J : ; HЯ I J H = J : F F : I H H F ? L J B B · jешать задачи на построение, доказательство и вычисления

Муниципальное образовательное учреждение средняя

общеобразовательная школа № 3 города Фурманова

Рассмотрено

На заседании ШМО учителей

Гуманитарного цикла.

Руководитель

__________/Монахова О. В./

ФИО

Протокол № 6 от «19» мая 2015г.

Согласовано

Заместитель директора по УВР

МОУ СОШ №3 г. Фурманова

____________/Н.В. Яблокова/

ФИО

«20» мая 2015 г.

Утверждаю

Директор МОУ СОШ №3 г.

Фурманова

_____________/Л.Ю. Иваненко/

ФИО

Приказ № 111-о от «22» 05. 2015г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

ПО ГЕОМЕТРИИ

Уровень: основное общее образование

Срок реализации: 3 года (7-9 классы)

Составители:

Монахова О.В., учитель математики

первой квалификационной категории

Стрижова Е.В., учитель математики

Селиванова С. Н., учитель математики

высшей квалификационной категории

Принята на педагогическом совете.

Протокол № 4 от 20.05.2015 г.

2015

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Настоящая рабочая программа по предмету «Геометрия» для 7-9 классов составлена в соответствии с

требованиями Федерального государственного образовательного стандарта основного общего

образования (ФГОС ООО), на основе примерной основной образовательной программы основного

общего образования, одобренной решением федерального учебно-методического объединения по

общему образованию (протокол от 8 апреля 2015 г. № 1/15).

Математическое образование является обязательной и неотъемлемой частью общего

образования на всех ступенях школы. Обучение математике в основной школе направлено на

достижение следующих целей:

1) в направленииличностного развития:

• формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, о

значимости математики в развитии цивилизации и современного общества;

• развитие логического и критического мышления, культуры речи, способности к умственному

эксперименту;

• формирование интеллектуальной честности и объективности, способности к преодолению

мыслительных стереотипов, вытекающих из обыденного опыта;

• воспитание качеств личности, обеспечивающих социальную мобильность, способность

принимать самостоятельные решения;

• формирование качеств мышления, необходимых для адаптации в современном

информационном обществе;

. • развитие интереса к математическому творчеству и математических способностей;

2 ) вметапредметномнаправлении:

• развитие представлений о математике как форме описания и методе познания

действительности, создание условий для приобретения первоначального опыта математического

моделирования;

• формирование общих способов интеллектуальной деятельности, характерных для

математики и являющихся основой познавательной культуры, значимой для различных сфер

человеческой деятельности;

3) в предметном направлении:

• овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми для продолжения

образования, изучения смежных дисциплин, применения в повседневной жизни;

• создание фундамента для математического развития, формирования механизмов мышления,

характерных для математической деятельности.

Цель содержания предмета «Геометрия» — развить у учащихся пространственное воображение

и логическое мышление путем систематического изучения свойств геометрических фигур на

плоскости и в пространстве и применения этих свойств при решении задач вычислительного и

конструктивного характера. Существенная роль при этом отводится развитию геометрической

интуиции. Сочетание наглядности со строгостью является неотъемлемой частью геометрических

знаний. Материал, относящийся к блокам «Координаты» и «Векторы», в значительной степени несет

в себе межпредметные знания, которые находят применение как в различных математических

дисциплинах, так и в смежных предметах.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА «ГЕОМЕТРИЯ»

Геометрия — один из важнейших компонентов математического образования, необходимый для

приобретения конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формирования

языка описания объектов окружающего мира, для развития пространственного воображения и

интуиции, математической культуры, для эстетического воспитания обучающихся. Изучение

геометрии вносит вклад в развитие логического мышления, в формирование понятия доказательства.

Таким образом, в ходе освоения содержания курса учащиеся получают возможность развить

пространственные представления и изобразительные умения, освоить основные факты и методы

планиметрии, познакомиться с простейшими фигурами и их свойствами.

ОПИСАНИЕ МЕСТА УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА «ГЕОМЕТРИЯ»

В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ

Согласно Федеральному учебному плану для образовательных учреждений Российской Федерации

на изучение предмета отводится 68 часов в каждом классе из расчета 2 часа в неделю, всего 204

часа. В рамках учебного предмета «Геометрия» изучаются евклидова геометрия, элементы векторной

алгебры, геометрические преобразования.

Личностные, метапредметные и предметные результаты

освоения содержания курса геометрии

Программа обеспечивает достижение следующих результатов:

личностные:

1. формирование ответственного отношения к учению, готовности и способности обучающихся к

саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию, выбору

дальнейшего образования на базе ориентировки в мире профессий и профессиональных

предпочтений, осознанному построению индивидуальной образовательной траектории с учетом

устойчивых познавательных интересов;

2. формирование целостного мировоззрения, соответствующего современному уровню развития

науки и общественной практики;

3. формирование коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве со сверстниками,

старшими и младшими в образовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской,

творческой и других видах деятельности;

4. умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл

поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры;

5. критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания, отличать

гипотезу от факта;

6. креативность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении геометрических

задач;

7. умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;

8. способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений,

рассуждений;

метапредметные:

1. умение самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей, осознанно выбирать

наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач;

2. умение осуществлять контроль по результату и по способу действия на уровне произвольного

внимания и вносить необходимые коррективы;

3. умение адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи, её

объективную трудность и собственные возможности её решения;

4. осознанное владение логическими действиями определения понятий, обобщения, установления

аналогий, классификации на основе самостоятельного выбора оснований и критериев, установления

родовых связей;

5. умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение,

умозаключение (индуктивное, дедуктивное и по аналогии) и выводы;

6. умение создавать, применять и преобразовывать знаково-символические средства, модели и схемы

для решения учебных и познавательных задач;

7. умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и

сверстниками: определять цели, распределять функции и роли участников, общие способу работы;

умение работать в группе: находить общее решение и разрешать конфликты на основе согласования

позиций и учета интересов; слушать партнера; формулировать, аргументировать и отстаивать свое

мнение;

8. формирование и развитие учебной и общепользовательской компетентности в области

использования информационно-коммуникационных технологий (ИКТ-компетентности);

9. первоначальные представления об идеях и о методах математики как универсальном языке науки

и техники, о средстве моделирования явлений и процессов;

10. умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах,

в окружающей жизни;

11. умение находить в различных источниках информацию, необходимую для решения

математических проблем, и представлять её в понятной форме; принимать решение в условиях

неполной и избыточной, точной и вероятностной информации;

12. умение понимать и использовать математические средства наглядности (рисунки, чертежи, схемы

и др.) для иллюстрации, интерпретации, аргументации;

13. умение выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их

проверки;

14. умение применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, видеть различные

стратегии решения задач;

15. понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с

предложенным алгоритмом;

16. умение самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных

математических проблем;

17. умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач

исследовательского характера;

предметные:

1. овладение базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания; представление об

основных изучаемых понятиях (число, геометрическая фигура) как важнейших математических

моделях, позволяющих описывать и изучать реальные процессы и явления;

2. умение работать с геометрическим текстом (анализировать, извлекать необходимую

информацию), точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи с применением

математической терминологии и символики, использовать различные языки математики, проводить

классификации, логические обоснования, доказательства математических утверждений;

3. овладение навыками устных, письменных, инструментальных вычислений;

4. овладение геометрическим языком, умение использовать его для описания предметов

окружающего мира, развитие пространственных представлений и изобразительных умений,

приобретение навыков геометрических построений;

5. усвоение систематических знаний о плоских фигурах и их свойствах, а также на наглядном уровне

– о простейших пространственных телах, умение применять систематические знания о них для

решения геометрических и практических задач;

6. умение измерять длины отрезков, величины углов, использовать формулы для нахождения

периметров геометрических фигур (треугольника);

7. умение применять изученные понятия, результаты, методы для решения задач практического

характера и задач из смежных дисциплин с использование при необходимости справочных

материалов, калькулятора, компьютера.

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА «ГЕОМЕТРИЯ»

Геометрические фигуры

Фигуры в геометрии и в окружающем мире

Геометрическая фигура. Формирование представлений о метапредметном понятии «фигура».

Точка, линия, отрезок, прямая, луч, ломаная, плоскость, угол, биссектриса угла и ее свойства,

виды углов, многоугольники, круг.

Осевая симметрия геометрических фигур. Центральная симметрия геометрических фигур.

Многоугольники

Многоугольник, его элементы и его свойства. Распознавание некоторых многоугольников.

Выпуклые и невыпуклые многоугольники. Правильные многоугольники.

Треугольники. Высота, медиана, биссектриса, средняя линия треугольника. Равнобедренный

треугольник, его свойства и признаки. Равносторонний треугольник. Прямоугольный,

остроугольный, тупоугольный треугольники. Внешние углы треугольника. Неравенство

треугольника.

Четырехугольники. Параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат, трапеция,

равнобедренная трапеция. Свойства и признаки параллелограмма, ромба, прямоугольника, квадрата.

Окружность, круг

Окружность, круг, их элементы и свойства; центральные и вписанные углы. Касательная и

секущая к окружности, их свойства. Вписанные и описанные окружности для треугольников,

четырехугольников, правильных многоугольников.

Геометрические фигуры в пространстве (объемные тела)

Многогранник и его элементы. Названия многогранников с разным положением и

количеством граней. Первичные представления о пирамиде, параллелепипеде, призме, сфере, шаре,

цилиндре, конусе, их элементах и простейших свойствах.

Отношения

Равенство фигур

Свойства равных треугольников. Признаки равенства треугольников.

Параллельность прямых

Признаки и свойства параллельных прямых. Аксиома параллельности Евклида. Теорема

Фалеса.

Перпендикулярные прямые

Прямой угол. Перпендикуляр к прямой. Наклонная, проекция. Серединный перпендикуляр к

отрезку. Свойства и признаки перпендикулярности.

Подобие

Пропорциональные отрезки, подобие фигур. Подобные треугольники. Признаки подобия.

Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей.

Измерения и вычисления

Величины

Понятие величины. Длина. Измерение длины. Единицы измерения длины. Величина угла.

Градусная мера угла.

Понятие о площади плоской фигуры и ее свойствах. Измерение площадей. Единицы

измерения площади.

Представление об объеме и его свойствах. Измерение объема. Единицы измерения объемов.


Инструменты для измерений и построений; измерение и вычисление углов, длин

(расстояний), площадей. Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике

Тригонометрические функции тупого угла. Вычисление элементов треугольников с использованием

тригонометрических соотношений. Формулы площади треугольника, параллелограмма и его частных

видов, формулы длины окружности и площади круга. Сравнение и вычисление площадей. Теорема

Пифагора. Теорема синусов. Теорема косинусов.

Расстояния

Расстояние между точками. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между фигурами.

Геометрические построения

Геометрические построения для иллюстрации свойств геометрических фигур.

Инструменты для построений: циркуль, линейка, угольник. Простейшие построения

циркулем и линейкой: построение биссектрисы угла, перпендикуляра к прямой, угла, равного

данному,

Построение треугольников по трем сторонам, двум сторонам и углу между ними, стороне и

двум прилежащим к ней углам.

Деление отрезка в данном отношении.

Геометрические преобразования

Преобразования

Понятие преобразования. Представление о метапредметном понятии «преобразование».

Подобие.

Движения

Осевая и центральная симметрия, поворот и параллельный перенос. Комбинации движений на

плоскости и их свойства.

Векторы и координаты на плоскости

Векторы

Понятие вектора, действия над векторами, использование векторов в физике, разложение

вектора на составляющие, скалярное произведение.

Координаты

Основные понятия, координаты вектора, расстояние между точками. Координаты

середины отрезка. Уравнения фигур.

Применение векторов и координат для решения простейших геометрических задач.

История математики

От земледелия к геометрии. Пифагор и его школа. Фалес, Архимед. Платон и Аристотель.

Построение правильных многоугольников. Триссекция угла. Квадратура круга. Удвоение куба.

История числа π. Золотое сечение. «Начала» Евклида. Л Эйлер, Н.И.Лобачевский. История пятого

постулата.

Геометрия и искусство. Геометрические закономерности окружающего мира.

Астрономия и геометрия. Что и как узнали Анаксагор, Эратосфен и Аристарх о размерах

Луны, Земли и Солнца. Расстояния от Земли до Луны и Солнца. Измерение расстояния от Земли до

Марса.

Тематическое планирование предмета «Геометрия» 7-9 класс (204 ч)

Основное содержание по темам Характеристика основных видов

деятельности ученика (на уровне учебных

действий)

7 класс

Начальные геометрические сведения. (10 часов)

Точка, прямая, плоскость. Отрезок, луч. Угол.

Прямой угол, острый и тупой углы, развернутый

Формулировать определения и иллюстрировать

понятия отрезка, луча; угла, прямого, острого,

угол. Вертикальные и смежные углы. Биссектриса

угла и ее свойство.

Понятие о равенстве фигур.

Длина отрезка. Градусная мера угла.

Перпендикулярные прямые.

тупого и развернутого углов; вертикальных и

смежных углов; биссектрисы угла.

Формулировать и доказывать теоремы,

выражающие свойства вертикальных и смежных

углов, свойства и признаки параллельных прямых,

о единственности перпендикуляра к прямой,

свойстве перпендикуляра и наклонной, свойствах

биссектрисы угла и серединного перпендикуляра

к отрезку.

Решать задачи на построение, доказательство и

вычисления. Выделять в условии задачи условие

и заключение. Опираясь на условие задачи,

проводить необходимые доказательные

рассуждения. Сопоставлять полученный

результат с условием задачи.

Объяснять и иллюстрировать понятия

равенства фигур

Формулировать и объяснять свойства длины,

градусной меры угла.

Решать задачи на вычисление линейных величин,

градусной меры угла.

Треугольники (17ч )

Треугольники. Прямоугольные,

остроугольные и тупоугольные треугольники.

Высота, медиана, биссектриса, средняя линия

треугольника. Равнобедренные и равносторонние

треугольники; свойства и признаки

равнобедренного треугольника.Замечательные

точки треугольника: точки пересечения

серединных перпендикуляров, биссектрис, ме-

диан, высот или их продолжений

Признаки равенства треугольников.

Построения с помощью циркуля и линейки

Окружность и круг. Центр, радиус, диаметр.

Дуга, хорда.

Формулировать определения

прямоугольного, остроугольного, тупоугольного,

равнобедренного, равностороннего

треугольников; высоты, медианы, биссектрисы,

средней линии треугольника; распознавать и

изображать их на чертежах и рисунках.

Формулировать определение равных

треугольников. Формулировать и доказывать

теоремы о признаках равенства треугольников.

Формулировать и доказывать теоремы о

свойствах и признаках равнобедренного



точках пересечения серединных перпендикуляров,

биссектрис, медиан, высот или их продолжений.

Решать задачи на построение с помощью

циркуля и линейки.

Находить условия существования решения,

выполнять построение точек, необходимых для

построения искомой фигуры. Доказывать, что

построенная фигура удовлетворяет условиям

задачи (определять число решений задачи при

каждом возможном выборе данных).

Формулировать определения понятий,

связанных с окружностью. Параллельные прямые (13 ч)

Взаимное расположение прямых на

плоскости: параллельные и пересекающиеся

прямые.

Определение. Аксиомы и теоремы.

Доказательство. Доказательство от противного.

Теорема, обратная данной. Пример и

Формулировать определения параллельных

прямых; углов, образованных при пересечении

двух параллельных прямых секущей;

распознаватьи изображать их на чертежах

и рисунках.

Формулировать аксиому параллельных прямых.

контрпример. Формулировать и доказывать теоремы,

выражающие свойства вертикальных и смежных

углов, свойства и признаки параллельных прямых

Решать задачи на построение,

доказательство и вычисления. Выделять в

условии задачи условие и заключение. Опираясь

на условие задачи, проводить необходимые

доказательные рассуждения. Сопоставлять полу-

ченный результат с условием задачи.

Воспроизводить формулировки

определений; конструировать несложные

определения самостоятельно. Воспроизводить

формулировки и доказательства изученных

теорем, проводить несложные доказательства

самостоятельно, ссылаться в ходе обоснований

на определения, теоремы, аксиомы

Соотношения между сторонами и углами треугольника (18 ч)

Сумма углов треугольника. Внешние углы

треугольника, теорема о внешнем угле треуголь-

ника.

Неравенство треугольника, соотношения

между сторонами и углами треугольника.

Признаки равенства прямоугольных

треугольников.

Расстояние от точки до прямой. Расстояние

между параллельными прямыми.

Построения с помощью циркуля и линейки


соотношениях между сторонами и углами

треугольника, сумме углов треугольника,

внешнем угле треугольника.

Объяснять и иллюстрировать неравенство



признаках равенства треугольников.

Формулировать определения расстояния

между точками, от точки до прямой, между

параллельными прямыми.

Решать задачи на построение с помощью

циркуля и линейки.

Находить условия существования решения,

выполнять построение точек, необходимых для

построения искомой фигуры. Доказывать, что

построенная фигура удовлетворяет условиям

задачи (определять число решений задачи при

каждом возможном выборе данных)

Повторение 10 ч

8 класс

Четырехугольники 16 ч

Многоугольник. Выпуклые многоугольники.

Четырехугольник. Параллелограмм, теоремы

о свойствах сторон, углов и диагоналей

параллелограмма и его признаки.

Прямоугольник, теорема о равенстве

диагоналей прямоугольника.

Ромб, теорема о свойстве диагоналей.

Квадрат.

Трапеция, средняя линия трапеции;

равнобедренная трапеция

Понятие движения: осевая и центральная

симметрии

Распознавать многоугольники,

формулировать определение и приводить

примеры многоугольников.

Формулировать определения

параллелограмма, прямоугольника, квадрата,

ромба, трапеции, равнобедренной и

прямоугольной трапеции, средней линии

трапеции; распознавать и изображать их на

чертежах и рисунках.


свойствах и признаках параллелограмма,

прямоугольника, квадрата, ромба, трапеции.

Исследовать свойства четырехугольников с

помощью компьютерных программ.

Решать задачи на построение,

доказательство и вычисления. Моделировать

условие задачи с помощью чертежа или рисунка,

проводить дополнительные построения в ходе

решения. Выделять на чертеже конфигурации,

необходимые для проведения обоснований

логическихшагов решения. Интерпретировать

полученный результат и сопоставлять его с

условием задачи.

Площадь фигур 17 ч

Понятие площади плоских фигур.

Равносоставленные и равновеликие фигуры.

Площадь прямоугольника. Площади

параллелограмма, треугольника и трапеции

{основные формулы), формула Герона.

Теорема Пифагора.Решение прямоугольных

треугольников.


равновеликих и равносоставленных фигур.

Выводить формулы площадей

прямоугольника, параллелограмма, треугольника

и трапеции

Находить площадь многоугольника

разбиением на треугольники и четырехугольники.

Решать задачи на вычисление линейных

величин, градусной меры угла и площадей

треугольников, четырехугольников

Формулировать и доказывать теорему

Пифагора.

Подобные треугольники 22 ч

Понятие о подобии фигур и гомотетии

Подобие треугольников; коэффициент подобия.

Признаки подобия треугольников.Соотношение

между площадями подобных фигур

Синус, косинус, тангенс, котангенс острого

угла прямоугольного треугольника.


равенства фигур, подобия. Формулировать

определение подобных треугольников.


признаках подобия треугольников.

Формулировать определения и

иллюстрировать понятия синуса, косинуса,

тангенса и котангенса острого утла

прямоугольного треугольника. Выводить

формулы, выражающие функции угла

прямоугольного треугольника через его стороны.

Окружность 20 ч

Центральный, вписанный угол, величина

вписанного угла. Взаимное расположение прямой

и окружности, двух окружностей. Касательная и

секущая к окружности, их свойства.

Замечательные точки треугольника: точки

пересечения серединных перпендикуляров,

биссектрис, медиан, высот или их продолжений

Окружность, вписанная в треугольник, и

окружность, описанная около треугольника.

Формулировать определения понятий,

связанных с окружностью, центрального и

вписанного углов, секущей и касательной к

окружности, углов, связанных с окружностью.


вписанных углах, углах, связанных с

окружностью.

Изображать, распознавать и описывать

взаимное расположение прямой и окружности,


9 класс

Векторы 8 ч

Вектор. Длина (модуль) вектора. Равенство

векторов. Коллинеарные векторы. Умножение

вектора на число, сумма векторов, разложение

вектора-по двум неколлинеарным векторам.


иллюстрировать понятия вектора, длины (модуля)

вектора, коллинеарных векторов, равных

векторов.

Вычислять длину и координаты вектора.

Находить угол между векторами.

Выполнять операции над векторами.

Выполнять проекты по темам

использования векторного метода при решении

задач на вычисления и доказательства

Метод координат 10 ч

Координаты вектора. Декартовы координаты

на плоскости. Уравнение прямой. Координаты

середины отрезка. Формула расстояния между

двумя точками плоскости. Уравнение окружности

Объяснять и иллюстрировать понятие

декартовой системы координат.

Выводить и использовать формулы

координат середины отрезка, расстояния между

двумя точками плоскости, уравнения прямой и

окружности.


использования координатного метода при

решении задач на вычисления и доказательства

Соотношение между сторонами и углами треугольника.

Скалярное произведение векторов 12 ч

Синус, косинус, тангенс, котангенс острого

угла прямоугольного треугольника и углов от 0 до

180°; приведение к острому углу. Решение

прямоугольных треугольников. Основное

тригонометрическое тождество. Формулы,

связывающие синус, косинус, тангенс, котангенс

одного и того же угла. Решение треугольников:

теорема косинусов и теорема синусов.Угол между

векторами. Скалярное произведение векторов.


иллюстрировать понятия синуса, косинуса,

тангенса и котангенса острого утла

прямоугольного треугольника. Выводить

формулы, выражающие функции угла

прямоугольного треугольника через его стороны.

Формулировать и доказывать теорему

Пифагора.

Формулировать определения синуса,

косинуса, тангенса, котангенса углов от 0 до 180°.

Выводить формулы, выражающие функции углов

от 0 до 180° через функцииострых углов.

Формулировать и разъяснять основное

тригонометрическое тождество. По значениям

одной тригонометрической функции угла

вычислять значения других тригонометрических

функций этого угла. Формулировать и

доказывать теоремы синусов и косинусов.

Длина окружности и площадь круга 12 ч

Правильные многоугольники. Теорема о

сумме углов выпуклого многоугольника. Теорема

о сумме внешних углов выпуклого

многоугольника

Вписанные и описанные окружности

правильного многоугольника.

Формулы для вычисления стороны

правильного многоугольника; радиуса

окружности, вписанной в правильный

многоугольник; радиуса окружности, описанной

около правильного многоугольника.

Длина окружности, число р; длина дуги


Градусная мера угла, соответствие между

величиной центрального угла и длиной дуги


Площадь многоугольника. Площадь круга и

площадь сектора.

Распознавать многоугольники,

формулировать определение и приводить

примеры многоугольников.

Формулировать и доказывать теорему о

сумме углов выпуклого многоугольника.

Исследовать свойства многоугольников с

помощью компьютерных программ.

Решать задачи на доказательство и

вычисления. Моделировать условие задачи с

помощью чертежа или рисунка, проводить

дополнительные построения в ходе решения.

Интерпретировать полученный результат и

сопоставлять его с условием задачи.

Изображать и формулировать определения

вписанных и описанных многоугольников.

окружности, вписанной в треугольник, и

окружности, описанной около треугольника.


вписанной и описанной окружностях

треугольника и многоугольника.

Исследовать свойства конфигураций,

связанных с окружностью, с помощью

компьютерных программ.

Выводить длину окружности, площадь

круга.

Движение 8 ч

Понятие движения: осевая и центральная

симметрии, параллельный перенос, поворот.

Строить равные и симметричные фигуры,

выполнять параллельный перенос и поворот.

Исследовать свойства движений с помощью

компьютерных программ.


геометрических преобразований на плоскости

Начальные сведения из стереометрии 8 ч

Предмет стереометрии. Геометрические тела и

поверхности. Многогранник. Призма

Параллелепипед

Формулы для вычисления объёмов

многогранников

Пирамида

Тела и поверхности вращения. Цилиндр

Конус. Сфера и шар

Распознавать геометрические тела и

поверхности, формулировать определение и

приводить примеры.

Исследовать свойства геометрических тел и

поверхностейс помощью компьютерных

программ.

Об аксиомах планиметрии 2 ч

Определение. Аксиомы Воспроизводить формулировки

определений; конструировать несложные

определения самостоятельно.


Описание учебно-методического и материально-технического обеспечения

образовательного процесса по предмету «Геометрия»

1. Учебные пособия.

1. Атанасян Л.С. Геометрия 7 – 9. Учебник для 7 – 9 классов средней школы. М., «Просвещение»,

2013.

2. Зив Б.Г. Геометрия: дидакт. материалы для 7,8,9кл. / Б.Г. Зив, В.М. Мейлер. — М.: Просвещение,

2013.

3. Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах: метод, рекомендации: кн. для учителя / [Л.С. Атанасян, В.Ф.

Бутузов, Ю.А. Глазков и др.]. - М.: Просвещение, 2013

6. Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре

и геометрии для 7, 8, 9 класса. – 7-е изд., испр. и доп. – М.: ИЛЕКСА, - 2013.

7. Сборник заданий для математического контроля знаний. Геометрия А.П. Ершова, 2013г.

8. Контрольно-измерительные материалы. Геометрия 7,8,9кл. Н.Ф.Гаврилова, 2012г.

9. Мищенко Т.М. Геометрия. Тематические тесты. 7,8,9 класс / Т.М.Мищенко, А.Д.Блинков. – 3-е

изд., дораб. – М.: Просвещение, 2013.

10. Справочные пособия (энциклопедии, словари, справочники по

математике и т.п.).

2. Печатные пособия

2.1. Таблицы по геометрии для 7-9 классов.

2.2. Портреты выдающихся деятелей математики.

3. Информационные средства

3.1. Мультимедийные обучающие программы и электронные учебные издания по основным

разделам курса математики.

3.2. Электронная база данных для создания тематических и итоговых разноуровневых

тренировочных и проверочных материалов для организации фронтальной и индивидуальной работы.

3.3. Инструментальная среда по математике.

4. Экранно-звуковые пособия:

Видеофильмы по истории развития математики, математических идей и методов.

5. Технические средства обучения

5.1. Мультимедийный компьютер.

5.2. Мультимедиапроектор.

5.3. Интерактивная доска.

6.Учебно-практическое и учебно-лабораторное оборудование

6.1. Доска магнитная с координатной сеткой.

6.2. Комплект чертежных инструментов (классных и раздаточных): линейка, транспортир,

угольник (30°, 60°, 90°), угольник (45°, 90°), циркуль.

6.3. Комплекты планиметрических и стереометрических тел (демонстрационных и раздаточных).

6.4. Комплект для моделирования (цветная бумага, картон, калька, клей, ножницы, пластилин).

Планируемые результаты обучения геометрии в 7-9 классах

Выпускник научится в 7-9 классах (для использования в повседневной жизни и обеспечения

возможности успешного продолжения образования на базовом уровне)


Оперировать на базовом уровне понятиями геометрических фигур;

извлекать информацию о геометрических фигурах, представленную на чертежах в явном

виде;

применять для решения задач геометрические факты, если условия их применения заданы

в явной форме;

решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам или алгоритмам.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

использовать свойства геометрических фигур для решения типовых задач, возникающих в

ситуациях повседневной жизни, задач практического содержания.

Отношения

Оперировать на базовом уровне понятиями: равенство фигур, равные фигуры, равенство

треугольников, параллельность прямых, перпендикулярность прямых, углы между прямыми,

перпендикуляр, наклонная, проекция.


использовать отношения для решения простейших задач, возникающих в реальной жизни.


Выполнять измерение длин, расстояний, величин углов, с помощью инструментов для

измерений длин и углов;

применять формулы периметра, площади и объема, площади поверхности отдельных

многогранников при вычислениях, когда все данные имеются в условии;

применять теорему Пифагора, базовые тригонометрические соотношения для вычисления

длин, расстояний, площадей в простейших случаях.


вычислять расстояния на местности в стандартных ситуациях, площади в простейших

случаях, применять формулы в простейших ситуациях в повседневной жизни.


Изображать типовые плоские фигуры и фигуры в пространстве от руки и с помощью

инструментов.


выполнять простейшие построения на местности, необходимые в реальной жизни.

Геометрические преобразования

Строить фигуру, симметричную данной фигуре относительно оси и точки.


распознавать движение объектов в окружающем мире;

распознавать симметричные фигуры в окружающем мире.


Оперировать на базовом уровне понятиями вектор, сумма векторов, произведение вектора

на число, координаты на плоскости;

определять приближенно координаты точки по ее изображению на координатной

плоскости.


использовать векторы для решения простейших задач на определение скорости

относительного движения.


Описывать отдельные выдающиеся результаты, полученные в ходе развития математики

как науки;

знать примеры математических открытий и их авторов, в связи с отечественной и

всемирной историей;

понимать роль математики в развитии России.

Методы математики

Выбирать подходящий изученный метод для решения изученных типов математических

задач;

Приводить примеры математических закономерностей в окружающей действительности и

произведениях искусства.

Выпускник получит возможность научиться в 7-9 классах для обеспечения возможности

успешного продолжения образования


Оперировать понятиями геометрических фигур;

извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о геометрических

фигурах, представленную на чертежах;

применять геометрические факты для решения задач, в том числе, предполагающих

несколько шагов решения;

формулировать в простейших случаях свойства и признаки фигур;

доказывать геометрические утверждения;

владеть стандартной классификацией плоских фигур (треугольников и

четырехугольников).


использовать свойства геометрических фигур для решения задач практического

характера и задач из смежных дисциплин.

Отношения

Оперировать понятиями: равенство фигур, равные фигуры, равенство треугольников,

параллельность прямых, перпендикулярность прямых, углы между прямыми, перпендикуляр,

наклонная, проекция, подобие фигур, подобные фигуры, подобные треугольники;

применять теорему Фалеса и теорему о пропорциональных отрезках при решении задач;

характеризовать взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей.


использовать отношения для решения задач, возникающих в реальной жизни.


Оперировать представлениями о длине, площади, объеме как величинами. Применять

теорему Пифагора, формулы площади, объема при решении многошаговых задач, в которых не все

данные представлены явно, а требуют вычислений, оперировать более широким количеством

формул длины, площади, объема, вычислять характеристики комбинаций фигур (окружностей и

многоугольников) вычислять расстояния между фигурами, применять тригонометрические

формулы для вычислений в более сложных случаях, проводить вычисления на основе равновеликости

и равносоставленности;

проводить простые вычисления на объемных телах;

формулировать задачи на вычисление длин, площадей и объемов и решать их.


проводить вычисления на местности;

применять формулы при вычислениях в смежных учебных предметах, в окружающей

действительности.


Изображать геометрические фигуры по текстовому и символьному описанию;

свободно оперировать чертежными инструментами в несложных случаях,

выполнять построения треугольников, применять отдельные методы построений

циркулем и линейкой и проводить простейшие исследования числа решений;

изображать типовые плоские фигуры и объемные тела с помощью простейших

компьютерных инструментов.


выполнять простейшие построения на местности, необходимые в реальной жизни;

оценивать размеры реальных объектов окружающего мира.

Преобразования

Оперировать понятием движения и преобразования подобия, владеть приемами

построения фигур с использованием движений и преобразований подобия, применять полученные

знания и опыт построений в смежных предметах и в реальных ситуациях окружающего мира;

строить фигуру, подобную данной, пользоваться свойствами подобия для обоснования

свойств фигур;

применять свойства движений для проведения простейших обоснований свойств фигур.


применять свойства движений и применять подобие для построений и вычислений.


Оперировать понятиями вектор, сумма, разность векторов, произведение вектора на

число, угол между векторами, скалярное произведение векторов, координаты на плоскости,

координаты вектора;

выполнять действия над векторами (сложение, вычитание, умножение на число),

вычислять скалярное произведение, определять в простейших случаях угол между векторами,

выполнять разложение вектора на составляющие, применять полученные знания в физике,

пользоваться формулой вычисления расстояния между точками по известным координатам,

использовать уравнения фигур для решения задач;

применять векторы и координаты для решения геометрических задач на вычисление

длин, углов.


использовать понятия векторов и координат для решения задач по физике, географии и

другим учебным предметам.


Характеризовать вклад выдающихся математиков в развитие математики и иных

научных областей;

понимать роль математики в развитии России.

Методы математики

Используя изученные методы, проводить доказательство, выполнять опровержение;

выбирать изученные методы и их комбинации для решения математических задач;

использовать математические знания для описания закономерностей в окружающей

действительности и произведениях искусства;

применять простейшие программные средства и электронно-коммуникационные

системы при решении математических задач.

КОНТРОЛЬНО-ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА

7 класс

Контрольная работа № 1«Начальные геометрические сведения» Вариант 1

1о. Три точки B, C и D лежат на одной прямой. Известно, что BD = 17, DC = 25. Какой может быть

длина отрезка BC?

2о. Сумма вертикальных углов МОЕ и DCO, образованных при пересечении прямых МС и DE, равна

204о. Найти угол MOD.

3о. С помощью транспортира начертите угол, равный 78

о, и проведите биссектрису смежного с ним

угла.


1о. Три точки M, N и K лежат на одной прямой. Известно, что MN = 15, NK = 18. Какой может быть

длина отрезка MK?

2о. Сумма вертикальных углов АОВ и COD, образованных при пересечении прямых AD и BC, равна

108о. Найти угол BOD


о, и проведите биссектрису одного из

смежных с ним углов.


1о. Три точки B, C и D лежат на одной прямой. Известно, что BD = 17, DC = 25. Какой может быть

длина отрезка BC?

2о. Сумма вертикальных углов МОЕ и DCO, образованных при пересечении прямых МС и DE, равна

204о. Найти угол MOD.


о, и проведите биссектрису смежного с ним

угла.


1о. Три точки M, N и K лежат на одной прямой. Известно, что MN = 15, NK = 18. Какой может быть

длина отрезка MK?

2о. Сумма вертикальных углов АОВ и COD, образованных при пересечении прямых AD и BC, равна

108о. Найти угол BOD


о, и проведите биссектрису одного из

смежных с ним углов.

Контрольная работа № 2 «Треугольники» Вариант 1

1о. Отрезки АВ и CD имеют общую середину О.Докажите, что DAO = СBO

2о. Луч AD – биссектриса угла А. На сторонах угла А отмечены точки В и С так, что ADB = ADC.

Докажите, что АВ = АС.

3о. Начертите равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. С помощью циркуля и линейки

проведите медиану ВВ1 к боковой стороне АС.

Контрольная работа № 2 «Треугольники» Вариант 2

1о. Отрезки АВ и CD делятся точкой О пополам. Докажите, что DAO = СBO

2о. На сторонах угла D отмечены точки М и К так, что DM = DK. Точка Р лежит внутри угла D, и РК

= РМ, Докажите, что луч DP – биссектриса угла MDK.

3о. Начертите равнобедренный треугольник АВС с основанием AС и острым углом В. С помощью

циркуля и линейки проведите высоту из вершины угла А.

B

D

A O

/

/

// //

C

D

A O

/

/

// //

C

Контрольная работа № 3 «Параллельные прямые»

Вариант 1

1о. OтрезкиEF и PQ пересекаются в их середине М. Докажите, что PE || QF

2о. Отрезок DM – биссектриса треугольника CDE. Через точку М проведена прямая, параллельная

стороне CD и пересекающая сторону DE в точке N. Найти углы треугольника DMN, если СDЕ =

68о

Контрольная работа № 3 «Параллельные прямые»

Вариант 2

1о. OтрезкиEF и MN пересекаются в их середине P. Докажите, что EN || MF

2о. Отрезок АD – биссектриса треугольника АВC. Через точку D проведена прямая, параллельная

стороне AB и пересекающая сторону AC в точке F. Найти углы треугольника ADF, если BAС = 72о

Контрольная работа № 4«Соотношения между сторонами и углами

треугольника»

Вариант 1

1о. ABE = 104

о, DCF = 76

о, AC = 12. Найти сторону АВ треугольника АВС.

2о. В треугольнике CDE точка М лежит на стороне СЕ, причем СМD - острый. Докажите, что

DE>DM

А

В

С

F

E M

D

3о. Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 45см, а одна из его сторон больше

другой на 9см, Найти стороны треугольника.

Контрольная работа № 4«Соотношения между сторонами и углами

треугольника»

Вариант 2

1о. BАE = 112

о, DВF = 68

о, ВC = 9. Найти сторону АС треугольника АВС.

ABE = 104о, DCF = 76

о, AC = 12. Найти сторону АВ треугольника АВС.

2о. В треугольнике MNP точка K лежит на стороне MN, причем NKP - острый. Докажите, что

KP<MP

3о. Одна из сторон равнобедренного тупоугольного треугольника на 17см меньше другой. Найти

стороны треугольника, если его периметр равен 77см.

Контрольная работа № 5 «Прямоугольные треугольники» Вариант 1

1о. В остроугольном треугольнике MNP биссектриса угла М пересекает высоту NK в точке О, причем

ОК = 9см. Найти расстояние от точки О до прямой MN

2о. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.

3о. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 150

о

Контрольная работа № 5 «Прямоугольные треугольники» Вариант 2

1о. В прямоугольном треугольнике DCE с прямым углом С проведена биссектриса EF, причем FC =

13см. Найти расстояние от точки F до прямой DE

2о. Постройте прямоугольный треугольник по катету и прилежащему к нему острому углу.

А

C

M

F

E

D

В

3о. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 105

о

8 класс

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

«Четырехугольники»

В а р и а н т I

1. Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в точке О. Найдите угол между диагоналями,

если АВО = 30°.

2. В параллелограмме KМNP проведена биссектриса угла МKР, которая пересекает сторону MN в

точке Е.

а) Докажите, что треугольник KМЕ равнобедренный.

б) Найдите сторону KР, если МЕ = 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см.


«Четырехугольники»

В а р и а н т II

1. Диагонали ромба KМNP пересекаются в точке О. Найдите углы треугольника KОМ, если угол

МNP равен 80°.

2. На сторонеВС параллелограмма АВСD взята точка М так, что АВ = ВМ.

а) Докажите, что АМ – биссектриса угла ВАD.

б) Найдите периметр параллелограмма, если СD = 8 см, СМ = 4 см.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2«Площадь»


1. Смежные стороны параллелограмма равны 32 см и 26 см, а один из его углов равен 150°.

Найдите площадь параллелограмма.

2. Площадь прямоугольной трапеции равна 120 см2, а ее высота равна 8 см. Найдите все

стороны трапеции, если одно из оснований больше другого на 6 см.

3. На стороне АС данного треугольника АВС постройте точку D так, чтобы площадь треугольника

АВD составила одну треть площади треугольника АВС.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2«Площадь»


1. Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой и равна 9 см. Найдите стороны

этого параллелограмма, если его площадь равна 108 см2.

2. Найдите площадь трапеции АВСD с основаниями АD и ВС, если АВ = 12 см, ВС = 14 см, АD

= 30 см, В = 150°.

3. На продолжении стороны KN данного треугольника KМN постройте точку Р так, чтобы

площадь треугольника NMP была в два раза меньше площади треугольника KМN.


«Признаки подобия треугольников»


1. На рисунке 1 АВ || СD. а) Докажите, что АО :ОС = ВО : ОD. б) Найдите АВ, если ОD = 15 см,

ОВ = 9 см, СD = 25 см.

2. Найдите отношение площадей треугольников АВС и KMN, если АВ = 8 см, ВС = 12 см, АС

= 16 см, KM = 10 cм, MN = 15 см, NK = 20 см.

Рис. 1


«Признаки подобия треугольников»


1. На рисунке 2 MN || АС. а) Докажите, что АВ · BN = CВ · BM. б) Найдите MN, если AM = 6 см,

ВM = 8 см, АС = 21 см.

2. Даны стороны треугольников PQR и АВС: PQ = 16 см, QR = 20 см, PR = 28 см и АВ = 12 cм, ВС

= 15 см, АС = 21 см. Найдите отношение площадей этих треугольников.

Рис. 2


«Применение подобия к решению задач»


1. В прямоугольном треугольнике АВС А = 90°, АВ = 20 см; высота АD = 12 см. Найдите АС и

cosC.

2. Диагональ ВD параллелограмма АВСD перпендикулярна к стороне АD. Найдите площадь

параллелограмма АВСD, если АВ = 12 см,

А = 41°.


«Применение подобия к решению задач»


1. Высота ВD прямоугольного треугольника АВС равна 24 см и отсекает от гипотенузы АС

отрезок DС, равный 18 см. Найдите АВ и соsA.

2. Диагональ АС прямоугольника АВСD равна 3 см и составляет со стороной АD угол 37°.

Найдите площадь прямоугольника АВСD.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5«Окружность»


1. Через точку А окружности проведены диаметр АС и две хорды АВ и АD, равные радиусу этой

окружности. Найдите углы четырехугольника АВСD и градусные меры дуг АВ, ВС, СD, АD.

2. Основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а боковая сторона равна 15 см. Найдите

радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5«Окружность»


1. Отрезок ВD – диаметр окружности с центром О. Хорда АС делит пополам радиус ОВ и

перпендикулярна к нему. Найдите углы четырехугольника АВСD и градусные меры дуг АВ, ВС, СD,

АD.

2. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 9 см, а само

основание равно 24 см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника

окружностей.

9 класс

Контрольная работа № 1

Метод координат

Вариант 1

1.Найдите координаты и длину вектора ,а если1

, 3; 2 , 6;2 .2

а b c b c

2. Даны координаты вершин треугольника ABC: A (-6; 1), B (2; 4), С (2; -2).

Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, и найдите высоту треугольника, проведенную из

вершины A.

3. Окружность задана уравнением 2 21 9.х у Напишите уравнение прямой, проходящей через

её центр и параллельной оси ординат.


Метод координат

Вариант 2

1.Найдите координаты и длину вектора ,b если1

, 3;6 , 2; 2 .3

b c d c d

2. Даны координаты вершин четырехугольника ABCD: A (-6; 1), B (0; 5), С (6; -4),D (0; -8).

Докажите, что ABCD – прямоугольник, и найдите координаты точки пересечения его диагоналей.

3. Окружность задана уравнением 2 2

1 2 16.х у Напишите уравнение прямой, проходящей

через её центр и параллельной оси абсцисс.


Соотношения между сторонами и углами треугольника.

Скалярное произведение векторов.

Вариант 1

1. Найдите угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох, если А(-1; 3).

2. Решите треугольник АВС, если 30 , 105 , 3 2 .B C BC cм

3. Найдите косинус угла М треугольника KLM, если К(1; 7), L(-2; 4), М(2; 0).


Соотношения между сторонами и углами треугольника.

Скалярное произведение векторов.

Вариант 2

1. Найдите угол между лучом ОВ и положительной полуосью Ох, если В(3; 3).

2. Решите треугольник ВСD, если 45 , 60 , 3 .B D BC cм

3. Найдите косинус угла А треугольника АВC, если А(3; 9), В(0;6), С(4;2).

Контрольная работа №3

Длина окружности и площадь круга

Вариант 1

1. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45 см. Найдите сторону

правильного восьмиугольника, вписанного в ту же окружность.

2. Найдите площадь круга, если площадь вписанного в ограничивающую его окружность квадрата

равна 72 дм2.

3. найдите длину дуги окружности радиуса 3 см, если её градусная мера равна 150о.


Длина окружности и площадь круга

Вариант 2

1. Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равен 48 см. Найдите сторону

квадрата, вписанного в ту же окружность.

2. Найдите длину окружности, если площадь вписанного в неё правильного шестиугольника равна 272 2см .

3. Найдите площадь кругового сектора, если градусная мера его дуги равна 120о, а радиус круга

равен 12 см.


Движения

Вариант 1

1. Дана трапеция АВСD. Постройте фигуру, на которую отображается эта трапеция при симметрии

относительно прямой, содержащей боковую сторону АВ.

2. Две окружности с центрами О1 и О2, радиусы которых равны, пересекаются в точках M и N. Через

точку М проведена прямая, параллельная О1О2 и пересекающая окружность с центром О2 в точке D.

Используя параллельный перенос, докажите, четырехугольник О1МDО2 является

параллелограммом.


Движения

Вариант 2

1. Дана трапеция АВСD. Постройте фигуру, на которую отображается эта трапеция при симметрии

относительно точки, Являющейся серединой боковой стороны CD..

2. Дан шестиугольник А1А2А3А4А5А6. Его стороны А1А2 и А4А5, А2А3 и А5А6, А3А4 и А6А1 попарно

равны и параллельны. Используя центральную симметрию, докажите, что диагонали А1А4, А2А5,

А3А6 данного шестиугольника пересекаются в одной точке.

Итоговая контрольная работа

Вариант 1

1. В треугольнике АВС точка D – середина стороны АВ, точка М – точка пересечения медиан.

а) Выразите вектор MD через векторы МА и МB и вектор АМ через векторы АВ и АС .

б) Найдите скалярное произведение АВ АС , если 2, 75 .АВ АС В

2. Даны точки А(1; 1), В(4; 5), С(-3; 4).

а) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный и прямоугольный.

б) Найдите длину медианы СМ.

3. В треугольнике АВС 90 , ,А В высота ВD равна h.

а) Найдите сторону АС и радиус R описанной окружности.

б) Вычислите значение R, если 120 , 15 , 6 .h см

4. Хорда окружности равна а и стягивает дугу в 120о. Найдите: а) длину дуги; б) площадь сектора,

ограниченного этой дугой и двумя радиусами.

Итоговая контрольная работа

Вариант 2

1. В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О.

а) Выразите вектор ОС через векторы АВ и ВС и вектор OD через векторы АВ и АD .

б) Найдите скалярное произведение АВ ВС , если 2 6, 60 .АВ ВС А

2. Даны точки К(0; 1), М(-3; -3), N(1; -6).

а) Докажите, что треугольник KMN равнобедренный и прямоугольный.

б) Найдите длину медианы NL.

3. В треугольнике АВС 90 , ,А В высота ВD равна h.

а) Найдите сторону АD и радиус R описанной окружности.

б) Вычислите значение R, если 135 , 30 , 3 .h см

4. Хорда окружности равна а и стягивает дугу в 60о. Найдите: а) длину дуги; б) площадь сектора,

ограниченного этой дугой и двумя радиусами.

Documents

J : ; HЯ I J H = J : F F : I H H F ? L J B B · jешать задачи на построение, доказательство и вычисления