Teoria miary i caki

Spis treci

1 Wstp 3

2 Algebra zbiorw 5

3 Piercienie, ciaa, ciaa zbiorw. 73.1 Denicja piercienia ciaa i ciaa . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Piercie, ciao i ciao generowane przez rodzin zbiorw. . 103.3 Rodziny monotoniczne zbiorw . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Ppiercienie 134.1 Denicja ppiercienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Piercie generowany przez ppiercie . . . . . . . . . . . . 134.3 Iloczyn kartezjaski ppiercieni . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Funkcje addytywne i miary. 175.1 Pojcie funkcji addytywnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.2 Miary na ciele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.3 Zupeno miary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6 Funkcje addytywne i miary na ppiercieniach 236.1 Funkcje addytywne i miary na dowolnej rodzinie zbiorw . . . 236.2 Przeduanie funkcji addytywnych i miar z ppiercienia na

piercie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7 Funkcja addytywna na iloczynie kartezjaskim ppiercieni 267.1 Miara Jordana generowana przez funkcj addytywn . . . . . 27

8 Miara zewntrzna 288.1 Denicja i wasnoci miary zewntrznej . . . . . . . . . . . . 288.2 Twierdzenie Caratheodyrego . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288.3 Oglna metoda konstrukcji miary zewntrznej . . . . . . . . . 338.4 Miara zewntrzna generowana przez funkcj addytywn na

ppiercieniu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1

9 Miara Lebesquea w Rk 359.1 Przedziay kwymiarowe, gury elementarne . . . . . . . . . 359.2 Objto gur elementarnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389.3 Miara zewntrzna Lebesquea w Rk. . . . . . . . . . . . . . . 409.4 Zbiory mierzalne w sensie Lebesquea . . . . . . . . . . . . . . 419.5 Zbiory borelowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469.6 Miara wewntrzna Lebesquea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479.7 Miara Jordana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489.8 Jedyno miary Lebsquea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

10 Funkcje mierzalne 5210.1 Denicja funkcji mierzalnych, podstawowe wasnoci . . . . . 5210.2 Cigi funkcji mierzalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5710.3 Funkcje proste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5810.4 Funkcje mierzalne wzgldem ciaa zbiorw mierzalnych w

sensie Lebesquea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

11 Zbieno prawie wszdzie i zbieno wedug miary 63

12 Caka Lebesquea 6512.1 Caka funkcji nieujemnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6512.2 Funkcje cakowalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

13 Caka Lebesquea a caka Riemanna 72

14 Iloczyn kartezjaski miar 7314.1 Iloczyn kartezjaski ppiercieni . . . . . . . . . . . . . . . . 7314.2 Miara na iloczynie kartezjaskim ppiercieni . . . . . . . . . 7414.3 Iloczyn kartezjaski przestrzeni z miar . . . . . . . . . . . . 74

15 Miary zespolone 76

2

1 Wstp

Problem. Czy istnieje funkcja : 2Rk [0, ] taka, e

(i) () = 0,

(ii) (n=1

An) =n=1

(An),

(iii) (P ) = |P | dla dowolnego przedziau kwymiarowego P,(iv) (A+ x) = (A) dla dowolnego zbioru A Rk i dowolnego x Rk.

Twierdzenie 1.1 Nie istnieje funkcja : 2R [0, ] speniajca warunki(i), (ii), (iii), (iv).

Dowd. Zamy, e funkcja : 2Rk [0, ] spenia warunki (i), (ii), (iii).

Zauwamy, e z warunku (ii) wynika, e dla dowolnych zbiorw A, B R,jeeli A B, to (A) 6 (B).

Zdeniujmy zbir V [0, 1] w nastpujcy sposb. Zdeniujmy relacj w zbiorze [0, 1] w sposb nastpujcy: x y x y Q. atwo spraw-dzi, e relacja jest relacj rwnowanoci w [0, 1]. Jak wiadomo dowolnarelacja w zbiorze rozbija ten zbir na sum rodziny podzbiorw niepustychi parami rozcznych mianowicie na sum klas abstrakcji tej relacji. NiechV bdzie zbiorem zawierajcym po dokadnie jednym elemencie kadej kla-sy abstrakcji relacji . Ustawmy dalej wszystkie liczby wymierne odcinka[1, 1] w cig q1, q2, ... i niech Vn = qn+V. Wwczas z warunku (iv) mamy(Vn) = (V ). Zauwamy, e Vn Vm = gdy n = m. Mog zaj dwaprzypadki. Albo (V ) = 0 albo (V ) > 0. Rozpatrzmy najpierw pierwszyprzypadek. Jeeli x [0, 1], to zbir V zawiera dokadnie jeden element vklasy abstrakcji [x]. Z denicji relacji mamy xv Q. Ale xv [1, 1]wic istnieje takie n, ze x v = qn, zatem x = v + qn, std za wynika, ex Vn. Pokazalimy wic, e [0, 1]

n=1

Vn, wic

1 = ([0, 1]) 6 (n=1

Vn) =n=1

(Vn) = 0.

Zatem przypadek (V ) = 0 jest niemoliwy. Std wynika, e musi by(V ) > 0. Zauwamy, e dla dowolnego n N mamy Vn [1, 2] wicn=1

Vn [1, 2]. Std wynika, e (n=1

Vn) 6 3 ale to prowadzi do sprzecz-

noci, bo

(n=1

Vn) =n=1

(Vn) =n=1

(V ) =.

3

Tak wic nie moliwe jest zdeniowanie miary zdeniowanej na wszyst-kich podzbiorach R tak aby speniaa ona naturalne warunki (i) - (iv).

Zbir V zdeniowany w dowodzie powyszego twierdzenia nazywa sizbiorem Vitaliego.

4

2 Algebra zbiorw

Denicja 2.1 Niech A bdzie podzbiorem ustalonego zbioru X. Wwczasdla {1, 1} przez A oznaczamy zbir zdeniowany nastpujco:

A =

{A jeeli = 1A jeeli = 1

Lemat 2.1 Niech A1, ..., An bd podzbiorami zbioru X. Wwczas dla do-wolnego i = 1, ..., n mamy:

Ai =i=1

A11 ... Ann

Dowd. Inkluzja jest oczywista. Aby uzasadni inkluzj wystarczyzauway, e jeeli x Ai, to x A11 . . . Ann , gdzie

j =

{1 jeeli i = j;0 jeeli i = j.

Denicja 2.2 Mwimy, e rodzina zbiorw parami rozcznych S jest roz-biciem rodziny R jeeli:(a) dowolny zbir rodziny S jest zawarty w pewnym zbiorze rodziny R;(b) dla dowolnego zbioru A R istnieje skoczona podrodzina S0 S

taka, eS0 = A.

Z lematu 2.1 wynika:

Twierdzenie 2.1 Niech R = {A1, ..., xn} bdzie dowoln skoczon rodzi-n podzbiorw zbioru X. Niech S bdzie rodzin skadajca si z wszystkichzbiorw postaci

A11 ... Anngdzie 1, ..., n {1, 1} s takie, e co najmniej jeden z wskanikw inie jest rwny 1. Wwczas rodzina S jest rozbiciem rodziny R.

Z denicji granicy grnej i dolnej wynika, e

x lim supn

An x An dla nieskoczenie wielu n,

orazx lim inf

n An x An dla prawie wszystkich n.Zatem mamy zawsze

lim infn An lim supn An.

5

Denicja 2.3 Mwimy, e cig zbiorw (An) jest zbieny do zbioru A (albo,e A jest granic cigu (An), jeeli

lim infn An = lim supn

An = A.

Zauwamy, e jeeli (An) jest cigiem zstpujcym zbiorw (to znaczy gdyAn+1 An dla dowolnego n N, to dla dowolnego m N mamy

m=n

Am = An,

m=nAm =

n=1

An,

zatem

lim infn An = lim supn

An =n=1

An.

Analogicznie, jeeli (An) jest cigiem wstpujcym zbiorw to

lim infn An = lim supn

An =n=1

An.

Denicja 2.4 Mwimy, e cig zbiorw (An) jest cigiem monotonicznym,jeeli jest wstpujcym, albo zstpujcym.

Tak wic dowolny cig monotoniczny zbiorw ma granic.

6

3 Piercienie, ciaa, ciaa zbiorw.3.1 Denicja piercienia ciaa i ciaaNiech X bdzie niepustym zbiorem a M rodzin podzbiorw zbioru X.

Denicja 3.1 Mwimy, e niepusta rodzina zbiorw M jest piercieniem,jeeli spenione s nastpujce warunki:

(a) M;(b) A,B M A B M;(c) A,B M A \B M.

Zauwamy, e jeli zaoy warunek (b) powyszej denicji to warunek (a)jest rwnowany temu, e M jest rodzin niepust.

Uwaga 3.1 Z warunku (b) powyszej denicji poprzez indukcj matema-tyczn dowodzimy, e A1 ... An M dla dowolnych A1, ..., An M.

Przykad 3.1 (a) Rodzina wszystkich podzbiorw skoczonych zbioru Xjest piercieniem.

(b) Jeeli A jest dowolnym podzbiorem X, to rodzina dwuelementowa{, A} jest piercieniem.

(c) Niech P bdzie rodzin wszystkich przedziaw ograniczonych (bie-rzemy przedziay wszystkich moliwych typw, to znaczy przedziay otwarte,domknite, i oba typy przedziaw domknito otwartych, przyjmujemy, ezbir pusty jest przedziaem (x, x).) atwo udowodni, e rodzina

M = {P1 ... Pn : P1, ..., PninP}

jest piercieniem.(d) Wszystkie podzbiory Rk mierzalne w sensie Jordana tworz piercie.

Uwaga 3.2 Jeeli M jest piercieniem zbiorw, to A B M dla dowol-nych zbiorw A,B M.

Dowd Mamy A B = A \ (A \B) M.Poprzez indukcj matematyczn podobnie jak w przypadku sumy dowo-

dzimy, e A1 ... An M dla dowolnych A1, ..., An M.

Denicja 3.2 Mwimy, e rodzina M jest ciaem podzbiorw zbioru Xjeeli spenione s nastpujce warunki:

(a) M,(b) A,B M A B M,(c) A M A M.

7

Poniewa = (A A) wic przy zaoeniach (a) i (b) warunek (a)jest rwnowany niepustoci rodzinyM. Z warunkw (a) i (c) denicji ciaazbiorw wynika, e X M dla dowolnego ciaa podzbiorw zbioru X.Przykad 3.2 (a) Rodzina 2X wszystkich podzbiorw zbioru X jest ciaemzbiorw.

(b) Rodzina {, X} jest ciaem podzbiorw X.(c) Niech M bdzie rodzin tych podzbiorw zbioru X ktre s sko-

czone, lub ktrych dopenienia s skoczone. atwo sprawdzi, e M jestciaem podzbiorw X.

Twierdzenie 3.1 Dowolne ciao zbiorw jest piercieniem.

Dowd. Jeeli M jest ciaem podzbiorw X, to dla dowolnych A,B Mmamy A B = (A B) wic z warunkw (b) i (c) denicji 3.2 mamyA \B M.

Jak atwo zauway, piercie podzbiorw zbioru X jest ciaem wtedy itylko wtedy gdy zawiera X.

Denicja 3.3 Mwimy, e M jest ciaem podzbiorw zbioru X, jeelispenione s nastpujce warunki:

(a) M,(b) jeeli An M dla dowolnego n N, to

n=1

An M,

(c) A M A M.Przykad 3.3 (a) Dowolne skoczone ciao zbiorw jest ciaem.

(b) Rodzina 2X wszystkich podzbiorw zbioru X jest ciaem.(c) NiechM = {A X : A przeliczalny lub A przeliczalny}. Sprawdzasi atwo, e M jest ciaem podzbiorw zbioru X.

Ciao zbiorw zdeniowane w punkcie (c) przykadu 3.2 w przypadkugdy zbir X jest nieskoczony jest ciaem ale nie jest ciaem podzbiorwzbioru X.

Twierdzenie 3.2 Dowolne ciao jest ciaem.Dowd Niech M bdze ciaem podzbiorw zbioru X i wemy dwa do-wolne dwa zbiory A,B M. Zdeniujmy cig zbiorw (An) w sposb na-stpujcy:

A1 = A, A2 = B, An = gdyn 3.Wwczas An M dla dowolnego n zatem

A B =n=1

An M.

8

Poniewa dla dowolnego cigu zbiorw (An) zachodz wzory de Morgana:n=1

An = (n=1

An),

n=1

An = (n=1

An)

wic mamy nastpujce twierdzenie

Twierdzenie 3.3 M jest ciaem wtedy i tylko wtedy gdy spenia warunki(a) i (c) denicji 3.3 oraz

An M dla dowolnego n Nn=1

An M.

Nastpujce dwa twierdzenia pokazuj, e w przypadku gdy rodzina Mjest ciaem warunek (b) w denicji ciaa mona osabi. Pierwsze z tychtwierdze mwi, e wystarczy zakada aby suma cigu zbiorw paramirozcznych naleaa do M, a drugie e suma cigu wstpujcego naley doM.

Twierdzenie 3.4 Ciao M podzbiorw zbioru X jest ciaem jeeli spe-nia nastpujcy warunek:

An M, An Am = (n,m N, n = m) n=1

An M.

Dowd. Niech Bn bdzie cigiem dowolnych zbiorw nalecych do ciaaMi niech zbiory An bd zdeniowane w nastpujcy sposb A1 = B1, An =Bn \ (B1 ... Bn1) gdy n > 1. Wwczas (An) jest takim cigiem zbio-rw rozcznych, e

n=1An =

n=1Bn. Poniewa M jest ciaem podzbio-

rw X wic An M dla dowolnego n. Std na podstawie zaoenia mamyn=1Bn M.

Twierdzenie 3.5 Na to aby ciao zbiorw byo ciaem wystarcza abyspeniony by nastpujcy warunek:

An M, An An+1 (n N) n=1

An M.

Twierdzenie to dowodzimy podobnie jak poprzednie przyjmujc Bn = A1 ... An.Twierdzenie 3.6 Na to aby ciao zbiorw byo ciaem wystarcza abyspeniony by nastpujcy warunek:

An M, An+1 An (n N) n=1

An M.

Twierdzenie 3.7 Przekrj dowolnej iloci piercieni, podzbiorw zbioru Xjest piercieniem podzbiorw X. Analogicznie przekrj dowolnej iloci cia(cia) podzbiorw zbioru X jest ciaem (-ciaem).

9

3.2 Piercie, ciao i ciao generowane przez rodzin zbio-rw.

Twierdzenie 3.8 Jeeli R jest dowoln rodzin podzbiorw X, to istniejenajmniejszy piercie, najmniejsze ciao i najmniejsze ciao podzbiorwzbioru X zawierajce R.Dowd. Jak atwo zauway iloczyn

{M ; M piercie podzbiorw X, R M}jest najmniejszym piercieniem zawierajcym R.Denicja 3.4 Najmniejszy piercie zawierajcy rodzinR nazywamy pier-cieniem generowanym przez rodzin R i oznaczamy przez P (R). Analogicz-nie najmniejsze ciao (ciao) podzbiorw zbioru X zawierajce rodzinR nazywamy ciaem (ciaem) generowanym przez R. Ciao generowaneprzez rodzinR oznaczamy F (R), natomiast przez (R) oznaczamy ciaogenerowane przez R.

Bezporednio z powyszej denicji i z tego, e piercie jest ciaem aciao ciaem dostajemy inkluzj:

P (R) F (R) (R).

3.3 Rodziny monotoniczne zbiorw

Twierdzenie 3.9 Zamy, e N jest ciaem podzbiorw zbioru X i niechM bdzie najmniejsz rodzin podzbiorw zbioru X tak, e

(a) N M,(b) A M A M,(c) An M, An An+1, dla n N

n=1

An M.Wwczas M = (R).

Dowd. Na podstawie twierdzenia 3.5 wystarczy pokaza, eM jest ciaemzbiorw. Dla dowolnego A M niech:

M(A) := {B M : A B, A \B, B \A, A B M}.Z denicji M(A) wynika, e

A M(B) B M(A). (1)Udowodnimy, e dla dowolnego A M rodzina M(A) spenia warunki (b) i(c) dowodzonego twierdzenia. Niech B M(A) wwczas

A B = (B \A) M,

10

A \B = A B M,B \A = (B A) M,A B = A \B M.

Zamy dalej, e (Bn) jest cigiem wstpujcym zbiorw nalecych doM(A). Wwczas

A n=1

Bn =n=1

(A Bn) M,

A n=1

Bn =n=1

(A Bn) M,

A \n=1

Bn = A (n=1

Bn) = A (n=1

Bn) =n=1

(A Bn) =n=1

(Bn A) = (n=1

Bn A) M,

n=1

Bn \A =n=1

(Bn \A) M.

Zauwamy, e jeeli A N, to N M(A) zatem z (1) mamy N M(A) dladowolnego A M. ZatemM(A) spenia warunki (i), (ii), (iii). Std wynika,e M =M(A), dla dowolnego A M zatem M jest ciaem zbiorw.

Denicja 3.5 Mwimy, e rodzina N podzbiorw zbioru X jest rodzinmonotoniczn, jeeli granica dowolnego cigu monotonicznego zbiorw na-lecych do N naley do N.

Oczywicie dowolne ciao zbiorw jest rodzin monotoniczn. Z prawde Morgana wynika, e ciao M jest rodzin monotoniczn wtedy i tyl-ko wtedy gdy dla dowolnego cigu (An) zbiorw nalecych do M mamyn=1An M. Z twierdzenia 3.5, wynika, e ciao jest ciaem wtedy i

tylko wtedy gdy jest rodzin monotoniczn.Podobnie jak w twierdzeniu 3.8 dowodzimy, e dla dowolnej rodziny R

podzbiorw zbioru X istnieje najmniejsza rodzina monotoniczna zawieraj-ca R. Najmniejsz rodzin monotoniczn zawierajc rodzin R bdziemyoznacza przez M(R).

Twierdzenie 3.10 Niech N bdzie dowolnym ciaem podzbiorw zbioru X.Wwczas ciao generowane przez rodzin N pokrywa si z najmniejszrodzin monotoniczn zawierajc N, to znaczy mamy rwno (N) =M(N).

11

Dowd. NiechM = {A M(N) : A M(N)}.

Wwczas M jest rodzin monotoniczn zawierajc N i zawart w M(R).Std wynika, eM =M(M). Ale z denicjiM wynika, eM wraz z kadymzbiorem zawiera dopenienie tego zbioru. Inaczej mwic jeeli A M(N),to A M(N). Na podstawie twierdzenia 3.9 mamy M(N) = (N).

12

4 Ppiercienie

4.1 Denicja ppiercienia

Denicja 4.1 Mwimy, e niepusta rodzina R jest ppiercieniem jeeli(a) jeeli A, B R to A B R,(b) dla dowolnych zbiorw A, B R istniej zbiory C1, ..., Cn R

parami rozczne takie, e

A \B = C1 ... Cn.

Z niepustoci ppiercienia warunku (b) wynika, e R.

Przykad 4.1 Jeeli P jest rodzin zbiorw parami rozcznych, zawiera-jc zbir pusty, to P jest ppiercieniem.

Podstawowy przykad ppiercienia stanowi rodzina wszystkich prze-dziaw w R.

Denicja 4.2 Przedziaem w R nazywamy jeden ze zbiorw postaci

(a, b), [a, b), [a, b], (a, b],

gdzie a 6 b. Rodzin wszystkich przedziaw w R bdziemy oznacza przezI.

Zauwamy, e w denicji przedziau zakadamy tylko, e zachodzi sabanierwno a 6 b, zatem zbir pusty i zbir jednopunktowy s rwnieprzedziaami.

Twierdzenie 4.1 Rodzina I wszystkich przedziaw w R jest ppiercie-niem.

Dowd. Iloczyn dwch przedziaw jest przedziaem. Natomiast rnicaP1 P2 dwch przedziaw jest sum co najwyej dwch przedziaw.

4.2 Piercie generowany przez ppiercie

Twierdzenie 4.2 Niech R bdzie tak niepust rodzin podzbiorw zbioruX, e dla dowolnych zbiorw A, B R istniej zbiory C1, ..., Cn Rtakie, e

A \B = C1 ... Cn. (2)Wwczas

P (R) = {C1 ... Cn : C1, C2, ..., Cn R}. (3)

13

Dowd. Oznaczmy przezM rodzin zbiorw wystpujc po prawej stronierwnoci (3). Oczywicie R M oraz M P (R). Aby pokaza rwnowystarczy pokaza, e M jest piercieniem. Poniewa z denicji rodziny Mwynika, e jest to rodzina zamknita na sumy skoczone, wic wystarczypokaza, e A \B M dla dowolnych A,B M.

Udowodnimy najpierw przez indukcj wzgldem n, e jeeli A R, orazB = B1 ... Bn, gdzie B1, ..., Bn R, to A \ B M. Inaczej mwic,e A \ B M, gdy A R, oraz B M. W przypadku n = 1 dostajemyA \ B M na podstawie zaoenia. Przypumy, e dowodzone wynikaniejest prawdziwe dla pewnego n N. Zamy, e A, B1, ..., Bn+1 R, B =B1 ... Bn+1. Wwczas:

A \B = [A \ (B1 ... Bn)] \Bn+1.Z zaoenia indukcyjnego zbir A \ (B1 ... Bn) daje si przedstawi wpostaci sumy C1 ... Cm, zatem

A \B = (C1 \Bn+1) ... (Cm \Bn+1).Poniewa kady ze zbiorw Ci \ Bn+1 M i rodzina M jest zamknita nasumy skoczone, wic A \B M.

Rozpatrzmy teraz przypadek oglny gdy oba zbiory A, B nale do M.Zamy, e A = A1 ... An, wwczas

A \B = (A1 \B) ... (An \B)a poniewa Ai \B M dla i = 1, ..., n wic A \B M.

Twierdzenie 4.3 Jeeli rodzina R jest ppiercieniem, toP (R) = {C1 ... Cn : Ci R, Ci Cj = (i = j)}

Dowd.Oznaczmy przezM rodzin wystpujc po prawej stronie rwnociJak atwo zauway, rodzina ta jest zamknita na iloczyny skoczone. Napodstawie twierdzenia 4.2 wystarczy pokaza, ze C1 ... Cn M dladowolnych zbiorw C1, ..., Cn M. Dowd przeprowadzamy przez indukcjwzgldem n. Dla n = 1 dowodzone wynikanie wynikanie jest oczywiste.Zamy, e jest prawdziwe dla pewnego n N, i wemy dowolne zbioryC1, ...., Cn+1 R. Z zaoenia indukcyjnego istniej parami rozcznezbiory D1, ..., Dm R takie, e C1 ... Cn = D1 ... Dm. Wwczassum C1 ... Cn+1 mona przedstawi w postaci sumy A B gdzie:

A = C1 ... Cn, B = Cn+1 \ (C1 ... Cn)Poniewa zbiory A, B s rozczne wic wystarczy pokaza, e B M.Mamy

B = (Cn+1 \ C1) ... (Cn+1 \ Cn).

14

Z zaoenia, ze R jest ppiercieniem wynika, e kady ze zbiorw Cn+1 \Cinaley doM dla dowolnego i = 1, ..., n. Poniewa rodzinaM jest zamknitana iloczyny skoczone wic B M.

Twierdzenie 4.4 Niech P bdzie ppiercieniem i zamy, e mamy sko-czon rodzin R = {A1, ..., An} zbiorw nalecych do P. Wwczas istniejzbiory B1, ...., Bm P takie, e rodzina {B1, ..., Bm} jest rozbiciem R.

Dowd. Jeeli P jest piercieniem to rodzin t jest rodzina zdeniowanaw twierdzeniu 2.1. W przypadku oglnym oznaczmy przez M piercie ge-nerowany przez P, i niech rodzina {B1, ..., Bm} elementw piercienia Mbdzie rozbiciem rodziny R. Z twierdzenia 4.3 wynika, e kady ze zbiorwBi mona zapisa w postaci sumy zbiorw rozcznych:

Bi = Ci1 ... Cini ,

gdzie Ciji P dla i = 1, ..., n oraz j = 1, ..., ni. Jak atwo zauwayrodzina

{Cij : i = 1, ..., n, j = 1, ..., ni}jest rozbiciem rodziny R.

4.3 Iloczyn kartezjaski ppiercieni

Twierdzenie 4.5 Zamy, e P1, P2 s ppiercieniami.

P = {AB : A P1, B P2}. (4)

Wwczas P jest rwnie ppiercieniem.

Dowd Mamy

(AB) (C D) = (A C) (B D)

oraz

(AB) \ (C D) = (AB) (C D) = [(A \ C)B] [A (B \D)] == [(A \ C) (B D)] [(A \ C) (B \D)] [(A C) (B \D)]

Zauwamy, e wszystkie trzy zbiory wystpujce w ostatniej sumie s paramirozczne. Wystarczy wic pokaza, e kady z nich jest sum rozcznychzbiorw nalecych do rodziny P. Zamy, e

A \ C =i=1

Ei, B \D =mj=1

Fj ,

15

gdzie zbiory Ei, Fj nale odpowiednio do P1, P2. Wwczas

(A \ C) (B D) =ni=1

[Ei (C D)],

(A \ C) (B \D) =ni=1

mj=1

(Ci Dj),

(A C) (B \D) =mj=1

[(A C)Dj ].

Jak atwo zauway wszystkie zbiory wystpujce po prawej stronie w trzechostatnich rwnociach nale do P i s parami rozczne. .

Wykorzystujc poprzednie twierdzenie poprzez indukcj matematyczndowodzimy:

Twierdzenie 4.6 Jeeli P1, ..., Pn s ppiercieniami to rodzina

P = {A1 ... An : Ai Pi dla i = 1, ..., n}

jest ppiercieniem.

16

5 Funkcje addytywne i miary.

5.1 Pojcie funkcji addytywnej

Denicja 5.1 Niech X bdzie dowolnym zbiorem a M piercieniem pod-zbiorw X. Mwimy, e funkcja : M [0,] jest funkcj addytywn,jeeli

(i) () = 0;(ii) (AB) = m(A)+m(B) dla dowolnych zbiorw A, B M takich,

e A B = .

Przykad 5.1 (a) Zamy, e M = 2X i niech: (A) = ilo elementwAgdy A jest podzbiorem skoczonym A i (A) = dla nieskoczonych pod-zbiorw X. Funkcja jest funkcj addytywn na M.

(b) Niech bdzie zbiorem skoczonym n elementowym i niech dla do-wolnego zbioru A :

(A) =ilo elementw zbioru A

n.

Indukcyjnie dowodzimy

Uwaga 5.1 Jeeli jest funkcj addytywn na piercieniu M, to

(A1 ... An) = (A1) + ... + (An)dla dowolnych zbiorw A1, A2, ..., An M parami rozcznych.

Twierdzenie 5.1 Jeeli jest funkcj addytywn na na piercieniu M, to(a) jeeli A, B M oraz B A, to (B) (A).(b) (A\B) = (A)\(B) dla dowolnych A, B M takich, e B A,

oraz (B)

Przez indukcj matematyczn dowodzimy, e dowolna funkcja podaddy-tywna spenia warunek

(A1 ... An) (A1) + ... + (An)dla dowolnych A1, ..., An M.Twierdzenie 5.2 Jeeli jest funkcj addytywn na piercieniu M, to

(n=1

An) n=1

(An)

dla dowolnego cigu (An) parami rozcznych zbiorw nalecych do ciaatakiego, e

n=1

An M.

Dowd. Z punktu (a) twierdzenia 5.1 i uwagi 5.1 dla dowolnego m Nmamy:

(n=1

An) (mn=1

An) =mn=1

(An).

Przechodzc z m do dostajemy dowodzon nierwno.

5.2 Miary na cieleDenicja 5.3 NiechX bdzie zbiorem niepustym aM dowolnym ciaempodzbiorw X. Mwimy, e funkcja :M [0,] jest miar jeli:

(i) () = 0,(ii) Dla dowolnego cigu (An) zbiorw parami rozcznych nalecych

do M zachodzi rwno:

(n=1

An) =n=1

(An).

Jeeli (X) < to mwimy, e miara jest miar skoczon, a jeeli(X) = 1 to miar nazywamy miar probabilistyczn. Jeeli istniej takie

zbiory An M, e (An) < oraz X =n=1

An, to mwimy, e miara

jest miar skoczon.Uwaga 5.2 Dowolna miara jest funkcj addytywn.

Dowd. Zamy, e A, B M s zbiorami rozcznymi i niechA1 = A, A2 = B, An = gdy n 3.

Poniewa zbiory An s parami rozczne wic:

m(A B) = m(n=1

An) =n=1

m(An) = m(A) +m(B).

18

Przykad 5.2 (a) Niech (n) bdzie cigiem liczb nieujemnych. Zdeniuj-my funkcj

: 2N [0,]wzorem:

(A) =nA

n

atwo sprawdzi, e jest miar na 2N.(b) Niech X bdzie zbiorem niepustym a x dowolnym punktem zbioru

X. Funkcja x : 2X {0, 1} okrelona wzorem

x(A)) ={0, gdy x A;1, gdy x A.

jest miar. Miar t nazywamy miar Diraca.

Twierdzenie 5.3 Jeeli jest miar na ciele M, to

(n=1

An) n=1

(An) (5)

dla dowolnych zbiorw An M.Dowd. Niech Bn bd zbiorami zdeniowanymi w nastpujcy sposb:

B1 = A1, Bn = An \ (A1 ... An1).Zbiory Bn s parami rozczne, nale do M oraz

n=1An =

n=1Bn.

Poniewa Bn An, wic

(n=1

An) = (n=1

Bn) =n=1

(Bn) n=1

(An).

Denicja 5.4 Funkcj okrelon na ciele M o wartociach w [0, ] ispeniajc dla dowolnych zbiorw An M warunek (5) nazywamy funkcjprzeliczalnie podaddytywn.

Twierdzenie 5.4 Funkcja okrelona na ciele M jest miar wtedy itylko wtedy gdy jest funkcj addytywn i przeliczalnie podaddytywn.

Dowd. Konieczno wynika z twierdzenia 5.3, natomiast wystarczalno ztwierdzenia 5.2.

Twierdzenie 5.5 Jeeli jest miar na ciele M, to

(n=1

An) = limn(An) (6)

dla dowolnego cigu wstpujcego cigu zbiorw (An).

19

Dowd. Zdeniujmy cig zbiorw (Bn) w nastpujcy sposb:

B1 = A1, Bn = An \An1 gdy n > 1.Oczywicie Bn M dla dowolnego n N, ponadto zbiory Bn s paramirozczne, oraz

n=1Bn =

n=1An. Std

(n=1

An) = (n=1

Bn) =n=1

(Bn) = limm

mn=1

(Bn) =

limm(

mn=1

Bn) = limm(Bm).

Twierdzenie 5.6 Jeeli jest funkcj addytywn na ciele M spenia-jc warunek (6) z tezy poprzedniego twierdzenia, to jest miar na M.

Dowd. Jeeli (An) jest cigiem zbiorw parami rozcznych, ton=1An =

n=1Bn, gdzie Bn = A1 ... An. Mamy wic poniewa, cig zbiorw(Bn) jest cigiem wstpujcym wic:

(n=1

An) = (n=1

Bn) = limm(Bm) = limm

mn=1

(An) =n=1

(An).

Twierdzenie 5.7 Jeeli jest miar na ciele M, to

(n=1

An) = limn(An) (7)

dla dowolnego cigu (An) zbiorw nalecych doM, takiego, e (An0)

Twierdzenie 5.8 Jeeli jest funkcj addytywn na ciele M tak, e(X) < i speniajc dla dowlnego cigu zstpujcego (An) dowarunek(7), to jest miar na M.

Szczegln rol w teorii miary odgrywaj zbiory miary zero.

Uwaga 5.4 Zamy, e jest miar na ciele M. Wwczas(a) jeeli A, B M, B A, (A) = 0, to (B) = 0,(b) jeeli An M oraz (An) = 0 to (n=1An) = 0.

Punkt (a) wynika z monotonicznoci miar, a punkt (b) z przeliczalnej po-daddytywnoci.

Denicja 5.5 Mwimy, e zbir A M jest atomem miary , jeeli(a) (A) > 0,(b) jeeli B M i B A, to albo (B) = 0 albo (B) = (A).Jeeli aden zbir A M nie jest atomem miary to mwimy, e miara

jest miar bezatomow.

Przykad 5.3 Niech x bdzie miar Diraca zdeniowan w przykadzie 5.2punkt (b). Jak atwo zauway dowolny zbir A X jest atomem miary x.

5.3 Zupeno miary

Denicja 5.6 Mwimy, e miara okrelona na ciele M jest miara zu-pen, jeeli z tego, e A M oraz (A) = 0 wynika, e B M dladowolnego zbioru B A.

Uwaga 5.5 Miara jest miar zupen wtedy i tylko wtedy gdy:

[A M i AB C, gdzie C M, oraz (C) = 0] B M. (8)

Dowd. Zamy, e speniony jest warunek (8). Jeeli A M, (A) = 0oraz B A, to B A wic z (8) wynika, e B M. Zatem miara jestmiar zupen.

Zamy, e jest miar zupen i zamy, e zbiory A, B speniajwarunki z (8). Wwczas

B = [(AB) \A] (A B) = [(AB) \A] [A \ (A \B)]. (9)

Zgodnie zaoeniem zbir AB naley doM i miar rwn 0. Z zupenocimiary rwnie zbiory (AB)\A oraz A\B nale doM. Zatem na podstawierwnoci (9) rwnie B M.

21

Twierdzenie 5.9 Zamy, e jest miar na cieleM podzbiorw zbio-ru X. Niech

M = {B C : B M, DM (D) = 0, C D}.

Jeeli A = B C gdzie B M, C D, D M, (D) = 0 to przyjmujemy(A) = (B). Wwczas

(a) M jest ciaem podzbiorw zbioru X zawierajcym M,(b) denicja (A) nie zaley od przedstawienia zbioru A w postaci sumy

B C,(c) jest miar zupen na M tak, e (A) = (A) dla dowolnego

A M.

Dowd. Udowodnimy najpierw, e M jest ciaem zbiorw. Wemy do-wolny zbir A M i niech A = B C gdzie A M, C D, D M, (D) = 0. Wwczas

A = BC = B[D\(D\C)] = B[D(D\C)] = (BD)B(D\C).

Oczywicie B D M, oraz B (D \ C) D, zatem A M.Zamy dalej, e mamy cig zbiorw (An) nalecych doM. Niech An =

Bn Cn, gdzie Bn M, Cn Dn Dn M, (Dn) = 0. Wwczasn=1

An =n=1

An n=1

Cn,n=1

Cn n=1

Dn,

oraz n=1

Dn M, (n=1

Dn) = 0.

Zatem M jest ciaem zbiorw zawierajcym M.Aby pokaza punkt (b) twierdzenia zamy, e B1C1 = B2C2, gdzie

C1 D1, C2 D2, oraz (D1) = (D2) = 0. Wwczas B1 B2 C2 B2D2, wic (B1) = (B2)+(D2) = (B2). Analogicznie (B2) (B1)zatem (B1) = (B2).

Jeeli A M, to A = A wic ()(A) = (A).Udowodnimy dalej, e

(n=1

An) =n=1

(An)

dla dowolnych zbiorw An M parami rozcznych. Zamy, e An =Bn Cn, gdzie An M, Cn Dn, Dn M, (Dn) = 0. Wwczas

n=1

An =n=1

Bn n=1

Cn,

22

oraz

n=1

Bn M,n=1

Cn n=1

Dn, orazn=1

Dn M, i (n=1

Dn) = 0.

Zatem

(n=1

An) =n=1

(Bn),

a poniewa zbiory Bn s parami rozczne wic

(n=1

An) =n=1

(Bn) =n=1

(An).

6 Funkcje addytywne i miary na ppiercieniach

6.1 Funkcje addytywne i miary na dowolnej rodzinie zbiorw

Dalej bdzie wygodniej rozpatrywa pojcie funkcji addytywnej nie tylkodla funkcji okrelonych na piercieniu zbiorw, ale dla funkcji okrelonej nadowolnej rodzinie zbiorw zawierajcej zbir pusty.

Denicja 6.1 Niech R bdzie dowoln rodzin zbiorw zawierajc zbirpusty. Wwczas mwimy, e funkcja : R [0, ] jest

(a) jest funkcj addytywn jeeli

(A) = (A1) + ... + (An)

dla dowolnych A, A1, ..., An R takich, e A = A1 .... An, oraz zbioryAi (i = 1, ..., n) s parami rozczne,

(b) jest miar jeeli

(A) =n=1

(An),

dla dowolnego cigu (An) zbiorw parami rozcznych takiego, e An R,oraz A =

n=1

An R.(c) jest funkcj monotoniczn jeeli (B) 6 (A), dla dowolnych

A, B R takich, e B A.(d) jest funkcj podaddytywn jeeli:

(A) 6 (A1) + ... + (An)

dla dowolnych dla dowolnych A, A1, ..., An R takich, e A = A1 .... An.

23

(e) jest funkcj przeliczalnie podaddytywn jeeli:

(A) 6n=1

(An)

przy zaoeniu, e An R dla dowolnego n N, oraz A =n=1

An R.

Zauwamy, e jeeli rodzina R jest piercieniem, to denicje poj po-danych w punktach (a), (c), (d) pokrywaj si z wczeniejszymi denicjamitych poj. Analogiczna uwaga dotyczy punktw (b), (e) w przypadku gdyR jest ciaem.

Zupenie analogicznie jak twierdzenie 5.3 dowodzimy:

Lemat 6.1 Dowolna miara okrelona na piercieniu jest funkcj przeliczal-nie podaddytywn.

6.2 Przeduanie funkcji addytywnych i miar z ppiercie-nia na piercie

Twierdzenie 6.1 Zamy, e P jest ppiercieniem podzbiorw zbioru X.Niech 0 : P [0, ) bdzie funkcj addytywn. Niech M bdzie pier-cieniem generowanym przez P (patrz twierdzenie ??). Jeeli A M orazA = C1 ... Cn, gdzie zbiory Ci s parami rozczne, to przyjmijmy

(A) = 0(C1) + ... + 0(Cn).

Wwczas:

(a) funkcja jest poprawnie okrelona; to znaczy jej denicja nie zaleyod przedstawienia zbioru z M w postaci sumy zbiorw parami rozcznychnalecych do M,

(b) jest funkcj addytywn na M.

Dowd. (a) Zamy, e

C1 ... Cn = D1 .. Dmgdzie zbiory Ci (i = 1, ..., n) oraz Dj (j = 1, ..., m) s parami rozczne.Wwczas dla dowolnego i = 1, ..., n mamy

Ci =mj=1

Ci Dj

zatem

0(Ci) =mj=1

0(Ci Dj).

24

Analogicznie

0(Bj) =ni=1

0(Di Dj).

Zatemni=1

0(Ci) =ni=1

mj=1

0(Ci Dj) =mj=1

ni=1

0(Ci Dj) =mj=1

0(Dj).

Punkt (b) twierdzenia jest oczywisty.Poniewa funkcje addytywne na ppiercieniach s podaddytywne (twier-

dzenie 5.1) wic z twierdzenia 6.1 wynika:

Twierdzenie 6.2 Dowolna funkcja addytywna na ppiercieniu jest funk-cj monotoniczn i podaddytywn.

Twierdzenie 6.3 Zamy, e 0 jest miar okrelon na ppiercieniu P.Niech M bdzie piercieniem generowanym przez P, a funkcj addytywnbdc przedueniem 0 na M (zdeniowanym tak jak w twierdzeniu 6.1).Wwczas jest miar na M.

Dowd. Zamy, e A M oraz A = n=1An gdzie An M s paramirozczne. Zamy najpierw, e A P. Jeeli

An = An1 ... Ankn ,

gdzie Ani, i = 1, ..., kn s zbiorami parami rozcznymi nalecymi do P,to

A =n=1

kni=1

Anki , (10)

i wszystkie zbiory wystpujce w sumie po prawej (10) stronie s paramirozcznymi zbiorami z ppiercienia P. Poniewa 0 jest miar na P, wic

(A) = 0(A) =n=1

kni=1

0(Anki) =n=1

(An).

Wemy teraz dowolny zbir A M i zamy, e A = C1 ... Ck, gdziezbiory Ci P s parami rozczne. Wwczas (A) = 0(C1)+ ... +0(Ck),oraz

Ci = Ci A =n=1

(Ci An),

zatem poniewa Ci P oraz Ci An P dla dowolnego i = 1, ..., k, orazn N, wic

(Ci) =n=1

(Ci An).

25

Std dostajemy rwno:

(A) =ki=1

(Ci) =ki=1

n=1

(Ci An) =n=1

ki=1

(Ci An) =

n=1

(ki=1

(Ci An)) =n=1

((ki=1

Ci) An) =n=1

(A An) =n=1

(An).

Twierdzenie 6.4 Niech P bdzie ppiercieniem. Funkcja addytywna naP jest miar jest miar wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcj przeliczalniepodaddytywn.

Dowd. Niech M bdzie piercieniem generowanym przez P, a funkcjaddytywn na M bdc przedueniem .

Aby udowodni wystarczalno podanego warunku zamy, e (An) jestcigiem zbiorw parami rozcznych takim, e A =

n=1An P. Z twier-

dzenia 5.2 wynika, e

n=1

(An) =n=1

(An) > (A) = (A).

Nierwno w przeciwn stron wynika z przeliczalnej podaddytywnoci.Do dowodu koniecznoci zauwamy, e z twierdzenia 6.3 wynika, e jest

miar na M, wic z lematu 6.1 wnioskujemy, e jest funkcj przeliczalniepodaddytywn na M a wic rwnie na R.

7 Funkcja addytywna na iloczynie kartezjaskimppiercieni

Denicja 7.1 Zamy, e P1, P2 s ppiercieniami a 1, 2 funkcjamiaddytywnymi odpowiednio na P1, P2. Niech

P = {AB : A P1, B P2}

Zdeniujmy funkcj na P przyjmujc

(AB) = 1(A)2(B),

przy czym przyjmujemy, e iloczyn po prawej stronie jest rwny 0, gdy jedenz czynnikw jest rwny 0, a drugi jest .

26

Dowd. Zamy, e A P1, B P2 oraz, e

AB =i=1

(Ai Bi)

gdzie Ai P1 oraz Bi P2 dla i = 1, ..., n, oraz zbiory Ai Bi s paramirozczne. Na mocy twierdzenia 4.4 istnieje rodzina zbiorw {C1, ..., Ck} P1 bdca rozbiciem {A1, ..., An} oraz rodzina {D1, ..., Dm} P2 bdcarozbiciem {B1, ..., Bn}. Oczywicie moemy zakada, e wszystkie zbioryCi i wszystkie zbiory Dj s zbiorami niepustymi. Mamy

(AB) = 1(A)2(B) = nj=1

1(Cj)

( ml=1

2(Dl)

)=

ki=1

mj=1

1(Cj)2(Dl).

OznaczmyMi = {(j, l) : Cj Dl Ai Bi}.

dla i = 1, ..., n. Wwczas Mi s zbiorami parami rozcznymi takimi, e(j, l)Mi(Cj Dl) = Ai Bi.

7.1 Miara Jordana generowana przez funkcj addytywn

Twierdzenie 7.1 Niech N bdzie piercieniem podzbiorw zbioru X, a skoczon funkcj addytywn na N. Dla dowolnego zbioru A X zdeniuj-my dwie funkcje mw,mz : 2X [0,] w nastpujcy sposb:

mw(A) = sup{(B) : B N, B A},

mz(A) = inf{(B) : C N, A C}.Niech

M = {A X : mw(A) = mz(A) 0 istniej zbiory B,C N takie, eB A C, oraz (C \B) < .

Dowd twierdzenia Wemy dowolne zbiory A1, A2 X takie, e A,B M.

27

8 Miara zewntrzna

8.1 Denicja i wasnoci miary zewntrznej

Denicja 8.1 Niech X bdzie dowolnym zbiorem niepustym. Mwimy, efunkcja : 2X [0,] jest miar zewntrzn, jeeli spenia nastpujcewarunki:

(a) () = 0,(b) A B X (A) (B),(c) (

n=1

An) n=1

(An) dla dowolnego cigu (An) podzbiorw zbio-

ru X.

Jak atwo zauway jeli zaoymy, e funkcja : 2X [0,] speniawarunek (a) powyszej denicji, to warunki (b) i (c) mona sformuowarwnowanie w postaci jednego warunku:

(c) A n=1

An (A) n=1

(An) dla dowolnego zbioru A X idowolnego cigu (An) podzbiorw zbioru X.

Inaczej mwic miara zewntrzna na zbiorze X, jest to funkcja monoto-niczna i przeliczalnie podaddytywna okrelona na ciele wszystkich pod-zbiorw zbioru X. W szczeglnoci dowolna miara zewntrzna jest rwniefunkcj skoczenie podaddytywn, to znaczy dla dowolnej skoczonej ilocizbiorw A1, A2, ..., An X zachodzi nierwno:

(A1 A2 ... An) (A1) + (A2) + ...+ (An).Z twierdzenia 5.3 wynika, e dowolna miara okrelona na 2X jest mia-

r zewntrzn na X, ponadto z twierdzenia 5.4 wnioskujemy, e miara ze-wntrzna jest miar wtedy i tylko wtedy gdy jest funkcj addytywn. Cowicej moemy sformuowa nastpujce twierdzenie.

Twierdzenie 8.1 Jeeli jest miar zewntrzn,M jest takim ciaempodzbiorw zbioru X, e jest funkcj addytywn na M, to jest miarna M.

8.2 Twierdzenie Caratheodyrego

Denicja 8.2 Niech bdzie miar zewntrzn na zbiorze X.Mwimy, ezbir A X spenia warunek Caratheodoryego wzgldem miary zewntrz-nej jeli dla dowolnego zbioru Z X zachodzi rwno:

(Z) = (Z A) + (Z A). (11)

28

Poniewa miara zewntrzna jest funkcj podaddytywn, wic na to abyzbir A X spenia warunek Caratheodoryego, wystarcza aby dla dowol-nego zbioru Z X zachodzia nierwno:

(Z) (Z A) + (Z A). (12)

Lemat 8.1 Niech bdzie miar zewntrzn na zbiorze X. Jeli A Xjest takim zbiorem, e (A) = 0 to A spenia warunek Caratheodoryegowzgldem .

Dowd. Wemy dowolny zbir Z X. Wwczas z warunku (b) w denicji8.1 miary zewntrznej, mamy (AZ) = 0, oraz (Z) (Z A). Std

(Z) (A Z) + (A Z ).

Nierwno przeciwna wynika z podaddytywnoci miary zewntrznej.

Twierdzenie 8.2 (Caratheodoryego) Niech bdzie miar zewntrzn nazbiorze X. Oznaczmy przez M klas wszystkich podzbiorw X speniajcychwarunek Caratheodoryego wzgldem . Wwczas:

(a) M jest ciaem podzbiorw zbioru X,(b) jest miar na M.

Dowd. Dowodzimy najpierw, e M jest ciaem zbiorw. Oczywicie M, oraz jeli A M to A M bo prawa strona w rwnoci (11) niezmienia si gdy zbir A zastpi zbiorem A. Wystarczy wic udowodni,e suma dwch zbiorw speniajcych warunek Caratheodoryego rwniespenia ten warunek. Aby to pokaza wemy dwa dowolne zbiory A,B Mi dowolny zbir Z X. Poniewa zbir A spenia warunek Caratheodoryegoto biorc w rwnoci (11) zamiast zbioru Z kolejno zbiory Z B i Z Botrzymujemy rwnoci:

(Z B) = (Z B A) + (Z B A) (13)

(Z B) = (Z B A) + (Z B A) (14)Poniewa zbir B spenia warunek Caratheodoryego wic mamy rw-

no:(Z) = (Z B) + (Z B),

zatem wykorzystujc rwnoci (13) i (14) dostajemy:

(Z) = (ZBA)+(ZBA)+(ZBA)+(ZBA) (15)

29

Oznaczmy przez I, II, III, IV kolejne skadniki sumy po prawej stronierwnoci (15). Poniewa miara zewntrzna jest funkcj podaddytywn, wiczachodzi nierwno

I+II+III ((ZBA)(ZBA)+(ZBA)) = (Z(AB)),(16)

bo(Z B A) (Z B A) + (Z B A) = Z (A B).

Ponadto mamy B A = (A B) wic:IV = (Z (A B)) (17)

Z (15), (16) i (17) otrzymujemy nierwno:

(Z) (Z (A B)) + (Z (A B)),dla dowolnego zbioru Z X. Z nierwnoci tej wynika, e zbir AB speniawarunek Caratheodoryego. Udowodnilimy wic, e rodzina M wszystkichzbiorw speniajcych warunek Caratheodoryego jest ciaem podzbiorw X.

W nastpnym kroku dowodu udowodnimy indukcyjnie e dla dowolne-go m N, dowolnych zbiorw parami rozcznych A1, A2, ..., Am M idowolnego zbioru Z X, zachodzi rwno:

(Z mn=1

An) =mn=1

(Z An). (18)

Dla m=1 rwno (18) jest oczywista. Zamy e jest prawdziwa dlapewnegom N i wemym+1 zbiorw parami rozcznychA1, A2, ..., Am+1 M i dowolny zbir Z X. Poniewa zbir Am+1 spenia warunek Carathe-odoryego wic biorc w (11) zamiast Z zbir Z m+1n=1 An a zamiast Azbir Am+1 otrzymujemy rwno:

(Zm+1n=1

An) = ((Zm+1n=1

An)Am+1)+((Zm+1n=1

An)Am+1) (19)

Poniewa wszystkie zbiory An s parami rozczne, wic mamy rwnoci:

(Z m+1n=1

An) Am+1 = Z Am+1 (20)

oraz

(Z m+1n=1

An) Am+1 = Z mn=1

An. (21)

Zatem z zaoenia indukcyjnego i z (21) mamy

((Z m+1n=1

An) Am+1) =mn=1

(Z An) (22)

30

Z (19), (20) i (22) otrzymujemy wic rwno:

(Z (m+1n=1

An)) =m+1n=1

(An)

koczc dowd indukcyjny rwnoci (18)Dalej pokaemy e w rwnoci (18) zamiast skoczonej sumy zbiorw

parami rozcznych, mona wzi sum nieskoczon. Dokadniej mwicudowodnimy, e jeli (An) jest cigiem zbiorw parami rozcznych takim,e An M dla dowolnego n N to dla dowolnego zbioru Z X zachodzirwno:

(Z n=1

An) =n=1

(Z An). (23)

Zauwamy, e nierwno:

(Z n=1

An) n=1

(Z An), (24)

wynika bez adnych zaoe o zbiorach An z warunku (c) w denicji 8.1miary zewntrznej. Wystarczy wic pokaza nierwno przeciwn.

Poniewa miara zewntrzna jest funkcj monotoniczn (warunek (b) wdenicji miary zewntrznej) wic dla dowolnego m N mamy nierwno:

(Z n=1

An) (Z mn=1

An) (25)

Wykorzystujc powysz nierwno i rwno (18) widzimy, e dla dowol-nego m N zachodzi nierwno:

(Z n=1

An) mn=1

(Z An).

Przechodzc z m do dostajemy nierwno

(Z n=1

An) n=1

(Z An). (26)

Nierwnoci (24), (26) daj nam rwno (23).Udowodnimy dalej, e M jest ciaem podzbiorw zbioru X. Ponie-

wa udowodnilimy wczeniej, e M jest ciaem zbiorw wic na podstawietwierdzenia 3.4 wystarczy pokaza, e jeli (An) jest cigiem zbiorw paramirozcznych takim e An M dla dowolnego n N to n=1An M.

Wemy dowolny zbir Z X. PoniewaM jest ciaem zbiorw wic dladowolnego m N mamy nierwno:

(Z) = (Z mn=1

An) + (Z (mn=1

An))) (27)

31

Poniewa miara zewntrzna jest funkcj monotoniczn wic:

(Z (mn=1

An)) (Z (n=1

An)) (28)

Z rwnoci (18) oraz z (28) i (27) otrzymujemy dla dowolnego m Nnierwno:

(Z) mn=1

(Z An) + (Z (n=1

An))

Przechodzc w ostatniej nierwnoci z m do dostajemy nierwno:

(Z) n=1

(Z An) + (Z (n=1

An))

Na koniec wykorzystujc rwno (23) otrzymujemy nierwno:

(Z) (Z n=1

An) + (Z (n=1

An))

dla dowolnego zbioru Z X. To za oznacza, e zbir n=1An speniawarunek Caratheodoryego, a wic naley do M.

Udowodnilimy wic, e M jest ciaem podzbiorw zbioru X. Abypokaza e jest miar na M wemy dowolny cig zbiorw (An) paramirozcznych takich, e An M dla dowolnego n N. Biorc w rwnoci(23) Z = X, dostajemy rwno:

(n=1

An) =n=1

(An)

dowodzc, e jest miar na M i koczc dowd twierdzenia.

Denicja 8.3 Jeeli jest miar zewntrzn na zbiorze X, to ciao zo-one z wszystkich zbiorw speniajcych warunek Caratheodoryego wzgl-dem tej miary zewntrznej bdziemy nazywa ciaem generowanym przezmiar zewntrzn , a miar bdc obciciem miary zewntrznej do ciaagenerowanego przez , nazywamy miar generowan przez miar zewntrz-n .

Z lematu 8.1 otrzymujemy.

Twierdzenie 8.3 Miara generowana przez miar zewntrzn jest miar zu-pen.

32

Twierdzenie 8.4 Zamy, e jest miar zewntrzn na zbiorze X. NiechM bdzie ciaem generowanym przez miar zewntrzn . Jeli A jesttakim podzbiorem X, e dla dowolnego > 0 istniej zbiory B, C M takie,e B A C, oraz (C \B) , to A M.Dowd.Z zaoenie dla dowolnego n N istniej zbiory Bn, Cn M takie,e Bn A Cn oraz (Cn \Bn) < 1/n. Niech

B =n=1

Bn, C =n=1

Cn.

Wwczas B A C, B, C M, oraz dla dowolnego n N zachodzinierwno (C \B) 1/n, zatem (C \B) = 0. Poniewa A\B C \Bwic rwnie (A \ B) = 0. Z lematu 8.1 wynika wic, e A \ B M aponiewa B M oraz A = B (A \B) wic A M.

8.3 Oglna metoda konstrukcji miary zewntrznej

Nastpujce twierdzenie podaje ogln metod konstrukcji miary zewntrz-nej.

Twierdzenie 8.5 Niech X bdzie dowolnym zbiorem niepustym, a R rodzi-n podzbiorw X. Zamy, e : R [0,] jest tak funkcj, e

inf{(A) : A R} = 0 (29)Dla dowolnego zbioru A X niech

(A) = inf{n=1

(An) : A n=1

An, An R dla dowolnego n N} (30)

(przyjmujemy, e inf zbioru pustego jest rwne .) Wwczas jest miarzewntrzn na X.

Dowd. Funkcja zdeniowana wzorem

8.4 Miara zewntrzna generowana przez funkcj addytywnna ppiercieniu

Uwaga 8.1 Jeeli P jest ppiercieniem skoczonym a funkcj addy-tywn ma P. Wwczas funkcja : 2X [0,] okrelona wzorem (30) jestmiar zewntrzn na X.

Jeeli M jest piercieniem generowanym przez P a nu : M [0,]funkcj addytywn bdc przedueniem funkcji , to

(A) = inf{n=1

(An) : A n=1

An, An M}

33

Twierdzenie 8.6 Niech P bdzie ppiercieniem sigma skoczonym pod-zbiorw zbioru X, a : 2X [0,] miar zewntrzn zdeniowan takjak w twierdzeniu 8.5. Wwczas:

(a) dowolny zbir A nalecy do P spenia warunek Caratheodoryego;(b) (A) (A) dla dowolnego A P;(c) jeeli jest miar na P, to (A) = (A) dla dowolnego A P.

Dowd. Na podstawie uwagi 8.1 moemy zakada, e P jest piercieniem.Aby udowodni (a) wemy dowolny zbir A P i Z X. Aby pokaza

nierwno (12) mona zakada, e (Z) < . Wemy dowolne > 0 idobierzmy takie cigi zbiorw (Cn), e Cn P dla dowolnego n N, oraz:

Z n=1

Cn orazn=1

(Cn) < (A) + .

Zauwamy, e Z A n=1

(Cn A), oraz Z A n=1

(Cn A), oraz dladowolnego n N. Poniewa Cn A,Cn A P, wic Std

(Z A) + (Z A) n=1

(Cn A) +n=1

(Cn A) =n=1

[(Cn A) + (Cn A)] =n=1

(Cn) (Z) + .

Ze wzgldu na dowolno mamy nierwno (ZA)+(ZA) (Z).Poniewa we wzorze (30) moemy przyj A1 = A, oraz An = dla n > 1wic mamy nierwno (A) (A).

Aby pokaza punkt (b) twierdzenia wystarczy udowodni, e (A) (A) gdy A N. Mona zakada, e (A) 0 iniech (An) bdzie takim cigiem zbiorw z N, e

A n=1

An orazn=1

(An) < (A) + .

Wwczas A =n=1

(An A) wic

(A) n=1

(An A) n=1

(An) (A) + .

Ze wzgldu na dowolno dostajemy dowodzon nierwno.

34

9 Miara Lebesquea w Rk

9.1 Przedziay kwymiarowe, gury elementarnePrzez Rk oznaczamy przestrze euklidesow k wymiarow, to znaczy

Rk = {(x1, ..., xk) : xi R (i = 1, ..., k)}

W przestrzeni tej bdziemy rozpatrywa zwyk metryk euklidesow

dk(x, y) =

(ni=1

|xi yi|2) 1

2

,

jeeli x = (x1, x2, ..., xk), y = (y1, y2, ..., yk). W stosunku do tej przestrze-ni bdziemy uywa wszystkich poj wprowadzanych w teorii przestrzenimetrycznych i w topologii; jak pojcia kuli, zbiorw otwartych, zbiorw do-mknitych, wntrza i domknicia zbioru, zbiorw zwartych i.t.d.

Denicja 9.1 (a) Przedziaem w R nazywamy dowolny ze zbiorw postaci

(a, b), [a, b], [a, b), (a, b],

gdzie a, b R oraz a b.W szczeglnoci zbir pusty i zbir jednopunktowyjest przedziaem.

(b) Przedziaem kwymiarowym nazywamy dowolny zbir w Rk postaci

P1 P2 ... Pk (31)

gdzie Pi jest przedziaem jednowymiarowym dla i = 1, 2, ..., k.Rodzin wszystkich przedziaw kwymiarowych bdziemy oznacza przez

Pk.Jeeli conajmniej jeden z przedziaw Pi jest zbiorem jednopunktowym

lub zbiorem pustym, to mwimy, e przedzia jest przedziaem zdegenero-wanym.

Jeeli wszystkie przedziay Pi s przedziaami domknitymi (otwartymi)to przedzia (31) nazywamy przedziaem domknitym (otwartym).

Denicja 9.2 Dla dowolnych a, b Rk takich, e a = (a1, a2, ..., ak), b =(b1, b2, ..., bk) przyjmujemy, e a b jeeli ai bi dla dowolnego i = 1, .., k,oraz a < b jeeli ai < bi dla dowolnego i = 1, ..., k.

Jeeli a, b Rk i a b to przyjmujemy

[a, b] = {x Rk : a x b}

[a, b) = {x Rk : a x < b}(a, b] = {x Rk : a < x b}

35

[a, b] = {x Rk : a < x < b}Jeeli a, b s dowolnymi liczbami rzeczywistymi takimi, e a 6 b, to deniu-jemy [a, b]k jako przedzia kwymiarowy [a,b] gdzie a = (a, ..., a), b =(b, ...., b).

Analogicznie denujemy przedziay (a, b)k, [a, b)k, (a, b]k.

Uwaga 9.1 Jeeli P jest dowolnym przedziaem kwymiarowym postaci(31) to

P = P1 P2 ... Pk,oraz

int(P ) = int(P1) int(P2) ... int(Pk).

Twierdzenie 9.1 Dowolny zbir otwarty mona zapisa w postaci sumyprzeliczalnej iloci przedziaw otwartych.

Dowd. Udowodnimy najpierw, e dla dowolnego x U istniej takiepunkty a, b Qk, e a < x < b, oraz (a, b) U. Wemy dowolny punktx = (x1, ..., xk) U i niech > 0 bdzie takie, e K(x, ) U. We-my > 0 takie, e <

k. Niech ai, bi bd takimi liczbami wymierny-

mi, e ai < xi < bi, oraz xi ai, bi xi < dla i = 1, ..., k. Niecha = (a1, ..., ak), b = (b1, ..., bk) i zamy, e y = (y1, ..., yk) U.Wwczas

dk(x, y) =

(ni=1

(xi yi)2) 1

2

|P |k , |Q|k < |P |k + .

Denicja 9.6 Mwimy, e dwa przedziay kwymiarowe P i Q s prawierozczne jeeli ich iloczyn jest przedziaem k wymiarowym zdegenerowa-nym, to znaczy gdy int(P Q) = albo rwnowanie gdy |P Q|k = 0.

Dalej bdziemy uywa nastpujcego oczywistego cho trudnego tech-nicznie w dowodzie lematu

38

Lemat 9.3 Jeeli dowolny przedzia kwymiarowy P przedstawi w posta-ci skoczonej sumy rozcznych przedziaw k wymiarowych

P = P1 P2 ... Pkto

|P |k = |P1|k + |P2|k + ... + |Pk|kInaczej mwic funkcja | |k jest funkcj addytywn na Pk.

Poniewa piercieniem generowanym przez Pk jest rodzina wszystkichkwymiarowych gur elementarnych wic na podstawie twierdzenia 6.1 mo-emy zdeniowa objto kwymiarowych gur elementarnych przyjmujc,e

|E|k = |P1|k + ... + |Pn|kgdy E = P1 ... Pn gdzie PiPj = gdy i = j.W ten sposb przeduamy| |k do funkcji addytywnej na piercie Ek.

Lemat 9.4 (a) Jeeli E jest gur elementarn to int(E) i E s guramielementarnymi o takiej samej objtoci co E.

(b) Dla dowolnej gury elementarnej E i dowolnego > 0 istniejdomknita gura elementarna F oraz otwarta G takie, e F E G oraz

|F |k > |E|k , |G|k < |E|k + .

Wykorzystujc lemat 9.3 udowodnimy.

Twierdzenie 9.5 Funkcja | |k jest miar na Pk.

Dowd. Na podstawie twierdzenia 9.3 P jest ppiercieniem. Z lematu 9.3wynika, e | |k jest funkcj addytywn na P. Z twierdzenia 6.4 wystar-czy pokaza, e jeeli P jest dowolnym przedziaem kwymiarowym a (Pn)takim cigiem przedziaw, e P n=1 Pn to,

|P |k n=1

|Pn|k. (35)

Zamy najpierw, e P jest przedziaem domknitym. Wemy dowolne >0. Wwczas dla dowolnego n istnieje przedzia otwarty Qn taki, e Pn Qnoraz |Qn|k < |Pn|k+/2n. Poniewa P

n=1Qn i P jest zbiorem zwartym

wic istnieje takie m N, e P mn=1Qn. Poniewa | |k jest funkcjaddytywn na P wic

|P |k mi=1

|Qn|k n=1

|Qn|k n=1

|Pn|k + 2n =n=1

|Pn|k + .

39

Ze wzgldu na dowolno mamy nierwno (35). Zamy teraz, e Pjest dowolnym przedziaem. Wemy dowolne > 0 i niech P0 bdzie takimprzedziaem domknitym zawartym w P, e |P0|k > |P |k . PoniewaP0 n=1 Pn wic |P0|k n=1 |Pn|k std dostajemy nierwno |P |k 0. Z denicji kresugrnego istnieje taki cig przedziaw (Pn), e A

n=1

Pn, oraz

i=1

|Pn|k < lk(A) +

2.

40

Z lematu 9.2 istniej otwarte przedziay kwymiarowe Qn takie, e Pn Qnoraz |Qn|k |Pn|k < /2n+1. Mamy A

n=1

Qn, wic

I n=1

|Qn|k 0, to dla dowolnego c (0, lk(A)) istnieje taki zbir B A taki, e B R oraz lk(B) = c.

Dowd. Zdeniujmy funkcj f : [0,) [0,) w nastpujcy sposb

f(x) = lk(A [x, x]k).

atwo zauway, e f jest funkcj cig na [0,) tak, e f(0) = 0, orazlimx f(x) = (A). Z twierdzenia Darboux wynika, e istnieje takie x (0,), e f(x) = c. Wystarczy wic przyj B = A [x, x]k.

Poniewa dla dowolnego przedziau P i dowolnego x Rk zbir x + Pjest przedziaem o takiej samej objtoci co przedzia P wic mamy:

Twierdzenie 9.11 Dla dowolnego zbioru A Rk i dowolnego x Rk ma-my

lk(A+ x) = lk(A).

Denicja 9.10 Niech X bdzie przestrzeni liniow,M ciaem podzbio-rw zbioru X a :M [0,] miar. Mwimy, e jest miar niezmienni-cz jeeli dla dowolnego zbioru A M mamy:

A+ x M, (A+ x) = (A).

Twierdzenie 9.12 Miara Lebesquea jest miar niezmiennicz.

Dowd. Na podstawie twierdzenia wystarczy pokaza, e jeeli zbir Aspenia warunek Caratheodoryego, to rwnie dla dowolnego x Rk zbirA + x rwnie spenia ten warunek. Wemy dowolny zbir Z Rk. Jeelizbir A spenia warunek Caratheodoryego, to z twierdzenia 9.4 mamy:

lk(Z) = lk(Z x) = lk((Z x) A) + lk((Z x) A)

= lk((Z (A+ x)) x)) + lk((Z (A + x)) x))= lk(Z (A+ x)) + lk(Z (A+ x))

Poniewa dowolny zbir jednopunktowy jest przedziaem o objtoci rw-nej 0 wic jako wniosek z twierdzenia 9.8 dostajemy

Twierdzenie 9.13 Dowolny zbir przeliczalny jest zbiorem mierzalnym ima miar Lebesquea rwn zero.

Z twierdzenia DZOJSP wnioskujemy, e dowolny zbir otwarty jest sumprzeliczalnej iloci przedziaw otwartych. Poniewa przedziay s zbioramimierzalnymi w sensie Lebesquea wic wnioskujemy:

42

Twierdzenie 9.14 Dowolny podzbir otwarty Rk jest zbiorem mierzalnymw sensie Lebesquea.

Z twierdzenia 9.1 i lematu 9.6 dostajemy

Twierdzenie 9.15 Dla dowolnego zbioru A Rk mamy:

lk(A) = inf{lk(U) : A U, U otwarty w Rk}.

Poniewa dopenieniami zbiorw otwartych s zbiory domknite wic ztwierdzenia 9.14 dostajemy.

Twierdzenie 9.16 Dowolny podzbir domknity Rk jest zbiorem mierzal-nym w sensie Lebesquea.

Uwaga 9.3 Zbir Cantora jest zbiorem mierzalnym o mocy c i mierze rw-nej 0. Poniewa miara Lebesquea jest miar zupen wic istnieje 2c zbiorwmierzalnych w sensie Lebesquea.

Denicja 9.11 Niech (X, G) bdzie dowoln przestrzeni topologiczn.Mwimy, e zbir A X jest zbiorem typu G jeeli A daje si przedstawiw postaci

A =n=1

Un,

gdzie Un s zbiorami otwartymi dla dowolnego n N.Mwimy, e zbir A jest zbiorem typu F w X jeeli A mona zapisa w

postaci

A =n=1

Fn,

gdzie wszystkie zbiory Fn s zbiorami domknitymi.

Uwaga 9.4 (a) Zbir A jest zbiorem typu G wtedy i tylko wtedy gdy A

jest zbiorem typu F.

(b) Zbiory otwarte s zbiorami typu G a zbiory domknite zbioramitypu F.

Twierdzenie 9.17 Niech (X, d) bdzie dowoln przestrzeni metryczn. Ww-czas dowolny zbir domknity w X jest zbiorem typu G, a wic dowolnyzbir otwarty jest zbiorem typu F.

Dowd. Jeeli A jest dowolnym podzbiorem X, to dla dowolnego > 0zbir

A = {x X : d(x,A) < }

43

jest podzbiorem otwartym X. Ponadto

n=1

A 1n= A.

Zatem jeeli A jest podzbiorem domknitym X, ton=1A 1

n= A, zatem A

jest zbiorem typu G.

Twierdzenie 9.18 Dla dowolnego zbioru A Rk nastpujce warunki srwnowane:

(a) A jest zbiorem mierzalnym w sensie Lebesquea,

(b) Dla dowolnego > 0 istnieje zbir otwarty U w Rk taki, e

A U oraz lk(U A) < ,

(c) Dla dowolnego > 0 istnieje zbir domknity F w Rk taki, e

F E oraz lk(A F ) < ,

(d) Istnieje zbir H taki, e H jest zbiorem typu G w Rk oraz

A H, lk(H A) = 0,

(e) Istnieje zbir E taki, e E jest zbiorem typu F w Rk oraz

E A, lk(A E) = 0.

Dowd. (a)(b). Zamy, najpierw, e A jest zbiorem mierzalnym w sensieLebesquea i e lk(A)

Udowodnilimy wic rwnowano warunkw (a), (b), (d). Poniewa jakatwo zauway zbir A spenia warunek (c) wtedy i tylko wtedy gdy zbir A

spenia warunek (b) i analogicznie spenianie przez zbir A warunku (c) jestrwnowane spenianie przez A warunku (e) wic dostajemy rwnowanowszystkich warunkw.

Denicja 9.12 Mwimy, e miara na ciele M jest miar orodkow,jeeli istnieje przeliczalna rodzina R M taka, e dla dowolnego zbioruA M takiego, e (A) < i dla dowolnego > 0 istnieje zbir B Rtaki, e (AB) < .

Twierdzenie 9.19 Niech M bdzie ciaem podzbiorw zbioru X, a miar skoczon. Oznaczmy przez M0 rodzin tych zbiorw nalecych doM ktre maj miar skoczon. Wprowadmy wM0 relacj w nastpujcysposb:

A B (AB) = 0.Wwczas jest relacj rwnowanoci w M0. Niech M bdzie zbioremwszystkich klas abstrakcji relacji . Okrelmy funkcj d :MM [0, )w nastpujcy sposb:

d([A], [B]) = (AB).

Wwczas(a) Dencja funkcji d jest poprawna to znaczy nie zaley od wyboru

reprezentantw klas abstrakcji,(b) (M, d) jest przestrzeni metryczn,(c) Przestrze ta jest przestrzeni orodkow miara jest miar

orodkow.

Wniosek 9.2 Miara jest miar orodkow wtedy i tylko wtedy gdy do-wolna rodzinaR M0 taka, e (AB) > 0 dla dowolnych rnych zbiorwA, B R jest rodzin przeliczaln.

Twierdzenie 9.20 Miara Lebesquea jest miar orodkow.

Dowd. Rodzina R wszystkich sum skoczonych postaci:

(a1, b1) ... (an, bn)

gdzie ai, bi Qn, oraz ai < bi dla dowolnego i = 1, ..., n, jest rodzinprzeliczaln. Wemy dowolny zbir A Lk taki, e lk(A) < , oraz > 0.Udowodnimy, e istnieje zbir B R taki, e lk(AB) < . Z twierdzenia9.15 istnieje taki zbir otwarty U Rk, e A U oraz lk(U A) < 2 .Poniewa przedziay otwarte postaci (a, b) gdzie a, b Qk tworz baz

45

przestrzeni Rk, wic zbir U mona przedstawi w postaci przeliczalnej sumyn=1(an, bn) przedziaw tego typu. Mamy wic

lk(U) = lk(n=1

(an, bn)) = limm lk(

mn=1

(an, bn)).

Std istnieje takie m N, e

lk(U) < lk(mn=1

(an, bn)) +

2(39)

Zbir B =mn=1(an, bn) jest zbiorem nalecym do rodziny R zawartym w

zbiorze U i na podstawie nierwnoci (39) speniajcym warunek lk(UB) 0 istniej gury elementarne F, E Ektakie, e P A Q i |Q|k |P |k < .

Poniewa gury elementarne s zbiorami mierzalnymi w sensie Jordanato dla dowolnego zbioru ograniczonego A Rk mamy oczywiste nierwnoci:

jwk (A) lwk (A) lk(A) jzk(A).Z tych nierwnoci za wynika:

Twierdzenie 9.26 Jeeli zbir A Rk jest mierzalny w sensie Jordana,to A jest mierzalny w sensie Lebesquea i lk(a) = jk(A).

Przykad 9.1 Zbir W wszystkich liczb wymiernych odcinka [0, 1] jestzbiorem przeliczalnym wic na podstawie twierdzenia 9.13 jest zbiorem mie-rzalnym w sensie Lebesquea. Pokaemy, e zbir ten nie jest zbiorem mie-rzalnym w sensie Jordana. Poniewa kady przedzia niezdegenerowany za-wiera liczb niewymiern wic jeeli gura elementarna zawiera si w Wto jest gur zdegenerowan. Std jw(A) = 0. Oczywicie jz(A) 1, boW [0, 1]. Jeeli mamy skoczon ilo P1, P2, ..., Pn przedziaw pokry-wajcych zbir W, to musi by |P1|+ ... + |Pn| 1. Inaczej zbir

K = [0, 1] (P1 ... Pn)jest gur elementarn tak, e |K| > 0. Std K musi zawiera przedzianiezdegenerowany a wic liczb niewymiern. To za jest niemoliwe boW K = .

Analogiczny przykad mona poda w R2 biorc zamiastW zbir wszyst-kich punktw kwadratu [0, 1] [0, 1] ktre obie wsprzdne maj wymierne.

48

Twierdzenie 9.27 Rodzina Jk wszystkich podzbiorw Rk mierzalnych wsensie Jordana jest piercieniem. Miara Jordana jest funkcj addytywn.

Dowd. Zamy, e A, B Jk Niech F1, E1, F2, E2 bd takimi k wy-miarowymi gurami elementarnymi, e

F1 A E1, F2 B E2, |E1 F1|k < 2 , |E2 F2|k 0 znajdziemy dwie gury elementarne E, F takie, e E A F oraz |F |k|E|k < . Na mocy lematu 9.4 zbiory E0 = int(E) oraz F0 = Fs takimi gurami elementarnymi, e |E0|k = |E|k oraz |F0|k = |F |k. MamyE0 intA, oraz A F0. Std

jzk(A) < |F0 E0|k = |F0|k |E0|k = |F |k |E|k < .

Ze wzgldu na dowolno dostajemy, e jzk(A) = 0.

49

Ustalmy dowolnw > 0. Z drugiej czci lematu 9.4 istnieje otwartagura elementarna G taka, e (A) G oraz |G|k < . Z twierdzenia ??istnieje cig (Pn) przedziaw otwartych taki, e

int(A) =n=1

Pn.

Wwczas

A G n=1

Pn,

wic ze zwartoci zbioru A istnieje takie m N, eA G P1 ... Pm.

Niech F = P1 ... Pm oraz E = F G. Wwczas F i E s guramielementarnymi takimi, e

F int(A) A A Eoraz E F G wic |E|k |F |k = |E F |k |G|k < . Dostajemy wicmierzalno w sensie Jordana zbioru A.

Twierdzenie 9.29 Jeeli N jest piercieniem podzbiorw Rk takim, e Pk N Jk, a : N [0, ) jest funkcj addyttywn na N tak, e (P ) =|P |k dla dowolnego P Pk, to (A) = lk(A) dla dowolnego A N.

9.8 Jedyno miary Lebsquea

Twierdzenie 9.30 Niech M bdzie ciaem podzbiorw Rk zawierajcymwszystkie przedziay kwymiarowe a : M [0,] dowoln miar tak,e

(P ) = |P |kdla dowolnego przedziau P. Wwczas

(A) = lk(A)

dla dowolnego A M Lk.

Dowd. Oczywicie ciaoM zawiera wszystkie zbiory borelowskie. NiechU bdzie dowolnym podzbiorem otwartym Rk. Z twierdzenia 9.2 wynika, eisntnieje cig (Pn) kwymiarowcyh przedziaw parami rozcznych taki, eU =

n=1 Pn. Mamy

(U) = (n=1

Pn) =n=1

(PN ) =n=1

|Pn|k =n=1

lk(Pn) = lk(n=1

Pn) = lk(U).

50

Udowodnilimy wic, e miara pokrywa si z miar Lebesquea na zbiorachotwartych. Udowodnimy dalej, e obie miary przyjmuj rwne wartoci nazbiorach typu G. Zamy, najpierw, e H jest zbiorem ograniczonym typuG Wwczas zbir H mona przedstawi w postaci H =

n=1 Un gdzie (Un)

jest cigiem zstpujcym zbiorw otwartych. Moemy zakada, e wszystkiezbiory Un s ograniczone w wic w szczeglnoci maj miar skoczonwzgldem obu miar. Z twierdzenia 5.7 wynika wic, e

(H) = (n=1

Un) = limn(Un) = limn lk(Un) = lk(

n=1

Un) = lk(H)

Jeeli H jest dowolnym zbiorem typu G to wemy cig wstpujcy (Pn)przedziaw otwartych taki, e

n=1 Pn = Rk. Wwczas na podstawie twier-

dzenia 5.5 mamy:

(H) = (n=1

(H Pn)) = limn(H Pn) = limn lk(H Pn) = lk(H).

Niech teraz A bdzie dowolnym zbiorem nalecym do M i mierzalnym wsensie Lebesquea. Z twierdzenia 9.18 istnieje zbir H Rk bdcy zbioremtypu G taki, e A H oraz lk(H A) = 0. Wwczas H M zatemH A M oraz

(A) = H H A = lk(H) H A. (41)

Z twierdzenia 9.15 dla dowolnego > 0 istnieje taki zbir otwarty U, eHA U oraz lk(U) < . Poniewa jak udwodnilimy miara pokrywa si zmiar Lebesquea na zbiorach otwartych wic (HA) (U) lk(U) < .Std (H A) = 0 zatem z (41) dostajemy

(A) = lk(H) = lk(A) + lk(H A) = lk(A).

Uwaga 9.5 Mona pokaza, e zbir A jest zbiorem mierzalnym w sensieLebesquea wtedy i tylko wtedy gdy gdy dowolna miara okrelona na cielezawierajcym wszystkie przedziay i zbir A przyjmuje na zbiorze A wartorwn lk(A).

Twierdzenie 9.31 Niech bdzie miar niezmiennicz okrelon na pew-nym cieleM podzbiorw Rk zawierajcym wszystkie przedziay kwymiarowe.Wwczas istnieje taka liczba rzeczywista , e

(A) = clk(A).

51

10 Funkcje mierzalne

10.1 Denicja funkcji mierzalnych, podstawowe wasnoci

W caym rozdziale zakadamy, e jest zbiorem niepustym, a M ciaempodzbiorw X, oraz A M. O podzbiorach zbioru X nalecych do Mbdziemy mwili, e s zbiorami mierzalnymi. Jeeli dodatkowo na M jestokrelona miara to trjk uporzdkowan (X, M, ) nazywamy przestrze-ni z miar. Przez R oznaczamy zbir R {, }. Mwic o funkcjachna A mamy na myli funkcje okrelone na zbiorze A i o wartociach R. PrzezMA oznaczamy rodzin wszystkich podzbiorw A ktre s mierzalne. MAjest ciaem podzbiorw A,

Twierdzenie 10.1 Dla dowolnej funkcji f : A R nastpujce warunkis rwnowane:

(a) aR {x A : f(x) > a} M(b) aR {x A : f(x) a} M(c) aR {x A : f(x) < a} M(d) aR {x A : f(x) a} M.

Dowd. (a)(b) wynika z rwnoci

{x A : f(x) a} = A {x A : f(x) > a}.

Implikacja (b)(c) wynika z rwnoci

{x A : f(x) < a} =n=1

{x A : f(x) a+ 1n}.

Implikacja (c)(d) zachodzi na mocy wzoru:

{x A : f(x) a} = A {x A : f(x) < a}.

Wreszcie implikacja (d)(a) wynika z rwnoci:

{x A : f(x) > a} =n=1

{x A : f(x) a+ 1n.

Denicja 10.1 Mwimy, e funkcja f : X R jest funkcj mierzaln jeelispenia jeden z rwnowanych warunkw twierdzenia 10.1.

Przykad 10.1 (a) Jak atwo zauway funkcja staa jest funkcj mierzalngdy zbiory wystpujce w twierdzeniu 10.1 s albo zbiorami pustymi albopokrywaj si ze zbiorem A.

52

(b) Niech B bdzie dowolnym podzbiorem zbioru A. Niech B oznaczafunkcj charakterystyczn zbioru B (na zbiorze A). Wwczas:

{x A : B(x) > a) =, gdy a [1, );B, gdy a [0, 1);X gdy a (, 0).

Std wynika, e funkcja B jest funkcj mierzaln wtedy i tylko wtedy gdyB M.

(c) Zamy, eX jest przestrzeni topologiczn i niechM bdzie ciaempodzbiorw zbioru X i A M. Wwczas dowolna funkcja ciga f : A Rjest funkcj mierzaln. Wynika to z tego, e dla dowolnego a R zbir

{x A : f(x) < a} = f1((, a))

jako przeciwobraz zbioru otwartego w R jest zbiorem otwartym w A, toznaczy jest przeciciem zbioru otwartego w X ze zbiorem A, a wic jestzbiorem borelowskim.

Denicja 10.1 Mwimy, e dwie funkcje f, g : A R s rwne prawiewszdzie, jeeli zbir

{x A : f(x) = g(x)}jest zbiorem mierzalnym i ma miar rwn 0

Uwaga 10.1 Zamy, e miara jest miar zupen. Dwie funkcje f, gokrelone na zbiorze A s rwne prawie wszdzie wtedy i tylko wtedy, gdyistnieje zbir C MA taki, e (C) = 0 i f(x) = g(x) gdy x A \ C.

Twierdzenie 10.2 Zamy, e miara jest miar zupen. Jeeli funkcjaf : A R jest funkcj mierzaln a g : A R jest rwna prawie wszdziefunkcji f, to g jest funkcj mierzaln.

Dowd. Zamy, e f(x) = g(x) dla x A \ C, gdzie (C) = 0. Wwczasdla dowolnego c R, mamy

g1((, c)) = f1((, c)) (A \ C) + g1((, c)) C.

Pierwszy ze zbiorw jest zbiorem mierzalnym, bo funkcja f jest mierzalnaa drugi jest mierzalny bo (C) = 0 wic z zupenoci miary jego dowolnypodzbir jest mierzalny.

Twierdzenie 10.3 Jeeli f : A R jest funkcj mierzaln, to dla dowol-nego zbioru borelowskiego B R mamy f1(B) M.

53

Dowd. NiechM = {B R : f1(B) M}.

Jak atwo sprawdziM jest ciaem podzbiorw R. Dla dowolnych a, b R takich, e a < b mamy (a, b) = (, b) (a, ) wic

f1((a, b)) = f1((, b) (a, )) = f1((, b)) f1((a, )).

Zatem przeciwobraz dowolnego przedziau otwartego w R naley do ciaaM. Std wynika, e ciao to zawiera wszystkie zbiory borelowskie.

Twierdzenie 10.4 Jeeli f : A R jest funkcj mierzaln,to dla dowol-nego c R zbir

B = {x A : f(x) = c}jest zbiorem mierzalnym.

Dowd. W przypadku c R zbir B jest przeciwobrazem zbioru jednoele-mentowego a wic zbioru borelowskiego, zatem z poprzedniego twierdzeniajest zbiorem mierzalnym. Jeeli c =, to

B =n=1

{x A : f(x) > n}.

Podobnie przedstawiamy zbir B w przypadku gdy a = .

Denicja 10.2 Mwimy, e zbir B R jest zbiorem borelowskim w R,jeeli B R jest zbiorem borelowskim w R.

Z twierdze 10.3 i 10.4 wynika, e przeciwobraz zbioru borelowskiego wR jest zbiorem mierzalnym.

Twierdzenie 10.5 Niech f, g : A R bd funkcjami mierzalnymi. Ww-czas kady ze zbiorw

A1 = {x A : f(x) > g(x)},

A2 = {x A : f(x) g(x)},A3 = {x A : f(x) < g(x)},A4 = {x A : f(x) g(x)},A5 = {x A : f(x) = g(x)}A6 = {x A : f(x) = g(x)}

jest zbiorem mierzalnym

54

Ustawmy w cig q1, q2, ... wszystkie liczby wymierne. Mamy

A1 =n=1

{x A : g(x) < qn < f(x)} =n=1

({x A : g(x) < qn} {x A : f(x) > qn}) M.

Podobnie dowodzimy, e A3 M a poniewa zbiory A2 i A4 s dopenieniamido A odpowiednio A1 i A3 wic A2, A4 M. Zbir A5 jest przeciciemzbiorw A1 i A3 a zbir A6 dopenieniem zbioru A5.

Twierdzenie 10.6 Jeeli f : A R jest funkcj mierzaln to dla dowol-nego zbioru B A funkcja g = f|B jest funkcj mierzaln.

Dowd.{x B : g(x) > c} = B {x A : f(x) > c}.

Twierdzenie 10.7 Zamy, e A =n=1

An i funkcje fn = f|An s mie-

rzalne. Wwczas funkcja f jest funkcj mierzaln.

Dowd.

{x A : f(x) > c} =n=1

{x An : f(x) > c} =n=1

{x AN : fn(x) > c} M.

W nastpnym twierdzeniu przyjmujemy, e 0 = 0 () = 0.Twierdzenie 10.8 Jeeli funkcja f : X R jest funkcj mierzaln, to dladowolnego c R funkcja cf jest funkcj mierzaln.

Twierdzenie 10.9 Niech f, g : A R bd funkcjami mierzalnymi. Ww-czas funkcje

f + g, f g, fgs mierzalne.

Dowd. Jeeli g jest funkcj mierzaln to dla dowolnego c R funkcja g+cjest rwnie funkcj mierzaln. Poniewa

{x A : f(x) g(x) < c} = {x A : f(x) < g(x) + c}

wic na podstawie twierdzenia 10.5 funkcja f g jest funkcj mierzaln.Na podstawie poprzedniego twierdzenia rwnie funkcja f + g jest funkcj

55

mierzaln. Aby udowodni, e iloczyn dwch funkcji mierzalnych jest funk-cj mierzaln udowodnimy najpierw, e jeeli h jest funkcj mierzaln, tofunkcja h2 jest rwnie funkcj mierzaln. Niech c R i niech

A = {x A : h2(x) < c}.Jeeli c 0 to A = , a inaczej

A = {x A : h(x) < c} {x A : h(x) > c}.Udowodnilimy wic, e kwadrat funkcji mierzalnej jest funkcj mierzaln.Dalej zauwamy, e dla dowolnych funkcji mierzalnych f i g mamy:

f g = 14[(f + g)2 (f g)2]

wic f g jest funkcj mierzaln.Twierdzenie 10.10 Jeeli g : A R jest funkcj mierzaln tak, eg(x) = 0 dla dowolnego x A, to 1

gjest funkcj mierzaln.

Twierdzenie 10.11 Jeeli f, g s funkcjami mierzalnymi na zbiorze A tofunkcje

max{f, g}, min{f, g}s rwnie mierzalne.

Dowd.

{x A : max{f, g}(x) a} = {x A : f(x) a} {x A : g(x) a},oraz

{x A : min{f, g}(x) a} = {x A : f(x) a} {x A : g(x) a}.Twierdzenie 10.12 Jeeli f jest funkcj mierzaln na zbiorze A, to funk-cja |f | jest rwnie funkcj mierzaln.Dowd. Mamy |f | = max{f,f}.Denicja 10.3 Dla dowolnej funkcji f : A R okrelamy cz dodatnif+ i cz ujemn f funkcji f przyjmujc

f+(x) = max{f(x), 0}, f(x) = min{f(x), 0}.Z twierdzenia 10.11 wynika, e jeeli f jest funkcj mierzaln to f+, f s

funkcjami mierzalnymi. Poniewa jak atwo zauway mamy f = f++ f =f+ (f) wic mamy:Twierdzenie 10.13 Dowoln funkcj mierzaln mona przedstawi w po-staci rnicy dwch funkcji mierzalnych nieujemnych.

Uwaga 10.2 Z twierdzenia 10.9 wynika, e jeeli f jest funkcj o warto-ciach skoczonych to z mierzalnoci funkcji f+, f+ s funkcjami mierzal-nymi to f jest funkcj mierzaln.

56

10.2 Cigi funkcji mierzalnych

Twierdzenie 10.14 Jeeli (fn) jest dowolnym cigiem funkcji mierzalnychna zbiorze A, to funkcje

supnN

fn, infnN

fn

s funkcjami mierzalnymi.

Dowd. Dla dowolnego a R mamy:

{x A : supnN

fn > a} =n=1

{x A : fn(x) > a},

oraz

{x A : infnN

fn(x) < a} =n=1

{x A : fn(x) < a}.

Twierdzenie 10.15 Dla dowolnego cigu (fn) funkcji mierzalnych na zbio-rze A fnkcja

lim supn

fn lim infn fn

s funkcjami mierzalnymi.

Dowd. Wynika to z poprzedniego twierdzenia i z tego, e

lim infn fn = supnN

infmn

fm

orazlim supn

fn = infnN

supmn

fm.

Wniosek 10.1 Jeeli (fn) jest takim cigiem funkcji mierzalnych na zbiorzeA i dla dowolnego x A cig (fn(x)) jest zbieny to funkcja

f(x) = limn fn(x)

jest funkcj mierzaln na zbiorze A.

Twierdzenie 10.16 (Jegorowa) Niech (X, M, ) bdzie przestrzeni zmiar. Zamy, e (fn) jest cigiem funkcji mierzalnych na zbiorze A Mtakim, e (A) < zbienym punktowo do funkcji skoczonej f, Wwczasdla dowolnego > 0 istnieje zbir F A taki, e (A F ) < , oraz cig(fn|F ) jest zbieny jednostajnie do f|F .

57

Dowd. Ustalmy dowolne > 0. Niech

Amn = {x A : in|fi(x) f(x)| < 1m.

Wwczas dla dowolnego m, n N zbir Amn jest zbiorem mierzalnym, orazn=1

Anm = A,

a poniewa Amn Am n+1 wic z twierdzenia 5.5 mamy:(A) = lim

n(Amn).

Std dla dowolnego n N istnieje taki wskanik nm, e(A) (Amnm) 0 mamy f + g ,(c) jeeli (fn) jest dowolnym cigiem niemalejcym funkcji nalecych do

, a f : A [0,] funkcj mierzaln tak, e fn f (punktowo),to f ,

Wwczas dowolna funkcja mierzalna nieujemna f : A [0,] naley do .

59

Dowd. Z warunku (a) wynika, e funkcje charakterystyczne zbiorw mie-rzalnych nale do , z warunku (b), e funkcje proste nieujemne a z wa-runku (c) i twierdzenia 10.18 dowolna funkcja mierzalna naley do .

Analogicznie dowodzimy:

Twierdzenie 10.20 Jeeli [0,)A jest rodzin funkcji mierzalnychspeniajc warunki (a), (b) poprzedniego twierdzenia, oraz warunek

(c) jeeli (fn) jest dowolnym cigiem niemalejcym funkcji nalecych do, a f : A [0,) funkcj mierzaln tak, e fn f (punktowo),to f ,

to = [0,)A.

Wwczas dowolna funkcja mierzalna nieujemna f : A [0,) naley do .Poniewa dowoln funkcj mierzaln f : [0,) mona przedstawi w

postaci rnicy dwch funkcji mierzalnych nieujemnych, wic

Twierdzenie 10.21 Niech RA bdzie rodzin funkcji mierzalnych spe-niajc warunek (a) twierdzenia 10.19, warunek (b) tego twierdzenia dla do-wolnych , R. Jeeli rodzina jest zamknita na zbieno punktow,to dowolna funkcja mierzalan f : A R naley do .

10.4 Funkcje mierzalne wzgldem ciaa zbiorw mierzal-nych w sensie Lebesquea

Niech A Rk bdzie dowolnym zbiorem mierzalnym w sensie Lebesquea.

Twierdzenie 10.22 Dowolna funkcja ciga f : A R jest funkcj mie-rzaln.

Twierdzenie 10.23 Jeeli zbir punktw niecigoci funkcji f : A Rjest zbiorem o mierze Lebesquea rwnej 0, to f jest funkcj mierzaln.

Twierdzenie 10.24 Dowolna funkcja f : [a, b] R cakowalna w sensieRiemanna jest funkcj mierzaln.

Twierdzenie 10.25 Jeeli f : R R jest funkcj monotoniczn, to jestfunkcj mierzaln.

Jako zastosowanie Zasady indukcji dla funkcji mierzalnych (twierdze-nie 10.19) udowodnimy nastpujce twierdzenie opisujce funkcje mierzalnewzgldem ciaa zbiorw mierzalnych wzgldem ciaa zbiorw mierzal-nych w sensie Lebesquea.

60

Twierdzenie 10.26 (uzina) Niech A Rk bdzie zbiorem mierzalnym wsensie Lebesquea. Jeeli funkcja f : A R jest funkcj mierzaln, to dladowolnego > 0 istnieje zbir domknity F A taki, e lk(AF ) < , orazf|F jest funkcj cig.

Dowd. . Niech bdzie rodzin wszystkich funkcji mierzalnych f :A R speniajcych tez twierdzenia dla dowolnego > 0. Niech B Abdzie dowolnym zbiorem mierzalnym w sensie Lebesquea i niech f = A.Z twierdzenia 9.18 istniej zbiory domknite F1 B, F2 AB takie, e

lk(B F1) < 2 , lk(AB F2) 0 i niech Fn bdzie takim zbioremdomknitym, e

lk(A Fn) < 2n+1 ,oraz f|Fn jest funkcj cig. Wwczas zbir B =

n=1 Fn jest zbiorem

domknitym (a wic mierzalnym w sensie Lebesquea) takim, e lk(AB) 0 mamy

limn({x A : |fn(x) f(x)| }) = 0.

Denicja 11.2 Mwimy, e cig (fn) jest zbieny prawie wszdzie do funk-cji f jeeli istnieje taki zbir B M, e (B) = 0, oraz

fn(x) f(x) dla dowolnego x AB.

Twierdzenie 11.1 Jeel fn f (prawie wszdzie), to f jest funkcj mie-rzaln.

Twierdzenie 11.2 Jeeli (A)

Twierdzenie 11.4 Niech A bdzie dowolnym podzbiorem mierzalnym w sen-sie Lebesquea Rk. Jeeli f : A R jest dowoln funkcj mierzaln, toistnieje cig (fn) funkcji prostych na A taki, e fn f prawie wszdzie.

Dowd. Na podstawie twierdzenia uzina (twierdzenie 10.26) dla dowolne-go n N istnieje zbir domknity Fn A, e f|Fn jest funkcj cig orazlk(A Fn) < 2n. Z twierdzenia Tietzego wynika, e istnieje funkcja cigafn : A R taka, e f|Fn = fn|Fn . Niech

B =m=1

n=m

(A \ Fn).

Zauwamy, e dla dowolnego m N mamy

lk(B) 6 lk(

n=mFm) 6

n=m

lk(A \ Fn) 6

n=m2n = 2m+1.

Std dostajemy, e lk(B) = 0. Ponadto jeeli x B, to istnieje takie m N,e x Fn dla n > m. Zatem fn(x) = f(x) dla p.w.n

64

12 Caka Lebesquea

12.1 Caka funkcji nieujemnych

W caym rozdziale zakadamy, e (X, M, ) jest przestrzeni z miar i eA M.Denicja 12.1 Dla dowolnej funkcji prostej nieujemnej g : A R takiej,e

g =mk=1

kBk , (43)

gdzie Bk M s zbiorami parami rozcznymi a k dowolnymi stayminieujemnymi, deniujemy

Af =

mk=1

k(Bk).

Uwaga 12.1 Jeeli g, h s dowolnymi nieujemnymi funkcjami prostmi, to

(a) jeeli g 6 h, toA g 6

A h;

(b)A(g + h) =

A+

A h.

Dalej przez P bdziemy oznacza rodzin wszystkich funkcji prostych na A.

Denicja 12.2 Dla dowolnej funkcji mierzalnej i nieujemnej f : A Rdeniujemy cak z funkcji f po zbiorze A wzgldem miary jako:

Afd = sup

{Ag; g P, g 6 f

}Z punktu (a) uwagi 12.1 wynika, e dla funkcji prostych podana denicja

caki pokrywa si z podan wczeniej.

Twierdzenie 12.1 Niech f : A R bdzie dowoln funkcj mierzalnnieujemn.

(a)A f = 0 wtedy i tylko wtedy gdy f = 0 prawie wszdzie na A;

(b) jeeliA f 1/n},

65

zatem jeden ze zbiorw Bn ma miar dodatni. Ale poniewa 1nBn 6 f,wic

A f > 1n(Bn) > 0.

(b) Zamy, e zbir

B = {x A : f(x) =}

ma miar dodatni. Poniewa nb 6 f dla dowolnego n N wicA f >

n(A). Std wynika, eA f =.

Kolejne dwa twierdzenia wynikaj bezporednio z denicji caki.

Twierdzenie 12.2 Jeeli f, g : A R s dowolnymi funkcjami mierzalny-mi nieujemnymi takimi, e f g, to

Afd

Agd.

Twierdzenie 12.3 Dla dowolnej funkcji mierzalnej nieujemnej i mierzal-nej f : A R zachodzi nierwno:

inf f(A)(A) Afd sup f(A)(A).

Twierdzenie 12.4 Jeeli fn jest cigiem nieujemnych funkcji prostych ta-kim, e fn f, to

A fn

A f.

Dowd. Granica ciguA fn istnieje, bo jest to cig rosncy. Ponadto na

podstawie twierdzenia 12.2 mamy

limn

Afn 6

Af.

Wystarczy wic udowodni nierwno przeciwn. Wemy dowoln funkcjprost postaci (43) tak, e g 6 f. Niech

Denicja 12.1 Dalej przez MA bdziemy oznacza ciao podzbiorwzbioru A zoone ze wszystkich podzbiorw mierzalnych zbioru A. Inaczejmwic

MA = {B A : B M}

Twierdzenie 12.5 Zamy, e f : A R jest dowoln nieujemn funkcjmierzaln. Wwczas funkcja okrelona na MA A wzorem

(B) =Bfd

jest miar na MA..

66

Dowd. Udowodnimy najpierw, e jest funkcj przeliczalnie podaddytyw-n. Niech (Bn) bdzie cigiem parami rozacznych, mierzalnych podzbiorwzbioru A i niech B =

n=1Bn. Jeeli dla pewnego n mamy (An) =, to

jak atwo zauway mamy rwnie (B) = . Moemy wic zakada, edla dowolnego n mamy (Bn) < . Wemy dowolne > 0. Dla dowolnegon N niech

n = {Bnm : m N}bdzie takim podziaem zbioru Bn, e

Sn(f) < (Bn) +

2n.

Rodzina = {Bnm : n, m N} jest podziaem zbioru B zatemBfd S(f) =

n,mN

sup f(Bnm)(Bnm) =n=1

m=1

sup f(Bnm)(Bnm) =

n=1

Sn(f) n=1

((An +

2n) =

n=1

(An) + .

Ze wzgldu na dowolno dostajemy podaddytywno .Wystarczy dalej pokaza, e jest funkcj skoczenie addytywn. Ze

wzgldu na podaddytywno wystarczy udowodni, e jeeli zbiory B, C A s mierzalne i rozczne, to (B C) (B) + (C). Mona zakada,e (B C) < . Wemy dowolne > 0 i niech = {An} bdzie takimpodziaem zbioru B C, e S(f) < (B C) + . Zauwamy, e 1 ={B An} oraz 2 = {C An} s podziaami zbiorw B i C zatem

(A) + (B) S1(f) + S2(f) =n=1

sup f(B An)(B An) +n=1

sup f(C An)(C An)

n=1

sup f(An)(B An) +n=1

sup f(An)(C Bn) =n=1

sup f(An)[(B An) + (C Bn)]n=1

sup f(An)(An) = S(f) (B C) + .

Ze wzgldu na dowolno dostajemy dowodzon nierwno.

Twierdzenie 12.6 Niech f bdzie funkcj mierzaln i nieujemn na zbio-rze A M. Jeeli A fd = 0 to f = 0 prawie wszdzie w A.

67

Dowd. Zamy nie wprost, e zbir B = {x A : f(x) > 0 ma miarnieujemn. Niech

Bn ={x B : f(x) 1

n

}.

Twierdzenie 12.7 (Lebesquea) Jeeli (fn) jest cigiem rosncym funk-cji mierzalnych i nieujemnych zbienym punktowo do funkcji f, to

Afd = lim

n

Afnd. (44)

Dowd. Z twierdzenia 12.2 wynika, e granica po prawej stronie rwnoci44 istnieje i jest nie wiksza od prawej strony. Aby udowodni nierwnoprzeciwn zamy najpierw, e f(x) < dla dowolnego x A i wemydowoln liczb (0, 1). Niech

An = {x A : fn(x) > f(x)}.Mamy

Afnd

An

fnd An

fd = An

fd. (45)

Ale cig (An) jest cigiem wstpujcym takim, en=1

An = A wic na

podstawie twierdzenia 12.5 mamyAn

fdAfd.

Na podstawie (45) dostajemy wic:

limn

Afnd > lim

n

An

fd > Afd.

a ze wzgldu na dowolno dostajemy dowodzon nierwno.

Twierdzenie 12.8 Jeeli f, g : A R s dowolnymi funkcjami mierzalny-mi nieujemnymi, to dla dowolnych liczb , 0 mamy:

A(f + g)d =

Afd+

Agd.

12.2 Funkcje cakowalne

Denicja 12.3 Dla dowolnej funkcji f : A R przyjmujemy,f+(x) = max{f(x), 0}, f(x) = max{f(x), 0}.

Mwimy, e funkcja f : A R jest funkcj cakowaln w sensie Lebesquea,jeeli

Af+d

Jeeli f jest funkcj cakowaln to przyjmujemyAfd =

Af+d

Afd

Uwaga 12.2 Funkcja mierzalna nieujemna f : A R jest cakowalna wsensie Lebesquea wtedy i tylko wtedy, gdy

A fd

Twierdzenie 12.15 Jeeli funkcje f, g s cakowalne na zbiorze A to funk-cja f + g jest funkcj cakowaln i

A(f + g)d =

Afd+

Agd. (46)

Dowd. Cakowalno funkcji f +g wynika z nierwnoci |f +g| 6 |f |+ |g|,oraz z twierdzenia 12.9. Aby udowodni rwno (46) zauwamy, e mamy

f + g = (f + g)+ (f + g),

a z drugiej strony f = f+ f, oraz g = g+ g, wic

(f + g)+ + f + g = f+ + g+ + (f + g),

zatem z twierdzenia 12.8 dostajemy dowodzon rwno.

Twierdzenie 12.16 Jeeli funkcja f : A R jest funkcj cakowaln, todla dowolnego R funkcja f jest funkcj cakowaln i

Afd =

fd.

Twierdzenie 12.17 (lemat Fatou) Jeeli fn jest cigiem funkcji mierzal-nych i nieujemnych na A, to

Alim infn fnd lim infn

Afnd.

Dowd. Niechgn(x) = inf{fm(x) : m n}.

Wwczas gn jest rosncym cigiem funkcji mierzalnych takim, e

limn gn(x) = lim inf fn(x)

dla dowolnego x A Std na podstawie twierdzenia 12.7 mamyAlim infn fnd =

A

limn gnd = limn

Agn lim inf

n

Afn.

Twierdzenie 12.18 (Lebesquea o zmajoryzowanej zbienoci) Jeeli funk-cje fn s cakowalne na zbiorze A, oraz |fn| g gdzie g : A R jest funkcjcakowaln, to

Alim infn fnd lim infn

Afnd lim sup

n

Afnd

Alim supn

fnd.

Dowd. Zauwamy, e dla dowolnego x A mamy fn(x) g(x) wicfn(x) + g(x) 0. Moemy wic do cigu fn + g zastosowa lemat Fatou.

70

Twierdzenie 12.19 (Lebesquea o zmajoryzowanej zbienoci) Zamy,e (fn) jest cigiem funkcji mierzalnych na A takim, e |fn(x)| < g(x),gdzie g jest funkcj cakowaln na A. Jeeli fn(x) f(x) dla dowolnegox A, to f jest funkcj cakowaln na A, oraz

Afn

Af.

71

13 Caka Lebesquea a caka Riemanna

Jeeli = {x0, x1, . . . xk} jest dowolnym podziaem przedziau [a, b], to dladowolnej funkcji ograniczonej f : [a, b] R deniujemy funkcje g, h wnastpujcy sposb

g =ki=1

mi[xi1,xi], h =ki=1

Mi[xi1,xi].

gdziemi = inf f([xi1, xi]), Mi = sup f([xi1, xi])

funkcje te s oczywicie cakowalne w sensie Lebesquea i[a,b]

gdl = S(f,),[a,b]

hdl = S(f,).

Lemat 13.1 Jeeli (n) jest normalnym cigiem podziaw takim, e n n+1 to cig (hn) jest malejcym cigiem zbienym punktowo do pewnejfunkcji h cakowalnej w sensie Lebesquea na [a, b] takiej, e

[a,b]hdl =

[a,b]

f.

Analogicznie cig hn jest cigiem malejcym zbienym punktowo do takiejfunkcji cakowalnej h, e

[a,b]gdl =

[a,b]

f.

Zachodzi nierwno g f h.

Twierdzenie 13.1 Dowolna funkcja f : [a, b] R cakowaln w sensieRiemanna, jest funkcj cakowaln w sensie Lebesquea i b

af(x)dx =

[a, b]

fdl.

Dowd. Niech n bdzie wstpujcym cigiem normalnym podziaw [a, b].

72

14 Iloczyn kartezjaski miar

W tym rozdziale przyjmujemy, e 0 = 0.

14.1 Iloczyn kartezjaski ppiercieni

Twierdzenie 14.1 Jeeli P1, P2 s ppiercieniami podzbiorw zbiorwX i Y, to rodzina

P = {AB : A P1, B P2}jest ppiercieniem podzbiorw X Y.Uwaga 14.1 Jeeli A P (P1), B P (P2), to iloczyn A B daje siprzedstawi w postaci sumy zbiorw parami rozcznych nalecych do P.Dowd (uwagi) Jeeli

A =ni=1

Ai, B =mj=1

Bj ,

to

AB =ni=1

mj=1

(Ai Bj).

atwo zauway, e zbiory Ai Bj s parami rozczne.Dowd. Mamy

(A1 B1) (A2 B2) = (A1 A2) (B1 B2).Ponadto:

(A2 B2) = (X B2) (A2 Y ).zatem

(A1 B1) (A2 B2) = [A1 (B1 B2)] [(A1 A2)B1].Dalej

A1 (B1 B2) = [(A1 A2) (B1 B2)] + [(A1 A2) (B1 B2)],(A1 A2)B1 = [(A1 A2) (B1 B2)] + [(A1 A2) (B1 B2)],

zatem

(A1 B1) (A2 B2) = [(A1 A2) (B1 B2)] + [(A1 A2) (B1 B2)]+(A1 A2) (B1 B2).

Zauwamy, e trzy zbiory wystpujce po prawej stronie ostatniej rwnocis parami rozczne, ponadto kady z nich na mocy uwagi 14.1 daje siprzedstawi w postaci sumy zbiorw parami rozcznych nalecych do P.

73

Twierdzenie 14.2 Jeeli P1, ...., Pn s ppiercieniami, i

P = {A1 .... An : Ai Pi (i = 1, ..., n)},

to P jest ppiercieniem.

14.2 Miara na iloczynie kartezjaskim ppiercieni

Twierdzenie 14.3 Zamy, e P1, P2 s ppiercieniami a 1, 2 funk-cjami addytywnymi odpowiednio na P1, P2. Niech piercie P bdzie zde-niowany tak jak w twierdzeniu 14.1). Zdeniujmy funkcje : P [0,] wnastpujcy sposb:

(AB) = 1(A)2(B)Wwczas jest funkcj addytywn na P. Jeeli 1, 2 s miarami, to jest miar.

Dowd Zamy, e Ai P1, Bi P2, (Ai Bi) (Aj Bj) = , dlai, j = 1, ..., n oraz, e

AB =ni=1

(Ai Bi) P.

Na podstawie twierdzenia 4.4 istniej zbiory parami rozczne

C1, ..., Cm, D1, ..., Dk P

i istniej zbiory Mi {1, ..., m} oraz Ki {1, ..., k} dla i = 1, ..., ntakie, e

Ai =sMi

Cs, Bi =sKi

Ds.

MamyAi Bi =

(s,t)MiKi

(Cs Dt).

14.3 Iloczyn kartezjaski przestrzeni z miar

Twierdzenie 14.4 Niech (X1, N1, 1), (Y, N2, 2) bd przestrzeniamiz miar. Niech M bdzie ciaem podzbiorw X Y generowanym przezrodzin

{AB : A M1, B M2}.Istnieje dokadnie jedna miara :M [0,] taka, e

(AB) = 1(A)(B).

74

Twierdzenie 14.5 Niech P1, P2 bd piercieniami podzbiorw odpowied-nio X i Y. Zamy, e i : Pi [0, ] funkcjami addytywnymi na tychpiercieniach. Niech P bdzie ppiercieniem podzbiorw XY zdeniowa-nym tak jak w twierdzeniu 14.1. Zdeniujmy funkcj : P [0, przyj-mujc

(AB) = (A)(B) (47)dla dowolnego A P1 i B P2, Wwczas jest funkcj addytywn nappiercieniu P.Denicja 14.1 Przestrze z miar (X Y, M, ), gdzie M i s zde-niowane tak jak w twierdzeniu 14.5 nazywamy iloczynem kartezjaskimprzestrzeni z miar (X, M1, 1), (Y, M2, 2) a miar nazywamy produk-tem miar 1 i 2.

Twierdzenie 14.6 Przy zaoeniach denicji jeeli C M, to dla dowol-nego x X mamy

Cx = {y Y : (x, y) C} M2,oraz dla dowolnego y Y :

Cy = {x X : (x, y) C} M1.Dowd. Niech

R = {C X Y : Cx M2}.Jak atwo zauway rodzina R zawiera wszystkie zbiory postaci AB, gdzieA M1, B M2. Jak atwo zauway mamy

(n=1

An)x =n=1

(An)x,

oraz(A)x = (Ax).

Std wynika, e R jest ciaem zawierajcym wszystkie zbiory postaciAB, gdzie A M1, B M2. Std dostajemy, e R M.

Niech f : X Y R bdzie dowoln funkcj mierzaln. Wwczas dladowolnego x X niech x : Y R bdzie tak funkcj, e x(y) = f(x, y)a dla dowolnego y Y niech y : X R bdzie funkcj okrelon wzoremy(x) = f(x, y).

Przy powyszych oznaczeniach mamy

Twierdzenie 14.7 (Toneliego) Jeeli funkcja f : X Y R jest dowol-n funkcj mierzaln nieujemn, to dla dowolnego x X funkcja

Y y f(x, y) Rjest funckj mierzaln i

XYfd =

X

(Yf(x, y)d2

)d1

75

15 Miary zespolone

Zakadamy, e M jest ciaem podzbiorw zbioru X. Mwimy, e cig(An) zbiorw nalecych doM jest rozbiciem zbioru A M jeeli zbiory Ans parami rozczne i A =

n=1An.

Denicja 15.1 Mwimy, e funkcja :M C jest miar zespolon, jeelidla dowolnego A M i dowolnego rozbicia (An) zbioru A zachodzi rwno

(n=1

An) =n=1

(An).

Jeeli natomiast wartoci (A) s liczbami rzeczywistymi, to mwimy, e jest miar rzeczywist

Denicja 15.2 Dla dowolnej miary zespolonej na M okrelamy wariacj|| tej miary przyjmujc

||(A) = sup{n=1

|(An)| : (An) rozbice A} (48)

Oczywicie zachodzi nierwno (A) ||(A) dla dowolnego zbioru A M,na og rwno nie musi zachodzi.

Twierdzenie 15.1 Wariacja || dowolnej miary zespolonej jest miar do-datni skoczon.

Dowd. Wemy dowolny zbir A M i jego rozbicie (An). Niech (Cm)bdzie dowolnym rozbiciem zbioru A. Wwczas dla dowolnego n N cig(Cm An) jest rozbiciem An wic

||(An) >m=1

|(An Cm)|,

zatem

n=1

||(An) >n=1

m=1

|(An Cm)| =m=1

n=1

|(An Cm)|

m=1

|n=1

(An Cm)| =n=1

|(A Cm)| =n=1

|(Cm)|.

Std dostajemy nierwno

n=1

||(An) ||(A).

76

Aby udowodni odwrotn nierwno wemy dowolne > 0. Istniej takierozbicia (Cn,m) zbiorw An, e

m=1

|(Cn,m)| > ||(An) 2n .

Wwczas (Cn,m) jest rozbiciem A wic

||(A) n=1

m=1

|(Cn,m)| n=1

||(An) .

Twierdzenie 15.2 Jeeli jest dowoln miar zespolon naM, to ||(X) < wic || jest miar skoczon.

Lemat 15.1 Dla dowolnych liczb zespolonych z1, . . . , zn istnieje zbir sko-czony S 1, . . . n taki, e

jS

zn

16nj=1

|zn|.

Dowd twierdzenia. Udowodnimy najpierw, e jeeli E M jest takimzbiorem, e ||(E) = , to istniej dwa zbiory A,B M, e E = A Boraz

(A) > 1, ||(B) =.Rzeczywicie poniewa ||(E) = wic istnieje pokrycie (En) zbioru Etakie, e

n=1

|(En)| > 6(1 + |(E)|).

Istnieje takie m N, emn=1

|(En)| > 6(1 + |(E)|).

Ale na podstawie lematu znajdziemy taki zbir S {1, . . . ,m}, e

|nS

(En)| > 1 + |(E)|.

Wemy A =

nS En. Wwczas |(A)| > 1 + |(E)| 1. Jeeli B = E \A,to

|(B)| = |(E) (A)| |(A)| |(E)| 1.Tak wic |(A)| 1 oraz |(B)| > 1 i E = A B tak wic poniewa | jestmiar wic albo ||(A) = lub |(B) = . Bez straty oglnoci moemyzakada, e zachodzi drugi przypadek.

77

Przejdmy teraz do dowodu twierdzenia. Zamy nie wprost, e ||(X) =.Wwczas istniej dwa zbiory rozczne A1, B1 M takie, e A1B1 = Xoraz |(A1)| 1 i ||(B1) = . Dalej biorc zamiast zbioru E zbirB1 stwierdzamy, e istniej dwa zbiory rozczne A2, B2 M takie, eA2 B2 = B1 oraz |(A2)| > 1 i ||(B2) = . Kontynuujc t konstrukcjdostajemy cig zbiorw An M ktre s parami rozczne i |(An)| 1.

78