ISTORIJA I FILOZOFIJA MATEMATIKE - University of Belgrade

ISTORIJA I FILOZOFIJAMATEMATIKE

Zoran Petrovi!

11. februar 2019.

PraistorijaAntropolozi nam ka"u da nema kulture, ma koliko primitivna

bila, koja nema u sebi neko poimaǌe broja. Navedimo neke primere.

• Neka abori$inska plemena u Australiji nemaju reqi za brojeveve!e od 2, imaju samo za 1 i 2, sve ostalo je ,,mnogo”

• Indijanci oko Amazona broje do 6, no nemaju reqi za 3, 4, 5, 6,nego je 3 dva-jedan, 4 je dva-dva itd.

• Buxmani sliqno broje po 2 do 10. Ovde je zanimǉivo ista!i dane "ele da zamene 2 krave za 4 sviǌe, ali je u redu da zamenejednu kravu za dve sviǌe, a potom opet isto to!

Za registrovaǌe broja nekih stvari, plodova, "ivotiǌa korix-!eno je urezivaǌe u kamen, drvo, pravǉeǌe qorova na nitima ra-zliqite boje ili du"ine. Ako bi bili preveliki brojevi za zapis,onda bi se zarezi grupisali u grupe od po 5, 10, 20. To je znaqajnopoboǉxaǌe od brojaǌa jedan po jedan.

Ostaci kostiju pokazuju da su takav naqin zapisivaǌa izumeliǉudi u Starom kamenom dobu qak i pre 30 hiǉada godina. Posebnoznaqajan primer je goleǌaqa mladog vuka na&ena u Qehoslovaqkojtridesetih godina proxlog veka. Ona je duga oko 18 cm i ima 55duboka zareza koji su maǌe-vixe iste du"ine, a grupisani su u grupeod 5 zareza. Dugo se smatralo da su takvi zarezi zapisi iz lova,ali skorija razmatraǌa su vixe sklona interpretaciji da je tu biloreqi i o nekom zapisivaǌu o protoku vremena. Obele"avaǌa na kos-tima na&enim u nekim francuskim pe!inama krajem osamdesetih god-ina XIX veka su grupisana u nizove brojeva koji se ponavǉaju i kojise sla"u sa brojem dana u uzastopnim Meseqevim fazama. Tako da tukao da imamo neki lunarni kalendar.

1

Jedan izuzetan primerak na&en je 1960. godine u Ixangu du" obalaJezera Edvard, blizu izvorixta Nila. Starost tog arheoloxkognalazixta je proceǌena na 17 hiǉada godina p. n. e. xto je nekih 12hiǉada godina pre pojavǉivaǌa prvih poǉoprivrednih zajednica udolini Nila. Radi se o kosti babuna, koja je najverovatnije slu"ilakao ruqka nekog oru&a, koje se koristilo za urezivaǌe, tetoviraǌe,ili qak i za pisaǌe na neki naqin. Sadr"i grupe zareza koje sugrupisane u tri jasno definisane kolone. Ne qini se da se radi odekorativnom naqinu grupisaǌa, zbog svoje nepravilnosti. Naime,jedna od kolona sadr"i grupe od 11, 21, 19 i 9 zareza, xto podse!ana 10 + 1, 20 + 1, 20 − 1, 10 − 1. U drugoj koloni ima xest grupa od po(redom): 3, 6, 4, 8, 10, 5, 5, 7 zareza. Kao da ovde ima reqi o nekomudvostruqavaǌu (ali, qemu onda tu i 7?). Posledǌa kolona ima grupeod po 11, 13, 17 i 19 zareza. Texko da se ovde, kao xto neki navode,radi o prostim brojevima. Vixe se qini da je i ovde req o nekomkalendaru poxto je 11 + 21 + 19 + 9 = 60 = 11 + 13 + 17 + 19.

Urezivaǌe kao metod za registrovaǌe podataka, dugo je zadr"an.Slede!i primer je zanimǉiv. U Britaniji su se u daxqice od lex-nikovog drveta du"ine od 15 do 23 cm pravili zarezi kao zapisi onovcu. Zarez koji je bio debǉine xake, odgovarao je iznosu od 1000funti, debǉine palca – 100 funti, a debǉine malog prste – 20 funti.Kada bi se davao zajam, daxqica bi se prelomila na pola tako da sevideo zarez na svakoj polovini. Jedan deo bi zadr"ao dr"avni trezor,a drugi bi uzeo du"nik. Tako bi se lako moglo proveriti pore&eǌemdaxqica da li se raquni ,,sla"u”.

Zanimǉiva je terminologija. Ukoliko bi neko pozajmio novac en-gleskoj nacionalnoj banci, on bi uzimao polovinu te daxqice i tajdeo koji bi on uzeo nazivao se ,,stock”. Dakle, on je bio ,,stockholder”.Kada bi on "eleo da unovqi to xto je imao, doneo bi svoj deo dax-qice i onda bi se to proverilo – ,,check”. Odatle su kaznije izvedeninazivi za ,,akcije” i ,,qekove”. Taj sistem je ukinut tek 1826. godine.Godine 1834. kada su silne daxqice koje su jox preostale spaǉene upe!ima koje su podgrevale Ku!u lordova, vatra je izmakla kontrolii proxirila se toliko da je izgorela cela zgrada parlamenta.

Drugi naqin zapisivaǌa nalazimo kod Inka u Peruu. Postojao jepriliqno dobro razra&en sistem ,,kipua” (,,qvorova koji govore”). Tosu bile grupe vrpci napravǉenih od upletenih vlakana od vune ilidlake "ivotiǌa iz porodice kamelida (na primer, tu spada lama),razliqite boje i du"ine sa vixe qvorova na ǌima. Inke nisu imalipismo, kipui su quvali razne podatke. Naravno, i ne znamo u pot-punosti koje su sve podatke, sem qisto numeriqkih (podaci o skladix-tima, broju ǉudi i sliqno), quvali na taj naqin, ali je zanimǉivoda se tako neki logiqko-numeriqki sistem mogao razviti u kulturikoja nije imala pismo. Kipui su sadr"ali od 3 do skoro 1000 niski.Na"alost, xpanski osvajaqi su smatrali da su ti qudni zapisi &avoǉi

2

proizvod i skoro su svi unixteni, ostalo je samo oko 600 kipua. Doskora se smatralo da oni potiqu od 650 g. p. n. e. ali je 2005. go-dine o obalskom gradu Karalu u Peruu otkriven kipu, mo"da je boǉere!i proto-kipu, star 5000 godina i to u dobrom staǌu. U poqaststarih kipua, neki kompjuterski sistemi za quvaǌe podataka nazivajuse Quipu.

Egipat

Grupisaǌem maǌih poǉoprivrednih zajednica u periodu od 3500.do 3100. g. p. n. e. formirana su dva kraǉevstva – Gorǌi i DoǌiEgipat. Oko 3100. g. p. n. e. osvajaǌem sa juga doxlo je do ujediǌeǌa.

Klasiqan izvor saznaǌa o Egiptu je Herodotova ,,Istorija”. Hero-dot (485-430. g. p. n. e.) ro&en je u Halikarnasu u jugozapadnom deluMale Azije. Zbog politiqkih razloga, bio je prisiǉen da napustirodno mesto i smestio se u Atini. Odatle je putovao, mo"da kao tr-govac, u razne krajeve tada poznatog sveta, od ju"nih delova sadaxǌeRusije, preko Sirije i Iraka do Egipta. On je zapisivao priqe kojesu mu ǉudi priqali, tako da je ǌegova ,,Istorija” vixe putopis sasocioloxkim i antropoloxkim podacima nego istorija u sadaxǌemsmislu. Ali, on je pokuxavao da sadaxǌost tumaqi proxlim doga&a-jima i to je jedan od razloga xto je prozvan ,,Ocem istorije”.

Moderno interesovaǌe za Egipat poqiǌe neuspexnom Napoleonovomvojnom avanturom u Egiptu. Naime, Napoleon je 1798. godine sa nextovixe od 300 brodova i 38000 vojnika krenuo u Egipat u pokuxaju da os-voji Egipat i na taj naqin ugrozi britanski put za Indiju. No, ve!ideo flote je ubrzo unixten kod Aleksandrije, mada je vojna kampaǌatrajala jox godinu dana. Napoleon je, "ele!i da ubla"i vojnu akcijui da promovixe francusku kulturu, u tu ekspediciju uvrstio i mnogenauqnike, izme&u ostalih i francuske matematiqare Gaspara Mon"ai 'an Baptist Furijea. Nauqnici su imali zadatak da prikupe xtovixe informacija o svim aspektima teritorije zemǉe u koju su doxli.Oni su u toku vojnih sukoba zarobǉeni, ali su puxteni sa svim svo-jim zapisima i crte"ima. Zahvaǉuju!i tim materijalima, u tokunarednih 25 godina, objavǉeno je monumentalno delo ,,Opis Egipta”.Nikada do tada nije neka strana zemǉa bila prikazana sa toliko mnogopodataka, koji su sakupǉeni brzo i kvalitetno, a pri veoma texkimuslovima. Do tada je u Evropi stari Egipat bio nepoznat, no ovimdelom je poqelo veliko interesovaǌe u evropskim intelektualnim kru-govima za Egipat kao drevnu civilizaciju.

Kao xto znamo, pismo koje se koristilo za znaqajne natpise biloje hijeroglifsko (,,sveti znaci”) koje je u samom svom poqetku bilo

3

slikovno, no kasnije su dodavani i pojedinaqni simboli. U slede!ojtablici mo"emo videti prikaz brojeva, zajedno sa opisom simbola

broj hijeroglif opis

1 | palica

10 2 kost pete

100 3 u"e

1000 4 cvet lokvaǌa

10000 5 savijeni prst

100000 6 punoglavac

1000000 7 Heh, bog veqnosti

U nekim prikazima je u"e umotano u drugom smeru, prst je savijen nadrugu stranu, a umesto punoglavca, pojavǉuje se "aba.

Kao xto mo"emo videti, sistem jeste baziran na osnovi deset,ali nije pozicioni poxto su se razliqiti simboli koristili da oz-naqe razne dekadne jedinice (nemamo cifre). Brojevi su prikazivanitako xto bi se nizali simboli za pojedine dekadne jedinice i to bi,obiqno, zdesna dolazile oznake za ve!e jedinice, no, s obzirom dasistem nije pozicioni, to nije bilo obavezno. Na primer, 2019 bi semoglo zapisati ovako:

||||||||| 2 44No, zbog uxtede prostora, nekad bi se nizali i jedan iznad drugog.

||||||||| 2 44Sabiraǌe se vrxilo grupisaǌem i potoǌim sre&ivaǌem. Na primer,ako bismo "eleli da na&emo zbir 37 + 188, to bismo radili ovako:

4

||||||| 222|||||||| 22222222 3

||||||||||||||| 22222222222 3

||||| 222222222222 3||||| 22 33

Oduzimaǌe se izvodi uz ,,pozajmǉivaǌe”. Na primer, oduzimaǌe 132−56 bi se izvodilo kao xto sledi.

|| 222 3|||||| 22222

|| 2222222222222|||||| 22222|||||||||||| 222222222222|||||| 22222|||||| 2222222

Kao xto znamo, mnogi zapisi su prona&eni na papirusima na kojimase pisalo perom i mastilom. U svrhu lakxeg pisaǌa na papirusu,egipatski svextenici su razvili hijeratsko (sveto) pismo. Moglobi se re!i da se ono prema hijeroglifskom odnosi kao pisani tekstprema xtampanom. Kasnije, kada se upotreba papirusa proxirila,razvijeno je i demotsko (narodno) pismo.

Francuski vojnici su, prilikom jednog ukopavaǌa u blizini Rozete,otkrili znaqajan kamen na kojima se nalazio natpis na tri pisma —

5

hijeroglifskom, demotskom, grqkom. Bilo je jasno da se radi o iz-vanredno va"nom otkri!u poxto niko do tada nije bio u staǌu daproqita hijeroglifske natpise. Stoga su naqiǌeni pomo!u mastilai razaslani po Evropi. Ne samo to, nego su pri pregovorima o ka-pitulaciji francuskih snaga u Egiptu, Britanci u ugovor stavili izahtev za predaju kamena iz Rozete. On je tada prebaqen u Britanskimuzej, a gipsane kopije su date vode!im britanskim univerzitetima –Oksford, Kebri$, Dablin i Edinburg.

Hijeroglife je na kraju ipak dexifrovao francuz Xampolion (1790–1832.) koji je ceo svoj, ne bax dugi "ivot, posvetio tome jox od det-iǌstva.

Glavni izvori naxeg znaǌa o egipatskoj matematici potiqu oddva papirusa – Rajndovog (ili Ahmesovog, po imenu pisara koji gaje ispisao) i Moskovskog (ili Golenixevǉevog). Osim ovih, od man-jeg znaqaja su i Berlinski papirus, kao i egipatska matematiqkako!na rolna.

Ahmesov papirus je otkrio Xkot Rajnd 1858. godine. Zapravo, tajpapirus tada nije bio ceo. On je imao dva dela i nedostajao mu jesredǌi deo. Kasnije je otkupǉen jedan papirus za koga se smatraloda sadr"i podatke o medicini. Ispostavilo se da je on vextaqki sas-tavǉen od vixe drugih i tu je zapravo na&en i centralni deo Rajn-dovog papirusa. Rajndov papirus je du"ine nexto maǌe od 5,5 metarai xirine 32 cm. Ahmes je bio pisar koji ga je ispisao oko 1650. g.p.n.e.On navodi da pixe o rezultatima poznatim od strane starijih autoraiz XII dinastije (1849-1801. g.p.n.e). Zanimǉivo je navesti da postojii dokument sa vrlo sliqnim sadr"ajem kao i Ahmesov papirus, a kojije napisan 2000 godina posle ovog.

Ahmes poqiǌe ambiciozno: ,,Ovo je detaǉna studija svih stvari,uvid u sve xto postoji, znaǌe svih opskurnih tajni”. No, to je zapravomatematiqki priruqnik sastavǉen od 85 problema, a te ,,opskurnetajne” su mno"eǌe i deǉeǌe.

Mno"eǌe je zapravo bila u suxtini aditivna operacija kod starihEgip!ana. Osnovna ideja kod mno"eǌa sastojala se u udvostruqavaǌu(ili prepolovǉavaǌu) i kasnijem sabiraǌu.

6

19 · 37

/ 1 37

/ 2 74

4 148

8 296

/ 16 592

19 703

37 · 19

/ 1 19

2 38

/ 4 76

8 152

16 304

/ 32 608

37 703

7

Deǉeǌe je suprotno mno"eǌu – tra"i se broj koji mno"eǌem sadeliocem daje deǉenik. Za deǉeǌe 91 : 7 pravi se ista tablica kao zamno"eǌe, ali se rezultat drugaqije oqitava. 35 : 8, 16 : 3.

91 : 7

/ 1 7

2 14

/ 4 28

/ 8 56

13 91

Naravno, pri deǉeǌu se pojavǉuju i razlomci. Egip!ani su imaliveliku preferencu ka jediniqnim razlomcima, tj. ka razlomcima ob-lika 1

n . Oni su oznaqavani tako xto je iznad hijeroglifskih simbolaza imenilac ispisivan izdu"eni oval (koji znaqi ,,deo”). Na primer:r||| . Mi mo"emo da koristimo skra!ene oznake, na primer, 134, zarazlomak 1

134 . Osim ovih, imali su posebnu oznaku i za 2/3:

Zanimǉivo je navesti da, ako bi "eleli da na&u 1/3 od nekog broja,najpre bi nalazili 2/3, a potom 1/2 od dobijenog rezultata! Osimtoga, za raqunaǌe bi se ponekad mno"ilo (delilo) sa 10. Dakle, kom-binacijom udvostruqavaǌa, mno"eǌa sa 10, prepolovǉavaǌa, deǉeǌasa 10 i mno"eǌa sa 2/3 trudilo se da se do&e do rezultata. No,Egip!ani su izra"avali rezultate koriste!i te jediniqne razlomke.Jasno je da je onda potrebno videti kako se brojevi oblika 2 · n(= 2

n)izra"avaju preko jediniqnih razlomaka.

Prva tre!ina Ahmesovog papirusa sastoji se od tablice u kojojse razlomci 2/n izra"avaju u obliku zbira jediniqnih razlomaka zaneparne brojeve od 5 do 101. Sem xto je korix!en identitet

23k

=12k

+16k

,

8

nije jasno zbog qega su korix!eni bax takvi zapisi, a ne neki drugi.Navedimo neke razvoje iz tablice.

2 · 5 = 3 + 5 2 · 7 = 4 + 28

2 · 11 = 6 + 66 2 · 17 = 12 + 51 + 68

2 · 19 = 12 + 76 + 114 2 · 31 = 20 + 124 + 155

2 · 37 = 24 + 111 + 296 2 · 41 = 24 + 246 + 328

2 · 47 = 30 + 141 + 470 2 · 49 = 28 + 196

2 · 71 = 40 + 568 + 710 2 · 73 = 60 + 219 + 292 + 365

2 · 91 = 70 + 130 2 · 97 = 56 + 679 + 776.

Na primer, u tablici imamo

219

=112

+176

+1

114,

a ne219

=112

+157

+1

228.

Neka pravila su uoqena.

1. Preferiraju se maǌi imenioci, nijedan nije ve!i od 1000.

2. Xto maǌe jediniqnih razlomaka, nikad ih nema vixe od 4.

3. Po"eǉniji su parni imenioci od neparnih, posebno za poqetneqlanove u predstavǉaǌu.

4. Prvo idu maǌi imenioci i nema jednakih.

5. Najmaǌi se mo"e pove!ati ako to mo"e dovesti do smaǌivaǌaostalih — na primer imamo 2

31 = 120 + 1

124 + 1155 , a ne 2

31 = 118 + 1

186 + 1279 .

Mno"eǌe razlomaka se izvodi jednostavno.

9

(2 + 4) · (1 + 2 + 7)

1 1 + 2 + 7

/ 2 3 + 4 + 28

2 2 + 4 + 14

/ 4 4 + 8 + 28

2 + 4 3 + 2 + 8 + 14

Naravno, ovde je korix!en razvoj iz tablice 2 · 7 = 4 + 28, kao i to daje 2 · 2n = n.

U problemu 33 iz Ahmesovog papirusa pojavǉuje se problem nala"eǌabroja koji pomno"en sa 1 + 2

3 + 12 + 1

7 daje 37. To je slo"enije. Najprepoqiǌe standardno (koristi!emo standardne sadaxǌe oznake radilakxeg pra!eǌa):

1 1 + 23 + 1

2 + 17

2 4 + 13 + 1

4 + 128

4 9 + 16 + 1

14

8 18 + 13 + 1

7

/ 16 36 + 23 + 1

4 + 128

Sada se izraquna xta se dobija kada se zbir ovih posledǌih razlo-maka, koji je maǌi od 1, pomno"i sa 42.

10

1 42

/ 23 28

12 21

/ 14 10 + 1

2

/ 128 1 + 1

2

40

Zaxto je tu mno"eno sa 42? Oqigledno zato xto je to zajedniqkiimenilac za poqetne razlomke 2

3 , 12 , 1

7 , a svrha je bila da se ustanovikoliko nedostaje do 1. Nedostaje dakle 2/42. No, s obzirom da je(1 + 2

3 + 12 + 1

7 ) · 42 = 97, a xto je pokazano u problemu 31, broj kojitreba da se doda broju 16 je broj 2

97 , a iz tablice je to 156 + 1

679 + 1776 .

Dakle, konaqno rexeǌe je 16 + 156 + 1

679 + 1776 .

Problem 24 je lakxi, ali je zanimǉiv metod ǌegovog rexavaǌa.On spada u ‘aha’ probleme, ili probleme ‘gomile’:,,Gomila i ǌena sedmina daju 19. Kolika je ta gomila.”Rexeǌe je bazirano na metodu ‘pogrexne pretpostavke’ – za rexeǌese najpre uzme nexto pogodno, xto nije rexeǌe, a zatim se propor-cionalno koriguje. Dakle, ovde se radi o linearnoj jednaqini:

x +17x = 19.

Prime!ujemo da je pogodno uzeti da je x = 7. Tada se dobija da jex+ 1

7x = 8, xto nije ono xto "elimo i zato to korigujemo – onim qimetreba pomno"iti 8 da se dobije 19 mno"imo 7 da dobijemo rezultat.

Najpre se izraquna xta se dobija kada se pretpostavi da je rezul-tat 7.

11

/ 1 7

/ 17 1

8

Potom se tra"i broj kojim treba pomno"iti 8 da se dobije 19.

1 8

/ 2 16

12 4

/ 14 2

/ 18 1

2 + 14 + 1

8

I na kraju se taj broj mno"i sa 7.

/ 1 2 + 14 + 1

8

/ 2 4 + 12 + 1

4

/ 4 9 + 12

16 + 12 + 1

8

12

Problem 28 je sliqnog oblika, ali se iz rexeǌa mo"e razumetida on spada i u onu grupu problema sa kojima smo se sretali kadasmo bili deca – stariji vam ka"u da zamislite neki broj i da ondaizvedete neke operacije sa ǌim, te onda ‘pogode’ koji ste broj zamis-lili.

,,Odredi koji je to broj kome kada dodax ǌegove 2/3 i od dobijenogoduzmex 1/3 sume dobijex 10”. A procedura za rexeǌe je kratka:,,Na&i 1/10 od 10. To je 1. Od 10 oduzmi 1. Dobijex 9. I to jerexeǌe.”

U ovom rexeǌu se zapravo krije slede!i identitet (n je prirodanbroj):

n +23n− 1

3

(n +

23n

)− 1

10

(n +

23n− 1

3

(n +

23n

))= n.

U problemu 79 nalazimo sumiraǌe geometrijskog niza.

/ 1 2801

/ 2 5602

/ 4 11204

19607

ku!e 7

maqke 49

mixevi 343

snopovi 2401

hekati 16807

19607

O qemu se ovde radi? Najpre, kakva je ovo raqunica u prvoj koloni?Jedna od interpretacija je da se ovde koristi identitet (naravno uvrlo jednostavnom obliku):

q + q2 + · · · + qn = q(q + · · · + qn−1 + 1).

Naime, 2801 je suma prva qetiri qlana niza sa desne strane, uve!anaza 1. A spomiǌaǌe ku!a, maqki, mixeva i ostalog kao da sugerixeneki zabavan problem u kome se vidi koliko bi se uxtedelo hekatapxenice (hekat je egipatska mera) ukoliko bi svaka maqka u 7 ku!apojela 7 mixeva. . .

13

Matematika MesopotamijeUporedo sa razvojem egipatske civilizacije, na mestu danaxǌeg

Iraka, izme"u reka Tigra i Eufrata pa i znatno xire u pojedinimperiodima, razvijala se tako"e jedna velika civilizacija. Ta ci-vilizacija Mesopotamije (Me"ureqja) razvijala se prema najxirimvremenskim okvirima od 2900. g. p.n.e. do Aleksandrovih osvajaǌa330. g. p.n.e. Gospodari su se meǌali, ali su bitne karakteristikeza naxu priqu ostajale dovoǉno konzistentne da mo$emo govoritio matematici Mesopotamije (u anglosaksonskoj literaturi dominiratermin ‘vavilonska matematika’).

O civilizaciji Mesopotamije imamo znatno vixe izvora, jer, kaoxto znamo glinene ploqice (tablice) na kojima su pisani razni doku-menti su znatno trajniji od papirusa, ili permanenta. Oko 400 hi-ǉada ploqica, od kojih je nekih 400 sa matematiqkim sadr$ajem suomogu%ili mnoga saznaǌa qak i obiqnom $ivotu ǉudi. Kao xto nekifrancuski nauqnici navode, vixe se zna o porodiqnom $ivotu ǉudiu Mesopotamiji pre vixe od 3000 godina, nego xto se zna o $ivotufrancuskih seǉaka iz XIII veka.

Glinene ploqice jesu trajnije, ali tako nemamo zapise ve%ih doku-menata, jer su te ploqice veliqine razglednica. No, ima ih dovoǉnoda mo$emo da damo odre"enu sliku.

Kao xto znamo, koristilo se klinasto pismo. Oznaka jedinice jebio tanak vertikalni znak u obliku klina, koji %emo mi oznaqavati sa, dok je za oznaku broja 10 korix%en polo$eni znak u obliku nexto

‘debǉeg’ klina, koji %emo oznaqavati sa . Na primer, broj 46 sepixe ovako:

Sada dolazimo do va$ne qiǌenice. U matematici Mesopotamije ko-ristio se pozicioni sistem sa osnovom 60 (seksagezimalni sistem),ali sa dva nedostatka. Prvi nedostatak je bio u tome xto nije posto-jao simbol za prazno mesto. U zapisu se ostavǉao malo ve%i razmak,ali to nije bax bilo uvek jasno. Ovaj nedostatak je pri samom krajuove civilizacije ispravǉen — dodata je oznaka za prazno mesto u ob-liku dva iskoxena klina, ali se ovaj simbol nikada nije koristiona samom kraju broja i to govori o drugom nedostatku: nema oznakeza decimalni (zapravo seksagezimalni) zarez, mada se vidi da se uprimerima radilo i sa brojevima koji nisu bili celi. Iz kontekstase videlo o qemu se radi.

Dakle, zapis

mogao je da oznaqava broj 13 602+31 60+2, ali i broj 13 604+31 602+2,kao i broj 13+31 60 1 +2 60 2. Zapravo, na beskonaqno mnogo brojeva

1

se odnosio taj zapis. Iz konteksta se moralo shvatiti o kom se brojuzaista radi.

U daǉem tekstu %emo koristiti skra%eni zapis za seksagezimalnebrojeve. Na primer,

12,6;38,23,14

o$aqava broj

12 60+6+38 60 1 +23 60 2 +14 60 3.

Na jednoj od tablica mo$emo na%i aproksimaciju za 2: 1;24,51,10.To je priliqno dobra aproksimacija za 2:

1+24/60+51/3600+10/216000 1,41421296296.

Kako su doxli do ovako dobrog rezultata? Koristili su zapravo sadanama dobro poznati algoritam za nala$eǌe pribli$ne vrednosti a.Naime, ako je a1 neka aproksimacija za taj koren i ako je taj broj,na primer, maǌi od korena, onda je broj a

a1druga aproksimacija, koja

je ve%a od tog korena. I onda se uzme aritmetiqka sredina ova dvabroja kao nova aproksimacija:

a2 =12

(a1 +

aa1

).

Broj koji se navodi kao aproksimacija za koren iz 2 je zapravo slede%aaproksimacija, tj. a3, ako je a1 = 1;30 (tj. 1,5 u decimalnom zapisu).

Veliki broj glinenih ploqica sa matematiqkim sadr$ajem sas-toji se od raznih tablica: reciproqnih vrednosti, kvadrata, kubova,kvadratnih korenova. Na primer, imamo ovakvu tablicu:

2 303 204 155 126 108 7,309 6,4010 612 5

Ovo je evidentno tablica reciproqnih vrednosti. Takva tablica jekorisna, jer se raqunaǌe a/b svodilo na mno$eǌe a i 1/b. Recimo,da bismo naxli 34/5, pomno$imo 34 sa 12 i pomerimo za jedno ‘deci-malno’ mesto. No, neke vrednosti ovde nedostaju. Navedene su samoreciproqne vrednosti ‘pravilnih’ brojeva, tj. onih kod kojih imamo

2

konaqan zapis. Recimo, ovde nemamo 1/7. No, i 1/7 se mo$e na%i, barpribli$no, na nekim drugim mestima. Mo$e se na%i procena:

0;8,34,16,59 < 17< 0;8,34,18.

Imamo i aproksimacije:

159

= ;1,1,11

61= ;0,59,0,59.

Naravno da bi ovde trebalo da bude beskonaqni razvoj, no pojavǉujese samo konaqna aproksimacija.

Osim ovih, postoje i tablice stepena sa raznim osnovama, a koje sekoriste u nala$eǌu logaritama sa razliqitim osnovama. No, naravnoda nemamo bax pojam logaritma ni pribli$no, radi se o izvesnombroju tablica, sa ciǉem rexavaǌa nekih konkretnih problema.

Linearne jednaqine su smatrane za jednostavne i ǌima nije pokla-ǌana prevelika pa$ǌa. Mnogo su zanimǉivije bile kvadratne, pa qaki kubne jednaqine. Jednaqine su znali da transformixu dodavaǌemna obe strane jednaqine jednakih vrednosti i mno$eǌem obe straneistim brojem

S obzirom da nisu razmatrani negativni brojevi, postojala su defacto tri tipa kvadratnih jednaqina (a ovako %e biti i vixe od hiǉadugodina po nestanku ove civilizacije):

1. x2 +px = q,2. x2 = px +q,3. x2 +q = px.

Naravno da nije postojao nikakav simboliqki zapis, ovo je samo naxzapis za razmatrane jednaqine. Za nepoznate su se koristili termini‘du$ina’, ‘xirina’, ‘povrxina’, ‘zapremina’. No, jasno je da su titermini ipak korix%eni u apstraktnom smislu, jer nije predstavǉaoproblem da se od povrxine oduzima du$ina.

Jedan od problema je tra$io da se odredi du$ina stranice kva-drata ako se dobija 14,30 kada se od povrxine oduzme du$ina strani-ce kvadrata. U naxem sadaxǌem zapisu radi se o jednaqini x2 x =870. Opis rexeǌa nije nixta drugo do opis metoda kompletiraǌakvadrata, odnosno formule

x = (p/2)2 +q +p/2,

za jednaqinu oblika 2 (zapisanu kao x2 px = q). Mada ovde imamooduzimaǌe, nemamo ipak negativna rexeǌa. Sliqno se rexavao i prvitip jednaqine. Ali, tu imamo jox jedan zanimǉiv primer/metod.

Jednaqina 11x2+7x = 6;15 transformisana je tako xto su obe stranepomno$ene sa 11 i onda se tako dobije jednaqina (11x)2+7 (11x) = 1,8;45.

3

Ova ima normalnu formu po nepoznatoj y = 11x i rexeǌe se nalazilokao u prethodnom sluqaju.

No, tre%i tip jednaqine se svodio na rexavaǌe sistema

x + y = p, x y = q.

Ima vixe primera za rexavaǌe sistema jednaqina u kojima jedna jed-naqina zadaje zbir (ili razliku) dve nepoznate veliqine, a drugaǌihov proizvod. To je, tada, evidentno bio neki kanonski naqin pred-stavǉaǌa jednaqina tipa 3.

Na primer, za rexavaǌe sistema jednaqina x + y = 6;30, x y = 7;30 datje postupak u kome se najpre izraquna

x + y2

= 3;15,

zatim se ovo kvadrira:( x + y

2

)2= 10;33,45

i izraquna ( x + y2

)2x y = 3;3,45.

Tako se dobija da je (x y

2

)2

= 3;3,45

i odatle imamo (x y

2

)= 1;45.

Naravno, posmatra se samo pozitivan koren. Odavde se dobijaju x iy:

x = x + y2

+ x y2

= 3;15+1;45 = 5,

y = x + y2

x y2

= 3;15 1;45 = 1;30.

Posebno je zanimǉivo rexavaǌe kubnih jednaqina za xta nema pan-dana u egipatskoj matematici. S obzirom da je postojala tablicakubova onda su se jednostavne jednaqine poput x3 = 0;7,30 rexavaledirektno iz tablice kada je to bilo mogu%e, odnosno koriste%i line-arnu interpolaciju za dobijaǌe rexeǌa. No, postojale su i tabliceza n3 + n2. Te tablice su korix%ene za rexavaǌe jednaqina poputjednaqine

114x3 +12x2 = 21.

Naime, mno$eǌem obe strane sa 12, dobija se jednaqina po nepoznatojy = 12x:

y3 + y2 = 4,12

4

i dobijalo se rexeǌe y = 6, odnosno x = 0;30. Sve kubne jednaqineoblika

ax3 +bx2 = c.

mogu se svesti na jednaqinu

y3 + y2 = d

mno$eǌem sa a2/b3. Nemamo podatke da li su oni uspevali da rexei opxtiju jednaqinu oblika ax3 +bx2 + cx = d, mada su, na osnovu pos-toje%ih primera, mogli da na"u odgovaraju%u smenu. No, nema ni-jednog takvog primera.

Jedna tablica je posebno zanimǉiva, te se i ovih godina pojavǉujunauqni radovi u kojima se razmatra ǌen znaqaj. Ona je poznata kaotablica Plimpton 322, jer je ona pod tim brojem zavedena u Plimpto-novoj kolekciji na Univerzitetu Kolumbija.

Tablica je malo oxte%ena i po svemu sude%i je bila deo ve%etablice. No, ono xto imamo su qetiri kolone brojeva od po 15 bro-jeva. Navedimo deo te tablice

1,59,0,15 1,59 2,49 11,56,56,58,14,50,6,15 56,7 1,20,25 21,55,7,41,15,33,45 1,16,41 1,50,49 31,53,10,29,32,52,16 3,31,49 5,9,1 41,48,54,1,40 1,5 1,37 51,47,6,41,40 5,19 8,1 6

Naravno, ne%emo da pamtimo tu tablicu, ali mo$emo malo da proana-liziramo xta ovde imamo.

Jasno je da posledǌa kolona numerixe vrste. Ispiximo drugu itre%u kolonu u dekadnom sistemu

119 1693367 48254601 664912709 1854165 97319 481

Tada je:

1692 1192 = 1202

48252 33672 = 34562

66492 46012 = 48002

185412 127092 = 135002

972 652 = 722

4812 3192 = 3602

5

Dakle, ovde imamo Pitagorine trojke brojeva. Zapravo, ako se pos-matra pravougli trougao u kome je maǌa kateta a, ve%a kateta b ihipotenuza c, onda je prva kolona zapravo jednaka (c/b)2 = sec2α. Na-ravno, nema smisla smatrati na osnovu ovoga da su u staroj Mesopo-tamiji imali pojam sekansa ugla, ni u Egiptu ni u Mesopotamiji ne-mamo uvo"eǌe mere ugla, no ovo je ipak zanimǉiv rezultat. Nismonapisali celu tablicu, ali se pravilnost i daǉe odr$ava — brojeviu prvoj koloni su opadaju%i. Osim toga, uvek je b ‘pravilan’ broj,tj. u ǌegovoj faktorizaciji se pojavǉuju samo prosti brojevi 2, 3 i5, xto omogu%ava konaqan zapis u osnovi 60. Ne%emo se daǉe bavititime kako je tablica formirana.

Na kraju navedimo i par reqi o geometriji u Mesopotamiji. Presvega, jasno je da je Pitagorina teorema bila poznata. Na jednojtablici imamo kvadrat na kome je broj 30 napisan du$ stranice, doksu brojevi 42;25,35 i 1;24,51,10 zapisani du$ dijagonale. Primetimoda je ovde drugi broj aproksimacija za 2 i to priliqno taqna i dase vidi da se znalo da se du$ina dijagonale kvadrata dobija kada sedu$ina stranice pomno$i sa 2. Imamo i primer, na jednoj drugojtablici, raqunaǌa polupreqnika kruga opisanog oko jednakokrakogtrougla. A imamo i primere zadataka gde se ne radi samo o primeniPitagorine teoreme na jednakokraki trougao. Na primer, postoji izadatak gde greda du$ine 0;30 stoji uz zid i pitaǌe je koliko %e sedoǌi deo pomeriti od zida ako se gorǌi deo spusti za 0;6.

Zanimǉiva je i tablica u kojoj su pore"ene povrxine i kvadratistranica pravilnih mnogouglova sa tri, qetiri, pet, xest i sedamstranica. Neki su rezultati pribli$ni, ali sa dobrom aproksimaci-jom. Tu se tako"e nalazi i primer pore"eǌa obima kru$ice opisaneoko pravilnog xestougla i ǌegovog obima. Iz tog rezultata se mo$ezakǉuqiti da je aproksimacija za π: 3;7,30, odnosno 3 1

8 xto nije loxaaproksimacija (mada se za raqunaǌe povrxine kruga ipak najqex%ekoristila vrednost 3).

Mane su sliqne kao i u Egiptu. Nije se pravila razlika izme"utaqnih i pribli$nih vrednosti. Pa se tako povrxina qetvorouglanalazila kao proizvod aritmetiqkih sredina parova naspramnih stra-nica, dok se za zapreminu zarubǉene piramide mogla na%i i taqnavrednost, ali i slabije aproksimacije.

Za kraj mo$emo re%i da, mada ni u Egiptu ni u Mesopotamijinemamo eksplicitnih dokaza, ipak se mo$e naslutiti da su postojalimetodi kojima su se rexavali opxti zadaci i da je bilo i sluqajevadokaza pomo%u provere raquna. Pravi matematiqki dokazi dolazetek sa Grcima. Mo$emo re%i i da matematika starijih civilizacijanije bila sasvim utilitarna. Vidi se da je tu bilo i zadataka qistozabavnog i nepraktiqnog karaktera.

6

Poqeci grqke matematike

Prve Olimpijske igre odr!ane su 776. godine p. n. e. i u to vremeje ve" postojala znaqajna grqka literatura, no o grqkoj matematiciiz tog doba ne znamo nixta. Jasno je da je literatura mogla da seu velikoj meri prenosi usmenim predaǌem i to je sigurno jedan odrazloga xto je situacija bila takva. Zapravo sve do VI veka p. n. e.nemamo nikakvih podataka o grqkoj matematici. Tek od tada imamoneke podatke, ali nema dokumenata sve do IV veka p. n. e. Qak i u tomveku ima malo preostalih originalnih dokumenata. Informacije kojeimamo o poqecima grqke matematike su bazirane na kasnijim izvorima.

Zna se da je Aristotelov student Eudem, koji je poreklom bio saRodosa, oko 320. godine p. n. e. napisao Istoriju matematike (on jepisao i druge kǌige na primer Istoriju astronomije), no ona nijesaquvana. Kasnije je neko sastavio skra"eni zapis ove Istorije, noni original tog zapisa nije saquvan. Informacija koju imamo o tojIstoriji sadr!ana je u Proklovim (Proklo je bio znaqajan neoplaton-istiqki filozof iz V veka n. e.) Komentarima o prvoj kǌizi EuklidovihElemenata.

Dakle, informacije koje imamo o poqecima grqke matematike nisubazirane na originalnim izvorima, nego na kasnijim dokumentima,odnosno na istorijskoj tradiciji. Prva dva matematiqara koji seeksplicitno spomiǌu po imenu bili su Tales iz Mileta (okvirnegodine !ivota: 624–548 p. n. e.) i Pitagora sa Samosa (oko 570–490p. n. e.).

Tales

Malo se toga sa sigurnox"u zna o Talesu. No, tradicija ga opisujekao izuzetno pametnog i snala!ǉivog qoveka i smatran je za prvogfilozofa — on je prvi od Sedam mudraca. Tales je dosta putovao ipo Egiptu i po Mesopotamiji i tamo je imao priliku da se upozna samatematikom tih civilizacija. Smatra se da je Tales u Mesopotamijimogao da vidi tamoxǌe astronomske tablice. Postoji legenda o tomeda je Tales 585. godine p. n. e. predvideo pomraqeǌe Sunca, ali tozaista nije potvr%ena qiǌenica. Matematiqki rezultati koji se pri-pisuju Talesu su slede"i:

• Ugao nad preqnikom kruga je prav.

• Preqnik deli krug na dva jednaka dela.

• Uglovi na osnovi jednakokrakog trougla su jednaki.

• Unakrsni uglovi su jednaki.

1

• Stav USU za podudarnost trouglova.

Sada je univerzalno prihva"ena qiǌenica da su Grci bili ti kojisu dali elemente logiqke strukture geometriji, no ipak se ne zna dali je Tales bio taj koji je to uradio, ili je do toga doxlo znatnokasnije, mo!da qak dva veka kasnije.

Pitagora i Pitagorejci

Za ime Pitagore vezuju se razne legende. ǋegovo mesto ro%eǌaje bilo blizu mesta ro%eǌa Talesa, no !ivotni putevi su im biliznaqajno razliqiti. Dok je Tales bio poznat po svojim praktiqnimaktivnostima, Pitagora je bio prorok i mistik. I on je dosta puto-vao, sigurno i po Egiptu i Mesopotamiji, ali mo!da je ixao qak i doIndije. Nije nebitno navesti da je on bio savremenik i Bude, Kon-fuqija, kao i Lao Cea. Po povratku sa tih putovaǌa naselio se uju!nom delu Italije u Krotonu, xto se u to vreme smatralo delomVelike Grqke. Osnovao je tajno druxtvo, koje nazivamo Pitagorejciili Pitagorovci. Rezultate koji se pripisuju Pitagori, ispravnijeje pripisati Pitagorejcima. Tako "emo i ovde raditi, sem u sluqajukada je poznata osoba kojoj se pripisuje konkretan rezultat.

Pitagorejci su verovali u proqix"eǌe kroz bavǉeǌe filozofi-jom i matematikom. Smatra se da je sam Pitagora smislio reqi,,filozofija” (,,ǉubav ka mudrosti”) i ,,matematika” (,,ono xto seuqi”). Verovali su u seobu duxe posle smrti u drugo telo, ǉud-sko ili !ivotiǌsko. Bili su vegetarijanci, ali su imali i drugespecifiqne zabrane.

Osnovni moto Pitagorejaca je, pojednostavǉeno govore"i, bio: ,,Sveje broj”. Naravno, ovde je broj bio pozitivan ceo broj, ono xto midanas zovemo prirodni broj. Ta fasciniranost brojevima nam sadaizgleda naivno, ali ona ipak le!i u osnovi pokuxaja da se svet ob-jasni pomo"u brojeva, matematiqki. Pojedinim brojevima su prida-vana posebna svojstva, ne"emo se naravno time baviti, ali navedimoda je za ǌih bio posebno va!an simbol tetraktis:

2

On predstavǉa najsvetiji, za Pitagorejce, broj 10. On je najsvetijijer predstavǉa zbir svih dimenzija, pri qemu dimenziju nula pred-stavǉa jedna taqka, dimenziju jedan predstavǉaju dve taqke itd. Za-nimǉivo je da broj 10 nije Pitagorejcima bio znaqajan zbog qiǌeniceda imamo deset prstiju na rukama.

Drugi znaqajan simbol bio je pentagram:

ǋega formiraju dijagonale pravilnog petougla i o pravilnom petouglu"e biti reqi kasnije.

Pridru!ivaǌe brojeva objektima, posebno je bilo vidǉivo u tre-tiraǌu figurnih, preciznije mnogougaonih brojeva. Dakle, pitaǌe jekoji brojevi mogu biti pridru!eni kojim figurama.

Prave i du!i koje se pojavǉuju nisu deo prikaza, samo su tu radipreglednosti, mnogougaoni brojevi su predstavǉani kamenqi"ima. Naprethodnoj slici vidimo trougaone, kvadratne, petougaone i xesto-ugaone brojeve.

Pitagorejcima je bila zanimǉiva podela mnogougaonih brojeva natrougaone, a s tim u vezi, jasno, i podela mnogouglova na trouglove.

3

Ova slika nam prikazuje podelu kvadratnog broja na dva trougaonaqije se stranice, razlikuju za 1, a slede"a slika nam prikazuje podelu‘izdu!enog’ broja (zapravo broja oblika n(n + 1), gde je n prirodanbroj) na dva jednaka trougaona:

Pitagorejci otkrivaju i vezu izme%u odnosa malih prirodnih bro-jeva i muzike. Najpre su otkrili da ako imamo dve !ice od kojih jejedna dvostruke du!ine, onda one pri trzaǌu emituju iste note, koje serazlikuju za oktavu — poxto je talasna du!ina kod du!e !ica ve"a,frekvencija je ni!a i stoga je ton dubǉi, za jednu oktavu. Do har-monije u zvuku dolazi kada se odnosi du!ina dve !ice nalaze u jednos-tavnim razmerama poput 2:3 ili 3:4. Razlika u notama se vidi u jed-nostavnim odnosima du!ina !ica. Tu imamo prve zakone akustike, apoznato je da nisu eksperimentisali samo sa !icama, nego i sa drugimobjektima. Na primer, Hipas iz Metaponta je imao qetiri metalnadiska iste osnove, ali razliqitih debǉina — odnosi debǉina su bili1 : 1 1

3 : 1 12 : 2 i pokazao je da oni proizvode istu harmoniju kao i !ice sa

odgovaraju"im odnosima du!ina. Neki mu pripisuju i eksperimentesa razliqito napuǌenim qaxama sa sliqnim efektom.

Naravno, Pitagorejci su, poslediqno, imali i veoma smele razradeove ideje — da se nebeska tela kre"u po sferama sa takvim odnosimada proizvode harmonijske tonove: ,,harmonija sfera”. Naravno, tonam sada deluje vrlo naivno, ali ideja da je svemir pravilno ure%enjeste jedna znaqajna tekovina Pitagorejaca.

Proklo, na osnovu Eudema, govori o razvoju teorije proporcija kodPitagorejaca. Svakako se Pitagora u Mesopotamiji upoznao sa arit-

4

metiqkom, geometrijskom i harmonijskom sredinom i odnosom izme%uǌih:

a : A(a,b) = H(a,b) : b.

gde smo sa A(a,b) oznaqili aritmetiqku, a sa H(a,b) geometrijsku sred-inu brojeva a i b. No, oni su kasnije dodali jox sedam ‘sredina’ itime kompletirali do ukupno 10 (znamo da im je taj broj bio posebnoznaqajan). Zanimǉivosti radi, navedimo ih. Ukoliko je b ‘sredina’a i c, onda va!e slede"i odnosi:

(1)b −ac −b

= aa

(6)b −ac −b

= cb

(2)b −ac −b

= ab

(7)c −ab −a

= ca

(3)b −ac −b

= ac

(8)c −ac −b

= ca

(4)b −ac −b

= ca

(9)c −ab −a

= ba

(5)b −ac −b

= ba

(8)c −ac −b

= ba

Nije texko proveriti da prve tri jednakosti daju za b redom arit-metiqku, geometrijsku i harmonijsku sredinu. Ostale . . . Zabave radi,mo!emo da primetimo da, na primer, qetvrta daje b = a2+c2

a+c .

Zapisivaǌe brojeva

Napravimo sada kratku pauzu u razmatraǌima o teorijskim aspek-tima grqke matematike i pozabavimo se pitaǌem kako su Grci zapisi-vali brojeve. Postojala su dva naqina zapisivaǌa brojeva — atiqkii jonski.

Atiqki sistem brojeva je bio sliqan kasnijem rimskom sistemu,mada je imao i neke svoje prednosti. Evo kratke tabele:

broj oznaka1 I2 II3 III4 IIII5 Γ

10 ∆

100 H1000 X

10000 M

5

Prednost u odnosu na kasniji rimski sistem zapisivaǌa sastojao seu tome xto se za brojeve 50 i 500 nisu koristili posebni simboli,nego kombinacije ve" postoje"ih:

50 = Γ∆, 500 = ΓH, 5000 = ΓX, 50000 = ΓM,

Tako bismo, na primer, broj 45628 zapisivali ovako

MMMM ΓX ΓH H ∆ ∆ ΓIII.

Jonski sistem je bio baziran na alfabetu. Grqki alfabet potiqeod feniqanskog pisma (u kome nije bilo oznaka za samoglasnike, kojisu dodati) i imao je 24 znaka. A Grcima je bilo potrebno 27 znakova.Naime, sistem jeste bio formiran tako da se broj 10 isticao, ali tonije bio pozicioni sistem. Za oznaku jedinica koristilo se 9 slova,za oznaku desetica drugih devet slova i za oznaku stotica drugih 9slova. Dakle, na grqki alfabet dodata su jox tri stara simbola Ϙ,ϙ(,,kopa”, koje je i preteqa latiniqnog q), Ϛ,ϛ (,,stigma”, ili ,,digama”)i Ϡ,ϡ (,,sampi”). Najpre su se koristila velika slova, mala su uve-dena tek znatno kasnije. Evo tabele:

Aα1

Bβ2

Γγ3

∆δ4

Eε5

Ϛϛ6

Zζ7

Hη8

Θθ9

Iι

10

Kκ20

Λλ30

Mµ40

Nν

50

Ξξ

60

Oo

70

Ππ80

Ϙϙ90

Pρ

100

Σσ

200

Tτ

300

Υυ

400

Φφ

500

Xχ

600

Ψψ

700

Ωω

800

Ϡϡ

900

Na primer, broj 967 bi se zapisao ovako: ϡξζ. Za hiǉade su korix"eniznaci za jedinice ispred kojih bi se pisala doǌa crtica: ′α = 1000.Na primer ′βκ= 2020. Tako se bez problema mogu zapisivati prirodnibrojevi maǌi od 10000. Za ve"e brojeve koristio se simbol M, kojije oznaqavao 10000 i onda bi se, na primer, broj 1345879 zapisivaoovako: Mρλδ · ′εωoθ. Dakle, to bi zapravo bilo 134×10000+5879, a · jebio simbol za razdvajaǌe.

Kod pisaǌa razlomaka ponovo nailazimo na egipatsku sklonost kajediniqnim razlomcima, tj. razlomcima oblika 1

n . Oni bi se pisalitako xto bi se posle imenioca stavila gorǌa crtica (,,prim”): ra-zlomak 1

27 bi se zapisivao kao κζ′. Naravno da bi tu moglo do"i dokonfuzije: da nije to mo!da 20 1

7? No, iz konteksta bi se zakǉuqivaloo kom broju se radi.

6

Kako se raqunalo sa sigurnox"u ne mo!emo da ka!emo. Jasno je dasu bile korix"ene neke raqunaǉke, neke table za raqunaǌe pomo"ukamenqi"a, ali nijedan takav predmet nije saquvan. Postoji slika najednoj vazi gde se vidi tabla za raqunaǌe, a Herodot je zapisao da jeu raqunaǌu sa kamenqi"ima Grk radio sleva na desno, a Egip"aninzdesna na levo.

Na kraju ovog dela o zapisivaǌu brojeva navedimo da se i kod nas,tokom sredǌeg veka koristila ovakva varijanta zapisivaǌa brojeva,naravno bazirana na "irilici:

7

Tri konstruktivna problema antike

V vek p. n. e. bio je period znaqajnog napretka Atine. Zapoqeoje uspexnom odbranom od Persijanaca, a zavrxen porazom Sparte odAtine. Veliki napredak Atine u ovo Periklovo doba uticao je napriliv znaqajnog broja uqenih ǉudi u Atinu. Jedan od ǌih je bioi Anaksagora, koji je ro%en u Joniji u Maloj Aziji u vreme dok jeona bila pod vlax"u Persije. Bio je prijateǉ Perikla i qovek slo-bodnog mixǉeǌa. Verovatno su oba ova razloga (Perikle je imao ijake politiqke protivnike u Atini) uticala na to da bude optu!enza bezbo!nost — tvrdio je da ni Sunce ni Mesec nisu bo!anstva.Sunce je samo vreo kamen veliqine Peloponeza, dok je Mesec svetlostdobijao od Sunca i reflektovao ga na Zemǉu. Neko vreme je i proveou zatvoru iz koga ga je izbavio Perikle, ali je ipak morao da ode uizgnanstvu u kome je i umro 428. godine p. n. e. — godinu dana prero%eǌa Platona i godinu dana posle smrti Perikla.

Kako je Plutarh pisao, Anaksagora se u zatvoru u Atini bavioi problemom kvadrature kruga — kako na"i kvadrat koji ima istupovrxinu kao i dati krug. Tu prvi put nailazimo na spomiǌaǌe ovogproblema. Nije bilo jasno xta je dozvoǉeno koristiti u tu svrhu, alije kasnije (najverovatnije i dosta kasnije, pod uticajem Platona) biloiskristalisano da je za tu svrhu dozvoǉeno koristiti samo leǌir ixestar.

Perikle je umro od kuge koja je harala Atinom i za koju se sma-tra da je tada od ǌe umro skoro qetvrtina stanovnika Atine. Zaepidemiju kuge se vezuje i priqa o drugom konstruktivnom problemuantike. Navodno su Atiǌani poslali delegaciju u hram Apolona uDelfima da pitaju xta bi trebalo da urade da zaustave epidemijukuge. Dobili su odgovor od proroqixta da moraju da udvostruqeoltar u obliku kocke koji je bio posve"en Apolonu. Atiǌani su ud-vostriqili du!inu stranice, no kuga nije prestala. Jasno je da timenisu rexili problem, jer su tako dobili osam puta ve"u zapreminuoltara. Ovo je prvo spomiǌaǌe problema udvostruqavaǌa kocke.

Tako%e je u ovo vreme u Atini ‘cirkulisao’ problem trisekcijeugla: kako dati ugao podeliti na tri jednaka dela. Ovi problemi,posebno kasniji zahtevi za ǌihovo rexavaǌe, gde se konstrukcija moralaizvrxiti iskǉuqivo pomo"u leǌira i xestara, uticali su znaqajnona razvoj matematike i dugo vekova nisu bili razrexeni. No, ve" jeu antiqko doba bilo nekih rexeǌa koja, doduxe, nisu bila pri timrestriktvnim uslovima, ali i pored toga su bila zanimǉiva.

8

Hipokratova kvadratura ,,meseca”

Hipokrat sa Hiosa (to nije lekar Hipokrat koji je bio sa Kosa) jebio nexto mla%i od Anaksagore i u Atinu je doxao oko 430. godinep. n. e. da se bavi trgovinom. No, svu imovinu je izgubio, da lizbog neke prevare ili zbog napada gusara, ne znamo, ali znamo daga to nije obeshrabrilo. Okrenuo se studijama geometrije. Napisaoje i prve ,,Elemente geometrije”, nekih sto godina pre EuklidovihElemenata, ali to delo, na!alost, nije saquvano, ali da je postojaloznamo preko Aristotela. Podatke o Hipokratovoj matematici imamood Simplicija koji je oko 520. godine naxe ere, iskopirao, po svojimreqima, delove Eudemove ,,Istorije matematike”.

Po tim podacima, Hipokrat je izvrxio kvadraturu ,,meseca”. Pod,,mesecom” se podrazumevala krivolinijska figura koju ograniqavajudva luka krugova razliqitog polupreqnika. Najpre se kod Eudemanavodi da je Hipokrat dokazao slede"u teoremu: Povrxine dva sliqnaodseqka dva kruga se odnose kao kvadrati ǌihovih baza (odseqci susliqni ako odgovaraju istom centralnom uglu). Zapravo Eudem tvrdida je Hipokrat do ovog rezultata doxao tako xto je pokazao da sepovrxine krugova odnose kao kvadrati ǌihovih polupreqnika. Texkoje poverovati da je Hipokrat imao dokaz ovog rezultata. Verovatnoje imao neki argument kojim je opravdavao validnost te teoreme, alidokaz skoro sigurno nije imao. Mi "emo kasnije prezentirati znaqa-jno kasniji dokaz te qiǌenice Taj dokaz je baziran na znatno suptil-nijim metodama nego onim koje su bile dostupne Hipokratu.

Evo kako je, bazirano na prethodnim rezultatima, Hipokrat izveokvadrature nekih ,,meseca”. Kao prvi primer posmatrajmo jednakokrakipravougli trougao i odgovaraju"i polukrug.

Konstruiximo i luk nad AC tako da je novodobijeni odseqak AEC Dsliqan odseqcima nad tetivama AB i BC . Kako je AB 2+BC 2 = AC 2 (zbog

9

jednostavnosti zapisa, nismo pisali |AB | kao du!inu stranice AB,tako "emo raditi i daǉe), a prema navedenom rezultatu povrxinesliqnih odseqaka se odnose kao kvadrati odgovaraju"ih baza, dobi-jamo da je povrxina odseqka AEC D jednaka zbiru povrxina odseqakanad AB i BC . ,,Mesec” ADC B koji obrazuju polukrug i luk !AC sastojise od ta dva odseqka i ‘krivolinijskog’ trougla u kome je osnova luk!AC . No, zbir povrxina ta dva odseqka, jednak je povrxini odseqkaAEC D, koji zajedno sa tim ‘krivolinijskim’ trouglom qini trougaoAC B. Stoga je povrxina tog ,,meseca” jednaka povrxini trougla AC B.A lako je na"i kvadrat qija je povrxina jednaka povrxini trouglaAC B: to je kvadrat nad polovinom stranice AC . Tako je izvrxena ikvadratura ,,meseca” ADC B.

Drugi primer kvadrature ,,meseca” dobija se pomo"u jednakokrakogtrapeza ABC D u kome je AB = BC =C D i AD2 = DC 2 +C B 2 +B A2.

Kao i u prethodnom primeru, na osnovu ove veze me%u kvadratima nadodgovara"im du!ima i rezultata o povrxini odseqaka, dobijamo da jepovrxina meseca AEDC B jednaka povrxini trapeza ABC D. Naravno dase bez ve"ih problema mo!e na"i i kvadrat koji ima istu povrxinukao i ovaj trapez te je time izvrxena kvadratura jox jednog ,,meseca”.Jedan od komentatora Aristotela navodi jox neke primere kvadratura,,meseca”, no ova dva primera su nam dovoǉna.

Vidimo da su matematiqari u Atini krajem V veka p. n. e. sa uspe-hom baratali transformacijama povrxina raznih figura. Posebno,oni su znali kako da izvrxe kvadraturu pravougaonika, xto se svodina nala!eǌe x iz proporcije a : x = x : b. Stoga je prirodno da suse oni zanimali i problemom produ!ene proporcije, tj. nala!eǌemx i y za koje je a : x = x : y = y : b. Zapravo, navodi se da je Hipokratprepoznao da se ovaj problem u sluqaju kada je b = 2a svodi na prob-lem udvostruqavaǌa kocke — iz a : x = x : y = y : 2a, dobija se da je dax3 = 2a3. Dakle, Hipokrat je razmatrao i problem udvostruqavaǌa

10

kocke. Nema nikakvih zapisa o tome da li se on bavio i tre"im ve-likim problemom — problemom trisekcije ugla. No, poznato je kojise matematiqar bavio ovim problemom.

Hipijina trisektrisa

U V veku p. n. e. sa razvojem grqkog druxtva, pojavila se i potrebaza drugaqijim i xirim obrazovaǌem slobodnih ǉudi. Tu su sofistibili posebno znaqajni. Sofisti su bili svestrano obrazovani ǉudi,sa velikim i raznovrsnim iskustvom i fokus ǌihovog interesovaǌanije bilo utvr%ivaǌe velikih istina o prirodi nego poduqavaǌe vex-tini !ivǉeǌa i upravǉaǌa !ivotom. Mo!da i glavni fokus ǌihovogobrazovaǌa je bilo obrazovaǌe u retorici, ali bax tu se i krijejedan od razloga xto su mnogi sofisti izaxli na lox glas. Jer, dali je ciǉ govornixtva da nepristrasno iznese stavove, ili da, u kozna koje svrhe, ubedi sagovornika u nexto. Mi se naravno ne"emo de-taǉno baviti sofistima, razlog zbog kojih su oni spomenuti ovde jexto je jedan od istaknutih sofista bio i Hipija iz Elide.

Hipija je bio svestrano obrazovan, ali je va!io i za hvalisavogqoveka. Pripisuje mu se izjava da je zara%ivao vixe od ma koja drugadva sofista zajedno. Mnogo toga je pisao, ali nijedno delo nije ostalodo naxih dana. No, ono xto je nama zanimǉivo je da je on bio prvikoji je u matematiku uveo krivu koja nije ni prava ni krug. Krivakoju je on uveo spada u, takozvane, mehaniqke krive: ona je formiranakao skup taqaka pri nekom kretaǌu. Pogledajmo slede"u sliku.

11

Zamislite da istovremeno ravnomerno ‘spuxtate’ ivicu AB kvadrataABC D paralelno nadole i rotirate ivicu D A oko taqke D ka iviciDC . Dakle, oba kretaǌa su ravnomerna i vrxe se tako da se u istomtrenutku translirana ivica AB poklopi sa ivicom DC , kada i roti-rana ivica D A sa istom ivicom. Ako je A′B ′ trenutni polo!aj iviceAB, a D A" trenutni polo!aj ivice D A, u preseku dobijamo taqku P .Geometrijsko mesto taqaka koje se tako dobijaju i formira tu krivu.Obratimo pa!ǌu na qiǌenicu da taqka Q nije dobijena u preseku ovihivica jer su se one preklopile u tom trenutku. Ona je tu dodata kaograniqna taqka.

Ova kriva je poznata i pod imenom Hipijina trisektrisa. Za-xto trisektrisa? Jednostavan je razlog, ako imamo ovu krivu, ondamo!emo da izvrximo trisekciju (podelu na tri jednaka dela) svakogoxtrog ugla (a to je i dovoǉno, jer se onda sigurno mo!e izvestitrisekcija i ma kog ugla). Recimo da je ugao koji !elimo da pode-limo !C D A". Taqka P je presek du!i D A" i trisektrise. Pozicijadu!i AB koju spuxtamo nadole, a koja odgovara taqki P je A′B ′. Sobzirom da isto vremena treba du!i A′B ′ da se spusti do du!i DC ,koliko i du!i D A" da se spusti do iste du!i, onda se za tre"inu togvremena du! D A" rotirala za tre"inu ugla !C D A". Dakle, samo jepotrebno podeliti du! D A′ na tri jednaka dela taqkama T i U i iscr-tati dve paralelne du!i T R i U S. U preseku se dobijaju taqke V i Wi poxto je A′T = TU =U D, onda je i !PDV =!V DW =!W DQ. Tako smodakle poqetni ugao podelili na tri jednaka dela. Trisektrisa namje problem trisekcije ugla svela na problem trisekcije du!i, a toje lak problem. Naravno, ova kriva se ne mo!e konstruisati pomo"uleǌira i xestara, te nije rexeǌe problema u kasnijoj, restriktivnoj,ǌegovoj varijanti.

12

Nesamerǉivost

Kao xto smo videli, ideja Pitagorejaca je bila da se svakom ob-jektu pridru!i neki prirodan broj. Dakle, odnos ma koja dva objekta,ma koje dve veliqine mora biti opisan kao odnos dva prirodna broja.Problem je u tome xto to ipak nije tako i do tog otkri"a je doxlopolovinom V veka p. n. e. Tradicija ovo otkri"e pripisuje ve" ranijespomenutom Hipasu iz Metaponta.

Prvo spomiǌaǌe problema nesamerǉivosti pojavǉuje se u Plato-novom dijalogu Teetet, koji je Platon napisao 368. ili 367. godinep. n. e. a doga%aji opisani u tom dijalogu se fiktivno pripisujugodini 399. U tom dijalogu stari matematiqar Teodor iz Kirenedokazuje grupi mladi"a, me%u kojima je i Teetet, koji je opisan kaosedamnaestogodixǌak, da su kvadratni koreni brojeva 3,5, . . . ,17 (semnaravno 9) iracionalni brojevi. Zanimǉivo je da se ovde ne navodidokaz da je

!2 iracionalan broj. Oqigledno je da se smatralo da je

u to vreme ovo bila dobro poznata qiǌenica, koju nije trebalo obra-zlagati.

Dokaz iracionalnosti broje!

2 koji smo uqili u sredǌoj xkoli jemalo pojednostavǉen dokaz koji navodi jox Aristotel. On se vezujeza qiǌenicu da su dijagonala i stranica kvadrata nesamerǉivi. Xtato znaqi? Ako sa d obele!imo dijagonalu kvadrata, a sa a stranicukvadrata, to znaqi da ne postoji du! l takva da je d = ml , a a = nl zaneke prirodne brojeve m i n.

Kako se uopxte ispituje da li takva du! postoji? Drugim reqima,poxto su Pitagorejci svakako verovali da su ma koje dve veliqine,pa eto i du!i, samerǉive, kako se nalazi ta du! kojom se obe mogupremeriti — ǌihova zajedniqka mera. Koristi se prastari zanat-ski trik. Zamislimo da imamo dve trake i !elimo da na%emo ǌihovuzajedniqku meru. ǋih "emo naravno prikazati pomo"u du!i. Dakle,imamo du!i AB i BC :

A B C

Sada kra"u traku preklopimo preko du!e (maǌom pokuxavamo da pre-merimo du!u)

A C ′ B

Postupak ponovimo:

A B ′ C ′

Nismo uspeli, no sada onim xto je ostalo pokuxavamo da premerimomaǌu (B ′C ′ = BC):

1

B ′ A′ C ′

Ponavǉamo:

A′ B ′ C ′

I jox jednom:

B ′ A′ =C ′

Uspeli smo da dobijemo zajedniqku meru — to je du! B ′A′ = AB ′. Akose ovaj postupak nikada ne bi zavrxio poqetne du!i (trake) bi bilenesamerǉive.

Pogledajmo kako ‘ide’ taj stari dokaz nesamerǉivosti dijagonalei stranice kvadrata (ovaj dokaz se mo!e na"i u nekim izdaǌima Eu-klidovih Elemenata pri kraju X kǌige, no opxte je mixǉeǌe da onnije tu bio u originalu i da je to kasnije dodato).

Neka je ABC D kvadrat i AC ǌegova dijagonala. Pokazujemo da sudijagonala AC i stranica AB nesamerǉive po du!ini. Pretpostavimoda one jesu samerǉive. Pokaza"emo da je tada jedan broj istovremenoi paran i neparan. Jasno je da je kvadrat nad AC jednak dvostrukomkvadratu nad AB. Kako su po pretpostavci dijagonala i stranicasamerǉive, one su u proporciji kao dva cela broja. Neka je to pro-porcija DE : F , gde su DE i F najmaǌi brojevi koji ostvaruju tu pro-porciju. DE ne mo!e biti jedinica poxto bi u tom sluqaju, kako jeAC > AB dobili da je F ceo broj koji je maǌi od 1, xto nije mogu"e.Dakle, DE nije jedinica, nego neki ceo broj (ve"i od 1). Kako jeAC : AB = DE : F , sledi da je tako%e AC 2 : AB 2 = DE 2 : F 2. No, AC 2 = 2AB 2

i stoga je DE 2 = 2F 2. Dakle, DE 2 je paran broj, pa stoga i DE morabiti paran broj. Jer, ako bi bio neparan broj, ǌegov kvadrat bitako%e bio neparan broj. Naime, ako se neki broj neparnih brojevasabere i ako u tom zbiru ima neparno mnogo brojeva, onda je i tajzbir neparan. Stoga je DE tako%e paran broj. Neka je onda DE podel-jeno na dva jednaka broja u taqki G. Kako su DE i F najmaǌi brojevikoji su u navedenoj proporciji, oni su uzajamno prosti. Stoga, kakoje DE paran broj, F mora biti neparan. Jer, ako bi on bio paran broj,onda bi broj 2 merio i DE i F , a to je nemogu"e jer su oni uzajamnoprosti. Stoga F nije paran nego je neparan. Kako je ED = 2EG sledida je ED2 = 4EG2. No, ED2 = 2F 2 i stoga je F 2 = 2EG2. Stoga F 2 morabiti paran broj te je F tako%e paran broj. No, tako%e je pokazano da Fmora biti neparan broj, xto je nemogu"e. Stoga sledi da AC ne mo!ebiti samerǉivo sa AB xto je i trebalo pokazati.

Dobro, ako se zanemare neke specifiqnosti, koje produ!avaju dokaz,poput toga da se insistira da se posebno doka!e da DE ne mo!e biti 1,kao i malo razvuqenog dokaza qiǌenice da je kvadrat neparnog broja

2

neparan broj, a i asimetrije u oznakama, gde se koristi, s jedne straneDE, a s druge samo F (a vidi se i zaxto je to tako — DE se deli na dvapolovine, a F ne), to je dokaz koji smo imali u sredǌoj xkoli. Jasnoje da je ovaj dokaz priliqno sofisticiran, koristi se tu svo%eǌe naapsurd u vixe koraka i, kao xto se ka!e, radi se o ‘slegnutom’ dokazu,koji sigurno kao takav nije mogao da se pojavi u petom veku pre noveere. Dakle, nije to dokaz u kome se prvi put pokazala nesamerǉivostdu!i.

Prvi dokaz nesamerǉivosti se vezuje, kao xto smo ve" naveli, zaHipasa iz Metaponta i smatra se da je on prona%en sredinom V vekap. n. e. Prisetimo se pentagrama:

Ve" smo rekli da je to bio va!an simbol za Pitagorejce. ǋegaformiraju dijagonale pravilnog petougla, no jasno je da se u centruove zvezde nalazi jox jedan pravilni petougao (i ne samo jedan. . . ):

3

Vidimo opadaju"i niz pravilnih petouglova. Docrtajmo poqetnipravilni petougao i oznaqimo temena ovih petouglova. Ve" smo naveli

da je Talesu bila poznata qiǌenica o jednakosti uglova na osnovicijednakokrakog trougla, naravno da je i Pitagorejcima to bilo poz-nato. Kao i obratno tvr%eǌe — da iz jednakih uglova dobijamo i jed-nake stranice. Verovatno im nije bio poznat dokaz koji bi ‘proxao’sadaxǌu logiqku proveru, no bilo im je jasno da to va!i. Eudem usvojoj istoriji navodi da su znali da je zbir uglova u trouglu bio jed-nak dvostrukom pravom uglu. Odavde, podelom petougla na trouglove,a znamo da su ih takve podele zanimale, lako se dobija koliki je zbirunutraxǌih uglova u petouglu, pa i qiǌenica da je zbir spoǉaxǌihuglova jednak qetvorostrukom pravom uglu. Naravno, kao xto je ve"navedeno ranije, bila je poznata i jednakost unakrsnih uglova.

Sve ovo je bilo dovoǉno da Hipas mo!e da zakǉuqi da je AE = AB ′

i B ′D = B ′E ′ te je AD − AE = B ′E ′. Dakle, razlika du!ina dijagonale istranice velikog petougla jednaka je du!ini dijagonale maǌeg. Dokje sliqno AE = ED ′ = E A′ i B ′E ′ = B ′D = B ′E te stoga i AE −B ′E ′ = B ′A′, teje razlika du!ine stranice ve"eg i dijagonale maǌeg jednaka du!inistranice maǌeg petougla. Naravno da se ovaj postupak nastavǉa. Akosa dn oznaqimo du!inu dijagonale n-tog pravilnog petougla, a sa an

4

du!inu ǌegove stranice, onda imamo da je

dn+1 = dn −an , an+1 = an −dn+1, za sve n.

No, postupak nala!eǌa zajedniqke mere d1 i a1, koji smo ranije opisalise upravo u tome i sastoji: nalazimo d1−a1 i poxto je to maǌe od a1,onda od a1 oduzimamo taj rezultat i tako nastavǉamo. Dakle, dobi-jamo niz d1, a1,d2, a2, . . .. Prema tome, ovaj proces se nikada ne zavr-xava te dijagonala i stranica pravilnog petougla nisu samerǉive.Uostalom, ako bi l bila zajedniqka mera za d1 i a1, onda bi ona me-rila sve ove stranice i dijagonale, a to nije mogu"e jer je jasno dase one sve vixe i vixe smaǌuju i za dovoǉno mali petougao svi ovielementi "e biti kra"i od l .

Dakle, vidimo da je priliqno oqigledno da dijagonala i stranicapravilnog petougla nisu samerǉive i da se, xto bi se reklo, ,,svevidi sa slike”. Slike koja je bila izuzetno znaqajna Pitagorejcima.Naravno da se nexto sliqno mo!e izvesti i za dijagonalu i strani-cu kvadrata, ali tu nemamo tako prirodno formiranu sliku, niti jedokaz koji smo naveli za iracionalnost

!2 takvog karaktera. Stoga

se sa velikom sigurnox"u mo!e zakǉuqiti da se nesamerǉivost, kojaje bila veliki xok za Pitagorejce, a imala i vrlo ozbiǉne posledicepo kasniji razvoj grqke matematike, prvi put ustanovila u sluqajudijagonale i stranice pravilnog petougla.

Zenonovi paradoksi

Za osnivaqa Elejske xkole smatra se Parmenid. Osnovna ideja ǌe-govog uqeǌa bila je: jedinstvenost i nepromenǉivost. Svako kretaǌeje iluzija – razlikujemo ono xto je suxtinsko, stvarno, od onoga xtoje qulno. Ovo gledixte su kritikovali, pa i ismevali Pitagorejci.Stoga je Zenon (oko 450. g. p. n. e.), Parmenidov uqenik, smislio vixelogiqkih paradoksa koji su imali za ciǉ da poka!u da je i pitagorej-sko uqeǌe o promenama i vixestrukostima tako%e problematiqno.

Prva dva paradoksa tiqu se diskretnosti/kontinuiranosti pros-tora.

1. Dihotomija Da bi bilo ko prexao neko rastojaǌe, on najpre morada pre%e polovinu tog rastojaǌa, a da bi prexao tu polovinu, moranajpre qetvrtinu itd. Stoga bi on morao da pre%e beskonaqno mnogodelova u konaqno vreme.

2. Ahil i korǌaqa Ahil je naravno br!i od korǌaqe. Stoga jojon u trci da neku prednost. No, dok Ahil stigne do mesta gde jebila korǌaqa, ona je otixla malo daǉe. Dok stigne do tog slede"egmesta, ona je opet malo odmakla. Stoga Ahil nikada ne mo!e da stignekorǌaqu.

5

Druga dva govore isto o vremenu.

3. Strela Strela koja putuje u svakom trenutku zauzima odre%enupoziciju u prostoru. To znaqi da se u bilo kom trenutku ona ne kre"e.Ako se ne kre"e u bilo kom trenutku, ona se uopxte i ne kre"e.

4. Stadion Neka postoji najkra"i vremenski interval. I neka je tointerval u kome odre%eni objekat koji se kre"e pro%e jedno mesto(videti sliku):

Posmatramo tri objekta – jedan je nepokretan (A – tribine na sta-dionu), a drugi se kre"u, ali u suprotnim smerovima – B sleva udesno,a C zdesna ulevo. Problem je u tome xto kada B pro%e nepokretni Aza jedno mesto, a C isto A za jedno mesto, dobijamo:

Vidimo da je B u odnosu na C proxlo za dva mesta. Tako da tajtrenutak ne mo!e biti najkra"i.

Po svemu sude"i, Zenonovi argumenti, kao i otkri"e nesamerǉivihveliqina su imali veoma dubok uticaj na razvoj grqke matematike.U ranije vreme su se veliqine kod Pitagorejaca predstavǉale ka-menqi"ima, no kod Euklida "emo ve" videti da se sve veliqine, paqak i prirodni brojevi predstavǉaju du!ima. Geometrija je preuzelaprimat u odnosu na brojeve.

Uticaj je bio toliko veliki da se kod jednaqina poqela zahtevatihomogenost – kod sistema jednaqina koje su u Mesopotamiji bez prob-

6

lema, a i bez briga, rexavali:

x y = A, x + y = b,

kod Grka se zahtevalo da A bude povrxina, a b du!. Ovo je ostalo,pod uticajem Grka, veoma dugo u matematici. Qak se proporcija izbe-gavala i kod rexavaǌa linearnih jednaqina: ax = bc se posmatralokao jednakost povrxina, a ne kao jednakost a : b = c : x. Za rexavaǌe se,dakle, nije koristila sliqnost, ve" jednakost povrxina.

Konstruisao bi se pravougaonik OC DB qije su stranice b = OB ic =OC i onda bi se du! OC postavila du! O A = a. Zatim bi se komple-tirao pravougaonik O AEB u kome dijagonala OE seqe C D u taqki P .Kako je P ($AOE) = P ($BOE), P ($RPE) = P ($DPE) i P ($OSP ) = P ($COP )(odgovaraju"i trouglovi su naravno podudarni, stoga i imaju istepovrxine), to je P (SBDP ) = P (AC PR) i, konaqno, P (COBD) = P (OSR A), tj.bc = aC P , te tako dobijamo da je x =C P .

Pitagorejci su imali jox uticaja. Arhita iz Tarenta (jug danax-ǌe Italije) je uveo kvadrivijum: aritmetika, geometrija, muzika,astronomija (znamo da je muzika bila znaqajna Pitagorejcima). Uzkasnije dodavaǌe trivijuma: gramatika, retorika i logika, imamoosnovu za obrazovaǌe na Zapadu u toku narednih skoro 2000 godina.

Osim ovoga, Platon je uqio iz kǌige Pitagorejca Filolaja i takǌiga je na ǌega izvrxila veliki uticaj. Bez obzira na to xto seza Pitagorejce ne bi moglo re"i da su bili idealisti u filozofiji,ispostavilo se da su oni imali veliki uticaj na idealistu Platona.Ne bi se moglo re"i da je sam Platon imao nekih matematiqkih rezul-tata, ali je matematika imala vrlo va!no mesto u ǌegovoj Akademiji.Xto je sigurno pod uticajem Filolaja, jer ono malo xto se o matem-atici mo!e na"i u izrekama Sokrata je vixe negativno nego pozi-tivno. U svakom sluqaju, na vratima Platonove Akademije u Atini sustajale reqi: ,,Neka ovde ne ulazi niko ko ne zna geometriju.” Znaqa-jni matematiqari su poha%ali Platonovu Akademiju.

7

Eudoks i metod iscrpǉivaǌa

Kako upore%ivati nesamerǉive veliqine? Rano rexeǌe ovog prob-lema je izuzetno zanimǉivo. Naime smatralo se da su veliqine a,b,c,du proporciji

a : b = c : d ,

ako se u postupku u kome se za a i b tra!i zajedniqka mera dobijajuisti brojevi kao u postupku za c i d. Ovo ‘radi’ i u sluqaju kadasu a i b (odnosno c i d) samerǉivi, a i kada nisu. Samo se moradesiti da algoritam daje iste brojeve. Dobra je ilustracija to da supravougaonici istih visina u istoj proporciji kao i ǌihove osnove.Naime,

A

a

B

b

jasno je da se u pokuxaju nala!eǌa zajedniqke mere za a i b isti brojputa vrxi oduzimaǌe u svakom koraku, kao i u nala!eǌu zejedniqkemere za A i B, bez obzira na to da li "e se postupak zavrxiti poslekonaqno mnogo koraka ili ne. Na ovaj naqin se, dakle, mogu poreditii odnosi nesamerǉivih veliqina.

No, bila je potrebna boǉa formulacija. Ona potiqe od Eudoksa,koji je bio student u Platonovoj Akademiji. Nalazimo je u V kǌiziEuklidovih Elemenata (definicija 5). Naravno, tamo je navedenareqima, mi je mo!emo kra"e i jasnije ovako iskazati.

Veliqine a,b,c,d su u proporciji a : b = c : d ako i samo ako je zasve pozitivne cele brojeve m i n taqno: ukoliko je ma < nb, onda je imc < nd, a ako je ma = nb, onda je i mc = nd, a ako je ma > nb, onda jemc > nd.

Kako nalaziti povrxinu krivolinijskih figura? Qini se da je iranije postojala ideja da se u i oko neke krivolinijske figure upi-suju, odnosno opisuju pravolinijske figure i da se tako pove"avaǌembroja stranica pribli!imo povrxini krivolinijske figure. No, na-ravno da je pojam limesa bio nepoznat, a time i rexeǌe problema nije

8

bilo lako dostupno. Na osnovu onoga xto je pisao Arhimed, Eudoks jebio taj koji je dao aksiomu, koju danas znamo pod imenom Arhimeda, ak-siomu neprekidnosti. Ona ka!e da ako neke dve veliqine imaju odnos(xto znaqi da nijedna nije jednaka nuli i da su one uporedive), ondase uvek mo!e na"i umno!ak jedne koji je ve"i od one druge. To rexavai problem koji je zanimao matematiqare – koji je to ugao koji tangentana krivu zaklapa sa samom krivom. Qini se da to nije nula, a opet. . . Taj krivolinijski ugao prosto ne zadovoǉava Eudoksovu aksiomu uodnosu na pravolinijske uglove.

Izvedena iz ovog metoda je i grqka metoda iscrpǉivaǌa (izrazkoji Grci uopxte nisu koristili, ali se odoma"io u savremenoj mate-matici):

Ako se od neke veliqine oduzme bar ǌena polovina, pa se od ostatkaoduzme bar ǌegova polovina i ako se taj postupak nastavi, onda semo!e do"i do veliqine koja je maǌa od ma koje unapred zadate veli-qine.

Sada "emo pokazati kako je, smatra se, bax Eudoks, dokazao da sepovrxine krugova odnose kao kvadrati ǌihovih polupreqnika.

Neka su to krugovi k i K , ǌihove povrxine p i P , ǌihovi polupreq-nici r i R. 'elimo da doka!emo da je

p/P = r 2/R2.

Pretpostavimo da je p/P > r 2/R2. Tada postoji veliqina p ′ maǌa od ptakva da je p ′/P = r 2/R2. Neka je ε= p−p ′. Unutar krugova k i K mo!emoupisivati pravilne mnogouglove koji imaju isti broj stranica n ipovrxine pn i Pn.

k K

Nije texko uveriti se da se razlika izme%u povrxina kruga ipovrxine upisanog mnogougla smaǌuje bar za pola ǌene vrednostiako udvostruqavamo broj stranica. To znaqi da "emo posle izvesnogvremena dobiti mnogougao sa m stranica za koji je p −pm maǌe od ε.Tako dobijamo da je pm > p ′. Poznato je da je pm/Pm = r 2/R2. Stoga jepm/Pm = p ′/P . Kako je pm > p ′ dobija se da je i Pm > P , xto je besmis-leno jer je Pm povrxina mnogougla koji je upisan u krug K . Na isti

9

naqin se dolazi do kontradikcije ako se pretpostavi da je p/P < r 2/R2.Zakǉuqujemo da mora biti p/P = r 2/R2.

Dinostrat i kvadratura kruga

Uqenik Eudoksa Menem i ǌegov brat Dinostrat tako%e su imaliznaqajne rezultate. Menem se bavio konusnim presecima, dok je Dinos-trat iskoristio Hipijinu trisektrisu da izvrxi kvadraturu kruga(te se, stoga, ta kriva naziva i kvadratrisom). Pogledajmo kako je touradio.

Dinostratov rezultat je da va!i slede"e:

!AC : AB = AB : DQ. (1)

Pretpostavimo da ovo nije taqno i neka je, na primer, !AC : AB < AB :DQ. Tada je !AC : AB = AB : DR, gde je DR > DQ. Neka krug sa centrom uD i polupreqnikom DR seqe trisektrisu u taqki S i stranicu AD utaqki T . Neka je podno!je normale iz S na DC oznaqeno sa U . Poznatoje bilo da se lukovi koji odgovaraju istim uglovima odnose kao xtose odnose polupreqnici tih krugova, te je !AC : !T R = AB : DR i sledi!AC : AB = !T R : DR. Kako je, po hipotezi, !AC : AB = AB : DR, dobijamo daje !T R = AB. Na osnovu osobina trisektrise !T R : "SR = BC : SU = AB : SU istoga sledi da je "SR = SU , xto nije mogu"e jer je du!ina normale izS na DC maǌa od du!ine ma koje druge krive od S do taqke na DC .

Na sliqan naqin se razrexava i sluqaj !AC : AB > AB : DQ, te za-kǉuqujemo da mora biti !AC : AB = AB : DQ. Na osnovu ovoga, mo!emoda konstruixemo du! qija je du!ina jednaka !AC . No, to je qetvrtinakru!nice i onda nije texko konstruisati i kvadrat qija je povrxinajednaka povrxini kruga sa centrom u D i polupreqnikom DC .

10

Nama danas nije texko da odredimo jednaqinu trisektrise u po-larnim koordinatama. Dobijamo

πr sinθ = 2aθ,

ako je a = AB = DC . Naime, u polarnim koordinatama imamo da je x =r cosθ i y = r sinθ. No, iz svojstava trisektrise, koja smo ve" koristiligore, imamo da je

θ

π/2= y

a.

Dakle, πy = 2aθ i, kako je y = r sinθ, dobijamo gorenavedenu jednaqinu.Odavde lako dobijamo koordinate taqke Q (imamo tu, doduxe limes,ali ve" smo rekli da se ta taqka i ne pojavǉuje na krivoj kao presekte dve du!i): πr = 2a, te je x = r cos0 = r = 2a

π . Nije texko videti da sedobija isto xto i u jednaqini (1).

11

Euklid

Posle smrti Aleksandra Velikog, doxlo je do borbe za vlast me!uǌegovim generalima, teritorija je podeǉena na tri dela, a vlast uEgiptu je bila u rukama dinastije Ptolemeja. U Aleksandriji suosnovane dve znaqajne institucije – Muzej (koji je zapravo bio insti-tut u savremenom smislu) i Biblioteka. Mnogi znaqajni mislioci sudoxli u Aleksandriju i tu je sada bio centar nauke.

Jedan od tih uqenih ǉudi bio je i Euklid. Zanimǉivo je da se oǌemu zna vrlo malo, qak se ne zna ni mesto u kome je ro!en, ni gde sexkolovao, ali se smatra da je uqio sa Platonovim studentima, ako inije bio u samoj Akademiji.

Nisu sva Euklidova dela saquvana. Izme!u ostalih, izgubǉenesu i ǌegove kǌige o konusnim presecima, koje Arhimed navodi i kojekoristi. No to delo, kao i jedno ranije o konusnim presecima, kasnijeje bilo prevazi!eno zahvaǉuju$i Apolonijevim radovima o konusnimpresecima.

Pet Euklidovih dela su saquvana: Elementi, Podaci, Deǉeǌe figu-ra, Fenomeni i Optika. Pre ozbiǉnije diskusije o Elementima kratko$emo se pozabaviti ovim ostalim delima.

Optika je zapravo posve$ena ranoj matematiqkoj teoriji perspek-tive. U ǌemu Euklid izla%e svoju teoriju direktnog vi!eǌa (daklebez prelamaǌa i refleksije zraka svetlosti) po kojoj oko xaǉe zrakekoji putuju do objekta. U delu koristi rezultat, koji se na vixe mestapojavǉuje u starim delima da je t g α< t g β ako je 0 <α<β.

Delo Deǉeǌa figura je saquvano samo u arapskim prevodima u ko-jima su izostavǉeni neki dokazi kao laki. Naravno, ono je kasnijeprevedeno na latinski, a potom i na druge evropske jezike. Sastojise od 36 stavova u kojima se razmatraju razne podele ravnih figura.Na primer, u stavu 1 se tra%i da se na!e prava paralelna jednojstranici trougla koja taj trougao deli na dva dela iste povrxine,dok se u stavu 4 tra%i prava koja je paralelna osnovicama trapeza, apolovi ga. Posledǌi stav tra%i podelu qetvorougla u datom odnosupravom koja prolazi kroz datu taqku na jednoj od stranica tog qetvo-rougla.

Euklidovo delo Podaci po svemu sude$i je nastalo kao dodatak Ele-mentima. Sadr%i 95 tvr!eǌa koja se tiqu nala%eǌa raznih veliqina,geometrijskih pravila o paralelnim pravim i proporcionalnim veli-qinama. Neka od tvr!eǌa su ekvivalentna rexavaǌu kvadratnih jed-naqina. Na primer tvr!eǌa 84 i 85 su geometrijska verzija mesopotam-skih metoda za rexavaǌe sistema jednaqina x y = a2, x ± y = b.

1

Pozabavimo se sada glavnim Euklidovim delom, ǌegovim Elemen-tima.

Euklidovi Elementi nisu prvo delo sa tim naslovom. Zna se za joxtri ranija takva dela, jedno od ǌih i od Hipokrata sa Hiosa. No, onanisu saquvana. Elementi su u&benik elementarne matematike. Sas-toji se od trinaest kǌiga (danas bi se to prigodnije moglo nazvatiglavama, ali koristimo tradicionalnu terminologiju). Prvih xestkǌiga posve$eno je geometriji u ravni, slede$e tri teoriji brojeva,deseta nesamerǉivim veliqinama i posledǌe tri skoro u celosti ge-ometriji prostora.

Na poqetku kǌige date su 23 definicije. Problem sa ovim defini-cijama je u tome xto one ne definixu pojmove na osnovu ve$ poznatih,jednostavnijih pojmova. Recimo, definicija taqke je ‘ono xto nemadelova’, definicija prave: ‘du%ina bez xirine’. To svakako nisudefinicije u pravom smislu te reqi, moglo bi se re$i da je to pokuxajnekog pojaxǌeǌa, mo%da pod uticajem Platona.

Posle ovih definicija sledi pet postulata i pet aksioma (ili op-xtih istina). Razlika bi trebalo da bude u tome xto su aksiomeopxte, odnose se na sve oblasti, dok su postulati specifiqno ge-ometrijski.

Postulati

1. Mogu$e je nacrtati pravu liniju od bilo koje taqke do bilo kojetaqke.2. Konaqna prava linija mo%e se produ%iti u pravu liniju.3. Mo%e se opisati krug sa bilo kojim centrom i bilo kojim polupreq-nikom.4. Svi pravi uglovi su me!usobno jednaki.5. Ukoliko prava linija seqe druge dve prave linije i ako je zbirunutraxǌih uglova sa jedne strane maǌe od zbira dva prava ugla,onda se, ako se te prave linije produ%e neograniqeno, one seku sa testrane sa koje je zbir tih uglova maǌi od dva prava ugla.

Aksiome

1. Stvari koje su jednake istoj stvari jednake su i me!u sobom.2. Ako jednakim dodate jednake, celine su jednake.3. Ako se jednake oduzmu od jednakih, ostaci su jednaki.4. Stvari koje se poklapaju jedna sa drugom, jednake su me!u sobom.5. Celina je ve$a od dela.

Kao xto se mo%e videti, Euklid se trudio da da minimalan brojpostulata. Na primer, postulat 3 govori da se mo%e samo konstru-isati krug sa datim centrom i datim otvorom xestara. Nema reqi otome da se neka du%ina mo%e ‘preneti’ pomo$u xestara sa jedne du%i

2

na drugu. Dakle, ovde imamo kolapsibilan xestar – kada se podignesa papira, on se zatvara. Na samom poqetku, Euklid se potrudio dapoka%e kako se ova restrikcija mo%e prevazi$i. To je ura!eno u prvatri stava prve kǌige u kojoj ima ukupno 48 stavova.

Prvi stav govori o konstrukciji jednakostraniqnog trougla sazadatom stranicom.

Dakle, zadata je du% AB. Nacrtaju se dve kru%nice – jedna sacentrom u A i polupreqnikom AB i druga sa centrom u B i istimpolupreqnikom. U preseku ove dve kru%ice dobija se teme C tra%enogjednakostraniqnog trougla. Nema nikakvih komentara koji objax-ǌavaju zaxto se ove dve kru%nice uopxte seku. Evidentno je da binam trebao neki postulat o neprekidnosti da bismo to obezbedili.No, toga nema. u slede$em stavu se govori o tome kako se od datetaqke A mo%e naneti du% jednake du%ine kao i zadata du% BC .

Najzad, pokazuje se kako se od zadate du%i ve$e du%ine mo%e oduzeti

3

zadata du% maǌe du%ine.

U prvoj kǌizi se nalaze teoreme o podudarnosti trouglova, o svoj-stvima paralelnih pravih, a i konstrukcije paralelograma. Posled-ǌa dva stava – 47 i 48 posve$ena su dokazu Pitagorine teoreme iǌenog obrata. Veruje se da dokaz Pitagorine teoreme koji je ovdeprikazan potiqe od samog Euklida.

Dokaz je neosporno elegantan. Naime, prime$uje se da je kvadratnad AC jednak dvostrukom trouglu !AF B (kada se ovako ka%e mislise da su odgovaraju$e povrxine jednake), jer je osnovica tog trouglaF A = AC , a visina je AC . Ovaj trougao je pak jednak trouglu !AC D(podudarni su), a taj dvostruki trougao je jednak pravougaoniku AL(da, ponekad se kod Euklida pravougaonik tako oznaqava, a i zaxto dane, jasno je o kom se objektu radi, zaxto uvoditi dodatne taqke?) –osnovica trougla je AD, a visina je druga stranica pravougaonika DL(naravno, nije to bukvalno visina, DL je jednako visini). Zakǉuqujese da je kvadrat nad AC jednak pravougaoniku AL. Na sliqan naqinse dobija da je kvadrat nad BD jednak pravougaoniku BL, te se tako idobija da je zbir kvadrata nad AC i BC jednak kvadratu nad AB.

4

Vredna je spomena qiǌenica da Euklid odmah posle dokaza Pitago-rine teoreme daje i dokaz obratnog tvr!eǌa – ukoliko zbir kvadratanad dve stranice u trouglu jeste jednak kvadratu nad tre$om te dveprve stranice obrazuju prav ugao.

Druga kǌiga Elemenata je kra$a (sadr%i samo 14 stavova) i ve$ideo ǌe je pomalo neobiqan za naxe poimaǌe nastave geometrije. Tuse najvixe radi o grqkoj geometrijskoj algebri. Naime, kriza u grqkojmatematici nastala zbog problema nesamerǉivosti je, kao xto smove$ rekli, uticala na to Grci poqiǌu da sve brojeve i veze me!uǌima izra%avaju pomo$u du%i, povrxina i sliqno. Na primer, prvistav glasi:

Ako su date dve prave linije i jedna od ǌih se podeli na bilo koji brojodseqaka, onda je pravougaonik odre!en sa te dve prave linije jednakpravougaonicima koje su odre!ene sa neiseqenom pravom linijom isvakim od odsedqaka.

Naravno, ovde su te prave linije zapravo du%i i ovo nije nixtadrugo do zakon distributivnosti za mno%eǌe:

AD · AB = AD · (AP +PR +RB) (naravno, mo%e i bilo koji broj delova,slika se odnosi na podelu na tri dela). U kasnijim kǌigama se nalazei dokazi zakona asocijativnosti i komutativnosti za mno%eǌe.

Stav 5, na komplikovan naqin formulixe formulu na razliku kva-drata, preciznije tu je pokazano da je (a +b)(a −b)+b2 = a2. Sve je ovovezano i za rexavaǌe kvadratne jednaqine, sliqan dijagram, koji sekoristi za dokaz ove qiǌenice, koristi se i za rexavaǌe jednaqineax −x2 = b2. Ne$emo se detaǉnije time baviti.

Posledǌa tri stava su zanimǉiva. Stav 12 daje formulaciju ko-sinusne teoreme za tupougli trougao (naravno formulacija ukǉuqujetaj tupi ugao), dok stav 13 daje formulaciju te teoreme za oxtrouglitrougao. Ilustracija za stav 12:

5

C

D B A

Reqima se opisuje formula: AC 2 = AB 2+BC 2+2AB ·BD. Naravno, ovo selako pokazuje dvostrukim korix$eǌem Pitagorine teoreme.

Stav 14 glasi: Konstruisati kvadrat jednak pravougaonoj slici.

Dakle, ovde eksplicitna formulacija nije da se doka%e nexto, negoda se poka%e kako se mo%e izvesti kvadratura proizvoǉnog mnogougla.U odgovaraju$oj slici koja ilustruje stav nalazi se opis kvadraturenekog trapezoida, ali je jasno da se to mo%e uraditi za bilo kojimnogougao. Najpre se zapravo, na osnovu vixe stavova iz prve kǌigekonstatuje da postoji pravougaonik qija je povrxina jednaka povr-xini datog mnogougla, a suxtina stava je da pravougaonik svede nakvadrat. Interesantan je taj niz stavova u kojima se postepeno nalazitaj tra%eni pravougaonik, qitaocima prepuxtamo da ih potra%e akoim je to zanimǉivo, no mi to ne$emo ovde daǉe pokazivati.

Generalno se smatra da je materijal prezentiran u prve dve kǌigeuglavnom rezultat rada Pitagorejaca. Tre$a i qetvrta kǌiga bavese geometrijom kruga i smatra se da taj materijal uglavnom potiqeod Hipokrata sa Hiosa. Prvi stav u tre$oj kǌizi govori o konstruk-ciji centra kruga, dok posledǌi, stav 37 sadr%i tvr!eǌe dobro nampoznato: PA2 = PB ·PC , gde je P taqka van kruga, A dodirna taqka tan-gente na krug koja prolazi kroz P , dok su B i C preseqne taqke seqicekruga koja prolazi kroz P . U qetvrtoj kǌizi ima 16 stavova i onise uglavnom bave pravilnim mnogouglovima upisanim i opisanim okokruga. Na primer, 16. stav govori opisuje konstrukciju pravilnogpetnaestougla. Naime, konstruixu se pravilni trougao (poznatiji u

6

narodu kao jednakostraniqni trougao) i pravilni petougao koji imajujedno zajedniqko teme. I potom se konstatuje da je samo potrebnoprepoloviti luk !BΓ. Ta dobijena taqka nam tada daje i stranicutra%enog pravilnog petnaestougla BE. Stav 11, pak, opisuje konstruk-ciju pravilnog petougla upisanog u krug

i ta je konstrukcija bazirana na konstrukciji jednakokrakog trouglaqiji su uglovi na osnovici jednaki dvostrukom uglu kod vrha. Potomse luk !AΓ polovi i tako se na!e stranica pravilnog petougla. Akonstrukcija tra%enog jednakokrakog trougla opisana je u stavu 10.

Peta kǌiga sadr%i dubǉe pojmove. Tu se razmatra teorija propor-cija. Kǌiga je u velikoj meri bazirana na Eudoksovim rezultatima.O definiciji 5, smo ve$ pisali ranije, dok je definicija 4 ono xtonam je sada poznato kao Arhimedova aksioma (a i sam Arhimed topripisuje Eudoksu):

Ka%e se da su dve veliqine u odnosu jedna prema drugoj ako nekiumno%ak ma koje od ǌih mo%e biti ve$i od druge.

I ovu definiciju smo spomiǌali kada smo govorili o Eudoksu(ponavǉaǌe je majka. . . ). Poenta je da se ovde govori o uporedivostidve veliqine. Na primer, du% i kvadrat nisu uporedivi.

Broj stavova u kǌizi je 25 i u ǌoj ima vixe stavova koji govoreo svojstvima proporcija, ali i stavova koji govore o svojstvima bro-jeva poput asocijativnosti mno%eǌa ili distributivnosti mno%eǌaprema sabiraǌu.

U xestoj kǌizi, u kojoj ima 33 stava, se teorija proporcija prime-ǌuje na sliqnosti raznih figura. No, navedimo i jednu va%nu defini-ciju koja se ovde pojavǉuje.

7

Definicija 3. Ka%e se da je du% podeǉena u krajǌoj i sredǌoj razmeri(neprekidno) ako cela du% stoji prema ve$em delu kao ve$i deo premamaǌem.

Ovo je quveni ‘zlatni presek’. Nismo spomenuli ranije, ali akose stranica pravilnog petougla postavi du% ǌegove dijagonale, ondaimamo ovu podelu du%i. U stavu 30 pokazuje se kako se du% delina ovaj naqin. Termin neprekidno u naxoj literaturi je vezan zaqiǌenicu da se ovaj proces nikada ne zavrxava (kao xto smo videliranije).

Zanimǉiv je stav 31 (generalizacija Pitagorine teoreme, setitese i kvadrature ‘meseca’):

Kod pravouglih trouglova figura konstruisana na strani nasprampravog ugla jednaka je zbiru sliqnih i sliqno konstruisanih figuranad stranama koje obrazuju prav ugao.

Sedma, osma i deveta kǌiga posve$ene su teoriji brojeva, naravnou geometrijskom ruhu. Poqiǌe se definicijama parnih i neparnihbrojeva, prostih i slo%enih brojeva, parno-neparnih, neparno-nepar-nih, kvadratnih i kubnih brojeva. Tako!e i definiciju savrxenogbroja – to je onaj broj koji je jednak zbiru svojih pravih delilaca.Prva dva stava su posve$ena Euklidovom algoritmu preko uzastop-nih oduzimaǌa kao xto smo ve$ pisali. U prvom stavu se zapravogovori o tome da ako se dobije 1 na kraju tog algoritma, onda subrojevi uzajamno prosti, a drugi stav tra%i da se opixe nala%eǌezajedniqke mere (ne zajedniqkog delioca, terminologija je prilago-!ena geometriji) za brojeve koji nisu uzajamno prosti. U ovoj kǌiziima i drugih poznatih svojstava brojeva. Na primer, stav 24 ka%e daako su a i c uzajamno prosti i ako su i b i c uzajamno prosti, onda suto i ab i c.

Osma kǌiga nije previxe zanimǉiva za modernog qitaoca, dok de-veta sadr%i nekoliko zanimǉivih rezultata. Na primer, stav 20:

Prostih brojeva je vixe od svake zadate mno%ine prostih brojeva.Naravno da Euklid ne ka%e da prostih brojeva ima beskonaqno mnogo.

Pojam beskonaqnosti je jox daleko u budu$nosti. On ka%e da prostihbrojeva ima vixe od ma koje koliqine prostih brojeva. Dokaz je onajkoji dobro znamo: ako je data neka koliqina prostih brojeva, sve ihpomno%imo i dodamo jedinicu. Analiziraju$i taj broj dobija se damora da postoji jox neki prost broj sem tih zadatih.

Stav 35 reqima na zanimǉiv naqin opisuje metod za nala%eǌe sumegeometrijske progresije. Ispisano formulom to je slede$e:

an+1 −a1

a1 +·· ·+an= a2 −a1

a1.

8

Odavde nije texko izvesti formulu:

a1 +·· ·+an = aqn −aq −1

.

Posledǌi, 36. stav govori o formuli za nala%eǌe savrxenih brojeva.U modernim terminima to je slede$e: ako je zbir 1+2+·· ·+2n−1 prostbroj, onda je broj (1+2+·· ·+2n−1)2n−1 savrxen broj. Naravno nije texkoprimetiti da, ako je broj 1+2+ ·· ·+2n−1 = 2n −1 prost, onda i broj nmora biti prost. Naime, ukoliko je n = ab, gde su a,b > 1, onda je

2n −1 = 2ab −1 = (2a)b −1 = (2a −1)((2a)b−1 +·· ·+2a +1).

Grci su znali prva qetiri prosta broja: 6, 28, 496 i 8128. Ojlerje pokazao da je svaki paran savrxen broj upravo gorenavedenog ob-lika. Ono xto se i daǉe ne zna je da li ima beskonaqno mnogo parnihsavrxenih brojeva, kao i da li uopxte postoji neparan savrxeni broj.

Deseta kǌiga je najobimnija i najkomplikovanija. Ona sadr%i qak115 stavova i posve$ena je problemu (ne)samerǉivosti. Na samompoqetku nalazimo nekoliko stavova koji govore o algoritmu za ispi-tivaǌe samerǉivosti veliqina koji smo ranije spomiǌali. Tu seistiqe da su veliqine nesamerǉive ukoliko se postupak nikada ne za-vrxava, a da se tako nalazi zajedniqka mera ukoliko se postupak za-vrxava. Potom sledi niz stavova o me!usobnim odnosima samerǉivihi nesamerǉivih veliqina. Razmatraju se du%i samerǉive u stepenu,misle$i pritom na drugi stepen, tj. dve veliqine qiji su kvadratinesamerǉivi. I slo%enije formirane veliqine. Zapravo tu se razma-traju, u savremenim oznakama, veliqine oblika a±

#b,

#a±

#b,

√a ±

#b,√#

a ±#

b. Tu su i postupci racionalizacije razlomaka oblika ab±

#c,

a#b±

#c. Jasno je da razmatraǌe ovako formiranih veliqina bez mo-

derne notacije nije lako za pra$eǌe i stoga se ova kǌiga Elemenatasmatrala najnedostupnijom.

Posledǌe tri kǌige su u najve$oj meri posve$ene stereometriji.Jedanaesta kǌiga poqiǌe nizom definicija, od kojih su neke prob-lematiqne sa logiqkog aspekta, poput ,,Telo je ono xto ima du%inu,xirinu i dubinu”, ,,Granica tela je povrxina”. Posledǌe defini-cije su definicije pravilnih poliedara: kocke, oktaedra, ikosaedrai dodekaedra (piramida je ranije definisana, pa ovde nema defini-cije tetraedra). Stavovi koji slede se tiqu odnosa pravih i ravni,na primer:

Stava 3. Ako dve ravni seku jedna drugu, ǌihov presek je prava.

Stav 14. Ravni upravne na istoj pravoj paralelne su.

Kasniji stavovi se odnose na rogǉeve, zapremine paralelepipeda isliqno.

9

Dvanaesta kǌiga je kratka i poqiǌe nama dobro poznatim stavovima:

Stav 1. Sliqni mnogouglovi, upisani u krugove, odnose se jedan premadrugom kao kvadrati na preqnicima.

Stav 2. Krugovi se odnose jedan prema drugom kao kvadrati na preq-nicima.

Potom slede stavovi koji se tiqu zapremina tela. Na primer,

Stav 7. Svaka prizma sa trouglom u osnovi mo%e se podeliti na trime!u sobom jednake piramide sa trouglovima u osnovama.

Stav 10. Svaka kupa je tre$ina vaǉka, ako imaju istu osnovu i jednakevisine.

Posledǌa, trinaesta kǌiga posve$ena je pravilnim poliedrima.Ona poqiǌe slede$im stavom.

Stav 1. Ako je du% podeǉena neprekidno, bi$e kvadrat na zbiruve$eg dela i polovine cele du%i jednak petostrukom kvadratu na tojpolovini.

Nama nije texko da se u to uverimo. Naime, ako je cela du% a, a xje ve$i deo, onda je a : x = x : (a −x). Dobija se kvadratna jednaqina

x2 +ax −a2 = 0.

Odavde sledi da je(x + a

2

)2= x2 +ax +

( a2

)2= a2 +

( a2

)2= 5

( a2

)2.

Naravno, odavde nije texko na$i koliko je x. I slede$ih pet stavovadaje rezultate za zlatni presek, a i stav 9 je u vezi sa ǌim. Stav 10je zanimǉiv.

Stav 10. Ako je u krug upisan pravilni petougao, bi$e kvadrat stranetog petougla jednak zbiru kvadrata strane pravilnog xestougla istrane pravilnog desetougla upisanih u isti krug.

Pred sam kraj Elemenata, u stavovima 13–17 odre!eni su odnosikvadrata ivice i kvadrata preqnika opisane sfere za pravilne poliedre:

10

telo odnos

tetraedar 23

oktaedar 12

heksaedar 13

ikosaedar 5+#

510

dodekaedar 3−#

56

U posledǌem stavu Elemenata najpre se porede ivice pravilnihpoliedara, a u drugom delu tog stava se pokazuje da nema drugihpravilnih poliedara sem ovih pet.

Znaqaj Euklidovih Elemenata je ogroman. Sastavǉeni su oko 300.godine p. n. e. i kopirani su veliki broj puta. U tim kopiraǌima,dodavani su komenari, neke dodatne informacije, dodatni stavovi, paqak i dodatne dve kǌige za koje se ipak zna da nisu deo originalnihElemenata. Smatra se da je bilo oko hiǉadu izdaǌa ovog dela.

11

Arhimed

Arhimed je svakako bio najznaqajniji matematiqar antike i jedanod najznaqajnih matematiqara ikada. !iveo u je gradu Sirakuzi naSiciliji, a xkolovao se, skoro izvesno u Aleksandriji. Znamo da jepoginuo pri osvajaǌu Sirakuze od strane Rimǉana 212. godine p. n.e. tokom Drugog punskog rata. Kako je po nekim istoriqarima u tomtrenutku imao 75 godina, procena je da je bio ro$en 287. godine p. n.e.

Plutarh, u svojoj biografiji rimskog generala Marcela, koji jeosvojio Sirakuzu pixe da je Arhimed bio centralna liqnost u odbraniSirakuze zbog mnogih svojih mehaniqkih naprava koje su zadale velikenevoǉe rimskim osvajaqima. Ipak, qak i Plutarh ka%e, Arhimedu subili dra%i ǌegovi qisto matematiqki rezultati od tih maxina.

Arhimedovi radovi dugo vremena nisu bili toliko poznati kaoEuklidovi Elementi dobrim delom i zato xto se Elementi, kao xto jeve& reqeno, zapravo u'benik elementarne matematike, dok Arhimedoviradovi to svakako nisu. Ima me$u ǌima i jednostavnijih spisa, nomnogi su veoma napredni i drugaqiji.

On je imao znaqajnu prepisku sa aleksandrijskim matematiqarimaDositejem, koji je bio student Arhimedovog bliskog prijateǉa Kononai Eratostenom koji je bio dugi niz godina upravnik aleksandrijskeBiblioteke. U tim prepiskama nalazimo mnoge Arhimedove radove.Evo spiska Arhimedovih radova koji su saquvani.

1. O ravnote%i ravni, Prvi i Drugi deo

2. Kvadratura parabole

3. O sferi i cilindru, Prvi i Drugi deo

4. O spiralama

5. O konoidima i sferoidima

6. O plutaju&im telima

7. Mereǌe kruga

8. Prebrojavaǌe peska

9. Metod

10. Kǌiga lema

11. Problem o stoci

1

Prepisi ovih dela potiqu iz IX veka i kasnijih vekova, qak i znaqajnokasnijih.

Naravno da nema govora o tome da se mo%emo pozabaviti svim ovimradovima, posebno ne detaǉno, no napravi&emo neki izbor. Poqnimood rada o mereǌu kruga.

To je veoma kratak rad i sastoji se samo od tri stava. U prvomstavu se tvrdi da je povrxina kruga jednaka povrxini pravouglogtrougla qija je jedna kateta polupreqnik kruga, a druga je jednakaobimu kruga. Naravno da je to sada nama jasno, no, prisetimo se daje pitaǌe kvadrature kruga bilo i daǉe otvoreno.

Arhimed koristi isti metod koji smo ve& prikazali pri dokazu dase povrxine krugova odnose kao kvadrati (polu)preqnika. No, ipakga navodimo. Dakle, povrxina kruga mo%e biti jednaka, mo%e bitive&a, a mo%e biti i maǌa od povrxine trougla K. Oznaqimo sa P (k)povrxinu kruga, a sa P (K) povrxinu trougla.

Pretpostavimo, najpre da je P (k) > P (K). U krug najpre upiximokvadrat ABC D, a potom delimo lukove !AB ,!BC , !C D , !D A na pola, te do-bijemo pravilni osmougao. Analogno nastavǉamo postupak sve dok nedobijemo pravilni mnogougao qije su stranice takve da odgovaraju&iodseqci kruga u zbiru ne budu maǌe od razlike P (k)−P (K). Stoga jepovrxina tog mnogougla ve&a od povrxine trougla K. No, ako je ONnormala koja polazi iz O do jedne od stranica tog mnogougla (dakle, toje visina trougla "AEO, onda je jasno da je ON < r , gde je r polupreq-nik kruga, a i obim tog mnogougla je maǌi od obima kruga k. Prematome, povrxina tog mnogougla, koji je rastavǉen na jednakokrake trou-glove, i koja je zapravo jednaka povrxini pravouglog trougla koji zakatete ima ON i du% jednake du%ine kao i obim tog mnogougla (prosto

2

se saberu povrxine ovih trouglova i to bude jasno), mora biti maǌaod povrxine trougla K, xto je kontradikcija.

Na analogni naqin se, posmatraǌem ovaj put opisanih pravilnihmnogouglova dolazi do kontradikcije i uz pretpostavku da je P (k) <P (K). Zakǉuquje se da mora biti P (k) = P (K).

U stavu 3 se, de facto, dokazuje procena za π:

31071

<π< 317

.

Naravno, ovo je formulisano u terminima procene razmere obimakruga i ǌegovog preqnika. Taj koliqnik, koji mi danas oznaqavamosa π, Arhimed nikako nije oznaqavao.

Postupak koji je Arhimed koristio je jednostavan.

On polazi od ugla koji je jednak tre&ini pravog ugla, to je naslici ugao !AOC . Zaxto od bax tog ugla? Razlog je jednostavan,kada se pogleda slika, du% AC je zapravo polovina stranice pravilnogxestougla opisanog oko datog kruga. Arhimed potom deli ovaj ugaona pola, (taqka D), ponovo na pola (taqka E), ponovo na pola (taqkaF) i jox jednom na pola kada dobija taqku G. Tada je du% G H zapravojednaka stranici pravilnog 96ougla i koristi obim tog xestouglada aproksimira obim kruga odozgo. Pri raqunaǌu koristi procenekvadratnih korena koji se pojavǉuju u raqunici. Prva procena kojukoristi je

#3 > 265

153 (kasnije koristi procenu 1351780 >

#3). On ne daje

nikakvo objaxǌeǌe kako je doxao do te, a drugih, dosta slo%enijihaproksimacija. Zapravo, mnogo toga on ovde ne objaxǌava, no Eu-tokije (oko 480. – oko 540. godine), matematiqar iz Palestine, dopu-ǌavao je ǌegove raqunice da bi mogle lakxe da se prate (komentarisao

3

je i druga ǌegova dela). Postoje razne hipoteze kako je doxao do tihaproksimacija, jedna od ǌih sugerixe da mu je bilo poznato slede&e:

a ± b2a

>√

a2 ±b > a ± b2a ±1

.

Ovde vidimo i prvu aproksimaciju za kvadratni koren koja se koris-tila u Mesopotamiji. Zanimǉivosti radi, navedimo jox neke procenekoje je Arhimed koristio u ovom delu:

301334

>#

9082321

59118

<#

349450

233914

<√

54721321

16

Naravno da ne treba pamtiti ove rezultate, ali da se tu raqunalo,raqunalo se. Konaqno dobija procenu za π:

π< 3+667 1

2

4673 12

.

Mali trik daje konaqnu procenu:

π< 3+667 1

2

4673 12

< 3+667 1

2

4672 12

= 317

.

Za doǌu procenu koristi naravno upisane pravilne mnogouglove:

i dobija:

π> 6336

2017 14

> 31071

.

4

Slede&i rad koji &emo prikazati je posve&en kvadraturi parabole.Problem je jednostavan: za dati odseqak parabole (oblast u ravniograniqena parabolom i jednom pravom koja je seqe) na&i kvadrat jed-nake povrxine.

Arhimed svoj rezultat objavǉuje u pismu Dositeju i izra%ava%aǉeǌe zbog smrti Konona, koga je veoma poxtovao kao geometra ikoji bi sigurno mogao da lepo proceni Arhimedov rezultat. Arhimednavodi da je do rezultata prvo doxao pomo&u mehanike, a zatim ga idokazao pomo&u geometrije. On tu prezentuje oba pristupa. Mi &emokratko govoriti o geometrijskom pristupu.

Osnovna ideja sastoji se u slede&em. U dati odseqak paraboleupisati trougao maksimalne povrxine kome je osnovica data tetiva.Jasno je da se radi o trouglu qije je teme pa paraboli, a najvixe jeudaǉeno od te tetive. Mi znamo (bar bi trebalo da znamo na osnovurazmatraǌa iz Analize 1) da je to teme u kome je tangenta na paraboluparalelna toj tetivi. Naravno, i Arhimed je to znao.

Slede&a slika je va%na.

5

Ovde je QV = qV , povrxine trouglova "PQV i "qPV su jednake iiz paralelograma koji se pojavǉuju na slici vidimo da je povrxinatrougla ve&a od polovine povrxine tog odseqka. To nam je va%noza metod iscrpǉivaǌa. U slede&em koraku postupak se ponavǉa zadva maǌa odseqka nad tetivama P q i PQ. Arhimed je, pozivaju&i se

na Euklidovo delo o konusnim presecima (koje nemamo saquvano, ali,kao xto smo ve& spomiǌali, znamo za ǌegovo postojaǌe), koriste&isvojstva parabole na, relativno jednostavan naqin pokazao da su povr-xine trouglova "PRQ i "Pr q jednake i da iznose jednu osminu povr-xine trougla "QP q. Dakle, ako sa T oznaqimo povrxinu trougla"QP q, onda je povrxina mnogougla QRPr q jednaka T + 1

4 T . A kao i napoqetku povrxina dodatih trouglova premaxuje polovinu povrxineostatka. Tako da znamo da &e posle konaqno mnogo koraka preostatipovrxina koja je mala koliko god %elimo. Mi bismo danas prostokonstatovali da sve to znaqi da je povrxina odseqka jednaka sumireda

T + 14

T + 116

T +·· · = 1

1− 14

T = 43

T,

no Arhimed nije sabirao beskonaqne redove. Umesto toga, on je dokazaoslede&i stav.

Stav 23. Ako je dat niz povrxina A,B ,C ,D, . . . , Z , od kojih je A najve&ai svaka je jednaka qetvorostrukoj slede&oj, onda je

A+B +C +D +·· ·+Z + 13

Z = 43

A.

6

Ovo mu je bilo dovoǉno da poka%e da je povrxina odseqka jednaka 43 T .

Oznaqimo povrxinu odseqka sa Par. Ukoliko je Par > 43 T , onda bi

posle konaqno mnogo koraka navedenog postupka dobili da nam je os-tatak povrxine maǌi od Par− 4

3 T . Kako je zbir povrxine dobijenogmnogougla i tog ostatka jednak Par, dobili bismo da je povrxina togmnogougla ve&a od 4

3 T . No, to nije mogu&e jer je povrxina mnogouglajednaka A +B +C +D +·· ·+ Z (ovde naravno uzimamo A = T , a na osnovustava 23, A+B +C +D +·· ·+Z < 4

3 A.

Pretpostavimo da je Par < 43 T . Polaze&i od povrxine A = T i ponav-

ǉaju&i postupak dolazimo da povrxine X koja je maǌa od 43 T −Par, a

A +B +C + ·· · + X + 13 X = 4

3 T . Dakle, 43 T je ve&e od A +B +C + ·· · + X za

povrxinu koja je maǌa od X , a od Par za povrxinu koja je ve&a od X .To bi znaqilo da je Par < A+B +C +·· ·+X , a to naravno nije mogu&e.

Dakle, na ovaj naqin Arhimed iskǉuquje dve mogu&nosti i za-kǉuquje da mora da va%i tre&a, tj. Par = 4

3 T . Vidimo da su se ovakvirezultati dokazivali u antici bez korix&eǌa graniqnih procesa.

U radu O spiralama, Arhimed se bavi krivom koju je uveo preko kre-taǌa – polazi se od poluprave i ǌenog vrha. Taqka poqiǌe ravnomernoda se kre&e po polupravoj, dok se sama poluprava ravnomerno rotiraoko svog poqetka. Kriva koju opisuje ova taqka je spirala, koju danasznamo pod imenom Arhimedova spirala i qija je polarna jednaqinar = aθ. Bavǉeǌem ovom krivom, Arhimed odstupa od glavnog toka grqkegeometrije. Mo%da je jedan od motiva bio i razmatraǌe trisekcijeugla, kao i kvadrature kruga koje se mogu ostvariti pomo&u ove krive:

Da bismo podelili dati ugao na tri jednaka dela, dovoǉno jepostaviti ugao tako da se jedan krak poklapa sa poqetnom pozici-jom poluprave, a potom na&i presek ugla i spirale. To je taqkaP na slici. Za podelu ugla !AOP na tri jednaka dela, dovoǉno jepodeliti du% OP na tri jednaka dela i potom samo nacrtati odgo-varaju&e lukove kruga koji u preseku sa spiralom daju taqke V i U

7

i tako i trisekciju ugla (uverite se da je ovo tako). Nije zapravoiznena$uju&e da se pomo&u ove spirale dobija trisekcija ugla – iona je kriva nastala kombinacijom kretaǌa po pravoj i rotacije, kaoi Hipijina trisektrisa. I, kao i u tom sluqaju, ova kriva omogu&avai kvadraturu kruga.

Arhimed je pokazao da, ako je AB tangenta na spiralu u taqki A, koja sedobija na kraju prve pune rotacije i ako je "AOB pravougli sa pravimuglom u taqki O, onda je kateta OB zapravo jednaka kru%nici (jednakeje du%ine) sa centrom u A, polupreqnika O A. Dakle, kao xto znamoiz ǌegovog rada o mereǌu kruga, povrxina "AOB jednaka povrxinikruga polupreqnika O A. Naravno, tada lako nalazimo i kvadrat istepovrxine kao i taj krug.

Ovde se prvi put pojavǉuje pitaǌe nala%eǌa tangente na krivukoja nije konusni presek. Arhimedu je bilo jasno da je takav problem,kao xto uostalom i vidimo, ekvivalentan kvadraturi kruga.

Od posebnog je znaqaja kratko Arhimedovo delo Metod. To deloje bilo izgubǉeno dugo vremena, mada se znalo da je postojalo na os-novu napomena u drugim izvorima. Na$eno je tek 1906. godine. Naime,danski nauqnik Hajberg je saznao da se u Konstantinopoǉu ( zvaniqannaziv Istanbula je bio Konstantinopoǉ sve do 1923. godine, kada je

8

formirana Republika Turska, a glavni grad postala Ankara) nalazijedan palimpsest sa matematiqkim sadr%ajem. Radilo se o pergamentuna kome je izbrisan, ali ne u potpunosti, prvobitan tekst, da bi sezapisao molitvenik koji je korix&en u Pravoslavnoj crkvi. Hajbergje uspeo da fotografixe listove i otkrio je da su tu dela Arhimeda:O sferi i cilindru, ve&i deo rada O spiralama, deo rada Mereǌe krugai O ravnote"i ravni, zatim O plutaju#im telima i, najva%nije odsvega, tu je bio jedini primerak Metoda. Ovaj palimpsest je ponovoizgubǉen posle Prvog sveckog rata i ponovo se pojavio kada je pre-dat na aukciju devedesetih godina. Kupǉen je od strane anonimnogdarodavca za dva miliona dolara i kasnije je moderna tehnologijaiskorix&ena da se otkrije originalni tekst u ǌemu.

Xta je zapravo Metod? Radi se o radu koji je Arhimed poslaokao pismo Eratostenu, koji je tada bio upravnik aleksandrijske bib-lioteke. Arhimed tu objaxǌava kako je on dolazio do svojih rezultatakoriste&i ne sasvim matematiqki korektno, ‘mehaniqko’ rasu$ivaǌe.Kako on tu pixe, lakxe je na&i dokaz teoreme kada se zna o qemu se tuzapravo radi. Naveo je kao motivaciju kako je Eudoks doxao do svo-jih rezultata o kupi i piramidi koriste&i neka prethodna razmixl-jaǌa Demokrita u kojima nije bilo dokaza. Prvi rezultat do kogaje Arhimed doxao na ovaj naqin je rezultat o kvadraturi parabole.No, Arhimedov omiǉeni rezultat koji povezuje zapreminu i povrxinusfere (pa%ǉiv qitalac je mo%da nezadovoǉan razmatraǌem zapreminesfere, sfera je povrx, gleda se ǌena povrxina, dok kugla ima za-preminu, ali to je detaǉ koji nam ovde nije bitan, priqamo i o obimukruga, a ne kru%nice. . . ) i cilindra qija je visina jednaka preqnikusfere, a osnova velikom krugu te sfere.

9

Rotiraǌem oko ose HC dobijamo cilindar, sferu i kupu, dakle ovaslika nam daje popreqni presek ovih tela. Obratite pa%ǌu na qin-jenicu da je AGFC kvadrat, te da je "AC F (a tako$e i "ASR) jed-nakokraki pravougli trougao.

Arhimed %eli da na$e vezu izme$u zapremina ovih tela koriste&izakon poluge.

Arhimed je izveo ovaj zakon pa%ǉivim razmatraǌem, polaze&i na-jpre od sluqaja da je M1 = M2 i da je tada oqigledno da se ravnote%aposti%e kada je oslonac na sredini, tj. kada je a = b. Zatim je razma-trao xta se dexava kada su M1 i M2 razliqiti, ali ipak samerǉivi.Na primer, ako je M1 = 2r m, a M2 = 2sm. Tada se rasporedi ukupnooptere&eǌe du% cele daske podeǉene na 2r + 2s jednakih delova i usvakom od tih delova postavi se optere&eǌe m. Prvih 2r tegova pred-stavǉa M1 i ako posmatramo samo taj deo, jasno je da je centar maseu sredini. Sliqno i za preostalih 2s tegova. A centar mase sistemaje naravno na sredini. Doǌa slika predstavǉa sluqaj kada je r = 3 is = 1.

Rasporedili smo 8 malih tegova na podjednakom rastojaǌu i onda pos-matrali centar mase prvih 6 i posledǌa 2. Vidi se da je odnos ras-

10

tojaǌa do oslonca 1 : 3, te je a = 1 i b = 3 ovde. Arhimed je potomrazmatrao sluqaj da su M1 i M2 nesamerǉivi i pretpostavio da neva%i navedeni odnos. U tom sluqaju, ako bi se tela postavila takoda rastojaǌa budu odgovaraju&a, jedno bi preteglo i on bi ga zameniolakxim. Recimo da je zamenio M1 sa M ′

1. Tada bi potra%io novo teloM ′′

1 tako da je M ′1 < M ′′

1 < M1, a koje je samerǉivo sa M2! Sada je sluqajsveo na samerǉive i daǉom analizom dobija kontradikciju. U moder-noj terminologiji, ovde je Arhimed koristio qiǌenicu da se izme$usvaka dva realna broja nalazi racionalan broj i pomo&u racional-nih aproksimacija dobio rezultat. No, ovo je on uradio u drugimradovima, da se mi posvetimo sferi, cilindru i kupi.

Postavimo proizvoǉnu ravan koja je normala na osu HC i neka jeona seqe u taqki S. Ona seqe kupu, sferu i cilindar po krugovimapolupreqnika SR, SP i SN redom. Oznaqimo ih sa k1, k2 i k3. Arhimedje primetio da ako krugove k1 i k2 postavimo u taqku H, oni &e bitiu ravnote%i sa krugom k3 koji ostavǉamo na svojoj poziciji, a taqkaoslonca je A. To znaqi da treba proveriti da je

(P (k1)+P (k2)) · AH = P (k3) · AS.

Ako je x = AS, a AK = r , onda je SR = AS = x,

SP 2 = K P 2 −SK 2 = r 2 − (r −x)2 = 2r x −x2,

a SN = 2r . Dok je AH = AC = 2r . Tada je

(P (k1)+P (k2)) · AH =π(x2 +2r x −x2) ·2r = 4r 2πx,

aP (k3) · AS =π(2r )2 · x = 4r 2πx.

Arhimed onda zakǉuquje da ako kupu i sferu postavimo u taqku H, tj.ako je u toj taqki koncentrisana sva ǌihova zapremina, to &e taqnobiti u ravnote%i ako ceo cilindar koncentrixemo u ǌegovo te%ixte,koje je u taqki K . Ako sa V1 oznaqmo zapreminu kupe, sa V2 sfere, a saV3 cilindra, dobija se

(V1 +V2) ·H A =V3 · AK .

S obzirom da je H A = 2AK , dobijamo

V1 +V2 =12

V3.

No, poznato je da je V1 = 13 V3, te mora biti V2 = 1

6 V3. Zapremina cilin-dra je od ranije poznata: V3 = (2r )2π · 2r = 8r 3π, te se tako dobija za-premina sfere V2 = 1

6 8r 3π= 43 r 3π.

11

Na analogni naqin, razmatraju&i druga tela, Arhimed je dobiozapremine odseqaka elipsoida, hiperboloida, paraboloida, a i drugesliqne rezultate.

Arhimed je u delu O sferi i cilindru strogo izveo dokaz formuleza zapreminu sfere (kugle), ali vidimo da je prvi put do ǌe doxaoovakvim razmatraǌima. U istom delu je izveo i formulu za povrxinusfere: povrxina sfere je qetvorostruka povrxina velikog kruga tesfere (4r 2π). Zbog nemogu&nosti kvadrature kruga, Grci su imali, datako ka%emo, dve osnovne povrxine – kvadrata i kruga, pomo&u kojihsu izra%avali ostale. Tako je i Arhimed povrxinu sfere izraziopomo&u povrxine kruga.

Kako je imao formule za zapreminu i povrxinu sfere, a tako$ete formule za cilindar, mogao je da do$e do rezultata koji mu jebio posebno drag. Naime, ako posmatramo cilindar opisan oko sfere,ǌegova visina jednaka je preqniku sfere, a baza velikom krugu sfere.Ako sa r oznaqimo polupreqik sfere, tada je ǌena povrxina 4r 2π, azapremina 4

3 r 3π. No, povrxina cilindra opisanog oko sfere je 2r 2π+2rπ ·2r = 6r 2π. Zapremina cilindra je r 2π ·2r = 2r 3π. Imamo da je

V (S) : V (C ) = 43

r 3π : 2r 3π= 2 : 3, P (S) : P (C ) = 4r 2π : 6r 2π= 2 : 3.

Prema legendi, Arhimed je izrazio %eǉu da mu ovi odnosi stoje nanadgrobnoj ploqi.

Zavrxavamo ovaj pregled grqke matematike kratkom diskusijom oDiofantu i ǌegovom delu.

12

Diofant

O Diofantovom %ivotu praktiqno nixta nije poznato. Pretpos-tavǉa se da je %iveo i radio u Aleksandriji oko 250. godine n. e.Saquvan je zadatak, koji nam otkriva koliko dugo je %iveo:

Detiǌstvo Diofanta je potrajalo xestinu ǌegovog "ivota, posle jox dvanaes-tine mu je porasla brada, o"enio s posle jox jedne sedmine. Pet godina posletoga mu se rodio sin, koji je pro"iveo polovinu "ivotnog veka oca, a otac je,skrhan, umro posle qetiri godine.

Dakle, jednaqina koja se tu pojavǉuje je:

16

x + 112

x + 17

x +5+ 12

x +4 = x.

Lako nalazimo da je x = 84, tj. Diofant je pro%iveo 84 godine.

Od ǌegovih dela ostao je deo ǌegove Aritmetike i fragment delaO mnogougaonim brojevima. Mi &emo se ovde pozabaviti Aritmetikom.Od trinaest kǌiga smatralo se da je saquvano samo prvih xest, nosedamdesetih godina XX veka otkriveno je da su saquvane jox qetirikǌige u arapskom prevodu i analizom je ustanovǉeno da su to kǌigeod qetvrte do sedme.

Aritmetika se bavi rexavaǌem odre$enih i neodre$enih jednaqi-na sa celobrojnim koeficijentima u kojima se tra%e pozitivna racio-nalna rexeǌa. Ono xto je va%no da odmah napomenemo je da jed-naqine nisu ni formulisane ni rexavane u geometrijskom ruhu, kaoxto je bila duga tradicija kod Grka posle otkri&a nesamerǉivosti,no se ǌima baratalo algebarski. Mada &emo videti da se tu moguotkriti neka duboka geometrijska znaqeǌa (o kojima Diofant ekspli-citno nixta nije pisao).

Razvoj algebre se, u vrlo grubim crtama, deli na tri perioda.Najpre imamo period retoriqke algebre. Tu se i problemi i rexeǌaformulixu reqima, bez ikakve simbolike. Drugi period je periodsinkopatske (ili skra&eniqke, ako nam se dopusti takav termin) alge-bre u kojoj se koriste odre$ene skra&enice. Diofantovo delo pripadatom periodu. Tu jox nije prava simboliqka algebra koja predstavǉatre&i period, koji nastaje znatno kasnije sa Vijetom.

Diofant, pre svega, ima oznaku za nepoznatu (ali samo jednu!) i zaǌene stepene do xestog, a koristi i negativne stepene isto do xestog.Postoji i oznaka za jedinice, za oduzimaǌe i za jednakost. Nepoznatu&emo oznaqavati sa s, poxto je i Diofant koristio istu oznaku. Evoliste glavnih oznaka.

13

1 M Moνας jedinica

s ς ‘Aριθµoς broj

s2 ∆Y ∆υναµις kvadrat (stepen)

s3 K Y K υβoς kub

s4 ∆Y ∆ ∆υναµoδυναµις kvadrat × kvadrat

s5 ∆K Y δυναµo+υβoς kvadrat × kub

s6 K Y K K υβo+υβoς kub × kub

Kao xto vidimo, za oznaku nepoznate, Diofant je koristio posledǌeslove reqi ‘aritmos’, xto znaqi broj (inaqe ς je sigma, ali se ovakopixe na kraju reqi, tzv. ‘zavrxna sigma’). Kao xto smo ranije naveli,razlomak 1

n bi se pisao kao n′, pa je i Diofant koristio tu oznaku – 1s =

ς′, ali se mo%e na&i i oznaka ςχ, u zavisnosti od izdaǌa Aritmetike.Oznaka za jednakost je bila ι (xto je poqetak reqi koja znaqi ‘jednako’),dok je za oduzimaǌe korix&en simbol ∧|. Za sabiraǌe nije postojaoposeban simbol, prosto su se nizali simboli. Deo toga je bio da jena svakoj strani jednakosti bio izraz oblika A −B, gde su u A i Bbili nanizani simboli, dakle to su bile sume pozitivnih izraza. Naprimer, jednakost

3s2 +12 = 4s,

bi bila zapisana ovako:∆Y γM ιβιςδ.

Podsetite se kako su pisani brojevi (slovima, kao xto je navedenoranije). Da li je Diofant ‘priznavao’ negativne brojeve? Ve&i deoautora smatra da nije. Naime, on jeste opisivao kako se vrxe ope-racije, ali to je vixe bio opis kako baratati sa izrazima oblikaA −B, kako ih sabirati, koja su pravila za mno%eǌe. Dakle, znao jeda je (A−B)(C −F ) = (AC +BF )− (AF +BC ), ali nije eksplicitno radio sanegativnim brojevima. Qini se da je to neobiqno, ali matematika sene razvija onako kako je prezentirana u u'benicima.

Diofant je objaxǌavao i sre$ivaǌe izraza na suprotnim stranamajednakosti, kako su se na obe strane dodavali jednaki izrazi da binestali negativni delovi i kako su se posle skra&ivali ‘vixkovi’.To taqno odgovara pravilima al-'abr i al-mukabala koje je kasnijekoristio el Horezmi. Na primer, ako imamo jednaqinu

3s3 +4s −15 = 15s +3−5s2,

14

onda najpre dodajemo 5s2 +15 na obe strane i dobijamo

3s3 +5s2 +4s = 15s +18,

(al-'abr), a potom skra&ujemo (al-mukabala):

3s3 +52 = 11s +8.

Zanimǉivo je re&i da se simbol za nepoznatu koji je Diofant koris-tio, mo%e na&i i u grqkom papirusu, koji je poznat kao Miqigen 620,a koji najverovatnije potiqe iz II veka n. e. Zapravo, metode koje Dio-fant primeǌuje za rexavaǌe odre$enih jednaqina (koje imaju jedin-stveno pozitivno racionalno rexeǌe) nisu suxtinski nove, poznatesu iz mesopotamske matematike. No, Diofant daje obrazlo%eǌa onogaxto radi.

Formulacija problema i postupak rexavaǌa kod Diofanta tipiqnoizgledaju ovako. On formulixe problem, koji ukǉuquje vixe brojevakoji se tra%e (dakle, problem u startu ima vixe nepoznatih). Potom,ukoliko je neophodno, navodi potrebne uslove koji moraju da va%eda bi postojala pozitivna racionalna rexeǌa. Za samo rexavaǌeproblema, Diofant bira konkretne brojeve, a potom tra%i rexeǌau obliku u kome se sva mogu izraziti preko jedne nepoznate i to uobliku da su neki uslovi obavezno zadovoǉeni, dok se drugi koristeda se na$e rexeǌe.

Poqnimo od jednostavnijih (iz prve kǌige).

27. Na#i dva broja za koje su ǌihova suma i ǌihov proizvod zadati brojevi.

Potreban uslov: kvadrat polovine sume mora biti ve#i od proizvoda za brojkoji je kvadrat.

Dakle, problem je da se rexi sistem jednaqina

x + y = a

x y = b,

gde su a i b zadati brojevi pri qemu se tra%i da je( a

2

)2−b = c2, gde jec neki (racionalan) broj.

Vidimo da se problem svodi na rexavaǌe kvadratne jednaqin z2 −az +b = 0. Diskrimanta je a2 −4b = 4c2 = (2c)2 i vidimo da se dobijajuracionalna rexeǌa.

28. Na#i dva broja za koje su ǌihova suma i zbir ǌihovih kvadrata zadatibrojevi.

Potreban uslov: Dvostruka suma ǌihovih kvadrata mora premaxiti kvadratǌihove sume za kvadrat.

15

Bilo bi dobro da se qitaoci uvere da potreban uslov obezbe$ujepostojaǌe racionalnog rexeǌa.

Qesti su zadaci kod Diofanta gde je data suma ili razlika dvatra%ena broja. On postupa kao u Mesopotamiji: ako je zadato da jex + y = a, on postavǉa x = 1

2 a− s, y = 12 a+ s i daǉe to ubacuje u preostali

uslov. U sluqaju da je dato x − y = a, onda je x = s + 12 a, y = s − 1

2 a i to sepostavǉa u preostali uslov.

Na primer, u problemu 28, Diofant konkretno tra%i da se rexisistem

x + y = 20

x2 + y2 = 208.

Evo kako on to rexava.

Neka je razlika tih brojeva 2s. Dakle, ve#i broj je 10+ s, a maǌi 10− s.Ostaje da se uqini suma ǌihovih kvadrata jednakom 208. No, suma ǌihovihkvadrata je 2s2+200. Kako to mora biti jednako 208, dobijamo da s mora bitijednako 2. To znaqi da je ve#i broj 12, a maǌih broj 8.

Pozabavimo se sada slo%enijim tipom problema i metodom ǌihovogrexavaǌa.

20. (iz druge kǌige) Na#i dva broja tako da kvadrat svakog od ǌih kada sedoda drugom daje kvadrat.

Evo rexeǌa:

Neka je prvi broj s, drugi 2s +1. Tada kvadrat prvog sabran sa drugim dajekvadrat. Kvadrat drugog sabran sa prvim daje 4s2 + 5s + 1. Ovo mora bitijednako kvadratu. Formiram taj kvadrat od 2s −2, koji je tada 4s2 +4−8s i sje 3/13. Prvi broj je 3/13, drugi 19/13.

Ovde na delu vidimo ono o qemu smo priqali. Diofant ima dvenepoznate i obe izra%ava preko jedne tako da je jedan od uslova zado-voǉen za sve vrednosti nepoznate. Potom zadovoǉava drugi uslovna odre$eni naqin. Problem koji mu se pojavǉuje je slede&i: na&iracionalne brojeve s i t tako da je

as2 +bs + c = t 2, (1)

gde su a, b i c zadati brojevi. Jednaqinom (1) zadata je jedna krivadrugog reda. Problem koji Diofant razmatra sastoji se zapravo unala%eǌu racionalnih taqaka na ovoj krivoj.

Navodimo qetiri metoda koje Diofant koristi pri razmatraǌujednaqine (1).

16

Prvi metod. Ako je a kvadrat (racionalnog broja), a = e2, Diofantpostavǉa t = es +m, gde se m bira da daje pozitivno rexeǌe. Vidimoda se jednaqina (1) svodi na (e2 = a):

as2 +bs + c = e2s2 +2esm +m2,

tj. dobija se linearna jednaqina po s. Ovo je sluqaj koji se pojavǉujeu gorenavedenom problemu.

Drugi metod. Ako je c kvadrat, c = f 2, onda Diofant postavǉat = ms + f i dobija jednaqinu

as2 +bs + c = m2s2 +2ms f + f 2,

xto posle skra&ivaǌa sa s daje racionalno rexeǌe.

Tre!i metod. On se primeǌuje u sluqaju da nemamo linearni qlanu (1), tj. da je u pitaǌu jednaqina oblika as2+c = t 2 i da je a+c kvadrat.Diofant ovaj metod objaxǌava u lemi koja prethodi problemu 12 udesetoj kǌizi.

Za data dva broja qija je suma kvadrat, beskonaqan broj kvadrata se mo"ena#i tako da kada se kvadrat pomno"i jednim od tih brojeva i proizvod dodadrugom, rezultat je kvadrat.

Drugim reqima, Diofant tvrdi da ako su a i c takvi da je a + ckvadrat (racionalnog broja, da se podsetimo), onda postoji beskonaqnomnogo (racionalnih brojeva) x takvih da je ax2+c kvadrat (racionalnogbroja). Zapravo, on radi slede&e: postavǉa x = s+1 i dobija jednaqinu

as2 +2as + (a + c) = y2,

koja se sada mo%e rexiti drugom metodom, jer je slobodni koeficijenta+c kvadrat. On ovaj metod opravdava dokazom za konkretan sluqaj a =3, c = 6, ali nije texko videti da ideja ‘prolazi’ i u opxtem sluqaju.

Qetvrti metod. Ovaj metod Diofant objaxǌava u lemi koja jevezana za problem 15 u desetoj kǌizi. On razmatra jednaqinu

ax2 − c = y2 (2)

i tvrdi da, ako imamo jedno rexeǌe ove jednaqine, na primer, x = d,y = e, onda se uvek mo%e na&i jox neko rexeǌe. On to pokazuje takoxto postavi

x = d + s, y = e +ms. (3)

Zamenom u (2) dobija se

ad 2 +2ad s + s2 = e2 +2ems +m2s2,

tj.2ad + s = 2em +m2s,

17

odakle se lako dobija s.

Jednaqina (2) je jednaqina hiperbole. Jednaqine (3) zapravo zadajujednaqinu parametarsku jednaqinu prave koja prolazi kroz jednu taqku(d ,e) ove hiperbole i potom je seqe u jox jednoj taqki.

Pa%ǉiv qitalac, koji je, uz to, bio vrlo vredan kada je spremaoAnalizu 1, primetio je vezu prethodno navedenih metoda i Ojlerovihsmena koje se primeǌuju za raqunaǌe integrala oblika

∫R

(x,

√ax2 +bx + c

)d x,

gde je R(x, y) racionalna funkcija (pogledajte neku od zbirki ili u'be-nika za Analizu 1). Ovo nije neobiqno, zapravo suxtina je u disku-siji o qetvrtom metodu. Naime, prava i nedegenerisana kriva drugogreda su biracionalno ekvivalentne – mogu&e je na&i ‘skoro’ bijekcijuizme$u ǌih, bijekciju koja se ostvaruje racionalnim funkcijama kadase izbaci konaqno mnogo taqaka. Na primer, bax postavǉaǌem pravekroz zadatu taqku na krivu i nala%eǌem, za razliqite koeficijentepravca, druge preseqne taqke prave i krive.

Na crte%u mo%emo videti kako projektujemo krivu drugog reda napravu (sa krive smo izbacili jednu taqku). Ova ekvivalencija izme$uprave i krive drugog reda je ‘odgovorna’ i za qiǌenicu da je smenapromenǉive tg

( x2

)= t korisna kod raqunaǌa integrala oblika

∫R(sin x,cos x)d x,

18

gde je R(x, y) racionalna funkcija, no to je druga priqa.

U petoj kǌizi, Diofant razmatra jednaqine vixeg stepena. I tu semogu na&i sliqne i zanimǉive ideje. No, kako za krive tre&eg reda neva%i prethodno navedeno svojstvo, zapravo je struktura racionalnihtaqaka samo u nekim situacijama pravilna, ne mogu se rezultati dobi-jati na isti naqin. Ipak, neki autori u Diofantovim metodama pre-poznaju implicitno nala%eǌe tangenti na takve krive, a i nala%eǌetre&e preseqne taqke kroz dve date. No, mi se ne&emo ovde time bav-iti.

Deseta kǌiga je u potpunosti posve&ena Pitagorinim trojkamaracionalnih brojeva, tj. racionalnim rexeǌima jednaqine x2 + y2 =z2. Zapravo se tu govori o pravouglim trouglovima sa racionalnimstranama, a zadaci ukǉuquju veze izme$u povrxina, du%ina kateta isliqno. Ova kǌiga je zanimǉiva, jer je u svojoj kopiji izdaǌa iz 1621.godine Pjer de Ferma ispisivao komentare o rezultatima Diofantai tu nalazimo ǌegovu napomenu (posle zadatka o razlagaǌu na dvanaqina datog kvadrata u obliku sume dva kvadrata):

Naprotiv, nemogu#e je razlo"iti kub na dva kuba, bikvadrat na dva bik-vadrata i, uopxte, ma koji stepen ve#i od dva na zbir dva takva stepena.Naxao sam qudesan dokaz ovoga, ali su margine suvixe uske za ǌega.

Retko ko, zapravo veruje, da je Ferma uistinu imao ovakav dokaz.Ovo tvr$eǌe je poznato kao Velika Fermaova teorema i dokaz je tekdevedesetih godina proxlog veka dao engleski matematiqar EndrjuVajls.

Diofant ima jox neke zanimǉive metode za rexavaǌe jednaqina,no mi nemamo vremena da se i ǌima bavimo u ovom pregledu. Usluqaju odre$enih jednaqina (dakle onih koje imaju najvixe konaqnomnogo racionalnih rexeǌa) Diofant se uglavnom naslaǌa na starijutradiciju. No, u sluqaju neodre$enih jednaqina, tj. onih koje imajubeskonaqno mnogo racionalnih rexeǌa, ǌegov doprinos je izuzetan.ǋegovo delo je izvrxilo znaqajan uticaj na matematiqare kasni-jih epoha i dovelo do pojavǉivaǌa izuzetnih problema, kao i novihmatematiqkih oblasti (poput diofantovske analize).

19

Indijska matematika

Arheoloxka ispitivaǌa su pokazala postojaǌe veoma razvijene kul-ture u dolini Inda oko 2650. godine p. n. e. , dakle u vreme egipatskihgraditeǉa piramida. No, nemamo matematiqkih dokumenata iz tog pe-rioda. Znaqajna kretaǌa naroda, mnogi jezici, od kojih su mnogi joxnerazjaxǌeni, ote#avaju pokuxaj procene matematiqkog nivoa iz tihranijih perioda.

Sutre

Vede, religiozni dokumenti, pisani na sanskritu, sadr#e pozivaǌena velike brojeve i decimalni sistem. Tu se mogu na$i i dimenzije,oblici, proporcije vezani za gradǌu oltara. To je sadr#ano u ,,xulva(ili xulba) sutrama” – ,,pravilima za konopce”. Ovde se ,,xulva”odnosi na konopce za mereǌe, dok ,,sutra” oznaqava kǌigu pravila.Postoji vixe preostalih ovih ‘sutri’, pisane su u stihu i verovatnopotiqu iz prve polovine prvog milenijuma p. n. e. mada to ne znamo sasigurnox$u. Tu se mogu na$i Pitagorine trojke 3,4,5, 5,12,13, 8,15,17,12,35,37. Nije iskǉuqen mesotopamski uticaj na ove sutre, ali nije nipotvr%en.

Pogledajmo metod kvadrature pravougaonika iz jedne sutre, a kojiveoma podse$a na grqku ‘geometrijsku algebru’.

Zadat je pravougaonik ABC D. Na du#im stranicama AD i BC postavimotaqke E i F tako da dobijemo kvadrat ABF E . Neka su G i H sredixta

1

du#i ED i FC . Produ#imo G H do GK , tako da je ALKG kvadrat. Pro-du#imo i EF do preseka sa K L. Jasno je da su pravougaonici G HC D iF BLM podudarni, te je povrxina pravougaonika ABC D jednaka povr-xini kvadrata ALKG iz koga je izbaqen maǌi kvadrat F MK H. No,krug sa centrom u L, polupreqnika LK , seqe B H u taqki P . Tada jeLQ2 = LP 2 −PQ2 = LK 2 −K H 2, te tra#eni kvadrat ima stranicu LQ.

U drugoj sutri nalazimo opis konstrukcije kvadrata koji je tra#eniumno#ak datog kvadrata. Na primer, ako se tra#i kvadrat koji jesedmostruki dati kvadrat, qija je stranica a, onda se ka#e da se kon-struixe jednakokraki trougao sa osnovicom 6a i kracima 4a. Visinatog jednakokrakog trougla je

√(4a)2 − (3a)2 = a

"7. Dakle, povrhina

kvadrata qija je stranica jednaka visini tog jednakokrakog trouglaje 7a2.

U tri sutre nalazi se aproksimacija za"

2:

1+ 13+ 1

3 ·4− 1

3 ·4 ·34.

Aproksimacija zaista jeste dobra, ali nam nije poznato kako je dobi-jena. Inaqe, za razliku od Grka, Indijci nisu imali nikakav problemda i iracionalne korene smatraju brojevima. To je svakako i u vezisa tim da se u indijskim matematiqkim tekstovima qesto ne razlikujetaqan od pribli#nog rezultata, kao xto $emo videti u daǉem.

Sidante

Sidante su skorijeg datuma od xulba sutri. Procena je da su onenastale krajem IV, odnosno poqetkom V veka. Sidanta oznaqava sistemili doktrinu i ovde se odnosi na astronomske sisteme. Veliko jepitaǌe u kojoj su meri ova dela bila nezavisna od grqkih izvora,poxto se prime$uje velika sliqnost sa delima autora iz Egipta uto, ili ranije vreme. Ali postoji nexto xto ih izdvaja. Dok se kodGrka razmatrala tetiva kruga i centralni ugao koji joj odgovara, usidantama se razmatra polovina tetive i polovina centralnog ugla.To jeste mala razlika, ali tu vidimo naxe trigonometrijske funkcije.Zanimǉivo je kako je nastao naziv sa funkciju sinus. Naime, tetivase na sanskritu zvala ‘%iva’ ili ‘dziba’. U prevodu Arapa, koji nijekoristio samoglasnike, pojavǉuje se samo ‘&b’. Xto mo#e da odgovarai reqi ‘dzaib’ koja znaqi i ’zaliv’ na arapskom. Poznati prevodilaciz XII veka 'erardo iz Kremone je stoga to preveo na latinski kaosinus (xto znaqi ‘zaliv’) na latinskom. I tako je doxlo do naziva tenama dobro poznate funkcije.

2

ArijabataArijabata (476–550) je znaqajan indijski matematiqar i astronom

qije je najpoznatije delo Arijabatija napisano u stihu i zavrxeno499. godine. To delo predstavǉa pregled dotadaxǌih znaǌa, no onoje neujednaqeno po kvalitetu. Tu ima i trivijalnih rezultata, kaoi pogrexnih, ali i rezultata velike vrednosti. Poqiǌe navo%eǌemnaziva stepena broja 10 sve do desetog stepena i pravilima za raqu-naǌe kvadratnih i kubnih korena. Potom slede pravila za mereǌei tu imamo i taqne rezultate i pogrexne. Na primer, navodi se daje povrxina trougla polovina proizvoda du#ine jedne stranice i ǌojodgovaraju$e visine, ali se tvrdi da je zapremina piramide polovinaproizvoda povrxine baze i visine. Tako%e, ispravno se navodi da jepovrxina kruga jednaka proizvodu obima kruga i polovine polupreq-nika, ali i da je zapremina sfere (kugle) jednaka proizvodu povrxinevelikog kruga i kvadratnog korena te povrxine. Data je i ispravnaformula za povrxinu trapeza, ali i potpuno proizvoǉno tvr%eǌe opovrxini ma koje ravne figure. Rezultat na koji su indijski autoriposebno ponosni je slede$i:

Saberi 4 i 100, pomno!i sa 8 i dodaj 62000. Tako dobijax pribli!no obimkruga preqnika 20000.

To nam daje aproksimaciju za π:

π≈ (4+100) ·8+6200020000 = 3,1416.

No, to je zapravo vrednost za π koju je koristio i Ptolomej u Egiptu.Postoje velike xanse da je Arijabata bio pod uticajem grqkih prethod-nika. Inaq u Indiji se za π qesto koristila i aproksimacija π≈

"10.

U Arijabatiji nalazimo i neka pravila za aritmetiqke nizove. Naprimer, opisano je kako se nalazi broj qlanova aritmetiqkog niza akoje poznata ǌegova suma sn, prvi qlan a1 i razlika d. Formula kojudobijamo iz tog opisa je slede$a:

n =

"sn ·8d+(2a1−d)2−2a1

d +1

2.

U delu nema ni motivacije ni provere ovog rezultata. Naravno, mimo#emo danas da ovo izvedemo:

sn = a1 + (a1 +d)+·· ·+ (a1 + (n −1)d)

= na1 +d(1+2+·· ·+ (n −1))

= na1 +dn(n −1)

2.

Dobijamo kvadratnu jednaqinu po nepoznatoj n:

dn2 + (2a1 −d)n −2sn = 0.

3

Iz ove jednaqine se dobija gorǌa formula (doduxe malo u drugomobliku, proverite to).

Ono na xta nailazimo u Arijabatiji je decimalni sistem. Opisujese i raqunaǌe u kome se ka#e i da je ,,od mesta do mesta uvek je desetputa ve$e od prethodnog”. Da su se cifre za osnovu 10 pojavile i pre,vidimo i iz jedne tablice iz 595. godine, kada je jedan datum zapisan udekadnom obliku. Dug je bio put od prvih cifara do naxih. Slede$atablica nam daje kratak prikaz:

Vidimo evoluciju cifara i jasno prepoznajemo naxe cifre u Gobarzapisima, karakteristiqnim za zapadni prikaz kod Arapa. No, simbolza nulu nije brzo nastao. Postojale su svuda razne varijante rexeǌatog problema, no po svemu sude$i prvo pojavǉivaǌe nule u Indijije na jednom zapisu iz 876. godine. Deluje neverovatno da je trebalovixe od 250 godina, ali mnoge stvari se ne razvijaju u potpunostilogiqno niti ravnomerno. Zanimǉivo je navesti da se Devanagarizapis za slova i sada koristi u Indiji.

I u sidantama i u Arijabati imamo prve tablice sinusa. Evo kako

4

je to ura%eno. Mi znamo da je sin x ≈ x kada je x malo. No, ovde radimosa radijanima. Ako #elimo da radimo sa stepenima, moramo malo damodifikujemo stvari. Zapravo, zbog preciznosti je boǉe raditi saminutima. Dakle, ideja je bila da imamo istu meru i za sinus i zaugao. Ako gledamo u minutima, onda je pun krug: 360 ·60 = 21600. Sadatreba na$i polupreqnik r tako da je 2πr = 21600. Ukoliko za π uzmemoda je π ≈ 3,141592, dobijamo da je r ≈ 3437,75. Stoga su Indijci uzelida je polupreqnik kruga 3438. To znaqi da je ǌihova aproksimacijaza π ovde bila pribli#no 3,14136.

Kada je izabran polupreqnik kruga, onda je pravǉena tablica vred-nosti sin x, tako xto je 90 podeǉen na 24 jednaka dela. Najmaǌi ugaoje dakle bio 3 3

4, xto iznosi 225 minuta, te je uzeto da je sin

(3 3

4)= 225.

Dobro, sad ve$ vidimo da u tablici nemamo bax sinus ugla, ali sesinus ugla lako dobija deǉeǌem sa polupreqnikom. Po toj raqunicije sin

(3 3

4) = 225/3438 ≈ 0,06545. A ako proverite, recimo digitronom,

dobijete da je sin3 34 ≈ 0,06540. Dakle, nije loxe za poqetak. Ako sada

sa sn oznaqimo taj n-ti sinus i ako je Sn suma prvih n takvih sinusa,onda je za raqunaǌe korix$ena formula:

sn+1 = sn + s1 −Sn

s1.

Kako je dobijena ta formula, ne zna se. Ali, da proverimo:

s2 = s1 + s1 −s1

s1= 449,

s3 = s2 + s1 −s1 + s2

s1= 449+225− 225+449

225≈ 671,

s4 = s3 + s1 −s1 + s2 + s3

s1= 671+225− 225+449+671

225≈ 890,

s5 = s4 + s1 −s1 + s2 + s3 + s4

s1= 890+225− 225+449+671+890

225≈ 1105.

Kako s5 odgovara sinusu ugla od 18 14, po ovoj tablici bismo dobili

da je

sin(18

34

)= 1105

3438≈ 0,32141

dok nam digitron daje pribli#nu vrednost 0,32144.

Zanimǉiv naqin mno"eǌa brojevaPrikaza$emo ovde jedan zanimǉiv naqin mno#eǌa brojeva, koji se,

najverovatnije najpre pojavio u Indiji i odatle je prenet u Kinu, uArabiju, a potom preko Arabije i u Evropu.

5

!!

!!

!!

!!!

!!

!!

!!

!!!

!!

!!!

!!

!!!

3

7

7 6 2

49

42

14

21

18

06

4

9

182

Ova tablica pokazuje da je 37 · 762 = 28194. Kako? Vidimo da smoformirali proizvode cifara koji se pojavǉuju u zapisu, tako xto smoih rasporedili u odgovaraju$e kvadrate podeǉene na dva trougla.Broj 37 smo ispisali odozdo nagore, a 762 sleva udesno. Zapravo,tablice se mogu i drugaqije ispisivati.

Kako su izmno#ene sve cifre, onda dobijene rezultate sabiramopo dijagonalama i ispisujemo u nastavku. Poqiǌemo od 7 · 2 (dakleod cifara jedinica) i ispisujemo cifru 4, poxto se samo ona nalazina toj dijagonali. Na slede$oj dijagonali imamo zbir 2+ 1+ 6 = 9 i9 smo ispisali u nastavku. Potom imamo dijagonalu na kojoj je zbir9+ 4+ 8+ 0 = 21 i u nastavku ispisujemo cifru 1, a 2 prebacujemo zasabiraǌe sa brojevima u slede$oj dijagonali. Dakle, imamo potom2+4+1+1 = 8, ispisujemo 8 u nastavku. Konaqno, posledǌa dijagonalaima samo 2, bez prenosa sa prethodne i tu pixemo 2.

Bitno je bilo da se krene od proizvoda cifara jedinica i da sedaǉe ide po dijagonali. Ako bismo ispisali broj 37 sa desne strane,onda bismo kvadrate delili na drugaqiji naqin da bismo dobilirezultat:

""

""

""

"""

""

"""

""

""

""

"""

""

"""

8

2

7 6 2

21

18

06

49

42

14

3

7

491

6

Bramagupta

Znaqajni indijski astronom i matematiqar Bramagupta (oko 598–670) #iveo je oko jednog veka posle Arijabate, ali se on ne nastavǉana ǌegove rezultate. On je pre svega astronom, ali ima dovoǉno izanimǉivih matematiqkih rezultata vrednih spomena.

Najpre, kod ǌega prvi nailazimo na eksplicitan opis rada sanegativnim brojevima i nulom. Tako da imamo pravila poput togada proizvod pozitivnog i negativnog broja daje negativan broj, daproizvod negativnog i negativnog daje pozitivan broj, da proizvodpozitivnog ili negativnog broja i nule daje nulu. On se ne izjaxn-java oko toga xta se dobija pri deǉeǌu sa nulom, sem xto navodi daje 0/0 = 0. No, ne mo#emo mu to toliko zameriti.

Ono xto je posebno znaqajno je da je on prvi koji je naxao svacelobrojna rexeǌa jednaqine

ax = by + c, (1)

gde su a,b,c dati celi brojevi. On zna da je potreban uslov za posto-jaǌe rexeǌa da NZD(a,b) | c. Ukoliko je to tako, mo#e se podeliti na-jve$im zajedniqkim deliocem i smatrati da su a i b uzajamno prosti.On zna da, ako ima jedno rexeǌe (x0, y0), sva druga su data sa x =x0 + mb, y = y0 + ma, gde je m ceo broj. Metod za nala#eǌe jednogrexeǌa u sluqaju da su a i b uzajamno prosti nazivao se ,,kutaka”(,,drobilica”). Taj metod se pojavǉuje, ali ne eksplicitno za re-xavaǌe ovog tipa jednaqina, jox kod Arijabate, objasnio ga je boǉeBaskara I (oko 600–680), a i kasnije je usavrxavan. Ideja je da pri-menom Euklidovog algoritma a i b smaǌujemo (,,drobimo”) dok ne dod-jemo do ostataka 1(i 0), a da onda, na osnovu dobijenih koliqnika iostataka dobijemo to partikularno rexeǌe. Evo osnovne ideje. Pret-postavimo da je b > a (to nije gubǉeǌe opxtosti naravno). Podelimob sa a: b = q1a + r1. No, poqetna jednaqina je tada

ax = (q1a + r1)y + c

i ako uzmemo da je x = q1 y + z, onda dobijamo

aq1 y +az = aq1 y + r1 y + c,

odnosnor1 y = az − c.

Vidimo da su se koeficijenti uz nepoznate smaǌili, a slobodan qlanje ostao isti (do na znak). Kako je sada a > r1 postupak se mo#eponoviti. Postupak se ponavǉa sve dok ne do%emo do posledǌeg os-tatka koji nije nula, a poxto je to zapravo 1 (jer su a i b uzajamno

7

prosti po pretpostavci), dolazi se do jednaqine koja se lako rexava.Zatim se to rexeǌe ‘podi#e’ do rexeǌa poqetne jednaqine i taj pos-tupak je opisan. Mi bismo to sve sliqno i danas radili, ali mo#emoda koristimo matrice i onda nam je znatno lakxe.

Ovde je mo#da zanimǉivo napomenuti da je Bramagupta za deǉeǌesa ostatkom koristio i neke male ‘trikove’. Na primer, ako #eli dapodeli 759 sa 22, tj. da razlomak 750

22 izrazi kao mexoviti broj, onda (usavremenim oznakama, on jeste koristio razlomke, ali bez razlomaqkecrte, samo je brojilac pisao iznad imenioca):

75022

= 75025

· 2522

= 30 ·(1+ 3

22

)= 30+ 90

22= 30+ 45

11= 34

111

.

Dakle, on bi imenilac zamenio ve$im brojem koji deli brojilac itako pojednostavio daǉi raqun.

Postoje ozbiǉne analize koje pokazuju da je Bramagupta u rexa-vaǌu jednaqine (1) bio motivisan svojim astronomskim razmatraǌima,ali se mi ǌima ovde ne$emo baviti.

Bramagupta se bavio i rexavaǌem neodre%ene jednaqine oblika

x2 = 1+d y2. (2)

Jednaqine tog tipa sada se (neopravdano) nazivaju Pelove jednaqine,a i sam Arhimed je povezan sa jednaqinom tog tipa. Naime u delu kojenismo razmatrali – Problem stoke, on je postavio problem kao izazovaleksandrijskim matematiqarima, kako reqe ,,onima koji se zanimajutakvim stvarima”. U ǌemu se tra#i da se odredi broj bikova i kravarazliqitih boja (qetiri boje, dakle ima 8 nepoznatih) koji zadovol-javaju razne uslove. Svi uslove, sem dva, su jednostavne linearne veze,no ta dva zahtevaju da neka dva broja budu trougaoni broj i potpunkvadrat. I to je deo koji qini problem izuzetno texkim sa praktiqnetaqke gledaǌa, jer su rexeǌa te jednaqine uistino neverovatno ve-liki brojevi. Tek u devetnaestom veku imamo neka rexeǌa. U svakomsluqaju, Bramaguptin doprinos je u tome xto je dao metod kako da seod dva rexeǌa dobije novo rexeǌe. Naime, ako su (p, q) i (p ′, q ′) nekarexeǌa jednaqine (2) , onda je i

(pp ′+d qq ′, pq ′+qp ′)

tako%e jedno rexeǌe. To nama sada nije texko proveriti. Treba re$ida je Bramaguptina algebra bila skra$eniqkog tipa, umaǌilac je oz-naqavao taqkom iznad ǌega, ve$ smo videli kako je pisao razlomke, ai nepoznate su oznaqavane odgovaraju$im skra$enicama.

Bramagupta je imao i rezultate iz geometrije, mada se i kod ǌeganalaze jedni pored drugih taqni i netaqni rezultati. Od taqnih

8

rezultata navedimo da je imao formulu za odre%ivaǌe preqnika krugaopisanog oko datog trougla: ab/hc , ako su a i b stranice datog trougla,a hc visina koja odgovara tre$oj. No, ova formula je zapravo sinusnateorema u drugom obliku i ona je bila poznata i Ptolemeju. Za π jekoristio vrednost

"10, a ponekad qak i samo 3 kao ,,praktiqnu vred-

nost”. Bramagupta je dao i formulu za povrxinu tetivnog qetvor-ougla, koja odgovara Heronovom obrascu: ako je s poluobim tetivnogqetvorougla qije su stranice a, b, c i d, onda je povrxina data sa:

√(s −a)(s −b)(s − c)(s −d).

Vidimo se dobija bax Heronov obrazac u sluqaju da se cetvorougaodeformixe u trougao, tj. ako je jedna od stranica jednaka 0. Ovaformula je i sada poznata kao Bramaguptina formula. Jedina mana jeu tome xto Bramagupta nije eksplicitno naveo da ona va#i samo zatetivne qetvorougle. U ranijih vremenima mnogima nije bilo jasnoda za odre%ivaǌe qetvorougla treba vixe od 4 elementa. Na primer,ako posmatrate neki kvadrat stranice a, onda mo#ete da na%ete rombstranice a, koji ima bilo koju povrxinu izme%u 0 i a2.

Baskara II

Najznaqajnije delo matematiqara i astronoma iz XII veka BaskareII (1148–1185) bilo je Sidanta Siromani. Sastoji se od qetiri dela,a prva dva Lilavati i Vi!aganita su relevantni za matematiku.

Lilavati je navodno bila Baskarina $erka kojoj je on posvetio tajdeo. Tu ima vixe aritmetiqkih problema koji se tiqu linearnih ikvadratnih jednaqina, aritmetiqke i geometrijske progresije, Pitago-rinih trojki i sliqnih. Neki od problema su odre%enog tipa, nekineodre%enog. Navodi i metod za rexavaǌe kvadratne jednaqine, a idiskutuje kada postoje dva pozitivna rexeǌa. Ka#e jox:

Ako se rexeǌe ne mo!e ovako na#i (na primer u sluqaju jednaqine tre$egili qetvrtog stepena) onda se mora na#i vextinom samog rexavaqa.

Poxto se reqima navedu formule (a +b)2 = a2 + 2ab +b2 i (a +b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3, te se formule primeǌuju za nala#eǌe 93 (kao (4+5)3),273 (kao (20+7)3) i 1253 (najpre se na%e 123, a potom 1253 = (12 ·10+5)3).No, potom se objaxǌava inverzni postupak za nala#eǌe kvadratnogi kubnog korena baziran na ovim formulama i postupnom formiraǌudekadnog zapisa tog kubnog korena. Navodi bax primere za nala#eǌekubnog korena koji su prethodnoj raqunici kubovi datih brojeva. Naprimer, tra#i da se odredi kubni koren iz 1953125(= 1253). Na prvipogled deluje prazno, ali i nije, metod koji navodi omogu$ava dase postupa bez obzira koji je u pitaǌu broj, jedino se ovde dobija

9

rezultat relativno brzo i kao ceo broj. Zanimǉivo je ovo pitaǌe,ali se ne$emo daǉe baviti ǌime.

Baskara daje i partikularna rexeǌa (Pelove) jednaqine x2 = 1+d y2

za d ∈ 8,11,32,61,67. Na primer, za d = 67 daje rexeǌe x = 1776319049,y = 22615390. Nimalo jednostavno rexeǌe za to vreme.

Xto se geometrijskih rezultata tiqe, za π je koristio vrednost 227 ,

a korektno je naveo formule za povrxinu kruga i zapreminu sfere. Uǌegovom delu nalazimo i razmatraǌe permutacija i kombinacija, kaoi opis formula za raqunaǌe

(nk

). Navodi da je koliqnik a/0 jednak

beskonaqnosti, ali potom navodi i da je a/0 ·0 = a.

Keralska xkola

Indijski astronom i matematiqar Madava (1340–1425) ro%en je ugradu Sangamagrama u oblasti Keral (jedna od dr#ava u danaxǌojIndiji nosi to ime) i on je osnivaq jedne vrlo produktivne xkole as-tronomije i matematike koja je proizvela izuzetne rezultate. Qlanoviove xkole su #iveli, radili i predavali u porodiqnim zajednicamakoje su se zvali ilami. Od samog Madave nije ostalo nixta zapisanood matematiqkih rezultata, no ǌegovi uqenici i ǌihovi uqenici sunastavili tradiciju i na osnovu kasnijih zapisa (iz XVI veka) znamodo kojih su rezultata doxli matematiqari ove xkole.

Evo tih rezultata.

Razvoji trigonometrijskih funkcija u stepene redove

1. θ = tg θ− tg 3 θ3 − tg 5 θ

5 − · · ·;

2. sinθ = θ− θ3

3! +θ5

5! − · · ·;

3. cosθ = 1− θ2

2! +θ4

4! − · · ·;

4. sin2θ = θ2 − θ4

22−2/2 +θ6

(22−2/2)(32−3/2) −θ8

(22−2/2)(32−3/2)(42−4/2) +·· ·.

U prvom i qetvrtom (koji se mo#e izvesti iz tre$eg) 0 ≤ θ ≤π/4, dok jeu drugom i tre$em 0 ≤ θ ≤ π/2. Koncept periodiqnosti ovih funkcijarazvijen je tek kasnije.

Razvoji eksplicitno u vezi sa π

1. π4 ≈ 1− 1

3 +15 − · · ·∓ 1

n ± fi (n +1), za i = 1,2,3, gde je

f1(n) = 12n

, f2(n) = n2(n2 +1)

, f3(n) = n2 +42n(n2 +5)

.

2. π4 = 3

4 +1

33−3 −1

53−5 +1

73−7 − · · ·;

10

3. π4 = 4

15+4·1 −4

35+4·3 +4

55+4·5 − · · ·;

4. π2"

3= 1− 3·3

+1

5·32 − 17·33 +·· ·;

5. π6 = 1

2 +1

(2·22−1)−22 + 1(2·42−1)−42 + 1

(2·62−1)−62 +·· ·;

6. π−24 ≈ 1

22−1 −1

42−1 +1

62−1 − · · ·∓ 1n2−1 ±

12((n+1)2+2) .

Smatra se da razvoji trigonometrijskih funkcija u redove potiquod Madave. Zanimǉivo je i napomenuti da su procene grexaka u Lajb-nicovom razvoju za π

4 (prvi razvoj u drugom spisku), ostvarene pomo$ufunkcija fi , znaqajne zbog same raqunice. Taj alterniraju$i redvrlo sporo konvergira, te dodatne funkcije znatno uve$avaju aproksi-maciju. Zapravo, to je znatno kasnije primetio i ǋutn u pismu Old-enburgu iz 1676. On ka#e da se tu dodavaǌem polovine posledǌegqlana ili na sliqan naqin raqunaǌe mo#e izvesti sa velikom taqnox-$u. Qitaoci sami mogu lako proveriti koliko to poboǉxava aproksi-maciju.

Indijski tekstovi uglavnom navode ove rezultate bez dokaza, alise ipak u nekim tekstovima mogu i na$i dokazi. Na primer, razvojfunkcije arctg x (nax prvi razvoj) se, de facto, dobija integracijomfunkcije x )→ 1

1+x2 . Naravno da se pojam integrala ne spomiǌe, noformira se zapravo integralna suma za tu funkciju (koriste$i sliq-nosti trouglova i aproksimacije malih lukova tetivama), ta se funk-cija razvija u red, a potom se koristi rezultat da je 1k+2k+···+nk

nk+1 ∼ 1k+1 ,

kada je n veliko. Ova aproksimacija za sumu prvih k stepena se qestopojavǉuje u okviru ove xkole. Nije tu sve naravno u potpunosti ko-rektno, ali se dolazi do pravog rezultata.

Indijska matematika je intuitivna, posebna, dela su qesto me-xavine pogrexnih ili trivijalnih rezultata i izuzetno vrednih.Ona su pisana u stihovima, nisu sistematiqna poput grqkih, a nepostoji ni kontinuietet u radu. No, to je i razumǉivo s obzirom nasvu slo#enost Indije i mnoxtva nacija i jezika koji tu postoje.

11

Islamska matematika

Pojava islama u tre!oj deceniji VII veka dovela je do velikih arap-skih osvajaǌa. Damask je osvojen 635. godine, Jerusalim 637. dok jeosvajaǌe Egipta zavrxeno 642. godine. Revolucijom me#u islamskimvo#ama na vlast 660. godine dolazi dinastija Umajada. Osvojena jecela Severna Afrika i Arapi su prexli na tle danaxǌe Xpanije 711.godine. ǋihova osvajaǌa na zapadu Evrope zaustavǉena su u bicikod Puatjea 732. godine. Pokuxaj osvajaǌa Vizantije slomǉen je ubici kod Konstantinopoǉa 717. Na istoku je arapska vojska osvojilaSiriju, Persiju i stigla i do Indije. Godine 750. dolazi do noverevolucije i na vlast dolazi dinastija Abasida na istoku arapskedr&ave. Umajade su ostale na vlasti u danaxǌoj Xpaniji u formiKordopskog kalifata.

Godine 762. prestonica se iz Damaska seli u novoizgra#eni gradna reci Tigar – Bagdad. Bagdad postaje veliki trgovaqki i kulturnicentar i ǌegova populacija u IX veku dosti&e 800,000 xto ga qini uto vreme ve!im i od Konstantinopoǉa. Osvojene teritorije su bilesigurne narednih 300 godina na istoku i 600 godina u Xpaniji. Nas-tupio je period mira i kulturnog razvoja. Vladari Abasida Harunel Raxid (vladao u periodu 786–809) i ǌegov sin Abu 'afar el Ma-mun (813–833) bili su veliki pokroviteǉi kulture i nauke. Osnovanaje Ku!a mudrosti, koja je bila pandan Biblioteci u Aleksandriji.

Taj nauqni procvat u Bagdadu, posebno u matematici, svakako semo&e povezati i sa qiǌenicom da je u to vreme i u Vizantiji doxlodo sliqnog razvoja. Znaqajna liqnost u Vizantiji u tom smislu bioje Lav Matematiqar (ili Lav Filozof) (oko 790–869). Ro#en je uTesaliji i smatra se da je, bar delimiqno, bio jermenskog porekla.Obrazovao se u Konstantinopoǉu, ali je potom otixao na ostrvo An-dros gde je matematiku uqio od jednog starog monaha. Po povratku uKonstantinopoǉ izdr&avao se dr&e!i privatne qasove. Postoji leg-enda o tome da je jedan od ǌegovih uqenika bio zarobǉen u borbiprotiv Arapa i da je el Mamun bio toliko impresioniran znaǌemtog studenta da je izrazio &eǉu da Lava dovede u Bagdad i da mu jeponudio veliku platu. Lav to nije prihvatio, ali je tu situacijuiskoristio da popravi svoj polo&aj i od vizantijskog cara Teofiladobio odobreǌe da osnuje svoju xkolu. Lav je zaslu&an za prepisemnogih znaqajnih dela grqke matematike. Dela Euklida, Arhimeda,Prokla, Apolonija i drugih matematiqara i filozofa bila su u ǌe-govoj biblioteci i arapski nauqnici su imali priliku da ta delaprevedu na arapski jezik. Postoje indicije da je Lav popravio Dio-fantovu skra!eniqku algebru uvo#eǌem boǉe simbolike, ali to nijeimalo daǉeg uticaja.

1

El Horezmi

Muhamed ben Musa el Horezmi (oko 780–850), poreklom je, kako musamo ime ka&e, iz Horezma (danaxǌa Hiva) u oblasti koja se nalazina teritoriji danaxǌeg Uzbekistana, pa se mo&e na!i da se on vodi ikao uzbeqki matematiqar. No, negde se navodi da je on zapravo ro#en iu okolini Bagdada, a da su mu preci iz Horezma. U svakom sluqaju, zavreme vladavine el Mamune, on je bio qlan Ku!e mudrosti. Znaqajnasu dva ǌegova dela. Prvo delo je saquvano samo u prevodu na latinskijezik: Algoritmi de numerum indorum u kome opisuje dekadni sistem kojije razvijen u Indiji. Kao xto smo napomenuli, postojalo je 9 cifara,ali u ovom radu el Horezmi sugerixe da se za nedostaju!e mesto stavimali kru&i! – preteqa nule. Sanskricka req sunja (prazno) je naarapski prevedeno kao sifr. Potom na latinski kao zephyrum i odatleimamo i zero i cifru. U ovom delu je on opisao raqunaǌe u dekadnomsistemu, te je latinizovana verzija ǌegovog imena poqela da oznaqavanajpre taj postupak, a potom i bilo koju proceduru u konaqno mnogokoraka za rexavaǌe nekog problema.

Drugim delom !emo se vixe pozabaviti. Kratko se navodi kaoHisab al-!abr v’al mukabala, a prevod celog naslova bi mogao da budeSa"eta kǌiga o raqunaǌu po pravilima kompletiraǌa i redukovaǌa.Radi se o rexavaǌu algebarskih (zapravo samo kvadratnih) jednaqinai pravila se odnose na transformaciju izraza – al-(abr se odnosi nadodavaǌe pozitivnih izraza na obe strane jednaqine da bi se elim-inisali negativni izrazi, a al-mukabala na redukciju qlanova istogtipa. O tome smo ve! ranije pisali. Malom promenom od al-(abrdolazi se do termina algebra. Ovde je mo&da zabavno re!i da seu vreme Don Kihota (ili, ako se tako nekome vixe dopada, u vremeMiguela Servantesa) u Xpaniji na vratima mnogih berbernica mo-gao na!i natpis Algebrista y Sangradoe (Namextaǌe kostiju i puxtaǌekrvi), tako bi algebrista moglo da se prevede i kao kostolomac !.

Algebra el Horezmija je retoriqkog tipa, tu nema simbolike, svese opisuje reqima. On u svom uvodu jasno navodi da je imao nameruda napixe kratak priruqnik za rexavaǌe konkretnih problema kojise tiqu nasle#ivaǌa, podela, trgovine, premeravaǌa i sliqnim prob-lemima. Dakle, ǌegovo delo nije teorijskog tipa, no je motivisanopraksom. Kod ǌega je prisutna doza otklona od grqke geometrije. Naprimer, jednog znaqajnog arapskog autora koji je bio nexto stariji odǌega (da ne navodimo sada ǌegovo ime, nije nam od znaqaja za kasnije),a koji je bio veliki zagovornik usvajaǌu grqke matematike u Bag-daru, on uopxte ne navodi. On izbegava spomiǌaǌe Euklida, mada,kao xto !emo videti, on koristi geometriju da opravda svoje alge-barske transformacije. Kasnije je, kao neku vrstu odgovora na to,znaqajni geometar Tabit ben Kura, pokazivao da je to xto su radili‘algebristi’ zapravo ve! sadr&ano kod Euklida.

2

Kod el Horezmija nema negativnih brojeva, qak ni kao koeficije-nata, te je on sve linearne i kvadratne jednaqine sveo na xest sluqa-jeva.

1. ax2 = bx

2. ax2 = b

3. ax = b

4. ax2 +bx = c

5. ax2 + c = bx

6. ax2 = bx + c

gde su a,b,c dati pozitivni racionalni brojevi. Reqima bi, recimo,sluqaj 4. opisao kao koreni i kvadrati jednaki brojevima. Dakle, za ǌegaje x bio koren, a ne linija, du" kao kod Grka. Na prva tri sluqajase vrlo kratko zadr&ava, pri qemu uvek najpre svodi zadati problemna problem u kome je koeficijent uz x2 jedinica, bilo deǉeǌem bilomno&eǌem odgovaraju!im brojem. To radi i za ostale sluqajeve, kojenaziva slo&enim, te zapravo imamo slede!e ‘slo&ene’ sluqajeve.

1. x2 +px = q

2. x2 +q = px

3. x2 = px +q

On najpre daje opis postupaka za rexavaǌe svih ovih sluqajeva, uzkonkretan primer, a zatim geometrijski obrazla&e zaxto je postupakdobar. Podsetimo se, on pixe priruqnik, ne nauqno delo.

Evo kako obrazla&e prvi sluqaj (primer koji koristi je x2 +10x =39):

Rexeǌe je ovo: prepolovite broj korena, xto u ovom sluqaju daje pet. Topomno"ite sa samim sobom; proizvod je dvadeset pet. Dodajte to na tridesetdevet; suma je xezdeset qetiri. Sada na#ite koren iz ovoga, xto je osam ioduzmite ga od polovine broja korena, xto je pet; ostatak je tri. Ovo je korenkvadrata koji ste tra"ili, sam kvadrat je devet.

Zanimǉivo je da je ǌemu nepoznata kvadrat. On zapravo opisujeslede!u formulu:

x =√( p

2

)2+q − p

2.

On ovo opravdava kompletiraǌem kvadrata i to na dva naqina.

3

x2

52

52

52

52

Naravno, kod ǌega nema svih ovih oznaka, oznaqena su pojedina temenai obrazlo&eno je xta se radi. Formira se nepoznati kvadrat (x2) i naǌega sa strane ‘nakaqe’ qetiri pravougaonika qija je druga stranica52 . Tako dobijamo qetiri pravougaonika ukupne povrxine 4 · 5

2 x = 10x.Ta centralna figura se onda dopuni malim kvadratima ukupne povr-xine 4·

( 52

)2 = 25 do punog kvadrata koji je stranice 8. Stoga je stranicanepoznatog kvadrata x = 3. Dakle, ovde imamo klasiqno (i bukvalno)kompletiraǌe kvadrata. Formulama bi to opravdali ovako:

x2 +10x = 39

x2 +10x +25 = 39+25

(x +5)2 = 82

x +5 = 8

x = 3.

Drugi crte& je ubedǉiviji, svakako je jednostavniji.

x2

5

5Dakle na nepoznati kvadrat smo ‘nakaqili’ dva pravougaonika qijesu druge stranice 5. Ukupna povrxina tog objekta je x2 + 5x. Onse kompletira do kvadrata dodaju!i kvadrat stranice 5. Tako sedobija veliki kvadrat povrxine 39+ 25 = 64 i to je to. Zapravo jeonaj prvi crte& nepotreban, ovo drugo je jasnije i direktnije obra-zlo&eǌe. Zanimǉivo je da se ovaj konkretan primer posle vekovimaprovlaqio kroz razne kasnije u(benike algebre.

4

Drugi sluqaj odgovara formuli

x = p2±

√( p2

)2−q .

Dakle, ovde imamo dva sluqaja i el Horezmi ukazuje na to. Posebnoistiqe da rexeǌe postoji samo ako

( p2

)2 nije maǌe od q i da je rexeǌebax p

2 ukoliko je q =( p

2

)2. Primer x2 +21 = 10x ilustruje na slede!inaqin. Mi !emo dodati crte& koji oznaqava postavku problema.

10

x2 21

Dakle, na nepoznati kvadrat dodajemo pravougaonik povrxine 21, qijaje jedna stranica nepoznati koren. Zajedno dobijamo pravougaonihqija je jedna stranica nepoznati koren, a druga je jednaka 10. Evo ikompletnog crte&a.

A B C D E

F G H I J

K L M

! ! ! ! !! ! ! ! !

! ! !

x2

U sredixtu C du&i AE povlaqimo normalu C K i formiramo kvadratC E MK . Taqka H je preseqna taqka te normale i F J . Formiramo novikvadrat H I LK . El Horezmi objaxǌava zaxto su pravogaonici BC HGi I JLM jednaki (podudarni) i onda se mo&e zakǉuqiti da je ‘gnomon’C H I LME iste povrxine kao i pravougaonik BE JG za koji znamo da jepovrxine 21. Kvadrat C E MK je povrxine 25, a kvadrat H I LK komple-tira gnomon C H I LME do tog kvadrata. Stoga je H I = 2. No, i DE J I

5

je kvadrat, a ǌegova stranica je x. Kako je H J = 5, dobija se da jex = 5−2 = 3. El Horezmi objaxǌava da je drugo rexeǌe x = 5+2 = 7.

Za posledǌi sluqaj ,,koreni i brojevi jednaki kvadratu”, tj. zajednaqinu oblika x2 = px +q, el Horezmi daje rexeǌe:

x =√

q +( p

2

)2+ p

2.

Geometrijski to pojaxǌava na primeru x2 = 3x + 4. Najpre postavkaproblema.

x

3

4

B A

HR

DC " "

" "" "

Dakle, imamo nepoznati kvadrat stranice x i ǌega podelimo na dvapravougaonika – jedan je povrxine 4, sa jednom od stranica x, dokjedna stranica drugog 3, a druga x. Evo rexeǌa.

x

3

B A

HR

DC

G

K

TL

N

M

" "

" "" "

" " "" ""

Taqka G je sredixte du&i D H. Formira se kvadrat HGT K . Formirase i kvadrat AGLM. S obzirom na izbor ovih taqaka, imamo da je M N =ML−LN = N H −HK = N K . Tako#e je RN = RH −N H = AD − AG =GD = HG =N L. Stoga su pravougaonici B M N R i N K T L podudarni. Prema tome,povrxina gnomona AHK T LM jednaka je povrxini pravougaonika B AHR,tj. jednaka je 4. Taj gnomon se kvadratom HK TG, qija je stranica 3

2

6

dopuǌava do kvadrata stranice AG. Dakle, AG =√

4+( 3

2

)2 = 52 . Tada je

x = AD = AG +GD = 52 +

32 = 4 (G je sredixte du&i D H).

U daǉem tekstu, el Horezmi objaxǌava kako se mno&e binomi, tj.pravila za raqunaǌe proizvoda oblika (ax ± b)(d ± cx) i potom radirazne primere jednaqina koje nastaju iz nekih problema. U deluMereǌe nalazimo razne formule za raqunaǌe povrxina i zapremina.Nema tu nixta novo, za π predla&e tri, dobro nam poznate, aproksi-macija: 22

7 ,"

10, 6283220000 .

Znaqajan deo rada posve!en je praktiqnim pitaǌima nasledstva,podele imovine i sliqnim problemima. Naravno, taj nam deo nijezanimǉiv.

Abu Kamil

Abu Kamil (oko 850–930), poznat i kao ,,raqun(ija iz Egipta”napisao je svoju Algebru, koja je zapravo proxireǌe el Horezmijevekǌige. U ǌoj ukupno ima 69 problema (kod el Horezmija ima 40).Mnogi su preuzeti, ali ima i novih, kao i drugih metoda za rexa-vaǌe. Evo jednog primera.

Problem broj 8 reqima izra&ava zahtev da se 10 podeli na dvadela, tako da zbir koliqnika tih delova daje 4 1

4 . Dakle, radi se osistemu jednaqina:

x + y = 10xy+ y

x= 4

14

,

gde je x maǌi deo. Druga jednaqina se svodi na

x2 + y2 = 414

x y. (1)

Abu Kamil rexava ovaj problem na dva naqina. Najpre koristi metodel Horezmija. Iz prve jednaqine izra&ava y = 10− x i ubacuje u (1).Dobija jednaqinu

614

x2 +100 = 6212

x,

koja ima rexeǌe x = 2, te je y = 8. Drugo rexeǌe koristi ideju staremesopotamske matematike – uvodi se nova nepoznata z sa:

x = 5− z, y = 5+ z.

Kada se to zameni u (1), dobija se

50+2z2 = 414

(25− z2),

7

odakle se lako dobija z2 = 9, te je z = 3 i potom se dobijaju i x i y.

Abu Kamil je razvio i raqun sa korenima, pa je koristio i formulu

"a ±

"b =

√a +b ±2

"ab.

Posebno je zanimǉivo da se kod ǌega, po prvi put, pojavǉuje rexa-vaǌe problema u kojima odgovaraju!e jednaqine imaju i iracionalnekoeficijente. Na primer, problemu 53, dobija se jednaqina

(x +"

3)(x +"

2) = 20.

Abu Kamil rexeǌe daje u obliku

x =

√

2114−"

6+√

112−

√34−

√12

.

Uverite se da je rexeǌe zaista dobro, mada je mo&da, za nas, neobiqnozapisano.

Abu Kamilova Algebra ima poseban znaqaj, jer je izvrxila velikiuticaj na Leonarda iz Pize (Fibonaqija) koji je u svojoj Kǌizi oabakusu iz 1202. preneo 29 problema od Abu Kamila (uz neke maleizmene).

Tabit ben Kura

Tabit ben Kura el Harani (836–901) bio je sabejac iz Harana.Zapravo, kako istoriqari govore, sabejci iz Harana su bili ‘la&nisabejci’. Pravi sabejci su bili religiozna grupa koju je, uz hrix!anei Jevreje, Kuran priznavao kao ,,ǉude od Kǌige” i oni su u&ivali svuversku toleranciju u okviru muslimanske dr&ave. No, ǉudi iz Ha-rana su bili helenizovani Sirijci, koji su sledili neopitagorejskufilozofiju i naqin &ivota. Legenda ka&e da je Kalif el Mamumpredvode!i jednom prilikom vojsku ka Vizantiji svratio u Haran ipitao tamoxǌe stanovnixtvo da li su oni hrix!ani na xta su muoni odgovorili da nisu. Pitao ih je da li su Jevreji. Rekli su danisu ni Jevreji. Na pitaǌe da li imaju svetu kǌigu ili proroka,nisu jasno odgovorili. Kada je to sve quo, el Mamun im je rekao da!e morati ili da pre#u u islam ili u hrix!anstvo ili u judaizamili !e ih sve pobiti kada se bude vra!ao. Oni su potra&ili savetod jednog iskusnog xeika (i dobro mu platili za to) i on im je rekaoda ka&u da su oni sabejci. I tako se oni spasoxe. U svakom sluqaju,qiǌenica da su sledili neopitagorejsku filozofiju je dovela do togada je me#u ǌima bilo znaqajnih matematiqara i astronoma. Recimoi el Batani, o kome ne!emo daǉe pisati je bio sabejac.

8

Tabit ben Kura je pisao na svom jeziku, sirijskom (to je jezikkoji danas vixe ne postoji, a u istoj je grupi kao i aramejski kojim jegovorio Isus Hrist), prevodio sa tog i drugih jezika na arapski. Bioje geometar po uvereǌu, promovisao je grqku geometriju, pa je napisaoi kratku raspravu O verifikaciji algebarskih problema geometrijskimdokazima u kojoj je pokazivao da se sve xto su radili algebristi prirexavaǌu kvadratnih jednaqina mo&e ve! na!i kod Euklida, zajednosa korektnim dokazima. Oqigledno da to nije bilo jasno svima, qimje on osetio potrebu da napixe to delo. Tabit je, dakle, predstavǉaotu drugu struju u islamskoj matematici, koja se naslaǌala najprena grqku matematiku sa jakom teorijskom podlogom, a ne na raqunskutradiciju Mesopotamije i Indije.

Tabit je imao i znaqajnih rezultata. Navedimo ǌegovu general-izaciju Pitagorine teoreme za bilo koji trougao.

Dakle, dat je proizvoǉni trougao #ABC i na stranici BC izabranesu taqke B ′ i C ′ takve da je !AB ′B ∼=!B AC ∼=!AC ′C . Tada je

AB 2 + AC 2 = BC · (BB ′+CC ′).

9

Na slici je nacrtan kvadrat BCC "B" i uoqavamo i dva pravougaonikaBB ′B ′′′B ′′, CC ′′C ′′′C . Tvr#eǌe zapravo ka&e da je zbir (povrhxina)kvadrata nad stranicama AB i AC jednak zbiru (povrxina) ta dvapravougaonika. Tabit ne daje dokaz, samo navodi da se lako mo&eizvesti pomo!u Euklidovih rezultata (i to onih koji zapravo pred-stavǉaju formulacije kosinusne teoreme, a o kojima smo ranije pisali).No, mo&e se to dobiti na razne naqine. Ako se prisetimo Euklidovogdokaza Pitagorine teoreme, u ǌemu se pokazuje jednakost povrxinatih kvadrata sa odgovaraju!im pravougaonicima. To imamo i ovde,samo ta dva pravougaonika u ovom sluqaju (kada je ugao kod temenaA tup) ne pokrivaju ceo kvadrat nad BC . U sluqaju kada je ugao kodtemena A oxtar, zbir ǌihovih povrxina je ve!i od tog kvadrata

Docrtajte odgovaraju!e kvadrate i pravougaonike – primetimo da jeraspored taqaka B ′ i C ′ sada drugaqiji tako da se ti pravougaonicisada preklapaju.

ǋegova Kǌiga o odre$ivaǌu prijateǉskih brojeva sadr&i vrlo leprezultat iz teorije brojeva. Brojevi a i b su prijateǉski ukoliko jesvaki od ǌih jednak zbiru pravih delilaca onog drugog. Na primer,prijateǉski su brojevi 220 = 22 ·5 ·11 i 284 = 22 ·71:

1+2+5+11+22 +2 ·5+2 ·11+5 ·11+2 ·5 ·11+22 ·5+22 ·11 = 284,

1+2+71+22 +2 ·71 = 220.

Evo Tabitovog pravila: ako su p = 3 ·2n −1, q = 3 ·2n−1 −1 i r = 9 ·22n−1 −1 prosti brojevi, onda su brojevi M = 2n pq i N = 2nr prijateǉskibrojevi. Upravo gorenavedeni par prijateǉskih brojeva dobijamo zasluqaj n = 2: p = 11(= 3 ·22 −1), q = 5(= 3 ·22−1 −1) i r = 71(= 9 ·23 −1).

I drugi se parovi prijateǉskih brojeva mogu dobiti pomo!u Tabitovogpravila. Na primer, par brojeva 17296 i 18416 dobio je Ferma iz

10

Tabitovog pravila za n = 4, dok je Dekart dobio par brojeva 9363584i 9437056 za n = 7. Ojler je napisao tri rada o prijateǉskim broje-vima. Dokazao je ispravnost Tabitovog pravila i naveo listu od qak62 para prijateǉskih brojeva (oni nisu svi dobijeni ovim pravilom).

Omer Hajam

Samo jedan hlebac od qiste pxenice,jedan krqag vina, komad peqenice,i ja pokraj tebe puste sred ravnice, —xta su spram te slasti sultanske granice?!

Omer Hajam (1050–1123) znaqajni persijski matematiqar, astronom,filozof i pesnik, poznat po svojim hedonistiqkim stihovima, pisaoje svoja matematiqka dela na arapskom, a pesme na persijskom jeziku.

ǋegovo ajznaqajnije matematiqko delo je, nazovimo je kratko, Al-gebra u kojoj se bavio geometrijskim rexavaǌem kubnih jednaqina. Onje istakao da se kubna jednaqina ne mo&e rexavati leǌirom i xes-tarom, nego su za to potrebni konusni preseci. S obzirom da je i oniskǉuqivao negativne koeficijente (a i korene), morao je da razmatra14 tipova kubnih jednaqina. Metod rexavaǌa je bio da se jednaqinageometrijski rexi pomo!u preseka dve krive drugog reda, na primerhiperbole i kru&nice, ili parabole i hiperbole. Treba imati u viduda je on na raspolagaǌu imao retoriqku algebru i da je sve to biloznatno slo&enije nego xto bi nama to danas bilo. Evo jednog ǌegovogrexeǌa.

Ovde je prikazano ǌegovo geometrijsko rexeǌe jednaqine x3+b2x =b2c, gde se rexeǌe dobija u preseku parabole x2 = by i polukruga sacentrom u (c/2,0) polupreqnika c/2. Razlog zaxto su koeficijenti

11

ovako odabrani je u ǌegovoj &eǉi da svi koeficijenti budu ‘pros-torni’. U svojim razmatraǌima ignorisao je sluqaj kada postojidvostruki koren, a nije otkrio ni sluqaj u kome postoje tri razli-qita rexeǌa. Tako#e je smatrao da kubne jednaqine nemaju algebarskorexeǌe. No, bez obzira na to, ǌegovo delo bilo je veoma znaqajannapredak, jer mada on razmatra pitaǌe geometrijski, on zapravo re-xava jednaqine. Mali korak ka algebarskoj geometriji.

Drugi ǌegov znaqajan rad tiqe se pokuxaja dokazivaǌa Euklidovogpetog postulata. Ve! ranije se time bavio ben el Hajtam koji jerazmatrao qetvorougao, koji ima tri prava ugla (on je danas poznatkao Lambertov qetvorougao) i pokuxao je da doka&e da i qetvrti ugaomora biti prav. Hajam kritikuje ǌegov dokaz, koji jeste bio pogrexani sam razmatra qetvorougao koji je jednakokraki trapez sa dva pravaugla na osnovici (danas poznat kao Sakerijev qetvorougao). I on jepogrexno dokazao da je to obavezno pravougaonik. U svakom sluqaju,Sakeri je bio upoznat sa prevodom Hajamovog dela i mogao je da gradidaǉu teoriju uz korix!eǌe Hajamovih ideja.

El Kaxi

'amxid el Kaxi (oko 1380–1429) pripada ve! periodu zalaska is-lamske matematike. On je tako#e bio persijski matematiqar koji jeradio u Samarkandu, koji je tada bio prestonica Ulug Bega, unuka qu-venog Tamerlana (pobednika nad sultanom Bajazitom u bici 1402. go-dine kod Angore, tj. danaxǌe Ankare). Ulug Beg je i sam bio odliqanastronom i matematiqar, no stoga ne bax i uspexan vladar, te ga jesin sruxio sa prestola i naruqio potom i ǌegovo ubistvo dok je ovajodlazio u Meku posle poraza.

El Kaxi je bio bez premca u vextini raqunaǌa. Raqunao je ko-riste!i i seksagezimalne i decimalne zapise. Znao je da odre#ujenumeriqka rexeǌa algebarskih jednaqina metodom koji se sada nazivaHornerov metod i koji je baziran na postepenom formiraǌu odgo-varaju!eg zapisa tra&enog broja. Na primer, izraqunao je xesti ko-ren broja koji je u osnovi 60 zapisan kao 34,59,1,7,14,54,23,3,47,37;40xto zaista deluje skoro nestvarno. Izrazio je i 2π u decimalnomzapisu: 6,2831853071795865, aproksimacija koja je ostala nenadmaxenasve do kraja xesnaestog veka (mo&da je ovo pravi trenutak da navedemozanimǉiv metod za pam!eǌe decimalnog zapisa broja π – ako zapixetebroj slova u slede!em iskazu, dobi!ete π na 16 decimala: jox i Grcii stari Vavilonci su kazali — obime kad delix krugovim preq-nikom dobijax neophodni nam pi). El Kaxi je napravio i odliqnetrigonometrijske tablice za opservatoriju u Samarkandu, a kod ǌegase pojavǉuje i Paskalov trougao (koji se u Kini razmatrao jedan vekpre toga, a u Evropi tek jedan vek posle ǌega).

12

Mo&da je najboǉe ovaj deo predavaǌa o istoriji matematike za-vrxiti prevodom uvoda u u(benik algebarske geometrije Algebarskivarijeteti znaqajnog ameriqkog matematiqara 'or(a Kempfa.

Algebarska geometrija je mexavina ideja dve mediteranske kulture. Onaje nadgradǌa arapske nauke brzog raqunaǌa rexeǌa jednaqina nad grqkomumetnox$u o polo"aju i obliku. Ovaj goblen je originalno izvezen na evrop-skom tlu i jox uvek se profiǌuje pod uticajem me#unarodne mode. Algebarskageometrija prouqava delikatan balans izme#u geometrijski uverǉivog i al-gebarski mogu$eg. Kad god jedna strana ove matematiqke klackalice prevagnenad drugom, qovek odmah gubi interes i be"i u potragu za uzbudǉivijom ra-zonodom.

13

Leonardo iz Pize

Leonardo iz Pize (oko 1170–1240) ro!en je u gradu-dr"avi Piza.ǋegov otac se zvao Giǉermo, a Leonardo je navodio da je potomakBona%ija, koji je najverovatnije bio neki davni predak. U to vremeje pozivaǌe na poznate pretke bilo pravilo u Italiji. On je samsebe nazivao Leonardo Pizanski Bigoǉo i kada je 1240. godine dobiozvaniqne poqasti od grada Pize za slu"bu kao finansijski savetnik, utom dokumentu je bax to stajalo. Bilo je mnogo pokuxaja da se objasnito ime Bigoǉo, ali nije nam to mnogo va"no. No, nadimak Fibonaqiposvemu sude%i potiqe od jednog istoriqara matematike iz 1838. go-dine. Nema nikakvih dokaza da je sam Leonardo ikada koristio toime, ali eto to je ostalo i pod tim nadimkom je i najpoznatiji.

Vixe italijanskih gradova-dr"ava u to vreme je imalo veoma razvi-jenu trgovinu sa islamskim svetom i Piza je bila jedan od ǌih. Leo-nardov otac je dobio va"nu poziciju u jednom gradu u sadaxǌem Al"i-ru 1192. godine i poveo je svog sina sa sobom da izuqi trgovaqke vex-tine. Dobio je odliqnu poduku iz matematike i tamo je nauqio raqunpomo%u Indo-arapskih cifara. Pisao je da mu se to veoma dopalo ida je nastavio sa izuqavaǌem matematike i u daǉim putovaǌima poEgiptu, Siriji, Vizantiji, Siciliji i Provansi.

Leonardo se u Pizu vratio 1200. godine i u narednih 25 godinanapisao nekoliko dela. Ona koja su ostala saquvana su

1. Liber abbaci (1202, redigovano 1228),

2. Practica geometriae (1220),

3. Flos (1225).

4. Pismo filozofu Teodorusu, koji je "iveo na Siciliiji na dvoruFridriha II, cara Svetog rimskog carstva,

5. Liber quadratorum (1225).

Da%emo kratak pregled nekih od ovih dela. Poqnimo od najquveni-jeg i najobimnijeg Liber abbaci, tj. Kǌige o raqunaǌu. Ova kǌiga ima 15glava

Prvih 7 glava kǌige posve%eno je raqunaǌu u dekadnom sistemubaziranom na Indo-arapskim ciframa uz dodati znak 0 za nulu. Ve-liki broj primera, detaǉno opisanih reqima mo"e se tu na%i. Evo,na primer, kako Leonardo opisuje deǉeǌe broja 9000 brojem 7. Onsve opisuje reqima, a mi %emo prikazati postupak simbolima. Najpreka"e da se 7 ispixe ispod prve nule:

90007

1

Zatim ka"e da se 9 deli sa 7; koliqnik je 1, a ostatak 2 i stoga 1treba pisati ispod 9, a 2 iznad 9:

29000

71

Sada se ta dvojka spoji sa nulom koja je iza 9, te se tako dobijen broj20 deli sa 7. Koliqnik je 2, a ostatak 6. Znamo ve% gde ih pixemo.

269000

712

Nastavǉamo postupak.2649000

7128

Najzad, 40 pri deǉeǌu sa 5 daǉe koliqnik 5, koji se pixe ispod odgo-varaju%e nule

2649000

71285

dok se ostatak 5 pixe iznad razlomaqke crte nad 7. I tako se dobijarezultat: 5

7 1285. Da? Nije grexka, Leonardo ovako pixe mexovitibroj, najpre razlomǉeni deo, a posle ceo deo. To je sigurno pod uti-cajem arapskog pisma koje se pixe zdesna ulevo.

Dakle, imamo zaista razlomaqku crtu, razlomke, no Leonardo imai ovakve zapise:

2 4 43 5 5

9.

Xta je sada ovo? Mo"da %e jasnije biti kada na ovakav naqin napixemo,na primer, broj 2,3478:

8 7 4 310 10 10 10

2.

Dakle:2,3478 = 2+ 3

10+ 4

10 ·10+ 7

10 ·10 ·10+ 8

10 ·10 ·10 ·10,

a2 4 43 5 5

9 = 9+ 45+ 4

5 ·5+ 2

5 ·5 ·3.

2

Qemu slu"e ovi slo!eni razlomci, kakva je to ‘egzotika’? No, glave8–11 sadr"e probleme koji se tiqu trgovine, a razne merne jedinice,ukǉuquju%i novqane, nisu bile tako pravilne kao danas. Uostalom, isada imamo taj anglosaksonski sistem:

1 liga = 3 miǉe; 1 miǉa = 8 furlonga; 1 furlong = 10 lanaca; 1 lanac= 22 jarde; 1 jard = 3 stope; 1 stopa = 12 inqa.

Dobro, liga se vixe ne koristi, a i postoji sada 1000ti deo inqa,no. . .

Dakle, 3 lige, 2 miǉe, 4 furlonga, 6 lanaca, 11 jardi, 2 stope i 5inqa je, po Leonardovom zapisu:

5 2 11 6 4 212 3 22 10 8 3

3 lige !.

Ako qitate starije kǌige, onda mo"ete da pogledate i kako je bilo sanovqanim jedinicama. Kod Leonarda ima veliki broj zadataka kojise tiqu trampe, konverzije valuta i sliqno. Uz korix%eǌe ovakvihzapisa.

U glavama 12 i 13 ima vixe zabavnih problema, ali je naslov glave13 posebno zanimǉiv:

Ovde poqiǌe glava trinaest o metodu elxatajm i kako se ǌim skoro sviproblemi u matematici rexavaju.

Dobro, xta je taj metod? Naziv potiqe iz arapskog i znaqi dvegrexke. Ideja je da se pri rexavaǌu jednaqine f (x) = c izraqunajuvrednosti funkcije f u neke dve taqke a i b (to su te dve grexke),da se postavi prava kroz te dve taqke i tako se odredi pribli"norexeǌe. Preciznije, ako "elimo da reximo jednaqinu

f (x) = c,

onda je ǌeno pribli"no rexeǌe x ′ dato sa:

x ′ −ab −a

= c − f (a)f (b)− f (a)

.

Dakle, radi se o linearnoj interpolaciji. Jox u egipatskoj matem-atici je, za rexavaǌe linearnih jednaqina ax = b korix%ena metoda(jedne) pogrexne pretpostavke, gde se za x uzima neka pogodna vred-nost, pa se onda ona popravǉa. Metoda dve pogrexne pretpostavkeje dugo vremena korix%ena za rexavaǌe jednaqina oblika ax +b = c.Nama to sada izgleda krajǌe neobiqno, ali tako je bilo. Naravnou ovom sluqaju se dobija taqno rexeǌe poxto se radi o pravoj. Usluqaju polinoma dobija se pribli"no rexeǌe.

U glavi 14, Leonardo se bavi raqunaǌem kvadratnih i kubnih ko-rena. Za kvadratne korene koristi dobro poznatu aproksimaciju:

√a2 + r ≈ a + r

2a,

3

dok za kubne korene koristi dve aproksimacije. Najpre

3√

a3 + r ≈ a + r(a +1)3 −a3 = a1,

dok je druga aproksimacija:

a2 = a1 +a −a3

1

3a1(a +1).

Zapravo, kao xto se mo"ete lako uveriti, prva aproksimacija je do-bijena metodom dve grexke (rexava se jednaqina x3 = a3 + r i raqunajuvrednosti x3 za x = a i x = a +1) i ovo je bilo navo!eno u delima is-lamskih matematiqara, dok za drugu aproksimaciju Leonardo ka"e:,,Ja sam izumeo ovaj naqin za nala"eǌe korena.”

Glava 15 je posve%ena problemima u kojima se pojavǉuju linearnei kvadratne jednaqine, kao i one koje se svode na takve. Navedimosamo jedan primer sistema jednaqina koji se razmatra:

y = 10x

z = y2

x

z2 = x2 + y2.

Ovaj sistem se svodi na kvadratnu jednaqinu po x4:

x8 +100x4 = 10000.

Kratko delo Flos (Cvet) Leonardo je sastavio i poslao FridrihuII, koji je bio veliki pokroviteǉ nauke i umetnosti. U ǌemu suizme!u ostalog, odgovori na neka pitaǌa koja je, kao izazov, Leonardupostavio 'ovani iz Palerma, koji je bio matematiqar na dvoru caraFridriha II, koji je tada stolovao na Siciliji. Dva su pitaǌa posebnozanimǉiva.

Prvi problem je bio da se na!e (racionalan i pozitivan) brojx takav da su i x2 + 5 i x2 − 5 potpuni kvadrati. Leonardo je, bezobrazlo"eǌa postupka dao primer: x = 5

12 3:

(5

123)2

+5 =(

112

4)2

,(

512

3)2

−5 =(

712

2)2

.

Metod je obrazlo"en u kǌizi Liber quadratorum.

Drugi problem se sastojao u rexavaǌu kubne jednaqine:

x3 +2x2 +10x = 20.

4

Leonardo je pokazao da nijedan racionalan broj nije rexeǌe ove jed-naqine, ali nisu to ni kvadratne iracionalnosti koje je razmatraoEuklid u svojim Elementima. Dakle, ni brojevi oblika

$a,

√a ±

$b,√$

a ±$

b, gde su a i b pozitivni racionalni brojevi, nisu rexeǌaove jednaqine. I onda je napisao, otprilike, da poxto rexeǌa nisubrojevi ovog tipa, on daje pribli"no rexeǌe. Izra"eno u seksagezi-malnom sistemu rexeǌe koje je dao je:

1;22,7,42,33,4,40.

On nije dao nikakvo objaxǌeǌe kako je doxao do ovog rexeǌa. Apribli"no rexeǌe koje je dao je izvanredno dobro. Zapravo je razvoju seksagezimalnom sistemu:

1;22,7,42,33,4,38,30,50. . .

Postavǉaju se dva pitaǌa ovde. Kako je doxao do ovog pribli"nogrexeǌa? Zaxto je posledǌi qlan u razvoju 40? Zaxto nije 38 ili 39,ako je ve% rexio da zaokru"i rezultat.

Postoje dva naqina na koji je Leonardo mogao da do!e do ovogrezultata. Jedan je metod, koji je bio poznat jox odavno u Kini, akoji je danas poznat kao Rufini-Hornerov metod za nala"eǌe korenaovakvih jednaqina, a drugi je ,,metod dvostruke grexke”, za koji smovideli da ga je detaǉno razmatrao u svom delu Liber abbaci.

Koji je to Rufini-Hornerov metod? Prikaza%emo ga na navedenomprimeru, ali %emo ipak raqunati u decimalnom sistemu, jer nam jetako lakxe. Metod se sastoji u tome da se postepeno formira deci-malni razvoj za tra"eno rexeǌe. Primetimo najpre da jednaqina

x3 +2x2 +10x = 20

ima samo jedno pozitivno realno rexeǌe. Mi to sada znamo lakoda poka"emo: funkcija f zadata sa f (x) = x3 + 2x2 + 10x − 20 ima izvodf ′(x) = 3x2 + 4x + 10 i on je pozitivan za sve vrednosti x > 0. Dakle,funkcija raste. Kako je f (0) = −20 < 0 i kako f neograniqeno raste,to %e jednaqina f (x) = 0 imati taqno jedno pozitivno rexeǌe. No,Leonardo je i razmatrao samo pozitivna rexeǌa.

Kako je f (1) =−7 < 0, a f (2) = 16 > 0, rexeǌe se nalazi izme!u 1 i 2.Dakle, rexeǌe je 1, . . .. Napravimo smenu: x = y+1. Dobijamo jednaqinupo y:

y3 +5y2 +17y = 7

i znamo da je rexeǌe izme!u 0 i 1, tj. da je oblika 0, y1 y2 . . .. Da bismonaxli y1 pomno"imo jednaqinu sa 103:

(10y)3 +50(10y)2 +1700 · (10y) = 7000.

5

Smena z = 10y daje novu jednaqinu:

z3 +50z2 +1700z = 7000

i znamo da je rexeǌe izme!u 0 i 10. Proverom ustanovǉavamo da jerexeǌe izme!u 3 i 4 (ovde bi bilo zgodno primeniti Hornerovu xemuza raqunaǌe ovih vrednosti, no nije nam to sada mnogo va"no, jernisu komplikovani polinomi sa kojima baratamo). Dakle, rexeǌe jez = 3, . . ., te je rexeǌe poqetne jednaqine: x = 1,3. . .. Da bismo dobilislede%u cifru, radimo smenu z = u +3 i skaliramo:

u3 +59u2 +2027u = 1423,

(10u)3 +590(10u)2 +202700 · (10u) = 1423000.

Smena v = 10u daje novu jednaqinu

v3 +590v2 +202700v = 1423000.

Nije texko videti da je rexeǌe izme!u 6 i 7, te je poqetno rexeǌex = 1,36. . ..

Mada se brojevi pove%avaju, jasno je da mo"emo ovako da nastavimodok imamo strpǉeǌa, olovke i papira.

Koji je metod koristio Leonardo? Naravno, nemogu%e je sa sigur-nox%u odgovoriti na ovo pitaǌe, no drugih metoda nije bilo, a onnigde u svojim drugim delima nije koristio ovaj Rufini-Hornerovmetod, te su istra"ivaqi u oblasti istorije matematike skloni tomeda zakǉuqe da je koristio taj metod ,,dvostruke grexke” kome je posve-tio znaqajan deo Liber abbaci. S obzirom da je funkcija f (x) = x3 +2x2 +10x−20 konveksna, seqica je iznad krive i stoga razumne procene pozi-cije korena i iterirane aproksimacije uvek ‘podbacuju’, a Leonardovorexeǌe ‘prebacuje’.

6

Stoga je jedna od sugestija istra"ivaqa da je on namerno naveo takotu pogrexnu posledǌu cifru da ne oda metod. Recimo, bax spomenu-tom 'ovaniju iz Palerma. U to vreme je bilo va"no neke metodequvati za sebe i obezbediti podrxku vladara ili bogatih mecena.

Kǌiga Liber quadratorum (Kǌiga o kvadratima) posve%ena je problemapredstavǉaǌa brojeva u obliku suma kvadrata, ispitivaǌu kada subrojevi nekog oblika kvadrati i sliqno.

Uradimo za poqetak jedan jednostavan primer da vidimo kako je onto radio i koje je oznake koristio. Radi se o petom problemu:

Na#i dva broja tako da suma ǌihovih kvadrata qini kvadrat formiran odsume druga dva data broja.

Neka su dva broja .a. i .b. data tako da suma ǌihovih kvadrata qinikvadratni broj .g .. Uzmimo neka druga dva broja qija suma kvadrata jestekvadrat. Ta dva broja su predstavǉena du!ima .de. i .ez. i postavǉeni su podpravim uglom, uglom .dez..

Kvadrat nad du!i .d z. je jednak broju .g . ili nije. Najpre, ako jeste, onda smodobili rexeǌe. Ako nije, onda je ili maǌi ili ve#i od .g .. Najpre, ako jeve#i, onda #e broj .d z. biti ve#i od kvadratnog korena iz .g .; stoga neka jekvadratni koren iz .g . jednak broju .i . i postavǉen du! .d z. i oznaqen sa .t z..Iz taqke .t . nacrtajmo .tk. koja je normalna na .ez.; .tk. je stoga paralelna .de..Poxto je trougao .tkz. sliqan trouglu .dez., .zd . je prema .zt . kao xto je .de.prema .tk.. Ali, odnos .zd . prema .zt . je poznat; obe du!ine su zaista poznate.Zbog toga je i odnos .de. pre .tk. poznat. Tako%e je i .de. poznato. Stoga jedu! .tk. poznata. Sliqno se pokazuje da je i du! .zk. poznata. Dakle, poznatisu .tk. i .kz. qija je suma kvadrata jednaka kvadratu koga qini du! .t z.. Ali,kvadrat broja .t z. jednak je kvadratu broja .i . a .i . je kvadratni koren iz .g ..Stoga je kvadrat nad .t z. jednak broju .g . i dva broja .tk. i .kz. su zaista na%enaqija suma kvadrata je jednaka kvadratnom broju .g .. Alternativno, neka je .d z.maǌe od .i ..Produ!imo du! .zd . do .l . i neka je .zl . jednako broju .i .. Sliqno se .ze.produ!ava i .l m. se pove!e tako da je .lm. paralelno sa .de..

7

Dovrxava dokaz isto koriste%i sliqnost trouglova i nastavǉakonkretnim primerom u kome uzima da je .a. = 5, .b. = 12. Stoga je .i . = 13i dobija posle obrazlozeǌa da je .tk. = 11 8

17 (sada pixemo na standar-dan naqin) i .kz. = 6 2

17 . Ima i primer za drugi sluqaj.

Kao xto smo naveli, u ovoj kǌizi je prikazan i metod kojim je rexenjedan od problema koji je postavio 'ovani iz Palerma. Problemse sastoji u rexavaǌu sistema jednaqina (u pozitivnim racionalnimbrojevima):

x2 +5 = y2

x2 −5 = z2.

Leonardo razmatra opxtiji problem:

x2 +C = y2

x2 −C = z2.

Ako postoji rexeǌe ovog problema, onda broj C naziva congruum, abroj x2 quadratus congruentus. Evo kako on rexava ovaj problem. Sabi-raǌem se dobija

2x2 = y2 + z2.

Smenom y = u + v, z = u − v gorǌa jednaqina se svodi na

x2 = u2 + v2.

Dakle, imamo Pitagorine trojke (gledamo samo prirodne brojeve sada),te je

x = a2 +b2, u = 2ab, b2 −a2.

Leonardo dobija slede%u teoremu.

Ako su a i b uzajamno prosti i b > a, imamo dva sluqaja.

1. Ako su a i b neparni, onda je C = ab(b −a)(b +a) congruum, a kongru-

entni kvadrat je x2 =(

a2+b2

2

)2.

8

2. Ako su a i b razliqite parnosti, onda je C = 4ab(b − a)(b + a) kon-gruum, a kongruentni kvadrat je x2 = (a2 +b2)2.

Za a = 1, b = 9, dobija: C = 720 = 5 ·122, x = 41, y = 49, z = 31. Deǉeǌemsa 12, dobija navedeno rexeǌe za C = 5. Istim metodom dobija rexeǌai za druge vrednosti C .

Luka Pa!oli

Luka Pa%oli (1447–1517) napisao je znaqajno delo Summa de arith-metica, geometria, proportioni e proportionalità. Ono je napisano na itali-janskom, ne na latinskom 1487, a xtampano je u Veneciji 1494.

Luka Pa%oli je koristio napredniju algebarsku notaciju od Leo-narda. To je opet varijanta skra%eniqke algebre. Za kvadratni korenje koristio oznaku R (Radix), ili R2, a za kubni R3. Qetvrti stepen jebio RR, ili R4. Nepoznata u jednaqini se oznaqavala sa co. (cosa), ǌenkvadrat sa ce. (censo), kub sa cu. (cubo), qetvrti stepen sa ce.ce.. Ako bipostojala jox jedna nepoznata, ona bi se zvala quantità. Za sabiraǌese koristila oznaka p, a za oduzimaǌe m. Na primer,

3√

34−$

12

bi se pisalo kaoR3V 34mR12.

Oznaka V pokazuje da se koren odnosi na sve iza ǌega (V=U=Universale).Na kraju kǌige je napisao da je za jednaqine tipa

numero, cosa e cubo;numero, censo i cubo;

numero, cubo e censo de censo

za sada niko nije uspeo da formira opxta pravila. Dakle, ovde seradi o jednaqinama tre%eg i qetvrtog stepena.

Rexavaǌe jednaqina tre!eg stepena

Svaku jednaqinu tre%eg stepena mo"emo svesti na oblik

x3 +ax2 +bx + c = 0.

Smenom x = y − a3 dobijamo:

(y − a3

)3 +a(y − a3

)2 +b(y − a3

)+ c = 0,

9

odnosno

y3 −3y2 a3+3y

( a3

)2− a3

27+ay2 −2

a2

3y + a3

9+by − ab

3+ c = 0.

Vidimo da se kvadratni qlan skrati. Ovo je naravno bilo dobro poz-nato, te su se, s obzirom da se nisu koristili negativni koeficijenti,sve jednaqine tre%eg stepena svodile na jedan od tri tipa:

(1) x3 +px = q,

(2) x3 = px +q,

(3) x3 +q = px,

gde su, naravno, p, q pozitivni brojevi. Prvi matematiqar koji jenaxao rexeǌe za jednaqinu tipa (1) bio je Scipion del Fero (1465–1526). Smatra se da je on do tog rexeǌa doxao oko 1515. godine. Bioje profesor u Boloǌi i svoje rexeǌe nigde nije objavio, samo ga je nasamrti saopxtio svom zetu Hanibalu Naveu i svom uqeniku AntonijuFjoreu.

Dakle, i u to vreme, pa i znatno kasnije, matematiqari nisu uvek"eleli da objave svoje rezultate. ǋihove pozicije nisu bile sigurne,morali su da se dokazuju. Jedna od formi dokazivaǌa u renesansnojItaliji bila je u formi matematiqkih dvoboja.

Nikolo Fontana (1500–1557), poznatiji kao Tartaǉa (Mucavac)bio je samouk matematiqar. Ro!en je u Brexi na severu Italije.Kada je bio mali, Francuzi su zauzeli Brexu i jedan francuski vo-jnik ga je ranio tako da je ceo "ivot imao o"iǉak na licu i imaoje problema sa govorom. Tada mu je i otac ubijen. Majka se trudilada ga xkoluje, ali nisu imali novca za to. Kako pixe u ǌegovim bi-ografijama, u xkoli je bio dok nisu stigli do slova ,,k”, te nije uxkoli ni nauqio da napixe svoje ime. No, xkolovao se samostalnoi uspeo je da obezbedi poziciju privatnog uqiteǉa raquna. Bio je iveoma uspexan u tim matematiqkim dvobojima.

Tartaǉin prijateǉ mu je 1530. poslao dva problema, koji se svodena slede%e:

1. Rexiti jednaqinu x3 +3x2 = 5.

2. Rexiti jednaqinu x(x +2)(x +4) = 1000.

Tartaǉa se dobro pomuqio i uspeo da rexi ove zadatke te je ob-javio da mo"e da rexi svaku jednaqinu tipa x3 +px2 = q.

Fjore je smatrao da on blefira i 1535. ga je izazvao na dvoboj.Svako od ǌih je trebao da zada drugome 30 zadataka, a pora"eni jemorao da plati 30 veqera za pobednika i ǌegove prijateǉe. Pobednikbi bio onaj koji rexi vixe zadataka za 50 dana. Tartaǉa je saznao da

10

se svi problemi koje je Fjore sastavio svode na rexavaǌe jednaqinetipa (1). Stoga se maksimalno potrudio da na!e rexeǌe za taj tip.Uspeo je u tome i sve probleme koje mu je Fjore postavio rexio je zanekoliko sati, dok Fjore nije uspeo da rexi ve%inu problema koje jeza ǌega sastavio Tartaǉa (problemi su bili razliqitog tipa, jedanje qak bio skriveno u vezi sa ovim tipom jednaqine i Tartaǉa ga jepostavio zato xto je bio ube!en da Fjore ne razume suxtinski prob-leme koji se tu pojavǉuju). Navodno je Tartaǉa bio toliko zadovoǉansvojim trijumfom da je oslobodio Fjorea obaveze da plati tra"eneveqere.

Tartaǉa je sada znao da rexava jednaqine sva tri tipa i nije imaonameru da objavi ovo rexeǌe. U priqi se sada pojavǉuje 'irolamoKardano (1501–1576) — lekar, izumiteǉ, astrolog, matematiqar, xa-hista, kockar. Jedan od ǌegovih izuma i sada se koristi u auto-mobilima – ,,kardan” zaista nosi ime po ǌemu. Napisao je i kǌigu oigri kockom, to je mo"da i prva kǌiga posve%ena teoriji verovatno%e.Kardano je pozvao Tartaǉu da mu otkrije svoje rexeǌe. Na kraju jeuspeo da ga ubedi da Tartaǉa do!e kod ǌega u Milano, gde %e ga Kar-dano upoznati sa vojnim zapovednikom Milana xto je dosta znaqiloTartaǉi, jer je imao neke zamisli koje je "eleo da poka"e dotiqnommarkizu. U svakom sluqaju, Kardano je uspeo da ubedi Tartaǉu da muotkrije svoj metod. Obavezao se da ne%e to objaviti pre nego xto gaTartaǉa sam objavi. Tartaǉa je saopxtio rexeǌe u obliku pesmice.Upuctvo je bilo jednostavno: napixi q u obliku q = u − v, pri qemusu u i v takvi da je u · v =

( p3

)3. Tada je rexeǌe x = 3$u − 3$v. U ostaladva sluqaja se biraju u i v tako da je q = u + v, u · v =

( p3

)3 i rexeǌe jex = 3$u + 3$v.

Da proverimo:

x3 +px = ( 3$u − 3$v)3 +p( 3$u − 3$v)

= u −33√

u2v +33√

uv2 − v +p( 3$u − 3$v)

= q −3 3$uv( 3$u − 3$v)+p( 3$u − 3$v)

= q −3p3

( 3$u − 3$v)+p( 3$u − 3$v)

= q.

Naravno, i ostali sluqajevi se lako provere.

Kardano i ǌegov uqenik Lodoviko Ferari (1522–1565) daǉe surazvijali ovaj metod. Ferari je qak uspeo da tako rexi i jednaqinuqetvrtog stepena i oni su "eleli da objave te rezultate, ali ih jeobe%aǌe Tartaǉi spreqavalo u tome. No, saznali su da je Scipiondel Fero imao rexeǌe i otixli su u Boloǌu da to provere u ǌe-govoj zaostavxtini. Kada su saznali da je to zaista tako, Kardano jesmatrao da vixe nije obavezan prem Tartaǉi i 1545. objavǉuje delo

11

Ars Magna (Velika vextina). U tom delu opisuje rexavaǌe jednaqinatre%eg i qetvrtog stepena. Navodi da je metod za rexeǌe jednaqinetre%eg stepena saznao od Tartaǉe, a da je metod za rexavaǌe jedna-qine qetvrtog stepena razvio Ferari. Tartaǉa je bio ogorqen zbogtoga, krenula je bujica optu"bi. Sve se to zavrxilo duelom Tartaǉei Ferarija u kome su oni raspravǉali o matematiqkim problemima.Jasno je da je mla!i Ferari bio u velikoj prednosti u odnosu na sta-rijeg i nimalo reqitog Tartaǉu, koji je bio pora"en i poni"en timduelom.

Mi se vra%amo na temu kako je Kardano prikazao ovaj metod. Onje to malo modifikovao. Evo kako je to bilo na primeru iz ǌegovekǌige. Posmatra jednaqinu

x3 +6x = 20. (1)

Naravno, on koristi retoriqku algebru, sve se ovo objaxǌava reqima.On motivixe sve geometrijskim razmatraǌima u prostoru, odgovaraju-%im kockama, no mi %emo to preskoqiti. Ono xto je va"no je da ontra"i rexeǌe u obliku x = u−v. Kada se ovo zameni u gorǌu jednaqinudobije se:

(u3 − v3)− (3uv −6)(u − v) = 20.

On sada tra"i da jeu3 − v3 = 20

3uv = 6.

Dobija sistemu3 − v3 = 20

u3v3 = 8.

Tada je u3 =$

108+10, a v3 =$

108−10 i konaqno

x = 3√$

108+10− 3√$

108−10.

Ovde ve% mo"emo da uoqimo problem. Znamo da jednaqina (1) imataqno jedno pozitivno realno rexeǌe. No, lako se vidi da je to re-xeǌe zapravo x = 2. A mi smo dobili veoma slo"en izraz za to rexeǌeu kome je texko prepoznati da je zaista x = 2. Tartaǉa je bio svestanovog problema, zato je i verovao da Fjore suxtinski ne razume xta setu sve dexava. No, mi mo"emo da se sna!emo ovde. Naime, primetimoda je 108 = 4 ·27, te je

$108+10 = 6

$3+10. Da li mo"emo da na!emo neki

broj qiji je ovo tre%i stepen? To zapravo nije texko na%i:

($

3+1)3 = 3$

3+3 ·3+3$

3+1 = 6$

3+10.

No, tada je i ($

3−1)3 = 6$

3−10 =$

108−10. Dakle, 3√$

108+10 =$

3+1,3√$

108−10 =$

3−1, te je zaista rexeǌe:

x = ($

3+1)− ($

3−1) = 2.

12

Naravno, nama sada ne bi bilo texko da izvedemo i opxte rexeǌe, teda dobijemo poznate Kardanove formule, no umesto toga pogledajmo joxjedan primer. Posmatrajmo jednaqinu

x3 = 15x +4. (2)

Ovo je jednaqina drugog tipa i ovde je zgodno rexeǌe tra"iti u ob-liku x = u + v. Dakle,

(u + v)3 = 15(u + v)+4.

u3 +3u2v +3uv2 + v3 = 15(u + v)+4.

3uv(u + v)+ (u3 + v3) = 15(u + v)+4.

Tra"imo u i v tako da je 3uv = 15, u3 + v3 = 4. Dobijamo sistem po u3,v3:

u3v3 = 125

u3 + v3 = 4.

Ovde je zanimǉivo da spomenemo maestra Antonija iz Firence (XIVvek). On je sistem jednaqina

st = c

s + t = d

rexavao tako xto je rexeǌe tra"io u obliku s = a +$

b, a t = a −$

b.Naravno, ovo je potpuno korektno, a i vrlo je zgodan metod za rexa-vaǌe ovakvog sistema. Iskoristimo ga. Dakle, nax sistem je

st = 125

s + t = 4.

Ako uzmemo da je s = a +$

b, a t = a −$

b dobijamo da je 2a = 4, tj. a = 2,dok je a2 −b = 125, tj. b =−121. Dakle, u3 = 2+

$−121, a v3 = 2−

$−121, te

je

x = u + v =3√

2+$−121+

3√

2−$−121.

Zastanimo malo i pogledajmo ponovo naxu poqetnu jednaqinu. Nijetexko videti da jednaqina x3 = 15x+4 ima za rexeǌe x = 4 i da je to za-pravo jedino pozitivno realno rexeǌe. Osim toga, mo"e se proveritida ova jednaqina ima tri razliqita realna rexeǌa. A mi dobismonexto priliqno komplikovano, situacija je, da se tako izrazimo, joxgora nego u prethodnom primeru, poxto smo dobili kvadratni koreniz negativnog broja. I sada imamo slede%e: izbegavali smo nega-tivne brojeve uopxte, a dobili smo rexeǌe u kome se pojavǉuje qaki kvadratni koren iz negativnog broja. Zapravo, ovako nexto %e se

13

pojaviti uvek u sluqaju kada jednaqina ima tri razliqita realnarexeǌa! To je takozvani nesvodǉiv sluqaj.

Kardano je bio svestan ovog problema i trudio se da ga izbegne uprimerima koje je dao u svojoj kǌizi. Ipak, na jednom mestu je dopus-tio i koren iz negativnog broja. Razmatrao je problem rastavǉaǌabroja 10 na dva dela qiji je proizvod 40, odnosno sistem jednaqina

x + y = 10

x y = 40.

On je napisao da je jasno da je to nemogu%e, ali da ipak radimo. Do-bio je brojeve 5+

$−15 i 5−

$−15. Ka"e: ,,Ako ostavimo po strani men-

talno muqeǌe, kada pomno"imo 5+$−15 i 5−

$−15 dobijamo 40. . .Ovo

je zaista sofistika (mudrovaǌe).” Po svemu sude%i, Kardano je bioprvi matematiqar koji je uveo kompleksne brojeve a+

$−b, ali se nije

ose%ao nimalo prijatno u vezi toga.

Rafael Bombeli se, kratko, pozabavio ovim problemom i to %emorazmotriti nexto kasnije.

Rexavaǌe jednaqina qetvrtog stepena

Opxta jednaqina qetvrtog stepena

x4 +ax3 +bx2 + cx +d = 0,

mo"e se smenom x = y − a4 svesti na jednaqinu u kojoj nedostaje kubni

qlan. Naravno, s obzirom na izbegavaǌe negativnih brojeva, za mate-matiqare u Italiji u XVI veku bilo je vixe sluqajeva. Osnovna idejaFerarijevog metoda je da se dodavaǌem pogodnih izraza jednaqinasvede na oblik

(x2 +e)2 = ( f x + g )2.

Razmotri%emo primer iz Kardanove kǌige:

x4 +6x2 +36 = 60x. (3)

Da bi dobio potpun kvadrat sa leve strane, dodaje 6x2 na obe strane:

x4 +12x2 +36 = 6x2 +60x,

tj.(x2 +6)2 = 6x2 +60x.

Kardano navodi slede%u formulu koju detaǉno obrazla"e geometrij-ski, ali mi %emo preskoqiti to obrazlo"eǌe:

(x2 +a +b)2 = (x2 +a)2 +2x2b +2ab +b2.

14

U naxem sluqaju je

(x2 +6+b)2 = (x2 +6)2 +2x2b +12b +b2.

Dakle, na obe strane jednaqine (3) dodaje se 2bx2 +12b +b2. Dobijamo

(x2 +6+b)2 = (6x2 +60x)+ (2bx2 +12b +b2),

odnosno(x2 +6+b)2 = (2b +6)x2 +60x + (b2 +12b). (4)

Da bi kvadratni binom sa desne strane bio potpun kvadrat, potrebnoje i dovoǉno da je

4(2b +6)(b2 +12b) = 602,

odnosnob3 +15b2 +36b = 450.

Dakle, rexavaǌe jednaqine qetvrtog stepena svodi se na rexavaǌepomo%ne jednaqine tre%eg stepena. Ta pomo%na jednaqina se naziva irazrexavaju#a kubika. Smena b = c −5 kubnu jednaqinu svodi na

c3 = 39c +390.

Metod koji smo prikazali ranije daje:

c = 3√

190+$

33903+ 3√

190−$

33903,

a odatle se dobija i b. Jednaqina (4) sada je oblika

(x2 +6+b)2 = (2b +6)(

x + 15b +3

)2

i ona se lako rexava. Naravno, rezultat ne izgleda lepo, ali to jetako.

Rafael Bombeli

Rafael Bombeli (1526–1572) napisao je veoma znaqajnu kǌigu Al-gebra. Ro!en je u Boloǌi i nije imao formalno matematiqko obra-zovaǌe, a po profesiji je bio arhitektonski in"eǌer. Bio je veomaimpresioniran Kardanovim delom, no smatrao je da Kardano nije uvekbio jasan u svojim objaxǌeǌima i stoga je rexio da sam napixe kǌiguiz koje bi poqetnici mogli da ovladaju algebrom bez pomo%i drugihkǌiga. No, taj posao je potrajao, jer je u me!uvremenu u ǌegov poseddoxao grqki rukopis Diofantove Aritmetike i on je bio toliko odu-xevǉen tim delom da je rexio da ga prevede. Na kraju je tekst ǌegove

15

Algebre xtampan u Veneciji neposredno pred ǌegovu smrt 1572. godinei kasnije u Boloǌi 1579.

U svom delu pozabavio se i aproksimacijama kvadratnih iracional-nosti veri"nim razlomcima. Da bi izrazio

$2, on je zapisao

$2 = 1+ 1

y. (5)

Odavde dobija da je y = 1+$

2. Dodavaǌem 1 na obe strane jednakosti(5) dobija:

y = 2+ 1y

(6)

Zamenom (6) u (5) dobija

$2 = 1+ 1

2+ 1y

.

Slede%a zamena daje$

2 = 1+ 1

2+ 12+ 1

y

.

Zanemaruju%i 1y dobija aproksimacije za

$2: 3

2 ,75 itd. Razmatrao je

i razvoje za druge kvadratne iracionalnosti.

Ono xto nas najvixe zanima je ǌegova diskusija o gorenavede-nom primeru. On ka"e da su zaista koreni iz negativnih brojevasofistiqki, ali da sama jednaqina nije sporna, jer ima rexeǌe x = 4.Stoga on ka"e da se mo"da 3

√2+

$−121 mo"e izraziti u pogodnom ob-

liku:3√

2+$−121 = p +$−q .

Zatim analizira tu situaciju i nekako uspeva da dobije da se za pmo"e uzeti 2, a za q jedinica. Zapravo je (2+

$−1)3 = 2+

$−121. Tako

da dobija da je

3√

2+$−121+

3√

2−$−121 = (2+

$−121)+ (2−

$−121) = 4

i sa zadovoǉstvom konstatuje: ,,U poqetku mi se qinilo da je celastvar vixe bazirana na sofizmu nego na istini, ali tragao sam doknisam naxao dokaz.”

Bombeli je uveo i oznaku$−1: più di meno, dok je −

$−1 oznaqavao

kao meno di meno. U jednaqinama je koristio skra%enice: p. di m..

16

Leonard Ojler (1707–1783)Leonard Ojler je najpoznatiji xvajcarski matematiqar i mo!da i

najplodniji matematiqar u istoriji matematike. Matematiku je uqiokod Johana Bernulija i dru!io se sa ǌegovim sinovima Nikolom iDanijelom. Uz podrxku Bernulijevih, on je dobio poziciju u Petro-gradu 1727. godine. Ojler je bio svestrano obrazovan i zapravo jedobio mesto na medicini i fizilogiji, kasnije na prirodnoj filo-zofiji. No, Nikola Bernuli je umro 1726, a Danijel se 1733. iz Pet-rograda preselio u Bazel i Ojler tako ostaje, u svojoj 26-oj godininajznaqajniji matematiqar u Petrogradu.

Zapoqnimo najpre Ojlerovim doprinosom matematiqkoj notaciji.On je uveo i promovisao korix#eǌe slova e za bazu prirodnog loga-ritma. Simbol π jeste korix#en i ranije, ali ga je Ojler znaqajnopromovisao. Pred kraj !ivota je uveo i simbol i za koren iz −1.Zanimǉivo je da ga je ranije koristio za oznaku beskonaqnosti, pa jetako pisao i ex =

(1 + x

i

)i, gde je i beskonaqni broj. U elementarnojgeometriji je tako%e imao znaqajan doprinos u notaciji. Stranicetrougla je oznaqavao sa a, b, c, a odgovaraju#e uglove sa A, B,C, dok jesa R, r, s oznaqavao polupreqnike opisanog i upisanog kruga i polu-obim trougla. Od drugih oznaka treba navesti da je Σ koristio zasumu, a da je sa f(x) je oznaqavao funkciju.

U svom delu ,,Introductio in Analysin Infinitorum” iz 1748, koje dajeosnove matematiqke analize, uveo je funkciju od promenǉive veliqinekao ‘bilo koji analitiqki izraz saqiǌen od te promenǉive veliqine ibrojeva ili konstantnih veliqina’. Jasno je da takva definicija nijeprecizna, no poslu!ila je Ojlerovoj svrsi – forsirao je analitiqkipristup qak i trigonometrijskim funkcijama; sinus je zadat prekoreda sin z = z − z3

6 + z5

120 − + · · ·. Na primer, jox je u pismu JohanuBernuliju iz 1740. naveo formulu ex

√−1 + e−x

√−1 = 2 cos x.

Poka!imo sada kako je Ojler naxao sumu reda∑∞

k=11k2 .

Po%imo od slede#e qiǌenice: ako su x1, x2, . . . , xn nule polinomap(x) = 1 + a1x + a2x2 + · · · + anxn, onda je

1x1

+1x2

+ · · · + 1xn

= −a1.

Nije se texko uveriti da je ovo taqno. Naime, ako je

1 + a1x + a2x2 + · · · + anxn = 0,

deǉeǌem sa xn dobijamo

1xn

+ a11

xn−1+ a2

1xn−2

+ · · · + an = 0.

1

Ako je y = 1x , onda iz

yn + a1yn−1 + a2y

n−2 + · · · + an = 0

i Vijetovih formula dobijamo

y1 + y2 + · · · + yn = −a1,

tj.1x1

+1x2

+ · · · + 1xn

= −a1.

Ojler sada ovo ekstrapolira na funkciju sinus. Naime, na osnovurazvoja u red:

sin z = 0 i z > 0 akko 0 = 1− z2

3!+

z4

5!− · · · .

Smenom w = z2 dobija se

0 = 1− w

3!+

w2

5!− w3

7!+ · · ·

Po analogiji sa konaqnim sluqajem, ako su nule ovog reda w1, w2, . . .(xto su zapravo kvadrati nula sinusa), onda je

1w1

+1w2

+1w3

+ · · · = −(− 13!

) =16.

No, znamo da su pozitivne nule sinusa π, 2π, 3π, . . ., pa su ove nulezapravo π2, (2π)2, (3π)2, . . .. Stoga dobijamo

1π2

+1

22π2+

132π2

+ · · · =16,

odnosno112

+122

+132

+ · · · =π2

6.

Ojler je naxao sume∑∞

k=11

k2l za sve l ∈ 1, 2, . . . , 13. Na primer, dobioje

∞∑

k=1

1k26

=224 · 76977927 · π26

27!.

Navedimo i Ojlerov dokaz beskonaqnosti skupa prostih brojevakorix#eǌem divergencije harmonijskog reda.

Pretpostavimo da postoji samo konaqno mnogo prostih brojeva ineka su to p1, p2, . . . , pk. Neka je n neki prirodan broj. Tada je

n = pα11 pα2

2 · · · pαkk ,

2

za neke αi ≥ 0. Uzmimo α = maxα1, . . . ,αk. Posmatramo proizvod

P =(

1 +1p1

+ · · · + 1pα1

) (1 +

1p2

+ · · · + 1pα2

)· · ·

(1 +

1p1

+ · · · + 1pα

k

).

Jasno je da se u razvoju ovog proizvoda u zbir pojave svi brojevi od1 do 1

n , te je P > 1 + 12 + · · · + 1

n . No,

P <

(1 +

1p1

+1p21

+ · · ·) (

1 +1p2

+1p22

+ · · ·)

· · ·(

1 +1pk

+1p2

k

+ · · ·)

=1

1− 1p1

· 11− 1

p2

· · · 11− 1

pk

=p1

p1 − 1· p2

p2 − 1· · · pk

pk − 1.

Dakle, dobili smo da je

1 +12

+ · · · + 1n

<p1

p1 − 1· p2

p2 − 1· · · pk

pk − 1,

no, kako izraz na desnoj strani ne zavisi od n dobijamo da je suma 1+12 + · · ·+ 1

n ograniqena, a znamo da to nije taqno. Stoga mora postojatibeskonaqno mnogo prostih brojeva. Ojler je mnogo eksperimentisaosa beskonaqnim redovima, ali o tome ne#emo sada pisati.

U pismu Goldbahu iz 1746. Ojler je naveo slede#i zanimǉiv rezul-tat: ii = e−π/2. Naime, iz Ojlerove formule eiθ = cos θ+i sin θ za θ = π/2dobija se da je eiπ/2 = i. Stoga je

ii = (eiπ/2)i = ei2π/2 = e−π/2.

Zapravo, Ojler je 1749. pokazao da se svaki kompleksan stepen kom-pleksnog broja, tj. (a + bi)c+di mo!e izraziti u obliku p + qi. Ovajaspekt Ojlerovog rada je zanemaren i priqa o realnim vrednostima ii

se ozbiǉnije razmatrala tek u XIX veku.

Nemogu#e je i pribli!no navesti sve Ojlerove ideje i rezultateiz teorije obiqnih i parcijalnih diferencijalnih jednaqina, raqunakonaqnih razlika, eliptiqkih integrala, specijalnih funkcija i dru-gih oblasti. U vezi notacije navedimo jox ǌegovu oznaku

[p

q

]=

p(p− 1) · · · (p− q + 1)1 · 2 · · · q ,

koja je, evidentno preteqa moderne oznake(p

q

).

Za kraj navedimo i Ojlerov dokaz male Fermaove teoreme, koja ka!eda je, ako je p prost broj, koji ne deli ceo broj a, onda p deli ap−1−1.

On je zapravo dokazao da p | (ap − a) za sve a indukcijom po a.Naravno da je tvr%eǌe taqno za a = 1. I, ako pretpostavimo da je

3

taqno za a, lako se poka!e za (a + 1)p − (a + 1) (naravno koristimomoderne oznake u dokazu radi kra#eg zapisa):

(a + 1)p − (a + 1) = ap +p−1∑

k=1

(p

k

)ak + 1− a− 1 = ap − a +

p−1∑

k=1

(p

k

)ak.

Kako p |(pk

)za sve 1 ≤ k ≤ p−1, rezultat sledi iz induktivne hipoteze.

4

Documents

ISTORIJA I FILOZOFIJA MATEMATIKE - University of Belgrade