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J. Mauricio López R.J. Mauricio López R.División de Tiempo y FrecuenciaDivisión de Tiempo y Frecuencia
Estabilidad en FrecuenciaEstabilidad en Frecuencia
Centro Nacional de Metrología, CENAMCentro Nacional de Metrología, [email protected]@cenam.mx
ContenidoContenido
1. Introducción
3. Varianza de Allan
4. Barras de Incertidumbre
5. Ejemplos
2. Mediciones en el dominio del tiempo
IntroducciónIntroducción
El uso de la varianza estándar en el análisis de la dispersión de variables dependendientes del tiempo puede conducir a problemas de divergencia cuando el número de mediciones tiende a infinito. Dicha divergencia puede ser originada por una fuerte correlación entre mediciones que introduce ruidos no blancos en las series de mediciones. En el caso de la metrología de tiempo y frecuencia, por ejemplo, la presencia de ruidos no blancos como el llamado ruido en frecuencia de paso aleatorio (Random Walk Frequency Noise) introduce una rápida divergencia en el análisis de estabilidad de frecuencia cuando se usa la varianza estándar. El uso de la llamada Varianza de Allan se ha generalizado a nivel internacional para expresar la estabilidad de osciladores ya que es convergente para los principales ruidos no blancos presentes en señales de frecuencia y en series de tiempo.
VARIANZA ESTÁNDAR vs
VARIANZA DE ALLAN
Mediciones en el dominio del tiempoMediciones en el dominio del tiempo
Pa tró n d e re fe re nc ia Pa tró n d e re fe re nc ia
Método de medición directa de frecuencia
Instrum e nto b a jo
c a lib ra c ió n
Instrum e nto b a jo
c a lib ra c ió n
Ad q u isic ió n d e d a to s a uto m a tiza d o
PC
Fre c ue nc ím e troFre c ue nc ím e tro
Frecuencia Frecuencia
BajoBajo
CalibraciónCalibración
InterfaseInterfasedede
ComunicaciónComunicación
Frecuencia Patrón Frecuencia Patrón para amarrar en para amarrar en
frecuencia al frecuencia al contadorcontador
MEDICIONES DE FRECUENCIA FIGURA 1 (04-2003F.DAT)
4999999.509
4999999.510
4999999.511
4999999.512
4999999.513
4999999.514
4999999.515
4999999.516
0 3600 7200 10800 14400 18000 21600 25200 28800 32400 36000
DATOS (10horasdemedición con =1s)
FR
EC
UE
NC
IA (
Hz)
Mediciones directas de frecuenciaMediciones directas de frecuencia
Oscilador bajo
calibración
5400587365
Patrón de referencia
PC(adquisición y
almacenamiento de datos)
Frecuencímetro
5 MHz ó 10 MHz
Mediciones directas de frecuenciaMediciones directas de frecuencia
Pa tró n d e re fe re nc ia Pa tró n d e re fe re nc ia
Instrum e nto b a jo
c a lib ra c ió n
Instrum e nto b a jo
c a lib ra c ió n
Ad q u isic ió n d e d a to s a uto m a tiza d o
PC
Frecuencia Frecuencia
BajoBajo
CalibraciónCalibración
InterfaseInterfasedede
ComunicaciónComunicación
Frecuencia Patrón Frecuencia Patrón para amarrar en para amarrar en
frecuencia al frecuencia al contadorcontador
Frecuencia Patrón Frecuencia Patrón para la calibraciónpara la calibración
MEDICIONES DE DIFERENCIA DE FASE
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
0 20 40 60 80 100 120
DATOS t=1S)
Mediciones directas de diferencia de FaseMediciones directas de diferencia de Fase
Método de medición de diferencia de fase
Contador de Intervalos de
Tiempo
Mediciones con mezcla de frecuenciaMediciones con mezcla de frecuencia
Patrón de referencia
5400587365
PC(adquisición y
almacenamiento de datos)
Frecuencímetro
f0 = 5 MHz ó 10 MHz
Oscilador bajo calibración
Mezclador de frecuencias
f = f0 - f1 = f - f0 =
Filtro pasa bajos
Amplificador
Mediciones con doble mezcla de frecuenciaMediciones con doble mezcla de frecuenciaPatrón de referencia
PC(adquisición y
almacenamiento de datos)
f0 = 5 MHz ó 10 MHz
Oscilador bajo calibración
Mezclador de frecuencias
fC = f0 -
f1 = f -f0 =
Filtro pasa bajos
Amplificador
Filtro pasa bajos
Contador de intervalos de
tiempo
Amplificador
f f0
f2 f –fC
Oscilador auxiliar
Mezclador de frecuencias
Algunos ejemplos de mediciones
Mediciones de Diferencia de Fase
Primer ejemplo: mediciones de diferenvia de fase
Segundo ejemplo: mediciones de diferencia de fase
Tercer ejemplo: mediciones de diferenvia de fase
Algunos ejemplos de mediciones
Mediciones de Frecuencia
Primer ejemplo: mediciones de frecuencia
Segundo ejemplo: mediciones de frecuencia
Tercer ejemplo: mediciones de frecuencia
4 - 1 6
F r e c u e n c i a e s t a b l e ( o s c i l a d o r i d e a l )
U n s t a b l e F r e q u e n c y ( R e a l O s c i l l a t o r )
T i m e
( t )
T i m e
( t )
V1
- 1T 1 T 2 T 3
1- 1
T 1 T 2 T 3
V ( t ) = V 0 s i n ( 2 0 t )
V ( t ) = [ V 0 + ( t ) ] s i n [ 2 0 t + ( t ) ]
( t ) = 2 0 t
( t ) = 2 0 t + ( t )
V ( t ) = s a l i d a d e l o s c i l a d o r , V 0 = A m p l i t u d n o m i n a l p i c o - a - p i c o ( t ) = a m p l i t u d d e r u i d o , 0 = f r e c u e n c i a n o m i n a l ( t ) = f a s e , a n d ( t ) = r u i d o d e f a s e
t d)t(d
21=
t d)t(d
21 = )t( 0
π
Φπ
frequency, ousInstantane
V
I n e s t a b i l i d a d e n f r e c u e n c i a ( r u i d o )
Las señales eléctricas no son Las señales eléctricas no son puraspuras
Ruido de amplitud
Inestabilidad en frecuencia
Ruido de fase
-V
olt
age
+0
Tiempo
Voltage de salida de un oscilador
4-23
0.1 s tiempo de promediación3 X 10-11
0
-3 X 10-11
f
f
100 s
1.0 s tiempo de promediación3 X 10-11
0
-3 X 10-11
f
f
100 s
0.01 0.1 1 10 100Tiempo de promediación, , s
10-10
10-11
10-12
y()
Ruido en frecuencia y Ruido en frecuencia y yy(())
4-26
Las graficas muestran las fluctuaciones de la variable z(t), la cual puede ser, por ejemplo, la salida de un contador (f vs. t), o la medición de fase ([t] vs. t). Los gráficos muestran tanto la dependencia temporal como la dependencia en frecuencia; h es el coeficiente de amplitud.
Sz(f) = hf
= 0
= -1
= -2
= -3
nombre
White
Flicker
Randomwalk
Dependencia temporal
Ruido en frecuenciaRuido en frecuencia
Varianza de AllanVarianza de Allan
La Varianza de Allan es la herramienta usada La Varianza de Allan es la herramienta usada para el análisis de mediciones de Tiempo y para el análisis de mediciones de Tiempo y Frecuencia siendo un estimador de la dispersión Frecuencia siendo un estimador de la dispersión de las mediciones, determinando así, la de las mediciones, determinando así, la estabilidad del oscilador bajo calibración.estabilidad del oscilador bajo calibración.
22y 2
1σ iy 22
2
2y 2
1σ ix
Frecuencia Fase
iii yyy 1 iiii xxxx 122 2
Concepto de la Varianza de Allan
ii
i
xxy
1
Varianza de Allan para Mediciones de FrecuenciaVarianza de Allan para Mediciones de Frecuencia
1N
1i
2i1i
0
2y yy
1N21
σ
donde:donde:
Varianza de AllanVarianza de Allan
Número de datos espaciados Número de datos espaciados 00
i-ésimai-ésima medición de fase medición de fase
2y
N
iy
Tiempo de observación = mTiempo de observación = m00
m =2=2nn cálculos posibles cálculos posibles
mN
iimimiy xxx
mN
2
1
222
2 222
1
donde:donde:
Varianza de AllanVarianza de Allan
Número de datos espaciados Número de datos espaciados 00
Tiempo de observación = mTiempo de observación = m00
i-ésimai-ésima medición de fase medición de fase
2y
Nix
m =2=2nn cálculos posibles cálculos posibles
Varianza de Allan para Mediciones de Diferencia de FaseVarianza de Allan para Mediciones de Diferencia de Fase
Barras de IncertidumbreBarras de Incertidumbre
Distribución Distribución 22
Para df < 100Para df < 100 2
2
2 )(y
ysdf
2ys
donde:donde:Estimado de la Varianza de AllanEstimado de la Varianza de Allan
df Número de grados de libertadNúmero de grados de libertad
Varianza de Allan verdaderaVarianza de Allan verdadera2
y
Distrib
ución
X2
Barras de incertidumbreBarras de incertidumbre
2
2
2 )(y
ysdf
025,0975.0 2
22
2
2
dfsdfs y
yy
Tablas XTablas X22
Barra InferiorBarra InferiorBarra SuperiorBarra Superior
Tabla XTabla X22
Para df > 100Para df > 100
Barras de incertidumbreBarras de incertidumbre
22 96,121
025,0 h
Barras de incertidumbreBarras de incertidumbre
Para df > 100Para df > 100
22 96,121
975,0 h
12 dfhdonde:donde:
Barra InferiorBarra Inferior
Barra Barra SuperiorSuperior
Número de Grados de LibertadNúmero de Grados de Libertad
White Phase ModulationWhite Phase Modulation
Flicker Phase Flicker Phase ModulationModulation
White Frquency White Frquency ModulationModulation
mN
mNNdf
221
4112
ln2
1lnexp
Nmn
Ndf
54
4222
132
2
mm
NN
mN
df
NBS Technical note 679NBS Technical note 679
Flicker Flicker Frequency Frequency ModulationModulation
Random-Walk Random-Walk Frequency Frequency ModulationModulation
234
5
19,43,2
22
2
mparamNm
Ndf
mparaNN
df
2
22
3
41312
N
mNmNm
Ndf
Número de Grados de LibertadNúmero de Grados de Libertad
NBS Technical note 679NBS Technical note 679
4-25
Por debajo del ruido “fliker”, los cristales de cuarzo tipicamente tienen una dependencia -1 (white phase noise). Los patrones atómicos de frecuencia muestran una dependencia del tipo -1/2 (white frequency noise) para tiempos de promediación cercanos al tiempo de ataque del lazo de amarre, y -1 para tiempos menores del tiempo de ataque. Tipicamente los ’s para el ruido flicker son: 1 s para osciladores de cuarzo, 103s para relojes de rubidio y 105s para Cesio.
y()-1
-1
0
Tipo de ruido:
Whitephase
Flickerphase
Whitefreq.
Flickerfreq.
Randomwalk freq.
-12 12
Dependencia temporal de Dependencia temporal de yy(())
Ejemplos de cálculo de varianza de AllanEjemplos de cálculo de varianza de Allan
Lo
g ( y
())
Log (), segundos
-3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0
1 día 1 mes
-9
-10
-11
-12
-13
-14
-15
-16Maser de Hidrógeno
Rubidio
Cuarzo
Cesio
Comparación de la estabilidad en frecuencia entre osciladores de Cuarzo, Cesio, Rubidio e Hidrógeno
Definimos las primeras diferencias como
.
NnNnNnNnn xxxxxxxxxxxx ,...,,,,...,,...,,,,,...,,, 3211432321
1,...,,, 321 nNxxxx
),(1 1
0
1 ji
n
jjniiii xx
nxxx
Varianza Modificada de Allan
Consideremos los siguientes conjuntos de mediciones
Denotamos a los respectivos promedios como
donde i = 1, 2, 3, ..., N-2n+1
Las segundas diferencias son definidas de la siguiente manera:
1
02
2 ),2(2
1 n
jjijnijniinii xxxxxx
Con i = 1, 2, 3, … , N-3n+1
La varianza Modificada de Allan se define como:
222
2 )(2
1iy xMod
donde 0 n
.)2()13(2
1 213
1
1{
2220
2
nN
i
in
ijjjnjny xxx
nNnMod
La varianza modificada de Allan puede ser escrita en términos de las mediciones de diferencia de fase de la siguiente forma:
Nótese que para n=1 la varianza modificada de Allan coincide con la varianza de Allan.
Mody2
1) = -3 Ramdom walk frequency modulation
2) = -2 Flicker frequency modulation
3) = -1 White frequency modulation
4) = 0 Flicker phase modulation
5) = +1 White phase modulation
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 -17
-15
-13
-11
-9
log
Log Mody
White PM
White FM
Flicker FM
Random walk FM
Flicker PM
Dependencia de la ModAVAR del tiempo de promediación