STATSTK FZK

DENEYLER

FZK LAB. VI

FZ 341

H.. FZK MHENDSL BLM

UBAT 2007

NDEKLER

Deney Sayfa

1. Radyoaktif Bozunma 1

2. Maxwell Boltzman Dalm 4

3. Isl Inmn ncelenmesi 12

4. Yklenmi Zar 18

5. Olaslk Dalm 24

6. Binom Dalm 30

7. Normal Dalm 37

Kaynaklar 42

1

RADYOAKTF BOZUNMA

Deneyde Kullanlan Aralar G-M Tp, Saya, DC G Kayna, Direnler (5 M, 5.6 M, 1 M), Kapasitr (0.01F), Potansiyometre, Kronometre GIRI Birok ekirdek kararl deildir ve kendiliinden radyoaktif bozunma ile bileimlerini deitirirler. Ntron ve protonlarn her bileimi kararl ekirdekleri oluturmaz. Genellikle ar ekirdeklerde ntronlarn orannn artmasna karlk, hafif ekirdekler ( ktle numaras < 20 ) yaklak olarak eit sayda ntron ve proton ierirler. KURAMSAL BILGI Bir ekirdek, kendiliinden radyoaktif olarak bozunarak bir 4

2He ekirdei (alfa parac), bir elektron (beta parac) veya bir foton (gama n) salarak uyarlm bir enerji dzeyinden veya bir ekillenimden kurtularak daha kararl duruma ular. Herhangi bir radyoaktif maddenin bir numunesinin aktiflii, atom ekirdeklerinin bozunma hzdr. Eer bir rnekte belli bir zamandaki ekirdek says N ise, onun aktivitesi;

RdNdt

= ile verilir. Burada dN/dt negatif deere sahip olduundan Rnin pozitif olmas iin nne eksi iareti konur. Aktiflik iin kullanlan birim, saniyedeki bozunma says olduundan Curie (C) olarak ifade edilir. Radyoaktif bozunma olay istatistiksel bir olaydr. Radyoaktif maddenin bir numunesinin bir ekirdei belirli bir bozunma olaslna sahiptir. Ancak, belirli bir zaman aral iinde hangi ekirdeklerin bozunacan nceden bilmenin bir yolu yoktur. Eer numune yeterli derecede byk ise; yani ekirdek says ok fazla ise, onun belli bir zaman aralnda bozunma yzdesi, her bir ekirdein bozunma olaslna ok yakn olacaktr. Zaman aral yeterince uzun ise ve sayma oran yeterince dkse her bir bozunma saylabilir. Radyoaktif element ieren bir kaynak olduka fazla sayda kararsz ekirdee sahiptir ve bu kararsz ekirdeklerden herhangi birinin belirli bir zaman aralnda bozunma olasl olduka dktr. Binom dalm, birbirinden bamsz N olaydaki olasl verir.

P n)N

N n) np qn N n(

!( ! !

=

Burada p, bir olayn gerekleme olasl ve q gereklememe olasldr. Bu bant ile verilen olaslk dalm, n

2

koullarda, Poisson dalmna ular. ekirdek saysnn fazla, buna karn bozunma rn olan paracn kma olaslnn kk olmasndan tr Poisson dalmna geilir. Belirli bir zaman aralnda n tane paracn bozunma olasl Poisson dalm ile verilir.

P na e

nan a

( )!

=

Burada a, belirli bir zaman aralndaki ortalama sayma saysdr. Bu dalmn standart sapmas 2 = a ile verilir. Deneysel ortalama deer;

a n= = nF(nF(n

))

ile tanmlanr. n deeri ok bydnde Poisson dalm, normal ya da Gauss dalmna yaklar ve

P n) e n n( ( ) / ( )/= 1 2 2 22 ifadesi ile verilir. Burada = (n)1/2 olan standart sapmadr. Genellikle, 2 2= ( ) (n n P n)

n

ile tanmlanr. Gauss dalm, Poisson dalmnn yaklak bir ifadesi olarak kullanldnda

a n= = 2 olarak alnr. DENEY Deney Dzenei

3

Bu deneyde Geiger-Mller tp radyoaktif bozunmada detektr olarak kullanlacaktr. Biz, belirli zaman aralklarndaki bozunma saysndaki dalgalanmalarn lm ile ilgileneceiz. Deneyin Yapl 1. ekildeki devreyi kurunuz. 1 Clik 60Co gama kaynan G-M tpnn yaknna koyarak tp gerilimini sayata ilk saym gzleninceye kadar arttrnz. Sayma gzlendikten sonra tp gerilimini birka 50V daha arttrarak G-M tpn plato blgesine getiriniz. 60Co kaynan, GM tpnden sayma hz saniyede 1 atma oluncaya kadar uzaklatrnz. 10 saniyelik zaman aral iin 50 (N) sayma yapnz. Belirli zaman aralklarndaki sayma saylar (n) iin frekanslar hesaplaynz. Sayma saysna kar frekans deerlerinin histogram grafiini iziniz. Deneysel verileri kullanarak n deerini ve standart sapmay hesaplaynz. Poisson dalm ifadesini kullanarak teorik olaslk ve ortalama deeri hesaplayarak, deneysel sonularla karlatrnz. Dalmdaki her bir deeri, deneyin tekrarlanma says ile arparak beklenen frekans deerlerini hesaplayarak deneysel sonularla karlatrmak iin grafii, histogram grafiinin zerine iziniz. 2. Zaman araln 20 saniyeye kararak yukardaki ilemleri tekrarlaynz. n , , teorik ve deneysel frekanslar hesaplaynz. Histogram ve beklenen (teorik) frekans deerlerinin grafiini iziniz. Sonular t = 10s ile elde edilen verilerle karlatrnz. NOT n deeri giderek arttnda dalmn n etrafnda giderek kesinletiine dikkat ediniz. Kendi verilerinizle karlatrnz. SORULAR 1. Poisson dalmndaki a parametresi, verilerinizdeki n deerinden hesaplanarak tahmin edilebilir. Bu sonu ne kadar gvenilirdir? Yani, bu yolla elde edilen ortalama deerin standart sapmas ne kadardr? 2. Eer belirli zaman aralndaki ortalama sayma n ile veriliyorsa, herhangi bir en az n bozunmann gzlenme olasl ne olacaktr? 3. Zaman aral 10sden 20sye kartldnda Poisson dalmnn hangi dalma yaklat- n syleyebilirsiniz?

4

MAXWELL BOLTZMANN HIZ DAILIMI Deneyde Kullanlan Aralar Maxwell Boltzmann hz dalm deney seti, 4embersel oluklu sektr, neon lambas, 400-500 cam bilye, potansiyometre, balant kablolar. GR Birbirinden bamsz paracklarn oluturduu T scaklnda bulunan ve s deposu ile yalnzca sl etkilemede olan bir sistemin r kuantum durumunda bulunma olasln veren dalma kanonik dalm denir. Bu dalma gre bir sistemi r durumunda, r enerjisinde bulma olasl

P er r (1)

dir. Burada 1)( = kT sistemin sl dengede olduu s deposuna ilikin mutlak scaklk parametresidir. V hacminde, T scaklnda sl dengede bir ideal gaz gz nne alalm. Bu gaz molekllerinin klasik olarak incelenebileceini varsayalm. Bu gazn yalnzca bir molekln gz nne aldmzda bu molekle, geri kalan molekllerin oluturduu T scaklndaki s deposu ile sl dengede olan bir sistem gzyle baklabilir. Molekl tek atomlu olsun. Eer gravitasyon gibi d kuvvet alanlar yok saylrsa, bu molekln ile gsterilen enerjisi yalnzca

mpmv22

1 22 == (2) kinetik enerjisidir. Burada gazn yeterince seyreltilmi olduunu kabul ediyoruz. Bu nedenle dier molekllerle etkileim yok saylabilir. Molekln durumu klasik olarak x,y,z konum koordinatlar ve px,py,pz momentum koordinatlar ile belirlenir.

dxdydzrd =3 (3) ve

zyx dpdpdppd =3 (4)

olmak zere kanonik dalmdan yararlanarak molekln rG ile rdr GG + arasnda ve pG ile pdp GG + arasnda olma olasl

( )2 23 3 3 3( , ) p mP r p d rd p e d rd pG G (5) dir. Ayn banty momentum yerine hz cinsinden de yazabiliriz. mpv GG = molekl rG ile

rdr GG + arasnda bir yerde ve vG ile vdv GG + aralnda bir hza sahip olma olasl

5

( )P r v d rd v e d rd vmv'( , )G G 3 3 1 2 3 32 (6) dir.

vdvf 3)( birim hcrede hzlar vG ile vdv GG + aralnda yer alan paracklarn says olmak zere

f v d v NP r v d rd vd r

( ) '( , )33 3

3= (7)

( )f v d v Ce d vmv( ) 3 1 2 32= (8)

P' (ya da f) yalnzca v nin byklne baldr, dorultusuna bal deildir (niin?). Eitlik 8de tm olas hzlar zerinden toplamn birim hcredeki molekllerin ortalama says olan nye eit olmas gerekir. Bu ilem yapldnda

C n m=

2

3 2 (9)

olarak bulunur. KURAMSAL BLG Maxwell-Boltzmann Paracklar Bu tr paracklar birbirinden ayrt edilebilir ve herhangi bir enerji dzeyine ya da durumuna yollanan parack saysnda

E ii

= N Nii

= (10) koullarna uyulduu srece, bir kstlama yoktur. Birim hacimde, hzlar ( )v v v ile v dv+ aralndaki molekllerin ortalama says F v dv( ) , bu aralkta hza sahip tm molekllerin zerinden dorultuya baklmakszn toplam alnarak bulunur.

F v dv f v d v( ) ( )= 3 (11) v v v dv< < + Burada d v3 hz uzaynda i yarap v d yarap v dv+ olan bir kresel kabua kar gelir ve 4 2v dv ile verilir. dv sonsuz kk olduundan f v( ) yalnzca v nin byklne baldr ve kresel kabuun her yerinde ayn deeri alr. Bylece E. 11

F v dv f v v dv( ) ( )= 4 2 (12)

6

ekline dnr. Eitlik 8de verilen f v( ) tek bir molekl iin dzenlenerek Eitlik 12de yerine konulduunda, bir molekln hznn byklnn v ile v dv+ aralnda yaylma olasln veren

dvvekT

mdvvF kTmv 22/2

32

24)(

= (13)

bant elde edilir. Bu bantya Maxwell Boltzmann Hz Dalm fonksiyonu denilmektedir. Dalm fonksiyonu belli bir hz deerinde maksimum bir deere sahip olur ki bu hz deerine en olas hz veno ad verilmektedir. Gerekli trev alma ilemi yapldnda

veno kTm= 2 (14)

olarak bulunur. Eitlik 13de veno ksaltmas kullanlrsa, dalm fonksiyonu

F v vv

eeno

v veno( ) /= 42

32 2

(15) ekline dnr. Bu fonksiyonu sistemdeki toplam parack says N ile arparsak, hzlarnn bykl v ile v dv+ aralnda yaylan molekllerin saysn veren dalm fonksiyonunu elde ederiz.

n(v)N v

ve

eno

v /veno= 42

32 2

(16) te yandan molekln hznn byklnn ortalamas,

v F v vdv= ( )0

(17) ortalama deer bantsndan bulunabilir. Burada (13) bants kullanlrsa,

( )v m kT e v dv kT mmv kT= =4 2 83 2 2 30

1 22 ( / ) // / (18)

bulunur. Bu hz ou kez moleklsel hz olarak bilinir. Hzn karesinin ortalamas ise,

[ ]v P v v dv m kT e v dv kT mmv kT2 2 3 20

2 4

04 2 3

2= = = ( ) ( / ) // / (19)

7

bulunur. Hzn karesinin ortalamasnn karekk olarak tanmlanan ve ksaca vkok ile gsterilen hz,

v kT mkok = ( / ) /3 1 2 (20) olacaktr. Deney sisteminde bilyeler eik at hareketi yaptklar iin konumlar ve hzlar arasndan u ekilde bir iliki vardr:

x vt h gt thg

x vhg

v xgh

= = = = =, , , ,12

2 22

2 (21)

Hz dalm fonksiyonu bilyelerin konumuna gre yeniden dzenlenirse,

( )n x N

mkT

gh

x emgx h

kT( ) =

4

2 2

32

32

22

22

(22)

ekline dnr. Bu fonksiyon da belli bir x deerinde maksimum deer alr ki bu konuma en olas konum denir. Eitlik 22 kullanlarak gerekli hesaplama yapldnda enox iin

gh

enomghkT

eno vx 24 == (23) ifadesi elde edilir. Bu durumda dalm fonksiyonu

n xN x

xe

eno

x xeno( ) /= 42

3

2 2

(24)

olarak dzenlenebilir. Deneyde dalma katlan bilye says net olarak bilinmedii iin dalm fonksiyonundaki N says belli deildir. Bu nedenle fonksiyonun her deneyde dalma katlan efektif bilye saysna gre yeniden dzenlenmesi gerekmektedir. Bu amala, A bir sabit olmak zere, dalm fonksiyonunu aadaki ekilde yazmak mmkndr.

n x Axx

eeno

x xeno( ) /= 2

3

2 2

(25)

Deneysel olarak bulunan xeno ve n xeno( ) deerleri kullanlarak A sabiti bulunabilir. Maxwell-Boltzmann hz dalmnn geerli olduu snrlar Maxwell hz dalmna ularken kanonik dalm klasik yaklam iin kullandk ve burada bu klasik tanmn geerlilii iin

8

=>>00 PS yani S p0 00

02>> = = = (26)

Burada S0 ortalama serbest yol, 0 De Broglie dalgaboyudur. T scaklnda, m ktleli bir gazn p0 en olas momentumunun bykl bu molekln veno hzndan bulunabilir.

p mv mkTeno0 2 = (27) Buna kar gelen de Broglie dalga boyu

= =00 2

P mkT

(28)

dir. Klasik tanm moleklleri belirli yrngelerde hareket eden ayrt edilebilir paracklar olarak kabul eder. Bu kabuln geerli kalmas iin en yakn iki molekl arasndaki uzaklk S0

S0 0>> (29) olmaldr. Bu koul salanmyorsa kuantum mekaniksel etkiler iin iine girer, zellikle molekllerin ayrt edilemez olmas nem tar. En yakn iki molekl arasndaki S0 uzakln yaklak olarak belirleyebilmek iin her molekln kenar S0 olan bir kpn iinde olduunu dnelim. Bu kpler N tane moleklden oluan gazn V hacmini doldururlar. Bu durumda birim hacimdeki molekl says n = N/V olmak zere,

S N V03 =

(30) dir. Buradan da

SVN

n0

13 1

3= =

(31)

Bu durumda klasik yaklamn geerlilik koulunun kullanlmasyla

=00

13

21

S mkTn=

9

DENEY Deney Dzenei

ekil 1. Maxwell-Boltzmann hz dalm deney dzenei Tablo 1. Deneyle ilgili sabitler

Bilyelerin titretirildii hacim V = 72 cm3

Titreiciye konulan toplam bilye says N = 400 Frekans f = 2500 devir/dakika Bilyelerin dme ykseklii h = 8 cm

Deneyin Yapl ekil 1de verilen deney dzeneini kurun. Titretirici iinde cam bilye olup olmadn kontrol edin, eer titretirici iinde cam bilye var ise ya onlar kartn ya da saysn tespit edin. Ayrca oluklu sektr iinde de bilye bulunmamasn salayn. Cam bilyelerin titretiriciden kn salayacak olan delii kapatn. Cam bilyelerden 400 tane sayarak (varsa titretirici iindekiler de dahil) titretirici iine boaltn. Reosta ile oynayarak bilyeleri titretirmeye balayn. Belli bir frekansa (2500 devir/dakika) ayarlanm olan neon lambasn kullanarak bilyelerin titreim frekansn belirleyin. Bilyelerin k iin titretiricinin deliini aarak 4 dakika bekleyin ve sonra kapatn. embersel sektrlere den bilyeleri baka yerlere dkmeden oluklu sektrlere aktn ve oluklu sektrlerde bilyelerin dalmna bakn. Her bir oluktaki bilyeleri sayarak Tablo 2yi doldurun. Ayn ilemleri t = 8 dakika iin de tekrarlayn. Verilerin Deerlendirilmesi Deneysel verilerden xeno ve n xeno( ) deerlerini belirleyin ve bu deerleri kullanlarak A sabitini hesaplayn. Daha sonra her bir x deeri iin teorik n(x) deerlerini hesaplayarak Tablo 2de yerlerine yazn.

10

Deneysel n(x) deerlerinin x ile deiimini gsteren histogram ve kuramsal olarak elde edilen n(x) deerlerinin x ile deiimini gsteren eriyi ayn grafik zerine izin. Histogram ile dalm fonksiyonunu uyumlu olup olmadn irdeleyin. Ayrca veno , vkok ve v deerlerini de hesaplayarak t sresi ile ilikili midir aklayn. Tablo 2. Deneysel ve kuramsal veriler

t = 4 dak. t = 8 dak. x(cm) n(x) deneysel n(x) kuramsal n(x) deneysel n(x) kuramsal

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

11

SORULAR 1. Maxwell hz dalmna uyan bir molekln kinetik enerjisinin en olas deerini veren en ksa ifadeyi tretiniz. 2. Maxwell hz dalmna uyan bir gaz sisteminde molekllerin hz bileenlerinin byklnn ortalamasn veren ifadeyi bulunuz. 3. Eitlik 8de yer alan C sabitinin Eitlik 9da verilen ifadeye eit olduunu gsteriniz. 4. Gerekli ilemleri yaparak enov , v ,

2v ve enox nin fyde verilen ifadelerini bulunuz. 5. Balangta 400 tane bilye saylarak titretirici iine konulduu halde niin dalma katkda bulunan bilye says bilinmiyor kabul edilerek efektif bilye says hesap edilmektedir?

12

ISIL IINIMIN NCELENMES

Deneyde kullanlan aralar Ima algc, sl ma kb, pencere cam, yanstc malzemeler, milivoltmetre, ohmmetre, termometre, Stefan-Boltzmann lambas, g kayna, ampermetre (03 A), voltmetre (012 V) GR Scakl, mutlak sfr scaklnn stnde olan her cisim s yayar. rnein bir metal stldnda, scaklna bal olarak krmzdan, sar ve beyaza kadar renk alr, baka bir deyile grnr blge frekans aralnda yaynm yapar. Cisimlere ilikin yaynm frekanslar doaldr ki grnr blgenin dnda da deerler alabilir. Bir cismin mas o cismin zerine den nm sourma yetenei ile de yaknda ilgilidir. Cisim sabit scaklkta ise evresi ile sl dengede olduundan, nm yayma hz ile nm sourma hznn ayn olmas gerekir. zerine den tm nm souran ideal cisme siyah cisim ad verilir. Deneysel olarak byle bir ortam duvarlar T scaklnda tutulan ii oyuk bir cisimle gerekletirilebilir. Bu cismin duvarnda alacak kk bir delikten dar kan nmn enerji younluunun incelenmesi 19. yzyl sonlarnda aratrmaclarn balca konusu olmu ve sonuta kuvantum kuramnn ortaya kmasn salamtr. Inm iddetinin frekansa bal olarak incelenmesinden, nmn a) srekli olduu, b) geni bir frekans araln kapsad, c) maksimum iddetin T'ye bal bir dalga boyunda olduu, d) maddenin eklinin ve kullanlan malzemenin nemli olmad e) yalnz T ve frekansna bal olduu gzlenmitir. Oyuk iinde enerji younluunun ( T scaklndaki oyuun birim hacminde ile +d dalga boyu aralndaki enerji) deeri Wien tarafndan termodinamik yntemlerle

u d f T dT ( )( ) = 5

olarak bulunmutur. Daha sonra Stefan siyah cismin toplam nm enerjisi iin

E u d TT= =

( ) 40

bantsn bulmutur. Burada = 5.67x10-8 W/m2K4 Stefan-Boltzmann sabiti, nm yapan yzeyin yaynm katsaysdr. Siyah cisim iin =1 dir. uT()'nn ak ifadesini elde etmek zere siyah cismin duvarlarnn dalga boyunda nm yapan belli sayda titreiciden olutuu ve her bir titreici enerjisinin kT'ye eit olduu varsaylmtr. Buradan Rayleigh ve Jeans, oyuun birim hacminde ile +d dalga boyu aralndaki enerji iin,

dkTdT 48)( =

sonucuna ulamtr. Byk dalga boylarnda bu sonu deneyle uyumludur. Ancak toplam nm enerjisi iin

E dT= =

( )0

kabul edilemez bir sonu verir (ekil.1).

13

ekil 1.

Kuramla deneysel sonular arasndaki bu uyumsuzluu zmek zere Max Planck, 1900 ylnda, deneyle iyi uyuan bir bant nerdi. Bu bantda, bugn Planck deimezi olarak adlandrdmz nemli bir say, h=6.625x10-34 Js yer alyordu. Buna gre oyuk iindeki bir osilatrn enerji sourmas ya da yaynm srekli biimde deil, h gibi bir kuvantumun tam katlar biiminde,

En= nh n=0,1,2,.... deerlerinde gerekleiyordu. Planck nm bants

de

hcd kThcT 118)( /5 =

ile verilir ve deneyle iyi uyum salar.

14

DENEY KESM 1: Isl Inma Giri Deneyin Yapl 1. ekil 2'de gsterilen devreyi kurunuz. 2. Isl ma kbn anz ve g dmesini YKSEK konumuna getiriniz. Kbn direnci

40 k deerine dtnde g dmesini 5.0 konumuna ayarlaynz. 3. Kp sl dengeye ulatnda (ohmmetreden okunan diren deeri yaklak sabit

kaldnda), ma algcn kullanarak, kbn drt farkl yzeyinden yaylan may algc her yzeye dokundurup bu srada voltmetredeki sapmay kaydederek okuyunuz. Ohmmetreden okunan diren deerine kar gelen scakl Tablo.1.'den bulunuz.

4. G dmesinin konumlarn sras ile 6.5, 8.0 ve YKSEK konumlarna ayarlaynz, her

konum iin kbn sl dengeye gelmesini bekledikten sonra yukardaki lmleri tekrarlaynz.

5. Algc, ma kbnn siyah yzeyinden 5 cm uzakla yerletirerek lt deeri

kaydediniz. Daha sonra lmleri araya cam, kpk gibi farkl malzemelerle tekrarlaynz.

ekil 2.

15

KESM 2. Stefan-Boltzmann Yasas Deneyin Yapl 1. Deneyin yapld ortamn scakln ve bu scaklkta Stefan-Boltzmann lambasnn

filaman direncini (Rref) duyarlkl olarak lnz. 2. ekil 3'deki devreyi kurunuz. Devrenin kuruluunda, algcn n yzn filamandan 6

cm uzakta olacak biimde ayarlaynz ve alg ile filamann yksekliklerinin ayn olmasna zen gsteriniz.

ekil 3.

3. G kaynan anz ve 1V - 10 V aralnda 1 V'luk admlarla akm deerlerini ve

milivoltmetreden nma ilikin gerilim deerlerini [Rad(mV)] okuyunuz. NEML UYARI! Algla okumalar hzlca yapnz. Okumalar arasnda algla lamba

arasna bir yanstc levha yerletirerek algcn scaklnn sabit kalmasn salaynz. 4. Her bir gerilim deeri iin Ohm Yasasn kullanarak filaman direncini ve her diren

deerinde

TR R

RTref

refref=

+

bants uyarnca T filaman scakln hesaplaynz. Burada filaman direnci iin scaklk katsaysdr ve tungsten iin = 4.5x10-3 K-1 dir.

5. Rad (mV)-T4 grafiini iziniz ve yorumlaynz.

16

SORULAR 1. Wien yer deitirme yasasn aklaynz ve bu yasay Planck bantsndan tretiniz. 2. Planck bantsn kullanarak siyah cismin yayd nmn scakln 4. kuvveti ile

orantl olduunu gsteriniz. 3. 2500 K'de tutulan bir siyah cisim iin yaynmn maksimum olduu dalgaboyunu bulunuz, elektromagnetik spektrumun hangi blgesine dtn aklaynz. Tablo 1. Isl nm kb iin diren-scaklk verileri. TermistrDirenci ()

Scaklk (C)

TermistrDirenci ()

Scaklk (C)

TermistrDirenci ()

Scaklk (C)

TermistrDirenci ()

Scaklk (C)

TermistrDirenci ()

Scaklk (C)

TermistrDirenci ()

Scaklk (C)

207850 10 66356 34 24415 58 10110 82 4615.1 106 2881.0 130 197560 11 63480 35 23483 59 9767.2 83 4475.0 107 2218.3 131 187840 12 60743 36 22590 60 9437.7 84 4339.7 108 2157.6 132 178650 3 58138 37 21736 61 9120.8 85 4209.1 109 2098.7 133 169950 14 55658 38 20919 62 8816.0 86 4082.9 110 2041.7 134 161730 15 53297 39 20136 63 8522.7 87 3961.1 111 1986.4 135 153950 16 51048 40 19386 64 8240.6 88 3843.4 112 1932.8 136 146580 17 48905 41 18668 65 7969.1 89 3729.7 113 1880.9 137 139610 18 46863 42 17980 66 7707.7 90 3619.8 114 1830.5 138 133000 19 44917 43 17321 67 7456.2 91 3513.6 115 1781.7 139 126740 20 43062 44 16689 68 7214.0 92 3411.0 116 1734.3 140 120810 21 41292 45 16083 69 6980.6 93 3311.8 117 1688.4 141 115190 22 39605 46 15502 70 6755.9 94 3215.8 118 1643.9 142 109850 23 37995 47 14945 71 6539.4 95 3123.0 119 1600.6 143 104800 24 36458 48 14410 72 6330.8 96 3033.3 120 1558.7 144 100000 25 34991 49 13897 73 6129.8 97 2946.5 121 1518.0 145 95447 26 33591 50 13405 74 5936.1 98 2862.5 122 1478.6 146 91126 27 32253 51 12932 75 5749.3 99 2781.3 123 1440.2 147 87022 28 30976 52 12479 76 5569.3 100 2702.7 124 1403.0 148 83124 29 29756 53 12043 77 5395.6 101 2626.6 125 1366.9 149 79422 30 28590 54 11625 78 5228.1 102 2553.0 126 1331.9 150 75903 31 27475 55 11223 79 5066.6 103 2481.7 127 72560 32 26409 56 10837 80 4910.7 104 2412.6 128 69380 33 25390 57 10467 81 4760.3 105 2345.8 129

17

Ad-Soyad:

No:

ISIL IINIMIN NCELENMES KESM I. ISIL IINIMA GR

Konum 5 6,5 8 Yksek Yksek

Yzey Rad (mV) Rad (mV) Rad (mV) Rad (mV) Siyah Yzey Rad (mV)

Siyah 5cm (mV)

Beyaz Cam (mV)

Parlak Al Kat (mV)

Mat Al Kpk (mV)

Kp Scakl (oC) Naylon (mV)

KESM II. STEFAN-BOLTZMANN YASASI T Ref = .. K R Ref = ..

VERLER HESAPLAMALAR

V (V) I (A) Rad (mV) R=V/I () T (K) T4 1013 (K4) 1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

9,00

10,00

11,00

12,00

Tungsten = 4.510 -3 K-1

18

YKLENM ZAR GR Bu deneyde bir ift zar kullanlacaktr; bu iften birinin bir yzne kk kurun paralar eklenerek yklenmi, dieri ise yklenmemitir. Sorun hangi zarn ve hangi yznn yklenmi olduunu bulmaktr. Problemin zm iin eitli yollar nerilebilir. rnein, zarla ayn younlua sahip bir sv kullanlabilir. Zar svnn iine batrlr ve bir yznn her zaman yukar gelip gelmedii not edilir. kinci yntem olarak zar kendinden daha az youn olan viskoz bir svnn iinde dmeye braklabilir. Bir dier yntem de zar birka deiik ekilde balayp asarak ktle merkezini bulmak olabilir. Bu deneyde ans oyunlar yntemi kullanlacaktr. Bu yntemde her zar defalarca atlarak hangi yznn yukar geldii kaydedilir. Bu yntemin kt yan byk hatalar verme olasldr. nk hangi yzn yukar geldii zarn, atld andaki konumuna, dnme derecesine, masaya nasl arptna ve nasl yklendiine baldr. Btn bu etkenlerin geliigzel olduu varsaylr ve zar yeterince ok sayda atlrsa zarn ykl olup olmad ve nasl ykl olduu belirlenebilir. DENEY Deneyde yeil ve krmz renkte iki zar kullanlacaktr. N zarlarn atlma saysn, n de yukar gelen yzeyi gstersin. Bundan dolay n, 1den 6ya kadar deiir. Her saynn ka kez geldii F(n) ile gsterilir ve frekans olarak adlandrlr. rnein bir deneyde 1 says 7 kez, 2 says 5 kez, vb. gelmise F(1) = 7, F(2) = 5, vb. olur. Her zar 10 kez (N=10) atn ve her zar iin her yzn geli frekansn kaydedin. Her frekans iin F(n)/Nyi hesaplayarak her yz iin olasl belirleyin. ekil1dekine benzer olarak bulduunuz deerlerin histogramn izin. Bulunan deneysel olasl, f(n) ile gsterdiimiz kuramsal olaslkla karlatralm. f(n)nin ne olmasn bekleriz? Yklenmemi bir zar iin alt yznn her birinin gelmesi ayn derece de olasdr ve bu nedenle f(n) = 1/6 = 0,1666 olmasn bekleriz. Bu deerden sapma gzlersek ya N ok kktr ve geliigzel dalgalanmalar gze arpacak bykl bulur veya yzeyler arasnda sistematik bir fark vardr (zar ykldr). Burada istatistiksel problem, verilerin zmlenmesi ile f(n) = 1/6dan gzlenen sapmalarn nemli olup olmadnn belirlenmesidir. Fiziksel temele gre unu bekleyebiliriz; Belli bir yz geliigzel frekansla deil de daha sk yukar geliyorsa, zar bunu altta kalan yzn zararna yapyor demektir. Bundan dolay zt yzler iin olaslk farkna bakmak isteriz. ekil 2dekine benzer olarak zt yzlerin fark histogramn izin. Deerlerinizden hangi zarn ve hangi yznn ykl olduunu tahmin edebilir misiniz? Bir deneme yapn.

19

ekil 1. Olaslk histogram

ekil 2. Zt yzler iin olaslk histogram

Her zar 100 kez atarak frekanslar kaydedin. ekil 1 ve 2deki gibi yeni olaslk histogramlarn izin. imdi hangi zarn ykl ve hangi yznn ykl olduunu dnyorsunuz? lk yaptnz doru muydu? Yanlm olmanz olaandr.

0 1 2 3 4 5 60,0

0,1

0,2

0,3

0,4

F(n)

/N

n

-0,3

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

3-42-51-6 F(n

)/N

n

20

imdi aadaki sorular sorabiliriz: 1- Yaptnz ilk 10 atlk deney sonunda verilerinize gre yargnza ne kadar gvenebilirsiniz? 2- 100 atlk sonuca ne kadar gvenebilirsiniz? 3- Elde ettiiniz sonucun doru olabilmesi iin ka at yapmanz gerekiyor? Bunu bilmek phesiz ok faydaldr, nk ykl yz % 95 kesinlikle belirtebilirseniz ata devam etmenin ok az nemi olabilir. Ki-Kare (Chi-square)Testi, 2. Eer N gzlem yaparsak ve her birinin olabilir sonucu varsa ( bir zar iin = 6 ) verilen belli bir olayn gzlenen F(n) frekans ile kuramsal Nf(n) frekans arasndaki beklenen sapma hakknda tahmin yapabiliriz. 60 atta verilen bir n iin frekans beklediimiz gibi 10 deil de 12 olarak bulabiliriz. 600 at iin de 100 yerine 94 bulabiliriz. Burada nemli nokta udur; N at says arttka beklenen ve gzlenen frekanslar arasndaki fark, beklenen frekansn kendisi ile ayn hzla artmaz. Gerekte, bu farkn ortalama olarak beklenen frekansn karekk ile orantl olarak artta inanmak gerekir. Yukardaki ifadeye gre,

[ ] 21Nf(n)Nf(n)-F(n) (1)

nicelii verilen bir n iin 1 basamanda olmaldr. Elde edilebilecek negatif farklar ortadan kaldrmak iin yukardaki ifadenin karesini alrz: Sonra da nnin farkl deeri iin bu terimleri toplarz (zar iin = 6 dr). Sonu genellikle 2 ile gsterilir:

[ ]=n

22

Nf(n)Nf(n)-F(n) (2)

Bu toplamn basamanda olmasn bekleriz; den yeterince bykse, baka bir deyimle gzlenen frekanslar ile beklenen frekanslar arasnda ortalama olarak beklenmedik byk farklar varsa, o zaman gzlemekte olduumuz sistemin beklediimiz gibi ideal dalma uymadndan phelenebiliriz. deal sistem yklenmemi bir zar ise, bunun iin f(n)=1/6dr. 2 nin 6dan byk bir deeri zarn yklenmi olduunu gsterir. Btn durumlarn eit olaslkl olduunda f(n) =1/ dur. Ayrca F(n) = N olgusundan da yararlanabiliriz. Bu durumda Eitlik (2)yi basitletirerek

=

n

22 1

NF(n)N (3)

elde ederiz. rnein ekil 1de gsterilen deerler iin

21

{ } 4.41)24.0(6102 == (4)

dr. Bu basamanda olduuna gre gzlenen sapmalarn nemli olmadn kabul edebiliriz. Fakat sapmalarn nemli olup olmadna nasl karar veriyoruz? Her bir 10 atlk dizi iin 2 deerini hesaplayarak bu 10 atlk diziyi ok sayda tekrarladmz kabul edelim. 2 iin ekil 3deki gibi normalletirilmi bir dalm bekleriz. Verilen 2 deeri, dalmda daha byk deer alma olasl ile belirginleir. Bu, belli bir deeri aan 2 deerine rastlayacak erinin altnda kalan alann yzdesidir. Buna P gvenilirlik dzeyi denir. Kk bir gvenilirlik dzeyi, olaylarn dalmnn gelii gzel olma olaslnn ok kk olduunu anlatr. u halde incelediimiz durumda ykl bir zarn byk bir ki-karesi olacak ve bunu tutan gvenilirlik dzeyinin de kk olmas gerekecektir. Tablo1de 2 nin alt olay iin deiik gvenilirlik dzeylerindeki deerleri verilmitir. O halde 2 nin 4,4 deeri iin dalmn gelii gzel olduuna hemen hemen % 80 gvenebiliriz. Bu, daha byk N iin sapmalar grlmeyecek demek deildir. Sadece 10 at iin sapmalarn nemli olmadn sylyor.

ekil 3. Gvenilirlik dzeyi Tablo1. Gvenilirlik dzeyleri

Gvenilirlik Dzeyleri(%) P = 6

2 99 0.872 98 1.134 95 1.635 90 2.204 80 3.070 20 8.558 10 10.645 5 12.592 2 15.033 1 16.812

0.1 22.452

F (2)

21-P P

0

22

Yeil ve krmz zarlar iin 10 ve 100 attaki ki-kareleri hesaplayn. Hangi zarn yklenmi olduunu dnyorsunuz? Gvenilirlik dzeyiniz nedir? (Burada istatistiksel bir dalgalanma gzlyorsunuz.) SORULAR 1. Yklenmemi bir zar iin teorik f(n) olaslklar

=

=6

1n1f(n)

bantsn salamaldr. Neden? Eer zar yklenmi ise bu bant yine salanr m? Aklayn. 2. Bir parann 100 defa havaya atldn ve sonucun 54 yaz 46 tura geldiini kabul edin. Parann hileli olup olmad hakknda ne syleyebilirsiniz? 3. Soru 1deki bantya gre f(n)nin alt deerinin hepsi de bamsz deildir; herhangi bei bilinirse altncs hesaplanabilir. Bu 2 snamasn = 6 yerine = 5 alacanz m sylyor? Aklayn. 4. Hilesiz (simetrik) bir madeni para birok defalar atlrsa yazlarn turalara oran bire yaklamaldr. Bu ayrca yaz ve tura says arasndaki farkn sfra yaklaaca anlamna gelir mi? Yani fark, deneme says ile birlikte ok byk deerlere ularken oran yine de bire yaklaabilir mi? Aklayn. 5. 2 snamas veya bunun deitirilmi bir ekli, ykl bir zarn hangi tarafnn ykl olduunu bulmada kullanlabilir mi? Bunun nasl yaplabileceini anlatn.

23

2 Deerleri : Serbestlik derecesi OLASILIK 0.99 0.98 0.95 0.90 0.80 0.70 0.50 0.30 0.20 0.10 0.05 0.02 0.01 0.001 1 .00016 .00063 .0039 .016 .064 .15 .46 1.07 1.64 2.71 3.84 5.41 6.64 10.83

2 .02 .04 .10 .21 .45 .71 1.39 2.41 3.22 4.60 5.99 7.82 9.21 13.82

3 .12 .18 .35 .58 1.00 1.42 2.37 3.66 4.64 6.25 7.82 9.84 11.34 16.27

4 .30 .43 .71 1.06 1.65 2.20 3.36 4.88 5.99 7.78 9.49 11.67 13.28 18.46

5 .55 .75 1.14 1.61 2.34 3.00 4.35 6.06 7.29 9.24 11.07 13.39 15.09 20.52

6 .87 1.13 1.64 2.20 3.07 3.83 5.35 7.23 8.56 10.64 12.59 15.03 16.81 22.46

7 1.24 1.56 2.17 2.83 3.82 4.67 6.35 8.38 9.80 12.02 14.07 16.62 18.48 24.32

8 1.65 2.03 2.73 3.49 4.59 5.53 7.34 9.52 11.03 13.36 15.51 18.17 20.09 26.12

9 2.09 2.53 3.32 4.17 5.38 6.39 8.34 10.66 12.24 14.68 16.92 19.68 21.67 27.88

10 2.56 3.06 3.94 4.86 6.18 7.27 9.34 11.78 13.44 15.99 18.31 21.16 23.21 29.59

11 3.05 3.61 4.58 5.58 6.99 8.15 10.34 12.90 14.63 17.28 19.68 22.62 24.72 31.26

12 3.57 4.18 5.23 6.30 7.81 9.03 11.34 14.01 15.81 18.55 21.03 24.05 26.22 32.91

13 4.11 4.76 5.89 7.04 8.63 9.93 12.34 15.12 16.98 19.81 22.36 25.47 27.69 34.53

14 4.66 5.37 6.57 7.79 9.47 10.82 13.34 16.22 18.15 21.06 23.68 26.87 29.14 36.12

15 5.23 5.98 7.26 8.55 10.31 11.72 14.34 17.32 19.31 22.31 25.00 28.26 30.58 37.70

16 5.81 6.61 7.96 9.31 11.15 12.62 15.34 18.42 20.46 23.54 26.30 29.63 32.00 39.29

17 6.41 7.26 8.67 10.08 12.00 13.53 16.34 19.51 21.62 24.77 27.59 31.00 33.41 40.75

18 7.02 7.91 9.39 10.86 12.86 14.44 17.34 20.60 22.76 25.99 28.87 32.35 34.80 42.31

19 7.63 8.57 10.12 11.65 13.72 15.35 18.34 21.69 23.90 27.20 30.14 33.69 36.19 43.82

20 8.26 9.24 10.85 12.44 14.58 16.27 19.34 22.78 25.04 28.41 31.41 35.02 37.57 45.32

21 8.90 9.92 11.59 13.24 15.44 17.18 20.34 23.86 26.17 29.62 32.67 36.34 38.93 46.80

22 9.54 10.60 12.34 14.04 16.31 18.10 21.24 24.94 27.30 30.81 33.92 37.66 40.29 48.27

23 10.20 11.29 13.09 14.85 17.19 19.02 22.34 26.02 28.43 32.01 35.17 38.97 41.64 49.73

24 10.86 11.99 13.85 15.66 18.06 19.94 23.34 27.10 29.55 33.20 36.42 40.27 42.98 51.18

25 11.52 12.70 14.61 16.47 18.94 20.87 24.34 28.17 30.68 34.38 37.65 41.57 44.31 52.62

26 12.20 13.41 15.38 17.29 19.82 21.79 25.34 29.25 31.80 35.56 38.88 42.86 45.64 54.05

27 12.88 14.12 16.15 18.11 20.70 22.72 26.34 30.32 32.91 36.74 40.11 44.14 46.96 55.48

28 13.56 14.85 16.93 18.94 21.59 23.65 27.34 31.39 34.03 37.92 41.34 45.42 48.28 56.89

29 14.26 15.57 17.71 19.77 22.48 24.58 28.34 32.46 35.14 39.09 42.56 46.69 49.59 58.30

30 14.95 16.31 18.49 20.60 23.36 25.51 29.34 33.53 36.25 40.26 43.77 47.96 50.89 59.70

24

OLASILIK DAILIMI Deneyde Kullanlan Aralar Deiik renkte 3 adet 20 yzl zar. Bu zarlarn yzlerinde 0 dan 9 a kadar olan saylar ikier kez yazlmtr. GR

Bir rakaml bir geliigzel saylar izelgesinde 0dan 9a kadar olan saylar ayn olaslkla ortaya karlar. rnein ok sayda tek rakamn bulunduu byk bir listedeki 7leri sayarsak 7lerin says, toplam rakam saysnn yaklak onda biridir. Toplam rakam says bydke oran onda bire daha da yaklar. Geliigzel seilen bir saynn 7 kma olasl 1/10 dur dendiinde anlatlmak istenen budur. Ayn ekilde madeni bir para atld zaman, yaz gelme olasl 1/2 dir. Bunun anlam ok sayda at yaplrsa yaz saysnn, toplam at saysna oran 1/2 olacaktr. Bu sylenenler ancak parann fiziksel olarak bir yana eilimi olmad durumlar iin geerlidir.

Deneyde 20 yzl 3 zar kullanarak basamakl bir say izelgesi hazrlanacaktr. Zarlar hilesiz ise her zar zerindeki say gelii gzel olacaktr. Geliigzel say izelgesi eitli olaslk dalmlarnn deneysel olarak incelenmesinde ve deney sonularnn kuramsal beklentilerle karlatrlmasnda kullanlacaktr. Bir say kmesini olutururken, zellikle bu saylar deneysel bir l veya bir snav sonucu ile ilgili ise, bu saylar grubunun baz ilgin zellikleri vardr. Bu zelliklerden en belirgini genellikle ortalama deer veya ksaca ortalama denen aritmetik ortalamadr. Snavda ortalama neydi? Aldn not ortalamann altnda m stnde mi?sorular her snfta duyulur. renciler tarafndan alnan tm puanlar toplanarak bulunan sonu, renci saysna blnr. n1 , n2 , n3 .....,nN veya bir rnei ni (i =1,2,.....N ) ile gsterilen N tane say varsa, ve bunlarn ortalama deeri n ile gsterilirse,tanma gre;

Nnnn

n N21+++= ...

N1=

=

N

1iin ( 1 )

olacaktr. Ortalama deer bulunduktan sonra ilgin baka bir soru, deiik saylarn, ortalama deerden, ortalama olarak ne kadar farkl olduudur. rnek olarak: Eer bir snav sonucunun ortalamas 70 ve sonularn ou 65 ile 75 arasnda ise serpilme ok fazla deil, fakat sonular 20den 99a kadar yaylmsa serpilme olduka byktr.Ak olarak grlyor ki 60 puann iki durumdaki yeri farkldr.yleyse dalganln da nicel olarak llmesi gerekir. Bu dalmaya genel olarak serpilme veya dalganlk(dispersiyon) denir. Dalganl bulmak iin u yaplabilir: Her say ile ortalama arasndaki fark ve bu farklarn ortalamas alnabilir. Baz farklar pozitif dierleri negatif olduu iin bir takm glkler ortaya kar. Gerekte farklar ortalamasnn sfr olduunu dorulamak kolaydr. Bu gl ortadan kaldrmak iin her farkn karesini alarak pozitif saylar elde edilir. Kareleri toplayp N ye blerek ortalamay bulur ve sonra da karekk alnr. Sonuca bazen kare ortalama karekk veya kok sapmas

25

denir; fakat asl ad standart sapmadr. Bu ekilde llen dalganlk genellikle ile gsterilir. Yukarda szle verilen tanm aadaki ifade ile verilir.

= ( ) ( ) ( )N

nnnnnn 2N2

22

1 +++ ... = ( )=

N

1i

2i nnN

1 (2)

Standart sapmann karesi olan 2 byklne genellikle varyans (variance) denir. ou kez zel bir say setinin(grubunun) ortalamas ve varyans ile bu saylarn seildii ve nceden varolduu kabul edilen bir saylar grubunun ortalamas ve varyansn ayrt etmek gerekir. rnein yirmi yzl zarlardan biri ele alnm olsun. Btn saylar ayni olaslkla kyorsa ortalamann tam 4.50 olmas gerektii kolaylkla grlebilir. Eer zar 36 kez atlrsa elde edilen sonu 4.50 den biraz farkl olabilir ve eer 9 kez atlrsa ortalamann 4.50 a yakn olmas sz konusu olamaz. Belli bir deneyde elde edilmi saylar grubu olan bir rnek dalm ile bu dalmn alnm olduu, ok saydan olumu ana dalmn birbirinden ayrt edilmesi gerekir. Ayni ekilde, ele alnan rnekte tam olarak 4.50 olan ana ortalama ile genellikle biraz farkl olan rnek ortalamay da birbirinden ayrt edmek gerekir. ou kez rnek dalmn iindeki eleman says fazla olmas durumunda, ana dalma ok yakn sonular vermesi beklenir. Benzer ekilde rnek varyans ve ana varyans gibi tanmlar da yaplabilir.. DENEY Yirmi yzl zardan elde edilen saylar izelge 1 e geirerek 360 rakaml bir geliigzel saylar izelgesi kurun. Zarlardan saylar okurken hep ayn sray izleyin (rnein krmz, sar, mavi) . Bu kural neden nemlidir? zarla bir tek atta say elde ederek kurulmu bir say izelgesini, bir atta bir say elde ederek kurulan izelgeden ayrt edebilir misiniz?

Her saynn (0 dan 9 a kadar) izelgede ka kez tekrarlandn izelge 2A ya geirin ve bu saymalardan her saynn tekrarlanma olasln hesaplayn. Sonularnz ana dalmdaki kuramsal olaslklarla ne kadar uyuuyor? izelge 1 den 36 saylk bir alt grup sein. Geliigzellii salamak iin ardarda bir say dizisi semek faydaldr. Bu saylarn frekanslarn ve hesaplanan olaslklarn izelge 2Bye kaydedin. Bu say rneinin ortalamasn ve varyansn hesaplayn. Sonularnz aada hesaplanan ana ortalama ile ve varyansla karlatrn. Ayrca izelge1in tm iin orta lamay ve varyans hesaplyarak ana deerlerle karlatrn. Ayr ayr saylarla uraacak yerde her saynn k frekansn kullanrsanz hesaplar kolaylar. rnein, ni says rnek iinde Fi kez km ise rnek ortalamas:

n =...

...++++

21

2211

FFFnFn =

i

ii

FFn

( 3 )

ile verilir.

26

ZELGE 1.

ZELGE 2A ZELGE 2B _____________________________ ____________________________

Say Frekans Olaslk Say Frekans Olaslk 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

6 6 7 7 8 8 9 9

Toplamlarda 36 veya 360 yerine sadece 10 terim alnmtr. Benzerince rnek varyans

2 = ( )

i

2ii

FnnF

( 4 )

27

olur. unu da belirtelim ki, her iki durumda Fi rnekteki rakam says toplam olan N ye eittir. Bu halde ana dalmdaki btn i ler iin Fi = N / 10 bekleriz. O zaman Denklem (3 )

== 5410nn i ./ verir ve Denklem ( 4)de

2 = ( )10

nn 2i = 10

n 2i - 2n =28.50 20.25 = 8.25 ( 5 )

verir. 36 veya 120 girile snrl bir rnekte ortalamay tam 4.5 bulamazsak bize pek artc gelmemeli. Buna karn daha byk rnekler iin kabulmzn doru kacan beklemek gerekir. Sonularmzn akla yakn olup olmadna sezile karar verin. Ayrca rnek byklne bakarak uyumann dzelip dzelmediine dikkat edin. Neyin uygun bir sapma salad Binom Dalm deneyinde ele alnarak tartlmaktadr.

Rakam iftleri

imdi 100 rakam ifti sein. Bu basite her rakaml gruplar serisinde soldaki ilk iki rakamn almakla yaplr. Her iftin toplamn alarak deeri 0 ile 18 arasnda 100 say elde edin. Bu rakamlarn toplamlarnn k olasl ayni deildir. nk bunlarn ou farkl birka ekilde oluturulur. izelge 3 her toplamn kabilecei eitli yollar ve bunlarn olaslklarn tam olarak vermektedir. Bu izelgeyi tamamlayn. Olaslklar toplam bire eit oluyor mu?

Setiiniz 100 iftli rnekte 0 ile 18 arasndaki her saynn k frekansn izelge 4 e yazn. Toplam ift saysna blerek rnek olasln hesaplayn izelge 3 de verilen ana deerlerle karlatrn. rneinizin ortalama deerini hesaplayn ve bunu ana ortalama deer olan 9 says ile karlatrn. rneinizin varyansn hesaplayn 16.50 ana deeri ile karlatrabilirsiniz. ki rakaml saylarn toplam ile ilgili varyansn bir rakaml saylarn varyansnn iki katna eit olduuna dikkat edin.

28

ZELGE 3.

Toplam Olaslk 0 00 1/100 = 0.01 1 01 10 2/100 = 0.02 2 02 11 20 3/100 = 0.03 3 03 12 21 30 4/100 = 0.04 4 04 13 22 31 40 5/100 = 0.05 5 6 7

8 9 10 11 12 13

14 15

16 79 88 97 3/100 = 0.03 17 89 98 2/100 = 0.02 18 99 1/100 = 0.01

ZELGE 4

Say Frekans Olaslk Say Frekans Olaslk 0 10 1 11 2 12 3 13 4 14 5 15 6 16 7 17 8 18 9

29

SORULAR

1. Hava raporundaki yamur olasl onda birdir denirse, bundan ne anlyorsunuz? Bu durum hangi anlamda istatiksel bir rnektir?

2. Her biri 0 ile 9 arasnda geliigzel 5 saydan hepsinin, sadece birinin 7 olma

olasl ile hibirinin 7 olmama olasl nedir?

3. N sayda bir grup iin ortalama deerden sapmalarn ortalamasnn 0a eit olduunu gsterin.

4. Geliigzel saylar izelgesinin tam anlamyla geliigzel olmasn engelleyecek hata

kaynaklar nelerdir?

5. Herhangi N tane ni saylar grubu iin varyansn 2 =ort- ( n )2 ile verildiini gsteriniz. Burada ort simgesi 2in nin ortalamasn gsterir.

6. p tane ni saysnn toplamnn varyansnn, bir tek ni saysnn varyans defa p olduunu

gsteriniz. Ortalama deer p ile oranl biimde deiirken standart sapmann sadece karekk p ile azaldna dikkat edin. Buna gre toplam ierisinde ne kadar ok rakam bulunursa ortalamaya gre olan dalm o kadar dar olacaktr.

7. izelge1de olaslklar toplamnn 1 olduunu, toplam ilemi yapmadan gsteriniz. Yol

gs.: lk N tam saysnn toplam N(N+1)/2 dir.

8. Geliigzel iki rakam toplamlarnn dalm iin ana ortalama ve varyans deerlerini tretiniz.

30

BNOM DAILIMI GR Bu deneyde binom dalm diye bilinen, ok yararl zel bir olaslk dalmn incelemek iin geliigzel saylar izelgenizi ve baz basit deney aralarn kullanacaksnz. Binom dalmn tantmak amacyla baz para atma problemleri ile ie balayalm. Simetrik bir para atldnda bunun "yaz" gelmesi veya "tura gelmesi olasl 1/2'dir (yani %50). Parann d eklini denetleyemeyiz ve her at daha nceki tm atlardan bamszdr. Bu nedenle bir attan yaz kmsa, bir yaz daha gelme olasl yine 1/2'dir; para bir nceki at hatrlamaz. Bu srada iki yaz gelme olasl nedir? Bu deiik bir sorudur. Bu olayn kmas her birinin baar olasl 1/2 olan bamsz iki ayr olayn olularna baldr. Bileik olayn olasl ayr olaslklarn arpmna, veya 1/4'e eittir. Bu sonucu deiik bir yoldan elde etmek iin una dikkat etmek gerekir; para iki defa atlrsa eit olaslkl drt ayr olay vardr: YY YT TY TT Bu drdnden yalnz bir tanesi istediimiz olaydr, o halde olaslk 1/4'dr. Bir paray ardsra artacak yerde, iki zde paray ayn anda atarak da ayn sonucu elde edebiliriz. Zaman srasnn bir nemi yoktur. at halinde, her atn olabilir iki sonucu bulunduu iin olasl eit olaylarn toplam says 23 veya 8'dir. Bu olaylar unlardr: YYY YYT YTY YTT TYY TYT TTY TTT u halde arka arkaya yaz elde etme olasl 1/8dir. Gerekten yukardaki olaylarn her biri iin olaslk (1/2)3tr. N at halinde yaz ve turalarn herhangi bir dizilii iin olaslk (1/2)N olur. imdi biraz daha deiik bir soru soralm. atta iki yaz gelme olasl nedir? Bu sonucu veren deiik dizili vardr; YYT, YTY ve TYY. Her birinin olasl 1/8 olduuna gre toplam olaslk 3/8'dir. Ayni ekilde atta bir tek yaz gelme olasl da 3/8 olacaktr. Sfr ile arasnda herhangi bir yaz gelme olasl 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1'dir. Byle olmas da pek artc olmasa gerek. N atta n yaz gelme olasl nedir? lk nce, n yazyla, N - n turann herhangi zel bir dizilii iin olaslk (1/2)N'dir. Fakat n yaz ka deiik dzenleme iinde gelebilir? Yani, her defasnda N saysnn n tanesi alnarak yaplabilecek dzenleme ka tanedir? Bu soruyu cevaplandrmak iin her birinin ayr bir dme yeri olan N tane paramz bulunduunu dnmek yararldr. n tane yazy bu yerlere datrken bunlardan birincisi iin N tane yer semeye hakkmz var. Bu yerlerden her birine karlk geri kalan N - 1 yeri ikinci yazya, bunlardan her birisi iin de N - 2 yeri nc yazya vb. seerek gider, sonunda n inci yazy geri kalan ( N - n + 1 ) yerden birine yerletirebiliriz. Buna gre N at arasnda n yaznn toplam dzenlenim says N(N-1) (N-2) (N-3)....( N - n + 1 ) (1)

31

gibi olacaktr. Fakat bu doru deildir, nk aslnda edeer olan ok sayda dzenlenii farklym gibi saydk. n yazdan hangilerinin ayr konumlarda olduu bizi ilgilendirmez; yaz yazdr. O halde gerek saysn bulmak iin bunu, n yaznn kendi aralarnda dzenlenilerinin ka ekilde yeniden dzenlenebileceini gsteren sayya blmemiz gerekmektedir. Bunu hesaplamak iin n saynn yeni batan dzenleniinde n tane yazdan herhangi birini nce, geri kalan n - 1 taneden herhangi birisini ikinci olarak seip sonuta bir tek yaz kalncaya kadar bu ileme devam edebileceimize dikkat ediniz. n cismin byle dzenlenme saysna genel olarak n cismin yerdeitirme (permutasyon) says denir, basit bir ekilde n(n-1) (n-2)...(3) (2) (1) = n! (2) olacaktr. n! ifadesi "n faktriyel" diye okunur ve n'den balayp birer birim azalan btn tam saylarn arpmnn ksaltlmn gsterir. Tanm olarak 0! = 1'dir. Demek ki N denemedeki n yazy eitli dzenler iinde sralama says ( buna genellikle her defasnda n tanesi seilen N cismin birletirim ( kombinezon) says denir.)

!n

)1nN)....(2N)(1N(N + (3)

dir. ou kez

nN ile gsterilen bu ifade, pay ve payda (N n) ! ile arplp

basitletirilerek aadaki ekle konabilir.

nN =

!n)!nN(!N

(4) Son olarak, PN(n) ile gstereceiniz N atta n yaz elde etme olasl

PN(n) = ( 21 )N

!n)!nN(!N

= ( 21 )N

nN (5)

olacaktr. Bunu snamak iin 3/8 olduunu bildiimiz 3 atta iki yaz elde etme olasln hesaplayabiliriz. Bu durumda n = 2 ve N = 3'tr.

P3(2) = ( 21 )3

!2)!23(!3

= 83

O halde bulduumuz ifade iliyor! Olaan baka durumlar snayabilirsiniz. imdi kk bir

32

genelletirmeye gidelim. Para atnda bir tek yaz iin olaslk 1/2 alnmt. Yine N bamsz olaymz bulunsun, fakat her birinin kazanma olasl 1/2 deil, 0 ile 1 arasnda bulunan baka bir p says olsun. Buna gre N denemenin tam n tanesinin kazanma olasl ne olacaktr? Btn hesaplar basit bir deiiklikle daha nce yaplanlar gibidir. n kazanmann zel bir ekilde dzenleni olasln bulmamz ve bunu yine Denk.(4) ile verilen n kazancn N deneme arasndan seilme yollar says ile arpmamz gerekiyor. n kazanma ve N - n tane kaybetmenin zel bir dzenlenii iin olasl, p kazanma, q = 1 - p'de kaybetme olasl olmak zere nNnnNn )p1(pqp = (6) dir. Her denemede kazanma olasl p olduuna gre N denemede tam n kez kazanma olasl

)n(P p,N =nNnqp

nN = nNnqp

!n)!nN(!N

(7)

olacaktr. Dikkat edilirse para atma deneyinde p = q = 1/2 olduu iin bu ifade ncekine indirgenmektedir. Genelletirilmi olaslk formlnn basit bir uygulamas olarak birka tane yirmi yzl zarn atldn dnelim: rnein byle 3 zar attmz zaman, iki 7 elde etme olasl nedir? Her ayr olay iin p olasl 1/10, N = 3 ve n = 2'dir. Buna gre olaslk

P3,1/10 (2) = ( 101 )2 (

109 )3-2

!2)!23(!3

= 0.027 dir. Denk (7) ile verilen olaslk dalmna, binom almnn katsaylar ile yakn ilikisi nedeniyle binom dalm denir. Gerekten,

(q + p ) N = nNqN

0n

np = nN = 0N q N + 1N q N-1p +

2N

q N-2 p 2 + +

NN

p N (8)

olduunu gstermek g deildir. Buradan beklenildii gibi hemen

1)n(PN

0np,N =

= (9)

33

olduunu gryoruz. ( Bunu neden bekledik?) Binom dalmnda n'nin ortalama deeri ilgi ekicidir. Bir an iin N tane para atma problemi dnlrse, yazlarn ortalamasnn veya ortalama deerinin N deney says ile her atta yaz gelme olaslnn yani 1/2'nin arpmna, baka deyimle N/2'ye eit olduu aktr. Biraz daha az ak olsa da P'nin 1/2'ye eit olmad halde de n ortalama deerinin n = Np (10) ye eit olaca akla yatkndr. Bunun doru olduu gsterilebilir; fakat bir takm hesap "oyun" lar gerektirdiinden burada verilmeyecektir. Benzer oyunlarla1 dalmn "geniliini" veren dalma ( varians ) da hesaplanabilir. Bu ise 2 = N p q (11) ile verilmektedir. POSSON DAILIMI N'nin byk deerleri iin byk saylarn faktriyelleri sz konusu olduundan binom dalm forml kullansz hale gelir. Bu halde kullanlmas ok daha kolay olan yaklak ifadelerin elde bulunmas iyi bir rastlantdr. Burada, N byrken p'nin ok kld ve bylece n = Np ortalama deerinin sonlu kald hallerde geerli olan ve Possion dalmna gtren yaklakl ele alacaz. N byrken p'nin klmedii farkl bir yaklaklk Deney M 6'da incelenecektir. Bu yaklakln verecei dalm normal veya Gauss dalmdr. N'nin ok byk ve p'nin ok kk olduu durumlarda geerli olan yaklaklk aadaki gibidir: (Bu snrda n'nin uygun olaslkl deerleri ancak N'ye gre ok kktr.) nce,

)!nN(

!N = N ( N - 1 ) (N - n + 1) (12)

arpann dnelim. Bu, N'den pek farkl olmayan n terimin arpmdr. Bu nedenle Denk. (12) ifadesinin yerine Nn alacaz. kinci olarak qN-n arpann

== nNnN )p1(qn)p1(

N)p1(

(13)

eklinde yazalm. Burada payda hemen hemen bire eittir, nk bire ok yakn bir saynn ok byk olmayan bir kuvveti alnmtr. Bylece aadaki ifade elde edilir.

1 Dorulamann ayrntlar iin bk: H. D. Young- Statistical Treatment of Experimental Data, Mc Graw Hill Book Company, New York, 1962.

34

)n(p,NP Nn )p1(p !n)p1()Np(

!nN Nnn = (14)

N'yi yok etmek iin a = Np ksaltmasn yaparsak;

ap/1)p1(

!n

na!n

p/a)p1(na)n(aP

= (15) olur. Geriye kalan i aadaki

lim (1-p)1/P p0 limitini hesaplamaktr: Bu limit btn analiz giri kitaplarnda incelenmekte ve deerinin, e doal logaritma taban olmak zere 1/e'ye eit olduu gsterilmektedir. Sonuta Poisson dalm denen

!n

aena)n(aP

= (16) bantsn elde ederiz. Bu ifadede asl binom dalmnn belirtgin N ve p sabitleri yerine bir tek a sabiti gelmektedir. Bu farkn nedeni binom dalmnn Np arpm sonlu kalacak ekilde N'a ve p0'a giderken limitini alm olmamzdr. Poisson dalmnn elde edili ekline bakarak, olay saysnn ok byk ve bir olayn kazanma olaslnn ok kk olduu, bylece a = Np arpmnn sonlu kald durumlara uyan dalmn bu olduu bilinmelidir. Possion dalmnn en genel uygulama yerlerinden biri radyoaktivitenin anlatmdr. Elimizde herbirinin belli bir zaman aralnda bozunma olasl 10-19 olan 1020 tane radyoaktif ekirdek bulunabilir. Bu zaman aralndaki toplam paralanma says N = 1020, p = 10-19 ve a = 10 olmak zere Poisson dalm gsterir. Poisson dalm iin n ortalama deerini ve varians, binom dalmnda bunlara uyan Denk (10) ile (11)'de verilen niceliklerden dolaysz olarak hemen hesaplayabiliriz. q bire ok yakn olduundan a parametresi cinsinden aadaki basit sonular buluruz. n = a 2 = a (17) DENEY 1. Deney 4 iin hazrlanan geliigzel saylar izelgesi binom ve Poisson dalmlar iin

ilgin rnekler verir. Yirmi yzl zar ile elde edilen -rakaml geliigzel saylar alarak her gruptaki 7'lerin says iin bir frekans saym yapn. Yani, rakaml saylardan ka tanesinde hi 7 yoktur; bir tane 7, iki 7 veya 7 ka tanesinde var? Sonularnz ana binom dalmna gre beklediklerinizle karlatrn. rnek ortalamasn ve varians hesaplayp ana binom dalmndaki deerlerle karlatrn.

35

2. imdi de geliigzel saylar izelgesindeki dokuz rakaml gruplar alalm. 9 rakaml karesel gruplarn her birindeki 7'lerin says iin frekans saym yapn; izelgede byle 40 grup bulunmaktadr. Sonularnz izelge 1 e geirin. Btn rakamlarn frekans saymn elde etmek zere bu saymlar teki rakamlar iinde tekrarlayn ve frekanslar her satra yazn. Son olarak, olaslklar elde etmek iin bunlar toplam lme saysna bln ( lme says 40dr. Neden?) . Sonularnz PN,1/10 (n) binom dalm deerleriyle karlatrn. Bu dalmn deerlerini hesaplarken P(n+1)'i P(n) cinsinden veren bir geri gtrme (recurrence) bants kullanmak fazla ilem yapmay engeller.

ZELGE 1 ___________________________________________________________________________ Frekans [F(n)] Say 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ___________________________________________________________________________ 0 ___________________________________________________________________________ 1 ___________________________________________________________________________ 2 ___________________________________________________________________________ 3 ___________________________________________________________________________ 4 ___________________________________________________________________________ 5 ___________________________________________________________________________ 6 ___________________________________________________________________________ 7 ___________________________________________________________________________ 8 ___________________________________________________________________________ 9 ___________________________________________________________________________ Binom dalm iin uygun olan geri gtrme bants Denk.(7)nin dorudan uygulanmasyla snayabileceimiz aadaki bantdr.

)n(P)1n(q)nN(p)1N(P p,Np,N +

=+ (18) Buna gre sadece PN,p(0)' hesaplamak ve bu banty kullanmak yeterlidir. Geri gtrme bantsn kullanrken bata yaplan bir hata sre gideceinden genel olarak bu yol biraz sakncaldr. Bununla birlikte bu zel durumda artan n'ler iin Pnin deerleri ok abuk kldnden bir saknca yoktur. Gerekten, n>4 iin deerlerin 10-5'ten kk olduunu bylece daha ileri gitmenin anlamszln grmelisiniz.

36

3. imdi 9 rakaml geliigzel say gruplarndaki saylarn dalm iin Poisson yaklakln ele alalm. N = 9, p = 1/10 olup a = Np = 0,9'dur. Poisson dalmn kullanarak n' nin 0'dan 9'a kadar olan deerleri iin olaslklar yeniden hesaplayn.

Hi kukusuz N = 9, N = ' dan ok uzak olduundan kesin bir uyuma beklememeliyiz, fakat yine de karlatrma ilgi ekicidir. Binom dalm n = 0 ve n = 1 iin ( N ve p'nin zel deerlerinin sonucu olarak) ayn deerler verirken Poisson dalmnn P(0) ve P(1) iin bunlardan sra ile %5 daha byk ve daha kk deerler verdiine zellikle dikkat edin. Daha byk n'ler iin yaklakln doruluu artyor mu, yoksa azalyor mu?

SORULAR 1. Denk (18)' de verilen geri gtrme (recurrence) bantsn karnz. 2. Poisson dalm iin aada verilen geri gtrme bantsn karnz.

)n(P1n

a)1n(P aa +=+ 3. ok sayda yumurtadan % 1'i rk kyor. Bunlardan seilmi geliigzel bir dzine

yumurtadan hibirinin rk kmama, birinin ve birden fazlasnn rk kma olasl nedir?

4. Bir Pazar gn leden sonra gezinti iin darya kan bir adam aadaki oyunu

oynuyor. Hareket noktasn da iine alan her ke banda yaz-tura atyor. Yaz gelirse kuzeye, tura gelirse gneye bir teki keye kadar yryor. N attan sonra balang noktasna olan uzaklklarn olaslk dalmn bulunuz. Adam bu oyunu birka Pazar oynadna gre N attan sonra balangca olan ortalama uzakl hesaplayn. Bu ortalama deer N ile nasl deiir?

5. Doan bebek saysnn Poisson dalmna uyduunu ve ikiz doma olaslnn 1/100

olduunu kabul edelim. Beiz doma olasln bulunuz.

37

NORMAL DAILIM GR Normal veya Gauss dalm, Binom dalmnn N byrken p'nin sonlu kald limit halidir. ( N byrken p'nin klp Np arpmnn sonlu kald Poisson dalmndan bu ekilde ayr dmektedir.) Gauss dalm zellikle deneysel fizikiler iin byk nem tar; eitli lmlerde yaplan geliigzel hatalarn dalm Gauss dalm ile tanmlanr. Tek tek hatalar bu dalma uymasa bile, bu hata gruplarnn ortalamalar zellikle ok byk gruplar iin Gauss dalmna uyar. Geliigzel hatalar ortalama deer etrafnda (+) ve (-) olarak eit olaslkta grldklerinden Gauss dalm, Binom dalmnn zel bir hali olarak dnlebilir. KURAMSAL BLG Gauss dalmnn matematiksel ispatndan ziyade, deneyciler iin, deneysel lmlerdeki geliigzel hatalarn bu dalma uymas nemlidir. Bu zellii nedeniyle bu dalm bazen normal hata fonksiyonu ( normal error function) olarak anlr ve Gauss dalmna uyan hatalara da normal dalml ( normally distributed ) denir. Gauss dalm;

f(x) = Ae- 2h ( x )m 2 (1)

eklinde ifade edilir. Burada A,h ve m sabitlerdir. x bir lmden elde edilen deer olup, srekli bir deikendir. Binom ve Poisson dalmlarnda ise bu bir tam saydr. ekil 1 bu dalm fonksiyonunun grafiini gstermektedir.

ekil 1. Gauss dalm fonksiyonu h parametresi, an erisinin genilii ile ilgili bir parametredir. dx ok kk bir aralk olmak koulu ile, f(x)dx lme sonunda elde edilen bir deerin x ile x + dx arasnda bulunma olasln verir. Bu ifadenin basit grafiksel yorumu ekil 2'de grlmektedir . f(x)dx aslnda erinin altnda dx geniliinde taral olan alandr. Benzer ekilde llen niceliin a x b aralnda bulunma olasl

38

P(a,b) = ba f(x)dx (2) olacaktr. Bir lme sonucunun herhangibir yere dmesinin toplam olasl 1' dir, buna gre f(x) erisinin altnda kalan toplam alan 1 olmaldr.

ekil 2.

+ f(x)dx = 1 (3) Buna normalizasyon koulu denir. Bu kouldan yararlanarak A,h ve m sabitleri zerindeki snrlamalar bulunabilir.

+ Ae - 2h ( x )m 2 dx =1 (4) h (x-m) = z (5) alnrsa;

A + e- 2z dz = h (6)

+ e- 2z dz = (7) olduundan;

A = h / (8) elde edilir. Bylece Gauss dalm;

39

f (x) = (h / ) e - 2h ( x )m 2 (9) olur. ok saydaki lme sonucunda elde edilen x deerlerinin ortalamas, x , bu dalm fonksiyonu iin hesaplanrsa;

x = + x f (x) dx (10)

x = h / + x e - 2h ( x )m 2 dx (11) bulunur. (5) deki z kullanlrsa;

x = 1 / + (z /h + m) e- 2z dz (12) elde edilir. Birinci integral terimi, z'nin negatif ve pozitif deerlerinin birbirini gtrmesi nedeni ile sfr olur. Bu durumda ortalama deer,

x = m / + e- 2z dz = ( m / ) x = m (13) elde edilir. Benzer ekilde varyans hesaplanabilir.

2 = + ( x - x )2 f (x) dx (14)

2 = + ( x - m )2 (h / ) e - 2h ( x )m 2 (15) ntegralin alnmas ile, 2 = 1 / (2h2) veya = 1 / 2 h (16) varyans ve standart sapma elde edilir.

40

ekil 3 ' den grld gibi, h bydke, daha keskin bir eri elde edilir ve buna gre, h dalmn hassasiyetinin ls olarak tanmlanabilir.

ekil 3. Gauss dalm fonksiyonun son ekli

f(x) = 1/ ( 2 ) e -( x x ) 2 / 2 2 (17) olarak yazlabilir. Bu fonksiyonun tanmlad eri, x = x evresinde simetriktir ve her zaman dalmn geniliini verir. Eri x = x deerlerinde x = x deki byk deerinin e-1/2 sine der. ekil 4, Denklem (17) nin grafiksel gsterimidir.

ekil 4.

f(x) = 1/ ( 2 ) e -( x x ) 2 / 2 2

41

DENEY 1. llen herhangibir niceliini a,b aralnda bulunma olasl (2) bants ile

P(a,b) = ba f(x) dx olarak verilmiti. Buna gre; x'in x snrlar arasndaki herhangibir deeri alma olasln

P ( x - , x + ) = 1/ ( 2 ) + xx e -( x x ) 2 / 2 2 dx bantsna gre hesaplayn..

2. Benzer ekilde x'in ( 2,2 + xx ) ve ( 3,3 + xx ) arasna dme olasln

bulun. 3. Geliigzel saylar izelgenizdeki 360 say ierisinde 0 ile 9 arasndaki her rakamn ka

kez geldiini sayarak bir tablo hazrlayn ve her rakamn ( + xx , ) aralna dp dmediini belirleyin.

4. 360 sayl tablonuzdaki tek ve ift rakamlar sayn . % 95 ve % 65 ' lik blgelerin

snrlarn belirleyerek tek-ift dalmnn hangi blgede olduunu bulun. 5. Bir metal paray 100 kez atarak yaz ile tura gelme saylarn kaydedin. Bu deerin, hangi

dalm blgesinin iinde olduunu bularak parann eilimli olup olmadn yorumlayn. SORULAR 1. Bir deneyde lme sonularnn Gauss dalmna uyduunu varsayarak, alnan lm- lerin ortalama deer etrafnda 2/1 aralna dme olasln hesaplaynz. 2. Bir snavda alnan notlar 76 ortalama ve 15 standart sapma ile normal dalm

gstermektedir. rencilerin % 15'i A, ve % 10'u F notu almtr.

a) A alabilmek iin en dk notu, b) Geebilmek iin en dk notu bulunuz.

3. Bir cival manometrede civa stununun ykseklii (h) 10 kez llm ve aadaki veri-

ler elde edilmitir. lme no. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

h(cm) 55.06 54.92 55.01 55.00 54.98 54.99 55.02 55.03 55.02 54.97 Bu verilerin h = 55.00 cm ortalamaya sahip bir Gauss dalmna uyduu bilindiine gre; bundan sonra yaplacak iki lme sonucunun (54.98 55.02) cm aralna dme olasln hesaplayn.

42

KAYNAKLAR

1. Statistical Treatment of Experimental Data, Hugh D. Young, McGraw-Hill Comp., 1963

2. Berkeley Physics Laboratory, Alan M. Portis, Hugh D. Young, McGraw-Hill Comp., 1971

3. An Introduction to Probability Theory and Its Applications (Vol 1), Feller W., 1968

4. statistik Fizik, Dr. Fevzi Apaydn, H. . Yaynlar, 1988

43

Normal Dalm TablosuT 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549 0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389

1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015 1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319 1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441 1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545 1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633 1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706 1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767

2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817 2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857 2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890 2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916 2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936 2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952 2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964 2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974 2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981 2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986

3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990

STATSTK FZK kapag.docSTATSTK FZK.docV hacminde, T scaklnda sl dengede bir ideal gaz gz nne alalm. Bu gaz molekllerinin klasik olarak incelenebileceini varsayalm. Bu gazn yalnzca bir molekln gz nne aldmzda bu molekle, geri kalan molekllerin oluturduu T scaklndaki s deposu ile sl dengede olan bir sistem gzyle baklabilir. Molekl tek atomlu olsun. Eer gravitasyon gibi d kuvvet alanlar yok saylrsa, bu molekln ( ile gsterilen enerjisi yalnzca (2) ekil 1. Maxwell-Boltzmann hz dalm deney dzeneiSORULAR

Tablo 1. Isl nm kb iin diren-scaklk verileri.YKLENM ZARGRDENEY

ekil 1. Olaslk histogramekil 2. Zt yzler iin olaslk histogramekil 3. Gvenilirlik dzeyiTablo1. Gvenilirlik dzeyleri

Gvenilirlik Dzeyleri(() PSORULAR Say Frekans Olaslk Say Frekans Olaslk

Rakam iftleri Toplam Olaslk

SORULAR

POSSON DAILIMISORULARGRKURAMSAL BLGGauss dalm fonksiyonun son ekli

DENEYSORULARNormal Dalm Tablosu