UNIVERZITET CRNE GORE

Prirodno matematički fakultet – Podgorica

Lara Jakić

Izoperimetrijska nejednakost

ZAVRŠNI RAD

Podgorica, 2012

UNIVERZITET CRNE GORE

Prirodno matematički fakultet – Podgorica

Lara Jakić

Izoperimetrijska nejednakost

ZAVRŠNI RAD

Geometrijska analiza

Prof. dr. David Kalaj

Lara Jakić

Teorijska matematika

2705985505196

Podgorica, jul 2012

2

Sadržaj

Uvod 4

Planarna izoperimetrijska nejednakost 7

Dokaz pomoću četiri tačke 8

Dokaz prirodnom parametrizacijom 10

Dokaz parametrizacijom pomoću Fourier-ovih redova 15

Dokaz korišćenjem Wirtinger-ove nejednakosti 17

Nejednakost Brunn-Minkowski –og i izoperimetrijska

nejednakost u višedimenzionalnim prostorima 22

Nejednakost Brunn-Minkowski –og 25

Opšta izoperimetrijska nejednakost 28

Zaključak 31

Literatura 32

3

Uvod

Izoperimetrijski problem intrigirao je i privlačio mnoge matematičare, bilo zbog njegovog suštinskog geometrijskog svojstva, bilo zbog njegove široke primjene ne samo u matematici, već i u fizici, mehanici i dr. I upravo su zbog toga matematičari prilazili izoperimetrijskoj nejednakosti iz mnogih, različitih smjerova. Ponekad je to dovodilo do paralelnog razvitka nekih grana matematike.

Prema legendi ovaj problem je nastao za vrijeme osnivanja drevnog grada Kartagine na obali Sjeverne Afrike. Feničanka Didona, koja poslije smrti roditelja nije mogla podnositi samovolju brata Pigmaliona, je pobjegla na obalu Sjeverne Afrike. Tamo se dogovorila sa kraljem Jarbasom da od njega kupi onoliko zemljišta koliko se može obuhvatiti kožom jednog bika. Ona je izrezala kožu na tanke kaiševe, povezala im krajeve i uspjela obuhvatiti zemljište na kojem je kasnije izgrađena Kartagina. Didona je postala prva kraljica Kartagine.

U savremenoj matematičkoj formulaciji Didonin problem glasi:

Između svih zatvorenih krivih linija u ravni, koje imaju jednak zadan obim, naći onu koja ograničava najveću površinu.

Sa matematičke strane već kod Euklida (oko 300. godine P.N.E.) nalazimo dokaz da od svih pravougaonika najveću površinu ima kvadrat. Od antičkih grka koji su se bavili izoperimetrijskim problemom (na grčkom iso perimetron znači istog obima) najznačajniji je Zenodor, ali, nažalost, njegovi spisi O izoperimetrijskim figurama nisu sačuvani, kao ni značajni spisi arapskog matematičara Al-Kindi –ja iz 9. vijeka u kojima se spominje trodimenzionalni izoperimetriski problem (tj. problem nalaženja tijela date površine koje ima najveću zapreminu). Još su u antičko vrijeme intuitivno znali da je rješenje

4

izoperimetrijskog problema krug. I u tom smislu istoričari matematike vole da citiraju Platona: „Najljepše tijelo je lopta, a najljepša figura u ravni je krug“.

Proučavanje izoperimetrijskog problema doživjelo je svoju ekspanziju kada su matematičari poput Newton-a, Leibnitz-a, Bernoulli-ja razvili sistematične načine za rješavanje raznih problema optimizacije baziranih na infinitezimalnom računu, a ubrzo su počeli da se rješavaju i problemi u varijacionom računu (problem nalaženja optimalnog oblika putanje krive u nekoj klasi krivih). Direktna rješenja nekih problema varijacionog računa dali su Euler i Lagrange i eksplicitni dokaz izoperimetrijske nejednakosti možemo dati u terminima optimizacije varijacionih principa.

U 19. vijeku Steiner je dao rješenje izoperimetrijskog problema u kojima su korišćeni alati geometrije. Ovo rješenje bilo je veoma sugestivno i poučno i dovelo je do razvitka mnogih matematičkih disciplina. Ipak, tek u to vrijeme, nakon što je Weirstrass shvatio da određeni ekstremalni problemi nemaju rješenje, su se matematičari počeli baviti pitanjem postojanja rješenja izoperimetrijskog problema, što ranije nije bio slučaj, nego se pretpostavljalo da rješenje postoji. Weirstrass je bio ujedno i prvi koji je dokazao da rješenje izoperimetrijskog problema postoji i to je uradio pomoću varijacionog računa. Dokaz nikada nije objavio i sačuvan je zahvaljujući bilješkama njegovih studenata.

Veoma korisno rješenje izoperimetrijskog problema dao je početkom 20. vijeka Hurwitz, koristeći pri tome Fourier-ove redove i neka njihova osnovna svojstva, kao što je Wirtinger-ova nejednakost. Zahvaljujući prilazu izoperimetrijskoj nejednakosti Fourier-ovom analizom, omogućen je dalji razvoj proučavanja izoperimetrijske nejednakosti u višedimenzionalnim prostorima.

Danas postoje mnogi dokazi izoperimetrijske nejednakosti u nekim specijalnim prostorima u kojima su korišćeni razni matematički alati. Mnoge poznate nejednakosti su ili korišćene u dokazivanju izoperimetrijske, ili su proizašle iz nje. Dokaz izoperimetrijske nejednakosti koji se bazira na nejednakosti Brunn-Minkowski –og daćemo u ovom radu. Pored toga, u ovom radu, najviše ćemo se osvrnuti na planarnu izoperimetrijsku nejednakost i dokaze bazirane na dokazima Edler-a, Steiner-a, Schmidt-a i Hurwitz-a.

5

6

Planarna izoperimetrijska nejednakost

Kao što smo već rekli, planarna izoperimetrijska nejednakost dokazana je raznim alatima matematike. Ovdje ćemo dokazivanju pristupiti na nekoliko načina. Prvo ćemo posmatrati izoperimetrijski posmatrati kao problem optimizacije određene klase figura u ravni i dati dokaz baziran na Steiner-ovom dokazu. Zatim ćemo dati tri dokaza u terminima diferencijalnih krivih u ravni. Jedan koji koristi prirodnu parametrizaciju krive i bazira se na Schmidt-ovom dokazu, dok se druga dva baziraju na Hurwitz-ovom dokazu u kojima se koriste Fourier-ovi redovi i Wintiger-ova nejednakost.

7

Dokaz pomoću četiri tačke

Planarna izoperimetrijska nejednakost daje gornje ograničenje za površinu planarne figure u zavisnosti od obima. Ona kaže da je površina ograničena zatvorenom krivom dužine L maksimalna kada je kriva kružnica, ili ekvivalentno, minimalni obim (dužina) krive koja ograničava figuru površine A se dostiže kada je kriva kružnica. U dvodimezionalnom slučaju izoperimetrijska nejednakost kaže da je L2≥ 4πA , pri čemu je L obim, a A površina oblasti Ω u ravni.

Predstavićemo dokaz, baziran na Steiner-ovom dokazu, koji pretpostavlja postojanje optimalnog oblika skupa (oblika figure u ravni u našem slučaju). Ovaj detalj su previdjeli matematičari koji su prvi pokušavali da daju rigorozan dokaz ove nejednakosti. Dokazivanje da objekat sa datim svojstvima postoji je pipav posao i ovdje ćemo ga izostaviti.

Dokaz:

Prvo primijetimo da figura optimalnog oblika mora biti konveksna. Jer u suprotnom možemo povećati površinu zadržavajući obim, kao što je to prikazano na slici 1., što dovodi do kontradikcije optimalnosti (ovdje pretpostavljamo da figura optimalnog oblika postoji).

Slika 1.

Sada pretpostavimo da konveksna figura optimalnog oblika nije krug. Tada možemo naći četiri tačke A, B, C i D na granici oblasti Ω takve da konveksan četvorougao nije tetivan, tj. oko njega ne možemo opisati krug. Tada na osnovu

8

Brahmagupta-ine formule (1) za površinu četvorougla, ako bi znali da postoji tetivan četvorougao sa stranicama AB, BC, CD, DA, mogli bi, uzimajući u obzir parčad oblasti Ω koji leže izvan granice četvorougla ABCD, deformisati četvorougao tako da se površina oblasti Ω povećava, a obim ostaje isti. Skica postupka data je na slici 2.

Slika 2.

Kada se dokaže da postoji deformacija četvorougla ABCD u tetivni četvorougao ABCD, što ovdje izostavljamo, lako je zaključiti da je figura optimalnog oblika zaista krug.

Kako činjenica da je figura optimalnog oblika krug dokazuje izoperimetrijsku nejednakost? (Ovdje opet pretpostavljamo postojanje figure optimalnog oblika.)

Izaberimo proizvoljno figuru obima L i površine A. Kako se površina svake figure koja nije krug može povećati, slijedi da je površina A manja od površine kruga obima L, tj. važi:

A≤( L2π )

2

π= L2

4 π,

što daje izoperimetrijsku nejednakost L2≥ 4πA .

____________(1) Brahmagupta-ina formula : A=√ (s−a ) ( s−b ) (s−c ) ( s−c )−abcd cos2θ , gdje je s poluobim, a, b, c i d su

dužine stranica proizvoljnog četvorougla, a θ je ugao jednak polovini zbira dva naspramna unutrašnja ugla

9

Dokaz prirodnom parametrizacijom

Elegantan i direktan dokaz izoperimetrijske nejednakosti baziran na upoređivanju glatke, proste, zatvorene krive sa odgovarajućom kružnicom dao je 1938. godine Schmidt. Koristio je samo formulu dužine luka, izraz za površinu iz Green-ove formule i Caushy-Schwarz -ovu nejednakost.

Uvodne napomene:

Kriva u ravni parametrizovana sa α (t )= (x (t ) , y (t ) ), t∈ [a ,b ] je prosta ( Jordan-ova ) ako je preslikavanje α : [a ,b ]→R2 injektivno, tj kriva nema samopresjeke.

Kriva α (t ) je prosta, zatvorena kriva ako je α (a )=α (b ) i α je injektivno preslikavanje na [a ,b¿ osim u najviše prebrojivo mnogo tačaka.

Kriva parmetrizovana sa α (t )= (x ( t ) , y (t ) ), t∈ [a ,b ] je glatka ako su funkcije x (t ) i y (t ) neprekidno diferencijabilne na [a ,b ].

Ako je C prosta, zatvorena, glatka kriva zadata parametarski, tada se dužina njenog luka L može izraziti na sljedeći način:

L=∫a

b

√( dxdt )2

+( dydt )2

dt

Teorema (Green):

Neka je C :Ω→R2 orjentisana, dio po dio neprekidna, prosta, zatvorena kriva u ravni R2 i neka je D oblast koju ograničava kriva C. Ako su M i N funkcije

10

čiji su argumenti ( x , y ) definisane na oblasti koja sadrži D i imaju neprekidne parcijalne izvode, tada važi:

∮C

(Mdx+Ndy )=∬D

( ∂ N∂ x −∂M∂ y )dxdy .

(Posljednja nejednakost je Green-ova formula).

Caushy-Schwarz-ova nejednakost (prosti oblik):

Za proizvoljne funkcije f , g :R→R2 važi:

⟨ f , g ⟩≤‖f‖‖g‖,

pri čemu je za f=(x (t ) , y (t)) preslikavanje ‖∙‖:R→R standardna euklidska norma definisana sa ‖f‖2=⟨ f , f ⟩=x2 ( t )+ y2 (t ) .

Sada ćemo predstaviti dokaz planarne izoperimetrijske nejednakosti koji se bazira na Schmidt-ovom dokazu.

Teorema:

11

Ako je prosta, zatvorena, planarna kriva C dužine L i ograničava oblast površine A, tada važi:

L2≥ 4πA ,

pri čemu jednakost važi akko je C kružnica.

Dokaz:

Izaberimo paralelne prave l1 i l2 koje su tangente krive C i „zatvaraju“ krivu C kao što je prikazano na slici 3. Konstruišimo zatim kružnicu C1 poluprečnika R čije su tangente prave l1 i l2 i postavimo koordinatni početak u centar kružnice, pri čemu je y-osa paralelna sa l1 i l2 .

Slika 3.

Parametrizujmo krivu C prirodnom parametrizacijom, tj. dužinom luka:

α (s )=(x (s ) , y (s ) ) ,‖α (s)‖=1, s∈ [0 , L ] , α (0 ) ϵ l1 , α ( s0 ) ϵ l2 .

Posmatrajmo sada krivu α 1: [0 , L ]→R2 definisanu sa :

α 1 ( s )=(x1 ( s ) , y1 ( s ) )=(x (s ) ,−√R2−x2 (s ) ) ,0≤ s≤ s0(x (s ) ,√R2− x2 (s ) ) , s0≤s≤ L

Primijetimo da je slika krive α 1 kružnica C1, ali α 1 ne mora biti parametrizacija za C1, jer može neke djelove krive prekrivati više puta. Takođe, primijetimo da je x1 ( s )=x ( s) ,0≤s≤ L .

12

Koristimo Green-ovu formulu da izračunamo površine A i A1 oblasti koje ograničavaju krive C i C1 :

A=∫0

L

x ( s) y (s )ds

A1=R2π=−∫0

L

y1 ( s) x1 ( s)ds=−∫0

L

y1 (s ) x (s )ds .

Sabiranjem ove dvije jednačine i primjenom Caushy-Schwarz-ove nejednakosti dobijamo:

A+R2π=∫0

L

(x (s ) y ( s )− y1 ( s ) x (s ) )ds=¿

¿∫0

L

⟨ (x (s ) , y1 (s ) ) , ( y (s ) ,− x (s ) )⟩ d s≤

≤∫0

L

‖(x (s ) , y1 (s ) )‖ds=RL ,

jer sve tačke (x (s ) , y (s ) ) pripadaju kružnici C1 poluprečnika R čiji je centar u koordinatnom početku i ‖( x (s ) , y ( s ) )‖=1 , jer je kriva α prirodno parametrizovana.

Zato, primjenjujući nejednakost između aritmetičke i geometrijske

sredine, (∀ a ,b>0 ) : a+b2

≥√ab , dobijamo nejednakost:

RL≥ A+R2 π≥2√πA R2

koja je ekvivalentna izoperimetrijskoj nejednakosti L2≥ 4πA .

Pretpostavimo sada da važi jednakost, tj. L2=4πA i tada je A=R2π i L=2 Rπ , pa zato R ne zavisi od orjentacije paralelnih pravih l1 i l2. Dalje, jednakost važi i u Caushy-Schwarz-ovoj nejednakosti, pa imamo da je (x (s ) , y1 (s ) )=R ( y ( s ) ,− x ( s) ) , jer je jedan vektor dužine R, a drugi dužine 1. Ovo implicira da je x (s )=R y (s ) .

Sada razmotrimo slučaj kada se pravac pravih l1 i l2 promijeni za ugao od π2 . Tada x (s ) i y (s ) mijenjaju mjesta u parametrizaciji i u novim koordinatama.

13

Možemo izabrati poziciju kružnice C1 tako da su joj tangente četiri prave: l1 i l2 i

njihove rotacije za ugao π2 . Zaključujući na analogan način kao i prije, dobijamo

da je y (s )=R x (s ) , pa je zato x2 ( s )+ y2 ( s)=R2 i C je zaista kružnica.

Dokaz parametrizacijom

pomoću Fourier-ovih redova

14

Hurwitz je 1902. godine publikovao kratak dokaz izoperimetrijske nejednakosti koristeći Fourier-ove redove za proizvoljne krive koje se mogu poligonizovati (ne zahtijeva se neprekidnost).

Teorema:

Pretpostavimo da je prosta, dovoljno glatka, zatvorena planarna kriva. ΓAko je L njena dužina, a A površina oblasti koju ograničava , tada važi Γnejednakost:

L2≥ 4πA .

Dokaz:

Pretpostavimo da je γ : [0,2π ] →R2 parametrizacija krive i da je Γ γ

parametrizovana konstantnom brzinom, tj. |γ ( t )|= L2π na [0,2π ] .

Označimo sa x i y koordinatne funkcije, tj. γ (t )=(x (t ) , y (t ) ) . Funkcije x i y možemo periodično produžiti na ℝ i tada su Fourier-ovi razvoji funkcija x, y , x i y dati sa:

x (t )=∑n∈ Z

an e∫¿, y (t )=∑

n∈Z

bne∫¿¿¿

x (t )=∑n∈ Z

¿an e∫¿, y (t )=∑

n∈Z

inbn e∫ ¿¿¿

Primijetimo da su sve ove funkcije realno vrijednostne, pa Parserval-ov (2)

identitet daje:

L2

2π=∫

0

2π

( x2 (t )+ y2 ( t ) ) ds=2π∑n∈Z

n2 (|an|2+|bn|

2 ).

Na osnovu Green-ove formule dobijamo površinu:

A=12 |∫0

2π

( x2 ( t )+ y2 (t ) )ds|=π|∑n∈Z

n (anbn−anbn )|.Ovo važi, jer su x i y realno vrijednostne funkcije, pa je a−n=an , b−n=bn i

važi da je ∫0

2π

e i(m+ n)tdt=2π ,m+n=00 , inače

.

15

Sada imamo:

4 πA=4 π2|∑n∈Z

n (anbn−anbn )|≤≤4 π2∑

n∈Z

|n||anbn−anbn|≤

≤4 π2∑n∈Z

|n|(|an|2+|bn|

2 )≤

≤4 π2∑n∈Z

n2 (|an|2+|bn|

2 )=L2

Ovim je izoperimetrijska nejednakost dokazana.

Da bi važila jednakost, prvo, mora biti an=bn=0 za |n|≥2 , a takođe je

|anbn−anbn|≤2|an||bn|≤|an|2+|bn|

2 , pa je |an|=|bn| za |n|=1 . Jasno da jednakost važi akko je kružnica.Γ

____________(2) Parserval-ov identitet : za koeficijente a0 ,…,an i b1 ,…,bn Fourier-ovog razvoja funkcije f : [a ,b ]→C sa

periodom T važi jednakost : 12a0+∑

n=1

∞

(an2+bn

2 )= 2T∫a

b

|f (x)|2dx

Dokaz korišćenjem Wirtinger-ove nejednakosti

Ovaj dokaz je na neki način kombinacija prethodna dva dokaza i kao i prethodni bazira se na Hurwitz-ovom dokazu.

Kao što smo već rekli, dužinu luka L zatvorene, glatke krive C date u parametarskom obliku možemo izraziti na sljedeći način:

16

L=∫a

b

√( dxdt )2

+( dydt )2

dt .

Površinu oblasti A koju ograničava kriva C takođe možemo izraziti linijskim integralom:

A=−∫C

ydt=−∫a

b

ydxdt

dt ,

pri čemu možemo smatrati da je C pozitivno orjentisana kriva.

Ovdje je pogodno uvesti smjenu t=2πL

s čime krivu reparametrizujemo

dužinom njenog luka i na taj način se lakše oslobađamo korjena u podintegralnoj funkciji. Sada imamo:

∫0

2π

(( dxdt )2

+( dydt )2)dt=∫

0

2π

( dsdt )2

dt= L2

2 π.

Dalje, imamo da je:

L2−4πA=2π∫0

2π

(( dxdt )2

+( dydt )2

+2 y dxdt )dt=¿

¿2π∫0

2π

( dxdt + y )2

dt+2π∫0

2π

(( dydt )2

+ y2)dt

Prvi sabirak na desnoj strani je očigledno nenegativan, pa izoperimetrijsku nejednakost možemo dokazati ukoliko dokažemo da je:

∫0

2π

( dydt )2

dt ≥∫0

2π

y2dt

Ova nejednakost ne važi za proizvoljnu funkciju y (t ), jer ne važi, na primjer, kada je y (t ) nenegativna konstantna funkcija. Sljedeća lema daje odgovor na pitanje kada ona važi.

Lema:

Ako je y (t ) glatka, 2π-periodična funkcija i ako je ∫0

2π

y (t)dt=0 , tada važi

( Wirtinger-ova nejednakost ) :

17

∫0

2π

( dydt )2

dt ≥∫0

2π

y2dt ,

pri čemu jednakost važi akko je y=acos t+b sin t .

Najlakši način da se dokaže ova lema je pomoću razvoja funkcije y (t ) u

Fourier-ov red. Hipoteza ∫0

2π

y (t)dt=0 garantuje da je konstantni član ovog reda

jednak nuli.

Da bi primijenili Wirtinger-ovu nejednakost u dokazivanju izoperimetrijske, dovoljno je primijetiti da ova hipoteza može uvijek biti zadovoljena odgovarajućim izborom koordinata, tj. postavljanjem x-ose tako da prolazi kroz centar gravitacije krive C. Sada su oba sabirka na desnoj strani u jednakosti

L2−4πA=2π∫0

2π

( dxdt + y)2

dt+2π∫0

2π

(( dydt )2

+ y2)dtnenegativna, što daje izoperimetrijsku nejednakost L2≥ 4πA . Jednakost L2=4πA važi samo ako su oba sabirka na desnoj strani u gornjoj jednakosti jednaka nuli, pa na osnovu leme lako zaključujemo da C mora biti kružnica.

Interesantno je da ovaj dokaz nigdje ne koristi pretpostavku da je C prosta kriva. Izoperimetrijska nejednakost važi za proizvoljnu glatku zatvorenu krivu, o čemu govori sljedeća teorema:

Teorema:

Wirtinger-ova nejednakost (lema) je ekvivalentna izjavi da izoperimetrijska nejednakost važi za proizvoljnu glatku zatvorenu krivu, pri čemu jednakost važi samo ako je C kružnica.

Dokaz:

Neka je y (t ) glatka, 2π-periodična funkcija koja zadovoljava jednakost

∫0

2π

y (t)dt=0 .

18

Neka je x (t )=−∫0

t

y (τ )dτ=0 . Tada je x (t ) takođe 2π-periodična, jer je

x (t+2π )−x (t )=− ∫t

t+2 π

y (τ )dτ=0 , pa par (x ( t ) , y (t ) ) definiše glatku, zatvorenu krivu.

Dužina luka ove krive, na osnovu Caushy-Schwarz –ove nejednakosti, zadovoljava:

L2=(∫a

b

√( dxdt )2

+( dydt )2

dt)2

≤

≤2π∫0

2π

(( dxdt )2

+( dydt )2)dt .

Zato je:

0≤ L2−4 πA≤2π∫0

2π

( dxdt + y )2

dt+2π∫0

2π

(( dydt )2

+ y2)dt .Prvi sabirak na desnoj strani je jednak nuli, što slijedi direktno iz definicije

funkcije x (t ), pa se zato ova jednakost redukuje na Wirtinger-ovu nejednakost.

Da bi važila jednakost, mora važiti jednakost

L2=2 π∫0

2 π

(( dxdt )2

+( dydt )2)dt ,

što je moguće jedino u slučaju kada je

( dsdt )2

=( dxdt )2

+( dydt )2

≡c2=const .

Slijedi da je L=2 πc , pa je zato dsdt

= L2π . Kako kriva mora biti kružnica, odavde

sada lako zaključujemo, imajući u vidu da je ∫0

2π

y (t)dt=0, da je funkcija y (t ) oblika

y=acos t+b sin t , čime je teorema dokazana.

19

Spomenimo još i činjenicu da planarna izoperimetrijska nejednakost važi i kada kriva C ima samopresjeke. Tada se komplement krive C sastoji iz određenog broja krivih C k i u odnosu na svaki domen ovih krivih C ima dobro

definisan broj namotaja nk . Tada je površina data sa A=∑k

nk Ak , gdje je Ak

površina domena krive C k. Pređašnji dokaz pokazuje da za proizvoljnu zatvorenu

krivu imamo L2≥ 4π∑

k

nk Ak , a teorema govori da je ova nejednakost za sve krive

ekvivalentna Wirtinger-ovoj nejednakosti. Tačnije, mnogo jači rezultat, koji je

dao Radó, je tačan. Naime, L2≥ 4π∑

k|nk|Ak . Na primjer, za Bernoulli-jevu

lemniskatu je desna strana prve nejednakosti jednaka nuli, dok u drugoj nejednakosti daje površinu ograničenu ovom krivom.

Nedavno su Banchoff i Pohl dokazali još jaču nejednakost koristeći pri tome prilično drugačiju metodu od do sada navedenih. Pokazali su da važi L2≥ 4π∑

k

nk2 Ak , pri čemu jednakost važi akko je C kružnica ukrštena konačan broj

puta. Ovaj rezultat je specijalan slučaj uopštene izoperimetrijske nejednakosti

20

koja se tiče krivih u višedimenzionalnim prostorima o čemu ćemo govoriti kasnije.

Interesantno je, da ako počnemo od relativno glatke krive dodajući joj „špiceve“ u kojima nije glatka, to ima vrlo malo uticaja na površinu. Zato imamo donekle ironičnu situaciju da što je nepravilnija kriva, to je izoperimetrijska nejednakost jača, ali je teže dokazati je. Činjenica je da izoperimetrijska nejednakost važi u najvećim uopštenjima koje možemo zamisliti, ali su nam tada potrebne odgovarajuće definicije samo da je formulišemo.

Nejednakost Brunn-Minkowki –og

i izoperimetrijska nejednakost

u višedimenzionalnim prostorima

21

Formulacija nejednakosti Brunn-Minkowski–og inspirisana je problemima koji se vezuju za izoperimetrijski problem i dugo je smatrana nejednakošću koja se vezuje za geometriju, gdje je njena značajnost široko priznata. Fundamentalni geometrijski sadržaj ove nejednakosti daje okosnicu teoriji Brunn-Minkowski–og, divnog aparata kojim je moguće riješiti razne probleme koji se tiču metričke količine, kao na primjer zapremine i površine površi. Tek je sredinom 20. vijeka ova nejednakost zaživjela kao alat analize i tada je otkrivena njena tijesna povezanost sa nekim drugim analitičkim nejednakostima, kao što su na primjer Joung-ova, Hölder-ova, Sobolev-a i dr. nejednakosti.

Uvodne napomene:

U n-dimenzionalnom euklidskom prostoru Rn sa euklidskom normom

‖x‖=√ ⟨ x , x ⟩=(∑k=1

n

xk2)12 , x=( x1 , ... , xn )∈ Rn definišimo skupove jediničnu i sferu

poluprečnika r i zatvorenu jediničnu i loptu poluprečnika r sa:

Srn−1= x∈Rn:‖x‖=r , Sn−1=x∈ Rn :‖x‖=1 ,

Brn= x∈Rn:‖x‖≤r ,Bn= x∈Rn:‖x‖≤1 ,

i neka je za proizvoljni skup E iz Rn , tzv. r -okolina skupa E, skup definisan sa

Er=x∈Rn:d ( x , E )=inf y∈ E‖x− y‖≤r .

22

Ako za proizvoljno 1≤k≤n označimo Lebesgue-ovu mjeru u Rn sa V k , tada se sferična Lebesgue-ova mjera na Sn−1 može definisati sa V n−1. Termin mjerljiv skup u Rn koristićemo u smislu V k-mjerljiv, osim ako to nije drugačije naglašeno.

Ako je X k-dimenzionalno tijelo (tj. njegovo zatvorenje jednako je njegovoj relativnoj unutrašnjosti), tada je njegova zapremina V (X )=V k ( X ) . Označimo V (Bn )=ωn .

Vektorska suma skupova X i Y iz Rn je skup

X+Y=x+ y : x∈ X , y∈Y ,

a dilatacija skupa X je skup

rX=rx : x∈ X , r≥0 .

U daljem radu najviše će nam koristiti je pojam k-dimenzionalnog izvoda Minkowski-og. Za proizvoljni skup E i proizvoljno 1≤k≤n to je skup

M k (E )=limr→0

V (Er )ωn−k r

n−k .

Na osnovu elementarnih svojstava Lebesgue-ove mjere zaključujemo da iz V (Bn )=ωn slijedi V (Br

n )=ωn rn . Tako da imenilac limesa u stvari predstavlja

zapreminu lopte poluprečnika r u Rn−k . Dalje, ako za 0< ρ<r i E=Srn−1 označimo

skup Eρ=Br+ ρn −B r− ρ

n , dobijamo izraz za površinu sfere:

M n−1 (Srn−1 )=lim

ρ→0

V (Eρ )ω1 ρ

=nωn rn−1 ,

jer je ω1=2 ( jer je B1=(−1,1 )⊆R ) .

Dakle, ako je D lopta Brn , tada je njena zapremina V=ωn r

n , a površina A=nωn r

n−1 ( tj. površina sfere Srn−1=∂Br

n koja je granica lopte ) .

23

Nejednakost Brunn-Minkowski –og

Nejednakost Brunn-Minkowski –og daje procjenu mjere skupa X+Y=x+ y : x∈ X , y∈Y u zavisnosti od mjere skupova X i Y u Rn (naravno, o ovakvoj procjeni možemo govoriti samo ukoliko su skupovi X , Y i X+Y Lebesgue mjerljivi).

24

Teorema:

Ako su skupovi X i Y iz Rn mjerljivi i skup X+Y je takođe mjerljiv, tada važi:

(V (X+Y ))1n≥ (V (X ) )

1n+(V (Y ) )

1n .

Dokaz:

Posmatrajmo skupove X i Y koji su konačne mjere, jer je u suprotnom nejednakost jednostavno ∞≥∞ . Ako su X i Y n-dimenzionalni pravougaonici tada nejednakost dobija oblik:

(∏i=1

n

(a i+bi ))1n≥(∏

i=1

n

a i)1n+(∏

i=1

n

b i)1n .

Kako se nejednakost ne mijenja kada a i i b i zamijenimo sa λ ia i i λ ib i respektivno, možemo izabrati λ i tako da je a i+bi=1 , 1≤i ≤n i tada je

1≥(∏i=1

n

ai)1n+(∏

i=1

n

bi)1n ,

što je direktna posljedica nejednakosti između aritmetičke i geometrijske sredine.

Posmatrajmo sada skupove X i Y kao konačnu uniju n-dimenzionalnih pravougaonika sa disjunktnim unutrašnjostima. Nejednakost ćemo dokazati indukcijom po n, tj. po broju pravougaonika u X i Y . Primijetimo da X i Y možemo nezavisno jedan od drugog translirati i da će tada nejednakost ostati ista, jer je Lebesgue-ova mjera invarijantna u odnosu na translaciju. Translirajmo X tako da neka hiperravan x i=0 razdvaja dva pravougaonika u skupu X i označimo skupove

X+¿=X∩ x i≤ 0 i X−¿=X∩ x i≥0 .¿ ¿

Sada translirajmo Y tako da je

V ( X±)V ( X )

=V (Y ± )V (Y )

,

gdje je Y ± definisano analogno X± . Tada imamo da je

¿

25

i broj pravougaonika u X+¿ ¿ i Y +¿ ¿ može biti najviše jednak n−1, a isto važi i za broj pravougaonika u X−¿¿ i Y−¿ ¿ . Ovo nam omogućava da primijenimo indukcijsku hipotezu i dobijemo:

V (X+Y )≥V ¿

≥ ¿¿

¿ (V (X ) )1n+(V (Y ) )

1n .

Posmatrajmo sada skupove X i Y konačne mjere i neka je ε>0 . Tada možemo naći skupove A i B koji su unija konačnog broja pravougaonika, takvih da je A⊆X , B⊆Y , |X|≤|A|+ε i |Y|≤|B|+ε . Kako je A+B⊆X+Y , nejednakost dobijamo puštajući da ε→0 .

Slučaj kada su X i Y kompaktni skupovi dokazuje se korišćenjem prethodnog slučaja (primijetimo da kompaktnost skupova X i Y implicira kompaktnost skupa X+Y ). Definišimo skup

X ε= x∈Rn: d ( x , X )<ε

i skup Y ε na analogan način, što ih čini otvorenim skupovima. Kako je

X+Y ⊆X ε+X ε⊆ (X+Y )2 ε ,

nejednakost za X ε i Y ε implicira nejednakost za X i Y kada ε→0 .

Kada su X i Y proizvoljni mjerljivi skupovi konačne mjere i X+Y je mjerljiv, tada aproksimirajući skupove X i Y iznutra kompaktnim skupovima i uzimajući graničnu vrijednost dobijamo traženu nejednakost.

26

Opšta izoperimetrijska nejednakost

Opšta izoperimetrijska nejednakost kaže da ako je D proizvoljan skup u Rn takav da je V (D )<∞ , tada se njegova zapreminaV i površina A odnose kao:

An≥nnωnVn−1 ,

pri čemu jednakost važi akko je

D=Brn (a )=x∈Rn :‖x−a‖≤r

za neko r ia .

27

U skladu sa oznakama datim u uvodnim napomenama, površina A je izvod Minkowski-og M n−1 (S ) granice S=∂D skupa D, a D=D∪ S je zatvorenje skupa D.

Dokaz:

Za r>0 definišimo skupove:

D+¿ (r )=x∈ Rn :d ( x, D )< r ¿

D−¿ (r )=x∈ Rn :d (x , Dc )≥ r ¿

Sr=x∈ Rn :d ( x ,S )<r

Br= x∈Rn:‖x‖<r

Jasno, tada važe sljedeće inkluzije:

D+¿ (r )⊇D+Br ¿

D⊇D−¿ ( r )+Br ¿

Sr⊇D+¿ (r )+D−¿ ( r )¿ ¿

Na prvu primijenimo nejednakost Brunn-Minkowsli –og:

¿¿

V ¿

≥V (D )+n(V (B r ))1n (V (D ) )

n−1n =¿

¿V (D )+nr ωn

1n (V (D ) )

n−1n

Na sličan način, primjenjujući istu nejednakost na drugu inkluziju dobijamo:

−V (D )≥V ¿

−V ¿

Korišćenjem treće inkluzije i prethodno dobijene dvije nejednakosti imamo:

28

V (Sr )≥V ¿

¿V ¿

≥2nrωn

1n ¿

V (Sr )2 r

≥nωn

1n ¿

Primijetimo da D−¿ (r )↑∫ (D )¿ , D=∫ (D )∪ S . Kako je M n−1 (S )<∞ , slijedi da je

V (S )=0 , pa je zato limr→0V ¿¿ . Korišćenjem lim inf kada r→0 dobijamo:

M n−1 (S )≥nωn

1n ¿¿

odnosno dobijamo traženu izoperimetrijsku nejednakost:

(M n−1 (S ) )n=An≥nnωnVn−1 .

29

Zaključak

U ovom radu predstavljen je samo mali dio problema vezanih za izoperimetrijsku nejednakost. Ona u neku ruku čini jedan jaki spoj Geometrije, Algebre i Analize. Problem je geometrijski, nejednakost je algebarska, a dokaz koristi analizu; ponekad kompleksnu, ponekad funkcionalnu, a ponekad harmonijsku analizu. Izoperimetrijska nejednakost i problemi nastali od nje predstavljaju jedan od glavnih pravaca u diferencijalnoj geometriji i geometrijskoj analizi. Njeno uopštenje na neeuklidske prostore nije dato u ovom radu, ali se mora napomenuti da je u slučaju euklidske metrike u ravni, Gauss-ova krivina površi jednaka nuli. Međutim, ako razmatramo sličan problem na nekoj površi, onda tu u igru ulazi Gauss-ova krivina koja ne mora biti jednaka nuli. Izoperimetrijska nejednakost u standardnoj formulaciji važi i za površi sa nepozitivnom Gaussovom krivinom, kakve su na primjer minimalne površi. Ako je pak krivina pozitivna, onda takođe važi slična nejednakost koja se, međutim, ne poklapa sa standardnom, jer se u njoj pojavljuje faktor Gauss-ove krivine.

Kako je veliki broj matematičkih velikana u istoriji izučavalo ovaj problem, naš pokušaj da se osvrnemo na isti je dosta skroman, ali ipak vjerujemo da će

30

ovaj rad imati svoj nastavak od autora ili nekog drugog, u cilju da se ova ne toliko poznata matematička tema približi široj matematičkoj javnosti.

Literatura

[1] M. Ashbaugh, R. Benguria: The problem of queen Dido (Overview of the subject of isoperimetry), 1969.

[2] S. Dar: A Brunn-Minkowski type inequalities, Geom. Dedicata 77, 1999.

[3] C. S. Lee, T. Luo: The Brunn-Minkowski inequality and the isoperimetric inequality, 2011.

[4] S. Levy: An elementary introduction to modern convex geometry, Flavors of Geometry, Cambridge Univ. Press, New York, 1997.

[5] H. Lewy: Aspects of the Calculus of variations (notes by J. W. Green), Univ. of Calif. Press, Berkley, Calif., 1939.

[6] J. Luttinger: Generalized isoperimetric inequalities, I, II, III, J. Mathematical Phys. 14, 1973.

[7] R. Osserman: Isoperimetric and related inequalities, Proc. Sympos. Pure Math. Vol. 27, Amer. Math. Soc. Providence R.I., 1975.

[8] R. Osserman: The isoperimetric inequality, Bull. Amer. Math. Soc., 1978.

31

[9] L. E. Payne: Isoperimetric inequalities and their applications, SIAM Rev. 9, 1967.

[10] T. A. Porter: A history of the classical isoperimetric problem, Contributions to the Calculus of Variations 1931.-1932., Univ. of Chicago Press, Chicago, Illinois, 1933.

Slika 1. : http://mathproblems123.files.wordpress.com/2012/04/convex.png

Slika 2. : http://mathproblems123.files.wordpress.com/2012/04/hinge.png

Slika 3. : http://mathproblems123.files.wordpress.com/2012/05/isop.png

32