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explicacion de la programacion lienal y el metodo transportes
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Investigacin OperativaProfesor Milton Crtes Araya
Departamento de Matemticas
R E A L I Z A D O P O R O S C A R S O L N .
Programacin Lineal(PL)
R E A L I Z A D O P O R O S C A R S O L N .
Programacin Lineal
La programacin lineal(PL) es una herramienta para resolver problemas de
optimizacin. En 1947, George Dantzing creo
un mtodo eficaz, el algoritmo simplex, para resolver problemas de
programacin lineal. A partir del surgimiento del algoritmo simple, se ha usado
la programacin lineal para resolver problemas de optimizacin en industrias tan
diversas como la banca, la educacin, la civil cultura, el petrleo y el transporte.
La programacin lineal como su nombre lo indica requiere que las funciones
matemticas que constituyen el modelo sean lineales
R E A L I Z A D O P O R O S C A R S O L N .
Programacin Lineal
Maximizar o minimizar una funcin
(llamada funcin objetivo)
Sujeto a
Tal que
R E A L I Z A D O P O R O S C A R S O L N .
Programacin Lineal
Donde
R E A L I Z A D O P O R O S C A R S O L N .
El mtodo grafico
R E A L I Z A D O P O R O S C A R S O L N .
El mtodo grafico
Un problema de programacin lineal que presente solamente dos variables puede resolverse grficamente. Los pasos a seguir son los siguiente:
Plantear en forma matemtica el problema.
Graficar o trazar las restricciones.
Se determina la regin de factibilidad identificando los puntos solucin que satisfacen en forma simultnea todas las restricciones.
Se traza una recta de la funcin objetivo para un valor especfico de dicha funcin, teniendo en cuenta que sta pase por la regin factible
Se desplazan rectas paralelas a las recta de la funcin objetivo en direccin de los valores ms altos(o ms bajos) de dicha funcin, hasta que una de las rectas paralelas tenga un nico punto en comn con la regin de las soluciones de la regin de factibilidad. El punto en comn es la solucin optima.
R E A L I Z A D O P O R O S C A R S O L N .
Regin de factibilidad y solucin
optima
R E A L I Z A D O P O R O S C A R S O L N .
Regin de factibilidad y solucin
optima
Regin de factibilidad
La regin de factibilidad para un modelo en programacin lineal es el conjunto
de todos los puntos que satisfacen las restricciones del modelo.
Solucin Optima
Para un problema de maximizacin , una solucin ptima para un modelo en
programacin lineal es un punto de la regin de factibilidad con el mayor valor
de la funcin objetivo. Similarmente, para un problema de minimizacin, una
solucin ptima corresponde a un punto de la regin factible con el menor valor
de la funcin objetivo
R E A L I Z A D O P O R O S C A R S O L N .
Forma Estndar
R E A L I Z A D O P O R O S C A R S O L N .
Forma Estndar
Forma estndar de un modelo en programacin lineal
Variables de holgura: Son tiempos (capacidades)no utilizados que no
contribuyen en nada a las utilidades.
Variables de Excedentes: Son cantidades en exceso de algn nivel mnimo
requerido.
Luego, al aadir variables de holgura y/o excedente al modelo en programacin
lineal las restricciones se transforman en igualdades. En los casos en que las
restricciones estn expresadas mediante igualdades, se dice que el modelo est
en forma estndar
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Forma Estndar
Ejemplo:
Escribir el ejemplo de los soldados y trenes en forma estndar
Solucin:
En este caso el modelo en forma estndar es:
(1, 2) = 31+22 + 01 + 02 + 03
Sujeto a
21 + 2 + 1 = 1001 + 2 + 2 = 80
1 + 3 = 40
Tal que 1, 2, 1, 2, 3 0
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Anlisis de sensibilidad
R E A L I Z A D O P O R O S C A R S O L N .
Anlisis de sensibilidad
El anlisis de sensibilidad es un procedimiento que se utiliza normalmente
despus que se obtiene la solucin ptima, y que muestra, qu tan sensible es
dicha solucin a los cambios que se realicen en los coeficientes, y en los
segundos miembros de las restricciones, de un modelo en programacin lineal.
Utilizando el anlisis de sensibilidad se pueden responder preguntas del tipo,
cmo afectar a la solucin un cambio en un coeficiente de la funcin objetivo ?
, cmo afectar a la solucin ptima un cambio en el valor del segundo miembro
de una restriccin?, en general, cmo afectar la solucin los cambios que se
hagan en el modelo?
R E A L I Z A D O P O R O S C A R S O L N .
Anlisis de sensibilidad sobre los
coeficientes de la funcin objetivo
Anlisis de sensibilidad para el ejemplo de la fabrica de juguetes de soldados
y trenes
En este caso, el modelo en programacin lineal es:
R E A L I Z A D O P O R O S C A R S O L N .
Anlisis de sensibilidad sobre los
coeficientes de la funcin objetivo
Recordemos que la solucin ptima para este problema es (20,60), es decir , para
optimizar las utilidades deben confeccionarse 20 soldados y 60 trenes. Veamos
que significara aplicar el anlisis de sensibilidad a este problema
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Intervalos de ptimalidad
Consideremos la funcin objetivo
Donde
1 2
Despejando la variable dependiente 2 se obtiene
Donde
Corresponde a la pendiente de la recta de la funcin objetivo
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Intervalos de ptimalidad
Puesto que la pendiente de la recta de la funcin objetivo se halla entre las
pendientes de las rectas L1 y L2 luego, se tiene la desigualdad:
De esto se desprende que el punto O(20,60) seguir siendo ptimo siempre que
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Intervalo de ptimalidad para para el
coeficiente c1
Para calcular el intervalo de ptimalidad del coeficiente c1 mantendremos fijo el
coeficiente c2, esto es, supondremos fija la contribucin a las utilidades de los
trenes en el valor de $2. Reemplazando este valor en
Resulta
Multiplicando la inecuacin por -1, se tiene:
Esto significa que, si mantenemos fijos los 2 dlares de utilidad para los trenes,
podemos hacer variar la contribucin de las utilidades para los soldados en el
intervalo [2,4] y el punto O(20,60), seguir siendo ptimo
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Intervalo de ptimalidad para para el
coeficiente c1
Conviene precisar que aunque la produccin ptima de soldados y trenes se
mantiene, el valor de la funcin objetivo cambiar, es decir , cambiarn las
utilidades. En efecto , reemplazando los extremos del intervalo en la funcin
objetivo, se obtiene:
2*20+2*60=160, y por otro lado 4*20+2*60=200
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La regla del 100% para C1 y C2
R E A L I Z A D O P O R O S C A R S O L N .
Regla del 100%
hemos dicho que el cambio en los coeficiente de la funcin objetivo es aplicable,
slo, para uno de cada vez. Sin embargo si respetamos la regla del 100%podemos
efectuar cambios simultneos sin que vare la solucin ptima.
Antes de aplicar la regla, debemos calcular, para cada coeficiente que se
modifica, el porcentaje de aumento o disminucin permisible que el cambio
representa.
Para un coeficiente , el aumento permisible, es la cantidad mxima en que se
puede aumentarse el coeficiente sin exceder el lmite superior del intervalo de
ptimalidad.
Y la disminucin permisible, es la cantidad mxima en que puede disminuirse el
coeficiente sin caer por debajo del limite inferior del intervalo de ptimalidad
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Regla del 100%
La regla: Para todos los coeficientes de la funcin objetivo que cambien, se
suman los porcentajes de los aumentos y las disminuciones permisibles. Si la
suma de dichos porcentajes no excede el 100% , entonces la solucin ptima no
cambiara.
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Regla del 100%
Ejemplo: Regla del 100% para los coeficientes de la funcin objetivos del
problema de los juguete de soldados y trenes
Solucin
El anlisis de sensibilidad del problema de soldado y trenes, mostro los siguientes
intervalos de ptimalidad
De tal modo que si C1=3, la cantidad mxima permisible, de aumento, es de 1
dlar.
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Regla del 100%
Supongamos que queremos aumentar el coeficiente C1 de 3 a 3.5 dlares. Esto
significa un aumento de 0.5 dlares. En consecuencia el porcentaje de aumento
para C1 es:
Por otra parte la cantidad mxima de aumento permisible, de C2, es de 1 dlar. Si
supone un aumento de C2 de 2 dlares a 2.5 , dlares esto es, un aumento de
0.5 dlares, entonces, el porcentaje de aumento de C2 es de :
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Regla del 100%
Observemos que la suma de los aumentos en ambos coeficientes es de :
Esto significa que si aumentamos ambos coeficientes en las cantidades
propuestas, entonces, la cantidad ptima de produccin de 20 soldados y 60
trenes, seguir siendo ptima y la funcin utilidad ser de:
G=3.5*20+2.5*60=220 Dlares
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Anlisis de sensibilidad sobre los
segundos miembros
de las restriccionesLos precios sombra
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Los precios sombra
Conviene preguntarse, cmo afectar a la regin de soluciones factible, o a
la solucin ptima, un cambio en los segundos miembros de las restricciones?.
Consideremos nuevamente el modelo en programacin lineal que maximiza las
utilidades de la fabricacin de soldados y trenes y supongamos que se disponen
de 10 horas ms de tiempo para la operacin de acabado, esto es, de 110 horas.
Luego, el modelo en programacin lineal es
Tal que
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Los precios sombra
Podemos observar la recta 2x1+x2< 100, se ha desplazado levemente hacia la derecha, ampliando la regin de factibilidad, luego, el punto ptimo ya no ser el mismo, en este caso es (30,50), reemplazando este valor en la funcin objetivo se obtiene una utilidad de :
G(x1,x2)=3*30+2*50=190 dlares
Podemos decir que el aumento de 10 horas en la operacin de acabado, produce un aumento de
190-180=10 dlares
Es decir, las utilidades aumentan en $1 dlar por hora.
Al cambio en el valor de la funcin objetivo, por el aumento unitario en el valor del lado derecho de las restricciones se les llama Precio Sombra
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Los precios sombra
Nota: estos precios sombras se consideran interesantes porque permiten
obtener utilidades adicionales aumentando pequeas cantidades los lados
derechos de la restricciones unitario de la restricciones el lado derecho
En general, se define el precio sombra, como el cambio en el valor de la funcin
objetivo, a causa del cambio unitario en el lado derecho de las restricciones.
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