COMPENSAREA MASURATORILOR SI STATISTICA

Reteaua de urmarire de nivelment geometric

O retea geodezica este formata din multimea punctelor situate pe suprafata pe care se desfasoara o lucrare a caror pozitie este cunoscuta intr-un sistem unitar de referinta.

Pentru studierea unui fenomen prin metode experimentale trebuie elaborat un model care sa reprezinte cat mai bine,dar intr-o forma simplificata ,realitatea fizica. De cele mai multe ori,modelele utilizate nu sunt liniare,acest lucru inpunand utilizarea unor metode matematice pentru a ajunge la solutiile cautate. In principiu,metodologia de baza ce trebuie urmata in vederea obtinerii unor rezultate corecte consta in urmatoarele:

Parametrii necunoscuti,valorile ce urmeaza a fi determinate,sunt cunoscuti(in sensul de indentificati) precum si precizia cu care vrem sa ii determinam.

In general,acesti parametri necunoscuti nu pot fi masurati direct ceea ce inseamna ca trebuie gasite niste relatii matematice care sa faca legatura intre acestia si niste cantitati care pot fi masurate(observate).Aceaste etapa de formulare a functiilor respective,care constituie modelul matematic, sta la baza procesului de determinare a parametrilor necunoscuti.

Inainte de a efectua observatiile este necesara o preanaliza care consta in:specificarea preciziei cu care dorim sa determinam parametrii necunoscuti si modelul matematic utilizat.

Masuratorile efectuate care nu se incadreaza in precizia specificata anterior(toleranta) trebuie eliminate.

Prelucrarea preliminara sau preprocesarea observatiilor trebuie inclusa in modelul mathematic prin care se calculeaza parametrii necunoscuti si precizia lor de determinare.

Evaluarea modelului mathematic in vederea completarii lui,atunci cand este cazul.

Ultima etapa consta in evaluarea parametrilor necunoscuti calculati si examinarea,daca este posibil,a compatibilitatii lor cu alte determinari independente ale acelorasi parametri.

MODELUL FUNCTIONAL-STOHASTIC

Modelele utilizate in compensarea masuratorilor se impart in doua categorii principale in functie de natura variabilelor care intervin in model,si anume modelul functional si modelul stochastic.La prelucrarea observatiilor effectuate in retelele geodezice se pot utiliza mai multe modele functional-stohastice,dintre care cel mai cunoscut este modelul Gauss-Markov.

Modelul functional Modelul functional sau determinist este modelul care nu contine variabile aleatoare,ci descrie o relatie pura intre marimi,adica la o valoare data a argumentului corespunde o singura valoare a functiei.Modelul stohastic.Modelul stohastic sau statistic este modelul care contine valorile aleatoare ce corespund efectului posibil a unor factori necontrolabili ce influenteaza procesul de prelucrare-el descrie o relatie complexa intre marimi,adica la o valoare data a argumentului corespunde un ansamblu de valori posibile ale functiei. Acest model este alcatuit din matricea de varianta-covarianta si metoda patratelor mici.Cm=Ϭ0

2*Qm,unde Qm este matricea cofactorilor masuratorilor,Ϭ02 este o

constanta denumita ‘’variatia unitatii de pondere’’ sau ‘’factor de varianta’’.

La formarea modelului functional-stohastic trebuie sa se aiba in vedere ca: Orice prelucrare a observatiilor efectuate intr-o retea de

nivelment este dirijata prin modelul functional-stohastic; Orice modificare in modelul functional-stohastic modifica

rezultatul compensarii;

Fiind dată reţeaua de urmărire de nivelment geometric din figură de mai jos, formată din 2 reperi ficşi (RF1 şi RF4) şi 7 reperi de urmărire (BV1, BV2, BV3, BV4, BV5, BV6, BV12) în care cunoaştem:

Cotele reperilor ficşi :

RF1 – 673.69394m RF4 – 674.77638m

Diferenţele de nivel măsurate pentru fiecare tronson de nivelment (măsurătorile au fost execute cu nivela Zeiss Ni007 şi mire de invar);

Număr de staţii pe tronson.

Se cere să se realizeze un studiu comparativ privind indicatorii cantitativi si calitativi obţinuţi în urma compensării reţelei utilizând Modelul Gauss-Markov şi Modelul Helmert şi o analiză a modelelor folosite.

Compensarea retelei de nivelment utilizand Modelul Gauss-Markov

Etape de calcul:

Modelul functional:V=A*X+l;

Modelul stohastic:∑=Ϭij*In;vt*p*v→minim;p-ponderea;

1.Intocmirea sistemului liniar al ecuatiilor de corectie;vij=Xj-Xi-Δhij0

-forma generala a ecuatiei de corectie(modelul functional liniarizat in cazul nivelmentului geometric);

vij=Xj-Xi+(Xj*-Xi*-Δhij0)

-modelul functional in cazul nivelmentului geometric in care parametrii necunoscuti sunt corectiile;

2.Calculul ponderilor: p=1/numar de statii;3.Calculul elementelor matricei sistemului normal:

A-matricea coeficientilor parametrilor necunoscuti.Aceasta matrice contine numai valori de 0,1 si -1.

P-matricea ponderilor; l-vectorul termenilor liberi:lij=(Xj*-Xi*-Δhij0);

4.Calculul matricei sistemului normal N-matricea sistemului normal; N=At*P*A;5.Calculul matricei inverse N-1=N*/determinant(N), unde N*-matricea adjuncta;6.Calculul vectorului parametrilor necunoscuti X=-N-1*At*P*l;7.Calculul vectorului corectiilor V=A*X+l;

8.Calculul diferentelor de nivel compensate Corectiile se aplica diferentelor de nivel masurate→diferentele de nivel compensate;9.Verificarea rezultatelor obtinute; Indiferent de traseul parcurs trebuie obtinuta aceeasi cota pentru un punct,in limita preciziei de calcul;10.Estimarea preciziilora) abaterea standard de selectie a unitatii de pondereS0=√(vt*p*v)/(n-h),unde n-numar de masuratori; h-numar de necunoscute;b) estimarea preciziei parametrilor necunoscuti Sxi=±S0√(N-1)ii;

Compensarea retelei de nivelment utilizand Modelul Helmert

Etape de calcul:

Modelul functional:

V=A*X+l;

Modelul stohastic:∑=S0*p-1;vt*p*v→minim;p=Qff-matricea cofactorilor ;

1.Stabilirea numarului ecuatiilor de conditie r-n-hn-numar de masuratori;

h-numar de necunoscute;2.Intocmirea sistemului ecuatiilor de conditie3.Calculul neinchiderilor(discordantelor); Daca se introduc elementele masurate in sistemul ecuatiilor de conditie,aceste ecuatii nu mai sunt satisfacute rezultand astfel neinchiderile;W-vectorul discordantelor;4.Intocmirea sistemului liniar al ecuatiilor de conditie A*V+W=O; W-vectorul neinchiderilor;5.Calculul matricei ponderilor; p=1/numar de statii;6.Intocmirea matricei sistemului normal; N=A*P-1*At;

A-matricea coeficientilor parametrilor necunoscuti’;7.Calculul vectorului corelatelor; K=-N-1*W K-vector correlate;8.Calculul vectorului corectiilor; V=p-1*At*K;9.Calculul marimilor compensate; li=li

0+vi;

10.Verificarea ecuatiilor de conditie initiale; Prin inlocuirea marimilor compensate in sistemul initial al ecuatiilor de conditie,acestea trebuiesc riguros satisfacute;11.Estimarea preciziilor; Vt*P*V=-Kt*W;a) abaterea standard de selectie a unitatii de pondere S0=√(vt*p*v)/(n-h),unde n-numar de masuratori; h-numar de necunoscute;

b) eroarea unei functii de marimi compensate F=ft*l; l=l0+V; F=ft*l0+ ft*V; V=P-1*At*K; K=-N-1*W; F=( ft- ft* P-1* At* N-1*A)*l0- este o transformare liniara de forma Y=A*X; In continuare se aplica dispersia unei functii de marimi compensate: D(F)=( ft- ft* P-1* At* N-1*A)*D(l0)*( ft- ft* P-1* At* N-1*A)t

Qff=( ft- ft* P-1* At* N-1*A)* P-1*(f- At* N-1*A* P-1*f)

Qff= ft* P-1*f- ft* P-1* At* N-1*A* P-1

SFi=±√ Qff