Σχολή  Εφαρμοσμένων  Μαθηματικών  και  Φυσικών  Επιστημών  Εθνικό  Μετσόβιο  Πολυτεχνείο  

Διηλεκτρικές,  Οπτικές,  Μαγνητικές  Ιδιότητες  Υλικών  

Λιαροκάπης  Ευθύμιος  

Κεφάλαιο  9:  Ελεύθερα  Ηλεκτρόνια  σε  Μαγνητικό  Πεδίο  

Το  παρόν  εκπαιδευτικό  υλικό  υπόκειται  σε  άδειες  χρήσης  Crea%ve  Commons.      Για  εκπαιδευτικό  υλικό,  όπως  εικόνες,  που  υπόκειται  σε  άδεια  χρήσης  άλλου  τύπου,  αυτή  πρέπει  να  αναγράφεται  ρητώς.  

Άδεια  Χρήσης  

ΙΧ-1

Ελεύθερα ηλεκτρόνια σε μαγνητικό πεδίο Ας θεωρήσουμε ότι έχουμε ελεύθερα ηλεκτρόνια, που βρίσκονται σε εξωτερικό μαγνητικό πεδίο. Έστω ότι τι μαγνητικό πεδίο είναι της μορφής

( )BB ,0,0=r

και ας διαλέξουμε το διανυσματικό δυναμικό ( ).0,,0 BxA =r

Θα μπορούμε

να είχαμε διαλέξει άλλα δυναμικά, όπως π.χ. το ( )0,0,By− ή το ,0,2,2 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛− BxBy

κλπ. Η χαμιλτονιανή για τα ηλεκτρόνια θα προκύψει από την αντικατάσταση

( ) ( )222~

21~

21

2

~Aep

mAqp

mmp rr

+=−→

Επομένως, η εξίσωση του Schrodinger στην μόνιμη κατάσταση λαμβάνει την μορφή

ψψ Ez

eBxy

ixm

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

−+∂∂

− 2

22

2

2

22

21

hhh

Μετά από πράξεις προκύπτει η εξίσωση ( ) ψψ E

meBx

ymBxie

m=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+∂∂

−∇−22

22

2 hh

Για τα ελεύθερα ηλεκτρόνια και με απουσία μαγνητικού πεδίου, η λύση είναι επίπεδα κύματα της μορφής [ ] [ ]zkykxkCrkiC zyx ++=⋅= expexp rr

ψ . Ας ψάξουμε για λύσεις της μορφής [ ]zkykx zy += exp)(ϕψ . Με αντικατάσταση προκύπτει ότι

ϕϕω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−

mk

EeBk

xm

dxd

mzyc

222

2222

2

22 hhh

Όπου meB

c =ω είναι η συχνότητα κύκλοτρου.

Η εξίσωση είναι ανάλογη εκείνης ενός αρμονικού ταλαντωτή ιδιοσυχνότητας ωc, που

το κέντρο του έχει μετατοπιστεί κατά eBk

x yk

h−= .

Είναι προφανές ότι η ποσότητα eBh ορίζει ένα μήκος

cB meB

lωhh

== που

εξαρτάται από το μαγνητικό πεδίο. Για Β = 1 Τ το 26≅Bl nm. Η λύση της εξίσωσης θα δώσει ενεργειακές στάθμες απλού αρμονικού ταλαντωτή, δηλαδή

( ) cnk n ωε h21+=

Που είναι ανεξάρτητες από τον κυματαριθμό. Η συνολική ενέργεια θα είναι

( )c

zy nm

kkE ωh

h⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

+=

21

2

222

Και οι ιδιοσυναρτήσεις θα είναι της μορφής

ΙΧ-2

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= − 2

2

1 2exp)(

B

k

B

knn l

xxl

xxHxϕ

Όπου Ηn είναι τα πολυώνυμα του Hermite. Έχουμε μια σειρά από διακριτές ενεργειακές καταστάσεις (αντί για μια συνεχή κατανομή όταν δεν υπάρχει μαγνητικό πεδίο), που δεν εξαρτώνται από το xk (είναι ενεργειακά εκφυλισμένες). Δημιουργείται η απορία, πώς είναι δυνατόν να έχουμε ιδιοσυναρτήσεις αυτής της μορφής, αφού θα μπορούσαμε να πάρουμε άλλη επιλογή της βαθμίδας (π.χ. μία από τις παραπάνω δύο που αναφέρθηκαν στην αρχή της ενότητας). Η απάντηση είναι ότι αν είχαμε επιλέξει άλλη βαθμίδα, οι νέες ιδιοσυναρτήσεις μπορούν να αναλυθούν στην πλήρη βάση των αρχικών ιδιοσυναρτήσεων. Επομένως, η αλλαγή βαθμίδας ισοδυναμεί με αλλαγή της βάσης του απειροδιάστατου διανυσματικού χώρου των συναρτήσεων (χώρος Hilbert). Έστω ( )zyx LLL ,, οι διαστάσεις του κρυσταλλικού υλικού, όπου κινούνται ελεύθερα τα ηλεκτρόνια. Λαμβάνοντας κατά τα γνωστά περιοδικές οριακές συνθήκες, θα πρέπει να ισχύει ότι

( ) ( ) 1expexp == zzyy LikLik Από όπου συνεπάγεται ότι θα πρέπει

yy

y nL

k π2= και z

zz n

Lk π2

=

Όπου με ny, nz θεωρούμε ακέραιους αριθμούς. Για την x συνιστώσα γνωρίζουμε ότι θα πρέπει

22x

cx L

xL

≤≤−

Από όπου συνεπάγεται ότι

⇒≤−≤−⇒≤−≤−2

2222

xy

y

xxyx Ln

eBLLL

eBkL hh π

( ) ( ) ( ) ( )yxyyxyxc

yyxc LL

heBnLL

heBLL

hm

nLLh

m2222

≤≤−⇒≤≤−ωω

Ο συνολικός αριθμός καταστάσεων θα δίνεται από την σχέση

( )yxnyy LLh

eBnnn =−=Δ min,max,

Και η πυκνότητα καταστάσεων ανά μονάδα επιφάνειας θα είναι

( ) oyx

y Bh

eBLLn

Φ==

Δ

Όπου ορίσαμε το κβάντο της μαγνητικής ροής eh

o =Φ (που για τους υπεραγωγούς

έχει την τιμή eh

2 , γιατί οι φορείς αποτελούνται από ζεύγη ηλεκτρονίων).

Τελικά, ο αριθμός των εκφυλισμένων καταστάσεων θα είναι

ooy

SBnΦΦ

=Φ

=Δ

Που εκφράζει πόσα κβάντα μαγνητικής ροής αποτελούν την ροή Φ που διαπερνά την επιφάνεια S = (LxLy) του αγωγού των ελεύθερων ηλεκτρονίων.

ΙΧ-3

Σε έναν διδιάστατο αγωγό η πυκνότητα των ενεργειακών καταστάσεων θα

είναι σταθερή και ίση προς 22hπmn D = .

Αν λάβουμε υπόψη μας και το σπιν, που αγνοήσαμε μέχρι τώρα στους υπολογισμούς μας, τότε οι συνολικές καταστάσεις ανά μονάδα επιφάνειας θα είναι

( ) ( )cDc nmh

eB ωπ

ω hh

h 222 ==

Που πρακτικά σημαίνει ότι όλες οι καταστάσεις πλάτους cωh εκφυλίζονται ενεργειακά εξ αιτίας του μαγνητικού πεδίου. Αυτό γίνεται εξ αιτίας της κβάντισης των τροχιών τους, όπως συμβαίνει και στα ηλεκτρόνια στις τροχιές τους γύρω από τον πυρήνα ενός ατόμου. Το παρακάτω σχήμα (από J. H. Davies, The Physics of Low Dimensional Semiconductors) δείχνει παραστατικά τον εκφυλισμό αυτό, όπου όλες οι εκφυλισμένες καταστάσεις έχουν μαζευτεί σε μία, δημιουργώντας μια δ-συνάρτηση κατανομής.

Επειδή όμως υπάρχουν ενεργειακές απώλειες, οι δ-συναρτήσεις είναι διευρυμένες όπως δείχνει το προηγούμενο σχήμα από το ίδιο βιβλίο. Ανάλογα με το μέγεθος της αλληλεπίδρασης, την θερμοκρασία και τις ατέλειες του υλικού, οι ζώνες επικαλύπτονται ή απέχουν και είναι διακριτές. Με την αλλαγή του μαγνητικού πεδίου και με σταθερό αριθμό φορέων (και επομένως σταθερή επιφανειακή πυκνότητα φορέων), η επιφάνεια Fermi θα κινείται ανάμεσα σε μέγιστα και ελάχιστα, με αποτέλεσμα την δημιουργία πλατώ στην ειδική αντίσταση, που οδηγεί στο κβαντικό φαινόμενο Hall. Κβάντωση τροχιών σε μαγνητικό πεδίο Για να γίνει κατανοητό το φαινόμενο της κβάντωσης των τροχιών ελεύθερων φορέων με την ύπαρξη εξωτερικού μαγνητικού πεδίου, ας εξετάσουμε ένα φορτίο q σε τροχιά γύρω από σωληνοειδές. Θεωρούμε ότι το φορτισμένο σωματίδιο είναι αρχικά ακίνητο εκτός του σωληνοειδούς που διαρρέεται από σταθερά μαγνητική ροή Φ και σε απόσταση r από τον άξονά του. Αν αλλάξουμε την ροή διά μέσω του σωληνοειδούς (π.χ. αλλάζοντας το ρεύμα που το διαρρέει), θα δημιουργηθεί μια δύναμη στο φορτίο εξ αιτίας της επαγόμενου ηλεκτρικού πεδίου Ε, που θα είναι κάθετη στον άξονα του σωληνοειδούς. Κατά τα γνωστά

dtdrE Φ

−=)2( π

Και η ώθηση της δύναμης θα δώσει στο φορτίο μια ορμή

ΙΧ-4

( )τελρχ

τελ

ρχ ππΦ−Φ=Φ== ∫∫ a

a rqd

rqEdtqmv

22

Έστω ότι Φαρχ = 0 και Φτελ = Φ, οπότε Φ−=r

qmvπ2

.

Όμως rAldA π2=⋅=Φ ∫

rr

Όπου ABrrr

×∇= Επομένως,

qAmv −= Αν ορίσουμε με P

r την συνολική ορμή, τότε

AqPvmrrr

−= Σύμφωνα με την αρχή των Bohr-Sommerfeld η τροχιά θα είναι κβαντισμένη, δηλαδή

hnrdP )( γ+=⋅∫rr

Όπου γ είναι μια μικρή διόρθωση φάσης, που για τα ελεύθερα ηλεκτρόνια έχει τιμή ½. Οπότε θα έχουμε ότι

( ) hnrdAqrdkrdAqkrdP )( γ+=⋅+⋅=⋅+=⋅ ∫∫∫∫rrrr

hrrr

hrr

Όμως, ένα φορτισμένο σωματίδιο σε μαγνητικό πεδίο θα έχει εξίσωση κίνησης

Bvqdtkd rrr

h ×=

Που από ολοκλήρωση δίνει ότι Brqkrrr

h ×= Όμως,

( ) Φ−=×−=⋅×=⋅ ∫∫∫ qrdrBqrdBrqrdk 2rrrrrrrrh

Επίσης ( ) Φ=⋅=⋅×∇=⋅ ∫∫∫ qSdBqSdAqrdAq

rrrrrrr

Τελικά

qhnhnq )()( γγ +=Φ⇒+=Φ

Που εκφράζει την κβάντιση της ροής μέσα στη τροχιά qh

nn =Φ−Φ −1

Από την σχέση Bvqdtkd rrr

h ×= έπεται ότι kqB

r δδ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

h και ότι το εμβαδόν

στον χώρο nA θα είναι ανάλογο του εμβαδού nS στον αντίστροφο χώρο, δηλαδή ότι

nn SqB

A2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

h

Επομένως, η μαγνητική ροή θα είναι

BnqSqhn

BS

qBqBBA n

nnn )(2)(2

2

22

2

γπγ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒+====Φh

hh

Αν αυξήσουμε το πεδίο ώστε οι τροχιές n και n+1 να έχουν το ίδιο εμβαδόν, τότε

ΙΧ-5

h

qBB

Snn

nπ211

1

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

Που οδηγεί στο φαινόμενο deHaas-van Alphen: η μαγνητική ροπή ενός μετάλλου μεταβάλλεται περιοδικά με την ένταση του μαγνητικού πεδίου. Με βάση αυτήν την ιδιότητα, η μελέτη με μεταβλητό μαγνητικό πεδίο δίνει πληροφορίες για τις επιφάνειες Sn δηλαδή για την επιφάνεια Fermi. Παραμαγνητισμός ελεύθερων ηλεκτρονίων Στην γενική περίπτωση, για να υπολογίσουμε την μαγνήτιση ενός συστήματος, θα πρέπει να βρούμε την εξάρτηση της ενέργειάς του από ένα εξωτερικό μαγνητικό πεδίο. Αν nE είναι οι ενεργειακές στάθμες του συστήματος, η ελεύθερη ενέργεια του συστήματος θα είναι

[ ]⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−= ∑

nnB ETNkF βexpln

Η μαγνήτιση θα προκύψει από την σχέση

BFM∂∂

−=

Τότε η μαγνητική επιδεκτικότητα θα οριστεί ως η ποσότητα

2

2

BF

HM

o ∂∂

−=∂∂

= μχ

Είδαμε ότι όταν τοποθετηθούν ελεύθερα ηλεκτρόνια σε μαγνητικό πεδίο θα εκτελούν περιοδικές κινήσεις με ιδιοσυχνότητα εκείνη του κύκλοτρου ( )m

eBc =ω .

Εξ αιτίας της κβάντισης των τροχιών, η ενέργεια των ηλεκτρονίων λαμβάνει τιμές

cn nmkE ωhh

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

21

2

22

Οι καταστάσεις (στιβάδες Landau) οδηγούν στην δημιουργία μιας διαμαγνητικής απόκρισης του συστήματος των ελεύθερων ηλεκτρονίων (διαμαγνητισμός Landau).

Αν όμως λάβουμε υπόψη μας και την εσωτερική στροφορμή, η ενέργεια θα μεταβληθεί σε

BgnmkE Bcn μω

221

2

22

±⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=± h

h

Όπου το g για τα ελεύθερα ηλεκτρόνια έχει με καλή προσέγγιση την τιμή 2. Επομένως, με καλή προσέγγιση

BnmkE Bcn μω ±⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=± h

h

21

2

22

Η επίδραση του τελευταίου όρου δηλώνει ότι τα ηλεκτρόνια με σπιν αντιπαράλληλο του μαγνητικού πεδίου θα κινηθούν προς μεγαλύτερες ενέργειες, ενώ εκείνα με παράλληλο σπιν σε χαμηλότερες. Όπως δείχνει και το παρακάτω σχήμα (από C. Kittel, Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης, έκδοση Γ. Πνευματικού), η εξίσωση της επιφάνειας Fermi θα οδηγήσει σε μια άνιση κατανομή των σπιν, με περισσότερα (δεξιά στην εικόνα το πλεόνασμα) εκείνα που είναι παράλληλα στο

ΙΧ-6

εξωτερικό μαγνητικό πεδίο, που οδηγεί σε μια παραμαγνητική συμπεριφορά (παραμαγνητισμός του Pauli).

Θα περίμενε κανείς ο παραμαγνητισμός από τα σπιν να ακολουθεί τον νόμο

του Curie. Όμως προκύπτει ότι είναι ανεξάρτητος της θερμοκρασίας. Η αιτία είναι ότι μόνο μια λεπτή ενεργειακή περιοχή TkB κοντά στην επιφάνεια Fermi μπορεί να αλλάξει φορά του σπιν γιατί οι πιο κάτω στιβάδες είναι κατειλημμένες και ισχύει η απαγορευτική αρχή του Pauli. Με τον τρόπο αυτό, αντί για μαγνήτιση

BTk

NBTk

JJNgMB

B

B

B22

2

3)1( μμ

=+

=

που δίνει η εξίσωση του Curie, θα έχουμε ένα ποσοστό FB

B

TkTk

23 αυτού, η οποία οδηγεί

στην σχέση

BTk

NBTk

NTTM

FB

B

B

B

F

22

23

23 μμ

==

Προκύπτει έτσι μια μαγνήτιση ανεξάρτητη της θερμοκρασίας. Ένας απλός υπολογισμός του παραμαγνητισμού Pauli δίνει την συγκέντρωση ηλεκτρονίων με σπιν παράλληλο στο μαγνητικό πεδίο, για θερμοκρασίες Τ << ΤF. Θεωρώντας ότι η θερμοκρασία είναι πολύ μικρή ώστε να μπορούμε να θέσουμε τον στατιστικό παράγοντα Fermi-Dirac ,1)( =Ef FD ο αριθμός των σπιν που είναι παράλληλα στο μαγνητικό πεδίο θα είναι ίσος προς

( )BENdEEgdEBEgdEEgN BF

BEE

B B

E

B

BFF

B

F

B

μμμ

μμ+==+== ∫∫∫

+

−− ↑↑ 21)()()(

0

Αντίστοιχα για τα αντιπαράλληλα σπιν θα έχουμε ότι

( )BENdEEgdEBEgdEEgN BF

BEE

B B

E

B

BFF

B

F

B

μμμ

μμ−==−== ∫∫∫

−

↓↓ 21)()()(

0

Όπου με το Ν ορίσαμε την πυκνότητα καταστάσεων. Αναπτύσσοντας τις δύο συναρτήσεις (αφού FB EB <<μ αρκούν οι δύο πρώτοι όροι προσέγγισης),

ΙΧ-7

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛±=↓↑

FEBF dE

dNBENN μ)(21

)(

προκύπτει η μαγνήτιση

( )FE

BBBB ENdEdBNNNNM )]([)()( 2μμμμ =−=−++= ↓↑↓↑

Όμως )(2 EgdEdN

= , οπότε

BEgM FB )(2 2μ= Και

)(2 2FBoP Eg

HM μμχ =∂∂

=

Επειδή FBF

F TkN

ENEg

43

43)( == θα έχουμε τελικά

FB

BoP Tk

N2

23 μ

μχ =

Ένας πιο λεπτομερειακός υπολογισμός αποδεικνύει ότι η μαγνήτιση έχει την μορφή

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+−= ∑

∞

=12

2

sinh

4sin

)1(311

23

n

B

B

B

Fn

B

F

B

B

F

B

BTnkB

nE

nBE

BTk

EBNM

μπ

μππ

μμπμ

Στην παραπάνω σχέση, ο πρώτος όρος )( Pχ προέρχεται από τα σπιν (παραμαγνητισμός Pauli), ο δεύτερος όρος )( Lχ που είναι αντίθετος με τον πρώτο και ίσος προς το 1/3 αυτού )3/( PL χχ −= ορίζει τον διαμαγνητισμό Landau. Αν λάβουμε υπόψη και την επίδραση του πλέγματος, τότε υπεισέρχεται η ενεργός μάζα των ηλεκτρονίων και παύει να ισχύει επ’ ακριβώς ότι ο δεύτερος όρος είναι ίσος με το 1/3 του πρώτου όρου.

Ο τελευταίος όρος είναι και αυτός διαμαγνητικός και γίνεται σημαντικός σε πολύ ισχυρά μαγνητικά πεδία. Εξ αιτίας του παρανομαστή sinh, συνήθως ο πρώτος όρος είναι αρκετός. Είναι φανερό ότι η μαγνήτιση είναι μια περιοδική συνάρτηση της ποσότητας B

1 (φαινόμενο de Haas-van Alphen).

Χρηματοδότηση  •  Το  παρόν  εκπαιδευτικό  υλικό  έχει  αναπτυχθεί  

στα  πλαίσια  του  εκπαιδευτικόυ  έργου  του  διδάσκοντα  

•  Το  έργο  «Ανοικτά  Ακαδημαϊκά  Μαθήματα  Ε.Μ.Π.»  έχει  χρηματοδοτήσει  μόνο  την  αναδιαμόρφωση  του  εκπαιδευτικού  υλικού.  

•  Το  έργο  υλοποιείται  στο  πλαίσιο  του  Επιχειρησιακού  Προγράμματος  «Εκπαίδευση  και  Δια  Βίου  Μάθηση»  και  συγχρηματοδοτείται  από  την  Ευρωπαϊκή  Ένωση  (Ευρωπαϊκό  Κοινωνικό  Ταμείο)  και  από  εθνικού  πόρους.