IV - Conducao Bidimensional Em Regime Estacionario

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICALABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS

CONDUÇÃO BIDMENSIONAL EM REGIME ESTACIONÁRIO

ME36L – TRANSMISSÃO DE CALOR I

PROF. Msc. RUBENS GALLO



4.1 – APROXIMAÇÕES ALTERNATIVAS

2

• Considere o sólido longo e prismático no qual ocorre a condução de

calor bidimensional, como mostra a figura abaixo.

• Com duas superfícies isoladas e as outras mantidas a diferentes

temperaturas, T1>T2.



3

• De acordo com a lei de Fourier, ofluxo de calor local no s[olido [e um

vetor que é, em qualquer ponto, perpendicular às linhas de

temperatura constante (isotermas).

• Em qualquer análise de condução, existem dois objetivos principais:

Determinara a distribuição de temperatura no sólido, e

Determinar o fluxo de calor através do sólido.

• A distribuição de temperatura pode ser determinada através da

equação da difusão de calor e de suas condições de contorno.

• Conhecendo-se a distribuição de temperatura, pode-se através da lei

de Fourier, determinar o fluxo de calor através do sólido.



4

• Para condições bidimensionais em regime estacionário e sem geração

de calor e com condutividade térmica constante, a forma apropriada

da equação da difusão de calor é dada por:2 2

2 20 (4.1)

T T

x y

• Se a equação acima pode ser resolvida para T(x,y), através de lei de

Fourier podemos encontrar os fluxos de calor nas direções x (q”x) e

y (q”y).

• Métodos para a resolução da equação acima, icluem o uso de

aproximações analítica, gráfica e numérica (diferenças finitas,

elementos finitos).

• O método analítico envolve a elavoração de uma solução exata para

a distribuição de temperatura, o que nem sempre é fácil, uma vez

que, envolve uma equação diferencial parcial em vez de uma

ordinária.



4.2 – O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS

5

• Consideremos uma placa fina ou uma barra retangular longa, onde

três lados são mantidos a uma temperatura constante T1, enquanto

o quarto laod é mantido a uma temperatura constante , como

mostra a figura abaixo.



6

• Considerando desprezível a transferência de calor a partir das

superfícies da placa ou das extremidades da barra, gradientes de

temperatura normais ao plano x-y podem ser desprezados , e a

transferência de calor por condução ocorre principalmente nas

direções x e y.

• Para simplifacar a solução, usaremos a seguinte transformação:1

2 1

(4.2)T T

T T

• Substituindo na equação da difusão de calor, a equação transformada

é então:2 2

2 20 (4.3)

x y



7

• Uma vez que a equação é de segunda ordem em x e y, são

necessárias duas condições de contorno para cada uma das

coordenadas. 0, 0 ,0 0

, 0 , 1

y e x

L y e x W

• Aplicando agora a técnica de separação de variáveis considerando

que a soolução desejada possa ser expressa como o produto de duas

funções, uma que depende excluxivamente de x e a outra que

depende unicamente de y. Ou seja, consideremos a existência de

uma solução da forma:

, ( ) ( ) (4.4)x y X x Y y



8

• Substituindo a solução na equação da difusão de calor e dividindo

por X(x) e Y(y), obtemos:2 2

2 2

1 ( ) 1 ( )(4.5)

( ) ( )

d X x d Y y

X x dx Y y dy

• É uma equação separável, ou seja, o lado esquerdo da equação

depende exclusivamente de x , e o lado direito excluxivamente de y.

• Portanto, a igualdade pode ser aplicada em geral (para qualque x ou

y) apenas se ambos os lados forem iguais à mesma constante.

• Identificando essa constante de separação, até o momento

desconhecida, como , temos então:2

22

22

2

( )( ) 0 (4.6)

( )( ) 0 (4.7)

d X xX x

dx

d Y yY y

dy



9

• Se fosse escolhido um valor nulo ou negativo para a constante de

separação, seria impossível obter uma solução que satisfizesse as

condições de contorno prescritas.

• As soluções gerais para as Eqs. 4.6 e 4.7 são, respectivamente:1 2

3 4

( ) cos( ) sin( )

( ) y y

X x C x C x

Y y C e C e

• Forma geral da solução bidimensional: 1 2 3 4( , ) cos sin y yx y C x C x C e C e

• Aplicando a condição na qual , é evidente que C1 = 0. Além disso, da

exigência de que , obtemos:

2 3 4sin 0C x C C



10

• A equação acima só pode ser satisfeita se C3 = - C4.

• Recorrendo à exigência de que , obtemos:

2 4 sin 0y yC C L e e

• A única maneira na qual essa condição pode ser satisfeita (e ainda ter

uma solução aceitável) é pela exigência de que assuma valores

discretos para os quais .

• Esses valores devem ser então da forma:

1,2,3,.... (4.9)n

nL



11

• A solução desejada pode ser agora expressa como:

2 3, sin (4.10)n y n yL L

n xx y C C e e

L

• Combinando constantes e sabendo que a nova constante pode

depender de n, obtemos:

, sin sinhn

n x n yx y C

L L

• Na forma acima já obtivemos um número infinito de soluções que

satisfazem a equação diferencial e as condições de contorno.

• Conduto, uma vez que o problema é linear, uma solução mais geral

pode ser obtida de uma super-posição da forma:



12

1

, sin sinh (4.11)nn

n x n yx y C

L L

• Precisamos agora determinar Cn , para isso aplicamos a última

condição de contorno, =1

1

sin sinh (4.12)nn

n x n WC

L L

• Para avaliarmos Cn, dispomos de um método padrão que envolve

escrever uma expansão em série infinita análoga em termos das

funções ortogonais.

• Um conjunto infinito de funções ,é dito como sendo ortogonal no

domínio se( ) ( ) 0 (4.13)

b

m n

a

g x g x dx n m



13

• Muitas funções apresentam ortogonalidade, incluindo as funções

trigonométricas e para .

• A utilidade delas no presente problema reside no fato de que qualquer

função pode ser expressa em termos de séries infinitas de funções

ortogonais

1

(4.14)n nn

f x A g x

• Multiplicando ambos os lados da equação por e integrando-se entre

os limites a e b.

1

(4.15)b b

n n n nna a

f x g x dx g x A g x dx

2b b

n n n

a a

f x g x dx A g x dx



14

• Da equação acima podemos escrever:

2

(4.16)

b

n

an b

n

a

f x g x dx

A

g x dx

• Escolhendo e a função ortogonal e substituindo-as na Eq. (4.16)

obtemos:

1

0

2

0

sin1 12

sin

L

n

n L

n xdx

LA

nn xdx

L

11 12

1 sin (4.17)n

n x

n L

Da Eq. 4.14, podemos escreve:



15



16

• Comparando as Eqs. 4.12 e 4.17, obtemos:

12 1 1

1,2,3...., ,... (4.18)sinh

n

nC n nn W

nL

• Substituindo a Eq. 4.18 na Eq. 4.11, obtemos então a solução final:

1 sinh1 12

, sin (4.19)sinh

nn y

n x Lx y

n Wn LL



4.3 – EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS FINITAS

17

• Métodos análiticos podem ser utilizados, em certos casos, para efetuar

soluções matemáticas exatas para problemas de condução

bidimensiona em regime estacionário. Essa soluções têm sido geradas

para variedades de geometrias simples.

• Entretanto, é mais frequente nos depararmos com problemas

bidimensionais que envolvem geometrias e/ou condições de contorno

mais complexas, o que inviabiliza a solução análitica.

• Nesses casos, a melhor alternativa é frequentemente a que utiliza

técnicas numéricas tais como diferenças finitas, elementos finitos ou o

méodo de elementos de contorno.



4.3.1 – A REDE NODAL

18

• A solução numércia, deferente da solução exata que permite a

determinação da temperatura em qualquer ponto do corpo, permite

apenas a determinação da temperatura em alguns pontos discretos.

• Portanto o primeiro passo em qualquer solução numérica deve ser,

portanto, a seleção desses pontos.

• Isso é feito subdividindo-se o meio de interesse em um número de

pequenas regiões e atribuindo-se a cada uma um ponto de referência

que se localiza no seu centro, frequentemente denominado ponto

nodal ou simplesmente nó, e o conjunto de pontos é denominado rede

nodal, rede ou malha.

• Esses pontos saõ designados por um esquema numerado que, para

um sistema bidimensinoal pode assumir a forma mostrada na figura

abaixo.



19

• As coordenas x e y são designadas pro índices m e n,

respectivamente.

• Cada nó representa uma determinada região, e sua temperatura é uma

medida da temperatura média da região.



4.3.2 – FORMA DAS DIFERENÇAS FINITAS DA EQUAÇÃO DE CALOR

20

• A equação da difusão de calor pode ser escrita para cada um dos

pontos nodais de temperatura desconhecia da malha.

• O conjunto de equações pode ser resolvido, deteminando-se a

temperatura em cada um desses nós, obtendo com isso a distribuição

de temperatura no corpo.

• Para simplificação dos cálculos envolvidos é necessário trabalharmos

com uma forma mais apropriada da equação da difusão de calor, uma

forma aproximada dessas equaçõs ou diferenças finitas.

• Uma equação de diferenças finitas que é conveniente para os nós

internos de um sistema bidimensional pode ser deduzida diretamente

da Eq. 4.1.



21

• Considere a derivada a segunda , a partir da Fig. 4.5b, ovalor dessa

derivado no ponto nodal m,n pode ser aproximado como:

1 12 2

2, ,

2

,

(4.28)m n m n

m n

T Tx xT

x x

• Os gradientes de temperatura podem por sua vez ser expressos com

uma função das temperaturas nodais. Ou seja:

12

12

1, ,

,

, 1,

,

(4.29)

(4.30)

m n m n

m n

m n m n

m n

T TT

x x

T TT

x x



22

Substituindo as Eqs. 4.29 e 4.30 na 4.28, obtemos:

21, 1, ,

2 2

,

2(4.31)m n m n m n

m n

T T TT

x x

• De maneira semelhante:

2, 1 , 1 ,

2 2

,

2(4.32)m n m n m n

m n

T T TT

y y

• Utilizando a rede para a qual e substituindo as Eqs. 4.31 e 4.32 na Eq.

4.1, obtemos:

, 1 , 1 1, 1, ,4 0 (4.33)m n m n m n m n m nT T T T T



3.4.3 – O MÉTODO DO BALANÇO DE ENERGIA

23

• Uma vez que a direção real do fluxo de calor (para dentro ou para fora

do nó) é frequentemente desconhecida, torna-se conveniente formular

o balanço de energia considerando-se que todo o fluxo de calor esteja

no interior do nó.

• Para as condições de regime estacionário com geração de enrgia, a

forma apropriada para a equação da conservação da energia é então:0 (4.34)e gE E



24

• Considere a aplicação da Eq. 4.34 em um volume de controle em torno

do nó interno m,n da figura abaixo.

• Para condições bidimensionais, a troca de energia é influenciada pela

condução entre m,n e seus quatro nós adjacentes, bem como pela

geração. Dessa maneira, a Eq. 4.34 se reduz a:

4

( ) ( , )1

1 0i m ni

q q x y

• Onde i se refere aos nós adjacentes, é a taxa de condução entres os

nós, considerando a profundidae unitária.

• Para avaliar os termos da taxa de condução, consideramos que a

transferência por condução ocorre exclusivamente através das faixas

que são orientadas nas direções x ou y.



25



26

• Formas simplificadas da Lei de Fourier podem, portanto, ser utilizadas.

• Por exemplo, a taxa na qual a energia é transferida por condução de

um nó m-1,n para m,n pode ser expressa:

1, ,( 1, ) ( , ) 1 (4.34)m n m nm n m n

T Tq k y

x

• De maneira semelhante para as demais direções:

1, ,( 1) ( , )

, 1 ,( , 1) ( , )

, 1 ,( , 1) ( , )

1 (4.36)

1 (4.37)

1 (4.38)

m n m nm m n

m n m nm n m n

m n m nm n m n

T Tq k y

xT T

q k xy

T Tq k x

y



27

• Substituindo as Eqs 4.35 a 4.38 no balanço de energia e lembrando

que , segue que a equação de diferenças finiata para o interior de um

nó com geração de energia é:2

, 1 , 1 1, 1, ,4 0 (4.39)m n m n m n m n m n

q xT T T T T

k

• Considere agora um nó colocado no vértice interno como mostra a

figura.



28

• As taxas de calor de condução podem ser expressas como:

1, ,( 1, ) ( , )

, 1 ,( , 1) ( , )

1, ,( 1, ) ( , )

, 1 ,( , 1) ( , )

1 (4.40)

1 (4.41)

1 (4.42)2

1 (4.43)2

m n m nm n m n

m n m nm n m n

m n m nm n m n

m n m nm n m n

T Tq k y

xT T

q k xy

T Tyq k

x

T Txq k

y

• As condições na região nodal m,n também podem ser influenciada

pela troca conectiva com o fluido, a taxa de transferência de calor por

convecção total é: ( ) ( , ) , ,1 1 (4.44)

2 2m n m n m n

x yq h T T h T T



29

• Substituindo as Eqs. 4.40 a 4.44 no balanço de energia representado

pela Eq. 4.34, obtemos:

1, , 1 1, , 1 ,

13 0 (4,45)

2m n m n m n m n m n

h x h xT T T T T T

k k



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