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dinamica particula
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1. Concepto de fuerza. Partícula libre
2. Leyes fundamentales de la Dinámica
3. Expresiones cartesiana e intrínseca de la ecuación fundamental de la Dinámica
4. Fuerzas habituales en el estudio mecánico del movimiento
5. Cantidad de movimiento y teorema de la cantidad de movimiento.
6. Impulso mecánico y teorema del impulso mecánico.
7. Momento cinético. Teorema del momento cinético. Ley de las áreas
8. Trabajo
9. Teorema de las fuerzas vivas.
10. Fuerzas conservativas
11. Teoremas de conservación de la energía mecánica
12. Potencia
DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
Objetivos Apartados . ● Definir los conceptos de fuerza, fuerza de contacto, fuerza a distancia
y partícula libre.................................................................................................................1
● Enunciar las tres leyes fundamentales de la Dinámica.............................................2
● Escribir correctamente la ecuación fundamental de la Dinámica en
términos de sus componentes cartesianas e intrínsecas ............................................3
● Describir las características de las fuerzas habituales en los problemas
Mecánicos, definir el concepto de peso de una partícula material y obtener su
expresión en un sistema ligado a Tierra………………………………….…………...........4
● Identificar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en problemas
mecánicos sencillos..........................................................................................................4
● Definir el concepto de cantidad de movimiento y enunciar y demostrar
el teorema de la cantidad de movimiento de una partícula………................................5
● Definir el concepto de impulso mecánico y enunciar y demostrar el
teorema del impulso mecánico de una partícula……………...........................................6
● Definir el concepto de momento cinético y enunciar y demostrar
el teorema del momento cinético de una partícula………………..................................7
● Enunciar y demostrar el teorema de conservación del momento
cinético y deducir a partir de él las características del movimiento
de la partícula en es caso.................................................................................................7
● Enunciar y demostrar la llamada Ley de las áreas………………...............................7
● Definir el concepto de trabajo de una fuerza...............................................................8
● Calcular el trabajo de distintos tipos de fuerzas.........................................................8
● Enunciar y demostrar el teorema de las fuerzas vivas...............................................9
● Definir el concepto de fuerza conservativa, analizar algunas de
sus propiedades y diferenciarla de las fuerzas no conservativas...............................10
Objetivos Apartados .
● Enunciar y demostrar el teorema de conservación de la energía mecánica...........11
● Definir el concepto de potencia y su relación con la fuerza y con el trabajo..........12
● Expresar todas las magnitudes del capítulo con sus unidades
correctas, realizando los cambios de unidades precisos, si es necesario................2-12
● Definir los conceptos de sistema inercial y no inercial y expresar
la ecuación fundamental de la dinámica en ambos sistemas........................................2
● Aplicar las leyes y teoremas vistos en el capítulo a la resolución de
ejercicios sobre el movimiento de partículas...............................................................2-12
PROBLEMAS y TEORÍA QUE HAN DE SER
TRABAJADOS
• - LA FÍSICA EN PROBLEMAS:
- Capítulo 4:
- Problemas 4.1-4. 3, ambos inclusive. 4.6, 4.14, 4.15, 4.21, 4.22
• - FÍSICA : 200 PROBLEMAS ÚTILES
- Problemas del 23-26, 28
• - FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA (I):
- Capítulos 3 y 4. Apartados: 3.1; 3.3; 3.4; 3.6; 3.7; 3.8; 3.10; 3.12;
3.15; 3.16; 3.17; 3.18; 3,19; 3.20; 3.22 y 4.6.
• - FÍSICA: Tipler (volumen 1)
• - FÍSICA: Serway (volumen 1)
Motivación • En los dos capítulos anteriores hemos estudiado el
movimiento de una partícula prescindiendo de la causa que lo motiva.
• La alteración del estado de movimiento de un cuerpo, es decir la presencia de aceleración, es consecuencia de sus interacciones con los cuerpos que lo rodean, interacciones que pueden expresarse mediante el concepto de “fuerza”.
• Es por tanto necesario estudiar la relación entre las fuerzas y las alteraciones del movimiento que estas producen.
• Comenzaremos estudiando esta relación en el sistema más sencillo, que es la partícula, para pasar luego a sistemas de partículas y al sólido rígido.
1. Concepto de fuerza. Partícula libre (Sugerencia inicial : la lectura I)
● Fuerza: toda causa capaz de modificar el estado de reposo o de movimiento de los
cuerpos o de producir en ellos estados de tensiones o deformaciones.
Las fuerzas son magnitudes vectoriales.
Cuando actúan sobre una partícula son vectores fijos, mientras que cuando lo hacen
sobre un cuerpo rígido son vectores deslizantes, ya que su efecto no se altera al variar el
punto de aplicación de la fuerza a lo largo de su línea de acción, siempre que el punto de
aplicación se mantenga dentro del sólido.
Las fuerzas pueden ser de dos tipos: “de contacto” y “de acción a distancia”
● Partícula libre: es aquella que no está sometida a interacción alguna.
En sentido estricto no existe tal partícula, ya que cualquier partícula se encuentra
sometida a interacciones con el resto del universo. No obstante, a efectos prácticos hay
ocasiones en que una partícula se puede considerar como libre si se cumple alguna de
estas circunstancias:
- La partícula se encuentra lo suficientemente lejos de otras como para que sus
interacciones sean despreciables.
- Las interacciones que actúan sobre ella se cancelan dando una interacción
total nula.
2. Leyes fundamentales de la Dinámica (Leyes de Newton)
● 1ª) Ley de inercia: “Un punto material en reposo en un sistema absoluto y sobre el que no
actúa ninguna fuerza permanece en reposo. Si el punto se está moviendo y sobre él no actúa
ninguna fuerza su movimiento ha de ser rectilíneo y uniforme”.
Enunciado alternativo: Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento
rectilíneo uniforme si sobre él no actúa ninguna fuerza.
La ley de inercia se verifica únicamente en los sistemas que no dan lugar a aceleración de
arrastre pues, de lo contrario, toda partícula fija en ellos llevaría la aceleración de arrastre del
sistema, aunque la resultante de las fuerzas aplicadas sea nula. A los sistemas en los que se
verifica la ley de inercia se denominan inerciales. ( Sugerencia: la lectura II)
● 2ª) Ley Fundamental de la Dinámica
- En sistemas inerciales: “La variación de la velocidad de una partícula es proporcional
a la fuerza motriz que actúa sobre ella y tiene lugar en la dirección de dicha fuerza”.
La fuerza motriz es la resultante de las fuerzas y la constante de proporcionalidad es
lo que se denomina masa inerte.
Matemáticamente:
(1)
- En sistemas no inerciales: Si un sistema O’X’Y’Z’ tiene una aceleración con respecto
al sistema inercial OXYZ tendremos que:
- 2ª ley en el sistema inercial OXYZ:
- Del capítulo II sabemos que:
amdt
vdmF ··
amF ·
Corarrrel aaaa
Corarrrel amamamF ···
Corarrrel amamFam
···
Leyes fundamentales de la Dinámica (continuación)
Así, la ley fundamental de la Dinámica se verifica en sistemas de referencia no
inerciales siempre que tengamos en cuenta, además de las fuerzas reales, , que
actúan sobre la partícula, los términos y , llamados fuerza de
inercia de arrastre y fuerza de inercia de Coriolis o complementaria,
respectivamente .
● 3ª) Principio de acción y reacción.
“Las acciones mutuas entre dos cuerpos siempre son iguales en módulo y
dirección y se dirigen en sentidos contrarios”.
Enunciado alternativo: Si un cuerpo A ejerce sobre otro B una fuerza ,el
B reacciona ejerciendo sobre el A una fuerza del mismo módulo y dirección
pero de sentido opuesto, de modo que:
.
(Sugerencia: lectura II)
F
ABF
arram
cam
BAF
ABBA FF
carrrel amamFam
···
Actividades de entrega voluntaria
I) Leer el texto propuesto como Lectura I e ir respondiendo a las siguientes
cuestiones:
a) ¿Qué se quiere decir cuando se dice que “la Física es una ciencia exacta”?
b) Señalar algunas ventajas de disponer de una teoría física cuantitativa
c) ¿Qué característica inexcusable deben tener los conceptos que se empleen en
una ciencia exacta?
d) Intenta dar una definición de “concepto primitivo”
e) Señala uno de los principios que sirve de guía en la formulación de nuevas
teorías físicas.
f) Da las definiciones de: Mecánica, Cinemática y Dinámica.
g) ¿Cuál es el problema central de la Dinámica?
II) Con referencia al texto propuesto como Lectura II, resume las dificultades
señaladas en dicho texto sobre “ la primera ley de Newton”, esto es, sobre los
términos: “todo cuerpo..”, “estado de reposo”, “movimiento uniforme”, “ en línea
recta” y “fuerzas”.
3. Expresiones cartesiana e intrínseca de la ecuación fundamental de la Dinámica
● Expresión cartesiana: Si descomponemos la igualdad vectorial (1) en
sus componentes cartesianas tendremos las tres relaciones siguientes:
● Expresión intrínseca: análogamente, si hacemos la descomposición
vectorial a lo largo de las direcciones intrínsecas, obtenemos:
2
2
2
2
2
2
··
··
··
·
dt
zdmamF
dt
ydmamF
dt
xdmamF
amF
ZZ
YY
XX
0
··
··
·2
b
nn
tt
F
vmamF
dt
dvmamF
amF
4. Fuerzas habituales en el estudio mecánico del movimiento
● Para poder aplicar la 2ª ley de Newton en el estudio del movimiento de una
partícula, es decir, poder obtener su aceleración a partir de las fuerzas que actúan
sobre ella, lo primero que se debe hacer es identificar las fuerzas dichas fuerzas.
Las fuerzas sobre una partícula son ejercidas por otros cuerpos para
identificar las fuerzas que actúan sobre la partícula hay que identificar previamente
los cuerpos que interaccionan con ella.
Una vez contabilizados estos cuerpos, deberemos enumerar las fuerzas
mediante las que se produce la interacción entre ellos y la partícula.
● El peso: Consideremos una partícula material de masa m suspendida del
extremo de un hilo e inmóvil respecto a la superficie terrestre. Se define el
“peso de la partícula como la fuerza que esta ejerce sobre el hilo que la soporta”.
La designaremos por P .. Veamos ahora los integrantes de esta fuerza.
Siempre que un cuerpo o partícula está en presencia de la Tierra, tanto si
está en contacto con ella como si no, experimenta una fuerza de atracción por
parte de esta cuya dirección es la que va desde la partícula en cuestión hasta el
centro de la Tierra, con sentido descendente, y cuyo módulo viene dado por el
P
producto , siendo la atracción gravitatoria sobre la unidad de masa:
G: Constante de gravitación universal
y M: Masa de la Tierra
R: Radio de la Tierra
Así que sobre la partícula suspendida del hilo actúan dos fuerzas: la gravitatoria
que acabamos de comentar y la ejercida por el hilo sobre ella que, en virtud de la
tercera ley de Newton, es igual y opuesta al peso P. Por lo tanto, la resultante de
las fuerzas que actúan sobre la masa m es:
Tomemos como sistema de referencia absoluto el sistema el sistema Tierra-
estrellas fijas, uno de cuyos ejes lo haremos coincidir con el de rotación de la
Tierra. El sistema móvil ligado a la Tierra lo elegimos con origen en el centro de
esta y uno de sus ejes coincidente con el de rotación.
La segunda ley de Newton, en OXYZ, tendrá la expresión:
Puesto que el origen del sistema móvil, O’, está en
reposo respecto de O, nos encontramos en la situación
analizada en el apartado 4 del capítulo II , con lo que:
A
21 ·R
MGg
1·gm
PgmfgmF hilo 11 ··
'Y
'X
'ZZ
Y
X
'OO
absamPgmF ·· 1
CorrelCorarrrelabs aRRaaaaa
)(
1g
No obstante, ya vimos en el ejercicio 5 del capítulo II que . Además, como la
partícula está en reposo en la Tierra, resulta que:
Utilizando la designación habitual para la aceleración gravitatoria, escribiremos:
en donde se ve claramente que esta tienes dos componentes; la debida
propiamente a la atracción gravitatoria y la que aparece como consecuencia de la
rotación terrestre.
Consecuentemente, el peso de la partícula tiene también dos componentes:
Así pues, definida la vertical de un lugar como la dirección
de la plomada en el mismo, es evidente que aquella tendrá
la dirección de y no pasará por el centro de la Tierra.
Se aprecia asimismo, con facilidad, que tanto como
A
0
'X
'ZZ
gmP
'OO
)(·
)(0)(20
1 RmPgm
Ravaav absrelCorrelrel
)(1
Rgg
)(·)(· 11
RmgmRgmgmP
)(
R
g
g
g
P
1g
)()(· 11 RgmRmgmP
varían con la latitud . En efecto, de la figura se desprende que:
mientras que
con lo que:
de forma que :
En este mismo sistema de referencia, el móvil ligado a la Tierra, el vector se
expresa así:
y, con todo ello, el vector resulta ser:
siendo su módulo:
Para los valores de R y ω empleados en el ejercicio 5 del capítulo II y un valor de
resulta que y tanto él módulo de g como el de P
aumentan al aumentar la latitud, siendo máximos en los polos(λ=90º) y mínimos en
el ecuador (λ=0º).
'kk
'cos)''(cos' jRkseniRkR
)''(cos
kseniRR
'cos'cos')( 2 iRjRkR
2
1 /815,9 smg
)''(cos11
ksenigg
g
''cos)()( 1
2
11 ksengiRgRgg
22
1
22
1
22
1
22
1
2 cos)2(cos)2( RgRggRgRgg
Rg 2
12
1
g
22
1
22
1 cos)2( RgRgg
Fuerzas habituales en el estudio mecánico del movimiento (continuación)
● Cuando dos cuerpos están en contacto, apoyándose o deslizándose uno de ellos sobre el otro, suele haber que considerar dos fuerzas:
I) La reacción normal: que impide que uno penetre en el otro. Esta fuerza
depende del peso del cuerpo cuyo movimiento estamos estudiando, de la
inclinación de la superficie sobre la que se apoya, si esta no es horizontal, y de
otras fuerzas que actúen sobre el cuerpo. No suele ser una fuerza conocida a
priori sino que la calculamos en el curso de nuestro análisis.
II) La fuerza de rozamiento: Es una fuerza que se opone al movimiento de un
cuerpo sobre la superficie de otro o al movimiento de los cuerpos en el seno de los
fluidos. Hay dos tipos:
a) Fuerza de rozamiento, o fricción, estática: que actúa cuando el cuerpo
está en reposo e impide que el cuerpo inicie un movimiento. Es igual a la fuerza
neta aplicada sobre el cuerpo pero de sentido opuesto.
b) Fuerza de rozamiento, o fricción, dinámica: que actúa cuando el
cuerpo está en movimiento. En el caso de sólidos es de módulo constante, de la
misma dirección que el movimiento, pero de sentido opuesto.
Ambas fuerzas son proporcionales a la fuerza normal que actúa entre
los dos cuerpos en consideración:
y siendo (coeficientes de rozamiento) NF eestr · NF ddinr · de
Fuerzas habituales en el estudio mecánico del movimiento (continuación)
● Fuerzas elásticas, muelles y resortes: Los cuerpos se oponen a su
deformación con unas fuerzas internas que radican en su estructura
atómica y que denominamos fuerzas elásticas.
Mientras las fuerzas exteriores no sobrepasen un cierto valor, el
límite elástico, que es característico de cada cuerpo, la deformación es
proporcional a la fuerza aplicada y, al cesar esta, el cuerpo recupera su
forma inicial ( Ley de Hooke).
En el caso de un muelle, cuando se deforma, este ejerce una fuerza,
que se opone a su deformación, que es proporcional a su alargamiento o
acortamiento desde su posición natural. La constante de proporcionalidad
se denomina constante elástica del muelle.
Si el muelle está dispuesto a lo largo del eje X y se alarga o acorta una
longitud “x”, desde su posición natural, la fuerza que ejerce se expresa
así:
ixkF elást ··
Fuerzas habituales en el estudio mecánico del movimiento (continuación)
● Tensiones: En muchas ocasiones, las fuerzas se transmiten o actúan a través de cables,
cuerdas o hilos, lo que ocasiona en estos elementos tensiones que siempre serán de
tracción, puesto que con estos elementos sólo se puede tirar, no es posible empujar.
En general consideraremos a estos cables, hilos o cuerdas como ideales, es decir,
inextensibles, flexibles y de masa despreciable.
El valor de la tensión en ellos no es conocido y debe ser obtenido de las ecuaciones de
la Dinámica, pero han de ser tenidas en cuenta en el estudio del movimiento de los cuerpos.
● Ejemplo 1:
En la plataforma de un camión se ha colocado una rampa que forma un ángulo de 30º
grados con el suelo horizontal. Sobre ella se sitúa una masa m, sujeta con un cable, que
permanece en reposo respecto al camión. Si el camión arranca con una aceleración
respecto del suelo, determinar, expresando todas las ecuaciones en el sistema de referencia
no inercial O’X’Y’ ligado al camión:
a) La ecuación fundamental de la Dinámica para la masa m.
b) La reacción de la rampa sobre la masa.
c) La tensión del cable.
d) El valor de a partir del cual la masa se despegará de la rampa.
Nota: Suponer despreciable el rozamiento con la rampa.
ca
ca
● Ejercicio de entrega voluntaria:
III) Suponer que en el ejemplo 1, no hay cable y que la masa m, que en un
principio está en reposo en la parte superior de la rampa, se deja en libertad en el
instante en que arranca el camión. En estas condiciones, y sabiendo que el
coeficiente de rozamiento de la masa con la rampa es conocido y de valor μ, se
pide:
a) La ecuación fundamental de la Dinámica, para la masa m, en ambos sistemas de referencia, el fijo y el móvil ligado al camión.
b) La reacción de la rampa sobre la masa.
c) El valor que debería tener μ para que la masa no descendiese por la rampa.
IV) Resolver el ejemplo 1 en los dos casos siguientes:
a) Suponiendo que el eje X’ del sistema móvil ligado al camión es horizontal y el
eje Y’ vertical. El sistema fijo permanece inalterado.
b) Suponiendo que el sistema fijo tiene su eje X formando un ángulo de 30º con
la horizontal, el eje Y perpendicular al X y siendo los ejes del sistema móvil
paralelos a los del sistema fijo.
● Ejemplo 2:
Cuando un ascensor arranca o para lo hace con una aceleración constante a.
En su interior se pesa (lectura de un dinamómetro) una masa m. Cuál será su peso
en los siguientes supuestos:
a) Cuando el ascensor esté arrancando hacia arriba.
b) Cuando esté arrancando hacia abajo.
c) Cuando esté parando al subir.
d) Cuando esté parando al bajar.
e) Si el ascensor cayera libremente.
● Ejemplo 3:
En el punto más alto de una esfera lisa de radio R hay una bola de dimensiones
despreciables. Se le comunica una velocidad inicial, observando que la bola pierde
contacto con la esfera para φ = 37º. Se pide:
a) La velocidad inicial de la bola.
b) El punto C de impacto con el suelo.
5. Cantidad de movimiento y teorema de la cantidad de movimiento
● Definición: Se denomina cantidad de movimiento de una partícula al vector que resulta de multiplicar su masa por su vector velocidad:
● Teorema de la cantidad de movimiento:
“La derivada respecto del tiempo de la cantidad de movimiento es igual a la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula móvil”:
● Teorema de conservación de la cantidad de movimiento:
“ Si la resultante de las fuerzas de las fuerzas que actúan sobre la partícula es nula, la cantidad de movimiento se conserva”:
dt
dzmvmp
dt
dymvmp
dt
dxmvmp
vmp
ZZ
YY
XX
··
··
··
·
Famdt
vdm
dt
pd··
tecpdt
pdFSi
00
......
0,,·0
0,,·0
ZX
te
YYY
ZY
te
XXX
FFaunquecvmpFSi
FFaunquecvmpFSi
6. Impulso mecánico y teorema del impulso mecánico.
● Definición: Si durante un intervalo de tiempo comprendido entre 0 y t actúa una fuerza motriz sobre un punto material de masa m , se denomina impulso mecánico, I, al vector:
● Teorema del impulso mecánico:
“El impulso mecánico de una fuerza es igual a la variación de la cantidad de movimiento”:
t
dtFI0
·
dvdtdt
dvdta
dt
dva
vmvmdvmdtamdtFI
ttt
··
······ 0
000
0
0
··· vmvmdtFI
t
7. Momento cinético. Teorema del momento cinético. Ley de las áreas
(Repasar concepto de momento de un vector en el apartado 6, cálculo vectorial)
● Definición: es el momento de la cantidad de movimiento de la partícula, respecto
a un punto fijo O. También se le denomina momento angular respecto de O.
● Teorema del momento cinético:
“La derivada respecto del tiempo del momento cinético respecto al punto O es
igual al momento resultante, respecto del punto, de las fuerzas que actúan sobre la
partícula móvil”:
● Teorema de conservación del momento cinético :
“ Si el momento resultante de las fuerzas de las fuerzas que actúan sobre la
partícula es nulo, el momento cinético de esta permanece constante”:
vmrprLo ·
oo MFr
dt
pdr
dt
pdrvmv
dt
pdrp
dt
rd
dt
Ld
te
OO
O cLdt
LdMSi
00
oL
r
vm
O
......
0,,0
0,,0
ZX
te
YY
ZY
te
XX
MMaunquecLMSi
MMaunquecLMSi
MaxwelldereglaladeelSentido
vyrdeplanoallaDirección
vrsenmvrMódulo
Lo
:
:
),(··
Momento cinético(continuación)
Este resultado nos dice que:
De lo que se desprende que, en estas condiciones:
● Puesto que la dirección de es la de la perpendicular
al plano definido por los vectores velocidad y posición y dicha dirección permanece constante, esto indica que el plano determinado por dichos vectores es siempre el mismo, esto es “ el movimiento de la partícula tiene lugar siempre en ese plano”, es decir, es un movimiento plano.
● Sacaremos partido ahora de la constancia del módulo de . Sea el
desplazamiento realizado por la partícula durante el intervalo de tiempo “dt”.
Consideremos el módulo del producto vectorial siguiente:
Dividamos la expresión por “dt”:
te
te
te
te
Oo
cSentido
cDirección
cLMódulo
cLMSi 0
oL
r
vm
dS
dttiempodeervaloelen
partículaladeposiciónde
vectorelporbarridaÁrea
OABtriánguloÁreadrr ·2
int
·2·2
OL
rd
r
dr
O
A
B
OL
O
Momento cinético(continuación)
Puesto que, por definición:
Esto nos dice que: “si el momento resultante de las fuerzas aplicadas a la
partícula es nulo, entonces, el área barrida en la unidad de tiempo por el
vector de posición de la partícula, esto es, la velocidad aerolar, es constante”
Un enunciado equivalente es: “si el momento resultante de las fuerzas
aplicadas a la partícula es nulo el vector de posición barre áreas iguales en
tiempos iguales”
Ambos son enunciados de la llamada Ley de las áreas.
aerolarVelocidadtiempodeunidadlaenpartículalade
posicióndevectorelporbarridaÁrea
dt
dSvr
dt
drr ·2·2·2
te
te
O
O
o
cdt
dS
aerolar
Velocidad
cLComo
m
L
dt
dS
aerolar
Velocidad
aerolar
Velocidadm
dt
dSmvrmvmrL
:
2
··2··2··
● Ejercicio de entrega voluntaria:
V) En los dos puntos anteriores se han deducido sendas características del
movimiento de la partícula, cuando el momento resultante de las fuerzas
aplicadas a la partícula es nulo, esto es partiendo de que:
Estas dos características se dedujeron a partir de la constancia del módulo y de
la dirección del vector momento angular. ¿Qué otra característica adicional del
movimiento se puede enunciar teniendo en cuenta que también tiene que ser
constante el sentido de dicho vector?
te
te
te
te
Oo
cSentido
cDirección
cLMódulo
cLMSi 0
8. Trabajo
Sea una partícula A que se mueve a lo largo de una trayectoria C, bajo la
acción de una fuerza . En un intervalo de tiempo infinitesimal dt, la partícula
realizará un desplazamiento infinitesimal a lo largo de su trayectoria.
● Definición: Se denomina trabajo elemental dW realizado por la fuerza
durante el desplazamiento , al producto escalar:
También se puede escribir que: “ El trabajo
elemental es igual al producto del desplazamiento por la componente
de la fuerza, a lo largo de la dirección de la tangente a la trayectoria o, como se
suele expresar con frecuencia, a lo largo del desplazamiento”
● Definición: El trabajo total sobre la partícula, cuando esta realiza un
desplazamiento finito de A a B, es la suma de todos los trabajos elementales
efectuados entre A y B, esto es:
drFdW ·
drFdrFdrFdW t ··cos··
drWB
AAB ·
F
dr
,
F
dr
B
A
B
A
drFdrF ·cos·· B
A
t drF ·
·cosFFt
Trabajo (continuación)
● Unidades: Unidad Unidad de Unidad
Sistema de fuerza desplazamiento de trabajo
C.G.S: Dina x cm = ergio
S.I.: Newton x m = julio
● Equivalencia de unidades:
● Observación: El trabajo siempre es realizado por una fuerza concreta Al hablar de
trabajo debemos especificar siempre qué fuerza lo realiza.
● Ejemplos 4 y 5:
4º) Un agente eleva una masa m desde un punto situado a una altura hasta otro situado a
una altura .Calcular el trabajo mínimo realizado por el agente y por el peso en este
desplazamiento.
5º) Una masa sujeta a un resorte, estando ambos en un plano horizontal sin rozamiento, es
desplazada por una persona, a lo largo del eje X, desde el punto de abscisa hasta el
punto de abscisa . Calcular el trabajo mínimo necesario realizado por la persona y por
el resorte, para realizar este desplazamiento, suponiendo que el resorte se comporta de
acuerdo con la ley de Hooke.
ergioscmdinacmdinasmNjulio 775 10·101001011
1y
12 yy
1x
12 xx
9. Teorema de las fuerzas vivas.
● Enunciado: El trabajo realizado por las fuerzas aplicadas a una partícula, cuando esta se desplaza entre dos puntos cualesquiera, es igual a la variación de la energía cinética de la partícula entre ambas posiciones.
● Demostración:
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
12
2
1
2
1
2
1
12
2)(
2)·(
2)··(
2·2
2
··
·
···
vm
dtvdt
dmdtvv
dt
dmdt
dt
dvvv
dt
dvmdtv
dt
dvm
dtvdt
dvmdtv
dt
dvmW
dtvdrdt
drv
drdt
dvmdr
dt
dpdrFW
12
2
1
2
2
2
1
122
1
2
1· CC EEmvmvdrFW
● Ejemplo 6:
Se considera que el bloque de la figura es puntual, siendo su masa 5kg y el coeficiente de rozamiento con el suelo 0,20. Sobre él se aplica la fuerza indicada en la figura. Hállese la velocidad del bloque después de recorrer 10m, teniendo en cuenta que antes de aplicar la fuerza se encontraba en reposo:
a) Mediante la ecuación fundamental de la Dinámica y las ecuaciones
cinemáticas correspondientes.
b) Aplicando el teorema de la energía cinética.
Nota: Tómese
10. Fuerzas conservativas
Ejemplo 7
Calcular el trabajo realizado por la fuerza cuando
lleva a una partícula desde el punto (0,1) al (1,2), a lo largo de:
a) La recta que une ambos puntos
b) Las rectas (0,1) a (1,1) y luego de (1,1) a (1,2)
c) La parábola
Nota: Todas las magnitudes están expresadas en el S.I.
º37 N60
jxyiyxF )()( 22
1, 2 tytx
2/10 smg
● Ejemplo 8:
Calcular el trabajo realizado por la fuerza
cuando lleva a una partícula desde el punto (1,2) al (3,4), a lo largo de:
a) La recta que une ambos puntos
b) Las rectas (1,2) a (3,2) y luego de (3,2) a (3,4)
c) Comprobar que el trabajo elemental dW realizado por la fuerza en un
desplazamiento genérico se puede expresar como:
y calcular el trabajo pedido haciendo uso de esta expresión.
Nota: Todas las magnitudes están expresadas en el sistema internacional.(Ver el
Ejercicio VII de entrega voluntaria)
Conclusión que se desprende de los ejemplos 7 y 8:
- El trabajo realizado por algunos tipos de fuerzas, para llevar una partícula de un
punto 1 a otro punto 2, depende de la trayectoria seguida entre ambos puntos
(ejemplo 7)
- No obstante, existen fuerzas que tienen la importantísima propiedad de
que “ el trabajo realizado por ellas, cuando llevan una partícula desde
un punto 1 a otro punto 2, es independiente de la trayectoria seguida”.
A estas fuerzas se las denomina fuerzas conservativas. (Ejemplo 8)
jxyyxiyxyF )36()6( 2232
dr
)3()()3( 322
2
3
1
22 cxyyxdcxydcyxddW
(continuación). Así pues:
● Propiedad definidora de las fuerzas conservativas: “ El trabajo realizado
por ellas, entre dos puntos cualesquiera, sólo
depende de cuáles sean esos dos puntos y no de
del camino seguido entre ellos”
● Consecuencia: Las fuerzas conservativas verifican que:
cerradaatrayectoridrFW consT
0·
1
2
A
B
0···
··
··2
1
2
1
21122
1
1
2
21
2
1
2
1
12
BB
BB
BA
drFdrFdrFWWW
drFdrFW
drFdrFW
consconsconsT
conscons
conscons
21··
2
1
2
1
12 yentreatrayectoridrFdrFW
BA
conscons
(continuación)
● Otra propiedad muy importante definidora de las fuerzas conservativas:
Como hemos visto en los ejemplos, cuando la fuerza es
conservativa, el trabajo siempre se puede expresar como la
diferencia entre los valores que toma cierta función, característica
de la fuerza considerada, en el punto inicial,1, y en el punto final,2.
Esto es:
(2)
En efecto, este es el resultado que obtuvimos en los ejemplos 4,5 y 8:
Ejemplo Fuerza Trabajo . Función . Trabajo .
4
5
8
1
2A
B
)2()1(·
2
1
12 VVdrFW cons
jmgFag )()( 2112
mgymgyWag mgyyVag )(
jmgFg
2112mgymgyWg mgyyVg )( )()( 2112
yVyVW ggg
ikxFag
ikxFres 2
2
2
112)2/1()2/1( kxkxWres
2
2
2
112)2/1()2/1( kxkxWag
2)2/1()( kxxVres
2)2/1()( kxxVag )()( 2112xVxVW agagag
)()( 2112xVxVW resresres
jxyyx
iyxyF
)36(
)6(
22
22
)3(
)3(
222
222
BBBB
AAAAAB
yxyx
yxyxW
)3(),( 222 xyyxyxV
),(),( BBAAAB yxVyxVW
)()( 2112yVyVW agagag
(continuación)
● A esta función se le denomina función potencial de la fuerza conservativa
considerada.
● En este caso de fuerzas conservativas, se denomina energía potencial de
la partícula, en un punto dado, “al trabajo realizado por la fuerza cuando lleva la
partícula desde dicho punto hasta un punto de referencia, elegido a conveniencia”.
Así:
(3)
Se deduce de aquí que si tomamos como punto de referencia el punto en el que
la función potencial toma el valor cero, entonces resulta que:
Esto es, la energía potencial de la partícula en un punto viene dada por el valor de
función potencial en ese punto.
Es evidente que para el cálculo de energías potenciales necesitamos tener claro
cuál es el punto de referencia.
A la vista de esta definición, resulta que en los ejercicios anteriores hemos
obtenido las funciones y energías potenciales de varias fuerzas conservativas.
)()1(·
)()1(
·
1
1
1
1
1refVVdrFEp
refVVWPero
drFEp ref
cons
ref
ref
cons
)1(·0)(1
1 VdrFEprefVSi
ref
cons
En efecto: Punto de
Fuerza Energía potencial referencia
● Una consecuencia importante es que podemos expresar el trabajo en función
de la energía potencial, independientemente de cuál sea el punto de referencia
elegido. En efecto, haciendo uso de la relación (2) y de la definición general de
energía potencial (3), podemos escribir que:
● Como consecuencia de esta última igualdad, la energía potencial se expresa en
las mismas unidades que el trabajo.
Y lo mismo podemos decir de la energía cinética, ya que:
.............................
jmgFg0...................................)( ymgyyEP
...........................
ikxFres0............................)2/1()( 2 xkxxEP
.....)36()6( 2222
jxyyxiyxyF )0,0......().........3(),( 222 xyyxyxEP
21
)()2()()1(
)2()()()1()2()1(·
2
1
12
PP
cons
EErefVVrefVV
VrefVrefVVVVdrFW
12
2
1
2
2
2
1
122
1
2
1· CC EEmvmvdrFW
● Ejercicios de entrega voluntaria:
VI) Sobre una partícula actúa la fuerza:
La partícula describe la elipse de la figura, partiendo del punto A y volviendo al A,
en sentido antihorario. Sabiendo que las ecuaciones paramétricas de la elipse son:
Se pide:
a) Escribir la ecuación vectorial de la trayectoria.
b) La expresión general del vector …
c) La expresión de la fuerza en función de “θ”.
c) El trabajo realizado por la fuerza en dicho recorrido.
¿Es esta fuerza conservativa?¿por qué?
VII) Utilizando la misma táctica que en el ejemplo 8, apartado c), analizar si es
posible expresar el trabajo elemental realizado por la fuerza dada en el ejemplo 7
como la diferencial de cierta función de las coordenadas ( x, y )
kzyxzjzyxizyxF )42()324()243( 322
0
3
cos4
z
seny
x
dr
x
y
z
rA
11. Teoremas de conservación de la energía mecánica
● Definición previa
Energía mecánica de un cuerpo o de una partícula en un punto:
“ Es la suma de la energías cinética y potencial de la partícula, en el punto considerado”
● Teorema de conservación de la energía mecánica:
“Si las fuerzas aplicadas a una partícula son conservativas, su energía mecánica
permanece constante, es decir, tiene el mismo valor en todos los puntos de la trayectoria”
● Demostración:
- Según el teorema de la energía cinética:
- Como las fuerzas son conservativas:
12
2
1
2
2
2
1
122
1
2
1· CCcons EEmvmvdrFW
21
2
1
12 · PPcons EEdrFW
2112 PPCC EEEE
121122 MMPCPC EEEEEE
te
PCM CEEE
(continuación)
● Teorema generalizado de la energía mecánica:
En el caso general, algunas de las fuerzas aplicadas a una partícula serán
conservativas, , mientras que otras serán no conservativas .
El trabajo total realizado por todas ellas será:
- Definición de trabajo:
- Teorema de la energía cinética:
- Trabajo de las fuerzas conservativas:
“El trabajo de las fuerzas no conservativas es igual
a la variación de la energía mecánica de la partícula”
2
1
2
1
2
1
2
1
12 ···· drFdrFdrFFdrFW NCCNCCT
21
2
1
12 · PPCCEEdrFW
11222112
2
1
2
1
·F·F CPCPNCNCPPCC EEEEdrdrEEEE
12
2
1
· MMNC EEdrF
12
2
1
2
2
2
1
122
1
2
1· CCT EEmvmvdrFW
CF
NCF
● Resumen:
- Trabajo realizado por todas las fuerzas:
- Trabajo realizado por las fuerzas conservativas:
- Trabajo realizado por las fuerzas no conservativas:
● Ejemplo 9: El perfil longitudinal de una carretera tiene la forma de la figura. Si se desprecia
el rozamiento, se pide:
a) La velocidad máxima de un móvil en A para que no despegue
b) El punto C desde el cual debe soltarse un móvil para que llegue a A con la velocidad anterior
c) La reacción de la carretera al paso del móvil por B.
d) Comparar el valor obtenido en c) con el que se obtendría si el móvil estuviese en reposo o con movimiento rectilíneo uniforme (fenómeno de carga dinámica)
Nota: Todas las magnitudes están expresadas en el sistema internacional
d)
Datos:
C
B
A
º60
º60
m10º30
B
mRsmg 400;/10 2
R
R
12
2
1
2
2
2
1
122
1
2
1· CCT EEmvmvdrFW
21
2
1
12 · PPCCEEdrFW
12
2
1
12 ·)( MMNCNC EEdrFW
● Ejemplo 10 : Un bloque de masa m se encuentra sobre un plano inclinado de ángulo α ; el
coeficiente de rozamiento con el plano es μ.
Partiendo del reposo, el bloque desliza una distancia d antes de chocar con un resorte de
constante k, que tiene un extremo fijo.
Determinar la deformación del muelle en función de α, μ, d, m y k.
● Ejemplo 11 : Una partícula de masa m describe una elipse sobre un plano horizontal liso. La
partícula se encuentra unida al centro de la elipse mediante un muelle de constante k y
longitud natural nula. La longitud del semieje mayor de la elipse es a y la del eje menor b.
Determinar, haciendo uso de la ley de las áreas, el período del movimiento.
● Ejercicio de entrega voluntaria VIII) Según el modelo atómico de Bohr-Sommerfeld, el
electrón de un átomo de hidrógeno, de masa m y carga q, describe órbitas circulares o
elípticas planas en torno al núcleo. En una cualquiera de estas órbitas, el electrón se mueve
bajo la atracción coulombiana del núcleo. La fuerza atractiva entre el núcleo y el electrón es
una fuerza conservativa cuya energía potencial viene dada por la expresión .
Sabiendo que, en el caso de órbitas elípticas, el núcleo se encuentra en uno de los focos de
la elipse, determinar, haciendo uso de la ley de las áreas, el período del movimiento del
electrón, cuando se encuentra en una órbita elíptica en la cual la longitud del semieje mayor
es a y la del eje semieje menor b.
e
e
Núcleo
ab
rek /· 2
c
11. Potencia
Sea una partícula A que se mueve a lo largo de una curva C, bajo la acción de una fuerza
. En un intervalo de tiempo infinitesimal dt, la partícula realizará un desplazamiento
infinitesimal a lo largo de su trayectoria.
Como se recordará, se denomina trabajo elemental dW realizado por la fuerza ,
durante el desplazamiento , al producto escalar:
● Definición: se denomina potencia instantánea al trabajo realizado por unidad de tiempo,
por la fuerza, durante el intervalo de tiempo infinitesimal dt que ha empleado en realizar el
desplazamiento . Esto es: . En general, P es función de “t”.
● Consecuencia:
● Expresión alternativa de la potencia:
● Definición: La potencia media o promedio durante un intervalo de tiempo t es:
drFdW ·
F
dr
F
dr
dt
dWP
dr
vFdt
drF
dt
drF
dt
dWP ··
·
2
1
2
1
12 )·()·()( dttPdWWdttPdWdt
dWtP
tiempodeIntervalo
ttiempodeervaloelenrealizadoTrabajo
t
WP
int
Potencia (continuación)
● Unidades: Unidad Unidad de Unidad
de trabajo tiempo de potencia
- Sistema C.G.S: ergio / s = ergio/s
- S.Internacional: julio / s = julio/s ≡ watio
- S. técnico: kpm / s = kpm/s
- Fuera de sistema: C.V.
● Equivalencias:
WWkpm
julios
s
kpmVC
juliosjulioskpm
skpmVC7355,735
8,9·75..1
8,980665,91
/75..1
sergiosjulio
ergios
s
julioW
ergiosjulio
s
JulioW
/101
10·
11
101
17
7
7
● Ejercicios de entrega voluntaria :
IX) Resolver el apartado a) del ejemplo 3 sin recurrir a las relaciones cinemáticas empleadas
y haciendo uso, en su lugar , de alguno de los teorema vistos posteriormente en el capítulo.
X) Elaborar un cuadro en el que figuren todas las expresiones que hemos obtenido en este
capítulo, que podríamos denominar “reglas de juego” de la dinámica de una partícula,
junto con sus condiciones de aplicación, es decir indicando en qué situaciones se pueden
utilizar cada una de ellas.
XI) Después de repasar los ejemplos resueltos en el capítulo y haber hecho el ejercicio de
entrega voluntaria IX), proponer una estrategia de ataque de los problemas de la dinámica
de una partícula.
