ispiti-na

NUMERICKA ANALIZA

3. 10. 2000.

1. Broj ctg75

4racunamo putem pocetnih komada MacLaurinovih redova za

funkcije cos x i sin x koristeci aritmetiku racunala, sve dok posljednji clan usvakom od zbrojeva ne padne ispod 1017. Da li ce takvo sumiranje datipriblizno tocan rezultat ili ne? Objasnite!

2. Newtonovom metodom odredite konstantu c > 1 s tocnoscu 104 takvu daje povrsina omedena pravcima y = x, y = 0, x = c i funkcijom y = ln xjednaka 2.

3. Nadite integracionu formulu oblika

2

1

x1/2f(x) dx w0f(1) + w1f(x0) , x0 = 1

iz uvjeta egzaktnosti formule na vektorskom prostoru polinoma sto veceg stup-nja.

4. Nadite koeficijente a i b, ako tocke (xi, yi), i = 0, . . . , n aproksimiramo pravcem

y(x) = ax+ b

po diskretnoj metodi najmanjih kvadrata, uz uvjet da na osi y odsjeca odsjecakz0. (Uputa: Prvo iskoristite uvjet!)

5. Izvedite metodu konacnih razlika za rubni problem za obicne linearne dife-rencijalne jednadzbe drugog reda. Kakav oblik ima matrica dobivenog linear-nog sistema?

6. Zadani su podaci (xi, yi), za i = 0, 1, . . . , n. Te podatke interpoliramo kvadrat-nim splineom. Kvadratni spline je na svakom podintervalu kvadratni polinom.Kvadratni spline interpolira zadane podatke u svim tockama, a u unutarnjimtockama tj. tockama (xi, yi), za i = 1, . . . , n 1 lijepi se jos i derivacija sus-jednih kvadratnih polinoma. Koliko je dodatnih uvjeta potrebno zadati da setaj spline moze izracunati?

NUMERICKA ANALIZA

22. 2. 2001.

1. Metodom bisekcije nadite sve nultocke funkcije

x+ 2 = thxs tocnoscu 102.


1

0

xf(x) dx w0f(x0) + f (x1)

iz uvjeta egzaktnosti na vektorskom prostoru polinoma sto viseg stupnja. Tomformulom izracunajte integral

1

0

x7/3 dx

i nadite gresku obzirom na pravu vrijednost integrala.

3. Eksplicitnom metodom rijesite hiperbolicku diferencijalnu jednadzbu

2u

x2=

u2

t2

uz rubne uvjete u(0, t) = 0 i u(4, t) = 0 te pocetni polozaj i brzinu

u(x, 0) = 2 |2x 6|u

t(x, 0) = x(x 4)

u trenutku t = 2. Koraci metode su t = x = 1, a u1i aproskimiramosimetricnom (centralnom) razlikom.

4. Poznato je opce rjesenje neke diferencijalne jednadzbe koje glasi

y(x) = c1 e25x + x2 x .

Zadan je pocetni uvjet y(1) = 2. Da li je ta diferencijalna jednadzba krutau okolini tocke -1? Objasnite!

5. Koja su dva osnovna tipa integracionih formula i po cemu se bitno razlikuju?Koje su za isti red n tocnije i zasto?

6. Zadana je funkcija f za koju na intervalu [ a, b ] vrijedi f(a) f(b) < 0. Opisi-te Newtonovu metodu za nalazenje nultocke funkcije f , uz modikaciju kojaosigurava konvergenciju metode. Koja je najlosija ocjena konvergencije temetode?

NUMERICKA ANALIZA

23. 3. 2001.

1. Newtonovom metodom nadite najvecu negativnu nultocku funkcije

sin x2 = x+1

2

s tocnoscu 104.

2. Diskretnom metodom najmanjih kvadrata nadite parametre a i b za funkcijuoblika

y(x) = ln(ax+ b)

koja aproksimira skup podataka (xi, yi), i = 0, . . . , n. Uputa: linearizirajtefunkciju.

3. Gaussovom metodom s parcijalnim pivotiranjem nadite rjesenje linearnog si-stema Ax = b, ako je

A =

1 2 14 3 2

5 4 1

, b =

001

.

4. Broj ch(10) racunamo putem pocetnog komada MacLaurinovog reda zafunkciju ch x koristeci aritmetiku racunala, sve dok prvi odbaceni clan ne budeispod zadanog malog broja . Da li ce takvo sumiranje dati priblizno tocanrezultat ili ne? Objasnite!

5. Pretpostavite da integrirate slijedece dvije funkcije Rombergovim algoritmom:

1

0

x11/4 dx i

1

0

x7/4 dx .

Da li ce aproksimacije integrala konvergirati jednakom brzinom? Objasnite!

6. Kod eksplicitnog rjesavanja hiperbolickih parcijalnih diferencijalnih jednadzbinastaje problem, jer za racunanje aproksimacije u nekom vremenskom tre-nutku, trebamo rjesenja iz prethodna dva. Zasto je to problem i kako se onrjesava?

NUMERICKA ANALIZA

5. 7. 2001.

1. Vrijednost funkcije u tocki 1.5 aproksimiramo koristenjem notaknot spli-nea koji prolazi tockama

xi 0 1 2 3yi 2 1 1 0 .

2. Metodom bisekcije nadite najmanje pozitivno rjesenje jednadzbe

x sin x = x+ 5

s tocnoscu 102.

3. Zadan je linearni sistem Ax = b, gdje je

A =

1 0 21 6 04 0 1

, b =

120

.

Preformulirajte taj linearni sistem tako da se sigurno moze rijesiti GaussSeidelovom metodom. Nakon toga, napravite jedan korak metode, ako jepocetni vektor

x0 =

120

.


2

1

x1/3f(x) dx w0f(1) + w1f(x0) , x0 = 1

iz uvjeta egzaktnosti formule na vektorskom prostoru polinoma sto veceg stup-nja.

5. Pretpostavite da interpolirate zadani skup podataka (xi, yi), i = 1, 2, . . . , nkubicnim splineom i po dijelovima Hermiteovom kubicnom interpolacijom.Promijenite li neki podatak (xk, yk) u (xk, y

k), koliko kubnih polinoma ce se

promijeniti u jednom, a koliko u drugom slucaju i zasto?

6. Sto je red konvergencije niza aproksimacija? Ilustrirajte to izvodom redakonvergencije za metodu bisekcije.

NUMERICKA ANALIZA

4. 9. 2001.

1. Pretpostavite da polinom (x10)8 razvijete po binomnom teoremu. U okolinitocke 10, racunalom racunate vrijednosti polinoma zapisanog onako kako jezadano i po binomnom teoremu. Kojim cete nacinom dobiti tocniji rezultat izasto?

2. Diskretnom metodom najmanjih kvadrata nadite trigonometrijski polinom ob-lika

P (x) = a0 + a1 cosx+ b1 sin x

koji aproksimira funkciju f(x) = x u tockama xi = i/2 za i = 0, . . . , 4.

3. Zadan je prvi stupac Rombergove tablice (trapezna formula s 1, 2, 4 i 8 pod-intervala). Izracunajte elemente tablice oznacene sa .

0.58385320.2919266 0.4812450 0.5426832

4. Metodom konacnih razlika nadite rjesenje rubnog problema za linearnu dife-rencijalnu jednadzbu

y = 2(y + x) ,

uz rubne uvjete y(0) = 0 i y(1) = 2. Za korak metode uzmite h = 0.25.

5. Sto mozete reci o stabilnosti linearnog sistema

x + y = 1x + 1.00001y = 1

?

6. Koje su prednost Hornerove sheme pred ostalim nacinima izvrednjavanja poli-noma?

NUMERICKA ANALIZA

21. 9. 2001.

1. Potpunom Hornerovom shemom izracunajte p(2), ako je

p(x) = 2x6 + x4 3x3 + x2 + 1 .

2. Newtonovom metodom za nalazenje nultocaka nadite parametar k, k > 0,tako da je povrsina izmedu krivulja

y = x2 i y = x2 + kx

jednaka 1. Greska u izracunatom k mora biti manja od 104.

3. Gaussovom metodom s parcijalnim pivotiranjem nadite rjesenje linearnog si-stema

x1 x3 = 14x1 + x3 + x4 = 12x1 4x3 + x4 = 1

.

4. Metodom gadanja nadite rjesenje rubnog problema za linearnu diferencijalnujednadzbu

y = 2(y + x) ,

uz rubne uvjete y(0) = 0 i y(1) = 2. Za korak metode uzmite h = 0.5, a zarjesenje pocetnog problema koristite Eulerovu metodu.

5. Neka je funkcija f neprekidna na segmentu [ a, b ] i neka na tom segmentuima samo jednu nultocku. Da li se ta nultocka uvijek moze naci metodombisekcije? Objasnite.

6. Zbog cega se u praksi ne koriste NewtonCotesove formule visokih redova (kojeegzaktno integriraju polinome odgovarajucih visokih stupnjeva)? Objasnite tona Rungeovom primjeru. Koje se NewtonCotesove formule najcesce koriste ikoji su odgovarajuci stupnjevi polinoma koje one egzaktno integriraju?

NUMERICKA ANALIZA

2. 10. 2001.


y(x) = C1 e30x + x2 2 .

Zadan je pocetni uvjet y(0) = 2. Da li je ta diferencijalna jednadzba kruta?Objasnite!

2. Gaussovom metodom s parcijalnim pivotiranjem nadite rjesenje linearnog si-stema

x1 x2 = 14x1 + x2 + x3 = 12x1 8x2 + x3 = 1

.


1

0

x3/2f(x) dx w0f(1) + f(x0) ,

iz uvjeta egzaktnosti formule na vektorskom prostoru polinoma sto veceg stup-nja. Tom formulom izracunajte integral

1

0

x2 dx .

4. Metodom gadanja nadite rjesenje rubnog problema za linearnu diferencijalnujednadzbu

y 2y + 2y = x ,uz rubne uvjete y(0) = 1 i y(1) = 0. Za korak metode uzmite h = 0.5, a zarjesenje pocetnog problema koristite Eulerovu metodu.

5. Zbog koja dva razloga se koristi varijabilni korak kod RungeKutta metoda?Opisite postupak izbora koraka.

6. Opisite neku od metoda za rjesavanje hiperbolickih parcijalnih diferencijal-nih jednadzbi. Postoji li problem sa zapocinjanjem rjesenja u vremenskomkoraku i kako se on rjesava?

NUMERICKA ANALIZA

30. 11. 2001.

1. Koristenjem potpune Hornerove sheme, nadite koecijent a tako de je vrijed-nost polinoma

p(x) = x5 + ax3 + x+ 2

u tocki 1 jednaka 2.

2. Newtonovom metodom nadite sva rjesenja jednadzbe

sh x = x+ 2

s tocnoscu 104.

3. Nadite Gaussovu integracionu formulu na intervalu [0, 1] s jednim cvorom itezinskom funkcijom w(x) = x1/3. Tom formulom priblizno izracunajte inte-gral

1

0

x4/3 dx .

4. Eksplicitnom metodom rijesite parabolicku diferencijalnu jednadzbu

2u

x2=

u

t

uz rubne uvjete u(0, t) = 3 i u(3, t) = 0 te pocetni uvjet u(x, 0) = 3x(x 2)u trenutku t = 1/6. Korak metode je x = 1, a t se bira tako da je rnajbolji moguci (koji daje najmanju gresku).

5. Da li je svaki linearni sistem kojem je matrica sustava kvadratna i regularna,moguce rijesiti Gaussovom metodom bez pivotiranja? Ako nije, navedite kon-traprimjer, ako jest, pokazite da je to tako.

6. Opisite osnovne dvije klase metoda za rjesavanje inicijalnog (Cauchyjevog)problema za obicne diferencijalne jednadzbe, obzirom na to iz koliko prethod-nih koraka racunamo novu aproksimaciju. U koju od te dvije klase spadajuRungeKutta metode?

NUMERICKA ANALIZA

7. 2. 2002.

1. Broj ln(1.5) racunamo putem pocetnog komada MacLaurinovog reda za funk-ciju ln(x + 1) koristeci aritmetiku racunala. Da li ce takvo sumiranje datipriblizno tocan rezultat ili ne? Objasnite!

2. Vrijednost funkcijef(x) = xex

u tocki 2.5 aproksimiramo vrijednoscu not-a-knot kubicnog splinea s u tocki2.5. Spline interpolira funkciju f na mrezi cvorova

xi = i , i = 0, 1, 2, 3.

3. Zadan je drugi stupac Rombergove tablice (Simpsonova formula s 2, 4, 8 i 16podintervala). Izracunajte elemente tablice oznacene sa .

1.72973571.8299201 1.8721124 1.8898573


2u

x2=

u2

t2


u(x, 0) = |x 2| 2u

t(x, 0) = x(4 x)


5. Da li su Newtonov i Lagrangeov polinom isti interpolacioni polinomi? Kojegcesce koristimo kad racunamo i zasto?

6. Zasto Gaussove integracione formule nisu pogodne za produljavanje?

NUMERICKA ANALIZA

20. 6. 2002.

1. Potpunom Hornerovom shemom nadite p(1) ako je

p(x) = 2x5 x3 + x+ 1.

2. Metodom najmanjih kvadrata nadite parametre funkcije

(x) = a log x+ b

koja prolazi tockom (x0, f0) i aproksimira skup podataka (xk, fk), xk > 0,k = 0, . . . , n.

3. Nadite Gauusove formule oblika

2

1

x7/2f(x) dx w0f(x0) + f (1)

iz uvjeta egzaktnosti na vektorskom prostoru polinoma sto viseg stupnja.

4. Eksplicitnom metodom rijesite parabolicku diferencijalnu jednadzbu

2u

x2= 6

u

t

uz rubne uvjete u(0, t) = 1 i u(3, t) = 5 te pocetni uvjet u(x, 0) = x2 x 1u trenutku t = 1. Koraci metode su t = x = 1. Da li je metoda stabilna?Objasnite.

5. Koje su dvije osnovne razlike izmedu po dijelovima kubne interpolacije Her-miteove i splajn interpolacije.

6. Moze li se Gaussovom metodom bez pivotiranja naci rjesenje svakog linearnogsustava kojemu je matrica sustava kvadratna.

NUMERICKA ANALIZA

1. 7. 2002.

1. Napisite jednadzbe (nije ih potrebno rijesiti) za nalazenje splajna kojem surubni uvjeti sljedeci: u lijevom rubu druga derivacija splajna jednaka je 0. Udesnom rubu prva derivacija splajna jednaka je 1. Splajn mora interpoliratislijedece podatke:

x 0 1 2y 0 3 0

.

2. Zadana je diferencijalna jednadzba

xy + y = xy2

uz pocetni uvjet y(1) = 4. Nadite rjesenje jednadzbe RungeKutta metodom4. reda za x = 1.1 uz korak h = 0.1.

3. Metodom najmanjih kvadrata nadite pravac koji prolazi tockom (1, 1) i aproksimiraskup podataka (xk, yk), k = 0, . . . , n.

4. Rombergovim algoritmom, nadite pribliznu vrijednost integrala

2

1

x1/x dx ,

s tocnoscu 103.


0

exf(x) w0f(x0)

iz uvjeta egzaktnosti na vektorskom prostoru polinoma sto viseg stupnja. Akoje potrebno koristite da je

0

exxn = n! za n = 0, 1, . . . ,

Kako se zove ova integraciona formula?

6. Kod rjesavanja nelinearnih jednadzbi, obicno brze metode konvergiraju lokal-no, a sporije globalno. Sto znaci lokalna, a sto globalna konvergencija? Mozeli se Newtonova metoda popraviti tako da uvijek konvergira i kako?

NUMERICKA ANALIZA

4. 7. 2002.

1. Newtonovom metodom nadite najvece realno rjesenje jednadzbe

1

1 + x2= x2 + 2x

s tocnoscu 103. Uputa: nakon sto nadete interval u kojem se nalazi rjesenje,funkciju f , zbog lakseg deriviranja formirajte tako da bude polinom.

2. Lovacko drustvo Lovac Luka primijetilo je da se u njihovom lovistu brojzeceva eksponencijalno povecava po krivulji

(x) = aebx,

gdje x oznacava broj godina protekao od prvog promatranja. Ako je opazenibroj zeceva

xk 0 2 5 7 10fk 5 9 21 35 57

po metodi najmanjih kvadrata (koristenjem linearizacije) nadite parametre ai b. Ako je pocetna godina promatranja 1992. koliko zeceva, prema dobivenojaproksimaciji, mogu ocekivati u svom lovistu 2003. godine?

3. Rombergovim algoritmom racunamo vrijednosti integrala

1

0

x10/3 dx i

1

0

x4/3 dx .

Bez racunanja integrala odgovorite za koji ce integral Rombergov algoritambrze konvergirati i zasto. Bez obrazlozenja, odgovor se nece priznati.


xy + y = x2y




NUMERICKA ANALIZA

20. 9. 2002.

1. Metodom bisekcije nadite najmanju realnu nultocku funkcije

xex = 2x+ 1

s tocnoscu 102.

2. Neprekidnom metodom najmanjih kvadrata nadite pravac koji najbolje apro-ksimira funkciju

f(x) = ln x

na intervalu [1, 2].

3. Zadana su prva tri elementa u trecem stupcu Rombergove tablice. Napisiteformule koje koristite i na temelju njih izracunajte elemente tablice oznacenesa .

0.4394403.925966 4.947473

4. Napisite sustav jednadzbi koji treba rijesiti (ne treba ga i rjesiti!) da seizracunaju derivacije sk za kubicni splajn koji interpolira vrijednosti funkcije

f(x) = 2x

za x = 1, 0, 1, 2. Za dva dodatna uvjeta uzmite da se druga derivacijasplajna poklapa s drugom derivacijom funkcije f u desnom rubu i da je prvaderivacija splajna u lijevom rubu jednaka 0.

5. Neka je zadana funkcija f , koju treba interpolirati polinomom na ekvidistant-noj mrezi tocaka na segmentu [ a, b ]. Da li porast broja tocaka interpolacije(povecanje stupnja polinoma) nuzno dovodi do toga da taj interpolacioni poli-nom sve bolje aproksimira funkciju? O cemu to ovisi? Navedite i objasniteprimjere kojima bi se tvrdnje mogle potkrijepiti.

6. Nabrojite na koje nacine mogu nastati greske kod rjesavanja nekog problemaracunalom.

NUMERICKA ANALIZA

6. 12. 2002.

1. Koristenjem Hornerove sheme podijelite polinom p1 s p2, ako je

p1(x) = 2x5 + 4x3 + 2x2 3x+ 1p2(x) = x 2 .

Koliki je kvocijent, a koliki ostatak? (Uputa: ako se u rjesenju ne koristiHornerovu shema, ono se nece priznati).

2. Diskretnom metodom najmanjih kvadrata nadite parametre a i b za funkcijuoblika

y(x) = ln(ax2 + b)

koja aproksimira skup podataka (xi, yi), yi > 0, i = 0, . . . , n. Uputa: lineari-zirajte funkciju.

3. Rombergovim algoritmom, pocevsi s n = 1 podintervala za trapeznu formulu,do ukljucivo, n = 4 podintervala, nadite pribliznu vrijednost integrala

1

0

(x+ 1) ex3

dx ,

Kolika je priblizno tocnost aproksimacije? Zbog cega, iako je funkcija glatkaintegral relativno sporo konvergira?

4. Zadan je sistem diferencijalnih jednadzbi

x = 3x2 y2 + x 2 ty = y + x2 + t2 1

uz pocetne uvjete x(1) = 1, y(1) = 2. Rijesite taj sistem RungeKuttametodom 1. reda za t = 1.1 uz korak h = 0.1.

5. Newtonovom metodom trazimo visestruku nultocku funkcije, a unaprijed neznamo da je visestruka. Po cemu cemo shvatiti da se radi o visestrukojnultocki? Opisite i potencijalni lijek za uocenu pojavu.

6. Zadan je ekvidistantan skup tocaka (xi, f(xi)), i = 0, . . . , n. U unutarnjimtockama (tj. u i = 1, . . . , n1) aproksimiramo derivacije funkcije f koristenjemsimetricnih (centralnih) razlika i podijeljenih razlika unazad. Pokazite da susimetricne razlike bolja aproksimacija derivacija nego podijeljene razlike un-azad, tj. imaju manju ocjenu greske.

NUMERICKA ANALIZA

24. 1. 2003.

1. Broj e8 aproksimirate pocetnim komadom Taylorovog reda oko 0, sve dokprvi odbaceni clan ne bude manji od nekog zadanog 0 < 1. Izracunajtekolika je greska odbacivanja, tj. koliku cete gresku napraviti ako umjesto redauzmete samo njegov pocetni komad. Ako zbrajanje reda obavljete racunalom,sto mozete reci o tome koliko je dobiveni rezultat tocan. Objasnite!

2. Diskretnom metodom najmanjih kvadrata nadite parabolu koja aproksimirapodatke (xi, yi), i = 0, . . . , n uz uvjet da prolazi tockom T = (0, 1).


A =

1 4 21 4 62 1 0

, b =

123

.

Preformulirajte taj linearni sistem tako da se sigurno moze rijesiti Jacobijevommetodom. Nakon toga, napravite jedan korak metode, ako je pocetni vektor

x0 =

432

.


2u

x2=

u2

t2


u(x, 0) = 12x+ 1

u

t(x, 0) = x(x 4)


5. Sto su krute diferencijalne jednadzbe i kojom numerickom metodom trazimonjihova rjesenja?

6. Umjesto kubicnog splajna, na skupu tocaka (xi, yi), i = 0, . . . , n zelite poteg-nuti kvarticni splajn (na svakom podintervalu imate polinom stupnja 4). Akozahtijevate da splajn interpolira zadane tocke, a da se u unutarnjim tockamalijepe njegove prve tri derivacije, koliko cete dodatnih (rubnih) uvjeta moratipostaviti da taj splajn mozete odrediti?

NUMERICKA ANALIZA

11. 2. 2003.

1. Zadana je funkcijaf(x) = ln(x)

i pravac x = x0, x0 > 1. Nadite x0 s tocnoscu 103, tako da povrsina lika

omedenog pravcima y = 0, x = x0 te grafom funkcije f bude jednaka 2.

2. Nadite Gaussovu integracionu formulu oblika

1

0

4xf(x) dx w0f(x0) .

Tom formulom izracunajte pribliznu vrijednost integrala

1

0

4x3 dx ,

i nadite pripadnu pogresku obzirom na pravu vrijednost integrala.

3. Napisite linearni sistem koji morate rijesiti (ne treba ga rjesavati) da bistemetodom konacnih razlika nasli rjesenje rubnog problema za linearnu diferen-cijalnu jednadzbu

x+ x x = t ,uz rubne uvjete x(0) = 0 i x(1) = 2. Za korak metode uzmite h = 0.2.


A =

1 4 21 4 62 1 0

, b =

123

.

Preformulirajte taj linearni sistem tako da se sigurno moze rijesiti Jacobijevommetodom. Nakon toga, napravite jedan korak metode, ako je pocetni vektor

x0 =

432

.

5. Sto su krute diferencijalne jednadzbe i kojom numerickom metodom trazimonjihova rjesenja?

6. Umjesto kubicnog splajna, na skupu tocaka (xi, yi), i = 0, . . . , n zelite poteg-nuti kvarticni splajn (na svakom podintervalu imate polinom stupnja 4). Akozahtijevate da splajn interpolira zadane tocke, a da se u unutarnjim tockamalijepe njegove prve tri derivacije, koliko cete dodatnih (rubnih) uvjeta moratipostaviti da taj splajn mozete odrediti?

NUMERICKA ANALIZA

25. 2. 2003.

1. Gaussovom metodom s parcijalnim pivotiranjem nadite rjesenje linearnog sis-tema

x2 4x3 = 82x1 + 4x2 + 2x3 = 4

x1 + 2x2 = 2.

2. Diskretnom metodom najmanjih kvadrata nadite koeficijente a, b i c ako tocke(xi, yi), i = 0, . . . , n aproksimiramo parabolom

y(x) = ax2 + bx+ c,

uz uvjet da joj je tjeme u tocki (z0, 0), a na osi y odsijeca odsjecak z0, z0 = 0.

3. Rombergovim algoritmom priblizno nadite integral

2

1

sin(x) dx,

tako da greska bude manja od 104.


y(x) = c ex + e2x .

Zadan je pocetni uvjet y(0) = 1. Sto se zbiva s numerickim rjesenjem tediferencijalne jednadzbe kada x raste, ako je rjesavamo racunalom. Je li tajednadzba kruta? Objasnite!

5. Opisite CrankNicolsonovu metodu za rjesavanje parabolickih parcijalnih di-ferencijalnih jednadzbi.


1

0

ch x dx i

1

0

x1 x dx .

Koji od integrala ce brze konvergirati i zasto?

NUMERICKA ANALIZA

25. 4. 2003.

1. Napisite sustav jednadzbi koji treba rijesiti (ne treba ga i rjesiti!) da seizracunaju derivacije sk za kubicni splajn koji interpolira vrijednosti funkcije

f(x) = 2x

za x = 2, 1, 0, 1. Za dva dodatna uvjeta uzmite da je splajn prirodnisplajn, tj. druga derivacija u rubovima mu je 0.

2. Metodom bisekcije nadite rjesenje jednadzbe

x2 sin(2x) = 1 x

koje se nalazi u intervalu [0.5, 1] s tocnoscu 102.

3. Nadite parametre w0 i x0 u integracionoj formuli oblika

1

0

xf(x) dx w0(f(0) + f(x0))


4. CrankNicolsonovom metodom rijesite parabolicku diferencijalnu jednadzbu

2u

x2=

u

t

uz rubne uvjete u(0, t) = 0 i u(1.5, t) = 3 te pocetni uvjet u(x, 0) = 4x(x 1)u trenutku t = 0.5. Koraci metode su t = x = 0.5.

5. Vrijednost integrala1

1

x+ 1 dx

racunamo Rombergovim algoritmom. Buduci da podintegralna funkcija imaprvu derivaciju koja ne postoji na lijevom rubu, onda je konvergencija algo-ritma spore. Moze li se ona ubrzati nekom transformacijom podintegralnefunkcije? Tocno opisite kako.

6. Izvedite metodu konacnih razlika za rubni problem za obicne linearne difer-encijalne jednadzbe drugog reda. Koji je njen red konvergencije? Da li tametoda konvergira brvze ili sporije obzirom na metodu gadanja za ist jed-nadzbu? Ovisi li to o izboru RK metode u metodi gadanja?

NUMERICKA ANALIZA

24. 6. 2003.

1. Kvadratnu jednadzbux2 56x+ 0.1 = 0

rjesavamo racunalom, koristenjem formula za rjesenje kvadratne jednadzbeax2 + bx+ c = 0,

x1,2 =bb2 4ac

2a.

Za zadanu jednadzbu, koje je od dva rjesenja tocnije izracunato racunalom izasto?

2. Diskretnom metodom najmanjih kvadrata nadite funkciju oblika

(x) = ax ln x+ bx+ c ln x

koja aproksimira podatke (xi, yi), xi > 0, i = 0, . . . , n uz uvjet da prolazitocakama T1 = (1, 1) i T2 = (e, e).


1

0

x2

x+ 1f(x) dx w0f(x0).

Tom formulom priblizno izracunajte

1

0

x3

x+ 1dx.

Uputa: integriranje racionalne funkcije kojoj je stupanj polinoma u brojnikuveci ili jednak kao stupanj polinoma u nazivniku provodi se dijeljenjem poli-noma u brojniku s onim u nazivniku.

4. Napisite linearni sustav za CrankNicolsonovu metodu (ne morate ga rijesiti)kojim biste rijesili parabolicku diferencijalnu jednadzbu

2u

x2=

u

t

uz rubne uvjete u(0, t) = 3 i u(3, t) = 0 te pocetni uvjet u(x, 0) = 3x(x 2)u trenutku t = 1. Koraci metode su x = 0.5 i t = 1.

5. Da li je svaki linearni sistem kojem je matrica sustava kvadratna i regularna,moguce rijesiti Gaussovom metodom bez pivotiranja? Ako nije, navedite kon-traprimjer, ako jest, pokazite da je to tako.

NUMERICKA ANALIZA

8. 7. 2003.

1. Zadan je linearni sustav Ax = b, gdje je

A =

2 11 1 72 4 1 93 1 8 15 2 1 0

, b =

542

3

.

Preuredite taj linearni sustav tako da se sigurno moze rijesiti Jacobijevommetodom.

2. Neprekidnom metodom najmanjih kvadrata nadite pravac (x) = ax+ b kojiaproksimira funkciju

f(x) = ln x

na intervalu [2, 3]. (Uputa: neprekidna metoda znaci da se minimizira integral,a ne suma! Integral s logaritamskom kao podintegralnom funkcijom integrirase parcijalnom integracijom.)

3. Zadan je dio Robmergove tablice (prva dva stupca). Popunite dio tabliceoznacen zvjezdicama.

0.441695571.34198795 1.642085410.16597159 0.66862477 0.33664217 0.39353237


y = yex + y2x x 1


5. Zadana je neka nelinearna jednadzba kojoj se tesko, komplicirano i spororacuna derivacija. Opisite metodu kojom biste, vjerojatno, najbrze sigurnonasli rjesenje te jednadzbe na intervalu [ a, b ].

6. Navedite barem dva razloga zbog cega se Hornerova shema za racunaje vri-jednosti polinoma koristi vise nego potenciranje!

NUMERICKA ANALIZA

16. 9. 2003.

1. Vrijednost racionalne funkcije

r(x) =x3 + 3x2 1x3 + 2x+ 1

racunamo koristenjem Hornerove sheme, posebno za brojnik, a posebno zanazivnik. Odredite vrijednost r(2).

2. Diskretnom metodom najmanjih kvadrata odredite parametar a za funkcijuoblika

(x) =1

(x+ a)2 + 1

koja aproksimira sljedeci skup podataka

xk 0 1 2 3

fk 0.55 0.21 0.09 0.05

Uputa: koristite linearizaciju.

3. Nadite Gauusove formule oblika

1

0

x3/2f(x) dx w0(f(x0) + f (1))


4. Zadana je diferencijalna jednadzba treceg reda

y + 2y + 2y + y = 5x2

uz pocetne uvjete y(2) = 0.5, y(2) = 1, y(2) = 1.5. Prvo diferencijalnujednadzbu napisite kao sustav diferencijalnih jednadzbi prvog reda, a zatim jerijesite RungeKutta metodom 1. reda za x = 2.1 uz korak h = 0.1.

5. Da li za rubni problem za linearnu diferencijalnu jednadzbu drugog reda uvijekpostoji rjesenje? Je li jedinstveno?

6. Opisite eksplicitnu metodu za rjesavavanje parabolickih parcijalnih diferenci-jalnih jednadzbi. Da li su koraci x i t proizvoljni ili vezani? Kad je metodastabilna?

NUMERICKA ANALIZA

24. 2. 2004.

1. Potpunom Hornerovom shemom izracunajte p(1), ako je

p(x) = 3x6 x4 + 3x3 x2 + 1 .

2. Nadite interpolacijski polinom u Newtonovoj formi koji aproksimira funkciju

f(x) = sin(x)

u tockama s x-kooridnatama 0, 1/2, 1, 3/2. Tim polinomom nadite pribliznuvrijednost za sin(/4) i ocijenite gresku.

3. Rombergovim algoritmom nadite sve aproksimacije integrala

1

0

x2

1 cosx dx

koje mozete dobiti iz trepezne formule s 1, 2 i 4 podintervala (tj. izracunajteprva tri retka Rombergove tablice!). Sto treba staviti i zasto kao vrijednostpodintegralne funkcije u tocki 0?


y(x) = C1 e20x + x2 2 .

Zadan je pocetni uvjet y(0) = 1. Sto se zbiva ako numericki rjesavamo tudiferencijalnu jednadzbu za rastuci x? Da li je ta diferencijalna jednadzbakruta? Objasnite!


6. Opisite neku od metoda za rjesavanje hiperbolickih parcijalnih diferencijal-nih jednadzbi. Postoji li problem sa zapocinjanjem rjesenja u vremenskomkoraku i kako se on rjesava?

NUMERICKA ANALIZA

2. 4. 2004.

1. Broj tg

6aproksimiramo na racunalu. Za aproksimaciju koristimo Taylorove

redove funkcija sin x i cosx oko 0, sve dok prvi odbaceni clan ne padne ispod, 0 < 1. Hoce li ta aproksimacija dati priblizno tocan rezultat ili ne?Objasnite.

2. Nadite interpolacijski polinom u Lagrangeovoj formi koji aproksimira funkciju

f(x) = cos(x)

u tockama s x-kooridnatama 0, 1/3 i 1/2. Tim polinomom nadite pribliznuvrijednost za cos(/4) i ocijenite gresku.

3. Metodom najmanjih kvadrata nadite parametre a, b i c za funkciju oblika

(x) = a+ b sin x+ c cosx

koja prolazi tockom (0, 1), a aproksimira skup podataka (xk, fk), k = 0, . . . , n.

4. Nadite Gaussovu integracijsku formulu s jednom tockom, ako je tezinska funk-cija

f(x) = ln x,

a interval integracije [1, 2]. Tom formulom priblizno izracunajte

2

1

x2 ln x dx .

5. Neka je funkcija f neprekidna na segmentu [a, b] i neka na tom segmentuima tocno jednu nultocku. Da li se ta nultocka uvijek moze naci metodombisekcije? Objasnite.

6. Koliko je koraka (gadanja) metode gadanja potrebno za nalazenje aproksi-mativnog rjesenja rubnog problema za obicnu linearnu diferencijalnu jednadz-bu drugog reda? Zasto za nelinearnu jednadzbu drugog reda ne vrijedi istibroj koraka?

NUMERICKA ANALIZA

17. 6. 2004.

1. Koristenjem potpune Hornerove sheme izracunajte vrijednost druge derivacijepolinoma

p(x) = 2x5 + x3 2x+ 1u tocki 1. (Napomena: ako zadatak nije rijesen koristenjem Hornerovesheme, nece se priznati.)

2. Kvazihermitska po dijelovima kubicna interpolacija, interpolira funkciju fzadanu tablicom:

xk 1 0 1 2fk 2 0 1 2 .

Derivaciju u tocki (xk, fk) aproksimiramo simetricnom razlikom. Izracunajtevrijednost interpolacije u tocki x = 0.5.

3. Rombergovim algoritmom racunamo vrijednosti integrala

3

1

ln x dx i

3

1

|x 2| dx.

Koji od njih ce brze konvergirati prema pravoj vrijednosti i zasto?


y(x) = c ex e2x .

Zadan je pocetni uvjet y(0) = 1. Sto se zbiva s numerickim rjesenjem tediferencijalne jednadzbe kada x raste, ako je rjesavamo racunalom. Je li tajednadzba kruta? Objasnite!

5. Koja je prednost CrankNicolsonove metodu za rjesavanje parabolickih par-cijalnih nad eksplicitnom metodom?

6. Mora li rubni problem za obicne diferencijalne jednadzbe imati rjesenje? Je liono jedinstveno?

NUMERICKA ANALIZA

6. 7. 2004.

1. Zadana je matrica

A =

1 0 14 1 12 0 1

.

Nadite LR faktorizaciju matrice A (s pivotiranjem!), tj. nadite rastav PA =LR, gdje je P permutacija.

2. Nadite interpolacijski polinom koji interpolira i funkcijske vrijednosti i deri-vacije funkcije

f(x) = cos(x)

za x-koordinate 0 i 1.

3. Zadana su prva tri elementa u trecem stupcu Rombergove tablice (vrijednostiu prva dva stupca su nebitne, oznacene s ). Napisite formule koje koristite ina temelju njih izracunajte elemente tablice oznacene sa .

46.277102 6.609468 11.196347


2u

x2=

u2

t2


u(x, 0) = 1 + xu

t(x, 0) = 0


5. Kako se radi Hornerova shema za interpolacijeske polinome. Napisite algori-tam i komentirajte ga.

6. Sto je problem kod nelinearne metode gadanja za rubni problem za obicnediferencijalne jednadzbe? Zbog cega rjesenje ne mozemo naci u dva rjesavanjapocetnog problema?

NUMERICKA ANALIZA

7. 9. 2004.


r(x) =2x3 3x+ 1x3 + 2x2 + 2


2. Napisite sustav jednadzbi koji treba rijesiti (ne treba ga i rjesiti!) za izracu-navanje derivacija sk za kubicni splajn koji interpolira vrijednosti funkcije

f(x) = 3x

za x = 0, 1, 2. Za dva dodatna uvjeta uzmite da druga derivacija splajnainterpolira drugu derivaciju funkcije u rubnim tockama.

3. Rombergovim algoritmom nadite pribliznu vrijednost integrala

0.5

0

ex3

dx,



y(x) = C1 e20x 2x+ 2.


5. Zadana je neprekidna funkcija f za koju na intervalu [ a, b ] vrijedi f(a)f(b) 0 znaci li to dafunkcija f sigurno nema nultocku na [a, b]?

6. Opisite metodu gadanja za rjesavanje rubnog problema za linearne diferenci-jalne jednadzbe drugog reda.

NUMERICKA ANALIZA

14. 1. 2005.

1. Za matricu A napravimo LR faktorizaciju s parcijalnim pivotiranjem, tj. na-demo matricu permutacije P , te L i R takve da vrijedi PA = LR. Mogu litako dobivene matrice L i R biti jednake

L =

13 12 3 1

, R =

1 2 1

2 13

?

Objasnite ako da zasto da, ako ne zasto ne.

2. Funkciju

f(x) = |x| ={

x za x 0,x za x 0

na intervalu [1, 1] aproksimiramo po neprekidnoj metodi najmanjih kvadrataparabolom (x) = ax2 + c. Nadite koeficijente a i c. (Uputa: neprekidnametoda znaci da se minimizira integral, a ne suma! Nadalje, oprez pri inte-graciji |x|!)

3. Newtonovom metodom nadite nultocku funkcije

f(x) = x 2x

koja se nalazi u intervalu [0, 1] tako da greska bude manja od 104.


y + y 2y y = 2x2

uz pocetne uvjete y(2) = 1, y(2) = 2, y(2) = 1. Prvo diferencijalnujednadzbu napisite kao sustav diferencijalnih jednadzbi prvog reda, a zatim jerijesite RungeKutta metodom 1. reda za x = 2.1 uz korak h = 0.1.

5. Za zadane podatke (xk, fk), k = 0, 1, . . . , n, napisite Newtonovu formu inter-polacijskog polinoma.

(a) Koji je maksimalni stupanj interpolacijskog polinoma kojeg ti podaciodreduju? Uz koje je uvjete on jedinstven?

(b) Pretpostavimo da su zadane tocke interpolacije uzete iz neke funkcijef , tj. fk = f(xk). Da li povecavanjem broja tocaka interpolacije inter-polacijski polinomi sve vecih stupnjeva moraju sve bolje aproksimiratipolaznu funkciju f?

6. Izaberite i opisite jedan od nacina za numericko rjesavanje hiperbolickih par-cijalnih diferencijalnih jednadzbi.

NUMERICKA ANALIZA

6. 5. 2005.

1. Vrijednost funkcije

f(x) =ex 1

x

u okolini tocke x = 0 racunamo na dva nacina. Prvo uvrstimo direktnou formulu. U drugom slucaju, napisemo MacLaurinov red za funkciju ex,oduzmemo mu 1 i podijelimo s x. Koji je od ta dva nacina bolji i zasto akose racunanje izvodi u aritemtici racunala?

2. Diskretnom metodom najmanjih kvadrata nadite pravac koji prolazi tockom(0, 1) i aproksimira sljedeci skup podataka (1, 0.5), (0, 1.1), (1, 1.4), (2, 2.1).

3. Newtonovom metodom nadite nultocku funkcije

xex 2 = 0

koja se nalazi u intervalu [0, 1], tako da greska bude manja ili jednaka od 104.

4. Zadan je sustav diferencijalnih jednadzbi prvog reda

x+ y + xyt = 1

x + yt = 1

uz pocetne uvjete x(1) = 2, y(1) = 1. Nadite aproksimaciju rjesenja togsustava u t = 1.1 koristenjem RK1 metode s korakom h = 0.1.

5. Jesu li uvijek Lagrangeov i Newtonov interpolacijski polinom (za isti skuptocaka interpolacije) jednaki ako se racunaju

(a) u aritmetici beskonacne preciznosti (na ruke),

(b) u aritmetici racunala.

Objasnite.

6. Zadana je neka nelinearna jednadzba kojoj se tesko, komplicirano i spororacuna derivacija. Opisite metodu kojom biste, vjerojatno, najbrze sigurnonasli rjesenje te jednadzbe na intervalu [ a, b ].

NUMERICKA ANALIZA

23. 6. 2005.

1. Nadite interpolacijski polinom u Newtonovom obliku, koji interpolira funkciju

f(x) =13x

u tockama s xkoordinatama 1, 9, 27. Izracunajte vrijednost interpolacijskogpolinoma u tocki x = 6 i nadite pripadnu pogresku.

2. Iz uvjeta egzaktnosti na vektorskom prostoru polinoma sto viseg stupnja,nadite integracijsku formulu oblika

1

0

3xf(x) dx w0f(0) + w1f(x1).


1

0

x3 dx.

3. Zadan je sustav diferencijalnih jednadzbi

x1 = 3x1 x2 tx2 = x1 tx2

uz pocetne uvjete x1(0) = 1, x2(0) = 1. RungeKutta metodom 2. reda naditepriblizno rjesenje ovog sustava za t = 0.2 uz korak h = 0.2.


1

0

x3 sin x dx i

1

0

x7/3 cosx dx.

Objasnite hoce li aproksimacije integrala konvergirati jednakom brzinom? Mo-ze li se brzina konvergencije ova dva integrala poboljsati i kako?

5. Zadana je funkcija f za koju na intervalu [a, b] vrijedi f(a) f(b) < 0. Opisitekako treba modificirati Newtonovu metodu za nalazenje nultocke funkcije f ,tako da konvergencija metode bude osigurana. Koja je najlosija ocjena brzinekonvergencije te metode?

6. Integrira li integracijska formula

b

a

f(x) dx 3h8[f(a) + 3f(a+ h) + 3f(b h) + f(b)],

pri cemu je h = (b a)/3, egzaktno polinome stupnja 4? Pokazite!

NUMERICKA ANALIZA

3. 2. 2006.


r(x) =x3 x+ 12x3 x2 + 2


2. Neprekidnom metodom najmanjih kvadrata nadite pravac koji najbolje apro-ksimira funkciju

f(x) = x ln x

na intervalu [1, 2].


0.5

0

sin x3 dx,



y + 2y + y + y = x

uz pocetne uvjete y(3) = 1, y(3) = 0, y(3) = 1. Prvo diferencijalnujednadzbu napisite kao sustav diferencijalnih jednadzbi prvog reda, a zatim jerijesite RungeKutta metodom 1. reda za x = 3.2 uz korak h = 0.2.

5. Opisite osnovnu razliku izmedu NewtonCotesovih i Gaussovih formula zanumericku integraciju. Po tome koji stupanj polinoma egzaktno integrira, ko-liko cvorova mora imati neproduljena NewtonCotesova fomula koja odgovaraGaussLegendreovoj formuli s dvije tocke.

6. Opisite metodu konacnih razlika za numericko rjesavanje rubnog problema zaobicnu diferencijalnu jednadzbu drugog reda.

NUMERICKA ANALIZA

17. 2. 2006.

1. Metodom bisekcije nadite nultocku funkcije

f(x) = thx+ x 2

koja se nalazi na intervalu [1, 2], tako da greska bude manja ili jednaka 102.

2. Nadite kubicni splajn koji interpolira koji interpolira podatke (0, 2), (1, 3),(2, 4), (3, 6). Rubni uvjeti splajna su s(0) = 0 i u tocki (2, 4) se lijepi itreca derivacija splajna. Tim splajnom izracunajte aproksimaciju u tocki sxkoordinatom 0.5.

3. Nadite integracijsku formulu oblika

1

0

x

x+ 1f(x) dx w0f(x0).


1

0

x3

x+ 1dx.



y(x) = c1e10x + 1.

Zadan je pocetni uvjet y(0) = 1. Je li ta diferencijalna jednadzba kruta akonapredujemo po x? Objasnite!

5. Koja su dva osnovna numericka principa koristena pri konstrukciji Romber-govog algoritma? Da li je za vecinu funkcija moguce ocekivati da ce Rombergovalgoritam brze davati rjesenje od trapezne formule i zasto?


NUMERICKA ANALIZA

11. 9. 2006.

1. Broj th 0.05 aproksimiramo na racunalu. Za aproksimaciju koristimo Tay-lorove redove funkcija ch x i sh x oko 0, sve dok prvi odbaceni clan ne padneispod , 0 < 1. Hoce li ta aproksimacija dati priblizno tocan rezultat iline? Objasnite.

2. Nadite aproksimaciju kubicnim splajnom u tocki s xkoordinatom 2, akokubicni splajn interpolira podatke (1, 0), (0, 2), (1, 3) i (3, 4). Rubni uvjetisplajna su s(3) = 0, a u tocki (0, 2) lijepi se i treca derivacija splajna.

3. Nadite integracijsku formulu oblika

2

1

x+ 1

xf(x) dx w0f(x0).


2

1

x+ 1

xdx.



y(x) = c1e10x + 2x+ 2.

Zadan je pocetni uvjet y(0) = 2. Je li ta diferencijalna jednadzba kruta akonapredujemo po x? Objasnite!

5. Funkcija f je neprekidna i vrijedi f(a) f(b) < 0. Koji su dovoljni uvjeti zafunkciju f na intervalu [a, b] da bi Newtonova metoda sigurno konvergirala?Ako interval oko nultocke stalno smanjujemo, moraju li se ti uvjeti ispuniti zadovoljno mali interval. Objasnite na jednom primjeru.

6. Sto je problem kod nelinearne metode gadanja za rubni problem za obicnediferencijalne jednadzbe? Zbog cega rjesenje ne mozemo naci u dva rjesavanjapocetnog problema?

NUMERICKA ANALIZA

21. 9. 2006.

1. Nadite polinom p koji interpolira funkciju

f(x) = sin(2x)

za tocke s x-koordinatama 0, 1/2, 1, a derivaciju funkcije f u tocki 1/2 derivaci-jom polinoma u istoj tocki.

2. Metodom bisekcije nadite najmanje pozitivno rjesenje jednadzbe

ctg x = 2x,

tako da greska ne bude veca od 102.

3. Rombergovim algoritmom izracunajte integral

1

0

cosx 1x

dx

tako da greska bude manja ili jednaka 103. Sto treba staviti kao vrijednostpodintegralne funkcije u 0 i zasto?

4. Diferencijalnu jedandzbuy + 2y + xy = 0

s pocetnim uvjetima y(0) = 1, y(0) = 2, y(0) = 3 napisite u obliku sustavadiferencijalnih jednadzbi prvog reda.

5. Koja su dva osnovna tipa integracionih formula i po cemu se bitno razlikuju?

6. Navedite barem dva razloga zbog cega se Hornerova shema za racunaje vri-jednosti polinoma koristi vise nego potenciranje!

NUMERICKA ANALIZA

2. 10. 2006.

1. Nadite interpolacijski polinom stupnja 2, na ekvidistantnoj i Cebisevljevojmrezi za funkciju

f(x) =1

x+ 2

na intervalu [0, 1]. Izracunajte vrijednosti tako dobivenih interpolacijskih poli-noma u tocki x = 0.75. Koja od mreza daje tocniju vrijednost? Moze li seto prema teoriji i ocekivati? Uputa: Na intervalu [a, b], za polinom stupnja n,Cebisevljeve tocke su

xi =a + b

2+

(a b)2

cos(2i+ 1

2n+ 2), i = 0, 1, . . . , n.

2. Zadana je kubna parabola y = x3 i pravac y = ax, a > 0. Za x 0, pravacsijece parabolu u dvije tocke (0, 0) i (x0, y0). Iz uvjeta da je povrsina likaomedenog parabolom i pravcem jednaka 3, Newtonovom metodom odreditekoordinatu presjeka x0, tako da greska (u koordinati x0) bude manja od 10

4.

3. Rombergovim algoritmom, pocevsi s n = 1 podintervala za trapeznu formulu,do, ukljucivo, n = 4 podintervala, nadite pribliznu vrijednost integrala

1

0

(x+ 3)e(x2) dx,

Kolika je priblizno tocnost aproksimacije? Zbog cega, iako je funkcija glatkaintegral tako sporo konvergira?


y y = x+ 1

uz pocetne uvjete y(3) = 1, y(3) = 3, y(3) = 2. Preformulirajte problem usustav diferencijalnih jednadzbi prvog reda i rijesite ga RungeKutta metodom1. reda za x = 3.1 uz korak h = 0.1.

5. Zbog cega se koristi varijabilni korak kod RungeKutta metoda? Opisite pos-tupak izbora koraka.

6. Funkcija f ima nultocku reda p > 1. Uz pretpostavku da Newtonova metodakonvergira, koji joj je red konvergencije? Moze li se on nekom modifikacijompovecati?

NUMERICKA ANALIZA

28. 4. 2008.


r(x) =2x3 3x+ 1x3 + 2x2 + 2


2. Napisite sustav jednadzbi koji treba rijesiti (ne treba ga i rjesiti!) za izracu-navanje derivacija sk za kubicni splajn koji interpolira vrijednosti funkcije

f(x) = 4x

za x = 0, 1, 2. Za dva dodatna uvjeta uzmite da druga derivacija splajnainterpolira drugu derivaciju funkcije u rubnim tockama.


0.5

0

ex2

dx,



y(x) = C1 e10x 2x+ 2.


5. Zadana je neprekidna funkcija f za koju na intervalu [ a, b ] vrijedi f(a)f(b)

Documents

ispiti-na