Java Programare Dinamica

7/25/2019 Java Programare Dinamica

1/153


2/153


3/153

Se consider vectorul w = w

1

,..., w

n

).

S se determine un

subvector

al lui w care nu conine

elemente consecutive

n w i are suma elementelor

maxim

Exemplu

Pentru

w = 1, 4, 7, 5)

soluia este

4, 5)


4/153

Problem echivalent

Se consider un graf de tip lan cu V =

{v

1

,..., v

n

}.

V

rfurile

grafului au asociate ponderile w

1

,..., respectiv w

n

.

S se determine o mulime independent de vrfuri de

pondere maxim

ponderea unei mulimi de vrfuri = suma ponderilor vrfurilor

1 4 7 5


5/153

Aplicaii probleme de alocare de resurse cu evitarea

interferenei (indicat prin muchii -> graf de conflicte)Ponderea asociat vrfurilor poate reprezenta cantitatea dedate pe care staia trebuie s o transmit

Problem transmiterea cantitii maxime de date fr

interferene

Nu se cunosc algoritmi polinomiali n cazul general

(NP-completitudine)

Maximum Weighted Independent Set


6/153

Abordare cu metoda Greedy

La un pas este adugat n soluie vrful de ponderemaxim neadiacent cu cele deja selectate

Soluia

: {v3, v1} cu ponderile {7, 1} nu este optim

1 4 7 5


7/153

Abordare cu metoda Divide et Impera

Incorectreuniunea soluiilor subproblemelor nu este o

soluie posibil (corect) pentru problema iniial

1 4 7 5

4 7


8/153

Cutarea exhaustiv a soluiei optime

Generarea tuturor soluiilor posibile i determinarea celeioptime algoritm exponenial


9/153

Problema nu se poate rezolva folosind metode

deja studiate


10/153

Analizm structura unei soluii optime, evideniind

un element (primul/ultimul) al acesteia, pentru a

determina subprobleme utile i relaii de recuren


11/153

Fie S V = {v1,..., vn} o soluie optim

Dac vnS S-{vn} este soluie optim pentru

G-{vn, vn-1}

Dac vnS S este soluie optim pentru

G-{vn}


12/153



G-{vn, vn-1}


G-{vn}


13/153



G-{vn, vn-1}


G-{vn}

Dac am tii deja soluiile pentru grafurile G-{vn

, v

n-1

} i

G-{v

n

}

, am putea determina S alegnd dintre cele dou

situaii cazul n care se obine soluia optim


14/153

Recuren:

Notm S(i) = ponderea maxim a unei mulimi

independeten graful indus de vrfurile {v1,..., vi}

S n) = max{ S n-2)+wn

, S n-1)}

S 1) = w1

, S 0) = 0


15/153

S(n)

S(n-1) S(n-2)

S(n-2) S(n-3) S(n-3) S(n-4)

S(n-3) S(n-4)

Subproblemele se repet algoritm exponenial


16/153

S(n)

S(n-1) S(n-2)

S(n-2) S(n-3) S(n-3) S(n-4)

S(n-3) S(n-4)

Putem evita rezolvarea unei subprobleme de mai

multe ori?


17/153

Recuren:

S n)= max{ S n-2)+w

n

, S n-1)}

Memorm ntr-un vector rezultatele subproblemelor

deja rezolvate memoizare)

o subproblem va fi

rezolvat o singur dat algoritm O(n)


18/153

S(0) S(1)

S(2)

S(3)

S(4)


19/153

Mai eficientimplementare iterativ a recurenei

(bottom-up)


20/153


21/153

int Sol(int n){

if(n==0) return 0;

if(n==1) return w[1];

if (s[n]==0) //nerezolvata

s[n]= Math.max(Sol(n-2)+w[n],Sol(n-1));

return s[n];

}]; poz = i;}

for(int i=0;i


22/153


23/153

int SolNerec(int n){

s[0] = 0;

s[1] = w[1];

for(int i=2;i


24/153

Cum putem determina i o submulime optim, nu

doar ponderea?


25/153


doar ponderea?

Din relaia de recuren putem deduce ce vrfuri au

fost selectate n soluie

s[n]= max{ s[n-2]+w[n], s[n-1]}

Dac s[n] = s[n-2]+w[n] , vrfuln se adaug n

soluie i problema se reduce la primele n-2 vrfuri

Dac s[n] = s[n-1], nu se adaug nici un vrf lasoluie i problema se reduce la primele n-1 vrfuri


26/153


doar ponderea?

Din relaia de recuren putem deduce ce vrfuri au

fost selectate n soluie

s[n]= max{ s[n-2]+w[n], s[n-1]}

Dac s[n] = s[n-2]+w[n] , vrfuln se adaug n

soluie i problema se reduce la primele n-2 vrfuri

Dac s[n] = s[n-1], nu se adaug nici un vrf lasoluie i problema se reduce la primele n-1 vrfuri


27/153

static void SolNerecCuAfis(int n){

int i;

s[0]=0; s[1]=w[1];

for(i=2;i1){

if(s[i]==s[i-2]+w[i]){

System.out.println(i+" de pondere "+w[i]);

i=i-2;

}

else

i=i-1;

}

if(i==1)


}


28/153


int i;

s[0]=0; s[1]=w[1];

for(i=2;i1){

if(s[i]==s[i-2]+w[i]){


i=i-2;

}

else

i=i-1;

}

if(i==1)


}


29/153


int i;

s[0]=0; s[1]=w[1];

for(i=2;i1){

if(s[i]==s[i-2]+w[i]){


i=i-2;

}

else

i=i-1;

}

if(i==1)


}


30/153


31/153

Greedy nu furnizeaz mereu soluia optim

Alte exemple:

Problema rucsacului, cazul discret

Problema monedelor, cazul general


32/153

Divide et Impera ineficient dac subproblemele se

repet


33/153

Exemplu - CalculmnumrulFibonacci F(n)F(n) = F(n-1)+F(n-2)

F(0) = F(1) = 1

F(4)F(4)

F(3) F(2)

F(2) F(1) F(1) F(0)

F(1) F(0)


34/153

Exemplu CalculmnumrulFibonacci F(n)F(n) = F(n-1)+F(n-2)

F(0) = F(1) = 1

F(4)F(4)

F(3) F(2)

F(2) F(1) F(1) F(0)

F(1) F(0)


35/153

Soluii

reducere la subprobleme utile + relaii de recuren

rezolvarea eficient a subproblemelor

recursiv cu memoizare (salvarea rezultatelor subproblemelor

deja rezolvate)

algoritmi iterativi buttom-up

Metoda programrii dinamice


36/153


37/153

Probleme care presupun rezolvarea de relaii derecuren

De obicei aceste relaii se obin din respectarea unuiprincipiu de optimalitate (subprobleme optime)


38/153

Fie A i B dou mulimi oarecare (B = N, Z, R, {0,1} )

Fiecrui xA urmeaz s i se asociezeo valoare v(x)B.

x

A v x)

B


39/153



x

A v x)

B

v este cunoscutdoar pe submulimea XA


40/153



x

A v x)

B

v este cunoscutdoar pe submulimea XA

Pentru fiecare x

A\X avem relaiav x) = f

x

v a

1

),...,v a

k

))

unde

A

x

= {a

1

,...,a

k

}

este mulimea elementelor din A de a cror valoaredepinde v(x)


41/153

Dat zA, se cere s se calculeze, dac este posibil,valoarea v(z) - eficient


42/153

Putem reprezenta problema pe un gr f de dependene.

Vrfurile corespund elementelor din A, iar descendenii

unui vrf x sunt vrfurile din Ax.

valoarea lui x depide

direct de v(ai)

Problema are soluie numai dac n graful de dependene nu

exist circuite accesibile din z

a

i

x


43/153

Calcul numrFibonacci FnF(n) = F(n-1)+F(n-2)

F(0) = F(1) = 1


44/153

Calcul numrFibonacci FnF(n) = F(n-1)+F(n-2)

F(0) = F(1) = 1 X ={0, 1}

0 1

2

3

4

tim iniial


45/153

Alt exempluA = {1,2,...,5,6};

v(1) = v(2) = 1v(3) = v(1) + v(2) + v(4)

v(4) = v(1) + v(2)

v(5) = v(2) + v(3)

v(6) = v(1) + v(3) + v(4)

v(6) = ?


46/153

Alt exempluA = {1,2,...,5,6};

v(1) = v(2) = 1 X = {1, 2}v(3) = v(1) + v(2) + v(4)

v(4) = v(1) + v(2)

v(5) = v(2) + v(3)

v(6) = v(1) + v(3) + v(4)

4

3

21

6 5


47/153

4

3

21

6 5

v(6) = ?


48/153


49/153

Fie Gz graful indus de mulimea vrfurilory de a crorvaloare depinde v z) = pentru care exist un drum de la y laz = vrfuriobservabile din z

Gz=

graful vrfurilor observabile din z

Problema presupune o parcurgere a grafului Gz


50/153

4

3

21

6

v(6) = ?

graful vrfurilor observabile

din 6


51/153

Ar fi bine dac

am cunoate de la nceput Gz forma acestui graf ar permite o parcurgere mai simpl,

care s conduc la calcularea valorii v(z).


52/153

ncercarede rezolvare cu metoda Divide et Impera.

procedure DivImp(x)for yAx\X {y de care x depinde direct}

DivImp(y)

calculeazv(x) conform funcieifx

end;


53/153

ncercare de rezolvare cu metoda Divide et Impera.

procedure DivImp(x)for yAx\X {y de care x depinde direct}

DivImp(y)

calculeaz v(x) conform funciei fx

end;

algoritmul nu se termin pentru grafuri ciclice

valoarea unui vrf poate fi calculat de mai multe ori


54/153

Soluie - sortarea topologic pentru Gz ordinea

ncare se

calculeazvalorile v ale

vrfurilor

Ar fi mai bine dac forma grafului ar permite o

parcurgere mai simpl.


55/153

Metoda programrii dinamice const n urmtoarele:

Se asociaz problemei un graf de dependene


56/153




57/153



n graf este pus n eviden un graf de vrfuri observabiledin z, numit PD-arbore de rdcin z, cu proprietile


58/153




nu conine circuite


59/153




nu conine circuite

mulimea vrfurilor cu gradul intern 0 (ale cror valorinu depind de o alt valoare) este inclus n X


60/153




nu conine circuite

mulimea vrfurilor cu gradul intern 0 (ale cror valorinu depind de o alt valoare) este inclus n X

se poate aeza pe niveluri (nivelul lui y = lungimea

maxim a unui drum de la y la z)


61/153



n graf este pus n eviden un graf de vrfuri observabiledin z, numit PD-arbore de rdcin z

Se parcurgenpostordine PD-arborele

procedurepostord(x)

for jAx

if viz[j]=false {diferenafade DI}

postord(j)

calculeazv(x) conform funcieif

x;

viz[x]true

end

Apelpostord(z)


62/153

4

3

21

6v(6) = ?

Prin parcurgereanpostordine, vrfurilevor fisortate topologic


63/153

Generalizeazmetoda Divide et Impera- dependenelenu au forma unui arbore, ci a unui PD-arbore.


64/153

Generalizeazmetoda Divide et Impera- dependenelenu au forma unui arbore, ci a unui PD-arbore.

Este util scutmnPD-arbore regulariticare sevite memorarea valorilor tuturor vrfurilori/sau ssimplifice parcurgereanpostordine.


65/153

A = {0,...,n}, B =N

X = {0,1} (tim F0=0; F1=1) v(k) = Fk, deci

v(k) = v(k-1)+ v(k-2)


66/153

A = {0,...,n}, B =N

X = {0,1} (tim F0=0; F1=1) v(k) = Fk, deci

v(k) = v(k-1)+ v(k-2)

Ak = {k-1,k-2}, k2

fk(a,b) = a + b, k2


67/153

A = {1,...,n}, B =N N

v(k) = (Fk-1, Fk) v(1) = (0, 1)


68/153

A = {1,...,n}, B =N N

v(k) = (Fk-1, Fk) v(1) = (0, 1)

Ak = {k-1}, k2

fk(a,b) = (b, a+b) k2

v(k) = fk(v(k-1))


69/153

A = {1,...,n}, B =N N

v(k) = (Fk-1, Fk) v(1) = (0, 1)

Ak = {k-1}, k2

fk(a,b) = (b, a+b) k2

v(k) = fk(v(k-1))

a0; b1for i=2,n

(a,b)(b,a+b)

write(b)


70/153

Se poate utiliza n problemele de optim care verific

un principiu de optimalitate, din care se obin relaiilede calcul

Fie secvena de stri S0 (starea iniial), S1, , Sn (stareafinal) ale sistemului.


71/153

Fie soluiaoptim d1, ..., dnPrincipiul

de optimalitate poate fi satisfcut sub una

din urmtoarele forme:

optim

optim

ambele subsecvenesunt optime

ir optim

d1 dn


72/153

Fie soluiaoptim d1, ..., dnPrincipiul de optimalitate poate fi satisfcut sub una

din urmtoarele forme:

1 2(1) optim optim pentru subproblema

cor

, ,...., ,....

espunzatoare,

,

1

kn nd d d d

k n

d

1 12, ,...., ,....,(3) optim optim, 1

opt

si

im,.. , 1, ..

k

k

n

n

d d dd d k n

d d k n

11 2(2) optim, ,...., ,...., optim, 1knd d d d k d n


73/153

Stabilirea subproblemelor utile (de exemplu dinprincipiul de optimalitate)

Care subprobleme le putem rezolva direct

Relaiile de recuren

Ordinea de parcurgere a grafului de dependene

ordinea de calcul)


74/153


75/153

Se consider vectorul a = a

1

,..., a

n

).

S se determine lungimea maxim a unui subir

cresctor din a i un astfel de subir de lungime

maxim

Exemplu

Pentru

a = 8, 1, 7, 4, 6, 5, 11)

lungimea maxim este 4, un subir fiind1, 4, 6, 11


76/153

Longest Increasing Subsequence

nrudit cu problema determinrii celui mai lung subir

comun a dou iruri

(Longest Common Subsequence)

Aplicaii

cautarea de tiparuri (patterns):

baze de date maribioinformatica

similitudinin genetic(ADN)

sequence alignment

Lavanya, B., Murugan, A.: Discovery of longest increasingsubsequences and its variants using DNA operations.

International Journal of Engineering and Technology 5(2),

11691177 (2013)


77/153

Principiu de optimalitate:

Dac

ai1, ai2, , aip,

este un subiroptim care ncepepe poziia

i1, atunci:

ai2, , aip

este un

subir

optim care

ncepe

pe

poziia

i2;

Mai general

aik, , aip

este un

subir

optim care

ncepe

pe

poziia

ik.


78/153

Principiu de optimalitate

Subprobleme:

Calculmpentru fiecare poziiei lungimea maxima

unui subircresctorce ncepepe poziiai (cu elementulai)


79/153

Subproblem:

lung[i] = lungimea maxima unui subir

cresctorcencepepe poziiai


80/153

Subproblem:



Soluie problem:

nr = max{lung[i]i = 1,2,,n}


81/153

Subproblem:



Soluie problem:

nr = max{lung[i]i = 1,2,,n}


82/153

Subproblem:



tim direct

Relaie de recuren


ordinea de calcul)


83/153

Subproblem:



tim direct lung[n] = 1

Relaie de recuren

lung[i] = 1 + max{lung[j]j>i , ai


84/153

Subproblem:



tim direct lung[n] = 1

Relaie de recuren

lung[i] = 1 + max{lung[j]j>i, ai


85/153

Graful de dependen

e

i = n, n-1, , 1

n

2

1


86/153

Graful de dependen

e


ordinea de calcul)

i = n, n-1, ,1n, n-1, , 1

n

2

1


87/153

Cum determinmun subir maxim?


88/153

Pentru a determina i un subir optimputem memoran plus

succ[i] = indicele urmtorului elementdintr-un subir optim care ncepepe poziia i (n+1dac nu exist)

=indicele pentru care se realizeaz

maximul n relaia de recuren


89/153

a: 8 1 7 4 6 5 11

lung : 2 4 2 3 2 2

succ : 7 4 7 5 7 7

1 2 3 4 5 6 7


90/153

a: 8 1 7 4 6 5 11

lung : 2 4 2 3 2 2 1

succ : 7 4 7 5 7 7 8

1 2 3 4 5 6 7


91/153

a: 8 1 7 4 6 5 11

lung : 2 4 2 3 2 2 1

succ : 7 4 7 5 7 7 8

1 2 3 4 5 6 7


92/153

a: 8 1 7 4 6 5 11

lung : 2 4 2 3 2 2 1

succ : 7 4 7 5 7 7 8

1 2 3 4 5 6 7


93/153

a: 8 1 7 4 6 5 11

lung : 2 4 2 3 2 2 1

succ : 7 4 7 5 7 7 8

1 2 3 4 5 6 7


94/153

a: 8 1 7 4 6 5 11

lung : 2 4 2 3 2 2 1

succ : 7 4 7 5 7 7 8

1 2 3 4 5 6 7


95/153

a: 8 1 7 4 6 5 11

lung : 2 4 2 3 2 2 1

succ : 7 4 7 5 7 7 8

1 2 3 4 5 6 7


96/153

a: 8 1 7 4 6 5 11

lung : 2 4 2 3 2 2 1

succ : 7 4 7 5 7 7 8

1 2 3 4 5 6 7


97/153

a: 8 1 7 4 6 5 11

lung : 2 4 2 3 2 2 1

succ : 7 4 7 5 7 7 8

1 2 3 4 5 6 7


98/153

a: 8 1 7 4 6 5 11

lung : 2 4 2 3 2 2 1

succ : 7 4 7 5 7 7 8

1 2 3 4 5 6 7


99/153

a: 8 1 7 4 6 5 11

lung : 2 4 2 3 2 2 1

succ : 7 4 7 5 7 7 8

1 2 3 4 5 6 7


100/153

a: 8 1 7 4 6 5 11

lung : 2 4 2 3 2 2 1

succ : 7 4 7 5 7 7 8

1 2 3 4 5 6 7


101/153

a: 8 1 7 4 6 5 11

lung : 2 4 2 3 2 2 1

succ : 7 4 7 5 7 7 8

1 2 3 4 5 6 7


102/153

a: 8 1 7 4 6 5 11

lung : 2 4 2 3 2 2 1

succ : 7 4 7 5 7 7 8

1 2 3 4 5 6 7


103/153

a: 8 1 7 4 6 5 11

lung : 2 4 2 3 2 2 1

succ : 7 4 7 5 7 7 8

Solu

ie

: lung = 4

1 2 3 4 5 6 7


104/153

a: 8 1 7 4 6 5 11

lung : 2 4 2 3 2 2 1

succ : 7 4 7 5 7 7 8

Sub

ir

: 1,

1 2 3 4 5 6 7


105/153

a: 8 1 7 4 6 5 11

lung : 2 4 2 3 2 2 1

succ : 7 4 7 5 7 7 8

Sub

ir

: 1,

1 2 3 4 5 6 7


106/153

a: 8 1 7 4 6 5 11

lung : 2 4 2 3 2 2 1

succ : 7 4 7 5 7 7 8

Sub

ir

: 1, 4,

1 2 3 4 5 6 7


107/153

a: 8 1 7 4 6 5 11

lung : 2 4 2 3 2 2 1

succ : 7 4 7 5 7 7 8

Sub

ir

: 1, 4, 6

1 2 3 4 5 6 7


108/153

a: 8 1 7 4 6 5 11

lung : 2 4 2 3 2 2 1

succ : 7 4 7 5 7 7 8

Sub

ir

: 1, 4, 6, 11

1 2 3 4 5 6 7


109/153

nr= 1;

poz = n; //poz de inceput a sirului maxim


110/153

lung[n] = 1; succ[n] = n+1; //stim

for (int i=n-1;i>=1;i--){//ordine de calculsucc[i]= n+1; lung[i]=1;

//formula de recurenta

for(int j=i+1;j nr){nr= lung[i]; poz = i;}

}

nr= 1;



111/153





}

nr= 1;



112/153





}

nr= 1;



113/153





}

nr= 1;



114/153





}

nr= 1;



115/153





}

//afisare subsir


116/153

//afisare subsir

for (int i=1;i


117/153

//a sa e subs

for (int i=1;i


118/153

//

for (int i=1;i


119/153


Dac

ai1, ai2, , aip,

este un subiroptim care se termin pe poziiaip,

atunci

ai1, , aikeste un

subir

optim care

se termin

pe

poziia

ik.

Subproblem:


subiruluicresctorce se terminpe poziiai

Alt soluie


120/153


Dac

ai1, ai2, , aip,


atunci

ai1, , aikeste un

subir

optim care

se termin

pe

poziia

ik.

Subproblem:


subiruluicresctorce se terminpe poziiai

Alt soluie


121/153


Dac

ai1, ai2, , aip,


atunci

ai1, , aikeste un

subir

optim care

se termin

pe

poziia

ik.

Subproblem:


unui subircresctorce se terminpe poziiai


122/153

a: 8 1 7 4 6 5 11

lung : 2 4 2 3 2 2

pred : 7 4 7 5 7 7

1 2 3 4 5 6 7


123/153

a: 8 1 7 4 6 5 11

lung : 12 4 2 3 2 2

pred : 07 4 7 5 7 7

1 2 3 4 5 6 7


124/153

a: 8 1 7 4 6 5 11

lung : 1 14 2 3 2 2

pred : 07 0 4 7 5 7 7

1 2 3 4 5 6 7


125/153

a: 8 1 7 4 6 5 11

lung : 1 14 2 2 3 2 2

pred : 07 0 2 7 5 7 7

1 2 3 4 5 6 7


126/153

a: 8 1 7 4 6 5 11

lung : 1 14 2 223 2 2

pred : 07 0 2 2 5 7 7

1 2 3 4 5 6 7


127/153

a: 8 1 7 4 6 5 11

lung : 1 14 2 223 3 2 2

pred : 07 0 2 2 4

1 2 3 4 5 6 7


128/153

a: 8 1 7 4 6 5 11

lung : 1 14 2 223 3 2 32

pred : 07 0 2 2 4 4

1 2 3 4 5 6 7


129/153

a: 8 1 7 4 6 5 11

lung : 1 14 2 223 3 2 3 4

pred : 07 0 2 2 4 4 6

1 2 3 4 5 6 7


130/153

Algoritm O n log n)- Indicaii

1. Folosind tot programare dinamic

Pentru fiecare lungime j=1..,n reinem

m[j] = poziia celui mai mic element din ir cu

proprietatea c exist un subir de lungime j care se

termin cu el

a[m[1]] a[m[2]] a[m[n]]

La pasul i cutmbinar cea mai mare lungime j cu

a[m[j]] a[i]

Patience solitaire / patience sort


131/153

prima

carte

Numr minim de teancuri

https://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spring13/cos423/lectures/LongestIncreasingSubsequence.pdf

https://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spring13/cos423/lectures/LongestIncreasingSubsequence.pdfhttps://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spring13/cos423/lectures/LongestIncreasingSubsequence.pdfhttps://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spring13/cos423/lectures/LongestIncreasingSubsequence.pdfhttps://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spring13/cos423/lectures/LongestIncreasingSubsequence.pdfhttps://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spring13/cos423/lectures/LongestIncreasingSubsequence.pdf


132/153

prima

carte

https://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spring13/cos423/lectures/

LongestIncreasingSubsequence.pdf

Numr minim de teancuri

Patience solitaire
https://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spring13/cos423/lectures/LongestIncreasingSubsequence.pdfhttps://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spring13/cos423/lectures/LongestIncreasingSubsequence.pdfhttps://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spring13/cos423/lectures/LongestIncreasingSubsequence.pdfhttps://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spring13/cos423/lectures/LongestIncreasingSubsequence.pdfhttps://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spring13/cos423/lectures/LongestIncreasingSubsequence.pdf


133/153

Algoritm: Greedy cartea curent este adugat la cel mai

din stnga teanc pe care se potrivete

- La fiecare pas, crile din topul fiecrui teanc formeaz un ir

cresctor

- Determinarea celui mai din stnga teanc pe care se potrivete

cartea cu cutare binar

- O n log n)



134/153

6, 3, 5, 10, 12, 2, 9, 15, 14, 7, 4,8,13



135/153

6, 3, 5, 10, 12, 2, 9, 15, 14, 7, 4,8,13

6



136/153

6, 3, 5, 10, 12, 2, 9, 15, 14, 7, 4,8,13

6

3



137/153

6, 3, 5, 10, 12, 2, 9, 15, 14, 7, 4,8,13

6 5

3



138/153

6, 3, 5, 10, 12, 2, 9, 15, 14, 7, 4,8,13

6 5 10

3



139/153

6, 3, 5, 10, 12,2, 9, 15, 14, 7, 4,8,13

6 5 10 12

3



140/153

6, 3, 5, 10, 12,2, 9, 15, 14, 7, 4,8,13

6 5 10 12

3

2



141/153

6, 3, 5, 10, 12,2, 9, 15, 14, 7, 4,8,13

6 5 10 12

3 9

2



142/153

6, 3, 5, 10, 12,2, 9, 15, 14, 7, 4,8,13

6 5 10 12 15

3 9

2



143/153

6, 3, 5, 10, 12,2, 9, 15, 14, 7, 4,8,13

6 5 10 12 15

3 9 14

2



144/153

6, 3, 5, 10, 12,2, 9, 15, 14, 7, 4,8,13

6 5 10 12 15

3 9 14

2 7



145/153

6, 3, 5, 10, 12,2, 9, 15, 14, 7, 4,8,13

6 5 10 12 15

3 4 9 14

2 7



146/153

6, 3, 5, 10, 12,2, 9, 15, 14, 7, 4,8,13

6 5 10 12 15

3 4 9 8 14

2 7



147/153

6, 3, 5, 10, 12,2, 9, 15, 14, 7, 4,8,13

6 5 10 12 15

3 4 9 8 14

2 7 13



148/153

Evident: numrul minim de subiruri descresctoare n

care se poate descompune un ir lungimea maxim a unui subir cresctor



149/153

Proprietate: numrul minim de subiruri descresctoare n

care se poate descompune un ir =lungimea maxim a unui subir cresctor



150/153

Proprietate: numrul minim de subiruri descresctoare n

care se poate descompune un ir =lungimea maxim a unui subir cresctor

Pentru a memora un subir cresctor, memorm la fiecare pas al

algoritmului Greedy, pentru cartea curent adugat o legtur de tip

predecesor ctre vrful teancului anterior celui n care a fost

adugat

Subirul cresctor se obine pornind de la ultima carte adugat i

urmnd legtura predecesor



151/153

prima

carte

https://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spring13/cos423/lectures/LongestIncreasingSubsequence.pdf

>:D

Documents

Java Programare Dinamica