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Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Professor: Neury Boaretto
Material disponibilizado pelo autor do livro em: www.eletronica24h.com.br
Curso Online: http://www.eletronica24h.com.br/Curso%20CA/index.htm
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Números Complexos
? 4
Unidade imaginária:
Desta forma:
ou
241414 j .).(
Definição:
1j 12 j
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Deduções:
jjjjj ).(. 123
111224 )).((. jjj
jjjjjj ).).((.. 11225
11112226 )).().((.. jjjj
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Formas de Representação de um Numero Complexo
•Forma Cartesiana (Retangular)•Forma Polar •Forma Trigonométrica
Forma Cartesiana
a e b são números reais
j é a unidade imaginária
Z=a+jb
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Plano CartesianoZ(a,b)
Eixo Imaginário (Im)
Eixo Real (R)
b
a
Forma Cartesiana (Retangular)
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Exemplos:Representar os números complexos no plano cartesiano
Z1=4+j4
4
4
Im
R
Z1
2
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Z2=7 (não tem parte imaginária)
Im
R
Z2
7
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Im
R
Z3=j3 (não tem parte real)
3Z3
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Z5=3+j3
Im
R
-1-2 1
1
2
-1
-2
-3
3
2 3-3
Z4
Z5
Z4=-3+j2
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Im
Ra
b
o
P
Z
Z=a +jb forma cartesiana
Segmento de reta
ZOP Representa o MODULODo numero complexo z
O ângulo representa o ARGUMENTO ou ÂNGULO DEFASE de z
MÓDULO
FASE
Forma Polar
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Na forma polar um numero complexo é representado por:
z = Z
Numero complexo é representado por letra minúscula, z
E o seu módulo por letra maiúscula, Z
Z= Z
Z é o móduloe
é a fase do numero complexo
Forma alternativa
Forma Polar
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Transformação da Forma Cartesiana para Polar
Im
Ra
b
Z
22 baZ Dado: z=a+jb
Determinar: Z e
z = Z
ab
tg
ab
arctg
3
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Exemplos: Transformar os números para a forma polar
Z1=4+j4
Im
R
4
4
Z1
z1
1
24441 22 Z
01 45
44 arctg
z1 = 24045
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Z2=7 (não tem parte imaginária)
Im
R7
Z2z2
2 z2 = 7 00
2=00
Z2=7
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
z3=j3 (não tem parte real)
Im
R
z3
Z3 3
Z3=3
3
3=900
z3 = 3 090
Ou..........
z3 = 3 0270
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Z4=-3+j2
Im
R
z4
Z4
631323 224 ,)( Z
’
03432 arctg'2
-3
4 4=180-34=1460
z4 = 3,6 0146
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Z5=-5
Im
Rz5
Z5=5
Z5
5
5=1800
z5 = 5 0180
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Z6=-4-j3
Im
R
-4
-3z6
Z6
534 226 )()(Z
6
’
03743 arctg'
6=180+37=2170
z6 = 5 0217
4
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Z7=-j4
Im
R
z7 -4
Z7=4
77=2700
z7 = 4 0270
Ou.....
z7 = 4 090
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Z8=4-j3
Im
R
z8Z8
4
-3
534 228 )(Z
8
’
03743 arctg'
8=360-37=3230
z8 = 5 0323
ou............... z8 = 5 037
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Operações com Números Complexos
SOMA e SUBTRAÇÃO
Na soma e na subtração é usada a forma cartesiana
z1=10+j10 z2=5+j4
z3=z1+z2=(10+j10) + (5+j4)= (10+5)+j(10+4)=15+j14
z4=z1-z2= (10+j10) - (5+j4)= (10-5)+j(10-4)=5+j6
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MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
Na multiplicação e divisão é usada a forma polar
z1=4+j4=5,65 450
z2=5+j8,66=10 600 Z4= -5+j8,66= 10 1200
Z3=-j4=4 -900
Operações com Números Complexos
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Exercícios Propostos
Dados os complexo:
Z3=-j4=4 -900
z1=4+j4=5,65 450 z2=5+j8,66=10 600
Z4= -5+j8,66= 10 1200
Obter:
a) Representação no plano cartesiano de z1,z2,z3 e z4
b) z2.z4 z2.z3
c) z2/z4 z2/z3
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MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOSEM CALCULADORAS ELETRÔNICAS
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Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOSEM CALCULADORAS ELETRÔNICAS
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOSEM CALCULADORAS ELETRÔNICAS
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MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOSEM CALCULADORAS ELETRÔNICAS
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MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOSEM CALCULADORAS ELETRÔNICAS
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MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOSEM CALCULADORAS ELETRÔNICAS
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Tensão Continua: Tensão que tem sempre a mesma polaridade
Tensão Alternada
Símbolo Uxt
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Tensão Alternada
É uma tensão cujo valor e polaridade se modificam ao longo do tempo. Conforme o comportamento da tensão então temos os diferentes tipos de tensão:Senoidal, quadrada, triangular, pulsante, etc
VPVPP
VP= valor de pico=12V VPP=valor de pico a pico=24V
T=Período
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Tensão SenoidalÉ uma tensão que varia com o tempo de acordo com uma lei senoidal
v(t) = VP.sen(w.t +θ0)
VP é o valor de pico
ω é a freqüência angular
θ0 é o ângulo de fase inicial
θ = ω.t +θ0
VPP é valor de pico a pico
Representação Gráfica e Expressão Matematica
v(t) = 10.sen(1000.π.t ) (V)No exemplo
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
v(θ) = VP.sen θ
θ=w.t=ângulo descrito
Representação Gráfica e Expressão Matemática
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Período (T) e Frequência (f)
Período (T) é o tempo necessário para o fenômeno voltar a se repetir(completar um ciclo)
Freqüência (f) é o numero de ciclos completados por segundo
)(ssegundoT
segundocicloouHzf /
Tf 1
fT 1
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Frequência Angular (ω)
Representa a variação angular em função do tempo
sgrausousrd //θ = ω.t
Se θ=2.π, o tempo será t= T
2.π = ω.T fouT
... 22
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Movimento Circular Uniforme
A=amplitude do segmento
A projeção do segmento no eixo vertical representa uma grandezasenoidal de amplitude A e fase inicial θ0
7
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Movimento Circular Uniforme
Neste caso a grandeza senoidal tem ângulo de fase inicial 0 e portantoa expressão que representa a grandeza é: A.sen(w.t)
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Movimento Circular Uniforme
Neste caso o ângulo de fase inicial é -45 graus e a expressão em função do tempoque representará a grandeza em questão será: A.sen(w.t-45)
Em todos os casos a grandeza em questão pode ser tensão, onde A seráO valor de pico (Vp) e w a frequencia angular a qual estará relacionada comA frequencia por w=2.π.f
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Analise do sinal
Período: T=0,25sFrequência Angular: w=2.π.4=8.π rd/s
Hzf 42501
,
V(V)
5
t(s)
-5
00,125
0,2500,375
0,500
Analise de um sinal senoidal
Tensão de pico: VP=5V
Ângulo de fase inicial: θ0=0
Tensão de pico a pico: VPP=10V
Expressão em função do tempo:
V(t)=5.sen(8.π.t) (V)
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Determinando um valor de tensão
V(t)=5.sen(8.π.t) (V)
Qual o valor da tensão para t=0,6s? V(0,6s)=5.sen(8. π.0,6) =2,94V
5V
-5V
0,125 0,250 0,375 0,500 0,625 0,850 0,975 1,000
0,6
2,94
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
v(V)
w.t(rd)
VP
-VP
Ângulo de Fase Inicial
Se para t=0 a tensão é diferente de zero, dizemos que o sinal tem umafase inicial.
v(t) = VP.sen(w.t +θ0)
Sinal adiantado Θ0 > 0
θ0
Para o exemplo: v(t)=VP.sen(w.t+900) (V)
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
v(V)
w.t(rd/s)
VP
-VP
Sinal atrasado Θ0 < 0
θ0
Para o exemplo: v(t)=VP.sen(w.t-900) (V)
Ângulo de Fase Inicial
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Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Para os sinais pedem-se determinar: a) Freqüência angular b) freqüênciac) Periodo d) Ângulo de fase inicial e) Representar graficamente f) Indicar o valor da tensão para t=0
1) v1(t)=10.sen(20.000. π.t + π/3) (V)
a) w=20.000. π rd/s
KHzHzf 1000010200020
2 .
...
.
smssT 1001000010000101
,,.
Θ0= π/3=600
b)
c)
d)
Exemplos
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
600
f) No instante t=0 v1(0)=10.sen(w.0+600)=8,66V
e)
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
V2=15.sen(8.000. π.t – 300) (V)
a) w=8.000. π rd/s
KHzHzf 4000420008
2 .
...
.
smssT 25025000025000041
,,.
Θ0=-300
b)
c)
d)
300
e)f) No instante t=0 v2(0)=15.sen(w.0-300)=-7,5V
-7,5V
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Defasagem
A diferença de fase (Δθ) entre dois sinais de mesma freqüênciaé chamada de defasagem, sendo medida tomando-se um dos sinaiscomo referencia
Ex: Qual a defasagem entre os sinais a seguir
v1(t)=10sen(w.t+π/2) (V)v2(t)=5.sen(w.t) (V)
Δθ=θ1 – θ2=90-0=90
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Δθ
v1 está 900 adiantado em relação a v2
Os sinais estão em QUADRATURA
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
v1(t)=10sen(w.t+900) (V)v2(t)=5.sen(w.t+900) (V) Δθ=90 – 90=0
Sinais estão em FASE
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Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
v1(t)=10sen(w.t) (V)v2(t)=5.sen(w.t+180)(V) Δθ=180 – 0=180
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Representação Através do Diagrama Fasorial
É uma outra forma de representar uma tensão senoidal.
Cada vetor (neste caso chamado de fasor), representa a tensão em um determinado instante.
Vetor girante
Observar que a tensão instantânea é a projeção no eixo vertical do vetor girante
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
10.sen(θ)
Diagrama Fasorial (DF)
O fasor de amplitude 10V gira no sentido anti horario com frequencia angula w
Tensão senoidal representada no DF
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V1 (t)=10.sen(w.t + 900)
Representar os sinais no Diagrama fasorial (DF)
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
V2 (t)=10.sen(w.t - 90o)
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
V1 está adiantada em relação a V2
Defasagem entre as duas tensões
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Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Exercício Proposto
1) Desenhar o Diagrama Fasorial dos sinais:
v1(t)=10.sen(w.t+600) (V)
v2(t)=15.sen(w.t-300) (V)
2) Qual defasagem entre as tensões?
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Representação na Forma Complexa
Numero Complexo tem: Modulo e fase
Tensão Senoidal tem: Modulo e fase
Portanto..........................
Forma Trigonometrica: v(t)=VP.sen(w.t+θ0)
Forma Complexa: v=VP θ0 VP.cos θ0 + j VP.sen θ0
a b
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Dadas as tensões
v1(t)=10sen(w.t+π/2) (V)v2(t)=5.sen(w.t) (V)
Pede-se: a) v3= v1+V2 b) Representar V3 no diagrama fasorial
c) Dar a expressão de V3(t) d) Representar V3 na forma polar e cartesiana
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Resumo: Formas de representar uma tensão senoidal
Expressão Trigonométrica v(t)=12.sen(w.t+600) (V)
Diagrama Fasorial
Numero Complexo
Forma de Onda
)V(39,10j6v
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Circuitos Resistivos em CA
Em um circuito puramente resistivo (só com resistências) alimentado com uma tensão alternada (CA) a tensão e a corrente estão em fase, sendo a relação entre elas dada pela lei de ohm, isto é :
V(t) =Vp.sen(ω.t+θ0)
)t.(sen.IR
)t.(sen.VR
)t(v)t(i 0P0P
RVI P
P
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Como tensão e corrente estão em fase, concluímos que:
Uma resistência pode ser representada por um numero complexo
Com parte imaginaria nula
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Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Valor Eficaz (VRMS)
Definição matemática: T
0
2RMS dttv
T1V )(.
Significado Físico: O valor eficaz de uma tensão alternada senoidal é igual ao valor da tensão continua que produz mesmo aquecimento
Dado uma tensão alternada (qualquer) v(t) define-se valor eficaz
RMS= Root Mean Square = valor quadrático médio
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
RMSEficazP VV2
VV
Qual deve ser o valor da tensão continua para aquecer R igualmente ?
A Tensão Alternada é senoidal
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
IVP .
RVP
2
2I.RP
Como Calcular a Potencia dissipada em CC ?
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Qual a relação entre a tensão da bateria e a tensão de pico da senoidepara que o aquecimento seja o mesmo nos dois casos?
E no caso de uma tensão senoidal?
Vp
RMSRMS IVP .
R2VP RMS
2RMSIRP .
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Qual o valor da tensão continua que produz mesmo aquecimento em um resistor de 50 ohms ligado a uma tensão senoidal de 310V de pico?
V2202V310
2VV P
EF
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Potencia em Circuito Resistivo em CA
A potencia em CA é obtida pelo produto do valor instantâneo da tensão pela correnteinstantânea:p(t)=v(t).i(t)
p(t)=v(t).i(t)
A potência dissipada no resistor será igual ao valor médio da potencia instantânea
No exemplo:P=12V.3A=36W
P=VRMS.IRMS
Vp=17V e VRMS=12V
Ip= 4,25A IRMS=3A
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Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Genericamente para qualquer circuito
cos.I.VP RMSRMS
é o ângulo de defasagem entre a corrente e a tensão
No CASO DE CIRCUITO RESISTIVO00
10cos 0
RMSRMS I.VP
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Dado as tensões:
v1(t)=20.sen(w.t) (V) v2= 5 00 (V)
V3=20+j15(V)
1) Representar as três tensões no DF
2) Obter
2a) v4=v1+v3 2b) v5=v1+v2+v3
3) As tensões V1 e V3 são aplicadas respectivamente em R=10 Ohms e R=5 Ohms. Calcule em cada caso a) expressão de i(t) b) Potencia dissipadamm cada caso.
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Capacitor
Dispositivo usado para armazenar cargas elétricas
Placas de area S(m2)
d(m)
terminais
Dielétrico (isolante)
Símbolo
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Capacitância (C)
É a medida da capacidade que tem o dispositivo de armazenar cargas elétricas
O seu valor é especificado em Farads (F) e depende das dimensões (S, d) e do material de que é feito o dielétrico (isolante que separa as duas placas).
dSKC .. 0
Para um capacitor de placas planas e paralelas de área S, separadas porUma distancia d, a capacitância será dada por:
Onde ε0 é a permissividade dielétrica do vácuo
K é a constante dielétrica do material. Por exemplo: Vidro K=4,5, vácuo K=1
ε0=8,85pF/m
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Relação entre tensão (U), carga elétrica (Q) e capacitância (C) em um capacitor
+ +
- -Q C
U Q=U.C
Q é a quantidade de cargas em Coulombs (C)
U é a tensão aplicada em volts (V)
C é a capacitância em Farads (F)
Ex: se C=100µF e U=10V qual a carga armazenada?
Q=100.10-6.10= 10-3C=1mC
A quantidade de carga é diretamente proporcional a U e a C
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Tântalo
EletrolíticoCerâmico
Poliéster
Tipo de Capacitores
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Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Capacitores Polarizados (Valor maior que 1uF)
Símbolo
Eletrolíticos
Tântalo
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Capacitores Não Polarizados (Valor menor que 1uF)
10 Numero: Primeiro Digito (1)
20 Numero: Segundo Digito (0)
30 Numero: Numero de zeros (00)
0.1=0.1uF
100n=100nF=0,1uF
C=1000pF=1nF
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Usando Código de Cores (Poliester)
Valor=270000pF=270nF=0,27uF
Vermelho=2
Violeta=7
Amarelo=4
Tolerância
20%
5%
10%
Máxima Tensão
100V
250V
400VAnalise de Circuitos em Corrente
Alternada - Ed. Erica
Qual o valor da capacitância? Da tolerancia? Da máxima tensão?
Amarelo=4Violeta=7
Laranja=3
Preto=20%
Vermelho=250V
Valor=47000pF=47nF=0,047uF
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Capacitores Variáveis
Trimmer
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Capacitor em CC
Vcc
VR
VC
No circuito, a chave é fechada em t=0, considerando que o capacitor está inicialmentedescarregado, VC(0)=0
t=0
VR=VCC
VC=0I
IVCC
De acordo com a 2a Lei de Kirchhoff: VCC=VR + VC (em qualquer instante)
Em t=0 VR(0) + VC(0)=VCC >>>>>>> VR(0)=VCC
RV
RVI CCR
)()( 00 C começa a se carregar, VC começa a aumentar......
...e VR começa a diminuir, conseqüentemente I
Depois de um tempo (que depende de C e R), o capacitor estará carregado
14
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Gráficos
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Conclusões:
•Do ponto de vista físico não existe movimento de cargas (corrente) através docapacitor (as cargas se movimentam no circuito externo)
•A corrente no capacitor está adiantada em relação à tensão
•O tempo de carga depende da constante de tempo do circuito definida comosendo =R.C, sendo C em Farads (F) R em Ohms ( em segundos(s)
VCC + +- -
I=0
R
C
VC=VCC
VR=0
•Na pratica bastam 4 constantes de tempo para carregar um capacitor
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
VR VC
Equações: Tensão no Capacitor e Resistor
7,56V
t=s
vc(t)=VCC.(1-e-t/RC) (Função Exponencial)
vR(t)=VCC.e-t/RC
na expressão de vC(t) vc(R.C)=VCC.(1-e-1)=0,63.VCC=7,56V
e=base do logaritmo neperiano=2,71828........
na expressão de vC(t) vc()=VCC.(1-e-0)=0
na expressão de vR(t) vR(0)=VCC.e-0=VCC=12VPara t=0
Para t= R.C=2s
na expressão de vR(t) vR(R.C)=VCC.e-1=0,37.VCC=4,44V
4,44V
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Carga Total
Teoricamente, de acordo com a equação de vC(t), o capacitor estará totalmente carregado para um tempo infinito.
Na prática podemos considerar o capacitor carregado para t=44.R.C
vc(4.R.C)=VCC.(1-e-4)=0,98.VCC=11,76VPara t=4.R.C
t= t=4.
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Descarga do Capacitor
Considerando o capacitor totalmente carregado com VC=VCC=12V
Como fazer para descarregar o capacitor ?
Deve haver um condutor entre as placas para que ocorra a descarga
Se for um fio a descarga será instantânea, caso contrario o tempo de descargadependerá da resistência.
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
4,4V
Vc=12.e-t/RC
Curva de Descarga
Para t=RC a tensão em C cai para v(RC)=0,37.Vcc=0,37.12=4,4V
15
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Associação de Capacitores
Serie
321
1111CCCCeq
Para dois em serie:21
21
CCCC
Ceq
.
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Paralelo
21 CCCeq
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Capacitores Polarizados
++
--100uF
++
--100uF
++
--50uF 50uF
++
--100uF
+ +
- -100uF
++
--100uF
++
--100uF
++
--200uF
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Capacitor em CA
Se a um capacitor ideal for aplicada uma tensão senoidal, a corrente resultante será senoidal e adiantada de 900 em relação à tensão aplicada.
v(t)= vC(t) =VP.senwt
Neste caso v(t)=VP.senw.t ou v=VP 00
IC(t)=IP.sen(w.t+900) ou IC=IP 900
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica
Reatância CapacitivaÉ a medida da oposição oferecida pelo capacitor à passagem da corrente alternadaé calculada por:
com C em Farads (F), f em Hertz (Hz) resultando XC em Ohms (Ω)
CCCC
C jXIV
IV
IVX
90900
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Exercício1: Calcule a intensidade da corrente no circuito em seguida desenheo diagrama fasorial, se a fase inicial da tensão é zero.
Solução: Como são dados C e a freqüência, podemos calcular areatância capacitiva (Xc) :
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V= 120V
I=4,5mA
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110V/60Hz
A
B
Calcular a intensidade da corrente para cada posição da chave.
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Circuito RC SérieNum RC serie a corrente continua na frente da tensão mas de um angulo menor do que 90º. Seja a fase da corrente igual a 900 (arbitrariamente).
I
vVR
VC
V
Ângulo de defasagem
logo = arccos(VR /V) cos = VR / V
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VR
VC
V
Triangulo das Tensões
Dividindo todos os lados por I teremos um triangulo chamado de Triangulo de Impedâncias
VR/I
VC/I
V/I
222CR VVV
Triangulo das Impedâncias
ZIV
Impedância do circuito
RI
VR Resistência do circuito
CC XI
V Reatância do circuito
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CX
RZ 222
CXRZ
ZRCos
Zz Z=R-jXC
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Triangulo das Potências
Se no triangulo das tensões os lados forem multiplicados por I obtemos o que É conhecido como Triangulo das Potências
VR.I
VC.I
V.I
IVPAp .IVP R.
IVP CR .
222RAp PPP
PAp=potência aparente (VA)
P=potência real (ativa)(W)
PR= potência reativa (VARC)
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Indutor
Chamamos de indutor a um fio enrolado em forma de hélice em cima de um núcleo que pode ser de ar ou de outro material. A figura mostra o símbolo para indutor com núcleo de ar, de ferro e de ferrite.
Força Eletromotriz InduzidaPara que uma tensão seja induzida em uma espira ou em um enrolamento, é necessário que haja variação do fluxo magnético através da espira ou do enrolamento. A figura a seguir mostra um exemplo de indução de tensão em um enrolamento (bobina).A Lei de Lenz diz que o sentido da corrente induzida deverá ter orientação de tal forma que origine um campo magnético variável que se opõe à variação do fluxo magnético original.
Fig04: Indução de tensão provocada pela variação da intensidade do campo magnético de um imã
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Indutor em Corrente ContínuaO que acontece quando no circuito da Fig. 02 fechamos a chave no
instante t=0? A tensão é aplicada no indutor mas a corrente leva um certo tempo para crescer, a explicação é um fenômeno chamado auto indução que faz aparecer uma tensão e que se oporá ao crescimento da corrente.
Ao abrir a chave, no instante t2, novamente esse fenômeno vai atuar na bobina não deixando a corrente se anular instantaneamente, fazendo aparecer uma tensão e com a polaridade tal que se opõe à diminuição da corrente. Observe que isso faz aparecer uma tensão nos terminais da chave que é igual a E + e, que pode causar uma arco de corrente.Concluímos que um indutor se opõe à passagem de uma corrente alternada (se opõe à variação de uma corrente) e que a corrente está atrasada em relação à tensão (a tensão já está aplicada e a corrente começa a aumentar).
A indutância (L) de um indutor é um parâmetro que dá a medida da capacidade que tem o indutor de armazenar energia no campo magnético, a sua unidade se chama Henry (H).
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( a ) ( b )
( c )Fig02: Indutor em CC ( a ) Instante que a chave é fechada ( b )
Corrente em regime ( c ) Instante que a chave é aberta
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Indutor em Corrente Alternada SenoidalA corrente em um indutor está atrasada em relação à tensão em um circuito CC. O que acontece se alimentarmos um
indutor ideal (não tem resistência ôhmica) de indutância L com uma tensão alternada senoidal de freqüência f ?Obs: Um indutor ideal (que não existe) não tem resistência ôhmica (R).
No circuito da Fig04, a corrente continua atrasada em relação à tensão e de um angulo bem definido, no caso 90º.Observe que a fase da tensão foi considerada arbitrariamente igual a 0º.
Fig04: Indutor em CA - (a) circuito; (b) diagrama fasorial (fasor em vermelho: corrente; fasor preto: tensão)
(b)(a)
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1.4. Reatância IndutivaComo vimos um indutor se opõe à variação de uma corrente. A medida desta oposição é dada pela sua reatância indutiva (XL), sendo calculada por:
IMPORTANTE !!!!!
Com L especificado em Henries (H), f em hertz ( Hz ), XL em ohms ( ).Exercício1: Uma bobina tem 0,1 H de indutância, sendo ligada a uma tensão de 110V, 60Hz. Determinar: a) Reatância da bobina (XL) b ) Valor da corrente no c ircuito ( I )
Solução: a) XL = 2. .60.0,1 = 37,7b) I = V / XL = 110 / 37,7 = 2,9A
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Circuito RL Serie
Na prática um indutor apresenta resistência ôhmica, portanto, em umIndutor a corrente sofre dois tipos de oposição:
•A resistência ôhmica do fio (R) que tende a manter tensão e corrente em fase
•A reatância indutiva (XL) que tende a defasar tensão e corrente em 900
A corrente ainda continua atrasada em relação à tensão mas de um ângulo menor do que 900
A combinação dos efeitos da resistência com da reatância é chamado de.......
Impedância (Z)
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Circuito RL serie Diagrama Fasorial
Considerando a fase da corrente nula
IVR
VL
V
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Impedância Indutiva (ZL)
A oposição que um indutor real oferece à passagem de uma correnteAlternada é uma combinação da resistência ôhmica com a reatânciaIndutiva sendo chamada de impedância
v v
II
IVZ
Numero complexo
Numero complexo
Numero complexo
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IVR
VL
V
i=I 00
vL=VL 900
vR=VR 0o
Relações no Circuito RL Serie
xL=XL 900 = jXL =
r = R 00 = R =
V=VR + VL dividindo por I IV
IV
IV LR
LjXRZ
IVL
IVR
Ou na forma polar.........IMPEDANCIA NA FORMA CARTESIANA
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Impedância na Forma Polar
Modulo: 22LXRZ
Fase:R
Xarctg L ouZRarccos
IVR
VL
V
Portanto..............
z=Z
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Exemplo: Dado o circuito pedem-se:
a) Valor da impedância e sua representação nas formas polar e cartesiana
c) Valor da corrente e sua representação nas formas polar e cartesiana
e) Diagrama fasorial
b) Valor de da indutância
d) Valor de VR e VL e suas representações na forma polar e trigonométrica
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a) A impedância na forma cartesiana é Z=30+j40 (Ω)
Na forma polar:
O modulo de Z A fase de Z
0533040
arctg 504030 22Z
Z=50 530 (Ω)
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b) Pela reatância indutiva tira-se L
LfX L ...2 mHL 106602
40
..
c) Corrente no circuito
)(, AZvI 0
0
03722
535090110
i=2,2.cos370 + j2,2.sen370 =1,75 +j1,32 (A)
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d) VR=R.I= 30 00 . 2,2 370 = 66 370 (V)
VR = 66 370 (V)
VL=XL.I= 40 900 . 2,2 370 = 88 1270 (V)
VL= 88 1270 (V)
))(.(..)...(..)( VtsentsentvR00 3737726637602266
))(.(..)( VtsentvL0127377288
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e) Diagrama Fasorial
V(110V)
VL(88)V
VR(66V)
I(2,2A)
530
370
1270
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Potencia Em um Circuito RL Serie
Para a analise da potencia seja o triangulo de tensões do diagrama fasorial
IVR
VL
V
Multipliquemos cada um dos lados por I, resultará o triangulo de potencia
IVR.I
VL.I
V.I
P=VR.I=V.I.cos é a potência real ou ativa do circuito (W)
PAP=V.I é a potencia aparente do circuito (VA)
PR=VL.I=V.I.sen é a potencia reativa do circuito (VARi)
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Triangulo de Potencias
P=VR.I
PR=VL.I
PAP =V.I222
RAP PPP
Fator de potencia
É UMA MEDIDA DO APROVEITAMENTO DA ENERGIA
È definido como sendo FP= cosΦ=P
PAP
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P=PAP.cosΦ=V.I.cos Φ
Carga Puramente ResistivaΦ=0 portanto cos Φ=1 a carga aproveita toda a energia fornecida
Pelo gerador
Φ=90 portanto cos Φ=0 não há potencia ativa a carga troca energia entre o gerador.
Carga Puramente Indutiva
Carga Indutiva e ResistivaΦ<90 portanto cos Φ<1 há potencia ativa a carga aproveita apenas uma parte da energia fornecida.
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b) FP=0,6
1) A potencia consumida (ativa) por uma instalação elétrica
é de 2400W. Se a tensão de alimentação é 220V, calcular a potencia aparente e corrente quando:
a) FP=0,9
2) Um circuito consome 10A, quando ligado em 220V. Um wattimetro ligado ao circuito indica 2000W. Calcular o fator de potencia do circuito e a potencia reativa.
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3) No circuit0 a leitura dos instrumentos é V=220V. I=55A e P=10KW.
Calcular: a ) Impedância do circuito b) Valor da resistência e indutância (f=60Hz) c) Potencia aparente e reativa d ) FP
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4) No circuito VR(t)=10.sen(ω.t-300)(V). Determinar:
a) i(t) b) v(t)
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Circuitos Mistos
Para resolver um circuito misto, deveremosprimeiramente calcular a impedância equivalente,para em seguida calcularmos todas ascorrentes e tensões. Portanto é um procedimentosemelhante ao adotado na analise de circuitosresistivos, somente que agora temos elementosreativos presentes, sendo necessário usar comoferramenta de analise os números complexos.
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Exemplo: Resolver o circuito
I1=IT
I2
I3
IT
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Z5 = Z3 + Z4 = 10 -j10 ( ) = 14,1 -45º() Z2 = 20 90º ()
Z6 = Z2 // Z5 = (Z2.Z5)/(Z2 + Z5 )= (20 90º x14,1 - 45º )/(j20 + (10- j10) =(282 45o )/(10+j10)
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Z6= (282 45º )/14,1 45º ) =20 0º =20 ()
ZE = Z1 + Z6 = -j10 + 20 = 20 - j10 = 22,36 -26,5º()
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I2 =( 44,8 26,5º )/(20 90º)=2,24 - 63,5º (A)
I3 =( 44,8 26,5º )/(14,1 -45º ) = 3,17 71,5º (A)
O Fator de potencia do circuito é:
FP=coscos26,5º=0,895
E a Potencia real:
P = U. I.cos = 50.2,24.cos26,5º = 100W
Calculo das Correntes
I1 = V/ZE =( 50 0º )/(22,36 -26,5º) = 2,24 26,5º (A)
I1U6 =Z6.I1=20 0º x 2,24 26.5º = 44,8 26.50 (V) e como
U6 = U2 =U5 então U6 I2
I3
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Correção do Fator de Potência
Situação Atual: Antes da correção
FP=cosΦ1<0,92 INADEQUADO
POR QUE CORRIGIR?
•DIMINUIÇÃO DA CORRENTE NA LINHA DE ALIMENTAÇÃO.
•MULTA DA CONCESSIONARIA
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Correção do Fator de Potência
Situação Desejável
FP=cosΦ2>0,92 ADEQUADO
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O FP aumenta de cosΦ1 para cos Φ 2
P é a potência ativa (Watts) do circuito,
w é a frequência angular
V é o valor eficaz da tensão
Cálculo do Capacitor
)21.(. 2 tgtgVwPC
Obs: ver a dedução na bibliografia
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Calcular C no circuito para que o FP do circuito aumente para 0,94
Exemplo
Deseja-se cosΦ1 =0,662 >>>>>> cosΦ2 =0,94 P = UxIxcos Φ 1 =220x14,46x0,662 =2108W
Faça download do arquivo Exemplo usando microcap e execute no seu PC se tiver instalado o software MicroCap9
Calcule o FP
F.P atual =0,662
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Observe o que acontece quando ligamos o capacitor de 75uF. A corrente na carganão muda, mas a corrente na linha diminui. Esse é o objetivo, diminuir a
corrente na LINHA, mantendo as condições da carga (por exemplo um motor continuaráoperando com a mesma potência) e consumindo a mesma corrente
Conclusão
A corrente de linha diminui para 10,56A
Mas a corrente na carga se mantem no mesmo valor 14,47A
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Circuitos Trifásicos
SÃO NECESSARIOS QUANDO A CARGA CONSOME MUITA POTENCIA (CORRENTE E TENSÃO ALTA).
AS TRES TENSÕES SÃO DEFASADAS ENTRE SI DE 1200
CARGA E GERADOR PODEM SER LIGADOS DE DUAS FORMAS: ESTRELA E TRIANGULO.
CONSIDERAREMOS SOMENTE CARGA BALANCEADA (AS TRES IMPEDANCIAS SÃO IGUAIS)
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LIGAÇÃO ESTRELA
VA=VF
VC
VB
VCA
VAB=VL
VCB
Tensões de Fase (TENSÃO DO GERADOR): VA=VB=VC=VF
Tensões de Linha( TENSÃO ENTRE AS LINHAS): VCA=VCB=VAB=VL
IN
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Corrente de Fase: IA,IB,IC
Corrente de Linha: corrente na linha que liga o gerador à carga
Para a Ligação estrela: IF=IL
Relação entre tensão de fase (VF) e tensão de linha (VL)
FL V.V 3
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Considere que no circuito Z1=Z2=Z3= 10 Ohms resistiva
Calcular: a)Tensões de fase e de linha
b) Correntes de fase, de linha e no neutro
120V/fase 0IN
120V/fase -120
120V/fase 120
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LIGAÇÃO TRIANGULO
Tensões de Fase: VCA, VAB, VBC VF=VL
RELAÇÃO ENTRE AS CORRENTE DE LINHA E DE FASE
A
B CIAC=IF
IF.IL 3