19

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Sifat-Sifat Bilangan Kompleks

Dalam bab ini, akan dikemukakan beberapa sifat tentang bilangan

kompleks yang dapat digunakan untuk membuktikan kembali dan atau

menemukan fakta baru tentang sifat-sifat bangun segiempat. Sifat-sifat yang

dimaksud adalah [4]:

1. Setiap bilangan kompleks z dapat dikaitkan dengan vektor posisi OZ di bidang

kompleks dengan titik pangkal di O dan titik ujung di Z. Dengan perkataan lain

setiap bilangan kompleks dapat dipikirkan sebagai suatu vektor. Ini berarti

penjumlahan dua bilangan kompleks itu sama persis dengan penjumlahan dua

vektor dibidang.

2. Misalkan dan dua bilangan kompleks yang tidak

segaris maupun tidak sejajar yang memiliki sifat dengan x dan y

adalah dua bilangan real, maka pastilah dan .

3. Syarat cukup dua garis tegak lurus adalah

merupakan bilangan

imajiner murni. Di sini a, b, c dan d adalah bilangan-bilangan kompleks yang

bersesuaian dengan titik A, B, C dan D.

4. Syarat cukup agar ketiga titik A, B, dan C segaris adalah

(

)

merupakan bilangan imajiner murni. Di sini a, b, dan c adalah bilangan-

bilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik A, B, dan C.

5. Syarat cukup titik A, B, C, dan D membentuk segiempat talibusur adalah

merupakan bilangan real. Di sini a, b, c dan d adalah bilangan-

bilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik A, B, C dan D.

6. Misalkan titik A terletak diluar lingkaran satuan S, AE dan AF adalah dua garis

singgung pada lingkaran tersebut yang ditarik dari titik A sebagai mana terlihat

pada Gambar 1.

20

Gambar 4.1. Sepasang Garis Singgung yang Ditarik dari Titik A

maka berlaku

Bukti fakta ini bisa dilihat di [4].

4.2 Penerapan Bilangan Kompleks Untuk Mengeksplorasi Sifat-Sifat

Segiempat

Berikut ini, disajikan soal-soal penerapan bilangan kompleks untuk

mengeksplorasi sifat-sifat segiempat. Soal-soal yang dipilih dianggap dalam

penyelesaian dengan konsep dan sifat bilangan kompleks lebih mudah

dibandingkan menggunakan hukum-hukum geometri Euclid

Soal 1 : Soal ini merupakan contoh soal yang diambil dalam artikel Geometric

Aplication of Complex Number hal. 5 [1].

Misalkan ABCD adalah jajar genjang dan E, F, G, H adalah titik tengah dari

masing-masing garis AB, BC, CD, DA. Tunjukkan bahwa dan

dan EFGH adalah jajar genjang.

Gambar 4.2.1. ABCD adalah Jajar Genjang dengan E, F, G, H adalah Titik-Titik

Tengah Setiap Sisinya.

Penyelesaian:

Perhatikan Gambar 4.2.1. Misalkan a, b, c dan d berturut-turut adalah bilangan

kompleks yang bersesuaian dengan titik-titik A, B, C, dan D. Menggunakan sifat

21

1, bilangan kompleks

( ) mewakili titik tengah E sedangkan bilangan

kompleks

( ) mewakili titik tengah G. Jadi,

( ).

Diketahui ABCD adalah jajar genjang, maka dan .

Sehingga

( )

( )

( )

Jadi, EG dan BC sejajar dan sama panjang. Selanjutnya, analog dengan cara

di atas diperoleh

( )

( )

( )

Jadi, HF dan DC sejajar dan sama panjang.

Perhatikan segiempat EFGH.

( ) dan

( ). Oleh karena

itu, EF dan GH sejajar dan sama panjang, sehingga EFGH adalah jajar genjang.

Q. E. D.

Soal 2: Soal ini merupakan soal no. 1.8 buku M. R. Spigel, [10] Complex

Variables hal. 24. Buktikan bahwa kedua diagonal dalam jajar genjang saling

potong memotong ditengah-tengah.

Gambar 4.2.2. Kedua Diagonal dalam Jajar Genjang Saling Potong-Memotong

Ditengah-Tengah

Penyelesaian:

Perhatikan Gambar 4.2.2. Misalkan OABC adalah jajar genjang dengan diagonal

berpotongan di P. Misalkan pula dan . Jadi, .

22

Karena , , maka ( ) dengan .

Dengan cara yang sama diperoleh ( ) dengan .

Selanjutnya, akan ditunjukkan . Tetapi merupakan

bilangan imajiner murni, sehingga ( ) ( ) atau (

) ( ) Dengan demikian menurut sifat 2 diperoleh (

) dan . Ini berarti , . Jadi, terbukti P adalah titik

tengah dari diagonal tersebut.

Q. E. D.

Soal 3 : Bukti Varignon’s theorem [2].

Titik tengah sisi segiempat sembarang membentuk jajar genjang.

Gambar 4.2.3. Varignon’s Theorem

penyelesaian:

Misalkan a, b, c, d, k, l, m dan n bertutut-turut adalah bilangan kompleks yang

bersesuaian dengan titik-titik A, B, C, D, K, L, M dan N. Diberikan titik tengah K,

L, M, dan N, seperti Gambar 4.2.3. Menggunakan sifat 1, bilangan kompleks

( ) mewakili titik tengah garis AB. Dengan cara yang sama untuk

menunjukan hasil l, m dan n. Oleh karena itu

( )

( )

( )

Dan

( )

( )

( )

23

Sehingga , jadi garis oleh karena itu KLMN adalah

jajarangenjang.

Q. E. D.

Soal 4 : Bukti Van Aubel’s theorem [2].

Jika pada suatu segiempat di sebelah kanan panjang sisi segiempat diletakan

sebuah persegi yang bersesuaian dengan panjang sisi segiempat tersebut, maka

dua garis yang terhubung dengan titik tengah pusat persegi adalah sama panjang

dan tegak lurus.

Gambar 4.2.4 Van Aubel’s Theorem

Penyelesaian:

Misalkan a, b, c, d, t, u, v dan w bertutut-turut adalah bilangan kompleks yang

bersesuaian dengan titik-titik A, B, C, D, T, U, V dan W. Perhatikan segiempat

ABCD dan titik-titik pusat persegi T, U, V, W, seperti yang ditunjukkan pada

gambar 4.2.4. selanjutnya, ketiga titik A, T, B membentuk vertex sebuah persegi.

Jadi, dengan menggunakan sifat 1 diperoleh

( )

( )

Dengan cara yang sama

( )

( )

24

( )

( )

( )

( )

Sehingga

( )

( )

Dan

( )

( ) ( )

Terbukti, UW dan TV tegak lurus dan sama panjang.

Q. E. D

Soal 5 : Bukti Thebault’s first theorem [7]

Jika pada setiap sisi suatu jajar genjang dibentuk persegi maka pusat dari keempat

persegi tersebut akan berupa persegi.

Gambar 4.2.5. Thebault’s First Theorem

Penyelesaian:

Misalkan dan masing-masing menyatakan bilangan kompleks yang

bersesuaian dengan DC dan CB.

25

Misalkan pula M1, M2, M3, dan M4 adalah tititk dari persegi sebagaimana terlihat

pada gambar 4.2.5. jadi,

Analog diperoleh

Dari hasil di atas diperoleh

( )

( )

Dengan demikian,

( )

Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan ( )

.

Soal 6: Berikut akan dibuktikan bahwa di dalam belah ketupat diagonalnya tegak

lurus satu sama lain.

Gambar 4.2.6. Diagonal Belah Ketupat Tegak Lurus Satu Sama Lain

26

Penyelesaian

Perhatikan Gambar 4.2.6. Misalkan OABC adalah belah ketupat dengan

dan . Ini berarti | | | | dan . Jadi, . Akan

ditunjukkan . Menggunakan sifat 3, cukup ditunjukkan bahwa

(

)

(

) ( )( )( )( )

| |

| |

Terbukti.

Q. E. D.

Soal 7: Jika masing-masing diagonal dari segiempat membagi dua sama panjang,

maka terjadilah jajar genjang [1].

Gambar 4.2.7. Diagonal Jajar Genjang Membagi Dua Sama Panjang

Penyelesaian:

Perhatikan Gambar 4.2.7. Misalkan ( ) ( ) ( ) dan ( ) adalah tititk

sudut dari segiempat yang kedua diagonal potong memotong ditengah-tengah.

Misalkan pula E adalah titik potong dari AC dan BD. Diketahui dan

. Karena E titik tengah dari AC, maka menggunakan sifat 1 diperoleh

( ). Tetapi E juga titik tengah dari BD jadi

( ). Ini

berakibat

( )

( )

Atau

27

( ) ( )

Ini berarti AD dan BC sama panjang dan sejajar. Analog diperoleh AD dan BC

sama panjang dan sejajar. Dari bukti-bukti tersebut dapat diketahui bahwa gambar

tersebut adalah jajar genjang.

Soal 8 [5]: Diberikan tiga titik A, B dan C yang tak segaris, seperti Gambar 4.2.8.

Misalkan Z adalah pencerminan dari C pada garis AB. Maka, z dapat dinyatakan

dalam bentuk sebagai berikut:

Gambar 4.2.8. Z adalah hasil pencerminan titik C terhadap garis AB

Penyelesaian:

Perhatikan Gambar 4.2.8, misalkan a, b, c dan z bertutut-turut adalah bilangan

kompleks yang bersesuaian dengan titik-titik A, B, C dan Z. Misalkan pula M

adalah titik tengah dari ZC. Jadi,

Karena Z adalah hasil pencerminan dari C terhadap garis AB, maka M pasti

terletak pada garis AB. Sehingga menurut sifat 3 diperoleh

(

)

Karena

maka

28

( )

( )

Demikian pula karena ZC tegak lurus terhadap garis AB

(

)

Selanjutnya, diperoleh

( )

( ) ( )

dan

( )

Kedua persamaan (1) dan (2) dapat dipikirkan sebagai sistem persamaan dalam z

dan . Sistem persamaan z dan dapat disajikan dalam bentuk sebagai berikut:

( )

dengan

( )

( )

Apabila sistem persamaan (3) dan (4) diselesaikan untuk sistem persamaan untuk

z diperoleh

|

|

|

|

( )

( )( )

Q. E. D.

Soal 9: Diketahui a, b, dan c adalah bilangan kompleks yang terletak pada

lingkaran satuan di bidang kompleks dan h adalah bilangan kompleks

29

. Jika A, B, C dan H berturut turut adalah titik-titik pada bidang yang

bersesuaian dengan bilangan kompleks a, b, c dan h, maka buktikan bahwa titik H

merupakan titik potong dari garis tinggi segitiga ABC [5].

Gambar. 4.2.9. Titik H Merupakan Titik Potong Garis Tinggi Segitiga ABC

Penyelesaian:

Perhatikan Gambar. 4.2.9. Untuk membuktikan H adalah titik tinggi segitiga ABC,

ditunjukkan . Jadi, menurut sifat 3 akan ditunjukkan bahwa bilangan

adalah bilangan imajiner murni.

Perhatikan bahwa

( )

Dengan demikian

(

)

Oleh karena itu, terbukti k adalah bilangan imajiner murni, sehingga .

Analog di atas . Jadi, dapat disimpulkan bahwa dan .

Sehingga, H adalah titik potong dari garis tinggi segitiga , terbukti.

Q. E. D.

Soal 10: Soal berikut ini adalah soal no. 2 dari soal Olimpiade Matematika

USAMO 2015 [5].

30

Pada Gambar. 4.2.10. Terlihat segiempat APBQ terletak pada lingkaran dengan

dan . X adalah sembarang titik pada segmen

garis PQ dan S adalah titik potong garis AX dengan lingkaran . Titik T terletak

pada busur AQB pada lingkaran sehingga XT tegak lurus AX dan M adalah titik

tengah segmen garis ST.

Gambar. 4.2.10. Ilustrasi Latar Belakang Soal USAMO 2015 No. 2

Jika X bergerak sepanjang segmen garis PQ, maka tunjukkan bahwa M bergerak

sepanjang lingkaran.

Penyelesaian:

Perhatikan Gambar. 4.2.11.

Gambar. 4.2.11. a, b, m, o, p, q, s, t dan x bertutut-turut adalah bilangan

kompleks yang bersesuaian dengan titik-titik A, B, M, O, P, Q, S, T dan X.

31

Misalkan a, b, s, t dan x bertutut-turut adalah bilangan kompleks yang bersesuaian

dengan titik-titik A, B, S, T dan X. Tanpa mengurangi keumumannya dimisalkan

merupakan lingkaran satuan dan O sebagai titik pusat lingkaran tersebut, maka

.

Karena AB merupakan diameter dari , maka dan . Selanjutnya,

perhatikan bahwa APBQ adalah layang-layang. Jadi, . Tetapi AB

berimpit dengan sumbu real, sehingga semua titik pada segmen garis PQ tegak

lurus terhadap sumbu real. Ini berarti semua titik pada segmen garis PQ memiliki

bagian real yang sama. Oleh karena itu, ( ) konstan.

Karena A, X, dan S segaris. Maka menurut sifat 4:

(

)

⁄ ( )

Sedangkan XT tegak lurus terhadap AB, maka menurut sifat 2:

(

)

⁄ ( )

Apabila kedua persamaan (5) dan (6) diselesaikan untuk x dan , akan diperoleh

(

)

dan

(

)

Perhatikan bahwa

( )

(

)

Karena titik Z terletak terletak pada lingkaran satuan , maka

, sehingga

| | |

|

(

) (

)

( ) (

)

(

)

( )

Terbukti bahwa M terletak pada lingkaran dengan pusat Z dan jari-jari

√

( ) Q. E. D.

32

Soal 11 : Soal ini merupakan salah satu soal seleksi tingkat kabupaten/kota OSN

2009 bidang matematika SMA [13]. Diberikan segitiga ABC lancip. Lingkaran

dalam segitiga ABC dengan titik pusat I menyinggung sisi-sisi BC, CA, dan AB

berurut-turut di D, E, dan F. Garis bagi sudut A memotong DE di K.

a) Buktikan bahwa BK tegak lurus garis bagi sudut BAC.

b) Buktikan bahwa CL tegak lurus garis bagi sudut BAC, dimana L adalah titik

potong garis bagi sudut A dan garis DF.

c) Tunjukkan bahwa A1KML adalah segiempat talibusur, jika AA1 adalah garis

tinggi dan M titik tengah BC.

Ilustrasi soal di atas diperlihatkan pada Gambar. 4.2.12.

Gambar. 4.2.12. OSN SMA 2009 BK Tegak Lurus AK, CL Tegak Lurus AL dan

A1KML adalah Segiempat Talibusur.

Penyelesaian:

Tanpa mengurangi keumumannya lingkaran dalam segitiga ABC dipikirkan

sebagai lingkaran satuan dibidang kompleks dengan pusat koordinat di I dan

sumbu realnya berimpit dengan garis bagi sudut A sebagaimana terlihat pada

Gambar. 4.2.13.

33

Gambar. 4.2.13. Titik I Merupakan Pusat Koordinat dan Garis Bagi

Merupakan Sumbu Real.

Jadi, persamaan garis bagi adalah . Karena EF tegak lurus AI dan E

terletak pada lingkaran satuan, maka

atau .

Selanjutnya, menggunakan sifat 6 diperoleh

Mengunakan sifat 2 diperoleh

( )

Misalkan z sembarang titik yang terletak pada garis DE, maka z segaris dengan

garis DE. Oleh karena itu berdasarkan sifat 4 persamaan garis DE adalah

atau

( )

Bentuk persamaan tersebut dapat disederhakan menjadi ( ) (

) ( )( ) atau . Jadi, persamaan garis DE adalah

. Dengan cara yang sama persamaan garis DF adalah

.

34

Misalkan z sembarang titik pada BC dan , maka berdasarkan sifat 3

diperoleh

Karena I adalah titik pusat koordinat dan titik D terletak pada lingkaran satuan,

maka diperoleh

atau

( )

Jika persamaan (8) disederhanakan akan diperoleh . Jadi,

persamaan garis BC adalah .

Dengan cara serupa di atas, persamaan garis AA1 diperoleh dari:

atau

( )

Dengan menyederhanakan persamaan (9), maka persamaan garis akhir dapat

ditulis dalam bentuk ( ) ( ) .

Selanjutnya, dengan memotongkan garis DE dan sumbu real AI diperoleh titik K

yaitu

Demikian pula dengan memotongkan garis DF dan sumbu real AI diperoleh titik L

yaitu

Sementara itu dengan memotongkan garis AA1 dan garis BC diperoleh titik A1

yaitu dengan mensubtitusikan persamaan garis BC pada AA1. Oleh karena itu,

35

diperoleh persamaan garis A1 yaitu ( ) ( ) . Sehingga,

hasil akhir persamaan garis A1 adalah

1. Untuk membuktikan cukup ditunjukkan

bernilai imajiner.

Sehingga

Jadi, terbukti

bernilai imajiner, sehingga terbukti pula .

2. Untuk membuktikan bahwa dapat dilakukan dengan komputasi a).

3. Untuk membuktikan A1KML adalah segiempat talibusur, perhatikan Gambar.

4.2.14.

Gambar. 4.2.14. A1KML adalah segiempat talibusur.

Cukup ditunjukkan

bernilai real. Perhatikan bahwa

36

dan

Sehingga

Akibatnya

Jadi, terbukti bahwa Y adalah real, maka terbukti A1KML adalah segi empat tali

busur.

Q. E. D.