwerte;260; 263; 268; 277; 278; 279Kontroll- oder Nachrechnungen; 58Kontrollaufgabe; 357Kontrollaufwand; 348Kontrollbericht; 367Kontrollbogen; 367Kontrolldringlichkeit; 347; 348Kontrolle; 44; 48; 52; 332; 335; 337Kontrollergebnisse; 366Kontrollfeld; 336Kontrollhäufigkeit; 55; 349Kontrollinformationen; 55Kontrollnutzen; 347; 348Kontrollobjekte; 55; 339; 347Kontrollorgane; 55Kontrollphase; 48; 332Kontrollplanung; 357; 358Kontrollprogramm; 355Kontrollprozeß; 357Kontrollträger; 357Kontrollzeitpunkte; 55; 340; 351Konvexitätsaxiom; 84

Koordinationsaktivitäten; 48Koordinationsmängel; 50Korrekturmaßnahmen; 334; 337; 350Korrelationskoeffizient; 311; 312; 314; 315; 317; 318;319; 321Kosten; 70; 128; 252; 266Kostenannuität; 203Kostenarten; 253Kostenersparnis; 255; 258Kostenfunktionen; 256Kostenpläne; 335Kostenvergleichsrechnung; 253; 257; 258; 361Kovarianz; 311Kriterium des maximalen Kapitalwerts; 170kritische Auslastung; 254; 257kritische Variablen; 362kritischer Zinsfuß; 236Kumulationsrechnung; 284kumulative Abweichungsanalyse; 364Kurzläufer; 145Kybernetik; 332Lagerinvestitionen; 37laufende Auszahlungen; 133; 136; 173laufende Einzahlungen; 133; 173Leistungsmengen; 254Leistungsmengenintervall; 255Lernprozeß; 341Liefervereinbarungen; 354lineare Abschreibung; 259; 271Liquidationserlös; 59; 111; 127; 172; 190; 204; 206; 231;259; 269; 270; 271; 279Liquidationserlösmaximierung; 59liquide Mittel; 31liquides Vermögen; 59Liquidität; 35Liquiditätsbedingung; 297Liquiditätsreserven; 39Management by Exception; 50Marktportefeuille; 326Marktzinsfüße; 60Materialkosten; 253materielle Realinvestitionen; 37mathematische Programmierungsansätze; 289maximal aufnehmbarer Kapitalbetrag; 165; 167maximal zahlbarer Preis; 73; 74; 94; 106; 107;158; 164;167; 170; 178; 181; 182; 189; 193; 194; 195; 209; 210maximale Auszahlungsersparnis; 73maximaler Kapitalwert; 76maximaler Vermögenswert; 73Maximierung gleicher periodischer Entnahmen; 62Maximumprinzip; 242Mehrdeutigkeit des internen Zinsfußes; 216; 230mehrperiodige Betrachtung; 164; 186mehrperiodige diskontinuierliche Betrachtung; 132mehrperiodige kontinuierliche Betrachtungsweise; 109;110mehrwertige Erwartungen; 161; 301Merkmal der Entscheidungsfeldbezogenheit; 183Merkmal der Funktionstrennung; 352Merkmal der Handlungsbezogenheit; 183Merkmal der Systemzugehörigkeit; 352


Merkmal der Zielsystembezogenheit; 183Merkmal des Grenzwertes; 182Meßfühler; 334Metaplanung; 338Methode des internen Zinsfußes; 138; 214; 215; 237; 361Mindestverzinsungsansprüche; 249Minimumprinzip; 242Mischungsgerade; 324mitteleinsatzorientierte relative Wirtschaftlichkeit; 253Modernisierungsinvestitionen; 41; 54momentane Zinsen; 110; 129Momentanverzinsung; 100; 103; 105; 106; 113monetäre Messung von Investitionskonsequenzen; 58Monopol; 102Monopolrente; 102Motivation; 47Münzgeld; 38(µ, σ)-Prinzip; 303Nachfolgeinvestition; 112; 113; 115; 129; 133nachschüssige endliche Rente; 230; 272Nachtragsbewilligungen; 50negative Abweichung; 366negative Wirtschaftsgüter; 141Neuinvestitionen; 253nicht betriebsnotwendige Vermögensgegenstände; 39nichtfinanzielle Ziele; 39Nominalgüter; 37; 38Nominalinvestitionen; 37; 38Nominalrepräsentanten; 38normale Zinsstruktur; 145; 146; 151; 159; 160; 180Normalinvestitionen; 230; 233; 236; 238; 247; 286Notengeld; 38Null-Kupon-Anleihen; 247Nutzengebirge; 306Nutzenindifferenzlinien; 82; 84; 89; 303; 306; 319; 320;321Nutzenniveau; 82Nutzenpotential einer Investitionskontrolle; 346Nutzungsdauer; 259Nutzungsdauerdifferenzinvestition; 240; 242Nutzungsperioden; 271Nutzwertanalyse; 21Opportunitätskosten; 70; 249optimale Investitionsalternative; 139optimale Investitionsdauer; 98; 104; 105; 106; 107; 109;110; 112; 116; 117; 120; 122; 132; 286optimale Kontrollhäufigkeit; 349optimale Leistungsmenge; 255optimaler Ersatzzeitpunkt; 98; 124; 131; 133; 257optimaler Konsumplan; 90; 92; 94; 95optimales Gesamtportefeuille; 324; 325optimales Investitions- und Finanzprogramm; 292optimales Investitionsprogramm; 294optimales Kapitalbudget; 296; 297optimales Sachinvestitionsvolumen; 66; 70; 71; 72; 73;75; 76; 78; 79; 80; 90; 92; 94optimales Teilportefeuille; 324; 325; 326; 327optimales Wertpapierportefeuille; 301; 318; 320; 322ordinale Konsumnutzenmessung; 81ordinale Nutzenmessung; 86Organisation der Investitionskontrolle; 352

Organisation von Investitionsprozessen; 52Organisationsanweisungen; 354Organisationsbegriff; 52Organisationsinvestitionen; 38Organisationsprüfungen; 354originärer Goodwill; 102Pareto-Dominanz-Axiom; 84; 85Partialmodelle; 288partielle Risikopräferenzfunktion; 303partieller Grenzkonsumnutzen; 89passive Finanzierung; 30Pay-off-Zeit; 283Pay-out-Zeit; 283Periodeneinzahlungsüberschuß; 127Periodenkosten; 254; 258; 268Periodenrechnung; 33periodische Entnahmen; 61periodisierte Erfolgsgrößen; 252peripher substitutionale Konsumnutzenfunktion; 86Personalkosten; 253Personalnebenkosten; 253Pflichtprüfungen; 353Phase der Willensbildung; 55; 342Phase der Willensdurchsetzung; 47; 343Phasen des Investitionsentscheidungsprozesses; 44; 53;54Phasen des rationalen Handelns; 44Phasen eines Entscheidungsprozesses; 44Phasen eines Planungsprozesses; 44; 45Plan-Größen; 359Planabweichungen; 362Planalternativen; 46Planausführung; 47; 48; 343Planempfänger; 47Planung ersten Grades; 338Planung zweiten Grades; 338Planung; 44; 48; 52; 332; 335; 338Planungs- oder Vorrechnungen; 58Planungsprozeß; 51Planungsverfahren; 339Planverwirklichung; 47Point-Input-Point-Output-Modell; 66Portfolioinvestitionen; 42positive Abweichungen; 366positive Wirtschaftsgüter; 141Postnumerandozinssatz; 191Präferenzen höherer Ordnung; 81Präferenzen niederer Ordnung; 59Pränumerandozinssatz; 191primäre Abweichungen; 362; 363; 364; 365; 366primäre Zahlungen; 212Primärinvestition; 28Prinzip der Rückkopplung; 332Prinzipal; 92Produktbreite; 42Produktionsplanung; 50produktionstheoretische Investitionsprogrammodelle;288Produktionstiefe; 42Prognoseverfahren; 360Prüfungsunterlagen; 354


Randverteilungen; 307; 308rangbeste Investitionsalternative; 139rationale Entscheidungen; 163; 165; 190; 207rationale Wahl; 241rationales Handeln; 44; 166; 286Rationalisierungsinvestitionen; 41; 54; 253; 255Real- und Nominalgüter; 24reale Periode; 252Realgüter; 37; 38Realinvestitionen; 32; 37; 40; 42Realisation; 44; 52; 332; 338Realisationsphase; 47; 343Realvermögen; 31; 32Rechnungshöfe; 353Rechnungsprüfungsämter; 353Redepflicht; 354Reflexivitätsaxiom; 82Regelkreis; 332; 334Regelstrecke; 334Regelsystem; 333Regelungen über die Beurteilung und Auswahl vonInvestitionsanträgen; 53; 54Regelungen über die Investitionsdurchführung; 53; 55Regelungen über die Kontrolle der Investitionsaktivitä-ten; 53; 55Regelungen über die Weitergabe der Investitionsvor-schläge; 53; 54Regelungen über Initiierung von Investitionsvorschlägen;53; 54Regler; 334Reifemodell; 99; 104; 112; 114; 120; 126; 129Reinvestitionen; 40Rekursivität des Entscheidungsprozesses; 46relative Wirtschaftlichkeit; 253relevante Kosten; 253Renditeerwartungswert; 301; 303; 307; 308; 309; 313;315; 316; 323; 328Renditestrukturen; 145; 146Rentabilität; 68; 272; 275; 278; 279Rentabilitätskennziffer; 218Rentabilitätsvergleichsrechnung; 270; 279; 280; 282;284; 361Rentenbarwertfaktoren; 171; 175; 200; 201; 208; 231;232Rentenendwertfaktoren; 190; 191; 201; 202; 208; 209repräsentativer Gewinn; 266Restbuchwert; 127Restverkaufserlös; 257Restwert; 270Risikoaversion; 303; 304; 305Risikofreude; 303Risikoindifferenz; 303; 305Risikopräferenzfunktion; 303; 304; 324Risikosituation; 65Rückflußzeitpunkte; 271; 276Rückkopplung; 332Rückwärtsverteilungsfaktoren; 202; 204; 206; 208; 209Sachinvestitionen; 23; 37; 46; 58; 66; 67; 69; 70; 71; 73;76; 88; 90; 92; 94; 98; 106; 143; 144; 163; 198; 215Sachinvestitionskurve; 89Sachinvestitionsvolumen; 73; 74; 79; 90; 107

Sachinvestitionsvorgang; 25Sachvermögen; 23; 31Sättigungsniveau; 84Schätzgenauigkeit der Daten der Investitionsplanung;346Schulden; 142schwache Konvexität; 84Schwachstellen im Investitionsbereich; 49Schwachstellen im Planungsprozeß; 342schwarze Investitionen; 50sekundäre Zahlungen; 212Selbstkontrollen; 352Sensibilitätsanalysen; 362Separation der Investitionsentscheidungen; 147sichere Erwartungen; 161Sicherheitsmerkmal; 59Sicherheitspräferenz; 65; 161Sicherheitssituation; 65simultane Planungsansätze; 289sofortiger Ersatz; 124Soll-Größen; 359; 360Soll-Ist-Vergleiche; 48; 334; 336; 360; 361Soll-Soll-Vergleiche; 360Soll-Wird-Vergleiche; 360; 361Sollwert; 334Sollzins; 144; 146; 165; 168Sollzinsstruktur; 145; 166Sollzustand; 334Sonderbewilligungen; 50Sparprinzip; 21; 135staatliche Unternehmen; 353stabile Zinsstruktur; 145; 146; 147; 148; 149; 150; 161;168; 175; 176; 200; 202; 215; 223; 226; 230; 243; 247Stabsabteilungen; 54Stabsstellen; 54Standardabweichung; 301; 307; 309; 313; 323; 328starke Konvexität; 84starre Gewinnvergleichsrechnung; 266; 267starre Kostenvergleichsrechnung; 254; 255statische Amortisationsrechnung; 283statische Investitionsrechnungsmethoden; 251; 252Stellgröße; 334Stetigkeitsaxiom; 82; 83steuerliche Konsequenzen; 51Steuerung; 335Steuerungsfunktion; 335; 361Struktur der künftigen Zahlungen; 297Strukturparameter; 66Strukturvermögen; 35Stückkosten; 254Suchphase; 46summarische Auswertung; 366summarische Investitionskontrolle; 348Supplementinvestition; 240Systemansatz; 332Systemzugehörigkeit; 352Tangentialportefeuille; 326tatsächlicher Preis; 74; 94Teilabweichungen; 362; 363; 364; 365Teilbarkeit einer Investition; 38teilbereichsbezogene Investitionskontrollen; 348


teilfremdfinanziertes Gesamtportefeuille; 330Teilkontrollen; 345Teilrechnung; 361; 362Termingeschäft; 156Tilgung; 136; 165Tilgungsbetrag; 205Tilgungszahlungen; 38total substitutionale Konsumnutzenfunktion; 86totale Risikopräferenzfunktion; 306totales Grenznutzenprodukt; 89Totalmodelle; 288Totalrechnung; 33Träger der Investitionskontrolle; 352Transaktionskasse; 30Transformationskurve; 89; 90Transitivitätsaxiom; 82Überlastung der Leitungsorgane; 50Überschuß aus einer Kapitalnutzung; 68; 270Umfang der Investitionskontrolle; 345Umfinanzierung; 24Umhüllungskurve; 322Umlaufvermögen; 35Umweltbedingungen; 46Umweltzustände; 46; 307Umweltzustandsraum; 307unechte Durchschnittswerte; 252unendliche identische Investitionskette; 117; 118; 119;120; 124; 129; 130; 134; 136; 136unendliche nachschüssige Rente; 171; 175; 232unendliche vorschüssige Rente; 174; 175Unersättlichkeit der Wünsche; 84Ungewißheit; 65Unsicherheitssituation; 65Unterlassensalternative; 139; 140; 141; 169; 194; 209;227; 233; 245; 255Unternehmungserwerb; 41Unternehmungsleitung; 55unvollkommener Kapitalmarkt; 168; 294Varianz; 301Verbesserungsinvestitionen; 41; 54Verfahrenskontrollen; 339; 340Vergabeunterlagen; 354Vergleichsalternative; 77Vergleichsbasis; 336Vergleichsergebnisse; 357Vergleichsgrößen; 336Vergleichshandlungen; 357; 360Vergleichsobjekt; 164Verhaltensbeeinflussungsfunktion; 343; 344Verkehrskonzessionen; 37Verlängerung der Investitionsdauer; 124Vermögen; 23; 26; 28vermögensbestimmter Investitionsbegriff; 28; 29; 30Vermögensendwert; 69; 70; 71; 74; 186; 195; 201; 235;236Vermögensendwertmethode; 138; 186; 189; 214Vermögensgegenstand; 142Vermögensmaximierung; 59; 60; 63Vermögensmehrung; 69Vermögensmotiv; 59; 63Vermögensstreben; 59

Vermögenswert; 69; 70; 71; 74; 186; 195; 201; 235; 236Vermögenszuwachs; 63; 64Verrentung; 204Verschuldungsgrad; 328vertikales Wachstum; 41; 42Verzinsungsenergie; 100Verzinsungsintensität; 100Verzinsungsperiode; 100vollkommener Kapitalmarkt; 60; 61; 90; 144; 145; 151;161; 294Vollkontrollen; 345Vollrechnung; 361vollständiger Finanzplan; 179; 185; 196; 197; 212; 213;246Vollständigkeitsaxiom; 81; 82Vorgabegröße; 336Vorgängerinvestition; 115Vorrats- oder Lagerinvestitionen; 37vorschüssige gleichbleibende Rente; 174Vorteilhaftigkeitskriterium der internen Zinsfußmethode;225Wahlsituation; 51; 74; 140; 165; 169; 190; 191; 207; 215Wahrscheinlichkeitsfunktion; 302Warenkreditschuld; 24Werbeinvestitionen; 38Werkzeugkosten; 253Wertpapiermischung; 316Wertpapiermischungslinie; 319; 320Wertpapierportefeuille; 301; 318; 306; 311; 320; 322Wiederanlage; 241Wiederanlageprämisse; 138; 240; 243; 244Wiedergeldwerdung; 28Wiedergewinnungsfaktoren; 118; 200; 204; 205; 208;231; 232; 274; 277; 280; 281wiederholte Investition; 98; 112Willensbildungsprozeß; 47Wird-Größen; 359; 360Wird-Ist-Vergleiche; 360Wird-sein-Plan-Vergleiche; 341Wird-Wird-Vergleiche; 360Wirtschaftlichkeit; 253; 254Wirtschaftlichkeitsprinzip; 135; 242Wirtschaftsprüfer; 353Wohlstandsmaximierung; 59; 63Wohlstandsstreben; 59Wohlstandszuwachs; 64X-Investition; 240Zahlungsbereich; 31zahlungsbestimmter Investitionsbegriff; 32; 33Zahlungsfähigkeit; 35Zahlungsmittel; 18; 31; 32; 64Zahlungsmittelbestand; 59; 65; 233Zahlungsreihe; 58; 226; 227Zahlungsstrom; 18; 21; 34; 35; 58; 60Zahlungszurechnungsproblematik; 142Zeitaspekte der Investitionskontrolle; 349zeitliche Entnahmestruktur; 61zeitliche Ergänzungsinvestitionen; 240zeitliche Zahlungsstruktur; 60; 64; 299zeitlicher Grenzgewinn; 105; 115; 127; 128; 129; 133Zeitmerkmal; 59


Zeitpräferenz; 60; 64; 65; 161; 178Zeitspanne des Finanzierungsvorgangs; 18Zeitspanne des geldwirtschaftlichen Transformationspro-zesses; 18Zeitspanne des Investitionsvorgangs; 20Zeitstruktur der gewünschten Zahlungen; 64zentrale Datengewinnung; 355zentrale Datenverarbeitung; 356zentrale Kontrollinstanz; 356zentrale Überwachung; 355Ziele der Investitionskontrolle; 340; 350Zielgrößen; 35Zielharmonie; 21Zielsetzungen für Investitionskalküle; 57; 58Zielsystembezogenheit; 183Zinsänderungsrisiko; 145Zinsbetrag; 205Zinserwartungen; 151; 154; 158; 160Zinseszinsrechnung; 244Zinssätze; 144; 145; 152; 157; 158; 159Zinsstruktur; 145; 146; 147; 151; 154; 158; 161; 176;179; 183; 202Zinsstrukturmatrix; 154Zinszahlungen; 38Zukunftsaussichten; 166Zurechnungsprobleme; 359; 361Zusatzinvestition; 240Zwangssituation; 51zweckerfolgsorientierte relative Wirtschaftlichkeit; 254Zwei-Zeitpunkte-Modell; 66; 81


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Investitionsplanung und -kontrolle - EconBiz...Einige Bemerkungen zur Stoffauswahl und zum Inhalt der Vorlesungen 7 men wird ein ertragsgesetzlicher Zusammenhang zwischen der erwarteten